Методы исследования проблемы ветвления малых решений нелинейных уравнений. Приложения к дифференциальным уравнениям тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Боташев, Азрет-Алий Ильясович

• Боташев, Азрет-Алий Ильясович
• доктор физико-математических наук
• 1982

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Боташев, Азрет-Алий Ильясович

Предисловие.I

Введение.Аналитические методы в теории ветвления.Обзор литературы.

Глава I. Модифицирований метод диаграммы Ньютона.

Введение.

§1.1.Подготовка уравнения к исследованию.

§1.2.Символическое правило вычисления производных высших порядков от сложных функций многих аргументов.

§1.3.Малые решения.Корни определяющего полинома простые.

§1.4.Общие формулы для нескольких первых коэффициентов.

§1.5.Корни определяющего полинома кратные.Частный случай.

§1.6.Множество Ньютона и его построение.

§1.7.Корни определяющего полинома кратные.Общий случай.

§ 1.8.Приведение стандартному виду.

Глава П. Многомерное ветвление.

Введение.

§2.1.Векторный полином и понятие кратности его корня.

§2.2.Определяющий В-полином.Случай простых корней.

§2.3.Метод исследования случая кратных корней определяющего

В-полинома.

§2.4.Правые и левые собственные матрицы.

§2.5.Структура рекуррентных соотношений.Метод £ -исключениям©

§2.6.0 некоторых свойствах матриц и векторов

§2.7.Общий метод исследования случая псевдопростых корней определяющего В-полинома.

§2.8.Приведение вектор-функции к стандартному виду.

Глава Ш.Многомерное ветвление.Метод нестандартных представлений

Введение.

§3.I.Векторный одночлен и качестве определяющего В-полинома.

§3.2.Полная совокупность главных определяющих В-одночленов.

§3.3.Множество начальных коэффициентов.

§3.4.Второе правило определения S и б*

§3.5.Геометрическая интерпретация.Принцип исключения угловой точки.

§3.6.Расщепление нестандартных представлений.Полустандартные и вполне нестандартные представления.

§3.7.Прекращение процесса расщепления.Параметрические множества Ньютона и их построение.

§3.8.0 числе малых решений.

§3.9.Некоторые замечания и дополнения.

§3.10.Ветвление малых решений нелинейных систем,когда число уравнений не равно числу неизвестных.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы исследования проблемы ветвления малых решений нелинейных уравнений. Приложения к дифференциальным уравнениям»

§4Л.Условия существования периодических решений линейных неоднородных систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.275

§4.2.Вывод уравнения периодичности Пуанкаре.280

§4.3.Общие формулы для коэффициентов уравнения периодичности

Пуанкаре.287

§4.4.Подготовка уравнения периодичности к исследованию.291

§4.5.0 структуре решений задачи Пуанкаре.293

§4.6.Задача Пуанкаре для автономных систем.296

Литература.302

ПРЕДИСЛОВИЕ

Общеизвестно, что многие задачи науки и техники приводят к необходимости изучения вопросов ветвления малых решений различных классов уравнений. Дальнейшее развитие теории, основы которой были заложены А.М.Ляпуновым и Э.Шмидтом, показало, что задача ветвления малых решений для различных классов уравнений в большинстве практически важных случаев сводится к аналогичной проблеме для системы неявных функций. В связи с этим проблема многомерного ветвления приобрела важное практическое и теоретическое значение, но в силу своей сложности долгое время не поддавалась решению. В последние годы, трудами главным образом советских и американских учёных, разработан метод исследования проблемы многомерного ветвления, основанный на известной теории исключения Кронекера, но этот подход, несмотря на свою теоретическую изящность и математическую строгость, с точки зрения практических вычислений обладает рядом известных недостатков. Поэтому разработка метода, эффективного с точки зрения практических вычислений, для исследования вопросов многомерного ветвления является актуальной проблемой.

В данной работе разработан один метод исследования проблемы ветвления в многомерном случае, который, если пренебречь трудностями вычислительного характера, как и известный метод диаграммы Ньютона в одномерном случае, позволяет решать вопросы о структуре и существовании малых решений по конечному числу коэффициентов разложения в ряд соответствующей вектор-функции.

ВВЕДЕНИЕ. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ВЕТВЛЕНИЯ. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Ниже в виде отдельного рассказа сжато раскрывается сущность узловых моментов основных разделов теории ветвления,что,по мнению автора,делает работу .автономной,замкнутой в себе и облегчает чтение её,не обращаясь к первоисточникам.После раскрытия сущности того или иного раздела теории,делаются литературные ссылки,которые, сразу же оговоримся,ни в коей мере не претендуют на полноту. Такой подход позволяет проследить диалектический ход развития теории ветвления по спирали: проблема ветвления,возникнув вначале в трудах И.Ньютона,как особый случай задачи о числовых неявных функциях, затем появляется в трудах А.М.Ляпунова,А.Пуанкаре, Э.Шмидта по периодическим решениям дифференциальных уравнений и по теории нелинейных интегральных уравнений,и,наконец,вобрав в себя всё предццущее и абстрагировавшись,в трудах современных математиков достигает пространств Банаха,а оттуда,обогатившись внутренним содержанием,с помощью метода Ляпунова-Шмидта снова возвращается к числовым функциям,но уже не к скалярным,а к векторным.

Таким образом,развитие теории,начавшись от числовых функций, снова вернулось к ним,но уже на более высокой основе.

Следуя М.М.Вайнбергу и В.А.Треногину [47] »проблему ветвления для удобства изложения сформулируем в виде некоторой абстрактной задачи.

3 а д а ч а С . Пусть¡-(я, А) - некоторый оператор,переводящий элементы х одного топологического пространства Е1 в элементы другого топологического пространства , Л -числовой параметр,и (1) Требуется найти все непрерывные решения ОС = ОС (А) уравнения

2) удовлетворяющие условию 5С (о ) а? о.

Напомним,что решения задачи С называются малыми.Для простоты оператор РФ,А) будем считать аналитическим в окрестности точки х =0 , А —О.

ТеоремаГ. Если линейный оператор

Щ&шВ сз) обратим,то £47,50,55,67,1671 задача С имеет единственное малое решение X=ЭС(А) »которое будет аналитической функцией в окрестности точки Л»О* о<а

ОС ОССЛ) Я* л

Если же оператор о необратим, то могут нарушиться как единственность, так и аналитичность малого решения; в частности,у уравнения (2) вовсе могут отсутствовать малые решения.

Таким образом,особого рассмотрения требует случай,когда оператор Ё необратим.Под проблемой ветвления как раз и понимается задача С с необратимым оператором 6.

I. Пусть -обычная скалярная функция от двух скалярных переменных ос. и А .В этом случае задача 0 представляет собой классическую задачу о неявных функциях.

Обратимость оператора В из (3) в данном частном случае обозначает,что

Общеизвестно,что при выполнении условия (5) уравнение (2) действительно определяет единственную неявную функцию ЭС(Х)} ос, со)о. Случай необратимого В или,что то же самое,нарушения условия

В №> впервые был рассмотрен И.Ньютоном £98] .

Впоследствии метод,применённый Ньютоном при решении этой задачи,получил название метода диаграммы (параллелограмма,многоугольника) Ньютона.История возникновения,развития,становления и сущность метода диаграммы Ньютона хорошо освещены в докладе [139] Н.Г.Чеботарёва "Многоугольник Ньютона" и его роль в современном развитии математики" на сессии,посвящённой 300-летию со дня рождения Исаака Ньютона (1643-1943).

Как уже говорилось выше,в случае истинности (5) уравнение (2) с аналитической Р определяет единственную неявную функцию ОС (А) с эс(оио, которая оказывается тоже аналитической в окрестности точки Д= О | т.е. разлагается в равномерно сходящийся ряд

4) по целым положительным степеням Л .В случае же нарушения

5),т.е. при истинности (6),могут нарушиться как единственность, так и аналитичность решения в окрестности точки Я=0, Сказанное можно продемонстрировать на примере функции рФД)=ОС-Д, ибо при У этом уравнение (2) имеет два решения ОССЛ)= ±Я.^которые не анали-тичны в окрестности Л-О, Причиной здесь является нарушение условия (5).

В чём же состоит сущность метода диаграммы Ньютона? Коротко осветим этот вопрос.В общетеоретических выкладках,не ограничивая общности,можно считать [139] , что являетея полиномом отно сительно X ,т.е.

РСс,Л)=зен~+. +А/А)х+АоаК (?) где

Согласно Ньютону Г98,1397 решение уравнения (2),(7) ищется в виде ряда по возрастающим степеням Л ? & £ £ оса)всЛ+сД а^е^бг,*.— , СЮ где степени £ , ,и коэффициенты С , с^ ,. ,пока неизвестны. Основную трудность случая (б) составляет определение степеней ё2>""* Заслуга Ньютона в данном вопросе прежде всего в том,что он дал способ определения этих степеней.

Подстановка (9) в (2),(7) должна давать тождественный нуль. Поэтому,при такой подстановке коэффициенты цри одинаковых степенях Я должны непременно обращаться в нуль,в частности,должен обратиться в нуль и коэффициент при наименьшей степени Я .Следовательно, прежде всего нужно уметь находить наименьшую степень в разложении функции ол

А) = /I/Л) (ер.)), по степеням Л .Так как то членом с наименьшей степенью

Я в выражении(е£+ЦШ)Кбудет а в согласно (8) им будет а^Д^Ч Поэтому,наименьшая степень в разложении

Л) по степеням Я будет находиться среди явно выписанных членов4;

Р(сяу^А)=^ акс.1СЛ!к+ке+---, к=о каков бы ни был & ,

Теперь £ нужно подобрать так,чтобы показатели совпадали по крайней мере при двух значениях К ,а при всех остальных были бы больше первых.Для нахождения всех возможных значений £,

Ньютон предложил геометрический приём,ныне носящий его имя.С современной точки зрения [47,67,139] этот приём выглядит так.Н& прямоугольную систему координат наносятся точки ^ t*t>Cb9i)i W ' Приставляют к точке линейку вертикально вниз и вращают её по часовой стрелке до тех пор,пока она впервые не наткнётся на другую из нанесённых точек,например, (к., Ç^). Полагают Ç^tf J^+KL и определяют одно из возможных значений: £. = ( j ^ ; (п.-*к). Далее,вращают в том же направлении вокруг точки (K.Ç )до первого совпадения с дальнейшей точкой t п

-> ?£ ). Следующее возможное значение £, определяется из равенства о о +&.Продолжая этот процесс,находят все возможные Л значения г.

Если последовательно соединить вццеленные таким путём точки, то получится некоторая выпуклая ломаная,представляющая собой огибающую всех точек Ci, «Эта выпуклая ломаная носит t» название многоугольника (диаграммы) Ньютона.Каждому из отрезков этой ломаной соответствует столько различных или совпадающих значений коэффициента Ê- »сколько единиц содержит длина её проекции на ось зс .

