Модели нестационарной бифуркации в условиях групповой симметрии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Макаров, Михаил Юрьевич

• Макаров, Михаил Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Макаров, Михаил Юрьевич

Введение

1 Построение и исследование эквивалентных разрешающих систем при бифуркации Андронова-Хопфа

1.1 Обобщенная жорданова структура и уравнение разветвления для ДУ s-того порядка

1.2 Методы Ляпунова и Шмидта построения УР в корневом подпространстве

1.2.1 УРК А.Ляпунова. Теорема о наследовании групповой симметрии.

1.2.2 УРК Э.Шмидта. Теорема о наследовании групповой симметрии.

2 Построение и исследование модельных УР бифуркации Андронова-Хопфа с симметрией плоских и пространственных кристаллографических групп

2.1 Бифуркация Андронова-Хопфа с симметрией дискретных групп по пространственным переменным.

2.1.1 Симметрия Сп.

2.1.2 Симметрия Dn.

2.2 Задачи о нарушении симметрии при бифуркации Андронова-Хопфа. Построение асимптотики разветвляющихся решений

2.2.1 Прямоугольная решётка.

2.2.2 Квадратная решётка

2.2.3 Гексагональная решётка.

2.3 УР с симметрией простой кубической решётки.

2.3.1 Элементарная ячейка - октаэдр.

2.3.2 Элементарная ячейка периодичности - кубооктаэдр

2.3.3 Элементарная ячейка - куб.

3 Устойчивость стационарных и периодических решений

3.1 Критерий устойчивости.

3.2 Устойчивость стационарных решений.

3.3 Устойчивость периодических решений.

3.3.1 Постановка задачи.

3.3.2 Устойчивость периодических решений уравнения первого порядка

3.3.3 Устойчивость периодических решений уравнения 5-го порядка.

3.3.4 Устойчивость периодических решений и метод диаi граммы Ньютона

3.4 Устойчивость стационарных и периодических семейств разветвляющихся решений в условиях групповой симметрии

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели нестационарной бифуркации в условиях групповой симметрии»

1. История вопроса

Моделирование нелинейных явлений основано на их описании системами нелинейных функциональных уравнений. Как правило эти дифференциальные уравнения допускают определенную групповую симметрию. В классической механике групповая симметрия выражает независимость дифференциальных уравнений от группы движений евклидова пространства. В квантовой механике группой допустимых преобразований является группа Лоренца. Известна задача построения общего вида дифференциального уравнения по допускаемой группе симметрии [12].

Теория непрерывных групп преобразований возникла в конце 19-го столетия в работах норвежского математика Софуса Ли [107]. В начале 20-го столетия развивается теория инвариантов групп преобразования [9]. Теоретико-групповые методы находят многочисленные применения в теоретической физике [55,8]. Глубокая связь математического моделирования и современного группового анализа дифференциальных (и вообще функциональных) уравнений была развита в работах новосибирской школы академика Л.В.Овсянникова [71, 72, 15]. Термином "большая модель" Л.В.Овсянников называет систему соотношений математической физики - дифференциальных уравнений и дополнительных связей. Данная система описывает распределение основных физических величин в пространстве и их эволюцию во времени. Свойство симметрии выражает факт независимости используемых моделей законов природы от систем отсчета, в которых наблюдаются и измеряются основные величины.

Следуя С.Ли говорят, что система дифференциальных уравнений Е допускает группу G преобразований пространства всех участвующих в Е величин, если система Е остается неизменной при всех преобразованиях, принадлежащих группе G. Для уравнений математической физики и механики характерны допускаемые классические группы Евклида, Галилея, Пуанкаре, а также их подгруппы и расширения. Фундаментальное свойство допускаемой системой дифференциальных уравнений Е группы G состоит в том, что группа G действует на множестве всех решений Е.

В 80-х годах Л.В.Овсянниковым была разработана "Программа подмодели" [73, 74, 75], согласно которой если "большая" модель допускает некоторую группу G, то она допускает и любую подгруппу Н С G, а неподвижные элементы действия группы if называются инвариантными Н-решениями, образующими класс решений. Для существования if-решений необходимо удовлетворение определенному условию, в случае выполнения которого инвариантные Я-решения выражаются через решения вспомогательной (всегда существующей) факторсистемы Е/Н. Данная факторсис-тема Е/Н образует инвариантную подмодель "большой" модели Еу дает все инвариантные Я-решения как точные решения Е и содержит меньшее число независимых переменных - ранг инвариантной подмодели (в случае четырехмерного пространства событий R4(t7x,yjz) ранг может принимать значения 3,2,1,0).

Классы решений, отыскание которых ведет к уравнениям пониженной размерности (одномерные, плоскопараллельные, осесимметричные, винтовые, стационарные, конические, автомодельные и т.п.) являются инвариантными решениями. Путем систематического использования свойств симметрии такой список можно полностью исчерпать.

Идея выдвижения "программы подмодели" возникла у акад. Л.В.Овсянникова при исследовании моделей механики сплошных сред. В работе [75] "программа подмодели" реализуется для уравнений газовой динамики. После изложения основ концепции программы подмодели, сведений о "больших" моделях газовой динамики и их общей симметрии дано общее описание алгоритма групповой классификации и приведен результат его применения к уравнениям газовой динамики. Построена оптимальная система подалгебр для конечномерных алгебр Ли группы допускаемой уравнениями газовой динамики.

