Метод ложных возмущений в обобщенной задаче на собственные значения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Макеева, Ольга Викторовна

• Макеева, Ольга Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Макеева, Ольга Викторовна

Введение

1. Обобщенные жордановы цепочки в теории возмущений дискретного спектра линейных операторов

1.1. Некоторые определения и факты.

1.2. О жордановых цепочках полиномиальной оператор-функции спектрального параметра и ее линеаризации.

1.3. Об одном частном случае теоремы Ф. Реллиха.

1.4. Применение линеаризации по спектральному параметру к устойчивости разветвляющихся решений.

2. Метод ложных возмущений для уточнения приближенно заданных жордановых цепочек в моделях линейных спектральных задач

2.1. Построение моделей ложного возмущения.

2.2. Итерационные процессы вычисления собственного значения и обобщенных жордановых цепочек и их регуляризация

2.2.1. Итерационный процесс Ньютона-Канторовича

2.2.2. Итерационный процесс Ньютона-Канторовича с кубической сходимостью

2.2.3. Итерационный процесс Эйткена-Стеффенсена

2.2.4. Итерационный процесс М. К. Гавурина.

2.2.5. О биортогональности вычисленных ОЖЦ.

2.2.6. О регуляризации итерационных процессов

2.3. Применение метода ложных возмущений.

2.3.1. Одномерная задача со смещением.

2.3.2. Одномерная задача с двумя смещениями.

2.3.3. О применении метода ложных возмущений к решению алгебраических уравнений.

2.3.4. О методе ложных возмущений для аппроксимирующей оператор-функции

2.4. Метод ложных возмущений определения критических точек спектра динамической бифуркации.

2.5. Метод ложных возмущений и спектр Э. Шмидта.

2.5.1. Модельная задача А.

2.5.2. Модельная задача В.

2.5.3. Реализация метода ложных возмущений.

2.6. Прикладные задачи на спектр Шмидта.

2.6.1. Модельные задачи теории электромагнитных колебаний в резонаторах без потерь.

2.6.2. Граничная задача со смещениями для системы ОДУ

2.6.3. Пространственно одномерная динамическая задача со смещением.

3. Метод ложных возмущений в различных обобщениях задач на собственные значения

3.1. Линеаризация по спектральному параметру и метод ложных возмущений.

3.2. Обобщение спектральных задач Э. Шмидта.

3.2.1. Модельная задача С и ее применение.

3.2.2. Модельная задача Б и ее применение

3.3. Связь метода ложных возмущений с аналитическими возмущениями и с дифференциальными уравнениями с вырождением

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод ложных возмущений в обобщенной задаче на собственные значения»

Методы малого параметра имеют существенное значение в вычислительной и прикладной математике, математическом моделировании. Прежде всего, они возникли в регулярных задачах механики, когда главная часть дифференциального выражения вместе с краевыми и начальными условиями представляет собой обратимый оператор в некотором функциональном пространстве. Затем появились задачи, преимущественно в нелинейных явлениях, когда главная часть нелинейного уравнения — линеаризованный оператор, не имеющий обратного. Задачи такого рода относятся к теории ветвления решений нелинейных уравнений, представителем которых явилась задача о фигурах равновесия вращающейся жидкой массы (К. Якоби, А. Пуанкаре, А. М. Ляпунов, Л. Лихтенштейн, Л. Н. Сретенский), а также, задачи по теории волн на поверхности тяжелой жидкости (А. И. Некрасов, Т. Леви-Чивита, Д. Стройк, Н. Е. Кочин). Однако, первая задача такого рода была рассмотрена еще Л.Эйлером — задача о малых изгибах прямолинейного стержня под действием постоянной нагрузки. С возникновением функционального анализа, такие задачи стимулировали исследования по спектральной теории линейных операторов, зависящих от одного или нескольких малых параметров (Ф. Реллих [92], Т. Като [78], Б. Секефальви-Надь [95]). Наиболее полное исследование дискретного спектра фредгольмовых операторов, аналитически зависящих от малого параметра, методом диаграммы Ньютона, выполнено в работе В. А.Треногина [71]. М. К. Гавуриным [12]-[15] были получены неулучшаемае оценки в теории возмущений. Начиная с 50-ых годов прошлого века, ведутся исследования по теории сингулярных возмущений, когда малый параметр является сомножителем главной части дифференциального выражения (А. Н. Тихонов, Коул, А. Б. Васильева, М. И. Вишик и JI. А. Люстерник, М.М.Хапаев, В. Ф. Бутузов, В. А. Треногин).

