Использование символьных методов локализации решений для анализа полиномиальных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, доктор физико-математических наук Утешев, Алексей Юрьевич

• Утешев, Алексей Юрьевич
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Утешев, Алексей Юрьевич

Список обозначений и сокращений

Введение.

Глава 1. Локализация корней полиномов от одной переменной

§1.1. Вычисление характеристик ганкелевой матрицы

§1.2. Результант и субрезультанты.

§1.3. Ганкелевы матрицы в задаче о расположении корней

§1.4. Отделение корней полинома в отсутствие его канонического представления

§1.5. Метод Безу для случая одной переменной

§1.6. Формула Маркова

Глава 2.Исключение переменных и отделение решений систем полиномиальных уравнений

§2.1. Определение многомерного результанта

§2.2. Отделение решений в случае двух переменных

§2.3. Вычисление симметрических функций решений

§2.4. Метод Эрмита для двух переменных.

§2.5. Результант трех полиномов от двух переменных

§2.6. Метод Эрмита для трех и более переменных

§2.7. Еще один способ вычисления многомерного результанта

§2.8. Редуцируемость

§2.9. Связь с методом Маколея

§2.10. Связь с методом базисов Грёбнера.

§2.11. Отделение решений через предварительное преобразование системы

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ

Наряду с общепринятыми, в диссертации используются некоторые специфические обозначения.

• Р(А\,., Ак) и У(А\, Аг, • • •, А*) — числа постоянств и перемен знаков для последовательности вещественных чисел А\,., А&; Е[А{\ — целая часть числа.

• Значок 1 означает транспонирование.

• а (А), га+(А), Т1(А), Ак для вещественной симметричной матрицы А обозначают соответственно сигнатуру, положительный и отрицательный индексы инерции, и к-й главный минор.

• gcd(/, Х>(/) — наибольший общий делитель, результант и дискриминант полиномов /(ж) и д(х) от одной переменной;

9)1 — к-ый субрезультант и к-ый субдискриминант

§1.2)

• Лх, 72-х, Хз{хэ) — результант,д-результант и элиминанта по ху для полиномов от нескольких переменных

§2.1).

• 3,7-1 — якобиан и гессиан.

• тг {^(Х) = О, .,Д(Х) = 0 | д(Х) >0} — число различных вещественных нулей системы уравнений, удовлетворяющих условию д> 0.

• Выражение моном понимается как произведение некоторых степеней переменных с числовым коэффициентом равным 1; х у у означает, что при упорядочении некоторого множества мономов одинаковой степени первыми ставятся мономы с большей степенью х.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Использование символьных методов локализации решений для анализа полиномиальных систем»

Общую задачу локализации (отделения) вещественных решений сис темы полиномиальных уравнений можно сформулировать как задачу определения точного числа этих ре шений в области § С ж1, описываемой системой полиномиальных нера венств

Здесь X = (xi,. ,xl) G cl, и все указанные полиномы имеют вещественные коэффициенты. Систему (2) будем часто рассматривать и при замене неравенств на строгие: > —> >.

Эта задача имеет долгую историю. Первоначально, проблема получения оценки числа вещественных корней полинома от одной переменной была поставлена, а для некоторых случаев и решена, в трудах великих математиков XVII-XVIII веков: Ньютона, Декарта, Лагранжа, Эйлера, Фурье и Пуассона. Полное решение этой задачи — как и ее обобщений на случаи расположения корней полинома в той или иной области комплексной плоскости — было получено в первой половине XIX века в работах Коши, Штурма, Якоби, Эрмита, Сильвестра и Кэли . Построение Штурмом его знаменитого алгоритма, позволяющего отделить интервалы вещественной оси, содержащие каждый по одному корню рассматриваемого полинома, индуцировало попытки его обобщения на системы полиномиальных уравнений от нескольких переменных. Самыми удачными оказались подходы, предложенные выдающимся французским математиком Эрмитом. В 1852 г. он представил к публикации в журнале Comptes Rendus статью [118], которая, после рецензирования комиссией, состоявшей из Коши, Лиувилля и Штурма, была отклонена в ее полном варианте, и напечатана лишь в виде краткой заметки h(X) = 0,., fL(X) = О (п} := deg /у)

1) gi(X)>0,.,gK(X)>0

2)

