Ресургентность и асимптотики решений вырождающихся уравнений с голоморфными коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Кац, Дмитрий Сергеевич

• Кац, Дмитрий Сергеевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Кац, Дмитрий Сергеевич

Оглавление

Стр.

Введение

Глава 1. Ресургентность решений уравнений с голоморфными

коэффициентами

1.1 Основные определения

1.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.3 Уравнения в частных производных

Глава 2. Вычисление коэффициентов асимптотик решений

уравнений, основные символы которых имеют только

простые корни

2.1 Коэффициенты а] и а^

2.2 Коэффициенты ряда

2.2.1 Случай младших вырождений

2.2.2 Случай старших вырождений

2.3 Пример построения асимптотики решения уравнения с иррегулярной особой точкой

Глава 3. Асимптотики решений уравнений с кратными

корнями в основном символе

3.1 Уравнения с постоянными коэффициентами символа оператора

3.2 Уравнения с коническим вырождением в ^-представлении

Глава 4. Вычисление ^-преобразования Лапласа-Бореля

функции ехр(а/гп)

4.1 Построение системы уравнений

4.2 Модельный пример

4.3 Общий случай

4.4 Пример построения асимптотики решения неоднородного уравнения

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ресургентность и асимптотики решений вырождающихся уравнений с голоморфными коэффициентами»

Введение

Актуальность темы. В работе рассматривается задача построения асимптотик решений линейных дифференциальных уравнений с голоморфными коэффициентами в окрестности иррегулярной особой точки. Данная задача является классической, однако, представляющей существенную сложность и в общем случае все еще не решенной. Рассмотрению данной задачи посвящены главы в книгах Ф. Олвера [1], Э.Л. Айнса [2], Л. Чезари [3], Э.А. Коддинг-тона и Н. Левинсона [4]. Случай, когда особенность в рассматриваемой точке является иррегулярной, представляет существенно большую трудность для исследования, чем случаи неособой или регулярной точки, однако, он является очень важным, так как уравнения именно с такими особенностями возникают, например, при рассмотрении задач на многообразиях с особенностями типа клюва. Кроме того, для уравнений с коэффициентами, голоморфными в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки, последняя также будет являться иррегулярной особой точкой. Случай регулярной особой точки хорошо известен (см. упомянутые книги, а также, например, [5]) ив данной работе рассматриваться не будет. В перечисленных книгах построены асимптотические разложения решений некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестностях иррегулярных особых точек, однако, была оставлена открытой проблема интерпретации получавшихся расходящихся рядов.

В конце 80-х годов прошлого века был получен аппарат пригодный для суммирования подобных рядов, основанный на преобразовании Лапласа-Боре-ля и понятии ресургентной функции, впервые введенном французским математиком Ж. Экалем, называемый ресургентным анализом [6—9]. В последствии данный аппарат получал развитие и находил применение в работах того же автора [10—13].

Основы ресургентного анализа и теории преобразования Лапласа-Бореля можно найти в книге [14], а также в трехтомнике, посвященном расходящимся рядам и ресургентности [15—17].

В середине 1990-х-начале 2000-х годов ресургентный анализ активно применялся математиками Б.-В. Шульце, Б.Ю. Стерниным и В.Е. Шаталовым для исследования вырождающихся уравнений, получающихся при рассмотрении за-

дач на многообразиях с особенностями типа клюва. В некоторых частных случаях им удалось доказать фредгольмовость вырождающихся дифференциальных операторов, действующих в весовых пространствах Соболева, а для некоторых уравнений удалось построить асимптотики решений в этих пространствах [18— 27].

Методы ресургентного анализа применялись О. Костиным и М.Д. Крус-калом для исследования асимптотик линейных уравнений второго порядка и некоторых нелинейных уравнений [28]. Кроме того, в работах [29—32] с их помощью изучались свойства решений некоторых линейных уравнений второго порядка с особенностями в коэффициентах. Окончательно с помощью методов ресургентного анализа проблема построения асимптотик вырождающихся однородных линейных ОДУ второго порядка с произвольными голоморфными коэффициентами была решена в работе М.В. Коровиной [33]. С некоторыми ограничениями данный результат в той же работе был обобщен на уравнения второго порядка в частных производных.

Помимо этого, методы ресургентного анализа использовались для исследования нелинейных уравнений и систем в таких работах, как, например, [17; 34].

В 2010-х годах ^-преобразование Лапласа-Бореля и ресургентный анализ активно применялись для изучения уравнений с вырождениями типа клюва, т.е. уравнений вида

н (г' -1 г"+1 и(г) = £ °'(г) (-1гк+11)' и(г) =1 (г)' (1'

где и(г) — неизвестная функция, к € М, а ат(г) — голоморфные коэффициенты, причем ап(0) = 0. Для таких уравнений ^-ресургентность решений при условии ^-ресургентности правой части была доказана в 2010-2011 годах в работах М.В. Коровиной и В.Е. Шаталова [35—37] (также стоит отметить вышедшую в 2005-м году работу [38], где ресургентность была доказана для ВКБ решений линейных ОДУ с особенностью ранга 1 на бесконечности). После этого вырождающиеся дифференциальные уравнения в пространствах пространствах ^-ресургентных функций активно исследовались в работах М.В. Коровиной [33; 39—44]. В этих работах для оператора Н, стоящего в левой части уравнения (1)

было введено понятие основного символа, являющегося аналогом понятия главного символа в теории эллиптических уравнений.

