Нелинейная динамика взаимодействия тонкостенных элементов конструкций с газом и диагностика нелинейных колебаний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Тукмаков, Алексей Львович

• Тукмаков, Алексей Львович
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Тукмаков, Алексей Львович

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1.ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ДИНАМИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ТОНКОЙ УПРУГОЙ ОБОЛОЧКИ. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ И ХАОТИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ДВИЖЕНИЯ.

1.1. Уравнения движения тонкой упругой оболочки.

1.2. Метод решения системы нелинейных уравнений движения оболочки.

1.3. Анализ нелинейных процессов с помощью критериев динамического хаоса.

1.4. Изгиб оболочки под действием ветровой нагрузки.

1.5. Нелинейные режимы колебаний упругой панели под действием периодической нагрузки. Области регулярной и хаотической динамики.59 ^

1.6. Выводы.

Глава 2. МЕТОДИКА ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОГО СЖИМАЕМОГО ТЕПЛОПРОВОДНОГО ГАЗА.

2.1. Система уравнений движения вязкого сжимаемого теплопроводного газа при ламинарном и турбулентном течениях.

2.2. Система уравнений движения вязкого сжимаемого теплопроводного газа в подвижной системе координат.

2.3. Решение системы уравнений Навье-Стокса в обобщенных координатах явным методом Мак-Кормака второго порядка точности

2.4. Расщепление по времени для явной схемы Мак-Кормака.

2.5. Звуковая схема коррекции потоков Лакса-Вендроффа.

2.6. Решение задачи о распаде разрыва в плоском канале явным методом Мак-Кормака с расщеплением по времени и схемой коррекции потоков Лакса-Вендроффа.

2.7. Решение задач взаимодействия вязкого сжимаемого теплопроводного газа с, тонкостенными упругими элементами.

2.8. Выводы.

Глава 3: НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГАЗА В ЗАКРЫТОЙ ТРУБЕ.

3.1. Нелинейные колебания газового столба в закрытой трубе при возбуждении на частоте первого линейного резонанса и при субгармоническом возбуждении. Сравнение результатов численного и физического экспериментов.

3.2. Нелинейные колебания газа в закрытой трубе при большой амплитуде возбуждения. Смена, типа резонанса при фиксированной частоте возбуждения.

3.3; Численное моделирование газодинамических процессов в закрытой трубе при неравновесных начальных условиях.

3.4: Выводы.

Глава 4. АЭРОУПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ В ЗАКРЫТЫХ РЕЗОНАТОРАХ \í

4.1. Численное моделирование колебаний газового столба в закрытом, канале с упругой стенкой.154 /

4.2. Численное моделирование колебаний газа, возбуждаемых в закрытом канале упругим поршнем. 165 ^

4.3. Численное моделирование течения газа в;плоском канале с колеблющейся стенкой.185 У

4.4. Численное моделирование течения газа в плоском канале с колеблющимися стенками при осесимметричном возбуждении.—-195 ^

4.5. Синхронизация колебаний тонких пластин при аэроупругом взаимодействии.

4.6. Выводы.г• V• • ;.

Глава 5. ДИАГНОСТИКА ДИНАМИКИ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА ЧИСЛА ЕЕ СОСТОЯНИЙ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ.

5.1. Сопоставление информации Шеннона, информации Тсаллиса и функции числа состояний системы при диагностике регулярных и хаотических режимов движения.

5.2. О распознавании объектов на основе анализа акустического отклика при помощи функции числа состояний динамической системы.:.

5.4. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейная динамика взаимодействия тонкостенных элементов конструкций с газом и диагностика нелинейных колебаний»

Нелинейная динамика аэроупругих систем имеет многочисленные технические приложения и представляет собой один из важных разделов механики сплошной среды. Исследование аэроупругого взаимодействия основывается на предварительном изучении процессов, протекающих - в тонкостенных элементах и в газе. При построении математических моделей динамики взаимодействующих сред возникает необходимость учета нелинейного характера процессов, связанного с физическими и геометрическими факторами, что приводит к построению более точных и содержательных моделей, анализ- которых позволяет обнаруживать новые явления и эффекты. Развитие методов математического моделирования и вычислительной техники привели к возрастанию роли численного эксперимента. С его помощью стало возможным исследовать сложные системы, все более приближенные к реальным.

Изучение колебаний газового столба в закрытых и открытых трубах и каналах позволяет получать информацию об аналогичных процессах, протекающих в более сложных технических устройствах: в трубопроводных системах компрессоров, в камерах сгорания жидкостных и твердотопливных ракетных двигателей, в топливоподающих каналах, в системах струйной автоматики и измерительной аппаратуры,. в системах охлаждения. Источником колебаний может быть поршень, периодический тепломассоотвод, струя газа, втекающая в открытый конец трубы, колебания стенки резонатора. При исследовании колебаний газового столба; в ограниченных объемах особый интерес представляют резонансные режимы, при. которых наблюдаются пиковые значения давления и увеличивается интенсивность тепломассообмена. Изучению нелинейных колебаний в газе посвящены монографии Зарембо Л.К. и Красильникова В.А.[49], Руденко О.В. и Солуяна С.И. [109]. Впервые разрывные колебания газа в закрытой трубе на частоте первого линейного резонанса получил Lettau Е. [206]. Возбуждение колебаний газового столба происходило за счет возвратно-поступательного движения поршня. Результаты экспериментов; в которых исследуются колебания? газового столба в резонансных трубах при возбуждении жестким поршнем описаны, например, в работах: Lehmann K.D. [205], Lettau Е. [206], Saenger RIA. and Hadson G.E. [215], Гуляев А.И. и Кузнецов B.H. [43- 44], Coppens F.B. and Sanders G. [190], Temkin S. [219-220], Галиев Ш.У., Ильгамов M.A., Садыков A.B: [28], Cruikshank D.B. [191], Sturtevant B.B. [217], Merkli P., Thomann H. [210], Zaripov R.G., Ilgamov M.A.[224].

Эксперименты показали, что для описания периодических ударных волн необходимо использовать нелинейные уравнения газовой динамики. В теоретических работах нелинейные эффекты во втором приближении учитывали Betchov R. [184] и Горьков А.П. [38], Островский Л.А.[98]. Использовался ■ метод малого параметра в предположении, что на равновесные параметры газа накладываются возмущения, создаваемые малыми колебаниями поршня. Были получены разрывные решения для первого линейного резонанса и приближенная формула- для? амплитуды ударной волны в окрестности резонанса. В работе [45] методом < малого параметра рассматривалась задача об установлении вынужденных колебаний; и было . получено? условие возникновения; ударной волны. Продольные колебания; газового столба в закрытой;трубе; на основании!интегрирования уравнений газовой; динамики; в;

• г координатах Эйлера5 исследовал; Chester W. [187-189]. Задача сводилась к решению интегро-дифференциального уравнения вблизи поршня. Решение представлялось в виде непрерывной; функции; и разрыва, который соответствовал фронту ударной волны. В окрестности линейного резонанса определялся: профиль волны давления. С помощью метода, разработанного в

187-189], Галиевым Ш.У., Ильгамовым M.А., Садыковым А.В.[28], Галиевым Ш.У. и Шихрановым А.Н. [29-30] были получены более точные решения, учитывающие поправку для амплитуды колебаний поршня. Теоретические результаты, описывающие нелинейные колебания газа вблизи собственных резонансов описаны также в работах [191], [217], [219-220]. В работе Галиева Ш.У., Ильгамова М.А.,. Садыкова А.В. [28] впервые описаны периодические ударные волны, возникающие при частоте колебаний поршня, вдвое меньшей частоты первого линейного резонанса. Аналитически, методом малого параметра субгармонические резонансы рассматривались также в работах [210], [199—201], [211]. Были получены разрывные решения для первого линейного и первого нелинейного резонансов и выяснилось [224], что для описания интенсивных ударных волн необходимо использовать более высокие приближения. Ограничения метода малого параметра проявились щ при моделировании колебаний газового столба в окрестности нелинейных резонансов. Таким образом, для исследования! нелинейных колебаний газа требуется применение эффективных численных методов. Численные исследования проводились, например, в работах [3-5,183], где решение одномерных уравнений идеального газа при возбуждении колебаний в закрытой трубе гармонически перемещающимся поршнем в окрестности! первого линейного резонанса определялось с помощью метода TVD второго порядка точности по времени и пространству. Полученные результаты сравнивались с результатами Гуляева А.И., Кузнецова В.Н. [43], Saenger R.A., Hudson G.E.

215], Chester W. [187-189], Temkin S. [220]. Было отмечено [3], что применение

• метода второго порядка точности позволяет построить более эффективную методику расчетов. В [4] на основе двумерных уравнений идеального газа, решаемых методом: TVD, рассматриваются колебания газа в объемном резонаторе. В [5] на основе г одномерной модели идеального газа изучаются нелинейные колебания в закрытой трубе при непериодическом движении поршня. Решение также находится; с. помощью метода TVD. В рамках одномерной модели^ методом распада разрыва^ Годунова в [19] исследуется задача о внезапном вскрытии одного из торцов удлиненной цилиндрической емкости, содержащей газ под давлением. Движение газа моделируется с помощью уравнений идеального газа.

