Методы математического моделирования в задаче сохранения видовой структуры биологического сообщества тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Иванова Александра Сергеевна

• Иванова Александра Сергеевна
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Иванова Александра Сергеевна

Введение

Глава 1. Обзор по теме исследования и постановка задач

1.1. Обзор по теме исследования

1.2. Принцип Э. Чарнова

1.3. Пищевая привлекательность. Модель

1.4. Пищевая привлекательность и принцип Э. Чарнова

1.5. Постановка задач

Глава 2. Постоянное внешнее воздействие

2.1. Предварительные сведения

2.2. Решение задач на основе постоянного изъятия хищников и жертв, (п1,пг) = (0,0)

2.3. Решение задач на основе постоянного изъятия хищников, (п1, п2) =

(0, п)

2.4. Уменьшение внешнего воздействия

Глава 3. Периодическое внешнее воздействие

3.1. Предварительные сведения

3.2. Периодический процесс внешнего воздействия

3.3. Существование периодического процесса внешнего воздействия

Глава 4. Методы вычисления периодов

4.1. Метод вычисления периода траектории системы Лотки-Вольтер-

ра. Алгоритм

4.2. Реализация алгоритма 1 и анализ результатов

4.3. Метод вычисления периода процесса внешнего воздействия. Алгоритм

4.4. Реализация алгоритма 2 и анализ результатов

Заключение

Список литературы

Приложение А. Листинг программы «Вычисление периода системы Лотки-Вольтерра»

Приложение Б. Листинг программы «Вычисление периода процесса внешнего воздействия»

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы математического моделирования в задаче сохранения видовой структуры биологического сообщества»

Введение

Актуальность темы исследования. Поддержание биологического разнообразия является актуальной и острой проблемой, стоящей перед человечеством. В 1992 г. было принято международное соглашение — Конвенция о биологическом разнообразии, имеющая своей целью сохранение биоразнообразия, которое находится под угрозой в результате антропогенного воздействия на окружающую среду, что приводит к перманентному исчезновению видов. В связи с этим возникает проблема сохранения биологических сообществ в их естественных средах обитания. При этом, естественно, стремиться сохранить как видовой биосостав, так и тип взаимодействия между популяциями. В дальнейшем совокупность видов и типов взаимодействий между ними будем называть видовой структурой биосообщества.

В работе предполагается, что среда обитания нескольких взаимодействующих популяций разных видов - пространство, на котором расположено некоторое количество участков, содержащих пищевой ресурс. Поскольку процессы взаимодействия видов носят динамический характер, то в качестве моделей соответствующих процессов используются динамические системы. Использование динамических систем позволяет адекватно прогнозировать поведение взаимодействующих популяций, что невозможно сделать с помощью проведения натурных экспериментов. Также предполагается, что популяция потребляет ресурс, находящийся на участке. С течением времени популяция испытывает недостаток ресурса и покидает участок. Это может привести к нарушению трофических цепочек (связей) на данном участке, т.е. к исчезновению некоторых видов. Кроме того, в процессе миграции объем популяции может сократиться, что тоже может привести к ее исчезновению. Из вышесказанного следует значимость и актуальность разработки методов математического моделирования для решения задачи сохранения видовой структуры биологического сообщества участка, местообитания.

Задаче определения времени ухода популяции из участка посвящены исследования Э. Чарнова (Е. СЬагпоу), в которых определяется момент мгновенного ухода популяции из участка (маргинальная теорема). Экспериментальные наблюдения показывают несоответствие принципа Э. Чарнова реальным процессам ухода, которым свойственна инерционность. Следовательно, необходима разработка новых подходов для моделирования процесса ухода. Для предотвращения ухода требуется внешнее воздействие, в частности, изъятие особей популяций, сохраняющее биоценоз. Существующие же математические модели изъятия особей направлены на решение задач оптимальной эксплуатации биоресурсов. Для сохранения видовой структуры требуется решение другой задачи, а именно, задачи изъятия особей популяций с целью выживания вида (задачи выживаемости), из чего следует необходимость разработки новых методов математического моделирования.

Решение поставленных задач позволит организовать деятельность экологов для сохранения видовой структуры участка, а именно, определять временные промежутки изъятия особей с целью сохранения видовой структуры.

Цель диссертационной работы заключается в разработке методов математического моделирования, численных методов и комплекса программ для построения процесса периодического воздействия на биосообщество участка, реализация которого обеспечит сохранение видовой структуры биосообщества.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Задача математического моделирования процесса ухода популяции мигрирующего вида из местообитания (пункт 1 паспорта специальности 05.13.18).

2. Задача моделирования и анализа динамики периодического внешнего воздействия (периодического изъятия особей популяций) с целью сохранения видовой структуры биосообщества участка (пункты 1, 2 паспорта специальности 05.13.18).

3. Построение алгоритмов для численного нахождения периода траекто-

рии системы Лотки-Вольтерра и периода внешнего воздействия, сохраняющего структуру биосообщества (пункт 3 паспорта специальности 05.13.18).

4. Разработка программного комплекса для реализации метода периодического внешнего воздействия на биосообщество, сохраняющего его видовую структуру (пункт 4 паспорта специальности 05.13.18).

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Предложен критерий ухода популяции из местообитания, основанный на понятии пищевой привлекательности.

2. Разработан метод периодического внешнего воздействия на биосообщество с целью сохранения видовой структуры.

3. Получен численный метод нахождения периода траектории системы Лотки-Вольтерра при внешнем воздействии.

4. Разработан комплекс программ для нахождения периода траектории системы Лотки-Вольтерра; периода внешнего воздействия, сохраняющего структуру биосообщества; временных промежутков изъятия особей, в которые могут быть организованы экспедиции экологов для сохранения видовой структуры биосообщества.

5. Доказана теорема о периодическом решении системы Лотки-Вольтерра при кусочно постоянном периодическом воздействии.

Теоретическая значимость работы состоит в следующем:

1. Предложен подход к моделированию процесса воздействия на биосообщество участка, основанный на косом произведении динамических систем.

2. Доказана теорема о периодическом решении системы Лотки-Вольтерра при кусочно постоянном периодическом воздействии.

3. Разработан численный метод нахождения периода траектории системы Лотки-Вольтерра.

Практическая значимость работы состоит в следующем:

1. Разработаны методы и модели внешнего периодического воздействия, позволяющего сохранить структуру биосообщества участка. Предложенные ме-

тоды позволяют находить моменты начала и окончания изъятия особей, что дает возможность определять временной режим деятельности экологов для сохранения видовой структуры участка.

2. Разработан алгоритм вычисления периода процесса внешнего воздействия, сохраняющего структуру биосообщества. Создан комплекс программ, реализующий этот алгоритм.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Метод математического моделирования процесса ухода популяции, вызванного недостатком пищевых ресурсов, основанный на понятии пищевой привлекательности местообитания (пункт 1 паспорта специальности 05.13.18).

2. Методы и модели периодического внешнего воздействия, сохраняющего видовую структуру биосообщества (пункт 1 паспорта специальности 05.13.18).

3. Численные методы нахождения периода траектории системы Лотки-Вольтерра и периода процесса внешнего воздействия, сохраняющего видовую структуру биосообщества (пункт 3 паспорта специальности 05.13.18).

4. Комплекс программ для нахождения периода траектории системы Лотки-Вольтерра при внешнем воздействии; периода внешнего воздействия, сохраняющего структуру биосообщества; временных промежутков изъятия особей, в которые могут быть организованы экспедиции экологов для сохранения видовой структуры биосообщества (пункт 4 паспорта специальности 05.13.18).

Часть результатов диссертации получена в рамках исследований, проводимых по гранту РФФИ 18-01-00249а.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих международных научных конференциях и семинарах.

1. VII Петрозаводская международная конференция «Комплексный анализ и его приложения», Ivanova A.S. The control in the Volterra system with migration. 29 июня - 5 июля 2014 г., Урозеро, Республика Карелия, Россия.