Монографии Л.В.Овсянникова [72] и Н.Х.Ибрагимова [15] в сущности посвящены групповому анализу моделирования нелинейных явлений математической физики.

В последние 30 лет в теории нелинейных явлений выделилось новое направление, названное синергетикой [70, 90]. Говоря образным языком, синергетика изучает модели нелинейных явлений, в которых решения имеют определенную стационарную или пространственно-временную структуру (в нестационарных задачах) имеющую определенную групповую симметрию. Такие решения возникают при переходе характеризующих нелинейную задачу физических параметров через их критические значения. Поэтому вполне естественно, что основным математическим аппаратом синергетики является теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой симметрии (и, вообще, методы малого параметра), групповой анализ дифференциальных (функциональных) уравнений. Синергетика превратилась в междисциплинарную дисциплину, она находит применения при моделировании нелинейных явлений гидродинамики, тепло-массо-переноса [92], математической биологии и биофизики [78]. Популярное изложение идей синергетики можно найти в брошюрах [21, 86].

Настоящая работа также относится к направлению теоретико-группового моделирования нелинейных явлений, точнее, критических явлений в математической физике.

Известная в математическом анализе теорема о неявной функции допускает перенесение в банаховы пространства [7]. Однако, в приложениях часто встречаются случаи ее невыполнения. Возникает ветвление решений нелинейных уравнений.

Теория ветвления решений нелинейных уравнений как отдельное направление в качественной теории дифференциальных уравнений возникла на рубеже XIX-го и ХХ-го столетия в прикладных задачах математического описания возможных фигур равновесия вращающейся жидкой массы (А.М.Ляпунов [61], А.Пуанкаре [77]), а также в общей теории интегральных уравнений (Э.Шмидт [130]). В первой четверти 20-го столетия методами теории ветвления и конформных отображений А.И.Некрасовым [68] была решена плоская задача о гравитационных волнах (волнах на свободной поверхности бесконечного слоя жидкости). Несколько позднее аналогичные результаты были получены Т.Леви-Чивита [106] и Д.Стройкой [131]. Следом за ними Н.Е.Кочин решает плоскую задачу о волне на границе раздела двух жидкостей. Здесь следует отметить симметрию групп вращения для задачи о фигурах равновесия вращающейся жидкой массы и симметрию группы сдвигов в задаче о волнах на поверхности слоя жидкости. В 30-х годах были выполнены исследования Н.Н.Назарова о ветвлении решений нелинейных интегральных уравнений и точках бифуркации нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна. Таким образом, истоки теории ветвления относятся как к математическому моделированию гидродинамических процессов, так и к общей теории нелинейных функциональных уравнений. Далее теория ветвления развивалась как ветвь качественной теории дифференциальных уравнений в трудах В.В.Немыцкого [69], М.М.Вайнберга [6], М.А.Красносельского [20].

Состояние теории ветвления решений нелинейных уравнений к началу 70-годов отражено в [7]. Здесь изложены варианты конструкции Ляпунова-Шмидта приведения общей задачи теории ветвления к эквивалентным системам разветвления (уравнению разветвления (УР)), доказана теорема об эквивалентности уравнения разветвления исходной нелинейной задаче и представлении их решений рядами по дробным степеням малого параметра. Представлен метод диаграммы Ньютона и основанный на подготовительной теореме Вейерштрасса кронекеровский метод исключения. Дано детальное введение основных идей аппарата обобщённых жордановых цепочек и многие приложения теории ветвления к задачам теории возмущений и математической физики.

Теория многомерного ветвления по-прежнему далека от окончательного завершения и в настоящее время. Здесь нелинейная задача часто имеет семейства малых решений зависящих от одного или нескольких параметров. Обычно эти параметры имеют групповой смысл и нелинейная задача допускает (инвариантна = эквивариантна) некоторую группу преобразований. В различных прикладных задачах теории ветвления постоянно возникают системы с группой симметрии. Это вызвано тем, что уравнения математической физики инвариантны относительно подгрупп группы движений евклидова пространства. Иногда основное решение таково, что нелинейные уравнения возмущений допускают дополнительную симметрию относительно отражений. В теории краевых задач математической физики групповая симметрия индуцирована симметрией области. Например, уравнения в пространственном слое в Rs инвариантны относительно группы движений Rs} в частности относительно ^-мерной группы сдвигов. Если нелинейная задача задана на (5 — 1)-мерном многообразии без края в Rs, то она допускает группу симметрии этого многообразия.

