Модели многопараметрических бифуркаций для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка в краевых задачах о дивергенции удлинённой пластины в сверхзвуковом потоке газа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Бадокина, Татьяна Евгеньевна

• Бадокина, Татьяна Евгеньевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Бадокина, Татьяна Евгеньевна

Оглавление

Введение

Глава 1. Моделирование статической потери устойчивости удлинённой пластины в сверхзвуковом потоке газа сжимаемой/растягиваемой внешними краевыми усилиями

1.1 Двупараметрические бифуркации для ОДУ четвёртого порядка. Применение методов теории ветвления решений нелинейных уравнений

1.2 Граничные условия А и С

1.3 Граничные условия В

1.4 Граничные условия В'

1.5 Описание комплекса программ и численных методов по определению критических многообразий и построению асимптотики бифуркационных задач

Глава 2. Моделирование статической потери устойчивости удлинённой

упруго опертой пластины в сверхзвуковом потоке газа

2.1 Однопараметрические бифуркации для ОДУ четвёртого порядка. Применение методов теории ветвления решений нелинейных уравнений и теории катастроф

2.2 Граничные условия В

2.3 Граничные условия В'

Глава 3. Общая модель дивергенции тонкой удлинённой упруго опертой пластины в сверхзвуковом потоке газа

3.1 Многопараметрические бифуркации для ОДУ четвёртого порядка. Применение методов теории ветвления решений нели-

нейных уравнений

3.2 Граничные условия В

3.3 Граничные условия В'

3.4 Граничные условия D

Заключение

Литература

Приложение А. Коэффициенты функции Грина исследуемых краевых

задач

А.1 Функция Грина для задач 1 главы

А. 1.1 Граничные условия А. Случай D < 0

А.1.2 Граничные условия С. Случай D < 0

А.2 Функция Грина для задач 2 главы

А.2.1 Граничные условия В. Случай 2

А.З Функция Грина для задач 3 главы

А.3.1 Граничные условия В. Случай 1°

А.3.2 Граничные условия В. Случай 2°

А.3.3 Граничные условия В. Случай 3°

А.3.4 Граничные условия D. Случай 1°

А.3.5 Граничные условия D. Случай 1 — 2°

А.3.6 Граничные условия D. Случай 2°

Приложение Б. Вычисление коэффициентов УР

Б.1 Коэффициенты УР для задач первой главы

Б.1.1 Граничные условия А и С

Б. 1.2 Граничные условия В

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели многопараметрических бифуркаций для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка в краевых задачах о дивергенции удлинённой пластины в сверхзвуковом потоке газа»

Введение

Вторая половина XX столетия характеризуется интенсификацией исследований нелинейных явлений как в республиках СССР, так и за рубежом. В монографии М.М.Вайнберга и В.А.Треногина [38] было впервые дано систематическое изложение теории ветвления(ТВ) решений нелинейных уравнений с позиций современного функционального анализа, основанной на редукции нелинейной задачи к эквивалентной конечномерной системе трансцендентных алгебраических уравнений с малым параметром. Классические результаты A.M. Ляпунова [64] и Э. Шмидта [23] представлены здесь на существенно более высоком уровне. ТВ как одно из направлений качественной теории дифференциальных уравнений возникла на рубеже XIX и XX столетий при исследовании прикладной задачи математического описания возможных фигур равновесия вращающейся жидкой массы [64, 78] и в общей теории нелинейных интегральных уравнений [23]. Дальнейшее развитие ТВ диктовалось прикладными задачами математической физики и нелинейного анализа. В первой четверти XX столетия методами теории ветвления и конформных отображений А.И. Некрасов [73] решает плоскую задачу о гравитационных волнах на свободной поверхности бесконечного слоя жидкости. Двумя годами позже эти результаты были получены другими методами Т. Леви-Чивита [13] и Д. Стройком [28]. Л. Лихтенштейн [14] и Л.Н. Сретенский [82] дают современное для того времени развитие результатов A.M. Ляпунова и А. Пуанкаре о фигурах равновесия небесных тел. H.H. Назаров [71] публикует исследования по ветвлению решений нелинейных интегральных уравнений и точкам бифуркации нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна. В 50-х гг. И.Г. Малкин [65] и Л. Чезари [89] применяют методы теории ветвления к задачам о периодических решениях

обыкновенных дифференциальных уравнений, в них последовательно прослеживается связь теории ветвления с задачами устойчивости решений [66], в основе которых лежали фундаментальные исследования А.М. Ляпунова по устойчивости. Таким образом, основополагающие результаты ТВ возникли в математическом моделировании гидродинамических процессов и общей теории нелинейных функциональных уравнений.

М.А.Красносельским [50] доказана теорема существования разветвляющихся решений задачи о точке бифуркации, в работах В.А.Треногина получает развитие метод диаграмм Ньютона [87] и аппарат обобщённых жордановых цепочек [84,85]. В работах П.Г.Айзенгендлера, М.М.Вайнберга, В.А.Треногина [36,37] применяется кронекеровский метод исключения для исследования уравнения разветвления (УР).

Обзору зарубежных часто ещё не опубликованных работ по теории ветвления и бифуркаций посвящена монография Л.Ниренберга [75]. Многочисленным приложениям ТВ в естественно-научных дисциплинах посвящены труды конференций [2,83]. Дальнейшее развитие ТВ характеризуется сочетанием вариационных, топологических и теоретико-групповых методов. В 1971 году Н.А.Сидоровым и В.А.Треногиным применением топологических методов (теории степени отображения) непосредственно к системе разветвления была доказана наиболее общая теорема существования решений задачи о точках бифуркации [88], развита общая теория регуляризации в задачах теории ветвления [80,81]. Эти результаты изложены в докторской диссертации Н.А.Сидорова, изданной в качестве монографии [79].

Первые результаты использования групповой симметрии в теории ветвления принадлежат В.И.Юдовичу [38,92]. Они были применены им и его сотрудниками при решении ряда задач гидродинамики [31,44,70,91]. Последовавшее развитие теории ветвления в условиях групповой инвариантности содержится в [58,62,63], где был предложен метод группового расслоения для построения редуцированного уравнения разветвления (см.обширную

библиографию в монографии [58]-обзоре результатов по 1980 год и [53]). В частности, в [58,62] доказана теорема о наследовании групповой симметрии нелинейной задачи соответствующим УР, открывшая новый подход к экви-вариантной теории ветвления - использованию методов группового анализа дифференциальных уравнений (ДУ) [76]. Эти методы позволили решить задачу построения общего вида УР по наследуемой им группе симметрии как в стационарном [16,60], так и в нестационарном [15,56,86] ветвлении (см. обзорную работу [53]). Указанное сочетание топологических, вариационных и теоретико-групповых методов отражено в коллективной монографии [74] и монографиях [24,49].

В бифуркационных задачах, описываемых ОДУ четвёртого и более высоких порядков, часто возникает сложная зависимость уравнений от бифуркационных параметров. Это значительно осложняет выявление критических значений этих параметров, особенно в многопараметрических бифуркационных задачах, что препятствует их исследованию в точной постановке. В диссертации это явление рассматривается на примере краевых задач для дифференциальных уравнений четвёртого порядка, описывающих статические бифуркационные задачи аэроупругости, возникающие при исследования поведения упругих пластин и оболочек в потоке газа.

Задачи аэроупругости,являющиеся по существу бифуркационными, начали изучаться в конце 30-х годов прошлого века, однако для их исследования методы теории бифуркаций не применялись. При исследовании поведения упругих пластин и оболочек в потоке газа возникают сложные модели взаимодействия. Соответствующие дифференциальные уравнения выводились на основе предложенного академиком Ильюшиным закона плоских сечений ("поршневой теории"), к которым затем применялись вариационные методы, преимущественно метод Галёркина. Результаты, полученные в этом направлении представлены в работах Болотина В. В. [11,35], Вольмира А. С. [43], Григолюка Э. И. [30], Бисплингхоффа Р. Л., Эшли X., Халфмана Р.

Л. [34], Ильюшина А. А., Кийко И. А. [45], Алгазина С. Д., Кийко И. А. [29], Мовчана А. А. [67,68],Доуэлла Е.Х., Ильгамова М.А. [7] и др.

В диссертации предложен прием, позволяющий исследовать дивергенцию удлинённой пластины в сверхзвуковом потоке газа с соответствующим нелинейным ОДУ 4-ого порядка, зависящим от двух и трёх бифуркационных параметров при различных условиях закрепления в точной постановке. Зависимость дифференциального уравнения от бифуркационных параметров, выраженная через корни соответствующих характеристических уравнений линеаризации, позволяет дать точную постановку задач дивергенции, поскольку корни характеристического уравнения при использовании методов отделения этих корней можно определить с любой степенью точности. Считая эти корни заданными точно, нетрудно найти критические бифуркационные кривые и поверхности, в окрестности точек которых строится асимптотика разветвляющихся решений в виде сходящихся рядов по малым параметрам отклонения бифуркационных параметров от их критических значений. Таким образом мы определяем соответствующие малые по норме функциональных пространств решения в отличие от многих работ, дающих либо качественную картину решений, либо применяющих сеточные методы.

В задачах аэроупругости различают две формы потери устойчивости -статическую и динамическую, соответственно стационарные бифуркационные задачи и бифуркацию Пуанкаре-Андронова-Хопфа. Выпучивание (дивергенция) - статическая потеря устойчивости деформируемых элементов конструкции в потоке газа, которая приводит к изгибным деформациям конструкции. Флаттер - динамическая колебательная потеря устойчивости деформируемых элементов конструкции, которая приводит к периодическим незатухающим колебаниям, повышению износа в процессе эксплуатации и возможному последующему разрушению конструкции [46]. При создании современных летательных аппаратов предъявляются повышенные требова-

ния к прочности конструкции. Таким образом разработка новых эффективных и надежных методов расчета модельных задач потери устойчивости

является актуальной задачей.

Зависимость форм пластин и оболочек в потоке газа диктует применение симметрийных методов теории ветвления. С середины 70-х годов симметрийные методы в теории ветвления развиваются параллельно западными и советскими математиками. Теорема о наследовании была доказана позднее и применялась к задаче Бенара о конвекции в слое [21,22] для определения главной части УР. Эти результаты об образовании структур в бифуркационных задачах были также получены в [55] и применены в [57] к задаче кристаллизации жидкого фазового состояния в статистической теории кристалла. В 80-х годах были опубликованы фундаментальные работы А.Вандербауведе [26], М.Голубицкого, И.Стюарта и Д.Шеффера [8,9]. Они дают детальный обзор результатов западных математиков по эквивариант-ной теории ветвления. Основным средством исследований в [8,9]явилась теория особенностей гладких отображений. Однако, по нашему мнению, развиваемые А.Д.Брюно [88] методы многогранника Ньютона более перспективны, они позволяют исследовать УР при любых порядках вырождения линеаризованного оператора. В диссертации исследуются модели дивергенции удлинённых пластин в сверхзвуковом потоке газа, при исследовании которых симметрийные методы практически не применяются.

Стационарные бифуркационные задачи аэроупругости изучались в работах [35], динамические бифуркационные задачи в работах [10], в цикле работ И.Д.Чуешова [69], в ряде работ Ярославльской школы [12,51,52] и в

диссертации Л.ЭцЬгапа [25].

Бифуркационным задачам аэроупругости для пластин произвольной

формы и оболочек отвечает полная система фон Кармана [43] - система уравнений в частных производных, связывающих функцию прогиба и функцию напряжения. Модельные задачи аэроупругости для длинной пря-

моугольной пластины(пластины-полосы) описывается краевыми задачами для ОДУ 4-ого порядка. Методами теории бифуркаций задача о дивергенции прямоугольной пластины исследована в работе [61], детали см. в диссертации О.В.Кожевниковой [48]. Дивергенция удлинённой пластины при учёте только одного бифуркационного параметра - числа Маха - в работах П.А.Вельмисова и Б.В.Логинова [41,59], П.А. Вельмисова и С.В.Киреева [42], а также в кандидатской диссертации С.В.Киреева [47], в которых применялся метод групповых преобразований Ц.На, позволяющий сводить двухточечные граничные задачи для ОДУ 4-ого порядка к задаче Коши.

