Сравнение траекторий моделей, управляемых стохастическими дифференциальными уравнениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Асылгареев Артур Салаватович

• Асылгареев Артур Салаватович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Асылгареев Артур Салаватович

Введение

Глава 1. Некоторые модели стохастической популяционной

динамики и финансовой математики

1.1 Динамика численности взаимодействующих в случайной среде популяций

1.2 Диффузионные модели колебаний процентной ставки

1.3 Ценообразование азиатских колл-опционов, подчинённых двухфакторной модели Хестона

Заключение к главе

Глава 2. Теоретические основы разрабатываемого метода

2.1 Предварительные сведения

2.1.1 Стохастические дифференциальные уравнения

2.1.2 Уравнения с симметричными интегралами

2.1.3 Структура решения скалярного СДУ

2.1.4 Структура решения систем СДУ

2.1.5 Устойчивость решений дифференциальных уравнений

2.2 Представление решения одного СДУ через решение другого СДУ

2.3 Структура решения СДУ относительно многомерного винеровского процесса

2.4 Теоремы сравнения

2.4.1 Скалярные СДУ

2.4.2 СДУ относительно многомерного винеровского процесса

2.4.3 Системы СДУ

2.5 Потраекторная устойчивость

2.5.1 Скалярные СДУ

2.5.2 СДУ относительно многомерного винеровского процесса . . 60 Заключение к главе

Глава 3. Качественный анализ решений моделей, управляемых СДУ

3.1 Моделирование траекторий винеровского процесса

3.2 Построение разностной схемы

3.3 Характеристика разработанного комплекса программ для сравнения траекторий решений поставленных задач

3.4 Сравнение траекторий решений моделей «рождения-гибели»

3.4.1 Сравнение траекторий решений моделей «хищник-жертва»

3.4.2 Сравнение траекторий решений моделей «кооперации»

3.5 Сравнение траекторий решений моделей финансовой математики

3.5.1 Сравнение траекторий решений модели Мёртона с траекториями решений модели Дотхана

3.5.2 Сравнение траекторий решений моделей Кокса,

Ингерсола и Росса

3.5.3 Сравнение траекторий решений моделей ценообразования азиатских опционов в модели Хестона

Заключение к главе

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Словарь терминов

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Приложение А. Свидетельство о государственной регистрации

программы для ЭВМ «ПР-ССМ: сравнение решений стохастических моделей, подчинённых

стохастическим дифференциальным уравнениям»

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сравнение траекторий моделей, управляемых стохастическими дифференциальными уравнениями»

Введение

Актуальность темы. В настоящее время одной из актуальных задач математического моделирования является качественный анализ моделей, подчинённых стохастическим дифференциальным уравнениям. Предметом исследования данной работы являются модели, управляемые стохастическими дифференциальными уравнениями, в частности, модели динамики численности популяций и ряд моделей финансовой математики, описывающих изменения процентной ставки и стоимости колл-опционов. Для качественного анализа изучаемых моделей в работе решается теоретическая задача сравнения решений стохастических дифференциальных уравнений (далее —СДУ) с различающимися коэффициентами диффузии, а полученные результаты применяются для исследования потраектор-ной устойчивости возмущённых решений СДУ.

Одним из приложений теорем сравнения является качественный анализ свойств математических моделей. T. G. Gard [1] применял теоремы сравнения при выводе условий «персистентности» («невымирания») видов в стохастических моделях пищевых цепей, R. Rudnicki [2] — при анализе влияния случайных возмущений на модели типа «хищник-жертва», J. Cvitanic [3] — при исследовании хеджирования опционов для крупных инвесторов. W. J. Anderson [4] — для исследования локальных свойств СДУ

Несмотря на значительное количество работ, посвящённых теоремам сравнения и выводу различных условий устойчивости для СДУ, многие вопросы качественного анализа решений СДУ остаются открытыми (в частности, задачи сравнения решений СДУ общего вида и потраекторной устойчивости). Поэтому построение новых методов качественного анализа моделей, управляемых СДУ, является актуальной проблемой, необходимой для решения ряда прикладных за-

Степень разработанности темы. Имеющийся на конец 19-го века математический аппарат теории вероятностей позволял работать только со стационарными состояниями [5], однако существующие задачи экономики, физики, биологии, теории связи, инженерного дела и других естественных наук требовали общих методов для изучения процессов. Такие методы были впервые предложены в исследованиях А. Н. Колмогорова [6], A. Я. Хинчина [7] и других авторов, заложивших основу для работы с марковскими и стационарными

процессами. E. E. Слуцким [8] был предложен инструмент анализа для ряда задач экономики, который в дальнейшем был развит Х. Уоркином [9] и Н. Винером [10]. Исследования этих авторов легла в основу работ П. Ланжевена [11] в области физики. Отдельно стоит отметить исследования Л. Башелье [12], рассматривающие динамику цен на облигации, и работы М. Смолуховского [13], А. Эйнштейна [14], в которых была построена физически обоснованная модель броуновского движения. Более подробно с конкретными приложениями теории случайных процессов к решению задач различных областей знания можно познакомиться в трудах В. И. Кляцкина [15], J. Yin [16], Y. Shi [17], E. Allen [18], G. Da Prato [19], G. S. Agarwal [20], T. Aven [21] и многих других авторов.

Одним из способов качественного анализа свойств дифференциальных систем является классический метод сравнения, в рамках которого выводы об исследуемой системе делаются посредством сравнения её решения с решением другой системы, свойства которой известны. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений такие подходы, в частности, могут быть сформулированы в виде теорем сравнения, также известных как неравенства Чаплыгина, которые были доказаны С. А. Чаплыгиным [22] в процессе построения метода приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Дальнейшее развитие эти подходы получили в работах W. Wolfgang [23; 24], A. McNabb [25], V. Lakshmikantham [26], J. H. Smith [27], M. Kirkilionis [28] и др.

