Микроскопическая теория структурных и фазовых превращений в смектических жидких кристаллах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Хейфец, Борис Борисович

• Хейфец, Борис Борисович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Хейфец, Борис Борисович

Введение

Обзор литературы

часты. Теория гибких струн для болалипидных мембран

Часть п. Эффект добавочной площади на границе доменов

частый. Микроскопическая теория пор в мембранах

Заключение

Выводы

Приложения

Список публикаций

Список литературы

Полное содержание:

Введение

Обзор литературы

1. Смектические жидкие кристаллы

1.1. Жидкие кристаллы

1.2. Теоретическое описание

2. Липидные мембраны

2.1. Биологическая роль

2.2. Биологические мембраны

2.3. Липиды

2.4. Теоретическое описание

2.5. Рафты

2.6. Болалипиды

3. Теория гибких струн для монолипидных мембран

3.1. Входные параметры

3.2. Функционал свободной энергии

3.3. Граничные условия

3.4. Условие самосогласования

3.5. Условие равновесия

3.6. Латеральное давление

3.7. Площадь на ли пи д

3.8. Профиль латерального давления

3.9. Проверка приближения

з.ю. Параметр порядка

З.и. Термодинамические коэффициенты

3.12. Свободная энергия осцилляции цепочек

3.13. Оценка квантовых эффектов

4. Теория пор в липидных мембранах

4.1. Связь изгиба и растяжения

4.2. Теория пор в большом каноническом ансамбле

4.3. Геометрический фактор

4.4. Переход бислоя в пористую фазу

4.5. Теория пор в каноническом ансамбле

часты. Теория гибких струн для болалипидных мембран

1. Входные параметры

2. Функционал свободной энергии

3. Граничные условия

4. Условие самосогласования

5. Условие равновесия

6. Суммарное латеральное давление

■й- V

7. Площадь на липид

8. Профиль латерального давления и параметр порядка

9. и-конформация

часть п. Эффект добавочной площади на границе доменов

1. Суть эффекта

2. Энергия границы одного домена

3. Монолипиды как жёсткие стержни

4. Оценка эффекта добавочной площади

5. Стабильность доменов

частьш. Микроскопическая теория пор в мембранах

1. «Микроскопические корни» теории пор в ЫУТ мембранах

1.1. Для болалипидов

1.2. Для монолипидов

2. Давление

3. Микроскопическая теория пор в липидных мембранах

3.1. Монолипиды: жидкий предел

3.2. Болалипиды: жёсткие струны

3.3. Фазовая диаграмма порообразования

3.4. Сравнение с экспериментальными данными

Заключение

Выводы

Приложения

Список публикаций

Список литературы

ж ^

Список рисунков:

Рис. 1 Типы липидов: монолипид, болалипид, болалипид в U-конформации

Рис. 2 Домен в двукомпонентной мембране: добавочная площадь

Рис. 3 Липид как гибкая струна

Рис. 4 Типы взаимодействия липидов в мембране между собой и качественный профиль латерального давления

Рис. 5 Различные структуры образуемые лиотропными жидкими кристаллами в воде в зависимости от концентрации

Рис.6 Нематик

Рис.7 Смектики:АиС

Рис.8 Хиральные жидкие кристаллы

Рис.9 Схематическая репрезентация интенсивности рассеяния рентгеновских

лучей от различных жидкокристаллических фаз

Рис.ю Углы Эйлера

Рис. И Твёрдые стержни Онзагера

Рис. 12 Элементарные деформации жидких кристаллов

Рис. 13 Элементарные деформации в нематике

Рис. 14 Биологическая мембрана

Рис. 15 Концентрации липидов во внутреннем и внешнем слое мембраны

эритроцита человека

Рис. 16 Химическая структура фосфатидилхолина

Рис. 17 Вода это полярная жидкость

Рис. 18 Схема молекулы липида и виды взаимодействия липидов в мембране

между собой

Рис. 19 Схема получения искусственных мембран

Рис. 20 Характерные размеры и основные взаимодействия липидного бислоя

Рис. 21 ЯМР: Параметр порядка для монолипида

Рис. 22 Равновесная форма мембраны при различной Гауссовой кривизне

Рис. 23 При концентрации дефектов больше критической в мембрен образуются рафты

Рис.24 Энергия гидрофобного несовпадения

Рис. 25 Сравнение химической структуры моно- и бола- липидов

Рис.26 Оценка несжимаемой площади

Рис. 27 Модель гибких струн: эффективный потенциал

Рис. 28 Первые пять собственных функций оператора потенциальной энергии

монолипидов

Рис. 29 Приближение для расчёта свободной энергии осцилляций цепочек

Рис. 30 Молекулярная динамика: образование поры в ООРС

Рис. 31 Критические величины в теории пор

Рис. 32 Первые пять собственных функций оператора потенциальной энергии

болалипидов

Рис. 33 Модель гибких струн: профиль латерального давления

Рис. 34 Молекулярная динамика: профиль латерального давления

Рис. 35 Модель гибких струн: параметр порядка

Рис.36 ЯМР: параметр порядка

Рис. 37 Молекулярная динамика: параметр порядка

Рис. 38 Домен в двукомпонентной мембрана, вид сверху

Рис. 39 Сравнение эффекта добавочной площади с энергией гидрофобного

несовпадения

Рис.40 Конечные рафты в конечных мембранах

Рис. 41 Фазовая диаграмма порообразования

Рис. 42 Свободная энергия мембраны, как функция от растяжения, А, при

фиксированном радиусе поры, К

Рис. 43 Свободная энергия мембраны, как функция от радиуса поры, ^ при

фиксированном растяжении А

Рис. 44 Радиус поры мембраны, ^ как функция от растяжения, А

Рис. 45 Корни уравнения 1ап(х) + 1апЬ(х) = 0

Рис. 46 Связь между квадратом среднего отклонения центров цепочки от

вертикали, с средней площадью заметаемой цепочкой

Рис. 47 Контур интегрирования для взятия суммы

Рис. 48 Контур интегрирования для взятия суммы: полюсы после замыкания

^ У

•vT

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Микроскопическая теория структурных и фазовых превращений в смектических жидких кристаллах»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы. Физика структурных и фазовых превращений в смек-тических жидких кристаллах представляет собою активно развивающееся направление физики конденсированного состояния. Отдельное важное место в развитии этого направления занимают фундаментальные и прикладные исследования липидных и болалипидных биологических мембран клеток живых организмов, рассматриваемых как мультикомпонентные двуслойные смектиче-ские жидкие кристаллы. Их изучение преследует такие цели как понимание процессов, протекающих в живых организмах, так и дальнейшее развитие пе- ' рспективных методов лечения человека, таких как адресная доставка активных молекул к поражённым клеткам организма.