В работе [19] исследована наиболее простая модельная бифуркационная задача для удлинённой пластины с двумя бифуркационными параметрами ( сжатие/растяжение и число Маха) при использовании стандартных методов теории ветвления решений нелинейных уравнений [38]. Эта же техника применялась во всех наших работах [32,33]. При применении методов теорий бифуркаций и катастроф к нелинейным граничным задачам для ОДУ высоких порядков возникает ряд технических трудностей, связанных с исследованием спектра прямой и сопряжённой задач. Для их преодоления используется метод отделения корней характеристического уравнения с последующим представлением через них бифуркационных многообразий. Этот прием позволяет исследовать модельные многопараметрические бифуркационные граничные задачи для ОДУ высоких порядков в точной постановке, а также строить стандартными методами [72] соответствующие функции Грина [1,32], тем самым впервые [20] доказывая фредгольмовость линеаризованных операторов в модельных статических задачах аэроупругости.

Проблема построения функций Грина к краевым задачам для линейных ДУЧП, ОДУ и их систем является по сути дела интегральным представлением решений соответствующих задач. Одновременно построение интегрального представления решения является доказательством фредголь-

мовости соответствующего дифференциального оператора. Известны справочники функций Грина для ОДУ : 1) Э.Камке «Справочник по ОДУ», М.Наука, 1971 г, изд.4, где изложены общие принципы построения функций Грина для ОДУ -операторов и представлены решения отдельных ОДУ; 2) Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. «Справочник по нелинейным ДУ. Приложения в механике», Физматлит, М.:Наука,1993, в котором содержится решение многих ДУ, отсутствующих у Э.Камке; 3) Melnikov Ju.A. "Influence functions and matrices", M.Dekker, Inc., NY, Basel, цель которого построение функций Грина в задачах теоретической механики. В последнем справочнике автором отмечено отсутствие функций Грина в задачах аэроупругости, описываемых двухточечными граничными условиями для ОДУ четвёртого порядка в случае удлинённой пластины обтекаемой потоком газа, т.е. отмечено для каких задач теоретической механики имеется аппарат функций Грина, а для каких нет. Общие принципы построения функций Грина изложены в главе I монографии М.А.Наймарка «Линейные дифференциальные операторы», М., Наука, 1969 г., 2 изд. В аэроупругости особенно интересна задача обтекания потоком газа прямоугольной и круглой пластин, описываемых системой фон Кармана.

В первое десятилетие XXI века возобновилась деятельность В. В. Болотина и его коллег по задачам аэроупругости [3-6], исследованию флаттера посвящены многие работы В. В. Веденеева [27,39,40].

Многие задачи аэроупругости носят бифуркационный характер, когда при переходе определяющих явление параметров через их критические значения меняется картина решения. От тривиального решения ответвляются статические или осцилляционные. В первом случае говорят о дивергенции пластин, оболочек и т.п. Во втором - о флаттере. Имеющиеся решения тех и других задач либо численные, либо носят качественный характер, поэтому актуальным является решение задач аэроупругости в точной постановке, т.е. точного описания модельной бифуркационной картины разветвляющих-

ся решений и их устойчивости. Известная литература в этом направлении трудно обозрима и, как было сказано, либо это решения, выполненные численными методами с конкретным выходом на инженерные нужды, либо содержит их описание средствами качественной теории дифференциальных уравнений.

Основополагающие результаты по дивергенции и флаттеру пластин, а также обзор выполненных исследований до 1964 года дан в монографии А.С.Вольмира [43]. Современный обзор задач аэроупругости содержится в монографии А.С.Алгазина и И.А.Кийко [29].

В диссертации разрабатывается новый подход, замена ,точнее представление, бифуркационных параметров через корни характеристических уравнений, которые практически можно вычислить с любой точностью. Тем самым развиваемые в диссертационном исследовании методы позволяют вычислить точную асимптотику ответвляющихся стационарных или осцил-ляционных решений в моделях аэроупругости в виде сходящихся рядов по малым отклонениям от бифуркационных параметров. В этом и заключается актуальность выполняемых исследований.

Полученные результаты должны представляться одинаковыми формулами при описании бифуркационных явлений любых прикладных задач, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями 4-ого порядка с однотипными линеаризациями и одинаковыми граничными условиями. Это утверждение является основой математического моделирования многопараметрических бифуркационных задач.

Целью диссертации является исследование бифуркационных задач дивергентного типа, т.е. стационарных бифуркационных задачи аэроупругости для удлинённой пластины. Эта задача о прогибе пластины в сверхзвуковом потоке газа сжимаемой или растягиваемой внешними краевыми условиями, задача о прогибе пластины на упругом основании в сверхзвуковом потоке газа, эта же задача с учётом сжимающих (растягивающих)

краевых усилий, эта же задача для пластины, подпертой по некоторой срединной линии, параллельной краям. Помимо определения точной асимптотики разветвляющихся решений для применения разрабатываемого подхода нужно обосновать фредгольмовость линеаризации. Это достигается построением соответствующих функций Грина модельных бифуркационных задач. Таким образом в исследуемых нами задачах кроме вычисления точной асимптотики разветвляющихся решений, актуальным является также обоснование метода с помощью построения функции Грина [20].

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Обосновать бифуркационный характер модельных стационарных задач аэроупругости.

2. Доказать фредгольмовость граничных задач для ОДУ 4-ого порядка, описывающих дивергентные потери устойчивости удлинённых пластин, с помощью построения соответствующих функций Грина.

3. Дать точную постановку модельных задач аэроупругости с помощью выражения бифуркационных параметров через корни характеристических уравнений соответствующих линеаризаций.

4. Вычислить асимптотику разветвляющихся решений в виде сходящихся рядов по степеням малых отклонений от критических значений бифуркационных параметров на основе применения асимптотического метода Ляпунова-Шмидта и построения соответствующих уравнений разветвления (систем разветвления).

5. Создать программный комплекс вычисления асимптотики разветвляющихся решений, включающий визуализацию метода Штурма отделения корней характеристических уравнений в зависимости от существенных параметров задач, определение бифуркационных множеств, а также их визуализацию в виде рельефов при вариациях характер-

ных небифуркационных параметров (материал пластины, жесткость основания и т.п.).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Точная постановка бифуркационных задача аэроупругости, моделирующих статическую потерю устойчивости.

2. Обоснование фредгольмовости дифференциальных операторов задач о дивергенции удлинённой пластины с помощью построения функций Грина.

3. Доказательство существования критических многообразий в пространстве управляющих параметров и применяемые численные методы для их определения.

4. Построение решений стационарных задач аэроупругости в окрестностях точек бифуркации на основе разработанного программного комплекса.

5. Исследование самой общей задачи о потери устойчивости удлинённой пластины в сверхзвуковом потоке газа с учётом всех возможных существенных параметров

6. Программный комплекс, позволяющий вычислять асимптотику разветвляющихся решений бифуркационных задач

Научная новизна:

1. Метод Ляпунова-Шмидта теории ветвления решений нелинейных уравнений впервые применен к задачам о дивергенции удлинённой пластины в сверхзвуковом потоке газа.

2. Судя по справочнику Мельникова по функциям Грина в задачах механики функция Грина для задач аэроупругости построена впервые. Научная и практическая значимость В известных нам исследованиях задач аэроупругости применяется метод Галёркина, хотя эти задачи следует считать бифуркационными. Мы предполагаем более соответствующие характеру исследуемых задач методы теории бифуркаций, практически

не применявшиеся в известных нам работах. Практическая значимость проводимых нами исследований обусловливается возможными многими приложениями в авиастроении и космонавтике.

Достоверность выполненных исследований гарантируется применением методов нелинейного анализа и нелинейных дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: научной конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения-2011"(г.Санкт-Петербург, 11-16 апреля 2011 г.), 82nd Annual Scientific Conference ( Graz, Austria, April 18-21, 2011), Восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи"(г.Самара, 15-17 сентября 2011 г.), VI Международной научно-технической конференции "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем" (г.Пенза, 25-29 октября 2011 г.), научной конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения-2012"(Санкт-Петербург, 16—21 апреля 2012 г.), X международной Четаевской конференции (г.Казань, 12-16 июня 2012 г.), Третьей Международной научной конференции "Математическое моделирование и дифференциальные уравнения "(Беларусь, г.Брест, 17-22 сентября 2012 г.), научной конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения-2013"(г.Санкт-Петербург, 15-20 апреля 2013 г.), а также на ряде рабочих семинаров кафедры, где выполнялась эта работа.

Личный вклад. Основные результаты принадлежат лично соискателю. В тех местах, где требовался двойной просчет, он выполнялся совместно с руководителем работы.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 20 печатных изданиях [1,17,32], 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [33], 13 — в сборниках трудов конференций [18].

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и двух приложений. Полный объём диссертации составляет 163 страницы с 30 рисунками и 9 таблицами. Список литературы содержит 92 наименования. Диссертационная работа была выполнена в рамках государственного задания №2014/232 Минобрнауки. Тема НИР: Разработка математических методов исследования динамики и устойчивости деформируемых элементов конструкций, установок, приборов, устройств при аэро-годродинамическом, тепловом и ударном воздействиях.

Глава 1. Моделирование статической потери устойчивости удлинённой пластины в

сверхзвуковом потоке газа сжимаемой/растягиваемой внешними краевыми усилиями

1.1. Двупараметрические бифуркации для ОДУ четвёртого порядка. Применение методов теории ветвления решений

нелинейных уравнений

Задача об изгибе (выпучивании) тонкой гибкой пластины-полосы в сверхзвуковом потоке газа сжимаемой или растягиваемой вдоль оси Ох внешними краевыми усилиями является граничной задачей для нелинейного обыкновенного интегро-дифференциалього уравнения с двумя бифурка-ционными(спектральными) параметрами: сжимающее/растягивающее усилие и число Маха.

В безразмерных переменных задача описывается уравнением:

/ \ ГГ

¿х

X2 ((1 +"'1)з/2) " ™ = ** (»', М, к) + Ы' | [(1 + ~ 1

О

Рассматриваются граничные условия видов: А: правый и левый края шарнирно закреплены, ЦО) = к/'(0) = 0 , т(1) = ги"(1) - 0;

В: левый край свободен, правый-жёстко закреплен, «/'(0) = т'^О) = 0, м(1) = ь)'(1) = 0;

В': правый край свободен, левый-жёстко закреплен, и/(0) = «/(0) - 0, у/'(1) = т'"(1) = 0;

(1.1)

С: правый и левый края жёстко закреплены,

т(0) = гу'(О) = 0, т{1) = ги'( 1) = 0.

Здесь т — т(х) — прогиб пластины, 0 < Х\ < с/, —оо < У\ <

оо, а; = 0 < х < 1 — прямоугольные координаты; К(ги', М, к) = 1

1 — [1 + ^Мг(/]14-1 — при одностороннем обтекании, К(ги', М, к) = [1 — ^Мии'] ^ - [1 + ^Ми/] ^ - при двустороннем; Х2 = щт^, Г = в = и /с = где (¿ — ширина пластины, /г —её толщина, £ —модуль Юнга, д — коэффициент Пуассона, М — —— число Маха (и — скорость по-

Соо

тока газа, с^ —скорость звука в невозмущённом газе), « — показатель политропы, £>о— давление, д < 0/ д > 0 —сжимающее/растягивающее усилие. Интегральное слагаемое учитывает дополнительное усилие в срединной плоскости при прогибе.

Рисунок 1.1 — Обтекание пластины сверхзвуковым потоком газа.

Разложение нелинейности в ряды по степеням малого по норме решения w в окрестности критических значений (Tq, Mq) бифуркационных параметров (Т = Т0 + €\, М = Mq + £2), приводит уравнение (1.1) к виду

Bw = хV4) - Tqw" + aw' = x2 Qu/V4) + 3w"3 + 9w\

'w"w'" +

X

о r

+EXW" - l(2)kK£2w' + -w" / w'2dx + -

0

+ + ^ti2m0V3 + ...

+ ...

Здесь а = 1(2)ккМ, обозначение 1(2) соответствует одно- и двустороннему обтеканию пластины сверхзвуковым потоком газа.

Линеаризованная задача на собственные значения

Щи = х2™{4) ~ Тт{2) + агп' = 0 (1.2)

с четырьмя типами граничных условий А-С являются двухпараметрической спектральной задачей т.е. двухточечной граничной задачей.

Линеаризации (1.2) отвечает характеристическое уравнение :

гр

А4 — аА2 + 6А = 0, а = —, Ъ = Дг (1.3)

X X

для определения корней которого применяется метод Штурма. Отметим, что здесь применение формул Кардано для нахождения корней кубического уравнения вида у3 + ру + я — 0 даёт такие же возможности, что и применяемый нами метод Штурма. В обозначениях [90] многочлены /о и /1 имеют вид: /о = А4—а А2+6 А и Д = = 4А3-2аА+6. Тогда /2 = - = ^ А-Ъ и /з = — — 4°34а27ь2• Таблица 1.1 перемены знака многочленов /¿, % — 1,3 позволяет определить вид вещественных корней характеристического уравнения.