Аналоги таких теорем существуют и для СДУ. Впервые теорема сравнения для СДУ Ито с совпадающими коэффициентами диффузии была доказана А. В. Скороходом [29]. Данный результат наиболее подробно изложен в известной монографии С. Ватанабэ, Н. Икэда [30]. T. Yamada [31] доказал строгие теоремы сравнения для одномерных СДУ Уравнения с нелипшицевыми коэффициентами рассматривались в работе K. Takeuchi [32]. В дальнейшем Гейб и Мантеи [33] распространили подход Скорохода на системы СДУ Ито относительно многомерного винеровского процесса. S. Peng и X. Zhu [34] получили условия сравнения для СДУ с дополнительным возмущением в виде пуассоновского процесса. Теоремы сравнения для обратных СДУ рассматривались в работах S. N. Cohen [35], Z. Yang [36], Z. Chen [37], J. Li [38], M.-C. Quenez [39]. Однако в данных исследованиях авторы требовали, чтобы коэффициенты диффузии исследуемых уравнений при соответствующих составляющих винеровского процесса совпадали. Случай СДУ с различающимися коэффициентами диффузии впервые исследовался О'Брайаном [40] —им была доказана теорема сравнения для автономных СДУ

с интегралом Стратоновича с нулевым коэффициентом сноса. Подход О'Брайана был распространён на скалярные автономные СДУ с ненулевым коэффициентом сноса в работе Y. Ouknine [41].

Другим важным вопросом, возникающим при исследовании дифференциальных уравнений, является устойчивость. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений решение возмущённой системы, с начальным условием из малой окрестности тривиального решения, называется устойчивым по Ляпунову, если оно никогда не выйдет из некоторой окрестности тривиального решения. В теории стохастических дифференциальных уравнений, в зависимости от характера задач, стоящих перед исследователем, существуют различные определения устойчивости возмущённого решения: по вероятности, в целом, p-устойчивость, экспоненциальная p-устойчивость. Устойчивость по вероятности означает, что, чем ближе начальное условие возмущённой системы к тривиальному решению, тем меньше вероятность того, что оно покинет окрестность тривиального решения. Если решение возмущённой системы устойчиво по вероятности и с вероятностью 1 стремится к тривиальному решению, то оно называется устойчивым в целом. Решение возмущённой системы СДУ называется р-устойчивым в случае, когда верхняя граница р-момента решения возмущённой системы стремится к нулю при стремлении к нулю радиуса окрестности, содержащей начальное условие исследуемой системы. Экспоненциальная устойчивость, рассмотренная, например, в работах X. Mao [42], D. Zhang [43], Q. Zhu [44], L. Pan [45], является более сильным видом устойчивости, чем р-устойчивость, так как она означает, что р-момент возмущённого решения СДУ стремится к нулю не медленнее A exp{ — as}, A, a = const > 0, s > 0.

Данные виды устойчивости СДУ подробно изложены в монографиях Р. З. Хасьминского, Г. Дж. Кушнера. Хасьминский [46] в своей работе предложил стохастический метод функций Ляпунова, который позволил получить условия введённых выше видов устойчивости СДУ. Выделим тот факт, что рассмотренные ранее определения устойчивости СДУ не гарантируют устойчивости по Ляпунову для почти каждой отдельно взятой траектории решения возмущённой системы. В данной работе исследуется потраекторная устойчивость, предполагающая устойчивость по Ляпунову для почти всех траекторий решений возмущённой системы, что делает потраекторную устойчивость более сильным видом устойчивости, чем устойчивость по вероятности, р-устойчивость, экспоненциальная устойчивость. Потраекторная устойчивость и близкие к ней виды

устойчивости рассматривались в работах О. А. Султанова [47; 48] для определённого класса СДУ с интегралом Стратоновича относительного многомерного винеровского процесса.

Целью данной работы являются разработка численно-аналитического метода качественного анализа моделей, подчинённых СДУ. Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1. Разработать новый численно-аналитический метод, позволяющий сравнивать решения моделей, управляемых СДУ (п.2 паспорта специальности 05.13.18).

2. Получить достаточные условия потраекторной устойчивости СДУ (п.2 паспорта специальности 05.13.18).

3. Применить разработанный математический аппарат к исследованию некоторых стохастических моделей популяционной динамики и финансовой математики (п.2 паспорта специальности 05.13.18).

4. Разработать комплекс программ для решения задач сравнения численности взаимодействующих популяций в рамках моделей «рождения-гибели», значений мгновенной процентной ставки, подчиненных диффузионным моделям, сравнения рациональной стоимости азиатских колл-опционов, удовлетворяющих модели Хестона, с визуализацией результатов вычислений (п.4 и п.8 паспорта специальности 05.13.18).

Научная новизна:

1. Впервые найдены условия, позволяющие сравнивать траектории решений стохастических дифференциальных уравнений и систем стохастических дифференциальных уравнений общего вида с различающимися коэффициентами диффузии.

2. Найдены достаточные условия потраекторной устойчивости возмущённых решений СДУ, которые ранее не были известны.

3. Разработанный метод сравнения решений СДУ адаптирован к качественному анализу популяционных моделей, моделей динамики процентной ставки и ценообразования азиатских колл-опционов.

Теоретическая и практическая значимость. В данной работе существенно расширен класс стохастических моделей для которых стало возможным применение потраекторных методов сравнения и исследования устойчивости по Ляпунову их реализаций. В диссертации приведены примеры приложения разработанного подхода к задачам оценки численности популяций взаимодействующих видов, значений процентных ставок, подчинённых диффузионным

моделям, оценки ценообразования азиатских колл-опционов. Полученные результаты были внедрены в производственную деятельность ООО «Центр технологий моделирования».

Mетодология и методы исследования. Аналитические исследования проводились с помощью методов теории случайных процессов, вычислительной математики, финансовой математики, теории функции действительной переменной и функционального анализа. Расчёты проводились в среде Python с использованием экосистемы SciPy.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Метод сравнения для стохастических дифференциальных уравнений, коэффициенты диффузии которых могут быть различающимися. Полученные результаты распространены на случай СДУ и систем СДУ относительно многомерного винеровского процесса. Результаты опубликованы в [49—51].

2. Приложение разработанного математического аппарата к исследованию по-пуляционных моделей, а также ряда моделей динамики процентной ставки и ценообразования колл-опционов. Результаты опубликованы в [52].

3. Достаточные условия потраекторной устойчивости для возмущенных решений стохастических дифференциальных уравнений. Результаты опубликованы в [49; 51].

4. Алгоритм и комплекс программ на языке программирования Python для решения поставленных в работе задач. Результаты опубликованы в [53].

Эти положения соответствуют областям исследования 2, 4, 8, из паспорта специальности 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным теоретическим обоснованием приведённых утверждений. Результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались и докладывались на научных семинарах и конференциях, соответствующих профилю диссертации, в частности были сделаны доклады:

1. На Международном молодежном научном форуме «ЛОМОНОСОВ-2015» (г. Москва, 2015 г.).

2. На Международной конференции «КРОМШ-2016» (г. Севастополь, 2016 г.).