- 6

115] (полный же вариант был опубликован лишь в 1905 г., уже после смерти Эрмита). В парадигме того исторического периода развития алгебры ученых интересовали чисто алгебраические (в современной терминологии — символьные или аналитические) алгоритмы решения уравнений и систем уравнений, т.е. такие, которые позволяли решать поставленные задачи за конечное число элементарных алгебраических операций над коэффициентами полиномов. Именно в рамках такой парадигмы и решалась Эрмитом задача определения числа вещественных решений системы (1), лежащих внутри произвольного паралеллепипеда aj < xj (j = 1,. В 1856 г. итальянский математик Бриоски

89], основываясь на заметке Эрмита, обобщил одну из его идей на задачу поиска числа вещественных решений системы (1), удовлетворяющих произвольному полиномиальному неравенству д(Х) > 0. Оба ученых ограничивались случаями L = 2 и (частично) L = 3. В последующем, метод развивался некоторыми учеными [101],[119], и, особенно, Кроне-кером, в связи с его работой над теорией характеристик [72], [144].

В ХХ-м веке метод Эрмита был прочно забыт вплоть до конца 90-х годов С 1989 г. ситуация меняется: появляются работы [56], [58], [79], [111], [149], [152], [160] с историческими обзорами, развитиями метода и его приложениями к конкретным задачам. Возобновление интереса к методу объясняется потребностью в абсолютной достоверности результатов, получаемых в ходе вычислений. Известный пример Уилкинсона [50] (см. §1.4.1) показал, что даже для случая одной переменной корни полинома достаточно чувствительны к возмущениям его коэффициентов, и игнорирование этого обстоятельства при использовании метода Ньютона приводит к неверному заключению о числе вещественных корней.

Проблема достоверности информации, получаемой в ходе вычисле

Citation Index не зарегистрировано ни одной ссылки на отмеченные работы.

- 7ний, была важным, но не единственным стимулом к "возврату к классике". Другим же явилась необходимость в оценке влияния на решения параметров, входящих в систему. Даже если численные методы и могут решать задачу при некоторой специализации параметров, то они малоприменимы, если надо провести исследование при динамике этих параметров. Здесь аналитическое представление решения, или преобразование задачи к эквивалентной, но более простого вида, может оказаться незаменимым.

Известная трудоемкость символьных алгоритмов потребовала достаточного развития вычислительной техники, но после того как это произошло, область науки, известная как "компьютерная алгебра" стала бурно развиваться. Эта область располагается на стыке математики и информатики; интерес к ней научного сообщества выражается в быстро растущем числе публикаций, среди которых укажем только некоторые обзорные монографии [3], [14], [27], [31], [97], [98] и тематические выпуски журнала "Программирование" [39]. Компьютерная алгебра имеет дело, в основном, с точными числами и алгебраическими выражениями в их символьном представлении. В таких ее системах общего назначения как REDUCE, MACSYMA, MATHEMATICA, MAPLE, AXIOM, MuPAD алгоритмический базис составляют операции над полиномами и рациональными функциями, поэтому исследования в этой области включают в себя создание, развитие и анализ эффективности методов факторизации, вычисления наибольших общих делителей, отделения (локализации) вещественных корней полиномов, преобразования систем алгебраических уравнений к наиболее простому виду. Поскольку идеологии решения задач двух алгебр — классической и компьютерной — совпали, интерес современных исследователей к разработке научного наследия XIX века значительно возрос.

Настоящая работа также является отражением этой тенденции. Це

- 8 ли исследования: 1) разработка конструктивных алгоритмов исключения переменных и локализации решений системы (1), и, в частности, построение многомерной системы полиномов Штурма; 2) применение этих алгоритмов к некоторым конкретным задачам. В качестве рабочего аппарата используется такой раздел классической алгебры как теория исключения. Дело в том, что, как правило, возможно преобразование системы (1) к эквивалентной ей (т.е. имеющей тот же набор решений) системе вида xi - $i(xL) = 0,. .,xl-i - = 0, XL{xL) = 0. (3)

Здесь <3>i,., Ф^-! — рациональные функции, a Xi — полином от х^. В случае существования представления (3), решение системы (1) сводится к решению единственного уравнения от одной переменной: Xl(xl) = 0. В классической алгебре были разработаны несколько подходов для нахождения представления (3) (и условий его существования). Практически все они основаны на понятии результанта, т.е. некоторой полиномиальной функции коэффициентов fi(X),., Jl{X), д(Х)

Hx(fi(X)i.JL(X)ig(X))1 (4) обращение которой в нуль необходимо и достаточно для существования общего нуля этих полиномов. Исторически первым был подход Безу-Пуассона [84], [147], его конструктивное развитие также является одной из целей настоящей работы. Состояние теории на начало ХХ-го века дано в обзорах Нетто — в энциклопедии [100] и в его книге [144]. Несколько позже Маколеем [139], [140] в рамках детерминантного подхода был развит метод Кэли [93]; еще один подход, изложенный в книге Перрона [150] имеет скорее теоретическую ценность. С 30-х годов нашего века теорию постигла та же участь забвения, что и метод Эрмита. По меткому замечанию автора исторического обзора [112], теория исключения была практически исключена из современных учебников алгебры

- 9 и алгебраической геометрии. Отечественная же библиография по этому разделу состоит из единственного источника — перевода учебника Серре [46], изданного в прошлом веке 2.

