Математическое моделирование в задачах динамической устойчивости вязкоупругих пластин-элементов тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Анкилов, Андрей Владимирович

• Анкилов, Андрей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Анкилов, Андрей Владимирович

Оглавление

Глава 1» Вывод основных уравнении

§ 1. Вывод уравнения колебании колебаний пластины-полосы. 11 S 2. Вывод уравнений движения, идеального гаоа(жидкости)

Глава. 2. Устойчивость вяокоупругих элементов крыла с облегченным весом

§1. Постановка задачи

§ 2. Решение аэродинамической задали

§ 3. Исследование устойчивости движения вяокоупругих

элементов

Глава Зч. Устойчивость вяокоупругих элементов стенок канала

§ 1. Постановка задачи

§ 2. Решение аэродинамической задачи-.,.,..,

§ 3. Исследование устойчивости движения мохоупругюс элементов

Глава 4. Устойчивость вязкоупругих элементов крылового

профиля

§ 1. Постановка задачи

§ 2. Решение аэродинамической задачи

| 3. Исследование устойчивости колебаний вяокоупругих

элементов

Плавай. Исследование задач о колебаниях, деформируемых

стенок канала на основе метода Фурье

§ 1. Устойчивость колебаний вяокоупругих элементов стенок канала, на входе ж выходе которого заданы законы изменения

давления

§ 2. Случай, когда одна из стенок канала является жесткой

Главаб. Обтекание вязкопругой пластины с отрывом струи

§ 1. Постановка задачи

§ 2. Решение аэродинамической задачи

§ 3. Построение решения уравнения колебаний

§ 4. Устойчивость приближенного решения

Заключение

Ви'блио гт> афиче с: к и й список

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование в задачах динамической устойчивости вязкоупругих пластин-элементов тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии»

Введение

Диссертация посвящена разработке математических моделей ж исследованию динамической устойчивости вязкоупругих пластин - элементов тонкостенных конструкций, находящихся во воакмодействии с потоком идеального гаоа (жидкости). Принятые в работе определения устойчивости вязкоупругого тела соответствуют концепции устойчивости динамических системно Ляпунову. Проблема может быть сформулирована так: при каких [значениях параметров, характеризующих систему "жидкость-тело" (основными параметрами являются скорость потока, прочностные к инерционные характеристики тела, сжимающие усилия, силы трения), малым отклонениям прогибов (деформаций) тел от положения равновесия в начальный момент времени I — 0 будут соответствовать малые прогибы и в любой момент времени X > 0.

При проектировании конструкций, обтекаемых потоком гаоа или жидкости, исследование устойчивости колебаний деформируемых элементов имеет важное -значение, так .как воодействие потока может приводить х увеличению амплитуды и(или) схорости колебаний, и, тем самым, их разрушению. Такая проблема, в частности, возникает при жонструированиж летательных аппаратов, антенных установок, датчиков давления., проточных каналов различного назначения.

При расчете конструкций на прочность и устойчивость существенное значение имеет учет вязкоупругих свойств деформируемых тел, что приводит к появлению в дифференциальных уравнениях движения тел дополнительных интегральных членов. Совместное движение деформируемого тела и жидкости(газа) описывается, связанной системой интегро-дифференциальных уравнений, что не позволяет разбить решение задач аэроупругости на две отдельные задачи - определения деформации тел и расчета течения жидко сти(газа). Отмеченные особенности увеличивают сложность исследований и приводят к необхо-

джмостн раорасотжк специальных методов ясахедовандя устойчивости вяокоупругих тел в потоке жидкости или гава.

За последние десятилетие проведено большое количество теоретических и экспериментальных исследований, посвященных теории вяоко-упругости ж устойчивости вяокоупругих тел, среди хоторых отметим работы Арутюняна Н,Х., Колмановского В .Б., Работкова Ю.Н. |22-26], [103-106]. Заметим, что некоторые положения теорзш вявхоудру-гости неоднородно-стареющих тел, предложенной Арутюняном Н.Х., и касающиеся устойчивости, впоследствии полупили дальнейшее развитие в работах Арутюняна Н.Х., Дров дев а А,Д,, Колмановского В.Б. [25,26] ж работах других авторов.

Предметом большого количества исследований является также динамика упругих теп, во аимо действующих с потоком жидкости или газа. Исследования в этом направлении положены в работах Белоцерковского С.М., Скрипача Б.К., Табачникова В.Г.[30], Болотина В.В. [31], Воль-мира A.C. [62-65], Галжева Ш.У. [66,67], Горшкова А.Г., Тарлажовсхого Д.В. [72], Григолюжа А,Г. [73], Григолюка ЭХ., Горшкова А.Г. [75,78], Гржголюка Э.Й., Кабанова В.В. [79], Г\?оя А.Н., Кубенко В.Д. [80], Рувя А.Н., Кубенко В .Д., Бабаева А,Э. [81], Девнина СЛ. [83], Жяьга-мова М.А. [84,85], Ильюшина А.А.[89,90], Колмановского В.Б., Носова В.Р. [94], Новичхова Ю.Н. [101], Мовчана A.A. [98-100] и др. Среди зарубежных работ отметим монографии Бисплингхоффа Р.Д., Эшли X., Халфмана PJL [116] и Фына Я.Ц. [109].

Успешное решение еадач аврогидроупругости связано с гармоничным воаимодействмем раоличных наук: аэрогидродинамики, теории упругости, пластичности и ползучести, теории оболочек и пластин, прикладной ж вычислительной математики, и требует применения (знаний широкого круга областей механики и математики, что вносит дополнительные трудности в исследования соответствующих оадач.

В качестве одних ив последних, работ, посвященных данной тематике отметим статьи [69,71,82,86,87,89,90],

В настоящем работе механическое поведение материала пластин описывается моделью вжшоупругого тела, которая, основана на фундаментальных концепциях Больцмана и Вольтерра и теории реологических моделей, восходящих ж Дж. Максвеллу[119,120], В. Фойхту[127Д28] и Дж. Томпсону[122]. Согласно этой модели напряжение в любой точке пластины зависит от предыстории деформирования материала в данной точке. Связь между напряжением ж деформацией подчиняется линейному уравнению Вольтерра-Фонхта. Под старением материала понимается. изменение его фжшяо-механичесжих свойств во времени. Аэрогидр о динамическая нагрузка определяется из линейных асимптотических уравнений аэрогидромеханики в модели несжимаемой среды.