Одним из наиболее интересных явлений, присущих нелинейной динамике, стало явление динамического хаоса в системах с детерминированными параметрами [16, 96, 181]. Во многом благодаря развитию численного эксперимента, было выявлено, что детерминированный хаос проявляется в самых разнообразных нелинейных динамических системах. Одной из наиболее ранних работ по исследованию динамического хаоса в упругих системах является, например, работа Moon; F.C. [96]. Исследованию нелинейных и хаотических колебаний трубы с протекающей! жидкостью, возникающих под действием колебаний давления, посвящены работы [58, 59], [196], где рассматриваются изгибные колебания горизонтальной трубы, заполненной жидкостью, в которой распространяется гармоническая волна давления. Динамика участка трубопровода с жидкостью описывается с помощью нелинейного уравнения изгиба трубчатого стержня, находящегося под действием поперечных сил. В точках опоры рассматриваются граничные условия жесткой заделки и шарнирного опирания. В качестве начальных условий берутся нулевые перемещения и» скорости, и нулевые скорости и перемещения, полученные из решения статической задачи о прогибе под действием силы тяжести. Решение находится численно с помощью метода Галеркина. На основе анализа проекции аттрактора на плоскость перемещение-скорость в зависимости от частоты и амплитуды колебаний давления проведена классификация динамических режимов. В работах [106, 107] исследуются регулярные и хаотические режимы продольных, колебаний в прямолинейной абсолютно гибкой вязко-упругой нити, один конец которой неподвижен, а другой совершает движение по" гармоническому закону с заданной; частотой и амплитудой. Движение нити описывается линейным одномерным волновым уравнением, дополненным неравенством, ограничивающим знак усилия, и вносящим нелинейность. Уравнение решается методом конечных разностей. Динамика нити анализируется с помощью отображения; Пуанкаре. При заданной частоте нагрузки, в зависимости от начального натяжения нити и амплитуды внешней силы, выявлены квазипериодический, хаотический и субгармонический режимы движения. Регулярные и хаотические режимы колебаний в нелинейно-упругом стержне исследовались Тетеновым Е.В., Федоровым; A.B. в работе [122]. Движение стержня описывалось системой уравнений гиперболического типа при нелинейной зависимости деформации от напряжения. Система решалась методом конечных разностей по явной схеме первого порядка точности. Тип динамического поведения определялся по характеру аттрактора на плоскости деформация-скорость. Регулярная и хаотическая динамика прямоугольных пластин конечных размеров с неоднородными вдоль кромок граничными условиями рассматривалась в работах -{2], [78-80]. Движение гибкой пластины описывалось нелинейными уравнениями теории гибких пластинок в смешанной форме относительно функции прогиба и функции усилий. Вдоль, кромок задавались условия шарнирного опирания, жесткой и скользящей? заделки. Система решалась численно методом: Рунге-Кутта четвертого порядка точности при заданных начальных прогибах и нулевой начальной скорости. Для моделирования диссипации в систему уравнений вводилось вязкое* демпфирование. Анализ динамического поведения проводился на основании изучения спектра мощности, сечения Пуанкаре, проекции фазовых портретов на плоскость перемещение- скорость.

Взаимодействие упругих' конструкций с потоками жидкости и газа необходимо учитывать в турбо- и компрессоростроении, в аэрокосмической технике, в строительстве. При; определенных соотношениях параметров потока и конструкции в последней могут возникать значительные деформации, приводящие к изменению; характера обтекания и аэрогидродинамических нагрузок на упругих поверхностях. Подобная проблема возникает в задачах об обтекании деформируемых несущих поверхностей летательных аппаратов, упругих элементов проточной части воздушно-реактивных двигателей, рабочих поверхностей турбин и компрессоров, корпусов высотных сооружений, подвергающихся интенсивной ветровой нагрузке.

Решение задач взаимодействия вызывает значительные вычислительные трудности. Одной из них является проблема сопряжения решений на: движущейся поверхности контакта упругой оболочки и жидкости. Подавляющее большинство задач аэрогидроупругости невозможно решить в точной постановке, и вследствие этого широкое распространение получили приближенные методы, позволяющие: моделировать и исследовать процессы взаимодействия? Фундаментальные результаты, связанные: с исследованиями обтекания деформируемого контура, устойчивости . формы упругой поверхности, собственных и параметрических колебаний; автоколебаний системы оболочка-жидкость содержатся в трудах С.А.Алексеева [9-11],

•

В .В .Болотина [21], А.С.Вольмира [23-26], Э.И.Григолюка [39], Э.И.Григолюка, А.Г.Горшкова [40],, М.А.Ильгамова [55-56], Е.Н.Мнева и А.К.Перцева [95], Л.И.Фына [168].,

В статье [1] изучалась задача о движении деформируемого тела в покоящейся идеальной несжимаемой жидкости. В предположении потенциальности обтекания определены сила и момент силы, действующие со стороны жидкости на тело. В работе [164] рассмотрено движение упругого плоского контура в неустановившемся потоке идеальной несжимаемой жидкости. Изгиб и динамическая устойчивость, бесконечно длинной цилиндрической оболочки при безотрывном поперечном обтекании ее потоком неограниченной идеальной несжимаемой жидкости рассмотрены в работе [57]. Рассматривались случаи как малых так и больших изменений формы. В первом случае предполагалось, что перемещение оболочки по нормали мало по сравнению с ее толщиной. В связи с этим: уравнение: изгиба оболочки и уравнения, описывающие изменение поля течения в результате деформации контура,, линеаризовались. Применялась безотрывная модель обтекания. В последнем случае контактные условия ставились на деформированной поверхности; Задача взаимодействия: цилиндрической оболочки бесконечной длины, обладающей изгибной жесткостью и способной к большим г перемещениям, с плоским безграничным потоком идеальной жидкости при безотрывном обтекании решена в статьях [91,169]. Обтекание цилиндрических оболочек с отрывом струй на основе модели Паркинсона-Яндали исследовалось в работах [173-176]. В этих статьях в предположении малости деформаций и нерастяжимости срединной поверхности при произвольных изгибах рассмотрена плоская деформация длинной оболочки, закрепленной в точке торможения: потока. В работе [101] экспериментально исследовалось напряженное состояние* тонкостенных упругих цилиндрических оболочек под действием мгновенного импульса давления; распределенного по направляющей оболочки несимметрично относительно ее оси. В; статьях [92, 116, 117] проводится экспериментально- теоретическое: исследование поведения; цилиндрических оболочек при действии волны давления. Приводится решение задачи о поведении замкнутой круговой цилиндрической оболочки, нагруженной боковой набегающей волной давления. Дается сравнение результатов с данными, полученными в опытах с алюминиевыми оболочками. Нагружение оболочки характеризовалось величинами давления и импульса, сообщаемого оболочке движущейся волной газа. Были построены зависимости наибольших динамических прогибов при различных комбинациях давления и импульса. В работе [88] рассматривается взаимодействие упругой: круговой бесконечной цилиндрической оболочки с ударной волной, фронт которой параллелен образующей; цилиндра. Течение газа описывается системой* уравнений идеального газа; которая решается численно. Для описания движения оболочки применяется система динамических уравнений среднего изгиба. Исследуется дифракционная? стадия; процесса. Определены прогибы и деформации при: различных параметрах газа и оболочки. В статье [165] также решалась задача о взаимодействии цилиндрической оболочки с ударной волной. В отличие от [88] предполагается, что оболочка конечна. Для [88], [165] характерно, что в силу малых изменений формы оболочки давление и скорость газа; принимались, для недеформированной поверхности. Взаимодействие упругих конструкций со слабыми ударными волнами в акустическом приближении рассматривалось в работе [40]. В [26] изучается поведение замкнутой круговой цилиндрической оболочки при набегании на нее вдоль образующей ударной волны экспоненциального профиля и спутного высокоскоростного потока, газа повышенной плотности. Ударная волна аппроксимировалась, подвижной; волной* давления; заданного профиля. Учет влияния сверхзвукового спутного потока газа приводил к возникновению флаттерных колебаний. При описании поведения; оболочки использовалась система геометрически нелинейных уравнений: среднего изгиба. Форма мягкой сферической оболочки в потоке газа определялась, в работе [94]. Оболочка полагалась тонкой, абсолютно гибкой, находящейся в статическом напряженнодефорированном состоянии. Учитывалось сжатие газа в полости. Определялась форма оболочки в зависимости от внутреннего давления и внешней нормальной нагрузки, возникающей при обтекании! оболочки потоком газа. Анализ гибких мембран и струйных реактивных закрылков в плоском несжимаемом потенциальном: потоке проводился в работе [209]. Рассматривались тонкие аэродинамические поверхности типа гибкой изогнутой панели и мембраны, форма которых изменяется при обтекании и; заранее неизвестна. Расчеты проводились аналитически. Были выведены приближенные аналитические соотношения для коэффициентов подъемной силы и поперечного момента. В зависимости от геометрии поверхности и характеристик материала и потока определялись формы устойчивого равновесия; конструкции. В работе [195] исследовалась стохастическая аэроупругая устойчивость плоской прямоугольной панели постоянной толщины в сверхзвуковом потоке. Вектор скорости невозмущенного потока лежал в плоскости панели и был направлен по нормали к шарнирно опертым передней и задней кромкам. Аэродинамическое давление рассчитывалось по поршневой теории. Прогиб конструкции как функции времени и пространственной координаты удовлетворяет нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных, записанному с учетом действующих в срединной плоскости случайных усилий. Было оценено влияние — на скорость флаттера конструкционного и аэродинамического; демпфирования^ отношения плотностей воздуха, и материалов« конструкции, механических и геометрических параметров панели. В работе [202] исследовалась аэроупругая устойчивость однородной изотропной цилиндрической оболочки эллиптического сечения в сверхзвуковом потоке: газа. Вектор скорости невозмущенного течения был направлен параллельно продольной оси оболочки. Аэродинамическое давление рассчитывалось по поршневой теории. Движение оболочки описывалось системой линейных дифференциальных уравнений с учетом конструкционного демпфирования; и поперечных составляющих сил инерции. В [31] рассматривалась задача о локальной потере устойчивости тонкостенных упругих конических оболочек (конфузоров) с внутренним потоком идеального газа. Работа [115] посвящена экспериментальному исследованию затухания колебаний i подкрепленной цилиндрической оболочки, контактирующей с жидкостью. Показано, что контактирование оболочки с, жидкостью приводит к сильному демпфирующему эффекту даже при колебаниях с амплитудами, составляющими доли толщины оболочки. В [17] исследовалась устойчивость оболочек вращения, подвергающихся воздействию внутреннего и внешнего сверхзвукового потока газа. Аэродинамическое давление рассчитывалось по квазистатической- аэродинамической теории, деформации оболочек рассчитывались с помощью метода конечных элементов. В статье [ЮЗ] рассматривается г несущая поверхность, совершающая гармонические колебания в дозвуковом потоке: идеального газа. Задача, об обтекании этой поверхности в линейной постановке приводится к интегральному уравнению, связывающему возмущенную скорость потока в заданной точке с перепадом давления на поверхности. Работа [83] посвящена исследованию нелинейного панельного флаттера. Исследуется вопрос о существовании и устойчивости малых периодических решений двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих аэроупругие колебания панели в сверхзвуковом потоке. В [212] численно исследуется аэроупругая неустойчивость цилиндров кругового и