М.К.Гавурин [16], [17] предложил, основанный на теории возмущений, метод вычисления собственных чисел и векторов линейных операторов, названный методом ложных возмущений. Идея этого метода состоит в построении оператора ложного возмущения Dq , такого, что известные приближения к собственным числам и элементам становятся точными для возмущенного оператора. В работе [16] рассматриваются самосопряженные операторы, действующие в гильбертовом пространстве. Результаты М.К.Гавурина были развиты Ф.Кунертом для простых собственных чисел несамосопряженных операторов. Обзор его работ содержится в [79].Дальнейшее развитие метода ложных возмущений в спектральной теории линейных операторов в банаховых пространствах содержится в работах Б.В.Логинова и Н.А.Сидорова [45], [46]; Б.В.Логинова и Д. Г. Рахимова [41], [42]. Обзор, полученных здесь результатов, представлен в [89]. В [42], [89] был предложен оператор ложного возмущения, позволяющий уточнять обобщенные жордановы цепочки (ОЖЦ) для линейной по спектральному параметру оператор-функции Aq — tA\ без учета ОЖЦ сопряженной оператор-функции. Задача уточнения приближенно заданных собственных чисел, собственных элементов и обобщенных жордановых цепочек прямой и сопряженной задач оператор-функции спектрального параметра в общем случае оставалась нерешенной.

Данная работа посвящен изучению этого общего случая и его приложений в различных спектральных задачах теоретического характера, а также, в модельных задачах вычислительной и прикладной математики.

Первая глава (п. 1.1.) содержит необходимые определения и сведения аппарата обобщенных жордановых цепочек, а также, теории ветвления решений нелинейных уравнений. Необходимость последних вызвана используемыми в работе методами исследования уравнения разветвления в задаче о ветвлении собственных значений, собственных элементов и ОЖЦ фред-гольмовых оператор-функций спектрального параметра.

В п. 1.2. рассмотрены возможности линеаризации полиномиальной оператор-функции спектрального параметра, исследованы соотношения между ОЖЦ оператор-функции и ее линеаризации.

Пункт 1.3. посвящен одному частному случаю теоремы Ф. Реллиха. Методом диаграммы Ньютона установлены некоторые условия, гарантирующие разложения в ряды по целым степеням малого параметра собственных чисел А(е) = Ао + fi(e) и соответствующих собственных элементов задачи на собственные значения А(е)у = X(e)Ry, А(е) = Aq — еА\ — линейная оператор-функция малого параметра.

Пункт 1.4. содержит применеиие линеаризации по спектральному параметру к задачам устойчивости стационарных разветвляющихся решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с фредгольмоdx выми операторами А— = В(е)х — R(x,e), R(0,e) = 0, Де(0,0) = О,

IX i»

В(е) = B + B1£ + B2s2 + . = В + С(Е) и + +

Аг^ = Вх + Нх,^,.,^-1^, \\f(x,xu,.)x^\t)\\ = о(\\х\\), ||я|| = 0^ах 1 lk(fc)|| 0. Установленные здесь результаты обобщают критерии, полученные в работах [44], [90].

В п. 2.1. главы второй предложены варианты моделей ложного возмущения, симметрично использующие приближения ОЖЦ кратного собственного значения линейной оператор-функции. Лемма 2.1. позволяет определить системы элементов £ Щ, ^ биортогональ-ные к приближенно заданным собственным элементам и ОЖЦ прямой и сопряженной {ФмУГ-т^ линейной оператор-функций спек X ^íl /С X трального параметра и определить два вида оператора ложного возмущения, такого, что заданные приближения к собственному числу и ОЖЦ прямой и сопряженной оператор-функций становятся точными для их возмущений (теорема 2.1., следствие 2.1.). Далее методами теории ветвления строится "определитель полноты "обобщенного жорданова набора п