Действительно,если крайними точками выбранного отрезка являются точки ГЬ^), (j, J.) , то условие обращения в нуль коэффициента при наименьшей степени Л в (10) имеет вид a(;Ct+"'-f CLjC^O. (ну

Это уравнение относительно С имеет ¿-/ корней с учётом их кратностей,что и подтверждает предыдущее высказывание.Так как длина проекции всей ломаной равна к. ,то для с получается всего У1 различных или совпадающих значений.

Для получения следующего члена разложения (9)нужно в уравс нении (2),(7) произвести подстановку■+ у и искать наинизший член для ^ ,как описано выше.

В последующих исследованиях [139,140,172] были детально изучены ряды,получаемые методом диаграммы Ньютона,в частности, сходимость этих рядов впервые доказал Пюизе [172] .

Основные свойства этих рядов отражены в следующих предложениях [139] :

Т е о р е н а 2. Получаемое методом диаграммы Ньютона разложение (9) расположено по возрастающим степеням Л ,т.е.

ТеоремаЗ. В разложении (9) показатели являются дробями,у которых общий знаменатель есть конечное число.

Т е о р е н а 4. Получаемые методом "многоугольника Ньютона" разложения в ряды по дробным степеням Л сходятся в достаточно малой окрестности точки

Метод.диаграммы Ньютона приобрёл широкую известность

162,

172 2,и сыграл большую роль в дальнейшем развитии математики ["43,44,1393 • Состояние вопроса до 1943 года изложено в обзорной статье Г139Д ,а дальнейшее развитие освещено в обзорах 143, 44] .

Таким образом,Ньютон' впервые поставил и решил задачу С для случая скалярной функции »когда оператор В необратим, т. е. при истинности (6).

Уже в прошлом веке были попытки обобщить Г37Л метод Ньютона на случай систем неявных функций от многих переменных,но существенных результатов не было получено 1139] .

2. Задача С , когда В2= В -пространство непрерывных функций, Р -нелинейный интегральный оператор,впервые исследована А.М.Ляпуновым [753 и независимо от него Э.Шмидтом /~1777 .

Идею метода Ляпунова-Шмидта изложим на примере интегрального уравнения вида Л

Р(х,А) г ос СО- Ш)

Согласно (3) в данном случае оператор 8 имеет вид я

Оператор В будет необратимым или обратимым смотря по тому, является ли 1 собственным значением ядра или нет.

Если интегральный оператор & обратим,то для нелинейного интегрального уравнения (12) справедливо утверждение теоремы I.

В случае,если оператор 2> необратим,то рассматривают вспомогательное уравнение к юц-^Ев&хаЖ=л/г^Я) +Х \ о*) где и. е

Ш-полные ортонормированные системы

• И 11 * собственных функций соответственно ядер 4и соответствующие собственному значению »равному £ .

Как показали для частного случая А.М.Ляпунов f75 ] ,и в общем виде-Э.Шмидт [177^ »единица не есть собственное значение ядра

Е&Л

Поэтому уравнение (14) можно отнести к случаю обратимого оператора В задачи С и применить теорему I.Следовательно, уравнение (14) имеет единственное малое решение ОСС^у = Щл Д)»аналитическое в окрестности точки = Подстановка найденного решения ^ А) в (15) приводит к системе К. уравнений для определения И неизвестных

Это уравнение Э.Шмидт [177] назвал уравнением разветвления и показал,что функции не содержат первых степеней Поэтому в общем случае решение системы (16) не единст-венно,чем и объясняется термин "уравнение разветвления**.

На самом деле как А.М.Ляпунов [75] ,так и Э.Шмидт [177] рассматривали уравнение более общее,чем (12),а именно ост-/щуш^х/^^] (17) где / -интегро-степенной ряд Г^7] по I и ^ »причём параметр может быть и функциональным, $ -некоторое ограниченное замкнутое множество конечномерного евклидового пространства.

А.М.Ляпунов приходит к необходимости изучения уравнения типа (17) при решении одной из трудных проблем небесной механики-задачи о фигурах равновесия вращающейся однородной жидкости 171, 75 ] , которая долгое время не поддавалась решению.

Э.Шмидт,в отличие от А.М.Ляпунова,в своей работе ¿177]не ставит целью решение какой-либо конкретной прикладной задачи,а занимается изучением вопроса в общей математической постановке, но вместе с тем при обосновании необходимости исследования уравнений типа (17) ссылается на потребности небесной механики,связанные с задачей о фигурах равновесия вращающейся жидкости.

Таким образом,метод Ляпунова-Шмидта изучения задачи С в случае (12),(17),состоит в сведении задачи нахождения всех малых решений исходного уравнения к аналогичной проблеме для уравнений разветвления (16)»между малыми решениями которых имеется взаимооднозначное соответствие.

Однако,как сами А.М.Ляпунов и Э.Шмидт,так и их ближайшие последователи не дали полного исследования уравнения разветвления, ограничившись различными частными случаями.

3. С одной стороны неразработанность теории систем уравнений вида (16),с другой стороны соблазн непосредственного,без предварительного перехода к уравнению разветвления,построения решений рассматриваемых уравнений,привело в теории нелинейных интегральных уравнений к разработке нового метода,который вию-следствии был назван методом Некрасова-Назарова.Обзоры,посвященные этому методу, имеются в работах К.Т.Ахмедова [ 17 ] , М.М.Вайн-берга и В.А.Треногина [44"] ,М.М.Вайнберга и П.Г.Айзенгендлера £431 .

Идею метода Некрасова-Назарова изложим на примере уравнения А

V5 > сш где ¿(2,2) предполагается аналитической по 2 .Пусть при некотором уравнение (18) имеет решение .Ставится задача: изучить вопросы существования решений уравнения (18) в окрестности точки р-^о. С помощью подстановок указанная задача сводится к исследованию малых решений интегрального уравнения ' ~ Г " г^т&р****-, Ар* а к=2 * С

Малые решения , »уравнения (19) ищутся в виде ряда (4) с неопределёнными коэффициентами .Подставляя ряд

4)в уравнение (19),для определения получают рекуррентную систему вида ^ ё

20) е в где

ЛрЩЫ+'Ар^т,*). сг<)

Если не есть собственное значение ядра §),то из рекуррентной системы (20) последовательно и однозначно определяются все ОС £4) .Это соответствует случаю обратимого оператора

К»

В> задачи £ .

Если же -собственное значение ядра ранга то дело имеем со случаем необратимого оператора 6 в задаче С.

Пусть для определённости ,а Ц>(4) и ^(4) собственные функции ядер *Я0(4:}Я и соответствующие собственному значению .Тогда для разрешимости первого уравнения системы (20),необходимо и достаточно,чтобы выполнялось условие ортогональности

22) при истинности которого общее решение его запишется в виде х,Шз е4 уШ + ^Ь), С2з) где Х^ ^-произвольно фиксированное частное решение, Су -произвольная постоянная.

Заменяя теперь в правой части второго уравнения системы (20) Ху на ос и составляя условие разрешимости его,получим алгебраическое уравнение и-, «Г ГУ где р(С<) г = (24) £ £ £

ОС Л х. для определения неизвестного С4 .В общем случае это уравнение имеет не более двух решений.Фиксируем какое-нибудь решение тем самым фиксируется и решение первого уравнения Х^-^С^ . Так как (24) представляет собой условие разрешимости второго уравнения,то мы можем найти общее решение последнего х^) =: ос\2(1,С2) = уш+С25)

Подставляя в правую часть третьего уравнения и составляя условие его разрешимости,получим

Р?0 0, = ^ , (26) где -вполне определённая величина,не зависящая от .Если р'(с')фО, (27) то из (26) С2 определяется однозначно.С учётом структуры рекуррентной системы (20) из К -го уравнения найдём,что х^а, ск)=¿к ут+)с*а)у сгч а из условия разрешимости -го уравнения

М)^ = сг*!) в случае истинности (27) находим Ск ,

Таким образом,если РСС^фО ,то описанный метод построения решений в виде рядов удобен и быстро ведёт к цели: сразу решается вопрос существования и вычисляются начальные коэффициенты ряда-решения.

Однако,случаем (27) не исчерпывается всё многообразие возможностей,ибо может оказаться либо Р(С?) -0,либо-О и т.д. При этом эффективность данного метода теряется,даже трудно при таком подходе охватить все логически возможные случаи.

Если нарушено условие (22),т.е.

29) то это означает,что либо является изолированным решением уравнения (18),либо соответствующее решение в окрестности точки о не голоморфно £87,91] .

Итак,в случае истинности (29) у уравнения (18) в окрестности ^о нет решений,представимых в виде ряда по целым степеням 7 н0 могут быть решения,представимые в виде ряда по дробным степеням (¿'^о * Для выяснения последнего вопроса полагают с неизвестным натуральным И и,как и выше,получают уравнение (19) с Л вместо А »решение которого уже ищут в виде ряда по целым степеням Я .Это приводит к некоторой рекуррентной системе,которая при (4-4 совпадает с (20) .Путём исследования полученной рекуррентной системы при тех или иных предположениях на её коэффициенты доказывается существование одного или нескольких решений у уравнения (18)»разлагающихся по той или иной дробной степени ^-^о .Так,например,если в случае (29) выполнены условия ^ то уравнение (19) имеет Г90] % решений вида

Х»

Для доказательства нужно выписать соответствующую рекуррентную систему при УЧ«^ с учётом (30) и исследовать её.

Для различных И. путём исследования соответствующей рекуррентной системы при тех или иных предположениях,например,типа (30) устанавливают различные достаточные признаки существования решений уравнения (19) ,представимых в виде ряда по дробным степеням О '

Отметим,что в этом методе не изобретён способ определения возможных дробных степеней ИЛ ,все пользовавшиеся этим подходом фактически применяли метод подбора числа ,что при исследовании конкретно заданного уравнения мало эффективно.

Действительно,можно заранее установить для различных произвольно фиксированных ил. достаточные условия разрешимости,но,как бы много таких условий мы не установили,всё равно количество их будет конечным.Поэтому всегда можно найти такое уравнение,условия разрешимости которого не будет находиться среди тех,что мы заготовили впрок.

Как сами А.И.Некрасов и Н.Н.Назаров,так и их последователи для доказательства сходимости полученных формальных решений-рядов пользовались методом мажорант.

Таким образом,метод Некрасова-Назарова заключается: I) в поиске малого решения в виде ряда по целым или дробным степеням параметра Я с неопределёнными коэффициентами; 2) в получении рекуррентной системы для определения этих коэффициентов; 3) в установлении разрешимости или неразрешимости полученной рекуррентной системы 4) в доказательстве методом мажорант сходимости построенных рядов-решений.

