Ветвление решений системы дифференциальных уравнений, определяющей свободную поверхность флотирующей жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Гришина, Светлана Александровна

• Гришина, Светлана Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гришина, Светлана Александровна

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава I Поверхностные волны в пространственном слое флотирующей жидкости - задача теории ветвления с нарушением симметрии

§ 1. Методы группового анализа дифференциальных уравнений

в задачах теории ветвления с нарушением симметрии

§ 2. Постановка задачи. Построение асимптотики разветвляющихся решений при п = 4

§ 3. Двумерное вырождение линеаризованного оператора

§ 4. Четырехмерное вырождение линеаризованного оператора.

Две вырожденных решетки периодичности

Глава П. Высокие вырождения линеаризованного оператора (и >4)

§ 5. О порядке вырождения

§ 6. Шестимерное вырождение линеаризованного оператора

§ 7. Две решетки периодичности, п = &

§ 8. Три решетки периодичности, п = 8

§ 9. Три решетки периодичности. л=4 + 4+ 2 = 10

§ 10. Три двумерных решетки, п-12

Глава Ш. Решения инвариантные относительно нормальных делителей группы прямоугольника

§ 11. Разложение подпространств нулей на неприводимые

§ 12. Построение решений инвариантных относительно подгрупп для одной квадратной и одной прямоугольной решеток периодичности

Приложение. Вычисление коэффициентов уравнения разветвления.

§ 13. Одна невырожденная решетка

§ 14. Две вырожденных решетки

Список лнтера1уры

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ветвление решений системы дифференциальных уравнений, определяющей свободную поверхность флотирующей жидкости»

ВВЕДЕНИЕ

Теория ветвления решений нелинейных уравнений развивалась, начиная с конца XIX столетия. Её основы содержатся в известных работах АМ.Ляпунова [56], АПуанкаре [69] и Э.Шмидга [116], вплоть до наших дней стимулирующих исследования по теории ветвления и её приложениям. А.М.Ляпунов и А.Пуанкаре занимались известной задачей теории фигур равновесия вращающейся жидкости (теория фигур небесных тел). Работы Э.Шмидта содержат исследования по теории линейных и нелинейных интегральных уравнений. В работах АМ.Ляпунова, АПуанкаре и Э.Шмидта было показано, что задача о ветвлении решений нелинейных интегральных уравнений с аналитическими операторами может быть сведена к исследованию эквивалентного уравнения разветвления (УР) - конечномерной системы неявных функций. Предложенный ими метод сведения нелинейной задачи к УР был назван впоследствии методом Ляпунова-Шмидта. Дальнейшее развитие теория ветвления получила в работах А.И.Некрасова [61,62], Л.Лихтенштейна [98], Н.Н.Назарова [57,58], Дж.Кронин [89,90]. А.И.Некрасов, используя теорию конформных отображений, приводит плоскую задачу о гравитационных волнах в слое жидкости над ровным дном к эквивалентному нелинейному интегральному уравнению, которое решает затем методом неопределенных коэффициентов при разложении решений по дробным или целым степеням малого параметра, получившим впоследствии название метода неопределенных коэффициентов Некрасова-Назарова Другими методами эта задача была решена также в работах Т.Леви-Чивита [97] и Д. Стройка [117]. Более трудная технически плоская задача о капиллярно-гравитационных волнах на границе раздела двух жидкостей была исследована Н.Б.Кочиным [22]. Монография Л.Лихтенштейна содержит результаты по нелинейным интегральным уравне-

ниш с применениями теории фигур равновесия вращающейся жидкой массы. Н.Н.Назаров исследует ветвление решений нелинейных интегральных уравнений, в частности, уравнений типа Гаммерштейна. В свое время его монография [57] явилась выдающимся вкладом в развитие теории ветвления нелинейных уравнений. Однако без применения метода диаграммы Ньютона НН.Назаров не рассмотрел всех возникающих здесь случаев ветвления. Значительный вклад в теорию ветвления был сделан в работах В.В.Немыцкого [63], М.М.Ваинберга [8] и М.А.Красносельского [23]. М.А.Красносельским была доказана теорема существования бифуркации от нечетнократного изолированного собственного значения линеаризованного оператора

Обзор результатов по теории ветвления решений нелинейных уравнений до начала 60-х годов содержится в работах [9,11].

УР в одномерном ветвлении может быть полностью исследовано методом диаграммы Ньютона [10], позволяющего представить решения УР и первоначальной нелинейной задачи в виде ряда по определенным целым или дробным степеням малого параметра В многомерном ветвлении можно применять разложение УР по однородным формам. Впервые метод диаграммы Ньютона был применен в системах неявных функций ^&МсМШап [109]. Эти работы остались незамеченными и впоследствии первенство в применении метода диаграммы Ньютона было отдано Ь.М.СтгауеБ [94] и А.Э.Степану [73]. В многомерном ветвлении полное исследование УР может быть выполнено методом многогранника Ньютона, развитого в работах А.Д.Брюно [7]. Среди аналитических методов определения асимптотики решений УР метод многогранника Ньютона [7], по-видимому, следует считать наиболее перспективным. Отметим также популярную, хотя и менее перспективную, на наш взгляд, методику применения теории особенностей гладких отображений [92,93], позволяющую исследовать УР лишь при невысоких порядках вырождения п. В

работах А ДБрюно и в работах М.Голубицкого и ДШеффера развит также метод нормальных форм - эффективный метод решения нелинейных задач.

К задачам многомерного ветвления применялся также предложенный впервые АПуанкаре [69] кронекеровский метод исключения, развитый затем М.М.Вайнбергом и П.Г.Айзенгендлером [10]. Однако при его применении возникают существенные трудности практического характера. Вообще в многомерном ветвлении наиболее эффективным оказалось сочетание аналитических, топологических (степень отображения, теория вращения векторных полей) и теоретико-групповых методов, позволяющих исследовать вопросы существования и построения асимптотики семейств решений, зависящих от свободных параметров.