• •• прямоугольного сечения. Представлены результаты математического моделирования процесса, взаимодействия колеблющегося^ цилиндра с: неустановившимсяпотоком газа. Аэродинамические характеристики получены путем численного интегрирования уравнений Навье-Стокса для случая вязкого газа. Получены оценки амплитудно- частотных характеристик колебаний. В работе [218] исследованы особенности- взаимодействия колеблющихся плохо обтекаемых тел с неустановившимся потоком воздуха. Результаты получены путем численного интегрирования? уравнений состояния аэроупругой системы. Решение краевой задачи в. пространственно-временной области получено методом конечных разностей. Рассчитаны; частотные характеристики, крутильных колебаний цилиндра и определены амплитуды предельных циклов колебаний. В работе : [46] исследуется аэродинамическая устойчивость тонких оболочек сопла, находящихся в сверхзвуковом потоке сжимаемого газа. Задача рассматривается в линейной постановке. В< [193] описан метод численного решения задачи о взаимодействии упругого тела с околозвуковым потоком газа. Интегрирование уравнений равновесия тела, записанных в матричной форме, проведено методом Ньютона- Рафсона. Поле течения исследовано с помощью метода конечных элементов в криволинейной системе координат, выбираемых в зависимости: от формы обтекаемого тела. Определение деформаций конструкции сведено к решению системы нелинейных уравнений. Рассматривается случай истечения газа из сопла, имеющего постоянную толщину стенки в направлении вектора скорости- невозмущенного потока. В работе [113] исследуется-новедение трехслойной цилиндрической композитной оболочки под действием сверхзвукового потока газа , направленного вдоль образующей. Давление на поверхности- оболочки моделируется, с помощью поршневой теории. Статья г [192] посвящена методам построения конечно-разностной сетки, связанной с потоком газа и поверхностью обтекаемого тела в задачах расчета нестационарных аэроупругих характеристик. Анализ сверхзвукового панельного флаттера пологих оболочек проводится в работе [185]. Исследуется аэроупругая устойчивость * пологих незамкнутых цилиндрических оболочек в сверхзвуковом потоке воздуха. Вектор скорости невозмущенного течения, параллелен продольной оси. цилиндра. Давление определяется по теории квазистационарного обтекания. Прогиб и функция напряжения удовлетворяют системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследованию аэроупругой устойчивости эллиптической панели, обтекаемой с наружной стороны сверхзвуковым потоком: воздуха, посвящена работа [203]. Неустановившиеся; колебания панели описаны системой двух линейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно прогиба срединной поверхности и функции напряжений, полученной по теории оболочек с использованием теории; Кирхгофа-Лява. Аэродинамическое давление рассчитывалось по поршневой? теории. Скорость невозмущенного потока направлена вдоль продольной оси цилиндра. В [81] с помощью аппарата асимптотических функций исследуется структура акустических полей в цилиндрическом отсеке, заглушённом пологими сферическими днищами и заполненном газом. Проводится качественный анализ колебаний составной оболочки, состоящей из цилиндрической и двух пологих сферических оболочек. Работа [53] посвящена исследованию гидроупругой системы «прямоугольный бак-жидкость». Жидкость считается идеальной, частотное уравнение получается с помощью вариационного метода с использованием принципа Гамильтона-Острогрдского. Находятся собственные частоты системы при различных уровнях -заполнения бака и при различных наклонах относительно вектора силы тяжести. Влияние внутреннего и внешнего давления на - форму волнообразования и величину низших собственных частот оболочки вращения на основании теории пологих оболочек исследуется в [82]. Результаты численного и ассимптотического решений задачи о распространении гидроупругих колебаний в изогнутом трубопроводе сопоставляются в [110]. В [47] исследуется нелинейная; динамика гидроупругосвязанных плоских криволинейных стержней в нестационарном * потоке жидкости. Рассматривается взаимное влияние деформационных и гидродинамических процессов;

Уравнения движения: трубопровода получены из вариационного принципа Журдена, движение: жидкости описывается акустическими уравнениями. Интегрирование производится вариационно-разностным? методом. В линейном приближении, методом конечных элементов рассматривается задача об ударном нагружении оболочек с жидкостью в [93]. В [170, 171] аналитически решается уравнение динамического равновесия прямого трубопровода заданной длины с постоянным сечением; нагруженного осевой сжимающей силой при протекании через: него пульсирующей жидкости; В [120, 121] теоретически и экспериментально исследованы: аэроакустические: резонансные явления около пластины в прямоугольном: канале с протекающей жидкостью. Определяется зависимость собственных частот пластины от числа Маха, и угла атаки пластины в потоке. Расчет проводится аналитически с помощью уравнения для потенциала акустического возмущения скорости и уравнений теории? тонких пластин. Аэроупругие колебания пологой оболочки вращения или цилиндрической панели, занимающей часть жесткого цилиндра, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа, рассматриваются в работе [65]. Задача решается в рамках закона плоских сечений и теории погранслоя. Оболочка и панель описываются линейной теорией. Показано, что учет нелинейности граничных условий, вызванных перемещением границы контакта" приводит к появлению дополнительного сжимающего усилия в плоскости упругого элемента.

Из приведенного краткого обзора можно заключить, что изучение нелинейной динамики аэроупругих систем представляет собой актуальную область научных исследований. При:теоретическом исследовании нелинейных динамических задач упругости тонкостенных элементов, газовой динамики и взаимодействия тонкостенных элементов с газом, наиболее полный учет геометрической и физической нелинейности возможен лишь при использовании численных методов моделирования. Среди численных методов решения уравнений газовой динамики одним из наиболее эффективных является метод конечных разностей. Среди разностных схем газовой динамики можно выделить метод конечного объема, метод Годунова (метод распада разрыва), схемы с невозрастающей полной вариацией (TVD-схемы) , схемы Мак-Кормака и Лакса-Вендроффа в сочетании со схемами коррекции потоков и с расщеплением по времени. Описание методов численного интегрирования уравнений газовой динамики содержится в работах: Белоцерковский О.М. [14], Белоцерковский O.Mi, Давыдов Ю.М. [15], Годунов С.К., Рябенький B.C. [35], Годунов С.К.и др. [36], Ковеня В.М., Яненко H.H. [73], Ковеня В.М., Тарнавский Г.А., Черный С.Г. [72], Роуч Р. [108], Флетчер К. [167], Самарский A.A., Попов Ю.П. [112], Steger J.L. [216].

Цель работы; Цель работы состоит в исследовании нелинейных колебаний аэроупругой системы и- ее элементов методами математического моделирования., Рассматривается регулярная и хаотическая динамика тонкостенных упругих панелей, изучаются нелинейные колебания газа в ограниченных объемах и исследуются процессы их нелинейного • ¿з аимодействия.

Научная новизна. В; диссертации поставлены и решены новые важные задачи и систематически изучены основные закономерности динамических процессов в ряде нелинейных систем. В результате исследования методами математического моделирования обнаружены новые нелинейные динамические эффекты при колебаниях упругой панели, при интенсивных колебаниях газа в закрытой трубе, при аэроупругих колебаниях газа в плоском канале. Разработан новый метод диагностики: динамических режимов. Наиболее важные результаты следующие:

-На основе системы динамических геометрически нелинейных уравнений теории оболочек и уравнений движения вязкого сжимаемого теплопроводного газа разработан программный комплекс для исследования нелинейной динамики упругих и аэроупругих систем.

-Обнаружены регулярные и хаотические режимы нелинейных колебаний упругой панели под действием равномерно распределенной гармонически изменяющейся во времени внешней нагрузки.

-Выявлен нелинейный эффект, возникающий при динамической потере устойчивости тонкой упругой панели по несимметричной форме.

-На основе уравнений движения вязкого сжимаемого теплопроводного газа получены; решения вблизи нелинейных резонансов а>12, © 13, когда частота колебаний поршня в 2 и в 3 раза ниже первой собственной частоты колебаний газового столба.

-Обнаружен эффект генерации высокочастотных гармоник при интенсивных колебаниях газа в закрытой трубе при фиксированной частоте возбуждения, связанный с изменением > спектра собственных частот акустической системы вследствие роста средней температуры газа.