2. Международный семинар «Математические модели в теоретической эко-

логии и земледелии» (Полуэктовские чтения), Кириллов А.Н., Иванова А.С. Управление структурой двухвидовой системы «хищник-жертва» с миграцией. 14-16 октября 2014 г., Санкт-Петербург, Россия.

3. Третья международная конференция «Устойчивость и процессы управления», Иванова А.С., Кириллов А.Н. Управляемая динамика в задачах фуражирования. 5-9 октября 2015г., Санкт-Петербург, Россия.

4. XI международная научная конференция «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий», Кириллов А.Н., Иванова А.С. Управляемый периодический процесс, сохраняющий видовой состав биосообщества. 19-24 сентября 2018 г., Воронеж, Россия.

5. Международная научная конференция «Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация», Кириллов А.Н., Иванова А.С. Периодическое управление в задаче сохранения состава биосообщества. 24-29 сентября 2018 г., Минск, Республика Беларусь.

6. Шестая Национальная научная конференция с международным участием «Математическое моделирование в экологии», Кириллов А.Н., Иванова А.С. Периодическое управление системой «хищник-жертва». 26-29 сентября 2019 г., Пущино, Россия.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 10 работах, из которых 3 статьи в изданиях, входящих в Перечень рецензируемых научных журналов, рекомендованных ВАК при Министерстве образования и науки Российской Федерации (включая 2 статьи в российских журналах [21, 29]; 1 статью в журнале, индексируемом в библиографических базах Web of Science и Scopus [98]), 1 глава в книге [97] и 6 тезисов докладов [20, 22, 30-32, 96]. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [19].

Личный вклад автора. Основные результаты, в представленных публикациях, получены автором диссертационной работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, 2 приложений и списка используемой литературы.

Во введении обоснованы актуальность, значимость работы; определены цель и задачи исследования; перечислены результаты исследования, в которых состоит новизна, теоретическая и практическая значимость работы; сформулированы основные положения, выносимые на защиту; дано краткое изложение содержания работы по главам.

В первой главе приведен обзор публикаций по теме диссертации, описан принцип Э. Чарнова, в котором дано условие мгновенного ухода популяции из местообитания. Приводится понятие пищевой привлекательности местообитания популяции. В работе предлагается условие, основанное на понятии пищевой привлекательности, при котором популяция хищников уходит из местообитания. Получено условие ухода популяции из участка обитания, основанное на принципе Э. Чарнова и на понятии пищевой привлекательности. Приводится сравнение полученного условия ухода с условием, предложенным в данной работе. Дана постановка задач исследования. Отмечается, что поставленные задачи относятся к классу задач выживаемости.

Во второй главе задачи решаются при помощи постоянного внешнего воздействия. Приведено два способа решения задач. Суть первого способа состоит в том, что задача сохранения структуры биосообщества решается с помощью изъятия особей двух популяций. Решение, полученное вторым способом, предполагает изъятие особей одной популяции. Найдено множество начальных количественных характеристик популяций, при которых задачи разрешимы. Доказано, что при некоторых условиях уменьшение интенивностей изъятия особей позволяет сохранить структуру биосообщества.

В третьей главе строятся процессы внешнего воздействия, сохраняющие структуру биосообщества, в которых изъятие особей чередуется с неизъятием. Доказана теорема, о том, что при некоторых условиях на начальные численности построенный процесс периодичен. Получена формула для вычисления периода процесса внешнего воздействия. Доказана теорема о периодическом решении системы Лотки-Вольтерра при кусочно постоянном периодическом воз-

действии.

В четвертой главе предложен метод нахождения периода траектории системы Лотки-Вольтерра, описан алгоритм, реализующий этот метод. Приведен анализ полученных численных результатов. Описан пошаговый алгоритм вычисления периода процесса внешнего воздействия, сохраняющего структуру биосообщества. Приведены результаты реализации данного алгоритма и их анализ.

В заключении подведены итоги исследования и приведены основные результаты диссертации.

В приложениях приведены коды двух программ, реализующих вычисление периода траектории системы Лотки-Вольтерра и периода внешнего воздействия, сохраняющего структуру биосообщества.

Общий объем диссертации составляет 184 страницы. Список литературы содержит 122 наименования.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю Александру Николаевичу Кириллову, д.ф.-м.н., доц., за бесценный опыт, переданный ему в процессе научных исследований, и чуткое руководство.

Глава 1

Обзор по теме исследования и постановка задач

1.1. Обзор по теме исследования

Сложнейшей и многообразнейшей проблеме биоразнообразия посвящена, например, серия учебных пособий «Сохранение биоразнообразия» [11, 57, 70, 71].

Важнейшим инструментом в решении задачи сохранения биологического разнообразия экосистемы является математическое моделирование. Это связано с невозможностью проведения натурных экспериментов с целью определения отклика экосистемы на внешние антропогенные воздействия. Очевидно, что поскольку процессы взаимодействия видов, происходящие в экосистеме, носят динамический характер, то при решении сформулированной выше проблемы естественно использовать динамические системы в качестве моделей соответствующих процессов. Анализу взаимодействия видов на основе теории динамических систем посвящены многие исследования. Достаточно упомянуть работы таких исследователей, как А.Н. Колмогоров [34], Ю. М. Свирежев [65, 66], Д.О. Логофет [17, 39-42], А.И. Абакумов [1, 50, 51], Е.Я. Фрисман [50, 51, 54, 60], А.Б. Медвинский [10, 45], Г.Ю. Ризниченко [52, 62], Ю.В. Тютюнов [119, 120], А. Д. Базыкин [3, 4], Р.А. Полуэктов [14, 18, 56], А.Г. Топаж [73, 74], А.М. Молчанов [46], А.Н. Горбань [12], Р.Г. Хлебопрос [12], Б.Г. Заславский [18], Ю.А. Пых [59], В.В. Меншуткин [48], В.В. Алексеев [2], Ю. М. Романовский [63], А.Б. Рубин [52, 64], В.Г. Ильичев [24], V. Volterra [121], А.Л. Lotka [107], J. D. Murray [44], J. Maynard Smith [114], U. Dieckmann [92], J.A.J. Metz [87], I. Hanski [112], R.M. May [110], F. Zanolin [122], H. Gyllenberg [87], R. Arditi [79, 80] и др. [5, 9, 13, 15, 16, 25, 35, 37, 43, 47, 49, 55, 58, 67, 69, 72, 76, 82, 83, 89, 99, 105].

В работах, связанных с моделированием на основе динамических систем,

проводится качественный и численный анализ поведения траекторий, описывающих поведение взаимодействующих популяций. При этом исследуются вопросы устойчивости, управления, диссипативности, инвариантности, бифуркации, грубости, возникновения хаоса.

Важным разделом математической экологии является теория оптимального фуражирования, в рамках которой строятся модели поведения популяций при поиске ресурсов питания. Здесь решаются задачи выбора популяцией наиболее пригодного участка для питания, нахождения условий, при которых популяция покидает выбранный участок после исчерпания его ресурсов. Исследованиям в этой области посвящены работы таких ученых, как Ю. М. Свире-жев [65, 66], А.Н. Кириллов [26-28], E. Charnov [84], R.H. MacArthur [108], U. Dieckmann [90], V. Krivan [102, 103], K.M. Passino [77, 78], P. Nonacs [115], B.W. Andrews [77, 78], A.J. Terry [118], C.J. Krebs [100] и др. [81, 85, 86, 88, 111, 113]. При этом строятся теории, предлагаются и анализируются модели, описывающие поведение популяций, метапопуляций. Исследования же, связанные с антропогенным воздействием на биосообщества, в основном, сводятся либо к решению задач оптимального, в некотором смысле, объема изъятия особей популяции, удовлетворяющего потребности человека, либо к исследованию отрицательного влияния антропогенных воздействий. В настоящей работе исследуется возможность такого антропогенного воздействия (изъятия и перемещение особей некоторых популяций), при котором сохраняется видовая структура биологического сообщества. Причем изъятие особей из одного местообитания и перемещение их в другое обусловлено сохранением видовой структуры участка, из которого изымают особей, и созданием устойчивой популяции на участке, на который заселяют особей. Перемещение особей может быть использовано как метод восстановления редких и исчезающих видов в естественных местах обитания. Реинтродукции, т.е. переселению и заселению вновь диких животных определенного вида на территорию, где они ранее обитали, но откуда по каким-либо причинам исчезли, для создания новой и устойчивой популяции,

посвящены, например, работы [33, 36, 61]. Лейтмотивом работы является условие нанесения наименьшего вреда биосообществу, для чего в основной части диссертации строятся воздействия, синхронные периодической динамике сообщества. Также получены результаты по построению наименьших воздействий, оказываемых на биосообщество с целью сохранения его видов. В этом состоит новизна исследования и полученных результатов.

