Влияние спектрального состава на устойчивость механических систем при неконсервативном нагружении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат технических наук Щугорев, Алексей Владимирович

• Щугорев, Алексей Владимирович
• кандидат технических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат технических наук Щугорев, Алексей Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. РАЗВИТИЕ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ ДЕЙСТВИИ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ НАГРУЗОК.

1.1. Обзор литературы.

1.2. Особенности неконсервативных задач теории упругойустойчивости.

1.3. Цель диссертации.

Глава 2. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ НЕКОНСЕРВАТИВНОМ НАГРУЖЕНИИ.

2.1. Элементы теории устойчивости механических систем.

2.2. Уравнения в вариациях для упругого тела (уравнения первого приближения).

2.3. Постановка задачи об устойчивости упругих систем. Статический и динамический методы исследования устойчивости.

2.4. Методы построения границ областей устойчивости.

2.5. Решение краевой задачи на собственные значения.

2.6. Применение метода разложения по формам собственных колебаний.

2.7. Исследование устойчивости трубопровода^ протекающей жидкостью.

Глава 3. УСТОЙЧИВОСТЬ И ЗАКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО МАЯТНИКА С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СВЯЗЬЮ.

3.1. Вывод уравнений движения.

3.2. Анализ закритического поведения системы.

Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ КОНСОЛЬНОГО СТЕРЖНЯ С УПРУГИМИ СВЯЗЯМИ ПРИ НЕПОТЕНЦИАЛЬНОМ НАГРУЖЕНИИ.

4.1. Стержень с сосредоточенной упругой опорой.

4.2. Границы области дивергенции и флаттера.

4.3. Критические значения потенциальной и следящей нагрузок.

4.4. Области устойчивости для стержня на упругом основании.

Глава 5. УСТОЙЧИВОСТЬ УЧАСТКА ТРУБОПРОВОДА С ПРОТЕКАЮЩЕЙ ЖИДКОСТЬЮ.

5.1. Постановка задачи.

5.2. Исследование устойчивости при отсутствии упругой опоры.

5.3. Анализ влияния жесткости упругой опоры на устойчивость трубопровода

Глава 6. УСТОЙЧИВОСТЬ И ЗАКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПАНЕЛИ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ УПРУГОЙ ОПОРОЙ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

ГАЗА.

6.1. Уравнения движения панели в окрестности положения равновесия.

6.2. Анализ зависимости критического усилия и характеристиксобственных колебаний панели от жесткости опоры.

6.3. Устойчивость прямолинейной формы равновесия панели.

6.4. Формы флаттера панели.

СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ И ВЫВОДЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние спектрального состава на устойчивость механических систем при неконсервативном нагружении»

Для обеспечения механической надежности элементов конструкций и деталей машин кроме условий прочности и жесткости они должны удовлетворять также и условиям устойчивости. Наиболее хорошо разработанной в настоящее время является теория устойчивости механических систем, находящихся под действием потенциальных (консервативных) сил. Основы этой теории заложены еще в работах Эйлера. С развитием машиностроения, авиации, ракетной техники значительно расширился класс нагрузок, действующих на элементы конструкций. К примерам таких нагрузок можно отнести реактивные силы тяги, аэродинамические силы, электромагнитные силы, действующие на роторы электрических машин и т.д. Характерной особенностью таких сил является то, что работа, совершаемая ими по замкнутому пути, отлична от нуля. Такие силы называются неконсервативными силами. Нагружении конструкций неконсервативными силами может приводить к колебательной потере устойчивости -флаттеру. Метод Эйлера в этом случае неприменим, и необходимо обращаться к динамическому методу исследования устойчивости. Явление динамической неустойчивости (флаттера) определяется взаимодействием между различными формами колебаний системы. Поэтому критические значения неконсервативных нагрузок существенно зависят от характеристик собственных колебаний механической системы, в частности, от близости низших собственных частот.