Те же обстоятельства, что возбудили в последние десятилетия интерес к методу Эрмита, возродили и теорию исключения. Так, в работах [127], [128] исследуются методы Диксона [99] и Маколея, в книге [104] развивается метод Кэли. Интерес к теории стимулировало еще и потребность выяснить истоки теории базисов Гребнера [135], создание которой в 70-е годы связано с именем Бухбергера [31], [91]. Хотя предложенный последним алгоритм построения базисов Гребнера и был универсальным, но оказался своего рода "черным ящиком" — когда для конкретной системы (1) практически невозможно было оценить априори время, необходимое для ее приведения к виду (3). Вычислительным аспектам, а также модификациям и приложениям метода посвящены работы [80], [105], [106] ( см. также обзор [31]).

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 157 наименований.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Утешев, Алексей Юрьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итог проделанной работе, перечислим основные положения и выводы, вытекающие из существа рассмотренных проблем

1. В развитие метода Эрмита отделения решений систем полиномиальных уравнений, разработана схема рекурсивного построения многомерного результанта и вычисления симметрических функций от этих решений Найдены условия, обеспечивающие реализуемость этих алгоритмов.

2. Дано конструктивное развитие метода Безу построения многомерного результанта, на его основе создана схема исключения переменных; проанализированы связи с известными методами исключения (в том числе методом базисов Гребнера).

3. Произведено исследование влияния параметров для построенных алгоритмов и показаны преимущества от их использования в тех задачах локализации, в которых каноническое (коэффициентное) представление полинома неизвестно (локализация собственных чисел мат рицы, оценка чувствительности корней полинома к возмущению его коэффициентов).

4. Предложен новый метод решения задачи многомерной полиномиальной оптимизации, заключающийся в сведении ее к задаче локализации корней полинома от одной переменной.

5. Разработана техника построения аналитических критериев знакоопределенности полинома, а также совместности системы полиномиальных неравенств; для последней задачи предложен также метод локализации множества ее решений.

6. Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и векторных полей в критическом по Ляпунову случае полного вырожде

- 257 ния матрицы линейного приближения установлена аналитичность (по коэффициентам систем) критериев (не)устойчивости, предложенных Г.В.Каменковым и неразрешимость задачи установления асимптотической устойчивости с помощью полиномиальных функций Ляпунова.

7. В обобщение критерия Рауса-Гурвица устойчивости полинома создан алгоритм проверки наличия всех корней полинома в произвольной алгебраической области комплексной плоскости.

8. Предложена техника вычисления индекса Кронекера-Пуанкаре для полиномиальных векторных полей и алгебраических многообразий.

Из анализа проведенных теоретических исследований вытекают следующие практические рекомендации

1. Конечной целью алгоритма отделения полиномиальной системы следует считать построение ганкелевой (блочно-ганкелевой) матрицы. При этом в случае исследования зависимости структуры множества решений от параметров, не следует находить каноническое представление определителя как полинома по этим параметрам; проще разбить параметрическое пространство "сеткой", получаемой вычислением определителя при частных значениях этих параметров — тем более, что этот процесс легко распараллелить.

2. Искомую блочно-ганкелевую матрицу в одномерном и двумерном случаях следует строить непосредственно через симметрические функции решений системы. Но уже в случае трех переменных имеет смысл найти предварительно матрицу Безу, т.к. ее элементы вычисляются по более простому алгоритму. Затем известной комбинацией миноров этой матрицы (см. §2.7) можно получить миноры блочно-ганкелевой.

- 258

3. При построении матрицы Безу не стоит предварительно проверять условия выполнимости процедуры редукции из §2.8: во-первых, они проявляются непосредственно в ходе алгоритма, а, во-вторых, будут выполненными "с вероятностью 1". В критическом же случае (внешним признаком которого может служить, например, разреженность старших форм [67]), стоит использовать предварительное построение базиса Гребнера для линейного упорядочения мономов по полной степени.

