Методы и алгоритмы оптимального управления динамическими системами, описываемыми интегро-дифференциальными уравнениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Дждеед М

• Дждеед М
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дждеед М

Содержание Введение

Глава 1 Необходимые сведения из математической теории оптимального управления

§ 1. Основные определения и понятия

§ 2 Необходимые условия оптимальности для систем, описываемых интегральными уравнения типа Вольтерра

§ 3 Принцип квазимаксимума

Глава 2. Модель хищник - жертва, описываемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений

§ 1 Постановка задачи. Краевая задача принципа максимума Л. С. Понтрягина

§ 2 Особое оптимальное управление

§ 3 Дискретная задача

§ 4 Влияние параметров задачи на оптимальное решение

Глава 3. Модель хищник - жертва, описываемая системой интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра

§ 1 Необходимые условия оптимальности в задаче оптимального управления, описываемой интегро-дифференциальными уравнениями типа Вольтерра

§ 2 Необходимые условия оптимальности

§ 3 Исследование общей модели хищник - жертва.

§ 4 Постановка задачи. Необходимые условия оптимальности.

§ 5 Модель хищник - жертва. Управление отловом хищников и коэффициентами прироста жертв.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы и алгоритмы оптимального управления динамическими системами, описываемыми интегро-дифференциальными уравнениями»

В настоящее время задачи экологии приобретают первостепенное значение. Важным этапом решения этих задач является разработка математических моделей экологических систем.

Одной из основных задач экологии на современном этапе является изучение структуры и функционирования природных систем, поиск общих закономерностей. Большое влияние на экологию оказала математика, способствующая становлению математической экологии, особенно такие её разделы, как теория дифференциальных уравнений, теория устойчивости и теория оптимального управления.

Одной из первых работ в области математической экологии была работа А. Д. Лотки (1880 - 1949), который первый описал взаимодействие различных популяций, связанных отношениями хищник - жертва. Большой вклад в исследование модели хищник -жертва внесли В. Вольтерра (1860 - 1940), В. А. Костицин (1883 -1963/) В настоящее время уравнения, описывающие взаимодействие популяций, называются уравнениями Лотки - Вольтерра.

Уравнения Лотки - Вольтерра описывают динамику средних величин - численности популяции. В настоящее время на их основе построены более общие модели взаимодействия популяций, описываемые интегро-дифференциальными уравнениями, исследуются управляемые модели хищник - жертва.

Одной из важных проблем математической экологии является проблема устойчивости экосистем, управления этими системами. Управление может осуществляться с целью перевода системы из одного устойчивого состояния в другое, с целью её использования или восстановления. Любое управление сводится к принятию того или иного решения, которое основывается па информации об управляемом объекте и знании его свойств. Вычислительный эксперимент позволяет корректировать модель и её параметры, расширяет возможности математического моделирования.

В настоящее время вырос интерес к проблемам математического моделирования экологических процессов. Это выражается в огромном числе публикаций по теоретическим и прикладным моделям. В работе рассматриваются детерминистские нелинейные модели, описываемые системами обыкновенных и интегро-дифференциальных систем уравнений, с учётом эффекта запаздывания. Для их исследования использованы методы теории устойчивости и оптимального управления, такие как принцип максимума JI. С. Понтрягина и метод динамического программирования Р. Беллмана, приводятся необходимые условия оптимальности для различных типов задач оптимального управления, рассмотрены вопросы построения синтеза оптимального управления и оптимальность особых управлений в моделях типа хищник - жертва.

Модель - один из важнейших инструментов научного познания, условный образ объекта исследования или управления, который отображает основные характеристики объекта (свойства, взаимосвязи, структурные и функциональные параметры), существенные для цели исследования. Вопрос об адекватности модели и явлений правомерно решать лишь относительно определённой цели.

Практическая ценность модели состоит в том, что её анализ доступен исследованию, когда непосредственное изучение объекта затруднено или невозможно.