Выше предполагалось,что { .Если ,то условие разрешимости первого уравнения рекуррентной системы,например (24),будет представлять собой алгебраическую систему ^ уравнений с с^ неизвестными.

Методом построения малых решений нелинейных интегральных уравнений в виде рядов пользовался ещё Г.Брату £144-1462 ,но он случай не рассмотрел,ограничившись ссылкой на работу Э.Шмидта [ 177] .А.И.Некрасов в своих исследованиях [95,96] по точной теории волн установившегося вида на поверхности тяжёлой жидкости столкнулся с необходимостью изучения малых решений одного нелинейного интегрального уравнения.Для своего уравнения он получает рекуррентную систему (20) и находит,что ^о=3 ^ ^ = ^^ т.е. Р(С{№о и т.д.

В более общем виде и более детально разработкой вышеописанного метода занимался Н.Н.Назаров ¿87-94] .Видимо,статья [87] является его первой публикацией по излагаемому вопросу,позже он ещё раз возвращался к ней ¡91] .В [907 он систематически и подробно изложил свой метод,рассмотрев при этом случаи ^

2 .Касаясь произвольного ^ »отметил,что он может быть исследован по той же схеме.Н.Н.Назаров неоднократно возвращался к обсуждаемому кругу вопросов Гв9-94^ и в [93 3 наметил перечень проблем,которые должны быть решены.В частности,одной из главных задач он считал создание спектральной теории нелинейных интегральных операторов.

Дальнейшее развитие метод Некрасова-Назарова получил в трудах многих математиков: С.В.Лобачёв (.72 3 ,К.Т.Ахмедов £12,187 ,П.П. Рыбин ГЮбЗи др.

К.Т.Ахмедов [14-173 »первым обобщил метод Некрасова-Назарова на операторные уравнения в банаховых пространствах.

В.А.Треногин ["128,129] исследовал методом Некрасова-Назарова уравнения типа Ляпунова-Шмидта в пространствах типа Банаха.

4. Пусть -простое собственное значение ядра жл V-Тогда,применяя к уравнению (19) метод Ляпунова-Шмидта (см. придём к одномерному уравнению разветвления

Фц(е>,о)=о. т

Так как скалярна,то к (32) можно применить метод диаграммы Ньютона (см. к0 I) и получить исчерпывающую информацию о малых решениях интегрального уравнения (19),т.е. для (19) можем установить аналоги теорем 2-4.

Однако,не-имотря на свою кажущуюся естественность,такой подход долгое время не применялся.Впервые такой подход к исследованию малых решений нелинейных интегральных уравнений применил А.Э.Стапан [122,123] в 1950 году.Однако,работа А.Э.Степана ещё долго оставалась неизвестной и на её важность было обращено внимание в 1962 году М.М.Вайнбергом и В.А.Треногиным

Несколько позже,чем А.Э.Стапан,тот же приём применил А.Бар-тл 11431 (1953 г.) при исследовании малых решений операторных уравнений,

С.ЛефшецГ70,1бЗ] (1954 год) «в теории периодических решений^предполагая соответствующие уравнения разветвления одномерными.

5. Остановимся теперь на методах построения периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений.Здесь нас будут главным образом интересовать подходы А.Линдштедта Г141,165] , А.Пуанкаре [~Ю5,170.3 ,А.М.Ляпунова /74,753 .Сущность их методов изложим на примере -мерной аналитической неавтономной системы дифференциальных уравнений вида = СИ)

Согласно А.Линдштедту [141] для построения -периодического решения (33) нужно его искать в виде рада (4),и,подставляя этвт ряд в (33),получить рекуррентную систему дифференциальных уравнений для определения коэффициентов Хи№) ряда (4) .Если при этом все ЭС^Ш выйдут периодическими,то и соответствующий ряд (4) окажется таковым.Однако,в общем случае при таком определении не, все оказываются периодическими; в некоторых могут быть негС К периодические части, которые называют вековыми или с е -кулярными членами.

Метод Линдштедта как раз состоит в формальном отбрасывании вековых членов по мере их появления при решении рекуррентной системы дифференциальных уравнений.

При таком подходе одним из принципиальных моментов является вопрос о сходимости полученного ряда к решению исходного уравнения. А.Пуанкаре [Г70] впервые показал,что ряд,полученный методом Линдштедта,может,вообще говоря,расходиться.Причиной здесь является появление в знаменателях Ш малых величин,которые впоследствии получили название малых делителей или малых знаменателей Пуанкаре.

Почти все методы,в дальнейшем разработанные в теории периодических решений,друг от друга отличаются способом отсечения вековых членов.

Для изложения сути метода Пуанкаре введём в рассмотрение порождающую систему Х«,*.,«>), (Щ получающуюся из (33) при Л=0,

Пусть 9С0- 0Са(4) -некоторое СО -периодическое решение порождающей системы (34).Требуется найти все -периодические решения полной системы (33) »удовлетворяющие условию что составляет содержание задачи Пуанкаре.

Для решения поставленной задачи А.Пуанкаре

Ю5] предложил нижеследующий метод.Пусть 2.) решение задачи Коши с произвольным начальным вектором р для (33).Из общей теории дифференциальных уравнений известно,что будет голоморфной по р и Я при достаточно малых при и (Х\ .

Для того чтобы решение X ^Л) системы (33) было -периодическим, необходимо и достаточно,чтобы выполнялось условие

Я) э Я) - 1) =0, СЗГ] которое обычно называют условием периодичности Пуанкаре.

Из этой системы $ »вообще говоря,определяется как функция от Л .Ввиду (35),(36) р(о)*0.

Таким образом,задача Пуанкаре сводится к задаче определения всех малых решений алгебраической системы (37). Если теперь окажется,что

IV то по известной теореме о системе неявных функций /47,55,677 из (37) рсЛ) определяется единственным образом. Заменяя в вектор £ на А (Л) .получим единственное решение задачи Пуанкаре.

Для фактического построения периодических решений Пуанкаре искал их в виде ряда (4) ,а уравнение (37) использовал для доказательства сходимости этих рядов.

Ясно,что (38) не всегда будет иметь место.Пусть для определённости ранг Ш.ХШ матрицы 8 равен .Тогда,исключая из (37) неизвестных Г47} ,придём к некоторой системе уравнений разветвления (16).

Теории и приложениям периодических решений посвящена известная монография И.Г.Малкина [77] ,где имеются ссылки на более ранние работы по этому вопросу.

Исследованию случая ветвления периодических решений систем дифференциальных уравнений посвящено много работ [ 6-11,38,40,47, 59-62,64,65,79,99,116,156,163] .В работах Л.Чезари,Дж.Хейла/ГШ, 138] ,С.Н.Шиманова [136,137Д разработан метод вывода условий периодичности в квазилинейном случае,отличный от метода Пуанкаре. М.И.Иманалиев разработал теорию ветвления периодических решений сингулярно-возмущённых дифференциальных и интегро-дифференциальнъи систем ГбО,61.62] .

Для изложения сути метода А.М.Ляпунова по исследованию периодических решений введём в рассмотрение систему вида где К -скальная,а £ -векторная сл) -периодические по 4 функции, Д -постоянная ШМ, -матрица.

Применительно к системе (39) известный результат А.М.Ляпунова

Г74,§42] можно сформулировать в виде следующего предложения:

Теорема 5. Пусть система

МО) не имеет сО -периодических решений.Тогда,если возможно найти -периодические ряды

UCi) = с+u2(t)c2+ и3(1)£ + ХШ~ где U*kffl и Xfl) - cd -периодичны, С -произвольная постоянная, которые формально удовлетворяют исходной системе (39),то эти ряды при значениях С ,не превосходящих по абсолютной величине некоторого предела,абсолютно сходятся и представляют собой сх) -периодическое решение системы (39).

Для фактического построения периодического решения А.М.Ляпунов, как и А.Пуанкаре,подставляя ряды (41) в (39),получает рекуррентную систему дифференциальных уравнений,откуда последовательно и однозначно определяет и в виде сд -периодических функций.Если А.Пуанкаре для доказательства сходимости полученного формального ряда использовал условие периодичности (37),то A.M. Ляпунов для этой цели пользуется заранее установленной теоремой 5.

Ю.А.Рябов Г107,1087 обобщил теорему Ляпунова на случай,когда система (40) допускает СО -периодические решения и показал применимость метода Ляпунова к системам вида (33),ибо последняя может быть получена из (39) как частный случай при = tl^A-; Соответствующий результат он сформулировал fl08] в виде следующего предложения:

Теоремаб. Если можно каким-нибудь образом найти периодические ряды,расположенные по целым или дробным степеням параметра Я и формально удовлетворяющие уравнениям вида (33),то эти ряды,по крайней мере,при достаточно малых по модулю Я »абсолютно сходятся и представляют собой действительное периодическое решение (33).

Заметим,что аналогичное утверждение для интегральных уравнений установлен П.П.Рыбиным [Ю6~] .

Ю.А.Рябов отмечает ["108,§7] ,что ряды-решения,о которых говорится в теореме б,могут зависеть от одного или несколько произвольных параметров, но, считая значения их конечными,можно соответствующие ряды сделать сходящимися.Поэтому,говоря о теореме б,нужно иметь в виду эту оговорку,ибо в противном случае эти формальные ряды могут оказаться расходящимися [47] .

Таким образом,согласно А.М.Ляпунову и Ю.А.Рябову для доказательства существования периодического решения системы (33) достаточно установить существование периодического ряда по целым или дробным степеням Л .формально удовлетворяющего системе (33),а сходимость этого ряда будет следовать из теоремы б.

Так как теорема б,гарантируя сходимость соответствующих рядов, не дает информации об области сходимости их,то Ю.А.Рябов в своих работах [ПО-ПЗ] занимается установлением оценок области сходимости указанных рядов.Им же изучался вопрос об области существования неявных функций [1091 .

С помощью метода Ляпунова-Рябова многие авторы иследовали вопросы существования периодических решений квазилинейных систем дифференциальных уравнений.Дж.Мамытов Г792 установил различные достаточные условия существования периодических решений,разлагающихся по целым и дробным степеням параметра.Я.В.Быков,Т.Чинкараев Г 40 3 ,дали много достаточных условий существования особых периодических решений.Сходимость соответствующих рядов либо выводится из теоремы 6,либо устанавливается методом мажорант.

Основным недостатком такого подхода является отсутствие метода определения тех возможных дробных степеней,по которым следует искать периодическое решение-ряд.

6. Метод Ляпунова-Шмидта ( 2) сведения проблемы малых решений к исследованию уравнения разветвления обобщён на операторные уравнения,рассматриваемые в произвольных банаховых пространствах. Идею метода изложим на примере уравнения где ЬбГЕг^У -линейный оператор типа Фредгольма; ^^Д) ^I аналитический оператор в окрестности точки Х=оу ^Е^ банаховы пространства.