3. На Международном молодежном научном форуме «ЛОМОНОСОВ-2017» (г. Москва, 2017 г.).

4. На Международной конференции «КР0МШ-2017» (г. Севастополь, 2017 г.).

5. На Международной конференции «МКСМ-2»(г. Новороссийск, 2017 г.).

6. На Международной молодёжной (49-й Всероссийской) школе-конференции «Современные проблемы математики и её приложений» (г. Екатеринбург, 2018 г.).

7. На Международной научно-практической конференции для студентов и молодежи по естественно-научному и техническому направлениям «Наука 2020» (г. Уфа, 2018 г.).

8. На Международной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — VIII» (г. Ростов-на-Дону, 2018 г.).

9. На Международной конференции «МКСМ-3» (г. Геленджик, 2018 г.).

10. На Международной конференции «КР0МШ-2018» (г. Севастополь, 2018 г.).

11. На общегородском семинаре им. А. М. Ильина по дифференциальным уравнениям математической физики (ИМВЦ УФИЦ РАН, г. Уфа, 25.12.2018 г.).

12. На семинаре по теории вероятностей и случайным процессам кафедры математики УГАТУ, руководитель — Насыров Ф. С. (г. Уфа, 2013-2019 гг.).

Личный вклад. Автор выполнил основной объём теоретических и экспериментальных исследований, представленных в диссертационной работе, включая разработку теоретических методов, проведение исследований, анализ и оформление результатов в форме публикаций и научных докладов. Цели и задачи исследования ставились автором совместно с научным руководителем. Из совместной с Ф. С. Насыровым статьи [49] в диссертацию включены только результаты, полученные лично автором.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 11 печатных изданиях [49—52; 54—60], 3 из которых изданы в журналах, включённых в Перечень ВАК [49—51], 8 — в сборниках тезисов докладов [52; 54—60]. Получено одно свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [53].

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 107 страниц, включая 22 рисунка и 6 таблиц. Список литературы содержит 90 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы

по изучаемой проблеме, формулируется цель, ставятся задачи работы, излагается научная новизна, теоретическая и практическая значимость представляемой работы. В последующих главах сначала описывается общий принцип, позволяющий сравнивать решения стохастических дифференциальных уравнений и проводить их качественный анализ, далее проводится апробация на частных примерах: по-пуляционных моделях, моделях динамики процентной ставки и одной модели ценообразования азиатских опционов.

Первая глава посвящена построению математических моделей стохастической популяционной динамики и ряда моделей финансовой математики.

Первая группа моделей описывает процессы «рождения-гибели», подчиняющиеся следующей системе СДУ:

которая представляет собой:

- модель «хищник-жертва», когда с1 > 0, Ь2 < 0. В этом случае и(в) отвечает за плотность популяции хищников, а у (в) — жертв. В частности, при с1 > 0, Ь2 < 0, Ь1 = с2 = 0 данная модель называется моделью Лотки-Вольтерра;

- модель состязания за ресурсы, когда с1 > 0, Ь2 > 0. Эта модель описывает ситуацию, когда взаимодействующие виды конкурируют за ресурсы;

- модель «кооперации», когда с1 < 0, Ь2 < 0, в этой модели взаимодействие идёт на пользу обеим популяциям.

Второй класс моделей описывает динамику изменения процентной ставки г(в) во времени: йг(в) = а(в,г(в)) йв + а(в,т(в)) dWs, г(в)|5=0 = г(0). Рассматривая различные виды коэффициентов сноса а(в,г(в)) и волатильности а(в,т(в)), получим различные модели мгновенной процентной ставки (таблица 1).

Третья модель описывает ценообразование азиатского колл-опциона со временем реализации Т и ценой исполнения К, чья стоимость У1(в), подчинена двухфакторной модели Хестона [68]

где У1(в) — цена базового актива, чья волатильность У2(в), управляется СДУ, т. е. является случайным процессом, 1^(0) > 0, г = 1,2 — начальные условия, |р| ^ 1,

йи(в) = и(в)[а1 — Ь1 и(в) — С1у(в)] йв + аи(в) dWs, йу(в) = у(в)[а2 — Ь2и(в) — с2у(в)] йв + ау(в) dWs,

й¥1(в) = 11 (в) ^ — ^ — Т йв + ЗДуЦв) * dWj1),

йУ2(в)= (а [0 — 12(в)] — ^ йв + рвуУМ * dW(1

V

+ в у/(1 — р2)У2(в) * dW(2\

Таблица 1 — Диффузионные модели мгновенной процентной ставки

Уравнение Модель

¿г (в) = а ¿в + ydWs Мертона [61]

¿г (в) = (а — 0г(в)) ¿в + ydWs Васичека [62]

¿г (в) = аг(в) ¿в + Yr(s)dWs Дотхана [63]

¿г (в) = (а — вг(в)) ¿в + r(в)dWs Кокса, Ингерсолла, Росса [64]

¿г (в) = а(в) ¿в + Y(s)dWs Хо и Ли [65]

¿г (в) = а(в)г(в) ¿в + y(в)dWs Блека, Дермана и Тоя [66]

¿г (в) = (а(в) — в(в)г(в)) ¿в +Т(в^г(в) dWs Халла и Уайта [67]

(ж]1^, wj2^) есть двумерный стандартный винеровский процесс, а, в, — положительные коэффициенты, причём 2ав — в2 > 0. Основное отличие азиатского опциона заключается в том, что при расчёте платёжной функции применяется средняя спот-цена, а не спот-цена на дату исполнения, т.е. его платёжная функция имеет вид тах(У3(Т)/Т — К,0), где К — заранее фиксированный страйк, а У3(в) удовлетворяет соотношению У3(в) = /0 (т) ¿т, У3(0) = 0.

Вторая глава посвящена разработке математического аппарата, необходимого для исследования конкретных моделей, подчинённых СДУ, как с одномерным, так и многомерным винеровским процессом, а также систем таких уравнений.

В параграфе 2.1 излагаются предварительные сведения, необходимые в работе.

В разделе 2.1.1 рассматриваются основные понятия и определения теории стохастических дифференциальных уравнений, в частности, вводятся определения стохастических интегралов Ито и Стратоновича. Далее приводится теорема существования и единственности для скалярного СДУ с интегралом Ито относительно стандартного винеровского процесса Ж 3 = Ж(в,ш), в е Я+, заданного на фильтрованном вероятностном пространстве (П,^, (^),Р).

