Аналитические методы решения нелинейных операторно-функциональных уравнений в нерегулярных случаях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Труфанов, Андрей Викторович

• Труфанов, Андрей Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Труфанов, Андрей Викторович

1 Аналитические решения линейных разностных операторных уравнений с полиномиальной правой частью.

1.1 Регулярный случай, оператор А — к В непрерывно обратим.

1.2 Нерегулярный случай, оператор А — кВ фредгольмов.

1.2.1 Оператор С не имеет В-присоедииенных элементов

1.2.2 Оператор С имеет 5-жорданову цепочку длины р

1.2.3 Оператор С имеет полный 5-жорданов набор.

1.3 Случай нескольких разностных ФВА в уравнении с полиномиальной правой частью.

1.3.1 Регулярный случай.

1.3.2 Нерегулярный случай.

2 Операторные уравнения с ФВА нейтрального типа

2.1 Линейные операторные уравнения с простейшим ФВА нейтрального типа.

2.1.1 Уравнения с постоянными коэффициентами.

2.1.2 Уравнения с переменными операторными коэффициентами.

2.2 Линейные операторные уравнения с аналитическим ФВА нейтрального типа.

2.3 Линейные операторные уравнения с несколькими ФВА нейтрального типа

2.4 Линейные уравнения с ФВА с необратимым оператором при старшем члене

2.4.1 Разложение банаховых пространств, (P,Q)~ коммутируемость линейных операторов.

2.4.2 Редукция сингулярного уравнения с ФВА к регулярным задачам.

2.5 Продолжение решений линейных операторных уравнений с ФВА.

2.6 Квазилинейные операторные уравнения с ФВА.

2.7 Квазилинейные операторные уравнения с несколькими ФВА.

2.8 Метод диаграммы Ньютона для уравнений с ФВА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитические методы решения нелинейных операторно-функциональных уравнений в нерегулярных случаях»

Теория уравнений с функционально измененным аргументом получила бурное развитие в XX веке. Наиболее широко изученным классом таких уравнений являются разностные уравнения. Наряду с обычными разностными уравнениями большой интерес представляют дифференциально-разностные уравнения, интегро-функциональные и операторно-функциональные, т.к. они имеют ряд физических приложений.

Периодом интенсивного развития теории разностных и дифференциально-разностных уравнений является вторая половина XX века. В этот период было опубликовано наибольшее количество работ, посвященных таким уравнениям. Важные результаты и обширная библиография есть в работах и монографиях Эльсгольца Л.Э. [52],[53],[54], Зверкина A.M.[15],[16],[17], Халаная А[46],[47],[48], Беллмана Р.[5],[6], Васильевой А.Б.[11],[12],[13], Каменского Г.А[18],[19], Норкина С.Б.[23], Азбелева Н.В.[1],[2],[3], Скубачевского

A.JI.[36],[37],[38], Мышкиса А.Д. [22], Шарковского А.Н. [49], Шевело

B.Н. [50], Черепенникова В.Б. [51] и др. В последнее время большой вклад в современную теорию функционально-дифференциальных уравнений внесли Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф, Скубачевский A.J1. и др. Несмотря на такой всплеск интереса к разностным и разностно- дифференциальным уравнениям, некоторые проблемы решения нелинейных дифференциально-разностных уравнений являются открытыми и сейчас.

Наряду с теорией дифференциально-разностных уравнений теоретический и практический интерес представляют операторные уравнения, возмущение аргумента t в которых не является сдвигом, а является функциональным возмущением видаа(£), где a(t) - заданная непрерывная функция. При этом особый интерес представляет задача построения решения в окрестности неподвижных точек t*, в которых выполняется равенство a(t") = Отметим, что в окрестности точек не являющихся неподвижными для функционального возмущения аргумента (далее, ФВА) а(£), построение решений можно производить методом шагов (см гл.2, §8) В диссертации без ограничения общности полагаем t* = 0. В работе предполагается, что а(0) = О и |а/(0)| < 1. Такое возмущение аргумента естественно назвать нейтральным функциональным возмущением аргумента. В известной литературе есть лишь частные результаты, касающиеся построения решений алгебраических функциональных уравнений в окрестности неподвижных точек возмущения a(t). При этом исследовались аналитические решения, проблема ветвления решения не ставилась. Интерес к этой задаче возникает уже при изучении линейных алгебраических функциональных уравнений. Рассмотрим уравнение