Следовательно, характеристическое уравнение (1.3) имеет:

1. Один отрицательный, два положительных корня и ноль для: 1.1. а > 0, /3 > 0;

2. Один отрицательный, пару комплексно-сопряжённых корней и ноль в случаях:

2.1. а > 0, /3 < 0;

2.2. а < 0, /3 < 0;

3. Один положительный, пару комплексно-сопряжённых корней и ноль при:

3.1. а < 0, /3 > 0.

Таблица 1.1 — Знаки функций fi для й > О/а < 0 и /з > 0//з < О

Множество /о Л /2 /з Число перемен знака

1. а > 0, /3 > 0

—оо _ + — + 3

0 + — — + 2

+оо + + + + 0

2. а > 0, /з < 0

—оо — + — — 2

0 + — — — 1

+оо + + + — 1

3. а < 0, /3 > 0

—оо — + + + 1

0 + — — + 2

+оо + — + + 2

4. а < 0, /3 < 0

—оо — + + — 2

0 + — — — 1

+оо + + — — 1

При а < О выражение /з = 4а,3^7Ь2 < О, следовательно третьего вида корней быть не может.

Таким образом, вид корней характеристического уравнения (1.3) определяется только знаком выражения И — 4Т3 — 27а2х2 и не зависит от знака коэффициента а, и следовательно от характеристик внешних усилий.

При исследовании алгебраического уравнения (1.3) возникают следующие возможности существования корней:

1°) £> > 0, один отрицательный, два положительных и нулевой корни Ах = —а, А2 = ръ Аз = Р2, Л4 = 0 (а > 0, # > 0 при г = 1,2);

2°) В = 0, один отрицательный, два равных положительных и нулевой корни Ах = -а, Л2,з = /?, Л4 = 0 (а, /3 > 0);

3°) В < 0, один отрицательный, нулевой и пара комплексно-сопряжённых корней Ах = —а, А2,з = 7 ± с>г, А4 = 0 (а, 7, ¿> > 0).

Вырожденный случай В = 0 получается при соответствующих предельных переходах от В > 0 при (5\ -» (32 и от Б < 0 при Д —»■ 0. Случай Т = 0 отвечает только обтеканию (этот случай рассмотрен во второй главе диссертации).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бадокина, Татьяна Евгеньевна, 2014 год

Литература

1. Badokina, T.E. Green functions for boundary value problems about divergence of elongated plate in aeroelasticity/ T.E. Badokina, B.V. Loginov, O.V. Makeeva// PAMM V.9 80-th GAMM Jahrestagung 9-13.02.2009.- Gdansk, Poland. - p.525-526.

2. Bifurcation theory and its applications in scientific disciplines//Annals of the New York Academy of Sciences, 1979, vol. 316 - 685 p.

3. Bolotin, V.V. Secondary bifurcations and global instability of an aeroelastic nonlinear system in the divergence domain/ V.V. Bolotin, A.V. Petrovsky, A.A. Grishko// J. Sound and Vibration, 1996. - v. 191. - № 3.- p. 431-451.

4. Bolotin, V.V. Non-linear panel flutter in remote post-critical domain/ V.V. Bolotin , A.A. Grishko, A.N. Kounadis, Ch. Gantes// Int. J. NonLinear Mechanics, 1998. - v. 33.- № 5- p. 753-764.

5. Bolotin, V.V. Influence of initial conditions on the postcritical behavior of nonlinear aeroelastic systems/ V.V. Bolotin, A.A. Grishko, A.N. Kounadis, Ch. Gantes, J.B. Roberts// Nonlinear Dynamics, 1998.— v. 15.- p. 63—81.

6. Bolotiin, V.V. An improved energy criterion for dynamic buckling of imperfection sensitive nonconservative systems/ V.V. Bolotiin, A.N. Kounadis, C.J. Gantes// International Journal of Solids and Structures, v. 38(42). -2001. p. 7497-7500.

7. Ilgamov, M.A. Studies in Nonlinear Aeroelasticity/ M.A. Ilgamov, E.H. Dowell - New-York-London - Tokyo: Springer-Verlag, 1988. - 456 p.

8. Golubitsky, M. Singularities and groups in bifurcation theory/ M. Golubitsky, D. Schaeffer. - v. 51(1). Applied Mathematical Sciences-New York: Springer-Verlag, 1985. - 463 p.

9. Golubitsky, M. Singularities and groups in bifurcation theory/ M. Golubitsky, I. Stewart, D.Schaeffer. - v. 69(2). Applied Mathematical Sciences.- New York: Springer-Verlag, 1988. - 534 p.

10. Holmes,P. Bifurcation to divergence and flutter in flow-induced oscillations: an infinite dimensional analysis/ P. Holmes , J. Marsden// Automática - 1978 - v. 14- p. 367-384.

11. Kounadis,A.N. An improved energy criterion for dynamic bucking of imperfection sensitive non conservative systems/ A.N. Kounadis, C.J. Gantes, V.V. Bolotin// International Journal of Solids and Structures. - 2001.-v.38 - p. 7487 - 7500.

12. Kulikov,A.N. An analogue of the Hopf bifurcation theorem in the problem of the mathematical investigation of non-linear panel flutter with a small damping coefficient/ A.N. Kulikov // Differents Uravneniya.- v. 29(5), 1993. - p. 780-785.

13. Levi-Civita,T. Determination rigoureuse des ondes permanentes d'ampleur finie/ T.Levi-Civita // Math. Ann. - 1925. - v. 93.- p. 264-324.

14. Lichtenstein,L. Vorlesungen über einige Klassen nichtlinearer Integralgleichungen und Integrodifferentialgleichungen nebst Anwendungen/ L. Lichtenstein.- Berlin, 1931. - 252 p.

15. Loginov,B.V. Determination of the bifurcation equation by its group symmetry - Andronov-Hopf bifurcations/ B.V. Loginov // Nonlinear Analisis. TMA.-1997.- v.28, №12.- p. 2033-2047.

16. Loginov,B.V. On the construction of the general form of branching equation by its group symmetry/ B.V. Loginov// EqualDiff, Englarged Abstracts - Praha - 1989. - p. 48-50.

17. Loginov,B.V. Green functions construction for divergence problems in aeroelasticity/B. V. Loginov, T.E. Badokina, O.V. Makeeva // ROMAI Journal.- 2008.- № 4(2).- p. 33-44.

18. Loginov B. Divergence of a thin elongated plate in supersonic gas flow/ B.Loginov, T.Badokina, Y.Rousak // book of abstract 82nd Annual Scientific Conference in Graz, Austria, April 18 - 21. - 2011. - p.-327.

19. Loginov,B.V. Strip-plate divergence as bifurcational problem with two spectral parameters / B.V. Loginov, O.V. Kozhevnikova, A.V. Tsyganov // STAMM - 2004: Proceedings of International Symposium on Trends in Applications of Mathematics to Mechanics.—Darmstadt, Germany. -2004. — p. 22.

20. Melnikov,Yu.A. Influence Functions and Matrices/ Yu.A.Melnikov.- Ser. Text and Reference Books Mech. Engng 119 - M.Dekker, 1999. - 469 p.

21. Sattinger,D.H. Group Representation Theory, Bifurcation Theory and Pattern Formation/ D.H. Sattinger// Journal of Functional Analysis. -1978.- v.28, m. - pp.-58-101.

22. Sattinger,D.H. Group theoretic methods in bifurcation theory: Lecture Notes in Mathematics/ D.H. Sattinger.- Springer-Verlag, Berlin Heidelberg and New York - 1979.- v.762. - 240-p.

23. Schmidt,E. Zur Theorie und nichtlinearen Integralgleichungen. Teil 3. U ber die Auflösungen der nichtlinear Integralgleichungen und die Verzweigung iher L ö sungen/ E.Schmidt. // Math. Ann. - 1908. - v. 65. - P. 370-399.

24. Sidorov, N. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications/ N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn, M. Falaleev// Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.- 2002 - v.550. -568 p.

25. Sijbrand, J. Studies in nonlinear stability and bifurcation theory/ J.Sijbrand- Ph.D. Thesis. University of Utrecht, 1981

26. Vanderbauwhede, A. Local bifurcation and symmetry. Res. Notes Math./ A.Vanderbrauwhede.-Boston: Pitman, 1982.- v.75. - 350 p.

27. Vedeneev V.V. Panel flutter at low supersonic speeds/ V.V. Vedeneev// Journal of Fluids and Structures, 2012.- V. 29.- C. 79-96.

28. Struik, D.J. Determination rigoureuse des ondes irrotationelles périodiques/ D.J. Struik// Mathematische Annalen, 1926.- v.95. -s. 595-634.

29. Алгазин, С.Д. Флаттер пластин и оболочек[Текст]/ С.Д. Алгазин, И.А Кийко- М.: Наука. - 2006. - 247 с.

30. Аэрогидроу пру гость [Текст]/ ред.Э.И.Григолюк.- Москва: Изд-во иностр. лит., 1961. — 101 с.

31. Бабаский, В.Г. О возникновении конвекции в самогравитирую-щем жидком шаре, нагреваемом изнутри [Текст]/ В.Г. Бабаский, И.Л. Скловская// ПММ, 1971.- т.35, №6. - С. 1000-1014.

32. Бадокина, Т.Е. Бифуркационная задача о дивергенции удлиненной пластины в сверхзвуковом потоке газа[Текст]/ Т.Е. Бадокина// Материалы научной конференции Герценовские чтения, 2011,11 -16 апреля 2011 г.- С. 23-31.

33. Бадокина, Т.Е. Построение асимптотики решений нелинейной краевой задачи для дифференциального уравнения четвертого порядка с двумя бифуркационными параметрами [Текст]/ Т.Е. Бадокина, Б.В. Логинов, Ю.Б. Русак// Известия Иркутского государственного университета.- 2012.-Серия «Математика» №1. - С.2-12.

34. Бисплингхофф, Р.Л. Аэроупругость [Текст]/ Р.Л.Бисплингхофф, Х.Эшли, Р.Л.Халфмэн.- Москва: Иноиздат, 1958. - 799 с.

35. Болотин,В.В. Неконсервативные задачи упругой устойчивости[Текст]/ В.В.Болотин.- М.:ГИФМЛ.- 1961. -339 с.

36. Вайнберг, М.М. Методы исследования в теории разветвления решений [Текст]/ М.М.Вайнберг,П.Г. Айзенгендлер// Итоги науки. Сер. Математика. Мат. анал. 1965, Москва: ВИНИТИ, 1966. - С.7-69.

37. Вайнберг, М.М. Методы Ляпунова и Шмидта в теории нелинейных уравнений и их дальнейшее развитие [Текст]/ М.М.Вайнберг, В.А.Треногин // УМН, 17:2(104) (1962), С.13-75.

38. Вайнберг, М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравне-ний[Текст]/ М.М.Вайнберг, В.А.Треногин- Москва: Наука, 1969.-524 е.; Leyden: Noordorf Int. Publ., 1974.

39. Веденеев, B.B. Предельные циклы колебаний при одномодовом флаттере пластины [Текст]/ В.В.Веденеев// Прикладная математика и механика, 2013.- Т. 77. З.-С. 355-370.

40. Веденеев, В.В. Флаттер пластины, имеющей форму широкой полосы, в сверхзвуковом потоке газа[Текст]/ В.В.Веденеев// Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа, 2005.- № 5.- С. 155169.

41. Вельмисов, П.А. Метод групповых преобразователей и ветвление решений в двухточечных граничных задачах аэроупругости [Текст]/ П.А.Вельмисов, Б.В.Логинов// Дифференциальные уравнения и их приложения материалы Междунар. конф. (20-22 дек. 1994 г.). - Саранск, 1995. - С. 120-125.

42. Вельмисов, П.А. Устойчивость пластины в сверхзвуковом потоке газа[Текст]/ П.А.Вельмисов, С.В.Киреев, А.О.Кузнецов // Журнал "Вестник УлГТУ №1,1999. Ульяновск: УлГТУ, 1999.- С. 44 -51.

43. Вольмир, A.C. Устойчивость деформируемых систем [Текст]/ А.С.Вольмир- Москва: Наука, 1967 - 984 с.

44. Изаксон, В.Х. О возникновении конвекции в слое жидкости со свободной границей [Текст]/ В.Х.Изаксон, В.И.Юдович// Известия АН СССР, МЖГ, 1968.- T.4.- С. 23-28.

45. Ильюшин, A.A. Колебания прямоугольной пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа[Текст]/ А.А.Ильюшин, И.А.Кийко // Вестник Московск. ун-та. Сер. 1.Математика. Механика, 1994. — №4. - С. 40-44.

