Асимптотические решения некоторых задач для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Недосекина, Ирина Сергеевна

• Недосекина, Ирина Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 1985

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Недосекина, Ирина Сергеевна

ВВЕДЕНИЕ

§0. Постановка задачи и некоторые необходимые сведения

ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОМЕРНОГО СЛУЧАЯ ВЕТВЛЕНИЯ

§1. Построение асимптотического итерационного процесса

1.1. Построение стационарных решений.

1.2. Построение формальных решений уравнения /0.8/«

§2. Обоснование существования малых решений уравнения /0.8/

§3. Обоснование существования решений типа "перехода" для уравнения /0.1/.

ГЛАВА II. ИССЛЕДОВАНИЕ'МНОГОМЕРШГО СЛУЧАЯ ВЕТВЛЕНИЯ

§4. Построение асимптотического итерационного процесса

4.1. Стационарные решения.

4.2. Построение асимптотики решений типа "перехода".

§5. Обоснование существования малых решений уравнения

0.8/, осуществляющих переход между двумя стационарными решениями.

§6. Пример нелинейной автономной системы, удовлетворящей условиям теоремы 3.

ГЛАВА III. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕШ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСЖХ

УРАВНЕНИЙ ТИПА. "РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ"

§7. Проверка условий, накладываемых на операторы А иТ(и)

§8. Построение асимптотики решений типа "перехода" . . .III

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические решения некоторых задач для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах»

В настоящее время много внимания уделяется новому направлению в исследовании нелинейных явлений, которое называют неравновесной термодинамикой [13, 55], синергетикой [бз], теорией самоорганизации [31], теорией автоволн [в]. Это - "область научных исследований, целью которых является выявление общих закономерностей в процессах образования, устойчивости и разрушения упорядоченных временных и пространственных структур в сложных неравновесных системах различной природы /физических, химических, биологических, экологических и др./" [з?]. Явления самоорганизации весьма разнообразны. К ним относят: образование диссипатив-ных структур - состояний системы, обладающих пространственной и временной упорядоченностью, в организации которой принимают активное участие диссипативные процессы /теплопроводность, диффузия и т.п./ [4-6, 14, 18-20 , 39 , 47 , 52, 69 ] ; возникновение уединённых фронтов /волны горения [1б], волны популяций Ц41-4з] / ; возникновение импульсов /в нервных волокнах ¡4б] и автокаталитических реакциях [31]/ и др. /Обширную библиографию по данному вопросу можно найти, например, в работах [9, 13, 36, 8, 40] ./ Тем не менее, многие явления описываются теорией самоорганизации в рамках единых моделей, которые математически выражаются нелинейными кинетическими уравнениями параболического типа [зб]. Наприъг = Кди + Г(и)

Д/ где ¿/=^¿//>¿4,.^)- вектор кинетических переменных /концетрации реагирующих веществ, температуры, биомасса, число организмов данного вида в единице объёма и т.п./, К - матрица коэффициентов диффузии /в общем случае К может зависеть от Ы - нелинейная диффузия/, Пи) - нелинейная вектор-функция, учитывающая взаимодействие.

Скалярное уравнение типа /I/, описывающее распространение волнового фронта в нелинейной среде, впервые рассматривалось в 1937 году в классической работе А.Н.Колмогорова, И.Г .Петровского, Е. С. Писку нова /КПП/ [23] при анализе следующей биологической проблемы. Пусть некоторая большая территория занята определённым биологическим видом с определённой концентрацией И , близкой к единице. Вдоль границы рассматриваемой территории будет находиться область промежуточных значений концентрации, а за пределами этой области можно считать и близкой к нулю. В результате положительности отбора территория, уже занятая видом, будет увеличиваться, т.е. её граница будет перемещаться в сторону не занятых видом областей. Математически задача описывается уравнением иь =ихк + Г(и)9 , /2/ где функция V (и) удовлетворяет условиям:

Г(0)=Г(1)-0, Г(и)еС[0,1], Т(и) >0, ;

Ищется решение уравнения /2/, удовлетворяющее начальным услови

О, х>0 .