Основным символом оператора Н называется многочлен

Но(р) = Н (0, р) = ^аг(0 )р \

%=о

В цитированных работах было показано, что от наличия или отсутствия у полинома Н0(р) кратных корней в значительной мере зависит вид асимптотик решений уравнений (1). В работах [35; 40; 43] был найден вид асимптотик решений таких уравнений в нерезонансном случае при условии простоты корней основного символа оператора Н. Отсутствие резонанса означает, что хотя правая часть и может иметь особенности вида

ехр Д + Е § К' Е

\ ¡=1 / ¿=0

но ни одно из чисел А^ не совпадает ни с одним из корней основного символа оператора Н. В работах М.С. Волнухина [45; 46] был получен вид асимптотик решений уравнений (1) в случае резонанса, также при условии простоты корней полинома Н0(р), но только для уравнений с т.н. младшими вырождениями, т.е. для случая к = 1.

Случай, когда многочлен Н0(р) обладает кратными корнями является существенно более сложным для исследования. Для него в работе [33] были найдены асимптотики решений однородных уравний второго порядка, а работе [39] был предложен т.н. метод повторного квантования, позволяющий приступить к исследованию вырождающихся уравнений с кратными корнями в основном символе в общем случае, в т.ч. и уравнений порядка выше второго.

Стоит также отметить, что в перечисленных работах было показано, что многие результаты, полученные с помощью ресургентного анализа, для обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть обобщены на случай уравнений с частными производными. Так, в работах [35—37] были сформулированы условия ^-ресургентности решений УЧП с вырождениями типа клюва, а в работах [33; 35; 40; 43; 45; 46] результаты, связанные с построением асимптотик решений ОДУ, также с некоторыми дополнительными ограничениями были пе-

ренесены на случай уравнений в частных производных. Кроме того, в работе [33] были построены асимптотики решения уравнения Лапласа, заданного на многообразии с особенностью типа клюва -го порядка.

Целями данной работы являются

1. Обобщение теорем М.В. Коровиной и В.Е. Шаталова о ресургентности решений уравнений с вырождениями в символе [35—37] на случай произвольных линейных уравнений с голоморфными коэффициентами

2. Получение явных формул для вычисления коэффициентов в асимптотических разложениях решений однородных ОДУ, имеющих только простые корни в основном символе, вид которых был найден в работах М.В. Коровиной и В.Е. Шаталова [35; 43]

3. Построение решений уравнений с вырождениями в символе в случае, когда коэффициенты символа вырождающегося оператора Н, стоящего в левой части уравнения, являются постоянными, т.е. когда уравнение принимает вид

для любого полинома Н(р), в т.ч. обладающего кратными корнями.

4. Построение асимптотик решений уравнений, которые применением преобразования Лапласа-Бореля сводятся к уравнениям с коническим вырождением, исследованным в работах В.А. Кондратьева [5]

5. Вычисление ^-преобразования Лапласа-Бореля функции ехр(а/гп)

Научная новизна:

1. Обобщены результаты М.В. Коровиной и В.Е. Шаталова о ресургент-ности решений уравнений с вырождениями в символе на уравнения с голоморфными коэффициентами общего вида

2. Для полученных ранее в работах М.В. Коровиной и В.Е. Шаталова асимптотик решений однородных ОДУ, имеющих только простые корни в основном символе найдены явные формулы для вычисления коэффициентов

3. Построены неизвестные ранее асимптотики решений некоторых категорий вырождающихся дифференциальных уравнений

4. Построены асимптотические разложения ^-преобразований Лапласа-Бореля функций вида ехр(а/гп)

Теоретическая и практическая значимость Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут применяться для дальнейшего развития общей теории уравнений с иррегулярными особенностями. Кроме того, они могут применяться для решения задач на многообразиях с особенностями типа клюва. Вычисленные ^-преобразования Лапласа-Бореля функций вида ехр(а/гп) могут быть использованы для исследования вырождающихся неоднородных уравнений с помощью методов ресургентого анализа.

Ыетодология и методы исследования. Основными методами, применяемыми в работе являются методы ресургентного анализа, основанные на преобразовании Лапласа-Бореля, созданные Ж. Экалем изначально для суммирования расходящихся рядов [6—9], но в последствии успешно применявшимися для построения асимптотик решений уравнений с вырождениями.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Сформулированы и доказаны теоремы о ^-ресургентности решений линейных ОДУ и УЧП с голоморфными коэффициентами. Показано, что такие уравнения сводятся к уравнениям с вырождением типа клюва порядка к. Получена формула выражающая минимальное к через коэффициенты уравнения

2. Получены явные формулы, выражающие коэффициенты в асимптотических разложениях решений однородных ОДУ, имеющих только простые корни в основном символе, через коэффициенты уравнения. Показано, что каждый компонент асимптотики решения, отвечающий простому корню основного символа оператора, стоящего в левой части уравнения определен с точностью до множителя

3. Найдены решения уравнений с вырождениями в символе в случае, когда коэффициенты символа оператора Н являются постоянными

4. Построены асимптотики решений уравнений, которые применением преобразования Лапласа-Бореля сводятся к уравнениям с коническим вырождением

5. Найдены асимптотические разложения ^-преобразований Лапласа-Бореля функций вида ехр(а/гп)

Достоверность результатов данной работы обеспечивается строгостью математических доказательств и использованием апробированных научных ме-

тодов. Результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:

— Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 2012 год)

— Научная конференция «Тихоновские чтения» (Москва, 2013, 2015 годы)

— Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2012, 2014, 2016 годы)

— Научно-исследовательский семинар «Спектральная теория дифференциальных операторов и актуальные вопросы математической физики» под руководством акад. РАН Е.И. Моисеева и проф. И.С. Ломова (Москва, 23 ноября 2015 года)

Личный вклад. Личный вклад автора заключается в формулировке и доказательстве теоретических результатов. Научный руководитель М.В. Коровина является автором постановок задач и предложений по использованию подходов к их исследованию.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 9 печатных изданиях, 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [47—49], 6 —в сборниках тезисов: работы [50—54] — тезисы докладов, работа [55] опубликована в сборнике тезисов лучших дипломных работ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 92 страницы, включая 1 рисунок. Список литературы содержит 56 наименований.