4. При решении задачи поиска максимума в области, описываемой системой полиномиальных неравенств, не следует проводить предварительного исследования ни системы условий на совместность, ни самой целевой функции на наличие максимума на бесконечности. Предложенный в §3.3 алгоритм позволит проверить второе из этих условий автоматически — в ходе проверки условий применимости метода Эрмита (§§2.4, 2.6) или условий редуцируемости из §2.8. Непустота допустимого множества выяснится в ходе нахождения условного экстремума целевой функции на потенциальных граничных многообразиях этого множества. Проверка условия достижимости максимума в нескольких стационарных точках должна также производиться лишь тогда, когда за достаточное число подстановок не удается отделить критические значения.

- 259

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Утешев, Алексей Юрьевич, 1998 год

1. Айзенберг J1.A., Болотов В.А., Цих А.К. К решению систем нелинейных алгебраических уравнений с помощью многомерного логарифмического вычета. О разрешимости в радикалах.// Доклады АН СССР. 1980. Т. 252. №1. С.11-14

2. Айзенберг Л. А., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск. Наука. 1979.

3. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. М.,Мир,1994, 543 с.

4. Аминов A.B., Сиразетдинов Т.К. Условия знакоопределенности четных форм и устойчивости в целом нелинейных систем.// Прикл. мат. мех. 1984. Т.48, №3, С.339-347

5. Арнольд В.И. Индекс особой точки векторного поля, неравенства Петровского-Олейник и смешанные структуры Ходжа.// Функц.анализ и его приложения. 1978, Т.12, №1, С.3-18

6. Арнольд В.И., Олейник O.A. Топология действительных алгебраических многообразий.// Вестн.МГУ. Сер.1, 1979, №6, С.7-17

7. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.,Наука, 1970, 240 с.

8. Белоусов Е.Г., Андропов В.Г. Разрешимость и устойчивость задач полиномиального программирования. М.,МГУ,1993, 272 с.

9. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений.Т.2. ГИФМЛ, 1960, 620 с.

10. Березовская Ф.С. Индекс стационарной точки векторного поля на плоскости.// Функц.анализ и его приложения. 1979, Т.13, №2, С. 23-30- 260

11. Бертсекас Д. Условная минимизация и метод множителей Лагран-жа. М.Радио и связь. 1987, 400 с.

12. Близняков Н.М. Оценки топологического индекса. //В сб. Геометрия и теория особенностей в нелинейных уравнениях. Воронеж. ВГУ. 1987. С.9-23

13. Бохер М. Введение в высшую алгебру. М.-Л., ГТТИ, 1933, 291 с.

14. Быков В.И., Кытманов А.М., Лазман М.З. Методы исключения в компьютерной алгебре многочленов. Новосибирск. Наука, 1991, 233 с.

15. Ван-дер Варден Б.Л. Современная алгебра.Т.2. ОГИЗ, ГИТТЛ, 1947, 260 с.

16. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.Наука.1984. 320 с.

17. Вейссенберг А.Н. Критерий знакоопределенности форм высшего порядка.// Прикладная матем. и механика. 1974, Т.38, №3, С.571-574

18. Воробьев H.H., Григорьев Д.Ю. Решение систем полиномиальных неравенств над вещественными полями в субэкспоненциальное время. // В кн. Теория сложности вычислений.III. Зап.научн.семин. ЛОМИ. 1988, Т.174, С.3-36

19. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М. Наука, 1966, 576 с.

20. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. М.Мир, 1984. Т.1 - 350 е., Т.2 - 285 с.

21. Горин Е.А. Об асимптотических свойствах многочленов и алгебраических функций от нескольких переменных.// Успехи мат.наук. Т.16, №1, С. 91-118-261

22. Горушкина Е.А. О знакоопределенности однородного полинома при ограничениях в виде однородых полиномиальных уравнений и неравенств.// Депон. в ВИНИТИ №3786-В90 Деп.09.07.90,"Вестник ЛГУ,сер. 1" 27 с.

23. Григорьев Д.Ю. Разложение многочленов над конечным полем и решение систем алгебраических уравнений. //В кн. Теория сложности вычислений. Зап.научн.семин. ЛОМИ. 1984, Т.137. С.20-79

24. Григорьев Д.Ю., Чистов А.Л. Быстрое разложение многочленов на неприводимые и решение систем алгебраических уравнений.// Доклады АН СССР. 1984, Т.275, №6, С.1302-1306

25. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. М.Наука,1979, 299 с.

26. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.Наука,1966, 664 с.

27. Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра. М.Мир,1991, 350 с.

28. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.Высшая школа, 1984, 232 с.