Актуальность проблемы.

Многие элементы конструкций объектов современной техники находятся в условиях нагружения неконсервативными силами. Динамическое поведение конструкций в этом случае имеет ряд особенностей, которые необходимо учитывать при расчете на устойчивость. В частности, явление динамической неустойчивости (флаттера) определяется взаимодействием между различными формами колебаний системы. Поэтому критические значения неконсервативных нагрузок существенно зависят от характеристик собственных колебаний механической системы, в частности, от близости низших собственных частот. С практической точки зрения важным представляется исследование влияния спектрального состава механической системы на критические значения нагрузок и на положение границ областей устойчивости в пространстве параметров. Спектральные характеристики могут меняться при наличии каких-либо дополнительных связей с переменными параметрами жесткости.

Работы по теме диссертации выполнялись при частичной финансовой поддержке РФФИ (код проекта 03-01-00656) и ФЦНТП (государственный контракт № 02.445.11.7465).

Цель работы.

Целью диссертационной работы является исследование влияния спектрального состава механических систем на их устойчивость по отношению к неконсервативным нагрузкам. Стояла задача рассмотреть ряд механических систем, содержащих различные упругие или вязкоупругие элементы, изменение жесткости которых ведет к изменению характеристик собственных колебаний. В консервативных системах увеличение жесткостных характеристик ведет, как правило, к увеличению значений критических нагрузок. В механических системах при неконсервативном нагружении величина критических нагрузок во многом определяется взаимодействием различных форм колебаний. Поэтому с практической точки зрения весьма важно установить, как повлияют на критические значения параметров нагружения и, вообще, на положение границ областей устойчивости изменение жесткости некоторых дополнительных элементов, установленных, например, с целью повышения механической надежности и приводящих- к изменению спектральных характеристик системы. Для решения поставленной задачи разрабатывались алгоритмы и программы для реализации динамического метода исследования устойчивости.

Методы исследования. Исследование устойчивости механических систем в условиях неконсервативного нагружения проводилось с использованием динамического метода. При определении критических значений параметров нагружения и построении границ областей устойчивости в пространстве параметров использовалось непосредственное решение несамосопряженной краевой задачи на собственные значения и метод разложения по формам собственных колебаний. Характер поведения некоторых нелинейных систем в закритической стадии исследовался непосредственным интегрированием уравнений движения с построением сечений Пуанкаре.

Научная новизна.

В работе впервые проведено систематическое исследование влияния спектрального состава механических систем на устойчивость при неконсервативном нагружении с использованием современных средств вычислительной математики и техники. Подтверждены ранее опубликованные и обнаружены новые эффекты, присущие неконсервативным системам при изменении спектрального состава.

Достоверность полученных результатов.

Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических методов исследования, сопоставлением результатов, полученных различными методами, решением большого числа тестовых задач и сравнением ряда результатов с результатами, полученными другими авторами.

Практическая ценность. Полученные в работе результаты имеют теоретическое и практическое значение. Они позволяют уточнить существующее представление о влиянии спектральных характеристик механических систем на их устойчивость при неконсервативном нагружении. Большинство результатов и выводов могут быть использованы при проектировании и расчете на устойчивость элементов конструкций.

Апробация работы и публикации.

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

- Международной научно-технической конференции «Вычислительная механика деформируемого твердого тела» (Москва, 2006);

- Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2007);

Международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиотехника, электротехника и энергетика» (Москва, 2007, 2008, 2009,2010);

- Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва-Ярополец, 2007, 2008, 2009).

По теме диссертации в соавторстве опубликовано 6 статей, подготовлено и принято к печати учебное пособие «Методы исследования устойчивости неконсервативных механических систем»

Диссертационная работа состоит из 6 глав. В первой главе диссертации дается краткий обзор основных отечественных и зарубежных работ в области устойчивости конструкций при действии неконсервативных нагрузок. Отмечаются особенности неконсервативных задач устойчивости. Формулируется цель диссертации.