Очевидно, что при к ф- 2 решением примера (0.0.1) является функция

В дальнейшем будем называть этот случай регулярным. В регулярном случае однородное уравнение имеет только тривиальное решение. Заметим, что при к = 2 решение данного примера не может быть найдено в классе функций аналитических в некоторой окрестности нуля.

0.0.1)

В этом случае вещественным решением примера является функция x(t) = ~t\n\t\+ct, где с произвольная постоянная и i=0 является особой точкой. В дальнейшем будем называть этот случай нерегулярным (сингулярным или резонансным). В сингулярном случае однородное уравнение, соответствующее уравнению (0.0.1), имеет ненулевое решение. Отметим, что уравнению с ФВА могут удовлетворять формальные ряды, сходящиеся только в одной точке. Например, уравнение x(t) = t + tx{2t) имеет формальное решение

00 п—0 которое можно получить методом неопределенных коэффициентов или методом последовательных приближений.

Таким образом, при решении простейших алгебраических функциональных уравнений возникают интересные эффекты: при определенных условиях решение уравнения существует в классе функций имеющих логарифмо-степенную асимптотику в окрестности нуля. Решение теряет свойство единственности и становится параметрическим пучком решений, метод неопределенных коэффициентов и метод последовательных приближений могут дать лишь формальный ряд с нулевым радиусом сходимости. Поэтому построение аналитической теории уравнений вида

F(x(t),x(a(t)),t) = 0 (0.0.2) и более общих интегро-операторных уравнений с ФВА представляет несомненный теоретический интерес. Для таких уравнений до последнего времени не были получены аналоги теоремы о неявном операторе, даже в конечномерном случае, нет результатов по теории ветвления решений, а были только частные результаты, например работы польских математиков Baron К., Ger R., Matkowski J., Smajdor W. [55],[56],[57].

Целью диссертационной работы является доказательство теорем существования решений операторных уравнений вида (0.0.2) и разработка приближенных методов построения непрерывных решений x(t) —> 0 при t —> 0, где 0 - неподвижная точка возмущения a(t). Т.к. в нелинейном случае уравнение (0.0.2) может иметь несколько малых решений x(t), то неподвижная точка ФВА может оказаться точкой ветвления решения. Основы теории ветвления решений нелинейных уравнений изложены в классической монографии М.М.Вайнбсрга и В.А.Треногина [10]. Современная теория ветвления использует широкий спектр аналитических, топологических, теоретико-групповых методов и позволяет проводить качественный и алгоритмический анализ многих классов разветвляющихся решений. В области теории ветвления решений нелинейных уравнений имеется громадное количество литературы( см. библиографию в Вайнберг М.М., Треногин В.А.[9], Красносельский М.А. [21] и др. ). Однако с этой точки зрения в известной нам литературе других авторов рассматривались уравнения без функционального возмущения аргумента, а методы построения асимптотических приближений разветвляющихся решений предполагали представление решений в виде рядов Ньютона-Пыоизе (по дробным степеням параметра).

В силу указанного актуальным вопросом является разработка аналога классической теории ветвления для уравнений вида (0.0.2). В диссертации изложены начала такой теории ветвления. В отличие от классической теории ветвления для решения операторно-функциональных уравнений вида (0.0.2) потребовалось расширить класс, в котором ищется решение, привлекая в качестве его асимптотического приближения логарифмо-степенные асимптотики. В качестве приложения теории операторных уравнений вида (0.0.2) в работе дан способ построения непрерывных и обобщенных решений интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода с функциональным возмущением аргумента. В диссертации используются методы теории линейных операторов, аппарат обобщенных жордановых цепочек В.А.Треногииа, метод диаграммы Ньютона, теория интегральных уравнений и сведения из теории обобщенных функций.