29. Иохвидов И.С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. М.Наука,1974, 263 с.

30. Каменков Г.В. Избранные труды. Т.2. М.Наука.1972, 214 с.

31. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. Под ред. Бухбергер Б.,Коллинз Дж., Лоос Р. М."Мир",1986, 392 с.

32. Красносельский М.А., Перов А.И., Поволоцкий А.И., Забрейко П.П. Векторные поля на плоскости. М.Физматгиз. 1963, 248 с.262

33. Красовский H.H. Об устойчивости по первому приближению.// Прикладная матем. и механика. 1955, Т. 19, №5, С. 516-530

34. Крейн М., Неймарк М. Метод симметрических и эрмитовых форм в теории отделения корней алгебраических уравнений.-Харьков, ГТ-ТИ, 1936, 39 с.

35. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения.М.-Л.,ГИТТЛ,1950, 471 с.

36. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.Наука, 1966, 530 с.

37. Новиков М.А. О знакоопределенности аналитических функций.// В сб. "Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем". Новосибирск.Наука, 1987, С. 256-261

38. Новиков М.А. Об устойчивости перманентных вращений твердого тела вокруг неподвижной точки в задаче Бруна.// Прикладная матем. и механика. 1994, Т.58, №5,С. 161-165

39. Программирование. 1992, №5; 1994, №1; 1997, №3

40. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М.Мир.1980, 680 с.

41. Постников М.М. Устойчивые многочлены. М.Наука,1981, 176 с.

42. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.,ГИТТЛ, 1947, 392 с.

43. Розенвассер E.H., Юсупов P.M. Чувствительность систем управления. М.Наука,1981, 464 с.

44. Сальвадоре Л. Об устойчивости равновесия в критических случаях.// Механика. 1969. Т. 117. №5, С.3-28- 263

45. Сенчакова H.B. О вычислении индекса Пуанкаре векторных полей с однородными компонентами.// Вестник Ярославского университета. №12. 1975. С. 103-124

46. Серре И.А. Курс высшей алгебры. М.-СПб., Вольф, Б.г., 573 с.

47. Сушкевич А.К. Основы высшей алгебры.- М.-Л.ОНТИ, 1937, 475 с.

48. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования. М.Мир. 1991

49. Тарханов H.H. О вычислении индекса Пуанкаре.// Изв.вузов. Математика. 1984. №9. С.47-50

50. Уилкинсон Д.Х. Алгебраическая проблема собственных значений.970. М.Наука. 564 с.

51. Утешев А.Ю. Использование однородных форм в качестве функций Ляпунова.// Депон. в ВИНИТИ М2942-В87 Деп.24.04.87, "Вестник ЛГУ, сер.мат." 13 с.

52. Утешев А.Ю., Шуляк С.Г. Критерий асимптотической устойчивости системы двух дифференциальных уравнений с однородными правыми частями.// Дифференц. уравнения. 1987. Т.23. №6. С.1009-1014

53. Утешев А.Ю. Однородные полиномы:знакоопределенность и использование в качестве функций Ляпунова.// Тезисы 5-й всесоюзной Четаевской конференции по теории устойчивости, 1987, Казань, С.98

54. Утешев А.Ю. Критерий положительной определенности однородных форм.// Вестник ЛГУ,сер.1. 1988. №1. С.110-112- 264

55. Утешев А.Ю. Необходимые и достаточные условия положительной определенноти однородных форм.// В сб. "Вопросы механики и процессов управления", Л.ЛГУ. 1989. №11. С.87-90

56. Утешев А.Ю., Шуляк С.Г. Метод Эрмита отделения решений систем алгебраических уравнений и его применения.// Депон. в ВИНИТИ №6319-В89 Деп.18.10.89,"Вестник ЛГУ,сер. 1" — 42 с.

57. Утешев А.Ю. К вопросу существования полиномиальной функции Ляпунова.// Дифференц.у равнения. 1989. Т.25. №11. С.2010-2013

58. Утешев А.Ю. Вычисление индекса Кронекера-Пуанкаре алгебраических кривых относительно алгебраических полей на плоскости.// Дифференц.уравнения. 1991. Т.27. №12. С.2181-2183

59. Утешев А.Ю., Черкасов Т.М. Локализация решений систем алгебраических уравнений и неравенств. Метод Эрмита.// Доклады АН России. 1996. Т.347, №4, С. 451-453

60. Утешев А.Ю., Черкасов Т.М. К задаче полиномиальной оптимизации.// Доклады АН России. 1998. Т. 361. №2. С.168-170

61. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. -М.Наука, 1984, 416 с.