В работе КПП; показано, что при больших временах распространение данной биологической популяции имеет вид бегущей волны и(, распространяющейся с постоянной скоростью V .

Дальнейшие исследования волновых решений уравнения /2/ были связаны с задачами горения. В Ш8 году Я.Б.Зельдовичем было показано, что при определённых условиях подобными уравнениями где • описывается распространение пламени [17].

В семидесятых годах интерес к волновым решениям нелинейных параболических уравнений резко вырос. Полученные в работе КПП результаты были обобщены на более широкий класс уравнений вида /2/. В качестве примера здесь можно привести работы Аронсона и Вайнбергера [бв], Хаделера и Роте [бз], Файфа и Маклеода [б1] , Ларсона [бв]. Подробным обзор волновых решений параболических уравнений приведён в работе А.И.Вольперта [э].

Одной из актуальных задач, возникающих при изучении нелинейных параболических уравнений, является задача исследования возможности образования диссипативных структур в материальных системах различной природы, моделируемых с помощью уравнений типа /I/. Понятие "диссипативная структура" /ДС/ впервые возникло в биофизике и используется для теоретического исследования самоорганизации в различных термодинамически неравновесных системах [52]. Серьёзное изучение диссипативных структур началось с работы Тюринга [б9], ныне ставшей классической. Зародившись в биологии, теория ДС нашла широкое применение в физике /ДС в плазме [19, 20], ДС при фазовом переходе полупроводник-металл [47], ДС при фазовом переходе в химически активной среде, инициированном лазерным излучением [й] и т.п./, в экологии [4, 9] и других областях естествознания. Математически задача сводится к изучению устойчивых стационарных или автоколебательных решений уравнений, моделирующих поведение системы. Этому вопросу посвящено большое количество работ, появившихся во второй половине семидесятых годов, например [29, 38, 39, 59, 60, 6?].

В общем случае исследование математических моделей синергетики представляет значительные сложности. И здесь достаточно эффективными методами могут оказаться методы малого параметра, позволяющие проводить анализ в окрестности некоторого критического значения входящего в уравнение параметра, характеризующего свойства среды. Подобное исследование модельной задачи теории самоорганизации, описываемой скалярным нелинейным параболическим уравнением с числовым параметром, было проведено А.М.Тер-Крико-ровым и А.А.Белолипецким [1, 2]. В их работе изучалось уравнение

4 = ¿/м + 7\и + Ф(и)) /з/ где X в [0,71] 16 (^ф) /интервал может быть бесконечным/, Ф(и)=11с*и* с$н*0).

Для уравнения /3/ ставилась первая краевая задача

Ы(0,-Ь) = Ы(% Ь) =0. /4/

Исследовались асимптотические свойства решений задачи /3/-/4/ в зависимости от параметра А вблизи его бифуркационного значения 7\0 » где - некоторое собственное значение линеаризованной стационарной задачи:

Очевидно, задача /3/-/4/ всегда имеет тривиальное решение и=0 /положение равновесия/. Это самая простая структура, связанная с процессом, описываемом данной задачей. Исследовались условия, при которых в окрестности 1\0 задача имеет нетривиальные стационарные решения /стационарные структуры/. Показано, что вопрос о том, будут ли сколь угодно малые начальные возмущения тривиального решения приводить асимптотически при Ь ~> + 00 к нетривиальным стационарным решениям, тесно связан с возможностью построения для задачи /3/-/4/ семейства решений, определённых на всём временном интервале Ъ €.(- 00, +00) и ограниченных. В работе А.М.Тер-Крикорова и А.А.Белолипецкого построено такое семейство решений, названное авторами "фундаментальным". Показано, что при выполнении некоторых условий решения смешанных задач ведут себя при ~Ь + 00 так же, как фундаментальные.