7, §30.3], имеющий точное собственное значение К = p¿-кратным i корнем (К — корневое число, равное сумме длин ОЖЦ), к которому в п. 2.2. применяются различные итерационные процессы вычисления точного собственного значения и отвечающих ему ОЖЦ. Это метод Ньютона-Канторовича (теорема 2.2. (замечание 2.1.)) в его основном (модифицированном) варианте, имеющем квадратичную (линейную) скорость сходимости; итерационный процесс Ныотона-Канторовича с кубической сходимостью (теорема 2.3.); итерационный процесс Эйткена-Стеффенсена с квадратичной скоростью сходимости; итерационный процесс М. К. Гавурина, обладающий сверхлинейной сходимостью (теорема 2.4.). Здесь же устанавливается, что вычисленные ОЖЦ биортогональны с точностью до 0(£и), где е = А — До — разности между точным собственным значением и его приближением, и — номер итерации. Далее предлагается итерационный процесс, использующий технику уравнения разветвления в корневом подпространстве. Также показано, что используемый оператор Э. Шмидта является регуляризатором рассмотренных итерационных процессов.

Пункт 2.3. посвящен приложениям ЛВ-метода. Это одномерная задача со смещением (Бицадзе-Самарского [5]) и" + Хи = 0, и(0) = О, и{хо) = и{ 1), для которой вычислены точные собственные значения и ОЖЦ и проведены вычислительные эксперименты по их уточнению методом ложных возмущений. Листинг программ вынесен в приложение 1. Далее следуют четыре одномерные задачи с двумя смещениями первого и второго рода по В. А. Ильину и Е. И. Моисееву [25], [26]. Приводится иллюстрация метода ложных возмущений (приложение 2). Рассмотрен пример уточнения ЛВ-методом кратных корней полинома. Хотя и считается, что прием замены алгебраического уравнения характеристическим уравнением матрицы Фробениуса нерационален, пример представляется нам интересным, так как здесь, попутно, установлены рекуррентные формулы суммирования и показано, что кратному корню многочлена отвечает собственное значение матричного оператора с жордановой цепочкой, длина которой равна кратности корня. Проведен вычислительный эксперимент (приложение 3). Изложен вариант дискретизации линейной оператор-функции, использующий абстрактную теорию разностных схем [73], [74], с приложением к задаче Штурма-Лиувилля.

В п. 2.4. ЛВ-медот применен для определения чисто мнимого критического собственного значения при динамической бифуркации.

В цикле работ начала ХХ-го столетия по линейным и нелинейным интегральным уравнениям [93] Э. Шмидт ввел системы собственных чисел Хк оператора В : Я Н, учитывая их кратности, и собственных элементов {ipk}i°, {фк}Т, удовлетворяющих соотношениям Bipk = Хифк, В*фк = Хк^Рк и позволяющих обобщить теорию Гильберта-Шмидта на несамосопряженные вполне непрерывные операторы в абстрактном сепа-рабельном гильбертовом пространстве Я [21], [56]. Под названием s-чисел эта система нашла многие применения в вычислительной математике и теории некорректных задач [19]. В статьях [40], [33] было предложено спектральное разложение линейных операторов в гильбертовом пространстве по спектру Шмидта и отмечено, что системы подобного вида встречаются в релятивистской квантовой теории Дирака [57], [32] и при исследовании некоторых проблем электромагнитных процессов [10]. Отметим работу текущего года [6] в которой спектр Э. Шмидта применяется в современных физических теориях.