Модель создаётся на основе предварительного изучения явления и выделения его существенных характеристик. Теоретический и экспериментальный анализ модели позволяет сделать качественные выводы о поведении объекта.

Математические модели - это упрощенные версии реального мира, которые сокращают в той или иной степени основные черты реальности. Это позволяет использовать абстрактную математическую модель для анализа и предсказания или прогноза тех или иных явлений, выявления общих закономерностей. Однако, следует учитывать то, что любая математическая модель отражает лишь основные стороны реальности. Результаты необходимо проверять опытом. Всегда необходимо сравнивать, анализировать и синтезировать результаты качественного анализа, численного эксперимента с реальными явлениями и процессами.

Цель работы заключается в исследовании необходимых условий оптимальности для управляемых систем, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями, разработки методов и алгоритмов построения оптимального решения.

Особенностью данной работы является анализ управляемых динамических моделей хищник - жертва, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений и интегро-дифференциальными уравнениями. Управление осуществляется как за счёт внешних факторов, так и за счёт изменения внутренних параметров задачи. Задача формализуется как задача оптимального управления с заданным множеством допустимых значений. Целью управления является минимизация расходов или максимизация прибыли, поддержание гомеостазиса в системе или сохранении популяции и т. д.

Исследование управляемой модели проводится по следующей схеме. В начале осуществляется качественный анализ управляемой системы, исследуется устойчивость положения равновесия или решения динамической системы в зависимости от начальных условий и параметров задачи. Затем с помощью необходимых условий оптимальности определяется структура оптимального управления, записывается краевая задача принципа максимума, исследуется возможность возникновения особых режимов и их оптимальность, строится синтез оптимального управления. Важным этапом является разработка и определение методов, алгоритмов, программно - технических средств моделирования. Большое внимание уделено исследованию структуры оптимального управления и влиянию параметров задачи на оптимальное решение.

В работах [18, 44, 45] исследовались неуправляемые модели типа хищник - жертва, описываемые обыкновенными диф ф ер енциал ьными уравнениями.

Пусть x(t) и y(t) — численность жертв и хищников соответственно. Предположим, что единственным лимитирующим фактором, ограничивающим размножение жертв, является давление на них со стороны хищников, а размножение хищников ограничивается количеством добытой ими пищи (количеством жертв). Тогда в отсутствие хищников, численность жертв должна расти экспоненциально с относительной скоростью sx, а хищники в отсутствие жертв — также экспоненциально вымирать с относительной скоростью ег.

Коэффициенты st и s2 — коэффициенты естественного прироста жертв и естественной смертности хищников соответственно.

Пусть V = V (х) — количество (или биомасса) жертв, потребляемых одним хищником за единицу времени, причем к-я часть полученной с этой биомассой энергии расходуется хищником на воспроизводство, а остальное тратится на поддержание основного обмена и охотничей активности. Тогда взаимодействие хищника и жертвы можно записать нелинейной системой дифференциальных уравнений: dx = sxx- V(x)y % (1.1) dt с заданными начальными условиями х(0)=х° у(0)=у° (1.2).

Функцию V (х) обычно называют трофической функцией хищника или функциональным откликом хищника на плотность популяции жертвы. Именно эти функции обычно определяются в экспериментальных работах, посвященных изучению хищничества, и к настоящему времени считается установленным, что эти функции обычно принадлежат к одному из следующих трех типов (рис. 1). Динамическое поведение системы в значительной степени зависит от вида трофической функции. A

VA

Vn 0 x, x О л X a) в)

Рис. 1. Различные типы трофических функций в системе хищник — жертва: а) этот тип характерен для беспозвоночных и некоторых видов хищных рыб; 6) трофическая функция с резко выраженным порогом насыщения характерна для хш 1 даиков-филыраторов (например, многих моллюсков); в) такой тип характерен для позвоночных — организмов, проявляющих достаточно сложное поведение (например, способных к обучению). Аналогичный вид будет иметь трофическая функция, если жертвы могут вырабатывать защитную стратегию (например, прятаться в убежище, недоступное хищникам).