В теории оптимального фуражирования решаются две основные задачи.

1. Задача ухода. В работе Э. Чарнова [84] предложено условие ухода популяции из участка и приведено обоснование этого условия. Уход популяции происходит мгновенно. Несмотря на ряд примеров, в которых реальное время нахождения популяции на участке мало отличается от времени, прогнозируемого с помощью принципа Э. Чарнова, как правило, наблюдаемые значения существенно отклоняются от прогнозируемых. Это связано с тем, что модель Э. Чарнова упрощена, популяция занята только поиском пищи. На самом деле, популяция решает и многие другие задачи, например, борется с хищничеством, размножается, заботится о потомстве и т.д. Поэтому подход Э. Чарнова является отправной точкой в исследованиях, проводимых в данном направлении. Принцип Э. Чарнова развивается, например, П. Нонаксом в работе [115]. В диссертации предложено условие ухода из участка, основанное на понятии пищевой привлекательности участка. А именно уход происходит не мгновенно, а после того, как популяция испытает недостаток пищи в течение некоторого времени, т.е. принятие решения о миграции носит инерционный характер. В работе приводится сравнение подхода Э. Чарнова и подхода, основанного на понятии пищевой привлекательности.

2. Задача выбора. В [91] предложена концепция идеального свободного распределения (Ideal Free Distribution, IFD), объясняющая принцип выбора популяцией наиболее пригодного участка для питания. Она носит теоретико-игровой характер и основана на равновесии по Нэшу. Согласно этой концепции, популяция перемещается между участками мгновенно и имеет точную информацию

о качестве ареалов, распределяясь по участкам так, что энергия (питательный ресурс) на каждом участке одинакова и максимальна. В работах В. Кривана [101, 104] и др. концепция 1РЭ получила дальнейшее развитие. Хотя концепция 1РЭ и работает в некоторых случаях, но во многих реальных случаях предположения, на которых она основана, не выполняются. В работе [109] дана критика концепции 1РЭ и предложен другой подход к описанию процедуры выбора популяцией пригодного участка. К критическим замечаниям, в частности относится тот факт, что популяция в реальности может выбрать и не самый пригодный ареал. В этом проявляется ее субоптимальное поведение.

В работе [80] авторы отмечают, что классические предположения состоят в том, что жертвы встречаются с хищниками случайным образом, и трофическая функция зависит от количества жертв на данном участке. Предлагается учитывать две шкалы времени: быстрое и медленное время. При этом трофической функции соответствует медленное время, и в этом случае более адекватно реальности полагать, что эта функция зависит от отношения количества жертв к количеству хищников. Отмечается, что такой подход подтверждается лабораторными и полевыми экспериментами. Этот подход применяется для построения функции пищевой привлекательности [27].

У. Гамильтон в работе [93] объясняет скопление особей как в пространстве, так и во времени. Такое скопление особей он называет стадом «себялюбцев». Суть теории У. Гамильтона заключается в следующем. Особь может уменьшить опасность со стороны хищников, если между ней и хищником окажется еще одна особь. Это приводит к возникновению стада. Таким образом, находясь в стаде, особи находятся в менее опасном положении. Гипотеза о стаде «себялюбцев» учитывается при построении функции пищевой привлекательности [27].

В работах [94], [95] авторы доказали существование периодических решений системы Лотки-Вольтерра при периодическом дважды непрерывно-дифференцируемом изъятии как особей жертв, так и особей хищников и при периодическом изменении коэффициентов системы. Доказательства достаточно

сложные, основаны на теореме Пуанкаре-Биркгофа о неподвижных точках сохраняющего меру гомеоморфизма вращения кольца. В диссертационной работе получены результаты в направлении исследований этих авторов.

В статье [116] приведено пять методов вычисления периода траектории системы Лотки-Вольтерра, один из которых - метод автора статьи. Также автор доказывает эквивалентность пяти выражений для периода. В диссертации предложен метод вычисления периода, отличный от тех, которые представлены в [116]. Период траектории системы Лотки-Вольтерра ищется как сумма четырех интегралов. Причем подынтегральные выражения содержат неявно заданную функцию, что усложняет вычисление интегралов. В работе предложен алгоритм, реализующий вычисление периода траектории системы Лотки-Воль-терра.

1.2. Принцип Э. Чарнова

В работе [84] рассматривается местообитание хищников, состоящее из участков к типов. Предполагается, что пищевой ресурс распределен по участкам и популяция хищников движется между участками. В описанной ситуации перед популяцией хищников возникают два вопроса: какие типы участков ей посетить и в какой момент времени покидать участок, на котором она находится в настоящее время? В классической работе Э. Чарнова [84] дан ответ на второй вопрос. Предполагается, что, пока хищники находятся на участке, скорость потребления пищи для этого участка уменьшается с течением времени, проведенного на участке. Также предполагается, что популяция хищников принимает решение об уходе таким образом, чтобы скорость потребления энергии была максимальна.

Рассмотрим частный случай. Пусть местообитание хищников состоит из п участков одного типа и области, находящейся между этими участками (см. рис. 1.1).

Рис. 1.1. Местообитание популяции хищников, где Qi — участок местообитания (г = 1, ...,п).

Следуя Э. Чарнову, введем обозначения:

Т - время, проведенное популяцией хищников на участке Qi;

Р - доля участков, которую популяция хищников посетила;

£ - время, проведенное популяцией вне участков;

Е - энергия, которую расходует популяция хищников в единицу времени при перемещении между участками;

Н(Т) - энергия, усвоенная хищниками от потребления пищевого ресурса на участке Qi за время Т без учета энергии, затраченной на поиск пищевого ресурса, причем по предположению Н'(Т) = йН/йТ убывает при всех Т;

Е8 - энергия, которую расходуют хищники в единицу времени на поиск пищевого ресурса на участке Qi;

д(Т) = Н(Т) — Е8 • Т - усвоенная энергия на участке Qi за время Т с учетом энергии, затраченной хищниками на поиск пищевого ресурса на участке Qi.

Пусть Еп - средняя скорость потребления энергии на участке Qi. Справедлива формула

Р • д(Т) — £ • Ег

Еп = -.

п £ + Р • Т

Через ЕП обозначим максимальную среднюю скорость потребления энергии на участке Qi.

Принцип Э. Чарнова ([84]). Хищники покидают участок Qi в момент времени Т, при котором выполнено равенство

ддТ) = ЕП. (1.1)

Обоснование ([84]).

Оптимальное значение Т, т.е. значение, при котором Еп максимальна, найдем, решая уравнение

дЕп

дТ

или

Рд\Т)(г + РТ) - (Рд(Т) - гЕь)Р

(г + РТ )2 0

После умножения на (г + РТ)2 > 0 получим уравнение

Рд'(Т)(г + РТ) - (Рд(Т) - гЕ^Р = о,

которое может быть записано в виде

Рд'(Т)(г + РТ) - ЕпР(г + РТ) = о

или

д'(Т) = Еп.

Далее, так как Ы(Т) убывает при всех Т, то д'(Т) убывает. Следовательно, существует Т = Т*, которое удовлетворяет (1.1), причем Т* - точка максимума, потому что матрица Гессе в точке Т* отрицательно определенная [117]. Итак, Т оптимально, если д'(Т) = Е*.

