Математическое моделирование в задачах динамической устойчивости вязкоупругих элементов проточных каналов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Молгачев, Алексей Анатольевич

• Молгачев, Алексей Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Молгачев, Алексей Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ

ПЛОСКИХ КАНАЛОВ.

1.1. Численное решение задачи об асимптотической устойчивости упругих элементов двух стенок канала.

1.2. Численное решение задачи об асимптотической устойчивости упругих элементов одной стенки канала.

1.3. Динамическая устойчивость вязкоупругих элементов разделительной стенки проточного канала.

1.4. Исследование устойчивости упругих элементов двухпроточного канала численно-аналитическим методом.

1.5 Исследование асимптотической устойчивости колебаний упругого элемента канала при задании в граничных сечениях скорости.

Глава 2. ИССЛЕДОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ БЕСКОНЕЧНОЙ ПРОТЯЖЕННОСТИ.

2.1. Исследование динамики и устойчивости колебаний упругого элемента бесконечного канала.

2.2. Устойчивость колебаний решётки упругих пластин.

Глава 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

В ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧАХ О ДИНАМИКЕ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ.

3.1. Динамическая устойчивость вязкоупругих элементов стенок канала.

3.2. Численное исследование устойчивости колебаний упругого элемента стенки канала.

3.3. Исследование нелинейных колебаний упругого элемента.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование в задачах динамической устойчивости вязкоупругих элементов проточных каналов»

Важной народно-хозяйственной проблемой во многих отраслях техники является повышение надежности и продление сроков службы конструкций, взаимодействующих с потоком жидкости или газа. Такая проблема, в частности, возникает в авиаракетостроении, турбокомпрессоростроении, приборостроении, при проектировании антенных установок, датчиков давления, камер сгорания, реакторов, гидротехнических и высоких наземных сооружений, трубопроводных систем, проточных каналов различного назначения и т.д.

При проектировании конструкций, обтекаемых потоком газа или жидкости, важное значение имеет исследование устойчивости колебаний деформируемых элементов, так как воздействие потока может приводить к увеличению амплитуды колебаний, и, тем самым, их разрушению.

В то же время для функционирования некоторых технических устройств (например, вибрационных устройств, используемых для интенсификации технологических процессов) явление возбуждения колебаний при аэрогидродинамическом воздействии, указанное выше в качестве негативного, является необходимым.

Таким образом, при проектировании конструкций и устройств, находящихся во взаимодействии с газожидкостной средой, необходимо решать задачи, связанные с исследованием устойчивости, требуемой для их функционирования и надежности эксплуатации.

При расчете конструкций на прочность и устойчивость существенное значение имеет учет вязкоупругих свойств деформируемых тел, что приводит к появлению в дифференциальных уравнениях движения тел дополнительных интегральных членов. Совместное движение деформируемого тела и жидкости(газа) описывается связанной системой интегро-дифференциальных уравнений, что не позволяет разбить решение задач аэрогидроупругости на две отдельные задачи - определения деформации тел и расчета течения жидкости(газа).

Отмеченные особенности увеличивают сложность исследований и приводят к необходимости разработки специальных методов изучения устойчивости упругих и вязкоупругих тел в потоке жидкости или газа.

Отмеченное выше позволяет утверждать об актуальности исследований, проведенных в диссертации.

Диссертация посвящена разработке математических моделей проточных каналов, содержащих вязкоупругие (или упругие) элементы, находящиеся во взаимодействии с потоком идеального газа (жидкости), и исследованию на основе построенных моделей динамической устойчивости этих элементов. Принятые в работе определения устойчивости вязкоупругого или упругого тела соответствуют концепции устойчивости динамических систем по Ляпунову. Проблема может быть сформулирована так: при каких значениях параметров, характеризующих систему "жидкость-тело" (основными параметрами являются скорость потока, прочностные и инерционные характеристики тела, сжимающие или растягивающие усилия, силы трения), малым деформациям тел в начальный момент времени t=0 (т.е. малым начальным отклонениям от положения равновесия) будут соответствовать малые деформации и в любой момент времени t>0 (в случае асимптотической устойчивости деформации должны стремиться к нулю при t—> оо).

В настоящей работе механическое поведение материала пластин описывается упругой или вязкоупругой моделью тела. Вязкоупругая модель основана на фундаментальных концепциях Больцмана и Вольтерра и теории реологических моделей, восходящих к Дж. Максвеллу[148,149], В. Фойхту[162,163] и Дж. Томпсону[152]. Согласно этой модели напряжение в любой точке пластины зависит от предыстории деформирования материала в данной точке. Связь между напряжением и деформацией подчиняется линейному уравнению Вольтерра-Фойхта. Под старением материала понимается изменение его физико-механических свойств во времени.

При решении задач аэрогидроупругости, рассматриваемых в диссертации, аэрогидродинамическая нагрузка определяется из линейных асимптотических уравнений аэрогидромеханики в модели несжимаемой среды.

