Численно-аналитическое исследование математических моделей популяционной динамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 03.00.02, кандидат физико-математических наук Апонина, Елена Александровна

• Апонина, Елена Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Апонина, Елена Александровна

Введение.

Глава 1. Иерархия моделей математической биологии и численноаналитические методы их исследования

Глава 2. Модель экосистемы трёх трофических уровней с учётом существования нижней критической плотности популяции продуцента

Глава 3. Исследование математической модели трёхвидового сообщества «хищник две жертвы»

Глава 4. Математическое моделирование процессов непрерывного культивирования микроорганизмов, содержащих нестабильные гибридные плазмиды

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численно-аналитическое исследование математических моделей популяционной динамики»

Построение и исследование математических моделей является одним из наиболее распространённых методов научного познания. Сегодня математическое моделирование становится действенным инструментом исследования почти в каждой области биологической науки. С помощью этого метода получены интересные и важные результаты в биофизике, биохимии, микробиологии, в популяционной генетике, в экологии, нашедшие отражение в многочисленных статьях и монографиях (отметим некоторые отечественные монографии: Романовский Ю.М., Степанова Н.М., Чернавский Д.С., 1971, 1975, 1984; Свирежев Ю.М., Елизаров Е.Я., 1972; Фомин С.В., Беркинблит М.Б., 1973; Гимельфарб А.А., Гинзбург JI.P., Полуэктов Р.А., Пых Ю.А., Ратнер В.А., 1974; Жаботинский A.M., 1974; Алексеев В.В., 1976; Рубин А.Б., 1976, 1984, 2004; Фрисман Е.Я., Шапиро А.П., 1977; Абросов Н.С., Ковров Б.Г., 1977; Иваницкий Г.Р., Кринский В.И., Сельков Е.Е, 1978; Свирежев Ю.М., Логофет Д.О., 1978; Скалецкая Е.И., Фрисман Е.Я., Шапиро А.П., 1979; Свирежев Ю.М., Пасеков В.П., 1982; Абросов Н.С., Ковров Б.Г., Черепанов О.А., 1982; Пых Ю.А., 1983; Рубин А.Б., Шинкарёв В.П., 1984; Базыкин А.Д., 1985, 2003; Петросян Л.А., Захаров В.В., 1986; Свирежев Ю.М., 1987; Заславский Б.Г., Полуэктов Р.А., 1988; Абросов Н.С., Боголюбов А.Г., 1988; Гольдштейн Б.Г., 1989; Молчанов A.M., 1992; Алексеев В.В., Крышев И.И., Сазыкина Е.Г., 1992; Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б., 1993, 2004; Ризниченко Г.Ю., 2002, 2003).

В последние годы в связи с возрастающей мощностью современных

ЭВМ и суперкомпьютеров открываются новые возможности для построения имитационных моделей биологических систем. Однако довольно часто возникает ситуация, когда результаты численных экспериментов, проведённых на таких моделях, с трудом поддаются 3 объяснению и зачастую совсем непонятны.

Опыт моделирования сложных биосистем показывает, что новое знание о моделируемом объекте, углублённое понимание его свойств возникает при построении и исследовании иерархии "вложенных" друг в друга моделей увеличивающейся сложности (Полетаев И.А., 1971, см. стр. 16; Гильманов Т.Г., 1978; Галицкий В.В., Тюрюканов А.Н., 1981; Базыкин А.Д., 1990). В связи с этим, наряду с разработкой имитационных моделей, становится актуальным выделение и исследование базовых моделей, т.е. аналитических моделей, относящихся к нижним этажам создаваемой сегодня иерархии математических моделей биологических систем.