Если оператор £> обратим,то вопрос о малых решениях (41 ) решается с помощью теоремы I.

В случае необратимого в нужно с помощью соответствующих критериев разрешимости линейного неоднородного уравнения /68,971 получить уравнение разветвления.Проделаем это.

Пусть <рке£< и </} Д,—, подпространства нулей Ж&) и соответственно операторов

8 и б .

Так как в силу теоремы Хана-Банаха всякая конечная линейно независимая система элементов допускает биортогонализацию ¿63,стр. 138,149^ то найдутся функционалы € и элементы такие,что где символ (£)%} обозначает значение функционала на элементе Х€ Е -С помощью и вводится вспомогательный оператор по правилу К

Вое ^еЕ,. (45)

Оператор £> »определённый по правилу (43) »обратим,что составляет содержание обобщённой леммы Э.Шмидта [47] .Это позволяет,как и в

Я* % ,перейти к вспомогательному уравнению и

8ос.= Л 4>(я,, &*) 4 где г-Щ, СЮ г применить к нему теорему I,получить единственное малое решение его ЗС* ОСС^-'^Д) аналитическое в окрестности подставить его в (45) и получить систему уравнений разветвления (16).

Первые результаты в этом неправлении были получены в работах Т.Симидзу Г™] Д.Пронин ["148-1527 ,Р.Бартла [143] ,Л.Грейвса [155] ,В.А.Треногина £128-131] .

Вопросам ветвления малых решений различных классов операторных уравнений в банаховых пространствах посвящено большое количество работ [1-5,14-17,43-47,56,57,67,78,80-83,127-132,143,151, 153,155,173-176,179] .

Если О Нётеров оператор,т.е.размерности

ЖВ) и /¡ГС 81 конечны,но не равны между собой,то в уравнении разветвления (16) число уравнений не равно числу неизвестных.Нётеров случай исследовался в* работах В.А.Треногина £128,130] ,М.М.Вайнберга и В.А. Треногина ¡44,47] .

Нас главным образом интересуют аналитические методы,поэтому на вариационных и топологических методах в теории ветвления мы не останавливаемся.Большой вклад в развитие этих методов внесли советские математики.Это прежде всего М.М.Вайнберг [42.1 и М.А. Красносельский ¿66] и их ученики.

7. Таким образом,как в конкретных случаях-задача Пуанкаре о периодических решениях,нелинейные интегральные уравнения,так и в общем случае-операторные уравнения в банаховых пространствах, проблема ветвления малых решений сводится к аналогичной проблеме для систем неявных функций (16).Тем самым проблема ветвления малых решений систем неявных функций богата внутренним содержанием, ибо к ней сводится всё,что может быть охвачено схемой банаховых пространству последние практически достаточно общи.Поэтому исследование систем вида (16) является одним из важных и актуальных проблем.Задача эта оказалась весьма и весьма трудной и,несмотря на важность её,до недавнего времени не было сколько-нибудь общего метода исследования проблемы ветвления в многомерном случае.

В своей работе [163] за 1953 год С.Лефшец предложил один подход для решения проблемы в общем виде.Отметим,что §8 главы УШ книги [70 ] представляет собой изложение результатов статьи [МЬЗ]. Дальнейшее развитие и обобщение идея С.Лефшеца получила в работах М.М.ВаЙнберга,В.А.Треногина,П.Г.Айзенгендлера и других 1-9,4347,67,130,131] .

В £>0,163] С .Лефшец задачу Пуанкаре о периодических решениях квазилинейной системы дифференциальных уравнений сводит к системе неявных функций (16),а для исследования последней он предложил специальный метод.Основную роль в рассуждениях С.Лефшеца играют подготовительная теорема Вейерштрасса 136 ] и метод исключения Кронекера 141] .

Подготовительная теорема Вейерштрасса [36 7 .Если -аналитическая функция в начале координат,причём то в некоторой окрестности I) начала координат

PC*,w) = с и + иг *+. -+Но)XI (z, cw

И. где ) j Л (¿y,"; , W) -аналитические функции в начале координат,причём XI(»a Hj(£)t,"tO)-0 s-¿ .Здесь

S -порядок нуля в точке .Функции -Xl^ Uo)**'?

Иоднозначно определяются условиями теоремы.

Не вдаваясь в подробности,изложим основную сущность метода исключения Кронекера [4lJ . Результантом ад двух полиномов т

1 . . <Г> л

1-0 г*о соответственно порядков К. и 1*1 называется определитель порядка K+WLj составленный из ,их коэффициентов по правилу CL0 CLj*» • OLk о.о о <х0 сс{ • " * « •

0 ф .• . О О-,? ♦ • •

0 ^ k Ж * ' ^^ О • • * » ° о • • • ^ £>«• - О » » ».««»»»**

О .О -6

Теорема? 41 . Для того чтобы -f-(x) и ^(х) имели общий корень,необходимо и достаточно,чтобы их результант обращался в нуль,т.е. R(f9ft)=:0.

На этом факте основан метод исключения Кронекера

4IJ для систем алгебраических уравнений *-у7*Г, СМ9) где -полиномы по каждой из переменных J2y .Чтобы при изучении (49) воспользоваться теоремой 7,Кронекер вводит вспомогательный полином 9 г г-2 где -произвольные параметры,и составляет результант рассматривая Р* и IV как полиномы,например,от ОС^ .В силу (48) Й (А Да) не будет зависеть от и может быть цредставлен в виде ^ г-4 где ]/\/*М одночлены относительно произвольных величин

Очевидно,чтобы имела решение исходная система (49) необходимо выполнение условия ИСР^Рр)-^ ,что в силу (51) и произвольности 1Г эквивалентно системе алгебарических уравнений в которую уже не входит .Тем самым одна переменная исключена. К (52) можно применить те же рассуждения и исключить какую-нибудь ещё одну переменную и т.д.В этом и состоит основная идея метода исключения Кронекера.

Допустим теперь,что вместо алгебраической системы (49) дело имеем с системой неявных аналитических функций (16).В аналитическом случае метод Кронекера непосредственно не работает,ибо понятие результанта (48) введено для полиномов.Но с помощью подготовительной теоремы Вейерштрасса такую систему по какой-нибудь переменной можно сделать полиноминальной и для исключения именно этой переменной воспользоваться схемой Кронекера.В результате получится новая система неявных аналитических функций,но уже она будет содержать на одну неизвестную меньше,чем исходная.К последней можно снова применить подготовительную теорему Вейерштрасса,а затем метод Кронекера и т.д.В итоге,если всё будет благополучно, придём к скалярному уравнению,к которому уже можно применить метод диаграммы Ньютона. В этом основная сущность идеи С.Лефшеца [70,163 J .

Итак,пусть требуется исследовать систему (16) на предмет существования малых решений.С помощью подготовительной теоремы Вейерштрасса согласно (47) у Ф{ выделяем её полиноминальную Q¿ по и аналитическую ¿ части

Так как £1Лоу,о)ФО ,то исходная система (16) относительно малых решений эквивалентна системе в которую неизвестная входит полиноминально.

Через = "'/^hj-^-) обозначим наибольший общий делитель (НОД) псевдомногочленов^^ : я^^где снова отмеченный Гзб,47J псевдомногочлен относительно i^y

Следовательно,система (54) распадается на одно уравнение с И, неизвестными,и систему

Из (56) методом Кронекера исключается ¿¡^ ,для чего составляется

4) вспомогательный псевдомногочлен fyy по правилу (50) и результант ^

R(f, g)

-1 откуда в силу теоремы 7 получаем новую систему неявных функций которая содержиj на одну переменную меньше,чем исходная.Поэтому, применяя к Ф: подготовительную теорему Вейерштрасса,выделяем отмеченные псевдомногочлены (¿^ и находим НОД ш.о12-*с/2(^

Продолжая этот процесс,вообще говоря,получим треугольную систему и множество полиномов с1* % »которые являются НОД псевдолСБ) * * многочленов

Говорят,что функция ассоциирована с единицей: ¿Л~4 , если (¿¿(о,*»»7о)фО »а в противном случае не ассоциирована с единицей: не .

Пусть ^ Л , , тогда из скалярного уравненияметодом диаграммы Ньютона (см. И? I) можно найти все малые решения системы (59^ ) в виде рядов по целым или дробным степеням Л .Подставляя каждое такое решение в левую часть системы (59п.-1 ) и,обозначая через (получающиеся при этом полиномы,будем иметь систему уравнений с одним неизвестным

0 > ^ЬК-Г

Все малые решения системы (60) могут быть определены из уравнения

-Ч.

V пС*1-1) где 01^1 -НОД полиномов ^ .Для построения малых решений

61) снова применяется метод диаграммы Ньютона. Про должая такой обратный процесс,через конечное число шагов можно в принципе получить все малые решения исходной системы.

Теорема 8. [47] . Если , то

С / число малых решений системы (16) конечно и каждое такое решение в силу теорем 2-4 разлагается в сходящийся ряд по целым или дробным степеням Л .Если то исходная система (16) не имеет малых решений.

Пусть теперь —у г--/, ¿о-') не~£7 (&%)

Тогда,полагая в > = получим уравнение где -произвольные параметры.Из (63) методом диаграммы Ньютона определяем все малые решения его,которые будут зависеть от И,-10 произвольных параметров , .Подставляя каждое такое решение в предыдущую систему ),как и в первом случае, получим скалярное уравнение для определения Продолжая эти рассуждения,найдём все малые решения исходной системы (16)»порождаемые данной ветвью процесса исключения.Каждое такое решение будет зависеть от И-с0 произвольных параметров

Т е о р е м а 9 [ 47] . В случае истинности (62) число малых решений системы. (16) бесконечно,ибо среди малых решений имеются параметрические.

Таков в общих чертах метод исследования проблемы ветвления в многомерном случае впервые предложенный С.Лефшецом,усовершенствованный и строго математически обоснованный М.М.Вайнбергом,В.А. Треногиным,П.Г.Айзенгендлером ["1-9,43-47,130-1322 .Этим же вопросам посвящены соответствующие разделы главы У монографии М.А. Красносельского, Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко ,Я. Б. Рутицкого, В. Я. Сте-ценко Г 67] .

Этот подход применён многими авторами для изучения вопросов ветвления некоторых конкретных классов уравнений.

8. Метод Лефшеца-Вайнберга-Треногина (ЛВТ - метод) »несмотря на свою строгость и изящность в общетеоретическом плане,с точки зрения практических приложений обладает рядом принципиальных недостатков.

Действительно,при составлении уравнения разветвления (16) по заданному нелинейному уравнению (41) мы практически можем вычислить только конечное число коэффициентов разложения функций Ф{ в ряд.Такая неполная информация о ^ влечёт за собой и неполную информацию о коэффициентах псевдомногочленов^ б^г/ сами являются аналитическими функциями от Я .Имея только эту информацию о псевдомногочленах невозможно установить наличие у них общего множителя ' • В частности,нет (и не может быть!) алгоритма,позволяющего по конечному числу коэффициентов разложения левых частей ^ скалярных уравнений,составляющих систему (59 ),определить,есть ли у этой системы общее решение Гб7, стр.369] .