62. Фаддеев Д.К.,Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М. ГИФМЛ, 1960, 656 с.

63. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 1970, М. Мир, 720 с.

64. Харди Г.Г., Литтльвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. М. ИЛ.1948, 456 с.

65. Хассе Г. Лекции по теории чисел. М. ИЛ. 1953, 528 с.- 265

66. Хованский А.Г. Индекс полиномиального векторного поля. // Функц. анализ и его приложения. 1979, Т.13, №1, С.49-58

67. Хованский А.Г. Малочлены. М.Факториал. 1996.

68. Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. М. ИЛ. 1954, Т.1, 461 с.

69. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. 1989, М.Мир, 655 с.

70. Чезаро Э. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых. 1936, М.-Л., ОНТИ, 592 с.

71. Чернятин В.А. О знакоопределенности произвольных форм четного порядка. // Доклады АН БССР, 1966, Т. 10, №11, С. 821-823

72. Четаев Н.Г. Характеристики Кронекера. //В кн. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. 1962, М., АН СССР, С. 273-322

73. Чистов А.Л. Алгоритм полиномиальной сложности для разложения многочленов и нахождение компонент многообразия в субэкспоненциальное время. // Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1984, Т.137, С.124-188

74. Ackermann J., Muench R. Robustness analysis in a plant parameter plane. // Automatic Control. Proc. of the 10th Triential World Congress of IFAC, 1988, 8: 205-209

75. Bank В., Heintz J., Krick T., Mandel R., Solerno P. Computability and complexity of polynomial optimization problems.// Modern Methods of Optimization. (Krabs W., Zowe J. eds.) Springer. 1992. P. 1-23

76. Barnett S. Greatest common divisor of two polynomials.// Linear Algebra Appl, 1970, 3:7-9

77. Barnett S. Polynomials and Linear Control Systems. 1983. New-York, Dekker

78. Becker E., Wôrmann T. On the trace formula for quadratic forms.// Contemp. Math. 1994. 155:271-291

79. Becker T., Weispfenning V. Grôbner Bases A Computational Approach to Commutative Algebra. 1993. New-York, Springer

80. Ben-Or M., Kozen D., Reif J. The complexity of elementary algebra and geometry.// J. of Сотр. and Sys.Sciences 1986. 32:251-264

81. Berenstein C.A., Struppa D.C. Small degree solutions for the polynomial Bézout equation.// Linear Algebra Appl. 1988. 98: 41-56

82. Berenstein C.A., Yger A. Analytic Bézout identities.// Advances in Applied Mathematics 1989. 10(l):51-74

83. Bézout É. Théorie générale des Équations Algébriques. 1779. Paris, P.-D. Pierres

84. Bikker P. On Bézout's method for computing the resultant. 1995. RISCLinz Report Series No. 95-36.

85. Bikker P., Uteshev A.Yu. Elimination à la Bézout. // Extended abstracts of the Int. Conf. Computer Algebra in Scientific Computing. St.-Petersburg, 1998. C.20-21

86. Bini D., Pan V. Polynomial and Matrix Computations. V. 1 , 1994. Birkhäuser, Boston

87. Brill A. Vorlesungen über ebene algebraischen Kurven und algebraische Funktionen. 1925. Braunschweig.

88. Brioschi F. Sur les séries qui donnent le nombre de racines réelles des équations algébriques à une ou â plusieurs inconnues. //In Opere Mathematiche. Milano, Ulrico Hoepli, 1909. V. 5, P. 127-143,

89. Bose N.K. Applied Multidimensional Systems Theory. 1982. Van Nostrand Reinhold,

90. Buchberger B. Gröbner bases: an algorithmic method in polynomial ideal theory.// Multidimensional Systems Theory (Bose N.K. ed.). 1985. P. 184-232, Dordrecht, Reidel

91. Byrnes C.I. On a theorem of Hermite and Hurwitz.// Linear Algebra Appl. 1983. 50: 61-101

92. Cayley A. On the theory of elimination.// Collected Mathematical Papers. 1889. V. 1. P.370-374

93. Coleman C. Asymptotic stability in 3-space.// Ann. Math. Studies, Contrib. Nonl. Oscillations. 1960. 45:257-268

94. Collins G.E. The calculation of multivariate polynomial resultants.// J. of the ACM. 1971. 18(4):515-532.

95. Collins G.E. Quantifier elimination for real closed fields by cylindrical algebraic decomposition.// Led. Notes Comput. Sei. 1975,33:134-183