Следует также отметить, что исследование базовых моделей представляет интерес не только с теоретической точки зрения. Аналитические модели с небольшим числом переменных и параметров успешно применяются при решении прикладных задач, например, при математическом описании и оптимизации процессов лабораторного и промышленного культивирования микроорганизмов (Monod J., 1950; Novick A., Szilard L., 1950; Степанова H.B., Романовский Ю.М., Иерусалимский Н.Д., 1965; Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С., 1971, 1975, 1984; Свирежев Ю.М., Елизаров Е.Е., 1972; Печуркин Н.С., Терсков И.А., 1973, 1975; Рубин А.Б., Пытьева Н.Ф., Ризниченко Г.Ю., 1977; Печуркин Н.С., 1978; Перт С.Д., 1978; Полуэктов Р.А., Пых Ю.А., Швытов И.А., 1980; Станишкис Ю., 1984; Гуревич Ю.Л., 1984; Бирюков В.В., Кантере В.М., 1985; Варфоломеев С.Д., Калюжный С.В., 1990; Печуркин Н.С., Брильков А.В., Марченкова Т.В., 1990; Вавилин В.А., Васильев В.Б., Рытов С.В., 1993; Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б., 1993,2004; Ризниченко Г.Ю., 2002; Минкевич И.Г., 2005).

Цель работы. Построить и исследовать математические модели динамики численности популяций, взаимодействующих по принципу 4 продуцент — консумент — хищник» и «две конкурирующие жертвы - один хищник», а также математическую модель динамики численности плазмид в бактериальных популяциях. Исследование моделей довести до построения параметрических и фазовых портретов. Дать содержательную биологическую интерпретацию параметрическим и фазовым портретам.

Методы исследования. При исследовании математических моделей использовались аналитические методы качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости и бифуркаций. Использовались также вычислительные алгоритмы и компьютерные программы для исследования бифуркаций сепаратрис (Апонин Ю.М., Апонина Е.А., 1976; Кузнецов Ю.А., 1983; Govaerts W., Kuznetsov Yu.A. and Sijnave В., 2000), отыскания предельных циклов и слежения за предельным циклом при изменении параметра (Хибник А.И., 1979; Khibnik A.I., Kuznetsov Yu.A., Levitin V.V., Nikolaev E.V., 1993).

Основными задачами работы являются: а) анализ роли нижнего порога численности продуцента в формировании типов динамического поведения трёхзвенных трофических цепей «продуцент - консумент - хищник»; б) исследование вольтерровской модели системы трёх популяций, взаимодействующих по принципу «хищник — две конкурирующие жертвы»; в) математическое моделирование популяционной динамики гибридных плазмид, исследование области устойчивости генно-инженерных плазмидных штаммов при длительном непрерывном культивировании.

Научная новизна.

1. Построена и впервые исследована базовая математическая модель экосистемы «продуцент - консумент — хищник» при наличии у продуцента нижней критической плотности популяции. Показано, что 5 существование нижней критической плотности популяции продуцента порождает разнообразие пороговых эффектов при кратковременных воздействиях на экосистему, вызывающих резкие изменения численностей составляющих её видов. На математической модели продемонстрирована роль хищника в поддержании жизнеспособности экосистемы. Установлена возможность устойчивого сосуществования продуцента, консумента и хищника при невозможности сосуществования продуцента и консумента в отсутствие хищника.

2. Впервые установлено существование бесконечного множества предельных циклов и сложного динамического поведения (незатухающих хаотических колебаний) в вольтерровской модели системы трёх взаимодействующих популяций.

3. Впервые описан механизм возникновения сложного динамического поведения в системе трёх популяций, взаимодействующих по принципу «хищник - две конкурирующие жертвы». Показано, что возникновение хаотических колебаний численностей популяций при увеличении промысловой нагрузки на экосистему является критерием приближения к опасной параметрической границе, за которой сосуществование не только трёх, но и двух популяций становится невозможным.

4. Построена и впервые исследована математическая модель непрерывного культивирования микроорганизмов, содержащих гибридные плазмиды, с учётом структурной и репликационной (сегрегационной) нестабильности плазмид. Модель позволяет рассчитывать область значений управляемых параметров процесса культивирования, при которых популяция плазмидосодержащих клеток устойчиво поддерживается на протоке. Впервые проанализирована зависимость этой области от значений кинетических параметров плазмидного штамма и его дериватов, возникающих вследствие структурной и репликационной нестабильности плазмид. Впервые выделена область стационарных 6 значений управляемых параметров, при которых исходный плазмидный штамм поддерживается на протоке в режиме незатухающих колебаний его численности.

Эти основные результаты и выносятся на защиту.

Практическая значимость.

1. Рассмотренные в диссертации математические модели представляют собой нелинейные системы трёх - четырёх обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследование каждой модели доведено до построения параметрического и соответствующих фазовых портретов. Поэтому все рассмотренные модели применимы как базовые модели для построения и исследования последующих уровней иерархии математических моделей экологии и биотехнологии.