Из вышесказанного следует,что с точки зрения практических вычислений приемлемыми являются те методы,которые дают возможность судить о существовании и структуре малых решений (16) по конечному числу коэффициентов разложения ^ .Такие методы для 1фаткости условимся называть конечными,а соответствующий процесс вычислений конечным алгоритмом.Конечный метод для системы уравнений разветвления (16) индуцирует такой же метод для исходного операторного уравнения (41).

В смысле данного определения ЛВТ -метод не относится к конечным методам; в этом его основной недостаток.Метод диаграммы Ньютона для скалярных уравнений конечен (см. УС 1 ); в этом его основное достоинство при практическом использовании.

Чтобы показать естественность очередного подхода к проблеме многомерного ветвления,предварительно проведём такие эвристические рассувдения.Если уравнение разветвления (32) одномерно,то согласно методу диаграммы Ньютона поступаем следующим образом::

1) Вычисляем несколько первых коэффициентов ^¿у ряда

2) Находим первый отличный от нуля коэффициент ^^ ; пусть для определённости > ¿=€,№-{¡3) На декартовой плоскости каждому ненулевому коэффициенту Ф-/ ставим в соответствие точку где 1-Й,и по этим точкам строим диаграмму Ньютона.

Если в многомерном случае ввести векторы то систему уравнений разветвления (16) можно записать в виде одного векторного уравнения представлять собой формы.

Таким образом,переход к векторной записи позволяет,хотя бы формально,не различать одномерный и многомерный случаи.Продолжая этот формализм и дальше,можно попытаться к векторному уравнению (66),(64) применить процедуру Ньютона непосредственно.В соответствии с этим сначала определяется число м. с помщью форм по правилу скальную, можно представить в * ♦ и по точкам , Иг ,как и в скалярном случае,строится диаграмма Ньютона ит .д.

Такой подход,в случае его успеха,представляет собой непосредственное обобщение процедуры Ньютона на многомерный случай,в то время как в ЛВТ -методе процедура Ньютона применяется не к самому уравнению,а к скалярному уравнению,полученному из исходного путём исключения неизвестных.

Этот приём впервые применил Л.Грейвс /1551 в 1955 году.В.А. Треногин в своей статье [130~] предлагает этот подход применять непосредственно к исходному операторному уравнению,не переходя предварительно к уравнению разветвления.Этому направлению теории многомерного ветвления посвящены работы Л.И.Барклона [19] и автора [21,24,26-303 .

Чтобы сформулировать основной результат Л.Грейвса,введём два обозначения.Пусть точки ГЦ /0) и Суя, о) принадлежат одному и тому же звену диаграммы Ньютона,построенной по вектор-функции ФС^^) и число §( определено по правилу о - . и №-¿0

Через }• обозначим наименьшую степень в разложении решения ^г^и) векторного уравнения (бб) в ряд по степеням .Основной результат Л.Грейвса Г155] относительно векторного уравнения (бб) можно сформулировать в виде следующего предложения: Т е о р е м а 10. Если для любого вектора »т0 З1 ^ ?< •

Таким образом,в случае истинности (69) у служит нижней гранью наименьших степеней $ всех возможных малых решений системы (66).Отметим,что утверждение теоремы 10 вытекает как частный случай из теоремы 3.8.8 и следствия 2 данной работы.

Данная работа посвящена разработке конечного метода исследования проблемы многомерного ветвления.

Для простоты,чтобы не отвлекать внимание дополнительными предположениями и оговорками,изложение ведётся применительно к аналитическому случаю.Это,на наш взгляд,не ограничивает общности, ибо основная цель работы-разработка метода исследования^ не получение общих результатов при менее ограничительных,чем аналитичность, предположениях.Для ослабления ограничений на гладкость рассматриваемых функций и операторов можно было бы их брать,как это обычно делается [44,47,143,155] , в виде конечного ряда с остаточным членом,или все построения вести в формальных рядах как это сделано,например,в [67 2.

Не ограничивает общности и то,что в работе рассматриваются уравнения только в конечномерном евклидовом пространстве,ибо как показано в К0 6 ,это охватывает общий операторный случай задачи ' С с конечномерным оператором В •

В целом работа состоит из четьфёх глав,которые в свою очередь делятся на параграфы.

В первой главе даётся обоснование одной модификации метода диаграммы Ньютона; этот модифицированный метод во второй главе обобщается на многомерный случай.

Если из большинства утвервдений второй главы можно получить соответствующие результаты для скалярного случая,считая рассматриваемое уравнение одномерным,то этого ни в коем случае нельзя сказать о результатах третьей главы.Утверждения этой главы характерны исключительно многомерному случаю.

Последняя,четвёртая глава посвящена применению разработанного метода к исследованию задачи Пуанкаре о периодических решениях.

В § 1.1 основной объект рассмотрения всей первой главы скалярное уравнение ррт^-о, счо) с аналитической в окрестности точки <£?=£.=(? функцией подготавливается к исследованию.В силу аналитичности функцию

Ь) всегда можно представить в виде с« К . . Тр^^ГСоо)

2 ^ ^; » с ^

1=0 иС где натуральное число си определяется по правилу

Теперь с помощью подстановок принимая во внимание (71),функцию Р(Ц¿) преобразуем к виду где в -пока произвольное натуральное число.

Основное в преобразовании (71)-(74) то,что Р представлена в виде ряда по возрастающим степеням вспомогательного параметра

Д , коэффициенты которого полиномы степени не выше тЧ и не зависят ни от 5 ,ни от Л .Представление (74) для Р играет основную роль во всей дальнейшей теории как в одномерном, так и многомерном случае.

Представление вида (74) для Р называется стандартным, если ^¿(х)не менее,чем двучлен.

Вообще говоря,представление (74) может оказаться нестандартным,но,как показывается впоследствии (см.§ 1.8),всякую функцию специальным способом можно привести к стандартному виду.Однако, пока мы продолжим изложение,считая,что ^(х) имеет хотя бы один ненулевой корень.

Итак,уравнение (70) преобразовали к виду (70),(74)»малые решения которого будем искать в виде рода по целым степеням вспомогательного параметра Л .При этом ещё нужно иметь правила для определения как коэффициентов ,так и натурального числа 5 .

Подставляя ряд (73),(75) в уравнение (70),получим рекуррентную систему

Уо«») = = 0 оф и№ ь , р < (<£Ш)-о т для определения коэффициентов »круглые скобки обозначают, что после взятия производной нужно положить А—О .Здесь 5 пока остаётся произвольным и надо дать ещё правило для его определения. Как видно из (76)^первый ненулевой коэффициент должен быть корнем полинома .В связи с этим называется определяющим полиномом.

При исследовании рекуррентной системы (77),особенно в многомерном случае ветвления,часто приходиться выяснять структуру/^. из (77) .Для решения этой задачи в § 1.2 разработан специальный символический способ вычисления производных от сложных функций. Так как то в случае %(£$)Ф0 из (77) последовательно и однозначно определяются все , »причём,не умаляя общности,можно положить ь+К

Этим полностью решается вопрос о малых решениях,соответствующих простым корням определяющего полинома ^(я) ,чему и посвящён § 1.3.

Представление (74) удобно для вычисления не только первого ненулевого коэффициента £ по правилу (76),но и для установлеъ ния общих формул для нескольких первых коэффициентов ряда-реше-ния.Эти вопросы рассмотрены в § 1.4.Так если

Ш,)фо, СМ)

ТО -^ . С&О)

Наиболее сложным несомненно является случай кратных корней определяющего полинома %(Х).Подробное обоснование метода для кратного случая дано в [47,§§ 2,4] .В данной работе предложен другой подход.

В § 1.5 рассмотрен один частный подслучай случая кратных корней, а общий случай исследован в § 1.7,для чего в § 1.6 предварительно введено понятие множества Ньютона л и дано правило его построения.

Из произвольной последовательности целых чисел К^ специальным методом,подробно описанным в § 1.6,выделяется множество Ньютона

Л- называются звеньями (отрезками) множестваХ! , ^ показывает количество звеньев,а число точек в каждом звене равна +1. Основное свойство множества Ньютона отражает такая

Л е м м а I. Если натуральные числа в и (Г определены по правилу

Т * *£ ' ^ > ^ к2'-~л}>т то г 14

После этого мы можем перейти к изучению случая кратных корней. Пусть корень кратности К0 определяющего полинома .Через обозначим кратность того же корня для полинома .По определению,если ^ то Если теперь в (74) положим то будем иметь ш р . где $ и (Г пока неизвестные натуральные числа. Для нахождения очередного ненулевого коэффициента нам нужно найти наименьшую степень Л в разложении (86) и коэффициент при ней.С этой целью из последовательности { выделяем множество Ньютона и натуральные числа Б и (Г определяем по правилу (82). Тогда из (86) в силу (83),(84) получим где

МЦяйу ¿V» '&'■<>■1Ш

С 1 "" ^ ^

Очередной коэффициент (Г определяется как ненулевой корень полинома ^(х) .Следовательно,при каждом фиксированном "¿^.г''?} получим столько различных значений# для »сколько различных ненулевых корней имеет полином (X),

Таким образом, процедура построения множества Ньютона л даёт правило (82) определения натуральных чисел 5 и (Г с точностью до их отношения и закон (88) составления очередного определяющего полинома

Определив 5 и б" по правилу (82) »правую часть (86) »как и в (74)»можем расположить по возрастающим степеням X »т.е. к=о где -вполне определённые полиномы,

§ = Ь = <Г=6;$4. (9о)

-пока произвольное натуральное число.Для простых корней первого определяющего полинома »как и выше,все дальнейшие коэффициенты последовательно и однозначно вычисляются,причём = 4 ,а потому ввиду (90) » <Г-(Г0 -В случае кратных корней к (89) применяем предыдущие рассуждения и продолжаем описанный процесс,т.е.,если корень кратности для полиномов^^) , Ко~ъ2 ,то из последовательности (Хр} выделяем множество Ньютона составляем очередной определяющий полином

Р М и т.д.

Итак,если г уже представлена в виде ряда (74) по возрастающим степеням вспомогательного параметра Я »то мы имеем способ построения малых решений как в случае простых,так и в случаев кратных корней определяющего полинома .При таком подходе удачно сочетаются процессы определения коэффициентов и возможных дробных степеней,т.е. 5 .Поэтому для построения всех малых решений исходного уравнения (70)»нужно уметь находить все возможные стандартные представления для Р .Последней проблеме, как уже говорилось выше,и посвящён § 1.8.