За последние десятилетия проведено большое количество теоретических и экспериментальных исследований, посвященных теории вязкоупругости и устойчивости вязкоупругих тел, среди которых отметим работы Арутюняна Н.Х., Дроздова А.Д., Колмановского В.Б. [4-8], Работнова Ю.Н. [117-120]. Предметом большого количества исследований является также динамика упругих тел, взаимодействующих с потоком жидкости или газа. Исследования в этом направлении изложены в работах Болотина В.В. [17], Вольмира А.С. [53-55], Галиева Ш.У. [57], Горшкова А.Г., Григолюка Э.Г., Кабанова В.В., Кузнецова В.Н., Лампер Р.Е., Тарлаковского Д.В. [61-68], Гузя А.Н., Кубенко В.Д., Бабаева А.Э. [71,72], Ильгамова М.А. [76-80], Мовчана А.А. [9497] и других авторов. Среди зарубежных авторов отметим Бисплингхоффа P.JL, Эшли X., Халфмана Р.Л. [143], Фына Я.Ц. [135], Доуелла Е.Х. [145]. Исследованию динамики трубопровода с протекающей в нем жидкостью посвящены работы Челомея С.В. [137,138], Феодосьева В.И. [128] и других.

Некоторые результаты по исследованию устойчивости деформируемых тел с учетом как старения (вязкоупругости) материала, так и с учетом взаимодействия с жидкостью (газом) изложены в работах [2,38-44, 98-111].

Для части рассматриваемых в диссертации задач характерным является одновременный учет как вязкоупругих свойств материала тел (старения материала), так и взаимодействие с потоком жидкости (газа). Другая часть задач посвящена исследованию асимптотической устойчивости упругих тел, взаимодействующих с потоком жидкости или газа.

Целью диссертационной работы является разработка на основе математического моделирования математических методов исследования устойчивости вязкоупругих элементов проточных каналов, взаимодействующих с потоком жидкости (газа), протекающего внутри них. Для достижения этой цели решаются следующие задачи:

1) Построение математических моделей проточных каналов, содержащих вязкоупругие элементы, взаимодействующие с дозвуковым потоком жидкости или газа.

2) Разработка аналитических и численных методов исследования динамической устойчивости вязкоупругих элементов проточных каналов, с учетом взаимодействия с дозвуковым потоком среды.

Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе исследуется задачи об устойчивости вязкоупругих элементов и задачи об асимптотической устойчивости упругих элементов стенок плоских проточных каналов конечной длины, с различным месторасположением и количеством этих элементов.

Представлены два способа для исследования устойчивости. Первый способ (аналитический) основан на конструировании функционалов типа Ляпунова для исследования динамической устойчивости вязкоупругих элементов каналов. В рамках теории получены в аналитической форме достаточные условия устойчивости для различных типов закреплений. Приведен ряд ограничений на основные параметры системы, позволяющих обеспечить устойчивость колебаний.

Второй способ (численный), исследования асимптотической устойчивости упругих элементов основан на построении решения интегро-дифференциальных уравнений, описывающих колебания упругих элементов, в виде разложений по некоторым полным системам базисных функций, вид которых зависит от граничных условий. Численная реализация (в отличие от аналитического метода исследования устойчивости на основе функционалов) позволяет исследовать как устойчивость, так и неустойчивость колебаний, в том числе строить закон изменения деформации с течением времени.

Приведены примеры расчетов для конкретных значений параметров, характеризующих свойства материала элементов и протекающей в нем жидкости. Построены графики прогибов, соответствующие случаям динамической устойчивости и неустойчивости. Построена область устойчивости на плоскости двух параметров (скорость потока - сжимающее усилие) при фиксированных значениях остальных параметров.

Все возможности численных исследований, отмеченные выше, реализованы и для задач, рассматриваемых в следующих главах диссертации.

Во второй главе исследуются задача об асимптотической устойчивости упругой пластины-элемента стенки плоского бесконечного канала, через который протекает жидкость(газ), и задача об асимптотической устойчивости колебаний бесконечной решетки упругих пластин, взаимодействующих с потоком идеального газа(жидкости).

В третьей главе исследуются задачи об устойчивости вязкоупругих пластин и асимптотической устойчивости упругих пластин - элементов стенок пространственного канала.

В каждой главе принята своя тройная нумерация формул. Первая цифра номера формулы указывает номер главы, вторая - номер параграфа, третья -формулы в параграфе.

В данной диссертации в главах 1,3 построение решения аэрогидродинамической части задачи о движении жидкости в канале (а именно решения двумерной (глава 1) и трехмерной (глава 3) краевой задачи для уравнения Лапласа) проводится на основе разработанной методики, использующей метод

Фурье и представление искомых функций (потенциала скорости и прогибов пластин) в виде рядов, при этом аэрогидродинамическая нагрузка (давление газа или жидкости) определяется через функции, описывающие неизвестные прогибы пластин. При подстановке выражения для давления в уравнения колебаний пластин решение задач сводится к исследованию системы связанных интегро-дифференциальных уравнений с частными производными для функций прогибов.