Данную работу можно разделить на три части.

Б первой части рассматривается теоретическая микроскопическая модель болалипидной мембраны — мембраны архей [1,2]. В отличие от обычных липи-дов (см. рис. 1(а)), болалипиды простираются на весь бислой (см. рис. 1(Ь)), имеют более прочную химическую связь, соединяющую гидрофильную голову и гидрофобные хвосты [3], менее гибкие углеводородные цепочки [4]. Всё это способствует тому, что болалипидная мембрана может быть устойчивей липидной при внешних термодинамических и химических воздействиях [3-5]. Это открывает потенциальные возможности применения болалипидных мембран в медицинских приложениях и обуславливает к ним повышенный интерес [6].

Болалипиды рассматриваются в рамках модели гибких струн (см. раздел "Методы вычисления", далее). Модель гибких струн применяется и в остальных частях диссертационной работы.

лалипид в hair-pin конформации ху: на границе домена имеется добавочная

площадь, которую граничные липиды должны поделить между собой

Во второй части рассматривается эффект добавочной площади на границе домена жидко-неупорядоченных липидов в жидко-упорядоченной матрице [7] (см. рис. 2). Задача имеет отношение к проблеме малого размера рафтов [8] — ме-тастабильных доменов в мультикомпонентных липидным мембранах. In vivo рафты существуют до Ю3 с [9], и до нескольких дней in vitro [10]. При этом они имеют небольшой размер: 10-100 нм in vivo [8], и порядка нескольких микрон in vitro [11].

В экспериментах, проводимых на модельных мембранах, было установлено, что рафты бислойны и имеют практически круглую форму, которая быстро (за времена порядка секунд) восстанавливается при возмущении, что указывает на наличие достаточно большой (по сравнению с температурными флуктуациями) энергии границы рафтов. Часть этого натяжения приходится на гидрофобное несовпадение рафта и мембарны по высоте [12-14]. Другая часть, вероятно, приходится на эффект добавочной площади, о котором мы упоминали выше (см. рис. 2).

Экспериментальному [9,10,15] и теоретическому [16-18] исследованию раф-

тов посвящено большое количество работ. Однако физические механизмы фазовых переходов, приводящих к появлению рафтов до конца не выяснены. В частности не оценён эффект добавочной площади, приводящий к более высокому-линейному натяжению на границе рафт-мембрана. Свойства и состояние рафтов оказывают решающее влияние на функционирование большинства мембранных белков и протекание таких процессов, как внутри- и внеклеточная передача сигналов, экзо- и эндоцитоз, сборка вирусных частиц. Это обуславливает актуальность теоретического исследования вопросов связанных с энергией границы рафтов.

Третья часть, так же как и первая, посвящена теоретическому сравнению устойчивостей к порообразованию при латеральном растяжении липидной и бо-лалипидной мембран. Однако, если в первой части сравнивались свободные энергии мембран, то в этой части сравниваются критические давления — наименьшие давления при которых в мембранах возникают стабильные поры.

Критическое давление — это важный показатель устойчивости мембраны к внешним латеральным напряжениям, а теория пор имеет фундаментальную ценность для теории липидных мембран.

Цели и задачи исследования. Целью работы является построение фазовых диаграмм порообразования жидкокристаллической монолипидной мембраны, и гельфазной болалипидной мембраны из микроскопической модели. Кроме того, работа посвящена вычислению вклада в энергию границы рафта энергии связанной с дополнительной площадью несовпадения на границе рафт — окружающая мембрана.

Для достижения поставленных целей необходимо решить следующие задачи:

• построить микроскопическую модель гибких струн для болалипидов

• использовать микроскопическую теорию для параметризации феноменологического описания пор в липидных мембранах

• получить аналитическое выражение для критического давления в терминах микроскопической модели

• оценить как зависит величина добавочной площади на границе домена другой фазы от размера домена, и микроскопических характеристик липидов мультикомпонентной мембраны

• оценить влияние на величину и термодинамическую стабильность рафтов эффекта добавочной площади на их границе

Методы вычисления. Вычисления проводились в рамках теории гибких струн, впервые предложенной в [19]. В этой модели липид моделируется в виде эффективной струны с несжимаемой площадью поперечного сечения, Ао, с заданной изгибной жёсткостью (см.рис. 3), Kf. Под действием тепловых флуктуаций (и движения липида как целого по мембране), эффективная струна, в среднем, заметает цилиндр сечения А.

Рассмотрение ведётся в терминах отклонений формы струны как функции от координаты г по толщине мембраны от вертикали, К,(2:). Взаимодействие липидов между собой моделируется с помощью квадратичного потенциала, жёсткость которого, В, находится с помощью условия самосогласования учитывающее энтропийное отталкивание между цепочками соседних липидов как функцию от площади на липид. Функционал энергии цепочки в самосогласованном поле соседей, которое учитывает энтропийное отталкивание между цепочками, записывается в виде:

(записано для болалипидов) Здесь первое подынтегральное слагаемое описывает кинетическую энергию колебаний цепочки, второе слагаемое — изгибная энергия цепочки с изгибным модулем (жёсткость цепочки) Кпоследнее слагаемое — описанный выше самосогласованный потенциал энтропийного отталкивания. Таким образом, последние два слагаемых в (1) представляют в сумме

о

сЬ

(1)

9г

функционал «потенциальной энергии» для произвольной конформации цепочки К.(г).