В теории ветвления решений нелинейных уравнений следует отметить "принцип конечномерности" (сведение любого вопроса к эквивалентной конечномерной ситуации), пропагандируемый школой проф. В.АТреногина. В этом направлении следует особо выделить работу [78] (см. также [72]), в которой впервые теория вращения конечномерных векторных полей (степень отображения) была применена к УР - конечномерной задаче. Позднее и в менее общей ситуации топологические методы применялись непосредственно кУР в работах Дж.Изэ [95] (см. также [65]). В [78] применение топологических методов (теория особых точек конечномерных векторных полей) непосредственно к УР позволило снять требование полной непрерывности в известном результате М. А.Красносельского [23] о бифуркации от нечетнократного изолированного собственного значения. При этом в [78] была рассмотрена нелинейная задача о точках бифуркации в общем случае аналитической зависимости от спектрального параметра. Несколько иной подход, но также использующий теорию степени отображения применительно к УР был использован в работах Р.Т.Магнуса [16].

Прикладные задачи, основанные на описании действия законов сохранения, обладают групповой инвариантностью (симметрией) [16]. В случае, когда группа симметрии обладает интратаитивной подгруппой, удается существенно упростить общую задачу построения многопараметрических семейств малых решений нелинейного уравнения. Первыми примерами здесь были задачи о свободной конвекции в жидкости [83,84,20,74,19] и о вторичных стационарных течениях жидкости между вращающимися цилиндрами [82,18,121,68], имеющие конечное число решений, определенных с точностью до сдвига. Первые результаты использования групповой симметрии в теории ветвления были получены В.И.Юдовичем, рассмотревшим в работе [84] "один случай ветвления при наличии кратного спектра". Эти результаты были применены учениками В.И.Юдовича в прикладных задачах [5,6,19,20,68,74-76].

Дальнейшее развитие теории ветвления в условиях групповой симметрии содержалось в первых работах Б.В.Логинова и В.АТреногина [50,52], в которых был предложен метод группового расслоения и дан анализ возможностей понижения порядка (редукции) УР по числу неизвестных и числу уравнений. Было показано, что редукция УР по числу неизвестных зависит от действия группы на подпространстве нулей N(8) линеаризованного оператора В, а редукция по числу уравнений определяется действием группы на дополнении Е2т к области значения оператора В. В дальнейшем был проведен подробный анализ всех возникающих здесь возможностей. Обзор соответствующих работ содержится в [40]. В самой общей ситуации была доказана [40,49,51] теорема о наследовании уравнением разветвления групповой симметрии первоначальной нелинейной задачи - одно из многочисленных проявлений "принципа конечномерности". Эта теорема выдвинула на передний план задачу построения УР по допускаемой им группе [31]. Теорема о наследовании в менее общей ситуации была доказана также в [112-115,119].С этих позиций была подробно исследована задача о конвекции в жидкости [114,115] и задача о фа-

зовых переходах в статистической теории кристалла [38-40]. В [24,30] были исследованы возможности редукции УР в вариационном случае с помощью полной системы функционально независимых инвариантов. Приложения группового расслоения и редукции УР в конкретных задачах математической физики содержатся в [25,27,28,36,37,45].

Однако, наиболее полное и эффективное решение задачи о построении УР по допускаемой им группе стало возможным только на основе применения методов Л. В. Овсянникова [66,67] группового анализа дифференциальных уравнений. Эти методы открыли существенно новый подход в теории ветвления и, в частности, в задачах с нарушением симметрии [1,2,43,44,53,54,81]. Общая теория применения методов группового анализа к задачам теории ветвления содержится в [26,44,101-103]. С этих позиций было дано новое более полное решение задачи о кристаллизации жидкого фазового состояния в статистической теории кристалла [44] и задачи о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое жидкости над ровным дном [104]. Была решена восходящая к Н.Е.Кочину [22,96] пространственная задача о поверхностных капиллярно-гравитационных волнах на границе раздела двух жидкостей, задача о ветвлении и устойчивости периодических решений при определении свободной поверхности феррожидкости в магнитном поле [1,2].

Примерно до 80-х годов развитие теории ветвления, в частности, в условиях групповой симметрии (эквивариантной теории ветвления) на Западе и в Союзе шло с опережением советских математиков. В 80-х годах это направление на Западе и Востоке развивается по-разному. На Западе были опубликованы фундаментальные работы М.Голубицкого, Д.Шеффера [92,93] (между прочим, не содержащие никаких ссылок на советские работы и, в частности, на работы В.И.Юдовича) и А.Ван-дер-Бауведе [120]. Основным инструментом в этих работах явилась теория особенностей дифференцируемых отображений. Эти книги содержат различные приложения эквивариантной теории ветвления к

задачам математической физики. С этих же позиций написана недавно вышедшая книга [88]. В работах советских математиков развивался метод многогранника Ньютона [7] и его применение, а также методы группового анализа дифференциальных уравнений в задачах теории ветвления [44].

Аналогичная картина видна и в нестационарном ветвлении - бифуркации Андронова-Хопфа. В [92,93] к задачам нестационарного ветвления применяется теория особенностей, а в [32,33,35,41,100,106,107] методы группового анализа дифференциальных уравнений.

Вопросы устойчивости разветвляющихся решений в задаче о точках бифуркации и, в частности, в задачах о нарушении симметрии, исследуются на основе результатов [34,105] по главной части построенного УР - конечномерной системы разветвления. Это очередное применение "принципа конечномерности". Существенную роль в этих вопросах играет УР в корневом подпространстве [34,42,99,105]. Возможности его построения основываются на исследовании роли жордановой структуры аналитических оператор-функций спектрального параметра в задачах теории ветвления [46,70]. Современное состояние теории ветвления решений нелинейных уравнений и ее многочисленные приложения содержатся в обзорах (трудах конференций) [21,85-87,110] и монографиях [91-93].