Первые результаты применения групповой симметрии в теории ветвления принадлежат В.И.Юдовичу [93, 76], исследовавшему вместе с сотрудниками задачи многомерного ветвления в гидродинамике. Дальнейшее развитие теории ветвления в условиях групповой симметрии содержится в [50, 51], где был предложен метод группового расслоения для построения редуцированного УР. Обзору результатов в симметрийных задачах теории ветвления до 80-го года посвящена монография Б.В.Логинова [22]. Здесь, в частности, доказана теорема о наследовании групповой симметрии нелинейной задачи соответствующим УР, предложены различные способы понижения порядка (редукции УР), среди них - с помощью полной системы функционально независимых инвариантов группы симметрии УР. Последний способ наиболее эффективен в потенциальном случае, когда левая часть уравнения разветвления является градиентом некоторого функционала. Это - один из аспектов принятого в школе профессора В.А.Треногина "принципа конечномерности": потенциальным является не первоначальное уравнение, а эквивалентное ему уравнение разветвления [132, 86, 129]. В указанной монографии рассмотрены приложения бифуркационной теории в условиях групповой симметрии к дифференциальным уравнениям в математической физике: 1° дифференциальное уравнение Ди+Лм = /(и) на сфере 52 в Й3 и на s-мерном компактном многообразии V с краем dV или без края в (s + 1)-мерном пространстве Rs+1,2° задача о фигурах равновесия вращающегося цилиндрического столба вязкой капиллярной жидкости в условиях невесомости, 3° периодические решения трёхмерной задачи о капиллярно-гравитационных волнах в слое жидкости над ровным дном (случай 4-х-мерного вырождения линеаризованного оператора), 4° построение периодических решений задачи о фазовых переходах в статистической теории кристалла, явившееся яркой демонстрацией результатов симметрийной теории ветвления.

Доказанная в начале 70-х годов теорема [53, 54] о наследовании уравнением разветвления групповой симметрии первоначальной нелинейной задачи открыла новый подход в симметрийной теории ветвления - использование методов группового анализа дифференциальных уравнений [72, 73], позволивших решить задачу построения общего вида уравнения разветвления по допускаемой им группе симметрии. Эти результаты и некоторые их применения освещены в обзорах [24, 35, 55]. При этом, как и положено в математическом моделировании, допускаемая уравнением разветвления группа обуславливает вполне определенный его вид. В различных конкретных задачах он один и тот же, меняются только числовые значения коэффициентов.

С середины 70-х годов эквивариантная теория ветвления развивается независимо западными и советскими математиками. В частности, теорема о наследовании УР симметрии основной нелинейной задачи была использована в [125, 126, 127] для определения главной части УР задачи Бенара о конвекции в жидкости и других задачах о нарушении симметрии. В то же самое время результаты об образовании структур в бифуркационных задачах были получены в [25, 26, 27] и применены [26, 27] к задаче о кристаллизации жидкого фазового состояния в статистической теории кристалла.

Наиболее общая теорема существования точки бифуркации - собственного значения нечетной кратности аналитической оператор-функции спектрального параметра была доказана Н.А.Сидоровым и В.А.Треногиным [90, 84]. Согласно "принципу конечномерности" при доказательстве этих теорем теория степени отображения (вращения векторного поля) была применена непосредственно к уравнению разветвления. В симметрийной теории ветвления указанные результаты позволили получить [28, 29] теоремы существования решений инвариантных относительно подгрупп, в частности, нормальных делителей и, тем самым, разработать "программу подмодели" в теории ветвления, не зависящую от конкретной физической реализации. Общая схема построения таких решений была впервые предложена в работе Владимирова С.А. [11] для обыкновенных дифференциальных уравнений с дискретной группой симметрии и развита Логиновым Б.В. [28] применительно к задачам теории ветвления. Частные результаты этой теоремы за рубежом названы леммой об эквивариантном ветвлении [133, 134, 101].

Среди зарубежных работ по теории ветвления в условиях групповой симметрии следует прежде всего указать монографии А.Вандербауведе [134], М.Голубицкого, И.Стюарта и Д.Шеффера [103, 104]. Основным инструментом исследований [103,104] является теория особенностей гладких отображений. В русскоязычной литературе детальное изложение этой теории содержится в ряде обзоров В.И.Арнольда, среди которых отметим [1, 2]. Однако, по нашему мнению, развитые А.Д.Брюно методы многогранника Ньютона более эффективны, т.к. позволяют исследовать любые случаи высоких вырождений линеаризованного оператора.

Последовательное применение методов группового анализа дифференциальных уравнений в задачах теории ветвления содержится в работах Б.В.Логинова и его сотрудников (см. обзоры [24, 35, 55]). Теория С.Ли

Л.В.Овсянникова инвариантных многообразий применяется здесь при построении общего вида УР по допускаемой группе. Изложена общая схема применения этих методов с приложениями к задачам о нарушении симметрии в теории ветвления, в частности, к задачам о фазовых переходах в статистической теории кристалла и о капиллярно-гравитационных волнах в пространственных слоях жидкости. Для нестационарного ветвления - бифуркации Андронова-Хопфа в дифференциальных уравнениях в банаховых пространствах с вырожденным оператором при производной (старшей производной) - доказана теорема о наследовании УР групповой симметрии основного нелинейного уравнения [30]-[55]. На основе уравнения разветвления в корневом подпространстве исследованы тесно связанные с ветвлением решений вопросы устойчивости рождающихся решений [23, 30, 119, 49, 37, 44].