Таким образом, Э. Чарнов получил общее для всех систем условие ухода популяции из участка, причем уход всей популяции происходит мгновенно. На самом деле, для реальных систем популяция не уходит мгновенно. Даже если пищевого ресурса не хватает, популяция остается на участке и покидает его через некоторое время. В связи с этим возникает задача моделирования процесса ухода популяции из участка с учетом реальных процессов в системе.

1.3. Пищевая привлекательность. Модель.

Общий подход.

Далее будем рассматривать один участок Р, биологическое сообщество которого состоит из к популяций, причем численность г-ой популяции на участке Р в момент времени £ обозначим через х = х^(£), где г = 1 ,...,к. Следуя Ю.Одуму [53], в правую часть дифференциального уравнения, описывающего динамику Х{, будем вводить положительные, отрицательные и нулевые члены в зависимости от воздействия, оказываемого популяциями биосообщества на г-ую популяцию, г = 1,..., к. Следовательно, дифференциальные уравнения роста популяций на участке примут вид

Х 1 = 1\(х\,х2,хз, ...,Хк),

Х 2 = /2(Х1,Х2,Хэ,...,ХЛ ),

(1.2)

хк = ¡к(Х1,Х2,Х3, ...,хк).

Время жизни популяции на участке связано со структурной переменной, формальное определение которой введено в работах [26], [27], [28]. Далее структурную переменную будем называть пищевой привлекательностью. Пищевая привлекательность участка для г-ой популяции характеризует накопление избытка или недостатка пищевого ресурса для данной популяции и определяется выражением вида

Пг = Пг(г) = Лг ^ У Нг(Х1,Х2,Хз, ...,Хк)йт,

о

где ЛI - постоянное положительное пороговое значение, характеризующее минимальное значение пищевой привлекательности участка, при котором участок посещается г-ой популяцией, Н1(х1, х2, х3,..., Хк) - мгновенная скорость изменения пищевой привлекательности, г = 1 ,...,к. За счет интеграла в выражении для пищевой привлекательности, решение об уходе принимается не мгновенно, а с учетом предыстории. Действительно, чтобы популяция ушла из участка из-за нехватки пищевого ресурса, она должна испытывать недостаток пищи в тече-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Иванова Александра Сергеевна, 2020 год

Список литературы

1. Абакумов А., Израильский Ю. Эффекты промыслового воздействия на рыбную популяцию // Матем. биология и биоинформ. — 2016. — Т. 11, № 2. —С. 191-204.

2. Алексеев В., Крышев И., Сазыкина Т. Физическое и математическое моделирование экосистем. — СПб. : Гидрометеоиздат, 1992.— 368 с.

3. Базыкин А. Математическая биофизика взаимодействующих популяций.—М. : Наука, 1985. —181 с.

4. Базыкин А. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. — Москва-Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003. — 368 с.

5. Бейли Н. Математика в биологии и медицине. — М. : Мир, 1970.— 327 с.

6. Березин И., Жидков Н. Методы вычислений. Том 1. — М. : Физматлит, 1962.—464 с.

7. Бигон И., Харпер Д., Таунсенд К. Экология. Особи, популяции и сообщества: В 2-х т. Т.1.: Пер. с англ. —М. : Мир, 1989. —667 с.

8. Бигон И., Харпер Д., Таунсенд К. Экология. Особи, популяции и сообщества: В 2-х т. Т.2.: Пер. с англ. —М. : Мир, 1989. —477 с.

9. Братусь А., Новожилов А., Платонов А. Динамические системы и модели биологии. — 2011. — 436 с.

10. Возникновение кольцевых структур в питательной среде вокруг популяции Вю1уоз1е1шш discoideum / В.В. Кравченко, А.Б. Медвинский, К.Б. Асла-ниди и др. // Докл. РАН. —1998. —Т. 360, № 5. —С. 694-696.

11. География и мониторинг биоразнообразия / Н.В. Лебедева, Ю.Г. Пузачен-ко, А.В. Смуров и др. Сохранение биоразнообразия. — М. : НУМЦ, 2002. — 432 с.

12. Горбань А., Хлебопрос Р. Демон Дарвина. Идея оптимальности и естественный отбор. —М. : Наука, 1988. —208 с.

13. Горстко А., Сурков Ф. Математика и проблемы сохранения природы. —

М. : «Знание», 1975.— 64 с.

14. Динамическая теория биологических популяций / А. А. Гимельфарб, Л.Р. Гинзбург, Р.А. Полуэктов и др. — М. : Наука, 1974.— 456 с.

15. Жаботинский А. Концентрационные автоколебания. — М. : Наука, 1974. — 179 с.

16. Жирмунский А., Кузьмин В. Критические уровни в развитии природных систем.—Л. : Наука, 1990. —223 с.

17. Завалишин Н., Логофет Д. Моделирование экологических систем по заданной диаграмме «запасы-потоки» // Математическое моделирование. — 1997. — Т. 9, № 9. — С. 3-17.

18. Заславский Б., Полуэктов Р. Управление экологическими системами. — М. : Наука, 1988. —296 с.

19. Иванова А. Программа для ЭВМ «Вычисление периода системы Лотки-Вольтерра». - Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2020612430 от 21.02.2020.

20. Иванова А., Кириллов А. Управление структурой двухвидовой системы хищник-жертва с миграцией // Математические модели в теоретической экологии и земледелии. Материалы докладов международного семинара (Полуэктовские чтения). — Санкт-Петербург : Агрофизический НИИ РАСХН, 2014. —С. 84-87.

21. Иванова А., Кириллов А. Равновесие и управление в задаче сохранения видового состава биосообщества // Управление большими системами. — 2015. —№ 55. —С. 239-258.

22. Иванова А., Кириллов А. Управляемая динамика в задачах фуражирования // Материалы 3-й международной конференции «Устойчивость и процессы управления». 5-9 октября 2015г. — Санкт-Петербург : Издательский Дом Федоровой Г.В., 2015. —С. 473-474.

23. Ильин В., Садовничий В., Сендов Б. Математический анализ. Начальный курс. —М. : Изд-во МГУ, 1985. —662 с.

24. Ильичев В. Устойчивость, адаптация и управление в экологических системах. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2009. —231 с.

25. Исследования по математической биологии. Сборник научных трудов, посвященный памяти А.Д. Базыкина / Под ред. Э.Э. Шноля. — Пущино : ОНТИ ПНЦ РАН, 1996. — 195 с.

26. Кириллов А. Системы с переменным фазовым пространством в моделировании процессов биологической очистки // Всероссийская школа-коллоквиум «Математические проблемы экологии».—Душанбе, 1991.

27. Кириллов А. Экологические системы с переменной размерностью // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 1999. — Т. 6, № 2. — С. 318-336.

28. Кириллов А. Динамические системы с переменной структурой и размерностью // Известия вузов. Приборостроение. — 2009. — Т. 52, № 3. — С. 23-28.

29. Кириллов А., Иванова А. Периодический и квазипериодический процессы управления в задаче сохранения видового состава биосообщества // Труды КарНЦ РАН. — 2015. — № 10. — С. 99-106.

30. Кириллов А., Иванова А. Периодическое управление в задаче сохранения состава биосообщества // Материалы Международной научной конференции «Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация», Минск, 24-29 сентября 2018 г. —Минск : БГУ, 2018. —С. 119-120.

31. Кириллов А., Иванова А. Управляемый периодический процесс, сохраняющий видовой состав биосообщества // Сборник трудов XI международной научной конференции «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ - 2018)», Воронеж, 19 - 24 сентября 2018 г. / Под ред. А.П. Жабко, И.Л. Батаронова,

B.В. Провоторова. — Воронеж : Издательство «Научная книга», 2018. —

C. 131-133.

32. Кириллов А., Иванова А. Периодическое управление системой «хищник-

жертва» // Материалы Шестой Национальной научной конференции с международным участием «Математическое моделирование в экологии», Пущино, 26-29 сентября 2019 г. / Под ред. П.Я. Грабарника, Д.О. Логофета. — Пущино : ФИЦ ПНЦБИ РАН, 2019.— С. 91-92.