В абстрактной форме подобная задача была впервые поставлена В.А.Треногиным [51]. В вещественном банаховом пространстве рассматривалось уравнение + Ли = )и+ Т(и), /5/ где и& Е, А - замкнутый линейный оператор с плотной в С областью определения ад;, пи) - нелинейный оператор в и , такой что Более общая постановка задачи оправдана тем, что в виде уравнения /5/ могут быть записаны многие задачи синергетики, исследующие качественные переходы в материальных системах различной природы [54]. В связи с этим является актуальным исследование возможности построения стационарных решений и решений, осуществляющих переход между двумя стационарными решениями, для абстрактных нелинейных параболических уравнений типа /5/.

Рассмотрим достаточно общую математическую модель, пригодную для описания многих процессов, например, в химической или биологической кинетике, которая приводится в книге [40]. Для простоты пространство считается одномерным, т.е. объём, в котором происходят химические реакции, взаимодействуют живые клетки и т.п. представляет собой длинную узкую фубку. Вдоль трубки осуществляются процессы переноса, а в любом её поперечном сечении происходит полное внутреннее перемешивание. Кинетические уравнения с учётом взаимодействия компонентов и диффузии могут быть записаны в виде следующей нелинейной параболической системы, которую часто называют системой уравнений типа "реакции-диффузии":

Здесь вектор кинетических переменных; - симметрическая положительно определённая матрица коэффициентов диффузии ; нелинейная вектор-функция, определящая сумарные скорости изменения кинетических переменных за счёт их взаимодействия. Будем предполагать, что компоненты вектора аналитические функции т переменных •<•? в точке и1)иг).11/п,)-0 , т.е. в некоторой окрестности этой точки пре-дставимы абсолютно и равномерно сходящимися рядами вида где <=>т) - мультииндекс, ¿= 1 № . Предположим также, что/#,^><9, а ^^-(1,0) = /)^' ^ } где У) - вещественный параметр, характеризующий свойства среды, ¿у -символ Кронекера. Функции ^у(^) С^М) (= предполагаются достаточно гладкими по £ на [О, С].

В работе[52]указывается на то, что математическая модель процесса самоорганизации должна иметь решение, достаточно устойчивое и не чувствительное в широких пределах к начальным и граничным условиям. /Так, например, в биологии результат самоорганизации, т.е. конечная форма сложного организма, предопределён генетически, информация о ней заложена в самом организме./ Поэтому, для упрощения выкладок, граничные условия будем задавать в виде: , , ^

Нас будут интересовать решения системы /6/, удовлетворяющие краевым условиям /8/, определённые на всём временном интервале и ограниченные. Т.е., следуя терминологии А.М.Тер-Крикорова и А,А.Белолипецкого, будем исследовать возможности построения фу -ндаментального семейства решений поставленной задачи.

Обозначим (0}б) у /?>/Л -банаховы пространства вектор-функций и^ , компоненты которых принадлежат пространствам Нт(Нм соответственно. Очевидно, это гильбертовы пространства со скалярными произведениями: . т г т о о

НЬрмы в этих пространствах введём следующим образом:

Задача /б/,/8/ может быть записана в виде дифференциального уравнения /5/ в банаховом пространстве . Здесь оператор Д , ойределяемый на гладких функциях, удовлетворяющих краевым условиям /8/, дифференциальным выражением ~^ ^х]) есть замкнутый самосопряжённый оператор в с плотной областью определения

Ъ(А)={иеС№)/ АиеСШ)}-Н1тШН*я(оА

Нелинейный оператор ^(и) , рассматриваемый на плотном в множестве Нт , является аналитическим оператором в точке и~0 » т.е. в некоторой окрестности этой точки он представим абсолютно и равномерно сходящимся степенным рядом со

Г (и)=2- К и К

К—2. п * /Т0) к т(г)пк т(т)пк\ где гк и = ( г к Ы ? 'к У > Гк и ) - /Г-линейные ограниченные операторы в Нт (0^), действующие по формулам: ^

Тк ^-'^/.и дис'дц* ъс* 1 •

Строгое обоснование утверждений, сделанных относительно операторов

А я Пи) будет произведено в последней главе работы.