Произвольную конформацию липида К(г) можно разложить по собственным функциям оператора потенциальной энергии липида: Ях = ^п• Далее» с помощью техники интеграла по траекториям, удаётся вычислить вклад энтропийного отталкивания между липидами в свободную энергию липидной мембраны и получить последнюю в виде функции от площади на липид. Зная свободную энергию углеводородных цепочек в мембране, можно вычислить профиль латерального давления (отталкивания) по толщине мембраны (см. рис. 4). Это энтропийное отталкивание компенсируется поверхностным натяжением в области гидрофобных голов липидов (см. рис. 4). Из условия баланса этих сил, т.е. из условия минимальности свободной энергии мембраны, находится равновесная площадь на липид, А.

Рис. 3. Липид как гибкая струна

Рис. 4. Типы взаимодействия липидов в мембране между собой и качественный профиль латерального давления

Гидрофильные полярные группы

Зная площадь на липид, величину энтропийного отталкивания между липидами и их эффективную изгибную жёсткость, можно вычислить свободную энергию липидных цепочек, что даёт ключ к вычислению эффективных упругих модулей и других механических и термодинамических характеристик (бола)липидных мембран.

Научная новизна. В работе впервые построена и применена модель гибких струн для описания фазовых и структурных превращений в болалипидной мембране. На ее основе произведено сравнение свободных энергий моделируемых мембран из моно- и бола- липидов. Аналитически вычислен профиль латерального давления болалипидной мембраны, и ряд других её термодинамических свойств. Построена феноменологическая теория порообразования в липидных мембранах для ансамбля с заданными объёмом, числом липидов и температурой (NVT ансамбль) с использованием коэффициента латерального растяжения/сжатия мембраны вычисленного на основе микроскопической модели гибких струн . Вычислены фазовые диаграммы порообразования в жидкокристаллической монолипидной мембране, и гельфазной болалипидной мембране. Обнаружено, что выражение для критического давления жидкокристаллической монолипидной мембраны содержит дополнительный малый параметр по сравнению с выражением для гельфазной болалипидной мембраны. Вычислен вклад в линейное натяжение границы домена другой фазы в липидной мембране связанный с добавочной площадью несовпадения в области соприкосновения разных фаз.

Практическое значение работы. Практическая значимость работы заключается в разработке и применении модели гибких струн для расчёта термодинамических и упругих свойств болалипидных мембран. Эта модель позволяет рассматривать термодинамику болалипидных мембран на основе микроскопической теории, и сравнивать стабильность бола- и монолипидных мембран в терминах свободных энергий липидов. Построение микроскопической теории порообразования в мембранах позволяет сравнить механическую стабильность бола- и

монолипидных мембран в терминах критических латеральных давлений. Кроме того, эта теория связывает критическое давление с линейным натяжением кромки поры. В случае болалипидной мембраны обе величины экспериментально неизвестны. Однако если удастся измерить одну из них, то теория даст предсказание для величины другой. Результат вычисления вклада в энергию линейного натяжения доменов энергии связанной с площадью несовпадения на границе может быть по порядку равен энергию гидрофобного несовпадения. В перспективе этот эффект можно оценить численно с помощью молекулярной динамики.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях:

1. Kheyfets В.В. Bolalipid Membrane As a Coating Material For The Address Delivery Of Healing Molecules // 31st International SAMPE Conference, Paris, France, 2010.

2. Kheyfets B.B., Mukhin S.I. Flexible Strings Model: Two Types of Lipids in the Same Membrane // Coarse-Grained Biomol. Model. CECAM-HQ-EPFL, Lausanne, Switzerland, 2011.

3. Kheyfets B.B., Mukhin S.I. Analytical approach to thermodynamics of bolalipid membrane // 19th International Symposium «Metastable Amorphous Nanostructured Materials» ISMANAM 2012, NUST "MISiS", Moscow, 2012.

4. Mukhin S.I., Kheyfets B.B. Analytical Derivation Of Thermodynamic Properties Of Bolalipid Membrane // 54th Annual Meeting of American Biophysical Society, San Francisco, California, 2010.

5. Mukhin S.I., Kheyfets B.B. Analytical approach to thermodynamics of bolalipid membrane // 9th International Frumkin Symposium "Electrochemical Technologies and Materials for the XXI Century" Russian Journal of Electrochemistry, Moscow, 2010.

Публикации.

1. Mukhin S.I., Kheyfets B.B. Analytical approach to thermodynamics of bolalipid membranes // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 82, № 5. P. 051901.

2. Kheyfets B.B., Mukhin S.I. Entropie part of the boundary energy in a lipid membrane // Biochem. Mosc. Suppl. Ser. Membr. Cell Biol. 2011. Vol. 5, № 4. P. 392-399.

(также 2014-Map-25 будет опубликована статья Mukhin S.I., Kheyfets B.B. Pore formation phase diagrams for lipid membranes, JETP Lett.).

Объём и структура диссертации. Работа изложена на 155 страницах и иллюстрирована 48 рисунками. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Список цитированной литературы содержит 93 наименований.

¡0

Введение

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1. Смектические жидкие кристаллы

Обычно различают четыре агрегатных состояния вещества: твёрдое, жидкое, газообразное и плазму. Агрегатное состояние, в котором находится тело при данных условиях есть результат "борьбы" между связывающими атомы (или молекулы) силами и тепловым движением, разрывающим эти связи. Поэтому при достаточно низких температурах все вещества находятся в твёрдом состоянии, а при повышении температуры переходят в жидкое, газообразное и, потом, в плазму. Такая череда состояний обусловлена тем, что слабые связи разрушаются при более низких температурах, сильные — при более высоких.

Однако возможны и промежуточные случаи. Например монослой жидкости есть промежуточное состояние вещества между газообразным и жидким состояниями. Или: жидкие кристаллы — есть промежуточное состояние между твёрдым и жидким состоянием: они текут как жидкости, но обладают дальним или ближним порядком — как твёрдые тела [20,21].

и. Жидкие кристаллы

Отдельные молекулы не обладают жидкокристаллическими свойствами, но им присуща способность, агрегируясь с другими молекулами, создавать частично упорядоченные структуры. Эта их способность называется мезогенностью. Вещества обладающие этим свойством хотя бы в каких-нибудь условиях, называются мезогенами, а само жидкокристаллическое состояние вещества также называют мезоморфной фазой или мезофазой [22].

Мезофазы могут иметь ориентационный (смектик В) порядок, ориентаци-онный и позиционный (смектик А), или вообще не иметь порядка (нематик). Порядок, если имеется, простирается лишь в одном направлении [23,24].