33. Козло П. Реинтродукция беловежского зубра (Bison b. bonasus) в Беларуси // Беловежская пуща на рубеже третьего тысячелетия. Материалы научно-практической конференции, посвященной 60-летию со дня образования Государственного заповедника «Беловежская пуща», п. Каменюки, Брестская обл., 22 - 24 декабря 1999 г. —Минск, 1999. —С. 302-305.

34. Колмогоров А. Качественное изучение математических моделей популяций // Проблемы кибернетики. — 1972. — № 25. — С. 100-106.

35. Корнфельд И., Синай Я., Фомин С. Эргодическая теория. — М. : Наука, 1980. —384 с.

36. Кэмпбэлл Ш. Реальна ли реинтродукция? // Биология охраны природы. — 1983. —С. 297-303.

37. Левич А. Структура экологических сообществ. — М. : Изд-во МГУ, 1980. — 182 с.

38. Леонов Г. Введение в теорию управления. — СПб. : Изд-во СПбГУ, 2004. — 218 с.

39. Логофет Д. Три источника и три составные части формализма популяции с дискретной стадийной и возрастной структурами // Математическое моделирование. — 2002. — Т. 14, № 12. —С. 11-22.

40. Логофет Д. Ещё раз о проекционных матрицах: индикатор потенциального роста и польза индикации // Фундаментальная и прикладная математика.—2011/2012.—Т. 17, № 6. —С. 41-63.

41. Логофет Д., Белова И. Неотрицательные матрицы как инструмент моделирования динамики популяций: классические модели и современные обобщения // Фундаментальная и прикладная математика. — 2007. — Т. 13, № 4. —С. 145-164.

42. Логофет Д., Клочкова И. Математика модели Лефковича: репродуктивный потенциал и асимптотические циклы // Математическое моделирование.— 2002. — Т. 14, № 10. —С. 116-126.

43. Лопатин В., Абатуров Б. Математическая модель растительноядных млекопитающих со смешанной регуляцией // Журнал общей биологии. — 1991. —Т. 52, № 2. —С. 773-783.

44. Марри Д. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. —М. : Мир, 1983. —399 с.

45. Математическая модель озерного сообщества с учетом целочисленности размера популяции: хаотические и долгопериодные колебания / А.В. Русаков, А.Е. Бобырев, В.А. Бурменский и др. // Компьютерные исследования и моделирование. — 2016. — Т. 8, № 2. —С. 229-239.

46. Математическое моделирование в биологии // I школа по математическому моделированию сложных биологических систем, проходившая в марте 1973 г. в Мозжинке / Под ред. А.М. Молчанова. — М. : Наука, 1975.

47. Менджел М, Кларк К. Динамические модели в экологии поведения. — М. : Мир, 1992. —304 с.

48. Меншуткин В. В. Математическое моделирование популяций и сообществ водных животных.—Л. : «Наука», Ленингр. отд., 1971. —196 с.

49. Милсум Д. Анализ биологических систем управления. — М. : Мир, 1968. — 502 с.

50. Неверова Г., Абакумов А., Фрисман Е. Влияние промыслового изъятия на режимы динамики лимитированной популяции: результаты моделирования и численного исследования // Матем. биология и биоинформ. — 2016. —Т. 11, № 1. —С. 1-13.

51. Неверова Г., Абакумов А., Фрисман Е. Режимы динамики лимитированной структурированной популяции при избирательном промысле // Матем. биология и биоинформ. — 2017.— Т. 12, № 2.— С. 327-342.

52. Нелинейная динамика трансмембранного потенциала и рН в примембран-

ной области клетки харовых водорослей / А.И. Лаврова, Т.Ю. Плюснина, А.В. Украинец и др. // Компьютерные исследования и моделирование. — 2009. —Т. 1, № 2. —С. 233-239.

53. Одум Ю. Основы экологии. —М. : Мир, 1975. —746 с.

54. Основные направления и обзор современного состояния исследований динамики структурированных и взаимодействующих популяций / Е.Я. Фри-сман, М.П. Кулаков, О.Л. Ревуцкая и др. // Компьютерные исследования и моделирование. — 2019. — Т. 11, № 1. —С. 119-151.

55. Петросян Л., Захаров В. Математические модели в экологии. — СПб. : Изд-во СПбГУ, 1997. —254 с.

56. Полуэктов Р. Математические модели в теории биологических популяций и сообществ (истоки становления и первые результаты) // Матем. биология и биоинформ. — 2012. —Т. 7, № 1. —С. 4-8.

57. Примак Р. Основы сохранения биоразнообразия. Сохранение биоразнообразия. — М. : НУМЦ, 2002. — 140 с.

58. Проблемы кибернетики / М.А. Беликова, О.Н. Бондаренко, Н.А. Карпова и др. — М. : Наука, 1972. — 264 с.

59. Пых Ю. Экстремальные принципы в современной математической экологии // Труды ИСА РАН. —2009. —Т. 42. —С. 104-123.

60. Ревуцкая О., Неверова Г., Фрисман Е. Влияние промыслового изъятия на динамику популяций с возрастной и половой структурой // Математическая биология и биоинформатика. — 2018. — Т. 13, № 1. —С. 270-289.

61. Реинтродукция европейского зубра в лесную экосистему национального парка «Орловское полесье» / И.П. Белоусова, К.А. Смирнов, В.Д. Казьмин, И.В. Кудрявцев // Экология. — 2005. — Т. 36, № 2. —С. 115-119.

62. Ризниченко Г. Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Часть 1. —Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. —232 с.

63. Романовский Ю. М., Степанова Н., Чернавский Д. Математическое моделирование в биофизике. — М. : Наука, 1975.—344 с.

64. Рубин А., Пытьева Н., Ризниченко Г. Кинетика биологических процессов: Учеб. пособие. —М. : Изд-во МГУ, 1987.-304 с.

65. Свирежев Ю. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. —М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.— 368 с.

66. Свирежев Ю., Логофет Д. Устойчивость биологических сообществ. — М. : Наука, 1978. —352 с.

67. Семенова Е., Зятева О. Качественное исследование дискретных моделей популяционной динамики. — Петрозаводск : Изд-во ПетрГУ, 2013.— 46 с.

68. Синай Я. Современные проблемы эргодической теории. — М. : Физматлит, 1995. —208 с.

69. Смит Д. Математические идеи в биологии. —М. : Мир, 1970. —180 с.

70. Сохранение и восстановление биоразнообразия / В.Е. Флинт, О.В. Смирнова, О.П. Мелехова и др. Сохранение биоразнообразия. — М. : НУМЦ, 2002. —286 с.

71. Социально-экономические и правовые основы сохранения биоразнообразия / Д.Н. Кавтарадзе, А.В. Олескин, Р.А. Перелет и др. Сохранение биоразнообразия. — М. : НУМЦ, 2002. —420 с.

72. Спирина Е. Морфофизиологические адаптации Rana Ridibunda Pall. под влиянием загрязнения // Вестник Алтайского государственного аграрного университета. — 2009. — Т. 62, № 12. —С. 64-68.

73. Топаж А., Абрамова А. Исследование модели растительно-микробного симбиотического взаимодействия методами теории эволюционных игр // Матем. биология и биоинформ. — 2018. —Т. 13, № 1. —С. 130-158.

74. Топаж А., Абрамова А., Толстопятов С. Дискретные модели популяционной динамики: достоинства, проблемы и обоснование // Компьютерные исследования и моделирование. — 2016. — Т. 8, № 2.— С. 267-284.

75. Филиппов А. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — М. : КомКнига, 2007. —240 с.

76. Фомин С., Беркинблит М. Б. Математические проблемы в биологии. —

М. : Наука, 1973.-200 с.

77. Andrews B., Passino K, Waite T. Foraging theory for decision-making system design: Task processing-length choice // IEEE Control Systems Magazine. — 2004.

78. Andrews B., Passino K, Waite T. Foraging theory for decision-making system design: Task-type choice // IEEE Control Systems Magazine. — 2004.