2. Математическая модель популяционной динамики плазмид использовалась для объяснения колебательной динамики численности популяции клеток в непрерывной культуре геноинженерного штамма Bacillus stearothermophilus, несущих рекомбинантную плазмиду pZAM26 (Koizumi J.-I., Aiba S., 1988). В последние годы эта модель применяется при построении и исследовании более сложных моделей с учётом копийности и конъюгационного переноса плазмид (Апонин Ю.М., Апонина Е.А., 2008).

3. Математическая модель популяционной динамики плазмид применима при решении прикладных задач направленного генно-инженерного конструирования гибридных плазмид (методами генетической инженерии) и прогнозирования эффективности промышленного использования штаммов, их содержащих.

4. Результаты исследования базовых моделей указывают критерии приближения к опасным границам (в параметрическом и фазовом пространстве) функционирования экологических и биотехнологических систем.

Апробация работы и публикации. Материалы диссертации докладывались на Всесоюзной конференции «Теория и практика программирования на ЭВМ серии Мир» (Душанбе, 1974), Всесоюзной конференции по асимптотическим методам в теории сингулярно возмущённых уравнений (Алма-Ата, 1979), Годовой конференции НИВЦ (Пущино, 1981), I Всесоюзном биофизическом съезде (Москва, 1982), Шестой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 1999), Четырнадцатой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2007).

По результатам диссертации опубликовано 29 работ.

Структура и объём диссертации. Основная часть диссертации состоит из четырёх глав. В первой главе обсуждается представление об иерархии математических моделей и используемое в современной литературе понятие базовой модели. Даётся краткий обзор аналитических и численных методов исследования базовых моделей, представленных в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Во второй главе анализируется роль нижнего порога численности популяции продуцента в формировании типов динамического поведения трёхзвенных систем «продуцент - консумент — хищник». В третьей главе проводится численно-аналитическое исследование вольтерровской модели системы трёх взаимодействующих популяций, устроенной по принципу хищник -две конкурирующие жертвы. Описывается механизм возникновения сложного динамического поведения (динамического хаоса) в трёхкомпонентных вольтерровских моделях. Четвёртая глава посвящена математическому моделированию процессов лабораторного или промышленного культивирования микроорганизмов, полезная биосинтетическая активность которых обеспечивается генно-инженерными гибридными плазмидами.

Общий объём работы 132 страницы. Работа содержит 22 рисунка. Список литературы состоит из 199 наименований.

Заключение диссертации по теме «Биофизика», Апонина, Елена Александровна

Основные результаты и выводы

1. Установлено, что существование нижней критической плотности популяции продуцента порождает разнообразие пороговых эффектов при кратковременных воздействиях на экосистему, вызывающих резкие изменения численностей составляющих её видов. Эти эффекты прослежены с помощью трёхмерных фазовых портретов модельной экосистемы «продуцент - консумент — хищник» и объясняются множественностью аттракторов в пространстве состояний и особым расположением сепаратрисных поверхностей, разделяющих области притяжения этих аттракторов.

2. На математической модели продемонстрирована роль хищника в поддержании жизнеспособности экосистемы «продуцент - консумент — хищник». Установлено существование нижнего порога численности хищника. Промысловое изъятие хищника, понижающее его численность ниже этого порога, приводит к катастрофическим последствиям для экосистемы в целом. После такого воздействия обречены на вымирание все составляющие экосистемы - и продуцент, и консумент, и хищник.

3. Проанализированы возможные типы сосуществования трёх видов в вольтерровской модели, описывающей динамику популяций двух конкурирующих видов жертвы и популяции хищника. В зависимости от значений параметров модели эти три вида могут сосуществовать в стационарном режиме, в режиме периодических колебаний или в режиме хаотических колебаний. Механизм возникновения хаотических колебаний при изменении значений параметров связан с бифуркациями, происходящими в окрестности сепаратрисного контура, включающего в себя три особые точки, одна из которых является седлофокусом.

Установлено, что возникновение хаотического поведения при увеличении промысловой нагрузки на экосистему может быть одним из

109 критериев приближения к опасной параметрической границе, за которой сосуществование не только трёх, но и двух видов становится невозможным ни в каком режиме.