46. Келдыш, М.В. Вибрации на самолете [Текст]/ М.В.Келдыш, Е.П.Гроссман, Н.Н.Марин.- Москва :Оборонгиз, 1942.- 56 с.

47. Киреев C.B. Математическое моделирование в задачах статической неустойчивости упругих элементов конструкций при аэрогидродинамическом воздействии [Текст]// Дисс. Канд. физ.-мат.наук. Ульяновск, 2005.- 218 с.

48. Кожевникова,О.В. О симметрии области в задачах теории ветвле-ния[Текст]: дис.на соиск.учен.степ.канд.физ.-мат.наук ()/ Кожевникова Ольга Валентиновна; Ульяновский государственный университет. -Ульяновск, 1999. - 105 с.

49. Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения [Текст]/ ред. В.А.Треногина, А.Ф.Филиппова-Москва: Физматлит, 2003.- 464 с.

50. Красносельский, М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных у равнений [Текст]/ М.А.Красносельский.- Москва: Го-стехиздат, 1956.—392 с.

51. Куликов, А.Н. Бифуркация автоколебаний пластинки при малом коэффициенте демпфирования в сверхзвуковом потоке газа[Текст]/ А.Н.Куликов// Прикл.математика и механика - 2009. - т.73.- №2-С.271-281.

52. Куликов, А.Н. Нелинейный панельный флаттер: опасность жесткого возбуждения колебаний [Текст]/ А.Н.Куликов// Дифференциальные уравнения. - 1992. - т.28. - №6 - С. 1080-1082.

53. Логинов, Б.В. Ветвление решений нелинейных уравнений и групповая симметрия [Текст]/ Б.В.Логинов// Вестник Самарского университета, 1998.-№4(10).- С. 15-75.

54. Логинов, Б.В. Задача о дивергенции крыла как пример теории ветвления решений нелинейных уравнений с двумя малыми параметра-ми[Текст]/ Б.В.Логинов//Дифференциальные уравнения и их приложения. - Ташкент, 1979. - С. 109-113.

55. Логинов, Б.В. Задачи теории ветвления, инвариантные относительно группы движений Лв[Текст]/ Б.В.Логинов//Известия АН УзССР, физ.-мат.н, 1979 - т.З.- С. 20-23.

56. Логинов, Б.В. Об определении уравнения разветвления его групповой симметрии[Текст]/ Б.В.Логинов// Доклады РАН, 1993 - т.331, №6-С. 677-680.

57. Логинов, Б.В. Применение теории ветвления с групповой инвариантностью при построении периодических решений задачи о фазовых переходах в статистической теории кристалла[Текст]/ Б.В.Логинов// Дифференциальные уравнения и вопросы теории ветвления. — Ташкент, 1982. - С. 54-91.

58. Логинов, Б.В. Теория ветвления решений нелинейных уравне-ний[Текст]/ Б.В.Логинов.- Ташкент: Фан, 1985.-184 с.

59. Логинов, Б.В. Расчет стержневых систем методом групповых преобразований [Текст]/ Б.В.Логинов, А.А.Азизова, А.О.Кузнецов// Современный групповой анализ. Методы и приложения.- Баку, 1989. - С. 914.

60. Логинов, Б.В. О построении уравнения разветвления по его группе симметрии (кристаллографические группы)/ Б.В.Логинов, Х.Р.Рахматова, Н.Н.Юлдашев// Уравнения смешенного типа и задачи со свободной границей. - Ташкент: Фан, 1987.- С. 183-195.

61. Логинов, Б.В. Вычисление собственных изгибных форм и асимптотики разветвляющихся решений бифуркационной задачи о дивергенции пластины [Текст]/ Б.В Логинов, О.В.Кожевникова// Известия РАЕН.—1998.—Т. 2, N З.-С. 112-120.

62. Логинов, Б.В. Об использовании групповой инвариантности в теории ветвления [Текст] / Б.ВЛогинов, В.А.Терногин// ДУ, 1975 - т.И, №8-С. 1518-1521.

63. Логинов, Б.В. Об использовании групповых свойств для определения многопараемтрических семейств решений нелинейных уравне-ний[Текст]/ Б.ВЛогинов, В.А.Терногин// Математический сборник, 1971, Т.85 - с. 440-454.

64. Ляпунов, A.M. Собрание сочинений [Текст]: в 6-х т./ A.M. Ляпу нов. -Москва: Изд-во АН СССР, 1959. - 645 е.- 4 т.

65. Малкин, И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний [Текст]/ И.Г.Малкин. - Москва: Гостехиздат, 1956. - 496 с.

66. Малкин, И.Г. Теория устойчивости движения [Текст]/ И.Г.Малкин. -Москва: Наука, 1966. - 530 с.

67. Мовчан, A.A. О колебаниях пластинки, движущейся в газе[Текст]/ А. А.Мовчан// ПММ, 1956. - Т.20. — Вып.2. - С. 211-222.

68. Мовчан, A.A. Об устойчивости панели, движущейся в газе[Текст]/ А.

A.Мовчан// ПММ, 1957. - Т.21. - №2. - С. 231-243.

69. Монвель, Л. Буте де О колебаниях кармановской пластины в потенциальном потоке газа[Текст]/ Л. Буте де Монвель, И.Д.Чуешов// Изв. РАН. Сер. матем., 63:2.- 1999. - С. 3-28.

70. Моршнева, И.В. О ветвлении циклов из положений равновесия систем с инверсионной и вращательной симметрией [Текст]/ И. В. Моршнева,

B.И.Юдович//СМЖ, 1985.- т.26, №- С. 124-133.

71. Назаров, H.H. Нелинейные интегральные уравнения типа Гаммер-штейна[Текст]/ Н.Н.Назаров// Труды Сред.-Аз. ун-та. - 1941. - вып. 33.(серия V-a, мат.) - С. 1-79.

72. Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы[Текст]/ М.А.Наймарк. М.: Наука, 1969.-528 с.

73. Некрасов, А.И. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости [Текст]/ А.И.Некрасов. - Москва: Изд-во АН СССР, 1951. - 96 с.

74. Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравне-ния[Текст]/ ред. В.А.Треногин, А.Ф.Филиппов.- Москва: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2003,- 464 с.

75. Ниренберг, Л. Лекции по нелинейному функциональному анали-зу[Текст]/ Л.Ниренберг- Москва:Мир, 1977.-232 с.

76. Овсянников, Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравне-ний[Текст]/ Л.В.Овсянников.- Москва: Наука, 1978,- 400 с.

77. Пановко, Я.Г. Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки [Текст]/ Я.Г.Пановко, И.И.Губанова.- Москва: Наука, 1987.-352 с.

78. Пуанкаре, А. Избранные труды: Том 1. Новые методы небесной меха-ники[Текст]/ А.Пуанкаре. - Москва: Изд-во АН СССР, 1971. - 771 с.

79. Сидоров, H.A. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвле-ния[Текст]/ Н.А.Сидоров. - Иркутск: Издательство ИГУ, 1982.-312 с.

80. Сидоров, H.A. Регуляризация вычисления вещественных решений нелинейных уравнений в окрестности точки ветвления [Текст]/ Н.А.Сидоров, В.А.Треногин // ДАС СССР, 1976.- т. 228, №5.- С. 10491052.

81. Сидоров, H.A. Регуляризация простых решений [Текст]/ Н.А.Сидоров, В.А.Треногин//Сиб. Мат. Журнал - 1978.- т. 19, 1. - С. 180-185.

82. Сретенский, Л.Н. Теория фигур равновесия жидкой вращающейся массы [Текст]/ Л.Н. Сретенский// УМН. - 1938. - вып. 5. - С. 187-230.

83. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значе-ния[Текст]/ ред. Дж.Келлер, Ст.Антманю - Москва:Мир, 1974. с-254.

84. Треногин, В. А. Возмущение собственных значений и собственных элементов линейных операторов [Текст]/ В.А.Треногин // ДАН СССР.-1956.- т. 167, т. - С. 519-520.

85. Треногин, В.А. Линейные уравнения в пространстве Банаха с малым параметром [Текст]/ В.А.Треногин// Материалы межвузовской физико-математической научной конференции Дальнего Востока, Хабаровск.- 1967.

86. Треногин, В.А. Периодические решения и решения типа перехода в абстрактных уравнениях реакции-диффузии [Текст]/ В.А.Треногин// Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений, Новосибирск: Наука, СО АН СССР,- 1988. - С. 134-140.

87. Треногин, В.А. Уравнение разветвления и диаграмма Ньюто-на[Текст]/ В.А.Треногин// ДАН СССР.- 1960.- т. 131. вып. 5. - С. 519522.

88. Треногин, В.А. Исследование точек бифуркации и нетривиальных ветвей решений нелинейных уравнений [Текст]/ В.А.Треногин, Н.А.Сидоров// Сб. "Дифференциальные и интегральные уравнения Изд. Иркутского Университета. - 1972. - т.1. - С. 216-247.

89. Чезари, Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных, дифференциальных уравнений [Текст]/ Л. Чезари. Москва: Мир, 1964. - 480 с.

90. Шафаревич, И.Р. О решении уравнений высших степеней (метод Штурма)[Текст] / И.Р.Шафаревич.- Москва: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954. - 24 с.

91. Юдович, В. И. Возникновение автоколебаний в жидкости [Текст] / В.И.Юдович// ПММ.- 1971.- т.35, №4. - С. 638-655.

92. Юдович, В.И. Свободная конвекция и ветвление [Текст] / В.И.Юдович// ПММ.- 1967.- т. 31, №1. - С. 101-111.

Приложение А. Коэффициенты функции Грина исследуемых краевых задач

АЛ. Функция Грина для задач 1 главы А. 1.1. Граничные условия А. Случай В < 0.

С\ =

4ггу'

эт(1-0

1 бгш7 сое (7^) — 4(и2 — 3)е7 вт^г^) 4-

+ (и2 + 9)е~21((и2 - 1) зт(7и(1 - £)) + 2и 0*3(7^(1 - О)) ~ -{и2 - 3){и2 - 1) зт(7гг(1 - О) ~ Щи2 + 1) соз(7п(1 - О) +(и2 + 1)(2и + е7((г*2 4- 3) зт(7гг) - 2«со8(7«)))е-27{1^) --{и2 4- 9)(2шГ27 + е7((гг2 - 1) вт7 - 2псо87))

+

С2

277

,7(1-0

х2ДаДс , ~ ¿и2 + 9)(и2 + 1)е~27((г*2 - 1) 8т(7«(1 - 0) +

О)) + Щи2 ~ 3)е7 соз(7и£) + 32Л7 Бт(-уи£) -2и(и2 + 1)е-7(1_^)((и2 4- 3) со8(7и) + 2^11(7«) - (и2 4- 3)е~7) + +2и{и2 4- 9) ((и2 - 1)е7со8(7и) + 2ие1уи - (и2 - 1)е~27)

Сз =

477 Х2АаАс

4е7(1Ч) (<и2 + 3) (8т(7и(1 - £)) + е7 эт^иО) + +2гг( соз(7^(1 - О) - е7 003(71^)) 4- е~7(1~2^ ((и4 + 6и2 - 3) вт(7и) + +8адсоз(7ад) - 8ие~7) - (и2 4-1)(г*2 4- 9)е7 8т(7и)

С4 =

477 {и2 + 9)

4e7(1^} (2u(e~27 cos{ju(l - £)) ~ e7 cos(7<)) +

- Sue"21 +

X2AaAg

+(u2 - 1) (e~27 sin(7tí(l - £)) + e7 sin +e7 (8ucos(ju) - (w4 + бu2 - 3) sinfr«) + (и2 + l)V27(1~e))

A =

27're

7^-27

„ . л 2u(t¿2 + l)e7(1+2^((ti2 + 3) sin(7i¿) - 2ucos(yu)) +

x A^Ag L

+(t/2 + 1 )e7(w)((ti2 + 3) sin(7u) - 2uœs(yu)) ((t¿3 + 3) sinfrO --2wcos(7<)) - (•и2 + 9)е7(зч)(02 - 1) -

—2wcos(7u)) ((и2 — 1) sin(7u£) — 2tí cos(7tí£)) — -4u(2(u2 - 3)e~7Í sin(7tí£) - 8шГ7* cos(7«0 - u(u2 - l)e2^) + +2u(u2 + 9)e27((t¿2 - l)e7 sinfru) - 2ue7 cosfrw) + 2we"27)

Do =

2y'e

7P~2-y

X2A Д I -2w(w2 + 1)e7(1+20((w2 + 3)cos(^) + 2wsin(^))~ -(и2 + l)e7(14)((tí2 + 3) cos(7tí) + 2wsin(7i¿)) ((и2 + 3) sin(7w£) -

-2ucos(7<)) + (t¿2 + 9)e7(34)((u2 - 1) cos(7tí) +

+2tísin(7tí))((tí2 — l)sin(7tí^) - 2wcos(7tí£)) + 2tí(l6tíe~7^sin(7tí£) +

+4(u2 - 3)e"7Í cos(7u£) + (и2 + l)(t¿2 + 3)e27Í) +

+2w(tí2 + 9)e27((w2 - l)e7cos(7tx) + 2ue7sin(7tí) - (u2 - l)e-27)

Dz =

u(u2 +1)77

e7(1+2í)((t¿4 + Qu2 - 3) sin(7u) - Sucos(yu)) +

X2AaAg

+8we27(1-^ + ((w2 + 3) Sin(7u(l _ £)) + cos(7u(l - 0)) +

+4e7(24)((w2 + 3) sin(7O - 2wcos(7^)) + 0* + l)(w2 + 9)e7sin(7tz)

Da = (2u cos(7tí£) - (w2 - 1) sin(7<)) + (u4 + 6t¿2 -

—3)e~7 sin(7tí) - 4е~7(1^} ((и2 - 1) sin(7«(l - £)) + 2и cos(7tí(l - £))) —(tí2 + l)2e~7^1-2^ sin(7tí) + 8iíe~7 cos{-yu) - Sue27

А.1.2. Граничные условия С. Случай D < 0.