В главе 2 построение решения аэрогидродинамических частей задач внутреннего и внешнего обтекания деформируемых конструкций неограниченным потоком газа (а именно решения двумерной краевой задачи для уравнения Лапласа с граничными условиями, содержащими неизвестные функции прогибов) проводится на основе разработанной для этого методики, использующей методы теории функций комплексного переменного (ТФКП) [88], при этом аэрогидродинамическая нагрузка определяется также через функции, описывающие неизвестные прогибы пластин, для которых вновь возникает вновь связанная система интегро-дифференциальных уравнений.

Исследование динамической устойчивости вязкоупругих элементов проводится на основе разработанных методик, связанных с построением положительно определенных функционалов, соответствующих полученным системам интегро-дифференциальных уравнений с частными производными для прогибов пластин.

Исследование асимптотической устойчивости упругих элементов каналов и их динамики проводится на основе разработанного численно-аналитического метода. Решение основано на разложении прогиба в ряд по некоторой полной системе функций. Методом Галеркина [84] дифференциальное уравнение с частными производными сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Решение соответствующей задачи Коши строится на основе нахождения собственных чисел (СЧ) и собственных векторов (СВ) соответствующего матричного дифференциального оператора. Вывод об асимптотической устойчивости делается в результате анализа наибольшей действительной части собственных чисел исследуемой задачи.

Во всех задачах использовалась методика исключения аэрогидродинамической функции, основанная на методах ТФКП или методе Фурье, и позволяющая свести решение задач к исследованию связанных систем линейных интегро-дифференциальных уравнений для прогибов пластин.

Задачи рассматриваются в постановке, соответствующей малым возмущениям однородного потока несжимаемой среды и малым деформациям элементов.

Научная новизна полученных результатов:

1) Построены математические модели проточных каналов с упругими и вязкоупругими элементами, с учетом взаимодействия с потоком жидкости (газа), протекающим внутри них.

2) Разработан численно-аналитический метод исследования устойчивости упругих элементов проточных каналов с учетом взаимодействия с дозвуковым потоком жидкости (газа), а также соответствующие численные алгоритмы и компьютерные программы.

3) Разработана методика аналитического исследования устойчивости вязкоупругих элементов канала, основанная на построении функционалов.

Практическая ценность работы состоит в том, что разработанные математические модели, методы и программное обеспечение позволяют усовершенствовать методы расчета конструкций, находящихся во взаимодействии с потоком жидкости или газа, повысить уровень расчетного анализа взаимодействия, сократить время, затрачиваемое на натурные эксперименты, а в некоторых случаях заменить их аналитическими оценками или проведением численного эксперимента.

Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечивается строгостью математической постановки задач и математических преобразований, согласованием аналитических решений с результатами вычислительного эксперимента, а также согласованностью с результатами других авторов.

Основные результаты диссертации докладывались на конференциях различного ранга: International Conference Modelling & stability. "Dynamical systems modelling and stability investigation" (КГТУ им. Т. Шевченко, Киев,

2001); молодежная школа-конференция "Лобачевские чтения" (КГУ, Казань, 2001-2004); международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения" (МГУ им. Огарева, Саранск, 2002, 2003); международная конференция "Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов" (УлГУ, Ульяновск, 2001); Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения-XIH" (ВГУ, Воронеж,

2002); XII межвузовская конференция "Математическое моделирование и краевые задачи" (СамГТУ, Самара, 2002); X Международной конференции "Математика. Экономика. Образование" и II Международного симпозиума "Ряды Фурье и их приложения" (РГУ, Ростов-на-Дону, 2002); XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics" (IPME RAS, St. Petersburg, Russia, 2002); XXIV конференция молодых ученых мех.-мат. фак-та МГУ им. М.В.Ломоносова (МГУ, Москва, 2002); International Conference Physics and Control (IPME RAS, St. Petersburg, Russia, 2003); Международная конференция «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке, технике и экономике» (УлГТУ, Ульяновск, 2001-2004); EUROMECH

Colloquium "Identification and Updating Methods of Mechanical Structures" (IT AS th

CR, Prague, Czech Republic, 2002); the 10 Conference on Applied and Industrial th

Maathematics (University of Pitesti, Romai, 2002); the 30 Jubilee International Conference "Application of Mathematics in Engineering and Economics" (Sozopol, Bulgaria, 2004); научно-технические ежегодные конференции профессорско-преподавательского состава УлГТУ (2000-2004).

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Молгачев, Алексей Анатольевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1) Построены математические модели в задачах о дозвуковом движении жидкости (газа) в каналах, стенки которых имеют вязкоупругие элементы. Производится одновременный учет старения (вязкоупругости) материала деформируемых элементов, взаимодействия их с потоком жидкости (газа) и вязкоупругим основанием, а также влияния сжимающих (растягивающих) усилий.