Содержание работы

Согласно принципа "от простого к сложному" диссертация начинается с изучения линейных операторных уравнений вида

Ax{t) - Bx(a{t)) = f(t), (0.0.3) где А, В - линейные ограниченные операторы, действующие из вещественного банахова пространства Е\ в вещественное банахово пространство 1^(0)1 < 1> /(0 " непрерывная, достаточно гладкая функция со значениями в /(0) = 0.

Определение 0.0.1. Оператор А будем называть оператором при старшем члене уравнения (0.0.3).

Оператор А может быть как непрерывно обратимым, так и фредгольмовым. Некоторые из операторов А — (а'(0))кВ, к = 1,2,. тоже могут быть фредгольмовыми.

Замечание 0.0.1. Если (or'^O) | > 1, оператор В фредгольмов или непрерывно обратим, то в некоторой окрестности нуля modicho рассматривать это уравнение, поменяв ролями операторы А и В.

Указанный класс линейных уравнений с ФВА практически не описан в математической литературе. Из тех работ, в которых рассматриваются близкие задачи, можно отметить результаты полученные Черепенниковым В.Б.[51] и Апарциным А.С.[4]. В этих работах рассматриваются дифференциально-разностные и интегральные уравнения нейтрального типа с аналитическим возмущением аргумента нейтрального типа. Уравнение (0.0.3) можно классифицировать как операторное уравнение с ФВА нейтрального типа.

В работе строятся решения линейных и нелинейных функциональных уравнений с функционально возмущенным аргументом t в классе X непрерывных вещественных функций со значениями в банаховом пространстве Е\. Как правило, это будет банахово пространство с нормой

1Ы1х — тпах \\x(L). | t\<P

Для построения решений линейных и нелинейных операторных уравнений с ФВА нейтрального типа в излагаемом методе требуется строить полиномиальные решения для набора разностных уравнений с запаздывающим аргументом и полиномиальной правой частью. Такие уравнения имеют вид

Ax(z) - kBx(z + а) = Pm(z). (0.0.4)

Здесь А, В - выше описанные линейные операторы, числовой аргумент -г: Е R1, к и а - вещественные числа, правая часть т

Fm(z) = ^2prnzi i=О

- определенный полином аргумента г степени т, коэффициенты РТ°- еЕ2, г = 3~ш.

Искомое решение x(z) уравнения (0.0.4) в работе строится в виде полинома аргумента г, порядок которого определяется максимальной длиной обобщенных жордановых цепочек операторных коэффициентов уравнения.

Работа состоит из двух глав и Приложения.

В первой главе приводятся результаты, касающиеся исследования уравнения (0.0.4). Эти результаты являются необходимыми для исследования линейных и нелинейных уравнений с ФВА.

В §1.1 главы 1 рассматривается уравнение (0.0.4) в случае непрерывной обратимости оператора А — к В (регулярный случай). Построенное решение является единственным и строится в виде полинома той же степени, что и правая часть Pm(z). Второй параграф первой главы посвящен сингулярному случаю, когда оператор А — к В является фредгольмовым и dimN(A — к В) = п > 1. Второй параграф разделен на три подпараграфа. В §1.2.1 главы 1 оператор А — кВ является фредгольмовым и не имеет ^-присоединенных элементов,dimN (А — к В) = п. В этом случае решение строится в виде полинома, степень которого на 1 больше степени Pm(z). Решение зависит от п свободных параметров. В §1.2.2 главы 1 оператор А — кВ является фредгольмовым и имеет В-жорданову цепочку длины р, dimN(A — к В) = 1. В этом случае решение строится в виде полинома, степень которого больше степени Pm(z) на длину жордановой цепочки [10]. Решение зависит от р свободных параметров.