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формулируются цели работы и основные положения, выносимые на защиту; обосновываются научная новизна, а также теоретическая и практическая значимость представляемой работы.

В главе 1 рассматриваются уравнения вида

лл i d d 2 d „ d д \ , , ч

л г, ——, ——, — —,..., —ч—,х, —— и(г, х) = j(r, х), (2) \ dr dr dr dr ох J

где X — дифференциальный оператор с голоморфными коэффициентами, причем х меняется на некотором компактном многообразии без края. Т.е. речь идет о линейных дифференциальных уравнениях с голоморфными коэффициентами, возможно, вырождающимися в нуле.

Исследуется вопрос существования £;-ресургентных решений таких уравнений при условии ^-ресургентности правой части.

В параграфе 1.1 приводятся определения /^-преобразования Лапласа-Бореля и -ресургентной функции, используемые в данной работе.

В параграфе 1.2 рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения. Они имеют вид

п ^т

1>2ат (г)агт и(г) = 1(г), (3)

т=0

где и(г) — неизвестная функция, а ат — коэффициенты, представимые в виде ат(г) = гЧтст(г), где функции ст(г) — голоморфные, и ст(0) = 0. Доказывается, что при

, . , ^ Г Яп- Чп-2 Яп- Яп-3 Яп- Яо\ /-Х

к + 1 > шах| - дп-1,-2-,-§-—~—/ (4)

такие уравнения представимы в виде

(Т.^г)^- 1гк+1 + ао(гМ и(г)= гп(к+1)~(г),

\т=1 /

(5)

где функции ат(г) — голоморфные, причем ап(0) = 0. Найдены формулы, выражающие функции ат(г) через коэффициенты исходного уравнения:

а0(г) = гп(к+1)~Чп а0(г),

ат(г) = -1 (г(п-т)(к+1)-Чпат(г) - Сп(г)Ыгк(п-т)-- ... - Ст+1(г)Ь1т+1гк),т = 1,п.

С помощью этого факта, а также результатов работ Коровиной и Шаталова [35; 37] доказывается

Теорема 0.0.1. Пусть к удовлетворяет условию (4). Тогда, если в уравнении (3) функция /(г) к-ресургентна, то решения этого уравнения тоже к-ресургентны.

Отоит отметить, что минимальное целое к, удовлетворяющее условию (4) определяет тип особенности уравнения в нуле: если минимальное целое к отрицательно, то нуль является неособой точкой; если минимальное целое к равно нулю, то особенность будет регулярной; если же минимальное целое к является положительным, то уравнение в нуле будет иметь иррегулярную особенность.

В параграфе 1.3 данные результаты обобщаются на случай уравнений в частных производных. Для этого уравнения (2) интерпретируются, как уравнения относительно функций со значениями в банаховых пространствах, а именно

d d 2 d _ d \

А Г,--—, — —, — —, . . . , —Ч— и = }. (6)

\ dr dr dr dr)

Здесь, и е Еь(5д,£, Вх), / е Е^(£д,е, В2), где Вг и В2 — некоторые банаховы пространства (например, пространство то есть, функция и имеет не более, чем к-экспоненциальный рост при г ^ 0. При фиксированных г и р0, рг,...,ря, оператор, действующий в банаховых пространствах,

Х(г,ро,рг,...,рч) : В\ ^ В2

полиномиально зависит от р0,рг,...,ря и является ограниченным.

Оператор X имеет вид

d d .2 А _^ = ^ А ЛИ о dm

X (г, —d, — А, — 2 А,..., — <* = "У хт(г)

V ' dr' dr' dr' ' dr / m dr

4 ' m=0

где Xm(г) — операторозначные функции, голоморфно зависящие от г, предста-вимые в виде

Хт(г)и = Ут(г)гЯти, qm е Z

где Ym(r) — операторозначные функции, голоморфно зависящие от г, не являющиеся нулевыми при г = 0. При фиксированном г, Ym(r) : В\ ^ В2 — ограниченные операторы действующие в банаховых пространствах. Доказана

Теорема 0.0.2. Пусть число к удовлетворяет условию (4). Для уравнения (6), пусть операторное семейство

п

Й0(р) = к)т (limг—(ъ-(п-т)(к+1))Хт{г)^ рт

т=0

является фредгольмовым. Пусть также, существует некоторый конус в C, содержащий мнимую ось и свободный от точек спектра Н0(р) при достаточно большом \р\.

Тогда, если правая часть уравнения (6) k-ресургентна, то решения этого уравнения существуют и к-ресургентны.