Во второй главе диссертации излагаются элементы теории устойчивости с применением основных положений теории к механическим системам с конечным числом степеней свободы и к системам с распределенными параметрами. Приводятся понятия динамического и статического методов исследования устойчивости. На классических примерах: стержень при непотенциальном нагру-жении и трубопровод с протекающей жидкостью описываются методы определения критических значений нагрузок и построения границ областей устойчивости в пространстве параметров. Проводится сравнение приближенного и точного методов.

Третья глава посвящена исследованию устойчивости прямолинейной формы равновесия системы с двумя степенями свободы, а именно двухзвенного маятника с дополнительной вязкоупругой связью. С учетом больших перемещений рассматриваются закритическое поведение маятника.

В четвертой главе проводится исследование устойчивости консольного стержня с дополнительной упругой опорой и стержня, связанного с упругим основанием. Стержень нагружен потенциальной и следящей силами. Анализируется зависимость положения границ области устойчивости от жесткости связей.

Пятая глава посвящена расчету устойчивости консольного участка трубопровода с протекающей жидкостью. Рассмотрен случай, когда свободный конец трубопровода опирается на упругую опору. Определяются условия реализации различных типов потери устойчивости.

В шестой главе рассматривается устойчивость плоской панели в сверхзвуковом потоке газа. Панель содержит дополнительную упругую опору, изменение жесткости которой существенно меняет спектральный состав системы. Анализируется зависимость критической скорости потока от жесткости дополнительной опоры. В расчетах устойчивости учитывается также сжимающая сила в срединной плоскости панели. Для случая несмещающихся опор панели исследуется динамическое поведение панели в закритической стадии.

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Щугорев, Алексей Владимирович

СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ И ВЫВОДЫ

1. Разработаны алгоритмы и программы для определения критических значений параметров нагружения неконсервативных механических систем и для построения границ областей устойчивости в пространстве параметров. При анализе устойчивости распределенных систем использовано два метода: точное решение несамосопряженной краевой задаче на собственные значения с применением методов минимизации функций многих переменных и метод разложения форм потери устойчивости в ряд по формам собственных колебаний. Для консольного стержня при непотенциальном нагружении и трубопровода с протекающей жидкостью проведено исследование влияния числа членов ряда при применении второго метода на точность построения границ областей устойчивости.

2. Исследована устойчивость двухзвенного маятника с дополнительной вязкоупругой опорой, нагруженного потенциальной и следящей силами. Изучены зависимости критических значений нагрузок от жесткости дополнительной опоры при раздельном и совместном нагружении. Построены границы области устойчивости на плоскости параметров нагружения при различных значениях жесткости дополнительной опоры. Показано, что граница области устойчивости может состоять из участков, соответствующих различным типам потери устойчивости при её пересечении. Обнаружено, что при некоторых значениях параметров нагружения и жесткости дополнительной опоры область устойчивости может содержать замкнутую область неустойчивости (флаттера).

3. С использованием нелинейных уравнений, учитывающих большие отклонения маятника от положения равновесия, изучено послекритическое поведение двухзвенного маятника. За границей области устойчивости тривиального положения равновесия имеет место большое разнообразие динамического поведения системы. Кроме классических типов потери устойчивости, характерных для линейных систем при пересечении границы области устойчивости, в «далеких» закритических областях возможны такие явления, как вторичный флаттер (развитие колебательных движений после потери устойчивости по типу дивергенция) и вторичная дивергенция (теряется устойчивость прямолинейной формы равновесия по типу флаттера с увеличивающейся амплитудой, а затем в системе происходят затухающие колебания в окрестности нового положения равновесия).