В настоящей работе дано развитие общей схемы построения УР по допускаемой им группе. В частности, рассмотрено построение решений инвариантных относительно подгрупп группы симметрии УР и получены достаточные условия потенциальности УР, допускающего симметрию 21 -мерного куба Эти результаты содержатся в первом параграфе. В параграфах два и три рассмотрено применение методов группового анализа к построению и исследованию УР задачи о периодических кашылярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей жидкости над ровным дном в случаях вырождения п< 4 линеаризованного оператора Задача допускает симметрию двухпара-

метрической группы сдвигов по переменным х и у и симметрию плоских кристаллографических групп, порожденных прямоугольными ячейками периодичности решений. В отличие от работ [13-15], в которых методами интегральных уравнений рассматривалась соответствующая плоская задача* исследование проводится непосредственно по системе дифференциальных уравнений, описывающих течение флотирующей жидкости. Производится "распрямление свободной границы" - замша переменных, позволяющая выделил. линеаризованный оператор. Фредгольмовосгь линеаризованного оператора следует из результатов [3,4]. Выписано дисперсионное соотношение, позволяющее определить размерность вырождения линеаризованного оператора (размерность УР). Таким образом, здесь задача о поверхностных волнах флотирующей жидкости рассматривается в точной постановке. Глава вторая содержит исследование более высоких вырождений: п=6,8,10,12. Предварительно дается анализ возможностей осуществления таких вырождений. В частности, здесь доказана возможность возникновения течений с ячейками типа двойного (л =8) и трехкратного (п= 12) прямоугольников или квадратов. В каждом отдельно рассмотренном частном случае методами группового анализа дифференциальных уравнений строится и исследуется УР, вычисляется асимптотика семейств разветвляющихся решений. Вычисление коэффициентов УР при различных значениях п выделено в приложение (в конце диссертации) с тем, чтобы не загромождать изложение техническими деталями. Результаты для каждого отдельного случая (различных значений п) формулируются в виде теорем. Отдельный параграф посвящен построению семейств решений инвариантных относительно нормальных делителей основной группы симметрии. Здесь используется аппарат теории характеров [55,59].

Всюду ниже для формул, теорем, лемм и замечаний принята следующая нумерация. первая цифра означает номер главы, вторая - номер параграфа, третья - номер формулы в данном параграфе. Во введении приведены необходи-

мые для дальнейшего изложения понятия теории ветвления и группового анализа дифференциальных уравнений.

Результаты диссертации опубликованы в 11 работах и докладывались на IX Conference of the European Consortium for Mathematics in Industry (Denmark, Lingby, 1996), на 31 и 32 научно-технических конференциях Ульяновского государственного технического университета (1997,1998), на Всероссийском симпозиуме "Математическое моделирование и компьютерные технологии" (Кисловодск, 1997), на П летней Казанской школе-конференции "Алгебра и анализ" (1997), на Ш международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, Мордовский университет, 1998), на УШ межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1998), на семинаре кафедры "Уравнения математической физики" Самарского государственного университета (1998), на конференции "Симметрия в естествознании" (Красноярск, 1998).

Соискатель выражает искреннюю признательность доктору физико-математических наук, профессору Логинову Б.В. за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Некоторые определения и факты теории ветвления решений нелинейных уравнений [10] и группового анализа дифференциальных уравнений [17,66,67]

Рассматривается уравнение

Bx = R(x,X), R( 0,0)=0, ДД0,0) = 0 (0.0.1)

RE^ -*Е2 фредгольмов, т.е. нормально разрешимый оператор с конечномерными подпространствами нулей ЩВ) и дефектных функционалов N*(B),

~п, £2-банаховы пространства Используются терминология и обозначения монографий [10,77]. Сведение к эквивалентной сис-

теме разветвления (УР) может быть выполнено различными способами, при этом получаются эквивалентные УР. Пусть {р^ - базис ЩВ) = Е?, а

базисв М*(В)9 {Уг}" еЕ^и е£2биортогональные им системы элементов. Выбор биортогональных систем определяет проекционные операторы

я я

Р = >$1 и Q-1E^<'>Wj>zJ> порождающие разложение банаховых

г=1 /=1

пространств Е^ и Е2 в прямые суммы

Еу = Е[ +Е£~п , Е2 = Е%п +Е%<а_п Проектируя уравнение (0.0.1) на подпространства

ы

приходим к эквивалентной (0.0.1) системе

Ёи = (1-дЩи+у,А% £Я(и+уД) = 0, (0.0.2)

где В=В ^ ->Е2 ао_я - сужение оператора В на подпространство

Согласно теореме о неявных операторах существует единственное малое решение первого уравнения системы (0.0.2). Тем самым V еЕ" здесь рассматривается как малый параметр. Подставляя это решение и(у,Я) во второе уравнение, получаем УР (= УР,)

=(ук9Щй?,л)+V,л)=М=0, к=1

¿-1

На практике более удобным во фредгольмовом случае является вывод УР, ис-

п

пользующий обобщенную лемму Шмидта: оператор Ш-В + имеет

¿=1

ограниченный обратный Г = В'1. Тогда уравнение (0.0.1) можно записать в виде эквивалентной системы

л 1=1

п

Полагая * = , определяем ^ = м>(£Д) из уравнения

1=1

1=1

Тогда введенные дополнительные параметры £» * = 1,...,л определяются из УР (== УР2)

Определение 0.0.1. Уравнение (0.0.1) инвариантно относительно группы О, если существуют ее представления Х^ в пространстве Е±и Кя в Е2 такие,

что для любого g е О

ВЬ8х = К8Вх, Щ18х,к) = К8Я(х,Ь) (0.0.3)

Если оператор Я(х,Я) аполитичен в окрестности ©(0,0), т.е.