Для рассматриваемых в диссертации задач характерным является одновременный учет как вязжоунругих свойств материала тел (старения материала), так ж взаимодействие с потоком жидкости(газа). В известных работах, посвященных аналитическим исследованиям динамической устойчивости упругих тел в потоке жидкости или газа, модели, разработанные в диссертации (учитывающие расширенный спектр механических свойств исследуемых объектов и внешних воздействий и содержащие произвольное количество деформируемых элементов), не рассматривались. Большинство из исследований прикладного характера основывалось на численных методах, применение которых является значительно более трудоемким, а также менее эффективным ж наглядным для. анализа устойчивости,

Целью диссертационной работы является построение моделей и проведение исследования динамической устойчивости вязжоупругих элементов следующих тонкостенных конструкций: крыла, с облегченным весом; стенок плоского канала,; крылового профиля. Для достижения

этом цепи решаются следующие задали:

1. Разработка методик для решение (задач аврогидромеханжхж с граничными условиями, содержащими неизвестные функции прогибов деформируемых пластин, позволяющих исключить аерогидр о динамические параметры и свести решение задач аврогидроулругости ж исследованию уравнений для прогибов.

2. Разработка аналитического метода исследование динамической устойчивости вяожоупругих элементов тонкостенных конструкций с учетом воаимодействия с доовужовым потоком гава(жидхости).

Диссертация состоит из шести глав,

В первой главе дается; вывод асимптотических уравнений движения жидкости. Представлен вывод интегро-дифференциальных уравнений, описывающих продолыю-изгибные колебания неоднородно стареющего вязкоупругого стержня (пластины-полосы), упруго связанного со стареющим основанием.

Во второй главе исследуется задача о динамической устойчивости вязкоупругих элементов тонкостенной конструкции - модели крыла с облегченным весом при обтеканий его потоком газа.

В третьей главе исследуется задача, о динамической устойчивости вяокоупругйх пластин-элементов стенок канала, через который протекает жидкость(гао). На входе ж выходе ив канала задан закон изменения продольной составляющей скорости,

В четвертой главе рассматривается задача о динамической устойчивости вяокоупругйх (элементов тонкостенной конструкции - модели крылового профиля при обтекании его потоком газа.

В пятой главе исследуется устойчивость колебаний вяокоупругйх стенок канала конечной длины, в начальном и конечном сечениях которого заданы законы изменения, давлений.

ВС V

шесток главе исследуется динамическая устойчивость вязжоупру-

гож пластины при одностороннем: обтекании ее потоком газа с отрывом струи по схеме Кирхгофа.

В жаждой главе принята своя двойная нумерация формул. Первая цифра номера формулы указывает номер главы, вторая - номер формулы в главе.

В данной диссертации в главах 2,4 построение решения аэрогидро-динамичесхих частей вадач внешнего обтекания деформируемых [конструкций неограниченным потоком газа (а именно решения двумерной краевой задачи для уравнения Лапласа с граничными условиями, содержащими неиовестные функции прогибов) проводится на основе разработанной для этого методики, использующей методы теории функций хомплексного переменного (ТФК.П) [93,95], при этом аорогидро-динамичесхая нагрузка (давление газа или жидкости) определяется, черев функции, описывающие неизвестные прогибы пластин. При подстановке выражения для давления в уравнения колебаний пластин решение задач сводится к исследованию системы свяоаниых интегро-дифференциальных уравнений с частными производными для функций прогибов.

Построение решения аэрогидродинамжчесхож части задачи о движении жидкости в ханале (а именно решения двумерной краевой задачи для уравнения Лапласа) проводится: хак на основе разработанной методики, использующей методы ТФКН (глава 3), так и на основе разработанной методики, испояъоующей метод Фурье и представление исхо- ■ мых функций (потенциала скорости и прогибов пластин) в виде рядов (глава 5). При этом аврогидродинамичесхая нагруоха также определяется через функции, описывающие неизвестные прогибы пластин, для жоторых вновь возникает свяоаниая система интегро-дифференциальных уравнений.

Исследование устойчивости, проводится на основе разработанных

I !

!

методик, связанных: с построением, положительно определенных функционалов, соответствующих полученным системам интегро-дифференциальных уравнении с частными производными для прогибов пластин,

В главе 6 решение полученного на основе методов ТФКИ жнтегро-

дифференциального уравнения для прогиба пластины ги ищется методом Галеркина[91]. Решение основано на разложении ш в ряд по некоторой полной системе функций с последующим построением положительно определенных функционалов, соответствующих полученным интегро-дифференциальным уравнениям для коэффициентов разложения. Анализ полученных условий, устойчивости проводится для первого приближения численным методом прямоугольников вычисления определенных интегралов.

Во всех задачах (рассматриваются плоские задачи в линейной постановке, соответствующей малым возмущениям однородного потока, направленного вдоль оси х, и малым отклонениям, пластин) использовалась методика исключения аэрогидр один амиче ежих параметров, основанная на методах ТФКП или методе Фурье, и позволяющая свести решение задач ж исследованию связанных систем линейных интегро-диффереициальных уравнений для прогибов пластин.

Достоверность разработанных научных положений и моделей подтверждается строгостью аналитических выкладок и сравнением с результатами других авторов.

.'Научная новизна полученных результатов

1) Построены математические модели тонкостенных конструкций при авр ©гидродинамическом воздействии, отражающие расширенный спектр механических свойств исследуемых физических объектов и ха-рак тер их вз аимо действия (а именно проводится одновременный учет: старения и неоднородности материала деформируемых элементов, вза-

имодействия их с потоком ж вязхоупругим неоднородным основанием, влияния сжимающих или растягивающих продольных усилий), в следующих задачах: задаче о динамике элементов тонкостенной конструкции - модели крыла с облегченным весом; задаче о динамике элементов стенок плоского канала при протекании в нем жидкости; задаче о динамике элементов тонкостенной конструкции - модели крылового профиля. На основе этих моделей проведены исследования динамической устойчивости вяокоунругих элементов конструкций;

2) .Разработаны методики для решения класса плоских задач аэрогидр омеханики с граничными условиями, содержащими неизвестные функции прогибов деформируемых пластин, позволяющие исключить аэрогидродинамические параметры и свести решение задач к исследованию связанных систем линейных интегро-дифференциалышх уравнений для прогибов;

3) Создан аналитический метод исследования динамической устойчивости вяокоунругих элементов тонкостенных конструкций с учетом взаимодействия с дозвуковым потоком гаэа(жидкости) на основе методик, связанных с исключением аэрогидродинамических параметров и построением функционалов для связанных систем интегро-дифференциальных уравнений, определяющих деформации элементов. Достоинством является то, что исследование устойчивости для сложных конструкций проводится в аналитической форме, что позволяет более эффективно (по сравнению с численными методами) проводить оптимизацию конструкций с точки зрения их устойчивости.