4. Исследована математическая модель непрерывного культивирования плазмидного штамма микроорганизмов с учётом двух основных факторов нестабильности штамма - потерь плазмид при делении клеток и структурных перестроек плазмид. Модель позволяет рассчитывать область устойчивости популяции плазмидосодержащих клеток, т.е. область значений управляемых параметров процесса культивирования, при которых эта популяция устойчиво поддерживается на протоке, обеспечивая полезную биосинтетическую активность непрерывной культуры микроорганизмов.

5. Показано, что по скорости протока область устойчивости ограничена не только сверху, но и снизу некоторым не равным нулю значением скорости протока. При значениях скорости протока ниже этой пороговой величины популяция клеток исходного плазмидного штамма с течением времени вымывается из ферментёра. Существование нижней критической скорости протока подтверждается экспериментальными исследованиями хемостатного культивирования некоторых штаммов Е. coli К12, содержащих рекомбинантные плазмиды.

6. На основании исследования математической модели установлено, что при постоянных условиях непрерывного культивирования популяция плазмидных клеток может поддерживаться на протоке не только в стационарном режиме, но и в режиме периодических колебаний её численности. Этот результат использовался Koizumi & Aiba (1988) для объяснения колебательной динамики численности популяции клеток в непрерывной культуре генно-инженерного штамма Bacillus stearothermophilus, несущих рекомбинантную плазмиду pZAM26.

7. Математические модели популяционной динамики, рассмотренные

ПО в диссертации, представляют собой нелинейные системы трёх обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследование каждой из этих моделей доведено до построения параметрического портрета с указанием соответствующего набора трёхмерных фазовых портретов, качественно объясняющих наблюдаемые в эксперименте особенности динамического поведения взаимодействующих популяций. Детальное исследование этих моделей позволяет рассматривать их как базовые в иерархии моделей популяционной динамики. Эти базовые модели можно использовать при построении более сложных моделей, количественно описывающих данные экспериментов.

В заключение считаю своим долгом отметить, что автору посчастливилось быть среди учеников Александра Дмитриевича Базыкина (1940 - 1994) и мне хотелось бы выразить здесь постоянное чувство благодарности за всё, чему он меня научил. Автор глубоко признателен A.M. Молчанову и Э.Э. Шнолю за интерес к работе, В.Д. Лахно и М.Н. Устинину за поддержку работы на её завершающей стадии, Ю.М. Апонину за многолетнее и плодотворное сотрудничество, а также коллегам из лаборатории математического моделирования Института математических проблем биологии Ф.С. Березовской, Ю.А. Кузнецову и А.И. Хибнику.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Апонина, Елена Александровна, 2008 год

1. Абросов Н.С., Ковров Б.Г. Анализ видовой структуры трофического уровня одноклеточных. Новосибирск.: Наука. Сиб. отд.-ние, 1977, 191 с.

2. Абросов Н.С., Ковров Б.Г., Черепанов О.А. Экологические механизмы сосуществования и видовой регуляции. Новосибирск: Наука, 1982, 302 с.

3. Абросов Н.С., Боголюбов А.Г. Экологические и генетические закономерности сосуществования и коэволюции видов. Новосибирск: Наука, Сиб. отд.-ние, 1988, 333 с.

4. Алексеев В.В. Человек и биосфера, выпуск 1. М.: изд-во Моск. ун-та, 1976, 197 с.

5. Алексеев В.В., Крышев И.И., Сазыкина Е.Г. Физическое и математическое моделирование экосистем. С.-П., 1992, 368 с.

6. Альбеверио С., Фенстад Й., Хеэг Крон Р., Линдстрём Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике. М.: Мир, 1990, 616 с.

7. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966, 568 с.

8. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967, 488 с.

9. Андрианов И.В., Баранцев Р.Г., Маневич Л.И. Асимптотическая математика и синергетика: путь к целостной простоте. М.: Едиториал УРСС, 2004, 304 с.

10. П.Апонина Е.А., Апонин Ю.М., Крейцер Г.П., Шноль Э.Э. Избранные алгоритмы и программы для ЭВМ МИР-2. Предельные циклы системы двух дифференциальных уравнений. Пущино, ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1974, 46 с.