При малых значениях х, например, когда трофические отношения в системе напряжены и почти все жертвы становятся добычей хищника, который всегда голоден и насыщения которого не наступает (ситуация, довольно обычная в природе), трофическую функцию V (х) можно считать линейной функцией численности жертв, т. е. V(x) -fix. Кроме того, предположим, что к = const. Тогда система (1.1) перепишется в виде:

Система дифференциальных уравнений (1.2) называется классической моделью хищник — жертва типа В. Вольтерра. Эта система имеет интеграл вида dx -■ ь\х - р ху,

1.2). = к(3 ху - е2у dt f x V2 f r V1 e e

J' J C,

1.3) где X~x/x*, Y=y/y*, x* =s2 /kf3, у = alp. Если x0, yo - начальные значения численности жертв и хищников соответственно, то значение постоянной С определяется равенством

С = Ч/ л Ei ( У Л е/х У д /У

V / \ У 0 и уравнение (1.3) описывает семейство вложенных друг в друга кривых, соответствующим фазовым траекториям периодических решений системы (1.2). При увеличении С амплитуды колебаний х и у возрастают,

Orj+r,) при минимальном значении С* =е эти кривые стягиваются в точку (х*,у*).

Несмотря на то, что модель Вольтерра смогла объяснить многие реально наблюдавшиеся явления, у нее есть большой недостаток — не грубость (в математическом смысле этого слова) вольтерровских циклов, так что при любых сколь угодно слабых, возмущениях фазовых координат система переходит с одного цикла на другой. По-видимому, более адекватные модели должны обладать свойством «грубости».

С точки зрения теории устойчивости, состояние равновесия системы (х*, у*) это состояние безразличного равновесия, устойчивое по Ляпунову, но не асимптотически. Отсутствие асимптотической устойчивости равновесия указывает на то, что в вольтерровской системе отсутствуют механизмы, стремящиеся сохранить ее нетривиальное равновесное состояние.

Уже из простейшего анализа вольтерровской модели, можно заключить следующее. Например, в отсутствие хищников численность жертв может неограниченно возрастать. В действительности этого не происходит, поскольку любая популяция существует в условиях ограниченности ресурсов (пища, пространство и т. п.), что и лимитирует ее численность. С другой стороны, количество жертв, потребляемых в единицу времени хищником, может возрастать до бесконечности при возрастании численности жертв, что тоже неверно, поскольку существуют чисто физиологические ограничения.

Введение в вольтерровскую модель внутривидовой конкуренции среди жертв, возникающей из-за ограниченности ресурсов, делает модель «грубой», но колебания численностей становятся затухающими. Дифференциальные уравнения описывающие модель в этом случае имеют вид dx 0 2 = £jX — рху — УуХ , dtd , (1.4)

-= кВху — £тУ dt 2 где слагаемое угх2 описывает внутривидовую конкуренцию. Легко видеть, что в отсутствии хищников предельное значение численности жертв равно .г = еу . Последняя система имеет У1 единственное нетривиальное положение равновесия в точке (х*;у*): Sry

X =■

У = к/3 kjs2

В диссертационной работе рассматриваются управляемые модели типа хищник - жертва на отрезке времени [0,Т]. Введем в модели (1.4) управление, с помощью которого осуществляется отлов хищников и жертв. Пусть uj(t) - часть жертв, подлежащая отлову; u2(t) - часть хищников, подлежащая отлову в момент времени t тогда uj(t)x(t) — отлов жертв, a n2(t)y(t) - отлов хищников в единицу времени. В этом случае динамика управляемой модели хищник — жертва описывается следующей системой дифференциальных уравнений dx 2

-= SxX-p X}' — ухх -llxx dt dy 1 п = kpxy-e7v - и 7 у dt

1.5) с заданными начальными условиями х(0)=х , у(0)=у° На функции управления обычно накладываются ограничения, связанные с техническими возможностями и с необходимостью сохранения популяции:

О <и,<й, / = 1,2, t е [о, т\.