Практическая ценность работы заключается в том, что разработанные модели и методы позволяют осуществить качественно новый подход при проектировании соответствующих тонкостенных конструкций с вяожоупругими элементами, сократить время, затрачиваемое на | натурные и численные эксперименты, а в некоторых случаях заменить

[ их аналитическими оценками.

!

Основные результаты работы докладывались на Международных, республиканских и межвузовских конференциях ж школах: Воронежская математическая школа "Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения VHP (Воронеж, 1997); Украинская, конференция "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Киев,

1997); девятая Саратовская школа "Современные проблемы теории функций и их приближений" (Саратов, 1998); восьмая, межвузовская конференция "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1998); третья Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения "(Саранск, 1998); Международная научно-техническая конференция "Нейронные, ре ля торные и непрерывноло-гжчесхие сети и модели" (Ульяновск, 1998); Воронежская школа "Современные проблемы механики и прикладной математики" (Воронеж,

1998); Воронежская математическая школа "Современные методы в теории краевых задач. Нонтрягинские чтения IX" (Воронеж, 1998); научная конференция "Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов" (Ульяновск,1998); международная конференция "Численные и аналитические методы расчета конструкций" (Самара, 1998); the 27th Israel Conference "Mechanical

I Engineering" (Techion City, Israel, 1998); XXIV Summer School "Applica-

I tions of mathematics in engineering" (Bulgaria, Sozopol, 1998); ежегодные

; конференции профессорско-преподавательского состава Ульяновского

!

j государственного технического университета (1997-1999).

! Исследования, представленные в диссертации, выполнены в рам-

| ках проекта "Устойчивость тонкостенных конструкций при аороги-

| дродинамическом воздействии", поддержанного грантом РФФИ N98-

| 01-03286, и внедрены в рамках госбюджетной научно-исследовательской

i , j работы "Исследования по дифференциальным уравнениям и механике

I сплошных сред" в Ульяновском государственном техническом универ-

I

ситете.

i

I

!

Гкава!.. Вывод основных уравнений .

§ 1.Вывод уравнения колебали! пластины-поносы ,

Получим уравнение колебаний пластины-полосы . Пиа'стина имеет характерный размер в направлении оси х и бесконечна вдоль оси 2 (перпендикулярной плоскости ху). Поэтому колебания пластины можно рассматривать как колебания стержня.

Рассмотрим элемент стержня АВ (рис.1).Точке А соответствует значение s координаты, отсчитываемой вдоль линии стержня, точке В -значение (s + As).Введем обозначения: Q($,t) ~ поперечная (перерезывающая) сила, Р(М) ~~ продольная сила, M.($,t) - изгибающий момент, 0 ~~ прогиб (вертикальное смещение точек стержня), u(sy t) - горизонтальное смещение точек стержня, - угол поворота сечения стержня, p(s) - плотность материала стержня.

Рис.1 Элемент стержня.

| Запишем уравнения движения элемента АВ . В проекции на ось х

; имеем:

I j

! -~P(s,i) cos('â(s,i)) + Q(M)sm(t?(vO) + p(s + As,i)œs(ê(s + As,î))-

(1.1)

~Q(s + Ал,t) sm(tf(* + As,i)) + , t)As - =

где F (s) — площадь поперечного сечения стержня; p*(.s,i) — горизонтальная составляющая распределённой нагрузки; s < < s -+- As , к = 1,2.

Проводя в (1.1) разложений функций , зависящих от s 4- As, по степеням Ал, поделив (1.1) на Ал и осуществляй предельный переход A.s -* 0 (& s), получим:

cos(tf)) - sin(tf)) + р* - pFu = 0. (1.2)

Уравнение движения элемента в проекции на ось у имеет вид:

-P(s,i)sm(t?(M)) + 4- A5,i)sin(t'(5 + As,t)) - Q(M)cbs(#(M))+

(1.3)

+<3(s 4 As,t)cos(tf(s 4 As,t)) 4 q*(%,t)As - p(r)2)F(r}'2)w(r)2bi)As - 0, '

где q*(s,t) — вертикальная, составляющая распределённой нагрузки; s < % < s -!- As , к = 1,2 . Из (1.3) получим:

^(Р sm(tf)) -1- ~(<2 cos(tf)) + q*~ pFw = 0. (1.4)

Запишем уравнение вращательного движения элемента:

P(s,i) sm($(s, t))Ax - P(sj) cos(#(s,t))Aw 4 Q($,t) cos(ê{s,i))Ax 4 +Q(.5,i)sm(^(s,i))Aw - M(«v0 4 4- Aa,i) 4 m.*(Ci,i)A<s -

-p(CIWCJHMA* = Q, ' ! (1-5)

где т*(з, t) — распределённый момент; J(,s) — JJ z2dF — момент ииер-

F

ции сечения относительно нейтральной оси (z — расстояние от точек сечения до этой оси); s < (к < s 4 Аз, к = 1,2. Учитывая, что:

dw

'dw\

2

sin(tf) = ^ , cos(tf) = jl - (^J : ! (1.6)

Аж\ / ftN / А «Л

lim ~ = cosit?), lim = sinf.t?)

As->0 [A si 4 ' As~>Q \As 4 '

же (1.5) в пределе при Аз 0 , (к О полупим :

Я + + - рМ = 0. (1.7)

Систему уравнений (1.2), (1.4), (1.7) следует дополнить уравнениями состояния. Будем предполагать, что нормальное напряжение а в точке сечения стержня, отстоящей от нейтральной оси на расстояние связано с относительным удлинением (деформацией) е соответствующего, находящегося на расстоянии г от этой оси, волокна, линейным соотношением вявхоупругости:

t

о"(,з, z)t)-=E(3ii)

+ (1.8)

где Е(з^) — модуль упругости, И(з¡1;т) — отнесенное х Е ядро релаксации, — коэффициент внутреннего демпфирования. Деформация г складывается ив собственно продольной деформации еа (за счёт продольного перемещения и3 в направлении касательного вектора х линии стержня) и деформации ех) вызванной изгибом,

£ — es + ех , е.