В разделе 2.1.2 вводится определение симметричного интеграла, а также приводятся определение решения и теорема о структуре решений для уравнений с симметричным интегралом.

В разделе 2.1.3 излагается способ нахождения решения скалярного СДУ с интегралом Стратоновича

¿ф) = а(в,Л(в)) * йЖ] + /(в,п(в)) ¿в, п(в)|]=0 = п(0). (1)

Вводится обозначение С(в,у) = /Щ^ й*ф/а(в,*ф), в предположении, что последний интеграл существует. Показывается, что, если функция а—1(в,у) является локально суммируемой для всех в е Я+, то справедливо следующее равенство: С(в,ф(в,и + С (в))) = и + С (в) для всех в е Я+ п. н., причём решение последнего уравнения определяет детерминированную функцию ф(в,у) такую, что п(в) = ф(в^5 + С (в)) п. н., где С (в) = С (в, ш) является решением ОДУ со случайной правой частью. В дальнейшем функцию ф(в,у) называют структурой решения уравнения (1); функцию С (в) — малой функцией сноса уравнения (1).

В разделе 2.1.4 приводится принцип построения структуры решения систем стохастических дифференциальных уравнений относительного многомерного ви-неровского процесса.

В разделе 2.1.5 представлены различные определения устойчивости дифференциальных систем. В частности, для возмущённого решения уравнения (1) при условии, что его коэффициенты связаны соотношением а(в,0) = /(в,0) = 0 в ^ 0, вводится определение потраекторной устойчивости.

Параграф 2.2 посвящён выводу формулы представления решения одного скалярного СДУ через решение другого скалярного СДУ:

йЦг(в) = ¡г (в,Лг(в), ш) йв + (в,Пг(в)) * dWs, г = 1,2, (2)

где пг(в)^=0 = Пг(0). Полагается, что при всех в е Я+ выполнены условия, гарантирующие существование и единственность решений уравнений (2). Затем доказывается, что, если в условиях теоремы о структуре решений уравнений с симметричным интегралом функции а—1(в,у) — локально суммируемые по у, а п1(в), П2(в) являются решениями уравнений (2) соответственно, то справедливо соотношение П2(в) = ф(в,Л1(в)), где Q(в,у) = ф2(в, /Щ(0) + С2(в) —

С1(в)).

В параграфе 2.3 уточняется вид структуры решения СДУ относительно многомерного винеровского процесса.

В параграфе 2.4 представлены теоремы сравнения для различных видов СДУ с интегралами Стратоновича.

В разделе 2.4.1 формулируются теоремы сравнения для скалярных СДУ с интегралами Стратоновича. Полагается, что ф1(в,у), С1(в), С1(в,у), ф2(в,и), С2(в), С2(в,у) — структуры решений, малые функции сноса и функции С(в,у) для уравнений (2) соответственно. Далее показывается, что п2(в) ^ Л1(в)

с вероятностью 1, если существует функция Q(s,v) такая, что для решений уравнений (2) справедливо соотношение = Q(s,n1(s)), и, при этом, для всех s е Я+ выполнено неравенство А^^) = ш^д^^^) — V] ^ 0. Полученный результат применяется для доказательства аналога классической теоремы сравнения для СДУ с совпадающими коэффициентами диффузии.

Затем доказывается, что для потраекторно доминирования решения п2^) над решением п^) уравнений (2), достаточно справедливости следующих соотношений на их коэффициенты сноса, структуры решения и малые функции сноса: ф2 G1(s,v)) ^ V для всех V е Я; V) > 0 для всех V из области значений функции ф2; С2(,в) ^ С^) при п. в. ш.

В конце раздела демонстрируется, что полученные О'Брайаном результаты по сравнению решений СДУ с различающимися коэффициентами диффузии являются частным случаем результатов, изложенных в настоящей диссертации.

В разделе 2.4.2 доказываются теоремы сравнения для СДУ с интегралом Стратоновича относительно многомерного винеровского процесса:

п

dл!n>(s) = £ ^Пп)м) * dW(3> + /<"> г = 1,2 (3)

3

3=1

с начальными условиями пг'п>^)|в=о = П(п>(0), где непрерывные функции оЗ^/и), /(n>(s,v) являются детерминированными при всех s ^ 0, V е Я. Кроме того, считаются выполненными ограничения, обеспечивающие существование и единственность решений уравнений (3).

Для уравнений (3) формулируются достаточные условия на их коэффициенты сноса, структуры решения и малые функции сноса при которых решение л2n>(s) ^ п1п> (s) п.н.: о^^р) > 0 для всех V е Я; I(3>^,и) ^ 13> для всех и е Я; 12°>^) ^ Б^^) с вероятностью 1.

В разделе 2.4.3 доказываются теоремы сравнения для систем СДУ с интегралом Стратоновича. Рассматривается задача Коши:

М = ^ оз ^Л^), Ж У) * + / .п>) ds,

3=1

г = 1,2,

(4)

с начальными условиями ПгМ^о = (Л1(0),Л2(0)), п^) = (Лl(s),Л2(s)), П2(0) ^ П1(0). Для её компонент доказывается новая теорема сравнения. В ней представлены соотношения на коэффициенты сноса и диффузии системы (4) при которых

компонента n2(s) потраекторно доминирует над компонентой ni(s) решения системы (4):

- (0,Vi,V2,Un) ^ Gij (0,Vi,V2,Un) ДЛЯ ВСеХ vi, V2 е R, Un e Rn;

- функции Gj(0,v1,v2,un) — нечётные по Uj для всех vl5 v2 e R, un e Rn;

- f2(s,vi,v2,Un) ^ fi(s,vi,v2,Un) при всех vi, v2 e R, Un e Rn, s e R+.

В конце раздела получен аналогичный результат для покомпонентного сравнения двух различающихся систем СДУ.

В параграфе 2.5 доказываются достаточные условия потраекторной устойчивости.

В начале раздела 2.5.1 демонстрируется, что возмущённое решение СДУ dZ(s) = sZ(s) * dW(s) — a(s)Z(s) ds, s e R+, является потраекторно устойчивым при a(s) = s2+a, где a = const > 0. Затем формулируются достаточные условия потраекторной устойчивости возмущенного решения n(s) скалярного СДУ с интегралом Стратоновича. Применяемый подход заключается в том, что посредством теорем сравнения проверяется справедливость неравенства |n(s)| ^ K • |Z(s)| для п. в. s e R+, где n(s) есть возмущенное решение исследуемого СДУ, а Z(s) — решение потраекторно устойчивого СДУ, K = const > 0.