Возможен и другой способ управления, при котором управлением является величина отлова хищников и жертв соответственно в единицу времени ut , i—1,2. В этом случае управляемая система примет вид dt xy — sny — u2 dt

1.6) x(0) = x° , y{0) = 0<ui<um, i = 1,2

Модель Вольтерра можно обобщить для п особей, как это сделано в главе 3, например, для трех видов особей, численность популяции которых равна x(t), y(t), z(t) соответственно. В этом случае Взаимодействие особей описывается следующей системой дифференциальных уравнений. где £;, i = 1,3 прирост биомассы i — го вида; параметры a,fi,y -характеризуют межвидовую конкуренцию, а ст.,/' = 1,3 отвечают за внутривидовую конкуренцию.

Учитывая отлов и естественную смертность популяции, в систему (1.7) можно ввести управления, которые характеризуют отлов популяции в единицу времени, при этом на управление наложены суммарные ограничения, а сама функция управления характеризует часть отлова популяции в единицу времени: х = x(sl - Ру — a-jX — yz) У = Яе2 + fix - сг2у - аут), z = z(eз + ay + рс - cr3z)

1.7)

X = - Ру — СТjX — y = y(s2 + fix-a2y-ayz-u2) z = z{£j + ay + yx - cr3z — u3)

1.8) 3 и, >0 i=i где х(0), у(0), z(0) заданные начальные состояния системы, или аналогично (1.6) управляемая модель в случае трёх взаимодействующих особей описывается системой: х = x(st - f5y - <зхх y = y(s2+/3x-(T2y-ayz)-u2^ ^ ^ z = z{si +ау + рс- cr3z)-u3

О <Щ<ит, /=1,2,3 t е [О,Г]

Заметим, что наряду с отловом популяции в этих моделях может учитываться также естественная смертность.

Выбор критерия управления зависит от цели. Это может быть и переход системы из одного устойчивого состояния х(0), у(0), z(0) в другое х(Т), у(Т), z(T) за минимальное время с минимальными затратами или получение максимальной прибыли от продажи того или иного вида популяции, и др.

В математических моделях, описывающих двувидовые взаимодействия, игнорируется возможность неоднородного размещения популяций в занимаемой ею части пространства. Такие модели служат лишь первым приближением к реальности. В действительности условия проживания популяции никогда не бывают одинаковыми в разных частях ареала. Кроме того, даже для пространственно однородной среды обитания всегда существенны чисто биологические причины скопления и разрежения представителей популяции: инстинктивные поведенческие мотивы собирания их в стаи и стада, сезонные изменения в природе и т. д.

Более точным математическим описаниям двувидовых взаимодействий, учитывающим неравномерность распределения численности популяций на занимаемых территориях, соответствует система уравнений в частных производных.

В основу классификации всевозможных типов межвидовых отношений может быть положена принадлежащая Ю.Одуму идея классифицировать взаимодействие между видами по тому влиянию, которое это взаимодействие оказывает на численность взаимодействующих популяций. Так, например, тип взаимодействия при котором рост численности каждого вида подавляет численность остальных видов, называется конкуренцией. Если прирост численности взаимодействующих видов положительно влияет на каждый из них, то тип взаимодействия -симбиоз (или мутуализм). Если же рост численности одного вида подавляет прирост второго, а рост численности второго вида стимулирует прирост первого, то взаимодействие классифицируется как хищник - жертва (или паразит - хозяин, или травоядные — растения и т. п.). Взаимодействие, при котором один из видов извлекает выгоду, не принося другому ни вреда, ни пользы, называют комменсализмом.

Характер влияния одного вида на другой можно изображать одним из знаков: +(стимулирующий), -(угнетающий) или О (нейтральный). Тогда классификация парных взаимодействий состоит, очевидно, из шести основных типов: симбиоз (мутуализм), — конкуренция,

- хищник — жертва, -0 аменсализм,

0 комменсализм, 00 нейтрализм.