г(М) = --¿Г"- , ^ОМ*7") -

дз ' ф^у

где х — кривизна, а г — радиус хрившшы оси стержня. Перемещение и8 и кривизна х определяются формулами:

(1.9)

X

д® д2ги

1

дз дз2

\

'dw\2 дз)

, Us = \Ju2 + W2 — MCOs(ii) + wsin(^). (1.10)

Согласно формуле (1.10) для иа имеем;

п

оия

ь3 ди , ах , dw . ✓ ач ди

£- = ж = ш00^ + =

Согласно (1.8) получим:

~aJ +

дз )

(1.11)

P(Sit) = jjcrdF ~ Е{з^)Е{з) 1'11{з,г,т)ф,т)dr

F

1

x(M)~ R(syt,r)x(s,r)dr

Г i

M(s,t) = JJcrzdF = E(s,t)K{s) e3{s,i)~ ¡R{s,i,r)ss{s,T)dr F - o

(1.12)

+а(з,г)К(з)Щ+ E(sft)J(s)

ь

x(M) - JR(s,t,T)x(s,r) dr

+

(1.13)

где líT(s) = JJ z dF — статический момент сечения относительно ней-

F

тральной оси, а х*, е* определены формулами (L10), (1.11). Система

пяти уравнений (1.2), (1.4),(1.7), (1.12), (1.13), с учётом (1.6), служит

для определения пяти неизвестных м, ш, P,Q, М. Дополняя эту систему Qxd

уравнением — sin(tf), будем иметь систему шести уравнений для шести неизвестных — перемещений и силовых характеристик

Р, Если сечения стержня симметричны относительно нейтраль-

ной оси, то K{s) = 0, и уравнения (1.12), (1.13) принимают вид:

P(s,t) = E(s,t)F(s

£s(s;í)~jR(&itiT)es{syr)dr о

M(s,t)=:B(s,t)J(s

Заметим, что уравнения (1.2), (1.4), (1.7), (1.12), (1.13) не изменяют своего вида, если считать р, К зависящими от двух переменных Отметим также, что неизвестную из уравнений можно исключить, выразив её из (1.7). Упростим полученную систему уравнений, считая

dw „ ( dw c . \ TT производную малой iи 5 < 11. Имеем:

X - + О(^)] > - + 0(P)] + ,

cos(i?) - 1 + 0{S2) , sin(i?) dw..

dw ds

O(S)

$ = ™[1 + 0(<52)] « 0(6) + 0(i3) (1.16)

С учётом (1.16) уравнения (1.2), (1.4), (1,7), (1.14), (1.15) принимают вид:

дР __ ¡п dw

ж т\я~з7

+ р* - P-F-r

<9%

О

(1.17)

(1.

О _L J Г

d3w WsdP

(1.19)

P = EF

ди

~3s

i

J R(s>i,r)

д u(s, т ds

dr

4- aF

d2u dsdl

(1.20)

M — EJ

ds'

+ aJ

d3w ds2di

(1.21)

Заметим, что система (1.17) - (1.21) получена без предположения о малости перемещения u(s,t) или его производных. Из (1.19) можно найти Q(s,t):

QSyj Q

Q==pJdmr^di\EJ

о

t

ds2

d3w

ds2dt

>-ra*(L22)

Подставляя (1.20), (1.22) в (1.17),(1.18), получим систему двух уравнений'для w(s,t)iu(sj) (в перемещениях)

t

д / jdw d3w \ d I dw d

ds I ds dsdP j ds ) ds ds

EJ

¿r-tu

ds'2

аЗ

, дНи

дз

дз2д1 ЕЕ

. д ( дш\ . „д2и .

(1.23)

\

+ аЕ

дЧ

дзд1

О,

д ( г д3ш \ Эт* д (дю

Ш [р шр) ~ ~дГ+ Ш I

ди }Т)( , ,ди(з,т) , \ .

д

)

+аЕ

д2\

д&&1

,д2ю д2

Г

'д2т дз2

(1.24)

+ аЗ

¡93ш

о.

лучим уравнения линеинои теории в перемещениях. Пренебрегая в (1.23), (1.24) квадратичными членами (содержащими произведения производных от функций ш^/ОгЧ-М) имеем:

д

дз \Ш*~дз

дго\ , г,д'2и ,

+

д_

дз

ЕЕ

дз 3

о

+ аЕ

д'2и

д ( -г д3ю ^ дт* д

рЗ

дз \ дзд12 ) дз дз

д (рди)\ д2 / „ ,

Ь ^ ЪТ) -

д2т

(1.25)

0,

сЬ2

д'2гп(з,т) ,

аг

+ | + я* ~ рр~др ==

(1.26)

Если га* ~ 0, то функции ш,и определяются из отдельных, не связанных между собой уравнений.

В случае, когда стержень связан с вязкоунругим стареющим основанием, продольная, и поперечная реакции которого, согласно модели Винклера, пропорциональны соответствующим деформациям, для определения и(з,£),'ю(з,1) можно предложить следующие модельные уравнения:

— I ЕЕ

р др д&{

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Анкилов, Андрей Владимирович

Основные результаты' работы можно сформулировать следующим образом

1. Построены математические модели в задачах а) обтекания крылового профиля и крыла с облегченным весом с вязкоупругими элементами при бесциркуляционном обтекании неограниченным потоком газа (количество вязкоупругих элементов и места их расположения - произвольные); б) движения жидкости в канале конечной длины, стенки которого имеют вязкоупругие элементы, а на входе и выходе из канала заданы или законы изменения продольной составляющей скорости (количество вязкоупругих элементов и места их расположения - произвольные) или законы изменения давления.

В разработанных моделях учитывается широкий спектр механических свойств физических объектов и характер их взаимодействия. Производится одновременный учет старения (вязкоупругости) и неоднородности материала деформируемых элементов, взаимодействия их с потоком жидкости (газа) и неоднородным вязкоупругим основанием, а также влияния сжимающих (растягивающих) продольных усилий.