2) Разработана методика аналитического исследования динамической устойчивости вязкоупругих элементов каналов, основанная на исключении аэрогидродинамических функций и построении функционалов для связанных систем интегро-дифференциальных уравнений с частными производными, описывающих деформации элементов (количество элементов и места их расположения - произвольные). На плоскости (N,V) "сжимающее усилие — скорость потока" построена область устойчивости (на рис.1 заштрихована), у определяемая неравенствами N < A - BV (А> О, В >0) и V <С (С > 0).

3) Разработан численноаналитический метод исследования асимптотической устойчивости упругих элементов проточных каналов, основанный на исключении аэрогидродинамических функций и применении метода Галеркина. Метод может быть использован при любом закреплении и любом количестве произвольно располо женных элементов.

4) На основе разработанного численного метода созданы алгоритмы, соответствующие компьютерные программы и проведен численный эксперимент на ЭВМ в задачах о динамике упругих элементов каналов. Построена граница перехода параметров системы из устойчивого состояния в

Рис. 1. Область устойчивости на плоскости (N,V). неустойчивое.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Молгачев, Алексей Анатольевич, 2005 год

1. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Исследование собственных значений оператора в задачах панельного флаттера. // МТТ, 1999. N1. - С. 170-176.

2. Анкилов А.В., Вельмисов П. А., Решетников Ю.А. Исследование устойчивости вязкоупругих элементов стенок канала // Тезисы докладов XXXII научно-технической конференции.- Ульяновск: УлГТУ, 1998.- Ч.2.-С.23-25.

3. Арутюнян Н.Х., Колмановский В.Б. Теория ползучести неоднородных тел.- М.: Наука, 1983.- 336 с.

4. Арутюнян Н.Х. Некоторые задачи теории ползучести для неоднородно-стареющих тел.// Изв. АН СССР. Мех. Тверд, тела, 1976.- N3.- С. 153164.

5. Арутюнян Н.Х. Об уравнении состояния в нелинейной теории ползучести неоднородно-стареющих тел.// Докл. АН СССР, 1976.- 231, N3.-С.559-562

6. Арутюнян Н.Х. О теории ползучести для неоднородно-наследственно-стареющих сред.// Докл. АН СССР, 1976.-229, N3.-C.569-571.

7. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Колмановский В.Б. Устойчивость вязкоупругих тел и элементов конструкций // Итоги науки и техники: Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ, 1987.-Т.19.-С.3-77.

8. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968.- 560 с.

9. Бахвалов Н. С. Численные методы. М. : Наука, 1973. - Т. 1.- 632 с.

10. Белоцерковский С.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984. - 520с.

11. Белоцерковский С.М., Кочетков Ю.А., Красовский А.А., Новицкий В.В. Введение в аэроавтоупругость. М.: Наука, 1980. - 384с.

12. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1976. - 607с.

13. Березин С.Б., Пасконов В.М. Численное исследование вдува вязкого несжимаемого газа в плоский канал на основе уравнений Новье-Стокса // Вычислительные методы и программирование. — Т.4. — 2003. С. 1-13.

14. Бесараб П. Н. К анализу точности методов типа Рунге Кутта. — Киев, 1973. - 33 с. - (Препринт / АН УССР. Ин-т кибернетики; № 73 - 27).

15. Бисплингхофф P.JL, Эшли X., Халфман P.JI. Аэроупругость. М.: ИЛ,1958. 860с.

16. Болотин В.В. О применении вариационного метода Галеркина к задачам флаттера упругих панелей // Известия ВУЗов "Машиностроение". N12.1959. С.25-32.

17. Буйвол В.Н. Колебания и устойчивость деформируемых систем в жидкости. Киев: Наукова думка, 1975. - 190с.

18. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвлений решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. - 524с.

19. Вельмисов П.А. О динамике пластин, подверженных старению и гидродинамическому воздействию. // Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами: Межвуз. науч.сб.-Саратов: СГТУ, 1993.- С.27-34.

20. Вельмисов П.А. Об устойчивости и единственности решений некоторых классов начально-краевых задач в механике сплошных сред. // Актуальные проблемы прикладной математики: Материалы всесоюз. конф.-Саратов, 1991.- Т.1.- С.19-23.

21. Вельмисов П.А, Молгачев А.А. Вычислительный эксперимент для одного класса задач взаимодействия упругих тел с жидкостью // Труды международной конференции "КЛИН". Ульяновск: УлГТУ, 2003. - С. 17-23.

22. Вельмисов П.А. Асимптотические уравнения газовой динамики. -Саратов: СГУ, 1986.- 135 с.

23. Вельмисов П.А. О движении жидкости в областях, ограниченных вязкоупругими пластинами. // Механика и процессы управления: Сб. науч. тр,-Ульяновск: УлГТУ, 1996.- С.90-95.