В п.2.5. определены две модельные задачи на спектр Э.Шмидта. В задаче А для двух линейных операторов В и А в гильбертовом пространстве H введены Л-собственные значения и элементы Шмидта, определяемые равенствами Bip = ХАф, В*ф = ХА*(р. Модельная задача В рассматривает задачу на собственные значения, возникающую в абстрактных системах типа Дирака [32], [64] при нестационарном ветвлении и приводимую к обобщенной задаче на спектр Шмидта. Для обеих задач дана модификация JIB-метода: построены операторы ложного возмущения и описан итерационный процесс Ньютона-Канторовича. Рассмотрены прикладные задачи на спектр Шмидта. Это модельные задачи теории электромагнитных колебаний в резонаторах без потерь, для которых доказана фредгольмовость обобщенных собственных значений Э. Шмидта. Граничная задача со смещением для системы ОДУ u"+Xv—0, v"+Xu=0; w(0)=0, w(£o)—'и{1), и(1)=0, î;(a;o)=v(0), для которой вычислены точные собственные значения и собственные функции. Доказано, что присоединенные элементы отсутствуют. Вычислительный эксперимент, иллюстрирующий ЛВ-метод, выполнен для случая xq=- (приложение 4). Рассмотрена пространл ственно одномерная динамическая задача со смещением, сводящаяся к системе дифференциальных уравнений и" + и = iav, v" + v = —iau со смещениями в граничных условиях и(0) = 0, и(хо) = и( 1), г;(1) = 0, = v(0). Проведен вычислительный эксперимент по иллюстрации Л Вметода (приложение 5).

В главе3, в п. 3.1. рассмотрены различные обобщения задач на собственные значения с последующим применением метода ложных возмущений. В п. 3.1. выполнена линеаризация задачи на собственные значения A(t)X = 0, A{t) G L{E\ —> Е2}, t E (a, b) в банаховых пространствах последовательностей 1Р(Е{), i = 1,2. По заданным приближениям к собственному числу Л и ОЖЦ ? Ф{о ' г ~ 1, • • •, ™ ) s = 1,Pi построены их приближения для линеаризованной задачи и по схеме п. 2.1. построены модели ложного возмущения с описанием итерационных процессов М. К. Гавурина и Ньютона-Канторовича.

В п. 3.2. предложены обобщения спектральных задач Э. Шмидта. В модельной задаче С определены А-собственные значения и соответствующие им ОЖЦ для системы s операторов Bi,B2,.-,Bs. Модельная задача D является обобщенной задачей на собственные значения Шмидта полиномиальной оператор-функции спектрального параметра.

В п. 3.3. отмечены связи JlB-метода с теорией возмущений дискретного спектра и дифференциальными уравнениями в банаховых пространствах с необратимым оператором при производной. Предложены общие схемы модификации ЛВ-метода.

В приложениях, все программы, реализующие численное решение рассмотренных задач, выполнены с применением системы компьютерной математики Maple 9.5.

Всюду ниже формулы, теоремы, леммы, следствия и замечания имеют сквозную нумерацию внутри каждой главы: первая цифра соответствует номеру главы, вторая — номеру утверждения.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Макеева, Ольга Викторовна

Заключение

1. Следуя идее М. К. Гавурина, для линейной оператор-функции спектрального параметра построены модели ложного возмущения, симметрично использующие приближения к кратному собственному значению и обобщенным жордановым цепочкам, такие, что эти приближения становятся точными для возмущенной оператор-функции.

2. На основе общей теории возмущений дискретного спектра фред-гольмовых операторов предложены итерационные процессы последующего уточнения указанных приближений с оценкой скорости их сходимости.

3. Дано развитие ЛВ-метода в применении к спектральным задачам Э. Шмидта с линейным вхождением спектрального параметра.

4. Рассмотрены модификации ЛВ-метода для спектральных задач нелинейно зависящих от параметра на основе их линеаризации в виде матричных операторов.

5. Даны иллюстрации ЛВ-метода с соответствующими численными экспериментами в применении к одномерным задачам с одним и двумя смещениями; для определения чисто мнимых критических собственных значений в задачах динамической теории ветвления; в спектральных задачах Э. Шмидта с приложениями к модельным задачам теории электромагнитных колебаний, к граничной задаче со смещением для системы ОДУ, к пространственно одномерной динамической задаче со смещением; для уточнения корней алгебраических уравнений.

6. Отмечена связь метода ложных возмущений с аналитическими возмущениями и дифференциальными уравнениями с необратимым оператором при производной.