2. Разработан аналитический метод исследования динамической устойчивости вязкоупругих элементов конструкций, основанный на исключении аэрогидродинамических параметров и построении функционалов для связанных систем интегро-дифференциальных уравнений с частными производными, определяющих деформации элементов (пластин). Проведено исследование динамической устойчивости вязкоупругих элементов в задачах а)-б), получены достаточные условия устойчивости для параметров механических систем и определены типы закрепления концов вязкоупругих элементов, обеспечивающие устойчивость движения. Условия устойчивости налагают ограничения на скорость потока, значения сжимающих (растягивающих) усилий, ядра.(меры) релаксации материала пластин и оснований, а также другие параметры механической системы (прочностные, геометрические, массовые). Области устойчивости в плоскостях "скорость потока - сжимающее усилие" (У,К) ограничены вертикальной осью V — 0 и ветвью параболы, направленной вниз (рис.6, область устойчивости заштрихована).

Проведен численный анализ приближенных условий устойчивости в задаче струйного обтекания пластины.

3. Разработаны методики для решения класса задач аэрогидромеханики с граничными условиями, содержащими неизвестные функции прогибов деформируемых пластин, позволяющих исключить аэрогидр одинамические параметры.

А/Т

Рис.6. Область устойчивости.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Анкилов, Андрей Владимирович, 1999 год

Библиографический список

1. Александров A.B., Потапов .В.Д. Основы теории упругости и пластичности, М.: Высш. шк., 1990, 4.00 с.

2. Анкилов A.B. Исследование устойчивости вяокоупругих элементов крыла // Теоисы докладов XXXII научно-технической конференции. - Ульяновск: УлГТУ, 1998.- 4.2,- С.25-27.

3. Анкилов A.B. О динамике вяокоупругих пластин при гидродинамическом воздействии // Нейронные, реляторные и непрерывнологи-ческие сети и модели: Труды международной нау чнотехнической конференции. -Т.4: Математические и физические модели технических объектов.- Ульяновск: УлГТУ, 1998.- С.37-39.

4. Анкилов A.B. Об устойчивости вяокоупругих элементов стенок канала // Механика и процессы управления: сб. науч. трудов.-Ульяновск, 1998.- С.11-17.

5. Анкилов A.B., Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. Исследование устойчивости вяокоупругих элементов стенок канала // Теоисы докладов XXXII научно-технической конференции.- Ульяновск: УлГТУ, 1998.- Ч.2.- С.23-25.

6. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Исследование устойчивости вяокоупругих элементов крыловых профилей // Новые методы, средства и технологии в науке, промышленности и экономике: Теоисы докладов научно-практической конференции. -Ульяновск, 1997,- Ч.2.- С.16-18.

7. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Исследование устойчивости вяокоупругих элементов стенок канала // Нейронные, реляторные и не-ирерывнологические сети и модели: Труды международной научноте-хиической конференции. -Т.4: Математические и физические модели технических объектов.- Ульяновск: УлГТУ, 1998.- С.33-36.

8. Анкилов A.B., Вельмисов H.A. Исследование устойчивости вяокоупругих элементов крыловых профилей // Тезисы докладов XXXII

научно-технической конференции.- Ульяновск: УпГТУ, 1998.- 4.2,- С.27-29.

9. Анкилов A.B., Вельмисов ILA. О решении одной ¡задачи аеро-упругости методами Т.Ф.К.П. // Современные проблемы теории функций и их приложения: Теоисы докладов 9-й Саратовской зимней школы. - Саратов, 1998.- С.11-12.

10. Анкилов A.B., Вельмисов H.A. Об одной начально-краевой задаче аэроупругости // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения - IX", Воронежская весенняя математическая школа, Тезисы докладов,- Воронеж, 1998.- С.8,

П. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Об устойчивости вязкоупру-гих элементов крыла.// Modelling and Investigation of Systems Stability: Thesis of reports of International Conference.- Kiev, 1997.- P.9.

12. Анкилов A.B.,, Вельмисов ILA. Об устойчивости вяекоупругих элементов крыла // Тезисы докладов XXXI научно-технической конференции. - Ульяновск, 1997,- Ч.2.- С.18-18.

13. Анкилов A.B., Вельмисов ILA. Об устойчивости вяекоупругих элементов стенок канала // Численные и аналитические методы расчета конструкций: Труды международной конференции.- Самара, 1998.- С.238-244.

14. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Об устойчивости вязкоупругих элементов стенки канала // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды восьмой межвуз. конф.- Самара, 1998.- Ч.2.- С.3-6.

15. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Об устойчивости вязкоупругого элемента стенки канала // Современные проблемы механики и прикладной математики: Тезисы докладов Воронежской школы.- Воронеж, 1998.- С.19.

16. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Об устойчивости решений системы интегр о дифференциальных уравнений в одной задачеаэроупру-

гости // Дифференциальные уравнения ж их приложения: Труды третьей международной конференции.- Саранск: "Красный октябрь", 1998.-С. 110-112.

17. Анкжлов A.B., Вельмисов П.А. Об устойчивости решений системы интегродифференциальиых уравнений в одной задачеаэроупру-гости // Труды Средневолжского Математического Общества.- Саранск, 1998.~N1.-C. 88-92.

18. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Устойчивость вязкоупругих. вле-ментов тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воо-действии // Деп. в ВИНИТИ от 06.08.98, N2522-B98. - 131с.

19. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Устойчивость вявкоупругих элементов тонкостенных конструкций при аорогидр о динамическом воздействии // Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов: тр. науч. конф.- Ульяновск, 1998.- С.71-73.

20. Анжгоюв A.B., Вельмисов IL.А. Устойчивость решений одной краевой оадачи аороупругости // "Понтрягинские чтения -VIII" Воронежская весенняя математическая школа "Современные методы в теории краевых задач." Тевисы докладов.- Воронеж, 1997.- С.169.

21. Анкилов A.B., Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. Обтекание вяожоупругой пластины с отрывом струи // Тевисы докладов XXXI •лаучно-техиичесхой конференции. - Ульяновск, 1997,- 4.2.- С. 14-16.

22. Арутюнян Н.Х. Некоторые задачи теории ползучести для неоднородно-стареющих тел./'/ Изв. АН СССР. Мех. Тверд, тела, 1976.-N3.- С.153-164.