- Численно исследованы колебания газового столба в закрытой трубе, вызванные начальным неравновесным распределением давления; Выявлено, что переход к равновесному состоянию осуществляется за счет конвективной и термодиффузионной стадии.

-Исследованы аэроупругие колебания; газа в плоском; канале с упругой стенкой: при возбуждении жестким поршнем и в плоском канале при возбуждении упругим элементом,, находящимся* под действием внешней нагрузки; гармонически изменяющейся во времени. Получены закономерности формирования спектрального состава колебаний упругой: панели и газового столба при аэроупругом взаимодействии.

-Исследованы колебания газа, возникающие в; плоском канале при локальном возбуждении упругих стенок. Выявлено пространственное распределение поперечных и продольных относительно оси канала волн и установлен характер резонансных колебаний газа в окрестности области возбуждения при различных скоростях потока.

-Исследован процесс синхронизации колебаний тонких упругих пластин, образующих стенки канала, заполненного газом. Выявлена: возможность возникновения синхронных колебаний вследствие взаимного влияния упругих элементов, осуществляемого через газовую^ среду. Получены сценарии синхронизации при различных способах возбуждения колебаний в пластинах.

-Разработан метод: диагностики динамических режимов, основанный на анализе дискретных состояний динамической системы в фазовом пространстве. С помощью разработанного метода проведена диагностика смены ламинарных и турбулентных фаз колебаний решений системы уравнений Лоренца и разработан метод распознавания объектов на основе анализа акустического отклика на внешнее воздействие.

Практическая ценность. Полученные результаты расширяют и углубляют теоретические знания о нестационарных процессах в нелинейных системах и могут иметь практическое приложение в технических разработках. Результаты и выводы исследований по нелинейной динамике, диагностике и: взаимодействию; упругих тонкостенных элементов с потоком газа могут найти применение в авиа- и ракетостроении, в химическом машиностроении; исследование колебаний газа в трубах и каналах - при разработке двигателей и элементов автоматики. Метод диагностики на основе функции числа состояний динамической системы может быть применен также и в медицине при анализе биоритмов.

Достоверность. Достоверность результатов диссертации определяется тем, что они основаны на общих законах и уравнениях механики сплошных сред, а также тем, что в > расчетах тестового характера достигается ^ хорошее соответствие с известными экспериментальными и теоретическими данными других авторов.

На защиту выносятся следующие основные положения работы:

- Численный алгоритм исследования нелинейных динамических процессов в упругих и аэроупругих системах, основанный на решении уравнений вязкого сжимаемого теплопроводного газа явным методом Мак-Кормака второго порядка точности с расщеплением по времени и схемой коррекции потоков и на решении геометрически нелинейной системы уравнений движения тонкой упругой оболочки методом конечных разностей с использованием неявной разностной схемы второго порядка точности.

- Результаты исследований нелинейных динамических режимов упругой панели и нелинейный динамический эффект при потере устойчивости упругой панели по несимметричной форме.

- Результаты; численного моделирования г колебаний газа в закрытой: трубе в окрестности нелинейных резонансов

- Результаты численного моделирования газодинамических процессов в закрытой трубе при неравновесных начальных условиях.

- Эффект генерации высокочастотных гармоник при интенсивных колебаниях газового столба в закрытой теплоизолированной трубе.

- Результаты моделирования аэроупругих колебаний в закрытом канале, в том числе процесс возникновения синфазных колебаний тонких пластин при аэроупругом взаимодействии.

- Метод диагностики динамического поведения на основе анализа состояний динамической системы в дискретном фазовом пространстве.

Апробация работы., Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на семинарах Института механики и машиностроения; КНЦ

РАН, итоговых научных конференциях КНЦ РАН и КГУ /г.Казань, 1993- 2001 г.г./,. а также на XVI Международной- конференции по теории оболочек и пластин (Н. Новгород, 1994г.), XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин (Казань, 1996г.), I Международной конференция "Модели механики сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении". (Казань, 1997 г.), на VIII сессии Российского акустического общества (Н.Новгород, 1998 г.), на V и: VI Международных конференциях "Нелинейные колебания механических систем" (Н. Ногород, 1999г., 2002г.), на Международной конференции "Актуальные проблемы механики оболочек". (Казань, 2000г.), на III Международной-конференции по неравновесным процессам в соплах и струях. (Москва, 2000г.), на 13 и 14 Всероссийских межвузовских научно-технических конференциях "Внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика,, диагностика, экология" (Казань, 2001г., 2002г.). Результаты исследований нелинейных колебаний в закрытой трубе при субгармоническом возбуждении вошли в Отчет о деятельности Российской Академии Наук в 2001 году [102].

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 46 работах.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав с выводами в конце каждой главы, заключения и списка, литературы. Общий объем диссертации составляет 262 страницы, диссертация содержит 91 рисунок. Список: литературы состоит из 224 наименований. В заключение сформулированы основные выводы работы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Тукмаков, Алексей Львович

5.3; Выводы.

В пятой главе изложено описание нового метода диагностики динамических процессов, основанного на анализе дискретного множества состояний динамической системы в фазовом пространстве. Показана его методологическая связь с информацией Тсаллиса и продемонстрировано применение для классификации ламинарных и турбулентных фаз решений системы уравнений Лоренца и для распознавания объектов по отраженному акустическому сигналу.

Заключение

В диссертации методами численного моделирования проведено исследование нелинейного динамического поведения ряда упругих и аэроупругих систем, получены решения задач в новой постановке, обнаружены новые нелинейные динамические эффекты. Исследованы нелинейные процессы в тонких упругих оболочках и панелях при внешнем динамическом нагружении, рассмотрены колебания газа в акустических резонаторах типа закрытой трубы и плоского канала с жесткими и упругими стенками при различных режимах возбуждения, предложен новый метод диагностики динамического поведения. Моделирование движения упругого элемента проводилось на основе динамических геометрически нелинейных уравнений теории оболочек, подчиняющихся гипотезе Кирхгофа—Лява;. применимых для случая малых деформаций, конечных перемещений и поворотов, решаемых методом конечных разностей второго порядка, точности но неявной схеме. Для; моделирования движения газа использовались уравнения Навье-Стокса для сжимаемого теплопроводного газа, для решения которых применялась явная схема Мак-Кормака второго порядка точности с расщеплением по времени и схемой коррекции потоков Лакса-Вендроффа. На основе численного решения уравнений движения вязкого сжимаемого теплопроводного газа и геометрически нелинейных уравнений движения теории тонких упругих оболочек разработан программный комплекс, предназначенный; для моделирования нелинейных динамических процессов в упругих и аэроупругих системах. Основные результаты и выводы работы следующие:

1. Выявлены области регулярной и хаотической динамики тонкой упругой круговой цилиндрической панели с условиями шарнирного опирания вдоль продольных кромок в зависимости от амплитуды равномерно распределенной гармонически изменяющейся во времени внешней нагрузки. Анализ типа динамического поведения проводился с применением критериев1 динамического хаоса.

2. Показано, что колебания тонкой упругой панели с изгибом по несимметричной форме, происходящие с охватом обоих положений равновесия, относятся к хаотическому типу и рост амплитуды нагрузки (в пределах упругой области) не приводит к их регуляризации.

3. Обнаружен нелинейный эффект, возникающий при динамической потере устойчивости упругой панели с изгибом по несимметричной форме который состоит в том, что тип динамического поведения при достижен ну амплитудой нагрузки критического значения определяется частст о и нагружения. Эффект связан с тем, что собственные частоты упругой пане/ш С изгибом по несимметричной форме в верхнем и нижнем устойчивых положениях равновесия существенно различны. Если критическое значение нагрузки достигается на нижней резонансной частоте для исходного (верхнего устойчивого) положения равновесия, то ее значение минимально и после потери устойчивости возникают квазипериодические колебания вблизи нижнего устойчивого положения равновесия, так как частота возбуждения для системы уже не является резонансной и величина амплитуды не достаточна для выхода из окрестности нижнего устойчивого положения. Если критическая амплитуда нагрузки достигается на частоте, смещенной от нижней резонансной, то амплитуда нагрузки в этом случае выше, и после "хлопка" возникают апериодические колебаниях охватом обоих положений равновесия.

4. На основе решения двумерной системы уравнений движения вязкого сжимаемого теплопроводного газа явным методом Мак-Кормака второго порядка точности с расщеплением по Бремени и схемой коррекции потоков исследованы колебания газового столба в закрытой трубе при возбуждении гармонически колеблющимся поршнем. Получены решения для первого линейного, первого и второго нелинейных резонансов, качественно. р и количественно совпадающие с результатами физического эксперимента. ^ частотах первого линейного и первого нелинейного резонансов числен иО исследована зависимость формы волны от амплитуды колебаний порпи При возбуждении вблизи частоты второго нелинейного резонанса получены формы колебаний в зависимости от величины расстройки по частоте.

5. На основе решения двумерной системы уравнений движения вязкого сжимаемого теплопроводного газа, решаемой явным методом Мак-Кормака второго порядка точности с расщеплением по времени, схемой коррекции потоков и алгебраической моделью вихревой турбулентной вязкости исследованы колебания газа в закрытой теплоизолированной трубе при высокой интенсивности возбуждения (амплитуда колебаний поршня составляла 25% от длины трубы при нейтральном положении' поршня). В результате численного моделирования обнаружен эффект генерации субгармонических (по отношению к текущему состоянию системы) резонансов при фиксированной частоте возбуждения, связанный с ростом собственных частот акустической системы вследствие диссипативных потерь. Построены решения, описывающие процессы трансформации частоты и изменения формы акустических колебаний, происходящие в закрытой трубе вследствие роста средней температуры газа.