Мезогенами бывают как вытянутые так и сферические молекулы.

По условиям существования жидкие кристаллы разделяют на термотроп-ные, лиотропные и металлотропные.

Термотропные жидкие кристаллы существуют в некотором температурном интервале, выше которого они представляют собой жидкость, а ниже — твёрдое тело (при отсутствии других жидкокристаллических модификаций у данного вещества). Таким образом, область существования термотропных жидких кристаллов зависит от одного параметра — температуры.

Область существования лиотропных жидких кристаллов зависит от двух параметров: температуры и концентрации жидкого кристалла. В качестве растворителя обычно выступает вода, и тогда в молекулах растворённого вещества обычно можно выделить полярную гидрофильную и неполярную гидрофобную части. Такие молекулы называются амфифильными. Вода, стремясь насытить водородные связи выталкивает гидрофобную часть [25]. В результате этого, амфифильные молекулы, в зависимости от концентрации их в воде, образуют различные пространственные структуры (см. рис. 5).

Amphiphile concentration /wt%

Рис. 5: Различные структуры образуемые лиотропными жидкими кристаллами в воде в зависимости от концентрации

cubic

Металлотропные жидкие кристаллы содержат как органические, так и неорганические вещества. Соответственно область существования металлотропных жидких кристаллов зависит ещё и от соотношения органической и неорганической компонент.

По структуре жидкие кристаллы можно классифицировать на

• нематические (см. рис. 6),

• смектические (см. рис. 7),

• хиральные (см. рис. 8)

• и др.

Рис. б.Нематик

Рис. 7: Смектики: А (слева) и С (справа)

Рис. 8: Хиральные жидкие кристал -лы

Нематик состоит из вытянутых молекул, ориентированных в одном направлении, тогда как в смектике вытянутые молекулы разбиты на слои. В смектике А слои ориентированы перпендикулярно поверхности слоя, а в смектике С — под углом.

Хиральные жидкие кристаллы состоят из вытянутых молекул, повёрнутых на постоянный угол относительно соседей (см. рис. 8).

Разницу фаз видно по интенсивности рассеяния рентгеновских лучей (см. рис. 9)

щ

Рис. 9: Схематическая репрезентация интенсивности рассеяния рентгеновских лучей: а) изотропный жидкий кристалл; Ъ) и с) нематик; й) смектикА; е) и/) смектик С

Для описания жидких кристаллов вводят вектор преимущественного направления, т.н. директор (вектор п на рис. 7) [26]. Однако директор определяет лишь направление преимущественной ориентации молекул, но ничего не говорит о том, насколько совершенна упорядоченность мезофазы.

Описывая вытянутую молекулу с помощью углов Эйлера (см. рис. 10) вводится функция распределения угла в вокруг директора п

12 Теоретическое описание

121 Директор и параметр порядка

/=U, even

где Pi (cos в) - это полином Лагранжа чётного /-порядка, так что /(cos в) это чёт ная функция от cos 9.

Рис. 10: Углы Эйлера

Величина

п HP2) = ^(3<cos2e>-i) (з)

называется параметром порядка [27]: если молекулы полностью упорядочены, то (cos2 9) = 1 т. е. 7] = 1; а если наоборот, молекулы полностью разупорядочены, то (cos2 0) = 1/Зи?7 =0.

Параметр порядка может быть определён в экспериментально используя разные методы и эффекты, такие как диамагнетизм, двоейное лучепреломление, микроскопию Рамана, ЯМР и ЭПР [24].

1.2.2. Полу-эмпирическая теория Цветкова Теория Цветкова - это один из вариантов теория среднего поля в применении к жидким кристаллам. В этой теории энергия взаимодействия молекулы с окруже-

л

нием записывается в квадратичной по углу форме: W = Кб /2, где К - модуль упругости, зависящий от упорядоченности S. Тепловое движение с характерной энергией квТ/2 разупорядочивает молекулы, а упругая сила W возвращает их на

О

место. Равновесие характеризуется балансом этих сил, откуда 9А = квТ/К. Для малых углов параметр порядка приближённо равен: S « 1 — 3(92) /2, или, подставив выражение для 9:

(4)

Из эксперимента найдена связь: К(Б) = Ко(е ^5 — 1), и тогда

(5)

где сс и /3 измеримые константы материала.

Теория Цветкова даёт правильную температурную зависимость параметра порядка Недостатком теории является то, что источник упругой энергии, т.е. природа межмолекулярного взаимодействия, неизвестен.

Онзагер предложил [28] простую модель которая объясняет фазовый переход из изотропного состояния в нематическое. Он моделировал молекулы жидкого кристалла в виде жёстких стержней и рассматривал исключённый объём — объём который не может занять молекула, потому что его уже заняла другая молекула (см. рис. 11).

1.2.з. Модель Онзагера

2Р

I.

Рис. 11: Твёрдые стержни Онзагера

Вводя концентрацию в виде: с — ^ср, где ср - объёмная доля стержней, можно записать свободную энергию жидкого кристалла [29]

-ИЛ

~ constant + с + сг[/] + ср[/]

(6)

где третье слагаемое это ориентационная энтропия, а четвёртое - позиционная (выражения не приводим). Минимизируя свободную энергию для данной концентрации Онзагер показал фазовый переход первого рода из изотропного состояния в нематическое.

Позже Семёнов и Хохлов построили теорию этого фазового перехода на основе теории Онзагера, но не требуя жёсткости молекул [30,31] - вместо этого они разбивали гибкую молекулу на жёсткие сегменты.

1.2.4. Теория среднего поля Майера-Заупе Согласно теории Майера и Заупе [32-34], наиболее важным фактором, определяющим вероятность возникновения жидкокристаллического состояния, является диполь-дипольное взаимодействие. Оно учтено в виде второго порядка теории возмущения для чисто кулоновского взаимодействия. В результате получается выражение для энергии взаимодействия /-ой молекулы с окружением:

где А - константа материала, включающая в себя анизотропию молекулярной поляризуемости, Ут молярный объём, Б - параметр порядка, - угол между директором и длинной осью /-ой молекулы.