В разделе 2.5.2 условия потраекторной устойчивости, полученные в разделе 2.5.1, распространяются на случай СДУ относительно многомерного вине-ровского процесса.

Третья глава посвящена моделированию поставленных задач. Вычислительный эксперимент проводится согласно следующему алгоритму:

1. При помощи доказанных теорем сравнения выводятся условия, при которых решение одного СДУ почти всегда находится выше решения другого СДУ.

2. Моделируется траектория винеровского процесса Ws на отрезке [0,S].

3. С помощью метода Эйлера, описанного в параграфе 3.2, и представленной в SciPy численной схемы решаются ОДУ со случайной правой частью для малых функция сноса на отрезке [0,S]. Оцениваются погрешности применяемых численных методов.

4. Найденные значения малых функций сноса подставляются в структуры решений исследуемых систем, за счёт чего вычисляются их решения на отрезке [0,S].

5. Проверяется, что численное решение одного СДУ находится выше решения другого СДУ на отрезке [0,S].

В параграфе 3.1 приводится алгоритм генерации стандартного винеровско-го процесса.

В параграфе 3.2 производится построение явной разностной схемы Эйлера для решения ОДУ со случайной правой частью. Выбор численной схемы обусловлен тем, что правая часть рассматриваемого ОДУ является недифференцируемой функцией по переменной .s.

В параграфе 3.3 представлено общее описание разработанного программного обеспечения на языке программирования Python (таблица 2) для численного решения, сравнения и визуализации решений моделей, управляемых СДУ (пример результата работы программы представлен на рисунке 1).

Таблица 2 — Общая характеристика программы для ЭВМ

Платформа Python 3.4+

Поддерживаемые архитектуры х86, х86_64, ARMv6/v7

Протестированные ОС (Windows) 7, 8, 10, Server 2012

Протестированные ОС (Linux) CentOS, ArchLinux

Протестированные ОС (MacOS) Sierra

0 1 2 3 4 5

S

Рисунок 1 — Пример результата работы программы для ЭВМ. Сравнение

траекторий моделей CIR

Приложение разработано в парадигме объектно-ориентированного программирования согласно принципам SOLID, с применением следующих паттернов проектирования: Итератор, Шаблонный метод, Инъекция зависимостей.

В параграфе 3.4 демонстрируется применение теорем сравнения для анализа численности взаимодействующих видов в популяционных моделях.

В разделе 3.4.1 производится оценка сверху численности популяции жертв в модели «хищник-жертва».

В разделе 3.4.2 проводится покомпонентное сравнение двух моделей «кооперации» взаимодействующих видов:

«?> - вЧ'(*)+ Т») - # «2° + э2"п1')(-) - т2Ч"м - ?

¿з + а1'п1/)(з) * ¿з + а^'И * dWs

с начальным условиемп11)(-) |в=о = л!' (0), П^^^о = п21)(0), I = 1,2. Для исследуемых систем проверяется предположение, что если начальное условие п(2) (0) покомпонентно доминирует над начальным условием системы п(1) (0) и при г = 1,2 коэффициенты систем связаны следующими соотношениями: а(2) ^ а(1), (-1)г+1(у(2) - уг(1)) ^ 0; (-1)г(в(2) - в(1)) ^ 0, то решение п(2)(з) покомпонентно доминирует над решением п(1) (-) при всех з ^ 0. Последнее позволяет сравнивать численности популяций различных комбинаций видов, находящихся в симбиотических отношениях.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Асылгареев Артур Салаватович, 2019 год

Список литературы

1. Gard, T. G. Persistence in stochastic food web models / T. G. Gard // Bulletin of Mathematical Biology. — 1984. — Vol. 46, no. 3. — P. 357—370.

2. Rudnicki, R. Influence of stochastic perturbation on prey-predator systems / R. Rudnicki, K. Pichor // Mathematical Biosciences. — 2007. — Vol. 206, no.1. — P. 108—119.

3. Cvitanic, J. Hedging Options for a Large Investor and Forward-Backward SDE's / J. Cvitanic, J. Ma // The Annals of Applied Probability. —1996. — Vol. 6, no. 2. — P. 370—398.

4. Anderson, W. J. Local Behaviour of Solutions of Stochastic Integral Equations / W. J. Anderson // Transactions of the American Mathematical Society. —1972. — Vol. 164, no. 1. — P. 309—321.

5. Гнеденко, Б. В. Очерк по истории теории вероятностей / Б. В. Гнеденко. — Москва : УРСС, 2001. — С. 86.

6. Колмогоров, А. Н. Об аналитических методах в теории вероятностей / А. Н. Колмогоров // Успехи математических наук. — 1938. — Т. 5, № 1. — С. 5—41.

7. Хинчин, А. Я. Теория корреляции стационарных стохастических процессов / А. Я. Хинчин // Успехи математических наук. — 1938. — Т. 5, № 1. — С. 42—51.

8. Слуцкий, Е. Е. Сложение случайных причин как источник циклических процессов / Е. Е. Слуцкий // Финансовое изд-во ПКФ СССР. — 1927. — Т. 3, № 1. — С. 34—64.

9. Working, H. A Random-Difference Series for Use in the Analysis of Time Series / H. Working // Journal of the American Statistical Association. —1934. — Vol. 29, no. 185. — P. 11—24.

10. Wiener, N. The Average of an Analytic Functional and the Brownian Movement / N. Wiener // Proceedings of the National Academy of Sciences. —1921. — Vol. 7, no. 10. — P. 294—298.

11. Langevin, P. Sur la théorie du mouvement brownien / P. Langevin // C. R. Acad. Sci. Paris. — 1908. — Vol. 146. — P. 530—533.

12. Bachelier, L. Théorie de la spéculation / L. Bachelier // Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure. — 1900. — Vol. 17. — P. 21—86.

13. Smoluchowski, M. Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen / M. Smoluchowski // Annalen der Physik. — 1906. — Vol. 326, no. 14. — P. 756—780.

14. Einstein, A Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen / A. Einstein // Annalen der Physik. — 1905. — Vol. 322, no. 8. — P. 549—560.

15. Кляцкин, В. И. Стохастические уравнения глазами физика: Основные положения, точ. результаты и асимптот. приближения / В. И. Кляцкин. — Москва : Физматлит, 2001. — С. 528.

16. Yin, J. The adapted solution and comparison theorem for backward stochastic differential equations with Poisson jumps and applications / J. Yin, X. Mao // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2008. — Vol. 346, no. 2. — P. 345—358.