79. Arditi R., Akcakaya H., Ginzburg L. Ratio-dependent predation: an abstraction that works // Ecology. — 1995. — Vol. 76, no. 3. —P. 995-1004.

80. Arditi R., Ginzburg L. Coupling in predator-prey dynamics: ratio-dependence // Journal of Theoretical Biology. — 1989. — Vol. 139. — P. 311-326.

81. Atehortua A., Ladino L, Valverde J. Population dynamics of a two-stage migratory species with predation and capture // Nonlinear Analysis: Real World Applications. — 2014. — Vol. 16. — P. 27—-39.

82. Bacaer N. A Short History of Mathematical Population Dynamics. — Springer, 2011. — 160 p.

83. Biological control does not imply paradox / B. Deng, S. Jessie, G. Ledder et al. // Mathematical Biosciences. — 2007. — Vol. 208. —P. 26-32.

84. Charnov E. Optimal Foraging, the Marginal Value Theorem // Theoretical population biology. — 1976. — Vol. 9, no. 2. — P. 129-136.

85. Constantino S., Nathaniel D. Learning the opportunity cost of time in a patch-foraging task // Cogn Affect Behav Neurosci. — 2015. — Vol. 15.— P. 837—-853.

86. Cosner C. A dynamic model for the ideal-free distribution as a partial differential equation // Theoretical Population Biology. — 2005. — Vol. 67. — P. 101—-108.

87. Diekmann O, Gyllenberg M., Metz J. On models of physiologically structured populations and their reduction to ordinary differential equations // J Math Biol. — 2020. —Vol. 80, no. 1-2. —P. 189-204.

88. Ecology, Genetics, and Evolution of Metapopulations / Ed. by I. Hanski, O.E. Gaggiotti. — Elsevier Academic Press, 2004. — 696 p.

89. Essays on control : perspectives in the theory and its applications / Ed. by H.L. Trentelman, J.C. Willems. — Springer Science+Business Media, LLC, 1994. —439 p.

90. Evolutionary Conservation Biology / Ed. by R. Ferriere, U. Dieckmann, D. Couvet. — New York : Cambridge University Press, 2004. — 429 p.

91. Fretwell S., Lucas H. L. On territorial behavior and other factors influencing habitat distribution in birds // Acta Biotheoretica. — 1970. — Vol. 19. — P. 16-36.

92. The Geometry of Ecological Interactions: Simplifying Spatial Complexity / Ed. by U. Dieckmann, R. Law, J.A.J. Metz. — Cambridge : Cambridge University Press, 2001. — 340 p.

93. Hamilton W. Geometry for the selfish herd // Journal of the Theoretical Biology. — 1971. — Vol. 31. —P. 295-311.

94. Hausrath A., Manasevich R. Periodic solutions of periodically harvested Lotka-Volterra systems // Revista Colombiana de Matematicas. — 1987. — Vol. 21. —P. 337-346.

95. Hausrath A., Manasevich R. Periodic solutions of periodically perturbed Lotka-Volterra equation using the Poincare-Birkhoff theorem // Journal of mathematical analysis and applications. — 1991. — Vol. 157. — P. 1-9.

96. Ivanova A. The control in the Volterra system with migration // Комплексный анализ и его приложения: материалы VII Петрозаводской международной конференции (29 июня - 5 июля 2014 г.) / Под ред. В.В. Старкова. — Петрозаводск : Изд-во ПетрГУ, 2014.— С. 60-61.

97. Ivanova A., Kirillov A. Chapter 7. Equilibrium and control in biocommunity species composition preserving problem. — NY : Nova Science Publishers, 2015. — Vol. 17: Game-Theoretic Models in Mathematical Ecology. — P. 95112.

98. Ivanova A., Kirillov A. Equilibrium and control in the biocommunity species composition preservation problem // Automation and Remote Control. — 2017. —Vol. 78, no. 8. —P. 1500-1511.

99. Kara R., Can M. Hopf point analysis for ratio-dependent food chain models // Mathematical and Computational Applications. — 2008. — Vol. 13, no. 1. —P. 9-22.

100. Krebs C. Ecology: the Experimental Analysis of Distribution and Abundance.— Sydney : Benjamin Cummings, 2001.

101. Krivan V. Dynamic ideal free distribution: effects of optimal patch choice on predator-prey dynamics // The American Naturalist. — 1997. — Vol. 149, no. 1. —P. 164-178.

102. Krivan V. Evolutionary stability of optimal foraging: Partial preferences in the diet and patch models // Journal of Theoretical Biology. — 2010. — Vol. 267. — P. 486—-494.

103. Krivan V. Behavioral refuges and predator-prey coexistence // Journal of Theoretical Biology. — 2013. — Vol. 339. —P. 112-121.

104. Krivan V., Cressman R., Schneider C. The ideal free distribution: a review and synthesis of the game-theoretic perspective // Theoretical population biology. — 2008. — Vol. 73, no. 3. —P. 403-425.

105. Lardet J.-P. Spatial Behaviour and Activity Patterns of the Water Shrew Neomys fodiens in the Field // Acta theriologica. — 1988. — Vol. 33. — P. 293-303.

106. Leonov G. Mathematical problems of control theory: an introduction. — World Scientific, 2001. —172 p.

107. Lotka A. Elements of Physical Biology. — Baltimore : Williams and Wilkins, 1925. —495 p.

108. MacArthur R., Wilson E. The Theory of Island Biogeography. — Princeton : Princeton Univ. Press, 1967. — 293 p.

109. Matsumura S., Arlinghaus R., Dieckmann U. Foraging on spatially dis-

tributed resources with sub-optimal movement, imperfect information, and travelling costs: departures from the ideal free distribution // Oikos. — 2010. —Vol. 119. —P. 1469-1483.

110. May R. Will a Large Complex System be Stable? // Nature. — 1972.— P. 413-414.

111. Metapopulation Biology: Ecology, Genetics, and Evolution / Ed. by I. Hanski, M.E. Gilpin. — San Diego : Academic Press, 1997. — 512 p.

112. Metapopulation Ecology / Ed. by I. Hanski. — Oxford : Oxford University Press, 1999.

113. Modelling the dynamics of migrations for large herbivore populations in the Amboseli National Park, Kenya / V.N. Mose, T. Nguyen-Huu, D. Western et al. // Ecological Modelling. — 2013. — Vol. 254. —P. 43—-49.

114. Models in Ecology / Ed. by J. Maynard Smith. — New York : Cambridge University Press, 1974. — 146 p.

115. Nonacs P. State dependent behavior and the marginal value theorem // Behavioral Ecology. — 2001. — Vol. 12, no. 1. —P. 71-83.

116. Shih S.-D. The period of a Lotka-Volterra system // Taiwanese journal of mathematics. — 1997. — Vol. 1, no. 4. —P. 451-470.

117. Taha H. Operations Research. — New York : Macmillan, 1971. — 703 p.

118. Terry A. Dynamics of a structured population on two patches // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2011. — Vol. 378. — P. 1—-15.

119. Tyutyunov Y, Titova L. Simple models for studying complex spatiotemporal patterns of animal behavior // Deep Sea Research Part II: Topical Studies in Oceanography. — 2017. — Vol. 140. — P. 193-202.

120. Tyutyunov Y, Titova L, Senina I. Prey-taxis destabilizes homogeneous stationary state in spatial Gause-Kolmogorov-type model for predator-prey system // Ecological Complexity. — 2017. — Vol. 31. — P. 170-180.

121. Volterra V. Variazioni e fluttuazioni del numero d'individui in specei animali conviventi // Mem. R. Acad. Naz. dei Lincei. — 1926. — Vol. 2. — P. 31-

122. Zanolin F., Ruiz-Herrera A. Horseshoes in 3D equations with applications to Lotka-Volterra systems // Nonlinear Differential Equations and Applications . — 2015.