В §1.2.3 главы 1 оператор А — кВ является фредгольмовым, dimN(A — к В) — п, оператор А — к В имеет полный 5-жорданов набор присоединенных элементов. В этом случае решение строится в виде полинома, степень которого больше степени Pm(z) на длину максимальной жордановой цепочки в наборе. Решение не является единственным и является пучком к параметров, где к - корневое число

В-жорданова набора оператора А — кВ, т.е. к = р\ + . + рп, где pi -длины 5-жордановых цепочек оператора А — кВ. Во второй главе рассматривается уравнение вида

F(x(t),x(a(t)),t) = 0 (0.0.5) и его обобщение с несколькими ФВА. Всегда предполагается F(0, 0, 0) = 0, а(0) = 0, |а'(0)| < 1, и строятся решения x(t) —> 0 при t 0.

Если производные -щ^, gxfa(t)) в точке (0? О? 0) не равны нулю, то такое уравнение (0.0.5) будем называть квазилинейным. Если эти производные равны нулю, то уравнение (0.0.5) будем называть нелинейным.

Оператор А = щту|(о,о,о) назовем оператором при старшем члене уравнения (0.0.5).

Во второй главе на основе результатов главы 1 доказаны теоремы существования и изложен способ построения решения линейного уравнения (0.0.3) с ФВА нейтрального типа и дано последовательное обобщение этих результатов на квазилинейные уравнения с несколькими нелинейными функциональными возмущениями аргумента. Рассмотрен случай, когда оператор при старшем члене уравнения не является непрерывно обратимым. Показано что во фредгольмовом случае и этот случай сводится к разобранным. В §2.1 главы 2 исследуется линейное операторное уравнение с простейшим функциональным возмущением аргумента, т.е при a(t) = at, где |а| < 1. Полученные результаты обобщаются на уравнение с функциональными операторными коэффициентами вида

A(t)x{t) - B(t)x(at) = /(£). (0.0.6)

В §2.2 главы 2 исследуется линейное операторное уравнение с нелинейным ФВА вида

Ax{t) - Bx{a{t)) = f(t), (0.0.7) где a(t) - достаточно гладкая функция, а(0) = 0 и |а'(0)| < 1. Строятся локальные решения в окрестности нуля. В §2.3 главы 2 рассмотрены линейные операторные уравнения с несколькими возмущениями аргумента вида

A^xit) - A2(t)x{a2{t)) - . - AN(t)x(aN(t)) = f(t). (0.0.8)

Оператор ^i(O) предполагается непрерывно обратимым, а^(0) = 0, |oij-(0) | < 1 для всех г, /(£) - достаточно гладкая функция. В §2.4 главы 2 приведены результаты исследования уравнения (0.0.3) при отсутствии непрерывной обратимости оператора ^i(0) при старшем члене уравнения. Здесь предполагается, что оператор >U(0) фредгольмов с нетривиальным пространством нулей. Получены достаточные условия, позволяющие случай с фредгольмовым оператором ^4i(0) сводить к задачам, рассмотренным ранее. В §2.5 главы 2 на примере линейного операторного уравнения с ФВА показано, что решение при определенных условиях может быть продолжено стандартным методом шагов из теории уравнений с запаздывающим аргументом в область, лежащую вне окрестности неподвижных точек t* : a(t*) = t~ .

В §2.6 главы 2 результаты предыдущих параграфов применяются к построению решений квазилинейного операторного уравнения с нелинейным функциональным возмущением аргумента с переменными коэффициентами вида

A(t)x(t) - B{t)x{a{t)) = R(x(t),x(a(t)), t), (0.0.9) где R(x(t),x(a(t)),t) - нелинейное операторное отображение,

R(x(t),x(a(t)),t) - Я(0, 0,0)|| = 0[(||:г(£)|| + |k(a(0)||)2].

В §2.7 главы 2 рассмотрены линейные и квазилинейные, операторные уравнения с несколькими возмущениями аргумента вида

A1(t)x(t) - A2{t)x(a2(t)) - . - AN(t)x{aN(t)) = R(x(t), x(a2(t)),., x(aN(t)),t). (0.0.10)

Оператор ^i(O) предполагается непрерывно обратимым, аг-(0) = 0, |с^(0)| < 1 для всех г.