Теория Майера и Заупа предсказывает фазовый переход первого рода (в соответствии с опытом), правильно описывает температурную зависимость параметра порядка, однако не учитывает размерные эффекты (т.н. стерическое взаимодействие).

Теория Майера и Заупе позже получила развитие в ряде работ. Например в работе [35] показан переход нематика в смектическую А фазу.

1.2.5. Теория упругости Начала теории упругости жидких кристаллов заложено в работе [36].

Основное отличие деформации жидкого кристалла от деформаций твёр-

(7)

дого тела заключается в том, что в жидких кристаллах нет растяжения или сжатия слоев при изгибах и поступательного движения частиц при кручении. Это результат "проскальзывания" одних жидких слоёв относительно других.

Упругость изотропной жидкости и твёрдых кристаллов связана с изменением их плотности. В жидких кристаллах изменению плотности тоже отвечает соответствующий модуль, но упругость, связанная с локальным изменением ориентации директора, является их главной особенностью.

Направим ось л прямоугольной правой системы координат вдоль директора Ь. В жидком кристалле существуют всего шесть видов элементарных деформаций (см. рис. 12).

Ш

О

/ i

■> »

У

i )

Zi

"V, I

о.

L

, 8Ly

OJ

' I у

w

77

ъЧ

..........'—Jm-

fy У

Рис. 12: Шесть видов элементарных деформаций жидких кристаллов: а) Директор в немати-ке направим вдоль оси ; б)-г) элементарные деформации в нематике: б) поперечный изгиб (splay); в) продольный изгиб (bend); г) кручение (tilt)

Для малых деформаций имеем:

Ъх = а\Х + «2У + + О (г1)

1у = й4х + д5у ++ 0(г2) (8)

1г = 1 + 0(г2)

т

Из (8) видно как описывается деформация: например а\ =

Разложим плотность свободной энергии обусловленной, деформацией в ряд по деформациям. Рассматривая малые деформации, ограничим ряд квадра-

тичными членами:

6 ^ 6

£ = £ + - £ (9)

1=1 ^ ;=1

В общем случае в (9) входит 6 модулей упругости К{ и 36 модулей К/у, однако при рассмотрении высоко симметричных жидких кристаллов

• с цилиндрической симметрией, относительно оси z,

• с зеркальной симметрией и

• с инверсией I = — Ь

их число резко сокращается. В итоге в формуле (9) остаются 4 модуля упругости: Кц, К22, К33, К.24. Было показано [37], что модуль должен быть включён не в объёмную, а в поверхностную энергию жидкого кристалла, и что в формула (9) в указанных условиях записывается в виде:

g = I [Kn(ai + аз)2 + К22(а2 - аА)2 + К33{а2 + а26)] =

1

2

(dLx dLy\z

Kl1 + liJ +Kl2

dLx д Ly\2 д у д х )

+К33

dLx\2 + (Э1у4 2

8z

3z

-v-

splay

twist

——

bend

(10)

Рис. 13 поясняет как слагаемые в (10) ассоциируются с конкретными видами деформации.

1\ш 1. П WW EL

6)

Т777777^р77777777У77 Т

Рис. 13: Элементарные деформации в нематике: а) поперечный изгиб (splay); б) продольный изгиб (bend); в) кручение (twist)

Формулу (10) можно переписать в векторных обозначениях:

1

Кц(V • L)2 + K22(L х V х L)2 + K33(L х VL):

(И)

2. Липидные мембраны

гл. Биологическая роль Процессы метаболизма требуют наличия векторных потоков как нейтральных, так и заряженных частиц. Строгая направленность потоков молекул и зарядов, которая приводит к появлению электрических полей, необходимость разделения разноимённых зарядов в ходе различных реакций — всё это может быть реализовано только при помощи упорядоченных структур.

Самым необходимым свойством такого материала должна быть его способность к самосборке. Кроме того, материал должен сочетать в себе достаточно устойчивую упорядоченность с возможностью полиморфизма, т.е. со способностью структуры к изменению при изменении некоторых параметров окружающей среды.

Обе эти особенности присущи жидкокристаллическим структурам. Все мембранные структуры как животных так и растений включают в себя вещества или смеси веществ, способных образовывать с водой жидкокристаллические структуры. Это прежде всего различные липиды.

Учитывая эту роль липидных мембран можно утверждать, что процесс возникновения жизни состоял не только в развитии целой сети самосогласованных

химических реакций метаболизма, но и достаточно сложной системы мембранных структур, в которых эти реакции протекали.

Помимо липидов мембраны содержат также белки. В то время как липид-ная мембрана, является "олицетворением" одной барьерной функции, белки придают ей свойства селективной проницаемости, способность катализировать различные реакции, воспринимать световые, химические и механические сигналы.

2.2. Биологические мембраны

Биологические (клеточные, плазматические) мембраны отделяют клетки друг от друга, а также органеллы от цитоплазмы и т.д. До не давнего времени наиболее распространённой моделью мембраны являлась мозаичная модель, предложенная в работе [38]. Согласно этой модели, мембрана представляет из себя море липидов, в котором "плавают" белки и другие химические соединения обеспечивающие биологические функции (см. рис. 14).

холестерин периферический интегральный белок белок

Рис. 14: Биологическая мембрана

периферический белок

гликолипид

каналы (поры)

2.3. Липиды

С точки зрения липидного состава, мембраны большинства типов живых существ в основном состоят фосфолипидов (см. рис. 15) [39]. Кроме того, как правило в меньшей концентрации — в них содержатся гликолипиды и сфингомиелин [22].

Inner leaflet

Outer leaflet

Total phospholipid

SphingoMyelin

Phosphatidylcholine PhosphatidylEthanolAmine

PhosphatidylSerine

50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50

% of total

Рис. 15: Концентрации липидов во внутреннем и внешнем слое мембраны эритроцита человека

[39]

Молекулы липида имеют полярную "голову" и два неполярных углеводородных "хвоста". В качестве примера приведём атомную структуру фосфатидил-холина (см. рис. 16). Соответственно в воде, которая является полярной жидкостью (см. рис. 17), полярные головы тянутся к воде и это выталкивает неполярные хвосты из воды. Поэтому полярные головы липида называют гидрофильными (т.е. любящими воду), а неполярные хвосты (неудачно) гидрофобными (боящимися воды) — см. рис. 18.