Приложение А

Листинг программы «Вычисление периода системы Лотки-Вольтерра»

program period implicit none integer:: d,i,j,s

double precision:: a,b,k,m,x10,x20,C,epsilon,Rx2,x,xx,xone,xtwo,Rx1,x11,x12 double precision:: x21,x22,x2min,x2max,h12,S1,S2,x1,v1,v2,g1,g2,xx1,gg1,gg2,h3,S3 double precision:: l1,ll1,x2,xx2,u2,h4,S4,l2,ll2,u1,T,p1,p2,p3,p4,p5,p6,Rtr,Rtr1 double precision:: q1,q2,q3,Rtr2,r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,x1min,x1max,Rtr3 double precision:: t1,t2,t3,t4,t5,t6,t7,Rtr4,dT

!p1,...,p6 - вводятся для вычисления погрешности метода вычисления S1

!q1,q2,q3 - вводятся для вычисления погрешности метода вычисления S2

!r1,...,r7 - вводятся для вычисления погрешности метода вычисления S3

!t1,...,t7 - вводятся для вычисления погрешности метода вычисления S4

print*, 'enter a,b,k,m,x10,x20,d:'

read*, a,b,k,m,x10,x20,d

C=a*log(x20)-b*x20+m*log(x10)-k*b*x10

print*, 'C=',C

epsilon=1./((d+1.)**2.)

print*,'epsilon=',epsilon

Rx2=C2(a/b)

print*,'C2(x2=a/b)=',Rx2

!Вычисление меньшего значения x1 при x2=a/b:

i=1.0

do while(F2(m/((2.0**i)*b*k),Rx2)>0.0) i=i+1.0

end do

if (F2(m/((2.0**i)*b*k),Rx2)==0.0) then

x1min=m/((2.0**i)*b*k)

else

!Метод хорд:

x=m/(b*k)

print*,'m/(bk)=',x

xx=-F2(m/((2.0**i)*b*k),Rx2)/(F2(x,Rx2)-F2(m/((2.0**i)*b*k),Rx2))*

*(x-m/((2.0**i)*b*k))+m/((2.0**i)*b*k)

do while(ABS(x-xx)> epsilon)

x=xx

xx=-F2(m/((2.0**i)*b*k),Rx2)/(F2(x,Rx2)-F2(m/((2.0**i)*b*k),Rx2))*

*(x-m/((2.0**i)*b*k))+m/((2.0**i)*b*k)

print*,'x=',x

end do

print*, 'the solution is', xx, 'F2(x)=', F2(xx,Rx2)

x1min=xx

end if

xone=(x1min+m/(b*k))/2.0

[Вычисление большего значения x1 при x2=a/b:

j=1.0

do while(F2((j*m)/(b*k),Rx2)>0.0) j=j+1.0 end do

if (F2((j*m)/(b*k),Rx2)==0.0) then

x1max=(j*m)/(b*k)

else

!Метод хорд: x=m/(b*k)

xx=-F2((j*m)/(b*k),Rx2)/(F2(x,Rx2)-F2((j*m)/(b*k),Rx2))* *(x-(j*m)/(b*k))+(j*m)/(b*k) do while(ABS(x-xx)>epsilon) x=xx

xx=-F2((j*m)/(b*k),Rx2)/(F2(x,Rx2)-F2((j*m)/(b*k),Rx2))*

*(x-(j*m)/(b*k))+(j*m)/(b*k)

print*,'x=',x

end do

print*, 'the solution is', xx, 'F2(x)=', F2(xx,Rx2)

x1max=xx

end if

xtwo= (xx+m/(b*k))/2.0 print*,'xone=',xone,'xtwo=',xtwo

[Вычисление x11, x12, т.е. нахождение корней уравнения траектории системы Лотки-Вольтерра при x1=xone:

Rx1=C1(xone)

print*,'C1(xone)=',Rx1

print*,'(a/b,F1(a/b))=',a/b,F1(a/b,Rx1)

[Вычисление меньшего значения x2 при x1=xone, т.е. вычисление x11:

i=1.0

do while(F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)>0.0) i=i+1.0 end do print*,'i=',i

print*,'F1(a/((2.0**(i-1)*b))=',F1(a/((2.0**(i-1.1))*b),Rx1) print*,'F1(a/((2.0**i)*b))=',F1(a/((2.0**i)*b),Rx1) if (F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)==0.0) then x11=a/((2.0**i)*b)

print*,'x11=',x11

else

!Метод хорд: x=a/b

xx=(-F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)/(F1(x,Rx1)-F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)))*

*(x-a/((2.0**i)*b))+a/((2.0**i)*b) do while(ABS(x-xx)> epsilon) x=xx

xx=(-F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)/(F1(x,Rx1)-F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)))*

*(x-a/((2.0**i)*b))+a/((2.0**i)*b)

print*,'x=',x

end do

print*, 'the solution is', xx, 'F1(x)=', F1(xx,Rx1) x11=xx

print*,'x11=',x11 end if

[Вычисление большего значения x2 при x1=xone, т.е. вычисление x12:

j=1.0

do while(F1(j*(a/b),Rx1)>0.0) j=j+1.0 end do

if (F1(j*(a/b),Rx1)==0.0) then

x12=j*(a/b)

print*,'x12=',x12

else

!Метод хорд: x=a/b

xx=-F1(j*(a/b),Rx1)/(F1(x,Rx1)-F1(j*(a/b),Rx1))*(x-j*(a/b))+j*(a/b) do while(ABS(x-xx)>epsilon)

x=xx

xx=-F1(j*(a/b),Rx1)/(F1(x,Rx1)-F1(j*(a/b),Rx1))*(x-j*(a/b))+j*(a/b)

print*,'x=',x

end do

print*, 'the solution is', xx, 'F1(x)=', F1(xx,Rx1) x12=xx

print*,'x12=',x12 end if

[Вычисление x21, x22, т.е. нахождение корней уравнения при x1=xtwo:

Rx1=C1(xtwo)

print*,'C1(xtwo)=',Rx1

print*,'(a/b,F1(a/b))=',a/b,F1(a/b,Rx1)

[Вычисление меньшего значения x2 при x1=xtwo, т.е. вычисление x21:

i=1.0

do while(F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)>0.0) i=i+1.0 end do print*,'i=',i

print*,'F1(a/((2.0**(i-1)*b))=',F1(a/((2.0**(i-1.1))*b),Rx1)

print*,'F1(a/((2.0**i)*b))=',F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)

if (F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)==0.0) then

x21=a/((2.0**i)*b)

print*,'x21=',x21

else

!Метод хорд: x=a/b

xx=(-F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)/(F1(x,Rx1)-F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)))* *(x-a/((2.0**i)*b))+a/((2.0**i)*b)

do while(ABS(x-xx)> epsilon) x=xx

xx=(-F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)/(F1(x,Rx1)-F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)))*

*(x-a/((2.0**i)*b))+a/((2.0**i)*b)

print*,'x=',x

end do

print*, 'the solution is', xx, 'F1(x)=', F1(xx,Rx1) x21=xx

print*,'x21=',x21 end if

!Вычисление большего значения x2 при x1=xtwo, т.е. вычисление x22:

j=1.0

do while(F1(j*(a/b),Rx1)>0.0) j=j+1.0 end do

if (F1(j*(a/b),Rx1)==0.0) then

x22=j*(a/b)

print*,'x22=',x22

else

!Метод хорд: x=a/b

xx=-F1(j*(a/b),Rx1)/(F1(x,Rx1)-F1(j*(a/b),Rx1))*(x-j*(a/b))+j*(a/b)

do while(ABS(x-xx)>epsilon)

x=xx

xx=-F1(j*(a/b),Rx1)/(F1(x,Rx1)-F1(j*(a/b),Rx1))*(x-j*(a/b))+j*(a/b)

print*,'x=',x

end do

print*, 'the solution is', xx, 'F1(x)=', F1(xx,Rx1)

x22=xx

print*,'x22=',x22 end if

Rx1=C1(m/(b*k)) print*,'C1(m/(b*k))=',Rx1

print*,'(a/b,F1(a/b))=',a/b,F1(a/b,Rx1)