Пусть у число, знак которого и абсолютная величина отражают соответственно характер и интенсивность влияния j- го вида на /- й вид, тогда /. - показатель внутривидового взаимодействия /- го вида. Квадратную матрицу Г = jy;j j|, отражающую структуру связей сообщества, называют матрицей сообщества.

Анализ динамики сообщества с матрицей Г должен опираться на некоторую систему уравнений относительно функций Ni(t), аппроксимирующих численность видов сообщества. Чтобы составить эту систему уравнений, рассмотрим сообщество, структура которого изображена на рисунке.

Солнечная энергия

Рис. Структура взаимодействия между видами

Компоненты сообщества разобьём на группы: Продуценты с биомассами (или концентрациями) х,-(г=1,2, .,р) - это в основном зелёные растения, способные преобразовывать световую энергию в собственную органическую биомассу и использовать в пищу простые минеральные вещества.

Консументы с биомассами Vj (j-l,2,.,q) - это животные, питающиеся продуцентами и другими организмами, а также разлагатели, расщепляющие мёртвую органику на простые вещества, которые используются продуцентами.

Субстракты с биомассами ск (к=1,2,.,р) - это абиотические вещества (в основном продукты жизнедеятельнос ти консументов), используемые продуцентами.

Вся цепь превращений органических веществ от растений к разного вида животным - это так называемая трофическая (пищевая) цепь. Каждый живой организм в процессе питания преобразует органическое вещество и передаёт его дальше по цепи. Любая биомасса, как и любой человек, рано или поздно погибает и, разлагаясь, превращается в более простые химические соединения. Почва помогает попавшим в неё веществам и элементам, потребляемыми животными, снова включиться в природный круговорот.

Составим уравнения, отражающие баланс масс каждой из компонент xb yj, ск. По сути дела, балансовые уравнения есть не что иное, как законы сохранения масс. Эти уравнения имеют вид:

Иг / \ q [К -D'xК - Е v„у, + Rх, i = 1,2,.,р, (1.10)

L = (F; -Dfo-^Vby, +Ry, j = 1,2,.,q, (1.11) at s=i r+R<> k=(i.i2) dt J=\ ы и называются уравнениями экологического баланса. Здесь F* и D' - функции рождаемости и смертности продуцентов и консументов (с соответствующими нижними индексами); Vy -функции выедания, описывающие скорость потребления биомассы /- го вида - продуцента единицы биомассы j- го консумента; vjs функции выедания j- го вида 5-м (среди консументов); Wki функции выедания к- го субстракта j-м видом - продуцентом; Ukj -интенсивность производства к- го субстракта j- м консументом; Rx,

Ry , Rc - сумма входных и выходных потоков соответствующих компонент. Естественно, что все эти функции зависят от параметров внешней среды (от сезонно изменяющейся влажности, температуры и т. п.).

Такая модель в целом правильно описывает балансовые соотношения в наземных экосистемах, однако она страдает излишней общностью, не позволяющей использовать её для исследования конкретных систем. Поэтому необходимо, исходя из различных биологических соображений, конкретизировать вид входящих в модель функций с помощью подходящего выбора коэффициентов, являющихся, вообще говоря, функциями компонент, входящих в систему.

Если предположить, что рождаемость продуцентов не ограничена ни светом, ни минеральным питанием, а ограничена лишь физиологическими пределами, то F[ = const. Поскольку компоненты - субстракты в этом случае не оказывают влияния на динамику остальных компонент, то в уравнениях экологического баланса можно рассматривать только уравнения (1.10) и (1.11). Вводя масштабные преобразования переменных

N, = aixi (/ = 1,2,., р), Nj = Ъ.у} (J = 1,2,., q) при довольно естественных предположениях о коэффициентах прироста и смертности, а также скоростях преобразования биомасс, можно преобразовать уравнение экологического баланса к виду где st - скорость естественного прироста или смертности /го вида в отсутствии всех остальных видов, Г = ||/,;|| - матрица сообщества, n=p+q — порядок матрицы Г. dN;

L / = 1,2,.,и

1.13) dt

V J=l

В диссертационной работе исследованы различные типы управляемых моделей хищник - жертва.