Абстрагируясь от системы уравнений типа "реакции-диффузии" /6/, мы проведём в настоящей работе исследование уравнения тиха /5/ в общем случае, когда £ - произвольное вещественное банахово пространство, А - произвольный зажнутый линейный оператор с плотной в Ь областью определения ^ГД). Целью работы является выявление достаточных условий существования ограниченных на всей числовой прямой решений уравнения /5/, осуществляющих переход между двумя его стационарными решениями, и построение их асимптотики в зависимости от параметра /) вблизи его критического значения }\0 , где - некоторое собственное значение оператора А . По предположению, })0 таково, что линейный оператор Ь~ /\~hoI является оператором Фредгольма, у которого

Ояевидно, при любом значении параметра /) уравнение /5/ имеет тривиальное решение. Нас будут интересовать условия, при которых задача имеет малые по )\ решения в окрестности точки

Ш)=(0Л) . т.е. непрерывно зависящие от /\ решения, такие что и о . Для исследования решений указанного типа применяется следующая методика.

Уравнение /5/ сводится к следующему уравнению с малым параметр ом при производной:

-fc+b'£ = E.£Z+F(ii)) /iQ/ где £=//)-/)„/, ¿e=signttäelT'te, -Цоператор Фредгольма, у которого dim /I/(ß>)~ duv/1/(b )~П Уравнение /10/ исследуется с помощью методов теории полугрупп операторов и аппарата теории ветвления по следующей схеме:

- используя методы теории ветвления исследуется возможность построения малых нетривиальных стационарных решений уравнения /10/ и строится их асимптотика в виде рядов по целым шш дробным степеням параметра £ ;

- используя результаты исследования стационарной задачи, строятся формальные решения уравнения /10/, осуществляющие переход между двумя его стационарными решениями ;

- обоснование существования решений типа "перехода" сводится к исследованию системы уравнений, записанной для остатков построенных формальных рядов ; доказывается существование решений последней системы в специально введённых банаховых пространствах, при этом используются методы теории полугрупп операторов.

Коротко остановимся на содержании работы.

Во вспомогательном параграфе приводится строгая математическая постановка задачи и вводятся некоторые необходимые сведения из теории полугрупп операторов и теории ветвления.

Первая глава посвящена исследованию одномерного случая ветвления, когда cLün №)=n*J. Исследование малых решений уравнения /10/ проводилось по приведённой выше схеме. Следует заметить, что метод, предложенный для построения асимптотики решения, подобен тому, который использовался Хоппенстедтом [бб]при рассмотрении задачи Коши для подобного уравнения в банаховом пространстве. Основным результатом данной главы является теорема существования малых по 7) решений уравнения /5/ - стационарных и типа "перехода"., Аналогичные результаты при других предположениях были получены А.М.Тер-Крикоровым и А.А.Белолипецким з].

Вторая глава работы посвящена исследованию многомерного случая ветвления, когда . Здесь ситуация существенно усложняется. Так, например, первый член разложения в решении задачи /10/ определяется из нелинейной автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, исследование которой, в общем случае, представляет значительные трудности. Поэтому на первом шаге мы постулируем наличие у указанной автономной системы решения типа "перехода". Однако, в отличии от одномерного случая, одного наличия решения типа "перехода" у определяющей главный член разложения нелинейной системы оказывается не достаточно для построения решений уравнения /10/ интересующего нас класса. Основным результатом главы II является теорема, в которой сформулированы достаточные условия существования малых по ¿Г решений уравнения /10/, осуществляющих переход между двумя его стационарными решениями. Имеется пример, иллюстрирующий доказанную теорему существования. Построение асимптотики решения производится тем же методом, что и в одномерном случае.