23. Арутюнян Н.Х. О теории ползучести для неоднородно-наследственно-стареющих сред.// Докл. АН СССР, 1976.- 229, N3.- С.569-571.

24. Арутюнян Н.Х. Об уравнении состояния в нелинейной теории ползучести неоднородно-стареющих тел.// Докл. АН СССР, 1976.- 231,

N8,- С.559-562 .

25. Арутюшга Н.Х., Дроздов А.Д., Колмаиовский В.Б. Устойчивость вявкоупругих тел и элементов конструкций // Итоги науки и техники: Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ, 1987.-Т.19.- С.3-77.

26. Арутхоняи Н.Х., Колмаиовский В,В. Теория нолоучести неоднородных тел.- М.: Наука, 1983.- 336 с.

27. Бабаков Н.М. Теория колебании. М.: Наука, 1968.- 560 с.

28. Баничук ILB. Оптимизация форм упругих тел.-М.: Наука, 1980 .-255с,

29. Белоцерковский С.М., Ништ М.й. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью,- МлНауха, 1978,- 352с

30. Белоцерковский С.М., Скрипач Б.К., Табачников В.Г. Крыло в нестационарном потоке гаоа,- М.: Наука, 1971.- 768с.

31. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости, М.: Фивматгио, 1961,- 339 с.

32. Вельмисов H.A. Асимптотические уравнения газовой динамики, (монография) - Саратов: СГУ, 1986.- 135 с.

33. Вельмисов H.A. О движении жидкости в областях, ограниченных вявкоупругими пластинами. // Механика и процессы управления: Сб. науч. тр.-Ульяновск: УлГТУ, 1996.- С.90-95.

34. Вельмисов H.A. О динамике пластин, подверженных старению и гидродинамическому воздействию. // Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами: Межвуо. науч.сб.- Саратов: СГТУ, 1993.- С.27-34.

35. Вельмисов П.А. О некоторых задачах взаимодействия потока гаоа с вявкоупругими телами, // Механика и процессы управления: Межвуо. сб. науч. тр.- Саратов: СГУ. 1992.- Вып.З.- С.80-93.

36. Вельмисов H.A. Об устойчивости движения вявкоупругих пла-

с тин при гидродинамическом воздействии. // Математическое моделирование, 1995.- Т.7, N5.- С.38-39.

37. Велъмисов II.А. Об устойчивости движения вязкоупругих пластин при гидродинамическом, воздействии. // Дифференциальные уравнения и их приложения: Материалы междунар. жоиф.- Саранск, 1995.-С Л 48-153.

38. Велъмисов П.А. Об устойчивости и единственности решений некоторых классов начально-краевых задач в механике сплошных сред. // Актуальные проблемы прикладной математики: Материалы всесоюз. хонф.- Саратов, 1991.- Т.Ъ- С.19-23.

39. Вельмисов П.А. Устойчивость вязкоупругих теп в потоке газа. // Актуальные проблемы фундаментальных наук: Труды второй междунар. научн.-технич. конф.-Мосхва, 1994. - Т.2, Кн. 1.- С.57-59.- (Секция "Механика, и биомеханика").

40. Вельмисов П.А. Устойчивость вязкоупругих элементов конструкции при аерогидродинамическом воздействии. // Математическое моделирование и краевые задачи: 'Груды седьмой межвуо. жшф.-Самара, 1997.- Ч.2.- С.10-13.

41. Вельмисов П.А. Устойчивость некоторых нелинейных уравнений аерогидроупругости. // Application of Mathematics in Engineering: Proceedings of the XXII Summer School.- Sozopol, Bulgaria: Technical University of Sofia, 1996.-P.52-61.

42. Вельмисов П.А. Устойчивость решений нитегро-дифференциа-льных уравнений в некоторых задачах аврогидроупругости. // Приложение на математиката в техниката: Сб. докл. и научн. съобщения. XXI национална школа.-Болгария, Варна: Софийский техн. ун-т, 1995.-С.29-37.

43. Вельмисов П.А. Устойчивость тонкостенных конструкций при аерогидродинамическом воздействии. // Вестник Ульян, гос. технич.

ун-та., 1997.- Юбилейный выпуск.- С.167-176.

44. Вельмисов П.А., Гърневска JI.В., Милушева С.Д. Исследование ассимптотической устойчивости трубопровода при наличии запаздывания по времени. // Applications of mathematics in engineering: Proceeding of the XXIII summer school.- Sozopol: Technical university of Sofia, 1998.- Р.Б7-59.

45. Вельмисов П.А., Дроздов А.Д., Колмаиовский В.Б. Устойчивость вявкоупругих систем. Саратов: Ивд-во Сарат. ун-та, 1991, 180с.

46. Вельмисов П.А., Колмаиовский В.Б., Решетников Ю.А. Устойчивость уравнений взаимодействия вявкоупругих пластин с жидкостью. // Дифференциальные уравнения,- 1994.- T.3Q, Вып. 11.- С.1966-1981.

47. Вельмисов ILA., Колмаиовский В.В., Решетников Ю.А. Об устойчивости тригонометрических приближений решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений. // Теория функций и приближений: Труды 4-ой Саратовской школы.- Саратов: СГУ, 1990.-С.56-58.

48. Вельмисов П.А., Леонтьев В.Л. Динамика вязкоупругой тонкостенной конструкции, взаимодействующей с жидкостью. // Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами: Межвуз. науч.' сб.- Саратов: СГТУ, 1994.- С.49-56.

49. Вельмисов H.A., Леонтьев BJL Основы теории вяоюупругих стареющих тел. Ульяновск, ф.МГУ, 1995, 65с.

50. Вельмисов H.A., Логинов Б.В., Милушева С.Д. Исследование устойчивости трубопровода. // Приложение на математикага в техник ата: Сб. доклади и научни съобщения. XXI национална школа.-Болгария, Варна, 1995,- С.299-304.

51. Вельмисов H.A., Мацеихо II.К. Устойчивость пластины из вяз-коупругого материала в сверзвуковом потоке газа. // Взаимодействие

ободочек со средой.- Каоань: КФ АН СССР, 1987.- С.160-166.

52. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. О некоторых оадачах движения идеального несжимаемого газа в канале с деформируемыми стенками. // Аэродинамика.- Саратов: СГУ, 1991.- Вып. 12(15).- С.62-70.