Рис. 16: Химическая структура фосфатидилхолина

Химическая связь

»> б)

Рис. 17: Вода это полярная жидкость: а) Атом кислорода, соединившись с двумя атомами водорода, образует диполъную молекулу воды; б) Молекулы воды в жид -ком состоянии зацепляют друг друга мостиками слабых водородных связей

ф

ъ

х

о -а о а

5

П(7)

Рис. 18: Схема молекулы липида и виды взаимодействия липидов в мембране между собой

Гидрофильные полярные группы

Этот эффект, называемый амфифильностью, приводит к тому, что в воде молекулы липида, в зависимости от концентрации, самоорганизуются в некоторую структуру (см. рис. 5). Т.о., липиды являются лиотропным жидким кристаллом, а в случае когда они образуют бислои — смектическим лиотропным жидким кристаллом.

Для того, чтобы экспериментально изучать свойства липидных мембран на маленькое отверстие, диаметром около 1 мм, наносят каплю раствора липида (например в спирте). Растворитель диффундирует из раствора в воду и на отверстии остаётся плёнка липида. Эта плёнка спонтанно утончается до тех пор, пока не образуется бимолекулярный слой толщиной около 4 нм. Лишний липид собирается в виде ободка у краёв отверстия (см. рис. 19).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хейфец, Борис Борисович, 2014 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Woese C.R., Fox G.E. Phylogenetic structure of the prokaryotic domain: the primary kingdoms. // Proc. Natl. Acad. Sci. U. S. A. 1977. Vol. 74, № 11. P. 5088-5090.

2. Woese C.R., Kandler O., Wheelis M.L. Towards a natural system of organisms: proposal for the domains Archaea, Bacteria, and Eucarya. // Proc. Natl. Acad. Sci. 1990. Vol. 87, № 12. P. 4576-4579.

3. Albers S.V. et al. Adaptations of the archaeal cell membrane to heat stress // Front. Biosci. J. Virtual Libr. 2000. Vol. 5. P. D813-820.

4. Rosa M.D., Gambacorta A., Gliozzi A. Structure, biosynthesis, and physicochemical properties of archaebacterial lipids. // Microbiol. Rev. 1986. Vol. 50, № 1. P. 70-80.

5. Hanford M.J., Peeples T.L. Archaeal tetraether lipids // Appl. Biochem. Biotechnol. 2002. Vol. 97, № 1. P. 45-62.

6. Thompson D.H. et al. Tetraether bolaform amphiphiles as models of archaebacterial membrane lipids: Raman spectroscopy, phosphorus-31 NMR, x-ray scattering, and electron microscopy // J. Am. Chem. Soc. 1992. Vol. 114, № 23. P. 9035-9042.

7. McConnell H.M., Vrljic M. Liquid-liquid immiscibility in membranes // Annu. Rev. Biophys. Biomol. Struct. 2003. Vol. 32. P. 469-492.

8. Simons K, Ikonen E. Functional rafts in cell membranes // Nature. 1997. Vol. 387, № 6633. P. 569572.

9. Pralle A. et al. Sphingolipid-Cholesterol Rafts Diffuse as Small Entities in the Plasma Membrane of Mammalian Cells II]. Cell Biol. 2000. Vol. 148, № 5. P. 997-1008.

10. Brown D.A., London E. Structure and function of sphingolipid- and cholesterol-rich membrane rafts II]. Biol. Chem. 2000. Vol. 275, № 23. P. 17221-17224.

11. Samsonov A.V., Mihalyov I., Cohen F.S. Characterization of cholesterol-sphingomyelin domains and their dynamics in bilayer membranes. // Biophys. J. 2001. Vol. 81, № 3. P. 1486-1500.

12. Akimov S.A. et al. An elastic theory for line tension at a boundary separating two lipid monolayer regions of different thickness II]. Electroanal. Chem. 2004. Vol. 564. P. 13-18.

13. Akimov S.A. et al. Line Tension Of Membrane Domains Calculated From Chemical Interactions Betweem Lipids And Elastic Splay And Tilt // Biophys. J. 2009. Vol. 96, № 3, Supplement 1. P. 607a.

14. Akimov S.A. et al. Lateral tension increases the line tension between two domains in a lipid bilayer membrane // Phys. Rev. E Stat. Nonlin. Soft Matter Phys. 2007. Vol. 75, № 1 Pt 1. P. 011919.

15. Pavlov K.V. et al. Influence Of Ganglioside GMl On Formation And Properties Of Rafts In Lipid Membranes // Biophys. J. 2009. Vol. 96, № 3, Supplement 1. P. 448a.

16. Yethiraj A., Weisshaar J.C. Why Are Lipid Rafts Not Observed In Vivo? // Biophys. J. 2007. Vol. 93, №9. P. 3113-3119.

17. Yuan C. et al. The size of lipid rafts: an atomic force microscopy study of ganglioside GMl domains in sphingomyelin/DOPC/cholesterol membranes // Biophys. J. 2002. Vol. 82, № 5. P. 2526-2535.

18. Frolov V.A.J. et al. "Entropic traps" in the kinetics of phase separation in multicomponent membranes stabilize nanodomains // Biophys. J. 2006. Vol. 91, № 1. P. 189-205.

19. Mukhin S.I., Baoukina S. Analytical derivation of thermodynamic characteristics of lipid bilayer from a flexible string model // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 71, № 6. P. 061918.

20. Chandrasekhar S. Liquid Crystals. Cambridge University Press, 1992. 484 p.

21. Gennes P.G. de, Prost J. The Physics of Liquid Crystals. Oxford University Press, 1995. 620 p.

22. Рубин А. Биофизика (комплект из 2 книг). 3rd ed. / ed. Дубнова В. Издательство МГУ, 2004. 944 р.

23. Dierking I. Textures of Liquid Crystals. John Wiley & Sons, 2003. 238 p.

24. CoIIings P.J., Hird M. Introduction to Liquid Crystals: Chemistry and Physics. CRC Press, 1997. 317 P-

25. Финкельштейн А., Птицын О. Физика белка. Курс лекций с цветными и стереоскопическими иллюстрациями и задачами. 4th ed. КДУ, 2012. 524 р.

26. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том VII. Теория упругости. 5th ed. ФИЗМАТЛИТ, 2007. 264 р.

27. Feng D., Jin G. Introduction to condensed matter physics. Hackensack, NJ: World Scientific, 2005.

28. Onsager L. The Effects of Shape on the Interaction of Colloidal Particles // Ann. N. Y. Acad. Sei. 1949. Vol. 51, № 4. P. 627-659.

29. Vroege G.J., Lekkerkerker H.N.W. Phase transitions in lyotropic colloidal and polymer liquid crystals // Rep. Prog. Phys. 1992. Vol. 55, № 8. P. 1241.

30. Khokhlov A.R., Semenov A.N. Liquid-crystalline ordering in the solution of long persistent chains // Phys. Stat. Mech. Its Appl. 1981. Vol. 108. P. 546-556.

31. Khokhlov A.R., Semenov A.N. Susceptibility of liquid-crystalline solutions of semiflexible macromolecules in an external orientational field //J. Phys. Math. Gen. 1982. Vol. 15, № 4. P. 1361.

32. Maier W., Saupe A. Eine einfache molekulare Theorie des nematischen kristallinflüssigen Zustandes // Z. Naturforschung Teil A. 1958. Vol. 13. P. 564.

33. Maier W., Saupe A. Eine einfache molekularstatistische Theorie der nematischen kristallinflüssigen Phase. Teil I // Z. Naturforschung Teil A. 1959. Vol. 14. P. 882.

34. Maier W., Saupe A. Eineeinfache molekularstatistische Theorie der nematischen kristallinflüsign Phase. Teil II // Z. Naturforschung Teil A. 1960. Vol. 15. P. 287.

35. McMillan W.L. Simple Molecular Model for the Smectic A Phase of Liquid Crystals // Phys. Rev. A. 1971. Vol. 4. P. 1238-1246.

36. Frank F.C. I. Liquid crystals. On the theory of liquid crystals // Discuss. Faraday Soc. 1958. Vol. 25, № 0. P. 19-28.

37. Ericksen J.L. Hydrostatic theory of liquid crystals // Arch. Ration. Mech. Anal. 1962. Vol. 9, № 1. P. 371-378.

38. Singer S.J., Nicolson G.L. The fluid mosaic model of the structure of cell membranes // Science. 1972. Vol. 175, № 4023. P. 720-731.

39. Voet D., Voet J.G. Biochemistry. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2011.

40. Валиахметов А.Я. Геометрия мембраны и функции белков // Биологические Мембраны Журнал Мембранной И Клеточной Биологии. 2008. Vol. 25, № 2. Р. 83-96.

41. Israelachvili J.N. Intermolecular and surface forces. Burlington, MA: Academic Press, 2011.

42. Balgavy P. et al. Bilayer thickness and lipid interface area in unilamellar extruded 1,2-diacylphosphatidylcholine liposomes: a small-angle neutron scattering study // Biochim. Biophys. Acta. 2001. Vol. 1512, № 1. P. 40-52.

43. Holland D.P. et al. Bolalipid Membrane Structure Revealed by Solid-State 2H NMR Spectroscopy // J. Am. Chem. Soc. 2008. Vol. 130, № 14. P. 4584-4585.

44. Marsh D. Lateral pressure in membranes // Biochim. Biophys. Acta. 1996. Vol. 1286, № 3. P. 183-223.

45. Marsh D. Lateral Pressure Profile, Spontaneous Curvature Frustration, and the Incorporation and Conformation of Proteins in Membranes // Biophys. J. 2007. Vol. 93, № 11. P. 3884-3899.

46. Cantor R.S. The influence of membrane lateral pressures on simple geometric models of protein conformational equilibria // Chem. Phys. Lipids. 1999. Vol. 101, № 1. P. 45-56.

47. Yoshimura K., Sokabe M. Mechanosensitivity of ion channels based on protein-lipid interactions // J. R. Soc. Interface R. Soc. 2010. Vol. 7 Suppl 3. P. S307-320.

48. McConnell H.M., Kornberg R.D. Inside-outside transitions of phospholipids in vesicle membranes // Biochemistry (Mose.). 1971. Vol. 10, № 7. P. 1111-1120.

49. Nakano M. et al. Determination of Interbilayer and Transbilayer Lipid Transfers by Time-Resolved Small-Angle Neutron Scattering // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 98, № 23. P. 238101.

50. Contreras F.-X. et al. Transbilayer (flip-flop) lipid motion and lipid scrambling in membranes // FEBS Lett. 2010. Vol. 584, № 9. P. 1779-1786.

51. Rawicz W. et al. Effect of chain length and unsaturation on elasticity of lipid bilayers. // Biophys. J. 2000. Vol. 79, № 1. P. 328-339.

52. Silvius J.R., Read B.D., McElhaney R.N. Thermotropic phase transitions of phosphatidylcholines with odd-numbered n-acyl chains // Biochim. Biophys. Acta. 1979. Vol. 555, № 1. P. 175-178.

53. Helfrich W. Elastic properties of lipid bilayers: theory and possible experiments // Z. Für Naturforschung Teil С Biochem. Biophys. Biol. Virol. 1973. Vol. 28, № 11. P. 693-703.

54. Safran S. Statistical Thermodynamics Of Surfaces, Interfaces, And Membranes. Westview Press, 2003.284 p.

55. MacKintosh F.C., Lubensky T.C. Orientational order, topology, and vesicle shapes // Phys. Rev. Lett.

1991. Vol. 67, № 9. P. 1169-1172.

56. Hamm M., Kozlov M.M. Elastic energy of tilt and bending of fluid membranes // Eur. Phys. J. E. 2000. Vol. 3, № 4. P. 323-335.

57. Jost P.C. et al. Evidence for boundary lipid in membranes // Proc. Natl. Acad. Sci. U. S. A. 1973. Vol. 70, № 2. P. 480-484.

58. Mukhin S.I., Baoukina S.V. Inter-layer slide and stress relaxation in a bilayer fluid membrane in the patch-clamp setting // ArXivcond-Mat0304702. 2003.

59. Koga Y., Morii H. Recent advances in structural research on ether lipids from archaea including comparative and physiological aspects // Biosci. Biotechnol. Biochem. 2005. Vol. 69, № 11. P. 20192034.