В §2.8 главы 2 на основе модифицированного метода диаграмм Ньютона и изложенных результатов для квазилинейных уравнений, предлагается процедура построения малых разветвляющихся решений нелинейных операторных функциональных уравнений вида

F{x{t),x{a{t)),t) = 0.

А именно, с помощью метода диаграммы Ньютона задача сводится к квазилинейному уравнению и ряду задач (0.0.3), (0.0.6), (0.0.7), (0.0.9), изученных выше.

Таким образом, в главах 1,2 диссертации предложен аналитический метод построения непрерывных решений линейных и нелинейных операторных уравнений с ФВА в окрестности неподвижных точек функциональных возмущений аргумента. Метод позволяет строить решения в окрестности точек ветвления и использует сочетание метода неопределенных коэффициентов, метода последовательных приближений, диаграммы Ныотона и аппарат полных обобщенных жордановых наборов [10] для операторных коэффициентов линеаризованного уравнения. Доказательство сходимости метода использует классическую схему принципа сжимающих отображений. В Приложении диссертации результаты, изложенные в главе 2, применяются для исследования нелинейных интегральных уравнений Вольтерра I рода с функциональным возмущением аргумента. В первом параграфе Приложения строится обобщенное решение нелинейного интегрального уравнения Вольтерра I рода t

J K(t, s)O(s) + ax(as) + g{slx(s), s))ds = f(t), (0.0.11) о где ядро К и функции д, f - аналитические в окрестности нуля, причем п к^ S) = y, K-itn-isl+от + ит i=о

В параграфах 3.1.1 и 3.1.2 Приложения используются результаты Н.А. Сидорова и Д.Н. Сидорова [34], касающиеся построения обобщенного решения нелинейного интегрального уравнения Вольтерра I рода без функционального возмущения аргумента. Результаты параграфа 3.1.3 Приложения позволяют строить непрерывные и обобщенные решения нелинейных интегральных уравнений Вольтерра I рода (0.0.11). Полученные результаты могут использоваться при построении решений интегральных уравнений, встречающихся в энергетике [20]. Во втором параграфе Приложения строится обобщенное решение системы нелинейных интегральных уравнений Вольтерра I рода t г тп т ^Kij(t,s)(xj(s)+^r,ajsxj(as)+9j(slx(s),s)) ds = fi(t), i = 1 ,.,m, { 7=1 s=l

0.0.12) где матрица К и вектор-функции д, f - аналитические в окрестности нуля, причем п

K(t, s) = Y, + det^ о, i = 0,1,., п. г=0 gj(slx(s),s) - ^(s^xi(s),., slm3xm{s), s), minhj = I > n. ij

Следуя работе [35], обобщенные решения системы (0.0.12) строятся в виде суммы сингулярной части с носителем в нуле и регулярной части. Коэффициенты сингулярной части определяются из системы линейных алгебраических уравнений, регулярная часть вычисляется путем сочетания метода неопределенных коэффициентов и метода последовательных приближений. Таким образом, в третьей главе доказаны теоремы существования и дан аналитический способ построения классических и обобщенных решений операторных и интегральных уравнений с ФВА. На основе полученных результатов можно строить решения и более общих классов операторпо-интегральных уравнений вида t t F(x(t),x(a(t)), J K(t, s)x(s)cls, J Q(L, s)x(a(s))ds, t) = 0, о о где o:(0) = 0, с функциональным возмущением аргумента t нейтрального типа в окрестности точки t = 0, встречающихся в приложениях, например, в [20].