Аналитическую в точке функцию всегда можно представить в виде

КЫ-ЁЁК^, см)

Е-о к=ке где натуральные числа VI^ показывают,что для каждого ¿&0 коэффициенты ^^^ при всех к Производя в (91) подстановки = Я5, <5 , СП) получим сх1 оа

РСМ^Хр^ЧГ, СОЮ где Б и <Г* пока произвольные натуральные числа. Воспользуемся произволом Б и (Г ,для определения наименьшей степени Л .Эта наименьшая степень,очевидно,будет находиться среди чисел Но для этого надо из последовательности {кр { выделить множество Ньютона -а.Пусть для определённости оно состоит из р различных звеньев и имеет вид ф-^ч^,■ см

Если теперь р и ^ определить по правилу то из (93) получим ш кед=2 x*"tKl(i), , т) где ^ (I) -вполне определённые полиномы,причём in, Л; Я = ^. <**■ cw

Как видно из (96),(97),каждой функции Г соответствует J3 различных стандартных представлений.Для построения всех малых решений исходного уравнения (70) нужно к каждому стандартному представлению (96) применить вышеизложенный метод.

Таким образом,исходя из (71) может быть получено только одно стандартное представление^ с помощью (91)-любое возможное стандартное представление.Но в первом случае нет необходимости строить множество Ньютона.

Во второй главе результаты первой главы обобщаются на уравнения вида (70),когда

Fte.e) является аналитической вектор-функцией от векторного Ц и скалярного В аргументов.Как можно было заметить из вышеизложенного,основную роль во всех построениях там играли полиномы ^(Х) и кратности К^ их корней.В связи с этим в § 2.1 вводятся понятия векторного полинома и кратности его корня и устанавливаются необходимые для дальнейшего свойства их.

Если каждая компонента ^(х) вектора является многочленом от компонент Xj вектора ОС. ,то <f(x} будем называть векторным полиномом,или для краткости В-полиномом.

Если и. 0 /-Фо т; cw

Зое* о > дх"' о ' ' где ^ -произвольный вектор, то вектор ос-эс^ называется корнем кратности к0 В-полинома if(x).

Если матрица Якоби U>'(а^) обратима, то х0 называется простым корнем В-полинома <ffx) Лслк же матрица Якоби ^OÇt) хотя и ненулевая,но особенная,то 0Со назовём псевдопростым корнем.Кратность как простого,так и псевдопростого корня равна единице,т.е. КоТаким образом,корни В-полиномов по характеру кратности делятся на три группы-простые,псевдопростые и кратные,в то время как корни скалярных полиномов бывают только двух видов-простые и кратные.

После введения этих понятий нетрудно обобщить результаты первой главы на многомерный случай.Пусть в (70) F&t£) аналитическая вектор-функция от векторного M и скалярного £ аргументов.И такую функцию тоже можем представить в виде ряда (71),только теперь будут формами,и получить для F с помощью подстановок (73) представление в виде ряда (74) с В-полиномами ^ f/^J в качестве коэффициентов.

§ 2.2. Если простой корень определяющего В-полинома ^fa) l^iÇs)f»TO из (77),(78) последовательно и однозначно определяются все дальнейшие коэффициенты h и векторного

J+K ряда (75) .И здесь,как и в скальном случае, .

§ 2.3. Если корень кратности определяющего Вполинома ^(х),то,обозначив через кратности того же корня для В-полиномов УрМ в представлении вида (74) и выделив из последовательности /fyj множество Ньютона и т.д.,можно исследовать случай кратных корней по образцу одномерного случая.

Если методы для простых и кратных корней в многомерном случае оказалось возможным получить путём непосредственного обобщения соответствующих результатов для одномерного случая,то метод для CGC?"" ! шЕка/ псевдопростых корней пришлось разрабатывать заново,ибо последний случай не имеет аналога в одномерном случае.

ФА лФ

В § 2.4 введены понятия левого и правого п -собственных матриц для произвольной матрицы А ив терминах этих матриц изложена общая теория линейных алгебраических систем.

В § 2.5 с помощью результатов § 1.2 выясняется общая структура рекуррентных соотношений (77) для определения неизвестных векторных коэффициентов § ряда (75)

- К. М

1-0 где матрицы А» и векторы специальным образом составляются по ^(Ч) »в частности, исследования рекуррентной системы (99).когда А0(%4)-О ,что соответствует случаю псевдопростых корней В-полинома »на основе результатов § 2.4 разработан специальный метод,названный методом Ц -исключения. Дальнейшему уточнению этого метода посвящён § 2.6.Однако, при таком подходе к проблеме псевдопростых корней не даётся способа для определения натурального числа 5 .В связи с этим в § 2.7 предложен другой подход к проблеме псевдопростых корней, свободный от указанного недостатка.

В § 2.8 дано правило нахождения всех возможных стандартных представлений для заданной вектор-функции .Следовательно, применяя к каждому такому стандартному представлению в зависимости от характера кратности корня ^с определяющего В-полинома соответствующий метод,можем вычислять последующие коэффициенты искомых малых решений.

Итак,мы умеем находить и работать со стандартными представлениями. Однако, в многомерном случае,в отличие от скального, возможны и такие малые решения,которые не могут быть построены методом стандартных представлений.Причиной здесь является то,что В-одночлен,в отличие от скального одночлена,может иметь ненулевые корни,а потому может служить определяющим В-полиномом.Здесь сразу возникают вопросы: Как строить такие малые решения? Сколько определяющих В-одночленов может существовать для одной и той же В-функции? Как найти их? По какому правилу определять возможные дробные степени малых решений? И т.д.Изучению всех этих вопрсов, т.е.разработке теории нестандартных представлений,и посвящена третья глава.

В § 3.1 демонстрируется как нужно работать с нестандартными представлениями; приводится пример уравнения,имеющего малые решения, которые не могут быть построены методом стандартных представлений.

В § 3.2 показывается,что если в (93) числа £ и С выбрать так, чтобы ^(^¿-{э^) *то где

Кг- ^ - - • Г^Г-7 (М)

6 ь

Из этого сразу следует,что каяодый из этих В-одночленов х) может служить определяющим В-полиномом.Установлено,что других определяющих В-одночленов для заданной вектор-функции нет и не может быть.

Таким образом, р В-полиномов ^ (х) и В-одночленов

С^образуют полную совокупность определяющих В-полиномов,как корни которых вычисляются начальные коэффициенты ^ всех возможных малых решений.Эти факты установлены в § 3.3.

Хотя согласно (100),(101) выбор отношения ~ из отрезка 0ПРеДелявт В-одночлен единственным образом,но само это отношение на данном этапе остаётся произвольным.В связи с этим в § 3.4 установлено новое правило определения $ и (Г путём построения некоторого множества Ньютона

В § 3.5 обсуждаются вопросы геометризации описанных методов; предложен геометрический способ определения отношения ^ в методе нестандартных представлений,который назван принципом исключения угловой точки.

В § 3.6 для Р вводятся понятия: вполне нестандартное и полустандартное представление.Каждое вполне нестандартное представление характеризуется некоторым отрезком,которому принадле-<Г жит отношение -г ,а каждое полустандартное представление-некото

С* рым числом 5 , с помощью которого определяется отношение ,

С* ^ т.е.^ .Каждое вполне нестандартное представление расщепляется на семейство вполне нестандартных представлений,но с сужением с ¿к отрезков для и с ввделением новых значений для £ .На каждом шаге процесса расщепления получаем новое значение для отношения £^§¿^,90

§ 3.7 посвящен установлению признака,когда следует прекратить расщепление.Если налицо такой признак,то правило ~ = определения отношения ^ уже не годится.Поэтому разработано ещё одно третье по счёту,правило определения отношения £ »которое

Г п 5 условно записывается так: = ^ .Для этого введено понятие параметрического множества Ньютона £1&(Х)у1 дан способ его построения.

Наряду с построением и выяснением структуры малых решений, одним из важных задач теории многомерного ветвления является проблема о числе малых решений.Этому вопросу посвящён § 3.8.

В § 3.9 дополнительно обсуждаются некоторые моменты рассматриваемой теории.

До сих пор всё изложение велось в предположении,что размерже методом исследуются и нелинейные системы с различным числом уравнений и неизвестных.

Итак,по вопросу разработки нового метода можем констатировать следующее:

1. Установлено правило составления всех возможных определяю

• I ^ щих В-полиномов £ ^(х)} ; корни которых являются начальными коэффициентами возможных малых решений-рядов.

2. Установлено три правила: ? определения минимальной степени искомых малых решений-рядов.

3. Найдены главные члены асимптотики возможных малых решений: г* о»

02.)

4. Разработан алгоритм вычисления дальнейших членов асимптотики искомых малых решений.

5. Для вычисления конечного числа коэффициентов каждого ряда-решения достаточно знания так же конечного числа членов разложения Р^^в ряд.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Боташев, Азрет-Алий Ильясович, 1982 год

1. АЙЗЕНГЕНДЛЕР П.Г. Некоторые вопросы теории ветвления решений нелинейных уравнений. УМН, 21, № 3, 1966.

2. АЙЗЕНГЕВДЛЕР П.Г. К' теории ветвления малых решений нелинейных уравнений. Уч.зап.Моск.обл.пед.ин-та, 166, № 10, 1966.

3. АЙЗЕНГЕНДЛЕР П.Г. Применение теории исключения к задаче о ветвлении малых решений нелинейных уравнений. Уч.зап.Моск.вбл. пед.ин-та, 166, № 10, 1966.

4. АЙЗЕНГЕНДЛЕР П.Г. О методе Ньютона в теории неявных функций. Изв.ВУЗов, матем., № 7, 1971.

5. АЙЗЕНГЕВДЛЕР П.Г., ВАЙНБЕРГ М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в многомерном случае. ДАН СССР, 163, № 3. 1965.

6. АЙЗЕНГЕНДЛЕР П.Г., ВАЙНБЕРГ М.М. О периодических решениях неавтономных систем. ДАН СССР, 165, № 2, 1965.

7. АЙЗЕНГЕВДЛЕР П.Г., ВАЙНБЕРГ М.М. О разветвлении периодических решений. Уч.зап.Моск.обл.пед.ин-та, 166, № 10, 1966.

8. АЙЗЕНГЕНДЛЕР П.Г., ВАЙНБЕРГ М.М. О ветвлении периодических решений автономных систем и дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. ДАН СССР, 176, № I, 1967.

9. АЙЗЕНГЕНДЛЕР П.Г., ВАЙНБЕРГ М.М. О ветвлении периодических решений дифференциально-разностных уравнений, ДАН СССР, 186,3., 1969Ю.АВДРОНОВ A.A., ВИТ A.A., ХАЙКИН С.Е. Теория колебаний. М., Физматгиз, 1959.

10. АРНОЛЬД В.И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах. УМН, 27, вып.5, 1972.