В третьей главе мы вновь обратимся к приведённой выше системе уравнений типа "реакции-диффузии" /6/ и применим к её исследованию полученные в абстрактном виде результаты. Продемонстрируем возможность построения решений типа"перехода" на упрощённой модели - когда матрица коэффициентов диффузии диагональ-на и её элементы не зависят от X . Такое упрощение оправдано тем, что матрица коэффициентов диффузии в диссипативных системах может быть диагонализирована и при этом её собственные элементы вещественны и положительны [40]. Критическим значением параметра ¡\ в данном случае является \ = , где Аминимальное собственное значение матрицы коэффициентов диффузии, кратность которого равна П (А П4=- .в частности, если П-1 то в достаточно малой окрестности точки система /6/,/8/, помимо тривиального, имеет единственное малое стационарное решение и соответствующее ему семейство решений типа "перехода" и(И)=Ш» ' ОМ здесь ~Ь0 - произвольная постоянная/.

В заключении сделаны краткие выводы по результатам работы.

В приложениях приведены таблицы, иллюстрирующие результаты исследования одномерного случая ветвления.

Результаты диссертации опубликованы в работах автора [32-34].

Еезультаты диссертации докладывались на семинаре профессора В.А.Треногина в Московском институте стали и сплавов, на Всесоюзной школе-семинаре "Методы малого параметра и их применение", посвященной 75-летию академика А.Н.Тихонова /Минск, 1982 г./, на Международной конференции по дифференциальным уравнениям в частных производных, посвящённой 75-летию академика С.Л.Соболева /Новосибирск, 1983 г./, на семинаре профессора Е.А.Гребенникова в лаборатории дифференциальных уравнений НИИ ВЦ МГУ , на семинаре профессора А.М.Тер-Крикорова в ВЦ АН СССР, на научно-исследовательском семинаре профессора В.Е.Масленниковой, профессора В.И.Буренкова и доцента М.Ф.Сухинина на кафедре дифференциальных уравнений и функционального анализа Университета дружбы народов имени Патриса Лумумбы.

Автор глубоко благодарен профессору В.А.Треногину за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержу.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Недосекина, Ирина Сергеевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Шдведём итоги проведённого в работе исследования.

1. Получены достаточные условия существования решений типа "перехода" у нелинейного параболического уравнения в банаховом пространстве с числовым параметром и с неограниченным линейным оператором, сужение которого на некоторое подпространство является производящим оператором экспоненциально убывающей аналитической полугруппы.

2. Построена асимптотика решений указанного уравнения в окрестности критического значения параметра /собственного значения линеаризованной стационарной задачи/.

3. Проанализированы ситуации, когда подпространство нулей соответствующего линейного оператора одномерно /одномерный случай ветвления/ и многомерно /многомерный случай ветвления/. Результаты исследования одномерного случая ветвления являются обобщением на абстрактное параболическое уравнение соответствующих результатов А.М.Тер-Крикорова и А.А.Белолипецкого, полученных для скалярного уравнения теплопроводности [I, 2] . Многомерный случай ветвления исследовался в данной работе впервые.

4. Используя результаты, полученные для абстрактного уравнения, исследована возможность построения решений типа "перехода" у нелинейной параболической системы с числовым параметром типа "реакции-диффузии", являющейся модельной для ряда задач теории самоорганизации. Построена асимптотика решений вблизи критического значения параметра, в одномерном и двумерном случае ветвления.

5. Полученные в работе результаты могут быть использованы в прикладных задачах, исследующих качественные переходы в различных материальных системах, которые математически описываются нелинейными параболическими уравнениями с числовым параметром.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Недосекина, Ирина Сергеевна, 1985 год

1. Белолипецкий A.A., Тер-Крикоров A.M. Об асимптотических свойствах решений смешанной задачи для нелинейного уравнения теплопроводности. - ДАН СССР, 1983, т.269, Я6, с.1296-1299.