В перспективе предполагается детальное выполнение схем последнего пункта, а также исследование спектральных разложений по спектру

Э. Шмидта и некоторых других прикладных задач математической физики, в частности при решении задач теории резонаторов, обладающих определенной групповой симметрией. Результаты линеаризации полиномиальной оператор-функции спектрального параметра предполагается использовать для обобщения методов А. Н. Крылова, Леверрье, Д. К. Фаддеева.

Соискатель выражает искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Борису Владимировичу Логинову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Макеева, Ольга Викторовна, 2007 год

1. Аржаных И. С. Интегральные уравнения основных задач теории поля и теории упругости. Ташкент: АН УзССР. 1954.

2. Аржаных И. С. Обращение волновых операторов. Ташкент: ФАН. АН УзССР. 1962. 164 с.

3. Аржаных И. С., Гугнина В. И. Распространение методов Крылова, Ле-веррье и Фаддеева на полиномиальные матрицы // Труды ин-та математики им. В. И. Романовского. АН УзССР. Ташкент. 1962. Вып. 24. С. 33-67.

4. БайковВ.А., ГазизовР. К., ИбрагимовН. X. Методы возмущений в групповом анализе. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР) М.: 1989. Т. 34. С. 85-147.

5. БицадзеА.В. К теории нелокальных краевых задач // Доклады АН СССР. 1984. Т. 277. №1. С. 17-19.

6. Богданов А. Ю., БогдановЮ. И., ВалеевК.Л. Информация Шмидта и запутанность квантовых систем // Вестник МГУ. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2007. №1. С. 37-49.

7. ВайнбергМ. М., ТреногинВ.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука. 1969. 524 с.

8. ВайниккоГ. М., Карма О. О. О быстроте сходимости приближенных методов в проблеме собственных значений с нелинейным вхождением параметра // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1974. Т. 14. №6. С. 1393-1408.

9. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. М.: Радио и Связь. 1988. 440 с.

10. Власов А. А. Макроскопическая электродинамика. М.: ГТИ. 1955.

11. ВольманВ.И., Пименов Ю. В. Техническая электродинамика. М.: Связь. 1971. 488 с.

12. Гавурин М. К. О собственных числах операторов, зависящих от параметра // ДАН СССР. 1951. Т. 76. №6. С. 769-770.

13. Гавурин М. К. О собственных числах операторов, зависящих от параметра // Вестник МГУ. 1952. №9. С.77-95.

14. Гавурин М. К. Об оценках собствен пых чисел и векторов возмущенного оператора // ДАН СССР. 1954. Т. 90. №0. С. 1093-1095.

15. Гавурин М. К. О точности прилиженных методов разыскания собственных чисел интегральных операторов ,// ДАН СССР. 1954. Т. 97. №1. С. 13-15.

16. Гавурин М. К. О методе ложных возмущений для нахождения собственных значений /7 Жури, вычисл. математики и мат. физики. 1961. Т.1. №5. С. 751-770.

17. Гавурин М. К. О плохо обусловленных системах линейных алгебраических уравнений // Жури, вычисл. математики и мат. физики. 1962. Т. 2. №3. С. 387-397.

18. Гавурин М. К. Лекции но методам вычислений. М.: Наука. 1971.

19. Годунов С. К., Антонов А. Г., Кирилкж О. П., Костин В. И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. М.: Наука. 1988.

20. ГугиинаВ. И. Дополнение к теореме И.С.Аржаных о полиномиальных матрицах // Доклады АН УзССР. 1961. №1. С. 3-6.

21. ГурсаЭ. Курс математического анализа. Т. 3. 4.2. Интегральные уравнения. ОНТИ. М. 1935.

22. Давиденко Д. Ф. О приближенном решении систем нелинейных уравнений // Украинский матем. журнал. 1953. Т. 5. №2. С. 196-206.

23. Давиденко Д. Ф. О применении метода вариации параметра к построению итерационных формул повышенной точности для определения численных решений нелинейных интегральных уравнений // ДАН СССР. 1965. Т. 162. №3. С. 499-502.

24. ЗагускинВ.Л. Справочник по численным методам решения уравнений. М.: Физматгиз. 1960. 216 с.

25. Ильин В. А., Моисеев В. И. Нелокальные краевые задачи первого рода для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. №7. С.1198-1207.