Результаты диссертации опубликованы в работах [28], [29], [30], [32], [34], [40], [41], [42], [43], [33], [45], докладывались на конференциях:

- Всероссийская конференция „Математическое моделирование и вычислительно-информационные технологии в междисциплинарных исследованиях", 6-7 июня 2009г., Иркутск;

- Школа-семинар „Нелинейный анализ и экстремальные задачи", 23-30 июня 2008г., Иркутск;

III международная конференция "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования" посвященная 85-летию Л.Д.Кудрявцева, М:МФТИ, 2008, с.320-322;

- РАММ Proc.Appl.Math.Mech. Willey-VCH Verlag GambH, volume 7, Issue 1, December 2007, p.1040805-1040806;

- ICIAM-2007, The book of abstracts ICIAM-2007, Zurich, July 2007, p.334;

- Зональная межвузовская конференция „Математика и проблемы её преподавания в вузе", 2007г., Иркутск;

- IX Международная Четаевская конференция „Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", 12-16 июня 2007г., Иркутск;

- „Ляпуновские чтения, Презентация информационных технологий", 14-15 декабря 2006г., Иркутск;

- International Conference Nonlinear Equations, Alushta, September 17-25, 2005, Donetsk, p.96-97;

- IV Всероссийская конференция „Математика, информатика и управление", 1-5 ноября 2005г., Иркутск;

- XII Байкальская международная школа-семинар „Методы оптимизации и их приложения", 2-8 июля 2005г., Иркутск;

- „Ляпуновские чтения, Презентация информационных технологий", 21-21 декабря 2004г., Иркутск;

- Зональная межвузовская конференция „Математика и проблемы её преподавания в вузе", 2003г., Иркутск; и систематически в ИГУ на семинаре „Дифферециальные уравнения" (руководитель проф. Н.А.Сидоров).

Тема исследования входит в план НИР ИГУ, согласно задания Федерального агенства по образованию, проект 2007-01-03. Автор выражает глубокую благодарность д.ф.-м.н., профессору Н.А. Сидорову за постановку задач, постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Труфанов, Андрей Викторович

Заключение

В классической теории ветвления хорошо известно, что в невырожденных аналитических случаях решения могут быть найдены в виде сходящихся рядов Ныотона-Пьюизе по целым или дробным степеням малого аргумента. В диссертации в предположении сжатости ФВА (|ai'(0)| < 1) классические методы теории ветвления применены для решения операторно-функциональных уравнений. Серьезной трудностью явилось то обстоятельство, что теперь коэффициенты решения сами являются полиномами по степеням логарифма аргумента. Поэтому построение ветвей решения операторно-функциональных уравнений потребовало разработки специальной техники даже в невырожденных случаях.

Выделим основные результаты работы:

В работе заложены основы аналитического метода решения нелинейных операторно-функциональных уравнений в нерегулярных случаях, А именно

1. Для линейных и квазилинейных операторно-функциональных уравнений с ФВА нейтрального типа a(t), а(0) = 0 |с/(0)| < 1 доказаны теоремы существования решения в окрестности неподвижных точек ФВА a(t). Предложен метод последовательных приближений решений таких уравнений, а также указана асимптотика этих решений. Сформулированы условия единственности решения. Разобран случай, когда решение может зависеть от определенного числа свободных параметров.

2. Задача построения решений нелинейных операторных уравнений с ФВА a(t) в окрестности неподвижных точек a(t) с помощью метода диаграммы Ньютона сводится к нескольким квазилинейным уравнениям с ФВА, решения которых строятся в виде логарифмо-степенных рядов.

3. Результаты, полученные при исследовании нелинейных операторных уравнений с ФВА, применены к изучению нелинейных интегральных уравнений Вольтерра I рода с ФВА. Указана структура искомого решения. Предложен способ построения обобщенных решений в виде регулярной и сингулярной составляющих зависящих от определенного числа свободных параметров.

Построение теории ветвления решений операторно-функциональных уравнений в многомерных вырожденных случаях (например, когда x(t), где t 6 Rn) потребует привлечения более сложных методов и является трудной проблемой, ждущей своего решения.

Изложенные методы можно применить для решения встречающихся в приложениях операторно-интегральных уравнений [4] с ФВА, и при решении ряда начально-краевых задач с ФВА. Некоторые результаты были получены в дипломных работах студентов ИМЭИ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Труфанов, Андрей Викторович, 2010 год

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1991. - 280с.