Ci =

2ит

2 д д + 1)е 27(1 ^(ne7cos(7w) + 3e7sin(7w) - м) — {и2 + 9) (ие7 cos(7w) + е1 sin(7w) — we-27) — -е7^1-^ (V + 9)e-27(wcos(7w(l - О) - sin(7«(l - О)) ~ -и{и2 + 1) cos(7«(l - О) + ЗО2 - 1) sin(7u(l - О) +

+2(t¿2 - 3)e7sin(7i¿^) - 8ne7cos

С2 =

2 г

о Л Л и(и2 + 1 )е-27(1-°(ш?7 sin(7íz) - 2е7 cos(7i¿) + 3) -

x¿acAg l

-u{u2 + 9)(е-27 - e7 cos(7^) + ue7 sin(7ií)) + 9(w2 + 1) sin(7w(l - £)) + +e7(1^}{(tí2 + 9)e~27(wcos(7w(l - £)) - sm(7u(l - £))) +

- 3)e7cos(7i¿£) + 8u2e7sin(7^) - 3u(u2 + 1) cos(7w(l - O)}

C3 =

u(u2 + 1)75

e-27(i-í) ((u2 + 3)e7 sin(7tí) _ 2ue1 cos(7u) + 2u) -

Х2АСД G

-(w2 + 9)e7 sin(7u) + 2e7(w) (ue1 cos(7 v£) + 3e7 sin(7<) + +3sin(7i¿(l — £)) — t¿cos(7u(l - £)))

Ca =

u(u2 + 9)75

e7((w2 + 3) sin(7w) + 2i¿cos(7^) - (u2 + l)e~27(w)) -

X2AcAg

-2we~27 - 2e7(1_^ (ue1 cos(7u€) + ß7 sin(7i¿£) + +e_27(sin(7w(l - O) - ucos(7w(l - £))))

Di = 2f.e л7 \u{u2 4- l)e7(1+2í)(^cos(7u) + 3sm(yu)) 4-X Ac&GL

+(u2 4- 9)(sin(7 u£) + i¿cos(7i¿^))(sin(7i¿) + wcos(7w))e7^^ — — (u2 4- l)(wcos(7tí^) + 3sin(7ií£))(wcos(7w) + 3sin(7i¿))e7^"^ + 4-2we~7Í((w2 - 3) sin(7<) - 4ucosfruf)) - u2(u2 4- l)e27^ -—u(u2 4- 9) (e37(sin(ju) 4- ucos(yu)) — и)

Do =

2ybe

5 ¿,—27

X2AcAg

u(u2 + l)e7(1+2e)(wsin(7)w - 3cos(7u)) 4-4-(w2 4- 9)(sin(7i¿£) 4- wcos(7w£))(wsin(7í¿) — cos(7w))e7^3-^ — —(u2 4- l)(3sin(7w£) 4- и cos(7^))(i¿sin(7'w) — 3cos(7u))e7^'^ — -2ue^{(u2 - 3) cos+ 4t¿sin(7^)) + 3u(u2 4- l)e27e -—u(u2 4- 9)(e37(wsin(7ii) — cos(yu)) 4-1)

D, =

2иКл+ l)fel 2e7^(3sin(70 + ucos(7«0) - 2ue7(1+2^ 4-XZACAG L

+2e"7e(3sin(7w(l - 0) - i¿cos(7i¿(l - £))) + e2^((u2 + 3) sin(7ii) 4-4-2t¿cos(7n)) — (и2 4- 9) sin(7i¿)

D4 =

u(u2 4- 9)75e

5p—7

9 л л 2e7(3_í)(sin(7^) + и cos(7M^)) - (и2 + 3) sin(7^) 4-X^ACAG L

+(u2 4- l)e27^ 4- 2e"7Í(sin(7Zí(l - <£)) - wcos(7i¿(l - 0)) - 2ue37 44-2 и cos(7 u)

А.2. Функция Грина для задач 2 главы

А.2.1. Граничные условия В. Случай 2.

С, =

47Ё

(и2 + 8)(и- 2л/й^1) (2(и + 1) сое (7у/й^Т) +

Х2АвА с

+1)(гг + 2)2УгГ^Т(и + 2 - 2у/й^гТ)е~7(1-'/[Г1) + (и + 1)((и + 2)(^2 +

+4и + 12) у/и — 1 - 4гг3 - 6г*2 - 32г* + 24) е7 сое (7у/и - 1) -

-л/и + 1(и - 2) (2у/й^1(и + 1)(и + 2) - Ъи2 - 4)е7 вт (7у/и - 1)) -

((г* + 2)2л/и2 - (^/^ц^ + 2 _ 2лЛГ^Т) х

х сое (-ул/гг — 1(1 - О) ~ {(и - 2)л/й^Т + 6) вт (7л/и-1{1 - £))) + +е7((гг + 1)((ад3 + 2и2 + 20 и - 8)л/и^1 - 2 и3 - 6и2 - 12 и + +24) сое (7л/1 + и£) - л/йТТ((4и3 + 2-й2 + 8и - 8)у/и - 1 -5и3 + 2и2 - 4и + 8) вт (7VI + Щ

иА-

С2 =

47£

е—у(1-л/5=1)(1-0 + 1)(м + 2)2л/м^1(гх + 2 + >ДГ=Т) х + е7((и + + + 20и + 24) УгГ^Т + 4и3 + 6 и2 +

Х2Д*Д<?

+32и- 24)соэ(7у/и + 1) + (2 - и)у/и + 1(2(и + 1)(ад + 2)у/и-1 + +5 и2 + 4) вт (-ул/гГ+Т))) + + 8)(2хлт +

+и)у/йТТе7^^4^ ( - 2\/гГ+Тсо8 (7^гГ+Т) - и вт (7л/и + 1)) --(и + 2) V«2 - (и + 2 + 2у/и - 1) соз (7л/и - 1(1 - О) +

+((гг - 2)УгГ^Т - 6) зт (7у/й^1(1 - £))) - е7(1~е)({и + 1 )((и3 + 2и2 + +20и - 8)у/и - 1 + 2иА + б?/3 + 1бгг2 - 2и) сов (7\/гГП0 --у/и + 1{{4и3 + 2и2 + 8гг - 8)у/и - 1 + и4 + 5и3 - 2гг2 + 4и-

-8)зт(7чЛТП0))

479e-7((H-0(>/5=T+i)+0

C'A = -

((tí + 1) ((tí3 - 6u2 + 4tí - 8)v^—~ï -

X2AbA G

—2u3 + 10u2 - 32tí 4- 24)é1"^ - (2 - ufyju2 - l(VtTTT(tt 4- 2 --2>/w - 1) cos(7\A¿ + 1) 4- ((и - 2)y/u - 1 4- 6) sin(7\Aí + l))e27) x

u2

xe27ed+v^) - ^(ti + l)\/tí~^T((tí3 - 6tí2 4- 4tí — 8) — 2

-4u 4-12)) eos(7(1 - QVw4l) - Vu2 ~ l(yfiT^l(u3 - 10и2 4- 20и --56) - 2[и2 4 12м - 4)) sin(7(l - OvuTT^e27^^ - 2(tí - 1)(2 --u)2(2(u 4-1) eos(7£y/u 4-1) 4- (2 - u)y/u 4-1 sin^Vu 4-1)) x Xe7(V^í+2) _ ^ + i)^/^-^((w3 - 6t¿2 4- 4u - 8) 4- (tí2 -4u +

4-12)) eos(7(1 - Ç) VtT+I) - Vu2 - 1(2(tí2 4- 12u - 4) + (и3 - IQu2 4-4-20w + 56)VtT^T) sin(7(1 - -

- ((2 - tí)2 ((u 4- 2)y/u - 1 4- 2u - 2) (tí + 1) cos(7Vu 4- 1) -

tí2 — l((tí — 2)л/и - 1 - 6) sin(7y/u 4-1)1 1+2) + +(ti + 1) ((tí3 - 6u2 + 4u- 8)Vu-l 4-+2(u - l)(tí2 - 4u 4- 12)))е7(^+2^

С4 =

47Уе

4и3 - 2и2 + Su + 8) + у/и - 1(У - 2w2 +

+20i¿ + 8) j л/и2 - + (w - 2)2 + l)(it + 2 -

-Чу/и - 1) sin(7Vw + 1) - \/w2 - l((w - 2)y/u - 1 + 6) cos(7\/t¿TI) x

xe7(2-vCT)^е27е(1+^) + f - 2u2 + 20и + 8) + (4u3 -

-2u2 + Su + 8)) y/u2 — 1 eos(7(1 - 0VwTT) - ({uA + bu3 + 18w2 + +4и + 8)у/и — 1 - 6(u - 1 )(u3 -u2 + Su + 4)) sin(7(l - Оу/йТТ) x xe2lvÇZÎ + (V + 5u3 + 18u2 + 4u + 8)y/ü^l - 3(u - l)(w3 - u2 + +8и + 4)) sin(7(l - £) VwTT) - ((4w3 - 2u2 + 8u + 8) - Vw - l(w3 --2u2 + 20u + 8)) у/и2 — 1 eos(7(1 - 1) +

+2(ii - l)(t¿ - 2)2e7(^+2\V^TJ(u - 2) cosfrÉVu+T) + +2(i* - 1) sin^V^TI^e7^^) -

1){{и + 2)у/и- 1 + 2u- 2)sin(7\/w + 1) + y/u2 - l((u --2) v^T - 6) cos(7VwTT)) (и - 2)2е^^+2) - ((4w3 - 2u2 + +8u + 8) - v^T(u3 - 2u2 + 20и + 8)) y/u2 - l)

D^

=--X2&B&G— + + +

+24 - 16u) cos(jVu + 1) - Vu + l(u - 2)(2(u2 + u- 2)Vu - 1 --Su2 + Su + 4) sin(7v/w+T))e7v/ïï:rr + (u - 2 )2{u + l)((w + 2)Vuzrî --2и + 2)e27)e27(1+^rî^ + ((tt + 2) (((tí + 2) V^T - 2u + 2)(ti + 1) x X cos(7\/ti + 1(1 - 0) - Vu2 - lsin(7\/w +1(1 - 0)(iu - 2)\/w - 1 +

+6))e7v^I + (u + x)((w3 + 2u2 + 20u _ g)^/—[ _ 2tí3 -

-6tí2 - 16tí + 24)e27 cos(7Vw + Ц) + Vu + le27((-8tí - 2t¿2 + +8 - 4w3) VtT^T + 4u - 2w2 + u4 - S + 5u3) sin(7V/^TT<0)e7Cv/ÏÏZÎ -—(8 + w2)(t¿ — 2Vu — l)((2ti + 2) cos(yVu + 1) + +w sin (7 VtT+T) v/w~+T) ¿rív^+af)