26. Ильин В. А., Моисеев В. И. Нелокальные краевые задачи второго рода для оператора Штурма-Лиувилля // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. №8. С. 1422-1431.

27. Ильинский А. С., СлепянГ. Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. Изд-во МГУ. 1983. 232 с.

28. Ким-ТянЛ.Р., Логинов Б. В., Макаров М.Ю. Устойчивость разветвляющихся решений бифуркации Андронова-Хопфа для дифференциальных уравнений с вырожденным оператором при старшей производной // Труды Средневолжского матем. об-ва. 2004. Т. 6. №1. С. 82-95.

29. КоноплеваИ. В., Логинов Б. В., Макеева О. В. Линеаризация по спектральному параметру в теории возмущений // Труды Средневолжского матем. об-ва. 2005. Т. 7. № 1. С. 105-113.

30. КошляковН. С., ГлинерЭ. Б., СмирновМ.М. Уравнения в частных производных в математической физике. М.: Высшая школа. 1970. 712 с.

31. Кузнецов А. О. Об одной модификации метода Ньютона и ее использовании для уточнения собственных векторов линейных операторов //

32. В сб. "Уравнения смешанного типа и задачи со свободной границей". Ташкент: ФАН. АН УзССР. 1987. С. 196-201.

33. Левитан Б. М., СаргсянИ.С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука. 1970.

34. Логинов Б. В. О нахождении собственных чисел и фундаментальных элементов Шмидта вполне непрерывного оператора в гильбертовом пространстве // Доклады АН УзССР. 1965. № 1. С. 5-8.

35. Логинов Б. В. Уравнение разветвления в корневом подпространстве: групповая симметрия и потенциальность // Межвуз. сборник научных трудов "Функциональный анализ". Ульяновск: УлГПУ. 1994. Вып. 35. С.16-28.

36. Логинов Б. В., Макеева О. В. Об одной спектральной задаче Э.Шмидта со смещениями в граничных условиях // Вестник Сам ГУ — Естественнонаучная серия. Математика. Самара: Сам ГУ.2006. X2 9. С. 14-18.

37. Логинов Б. В., МакееваО.В. Метод ложных возмущений в применении к спектральным задачам Э. Шмидта // Вестник СамГТУ. Серия "Математическая". Самара: СамГТУ. 2007. №. 1(5). С. 65-74.

38. Логинов Б. В., Поспеев В. Е. О собственных числах и векторах возмущенного оператора // Известия АН УзССР. 1967. №6. С. 29-35.

39. Логинов Б. В., Рахимов Д. Г. Об уточнении собственных значений и собственных векторов аналитической оператор-функции методом ложных возмущений // Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. 1977. №1. С.12-20.

40. Логинов Б. В., Рахимов Д. Г. О методе ложных возмущений при наличии обобщенных жордановых цепочек // Дифференциальные уравнения и их приложения. Ташкент: Фан. 1979. С. 113-125.

41. Логинов Б. В., Русак Ю. Б. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления // В сб. "Прямые и обратные задачи для уравнений с частными производными". Ташкент: Фан. 1978. С. 133-148.

42. Логинов Б. В., Сидоров А. Н. Вычисление собственных чисел и векторов ограниченных операторов методом ложных возмущений // Матем. заметки. 1976. Т. 19. № 1. С. 4-12.

43. Логинов Б. В., СидоровА. Н. О вычислении собственных чисел и собственных векторов линейной оператор-функции методом ложных возмущений // Известия АН УзССР. Физ.-мат. 1977. №5. С. 26-29.

44. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука. 1964.

45. Макеева О. В. К теореме Ф.Реллиха о возмущении линейной оператор-функции спектрального параметра // Прикладная математика и механика: Сборник научных трудов. Ульяновск: УлГТУ. 2004. С.30-33.

46. Макеева О. В. О жордановых цепочках полиномиальной оператор-функции спектрального параметра и ее линеаризации // Меж-вуз. сборник научных трудов "Функциональный анализ". Ульяновск: УлГПУ. 2005. Вып. 39. С. 31-38.