2. Азбелев Н.В., Култышев С.Ю., Цалюк B.C. Функционально-дифференциальные уравнения и вариационные задачи. М.: Ижевск: Ин-т компьют. исслед.: Регуляр. и хаотическая динамика, 2006.

3. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений: Методы и прил. М.: Ин-т компьютер, исслед., 2002.

4. Апарцин А.С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН. -1999, 193 с.

5. Bellman R. Asymptotic series for the solutions of linear differencial-difference equations. // Rend. Circolo nat. Palermo, 7, 3(1958), 261269.

6. Bellman R. Dinamic programming approach to optimal inventory processs with delay in delivery. // Quart. Appl. Math., 18, 4(1961), 399-403.

7. Бровко О. В. Линейные операторные уравнения с функциональными изменениями двух аргументов. // Вестник

8. Иркутского Университета: Ежегодная научно-теоретическая конференция аспирантов и студентов, материалы. Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2007. с.96-98.

9. Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Наука, 1998. - 288 с.

10. Вайпберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостехиздат, 1956.

11. Вайпберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвлений решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969, 528 с.

12. Васильева А.Б. Уравнение нейтрального типа с малым запаздыванием. // ДАН СССР, 145 3(1962), 768-786.

13. Васильева А.Б. Уравнения нейтрального типа с малыми запаздываниями. / / Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, 2(1963), 50-67.

14. Васильева А.Б. К вопросу об асимптотическом поведении решений нейтрального типа с малым запаздыванием. // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, 4(1967), 154-163.

15. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физики. М: Наука, 1976.

16. Зверкин A.M. Общее решение линейного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом. // Научные доклады высшей школы физ.-мат. науки, 1(1959), 30-37.

17. Зверкин A.M. Теоремы существования и единственности для уравнений с отклоняющимся аргументом в критическом случае.

18. Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, 1(1962), 37-46.

19. Зверкии A.M. Об определении понятия решения для уравнения с отклоняющимся аргументом нейтрального типа. / / Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, 4(1967), 278-283.

20. Каменский Г.А. О существовании и единственности решения диффференциально-разностных уравнений нейтрального типа. // Учен. зап. МГУ, 181, математика 8(1956), 83-89.

21. Каменский Г.А. Краевая задача для нелинейного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом нейтрального типа. / / Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, 1(1962), 47-51.

22. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1964.

23. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим агрументом. М: Наука, 1972, — 352с.

24. Норкин С. Б. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом // Учен. зап. МГУ, 181, математика 8(1956), 59-72.

25. Poincare H. Sur les equations lineaires aux differentielles ordinaires et aux differences finies // Amer. J. Math. — 1885. — v. 7, p. 213-217; 237-258.

26. Сидоров H.A. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления.- Иркутск: Изд-во ИГУ, 1982г. Гл.4.

27. Nikolay Sidorov, Boris Loginov and others Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications. Kluwer Academic Publishers. - Dordrecht/Boston/London .- 2002, p.547.

28. Сидоров H.A, Благодатская E.B. Дифференциальные уравнения с фредгольмовым оператором при старшем дифференциальном выражении// СО АН СССР, Иркутский вычислительный центр, Препринт №1, 1991, 35 с.

29. Сидоров Н.А., Сидоров Д.Н., Труфаиов А.В. Построение обобщенных решений нелинейных интегро-дифференциальных уравнений // Вестник МАГУ Математика . — 2005., № 8. — С. 123-138.

30. Сидоров II.А., Сидоров Д.Н., Труфаиов А.В. Существование и структура решений систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерры первого рода// Известия ИГУ, серия Математика . — 2007, том 1, — С. 267-274.

31. N.A. Sidorov, D.N. Sidorov, A.V. Trufanov. Generalized solutions of nonluinear integral-functional equations // Nonlinear boundary problems journal, 16, 2006, p.96-106.

32. Сидоров H.A, Романова О.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений с вырождением // Дифференциальные уравнения, 1983. Т.19, №9,-С.1516-1526.