Во второй главе рассматривается модель, описываемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой оптимальное управление процессом отлова выбирается из условия максимума прибыли и сохранения популяции на заданном уровне. Формализованная задача оптимального управления состоит в максимизации функционала

Т 2

1.14)

О '=1 выражающего прибыль от использования популяции хищников и жертв. где р., i —1,2 - стоимость популяции, с, - стоимость использования технических средств.

Динамика популяции хищников и жертв описывается системой дифференциальных уравнений: iV, (0 = * д (о - rM W2 00 - гi^i (0 - «! (r)iv, (О

Аг2 (0 = -^2iV2 (0 + у2 N\ (t)N2 (t) - и 2 (t)N2 (t) с заданными начальными условиями и ограничениями:

0) =Nю, N2(0)=N2o, Nt (T)=Ab i=l,2 (1.16) и с двумя типами ограничений на функции управления: а) 0 < u;{t) < bt, (1.17) б) 0 <ux(t) + u2(t) < В, и. >0,i = 1,2, t е [О,Г].

Для этой задачи строится оптимальное управление, исследуется влияние параметров задачи на оптимальное решение, анализируется возможность возникновения особых оптимальных управлений.

В третьей главе исследуется общая задача типа хищник -жертва, которая описывается системой п- интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра. Требуется найти минимум функционала Т

1{и) = X \[aiPi (t)h {yt (0) - c(y{i))\i{t)dt +

1 о ±Mi(yi(T) - А,)2! -+mf

1=1 при динамических ограничениях

0 - Z (t)yj (0 - X b{j (/) jX7 (/ - s)y(s)ds

1.18)

7-1 7=1

1.19) с заданными начальных условиями и скалярным управлением удовлетворяющим ограничению

0 <u{t)<b, t е [0;Г] (1.20)

Для этой задачи выписываются необходимые условия оптимальности управления, краевая задача принципа максимума, приводятся численные методы и алгоритмы построения приближённого оптимального решения. Рассматривается задача с нефиксированным временем процесса, для которой получены условия оптимальности и разработаны методы построения приближённого решения.

В четвёртом параграфе третьей главы рассматривается задача управления отловом хищников и жертв с целью минимизации затрат на отлов и сохранения популяции на заданном уровне At, i=l,2. Требуется найти минимум функционала

J(u) = s0)±u*(t)dt + tsXyXT) - АУ (1-21) о 1=1 ы где sl >0, i = 0,1,2, заданные весовые коэффициэнты.

Динамика взаимодействия описывается системой интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра

У1(О - У\(О

V к J

У2 (0 = -»2 (0у3 (О + РУг (О j* - r)dT

1.22) с начальными условиями:

2 (0 = 720 (0, /e[-v,0]

Рассматриваются два типа ограничений на управления а) < и,(0 < Д., / = 1,2, * е [О,Г], (1.23) б) а<их (0 + w2 (Г) < 6, ui > 0, i = 1,2, t е [0,Г]

В пятом параграфе третьей главы управление осуществляется не только отловом, но и коэффициентами прироста жертв и хищников. Формализованная задача состоит в минимизации функционала т=в„ JE (о^+Z ^ fc со - д- )2, (i-24) о 1=1 1=1

При ограничениях: х, (о = х, (Ои, (0(i - (0"3 (0) - оос1 (t)x2 (О,

1.25) х2 (0 = —и2 (0*2 (0 + fix2 (О J*1 (j)G(t - r)dr. о и.(О > а., г = 13, * е [О,т] (1.26)

Для поставленной задачи сформулирован принцип максимума, найдено оптимальное управление, разработан численный метод и реализован алгоритм построения приближённого оптимального решения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дждеед М, 2004 год

1. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М., Наука: (1979).