47. Макеева О. В. О методе ложных возмущений определения критических точек спектра при бифуркации Андронова-Хопфа // Меж-вуз. сборник научных трудов "Функциональный анализ". Ульяновск: УлГПУ. 2005. Вып. 39. С. 39-41.

48. Макеева О. В. Применение метода ложных возмущений к одномерной задаче Бицадзе-Самарского на собственные значения // Вестник Ульяновского государственного педагогического университета / сборник. Ульяновск: УлГПУ. 2006. Вып. 2. С. 58-61.

49. Макеева О. В. Фредгольмовость задачи о собственных колебаниях резонатора без потерь // Вестник СамГТУ. Серия "Математическая". Самара: СамГТУ. 2007. №.1(5). С. 75-77.

50. Макеева О. В. Метод ложных возмущений в спектральных задачах Э.Шмидта — Саранск: Средневолжское математическое общество, 2007, препринт № 105.

51. Макеева О. В., Рахимов Д. Г. О методе ложных возмущений для аппроксимирующей оператор-функции в задачах на собственные значения // Вестник Ульяновского государственного технического университета. Ульяновск: УлГТУ. 2005. С. 17-19.

52. Могилевский Ш. И. О представлении вполне непрерывных операторов в абстрактном сепарабельном гильбертовом пространстве // Известия ВУЗов. Математика. 1958. №3(4). С. 183-186.

53. МоттН. Ф., СнеддонИ.Н. Волновая механика и ее приложения. М.: ИЛ. 1970.

54. НаймаркМ. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1975.

55. Никольский В. В. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1974. 544 с.

56. Ортега Дж. М., Рейнболдт В. К. Итерационные методы решения нелинейных уравнений со многими переменными. М.: Мир. 1975. 558 с.

57. Островский А. М. Решение уравнений и систем уравнений. М.: ИЛ. 1963. 220 с.

58. ПустылышкЕ. И. Об одном представлении линейных вполне непрерывных операторов, действующих в пространстве Банаха // Известия ВУЗов. Математика. 1960. №2(15). С. 149-153.

59. Русак Ю. Б. Некоторые соотношения между жордановыми наборами аналитической оператор-функции и сопряженной к ней // Известия АН УзССР. Сер. физ.-мат. 1978. №2. С. 15-19.

60. Саргсян И. С. Разложение по собственным функциям одномерной системы Дирака // ДАН СССР. 1966. Т. 166. С. 1292-1295.

61. Сидоров Н. А. Вычисление собственных значений и собственных векторов линейных операторов на основе теории возмущений // Дифферент уравнения. 1978. Т. 14. №8. С. 1522-1525.

62. СидоровН. А, Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та. 1982. 312 с.

63. Сидоров А. Н., Треногин В. А. Об одном подходе к проблеме регуляризации на основе возмущений линейных операторов // Матем. заметки. 1976. Т. 20. №5. С. 747-752.

64. Слепян Г. Я. К расчету собственных электромагнитных колебаний тел вращения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1977. Т. 17. №3. С. 776-780.

65. СливаВ. В. О движении собственных значений диссипативного пучка операторов // Матем. заметки. 1993. Т. 53. №4. С. 153-155.

66. ТихоновА. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1978. 736 с.

67. Треногин В. А. Возмущение собственных значений и собственных элементов линейных операторов // ДАН СССР. 1956. Т. 167. №3. С. 519520.

68. Треногин В. А. Периодические решения и решения типа перехода в абстрактных уравнениях реакции-диффузии // Вопросы квантовой теории ДУ. Новосибирск. Наука. СО АН СССР. 1988. С. 134-140.

69. Треногин В. А. Приближения на семействах банаховых пространств и разрешимость линейных уравнений // ДАН СССР. 1971. Т. 201. №6. С. 1288-1291.

70. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.:Наука. 1980. 495 с.

71. Шалашилин В. И., Кузнецов Е. Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация. М.: Эдиториал УРСС. 1999. 222 с.

72. HrynivR., Lancaster P. On the perturbation of analytic matrix functions // Integral Equations and Operator Theory. 1999. V.34. P. 325-338.