D2 = —

(t¿2 + 8)(t¿ + 2\A¿ - 1) (2(t¿ + 1) cos(7\/w + 1) +

X2A5A G

+t¿V,^TTsin(7vV+T))e27Í(1+^) + ((2 + u)2((u + 1)V^T(2 + +th + 2Vu~~ï) cos(7VtT+T(l - 0) + (2 + u)Vu2- l((u - 2)^-1 --6) sin(7v/w+T(l - 0)) + (u + 1) ((ti3 + 2 u2 + 20t¿ - 8)Vw-l + +2u3 + 6u2 + 16tí - 24) cos(7VtT^IOe7(2+v/ïï3T) - Vw + l((4w3 + +2t/2 + 8tz - 8) Vw - 1 + w4 + 5u3 - 2tx2 + Au --S) sin(7WTT0e7(2+vCT))e^^rT + e2^{[u + 1)((гг3 - 2u2 + +4и + 24) Vu - 1 - 10u2 + 16tt - 24) cos(7Vu + 1) + +{u - 2) ((к + l)(u - 2)((2 + u)V^l + 2 u- 2)e7(2+v^) --Vu-h l(2(w2 + и - 2)vu- 1 - 4 + 3w2 - Su) sin^VtT+T

А, = 4Т

x2AbAg ,(« - 2)2+ !)((2 + UWU - 1 + 2и - 2) сов(7л/« + 1) +

+ sin(7\A¿ + 1)\A¿2 — 1((2 - —

-(2 - u)2((u + 1)((2 + и)у/и- 1 - 2и + 2) cos(7VwTT) + л/u + l(u2 + +2 - 3w + бд/^Т) sin(7V/wTT))e-7(v/ïïrî(1-e)--i) + 0 + 1) ((и3 - 6w2 + +4w - 8)y/v~^7 + 2u3 - Юн2 - 24 + - (и + 1) ((u3 -

-6w2 + Au - - 32u - 2u3 + 10u2 + 24)e7(~2+^vCT) +

+ ( - ((4w3 - 8 + 2u2 + 8u)Vu -1 + 5u3 - 2u2 + 4w - 8 + +u4)+ 1 cos(7 л/м + 1) + ((-3u3 - 6u2 + и4 + 8 - 12u)Vu - 1 + +2(и - 1 )(u3 - 5u2 - 12)) sin(7VwTT)) sinfry/u + W + ((« + 1)((«3 + +2u2 + 20и - 8)Vu - 1 + 2u3 + 6w2 + Ш - 24) cos(7\/w + 1) -—у/и + 1 ((—8 + 2и2 - 2Ы)у/й^1 + 6u2 - 3и3 + 56 + и4 --60u) sin(7VûTT)) cosfrvw+to + ( - \/w+t((8 -

-8« - 2u2 - 4u3)y/u - 1 - 2u2 + u4 + 4u - 8 + 5«3) cos(jVu + 1) -- sinfry/u + 1) ((—3i¿3 - 6w2 + и4 + 8 - 12и) у/и - 1 - 2(и - 1 )(u3 --5и2 - 12))) sin(7V^TT^) - (О + 1) ((и3 + 2и2 + 20z¿ - 8)\/и-1 --2и3 + 24 - 6и2 - 16u) cos(7л/и + 1) + у/и + 1 sin(7\A¿ + 1) ((24гг + +8 - 2и2)у/и - 1 + 6и2 - 3и3 + 56 + и4 - 60и)) cos(7у/и + 10 х xe-7(vct+f) __ _ i)(2 + и)2(уДГТТ(и - 2) sin(7v^no -

-2cos(7Vu+T0(u+ l))e~7(í+2)

4т

Х2ДвДо

(2 - и)2((и + 1)((2 + и) Vu - 1 + 2м — 2) sin(7Vu + 1) +

-hVûTT(u2 + 2-3 м - 6v/^rT) cos(7v/t7+T))e7(vCT(1-e)+í) --Vu + 1((-4м3 + 2u2 - 8 - 8w)\/ü^T - 8 + u4 + 22и2 - Зм3 -

+ (u - 2)2((m + 1)((2 + u)y/ñ=\ - 2м + +2) sin(7VuTI) - Vu + 1(2 - Зм + 6Vu - 1 + u2) cos^Vu + 1)) x

_ V^+T((8 + 4м3 + 8 и - 2u2)\fu—~î + 22 и2 + +м4 - 3м3 - 12и - + [(vwTT((4m3 -8 + 2м2 +

+8м)лД - 1 + и4 + 5м3 - 2м2 + 4м - 8) sin(7Vw + 1) + ((u4 - 3u3 --6u2 + 8 - 12u)Vu-l + 2(u - 1)(м3 - 5u2 - 12)) cos(7v/w+T)) x x sin(7Vu + 1С) - ((u + 1) ((м3 + 2u2 + 20и - 8)Vu - 1 + 2м3 + 6м2 + +16м - 24) sin(7\AT+T) + Vu + 1 cos(7Vu + 1) ((2и2 --24и - S)Vu - 1 + и4 + 6м2 - Зм3 + 56 - 60м)) cos(7Vu + 1£) x Xe7(-Î+V5=ï) + (vV+T((8 - 8м - 2м2 - 4м3)лЛГП[ + и4 - 2u2 + +4и - 8 + 5м3) sin(7\/w + 1) - ((-Зм3 - 6м2 + и4 + 8 - 12и)Vu - 1 -—2(м - l)(u3 - 5m2 - 12)) cos(7Vu + 1)) sin(7Vu + 10 + ((m + 1)((м3 +2м2 + 20м - 8) Vu - 1 - 2м3 + 24 - 6м2 - 16м) sinfrVu + 1) -—Vu + 1 cos(7л/м + 1) ((24м + 8 - 2u2)Vu- 1 + 6м2 - Зм3 + 56 + +м4 - 60м)) cos(7>/wTT0]- 2(м - 1)(2 +

+м)2((2м + 2) sin(7Vu + 10 + Vu + l{u - 2) cos(7x/ir+IO)e'7(e+2)

А.З. Функция Грина для задач 3 главы А.3.1. Граничные условия В. Случай 1°.

С\ =

- ^е7((2076 + 1\5\ + 782) + 72(<522 ~ 12<5?<$| ~

-54) - 6184 + 6181) вт№0 - 27<52(1474 + 472(<52 + 2^) - 6* - 2^ +

+¿1) совфО) - (72 + б2)2в'7( - 27(472 + б2 + ¿1) втй вш(й(1 - О)

-4-7^1^2 СОБ (5х соэ(с)2(1 - 0) + $1.(472 + б\ - б\) СО Б 61 8т(52(1 - О) +

+£2(472 - б2 + б2) вт б! С08(^2(1 - О))} +

+е-7(1-0|е7^ _ 27(2076 + 74(52 - 7б2) -

-72(<54 + 168181 + 15\) - 61 + 5\81 + 28181) 8шд2 вт(й(1 - О) +

+¿1(20-/ + 74(£2 + 7д1) + 72(4 - 12^1 - ¿4) - 62842 +

+8^22) вш 62 сов(й(1 - О) + 27^6"2(1474 + 472(£2 + 2б\) -

-5\ - 281822 + 8\) соб 62 сов(й(1 - О) + <№б76 + 74(39<*| +

+175?) + 572(£22 - 4б2^ - ¿Й - 8281 + 8\82) со8 62 вш(й(1 - С))) +

+<Ы72 + ¿22)2е~Т((472 - б2 + б2) вш - 47*1 соз <5^)}

Со =

ó-ie7(14)|e7^2(1276 + 74(7Ô| _ 15ô-2) _ 72(9¿4 + ¿2¿2

X2AGAB

-óí) - 0¡0¡ + öfö2) eos ô2Ç - 27(476 + {öl - 7ö\) - 2^2ö\[ö2 + 3¿22) + +3¿4¿2 - öföi) sin S2¿) + (72 + 522)2e-7( - 27(472 + Ö2 + +¿2) COS öl sin (52(1 - О + 47ô\<52 sin öi cos ¿>2(1 - О - ¿i(472 + ô\ --<@ sin öl sin ¿2(1 - о 4- ¿2(472 - + ój) cos öl cos d2(l - 0)} + +e-7(i-o|e7 ^27Jx(476 + 74(ô1 - 7Ö2) - 2j2öf(ö2 + 3<© + + +3öföi) sin¿2 cos ¿>i(l - f ) + (1678 - 476(7<52 - 2ö\) - 74(8^ + 9öjö% + +7ö2) + l2ö22(2lö\ + 80¡0¡ - ö\) - öföi + sin52sin5i(l - 0 --<Ш1276 + 74(7Ó22 - 15c)2) + 72(¿4 - 12ó\2ó1 - 9öi) + öiö2 --0¡0¡) cos б2 cos 5i(l - 0 - 27¿2(1676 - 274(Ш? - Aö\) - 72(11 öf + +18ö?ö2 - öi) + 4ö\ö22 - 2ö\öi) cos ¿2 sin ¿1(1 - O) --öMl2 + ¿1)2e~7 ((472 - ö2 + öl) cos 0¿ + 47*1 sin 0¿)}"

х2ДсДв { - ^ ((го/ + 74(7ôt + ó?) + 72(¿4 - 12¿?á? --S¡) - S4S2 + 0¡Ó¡) sinöxt + 27^(1474 + 472(2Ô\2 + S¡) + Si - 2S¡S¡ --S¡) cosS^ + (72 + S¡)2e<(27(472 + S¡ + S¡) sinS2 sinSi(l - £) +

(472 + ó¡ - S\) sin S2 eos Si (1 - i) + +¿2(472 - S\ + Si) eos S2 sin 5i(l - £) + 47SiS2 eos S2 eos ó\(l - 0)} +

- 27(2076 - J4{7S¡ + ó"2) - 72(7¿4 + 16S2S2 - S42) --S¡ + 28¡S¡ + SfSl) siníi sin<52(l - £) + ¿2(2076 + j4{7S¡ + S2) + +72(¿4 - 12S¡S¡ - Si) + SjSi - S4Sl) sin Si eos S2( 1 - 0 --27^J2(1474 + 4y2(2Sf + Si) + S\ - 2S\S22 - S$) eos Si cos S2( 1 - Ç)-—öi(76y6 + 74(39^ + 17S2) + 572(Ô^ - 4¿2<^ - ó'4) + S2S42 --S4S2) eosó'i sin¿2(l - O) + M72 + ^2)2е7((472 + S¡ - S2) sinS£ +

с4 =

Х2ДСДВ L^e-7(14){e-7(ó\(1276 + 74(7¿2 - Ш2) + 72(¿4 - 12^0"! -9ó1) 4 ó¡6i - öfö2) cosôiÇ + 27(476 + 74(¿2 - 70¡) - 272Ö2(3Ö2 +

+ 3Ô%4 - öföl) sinô^) - (72 4- V( - 27(472 + ¿2 4-+ô\) cos ö2 sin$i(l - О - ¿i(472 4- ö\ - Si) COS ö2 cos - f) + 4¿2(472 - 6¡ + öl) smö2 Sin5i(l - £) + 47¿i¿2 sin^a cos ¿i(l -£))} + +e7(i-ö{e-7( _ 2^(476 + 74(¿2 - 7öl) - 272öf (3¿>2 + Ó2) + --<^2) sinocosö2(l - £) + (1678 - 476(2c)2 + 7öl) - 74(7ö\ 4- 9öjö22 + 48<52) - -y2öi{öi + 80¡0l - 21$) - öiöi 4- ö\öl) sin sin (52(1 - Ç)--M2(1276 + 74(7ót - Ш2) + 72(¿í - 12Ö2Ö22 - 9¿4) 4 ö\ö\ --öföl) cos ¿1 cos ¿2(1 - 0 + 27#i(1676 4- 274(4Ó\2 - 11 S¡) + 72($ --180¡ól - 110%) + 40¡0¡ - 2ö\ö22) cos Ö2 sin5i(l - O) --¿i¿2(72 4- ^i)2e7((472 + ö2 - öl) cos <52£ - 47ó"2 sin Ö2Q }

Di =

h

' - <У1е7(1-°{ - ^e7 ((2076 + j4(ó¡ + 76¡) - y2(S¡ + +128¡S¡ - di) - 0¡5i + 6Í0¡) sin¿2£ - 27¿2(1474 + 472(ó^ + 2Ó¡) --S¡ - 2S2S2 + ó24) eos S2¿) + (72 + ö2)2e-7( - 27(472 + S2 + +<5f) sin ^ sin S2(l - 0 + ^i(472 + ¿2 - eos ¿i sin ¿>2(1 - 0 + +¿2(472 - S\ + ól) sin Öl cos ¿2(1 - £) - 47£i¿>2 cos öl cos <S2(1 - Я) } +