=>Т0 ад*' = ^ (V)' ■

и

Из групповой инвариантности оператора 5 следует инвариантность подпространства нулей Е? =ЩВ) относительно операторов и области значений ЩВ)=Е2аа_п (оператор В фредгольмов, ЩВ) = Я(В)) относительно операторов К^. Отметим также, что инвариантность уравнения (0.0.1) относительно

группы О означает, что вместе с х при любом geG решением уравнения (0.0.1) является также Ь^х.

В эквивариантной теории ветвления предполагается выполненным Условие I Подпространство Е?~Я=(1-Р)Е1 инвариантно относительно операторов Ья.

Лемма 0.0.1. [10]. Условие I равносильно инвариантности линейной оболочки Г = врап{уи... ,уп } с Е\ относительно операторов .

Из условия I следует, что проектор Р перестановочен с операторами и

А

для оператора В=В(1-Р) выполнено соотношение (0.0.3).

Лемма 0.0.2. [10]. Если группа б компактна, то биортогональную к

систему можно выбрать такой, чтобы выполнялось условие 1. Условие П. Пусть Ца), а еВаЛ1 - непрерывная ¡-параметрическая группа операторов, действующих в Е1. Существует базис {$>;}" в Егп такой, что

я

для любого = еЕ" найдутся а еО, постоянные г^^),...,/^^,

1

А о

п-11<1,и номер 12 < такие, что Ц.аУр = где -элементыбазиса {р*}*-

Определение 0.0.2. Группа Ца) ( Ь8 или б) действует в Е" /г стационарно, если система в условии Д одна и та же для всех ф еЕ?.

При действии группы в Е? подпространство Щ расслаивается на траектории 0(ф) = \bgq\g . Подпространство Е^ = трансверсальное к траектории 0(ф) называется порождающим для этой траектории. Конечную систему Е = |£1^)|,/2 <1г порождающих подпространств

считаем полной, если каждая траектория Е" содержит точку какого-нибудь подпространства этой системы, и минимальной, если число порождающих подпространств в Б нельзя уменьшить. Условие П означает тогда» что в для любой траектории существует порождающее подпространство принадлежащее некоторой полной системе Б.

Замечание 0.0.1. Условия I и II позволяют провести редукцию УР, разыскивая его решета в каждом порождающем подпространстве системы Б.

Пусть преобразование в инвариантном подпространстве нулей действует согласно формулам

п - ЧЯ

= А'8Щ = £ , Ая = | ар Ч<М|. ^

Тогда для произвольного <р

м

и п(п ^ п_

ьг<р= Ъ^щ = Е л =

»=1 1=147=1 / 1=1

Таким образом, действие оператора Ь8 на произвольный элемент из Щ равносильно преобразованию его координат в базисе матрицей

~ и

м

* в

Тогда условие I означает, что Ьвук = £аь .

а=1

Аналогично, преобразования < в инвариантном подпространстве М*(В) оп-

я

ределяются равенствами К*угк = £ = 1,..,л.

1=1

Тем самым матрицы А^ = и = определяют конеч-

номерное представление группы О.

Теорема 0.0.1. [10]. Пусть оператор В в уравнении (0.0.1) фредголъмов, уравнение (0.0.1) допускает группу б {инвариантно относительно в) и выполнено условие I, тогда УР1 инвариантно относительно группы Ф:

Если оператор Шмидта В также обладает О-инвариантностью, то УР2 наследует О-инвариантность:

'*(!>)=«л*)===1,...,«.

Групповая инвариантность оператора Шмидта В означает, что представления К& и Ь8 эквивалентны. В условиях теоремы 0.0.1 УР наследует групповую симметрию первоначальной нелинейной задачи

= (0.0.4)

Далее УР предполагается аналитическим. Это означает, что функции ^ голоморфны в окрестности £=0,£=0. Равенство (0.0.4) означает, что для рассматриваемой группы преобразований

7 = (0.0.5)

многообразие 3t-t(¿í) = 0 в пространстве 32я векторов

является инвариантным многообразием действия группы О. Далее приводятся

необходимые сведения из группового анализа дифференциальных уравнений.

Пусть 1сЛ - открытый интервал, содержащий точку О и О -однопараметрическая группа преобразований х~Тах=/(хуа\а е1 в Я". Траектория точки * еЯп является кривой а /(х,а) в проходящей через

точку х. Касательный вектор £(дс)к этой кривой в точке х определяет касательное векторное поле группы б. Векторное поле касательных векторов в точке х может быть записано также в виде линейного дифференциального оператора первого порядка

инфинитезимального оператора однопарамеггрической группы О преобразований.

Для I-параметрической группы Ли преобразований 3£= = инфинитезимальные операторы

дхг

образуют базис алгебры Ли группы Та.

Функция Р(х),х еЯл называется инвариантом /-параметрической группы Ли преобразований в Я", если К постоянна на траектории каждой точки х е#в:

Я/(*,а)) = ,Р(*).

Для I -параметрической группы преобразований в Я" критерий инварианта принимает вид следующей системы дифференциальных уравнений

= = (0.0.6)

где - базисные векторные поля алгебры Ли / -параметрической группы преобразований в Я". Число решений этой системы определяются общим рангом

Бели х - точка общего положения, т.е. г* = const в окрестности точки х и г* <п, то система (0.0.6) имеет п- г* функционально-независимых решений, образующих базисную систему функционально-независимых инвариантов /параметрической группы Та. Если г* = л, то группа не имеет инвариантов -она транзитивна.