73. KarasozenB., KonoplevaL, LoginovB. Hereditary symmetry of resolving systems for nonlinear equations with Fredholm operators // Nonl. Anal. Appl.: to V. Lakshmikantham on his 80-th Birthday. Kluwer Acad. Publ. Dordrecht. V. 2. 2002. P. 617-644.

74. KatoT. On the convergence of the perturbation method I; II // Progr. Theor. Thys. 1949. V.4. P. 514-523; 1950. V.5. P. 95-101,207-212.

75. Kuhnert F. Die Pseudoperturbation method // Math. Forschungsberichte. 1971. Bd. 26. S. 1-119.

76. LoginovB. V. Determination of the branching equation by its symmetry-Andronov-Hopf bifurcation // Nonlinear Analysis. TMA. 1997. V.28. № 12. P. 2033-2047.

77. LoginovB. V., Konopleva I. V. On the regularization of pseudoperturbation method for the sharpening of approximately given Jordan chains // Proc. Appl. Math. Mech. 2003. V.3. P. 143-144.

78. Loginov В. V., Makeeva О. V. Pseudoperturbation method in some aspects of generalized eigenvalue problems // Труды Средневолжского матем. об-ва. 2006. Т. 8. №1. С. 83-90.

79. LoginovB.V., MakeevaO.V. On some aspects of pseudoperturbation method in generalized eigenvalue problem // Сборник научных трудов "Прикладная математика и механика". Ульяновск: УлГТУ. 2007. С. 166-173.

80. Loginov В. V., Makeeva О. V., FoliadovaE. V. On the sharpening of approximately given generalized Schmidt' eigenvalues of linearen operators by pseudoperturbation method // Межвуз. сборник научных трудов

81. Функциональный анализ". Ульяновск: УлГПУ. 2005. Вып. 39. С. 2130.

82. LoginovB.V., MakeevaO.V., Foliadova E. V. Pseudo-perturbation method for computation of E. Schmidt eigenvalue // GAMM-2006. Tech. Univ. Berlin. 27-31.03 2006. Germany. Book of Abstracts. P. 370.

83. LoginovB.V., MakeevaO.V., Foliadova E. V. Pseudo-perturbation Method for Computation of E. Schmidt Eigenvalues // PAMM (Proc. Appl. Math. Mech.) 2006. V. 6. Is 1. P. 643-644.

84. LoginovB.V., RakhimovD.G., SidorovN.A. Development of M. K. Gavurin's pseudoperturbation method // Fields Institute Communications. 2000. V.25. P. 367-381.

85. Loginov В. V., Rousak Yu. B. Generalized Jordan structure in the problem of the stability of bifurcating solutions // Nonl. Anal. TMA. 1991. V. 17. №3. P. 219-231.

86. MakeevaO.V. Pseudoperturbation method for the determination of spectral parameter critical value in abstract Dirac type systems at dynamic bifurcation // Межвуз. сборник научных трудов "Функциональный анализ". Ульяновск: УлГПУ. 2005. Вып. 39. С. 44-51.

87. Reilich F. Störungstheorie der Spektralzerlegung. I-V // Mathematische Annallen. 113(1936). S. 66-619; 113(1936). S. 667-685; 116(1939). S. 555570; 117(1940). S. 356-382; 118(1942). S.462-484.

88. Schmidt E. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. Teilen 1-3 // Mathematische Annallen. 1905-1908. Bd. 63-65.

89. Stummel F. Discrete konvergenz linearer Operatoren //I. Mathematische Annallen. 1970. B. 190. №1. S. 45-92; II. Mathematische Zeitschrift. 1971. Bd. 120. №3. S. 231-264.

90. Szokefalvi-Nagy B. Perturbations des transformations autoadjoints dans l'espace de Hilbert // Comm. Math. Helv. 1946-1947. №19. P. 347-366.

91. Varhelyi A. On the improved Newton method for the solving of nonlinear real equations // Ann. Univ. sci. Budapest. Sec. computator. 1982. V. 3. P. 85-91.

92. Yudovich V. I. Investigation of autooscillations of continua arising at the loosing of stability of stationary regime // Prikl. Mat. Mekh. 1972. 36(3). P. 450-459; English transl. in. J. Appl. Math. Mech. 1972. 36.