4. Рассмотрена задача об устойчивости консольного стержня с дополнительной опорой в виде сосредоточенной на конце упругой связи. Стержень нагружен потенциальной и следящими силами. Проведено исследование зависимости границ флаттера и дивергенции от жесткости дополнительной упругой опоры. Определены характерные значения жесткости опоры, определяющие тип потери устойчивости при действии следящей силы.

5. При исследовании устойчивости стержня на упругом основании при действии следящей силы показано, что критическое значение нагрузки не зависит от жесткости упругого основания. Это объясняется тем, что с увеличением жесткости упругого основания сближаются низшие частоты колебаний, ответственные за динамическую неустойчивость. При совместном действии потенциальной и следящей сил изучена зависимость положения границ области устойчивости от жесткости основания. Определены формы потери устойчивости.

6. Подробно изучена устойчивость участка консольного трубопровода с протекающей по нему жидкостью. Исследованы траектории движения характеристических показателей при изменении параметров системы - относительной массы и расхода жидкости. Рассмотрены формы флаттера. Проанализировано влияние жесткости дополнительной упругой опоры на границы области устойчивости. Обнаружено, что при значениях жесткости больше некоторого характерного значения область устойчивости становится неодносвязной, и при достижении границы потеря устойчивости трубопровода происходит квазистатическим образом. Указанное характерное значение жесткости опоры совпадает с упомянутым значением в пункте 4 при действии только следящей силы.

7. Рассмотрена задача о флаттере шарнирно опертой плоской панели с дополнительной упругой опорой в сверхзвуковом потоке газа. Проведен анализ зависимости критического значения сжимающего усилия и характеристик собственных колебаний панели от жесткости опоры. Изучена зависимость критического значения скорости потока (скорости флаттера) от жесткости дополнительной опоры. Минимальная скорость флаттера, определяемая величиной демпфирования в системе, соответствует значению жесткости, при которой первая и вторая собственные частоты становятся кратными. Показано, что близость по значениям высших собственных частот не влияет на скорость флаттера, так как динамическая неустойчивость определяется взаимодействием первой и второй собственных частот. Проведено исследование положения и характера границ области устойчивости па плоскости «сжимающее усилие - скорость потока» при варьировании жесткости дополнительной опоры в широких пределах. Для различных значений параметров системы изучены частоты и формы флаттера. С учетом нелинейности, связанной с несмещающимися опорами, проанализировано послекритическое динамическое поведение панели. В результате интегрирования нелинейных уравнения рассмотрены различные случаи состояния системы после потери устойчивости прямолинейной формы равновесия: переход в смежное положение равновесия, установление предельного цикла и хаотические движения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Щугорев, Алексей Владимирович, 2010 год

1. Агафонов С.А. Об устойчивости и автоколебаниях двойного маятника с уп- 'ругими элементами, находящегося под действием следящей силы //Изв. »

2. РАН. МТТ. 1992. - №5 - С. 185-190.

3. Агафонов С.А. Георгиевский Д.В. Динамическая устойчивость стержня с нелинейной внутренней вязкостью под действием следящей силы // докл. РАН. 2004. - т. 396. - №3 - С. 339 - 342.

4. Ал футов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение. - 1978. - 312 с.

5. Андронов А.А. Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981. - 568 с.

6. Бейлин Е.А., Джанелидзе Г.Ю. Обзор работ по динамической устойчивости упругих систем// Прикладная математика и механика. №5. - 1952.

7. Болотин В.В. Вопросы общей теории упругой устойчивости // Прикладная математика и механика. 1956 г. -. XX вып - С. 561 - 563

8. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М: Гостехиз-дат, 1956.-600 с.

9. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961. - 339 с.

10. Болотин В.В. Нелинейный флаттер пластин и оболочек // ИнженерныйIсборник. — 1960. вып. 29 - С. 55 — 75.

11. Болотин В.В. О колебаниях и устойчивости стержней, нагруженных неконсервативными силами //Колебания в турбомашинах. М.: Изд. АН СССР. -1959.- С. 23-42.