11. АХМЕДОВ К.Т. Об одной теореме теории разветвления решения одного класса нелинейных интегральных уравнений. Уч.зап.Азерб. ун-та, № 6, 1955.

12. АХМЕДОВ К.Т. Исследование точек разветвления решения одного класса нелинейных интегральных уравнений. Тр.ин-та физ.и матем. АН Азерб.ССР, № 7, 1955.

13. АХМЕДОВ К.Т. Аналитическое продолжение решения нелинейного уравнений в B-пространствах. Уч.зап.Азерб.ун-та, №12, 1956.

14. АХМЕДОВ К.Т. О продолжении решений одного класса нелинейных уравнений в функциональных пространствах Банаха. УМН, 12,5, 1957.

15. АХМЕДОВ К.Т. О задаче Коши для одного класса нелинейных уравнений в функциональных пространствах. ДАН СССР, 115, №1,1957.

16. АХМЕДОВ К.Т. Аналитический метод Некрасова-Назарова в нелинейном анализа» УМН, 12, № 4, 1957.

17. АХМЕДОВ К.Т. Об алгебраической точке разветвления решения одного класса нелинейных интегральных уравнений. Тр.Ин-та физ. и матем. АН Азерб.ССР, № 3, 1959.

18. БАРКЛОН Л.И. О построении решений нелинейных уравнений в многомерном случае ветвления. Изв.ВУЗов, сер.матем., № 7, 197I.

19. БОГОЛЮБОВ H.H., МИТРОПОЛЬСКИЙ Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., Физматгиз, 1963.

20. БОТАШЕВ А.И. Ветвление в многомерном случае. Изв.АН Киргиз. ССР, № 3, 1973.

21. БОТАШЕВ А.И. Структура общего периодического решения однородного интегро-дифференциального уравнения. В сб."Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии",вып.9, Фрунзе, "Илим", 1973.

22. БОТАШЕВ А.И. Условия существования периодических решений неоднородных интегро-дифференциальных уравнений. В сб. "Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии", вып.9, Фрунзе, "Илим", 1973.

23. БОТАШЕВ А.И. Ветвление периодических решений систем дифференциальных уравнений, ВИНИТИ АН СССР, № 6507-73 Деп.

24. БОТАШЕВ А.И. Ветвление малых решений систем нелинейных уравнений, ВИНИТИ АН СССР, № 6143-73 Деп.

25. БОТАШЕВ А.И. Об одной модификации метода диаграммы Ньютона, ВИНИТИ АН СССР, № 5570-73 Деп.

26. БОТАШЕВ А.И. К теории матриц, ВИНИТИ АН СССР, №5571-73 Деп.

27. БОТАШЕВ А.И. Одно символическое правило вычисления производных высших порядков от сложных функций многих аргументов, ВИНИТИ АН СССР, № 5572-73 Деп.

28. БОТАШЕВ А.И. Асимптотика малых решений и метод их построения. "Всесоюзная конф. по асимптотическим методам в теории сингулярно-возмущённых дифференц.и интегро-дифференц.уравнений и их приложениям" Тезисы докладов, Фрунзе, "Илим", 1975.

29. БОТАШЕВ А.И. Конечные методы в теории многомерного ветвления. Фрунзе, "Илим", 1976.

30. БОТАШЕВ А.И. Нелинейные колебания и уравнение разветвления. УП, internationale Konterenz über nichtlineare Schwingungen. В.1,1»Berlin, 1977.

31. БОТАШЕВ А.И. Построение решений нелинейных уравнений в случае многомерного ветвления, в сб. Исслед.по интегро-дифференц. уравнениям. Фрунзе, "Илим", 1977

32. БОТАШЕВ А.И. Системы нелинейных интегральных уравнений и ветвление их решений, в сб. Исслед.по интегро-дифференц.уравнениям. Фрунзе, "Илим", 1979.

33. БОТАШЕВ А.И., МУКАНОВ Т. Метод сингулярного преобразования в теории малых решений алгебраических систем, в сб. Исслед.по интегро-дифференц.уравнениям, Фрунзе, "Илим", 1980.

34. БРЮНО А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М, Наука, 1979.

35. БОХНЕР С., МАРТИН У.Т. Функции многих комплексных переменных ИЛ. 1951.

36. БУГАЕВ Н.В. Различные применения начала наибольших и наименьших показателей в теории алгебраических функций. Матем.сб.14, 1888.

37. БЫКОВ Я.В. Об особых периодических решениях систем обыкновенных дифференциальных уравнений, I, № 7, 1956.

38. БЫКОВ Я.В., БОТАШЕВ А.И. 0 периодических решениях систем разностных уравнений, Изв.АН Киргиз.ССР, № 3, 1970.

39. БЫКОВ Я.В., ЧИНКАРАЕВ Т. О периодических колебаниях нелинейных систем при резонансе, 1-Ш, Дифференц.уравнения, 5, №№9, 10,12, 1969.

40. ВАН-дер-ВАРДЕН Б.Л. Современная алгебра, ч.1,2,М,1947.

41. ВАЙНБЕРГ М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов, М, 1956.

42. ВАЙНБЕРГ М.М.,АЙЗЕНГЕНДЛЕР П.Г. Методы исследования в теории разветвления решений, "Итоги науки. Математический анализ 1965", М, 1966.

43. ВАЙНБЕРГ М.М., ТРЕНОГИН В.А. Методы Ляпунова и Шмидта в теории нелинейных уравнений и их дальнейшее развитие, УМН, 17, № 2, 1962.

44. ВАЙНБЕРГ М.М., ТРЕНОГЙН В.А. К теории ветвления решений нелинейных уравнений, УМН, 18, № 5, 1963.

45. ВАЙНБЕРГ М.М., ТБЕНОГИН В.А. К теории неявных функций, УМН, 17, № 5, 1962.

46. ВАЙНБЕРГ М.М., ТРЕНОГМН В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М., "Наука", 1969.

47. ВОРОШЧ И.И. Некоторые вопросы устойчивости оболочек в большом. ДАН СССР, 122, №1, 1958.

48. ГАНТМАХЕР Ф.Р. Теория матриц. М., "Наука", 1967.

49. ГЕЛЬМАН А.Е. Теоремы о неявной абстрактной функции. ДАН СССР, 132, № 3, 1960.

50. ГЕЛЬМАН А.Е. Об аналитических решениях существенно нелинейных уравнений. ДАН СССР, 144, №1, 1962.

51. ГЕЛЬМАН А.Е. О простых решениях операторных уравнений в случае ветвления. ДАН СССР, 152, № 5, 1963.

52. ГОЛОВАЧИК П.И. Построение малых решений одного класса нелинейных уравнений с двумя параметрами. Иркутск, 1970.

53. ГРИНЬ А.Н. К теории ветвления решений нелинейного уравнения в многомерном случае ветвления. ДАН СССР, 201, № 16, 1971.

54. ЕРУГИН Н.П. Неявные функции. Изд-во ЛГУ, 1956.

55. ЗАБРЕЙКО П.П.,КАЦ Б.П. О методе Некрасова-Назарова решения нелинейных операторных уравнений. СМЖ, 12, № 5, 1971.

56. ЗАБРЕЙКО П.П.»КРАСНОСЕЛЬСКИЙ М.А. Об уравнениях разветвления. Тр.семинара по функц.анализу, вып.2, Воронеж, 1968.

57. ЗЕРАГИЯ Д.П. О ветвлении решений одной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. "Дифференц.уравнения", 7, № 9, 1971.

58. ЗУБОВ В.И. Колебания в нелинейных системах. Л., 1962.

59. ИМАНАЛИЕВ М.,АЛЫМКУЛОВ К. Асимптотические методы в теории ветвления периодических решений сингулярно-возмущённых инте-гро-дифференциальных уравнений. Изв.АН Киргиз.ССР, № 3,1972.

60. ИМАНАЛИЕВ М.,АЛЫМКУЛОВ К. Асимптотические методы в теории ветвления периодических решений сингулярно-возмущённых системдифференциальных уравнений. В сб."Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии",вып.9, 1973.

61. ИМАНАЛИЕВ М. Колебания и устойчивость решений сингулярно-возмущённых интегро-дифференциальных систем » Фрунзе,"Илим",1974.

62. КАНТАРОБЙЧ Л.В.,АКИЛ0В Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М., Физматгиз, 1959.

63. КОПНИН Ю.М. Колебания автономных систем с одной степенью свободы. "Инж.журнал", 2, № 3, 1962.

64. КОПНИН Ю.М. Периодические колебания нелинейных неавтономных систем со многими степенями свободы."Инж.журнал",5, №2,1965.

65. КРАСНОСЕЛЬСКИЙ М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М., Гостехиздат, 1956.

66. КРАСНОСЕЛЬСКИЙ М.А. ,ВАЙНИКК0 Г.М. ,ЗАБРЕЙК0 П.П. ,РУТИЦКИЙ Я.Б., СТЕЦЕНКО В.Я. Приближённое решение операторных уравнений. М., "НАУКА", 1969.

67. КРЕЙН С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М., "Наука", 1971.

68. ЛАДЫЖЕНСКАЯ O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М., "Наука", 1970.

69. ЛЕФШЕЦ С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. ИЛ., 1961.

70. ЛИХТЕНШТЕЙН Л. Фигуры равновесия вращающейся жидкости. М., "Наука", 1965.

71. ЛЯПУНОВ A.M. Общая задача об устойчивости движения. Собр. соч., т.2, Изд-во АН СССР, 1956.

72. ЛЯПУНОВ A.M. О фигурах равновесия,мало отличающихся от эллипсоидов вращающейся однородной массы жидкости.Собр.соч.,т.4, М., Изд/во АН СССР, 1959.

73. МАЛКИН И.Г. К теории колебаний квазилинейных систем со многими степенями свободы. ПММ,14, № 4, 1950.

74. МАЛКИН И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний.М., Гостехиздат, 1956.

75. МАМАШЕВ С. Исследование одного класса операторных уравнений методом диаграммы Ньютона. Тр.Самарканд, ун-та, новая серия, №151, 1964.

76. МАМЫТОВ Дж. О периодических колебаниях неавтономных систем со многими степенями свободы в случае резонанса. В сб."Автоматич. управление и элементы вычислительной техники". Фрунзе, "Илим", 1965.

77. МЕЛАМЕД В.Б. Об аналитических решениях некоторых нелинейных интегральных уравнений. ДАН СССР, 140, №4, 1961.

78. МЕЛАМЕД В.Б. К задаче о ветвлении решений нелинейного аналитического уравнения. ДАН СССР, 145, №3, 1962.

79. МЕЛАМЕД В.Б. О точках бифурикации одного класса уравнений. ДАН СССР, 152, №4, 1963.

80. МЕЛАМЕД В.Б. О формальных решениях некоторых нелинейных уравнений. СМЖ, 6, №1, 1965.