Исследование бифуркации рождения предельного цикла, т.е. возникновения периодического автоколебательного режима при потере устойчивости равновесия или стационарного движения, восходит к работам А.М.Ляпунова (1892) и А.Пуанкаре [78, 62]. А.М.Ляпунов предложил [62] метод исследования устойчивости сложных состояний равновесия динамической системы с чисто мнимыми характеристическими корнями. А.А.Андронов [100] открыл бифуркацию рождения предельного цикла из состояния равновесия при изменении параметров системы и указал на связь этой бифуркации с результатами работ А.М.Ляпунова. В работах Н.Н.Баутина [3, 4] дано обобщение результатов Андронова на системы третьего и четвертого порядков. Условия рождения периодических решений в общем п-мерном случае получены Э.Хопфом [105] (1942 г.), Ю.И.Наймарком [68] и Н.Н.Брушлинской [5]. В бесконечномерных системах исследование бифуркации рождения цикла выполнено в работах В.И.Юдовича [95, 96], М.Г.Крандалла и П.Рабиновича [102], Марсдена и Мак-Кракена [64], Ж.Иоосса [106], В.А.Треногина [89]. Бифуркация рождения цикла в системах с симметрией изучалась в работах Д.Рюэля [124], В.И.Юдовича [67, 98, 99], А.Вандербауведе [134], Голубицкого и Шеффера [103, 104], Б.В.Логинова и

В.А.Треногина [31, 32, 109, 110, 111, 121, 122].

Математическое моделирование нелинейных явлений требует исследования устойчивости решений функциональных уравнений, моделирующих конкретные изучаемые процессы в естественно-научных дисциплинах. Основы теории устойчивости решений дифференциальных уравнений заложены А.М.Ляпуновым в начале ХХ-го века. Дальнейшее развитие теории устойчивости связано с именами Н.Г.Четаева, Р.Беллмана, Н.Барбашина, В.М.Матросова, И.Г.Малкина и других российских и зарубежных ученых.

В настоящей работе исследуется бифуркация Андронова-Хопфа для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с вырожденным оператором при старшей производной и устойчивость ответвившихся решений. Во всем изложении последовательно развивается идея о том, что группа симметрии диктует определенную модель ветвления. Основой этой идеи служат теоремы о наследовании групповой симметрии первоначальной нелинейной задачи конечномерными эквивалентными разрешающими системами и, в частности, уравнениями разветвления. По допускаемой группе симметрии строится общий вид уравнения разветвления [42, 20, 116, 43]. Он оказывается независимым от конкретной физической реализации, меняется только численное выражение коэффициентов уравнения разветвления.

В первой главе освещена роль обобщенной жордановой структуры при построении и исследовании уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта бифуркации Андронова-Хопфа [38, 39, 40, 115, 59, 60] (п.1), в качестве разрешающих систем вводятся уравнения разветвления Ляпунова и Шмидта в корневых подпространствах, доказывается их эквивалентность и теорема о наследовании групповой симметрии [42, 20, 116, 43] (п.2). Во второй главе для задач с дискретной группой симметрии и задач о нарушении симметрии [31, 32,109,110,111,121,122, 41] на основе методов группового анализа строится общий вид модельного УР, отдельно для решений допускающих симметрию плоских и пространственных кристаллографических групп. С помощью техники инвариантных относительно левой части УР подпространств определяется асимптотика семейств разветвляющихся решений применительно к задачам о нарушении симметрии по пространственным переменным. Нелинейное уравнение допускает группу движений евклидовых пространств R или R3. При переходе бифуркационных параметров через их критические значения рождаются решения, периодические по времени и по пространственным переменным (решения ячеистой структуры). Эта глава диссертации посвящена, таким образом, математическим моделям синергетики в бифуркационных явлениях Андронова-Хопфа. Математическое моделирование предполагает обязательное исследование устойчивости разветвляющихся решений, т.к. в практических приложениях реализуются именно устойчивые решения. Поэтому в главе 3 рассматриваются вопросы устойчивости стационарных и периодических (на основе варианта классической теории Флоке) разветвляющихся решений для дифференциального уравнения с вырожденным оператором при старшей производной [49, 118]. Здесь определяющую роль в общем случае играют уравнения разветвления в корневых подпространствах. В приложение вынесена таблица умножения группы куба Oh

Обзор приложений дифференциальных уравнений с вырождением при производной (течения неньютоновских жидкостей Кельвина-Фойгта и Олд-ройта, теория фильтрации, нелинейные волны, реология, электрические цепи) содержится в монографии Г.В.Демиденко и С.В.Успенского [14]. Задачи нестационарной бифуркации в указанных приложениях еще не рассматривались.

Таким образом, в диссертации последовательно реализуется программа "модели" Л.В.Овсянникова для исследования бифуркации Андронова-Хопфа дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с вырожденным оператором при ведущей производной. Введение содержит сведения исторического характера, а также некоторые определения и факты из теории ветвления решений нелинейных уравнений и методов группового анализа, используемые в диссертации и нужные для её прочтения без привлечения дополнительных источников. Используемые терминология и обозначения со

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Макаров, Михаил Юрьевич

Заключение

1. Для бифуркационных задач Андронова-Хопфа о ветвлении периодических решений сингулярных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах введено понятие эквивалентных уравнений разветвления в корневых подпространствах (УРК), являющихся дифференциально-алгебраическими системами.

2. Доказаны теоремы о наследовании УРК групповой симметрии нелинейной задачи.