17. Shi, Y. Comparison Theorems of Backward Doubly Stochastic Differential Equations and Applications / Y. Shi, Y. Gu, K. Liu // Stochastic Analysis and Applications. — 2005. — Vol. 23, no. 1. — P. 97—110.

18. Allen, E. Modeling with Ito Stochastic Differential Equations / E. Allen. — Springer, 2007. — P. 230.

19. Da Prato, G. Stochastic partial differential equations and applications / G. Da Prato, L. Tubaro. — New York : Marcel Dekker, 2002. — P. 477.

20. Agarwal, G. S. Stochastic processes: formalism and applications / G. S. Agarwal, S. Dattagupta. — Berlin : Springer, 1983. — P. 369.

21. Aven, T. Stochastic models in reliability / T. Aven, U. Jensen. — New York : Springer, 1999. — P. 280.

22. Чаплыгин, С. А. Основания нового способа приближенного интегрирования дифференциальных уравнений / С. А. Чаплыгин // Бюллетень Научно-экспериментального института путей сообщения. — 1919. — Т. 13, № 1. — С. 1—16.

23. Wolfgang, W. Differential inequalities and maximum principles: theory, new methods and applications / W. Wolfgang // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. — 1997. — Vol. 30, no. 8. — P. 4695—4711.

24. Wolfgang, W. Differential and integral inequalities. Translated by Lisa Rosenblatt and Lawrence Shampine / W. Wolfgang. — New York : Springer-Verlag Berlin, 1970. — P. 352.

25. McNabb, A Comparison theorems for differential equations / A. McNabb // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 1986. — Vol. 119, no. 1. — P. 417--428.

26. Lakshmikantham, V. Differential and integral inequalities; theory and applications / V. Lakshmikantham, S. Leela. — Cambridge : Academic Press New York, 1969. — P. 389.

27. Smith, H. Monotone dynamical systems: an introduction to the theory of competitive and cooperative systems / H. Smith. — Providence : American Mathematical Society, 1995. — P. 174.

28. Kirkilionis, M. On comparison systems for ordinary differential equations / M. Kirkilionis, S. Walcher // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2004. — Vol. 299, no. 1. — P. 157—173.

29. Скороход, А. В. Исследования по теории случайных процессов / А. В. Скороход. — Киев : Издательство Киевского Университета, 1961. — 216 с.

30. Ватанабе, С. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы / С. Ватанабе, Н. Икеда. — Москва : Наука, 1986. — 448 с.

31. Yamada, T. On a comparison theorem for solutions of stochastic differential equations and its applications / T. Yamada // J. Math. Kyoto Univ. — 1973. — Vol. 13, no. 3. — P. 497—512.

32. Takeuchi, K. Comparison theorems for solutions of stochastic differential equations / K. Takeuchi // Memoirs of the Faculty of Science, Kyushu University. Series A, Mathematics. — 1981. — Vol. 35, no. 1. — P. 173—184.

33. Geib, C. Comparison theorems for stochastic differential equations in finite and infinite dimensions / C. Geib, R. Manthey // Stochastic Processes and their Applications. — 1994. — Vol. 53, no. 1. — P. 23—25.

34. Peng, S. Necessary and sufficient condition for comparison theorem of 1-dimensional stochastic differential equations / S. Peng, X. Zhu // Stochastic Processes and their Applications. — 2006. — Vol. 116, no. 3. — P. 370—380.

35. Cohen, S. N. Comparisons for backward stochastic differential equations on Markov chains and related no-arbitrage conditions / S.N. Cohen, R. J. Elliott // The Annals of Applied Probability. — 2010. — Vol. 20, no. 1. — P. 267—311.

36. Yang, Z. On anticipated backward stochastic differential equations with Markov chain noise / Z. Yang, R. J. Elliott // Stochastic Analysis and Applications. — 2016. — Vol. 34, no. 5. — P. 749—799.

37. Chen, Z. A comonotonic theorem for BSDEs / Z. Chen, R. Kulperger, G. Wei // Stochastic Processes and their Applications. — 2005. — Vol. 115, no. 1. — P. 41—54.

38. Li, J. A local strict comparison theorem and converse comparison theorems for reflected backward stochastic differential equations / J. Li, S. Tang // Stochastic Processes and their Applications. — 2007. — Vol. 117, no. 9. — P. 1234—1250.

39. Quenez, M.-C. BSDEs with jumps, optimization and applications to dynamic risk measures / M.-C. Quenez, A. Sulem // Stochastic Processes and their Applications. — 2013. — Vol. 123, no. 8. — P. 3328—3357.

40. O'brien, G. L. A new comparison theorem for solutions of stochastic differential equations / G. L. O'brien // Stochastics. — 1980. — Vol. 4, no. 1. — P. 245—249.

41. Ouknine, Y. Comparaison et non-confluence des solutions d'équations différentielles stochastiques unidimensionnelles / Y. Ouknine // Probability and mathematical statistics. — 1990. — Vol. 11, no. 1. — P. 37—46.

42. Mao, X. Exponential stability for stochastic differential equations with respect to semimartingales / X. Mao // Stochastic Processes and their Applications. — 1990. — Vol. 35, no. 2. — P. 267—277.

43. Zhang, D. Exponential stability for stochastic differential equation driven by G-Brownian motion / D. Zhang, Z. Chen // Applied Mathematics Letters. — 2012. — Vol. 25, no. 11. — P. 1906—1910.

44. Zhu, Q. Exponential stability of impulsive nonlinear stochastic differential equations with mixed delays / Q. Zhu, B. Song // Nonlinear Analysis: Real World Applications. — 2011. — Vol. 12, no. 5. — P. 2851—2860.

45. Pan, L. Exponential stability of impulsive stochastic functional differential equations / L. Pan, J. Cao // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2011. — Vol. 382, no. 2. — P. 672—685.

46. Хасьминский, Р. З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров / Р. З. Хасьминский. — Москва : Наука, 1969. — 370 с.

47. Султанов, О. А. Стохастические возмущения устойчивых динамических систем: потраекторный подход / О. А. Султанов // Математическая физика, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. — 2017. — Т. 139. — С. 91—103.

48. Султанов, О. А. Об устойчивости почти наверное динамических систем относительно белого шума / О. А. Султанов // Математическая физика, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. — 2018. — Т. 152. — С. 120--124.