2. Белолипецкий A.A., Тер-Крикоров A.M. О фундаментальных решениях нелинейного уравнения теплопроводности. Журнал ВМ и Ш, 1984, т.24, №, с.850-863.

3. Белолипецкий A.A., Тер-Крикоров A.M. Об одном классе решений абстрактного нелинейного параболического уравнения вблизи точки бифуркации. ДАН СССР, 1984, т.279, М, с.777-780,

4. Бичаури A.A., Разжевайкин В.М., Свирежев Ю.М. Нелинейные волны и диссипативные структуры в экологии. В кн.: Исследования по теории диссипативных структур/ Под ред. Свирежева Ю.М.-М. :Наука, 1982.

5. Бункин Ф.Н., Кириченко H.A. Фазовый переход в химически активной среде, инициированный лазерным излучением. ДАН СССР, 1984, т. 277, №, с.1357-1361.

6. Белинцев Б.Н. Диссипативные структуры и проблемы биологического формообразования. УФН, 1983, т.141, вып.1, с.55-101.

7. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. - 527 с.

8. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Р. Автоволновые процессы в распределённых кинетических системах. УФН, 1979, т. 128, с.625.

9. Вольперт А.И. Волновые решения параболических уравнений. -Черноголовка, 1983. 48 с. (Препринт /ОИХФ AR СССР ) .

10. Ш.Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. - 527 с.

11. Вувуникян Ю.М., Крейн С.Г. Полугруппа операторов. В кн.: Математическая энциклопедия, 1984, т.4, с.447.-454.

12. Галактионов В.А., Курдгомов С.П., Михайлов А.П., Самарский A.A. Асимптотическая стадия режимов с обострением и эффективная локализация тепла в задачах нелинейной теплопроводности. Дифференциальные уравнения, 1980, т.I6¡, F7, с. 1196^ 1204.

13. Галактионов В.А., Курдюмов С.Пi., Самарский A.A. Об одной параболической системе квазилинейных уравнений. Дифференциальные уравнения, 1983, т.19, №12, с.2123-2140.

14. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М. :Мир, 1973.

15. Захаров A.A. Охота в неоднородной среде. В кн.: Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1982,с.3-19.

16. Зельдович Я.Б., Франк-Каменецкий Д.А. Теория равномерного распространения пламени. ДАН СССЕ, 1938, т.19, с.693.

17. Зельдович Я.Б. К теории распространения пламени. Журнал физической химии, 1948, т.22, с.27.

18. Змитренко Н.В., Курдюмов С.IL, Михайлов А.П., Самарский A.A. Возникновение структур в нелинейных средах и нестационарная термодинамика режимов с обострением. М., 1976. - 47 с. (Препринт № 74 ИПМ АН СССР) .

19. Кернер B.C., Осипов В.В. Нелинейная теория стационарных страт в диссипативных системах. ЖЭТФ, 1978, т.74, с.362-376.

20. Кернер B.C., Осипов В.В. Стохастические неоднородные структуры в неравновесных системах. ЖЭТФ, 1980, т.79, с.2218-2238.

21. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. - 464 с.22* Функциональный анализ / Под общ. ред. С.Г.Крейна. М.: Наука, 1972. - 464 с.

22. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов НиС. Исследование уравнения диффузии, соединённого с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической задаче.-Екш. МГУ. Сер. А, 1937, т.1, вып. 6, с.3-28.

23. Колесов Ю.С. Еёзонансы в экологии. В сб.: Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1978, с.26-42.

24. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. -М.: Наука, 1973. 407 с.

25. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. - 575 с.

26. Лизоркин П.И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. М.: Наука, 1981. -381 с.