+e7(l+0|е-7(Г((1б78 + 476(ó-2 _ 2<52) _ 74¿2(17(52 + ^2) _ +

+ó1) - öföi + S2S¡) sin¿>2 - 27¿>2(1676 + 274(3¿2 + 4ö2) + 72(ô'4 --6<^22 + Si) - 2ö\öi) cos ¿2) sin - (27(476 + 74(¿2 - 7S¡) --2y2S¡{3S¡ + ö2) - S¡S¡ + 3ö2öi) sinÖ2 - (2076 + j\7ö2 - S2) + 72(¿í --12S\S22 - Si) - S¡S¡ + SlSi)S2cosS2)Si cos di] sin + [(27(76 + +l\7S¡ - S\) + 72(8f - 4S¡S¡ - 5ó24) - S2S42 - S¡) sin S2 -

— (4476 + 74(25¿>2 + 31® + 72(3ól + 4 S2S¡ + 5 ¿24) + S¡S2 -S2Si)ö2 cos ô2) sin Si - ((1276 + 74(7í>2 - 15S¡) + 72(Sf - 126¡8¡ - 9Si) -S4S¡ + 8¡8i) sin S2 - 27¿2(1474 + 472(2¿>2 + S¡) + ó'4 - 2S¡8¡ -

Si eos Si£ ) —

—Si) eos £2)¿>i eos Si -SMy2 + S¡)e7 ((472 - S2 + S2) sin S¿ - 47¿i eos S^) }'

Do =

<*ie7(1-ö|e7( - i2(1276 - 74(15i? - 7i2) - 72(9¿í + +12i2if - i4) - ó¡642 + i4i2) cosi2£ + 27(476 - 74(7i2 - i2) + +272i2(i2 - 3i2) + 3i4i2 + ötöi) smô2ç) - (72 + - 27(472 +

+ öl) cos i1 sin ö2{l - о - М47 + ¿í - ó2) sin öl sin i2(l - f ) + -fi2(472 - ó"2 + öl) cos cos i2(l - 0 + 47ixi2 sin öi cos i2(l - fl) } +

+е7(1+0|е-7^((1б78 + 476(ô-2 _ 2<52J _ 74ô|(170-2 + ^2) _ +

+if) - i4i4 + 0¡0¡) sin ¿2 - 27i2(1676 + 274(3i2 + 4ó*|) + 72(i4 --Qölöl + 0¡) - 20¡0i) cos¿2) cosii + (27(476 + 74(i2 -—7i|) - 272i|(3i2 + öl) - i4i2 + 3ö2öi) smö2 - (2076 + 74(7i? - ö22) + +72(if - 12i2if - öi) - ö\ö22 + ö2xöi)ö2 cosi2)ii sin iij sinii<£ +

+

(27(1276 + 74(7i2 - i2) + 72(i4 - 4i2i2 - 5i24) - ö2öi - 0¡) sini2 -—(4476 + 74(25i2 + 31i22) + 72(3i4 + 4i2i2 + 5i|) + öfö22 --i?i|)i2 cos i2) cos ii + ((1276 + 74(7i2 - 15i|) + 72(iJ - 12i2i| - 9$) -öföl + 0¡0Í) sin Ö2 - 27i2(1474 + 472(2i2 4- öl) + if -—2i2i| — ô'i) cos i2)ii sin ii ii cos — -iii2(72 + i2)e7((472 - i2 + öl) cos + 47ii sin ö^)}

*

x2agA; [üe~7(W){e~7( - ô'2(2°76+++^ -

-126¡0¡ - Si) + 8¡S4 - ótó¡) emSiÇ + 27¿I(1474 + 472(2S2 + ó¡) +

+6Î - 2S2S2 - ¿4) cos^) - (72 + <^)V(27(472 +

+ól + ö\) sin S2 sin ¿1 (1 - £) + Si (472 + S\ - Si) sin S2 eos Si (1 - £) +

+d2(472 - ó? + Si) eos S2 sin (1 - 0 + 47dií2cos<J2cos5i(l -£))} + +e-7(l+0 je7Q((l678 _ 476(2í2 _ ¿2) _ 74â2(7â2 + ^ _ ^2^4 +

+3Si) - SjS¡ + 8¡Sl) sin Si + +27ó\(1676 + 274(4^ + 3S22) + 72(S4 - 6S\S22 + +S¡) - 2SjSl) eos ó"i) sin S2 + (27(476 - 74(752 - ¿22) - 2j2S¡(S¡ +

+3¿2) - S2S¡ + 3c>4¿2) sin Si + (2076 + l\S2 + 7Si)

sin 82Ç —

72(¿í + 12S\Sl - S¡) - S¡6¡ + S\S22)Si eos Si) S2 eos S2 (27(1276 - l\S\ - 7Si) - 72(5¿>4 + 48¡Sl - Si) - 8¡8l - S¡) sin Si + +(4476 + 74(31¿I + 25ó1) + 72(5¿4 + 46¡ó2 + 3Si) + S2SÍ --SfSDSi eos Si) sin S2 + ((I276 - 74(15ó"2 - 7822) - y2(98f + +128jSl - Si) - 8¡8i + <5Í¿2) sin^i + 27¿i(1474 + 472(ót + +2 Si) -Sí- 2 S¡Sl + Si) eos Si) S2 eos S2 S2 eos ) --SiS2(72 + ¿2)V7((472 + 8¡ - él) sin 4- 47¿2 eos }

^ — SiÔo

X2AGAB - + 74(7Ö2 - 15if) + 72(i4 -

-12i2i2 - 90¡) - ó¡6¡ + 6¡0¡) cosó¿ + 27(476 + l\ö\ - 7ö%) --272i2(3i2 + i22) + 3i2i4 - i4i22) sin + (72 + i2) V ( - 27(472 + +<5? + ö%) cos 02 sin il(1 - £) - ii(472 + ö\ - ö%) cos Ö2 cos ii(l - £) + +i2(472 - i2 + ö\) sin ö2 sin öl ( 1 - £) 4- 47ix i2 sin ö2 cos ix ( 1 - £)) } -

_p-7(l+0/p7|

- 476(2i2 - i2) - 74i2(7i2 + 17i2) - 72i2(i4 + +3i2) - i4i4 + öfö2) sin ii + 27^(1676 + 274(4i2 + 3<5|) + +72(öf - 6i2i22 + 4) - 26Î4) cosô"i) cos¿2 - (27(476 -—74(7i2 - ö%) - 272i2(i2 + 3i2) - 0¡0¡ + 3ö\ö%) sin ¿>i + (2O76 + + +7ö%) - 72(i4 + \2ö\ö22 - ö%) - ö\öa2 + 0¡6%)0i cos ii)¿2 sin j sini2£ + + [(27(1276 - 74(ó1 - 7ô%) - 72(5i4 - 4i2i2 - ¿2) - öjö2 - 0¡) sin St + +(4476 + 74(3152 + 25ó|) + 72(5Í4 + 4i2i2 + 3i4) + 0¡0¡ --öfö'Döi cos ii) cos i2 - ((1276 - 74(1552 - 7if) --72(9ii + 12i?if - ó¡) - ö\öi + öfö2) sin 5i + -f-27ii(1474 + 472(i2 + 2i2) - 0} - 2i2if + -f i|) cos ii) i2 sin i2] i2 cos i2e) + iii2(72 + i1)2e-7 ((472 + +0¡-0¡) COSÍ2C-

А.3.2. Граничные условия В. Случай 2°.

Сх = '^СС6^ И - а)Ъ2 + ^ + + + Г2)з1п

+ 2(72 + 52)2(7 - а)(5соз 5(1 - £) - (7 + а)х х ял 5(1 - ^е*1-«"^-0) + (27 - а)2{(374 + 273а - у2(а2 - 252)-—6уа82 + а262 - 54) яп 5 - 28(2у3 + 372а + 7(252 - а2) - аб2) сое 5} х Хе-а(1-0+7 _ 2(7 - а){с)(72 + б2)2 е-**1-«-^-«) + ^ _ а)2((73+

+72а + у82 - ад2) 8т<*£ - 8(у2 + 27с* + 52) сое еде7(1-*)+7} С2 = [а2{25(473 + 72а _ ^2 + ^2) С08

— (374 + 273а - 72(а2 + 652) + 27а52 + а252 - 54)

+25(72 + 82)2(у - + 2(7 - а)(у2 + б2)2{6сов6(1 - £)-

-(З7 - а) - <е)}е7(1^Ь« _ а2(972 + ¿2 + а2 _ _ 72)х

х эта + 275сое8)- 2а2 (у - а){8(5у2 - 2уа + 82) со -(З73 - 72а - уд'2 + аб2) зт5£}е7^)+7

С3 = [а2(27 - а)2 (у2 + + а2 + 2уа) {(37 - а) вт 5 + 5соз 8} х

Хе-(27-а)(1-0+7 _ ^(27 _ а)2(у2 + 52 + а2 + 27а)(772 - 2уа - 82) х

хе-(27-а)(1-о-« _ с*!2(372 + 27а - 52)(972 + 52 + а2 - буа) (8 соб 8(1 - £)

-(у + а) зт5(1 - + (27 - а)2(72 + 52 + а2 + 27а)(772-

-27а - 52) (8 сое 5(1 - £) - (37 - а) эт5(1 -

—а2(2у - а)2(972 + 52 + а2 - 6уа)((у + а) вт5 + 5cos5)e-G:(1-^+7+

+а25(372 + 2уа - 82)(9у2 + 52 + а2 - 6уа)е-а^^27'аЧ

+2а2(у - а) (27 - а)2((372 + 2уа -а2- 52) 8т<*£ - 475соз5£)е7(1Ч)+7

С4 = öa2(27 - a)2(j2 + i2 + а2 + 27a) (5 sin 5 - (37 - a) cos ö) x

хе_(27-а)(1-0+7 + S(27 - a)2(72 + ô2 + a2 + 27a)(Z7z - 72a - 5752+

+aö2)e-^-<*)(l-0-<* + а2(7з + 12a _ 37¿2 _ aó-2^972 + ¿-2 + a2_

-67a)(5cos5(1 - (7 + a)sini(l

-(27 - a)2(72 + 52 + а2 + 27a)(З73 - 72a - 5752 + ai2) (5cos 5(1 - £)--(З7 - a) sin5(1 - _ 5a2(27 - a)2(972 + 52 + a2 - 67a) x

x (5 sin 5 - (7 + a) cos 5) e^1"^7 - a25(73 + >y2a - 37ö2 - a52) (97Ч +52 + a2 - - 25a2(7 - a) (27 - a)2((3T2 + 27a-

—a2 - 52) cos 5^ - 475sin5£)e7(w)+7

A = ~â%fA2X~67a) [ - a) V + ^ + a2 + 27a) (275cos 5+ +(52 - 72) sin5)e-(27-a)(1-£)+7 + 2(7 - a)(72 + 52)2(5cos5(l - Ç)--(7 + a) sin5(1 - f))e7(i-0-(27-a) - a2{(З74 + 273a - 72(a2 4- 652)+ +27a52 + a2ô2 - 54) sin5 - 25(473 + 72a - 7a2 + aö2) cos +2(27 - a)2{(374 + 273a - 72(a2 - 252) - 67a52 + a2S2 - 54) sin 5--25(273 + 372a + 7(252 - a2) - aö2) cos 5}e~a(1-^+7 - 45(72 + 52)2x x(7 - a)e-«(1-0-(27-«) + 25a2(27 - a)2(7 --2(7 - a)(27 - a)2{(73 + 72a + 7ö2 - aö2) sin5£--5(72 + 27a + 52) cos5^}e7(1-^+7

D2 = [ - 45(7 - a)(72 +

-(27 - a)2{25(273 + 372a + 72(252 - a2) - a52) cos5 - (З74 + 273a-—72(a2 - 252) - 67a52 + a262 - 54) + 2a2{25(473+

+72a - 7a2 + aô2) cos 5 - (З74 + 273a - 72(a2 + 652) + 27a52+ +a252 - 54) - 26a2(у - a)(27 - a)2e(27-a)(i+0+a+

+2(7 - a)(72 + 52)2 (6 cos 5(1 - 0 - (З7 - a) sin 5(1 - £))e7(1^}-c*_ -a2(972 + 52 + a2 - 67a){(52 - 72) sin5 + 275cos5}e-a(1~^+7--2a2(y - a){5(572 - 2ja + 52) cos5£ - (З73 - y2a - 752+ +a52)sin5£}e7^+7