6. При иследованиях колебаний газового столба в закрытой трубе, вызванных начальным?неравновесным распределением давления, выявлено, что переход к равновесному состоянию осуществляется за счет конвективной и термодиффузионной стадии. По окончании конвективной стадии, сопровождающейся образованием ударных волн, наблюдается эффект выравнивания давления при неравновесных распределениях плотности и температуры газа вдоль трубы. Дальнейший переход к равновесным распределениям газодинамических функций осуществляется за счет теплопроводности.

7. Исследованы аэроупругие колебания в плоском закрытом канале. При моделировании колебаний газа в плоском канале с упругой стенкой, возбуждаемых жестким поршнем, перемещающимся по гармоническому закону проведено сравнение спектров колебаний давления и упругого элемента в зависимости от длины упругой части стенки. Движение упругой стенки описывалось с помощью геометрически нелинейных динамических

• уравнений теории тонких пластин, которые решались методом конечных разностей второго порядка точности. Установлено, что колебания газ д И упругого элемента; модулируются по амплитуде и частоте. ЧаслоТА модуляции равна разности нижней собственной частоты колебаний упругой пластины и частоты возбуждения. Аэроупругое взаимодействие приводит к перераспределению энергии возбуждения между упругой стенкой и газом и снижает интенсивность волн давления в резонаторе.

8. При численном исследовании аэроупругих колебаний в плоском закрытом канале с жесткими стенками при возбуждении упругой панелью, находящейся под действием гармонической внешней нагрузки рассмотрены режимы, возникающие при периодических и сложных квазипериодических колебаниях упругого элемента. Сопоставлены спектры мощности колебаний упругого элемента и газа. Установлено, что акустические колебания при возбуждении упругим элементом, происходящие с охватом обоих положений равновесия, содержат биения различной амплитуды и длительности, возникающие вследствие того, что спектр мощности колебаний упругого элемента содержит непрерывный участок вблизи частоты внешнего возбуждения. Выявлена пространственная локализация поперечных и продольных волн, установлен характер резонансных колебаний газа в окрестности области возбуждения при различных скоростях среднего потока газа в канале с колеблющимися стенками. Установлены сценарии синхронизации колебаний тонких упругих пластин, образующих участки стенок канала, заполненного газом.

9. Разработан метод диагностики динамического поведения, основанный на анализе дискретного множества состояний динамической системы в фазовом пространстве и показано его применение к задлче диагностики ламинарных и турбулентных фаз решений системы уравнение Лоренца и распознавания объектов по акустическому отклику.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Тукмаков, Алексей Львович, 2003 год

1. Авербух А.З. О движении тела с деформируемой поверхностью в идеальной несжимаемой жидкости. Изв.АН СССР, МЖГ,1973,Ы2.

2. Аврейцевич Я.М., Крысько В.А., Крысько A.B. Переход к хаосу в• ■диссипативных пластинчатых конструкциях// Материалы II Белорусского ко и -гресса по теоретической и-прикладной механике "Механика-99", Минск, 1999.

3. Аганин A.A., Смирнова Э.Т. Численное моделирование интенсивных возмущений газа акустическими резонаторами// В сб. «Моделирование динамических процессов в сплошных средах». Казань, 1997. Изд-во Казанского математического общества, с.34-80.

4. Аганин A.A., Ильгамов М.А. Нелинейные колебания газа в закрытой трубе при непериодическом движении поршня//Изв. РАН. Механика жидкости и газа. №2. 1998. С.134-142.

5. Аксенов И.Б., Тукмаков А.Л. Фрактальная размерность акустического сигнала в трубах с шероховатостью// Электронное приборостроение. Приложение к журналу "Вестник КГТУ (КАИ)". 2001. Выпуск 4(20). С.75-80.

6. Аксенов И.Б., Тукмаков A.J1. Хаотическая динамика биоэлектрической активности мозга// Электронное приборостроение. Приложение к журнал у "Вестник К'ГТУ (КАИ)". 2001. Выпуск 3(19). С.11-24.

7. Алексеев С.А. Задачи статики и динамики мягких оболочек. В кн.:Труды VI

8. Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. М.,"Наука",1966.• ■

9. Ю.Алексеев С.А., Голованов Е.В., Смирнов A.M. Экспериментальное исследование нагрузок на сферические оболочки, ~ создаваемых воздушным потоком. В сб.¡Расчет пространственных конструкций. Вып.13,1970.

10. Баженов В.Г., Игоничева Е.В. Нелинейные процессы ударного выпучивания упругих элементов конструкций в виде ортотропных оболочек вращения. Н.Новгород, Изд-во НГУ им.Н.И.Лобачевского. 1991. 132 с.

11. Анализ авторегрессий. Сборник статей под ред. Ю.П.Лукашина. М. "Статистика". 1978.231 с.

12. Бармина Л.А. Сила, действующая на деформируемый контур, движущийся в произвольном потоке жидкости. Изв. АН СССР, МЖГ, 1973, N1.

13. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред: М.: Наука. 1984. 520 с.

14. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука. 1982. 392 с.

15. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991.

16. Берковский Б.С. Стационарное движение упругого контура в ограниченной жидкости. Прикл.механика, 1967, N3.

17. Борис Дж.П., Бук Д.Л. Решение уравнений непрерывности методом коррекции потоков//Управляемый термоядерный синтез. Сб.ст.:М.: Мир. 1980. С.92-141.

18. Борисенко В.И., Кутищев М.А., Мукоед В.П. Численное моделирование газодинамических процессов в открываемой с торца трубе//Прикладная механика и техническая физика. Т.40. №1(233). 1999. С.74-79.

19. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М., Физматгиз, 1961.

20. Вайнберг Д.Б., Гуляев В.И. Численное решение задач об обтекании тел сложной и изменяющейся формы. В сб.: Труды, координационного совещания по гидротехнике. Вып.64, 1972.

21. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки. М., Гостехиздат, 1956.

22. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М., "Наука",. 1972.

23. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости. М.,"Наука", 1976.

24. Вольмир A.C., Скурлатов Э.Д. Флаттер оболочек в кратковременном потоке газа. В кн.Теория пластин и оболочек, М.,"Наука", 1971,с.29-36.

25. Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразований. Санкт-Петербург.: изд-во Военного университета связи, 1999.

26. Галиев Ш.У., Ильгамов М.А., Садыков A.B. О периодических ударных волнах в газе// Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. №2. С.57-66.

27. Галиев Ш.У., Шихранов H.H. Продольные нелинейные колебания газа, возбуждаемые в закрытой трубе со скачком.сечения// Труды VIII Всесоюзной акустической конференции. Акуст. Ин-т АН СССР. 1973. С.31-32.

28. Галиуллин Р.Г., Зарипов Р.Г., Галиуллина Э.Р., Давыдов Р.И. Резонансные колебания газа в закрытой трубе в области перехода к ударным волнам// Инженерно-физический журнал.2000.Т.73. №2. С.370-375.

29. Гафуров М.Б. Устойчивость цилиндрической оболочки конечной длины при ее поперечном обтекании жидкостью. В сб.: Труды семинара по теории оболочек, вып.VI, Казанск. физ.-техн. ин-т АН СССР, 1976.

30. Гениев Г.А. Поперечная устойчивость замкнутых конических оболочек при: движении в них потока идеального газа.// Строит.мех. и расчет сооруж.-1992.-№1. С.43-47.

31. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.:Наука. 1977. 440с.

32. Годунов С.К., Забродина A.B., Иванов МЛ., Крайко А.И., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.:Наука. 1976.400 с.

33. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.Ф., Шукуров A.M. Нестационарные колебания двух тонких упругих сферических оболочек в акустическом пространст-ве//Изв. РАН. Механика тв. Тела. №6. 1999; С. 128-133.

34. Горьков А.П. Нелинейные акустические колебания столба газа в закрытой трубе// Инженерный журнал. 1963. Т.З. Вып.2. С.246-250;

35. Григолюк Э.И; Проблемы взаимодействия оболочек с жидкостью. В кн.: Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. М.,"Наука",1970.

36. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Нестационарная гидроупругость оболочек. JI.,"Судостроение", 1974.

37. Григолюк Э.И., Кабанов B.B. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек. М., 1969 /ВИНИТИ, Итоги науки и техники. Серия Механн твердых деформируемых тел, 1967./

38. Григолюк Э.И., Лампер P.E., Шандаров Л.Г. Флаттер панелей и оболочек, "Итоги Науки", Механика, 1969.43.1"уляев А.И., Кузнецов В.Н. Колебания газа с большой амплитудой в закрытой трубе//Инженерный журнал. 1963. Т.З. Вып.2. С.236-245.

39. Гуляев А.И., Кузнецов В.Н. Коагуляция аэрозолей под действием периодических ударных волн//Акустический журнал. 1962. Т.8. Вып.4. С.219-220.

40. Гусев В.Э. Установление вынужденных колебаний в акустических резонаторах//. Акустический журнал. 1984. Т.ЗО. №2. С.204-212.

41. Диткин В.В., Орлов Б.А., Пшеничнов Г.И. Численное исследование: флаттера конических оболочек.// Изв. РАН. Мех. тверд. тела.-1993.-Ы1.-с.185-189.

42. Ильгамов M.A. Введение в нелинейную гидроупругость. М.: Наука. 1991.