3. Выполнено построение общего вида уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта для различных моделей бифуркации Андронова-Хопфа по наследуемой ими групповой симметрии нелинейных уравнений.

4. Определена асимптотика семейств разветвляющихся решений для нестационарных бифуркационных задач о нарушении симметрии.

5. Получены критерии устойчивости разветвляющихся стационарных и периодических решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с вырожденным оператором при старшей производной.

В перспективе предполагается исследовать приложения полученных результатов при бифуркации Андронова-Хопфа в конкретных моделях математической физики, в которых исследуются колебательные процессы (волновые движения неньютоновских жидкостей, флаттер пластин в сверхзвуковом потоке газа, нелинейная оптика и др.)

Соискатель выражает искреннюю признательность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Борису Владимировичу Логинову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Макаров, Михаил Юрьевич, 2004 год

1. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:Наука, 1978, 304с.

2. Арнольд В.И. Динамические системы, N.6, 1985, ВИНИТИ, Москва.

3. Баутин Н.Н. Критерии опасных и безопасных границ области устойчивости // ПММ-1948/Г.12,6,691-728.

4. Баутин Н.Н. Поведение динамических систем вблизи области устойчивости, M.-JL: ОГИЗ Гостехиздат,1949,164 С.

5. Брушлинская Н.Н. Качественное интегрирование одной системы дифференциальных уравнений в области, содержащей особую точку и предельный цикл // Докл. АН СССР, 1961,Т.139,1,9-12.

6. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: ГИТТЛ, 1956, 344с.

7. Вайнберг М.М.,Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.,Наука,1969-524С.; Noordorf Int. Publ., Leyden,1974.

8. Ван дер Варден Б.Л. Метод теории групп в квантовой механике. РХД, 2000, 232 С.

9. Г.Вейль. Классические группы, их инварианты и представления. ИЛ, 1947, 498С.

10. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М. Наука. 1981. 176 С.

11. И. Владимиров С.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения с дискретной группой симметрии // ДУ. 12(1975). 7. 1180-1189.

12. Гельфанд И.М., Минлос P.JI., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. М., 1958.

13. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые её приложения.-М.:Наука, 1985, 408 с.

14. Демиденко Г.В., Успенский С.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск, Научная книга, 1998, 438с.

15. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука. 1967. 472 с.

16. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике.-М.: Наука, 1983, 280 с.

17. Йохвидов И.С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Москва, Наука, 1974, 264 с.

18. Коддингтон Э.А. Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ. 1958. 474 с.

19. Коноплева И.В.,Логинов Б.В. Обобщенная жорданова структура и симметрия разрешающих систем в теории ветвления// Вестник Самарского Гос. Университета, 2001, 4(22), 56-84.

20. Красносельский Н.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956, 392с.

21. Курдюмов С.П.,Малинецкий Г.Г. Синергетика теория самоорганизации. Идеи, методы, перспективы. Математика, кибернетика. М.:3нание, 2, 1983, 64с.

22. Логинов Б.В. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности. Ташкент, Фан, 1985-184 С.

23. Логинов Б.В. Ветвление решений нелинейных уравнений и групповая симметрия// Вестник Самарского Гос. Университета. 1998. 2(8). 15-70.

24. Логинов Б.В. Задачи теории ветвления, инвариантные относительно группы движений R*// Известия АН УзССР, ф.м.н., 1978,3,2023.

25. Логинов Б.В. Применение теории ветвления в условиях групповой инвариантности при построении периодических решений задачи о фазовых переходах в статистической теории кристалла// УМН,36(1981),4,209-210.

26. Логинов Б.В. Об инвариантных решениях в теории ветвления// ДАН СССР,246(1979),5,1048-1051.

27. Логинов Б.В. Инварианты и инвариантные решения в теории ветвления// Сб.,"Прямые и обратные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными и их приложения", Ташкент, Фан, 1978,117-133.

28. Логинов Б.В. Об устойчивости решений дифференциальных уравнений с вырожденным оператором при производной// Известия АН УзССР, ф.м.н., 1988,1,29-32; Письмо в редакцию.1988, 1,28-32;2,С.78.

29. Логинов Б.В. Общий подход к исследованию бифуркации рождения цикла в условиях групповой симметрии// Известия АН УзССР, ф.м.н.,1990,6, 16-18.

30. Логинов Б.В. Об определении уравнения разветвления его группой симметрии// Доклады РАН, 331 (1993),6,677-680; Russ.Acad.Sci.Dokl. Math.,48(1994),1,203-205.

31. Логинов Б.В. Уравнение разветвления в корневом подпространстве: групповая симметрия и потенциальность// Функциональный анализ, УлГПУ, 35 (1994),С.16-28.

32. Логинов Б.В. Бифуркация и симметрия в задачах о капиллярно-гравитационных волнах // Сибирский математический журнал, 42 (2001), 4, 868-887.

33. Логинов Б.В., Применение бифуркационных задач с нарушением симметрии. Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения, Коллективная монография (под ред. В.А.Треногина, А.С.Филиппова), 120-144.

34. Логинов Б.В., Ким-Тян Л.Р. Об устойчивости разветвляющихся решений дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения, 24 (1988), 4, 695-698.