2. Андреева Е. А., Евтушенко Ю. Г. Численные методы решения задач оптимального управления для систем, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями типа Фредголъма// Модели и методы оптимизации. 1989. № 1. С. 4 -4 13.

3. Андреева Е. А., Дждеед М. А. Модель оптимального использования природных ресурсов // Методы и алгоритмы исследования задач оптимального управления. Тверь, 2000. С.

4. Андреева Е. А., Дждеед М. Оптимальное управление системами, описываемыми интегральными и интегродифференциальными уравнениями. ТвГУ Тверь 2003. 100 стр.

5. Андреева Е. А., Цирулева В. М. Вариационное исчисление и методы оптимизации. Тверь, 2001.

6. Андреева Е. А., Колмановский В.Б., Uleiixem Л.Е. Управление системами с последействием. М. , 1992.

7. Андреева Е. А. Оптимальное управление динамическими системами. Тверь, 1999.

8. Андреева Е. А. Управляемые модели, описываемые дифференциальными уравнениями с разрывной правой частью // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 1999. с 9-18.

9. В. Г. Болтянский. Математические методы оптимального управления. Москва, Наука: (1969), 408с

10. Васильев А. Б., Тихонов А. Н. Интегральные уравнения. М. Наука: 1989.

11. Ф. П. Васильев. Численные методы решения задач оптимизации. Наука, Москва (1981).

12. Ф. П. Васильев. Численные методы решения экстремальных задач //М. Наука. 1980.1в.Величенко В. В. О задачах оптимального управления для уравнений с разрывными правыми частями II Автоматика и телемеханика. 1966. №7. С. 20-30.

13. Винокуров В. Р. Оптимальное управление системами, описываемыми интегральными уравнениями II Изв. высш. уч. заведений. Сер. ма-тем. 1967. Т. 62, №7. С. 21-33.

14. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. -288 с.

15. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и дифференциальных уравнений. М., 1982.

16. Вольтерра, Перес On some extremal problems in the theory of differential equations with applications to the theory of optimal control, J. Soc. Indust. Appl. Math, ser. A, Conti-ol 3 (1965), 106- 128.

17. P. Габасов. О необходимых условиях оптимальности для особых управлений. Известия Академии наук СССР. Техническая кибернетика, 5(1968), 34-43.

18. Габасов Р. Ф., Гусакова К. Л. Принцип максимума для общих дискретных систем II Дифференциальные уравнения. 1971. Т.7,№9. С. 1581 -1590.

19. Габасое Р. Ф., Кириллова Ф. М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск, 1974.

20. Рамкрелидзе Р. В. О скользящих оптимальных режимах, ДАН СССР, 1962, 143, No6, 1243 1246.

21. Глушков В. М. Иванов В. В., Яненко В. М. Моделирование развивающихся систем. М, 1983.

22. В. PI. Гурман. Модели управления природными ресурсами // М. Наука. 1981

23. Евтушенко Ю. Г., Жадан В. Г. К вопросу о систематизации численных методов нелинейного программирования. М., 1988.

24. Дждеед М. Задача оптимального управления системой, описываемой интегродифференциальными уравнениями типа Вольтерра. Тверь 2001. Сборник 300 лет математике в России. Оптимальное управление динамическими системами. Стр. 41 -51.

25. Заславский Б. Г., Полуэктов Р. А. Управление экологическими системами. -М.: Наука, 1988. 296 с.

26. Колмогоров А. Н. Качественное исследование моделей динамики популяций. // Проблемы кибернетики. -1972. - Вып. 25 С. 100 — 106.

27. Костищш В. А. Эволюция атмосферы, биосферы и климата. М: Наука, 1984. 96 с.41 .Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973.

28. Марчук Г. И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. - 368 с.АЪ.Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.,-1972.

29. Петросян Л. А., Захаров В. В. Введение в математическую экологию. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1986. -222 с.

30. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов, М., Физматггаз, 1961.

31. Полуэктов Р. А., Пых Ю. А., Швытов И. А. Динамические модели экологических систем. Л.: Гидрометеоиздат, 1980. —288 с.

32. Свирежев Ю. М, Елизаров Е. Я. Математическое моделирование биологических сообществ. — М.: Наука, 1972 159 с.

33. Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. — М.: Наука, 1978, 352 с.

34. Тимофеев — Ресовский Н. В. Популяции, биоценозы и биосфера Земли. // Математическое моделирование в' биологии. - М.: Наука, 1975, С. 19 - 29.

35. Фёдоров М. П., Романов М. Ф. Математические основы экологии. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999. 156 с.

36. Флеминг У., Ригиел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами М.Мир 1978, 316 с.

37. Харатишвилли Г. Л. Принцип максимума в теории оптимальных процессов с запаздыванием II ДАН СССР. 1961. Т. 136, № 11. С. 39-42.ЪЪ.Хейли Дж. Теория функционально дифференциальных уравнений. М„ 1984.

38. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М. Мир 1975, 534 с.55 .Элъсголъц Л. Э., Норкин С. Ю. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.,Наука 1971.

39. Clarke F. Н. The Generalized problem of Bolza, SIAM J. Control Optim.

40. Clarke F. H. Necessary conditions for a general control problem, Proc. Of International Sysposium on Calculus of Variations and Optimal Control, University of Wisconsin, Sept. 22 — 24, 1975 (D. L. Russell, editor), Academic Press, New York.

41. Federer H. Geometric measure theory, Springer Verlag, New York,1971.59 .Holling С. S. The functional response of predators to prey desity and its role in mimiery and population. // Men. Ent. Soc. Canada, 1965, vol 45.-P. 1-60.

42. Murray J. D. Some simple mathematical models in ecology. // Math. Spektrum. 1983 - 1984, vol. 16, №2. -P. 48- 54.вЪ.Мокроу M. E. Introduction to Measure and Integration, Addison -Wesley,Cambridge, Massachusetts, 1953

43. Rishel R. W. An extended Pontiyagin principle for control systems whose control laws contain measures, SIAM J. Control 3 (1965), 191 — 205.

44. Vinokurov V. R., Optimal Control of Processes Described by Integral Equations, I, 11, III, SIAM Journal on Control, Vol. 7, pp. 324 355, 1969.

45. Warga J. Necessery conditions without differentiability assumptions in optimal, J. Diff. Eqs. 18 (1975), 41 62.61 .Krasnosel'skii M. A. Topological Methods in the Theory of Nonlinear Integral Equations, The Macmillan Company, New York, New York, 1964.

46. Angell T. S. Existence Theorems for a Class of Optimal Control Problems Involving Functional Differential Equations, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 7, pp. 149—169, 1971.

47. Angell T. S. Existence Theorems for Hereditary Lagrange and Mayer Problems of Optimal Control, SIAM Journal on Control (to appear)

48. Angell Т. S. On the Optimal Control of Systems Governed by Nonlinear Equations, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 19, №1, 1976.

49. Farkas, M., Freedman, H.I. 1989. The Stable Coexistence of Competing Species on a Renewable Resource. J. Math. Anal. Appl. 138: 461-472.

50. Farkas, M., Freedman, H.l. 1989. Stability Conditions for Two Predators One Prey Systems. Acta Appl. Math. 14: 3-10.

51. Farkas, M. 1990. On the Stability of One-Predator Two-Prey Systems. Rocky Mountain Journal of Mathematics 20(4): 909-916.

52. Freedman, H.L, Waltman, P. 1984. Persistence in Models of Three Interacting Predator-Prey Populations. Math. Biosci. 68: 213-231.

53. Gurtin, M.E., Levin, D.S. On Predator-Prey Interactions with Predation Dependent in Age of Prey. Math. Biosci. 44: 207-219.