24. Вельмисов П.А. О некоторых задачах взаимодействия потока газа с вязкоупругими телами. // Механика и процессы управления: Межвуз. сб. науч. тр.- Саратов: СГУ, 1992.- Вып.З.- С.80-93.

25. Вельмисов П.А. Об устойчивости движения вязкоупругих пластин при гидродинамическом воздействии. // Математическое моделирование, 1995.- Т.7, N5.- С.38-39.

26. Вельмисов П.А. Об устойчивости движения вязкоупругих пластин при гидродинамическом воздействии. // Дифференциальные уравнения и их приложения: Материалы междунар. конф.- Саранск, 1995.-С. 148-153.

27. Вельмисов П.А. Устойчивость некоторых нелинейных уравнений аэрогидроупругости. // Application of Mathematics in Engineering: Proceedings of the XXII Summer School.- Sozopol, Bulgaria: Technical University of Sofia, 1996.-P.52-61.

28. Вельмисов П.А. Устойчивость тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии. // Вестник Ульян, гос. технич. ун-та., 1997.- Юбилейный выпуск.- С. 167-176.

29. Вельмисов П.А., Дроздов А.Д., Колмановский В.Б. Устойчивость вязкоупругих систем. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991, 180с.

30. Вельмисов П.А., Колмановский В.Б., Решетников Ю.А. Устойчивость уравнений взаимодействия вязкоупругих пластин с жидкостью. // Дифференциальные уравнения,- 1994.- Т.ЗО, Вып.11.- С.1966-1981.

31. Вельмисов П.А., Колмановский В.В., Решетников Ю.А. Об устойчивости тригонометрических приближений решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений. // Теория функций и приближений: Труды 4-ой Саратовской школы.- Саратов: СГУ, 1990.- С.56-58.

32. Вельмисов П.А., Леонтьев В.Л. Динамика вязкоупругой тонкостенной конструкции, взаимодействующей с жидкостью. // Проблемы прочностиматериалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами: Межвуз. науч. сб.- Саратов: СГТУ, 1994.- С.49-56.

33. Вельмисов П.А., Леонтьев В.Л. Основы теории вязкоупругих стареющих тел. Ульяновск, ф.МГУ, 1995, 65с.

34. Вельмисов П.А., Логинов Б.В., Милушева С.Д. Исследование устойчивости трубопровода. // Приложение на математиката в техниката: Сб. доклади и научни съобщения. XXI национална школа.- Болгария, Варна, 1995.-С.299-304.

35. Вельмисов П.А., Молгачев А.А Об одной спектральной задаче в гидроупругости // Тезисы докладов 36 науч.-техн. конф. УлГТУ "Вузовская наука в современных условиях" Ч.З -Ульяновск: УлГТУ, 2002. - С. 13-14.

36. Вельмисов П.А., Молгачев А.А. Исследование динамики упругого элемента стенки канала // Актуальные проблемы математики и механики. Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского Т.25 - Казань: КГУ, 2004.-С.61-62.

37. Вельмисов П.А., Молгачев А.А. Математическая модель проточного канала с разделительной стенкой, содержащей упругие элементы // Вестник УлГТУ. N3-4. - Ульяновск: УлГТУ, 2003. - С.25-27.

38. Вельмисов П.А., Молгачев А.А. Об устойчивости нелинейных колебаний пластины // Тезисы докладов 34 научно-технической конференции УлГТУ. -Ч.З Ульяновск: УлГТУ, 2000. - С. 10-11.

39. Вельмисов П.А., Молгачев А.А. Об устойчивости нелинейных колебаний пластины с учетом взаимодействия с потоком жидкости. // Thesis of conference repots: Modelling & stability. Dynamical systems modelling and stability investigation. Kyiv, 2001. - C.260.

40. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. О некоторых задачах движения идеального несжимаемого газа в канале с деформируемыми стенками. // Аэродинамика.- Саратов: СГУ, 1991.- Вып.12(15).- С.62-70.

41. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. Устойчивость вязкоупругих пластин при аэрогидродинамическом воздействии (монография).- Саратов: СГУ, 1994.176 с.

42. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А., Сорокин И.А. Исследование колебаний вязкоупругой пластины в потоке газа. // Прикладная математика и механика: Межвуз. сб.- Саратов: СГУ, 1990.- Вып.5.- С.94-103.

43. Вельмисов П.А., Семенов А.С. Численное решение одной задачи о совместных колебаниях вязкоупругой пластины и идеального несжимаемого газа. // Прикладная математика и механика: Межвуз.сб.- Саратов: СГУ, 1990.-Вып.5.- С.23-42.

44. Волобуев А.Н. Течение жидкости в трубках с эластичными стенками //

45. Успехи физических наук, 1995. Т. 165, N2. - С. 177-186.

46. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек М.: Наука, 1972.- 432 с.

47. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости. -М.:Наука, 1976.-415с.

48. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости.- М.:Наука, 1979.- 320с.

49. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем.- М.: Физматгиз, 1963.- 880с.