33. Сидоров Н.А., Труфапов А.В. Структура решений линейных операторных уравнений с функциональным возмущением аргумента / / Труды Средневолжского Математического общества. 2006. - Т. 1, № 8. - С. 104-109.

34. Сидоров II.А., Труфанов А.В. Нелинейные операторные уравнения с функциональным возмущением аргумента нейтрального типа // Дифференциальные уравнения, 2009, том 45, №12, С.1804-1808.

35. Сидоров H.A, Фалалеев M.B. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной // Дифференциальные уравнения, 1987. Т.23, №4,-0.726-728.

36. Скубачевский А.Л. О колеблющихся решениях линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. Дифференциальные уравнения. Т.Н. 3. 1975. С. 462-469.

37. Skubachevskii A.L. Elliptic functional differential equations and applications. Birkhauser, Basel. 1997. p.304.

38. Скубачевский А.Л. Эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением. Труды ММО. Т.59. 1998. С. 240-285.

39. Треногин В.А. Функциональный анализ. — М:, 1986.

40. Тру фанов А. В. Структура решения функциональных уравнений с функциональным изменением аргумента // Улан-Удэ: Вестник БГУ, серия 13("Математика и Информатика") вып.З 2006, 82-87 с. (в перечне ВАК 2006)

41. Труфанов А.В. Операторные уравнения с функциональными возмущениями аргумента // Интеллектуальные и материальные ресурсы Сибири: сб. науч. тр. Иркутск: Изд-во БГУЭП, 2005, с.240-249.

42. Труфанов А.В. Квазилинейные операторные уравнения с функциональными возмущениями нейтрального типа // Вестник

43. Самарского Государственного технического университета. 2007, стр. 105 - 109.

44. Халанай А. Периодические и почти-периодические решения систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. // Revue da mathematiques pures et appliquees. Acad. RPR, 4,4(1959), 685-691.

45. Халанай А. Периодические решения линейных систем с запаздыванием // Revue da mathematiques pures et appliquees. Acad. RPR, 6,1(1961), 141-158.

46. Халанай А. Теория устойчивости линейных периодических систем с запаздыванием. // Revue da mathematiques pures et appliquees. Acad. RPR, 4,4(1961), 633-653.

47. Шарковский A.H., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения, Киев: Наук, думка, 1986,- 280с.

48. Шевело В.Н. Осцилляция решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.- Киев: Наук, думка, 1978,- 154с.

49. Черепенников В.Б. Диссертационная работа на соискание степени д.ф.-м.н.

50. Эльсгольц Л.Э. Периодические решения квазилинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. // Труды III Всесоюзного матем. съезда 1956 года. АН ССР,4(1959),41.

51. Эльсгольц Л.Э. Качественные методы в математическом анализе. М.: Гостехиздат, 1955.

52. Элъсголъц Л.Э. О приближенном интегрировании дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. УМН, 6, 3(43)(1951), 130.

53. Baron К., Ger R., Matkowski J. Analytic solutions of a system of functional equations // Pubis, math. 1975, vol.22, №3-4, p.189-194.

54. Smajdor W. Local analytic solutions of functional equations // Annal Pol on. math. 1967, vol.19, №, p.37-45.

55. Smajdor W. Local analytic solutions of functional equations // Annal Polon. math. 1970, vol.24, p.39-43.

56. A.N.Sidorov, D.N.Sidorov, A. V. Trufanov Generilized solution of integral-functional equations: construction and applications in power industry// PAMM Proc.Appl.Math.Mech. Willey-VCH Verlag GambH, volume 7, Issue 1, December 2007, p.1040805-1040806.

57. A.N.Sidorov, D.N.Sidorov, A. V. Trufanov Generalized solution of integral-functional equations// The book of abstracts ICIAM-2007, Zurich, July 2007, p.334.

58. А.N.Sidorov, D.N.Sidorov, А. V. Trufanov Construction of the generalized solution of nonlinear integral-functional equations// International Conference Nonlinear Equations, Alushta, September 17-25, 2005, Donetsk, p.96-97.