43. Ильгамов М;А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ. М.,"Наука", 1969.

44. Ильгамов М.А. Изгиб и устойчивость цилиндрической оболочки при ее поперечном обтекании жидкостью// Прикл. механика, 1975, И, N3.

45. Ильгамов M.A., Мишин В.Н. Поперечные колебания трубы под действием бегущих волн в жидкости//Механика твердого тела. 1997. №1. С.88-95.

46. Ильгамов М.А., Мишин В.Н. О влиянии скорости движения жидкости внутри трубопровода на характер его колебаний// В сб. «Моделирование динамических процессов в сплошных средах». Казань, 1997. Изд-во Казанского математического общества, с.7-33.

47. Ильгамов МА., Тукмаков Численное моделирование нелинейного поведения упругой оболочки в потоке газа// Изв. вузов. Авиационная техника. 1995. №З.С.З-9.

48. Ильгамов М.А., Тукмаков A.JI. Численное моделирование нелинейного поведения упругой панели в потоке газа// Изв. РАН. Механика твердого тела. 1996. №5. С.134-141.

49. Илюшин A.A., Тукмаков А.JI. Построение неотражающих граничных" условий с помощью поглощающего слоя.//Численные граничные условия-Вып.26/Казанск. физ.- техн. ин-т КНЦ АН СССР, 1990, с.74-84.

50. КаО.-иов В.В., Курцевич Г.И. Устойчивость цилиндрической оболочки при несимметричном давлении. Прикл.механика, 1977, 13, №1.

51. Картузов Е.И., Ростовцев Д.М. • Нестационарное движение упругого профиля. В сб.¡Труды ЛКИ.Вып. 105,1976.

52. Кийко И.А. Постановка задачи о флаттере оболочки вращения и пологой оболочки, обтекаемых потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью// Изв. РАН. Прикладная математика и механика. Т.63, вып.2, 1999. С.317-325.

53. Киселев О.М. К задаче о газовом пузыре в плоском потоке идеальной жидкости. Изв.АН СССР. МЖГ, 1969, N4.

54. Киселев О.М. К задаче об обтекании наполненной газом оболочки плоским потоком идеальной жидкости. Изв.АН СССР. МЖГ, 1971, N3.

55. Киселев О.М., Рапопорт Э.Ф. О решении нелинейных задач статической гидроупругости. В сб.¡Механика деформируемого твердого тела, вып.2, Куйбышевск.ун-т, 1976.

56. Киселев О.М., Рапопорт Э.Ф. О струйном обтекании упругой пластины. Изв. АН СССР.МЖГ, 1974, N4.

57. Киселев О.М., Рапопорт Э.И. К задаче о струйном обтекании упругой оболочки. Изв.ВУЗов, Математика, 1976, N10.7Г.Киселев О.М.,.Рапопорт Э.Ф. О струйном обтекании упругой оболочки. Изв.АН СССР.МЖГ, 1977, N2.

58. Ковеня В.Мм Тарнавский Г.А., Черный С.Г. Применение метода расщепления в'задачах аэродинамики. Новосибирск: Наука. Сибир. отд-е. 1990. 247 с.

59. Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука.1981.304 с.

60. Корнишин М.С., Исанбаева Ф.С. Гибкие пластины и панели. М.,"Наука",1968.

61. Кочин Н.Е., Кибель-И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, ч.2, М., Физматгиз, 1963.

62. Крысько В.А., Крысько A.B. Проблема бифуркаций и жесткой потери : устойчивости нелинейной теории пластин//Меж. вуз. сб.«Механика оболочек и пластин в XXI веке». Саратов, 1999, изд-во СГУ.

63. Кузнецов О.В. Исследование структуры акустических полей в цилиндрическом отсеке, заглушённом пологими сферическими днищами и заполненным газом// Изв. РАН. Механика твердого тела. №6. 1996. С. 169-171.

64. Кукуджанов С.Н. О влиянии нормального давления на частоты собственных колебаний оболочек вращения, близких к цилиндрическим// Изв. РАН. Механика твердого тела. №6. 1996. С. 121-126.

65. S3.Kv;;;:kob А.Н. Нелинейный панельный флаттер: опасность жесткого возбуждения колебаний.// Дифференц.уравнения. 1992.Т.28, №6.С.1080-1081.

66. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика., Т.4. Гидромеханика. М.:Наука. 1988. 736 с. ~ '

67. Леглер Э.Л. Расчетное и экспериментальное исследование собственных колебаний мягкой цилиндрической оболочки. Экспериментальное исследование автоколебаний мягкой цилиндрической оболочки в потоке воздуха. Труды ЦАГИ, вып. 1253, 1970.

68. Леглер ЭЛ. Экспериментальное определение статической-формы мягкой' оболочки в потоке воздуха. Расчетное и экспериментальное исследование обтекания потоком воздуха профиля мягкой надувной оболочки*. Труды ЦАГИ, вып. 1382, 1972.

69. Липанов A.M., Кисаров Ю.Ф., Ключников И.Г. Численный эксперимент в. классической гидромеханике турбулентных потоков. Екатеринбург: УРО РАН. 2001.162 с.

70. Липницкий Ю.М., Ляхов В.Н., Фельдштейн В.А. Нестационарное взаимодействие упругой оболочки со скачком уплотнения.- Учен.зап. ЦАГИ, 1976, т.7,№1, с.80-88.

71. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.:Мир, 1984.

72. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Физматгиз. 1959.

73. Мавлютов P.P., Хакимов А.Г. Большие перемещения цилиндрической оболочки в плоском потоке идеальной жидкости. В сб.:Труды Уфимск.авиац.ин-та.Прочность конструкции. Вып.76,1973.

74. Макиенко В.Ф., Скурлатов Э.Д., Фельдштейн В.А. Экспериментально-теоретическое исследование переходных процессов деформации и устойчивости цилиндр1 ческих панелей под действием набегающей волны давления. -"Проблемы прочности", 1974, №10, с.21-25.

75. Моисеев В.В. Исследование динамики конструкций с жидкостью и газом с■помощью метода конечных элементов// Изв РАН. Механика твердого тела. К б. 1998. С.166-174.

76. Молодожникова Р.Н. К определению формы мягкой оболочки в потоке.//Некотор.задачи динам.меххистем/Моск.авиац.ин-т.М., 1991 .с.78-81.

77. Мнев E.H.,Перцев А.К. Гидроупругость оболочек.JI., "Судостроение", 1970.

78. Ф.Мун Хаотические колебания. М.: Мир, 1990.

79. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань, Татгиз, 1957.

80. Островский JI.A. О разрывных колебаниях в акустическом резонато-ре//Акустический журнал. 1974. Т.20. №1. С.140-142.

81. Отчет о деятельности Российской Академии Наук в 2001 году. Основные результаты в области естественных, технических, гуманитарных и общественных наук. М.: Наука. 2002.

82. Пейре Р., Тейлор Т. Вычислительные методы в задачах динамики жидкости. Л.:Гидрометеоиздат. 1986. 352 с.

83. Перцев А.К, Лиотко Л.И. Воздействие на цилиндрическую оболочку мгновенного импульса давления. Труды X Всесоюзной конференции пс теории оболочек и пластин, Тблиси, 1975.

84. Петрова С.И. Форма равновесия полости, ограниченной упругой пленкой, в однородном потоке жидкости.Изв АН СССР.МЖГ,1971,№1.

85. Полянский В.М. Оценка эффективности системы снижения ветровых нагрузок на упругое крыло.// Прикл. методы исслед. прочности JIA. Моск. авиац. ин-т. М.,1992. С.60-64.

86. Покровский JI.H. Динамика гибких пологих оболочек, обтекаемых потоком жидкости. В кн.:Труды IX Всесоюзной конференции по теория оболочек и пластин. JL, "Судостроение", 1975.

87. Покровский~ JI.H. Метод исследования аэроупругой устойчивости пологих оболочек, обтекаемых потоком несжимаемой : жидкости. Прикл.механика, 1976, Т.12, №3.

88. Ридель В.В. Численное исследование режимов нелинейных колебаний в абсолютно гибкой нити// Труды Межд.конференции «Актуальные проблемы механики оболочек». Казань, 26-30 июня 2000г., изд-во»Новое знание», с.344-349.

89. Ридель В.В., Ильгамов М.А. Нелинейные волны а абсолютно гибкой нити// Прикладная механика и техническая физика, 1997. Т.38, №6. С. 139-146.

90. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: 1980. 616 с.

91. Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука. 1975. 287 с.

92. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Численное и асимптотическое решение уравнений распространения гидроупругих колебаний в изогнутом трубопроводе//Прикладная механика и техническая физика. Т.41. №6. 2000i С.161-169.

93. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука.1971. 552с.

94. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука. 1980. 352 с.

95. Самсонов В.И. Выпучивание композитных цилиндрических оболочек-при динамическом нагружении.// Исслед. по теории пластин и оболочек . 1992.-№25, с. 121-129.

96. Сергиенко A.A. Теория панельного флаттера.// Изв.ВУЗоВ. Авиац.техника.-1993.-№3.-с.47-52.

97. Сивак В.Ф.,Телалов А.И. Экспериментальное исследование затухания колебаний продольно подкрепленной цилиндрической оболочки, контактирующей с жидкостью.// Прикл.мех. (Киев). 1992. т.28, №4. С.77-80.

98. Скурлатов Э.Д., Фельдштейн В.А. Экспериментально- * теоретическое исследование поведения цилиндрических оболочек при действии волны давления// Труды X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, Тблиси, 1975.