27. Михайлов В.IL. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. - 391 с.

28. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983. - 397 с.

29. Шймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. Гос. из. технико- теоретической литературы, 1954. - 351 с.

30. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979.

31. Недосекина И.С. Асимптотические решения некоторых задач длядифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Вкн.: Методы малого параметра и их применение: Тезисы лекцийи кратких научных сообщений Всесоюзной школы-семинара. Минск, 1982, с.100.

32. Понтрягин JI.G. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1974. 331 с.

33. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. - 432 с.

34. Рабинович М.И., Сазонтов А.Г. Синергетика. В кн.: Физический энциклопедический словарь. М. : Сов. энциклопедия, 1983, с.686.

35. Разжевайкин В.Н. Неустойчивость стационарных неоднородных решений задачи Коши для квазилинейного параболического уравнения и её экологическое применение. Журнал ВМ и 1980-, т.20, Ж, с.1328-1333.

36. Разжевайкин В.Н. О возникновении стационарных диссипативных структур в системе типа "хищник-жертва". В кн.: Автоволновые процессы в системах с диффузией. - Институт прикладной физики Д&СССР. Горький, 1981.

37. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.: Наука, 1984. - 304 с.

38. Свирежев Ю.М., Пасеков В.Н. Основы математической генетики.-М.: Наука, 1982. 511 с.

39. Овирежев Ю.М., Гигаури A.A., Разжевайкин В.Н. Волны в экологии. В кн;.: Нелинейные волны: Самоорганизация. М.: Наука, 1983.

40. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978.

41. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. - 443 с.

42. Соболевский ILE. Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве. Труды Московского математического общества, 1961, т.10, с.297-350.

43. Скотт А. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.: Сов.радио, 1977.

44. Сербинов И.А., Калафати Ю.Д., Рябов Л.А. Дисеипативные структуры при фазовом переходе полупроводник-металл. Письма ЖТФ, 1980, т.6, с. 196-200;.

45. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск; Изд. СО АН СССР, 1962.

46. Треногин В.А. О решениях типа "перехода" для ДУ в банаховом пространстве. -ICM, Warsaw, ЮвЬ.-Аб&Ж , S6C. 11, р. 50.

47. Чернавский Д.С. Диссипативные структуры в биологии. В кн.: Самоорганизация в физических, химических и биологических системах. Кишинёв: Штиинца, 1984, с.14-22.

48. Хакен Е. Синергетика. М.: Мир, 1980. - 444 с.

49. Хакен Г. Явления перехода и переходные процессы в нелинейных системах. Б кн.: Синергетика / Под ред. Б.В.Кадомцева.-М.: Мир, 1984, с.7-17.55:. Хилле Э., Филлипс В. Функциональный анализ и полугруппы. -М.: ИЛ, 1962.

50. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964.443 с.

51. TifL Р.С.з Me Leed j.b. ш арръжсЖ of ^oíuüonsf nor?£¿t?¿asL d¿0v$¿on ey^Mz-kon*. ío íxa,\/e£¿¿no wave ZotuíConz- duií.dmez. Ma¿¿. íoc. 1№ И 8/9 p Ю76.

52. Feschet R.A. The. u/ave ofi- aJt/asice of admn-hzgeouz dna Euge-nocs, /S57, V- ?, p> 355"-Ъ69.

53. HoAí^c K.P., Roth T. TtAvelÜng. /fonts ¿л попСшеаг diffusion equations. ¡f. Mat/?. áío¿.} J975, к г> p ¿5</~¿65.

54. НепгуЪ. Geome£i¿c tíeóxy. ofosoz6o¿¿c e^ua^oons,. leoS. fi/otes. Ma¿/?. 9mi, v. ш.

55. Тиъии^ IM. Ш cJitrrUccU Sa¿¿«> of tk- Pf)ù£o$. Tbcu?s. Sac. 195Z V.Z57, p. 57-71.