[Вычисление меньшего значения x2 при x1=m/bk, т.е. вычисление x2min:

i=1.0

do while(F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)>0.0) i=i+1.0 end do print*,'i=',i

print*,'F1(a/((2.0**(i-1)*b))=',F1(a/((2.0**(i-1.1))*b),Rx1)

print*,'F1(a/((2.0**i)*b))=',F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)

if (F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)==0.0) then

x2min=a/((2.0**i)*b)

print*,'x2min=',x2min

else

!Метод хорд: x=a/b

xx=(-F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)/(F1(x,Rx1)-F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)))*

*(x-a/((2.0**i)*b))+a/((2.0**i)*b)

do while(ABS(x-xx)> epsilon)

x=xx

xx=(-F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)/(F1(x,Rx1)-F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)))*

*(x-a/((2.0**i)*b))+a/((2.0**i)*b)

print*,'x=',x

end do

print*, 'the solution is', xx, 'F1(x)=', F1(xx,Rx1) x2min=xx

print*,'x2min=',x2min end if

!Вычисление большего значения x2 при x1=m/bk, т.е. вычисление x2max:

j=1.0

do while(F1(j*(a/b),Rx1)>0.0) j=j+1.0 end do

if (F1(j*(a/b),Rx1)==0.0) then

x2max=j*(a/b)

print*,'x2max=',x2max

else

!Метод хорд: x=a/b

xx=-F1(j*(a/b),Rx1)/(F1(x,Rx1)-F1(j*(a/b),Rx1))*(x-j*(a/b))+j*(a/b)

do while(ABS(x-xx)>epsilon)

x=xx

xx=-F1(j*(a/b),Rx1)/(F1(x,Rx1)-F1(j*(a/b),Rx1))*(x-j*(a/b))+j*(a/b)

print*,'x=',x

end do

print*, 'the solution is', xx, 'F1(x)=', F1(xx,Rx1) x2max=xx

print*,'x2max=',x2max end if

!ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ИНТЕГРАЛОВ МЕТОДОМ ТРАПЕЦИЙ:

h12=(xtwo-xone)/d

print*,'h12=',h12

S1=0.0

S2=0.0

do s=0,d-1

x1=xone+s*h12

Rx1=C1(x1)

print*,'C1(x1=',x1,')=',Rx1

!Метод хорд для вычисления меньшего значения x2 при фиксированном x1, т.е. для вычисления v1 (для S1):

i=1.0

do while(F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)>0.0) i=i+1.0 end do print*,'i=',i

print*,'F1(a/((2.0**(i-1)*b))=',F1(a/((2.0**(i-1.1))*b),Rx1)

print*,'F1(a/((2.0**i)*b))=',F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)

if (F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)==0.0) then

v1=a/((2.0**i)*b)

print*,'v1=',v1

else

!Метод хорд: x=a/b

xx=(-F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)/(F1(x,Rx1)-F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)))*

*(x-a/((2.0**i)*b))+a/((2.0**i)*b)

do while(ABS(x-xx)> epsilon)

x=xx

xx=(-F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)/(F1(x,Rx1)-F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)))*

*(x-a/((2.0**i)*b))+

+a/((2.0**i)*b)

print*,'x=',x end do

print*, 'the solution is', xx, 'F1(x)=', F1(xx,Rx1) v1=xx

print*,'v1=',v1 end if

[Метод хорд для вычисление большего значения x2 при фиксированном x1, т.е. для вычисления v2 (для S2):

j=1.0

do while(F1(j*(a/b),Rx1)>0.0) j=j+1.0 end do

if (F1(j*(a/b),Rx1)==0.0) then

v2=j*(a/b)

print*,'v2=',v2

else

!Метод хорд: x=a/b

xx=-F1(j*(a/b),Rx1)/(F1(x,Rx1)-F1(j*(a/b),Rx1))*(x-j*(a/b))+j*(a/b)

do while(ABS(x-xx)>epsilon)

x=xx

xx=-F1(j*(a/b),Rx1)/(F1(x,Rx1)-F1(j*(a/b),Rx1))*(x-j*(a/b))+j*(a/b)

print*,'x=',x

end do

print*, 'the solution is', xx, 'F1(x)=', F1(xx,Rx1) v2=xx

print*,'v2=',v2 end if

g1=f(x1,v1)

g2=f(x1,v2)

xx1=xone+(s+1.0)*h12 Rx1=C1(xx1)

print*,'C1(x1=',xx1,')=',Rx1

!Метод хорд для вычисления меньшего значения x2 при фиксированном x1, т.е. для вычисления v1 (для S1):

i=1.0

do while(F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)>0.0) i=i+1.0 end do print*,'i=',i

print*,'F1(a/((2.0**(i-1)*b))=',F1(a/((2.0**(i-1.1))*b),Rx1)

print*,'F1(a/((2.0**i)*b))=',F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)

if (F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)==0.0) then

v1=a/((2.0**i)*b)

print*,'v1=',v1

else

!Метод хорд: x=a/b

xx=(-F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)/(F1(x,Rx1)-F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)))* *(x-a/((2.0**i)*b))+a/((2.0**i)*b) do while(ABS(x-xx)>epsilon) x=xx

xx=(-F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)/(F1(x,Rx1)-F1(a/((2.0**i)*b),Rx1)))*

*(x-a/((2.0**i)*b))+a/((2.0**i)*b)

print*,'x=',x

end do

print*, 'the solution is', xx, 'F1(x)=', F1(xx,Rx1) v1=xx

print*,'v1=',v1 end if

[Метод хорд для вычисление большего значения x2 при фиксированном x1, т.е. для вычисления v2 (для S2):

j=1.0

do while(F1(j*(a/b),Rx1)>0.0) j=j+1.0 end do

if (F1(j*(a/b),Rx1)==0.0) then

v2=j*(a/b)

print*,'v2=',v2

else

!Метод хорд: x=a/b

xx=-F1(j*(a/b),Rx1)/(F1(x,Rx1)-F1(j*(a/b),Rx1))*(x-j*(a/b))+j*(a/b)

do while(ABS(x-xx)>epsilon)

x=xx

xx=-F1(j*(a/b),Rx1)/(F1(x,Rx1)-F1(j*(a/b),Rx1))*(x-j*(a/b))+j*(a/b)

print*,'x=',x

end do

print*, 'the solution is', xx, 'F1(x)=', F1(xx,Rx1) v2=xx

print*,'v2=',v2 end if

gg1=f(xx1,v1) gg2=f(xx1,v2) S1=S1+(g1+gg1)/2.0*h12 S2=S2+(g2+gg2)/2.0*h12 end do

if(S1>0.0) then print*, 'S1=', S1 else

print*, 'S1<0:', S1 end if

if(S2>0.0) then print*, 'S2=', S2 else

print*, 'S2<0:', S2 end if

[ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРЕТЬЕГО ИНТЕГРАЛА МЕТОДОМ ТРАПЕЦИЙ:

h3=(x22-x21)/d

print*,'h3=',h3

S3=0.0

do s=0,d-1

x2=x21+s*h3

Rx2=C2(x2)

print*,'C2(x2=',x2,')=',Rx2

[Метод хорд для вычисления большего значения x1 при фиксированном x2, т.е. для вычисления u2 (для S3):

j=1.0

do while(F2((j*m)/(b*k),Rx2)>0.0) j=j+1.0 end do

if (F2((j*m)/(b*k),Rx2)==0.0) then

u2=(j*m)/(b*k)

else

!Метод хорд: x=m/(b*k)

xx=-F2((j*m)/(b*k),Rx2)/(F2(x,Rx2)-F2((j*m)/(b*k),Rx2))*(x-(j*m)/(b*k))+ + (j*m)/(b*k)

do while(ABS(x-xx)>epsilon) x=xx

xx=-F2((j*m)/(b*k),Rx2)/(F2(x,Rx2)-F2((j*m)/(b*k),Rx2))*(x-(j*m)/(b*k))+ + (j*m)/(b*k) print*,'x=',x end do