96. Computer Algebra in Industry. Problem Solving in Practice. (Cohen A.M. ed.) 1993. Chichester, Wiley- 268

97. Cox D. , Little J., O'Shea D. Ideals, Varieties and Algorithms. 1993. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer

98. Dixon A.L. The eliminant of three quantics in two independent variables.// Proc. London Math. Society. 1908. 6:468-478

99. Faugere J.C., Gianni P., Lazard D., Mora T. Efficient computation of zero-dimensional Gröbner bases by change of ordering.// J.Symbolic Computation. 1993. V. 16. P. 329-344

100. Fuller A.T. Aperiodicity determinants expressed in terms of roots.// Int.J. Control. 1988. V.47 №6. P.1571-1593

101. Gelfand I.M., Kapranov M.M., Zelevinsky A.V. Discriminants, resultants and multidimensional determinants. 1994. Boston, Birkhäuser

102. Gerdt V.P., Blinkov Yu.A. Involutive bases of polynomial ideals. // Mathematics and Computers in Simulation. 1998. 45(4): 519-542

103. Gerdt V.P., Blinkov Yu.A. Minimal involutive bases.// Mathematics and Computers in Simulation. 1998. 45(4): 543-560

104. Gianni P., Trager B., Zacharias G. Gröbner bases and primary decomposition of polynomial ideals.// J.Symbolic Computation. 1988. 6:149-167

105. González-Vega L., Lombardi H., Recio T., Roy M.-F. Specialisation de la suite de Sturm et sous-resultants.// Inform. Theor. et Applic. 1990. 24(6):561—588

106. González-Vega L. Determinantal formulae for the solution set of zero-dimensional ideals.// J. Pure Appl. Algebra. 1991. 76:57-80

107. González-Vega L., Pardo L.M. The computation of the radical for a zero dimensional ideal in a polynomial ring through the determination of the trace for its quotient algebra.//Preprint of the University of Cantabria. 1992. P.l-12

108. González-Vega L. An elementary proof of Barnett's theorem about the greatest common divisor of several univariate polynomials.// Linear Algebra Appl 1996. 247: 185-202

109. Gray J. Algebraic geometry between Noether and Noether — a forgotten chapter in the history of algebraic geometry.// Revue d'Histoire des Mathématiques. 1997. 3:1-48

110. Gutman S. Root Clustering in Parameter Space. 1990. Berlin, Springer

111. Henrici P. Applied and Computational Complex Analysis. Vol. 1. 1974. N.-Y., Wiley

112. Hermite Ch. Sur l'extension du théorème de M.Sturm a un système d'équations simultannées.// Oeuvres 1905.1:280-283, Paris, Gauthier-Villars

113. Hermite Ch. Remarques sur le théorème de M.Sturm.// Oeuvres. 1905. 1:284-287, Paris, Gauthier-Villars

114. Hermite Ch. Sur le nombre des racines d'une équation algébrique comprises entre des limités données.// Oeuvres. 1905. 1:397-414, Paris, Gauthier-Villars- 270

115. Hermite Ch. Sur l'extension du théorème de M.Sturm a un système d'équations simultannées.// Oeuvres. 1912. 3: 1-34, Paris, Gauthier-Villars

116. Hess E. Uber die Darstellung der einförmigen symmetrischen Functionen der Simultanwurzeln zweier algebraischer Gleichungen.// Z. Math. u. Phys. 1870. 15:325-360

117. Hilbert D. Uber die vollen Invariantensysteme.// Math. Annalen. 1893. 42:313-373

118. Hsu C.S., Gutallu R.S. Index evaluation for dynamical systems and its application to locating all the zeros of a vector function.// J.Applied Mechanics. 1983. 50(4 a):858-862

119. Jacobi C.G.J. Theoremata nova algebraica circa systema duarum aequationum inter duas variabiles propositarum.// Gesammelte Werke. 1884. 3:287-294, Berlin, Reimer

120. Jacobi C.G.J. De relationibus, quae locum haber debeunt inter puncta intersectionis duarum curvarum vel trium superficierum algebraicarum dati ordinis, simul cum enodatione paradoxi algebraici.// Gesammelte Werke. 1884. 3:331-354, Berlin, Reimer

121. Jacobson N. Lectures in Abstract Algebra. 1964. V. 3, Van Nostrand, NY

122. Kalinina E.A., Uteshev,A.Yu. Determination of the number of roots of a polynomial lying in a given algebraic domain.// Linear Algebra Appl. 1993. 185:61-81

123. Kalkbrenner M. On the stability of Gröbner basis under specializations.// J.Symbolic Computation. 1997. 24: 51-58

124. Kapur D., Lakshman Y.N. Elimination methods: an introduction.// Symbolic and Numerical Computation for Artificial Intelligence, (B. Donald et. al. eds.) 1992. Academic Press.