Рассматривая / -параметрическую группу преобразований (0.0.4) предположим, что многообразие определяемое уравнением разветвления является

неособым инвариантным многообразием, т.е. если {(ХУ,ГУ)}^1 - базис алгебры Ли группы (0.0.5), допускаемой УР, то ранг г((Ху,Гу))|3 матрицы м|(Ху, Гу )|, у=1,...,/,1 = !,...,«,у = л + 1,...Дл (у-номер строки, г, У-номер столбцов) на многообразии 3 совпадает с ее общим рангом г*. Тогда если

1,(^0,--. Д2»-Л£0 (0-0.7)

- базисная система функционально независимых инвариантов группы (0.0.5), то по теореме Л.В.Овсянникова [66,67] многообразие 3 можно представил, в

виде Ф*(11,...,12в_л) = 0,5=1.....п. Для построения общего вида УР должно

>1*

быть выполнено условие rank

dt<

п независимости системы инвариантов

(0.0.7) относительно племенных Согласно [66,с.250] это условие можно заменить требованием г* (X, Г) = г* (X). Изложенная схема построения инвариантных многообразий [17,66,67] приводит к редукции УР с помощью полной системы функционально независимых инвариантов (см. [10], гл.Ш).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гришина, Светлана Александровна, 1999 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абдуллаева Ф.Д. Ветвление и устойчивость периодических решений задачи определения свободной поверхности магнитной жидкости. //Автореф. Дисс...канд.физ.-мат.наук. Ташкент, 1993. -18 с.

2. Абдуллаева Ф. Д., Кузнецов А. О., Логинов Б.В. Определение порядка вырождения задачи о свободной поверхности ферромагнитной жидкости в магнитном поле. //Тез. докл. 28 НТК УлГПИ. Ульяновск, 1984. С.58-59.

3. Агранович MC. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях. //Современные проблемы математики. Фундам. Направления. М.: ВИНИТИ, 1990, N63. С.5-129.

4. Агранович М.С. Эллиптические сингулярные интегро-дифференциальные операторы. //УМН, 1965,20, N 5. С.3-120.

5. Бабский В.Г. О ветвлении решений уравнения Ам+Ли = и2 на сфере. //Вестник Харьковского университета. 1970. Вып.34. С. 124-129.

6. Бабский И.Г., Скловская И. JI. О возникновении конвекции в самогравити-рующем жидком шаре, нагреваемом изнутри. //ПММ. 1971, т.35. Вып.6. С. 1000-1014.

7. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979.

8. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. //ГИТТЛ. М. 1956.-344 с.

9. Вайнберг М.М., Айзенгендлер П.Г. Методы исследования в теории разветвления решений. //Итоги науки. Математический анализ. 1966. С. 7-70.

10. Вайнберг М.М., Треногин В. А. Теория ветвления нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.-527 е.; English transi., Noordhoff bit Puhl., Lenden, 1974.

11. Вайнберг M.M., Треногин В. А. Методы Ляпунова и Шмидта в теории нелинейных уравнений и их дальнейшее развитие. // УМН, 1962,17,в.2. С. 13-75.

12. Владимиров С.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения с дискрет-

ной группой симметрии. //Диф. Уравнения, 1975,12, N 7. С. 1180-1189.

13. Габов С. А. О существовании установившихся волн конечной амплитуды на поверхности флотирующей жидкости. //ЖВМ и МФ, 1988,28, N 10.

С. 1507-1519.

14. Габов С. А, Свешников А.Г. Математические задачи динамики флотирующей жидкости. //Итоги науки и техники. Матем. анализ. М.: ВИНИТИ, 1990, N 28. С.3-86.

15. Габов С. А, Тверской М.Б. О вычислении параметров установившихся волн конечной амплитуды на поверхности флотирующей жидкости. //Матем. Моделирование, 1989,1,N2. С.109-118.

16. Ибрагимов Н.Х. Группы Ли в некоторых вопросах математической физики. Новосибирск. НГУ, 1972.

17. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. -280 с.

18. Иванилов Ю.П., Яковлев Г.И. О бифуркации течений жидкости между вращающимися цилиндрами. //ПММ. 1966, т.ЗО. Вып.4. С.768-773.

19. Изаксон В.Х. Тепловая конвекция в слое жидкости со свободной верхней границей. //Автореф. канд.дис. Росгов-на-Дону. 1976.-12 с.

20. Изаксон В.Х., Юдович В.И. О возникновении конвекции в слое жидкости со свободной границей. //Изв. АН СССР. МЖГ. 1968, вып. 4. С.23-28.

21. Келлер Дж, Антман Ст.(ред.) Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. М.: Мир, 1974. -254 с.

22. Кочин Н.Б. Определение точного вида волн конечной амплитуды на поверхности раздела двух жидкостей конечной глубины. //Тр. Всерос. Съезда математиков. М., 1928. С.266-269.

23. Красносельский H.A. Топологические метода в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Госгехиздат, 1956.-392 с.

24. Логинов Б.В. Вариационные методы в теории ветвления и групповая инва-

риантносгь. //Труды междунар. Симпозиума "Теоретико-групповые методы в механике". Новосибирск, 1978. С. 168-177.

25. Логинов Б.В. Ветвление решений дифференциального уравнения Аи+Аи = /(и) на сфере. //Диф. Уравнения, 1972,т.8,1Я 10. С. 1816-1824.

26. Логинов Б.В. Групповой анализ в задачах теории ветвления с нарушением симметрии. //Материалы межд. Конф." Дифференциальные уравнения и их приложения". 20-22.12.1994. Саранск, 1995. С. 103-119.

27. Логинов Б.В. Дополнение к статье Л. А. Слобожанина "Об одной задаче ветвления цилиндрического равновесного состояния вращающейся жидкости". //Матем. физика и функциональный анализ. Харьков: ФТИНТ АН УССР, 1972. Вып.З. С.52-55.

28. Логинов Б.В. Задачи теории ветвления, инвариантные относительно группы движений Я*. //Изв. АНУзССР, серияфиз.-мат. наук, 1978,N 3. С.20-23.

29. Логинов Б.В. Инварианты и инвариантные решения в теории ветвления. П. //Краевые задачи для уравнений математической физики. Ташкент: Фан, 1980. С.99-110.

30. Логинов Б.В. О вариационных методах в теории ветвления в условиях групповой инвариантности. //Диф. уравнения, 1979, т. 15, N 9. С. 1724-1726.

31. Логинов Б.В. О применении векторных инвариантов для определения общего вида уравнения разветвления в условиях групповой инвариантности. //ДАН СССР, 1981, т.259, N 5. С.1045-1050.