60. Yamauchi K. et al. Archaebacterial lipids: highly proton-impermeable membranes from 1,2-diphytanyl-sn-glycero-3-phosphocholine // Biochim. Biophys. Acta. 1993. Vol. 1146, № 2. P. 178182.

61. Bulacu M., Periole X., Marrink S.J. In Silico Design of Robust Bolalipid Membranes // Biomacromolecules. 2011. Vol. 13, № 1. P. 196-205.

62. Shinoda W. et al. Molecular Dynamics Study of Bipolar Tetraether Lipid Membranes // Biophys. J. 2005. Vol. 89, № 5. P. 3195-3202.

63. Nelson D.R. Defects and Geometry in Condensed Matter Physics. Cambridge University Press, 2002. 396 p.

64. Burkhardt T.W. Free energy of a semiflexible polymer confined along an axis // J. Phys. Math. Gen. 1995. Vol. 28, № 24. P. L629.

65. Lipowsky R., Sackmann E. Structure and Dynamics of Membranes: I. From Cells to Vesicles / II. Generic and Specific Interactions. Elsevier, 1995. 538 p.

66. Lindahl E., Edholm O. Mesoscopic undulations and thickness fluctuations in lipid bilayers from molecular dynamics simulations. // Biophys. J. 2000. Vol. 79, № 1. P. 426-433.

67. Evans E., Ludwig F. Dynamic strengths of molecular anchoring and material cohesion in fluid biomembranes //J. Phys. Condens. Matter. 2000. Vol. 12, № 8A. P. A315.

68. Melikov K.C. et al. Voltage-induced nonconductive pre-pores and metastable single pores in unmodified planar lipid bilayer. // Biophys. J. 2001. Vol. 80, № 4. P. 1829-1836.

69. Tolpekina T.V., den Otter W.K., Briels W.J. Simulations of stable pores in membranes: System size dependence and line tension //J. Chem. Phys. 2004. Vol. 121, № 16. P. 8014-8020.

70. Tieleman D.P. et al. Simulation of Pore Formation in Lipid Bilayers by Mechanical Stress and Electric Fields //J. Am. Chem. Soc. 2003. Vol. 125, № 21. P. 6382-6383.

71. Portet T., Dimova R. A New Method for Measuring Edge Tensions and Stability of Lipid Bilayers: Effect of Membrane Composition // Biophys. J. 2010. Vol. 99, № 10. P. 3264-3273.

72. Loison C., Mareschal M., Schmid F. Pores in bilayer membranes of amphiphilic molecules: Coarsegrained molecular dynamics simulations compared with simple mesoscopic models //J. Chem. Phys. 2004. Vol. 121, № 4. P. 1890-1900.

73. Marrink S.J., de Vries A.H., Mark A.E. Coarse Grained Model for Semiquantitative Lipid Simulations //J. Phys. Chem. B. 2004. Vol. 108, № 2. P. 750-760.

74. Deserno M. Mesoscopic membrane physics: concepts, simulations, and selected applications // Macromol. Rapid Commun. 2009. Vol. 30, № 9-10. P. 752-771.

75. Litster J.D. Stability of lipid bilayers and red blood cell membranes // Phys. Lett. A. 1975. Vol. 53, № 3.P. 193-194.

76. Burgoyne J., Holmes M.C., Tiddy G.J.T. An Extensive Mesh Phase Liquid Crystal in Aqueous Mixtures of a Long Chain Nonionic Surfactant //J. Phys. Chem. 1995. Vol. 99, № 16. P. 6054-6063.

77. Hyde S.T. Microstructure of bicontinuous surfactant aggregates //J. Phys. Chem. 1989. Vol. 93, № 4. P. 1458-1464.

78. Holmes M.C., Charvolin J. Smectic-nematic transition in a lyotropic liquid crystal // J. Phys. Chem. 1984. Vol. 88, № 4. P. 810-818.

79. Roux D. et al. Light Scattering from a Surfactant // EPL Europhys. Lett. 1990. Vol. 11, № 3. P. 229.

80. Huse D.A., Leibler S. Are sponge phases of membranes experimental gauge-Higgs systems? // Phys. Rev. Lett. 1991. Vol. 66, № 4. P. 437-440.

81. Golo V.L., Kats E.I., Porte G. Packing of molecules and hole formation in lyotropic systems // J. Exp.

Î

Theor. Phys. Lett. 1996. Vol. 64, № 8. P. 631-636. '

82. Bicout D.J., Schmid F., Kats E. Stabilization of membrane pores by packing // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 73, №6. P. 060101.

83. Смирнов В. Курс высшей математики. Том 1. 24th ed. БХВ-Петербург, 2008. 624 р.

84. Mukhin S.I., Kheyfets B.B. Analytical approach to thermodynamics of bolalipid membranes // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 82, № 5. P. 051901.

85. Evans E.A., Waugh R., Melnik L. Elastic area compressibility modulus of red cell membrane. // Biophys. J. 1976. Vol. 16, № 6. P. 585-595.

86. Zhelev D.V., Needham D. Tension-stabilized pores in giant vesicles: determination of pore size and pore line tension // Biochim. Biophys. Acta. 1993. Vol. 1147, № 1. P. 89-104.

87. Кронин Д., Гринберг Д., Телегди В. Теоретическая физика. Сборник задач с решениями. 4th ed. / ed. Крупчицкий П.; trans. Данилян Г. КомКнига, 2010. 338 р.

88. The Python Language Reference — Python v2.7.5 documentation [Electronic resource]. URL: http://d0cs.pyth0n.0rg/2/reference/index.html (accessed: 02.07.2013).

89. Oliphant Т.Е. Python for Scientific Computing // Comput. Sei. Eng. 2007. Vol. 9, № 3. P. 10-20.

90. Jones E. et al. SciPy: Open source scientific tools for Python. 2001.

91. Team S.D. SymPy: Python library for symbolic mathematics. 2013.

92. Hunter J.D. Matplotlib: A 2D Graphics Environment // Comput. Sei. Eng. 2007. Vol. 9, № 3. P. 90-95.

93. Raven P.H. Biology. Dubuque, IA: McGraw-Hill, 2011.