49. Асылгареев, А. С. О теоремах сравнения и устойчивости с вероятностью 1 одномерных стохастических дифференциальных уравнений / А. С. Асылга-реев, Ф. С. Насыров // Сибирский математический журнал. — Новосибирск, 2016. — Т. 57, № 5. — С. 969—977.

50. Асылгареев, А. С. Потраекторные теоремы сравнения для стохастических дифференциальных уравнений и их применения / А. С. Асылгареев // Теория вероятн. и ее примен. — Москва, 2017. — Т. 62, № 4. — С. 800.

51. Асылгареев, А. С. О применении теорем сравнения к исследованию устойчивости с вероятностью 1 стохастических дифференциальных уравнений / А. С. Асылгареев // Уфимский математический журнал. — Уфа, 2018. — Т. 10, № 3. — С. 3—10.

52. Асылгареев, А. С. О сравнении решений стохастических логистических уравнений Ферхюльста / А. С. Асылгареев // Материалы Международной научно-практической конференции для студентов и молодежи по естественно-научному и техническому направлениям «Наука 2020». — Уфа : Изд-во БГПУ, 2018. — С. 57—59.

53. Асылгареев, А. С. ПР-ССМ: сравнение решений стохастических моделей, подчинённых стохастическим дифференциальным уравнениям / А. С. Асылгареев // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2018665407 от 04.12.2018 г. — 2018.

54. Асылгареев, А. С. О теоремах сравнения и потраекторной устойчивости одномерных стохастических дифференциальных уравнений / А. С. Асы-лгареев // Материалы Международного молодежного научного форума «Л0М0Н0С0В-2015». — Москва : МАКС Пресс, 2015.

55. Асылгареев, А. С. О применении теорем сравнения к исследованию потра-екторной устойчивости / А. С. Асылгареев // Международная конференция «XXVII Крымской Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам (КР0МШ-2016)»: сборник тезисов. — Симферополь : ФОРМА, 2016. — С. 106.

56. Асылгареев, А. С. О сравнении решений однородных стохастических дифференциальных уравнений / А. С. Асылгареев // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2017». — Москва : МАКС Пресс, 2017.

57. Асылгареев, А. С. Об исследовании устойчивости с вероятностью 1 стохастических дифференциальных уравнений / А. С. Асылгареев // Международная конференция «XXVIII Крымской Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам (КРОМШ-2017)»: секции 5-9. — Симферополь : ДИАЙПИ, 2017. — С. 81—82.

58. Асылгареев, А. С. Об одном частном случае сравнения решений стохастических дифференциальных уравнений / А. С. Асылгареев // Современные проблемы математики и её приложений: тезисы Международной (49-й Всероссийской) молодёжной школы-конференции. — Екатеринбург : Институт математики и механики УрО РАН, Уральский федеральный университет, 2018.— С. 115.

59. Асылгареев, А. С. О теоремах сравнения для стохастических дифференциальных уравнений относительно многомерного винеровского процесса / А. С. Асылгареев // Материалы докладов международной конференции

Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — VIII. — Ростов-на-Дону : Издательство Ростовского отделения Российской инженерной академии, 2018. — С. 116—117.

60. Асылгареев, А. С. О потраекторной устойчивости стохастических дифференциальных уравнений относительно многомерного винеровского процесса / А. С. Асылгареев // Международная конференция «XXVIX Крымской Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам (КРОМШ-2018)»: секции 5-9. — Симферополь : Полипринт, 2018. — С. 155—156.

61. Merton, R. The Theory of Rational Option Pricing / R. Merton // The Bell Journal of Economics and Management Science. — 1973. — Vol. 4, no. 1. — P. 141—183.

62. Vasicek, O. An equilibrium characterization of the term structure / O. Vasicek // Journal of Financial Economics. — 1977. — Vol. 5, no. 2. — P. 177—188.

63. Dothan, L. On the term structure of interest rates / L. Dothan // Journal of Financial Economics. — 1978. — Vol. 6, no. 1. — P. 59—69.

64. Cox, J. C. An Analysis of Variable Rate Loan Contracts / J. C. Cox, J. E. Ingersoll, S. A. Ross // The Journal of Finance. — 1980. — Vol. 35, no. 2. — P. 389—403.

65. Ho, T. S. Y. Term Structure Movements and Pricing Interest Rate Contingent Claims / T. S. Y. Ho, S.-B. Lee // The Journal of Finance. — 1986. — Vol. 41, no. 5. — P. 1011—1029.

66. Black, F. A One-Factor Model of Interest Rates and Its Application to Treasury Bond Options / F. Black, E. Derman, W. Toy // Financial Analysts Journal. — 1990. — Vol. 46, no. 1. — P. 33—39.

67. Hull, J. Pricing Interest-Rate-Derivative Securities / J. Hull, A. White // Review of Financial Studies. — 1990. — Vol. 3, no. 4. — P. 573—592.

68. Heston, H. L. A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options / H. L. Heston // Review of Financial Studies. — 1993. — Vol. 6, no. 2. — P. 327—343.

69. Леваков, А. А. Стохастические дифференциальные уравнения / А. А. Леваков. — Минск : БГУ, 2009. — С. 231.

70. Белопольская, Я. И. Вероятностная модель системы Лотка-Вольтерра с кросс-диффузией / Я. И. Белопольская // Вероятность и статистика. — 2014. — Т. 21, № 1. — С. 9—36.

71. Ширяев, А. А. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели / А. А. Ширяев. — Москва : ФАЗИС, 1998. — С. 512.

72. Baxter, M. W. Financial calculus An introduction to derivative pricing / M. W. Baxter, A. J. O. Rennie. — New York : Cambridge University Press, 2012. — P. 233.

73. Sepp, S. Modeling of stock return correlation : Master's thesis / Sepp S. — Amsterdam : Universiteit van Amsterdam, 08/2011.

74. Feller, W. Two Singular Diffusion Problems / W. Feller // Annals of Mathematics. — 1951. — Vol. 54, no. 1. — P. 173—182.

75. Ninomiya, S. Weak Approximation of Stochastic Differential Equations and Application to Derivative Pricing / S. Ninomiya, N. Victoir // Applied Mathematical Finance. — 2008. — Vol. 15, no. 2. — P. 107—121.

76. Насыров, Ф. С. Локальные времена, симметричные интегралы и стохастический анализ : монография / Ф. С. Насыров. — Москва : Физматлит, 2011. — 212 с.

77. Насыров, Ф. С. Об интегрировании систем стохастических дифференциальных уравнений / Ф. С. Насыров // Математические труды. — 2016. — Т. 19, № 2. — С. 158—168.