12. Болотин В.В., Гришко А.А. Устойчивость и послекритическое поведение аэроупругих систем с учётом дополнительного демпфирования // Изв. РАН. МТТ. 2003. - №5 - С. 164-174.

13. Болотин В.В., Гришко А.А., Митричев Т.В. Устойчивость тонкой панели с присоединенными элементами в сверхзвуковом потоке газа // Прикладная механика. 1999. - Т. 35. - №12. - С. 3 - 10.

14. Болотин В.В., Гришко А.А., Петровский А.П. О влиянии демпфирующих сил на послекритическое поведение существенно непотенциальных сил// Изв. РАН. МТТ. №2. - 1995. С.- 158 - 167.

15. Болотин В.В., Жинжер Н.И. Устойчивость линейных систем / Энциклопедический справочник по машиностроению. Т. 1 - 3. -М.: Машиностроение. 1994. -Т. 2.-С. 462-472.

16. Болотин В.В., Петровский А.В., Радин В.П. Устойчивость и послекритическое поведение многоступенчатой системы твёрдых тел при непотенциальном нагружении //Изв. АН. МТТ. -2005.- №1. -С. 174-187.

17. Болотин В.В., Радин В.П., Чирков В.П., Щугорев А.В. Об устойчивости участка трубопровода с протекающей жидкостью // Инженерный журнал. Справочник. 2006.- № 10. -С. 15-22.

18. Болотин В.В., Радин В.П., Чирков В.П., Щугорев А.В. Устойчивость кон-<сольного стержня с упругой связью при непотенциальном нагружении // Известия РАН. МТТ.- 2006.- № 2.- С. 84-92.

19. Болотин В.В., Радин В.П., Чирков В.П., Щугорев А.В. Устойчивость участка трубопровода с упругой опорой // Известия РАН. Механика твердого тела. -2009. -№1. -С. 174-184.

20. Болотин В.В., Симонов Б.П. Устойчивость упругих панелей с присоединенными элементами в потоке газа // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. -1978. №2.-С. 130- 135.

21. Борук И.Г., Лобас Л.Г., Патрицио Л.Д. О состояниях равновесия перевернутого двойного маятника со следящей силой на упругозаделанном верхнем конце // Изв. РАН. МТТ. -2004. -№5 -С. 16 22.

22. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. Изд.5, МоекIва, Государственное издательство технико-технической литературы.- 1955. -608 с.

23. Вибрации в технике. Справочник в 6-ти т. Т.1. Колебание линейных систем / Под ред. В.В. Болотина. -М.: Машиностроение. -1999. 506 с.

24. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, -1972.- 432 с.

25. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.:Наука, 1967. - 984 с.t

26. Горшков А.Г., Морозов В.И., Пономарев А.Т., Шклярчук Ф.Н. Аэроупругость конструкций. -М.: Наука. 2000. -591 с.

27. Гришко А.А., Дубовских Ю.А., Петровский А.В. Влияние присоединенных элементов на динамическую устойчивость непотенциальной колебательной системы // Изв. РАН. Проблемы машиностроения и надежности машин. -1999. -№3. -С. 24-30.

28. Гришко А.А., Дубовских Ю.А., Петровский А.В. О послекритическом поведении диссипативных нелинейных систем // Прикладная механика. 1998.I1. Т. 34.-№ 6. -С.92 — 98.

29. Дейнеко К.С., Леонов М.Я. Динамический метод исследования устойчивости сжатого стержня//Прикл. матем. мех. 19. № 6. - 1955.

30. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М. Наука, глав. ред. физ.-мат. Литературы. 1967.- 472 с.

31. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалов Э.З. Численные методы анализа. Приближенные функций, дифференциальные и интегральные уравнения, под ред. Демидовича, изд. 3, -М.: Наука. -1967. 368 с.