99. Скурлатов Э.Д. О поведении цилиндрических панелей и оболочек, находящихся под воздействием набегающей волны давления. В кн. Теория пластин и оболочек. М.,"Наука", 1971, с.256-261.

100. Стрекозов Н.П., Харченко В.И. Равновесие мягкой сферической оболочки при воздействии воздушного потока. В кн.:Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. М.,"Наука",1970.

101. Стрекозов Н.П.,Харченко В.И. Теоретическое и экспериментальное исследование напряженно деформированного состояния мягкой сферической оболочки при воздействии воздушного потока. Изв. АН СССР. МТТ, 1977, N1. С.47-54.

102. Сухинин С.В., Бардаханов С.П. Эоловы тона пластины в канале// Прикладная механика и техническая физика. Т.39, №2. 1998. С.69-77.

103. Сухинин С.В. Собственные колебания около пластины в канале// Прикладная механика и техническая физика. Т.39, №2. 1998. С.78-90.

104. Тетенов E.B., Федоров A.B. Распространение нелинейных волн в среде с немонотонным, уравнением состояния// Труды Всесоюзной конференци «Нелинейные явления». М.: Наука, 1991, 214 с. С.149-153.

105. Тимошенко СЛ., Войновский-Кригер С.А. Пластинки и оболочки. М., "Наука", 1966.

106. Тукмаков A.JI. Оптимизация параметров поглощающего слоя в расчетной области. Деп. ВИНИТИ N1824-B91,1991, 28с.

107. Тукмаков А.Л. О постановке поглощающего граничного условия при моделировании поперечного обтекания жесткого цилиндра газом. Деп. ВИНИТИ, N1148-B93, 12с.

108. Тукмаков А.Л. Поведение упругой оболочки в сверхзвуковом потоке газа// Межвузовский тематический сборник научн. трудов «Расчет пластин-и, оболочек в химическом машиностроении». Казань, изд-во КГТУ, 1994. С.143-147.

109. Тукмаков А.Л. Поперечное обтекание потоком газа цилиндрической оболочки, подкрепленной в лобовой точке./ЛГруды XVI международной t конференции по теории оболочек и пластин, Н.Новгород, 1994. Т.З. С.236-241.

110. Тукмаков А.Л. Нелинейные колебания упругой панели под действием периодической нагрузки//Труды XVII международной конференции по теории оболочек и пластин, Казань, 1996, т.2. С.61-66.

111. Тукмаков A.JI. Нелинейные колебания при динамической потере устойчивости упругой панели по несимметричной форме// Нелинейная акустика твердого тела. Сб трудов VIII сессии РАО, Н.Новгород, 1998, С. 1316.

112. Тукмаков А.Л. Нелинейные режимы колебаний упругой панели под действием периодической нагрузки//Испытания материалов и конструкций. Сб.научн.трудов Нф ИМАШ РАН. Н.Новгород, 2000, ид-во "Интелсервис", с.148-158.

113. Тукмаков А.Л. Нелинейные и хаотические колебания упругой панели// Изв.вузов. Авиационная техника 1999.N2. С.66-68.

114. Тукмаков А.Л. Нелинейный эффект при динамической потере устойчивости упругой панели по несимметричной форме//Изв. вузов: Авиационная техника. 1999. №4. С.76-77.

115. Тукмаков А.Л. Нелинейные режимы колебаний упругой панели под-действием периодической нагруэки//Прикладная механика и техническая физика.2000.Т.41 .N1. С.186-191 .

116. Тукмаков А.Л. Нелинейные и хаотические колебания упругой панели под действием периодической нагрузки// Труды Международной конференции "Актуальные проблемы механики оболочек". Казань, 26-30 июня 2000г. С.418-423.

117. Тукмаков А.Л. Генерация высокочастотных гармоник при интенсивных колебаниях газа в закрытой трубе//Тезисы докладов 3 международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях. 3-7 июля 2000г., Москва, изд-во МАИ. С. 316-317.

118. Тукмаков А.Л. Генерация высокочастотных гармоник при интенсивных колебаниях газа в закрытой трубе// Математическое моделирование. Т.13. №7. 2001. С.83-88.

119. Тукмаков А.Л., Зарипов Р.Г. Численное моделирование субгармонических колебаний газа в закрытой трубе//Изв.вузов. Авиационная техника. 2001. К С.64-67.

120. Тукмаков А.Л. Численное моделирование аэроупругих колебаний газа в закрытом канале//Изв.вузов. Авиационная техника. 2001. №2. С.53—57.

121. Тукмаков А.Л. Численное моделирование колебаний газового столба в закрытом канале с упругой стенкой// Изв.вузов. Авиационная техника. 2002. №1. С.31—34.

122. Тукмаков А.Л. Нелинейные колебания газа в закрытой трубе при большой амплитуде возбуждения// Теплофизика и аэромеханика. 2001. Т.8. №1. С. 101108.

123. Тукмаков А.Л. Генерация высокочастотных гармоник при колебаниях газа с большой амплитудой в закрытой трубе// Инженерно-физический журнал. 2001. №5.С.39-44.

124. Тукмаков А.Л. Нелинейные колебания газового столба в закрытом канале с упругой стенкой// Сб. научн. трудов ИММ ЮЩ РАН. Казань. 2001. С.60-68.

125. Тукмаков А.Л. Нелинейные эффекты при колебаниях газа в закрытых трубах и каналах//Аннотации докладов 8 Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. Екатеринбург: УРО РАН. 2001. С.566.

126. Тукмаков А.Л. Нелинейные колебания газа в закрытом канале при возбуждении упругим поршнем// Тезисы докладов Второйнаучно-технической конференции, посвященной 15-летию Нф ИМАШ РАН. 2001. Н. Новгород. С. 101.

127. Тукмаков А.Л., Зарипов Р.Г. Нелинейные колебания газового столбя в закрытом канале с упругой стенкой// Тезисы докладов Вт.; . научно-технической конференции, посвященной 15—летию Нф ИМАШ РАН. 2001. Н. Новгород. С. 102.

128. Тукмаков А.Л. Синхронизация фазы колебаний аэроупругосвязанныхпластин// Тезисы докладов 4 Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях. Санкт-Петербург. 2002. С.42-44.

129. Тукмаков А.Л., Аксенов И.Б. О распознавании объектов на основе анализа акустического отклика при помощи функции числа состояний динамической системы// Изв. вузов. Авиационная техника. 2003. №1. С.62-67.

130. Тукмаков А. Л.».Аксенов И.Б. Идентификация объектов на основе анализа функции числа состояний акустического отклика // Журнал технической физики. 2003. Т.73. Вып. 10. С. 130-133.

131. Тукмаков A.J1. Синхронизация колебаний аэроупругосвязанных пластин// Тезисы докладов IV научной конференции "Нелинейные колебания механических систем". 16-19 сентября 2002 г. Н.Новгород. Изд—во ННГУ им.Н.И.Лобачевского. С.149-150.

132. Тукмаков А.Л. Численное моделирование течения газа в плоском канале с: колеблющейся стенкой// Теплофизика и аэромеханика.2002. Т.9; №3.C.349—356.

133. Тукмаков А.Л; Течение газа в плоском канале с колеблющимися, стенками//Инженерно-физический журнал.2002. Т.75. №6. С.109—115.

134. Тукмаков А.Л. Численное,моделирование газодинамических процессов в закрытой трубе при неравновесных начальных условиях// Изв.РАН. Математическое моделирование. 2003. Т.15. №4: С122-128.

135. Тукмаков А.Л. Колебания газа в закрытой трубе, возникающие вследствие неравновесного начального распределения давления// Труды Второй Всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике".2002. Москва. МГТУ им.Н.Э.Баумана, стр. 83-85.

136. Тукмаков А.Л. Возникновение синфазных колебаний тонких пластин при аэроупругом взаимодействии// Прикладная механика и техническая физика.2003.Т.44. №1.с.41-48.

137. Тукмаков А.Л. О диагностике ламинарных и турбулентных режимов движения при помощи функции числа состояний динамической системы// Письма в Журнал технической физики. 2002. Т.28. Вып.6. С.18-23.

138. Тукмаков А.Л. Сопоставление информации Шеннона, информации Тсаллиса и функции числа состояний системы при диагностике регулярных и хаотических режимов движения// Журнал технической физики. 2002. Т.72. Вып.7. С.137—140.

139. Тукмаков А.Л. Применение функции ~ числа состояний динамической системы для исследования . энцефалографической реакции на фотостимуляцию// Журнал высшей-нервной деятельности. 2003. Т.53. №4. С.531-534.

140. Фаддеев Ю.И. Нестационарное движение плоского деформируемого контура в неоднородном потоке невязкой жидкости. В сб.:Труды ЛКИ. Вып.63, 1968.

141. Фельдштейн В.А. Динамическое взаимодействие упруго- пластической цилиндрической оболочки с волной сильного разрыва. В кн.Труды X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, Кутаиси, 1975, т.2, с.З72-380.

142. Фетисов С.П., Мещерикова В.В., Гавриленко Т.В. Модельные исследования вибрации гибкой конструкции, Обтекаемой потоком с уче~ податливости опор//Изв.ВУЗов. Стр-во и архит. 1991. №11, с.97-102.

143. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М.: Мир, 1991'. Т.2.-551.с.

144. Фын Я.Ц. Введение в теорию аэроупругости.М.,Физматгиз, 1959.

145. Хакимов А.Г., Гафуров М.Б. Большие перемещения эллиптической цилиндрической оболочки в плоском потоке идеальной жидкости. В сб.:Труды семинара по теории -оболочек, вып.IV, Казанск. физ.-техн. ин-т АН СССР, 1974.