78. Einstein, A Connections between Stochastic and Ordinary Integral Equations / A. Einstein // Biological Growth and Spread. Lecture Notes in Biomathematics. — 1980. — Vol. 38, no. 1. — P. 443—448.

79. Красносельский, М. А. Естественные решения стохастических дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский, А. В. Покровский // Докл. АН СССР. — 1978. — Т. 240, № 2. — С. 264—267.

80. Гардинер, К. В. Стохастические методы в естественных науках / К. В. Гар-динер. — Москва : Мир, 1986. — 528 с.

81. Волков, И. К. Случайные процессы: Учеб. для вузов / И. К. Волков, С. М. Зуев, Г. М. Цветкова. — Москва : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999. — 448 с.

82. Mikosch, T. Elementary Stochastic Calculus with Finance in View / T. Mikosch. — World Scientific Publ, 1998. — (Advanced series on statistical science & applied probability 6).

83. Гихман, И. И. Введение в теорию случайных процессов / И. И. Гихман, А. В. Скороход. — Москва : Наука, 1977. — 568 с.

84. Вентцель, А. Д. Курс теории случайных процессов / А. Д. Вентцель. — Москва : Физматлит, 1996. — 400 с.

85. Кушнер, Г. Д. Стохастическая устойчивость и управление / Г. Д. Кушнер. — Москва : Мир, 1969. — 220 с.

86. Оксендаль, Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения / Б. Оксендаль. — Москва : Мир, 2003. — 408 с.

87. Денисов, А. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Часть 2 / А. М. Денисов, А. В. Разгулин. — Москва : Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ, 2009. — 114 с.

88. Демидович, Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Де-мидович. — М. : Наука, 1967. — С. 472.

89. Васильева, А. Б. Теоремы сравнения. Метод дифференциальных неравенств Чаплыгина : учебное пособие / А. Б. Васильева, Н. Н. Нефедов. — Москва : Физ. Фак. МГУ, 2007. — 9 с.

90. Березин, И. С. Методы вычислений. Т. 1 / И. С. Березин, Н. П. Жидков. — Москва : ГИФМЛ, 1962. — 464 с.

Список рисунков

1 Пример результата работы программы для ЭВМ. Сравнение траекторий моделей СЖ ..........................15

2 Диаграмма взаимодействия двух видов..................19

3 Типичные траектории винеровского процесса при а = 0.1 .......67

4 Типичные траектории винеровского процесса при а = 2 ........68

5 Диаграмма классов расчётного ядра....................70

6 Пример визуализации траекторий винеровского процесса........71

7 Пример расчёта модели Дотхана......................71

8 Пример сравнения типичных траекторий решений двух моделей .... 72

9 Пример задания параметров расчёта....................72

10 Типичные траектории решений (3.3), (3.8) при ах = 0.5, |Зх = 0.01,

У1 = 0.02, ах = 0.2, = 0, в = 0.001, у2 = 0.02, а2 = 0.1.......75

11 Фазовые портреты (3.3), (3.8) при ах = 0.5, в = 0.01, ух = 0.02,

ах = 0.2, а = 0, в2 = 0.001, у2 = 0.02, а2 = 0.1.............76

12 Оценка погрешности решений (3.3), (3.8) при ах = 0.5, рх = 0.01,

Ух = 0.02, ах = 0.2, а2 = 0, в = 0.001, у2 = 0.02, а2 = 0.1.......77

13 Типичные траектории решений (3.11), (3.12) при ах = 0.5, |Зх = 0.01, Ух = 0.02, ах = 0.2, а2 = 0.1, в = 0.001, у2 = 0.02,

а2 = 0.1,ах = 0.6, вх = 0.02, ух = 0.01, а = 0.1, в2 = 0.01, у2 = 0.01 . 79

14 Фазовые портреты (3.11), (3.12) при ах = 0.5, в = 0.01, ух = 0.02, ах = 0.2, а2 = 0.1, в = 0.001, у2 = 0.02, а2 = 0.1,ах = 0.6,

вх = 0.02, ух = 0.01, а = 0.1, в2 = 0.01, у2 = 0.01...........80

15 Оценка погрешности решений (3.11), (3.12) при ах = 0.5, рх = 0.01, Ух = 0.02, ах = 0.2, а2 = 0.1, в = 0.001, у2 = 0.02,

а2 = 0.1,ах = 0.6, вх = 0.02, ух = 0.01, а = 0.1, в2 = 0.01, у2 = 0.01 . 81

16 Типичные траектории решений (3.23), (3.24) при а = 0.11, у = 0.1,

а = 0.3, у = 0.2, г(0) = 1, Г (0) = 2 ....................83

17 Оценка погрешности решений (3.24) при а = 0.3, у = 0.2, г (0) = 2 . . 84

18 Типичные траектории решений (3.27), (3.28) при к = 0.5, а =1,

© = 2, к = 2.1, а = 2, 0 = 2.3, 0 = 0.5, г(0) = 1, г(0) = 4.1 ......86

19 Оценка погрешности решений (3.27), (3.28) при к = 0.5, а =1,

© = 2, к = 2.1, а = 2, 0 = 2.3, 0 = 0.5, г(0) = 1, г(0) = 4.1 ......87

20 Типичные траектории решений (3.29), (3.30) при а = 2, в = 1,

© = 0.6, © = 0.5, ц = 0.4, Ц = 2.5, У(0) = (2,0.25,0), У(0) = (3,0.5,0) 90

21 Типичные траектории разности решений (3.29), (3.30) при а = 2, в = 1, © = 0.6, © = 0.5, Ц = 0.4, Ц = 2.5, У(0) = (2, 0.25,0),

У(0) = (3,0.5, 0)...............................90

22 Оценка погрешности решений (3.29), (3.30) при а = 2, в = 1,

© = 0.6, © = 0.5, Ц = 0.4, Ц = 2.5, У(0) = (2,0.25,0), У(0) = (3,0.5,0) 91

Список таблиц

1 Диффузионные модели мгновенной процентной ставки..................11

2 Общая характеристика программы для ЭВМ...............15

3 Вероятность сценариев взаимодействия двух видов...........20

4 Вероятность сценариев изменения процентной ставки..........23

5 Различные модели мгновенной процентной ставки............24

6 Общая характеристика комплекса программ ...............70

Приложение А

Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «ПР-ССМ: сравнение решений стохастических моделей, подчинённых стохастическим дифференциальным уравнениям»