35. Логинов Б.В., Макаров М.Ю. О роли обобщенной жордановой структуры при построении и исследовании уравнения разветвления бифуркации АндроновагХопфа// Вестник Самарской Государственной Экономической Академии 1999, 1, 224-233.

36. Логинов Б.В., Макаров М.Ю. Обобщённая жорданова структура и уравнение разветвления бифуркации Андронова-Хопфа// Сборник научных трудов Ульяновского Государственного Университета "Механика и процессы управления" 2000,41-51.

37. Логинов Б.В., Макаров М.Ю. Задачи о нарушении симметрии при бифуркации Андронова Хопфа. I// Вестник Самарского государственного университета. 2000. N 2 (16).54-68.

38. Логинов Б.В.,Макаров М.Ю. Групповая симметрия уравнения разветвления бифуркации Андронова-Хопфа в корневом подпространстве// Труды междун. конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", Самара, 2002, 220-223.

39. Логинов Б.В., Рахматова Х.Р., Юлдашев Н.Н. О построении уравнения разветвления по его группе симметрии (кристаллографические группы)// В сб. "Уравнения смешанного типа и задачи со свободной границей". Ташкент. 1987. 183-195.

40. Логинов Б.В., Русак Ю.Б. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления// Сб." Прямые и обратные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными и их приложения", Ташкент, Фан, 1978,113-148.

41. Логинов Б.В., Русак Ю.Б. Обобщенная жорданова структура аналитической оператор-функции и ее роль в теории ветвления. Депонированная рукопись N.1782-77-Деп, М.,ВИНИТИ-81с.; Дополнение-Депонированная рукопись N.29-78-Деп, М.,ВИНИТИ,-11с.

42. Логинов Б.В., Русак Ю.Б. Полные жордановы наборы в линейных задачах теории ветвления с групповой симметрией// Дифференциальные уравнения и их применения в механике, Ташкент, 1985, С.136-153.

43. Логинов Б.В., Ю.Б.Русак, М.Ю. Макаров Об устойчивости стационарных и периодических решений уравнений с вырожденным оператором при старшей производной// Вестник Ульяновского Государственного Технического Университета 2000, 2,4-12.

44. Логинов Б.В.,Сидоров Н.А.,Русак Ю.Б. Теорема существования точки бифурации в присутствии одной обобщённой жордановой цепочки нечётной длины// Математ. Моделирование. Росс. Акад. Наук 1997, т.9,10,30-31.

45. Логинов Б.В.,Треногин В.А. О применении непрерывных групп в теории ветвления// ДАН СССР, 197(1971),1,36-39; Soviet Math.Dokl.,12(1971)

46. Логинов Б.В.,Треногин В.А. Об использовании групповых свойств для определения многопараметрических семейств решений нелинейных уравнений// Математический Сборник, 85(1971),440-454; Math.USSR Sbornik, 14(1971),3,438-452.

47. Логинов Б.В.,Треногин В.А. Идеи групповой инвариантности в теории ветвления// В kh."Y Казахстанская межвузовская конференция по математике и механике" ,1, Математик,Алма-Ата,1974,206-208.

48. Логинов Б.В.,Треногин В.А. Об использовании групповой инвариантности в теории ветвления// ДУ, 11(1975),8,1518-1521.

49. Логинов Б.В.,Треногин В.А. Групповые матоды в теории ветвления. Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения// Коллективная монография (под ред. В.А.Треногина,А.С.Филлипова), 89-112.

50. Любарский Г.Я. Теория групп и ее применения в физике. М. ГИТТЛ. 1958. 356 С.

51. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.:Наука, 1965, 520с.

52. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения, М.-Л.: Гостехиздат, 1950,471 С.

53. Макаров М.Ю. Уравнение разветвления бифуркации Андронов -Хопфа для дифференциальных уравнений с вырожденным оператором при старшей производной// Труды IX научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи".1999,83-86.

54. Макаров М.Ю. Уравнение разветвления бифуркации Андронова-Хопфа с симметрией простой кубической решётки// Труды X научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". 2000,101-104.

55. Макаров М.Ю. Инвариантное представление уравнения разветвления бифуркации Андронова-Хопфа// Труды международной конференции по теории операторов и ее приложениям, Ульяновский Гос. педагогический Университет, 2001, 28-31.

56. Макаров М.Ю. Уравнение разветвления бифуркации Андронова-Хопфа с симметрией ромбической решётки// Ученые записки Ул-ГУ "Фундаментальные проблемы математики и механики", 1 (11), 2002, 111-119.

57. Марсден Дж.,Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и её приложения, М.:Мир,1980,368 С.

58. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики, М. Наука. 1969.

59. Моршнева И.В. Бифуркация рождения цикла в динамических системах с симметрией и свободная конвекция в жидкости: дис. канд. ф.м.н. Ростов-на-Дону, 1989, 130С.

60. Моршнева И.В., Юдович В.И. О ветвлении циклов из положений равновесия систем с инверсионной и вращательной симметрией// СМЖ, 26(1985),1,124-133.

61. Наймарк Ю.И. О некоторых случаях зависимости периодических движений от параметров// Докл.АН СССР,1959,Т. 129,4,736-739.