81. МИТРОПОЛЬСКИЙ Ю.А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний. М., "Наука", 1964.

82. МИЩЕНКО Е.Ф.,П0НТРЯШ1 Л.С. Периодические решения систем дифференциальных уравнений,близкие к разрывным. ДАН СССР, 102, №5, 1955.

83. МИЩЕНКО Е.Ф. Асимптотическая теория релаксационных колебаний, описываемых системами второго порядка. Матем, сб.,44, М, 1958.

84. НАЗАРОВ H.H. Об одном классе однородных интегральных уравнений. Труды САГУ, серия 5-а, матем., №28, 1939.

85. НАЗАРОВ H.H. О случае исследования нелинейного интегрального уравнения около точки разветвления. Изв. Узб.филиала АН СССР, №4, 1941.

86. НАЗАРОВ H.H. Исследование решения уравненияв окрестности точки разветвления. Труды Узб.филиала АН СССР, №2, 1941.

87. НАЗАРОВ H.H. Нелинейные интегральные уравнения типа Гаммер-штейна, Труды САГУ, серия 5-а, матем.,№33, 1941.

88. НАЗАРОВ H.H. Замечание к статье "Об одном классе нелинейных однородных интегральных уравнений". Труды ИММ АН Узб.ССР,№1, 1946.

89. НАЗАРОВ H.H. Об одном классе нелинейных интегро-дифференциаль-ных уравнений. ДАН СССР, 18, №5, 1948.

90. НАЗАРОВ H.H. О некоторых новых задачах в теории нелинейных интегральных уравнений, Труды ИММ АН Узб.ССР, №4, 1948.

91. НАЗАРОВ H.H. Некоторые вопросы теории спектров нелинейных интегральных уравнений. Труды ИММ АН Узб.ССР, №4, 1948.

92. НЕКРАСОВ А.И. О волнах установившегося вида. Изв. Ивановен. политех.ин-та, №6, 1922; собр.соч. т.1, М., 1961.

93. НЕКРАСОВ А.И. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости. М., 1951; собр.соч., т.1, М., 1961.

94. НИКОЛЬСКИЙ С.М. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах. Изв. АН СССР, серия матем.,7, №3, 1943.

95. НЬЮТОН И. Математические работы. Метод флюксий и бесконечных рядов с приложением к геометрии кривых. ОНТИ, М., 1937.

96. ПЛОТНИКОВА Г.В. О построении периодических решений неавтономных квазилинейных систем с одной степенью свободы вблизирезонанса в случае двукратных корней уравнений основных амплитуд. ПММ, 26, № 4, 1962.

97. ПЛОТНИКОВА Г.В. Об устойчивости периодических решений неавтономных квазилинейных систем с двумя степенями свободы^ ПММ, 29, № 6, 1965.

98. ПОКОРНЫЙ В.В., РЫБИН П.П. О стабилизации процесса отыскания формальных неявных функций. УМН, 15, № 4, I960.

99. ПРОСКУРЯКОВ А.П. Построение периодических решений автономных систем с одной степенью свободы в случае произвольных вещественных корней уравнения основных амплитуд. ПММ, 22, № 4, 1958.

100. ПРОСКУРЯКОВ А.П. Периодические решения квазилинейных автономных систем с одной степенью свободы в виде рядов по дробным степеням параметра. ПММ, 25, № 5, 1961.

101. ПРОСКУРЯКОВ А.П. О методе Пуанкаре в теории нелинейных колебаний (случай вырождения системы). ПММ, 31, № 4, 1967.

102. ПУАНКАРЕ А. Новые методы небесной механики. Избр.труды в 3 томах. М., Наука, 1971.

103. РЫБИН П.П. О сходимости рядов, получаемых при решении нелинейных интегральных уравнений. ДАН СССР, 115, № 3, 1957.

104. РЯБОВ Ю.А. Обобщение одной теоремы А.М.Ляпунова. Уч.зап. МГУ, 7, № 165, 1954.

105. РЯБОВ Ю.А. О периодических решениях дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр. Вестник МГУ, серия матем., мех., астрономия, № 2, 1956.

106. РЯБОВ Ю.А. Оценка области сходимости периодических рядов-решений с малым параметром. Случай отсутствия резонанса. Изв. ВУЗов, серия матем., №2, 1959.

107. РЯБОВ Ю.А.,КАЙБЫЛДАЕВ С.К. О периодических решениях нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. В сб."Матем.методы оптим.упр.системами с распределен.параметрами". "Илим", Фрунзе, 1973.

108. САБИРОВ Т. Замечание о диаграмме Ньютона. Тр.семинара по функциональному анализу. Воронеж, II, 1968.

109. САБИРОВ Т. Метод нормализующих преобразований в теории ветвления периодических решений нелинейных сингулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнений. УМЖ, 26, №1, 1974.

110. САМОЙЛЕНКО А.М. Численно-аналитический метод исследования периодических систем обыкновенных дифференциальных уравнений, I, II, УМЕ, 17, И, 1965, 18, №2, 1966.

111. СЕКЕРЖ-ЗЕНЬКОВИЧ Я.В. Об одном виде установившихся волн конечной амплитуды, ПММ, 32, вып.6, 1968.

112. ТРОИЦКИЙ В.А. Об автоколебаниях в регулируемых системах с несколькими регулирующими органами. Тр.Ленингр.политех, ин-та, И92, 201-219, 1958.

113. ПММАНОВ С.Н. К теории квазигармонических колебаний, ПММ, 16, »2, 1952.

114. ПММАНОВ С.Н. Об одном способе получения условий существования периодических решений нелинейных систем. ПММ, 19, №2, 1955.

115. ШИМАНОВ С.Н. Колебания квазилинейных систем с неаналитической характеристикой нелинейности, ПММ, 21, №2, 1957.

116. ХЕЙЛ Дж. Колебания в нелинейных системах. М., "Мир", 1966.

117. ЧЕБОТАРЕВ Н.Г. Многоугольник Ньютона и его роль в современном развитии математики. В кн. "Исаак Ньютон, к 300-летию со дня розвдения". М., 1943.

118. ЧЕБОТАРЕВ Н.Г. Теория алгебраических функций. М., Гостехиз-дат, 1948.

119. ЧЕЗАРИ Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М., "Мир", 1964.

120. ЮДОВИЧ В.И. О бифуркации вращающегося потока жидкости. ДАН СССР, 169, №2, 1966.

121. BART LE R.G. Singular points o-f funktional equations. Trans. Amer. Math. Soc., 75, n/2, 1953.

122. BRATU G. Sur certaine équations integrales non lineares. C.R. Acad. Sei., 150, 896-899, 1910.

123. BRATU G. Sur inéquations intégrales exponentielle C.R. Acad. Sei., 152, 1048, 1911.

124. BRATU G. Sur 1'equations non lineares. Bull. Soc. Math., 42, 133-142, 1914.

125. CRAUDALL G.,RABINOWITZ H. Bifurkation, perturbation of sample eigenvalues, and linearizid stability. Arch.Ration. Mech. and Anal., 52,n/2, 1973.

126. CRONIN J. A topological methob in nonlinear resonance«J. Math. Analysis and Applic.12, n/1, 1961.

127. CRONIN J. An upper bound for the number of periodic solutions of a perturbed system,J.Math.Analysis and Applic.,1,N3-4, 1960.

128. CRONIN J. Families of solutions of a perturbation problem, Proc.Amer.Math.Soc., 12, n/1, 1961.

129. CRONIN J. Analytic functional mappings.Ann.Math., 58,N1, 1953.

130. CRONIN J. Eigenvalues of some nonlinear operators,J.Mathem. Anal.and Appl. 1972, 38, N3.

131. DANCER N. Bifurcation theory in real Banach space.Proc.London Math. Soc. , 23, N4, 1971.

132. DANCER N. Global solution branches for positive mappings. Arch.Ration.Mech,and Anal. 52. N2, 1973.

133. GRAVES L.M. Remarks on singular points of fynctional equations. Transactions Amer.Math.Soc., 79, N1, 1955.

134. GRAVES W.M.H. On a certain family of periodic solutions of differential equations with an application to the triode oscillations.Proc.Roy.Soc.Lond., 103 A, 516-524, 1923.

135. GREENLEE W.M. Remarks on branching from multiple eigenvalues. "Lect.Notes Math". 322, 1973.

136. HAMMERSTEIN A. Nichtineare Integralgleichugen nebst Anwendungen. Acta Math. 54, 117-176, 1930.

137. HILDEBRANDT T.H.»GRAVES L.M. Implicit functions and their differentials in general analysis.Trans.Amer.Math.Soc.29, 1929.

138. LAGRANGE J.L. Sur l'usage fctes fractions continues dans le calcul integral.Nouv.Mémoires de I'Acad.Roy.de Sei.et Belles Lettres de Berlin, 1776.

139. LEFSCHETZ S. Complete families of periodic solutions of differential equations.Comment.Math,Helv,, N4, 28, 1954.

140. LICHTENSTEIN L. Vorlesungen über einige KLassen nichtlinearer Integralgleichungen und Integro-Differentialgleichungen. Berlin, 1931.

141. LINDSTEDT A. Beitrag zur Integration der Differentialgleichungen der Störungstheorie.Mémoires de I'Acad.des Sciences de St-Pétersbourg, 7-Série, 31, N4, 1883.

142. MCLEOD J.B.,SATINGER D.H. Loss stability and bifurcation at a double eigenvalue.J.Punct.Anal., 14, N1, 1973.

143. MICHAL A.D.»CLIFFORD A.H. Fonctions analytiques implictes dans les espaces vectoriels,C.R.Sei, 197. 1933.

144. MULHOLLAND R.J. Nonlinear oscillations of a third-order differential equation.Intern.J.Non-linear Mech.,6, N3, 1971.

145. PIMBLEY G.H. Eigenfunctions branches of nonlinear operators and their bifurcations.Berlin-Springer, 1969.

146. POINCARE H. Sur le problème de trois corps et les équations de la dynamique.Acta Math., 13, 1890.

147. POINCARE H. Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste. 1, Paris, 1892.

148. SATHER D. Branching of solutions of a class nonlinear equations.Mathera. Zeitschrift , 123, N2, 1971.

149. SATINGER D.H. Stability of bifurcating solutions by Leray-Schauder degree.Arch.Ration.Mech.and Anal, 43, N2, 1971.

150. SCHMIDT E. Zur Theorie und nichtlinearen Inregralgleichungen. 3. Teil.Über die Auflosung der nichtlinearen Integralgleichungen und Verzweigung ihrer Losungen.Math. Ann., 65, 370-399,. 1908.

151. SHIMIZU T. Analytic operations and analytic operational equations,Math.Japan., 1, 36-40, 1948.

152. WESTREICH D. Banach space bifurcation theory.Trans Amer. Mathem.Soc., 171, N9, 1972.