50. Гавурин М. К., Белых В. М. Некоторые приемы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы вычислений, 1971- Вып. 7. - С.З - 15.

51. Галиев Ш.У. Динамика гидроупругопластических систем.- Киев: Наукова Думка, 1981.- 276 с.

52. Гахов Ф.Д. Краевые задачи.- М.: Наука, 1977.- 640 с.

53. Гимадиев Р.Ш., Ильгамов М.А. Статическое взаимодействие профиля мягкого крыла с потоком несжимаемой жидкости. // Авиационная техника, 1998.-N1.- С.

54. Гонткевич B.C. Собственные колебания оболочек в жидкости.- Киев: Наукова думка, 1964.- 103с.

55. Григолюк Э.Г., Лампер Р.Е., Шандаров Л.Г. Флатер панелей и оболочек // Итоги науки. Механика, Т.2.- М.: ВИНИТИ, 1965.- С.34-90.

56. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек.-М.: Наука, 1978.360 с.

57. Григолюк А.Г. Аэрогидроупругость / Пер. с англ. М.:ИЛ. 1961.- 101с.

58. Григолюк А.Г., Лампер Р.Е., Шандаров Л.Г. Флаттер панелей и оболочек // Итоги науки. Механика. Т.2.- М.-.ВИНИТИ, 1965.- С.34-90.

59. Григолюк Э.Г., Горшков А.Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью.- Л.: Судостроение, 1976.- 200с.

60. Григолюк Э.Г., Горшков А.Г. Нестационарная гидроупругость оболочек -Л.: Судостроение, 1974.- 208с.

61. Григолюк Э.Г., Горшков А.Г. Взаимодействие упругих конструкций сжидкостью.- Л.: Судостроение, 1976.- 200с.

62. Григолюк Э.Г., Горшков А.Г. Погружение упругих оболочек вращения в жидкость//Итоги науки и техники. МДТТ, Т.Ю.-М.: ВИНИТИ, 1977.-С.63-113.

63. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. -359с.

64. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. М.: Наука, 1997. - 272с.

65. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Бабаев А.Э. Гидроупругость систем оболочек.- Киев: Выща школа, 1984.- 207с.

66. Гузь А.Н., Кубенко В.Д. Теория нестационарной аэрогидроупругости оболочек.- Киев: Наукова думка, 1982.- 400с.

67. Зефиров В.Н., Колесов В.В., Милославский А.И. Исследование собственных частот прямолинейного трубопровода. // МТТ, 1985. N1. - С.179-188.

68. Золотенко Г.Ф. К динамике гидроупругой системы "прямоугольный бак -жидкость".// МТТ, 1996.- N5.- С.

69. Икрамов Х.Д. Несиммметричная проблема собственных значений. М.: Наука, 1991.- 240с.

70. Ильгамов М.А. Равновесие мембраны, контактирующей с жидкостью.- МТТ, 1995.- N5.- С.134-141.

71. Ильгамов М.А., Тукмакова А.Л. Численное моделирование нелинейного взаимодействия упругой панели с потоком газа.- МТТ, 1996.- N5.

72. Ильгамов М.А. Введение в нелинейную гидроупругость.- М.: Наука, 1991.- 195 с.

73. Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек содержащих жидкость и газ. М.: Наука, 1969.- 184 с.

74. Ильюшин А.А., Кийко И.А. Новая постановка задачи о флаттере пологой оболочки.// ПММ, 1994.-Т.58.- вып.4.

75. Ильюшин А.А., Кийко И.А. Колебания прямоугольной пластины, обтекаемой сверхзвуковым газом // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1, Математика.

76. Механика.- N4.-1994 С.40-44.

77. Казакевич М.И. Аэродинамика мостов. М.: Транспорт, 1987. - 240с.

78. Казакевич М.И. Аэродинамическая устойчивость надземных и висячих трубопроводов. М.: Недра, 1977. - 200с.

79. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.-Л.: Физматгиз, 1962.- 696с.

80. Клюшников В.Д. Лекции по устойчивости деформируемых систем. М: МГУ, 1986. -224с.

81. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М: Высшая школа, 1987. -256с.

82. Коллатц Л. Задачи на собственные значения.- М.: Наука, 1968.- 503 с.

83. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.- 4-е изд.- М.: Наука, 1973.- 736с.

84. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели.- М.: Наука, 1977.-407с.

85. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987,- 840 с.

86. Макеев В.В. О точности схемы приближенного учета сжимаемости жидкости в задачах гидроупругого взаимодействия конструкции с вязкой жидкостью // Известия Челябинского научного центра. В. 1(18). - 2003.- С.50-54.

87. Милославский А.И. Неустойчивость прямолинейного трубопровода при большой скорости жидкости, протекающей через него. Харьков, 1981. Деп. в ВИНИТИ 11.11.81. N5184-81.-21с.