146. Челомей C.B., Щеглов Г.А. О динамической устойчивости прямого трубопровода, нагруженного переменной осевой силой при протекании через него пульсирующей жидкости// Изв РАН. Механика твердого тела. №6. 1998. С.175-184.

147. Челомей C.B. О динамической устойчивости упругих систем //Докл. АН СССР. 1980. Т.252. №2. С.307-310.

148. Челомей C.B. О динамической устойчивости упругих систем при протекании через них пульсирующей жидкости//// Изв РАН. Механика твердого тела. №5. 1984. С.170-174.

149. Шагидуллин P.P. Линейный изгиб упругой цилиндрической оболочки при различных режимах поперечного обтекания маловязкой жидкостью. В сб.:Труды семинара по теории оболочек, вып.1У, Казанск. физ.-техн. ин-т АН СССР, 1974.

150. Шагидуллин P.P. Уравнение деформации сечения упругой цилиндрической оболочки, находящейся в потоке жидкости. В сб.: Труды семинара по теории оболочек, вып.VI, Казанск. физ.-техн. ин-т АН СССР, 1975.

151. Шагидуллин P.P. Сильный изгиб упругой цилиндрической оболочки при поперечном обтекании жидкостью. В сб.: Труды семинара по теории, оболочек, вып.VII, Казанск. физ.-техн. ин-т АН СССР, 1976.

152. Шагидуллин P.P. Исследование задачи обтекания оболочки модели следа Паркинсона-Яндали. В сб.:Труды семинара по теори; оболочек, вып.VIII, Казанск. физ.-техн. ин-т АН СССР, 1977.

153. Швец А.И. Течение в донной области плоских тел// Механика жидкости и газа.-1972.-Ы6- с.61-70.

154. Швец А.И., Швец И.Т. Газодинамика ближнего следа. Киев: Наукова думка, 1976,381 с.

155. Шенг Дж. С. Обзор численных методов решения уравнений Навье-Стокса для течений сжимаемого газа//Аэрокосмическая техника. 1986. Т.4. №2. С.65-92.

156. Шмаков А.В. Применение частных решений волнового уравнения в плоской нестационарной задаче гидроупругости для цилиндрической оболочки.// Числ. методы исслед. прочн. и разр. деформ. систем. Моск. авиац. ин-т-M., 1991 .-с. 118-128.

157. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1998.

158. Якимов Ю.Л. Уравнения движения тонкого тела в возмущенном потоке несжимаемой жидкости. Изв. АН СССР. МЖГ, 1969, N1.

159. Aganin А.А., Ilgamov M. A., Smirnova Е.Т. Development of longitudinal gas oscillations in a closed tube// Journal of Sound and Vibration. 1996. Vol.195. №3. P.359-374.

160. Betchov R. Nonlinear oscillations of the column of a gas//J.Phys. Fluids. 1958. Vol.6. №6, P.205-212.185^ Bismarck-Nasr Maher N. Supersonic panel flutter analysis of shallow shells// AIAA Journal. 1993-v.31, N7.p. l 349-1351.

161. Capurro A., Diambra L., Lorenzo D. et. al Human brain dynamics: the analysis of EEG signals with Tsallis information measure //Physica A. 1999. Vol.2 P.235.

162. Chester W. Resonant oscillations in closed tube//J.Fluid Mech. 1964. Vol.18. №1. P.44-46.

163. Chester W. Resonant oscillations of a gas in a open-ended tube// Proc. Roy. Soc. London. 1981. 377A. P.449-467:

164. Chester W. The acoustical impedance of a semi-infinite tube fitted with a conical fiance//ZAMP. 198£.-Vol.34. №3. P.412-417.

165. Coppes F.B., Sanders J.V. Finite-amplitude standing waves in rigid-walled tubes// JASA.1968.Vol.43. №3. P.516-529.

166. Cruikshank D.B. Experimental investigation of finite-amplitude acoustic oscillations in closed tubes//JASA. 1972. Vol.52. №3. P. 1024-1034.

167. Farhat C., Lin T.Y. Structure-attached corotational fluid grid for transient aeroelastic computations.//AIAA Journal.- 1993.-v.31.-p.597-599.

168. Felker Eort F. Direct solution of two-dimensional Navier- Stokes equations for static aeroelasticity problems// AIAA Journal.- 1993.-v.31,Nl,p.l48-153.

169. Holmes P., Moon F. Strange attractors and chaos in nonlinear mechanics// Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1983. V.50. P.1021-1032.

170. Ibrahim R.A., Orono P.O. Stochastic non-linear flutter of a panel subjected to random in-plane forces//Int.J.Non-Linear Mech.-1991.-26, N6,- p.867-883.

171. Ilgamov M.A., Lukmanov R.L. Nonlinear vibrations of a pipline under the action of pressure .waves in fluid//Proceedings of the Ninth International Offshore and Polar Engineering Conference, Brest, France, 1999, P. 145-152.

172. Ilgamov MA., Zaripov R.G., Galiullin R.R., Repin V.B. Nonlinear oscillations of a gas in a tube// Appl. Mech. Rev. 1996, Vol.49, №3. P.137-154.

173. Israeli M., Orzag S.A. Approximation of radiation boundary conditions// J.Comput. Phys.,1981, Vol.41, N1, p. 115-135.

174. Keller J. Nonlinear acoustic resonances in shock tube with varying cros^-sectional area//ZAMP. 1977. Vol.28. №1. P.107-122.

175. Keller J. Subharmonic nonlinear acoustic resonances in open tubes//Part 1. Theory. ZAMP.1977. Vol.28. №3. P.419-431.

176. Keller J. Resonant oscillations in open tubes// ZAMP. 1982. Vol.33. №2. P.590-610.

177. Kozarov M., Vodenitcharova T. Linear panel flutter of an elliptic cylindrical shell.//Arch. Appl. MechT-~1991,v.61, N8,p.505-516.

178. Kozarov M., Vodenitcharova T. Elliptic cylindrical thin panel in a supersonic air stream// Eur.J.Mech.A.- 1993-v. 12,N6,p.879-891.

179. Lend S. , Tarantino A. M. Bifurcation and chaos in bilinear, constrained column//Europ. J. Mech. 199,5. V.14, №5. P.789-806.

180. Lexmann K.D. Die Dampfungsverluste bei starken schallschwingungen in röhren// Ann.Phys. 1934. Vol.21 .№ 1 .P. 101 -109.

181. Lettau E. Messungen an Schwingunen von gassaulen mit stellen fronten in rohrleitungen// Deut. Kratftahrforsh. 1939.Bd39.№ 1 .P. 1 -17.

182. MacCormak R.W. Current status of numerical solutions of the Navier-Stokes equations//AIAA Paper 85-0032.

183. MacCormac R.W., Baldwin B.S. A numerical method for solving the Navier-Stokes equations with application to shock-boundary layer interaction.//AIAA Paper 75-1.

184. MateescuD., Newman B.G. Analysis of flexible- membrane and jet-flapped airfoils using velocity singularities / J.Aircraft.- 1991.-28, N11.-p.789-795.

185. Mercli P., Thomann H. Transition to turbulence in oscillating pipe flow// J. Fluid Mech. 1975. Vol.68. №1. P.161-175.2 cl

186. Mortell M.P., Seymour B.R. A finite-rate theory of quadratic resonance in-a closed tube// J. Fluid Mech. 1981. Vol. 112. P.411 -431.

187. Okajima A., Kitajima K. Numerical study on aeroelastic instability of cylinders with circular and rectangular cross- sections.// J.Wind.Eng.-1992.-N52,-p.362-367.

188. Patel V.C., Rodi W., Scheuerei* G. Turbulence models for near-wall and low/ Reynolds number flows: a Review.//AIAA Journal, Vol.23, Sept.1985. P.1208-1319.

189. Poincare H. Les methodes Nouvelles de la Mechanique Celeste. Gauthier-Villars, Paris, 1967.

190. Saenger R.A., Hudson G.E. Periodic shock waves in resonating gas column//JASA. 1960. Vol.32.№8. P.961-971.

191. Steger J.L. Implicit finite-difference simulation of flow about arbitrary two-dimensional geometries// AIAA J. 1978. Vol.16, №7. P.679-686.

192. Sturtevant B.B. Nonlinear gas oscillations in pipes. Part2: Expirement// J. Fluid Mech. 1974. Vol. 63. №1. P.97-120.

193. Tamura T., Iton Y., Wada A., Kuwahara K. Numerical investigation on the aeroelastic instability of bluff cylinders.// J. Wind Eng.-1992.-N52-p.505-510.

194. Temkin S. Propagation and standing sawtooth waves//JASA. 1969. Vol.45. №1. P.224-227.

195. Temkin S. Selective damping of resonant acoustic waves in tubes//J. Sound and Vibr. 1974. Vol.36. №3. P.389-398.

196. Tong S., Bezerianos A., Paul J., Zhu Y., Thakor N. Nonextensive entropy measure of EEG following brain injury from cardiac arrest// Physica A. 305 (2002). P.619-628.

197. Vinokur M. Conservation Equations of Gasdynamics in Curvilinear systems. //J. of Comput. Phys. 1974. V.14. P.105-125

198. Vivivand H. Conservative forms of gas dynamics equations// La Recherche aerospatile. 1974. №1. P. 65-68.

199. Zaripov R.G., Ilgamov M.A. Nonlinear gas oscillations in a pipe//J. Sound a fid Vibr. 1976. Vol.46. №2. P.245-257.