62. Некрасов А.И. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости. М.:Изд-во АН СССРб 1951, 96с.

63. Немыцкий В.В. Структура спектра нелинейных вполне непрерывных операторов// Мат.сб., т.33(75), 3, 1953, 545-558.

64. Николис Г., Пригожин М. Самоорганизация в неравновесных системах. М.:Мир, 1979, 512с.

65. Овсянников JI.B. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений, Новосибирск, НГУ, 1966 131 С.

66. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978 400 С.; Academic Press, NY, 1982.

67. Овсянников Л.В. Программа подмодели. Институт гидродинамики РАН, Новосибирск, 1992, 12с.

68. Овсянников Л.В. Об оптимальных системах подалгебр// Доклады РАН, 333, N3, 1993, 702-704.

69. Овсянников Л.В. Программа подмодели.Газовая динамика.// ПММ, 58(3), 1994, 30-55.

70. Овчинников С.Н., Юдович В.И. Расчет вторичного стационарного течения между вращающимися цилиндрами// ПММ, 32(1968),5,858-868.

71. Пуанкаре А. Избранные труды. Т.1.Новые методы небесной механики, Изд-во АН СССР, 1971,771 С.

72. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике. М.:Наука, 1984, 304с.

73. Русак Ю.Б. Обобщенная жорданова структура аналитической оператор-функции и сопряженной к ней// Известия АН УзССР, ф.м.н.,1978,2,15-19.

74. Русак Ю.Б. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления. Кандидатская диссертация// Ташкент, Институт математики АН УзССР, 1979,126С.

75. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов// Успехи мат. наук,1994,49 4,47-74; Engl.transl.Russian Math.Surveys (1994).

76. Свиридюк Г. А. Фазовое пространство нелинейных уравнений типа Соболева с относительно сильным секториальным оператором// Алгебра и анализ.1994.Т.6, 5,252-271. Engl.transl.6(1995).

77. Сидоров Н.А. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления, Иркутский Университет, 1982.-314 С.

78. Сидоров Н.А., Благодатская Е.Б. Дифференциальные уравнения с фредгольмовым оператором при старшем дифференциальном выражении// ДАН СССР,1991,1087-1090;Engl.transl.Soviet Dokl.Math.,v.36(1991).

79. Сидоров Н.А.,Треногин В.А. Условия потенциальности уравнения разветвления и точки ветвления нелинейных операторов// Узбекский мат. журнал, 1992, N 2, 40-49.

80. Тер-Крикоров A.M. Нелинейные задачи и малый параметр. Математика, кибернетика. М.:3нание, 3, 1984, 64с.

81. Треногин В.А. Функциональный анализ.-М.:Наука, 1980, 495с.

82. Треногин В.А. Периодические решения и решения типа перехода в абстрактных уравнениях реакции-диффузии// Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Новосибирск, Наука, СО АН СССР,1988,134-140.

83. Треногин В.А., Сидоров Н.А. Исследование точек бифуркации и нетривиальных ветвей решений нелинейных уравнений// Дифференциальные и интегральные уравнения, Иркутский Университет, 1(1972),216-247.

84. Хакен Г. Синергетика. М.:Мир, 1980, 404с.

85. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир. 1985.

86. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах. М.:Мир, 1979, 279с.

87. Юдович В.И. Свободная конвекция и ветвление// ПММ, 31 (1967), 1, 101-111.

88. Юдович В.И. Возникновение автоколебаний в жидкости// ПММ, 35(1971), 4, 638-655; J.Appl.Math.Mech.,35(1971).

89. Юдович В.И. Исследование колебаний сплошной среды,возникающих при потере устойчивости стационарного режима// ПММ, 36(1972), 3, 450-459; J.Appl.Math.Mech.,36(1972).

90. Юдович В.И. Метод линеариззации в гидродинамической теории устойчивости. Университет Ростов-на-Дону, 1984, 132с.

91. Юдович В.И. О бифуркации рождения цикла из семейства равновесия динамической системы т ее затягиваний // ПММ, т.62,.1, 1998, 22-34.

92. Юдович В.И. Косимметрия вырождения решения операторных уравнений, возникновения фильтрационных конвекций // Математические заметки, т.49, 5, 1991, 142-148.

93. Andronov A.A., Witt A., Sur la theorie mathematiques des autooscillations, C.R.Acad.Sci.Paris.l930.-V.190,256-258.

94. Cicogna G. Symmetry breakdown from bifurcation, Letters Nuovo Cimento, 31(1981), 600-602.

95. Crandall M.G., Rabinowitz P.H. The Hopf bifurcation theorem in infinite dimensions// Arch.Rational Mech.Analysis, 67, 1, 1977, 5372.

96. Golubitsky M., Schaeffer D. Singularities and groups in bifurcation theory, Appl.Math.Sci., 51(1),1984 463 p.

97. Golubitsky M.,Stewart I.,Schaeffer D. Singularities and groups in bifurcation theory, 69(2),1985 534 p.

98. Hopf E. Abzweigung einer periodischen Losung von einer stattionaren Losung eines Differential systems, Ber.Math.-Phys. Sachsische Academie der Wissenschaften Leipzig, 1942,V.94,H.l-22.