D3 = [5(27 - a)2(72 + 52 + a2 + 27a){a2[(37 - a) sin 5+ +5 cos 5]e-(27~a)(1-^+7 - 5(772 - 27a - $2)e-(27-a)(i-e)-a} + +a2e-7(1+^+a{ ([976 + 1275a - 474(5a2 + 1252) - 473a(a2 + 252)+ -ky2(a4 + 23a252 + 954) - 2372a252 - 27a52(a2 + 652) + 256 - a452+ +a254] sin 5 - 5[5I75 + 4974 - 73(19a2 + 1452) - 72a(13a2 - 652)+ +7(4a4 + 13a252 - 54) - 3a54 - 3a352] cos 5) sin5£ + ([39т5 + 3574a--73(13a2 + 3052) - 72a(7a2 - 1052) + -у(2a4 + lla252 - 554) - aö4-—a352] sin 5 - 5[5974 + 873a - 72(17a2 + 652) + 27a(a2 + 852) - a252--54] cos5)5cos5£} + (2j - a)2e7(1^)-a{([976 + 1275a - 274(a2 + 252)--473a(a2 + 752) + 72(a4 - 13a252 - 1154) + 27a52(5a2 + 452) + 256+ -fa254 - a462} sin5 - 5[3375 + 5574a 4- 73(2652 - a2) - 72a(19a2-H +2252) + 7(4a4 - 5a252 - 754) + 3a54 + 3a352] cos5) sin5£ + 5((3375+ +3774a + 73(2652 - 7a2) - 372a(3a2 + 1452) + 7(2a4 + 5a252 - 754)+ +a54 + a352) sin5 - 5[2374 + 3673a -1- 72(2252 - 5a2) - 27a(652 + a2)-—a252 - 54] cos5) cos5£} + a25(27 - a)2(972 + 52 + a2 - 67a)x X ((7 + a) sin5 + 5cos5)e-^1-^7 - a252(372 + 27a - 52)(972 + 52+ +a2 - 6-ya)e~a(1~^~(2l~aï - 25(7 - a){(72 + 62)2e^-^+ +2a2(27 - a)2e7^1_^+7} ({(З72 + 27a - a2 - 52) sin5£ + 47acos5£}

Da = |a25(972 + í2 + a2 - 67a) {(27 - a)2 [Ö sin 5-

-(7 + a) cos5]e~a(1-^+7 - (73 + 72a - 37Í2 - +

+a2{ ([I876 + 2475a - 74(4a2 + 47Í2) - 873a(a2 + 4Í2) + 72a2(2a2+ +27Í2) + 27aí2(a2 - 4i2) - 2a4ö2 - a2ó4 + í6] sin ó - í[3375 + 2574a-—73(15a2 + 34Í2) + 72a(14i2 - 5a2) + 7(2a4 + 9a2í2 + ó"4) + 3aí4+ +3a3í2] cosí) eosó^ - (í(2175 + ll74a - 73(9a2 + 50Í2) + 72a(a2 + 18í2)+ +77í2(a2 - Ö2) - ai4 - a3í2) sin Ô + (1276 + 1275a - 274(a2 + 29Í2)--473a(a2 + 6Í2) + 72(4a4 + 21a2í2 - 3Í4) + 27ai2(a2 - 6Ö2) - a4ô2-—a2ô4) cosí) sin^le^1-^-^-«) _ _ a)2e7(i-0-«{ ( _ [is76+ +2475a - 74(4q!2 + 3i2) - 473a(2a;2 + Ш2) + 72(2a4 - 9a2ö2 - 20í4)+ +2jaó2(7a2 + 6í2) + ó6 - a2ó4 - 2a4í2] sin ó + í[1575 + 3l74a+ +373(a2 + 2Ô2) - 72a(lla2 + 14Í2) + 7(2a4 - 9a2í2 - 9i4) + 3aí4+ +3a3í2] cosí) cosí£ + ((1Ö75 + 1374a - 373(a2 - 2Í2) - 72a(a2 + 34í2)+ +7<52(a2 + 952) - ai4 + a3i2)í siní + (97e + 1275a; - 274(a2 + Ш2)--473a(a2 + Ш2) + 72(a4 - 31a2ö2 + 9¿4) + 27a<52(3a2 + 8<52) - a4<52--a2ö4) cosí) sin} + 5(27 - a)2(72 + ó2 + a2 + 27a) (a2[5sin -(З7 - a) cosije-i27-")^-«^ + (З73 - 72cv - 5752 + +

+2í(7 - <*)((72 + í2)2e7(W)-37 + 2a2(27 - a)2e<^+1) (47asin^--(З72 + 27a - a2 - Ô2) eos

А.3.3. Граничные условия В. Случай 3°.

£ _ 202(2а-р1-р3)(2а-р1+р2)

Х2ЛсЛ в

+(а - А)2(а + р2)2(2а + А - р2)(2а - А +

-(а - А)2(а - /У2(2а + А + А)(2а - А -

-(а - А)2(2а + А + &)(2а + & - АК^^Ч^ + р2)2еа^-

-(а- А)2еа+/?2}+

+2А(а - А)2(2а + А + + Р2)2е~^^ - (а - А)2еа+^2}

-2А(а + А)2(2а + А - {(а _ /д2)2е-(а-А) _ (а _ А) 2е°^2}

^ _ 2&(2а+01+£2)(2а+)31-)32) -

4АА(а2 - /3|)2е-(а-Л)(1-0-(а+А)+

+(а + А)2(а + А)2(2а - А - А)(2а + А + -(а + А)2(а - А)2(2а - А + А)(2а + А -— (а + А)2(2а - А + А)(2а - А - А)е-(а+/?1)(1^){(а; + -(а- р2)2еа+^}-

-2А(а - А)2(2а - А + ^»"^"«{(а + р2?е^а+^ - (а + А)2еа+/?2}+ +2А(а + А)2(2а - А - ~ р2)2е^а+м - (а + А)2е°^2}

^ _ 2131(2а+р1+р2)(2а-р1+р2)

- Х2ДоАв

- АРМа2 - 02)2е(«-А)(1-О+(*+А)_

-(а + А)2(а + А)2(2а - А - &)(2а + А + ^е*«-^1"«"^-^*

+(а - А)2(а + А)2(2а - А + ДО (2а + А -

+2А(а + А)2(2а - А - АК^^Ч^ +

-(а - А)2еа+^2} - 2 А (а - А)2(2а + А - АК^^ЧН-

+А)2е"(а+Л) - (а + А)2еа+/?2} - (а+

+А)2(2а - А ~ А)(2а + А - ~ А)2е"(в+А)-

-(а + А)2е-(а-А)}

C4 = 2ft(2g + ft-ft)(2a-ft-ft)

4ft ft (а - ßife

2N2-(a+j93)(l-0+(a-ft)

-(a + ft)2(a - ft)2(2a - ft + ft)(2а + ft - &)e(«+A)(i-Ö-(a-A) + +(a - ft)2(a - ft)2(2a - ßi - ft)(2a + ft + ftJe^+AK1"«)"^) _ -2ft(a + ft)2(2a - ft + ftK^^^a - ftjV^^ --{a - ft)2ea^2} + 2ft(a - ßlf{2a + ft + ftK^W-^a --ft)V^ - (a + ft)V^2} - (a - ft)2(2a - ft + ft)(2a + ft +

П _ 2ß2{2a-ß1-ß2){2a-ß1+ß2) - x2AGAb

4ftft(a2 - Д2)2е(а+А)(1+€)+(а-А)+

+(a + ft)2(a + ft)2(2a + ft + ft)(2a - ft - ft)e^)(1+0-(«+^)_ -(a + ft)2(a - ft)2(2a + ft - ft)(2a - ft +

-(a - ft)2(2a + ft + ft)(2a - ft + ^-(«"^"«{(a + ft)2ea^2--(a-ft)2e«+^} +

+2ft(a - ft)2(2a + ft + ß2)e^^{(a + ß2)2e~^~^ - (a - ft)V+^2} —2ft(a + ft)2(2a + ft - ft)e(a+^)(1^{(a - ß^e^'^ - (a - ft)2ea-&}

П _ -2ß2(2a+ß1+ß2)(2a+ß1 -ß2) - X2A

4ftft(a2 - /^(«-ftXi-O+ia+A)-

-(a - ft)2(a + ft)2(2a - ft + ft)(2a + ft -+(a - ft)2(a - ft)2(2a - ft - ft)(2a + ft +

+(a + ft)2(2a - ft + ft)(2a - ft - ^-^^"«{(a + ft)2ea^2-— (a — ft)2ea+/32} +

+2ft(a - ft)2(2a - ft + ft)e^2)(1^{(a + ß2)2e^a+^ - (a + ft)V+^2}-—2ft(a + ft)2(2a - ft - /Уе^^-^а - ft)2e-^) - (a + ft)^0^2}

+(а - ßi)2(a - ß2)2{2a ~ßx- ß2){2a + ßi + ß)e4a-Ä)(i+0+(«-ft)_

-(а + А)2(а - А)2(2а - ft + ft)(2c* + ßi -

+2ß2(a + ßi)2{2a - ß1 - {(a + ß2)2e^a+^-

-(a-ft)2«^}-

-2ß2(a - ft)2(2a + ft - + ß2)2e^a+^-

-(a + ft)2ea+^} - (а + ft)2( 2a - ßi - ß2)(2a + ft-_ß2)e(*+ßi)(i-fl{(a _ ft)2e-(a+A) - (а +

+(a - ft)2(a: + ß2)2(2a - ft + ß2)(2a + ft -

-(a + ft)2(a + ß2f{2a - ßi - ß2)(2a + ft + ^)e-(«+Ä)d+e)+(«+A) _ —2ß2(a + ft)2(2a - ft + ft^-i^^fta _ ^-(«-ft)--(a - ft)2e°^} + 2ß2(a - ft)2(2a + ft +

-ft)2e-(«+A) ~(a + ft)2ee"A} -(a- ß2)2{2a - ß1 + ft)(2a + ft+

- ßife'^^ - (a + ft)2e-(a-Ä)}"

А.3.4. Граничные условия О. Случай 1°.

01 ~ х'АсАр

е7(1-0|7(72 + _ д^^ СОд^ С08^2(! _ +

+25х(472 + 5? - 51) сое зт52(1 - О - 47(472 + 5* + 622) ап^ зт52(1 - £)+ +252(472 - ^ + 52) si.iiсо8&(1 - 0) + +51б7 (52(874 + 87252 + (5? - 522)2) соз 52£+ +7(874 + 272(552 - 52) - 54 + 52) вш 62§ }-_е-7(1Ч)|е-7^^2(874 + 8725| + (52 - б2)2) со8<У2со8б1(1 - 0+ +752(474 + 272(52 + 35|) + 354 - 452522 + 5|) сов б2 вт 5Х(1 - 0+ + (1676 - 474(52 - 761) - 272(54 - 5522) + 522(5\2 - б2)2) вт&втй^ - £)+ +7^1 (874 + 272(552 - 61) - 5} + 5|) зт52соз51(1 - £)) + +2752(72 + 522)е~7((472 - 52 + 5|) зт5^ - 475х со8 5^) }'

7<Ь

йе^1"^{(72 + 5| )е~7 (875\52 sin бг соэ 62( 1 - £)•

-251 (472 + 5\ - 522) вт51 зт52(1 - 0 - 47(472 + 62г + 51) соей вт$2(1 - 0+ +252(472 - 61 + 52) соз 6г сое 52(1 - о) -—е7(52(874 + 272(352 + б2) + 35? - 4б2^ + 522) соз52£--7(354 + 652(272 + б2) - 47252 - 5|) вт 52£)} -

_е-7(1-С) |е-7 (5152 (874 + 272(352 + 5?) + 35? - 45?52 + 5|) соз 52 сое 52 (1 - £)+ +752(95^ + 252(872 - 622) + (472 + б2)2) сов&втй(1 - 0+ + (354(52 - 272) - 252(5725| + 1274 + 25|) + 52(472 + б2)2) Бшб^шб^г - £)--751 (354 + 652(272 + 52) - 47252 - 54) вт^сов^ - £)) + +25252(72 + 51)е_7((472 - 5\ + 522) соз 5^ + 475х вт 6г£)}

Ся =

S1Ö2

,7(1-0

{e~7 ( - Ôi62 (874 + 872i2 + (i2 - öl)2) cos öi cos Ö2{1 - £)+

X2AgAAd

+7ii (874 + 272(3i2 + i|) + i? - 4i2i^ + 3if) cos öl sin Ö2{1 - Ç)-

-(1676 + 474(7i2 - ö22) + 272(5i4 - if) + - öl)2) sinii sini2(l -

+7i2 (874 + 272(5i2 - öl) + i4 - öl) sin öi cos ö2(l - +

+27íi(72 + i2)e7(47i2 cos 02Ç + (472 + if - ö22) sin ö2t) } +

+e-7(W){ _ 27(72 + i2)e7(47iii2cosi2cosii(l - £)+

+i2(472 - i? + öl) cos Ö2 sin öi (1 - 0 + 27(472 + i2 + öl) sin ö2 sin ii(l - £)+