32. Логинов Б.В. Об определении уравнения разветвления в нестационарном ветвлении его групповой симметрии. //Соврем, групповой анализ и задачи матем. моделирования. Тр. XI Росс, коллоквиума Самарский университет, 1993. С. 112-124.

33. Логинов Б.В. Об определении уравнения разветвления его группой симметрии. //Докл. РАН, 1993,331, N 6. С.677-680.

34. Логинов Б.В. Об устойчивости решений дифференциальных уравнений с

вырожденным оператором при производной. //Изв. АН УзССР, физ.-мат.н, N1,1988. С.29-32.

35. Логинов Б.В. Общий подход к бифуркации рождения цикла в условиях групповой инвариантности. //Изв.АН УзССР, физ.-мат.н., 1990, N 6.

С. 16-18.

36. Логинов Б.В. Периодические решения трехмерной задачи о волнах над ровным дном. //Динамика сплошной среды, 1979, т.42. С.3-22.

37. Логинов Б.В. Построение периодических решений трехмерной задачи о волнах над ровным дном. //Доклады АН СССР, 1979, т.247, N 2. С.324-328.

38. Логинов Б.В. Применение теории ветвления с групповой инвариантностью при построении периодических решений задачи о фазовых переходах в статистической теории кристалла. //Дифференциальные уравнения и вопросы теории ветвления. Ташкент: Фан, 1982. С.54-91.

39. Логинов Б.В. Применение теории ветвления с групповой инвариантностью при построении периодических решений задачи о фазовых переходах в статистической теории кристалла //УМН, 1981, т.36, N 4. С.209-210.

40. Логинов Б.В. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности. Ташкент: Фан, 1985.-184 с.

41. Логинов Б.В. Уравнение разветвления нестационарного ветвления с симметрией по пространственным переменным. //Узбекский матем. журнал, 1995, N 1. С.58-67.

42. Логинов Б.В. Уравнения разветвления в корневом подпространстве: групповая симметрия и потенциальность. //Ульяновский пед.университет, 1994, N35. С. 16-28.

43. Лопшов Б.В., Кузнецов А.О. Вычисление малых периодических решений трехмерной задачи о капиллярно-гравитационных волнах над ровным дном в случаях высокого вырождения. //Неклассические уравнения математической физики и задачи теории ветвления. Ташкент, 1988. С. 104-117.

44. Логинов Б.В., Рахматова Х.Р., Юлдашев H.H. О построении уравнения разветвления по его группе симметрии (кристаллографические группы). //Уравнения смешанного типа и задачи со свободной границей. Ташкент, 1987. С. 183-195.

45. Логинов Б.В., Русак Ю.Б. О ветвлении решений уравнения Аw+Xw = f (w) на гиперповерхности. //Краевые задачи для дифференциальных уравнений. Ташкент: Фан, 1974, вып.-4. С. 129-136.

46. Логинов Б.В., Русак Ю.Б. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления. //Прямые и обратные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, (ред. М.С.Салахетдинов). Ташкент: Фан, 1978.

С. 133-148.

47. Логинов Б.В., Сидоров H.A. Групповая симметрия уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта и итерационные методы в задаче о точке бифуркации. //Матем. сборник, т. 182, N 5,1991. С.681-691.

48. Логинов Б.В., Сидоров H.A. Общий метод построения уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта и некоторые способы его исследования. // Неклассические задачи математической физики, Ташкент: Фан, 1985. С. 113-145.

49. Логинов Б.В., Треногин В. А. Идеи групповой инвариантности в теории ветвления. //Y Казахстанская межвуз. конференция по математике и механике. Тез. Докладов. 4.1. Алма-Ата, 1974. С.206-208.

50. Логинов Б.В., Треногин В. А. О применении непрерывных групп в теории ветвления. //Доклады АН СССР, 1971, т.197, N 1. С.36-39.

51. Логинов Б.В., Треногин В. А Об использовании групповой инвариантности в теории ветвления. //Диф. Уравнения, 1975, т. 11, N 8. С. 1518-1521.

52. Логинов Б.В., Треногин В. А. Об использовании групповых свойств для определения многопараметрических семейств решений нелинейных уравнений. //Матем. сборник, 1971, т.85, N 3. С.440-454.

53. Логинов Б.В., Трофимов Б.В. Вычисление капиллярно-гравитационных

волн на поверхности раздела двух жидкостей конечной глубины. // Д ифференциальные уравнения математической физики и их применение. Ташкент, 1989. С.57-66.

54. Логинов Б.В., Эргашбаев Т. Многомерное ветвление и задачи о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности цилиндра //Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент, 1993. С.89-100.

55. Любарский Г.Я. Теория групп и ее применение в физике. М.: ГИФМЛ, 1958. -354 с.

56. Ляпунов А.М. Собрание сочинений. Т.4. М.: изд-во АН СССР, 1959.-645 с.

57. Назаров H.H. Нелинейные интегральные уравнения типа Гаммерштейна. //Труды Средне-Азиатского университета, серия V-a, мат, 1941, вып.ЗЗ. С. 1-79.

58. Назаров H.H. Точки ветвления решений нелинейных интегральных уравнений. //Труды Института Матем. АН УзССР, 1948, вып.4. С.59-65.

59. Наймарк М. А Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. -528 с.

60. Наймарк М.А. Теория представлений групп. М.: Наука, 1976. -560 с.

61. Некрасов А.И. О волнах установившегося вила //Изв. Ивановского политехнического института 1922, т. 6. С. 155-171.

62. Некрасов А.И. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости. М.: Изд-во АН СССР, 1951.-96 с.

63. Немыцкий В.В. Структура спектра нелинейных вполне непрерывных операторов. //Матем.сборник. 1953,33(75), N 3. С.545-558; 1954,35(77), N 1.

С. 174.

64. Никольский С.М. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах. //Изв. АН, сер. матем., 1943, N 7.

65. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977.-232 с.

66. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.-400 с.

67. Овсянников Л.В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1966.-131 с.

68. Овчинникова С Р., Юдович В.И. Расчет вторичного стационарного течения между вращающимися цилиндрами. //ПММ. 1968, т.32, вып.5. С.858-868.

69. Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 1. //Новые методы небесной механики. Изд-во АН СССР, 1971.-771 с.

70. Русак Ю.Б. Обобщенная жорданова структура аналитической оператор-функции и сопряженной к ней. //Изв. АН УзССР, физ.-мат.н., 1978, N 2. С. 15-19.

71. Сидоров H.A. Вариационные методы в теории точек бифуркации нелинейных операторов. //Дифференциальные и интегральные уравнения. Изд-во Иркутского университета, 1973, вып.2. С.255-270.

72. Сидоров H.A. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления. Иркутский университет. 1982.-320 с.

73. Стапан АЭ. Разветвление решений нелинейных интегральных уравнений. //Ученые записки Рижского пед. инсгшута 1957, т.4. С.31-43.

74. Тер-Григорьянц Г.К. О возникновении двоякопериодической конвекции в горизонтальном слое. //ПММ. 1973, вып. 1. С. 177-184.

75. Тер-Григорьянц Г.К Об одном случае ветвления стационарных режимов конвекции в слое. //Изв. Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Есгесгв. науки. 1975, вып.4. С.39-43.

76. Тер-Григорьянц Г.К. Об устойчивости стационарных двоякопериодических конвекционных потоков в слое. //Изв. Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Есгесгв. науки. 1973, вып.4. С.79-83.

77. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. -495 с.

78. Треногин В.А., Сидоров H.A. Исследование точек бифуркации и непрерыв-

ных ветвей решений нелинейных уравнений. //Дифференциальные и интегральные уравнения. 1972, т.2. С.216-248.

79. Треногин В. А., Сидоров Н. А. Условия потенциальности уравнения разветвления и точки бифуркации нелинейных операторов. //Узб. Матем. журнал. 1992, N2. С.40-49.

80. Треногин В.А., Сидоров Н.А., Логинов Б.В. Уравнения разветвления: потенциальность, бифуркация, симметрия. //ДАН СССР, 1989, т.309, N 2. С.286-289.

81. Трофимов Б.В. Ветвление решений нелинейной задачи о поверхностных волнах на границе раздела двух жидкостей. //Автореф. дисс...канд.физ.-мат.наук. Ташкент, 1993. -18 с.

82. Юдович В.И. Вторичные течения и неустойчивость жидкости между вращающимися цилиндрами. //ПММ. 1966, т.ЗО, вып.4. С.688-693.

83. Юдович В.И. О возникновении конвекции. //ПММ. 1966, т.ЗО. вып.6. С. 1000-1005.

84. Юдович В.И. Свободная конвекция и ветвление. //ПММ. 1967, т.31, вып.1. С.101-111.

85. Bifurcation theory and its applications in scientific disciplines. //Annals of the New York Academy of Sciences, 1979. V.316. - 685 p.

86. Bifurcation: Analysis, algorithms, applications. Eds. T. Kupper, R, Seydel, H. Troger. ISNM 79, Birkhauser, 1987.

87. Cesari L. Functional Analysis nonlinear differential equations and the alternative method. //Nonlinear Functional Analysis and Differential Equation, 1976.

P. 1-197.

88. Chossat P., Iooss G. The Couette-Taylor Problem. Springer, Berlin, 1994.

89. Cronin J. Analytic functional mappings. //Ann. Math., 1973. V.58, N 1. P.175-181.

90. Cronin J. Branch points of solutions of equatins in Banach space. //Trans. Amer.

Math. Soc., 1950. V.69. P.208-231.

91. Georgescu A., Oprea I. Bifurcation theoiy from ihe applications point of view. Romania, Timisoara University, 1994. -270 p.

92. Golubitsky M., Schaeffer D. Singularities and Groups in Bifurcation Theoiy. N.Y.: Springer, Appl. Math. Sci., 1985. V.l.

93. Golubitsky M., Schaeffer D. Stewart I. Singularities and Groups in Bifurcation //Theory. N.Y.: Springer, Appl. Math. Sci., 1988. V.2.

94. Graves L.M. Remarks on singular points of functional equations. //Trans. Amer. Math. Soc. 1955. V.79,N 1. P. 150-157.

95. Ise J. Bifurcation theiiy for Fredholm operators. //Memoirs of AMS, 1976,174p.

96. Kochin N.E. Determination rigoureuse des ondes permanentes d'ampleur finie a la surface de separation de deux liquides de profondeur finie. //Math. Ann., 1928, 98. S.582-615.

97. Levi-Civita T. Determination rigoureuse des ondes permanentes d'ampleur finie. //Math. Ann., 1925,93. S.264-324.

98. Lichtenstein L. Vorlesungen uber einige Klassen nichtlinearer Integralgleichungen und Integrodifferentialgleichungen nebst Anwendungen. Berlin, 1931.

99. Loginov B. V. Branching equation in the roat subspace, its investigation and applications. //EuroMech I (13ICNO), Techn. Univ. Hamburg-Harburg. Abstracts, 1993. P.93.

100. Loginov B. V. Determination of the brandling equation by its group symmetry Andronov-Hopf bifurcation. //Nonl. Anal., TMA. V.28,1997,12. P.2033-2047.

101. Loginov B. V. General approach to Ihe cycle birth bifurcation under group invariance conditions. //Izv. Akad. Nauk UzSSR Ser. Fiz.-Mat Nauk, 1990, N 6.

P. 16-18.

102. Loginov B.V. Group analysis methods for construction and investigation of the bifurcation equation. //Applicationes of Math., 1992,37, N 4. P.241-248.

103. Loginov B.V. On the construction of the general form of branching equation by

its group symmetry. //EquaDiff-YH. Enlarged Abstracts. Praha, 1989. P.48-50.