Результаты главы 1 изложены в работах [47; 50; 51]. Глава 2 посвящена исследованию асимптотик решений однородных уравнений вида (5), т.е. уравнений вида

н (?• - Гk+1 i)u{r) =f £а'{г) (-rk+1 i )'и{г) = (7)

при условии наличия у полинома Н0(р) = Н(0,р), называемого основным символом оператора Н, только простых корней. В ней уточняются результаты, ранее полученные в работах М.В. Коровиной и В.Е. Шаталова [35; 43], где был найден вид асимптотических разложений в нуле решений таких уравнений: было показано, что ресургентная функция и(г) представляется в виде

и(г) = ^2из (г)> (8)

где сумма берется по объединению pj корней полинома Н0(р), а функции Uj(р) имеют в нуле асимптотические разложения

Uj (г) = exp raj ^^ sjr1,

в случае = 1 и

=0

/ к—1 j \ ж

Щ+Е т—гК'

к к -

=1 =0

Uj (r) = exp[ fj: + 2j 7 ко^

в случае к > 1. Здесь оо>к_1, , в? — некоторые числовые коэффициенты. В этих работах коэффициенты от^ и а^ были найдены для случаев к = 1 и к = 2.

В главе 2 коэффициеты а^, о и в? в выписанных асимптотиках вычисляются для произвольного натурального к. При этом доказывается, что каждый компонент асимптотики решения уравнения (7), отвечающий простому корню полинома Н0(р), определен с точностью до множителя.

Параграф 2.1 посвящен вычислению коэффициентов « и о^ .В нем доказывается, что они выражаются через элементы разложения символа оператора Н в ряд Тейлора

Н(г,р) = Но(р) + гНг(р) + г2Н2(р) + ..., с помощью систем уравнений

Н1(й-) + ¥НО & К-1 = 0

Н2(й) + ^ Н1 (р, К- + ^ НО (д )о4-2+

+2 (¥ )2нО(^ ж-г)2 = 0

Нз(Р;) + ¥ Н2( р.; К- + 4-2 Н^ К-2 + ^ НО^ К-,+ +1 (¥ )2Н1'(» )(«-1)2 + ^^^НО^ )«-1«^;-2+

+6 (¥ )3Н0'(л,Ж- 1)3 = 0

Е

9+(Л-1)/1+(А;-2)/2+

(1у* Н (11+...+1« )(п) (11 + ... + 1к)! X

( 1) Н ^ )ф /1!... 1к! Х

1

(к - 1)*-1 • (а])'1 • ... • («._ 1)1к_1а" = 0, у = 1,к

(9)

Важно отметить, что эти системы уравнений однозначно разрешимы, более того они являются «треугольными» в том смысле, что в каждое следующее уравнение системы входит только одна, не встречавшаяся ранее, неизвестная, притом в первой степени и с ненулевым коэффициентом.

Результаты параграфа 2.1 изложены в работе [47].

В параграфе 2.2 вычисляются коэффициенты . При этом случаи младших ( к = 1) и старших ( к > 1) вырождений рассматриваются по отдельности

11

в подпараграфах 2.2.1 и 2.2.2 соответственно. Доказываются следующие две теоремы.

Теорема 0.0.3. В уравнении (7) порядка п пусть к = 1, а корни полинома Н0(р) являются простыми. Тогда решения этого уравнения имеют вид (8), где сумма берется по объединению {ру} корней полинома Н0(р), а функции иу (г) являются обратными преобразованиями Лапласа-Бореля функций, имеющих особенности в точках pj, и имеют асимптотические разложения

иу (г) = Cje г ^^

р3

г ™ I

i=0

где Су — произвольные константы, а у = Н1(ру )/Щ (ру), а ^ — числовые коэффициенты, вычисляемые по формуле

=

„2,у

л

1

0

0 0

2

3

0 —c^ 0

1

2, о

3,

г\(—Н' (Ру))

где

с¥ =

шш{/ —г ,п}

£ (—1)

т=0

Гт+ТуГГ+О)

Н (т) (п) Н1—т—АРУ )'

Теорема 0.0.4. В уравнении (7) порядка п пусть к > 1, а корни полинома Но (р) являются простыми. Тогда решения этого уравнения имеют вид (8), где сумма берется по объединению {ру} корней полинома Щ (р), а функции иу (г) являются обратными преобразованиями Лапласа-Бореля функций, имеющих особенности в точках ру, и имеют асимптотические разложения

/ ч ^ ^к-1 -^

иу (г) = Суе гк-

где С^ — произвольные константы, коэффициенты « и находятся из систем уравнений (9), а ^ — числовые коэффициенты, вычисляемые по формуле

=

к+1,3 1

1

1

0

к+2,з к+2,з

2

0 0

00

к+г,3 к+г ,3 к+'ЧЗ

2

3

1

к+1,3 О

к+2,з

к+г ,3

к+г ,3

г!(-Н (Р]))

где

су,з =

Е

(-1)1- 1к Ь"

к к™

!

к т-1з1-2з2-...-(к-1) Зк_1=у -0<т<п, 1<1<т, 0<ц,

11+...+1 *=I,

1< 1< 1,...,1< к_1< к_1

3 т! к!... 1к!

11 •... • (к - 1)л-1 х

хР!-1 (1) •... •р;:—- (к -1) • («1 у1 •... • («и

1 I к-1

к_1

к_1- к_1

X

Х (г + о3 - 1к + 1) • ... • (г + о3 - 1)(г + о,)Н(т\р3)

Числа Ь™ определяются с помощью рекуррентных соотношений

Ы = -1

ьт

т

_1 ит-1 = (_

кит-1 = \ к) ,

1

ЪТ = -1 (к(т - 1) + 1)Ь'1

т—1

ьт

((к(т - 1) + э)67-1 + К--1)

т > 2, т > 2,

т > 2,] = 2,т - 1,

а числа Р1л (г) — с помощью соотношений

РОП(к) = 1,

рп (к) = (к+п-1)! Рп- 1(к) = к! ,

РПП- 7 (к) = и к + п - 1)РП-11_ Дк) + Рпп-(к), 2 = 2, п - 1

п 1

п-

Результаты параграфа 2.2 изложены в работах [48; 52; 55].