125. Kapur D., Saxena T. Comparison of various multivariate resultant formulations.// Proceedings ISSAC'95. Montreal, Canada, 1995. P. 187-194

126. Katsura S., Fukuda W., Inawashiro S., Fujiki N.M., Gebauer R. Distribution of effective field in the Ising spin glass of the ± J model at T = 0.// Cell Biophysics. 1987. 11: 309-319.

127. Kearfott B. An efficient degree-computation method for a generalized method of bisection.// Numerische Mathematik. 1979. 32: 109-127

128. Kobayashi H., Fujise T., Furukawa A. Solving systems of algebraic equations by a general elimination method.// J.Symbolic Computation. 1988. 5: 303-320

129. Kronecker L. Uber einige Interpolationsformeln für ganze Functionen mehrer Variabein.// Werke. 1895. 1:135-141, Leipzig, Teubner

130. Kronecker L. Zur Theorie der Elimination einer Variabein aus zwei algebraischen Gleichungen.// Werke. 1897. 2:113-192, Leipzig, Teubner

131. Lazard D. Résolution des systèmes d'équations algébriques.// Theor. Comput. Sei. 1981. 15:77-110

132. Lazard D. Gröbner bases, Gaussian elimination and resolution of systems of algebraic equations.// Lecture Notes in Computer Science, Springer. 1983. 162:146-156

133. Lazard D. Solving zero-dimensional algebraic systems.// J.Symbolic Computation, 1992. 13:117-131- 272

134. Pedersen P., Roy M.-F., Szpirglas A. Counting real zeros in the multivariate case. // Progress Math. 1993. 109: 203-223

135. Perron O. Algebra. 1932. Vol.1. Berlin-Leipzig, de Gruyter

136. Petrowsky I. On the topology of real plane algebraic curves.// Ann.Math. 1938. 39(l):189-209

137. Saito T. An extension of Sturm's theorem to two dimensions.// Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sei. 1997. 73(1): 18-19

138. Scheja G., Storch U. Lehrbuch der Algebra. 1988. Teil 2. Stuttgart, Teubner

139. Schläfli L. Uber die Resultante eines Systemes mehrerer algebraischer Gleichungen.// Gesammelte Math. Abhandlungen 1953. 2:9-112, Basel, Birkhäuser

140. Schur I. Vorlesungen über Invariantentheorie. 1968. Berlin, Springer

141. Stickelberger L. Uber eine neue Eigenschaft der Diskriminante algebraishcer Zahlkörper.// Verband, der I internat. Math. Kongresse. 1897. Zürich. 1898. 182-193. Leipzig, Teubner

142. Stickelberger L. Verzeichnis der Schriften von Ludwig Stickelberger. // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung. 1937. 47(5-8): 79-86

143. Uteshev A.Yu., Shulyak S.G. Conditions for sign-definiteness of homogeneous forms and Possibility of using polynomials as Lyapunov Functions.// Abstracts of the Second Colloquium on Differential Equations, Plovdiv, Bulgaria. 1991. P. 298

144. Uteshev A.Yu., Shulyak S.G. Determination of Kronecker-Poincare index of algebraic curve relative to algebraic field on the plane.//- 274

145. Abstracts of the Second Colloquium on Differential Equations, Plovdiv, Bulgaria. 1991. P. 299

146. Uteshev A.Yu., Shulyak S.G. Hermite's method of separation of solutions of systems of algebraic equations and its applications.// Linear Algebra and its Applications. 1992. 177:49-88

147. Uteshev A.Yu. On the existence of a polynomial Lyapunov function. // Proceedings of the Int. Conf. on Differential Equations, Equadiff'91, Barcelona 1991, (C.Perello, C.Simo, J.Sola-Morales , eds.), 1993. Vol.2 :943-946 Singapore, World Scientific

148. Uteshev A.Yu., Cherkasov T.M. The search for the maximum of a polynomial.// J.Symbolic Computation. 1998. 25: 587-618

149. Uteshev A.Yu., Cherkasov T.M. Symbolic algorithms for polynomial optimization problems.// Abstracts of the Int. Conf. Dedicated to the 90th Anniversary of L.S.Pontryagin. Optimal Control. Москва 1998. P. 197-198

150. Weber H. Lehrbuch der Algebra. 1898, Bd.I. Braunschweig, Vieweg