104. Loginov B.V., Kuznetsov A.O. Capillary-gravity waves over a flat surface. //Eur. J. Mech., B/FIuids, 15, N 2,1996. P.259-280.

105. Loginov B. V., Rusak Yu. B. Generalized Jordan structure in the stability of bifurcating solutions. //Nonlinear Anal. Theory. Methods AppL, 1991,17, N 3.

P.219-231.

106. Loginov B.V., Trenogin V.A. Brandling Equation of Andronov-Hopf Bifurcation under Group Symmetry Conditions. //CHAOS (American Institute of Physics), 1997,7, N 2. P.229-238.

107. Loginov B.V., Trenogin V.A. Group Symmetry of Bifurcation Equation in Pynami Branching. //ZAMM, 1996, N 76. Suppl.2. P.237-241.

108. Magnus R. T. Generalization of multiplicity and the problem of bifiircation. //Proc. London Math. Soc. 1976,3,32. P.251-278.

109. McMillan W.D. A method for determination the solutions of a system of analytical functions in the neighborhood of a branch point. //Math. Arm., 1912. Bd.72. P. 180-202.

110. Multiparameter Bifiircation Theory. //Proc. Summer Research Conf. 1420.7.1985. Cjntemporary Mathematics. V.56,1989. Amer. Math. Soc. -357 p.

111. Rabinowitz P. Some aspects of nonlinear eigenvalue problems. //Rocky Mountain J. Math., 1973. V.3. P.161-202.

112. Sattinger D.H. Bifiircation from rotationally invariant states. //J.Math. Ph., 1978. V.19,N 8. P. 1720-1732.

113. Sattinger D.H. Group representation theory and branch points of nonlinear equatio //SIAM J. Math. Anal., 1977. V.8, N 2. P.179-201.

114. Sattinger D.H. Group representation theory, bifiircation theory and pattern formation. //J. Funct Anal., 1978. V.28, N 1. P.58-101.

115. Sattinger D.H. Group theoretic methods in bifiircation theiry. //Lecture Notes in Math., 1979. V.762. P. 1-240.

116. Schmidt E. Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. Teil 3.Uber die Auf losungen der nichlinearen Integralgleichungen und die Verzweigung ihrer Losungen. //Math.Arm., 1908, vol.65. S.370-399.

117. Struik DJ. Determination rigoureuse des ondes irrotationelles periodiques. //Math. Ann., 1926, vol.95. S.595-634.

118. Trenogin V.A., Sidorov N.A., Loginov В. V. Potentiality, group symmetry and bifurcation in the theory of brandling equation. //Differential and Integral Equations. Ohio, USA, 1990. V.3, N 1. P.145-154.

119. Vanderbauwhede A Alternative Problems and Symmetry. //J. Math. Anal. Appl., 1978. V.62, N 2. P.483-494.

120. Vanderbauwhede A. Local Bifurcation and Symmetry. //Res. Notes Math., 1982, 75. Pitmon, Boston.

121. Veite W. Stabilität und Verzweigung stationärer Losungen der Navier-Stockesschen Gleichungen beim Taylorproblem. //Arch. Rat. Mech. Anal., 1966. V.22,N 1. S.l-14.

122. Лопшов Б.В., Карпова C.A., Ким-Тян Л.Р. Возмущение фредгольмовых операторов и уравнение разветвления в корневом подпространстве. //Тез. докл. 31 научн.-техн. конф. УлГТУ. Январь-февраль 1997. С.25-27.

123. Логинов Б.В., Карпова С.А. Ветвление решений задачи о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей жидкости. //Сб. научн. трудов Всерос. симпоз. "Математическое моделирование и компьютерные технологии". 24-26.04.1997. - Кисловодск. С.62-64.

124. Логинов Б.В., Карпова С.А Вычисление асимптотики капиллярно-гравитационных волн в пространственном слое флотирующей жидкости. //Тез. докл. П Казанской летней школы-конференции "Алгебра и анализ". 22.05.1997. С. 138.

125. Loginov В.V., Karpova S.A., Trenogin B.A Bifurcation, symmetry and parameter continuation in some problems about capillary-gravity waves.

//Progress in Industrial Mathematics at ESMI-96. B.G.Teubner, Stuttgart, 1997. P.432-439.

126. Логинов Б.В., Карпова C.A. Вычисление периодических решений за дачи о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей жидкости. //Вестник Самарского университета,, 1997, N 4, т. 6. С. 69-80.

127. Логинов Б.В., Карпова С. А. Об инвариантных относительно подгрупп нелокальных решениях задачи о точке бифуркации с групповой симметрией.. //Тез. докл. 32 научн.-техн. конф. УлГТУ, 19-31.01.1998. С.40-42

128. Карпова С. А. О порядке вырождения линеаризованного оператора в задаче о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности флотирующей жидкости. //Тез. докл. Ш междун. (СНГ) конф. "Дифференциальные уравнения и их приложения". 19-21.05.1998. - Саранск. С.199-200.

129. Карпова С. А О потенциальности уравнения разветвления в условиях групповой симметрии. //Тез. докл. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи". 26-28.05.1998. - Самара С.57-59.

130. Логинов Б.В., Карпова С. А. Ветвление и симметрия в задаче о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности флотирующей жидкости.

//Тез.докл.конф. "Симметрия в естествознании". 23-29.08.1998. - Красноярск. С.86-87.

131. Логинов Б.В., Карпова С. А Потенциальность уравнения разветвления, допускающего симметрию группы куба в критических явлениях механики сплошных сред. //Сб. научн. тр." Механика и процессы управленияУлГТУ, 1998. С. 43-50.

132. Карпова С. А. Асимптотика периодических капиллярно-гравитационных волн с симметрией двойного квадрата на поверхности пространственного слоя флотирующей жидкости. //Сб. научн. тр. "Механика и процессы управления". УлГТУ, 1998. С. 18-27.