53. Велъмисов П.А., Решетников Ю.А. Об устойчивости вязкоупру-гих элементов некоторых конструкций при гидродинамическом воздействии. // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды шестой межвуз. конф.- Самара, 1996.- Ч..2,- С.132-134.

54. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А, Обтекание вяокоунругой пластины потоком идеального несжимаемого газа с отрывом струи. // Механика и процессы управления: Сб. науч. тр.- Ульяновск: УпГТУ, 1996.- С.96-107.

55. Вельмисов H.A., Решетников Ю.А. Устойчивость вяокоупру-гого элемента крылового профиля. Сборник научных трудов "Прикладные задачи механики". Ульяновск. Иод-во Ульяновского гос. тенич. университета. 1998. С.33-45.

56. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. Устойчивость вязкоупру-гих пластин при аврогидродмнамическом воздействии (монография).-Саратов: СГУ, 1994.- 176 с.

57. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. Устойчивость вязкоупру-гого элемента крылового профиля. // Прикладные задачи механики: Сб. науч. тр.- Ульяновск: УлГТУ, 1998.- С.33-45.

58. Вельмисов II.А., Решетников Ю.А. Устойчивость уравнений, описывающих динамику тонкостенных конструкций.// Application of Mathematics in Engineering: Proceedings of the XXII Summer School.-Sozopol, Bulgaria: Technical University of Sofia, 1996,- P.62-69.

59. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А., Сорокин И.А. Исследование колебаний вязкоупругой пластины в потоке газа,. // Прикладная математика и механика: Межвуз. сб.- Саратов: СГУ, 1990.- Вып.5.-

С. 94-103.

60. Ведьмисов ILA.,, Семенов A.C. Численное решение одной задачи о совместных колебаниях вязкоупругой пластины и идеального несжимаемого газа. // Прикладная математика ж механика: Межвуз.сб.-Саратов: СГУ, 1990.- Вын.5.- С.23-42.

61. Вестях A.B., Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарное взаимодействие деформируемых тел с окружающей средой. // Итоги науки и техники. .Механика деформируемого твердого тела. Т. 15. М.: ВИНИТИ, 1983.- С.69-148.

62. Вольмир A.C. Нелинейная динамика- пластинок и оболочек - М.: Наука, 1972.- 432 с.

63. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости.- М.:Наука, 1976,- 415с.

64. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости.- М..'Наука, 1979.- 320с.

65. Вольмир A.C. Устойчивость упругих систем,- М.: Физматгиз, 1963.- 880с.

66. Галиев Ш.У. Динамика взаимодействия элементов конструкций, с волной давления в жидкости,- Киев:На;укова думка. 1977.- 172с.

67. Галиев Ш.У. Динамика гидроуиругонластических систем.- Киев: Наукова Думка, 1981,- 276 с.

68. Гахов Ф.Д. Краевые задачи.- М.: Наука, 1977.- 640 с.

69. Гима.диев Р.Ш., йльгамов М.А. Статическое взаимодействие профиля мягкого крыла с потоком несжимаемой жидкости.- Авиационная техника. Ж., 1998.- N1.

70. Гонткевич B.C. Собственные колебания оболочек в жидко сти.-Киев: Наукова думка, 1981.- 103с.

71. Горшков А,Г., Кузнецов ВЛ1., Селееов И.Т. Цилиндрическая: оболочка в нестационарном потоке вязкой жидкости.// М'ГТ, 1996.-

N3,- С.89-94.

72. Горшков А.Г., Тарлаховсхий Д.В, Нестационарная аорогидро-унрз'тость тел сферической формы - М,:Наука, 1990.- 260с.

73. Григолюк А..Г. Аэрогидроупругость / Пер. с англ. М.:ИЛ. 1961.-101с.

74. Григолюк А,Г., Л ампер Р.Е., Шан даров Л.Г. Флаттер панелей и оболочек // Итоги науки. Механика. 'Г.2.- М..'ВИНИТИ, 1965.- С.34-90.

75. Григолюк Э.Г., Горшков А.Г. Воаимодействие упругих конструкций с жидкостью.- Л/. Судостроение, 1976.- 200с.

76. Григолюк Э.Г., Горшков А.Г. Нестационарная гидроупругость оболочек - Л.: Судостроение, 1974.- 208с.

77. .Григолюк Э.Г., Горшков А.Г. Погружение упругих оболочек вращений в жидкость // Итоги науки ж техники. МД'ГТ, Т.10.- М.: ВИНИТИ, 1977.- С.63-113.

78. Григолюк Э.Г., Л ампер Р.В., Шандаров Л.Г. Флатер панелей и оболочек // Итоги науки. Механика, Т.2.- М.: ВИНИТИ, 1965.- С. 3490.

79. Григолюк Э.М., Кабанов В.В, Устойчивость оболочек,- М,: Наука, 1978,- 360 с.

80. ГУоь А.Н., Кубенко В.Д. Теория нестационарной аорогидро-упрутости оболочек,- Киев: Иаукова думка, 1982,- 400с.

81. Гуоь А.Н., Кубенко В.Д., Бабаев .А.Э, Гидроупругость систем оболочек,- Киев: Выща школа, 1984.- 207с.

82. Золотенко Г.Ф. К динамике гидроупрутой системы "прямоугольный бак - жидкость".-МТТ, 1996.- 5.

83. Девнин С.И. Гидроупругость конструкций при отрывном обте-'каиии.- Л.: Судостроение, 1984.- 240с.

84. Ильгамов М.А. Введение в нелинейную гидроупругость.- М.: Наука, 1991.- 195 с.

85. Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек содержащих жидкость и газ. - М.: Наука, 1969.- 184 с.

86. Ильгамов М.А. Равновесие мембраны, контактирующей с жидкостью.- МТТ, 1995.- N5,- С.134-141.

87. Ильгамов М.А., Тукмахова А.Л. Численное моделирование нелинейного взаимодействия упругой панели с потоком газа.- МТТ, 1996,-N5.

88. Ильмагов М.А. Колебания упругих оболочек содержащих жидкость и газ- М.: Наука, 1969.- 184 с.

89. Ильюшин A.A., Кийко И.А. Закон плоских сечений в сверхзвуковой аэродинамике и проблемы панельного флатера.// МТТ, 1995.-N6.- С.138-142.