В параграфе 2.3 приводится пример применения теоремы 0.0.4 для решения уравнения второго порядка, а именно уравнения

^^ ///'Л / \ / \

г^и (г) + а(г)и(г) = 0,

где т и п — натуральные взаимно простые числа, такие что т > 2п, а а(г) — голоморфная функция и а(0) = 0.

В главе 3 рассматриваются некоторые уравнения вида (5), основные символы которых имеют кратные корни.

Параграф 3.1 посвящен построению решений уравнений вида (7) в случае, когда коэффициенты символа оператора Н, стоящего в левой части уравнения, являются постоянными, т.е. уравнений вида

Н (" Г £ )и = °, (10)

где к € М, и(г) — неизвестная ресургентная функция, а Н(р) — полином по р. Доказана

Теорема 0.0.5. Решения уравнения (10) имеют вид

п3

и(г) = Е е* Т,Са,1Г-к('-1),

в 1 = 1

где сумма берется по объединению ра корней полинома Н(р), пв — кратности этих корней, а С3,1 — произвольные константы.

Результаты параграфа 3.1 изложены в работах [48; 52; 55]. В параграфе 3.2 рассматриваются уравнения вида

п+М , 1 , N г п , 1 , N г

£ ь-гд'+1 ^ и<г) + Т,г1п-'>кЬ(УЧ-г^1 ^ и(г) = ^)'

г=п+1 ^ ' г=1 ^ '

(11)

где кг(гк) — полиномы, кп(0) = 0, Ьп+М(0) = 0, а д(г) — к-ресургентная функция, которая имеет асимптотическое разложение вида

1п 1гЕ а1Чг г, е

] 1=0 г=о

Основной символ этого уравнения

п+М

Но (р) = ^ ы (0)^

= п

имеет нулевой корень кратности п. Предполагается, что все остальные его корни — простые. Показывается, что с помощью к-преобразования Лапласа-Бореля такие уравнения сводятся к уравнениям с коническими вырождениями, исследованными в работах В.А. Кондратьева [5]. Доказывается

Теорема 0.0.6. Пусть функция и(г) является решением уравнения (11), тогда, при сделанных предположениях, она к-ресургентна и представима в виде (8), где сумма берется по объединению pj корней полинома Щ (р), а функции и1 (г) являются обратными преобразованиями Лапласа-Бореля функций, имеющих особенности в точках pj, и имеют асимптотические разложения

при pj = 0. Компонент щ(г), соответствующий нулевому корню полинома Н ( ) имеет асимптотическое разложение

Результаты параграфа 3.2 изложены в работе [49].

В главе 4 рассматривается задача вычисления образов к-преобразования Лапласа-Бореля функций вида ехр(о/гп), где а Е С, к, п Е М, 1 < п < к. Необходимость вычисления образов таких функций возникает, например, при построении асимптотик решений вырождающихся неоднородных дифференциальных уравнений вида (3). При решении таких уравнений возникает потребность

в правой части и требуется вычислять их -преобразования Лапласа-Бореля. Аналогичная проблема возникает при исследовании уравнений, имеющих крат-

то

то ти

ные корни основного символа, методом повторного квантования, описанного в работе [39], т.к. уравнение, получаемое после первого применения преобразования Лапласа-Бореля к исходному всегда будет неоднородным.

В параграфе 4.1 с помощью известных свойств к-преобразования Ла-пласа-Бореля составляется система уравнений, содержащая искомый образ функции ехр(а/гп).

В параграфе 4.2 эта система решается в модельном случае к = 6, п = 4, позволяющем на конкретном примере продемонстрировать основные сложности, связанные с решением таких систем в общем случае. Доказывается, что 6-преобразование Лапласа-Бореля функции ехр(а/г4) имеет асимптотическое разложение

00

i=3

-51/1*с ^ + ^ p2i J^(36s2 - 783s + ,

где Ci, С — некоторые постоянные.

В параграфе 4.2 задача решается в общем случае. Сначала система редуцируется до единственного уравнения, доказывается

Теорема 0.0.7. Один из представителей 10(р) класса функций 10(р), являющегося k-преобразованием Лапласа-Бореля функции ex.p(a/rп), удовлетворяет уравнению

3 ' id

g^ >( - ipА) 'ш+

s / i \ i

+ Е (ciP^J-i] + с'р1{S-i}) ( —P<+1 dT I Iq(p) + a0P"Ш = P^J-1~h(p), (12) „'—i VT Р/

где

k n . . k

j = ,——T — 1, s = —— — 1, T + 1 =

НОД(п,к) НОД(п,к) k — n

с' и с!' — некоторые числовые коэффициенты, h(p) — некоторая голоморфная функция.

С помощью замены Ь = р1 ,щ(1) = 10(р), уравнение (12) сводится к уравнению с младшим вырождением

Е^- (-2 + £ + К -2 £)

+ ао#'ш(г) = г3-1'1 Цг1/1) (13)

В случаях в =0 и в =1 основной символ данного уранения имеет только простые корни. С использованием результатов работ [35; 46] удается доказать следующие две теоремы.