32. Детинко Ф.М. Следящая нагрузка и устойчивость плоской формы изгиба стержня // Изв. РАН. МТТ. -2002. №5. - С. 118-125.

33. Джанелидзе Г.Ю. Об устойчивости стержня при действии следящей силы. -Тр. Ленингр. политехи, ин-та. -№192. -1958.

34. Жинжер Н.И. Влияние диссипативных сил с неполной диссипацией на устойчивость упругих систем // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1994.1. -С.149- 155.

35. Кириллов О.Н. Сейранян А.П., О границах устойчивости циркулярных систем. Институт механики МГУ им. Ломоносова. - №51. — 1999. -59 с.

36. Ковальчук В.В., Лобас В.Л. Дивергентные бифуркации двойного маятника под воздействием асимметричной следящей силы // Прикладная механика. -2004.- т.40.- №7.- С. 136 144

37. Леонов Г. А. Странные аттракторы и классическая теория устойчивости движения // Успехи механики, -т. 1.- №3.- 2002.- С. 3 43.

38. Лобас Л.Г., Лобас Л.Л. Бифуркации, устойчивость и катастрофы состояний равновесия двойного маятника под воздействием асимметричной следящее силы // Изв. АН СССР. МТТ. -2004.- №4. -С. 139-149.

39. Мануйлов Г.А. О границе между статической и динамической потерей устойчивости неконсервативных упругих систем. Вестник МИИТаНауч-но-технический журнал. - Москва. - МИИТ. - 2001. - Вып.6.- С. 63-68.

40. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. -М.: Наука. -1976. -320 с.

41. МоВчан А.А. Об устойчивости панели, движущейся в газе // Прикладная математика и механика. -1957. -Т. 21. -№2. -С. 141 150.

42. Мун Ф. Хаотические колебания. М. Мир. -1990. -312 с.

43. Нейштадт А.И. Сидоренко В.В., Запаздывание потери устойчивости в системе Циглера.- Москва, Институт прикладной математики РАН. -1995.-28с.

44. Николаи E.JI. Об устойчивости прямолинейной формы равновесия сжатого и скрученного стержня// Изв. Ленингр. поли-техн. ин-та 31.- 1928.

45. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем: современные концепции, парадоксы, ошибки. Москва, Наука. - 1987. -336 с.

46. Петровский А.В. Динамическое поведение обращенного двухзвенного неорIтогонального маятника при непотенциальном нагружении // Изв. АН. МТТ. -2003.-№5.-С. 137-146.

47. Петровский А.В. Нелинейная динамика и устойчивость неконсервативных систем. -М.: Издательство МЭИ. 2003.- 112 с.

48. Петровский А.В. Устойчивость и послекритическое поведение обращенного пространственного маятника при непотенциальном нагружении // Изв. РАН, Механика твердого тела.- №1.- 2002. -С. 165 176.

49. Потапов В.Д. Устойчивость вязкоупругих элементов конструкций. Москва, ' Стройиздат. -1985. - 312 с.I51 .Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в 3-х т. Т.З. Под ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. -М.: Машиностроение. -1968. -568 с.

50. Радин В.П., Чирков В.П., Щугорев А.В. Устойчивости стержня на упругом основании при непотенциальном нагружении // Строительная механика и расчет сооружений. -2008. -№5. -С. 5-11.

51. Реут В.И. О теории упругой устойчивости, Тр. Одесск. ин-та инж. гражд. И комм, стр-ва, вып. 1. .-1939.

52. Светлицкий В.А., Остроухов В.А. Влияние краевых условий на динамическую устойчивость прямолинейного трубопровода // Изв. Вузов. Машиностроение. -1978. -№2. -С. 26-30.

53. Сейранян А.П. Парадокс дестабилизации в задачах устойчивости неконсервативных систем. // Успехи механики. -1990.- т. 13.- №2. -С. 89 124.I

54. Сейранян А.П. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонны. -Институт механики МГУ им. Ломоносова. -№60. -2000. 64 с.