99. Iooss G., Adelmeyer M. Topics in Bifurcational Theory and Appl., 1998, World Sci.Singapore, Subject-central manif.

100. Levi-Civita T. Determination rigoureuse des ondes permanentes d'ampleur finie// Math.Ann., 1925, bd.93, s.264-324.

101. Lie S. Theorie der Transformationsgruppen, Teubner, 1893, 632 s.

102. Loginov B.V. On the determination of branching equation in nonstationary branching by its group symmetry// "Modern Group Analysis and Problems of Mathematical Modelling", Proc. XI Russian Colloq., Samara University,7-11 June 1993,112-114.

103. Loginov B.V. Bifurcation equation of nonstationary branching with symmetry induced by spatial variables// Uzbek Math. J.,1995,1,58-67.

104. Loginov B.V. Determination of the branching equation by its group symmetry Andronov-Hopf bifurcation// Nonlinear Analysis. TMA, 28(1997),12,2033-2047.

105. Loginov B.V. Branching equation in the root subspace// Nonlinear Analysis.TMA,32(1998),3,439-448.

106. Loginov B.V., Konopleva I.V. Symmetry of resolving systems in degenerated functional equations// Symmetry and Differential Equations: Proc. of Int. Conf.-Krasnoyarsk:ICM Siberian Branch RAN, 2000, p.145-148

107. Loginov B.V., Konopleva I.V. Symmetry of resolving systems for differential equations with Fredholm operator at the derivative// Proc.Int.Conf. MOGRAN-2000: Ufa, USATU (V.A.Baikov, R.K.Gazizov, N.H.Ibragimov, F.M.Mahomed-eds), p.116-119.

108. Loginov B.V., Makarov M.Yu. On the role of generalized Jordan structure at the construction and investigation of branching equation for Andronov-Hopf bifurcation// Buletin stiint. Ser. Math. Inform., University of Pitesti, Romania, N6, 2000, 115-200.

109. Loginov B.V., Makarov M.Yu. Branching equation in the root subspace group symmetry in dynamic bifurcation// Proc. Ill International Conference "Symmetry and Diff. Equations", Krasnoyarsk, 2002, 148153.

110. Loginov B.V., Makarov M.Yu. Branching equation in the root subspace for Andronov-Hopf bifurcation// Proc. of International Conference CAIM-X, Pitesti University, 2003.

111. Loginov B.V., Makarov M.Yu., Rousak Yu.B. International Conference "Functional analysis. Valencia 2000" Abstracts "Canonical Jordan Sets and Andronov-Hopf bifurcation" 3-7 07.2000, p.74-75.

112. Loginov B.V., Rusak Yu.B. Generalized Jordan structure in the problem of the stability of bifurcating solutions// Nonlinear Analysis. TMA, 17(1991),3, 219-231.

113. Loginov B.V.,Sidorov N.A.,Trenogin V.A. Existence of bifurcation at the presence of one Jordan chain of an odd length// Uzbek Math. J.,1993,3,64-68

114. Loginov B.V., TVenogin V.A, Group Symmetry of Bifurcation Equation in Dynamic Branching// ZAMM, 76(1996) ,suppl.2, 237-240.

115. Loginov B.V.,Trenogin V.A. Branching equation of Andronov-Hopf bifurcation under group symmetry conditions// CHAOS, Amer.Inst.Phys., 7(2)(1997),229-238.

116. Poincare H. Les methodes nouvelles de la mecanique celeste. Paris, Gauthier-Villars, 1892.

117. Ruelle D. Bifurcations in the presence of a symmetry group// Arch. Rat. Mech. Anal.,1973, V.51, 2, 136-152.

118. Sattinger D.H. Group representation theory and branch points of nonlinear equations// SIAM J.Math.Anal.,8(1977),2,179-201.

119. Sattinger D.H. Group representation theory,bifurcation theory and pattern formation// J.Funct.Anal.,28(1978),1,58-101.

120. Sattinger D.H. Group theoretic methods in bifurcation theory. Lecture Notes in Math., 762(1979) -240 p.

121. Sidorov N.A., Loginov B.V., Sinitsyn A., Falaleev M. Lyapounov-Schmidt methods in nonlinear analysis and applications. Kluwer Academic Publishers, 2002, 548p.

122. Sidorov N.A., Trenogin V.A., Loginov B.V. Bifurcation, potentiality-group-theoretical and iterative methods// ZAMM, 76 (1996), 2, 246248.

123. Schmidt E. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. Teil 3. Uber die Auflosungen der nichtlinearen1.tegralgleichungen und die Verzweigung ilirer Losungen.-Math.Ann.,1908,v.65, s.370-399.

124. Struik D.J. Determination rigoureuse des ondes irrotationelles periodiques// Math.Ann., 1926, bd.95, s.595-634.

125. Trenogin V.A., Sidorov N.A., Loginov B.V. Potentially, group symmetry and bifurcation in the theory of branching equation// Differential Integral Equations, 3(1990), N 1, 145-154.

126. Vanderbauwhede A. Local bifurcation and symmetry, Habilitation Thesis, Rijksuniversiteit Gent, 1980.

127. Vanderbauwhede A. Local bifurcation and symmetry, Res.Notes Math., 75(1982), Pitman, Boston 350 p.