Теорема 0.0.8. Если натуральное число п является делителем числа к, то к-преобразование Лапласа-Бореля функции ехр(а/гп) имеет асимптотическое разложение

к/п-1

ТО 00

Е, / " ап X ^ / то у Г ■

ехр(ф/рк-п )рк-п 8%рк-п + $гР ,

1=1 ¿=0 ¿=0

где

=

( к-п)/п

'ак/пп(к - п)(к-п)/г

к(2к-п)/п

к(к — 2п) к — п к2 — п ^к—п1{п а = -———— | , „—-----—— 1к% 1

(п а)(к-п)/п 1 2п2 п кк/п

у ' х г=1

8в{ — числовые коэффициенты.

Теорема 0.0.9. Если натуральное число п = 2НОД(п,к) (т.е. з = 1), то к-преобразование Лапласа-Бореля функции ехр(а/гп) имеет асимптотическое разложение

2(к-п)/п то то

Е, / п „ ап у Г 1 гп у Г ■

ехр(ф/рк-п )рк-п ягРк-п + ^Р ,

1=1 %=0 ¿=0

где _

2( к-п)/п/а2к/пп2(к - п)2(к-п)/п

Ф = V —

2(2 к- п)/ п

а, — числовые коэффициенты.

При в > 2, уравнение (13) имеет кратный корень в основном символе, однако в таком случае оно является уравнением вида (11), исследованном в главе 3. С помощью ее результатов доказывается

Теорема 0.0.10. Если натуральное число п > 2НОД(п, к), то к-преобразова-ние Лапласа-Бореля функции ехр(а/гп) имеет асимптотическое разложение

(к-п)/НОД(п, к) то у ж пц

£ ехр(Я1 /р>£ ^ + £р(1—^ £& ^ А« Ыт (р*),

1=1 1=0 1=0 ¿=0 т=0

где д1 — ненулевые корни основного символа уравнения (13), 7 = п/(к — п);&1, XI, в\, А« — числовые коэффициенты.

Также, сформулированные выше результаты главы 4 позволяют доказать, что верна

Теорема 0.0.11. Пусть к, п Е М, 1 < п < к, 7 = п/(к — п), тогда

(к—п) / НОД(п,к)

В1 [Вк ехр(а/гп)] (д) = ^ щ (д — ),

=0

где д1 — корни основного символа уравнения (13), а представляются в виде конормальных асимптотик, т.е. в виде

ТО пгЦ

Щ(я) = Е^ Е^ЕА«?!птЯ,

j=0 ¿=0 т=0

где , А« — некоторые числовые коэффициенты. Фигурирующие в асимптотиках функций (д) ряды являются сходящимися.

В параграфе 4.4 приводится пример применения теоремы 0.0.8: с ее помощью строится асимптотика неоднородного уравнения со старшим вырождением тип клюва, а именно, доказывается, что асимптотика решения уравнения

(—^3 и(г)+(—г—2){—3 и(г)+{4г 3+4г 2+г)и(г)=1

имеет вид

и(г) = 4 ехр02 + ^ + ^^ + ^ &^ + Сехр(1/г);

где в], С — числовые коэффициенты, причем коэффициенты й1 и С можно выбирать произвольно, а остальные определяются однозначно аналогично тому, как это делается в главе 2 в однородном случае.

Результаты главы 4 изложены в работах [49; 53; 54].

Глава 1. Ресургентность решений уравнений с голоморфными

коэффициентами

1.1 Основные определения

Приведем используемые в данной работе определения ^-преобразования Лапласа-Бореля и ресургентной функции, так, как это было сделано, например, в работе [37].

Обозначим через Sr,£ сектор Sr,£ = {—£ < arg г < е, |r| < R}. Будем говорить, что аналитическая на Sr,£ функция f имеет не более, чем ^-экспоненциальный рост в нуле, если существуют такие неотрицательные константы С и а, что в секторе Sr,£ выполнено неравенство

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кац, Дмитрий Сергеевич, 2017 год

Список литературы

1. Olver F. Asymptotics and Special Functions. — New York : Academic Press, 1974. — 572 pp. — (Computer Science and Applied Mathematics).

2. Айнс Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Харьков : Научно-техническое издательство Украины, 1939. — 719 с.

3. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — М. : Мир, 1964. — 477 с.

4. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. — М. : Издательство иностранной литературы, 1958. — 474 с.

5. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Труды Московского математического общества. — 1967. — Т. 16. — С. 209—292.

6. Ecalle J. Les fonctions resurgentes. Tome I: Les algebres de fonctions resurgentes // Publ. Math. Orsay. — 1981. — Vol. 81, no. 05.

7. Ecalle J. Les fonctions resurgentes. Tome II: Les fonctions resurgentes ap-pliqueesa l'iteration // Publ. Math. Orsay. — 1981. — Vol. 81, no. 06.

8. Ecalle J. Les fonctions resurgentes, Tome III: L'e du pont et la classification analytiques des objects locaux // Publ. Math. Orsay. — 1985. — Vol. 85, no. 05.

9. Ecalle J. The acceleration operators and their applications to differential equations, quasianalytic functions, and the constructive proof of Dulac's conjecture // Proc. ICM-90, Kyoto. Vol. 2. — 1990. — Pp. 1249-1258.

10. Ecalle J. Six Lectures on Transseries, Analysable Functions and the Constructive Proof of Dulac's Conjecture // Bifurcations and Periodic Orbits of Vector Fields / ed. by D. Schlomiuk. — Dordrecht : Springer Netherlands, 1993. — Pp. 75-184. — ISBN 978-94-015-8238-4. — DOI: 10.1007/978-94-015-8238-4_3. — URL: http://dx.doi.org/10.1007/978-94-015-8238-4_3.