55. Сейранян А.П. О границах областей устойчивости, флаттера и дивергенции. Москва, Институт механики МГУ им. Ломоносова. -№11. -1995. -39 с.

56. Сейранян А.П. Парадокс дестабилизации и критерии колебательной устойчивости. Москва, Институт механики МГУ им. Ломоносова. -№301. -1987. - 59 с.

57. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Лащенников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений, под редакцией А. Ф. Смирнова. -Москва. -Стройиздат. -1984. 416 с.

58. Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. -М.: Изд-во «Наука». -1967. -376 с.

59. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. -М.: Мир. -1971.-192 с.62,Четаев Н.Г. Устойчивость движения. -М.: Наука. -1990. -176 с.

60. Beck М., Die Knicklast der einseitig eingenspannten tangenzial gedruckten Stabes, Zeitschrift angew. -Math. Phys. -3. -№3. -1952.

61. Bolotin V.V. Dynamic Instabilities and Postcritical Vibrations of Compliant Components Interacting with the Main Structures // International Journal of Acoustics and Vibration. -Vol. 6. -№4. -2001. -P. 201 208

62. Bolotin V.V. Postcritical dynamics of nonconservative systems / Proceedings of the 3rd European Conference on Structural Dynamics (G. Augusti, C. Borri and P. Spinelli, editors). EURODYN'96 Conf. Rotterdam: Balkema, 1996. - P. 357 -362.

63. Bolotin V.V., Grishko A.A., Kounadis A.N., Gantes Ch. Non-linear panel flutter in remote post-critical domain // Int. J. Non-Linear Mechanics. 1998. — V. 33.— № 5.-P. 753-764.

64. Bolotin V.V., Grishko A.A., Kounadis A.N., Gantes Ch., Roberts J.B. Influence of initial conditions on the postcritical behavior of nonlinear aeroelastic systems // Nonlinear Dynamics.- 15.- P. 63 81, (1998)

65. Bolotin V.V., Petrovsky A.V., Grishko A.A. Secondary bifurcations and global instability of an aeroelastic nonlinear system in the divergence domain // J. Sound and Vibration. 1996. - V. 191. - № 3. p. 431 - 451.

66. Bolotin V.V., Zhinzher N.I. Effects of damping on stability of elastic systems sub- • jected to nonconservative forces // Int. J. Solid Struct. 1969. - V.5. - №9.1. P.965 989.

67. Dowell E.H. Flutter of a buckled plate as an example of chaotic motion of a deterministic autonomous system // J. Sound and Vibration. 1982. - V. 85. - № 3. -P. 330-344.

68. Jin J.-D. Bifurcation analysis of double pendulum with a follower force // J. Sound Vibr. -1992. -V. -154. -N 2. P.191 -204.

69. Kounadis A.N. On the failure of static stability analyses of nonconservative systems in regions of divergence instability // Int. J. Solids and Structures. 1994. -V. 31. - № 15. -P. 2099-2120.1

70. Leipholz H., Stability Theory, John Wiley & Sons Ltd and B.G. Teubner, Stuttgart. -1987. 359 c.

71. Timoshenko beam theory, Journal of Applied Mechanics, Trans. Of the ASME Ser. E. 34. -1967.- p. 484-485.

72. Nonlinear stability of structures. Theory and computational techniques / Eds: Kounadis A.N. and Krfltzig W.B. New York and Wien: Springer-Verlag, 1995. -367 p.

73. Virgin L.N. Dowell E.H. Nonlinear aeroelasticity and chaos. / Computational Nonlinear Mechanics in Aerospace Engineering (S.N. Atluri, editor). Washington, DC: AIAA. - P. 531 - 546.

74. Ziegler H. Die Stabilititatskriterien der Elastomechanik // Ing.-Arch. -1952. -v.20 -№1. -P. 49-56.