90. Илыопшн A.A., Кийко И.А. Новая постановка задачи о флатере пологой оболочки.// ПММ, 1994.-Т.58.- вып.4.

91. Канторович Л,В., Крылов В.И. Приближенные методы: высшего анализа. - 'М.-Л.: Физматгнз, 1962.- 696с.

92. К ар мишин A.B., Скурлатов Э.Д., Старцев В.Г., Фельдштейн В.А. Нестационарная аэроупругость конструкций,- М.: Машиностроение, 1982.- 240с.

93. Колла/гц Л. Задачи на собственные значения.- М.: Наука, 1968.503 с.

94. Колмановский В.Б,, Носов В .Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последствием.- М.: Наука. 1981.- 448 с.

95. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного,- М.: Наука, 1987.- 688 с.

96. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели.- М.: Наука, '!973.-416с.

97. Л.ОЙЦЯН.СКИЙ Л.Г. Механика жидкости и гааа. М.: Наука, 1987.-

840 с. ■

98. Мовчан A.A. О коле банках пластинки, движущейся в гаое // ПММ, 1956. -T.2Q.-N2." С.211-222.

99. Мовчан A.A. Об устойчивости панели, движущейся в гаое // ПММ, 1957. -T.20.~N2.- G.231-243.

100. Мовчан A.A. Устойчивость лопатки, движущейся в гаое // ПММ, 1957. -T.20.-N5,- С.700-706.

10L Новичков 10.П. Флатер пластин и оболочек // Итоги науки и техники. Механика деформируемого тела. Т.Н.- М.: ВИНИТИ, 1978.-С. б 7-122.

102. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебаний упругих систем.- М.: Hay к а, 1987.-352с.

103. Работнов Ю.П. Механика деформируемого твердого тела.- М.: Наука, 1988.- 712 с.

104. Работнов Ю.П. Ползучесть элементов конструкций.- М.: Наука, 1966.- 752с.

105. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел.- М.: Наука, 1977.- 383 с.

106. Работнов Ю.Н,, Милейко С.Т. Кратковременная нолоучестыо.-М.: Наука, 1970.- 222с.

107. Фершинг Г. Основы аэроупругости.- М.: Маш., 1984.- 600с.

108. Фролов К.В., Антонов В.Н. Колебания оболочек в жидкости.-М.: Фиоматгио, 1962.- 512с.

109. Фыи Я.Ц. Введение в теорию аероупругости.- М.: Фиоматгио, 1959,- 490с.

110. Фыи Я.Ц. О двумерном флатере панели.// Механика: Сб.науч тр.- М:.:ИЛ, 1959.- 1(53).

111. Челомей C.B. О динамической устойчивости упругих систем:.// Докл. АН СССР, 1980.- т.252, N2.- С.307-310.

112. Ailken J. An account on some experiments on rigidity produced by centrifigal force.// Philos. Mag., 1878.- ser.V. N5.- P.81-105.

113. Akimov M, Yu., Semenov A.S. The numerical simulation of processes of fluctuation of viscoelastic plates and shells. // Abstracts of Invited Lectures and Short Communications Delivered at the 'Eighth International Colloquium on Differential Equations - Bulgaria, Plovdiv, 1997.

114. Ankilov A.V., Velmisov P.A. On stability of viscoelastic elements of thin-shelled constructions under aerohydrodynamic action // Mechanical Engineering: Сб. науч. тр.- Techion City, Haifa, Israel, 1998.- P. 12-14.

115. Ankilov A.V., Velmisov P.A. Dynamical Stability of viscoelastic elements of the thin-wall constructions in a subsonic flow // Applications of mathematics in engineering: Proceedings of the XXIV Summer School - Sozopol, 1999.- P. 31-40.

116. Bisplinghoff R.L., Ashley H., ííalímaji R.L. Aeroelasticity,- Cambridge (Mass.), 1955.- 860р. (Русю нер.: Биспиингхофф P.JI., Эшли X., Халфман P.Л. Аэроупругость.- М.: ИЛ, 1958.- 860с.

117. Chen S.S. Dynamic stability of a tube converging fluid.// J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng., 1971.- v.97.- P.1469-1485.

118. Kolmanovsky V.B., Reshetnikov Yu.A., Velmisov P.A. On the stability of viscoelastic plate oscillations at jet flow around by ideal gas flow. / / Proceedings of the third Conference on Applied and Industrial Mathematics.- Romai, Oradea-Chisinau, 1996.- P.113-117.

119. Maxwell J. C. On the dynamical theory of gases.// Phil. Mag., 1868.- V.4., N35,- P. 129-146, 185-217.

120. Maxwell J. C. On the dynamical theory of gases.// Phil. Trans,,

1867.- V.154.- P.49-88.

121. Paidoussis M.P., Issid N.T. Dynamic Stability of pipes converging fluid.// J. of Sound and Vibr., 1974.- v.33., N3.- P.267-294.

122. Thomson J. Application of dynamics to physics and chemistry.// London. MacMillan and Co., 1888,- 3"13p.

123. Velmisov P.A. Dynamic stability of viscoelastic bodies interacting with fluid or gas. // The 25 th Israel Conference on Mechanical Engineering: Conference Proceedings.- Technion, Haifa, Israel, 1994.- P. 625-627.

124. Velmisov P.A. Stability of Viscoelastic Bodies Accounting Aging and Interaction with Fluid or Gas.// Zeitschrift far Angewandte Mathematik und Mechanik, 1996.- Volume 76, Supplement 2.- P.249-252.

125. Velmisov P.A. To a question of stability in some problems in Continus, mechanics. // The 26th Israel Conference on Mechanical Engineering: Conference Proceedings.- Technion, Haifa, 1996.- P.504-506.

126. Velmisov P.A., Kolmanovsky V.B., Reshetnikov Yu.A. On the stability of viscoelastic plate oscillations at jet flow around by ideal gas flow.// Proceedings of the third Conference on Applied and Industrial Mathematics. (Oradea-Chisinau, 1995). RomaL 1996.- P.113-117.

127. Voigt W. Bestimmung der Konstanten der Elastizität und Untersuchung des innern Reibung fur einige Metall.// Abh. Konige Gesellsch.

Wiss. Gottingen., 1892.- B.38,85 S.

128. Voigt W. Uber'die elastische Symmetrie des Dolomit.// Ann.

Phys. Und Chemie, 1890.- B.4G.- S.642-651.