11. Ecalle J. Recent advances in the analysis of divergence and singularities // Normal Forms, Bifurcations and Finiteness Problems in Differential Equations. — 2004. — Pp. 87-186.

/ _

12. Ecalle J. Twisted resurgence monomials and canonical-spherical synthesis of local objects // Contemporary Mathematics. — 2005. — Vol. 373. — Pp. 207-316.

/ _

13. Ecalle J., Sharma S. Power series with sum-product Taylor coefficients and

their resurgence algebra // Asymptotics in Dynamics, Geometry and PDEs; Generalized Borel Summation vol. I / ed. by O. Costin [et al.]. — Pisa : Edizioni della Normale, 2011. — Pp. 35-200. — ISBN 978-88-7642-3796. — DOI: 10. 1007/978-88-7642-379-6_3. — URL: http://dx.doi.org/10. 1007/978-88-7642-379-6_3.

14. Sternin B. Y, Shatalov V. E. Borel-Laplace Transform and Asymptotic Theory: Introduction to Resurgent Analysis. — Boca Raton, FL : CRC Press, 1996. — 288 pp. — ISBN 084939435X.

15. Mitschi C., Sauzin D. Divergent Series, Summability and Resurgence I. — Springer, 2016. — 319 pp.

16. Loday-Richaud M. Divergent Series, Summability and Resurgence II. — Springer, 2016. — 295 pp.

17. Delabaere E. Divergent Series, Summability and Resurgence III. — Springer, 2016. — 252 pp.

18. Schulze B.-W., Sternin B., Shatalov V. On Some Global Aspects of the Theory of Partial Differential Equations on Manifolds with Singularities // Preprint MPI/96-28. — Bonn : Max-Planck-Institut für Mathematik, 1995.

19. Schulze B.-W., Sternin B., Shatalov V. Asymptotic Solutions to Differential Equations on Manifolds with Cusps // Preprint MPI 96-89. — Bonn : MaxPlanck-Institut für Mathematik, 1996.

20. Schulze B.-W., Sternin B., Shatalov V. Operator Algebras on Cuspidal Wedges // Preprint MPI 96-137. — Bonn : Max-Planck-Institut für Mathematik, 1996.

21. Schulze B.-W., Sternin B., Shatalov V. Structure Rings of Singularities and Differential Equations // Preprint MPI 96-141. — Bonn : Max-PlanckInstitut für Mathematik, 1996.

22. Schulze B.-W., Sternin B., Shatalov V. Resurgent Analysis in the Theory of Differential Equations with Singularities // Mathematische Nachrichten. — 1995. — Vol. 172, no. 1. — Pp. 261-281. — DOI: 10. 1002 / mana. 19951720119. — URL: http://dx.doi.org/10.1002/mana.19951720119.

23. Schulze B.-W., Sternin B., Shatalov V. Differential Equations on Manifolds with Singularities in Classes of Resurgent Functions // Mathematische Nachrichten. — 1998. — Vol. 195, no. 1. — Pp. 199-236. — DOI: 10.1002/mana. 19981950112. — URL: http://dx.doi.org/10.1002/mana. 19981950112.

24. Schulze B.-W., Sternin B., Shatalov V. An Operator Algebra on Manifolds with Cusp-Type Singularities // Annals of Global Analysis and Geometry. — 1998. — Vol. 16, no. 2. — Pp. 101-140. — DOI: 10.1023/A: 1006565731471. — URL: http://dx.doi.org/10.1023/A:1006565731471.

25. Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е., Шульце Б.-В. Эллиптические уравнения на многообразиях с особенностями типа клюва // Доклады Академии наук. — М., 1998. — Т. 362, № 4. — С. 453—455.

26. Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Дифференциальные уравнения в пространствах с асимптотиками на многообразиях с особенностями типа клюва // Дифференциальные уравнения. — М., 2002. — Т. 38, № 12. — С. 1664— 1672.

27. Назайкинский В. Е., Стернин Б. Ю. Операторные алгебры на многообразиях с изолированными особенностями // Дифференциальные уравнения. — М., 2003. — Т. 39, № 1. — С. 92—104.

28. Costin O., Kruskal M. D. Optimal Uniform Estimates and Rigorous Asymp-totics beyond all Orders for a Class of Ordinary Differential Equations // Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 1996. — Vol. 452, no. 1948. — Pp. 10571085. — DOI: 10 . 1098 / rspa . 1996 . 0054. — eprint: http : / / rspa . royalsocietypublishing.org/content/452/1948/1057.full.pdf. — URL: http: //rspa.royalsocietypublishing.org/content/452/1948/1057.

29. Koike T. On the exact WKB analysis of second order linear ordinary differential equations with simple poles // Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences. — 2000. — Т. 36, № 2. — С. 297—319.

30. Kamimoto S., Kawai T, Takei Y. Exact WKB analysis of a Schrodinger equation with a merging triplet of two simple poles and one simple turning point, I—Its WKB-theoretic transformation to the Mathieu equation // Advances in Mathematics. — 2014. — Т. 260. — С. 458—564.

31. Kamimoto S., Kawai T, Takei Y. Exact WKB analysis of a Schrodinger equation with a merging triplet of two simple poles and one simple turning point, II—its relevance to the Mathieu equation and the Legendre equation // Advances in Mathematics. — 2014. — Т. 260. — С. 565—613.