88. Мнев Е.И., Перцев А.К. Гидроупругость оболочек. Л.: Судостроение, 1970.-365с.

89. Мовчан А.А. О колебаниях пластинки, движущейся в газе. // ПММ, 1956. -Т.20.-Вып.2.- С.211-222.

90. Мовчан А.А. Об одной задаче устойчивости трубы при протекании через нее жидкости.// ПММ, 1965. Вып, 4. -С.760-762.

91. Мовчан А.А. Об одной задаче устойчивости трубы при протекании через нее жидкости // Прикладная математика и механика. Вып. 4. -1965. — С.760

92. Мовчан А.А. Об устойчивости панели, движущейся в газе // ПММ, 1957. -T.20.-N2.- С.231-243.

93. Молгачев А.А О численном исследовании устойчивости колебаний элементов стенок плоского канала. // Тезисы докладов XXXVI научно -технической конференции УлГТУ. Вузовская наука в современных условиях. -Ч.З Ульяновск: УлГТУ, 2002. - С.9-10.

94. Молгачев А.А. Математическая модель проточного канала, содержащего упругие элементы на разделительной стенке // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т.21 - Казань: КГУ, 2003. - С.167-169.

95. Молгачев А.А. О динамической устойчивости колебаний пластины при взаимодействии с потоком жидкости. // Тезисы докладов 35 научно-технической конференции УлГТУ "Вузовская наука в современных условиях". -4.3 Ульяновск: УлГТУ, 2001. - С.12-14.

96. Молгачев А.А. Об устойчивости колебаний пластины с учетом взаимодействия с потоком жидкости // Лобачевские чтения-2001. Труды математичес-кого центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 12 - Казань: КГУ, 2001. -С.104-105.

97. Молгачев А.А. Об устойчивости элементов стенок канала. // Труды XXIV Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им М.В. Ломоносова -4.2 Москва: МГУ, 2002. - С. 121-122.

98. Молгачев А.А. Численно-аналитический метод исследования устойчивости упругих элементов стенок канала // "Лобачевские чтения-2002".

99. Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 18 - Казань: КГУ, 2002. - С.64-65.

100. Молгачев А.А. Численное исследование устойчивости колебаний упругого элемента стенки канала. // Сборник научных трудов "Механика и процессы управления" Ульяновск: УлГТУ, 2002. - С.55-61.

101. Молгачев А.А. Численное исследование устойчивости начально краевой задачи гидроупругости. // Материалы Ворнежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XIII" "Современные методы в теории краевых задач". - Воронеж, 2002. - С. 103.

102. Молгачев А.А. Численное исследование устойчивости упругого элемента стенки проточного канала. // Труды XII межвузовской конф. "Математическое моделирование и краевые задачи" 4.1 - Самара, 2002. - С. 126-128.

103. Молгачев А.А. Численный эксперимент в задаче о динамической устойчивости упругого элемента стенки бесконечного длинного канала // Тезисы докладов XXXVII научно-технической конференции. 4.2. -Ульяновск: УлГТУ, 2003. - С.30-31.

104. Молгачев А.А. Численный эксперимент в задаче о колебаниях последовательно расположенных упругих элементов стенки канала // Труды международной конференции "КЛИН". Ульяновск: УлГТУ, 2004. - С. 171-176.

105. Морозов В.И., Пономарев А.Т., Рысев О.В. Математическое моделирование сложных аэроупругих систем. М: физ.-мат. лит., 1995. -736с.113. науч. тр.- Саратов: СГУ, 1992.- Вып.З.- С.80-93.

106. Никольский С. М. Квадратурные формулы. М. : Наука, 1974. - 223 с.

107. Новичков Ю.Н. Флатер пластин и оболочек//Итоги науки и техники. Механика деформируемого тела. Т. 11.-М.: ВИНИТИ, 1978.-С.67-122.

108. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем.-М.:Наука, 1987.-352с.

109. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела.- М.: Наука, 1988.-712 с.

110. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел.- М.: Наука, 1977.- 383 с.

111. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций.- М.: Наука, 1966.-752с.

112. Работнов Ю.Н., Милейко С.Т. Кратковременная ползучестью.- М.: Наука, 1970.- 222с.

113. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.-Л.: гос.изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1950. -443с.

114. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. -3-е изд. М.: Наука, 1980.- 448с.

115. Смирнов А.И. Аэроупругая устойчивость летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1980. - 231с.

116. Смирнов А.И. Аэроупругость. М.: МАИ, 1971. - 184с.

117. Тимошенко С.П. Прочность и колебания элементов конструкций.// Избранные работы под ред. Э.И.Григолюка. М.: Наука, 1975. - 704с.

118. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. - 635с.

119. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. -735с.

120. Феодосьев В.И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через нее жидкости. // Инж. сб. Изд-во АН СССР, 1951. - Т. 10. - С. 169-170.

121. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: Из-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. - 591с.

122. Фершинг Г. Основы аэроупругости.- М.: Машиностроение, 1984.- 600с.

123. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. М.: Наука, 1981.-т.З.-480с.

124. Фролов К.В., Антонов В.Н. Колебания оболочек в жидкости.- М.:1. Физматгиз, 1962.- 512с.

125. ФынЯ.Ц. О двумерном флатере панели.// Механика: Сб.науч тр.- М.:ИЛ, 1959.-N1(53).

126. Фын Я.Ц. О двумерном флаттере панели.// Механика: сб. переводов.-М.:ИЛ, 1959.- N1. С.75-106.

127. Фын Я.Ц. Введение в теорию аэроупругости.- М.: Физматгиз, 1959.- 490с.

128. Хеджпет Д. Флаттер прямоугольных свободно опертых панелей при больших сверхзвуковых скоростях // Механика 2*48. 1958. - С.103-125.

129. Челомей С.В. О динамической устойчивости упругих систем при протекании через них пульсирующей жидкости.// МТТ, 1984. N5. -С. 170-174.

130. Челомей С.В. О динамической устойчивости упругих систем.// Докл. АН СССР, 1980.- т.252, N2.- С.307-310.

131. Шаманский В. Е. Методы численного решения краевых задач на ЭВМ. — Киев : Наук, думка, 1963 1966. -Ч. 1. 1963. 194 е.; Ч. 2. 1966. 244 с.

132. Шейнин И.С. Колебания конструкций гидросооружений в жидкости. Л: Энергия, 1967. -314с.

133. Antony D. Lucey The excitation of waves on a flexible panel in a uniform flow // Phil. Trans. -1998. P.2999-3039.

134. Bisplinghoff R.L., Ashley H., Halfman R.L. Aeroelasticity.- Cambridge (Mass.), 1955.- 860р. (Русю пер.: Бисплингхофф P.Л., Эшли X., Халфман Р.Л. Аэроупругость.- М.: ИЛ, 1958.- 860с.

135. Bolotin V.V., Petrovsky A.V. Secondary Bifurcations and Global Instability of an Aeroelastic non-linear System in the Divergence Domain // J. of Sound and Vibration. N191 (3)-l 996. - P.431 -451.

136. Dowell E.N. Nonlinear oscillations of a fluttering plate. // AIAA Paper. N67-13.- 1967.

137. Kounadis A.N., Gantes C.J., Bolotin V.V. An improved energy criterion for dynamic bucking of imperfection sensitive non conservative systems. // International Journal of Solids and Structures. -N38 2001. - P.7487-7500.

138. Maxwell J. C. On the dynamical theory of gases.// Phil. Mag., 1868.- V.4., N35.- P. 129-146, 185-217.

139. Maxwell J. C. On the dynamical theory of gases.// Phil. Trans., 1867.- V.154.-P.49-88.

140. Paidoussis M.P., Issid N.T. Dynamic Stability of pipes converging fluid.// J. of Sound and Vibr., 1974.- v.33., N3.- P.267-294.

141. Sean F. Wu, Maestrello L. Responses of Finite Baffled Plate to Turbulent Flow Excitations // AIAA Journal Vol.33, No.l, January 1995. P.13-19.

142. Thomson J. Application of dynamics to physics and chemistry.// London. MacMillan and Co., 1888.- 313p.

143. Velmisov P.A. Dynamic stability of viscoelastic bodies interacting with fluid or gas. // The 25 th Israel Conference on Mechanical Engineering: Conference Proceedings.- Technion, Haifa, Israel, 1994.- P. 625-627.

144. Velmisov P.A. Stability of Viscoelastic Bodies Accounting Aging and Interaction with Fluid or Gas.// Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik, 1996.-Volume 76, Supplement 2.-P.249-252.

145. Velmisov P.A. To a question of stability in some problems in continua mechanics. // The 26th Israel Conference on Mechanical Engineering: Conference Proceedings.- Technion, Haifa, 1996.- P.504-506.

146. Velmisov P.A. To a question of stability in some problems in continua mechanics. // The 26th Israel Conference on Mechanical Engineering: Conference

147. Proceedings.- Technion, Haifa, 1996.- P.504-506.

148. Velmisov. P.A., Reshetnikov Yu.A., Molgachev A.A. Stability of Viscoelastic Elements of Constructions under Hydrodynamic Action // Proceedings. 2003 Internacional Conference "Physics and Control". Russia, St. Petersburg, 2003. -P. 187-190.

149. Voigt W. Bestimmung der Konstanten der Elastizitat und Untersuchung des innern Reibung fur einige Metall.// Abh. Konige Gesellsch. Wiss. Gottingen., 1892.- B.38,85 S.

150. Voigt W. Uber'die elastische Symmetrie des Dolomit.// Ann. Phys. Und Chemie, 1890.- B.40.- S.642-651.

151. Weber H.: Numerische Behandlung von Verzweigungsproblemen bei gewohnlichen Differentialgleichungen. Numer. Math. 32 (1979); 17-29.