32. Kamimoto S., Kawai T, Koike T. On the Singularity Structure of WKB Solution of the Boosted Whittaker Equation: its Relevance to Resurgent Functions with Essential Singularities // Letters in Mathematical Physics. — 2016. — Т. 106, № 12. — С. 1791—1815. — DOI: 10.1007/s11005-016-0887-x. — URL: http://dx.doi.org/10.1007/s11005-016-0887-x.

33. Коровина М. В. Асимптотики решений уравнений в частных производных со старшими вырождениями и уравнение Лапласа на многообразии с особенностью типа клюва // Дифференциальные уравнения. — М., 2013. — Т. 49, № 5. — С. 614—624.

34. Klimes M. Confluence of Singularities of Nonlinear Differential Equations via Borel-Laplace Transformations // Journal of Dynamical and Control Systems. — 2016. — Т. 22, № 2. — С. 285—324. — DOI: 10.1007/s10883-015-9290-7. — URL: http://dx.doi.org/10.1007/s10883-015-9290-7.

35. Коровина М. В., Шаталов В. Е. Дифференциальные уравнения с вырождением и ресургентный анализ // Дифференциальные уравнения. — М., 2010. — Т. 46, № 9. — С. 1259—1277.

36. Коровина М. В., Шаталов В. Е. Дифференциальные уравнения с вырождением // Доклады Академии наук. — М., 2011. — Т. 437, № 1. — С. 16— 19.

37. Коровина М. В. Существование ресургентного решения для уравнений с вырождением высших порядков // Дифференциальные уравнения. — М., 2011. — Т. 47, № 3. — С. 349—357.

38. Fauvet F., Thomann J. Formal and numerical computations with resurgent functions // Numerical Algorithms. — 2005. — Т. 40, № 4. — С. 323—353. — DOI: 10.1007/s11075-005-5326-5. — URL: http://dx.doi.org/10.1007/s11075-005-5326-5.

39. Коровина М. В. Метод повторного квантования и его применения к построению асимптотик решений уравнений с вырождениями // Дифференциальные уравнения. — М., 2016. — Т. 52, № 1. — С. 60—77.

40. Коровина М. В. Асимптотики решений неоднородных уравнений со старшими вырождениями // Дифференциальные уравнения. — М., 2013. — Т. 49, № 2. — С. 255—259.

41. Коровина М. В. Асимптотики решения уравнения Лапласа на многообразии с особенностью типа клюва // Доклады Академии наук. — М., 2014. — Т. 456, № 6. — С. 638—641.

42. Коровина М. В. Асимптотики решений уравнений второго порядка со старшими вырождениями и уравнение Лапласа на многообразии с особенностью типа клюва // Доклады Академии наук. — М., 2014. — Т. 456, № 4. — С. 396—399.

43. Коровина М. В. Асимптотики решений уравнений с высшими вырождениями // Дифференциальные уравнения. — М., 2012. — Т. 48, № 5. — С. 710— 722.

44. Коровина М. В. Асимптотики решений уравнений с высшими вырождениями // Доклады Академии наук. — М., 2011. — Т. 437, № 3. — С. 302— 304.

45. Волнухин М. С. Резонансный случай для дифференциальных уравнений с вырождением // Дифференциальные уравнения. — М., 2014. — Т. 50, № 3. — С. 339—348.

46. Волнухин М. С. Асимптотики решений дифференциальных уравнений с вырождениями в случае резонанса // Доклады академии наук. — М., 2013. — Т. 449, № 3. — С. 259—262.

47. Кац Д. С. Вычисление асимптотик решений уравнений с полиномиальными вырождениями коэффициентов // Дифференциальные уравнения. — М., 2015. — Т. 51, № 12. — С. 1612—1617. — DOI: 10.1134/s0374064115120067.

48. Кац Д. С. Коэффициенты рядов в асимптотических разложениях решений уравнений с вырождениями // International Journal of Open Information Technologies. — Москва, 2016. — Т. 4, № 9. — С. 1—7.

49. Кац Д. С. О задаче, возникающей при решении уравнений с вырождениями // International Journal of Open Information Technologies. — Москва, 2017. — Т. 5, № 3. — С. 1—9.

50. Кац Д. С. Ресургентность и асимптотики решений уравнений с вырождениями коэффициентов // Сборник тезисов XIX Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов - 2012» секция «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И КИБЕРНЕТИКА». — М., 2012. — С. 78—79.

51. Кац Д. С. Ресургентность и асимптотики решений уравнений с вырождениями коэффициентов // Международая конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. — Суздаль, 2012. — С. 85— 86.

52. Кац Д. С. Построение асимптотик решений дифференциальных уравнений с вырождениями в коэффициентах // Международая конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. — Суздаль, 2014. — С. 84—85.

53. Кац Д. С. О проблеме, возникающей при решении уравнений с вырождениями // Международая конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. — Суздаль, 2016. — С. 95—96.

54. Кац Д. С. О классе задач, возникающих при решении неоднородных уравнений с вырождениями // Научная конференция «Тихоновские чтения». Тезисы докладов. — М., 2015. — С. 90.

55. Кац Д. С. Построение асимптотик решений дифференциальных уравнений с вырожденными коэффициентами // Сборник тезисов лучших дипломных работ 2013 года. — Москва : ВМК МГУ, 2013. — С. 32—34.

56. Коровина М. В. Теория функциональных пространств и дифференциальные уравнения. — МАКС Пресс Москва, 2007. — 120 с. — ISBN 978-5-89407-295-1.

Список рисунков

1.1 Область голоморфности преобразования Лапласа-Бореля и

вычисление обратного преобразования................ 22