11. Апонин Ю.М., Апонина Е.А. Избранные алгоритмы и программы для ЭВМ МИР-2. Сепаратрисы системы двух дифференциальных уравнений. Пущино, ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1976, 36 с.

12. Апонин Ю.М К исследованию математических моделей простейших искусственных экосистем на протоке // Тезисы докладов I конференции: Математическая теория биологических процессов. Калининград, 1976, с. 76 78.

13. Апонин Ю.М. Асимптотические формулы для предельного цикла при рождении из петли сепаратрисы. ВИНИТИ. Деп. № 3028 — 76. Пущино, 1976, 46 с.

14. Апонин Ю.М. Об аналитической характеристике изменения сепаратрисы и предельного цикла в зависимости от параметра. ВИНИТИ. Деп. № 894 78. Пущино, 1978, 25 с.

15. Апонин Ю.М. О некоторых асимптотических оценках и вычислительных алгоритмах для исследования предельных циклов и сепаратрис систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Автореферат канд. диссертации. Горький, 1979, 16 с.

16. Апонин Ю.М. Конфигурации особых точек вольтерровской системы трёх дифференциальных уравнений. ВИНИТИ. Деп. № 3917-82. Пущино, 1982, 42 с.

17. Апонин Ю.М. Популяционная динамика бактериальных плазмид в условиях хемостатного культивирования. Препринт. ОНТИ НЦБИ АН СССР, Пущино, 1982, 17 с.

18. Апонина Е.А., Апонин Ю.М., Базыкин А.Д. Анализ сложного динамического поведения в модели хищник — две жертвы // В кн.114

19. Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем, т. 5. Ленинград, Гидрометеоиздат, 1982, с. 163 180.

20. Апонин Ю.М., Апонина Е.А., Бельков В.В. Математическое моделирование процессов непрерывного культивирования микроорганизмов, содержащих нестабильные гибридные плазмиды. Препринт. ОНТИ НЦБИ АН СССР, Пущино, 1984, 21 с.

21. Апонина Е.А., Апонин Ю.М., Вельков В.В. Кинетические коэффициенты плазмид и методология конструирования рекомбинантных ДНК. Препринт. ОНТИ НЦБИ АН СССР, Пущино, 1984, 11 с.

22. Апонин Ю.М., Апонина Е.А., Ванякин Е.Н. Математическое моделирование процессов непрерывного культивирования с учётом гетерогенности микробных популяций. Препринт. ОНТИ НЦБИ АН СССР, Пущино, 1989, 31 с.

23. Апонин Ю.М., Апонина Е.А. О некоторых условиях устойчивого поддержания нестабильных плазмид в микробных популяциях при длительном непрерывном культивировании // Исследования по математической биологии. Пущино, 1996, с. 32 — 48.

24. Апонин Ю.М., Апонина Е.А. Нестандартный анализ как язык математического отображения и моделирования реальности // VII Международная конф. серии «Нелинейный мир». Языки науки языки искусства. Ижевск: НИЦ Регул, и хаот. динамика, 2002, с. 10.

25. Апонин Ю.М., Апонина Е.А., Кузнецов Ю.А. Математическое115моделирование пространственно-временной динамики возрастной структуры популяции растений. Препринт. ОНТИ ПНЦ РАН. Пущино, 2003, 23 с.

26. Апонин Ю.М., Апонина Е.А. Иерархия моделей математической биологии и численно-аналитические методы их исследования // Математическая биология и биоинформатика, 2007, том 2, №2, с. 347 -360, http://www.matbio.org/downloads/Aponin2007r2 347).pdf

27. Апонин Ю.М., Апонина Е.А. Бифуркации в обобщённой модели Вольтерра экосистемы двух трофических уровней // Математика. Компьютер. Образование. Сб. научн. трудов. Том 2. М. Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007, с. 131 - 138.

28. Апонин Ю.М., Апонина Е.А. Математическое моделирование эволюции бактериальной популяции с учётом немутационной изменчивости генома // В кн.: Математика. Компьютер. Образование. Тезисы. Выпуск116

29. Москва Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008, с. 153.

30. Апонин Ю.М., Апонина Е.А. Математическое моделирование эволюции бактериальной популяции в непрерывной культуре с учётом немутационной изменчивости генома // Биофизика (в печати).

31. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций // ИНТ, Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 5. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1985, с. 5-218.

32. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986, 744 с.

33. Базыкин А.Д. Модель динамики численности вида и проблема сосуществования близких видов // Журн. Общей биологии, 1969, т. 30, №3,с. 259-264.

34. Базыкин А.Д., Березовская Ф.С. Модель системы хищник жертва с нижней критической численностью жертвы // Тезисы докладов III Всесоюзной конференции по биологической и медицинской кибернетике. М. — Сухуми, 1978, т.З, с. 214 — 217.

35. Базыкин А.Д., Березовская Ф.С. Эффект Олли, нижняя критическая численность популяции и динамика системы хищник — жертва // В кн. Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. JI. Гидрометеоиздат, 1979, т. 2, с. 161-175.

36. Базыкин А.Д., Хибник А.И., Апонина Е.А. Нейфельд А.А. Модель эволюционного возникновения диссипативной структуры в экологической системе // Факторы разнообразия в математической экологии и популяционной генетике. Пущино, 1980, с. 33 — 47.

37. Базыкин А. Д., Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.: Наука, 1985, 182 с.

38. Базыкин А.Д. Теоретическая и математическая экология: Проблема опасных границ и критериев приближения к ним // Математика и моделирование. Пущино: ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1990, с. 232 238.

39. Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. М. Иж.: ИКИ, 2003, 368 с.

40. Балабаев Н.К., Луневская Л.В. Движение по кривой в п — мерном пространстве. Материалы по математическому обеспечению ЭВМ, вып. 1. Пущино, ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1978, 52 с.

41. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости, 2-е изд., доп. М.: Наука, 1990, 488 с.

42. Беляков Л.А. О структуре бифуркационных множеств в системах с петлёй сепаратрисы седлофокуса // IX Международная конференция по нелинейным колебаниям. Киев, 1981.

43. Беляков Л.А. Бифуркации систем с гомоклинической кривой седло-фокуса с нулевой седловой величиной // Математические заметки, т. 36, №5, 1984, с. 681-689.

44. Березовская Ф.С., Крейцер Т.П. Избранные алгоритмы и программы для ЭВМ МИР-2. Сложные особые точки системы двух дифференциальных уравнений. Пущино, ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1975, 56 с.

45. Бирюков В.В., Кантере В.М. Оптимизация периодических процессов микробиологического синтеза. М.: Наука, 1985, 296 с.

46. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974, 504 с.

47. Бом Д. Общая теория коллективных переменных. М.: Мир, 1964, 152 с.118

48. Борисюк P.M. Стационарные решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящей от параметра. Материалы по математическому обеспечению ЭВМ, вып. 6. Пущино, ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1981, 68 с.

49. Воронин A.M., Денисов Г.А., Лазарев П.И. Математические модели динамики численностей бактериальных плазмид. Препринт, Пущино, ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1983, 43 с.

50. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976, 384 с.

51. Вавилин В.А., Васильев В.Б., Рытов С.В. Моделирование деструкции органического вещества сообществом микроорганизмов. М.: Наука, 1993, 208 с.

52. Варфоломеев С.Д., Калюжный С.В. Биотехнология: Кинетические основы микробиологических процессов: Учеб. Пособие для биол. и хим. спец. вузов. М.: Высш. шк.,1990, 296 с.

53. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущённых уравнений. М.: Наука, 1973, 272 с.

54. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. Школа, 1990, 208 с.

55. Вельков В.В. Нестабильность рекомбинантных молекул // Генетика, 1983, т. XIX, № 10, с. 1573 1581.

56. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976, 288 с.

57. Гаврилов Н.К. О некоторых бифуркациях состояний равновесия с одним нулевым и парой чисто мнимых корней // В сб. Методы качественной теории дифференциальных уравнений, Горький, 1978, с. 33-40.

58. Галицкий В.В. О моделировании продукционного процесса в растительном сообществе // Моделирование биогеоценотических119процессов. М.: Наука, 1981, с. 104 118.

59. Галицкий В.В., Тюрюканов А.Н. О методологических предпосылках моделирования в биогеоценологии // Моделирование биогеоценотических процессов. М.: Наука, 1981, с. 29 47.

60. Ганусов В.В., Брильков А.В., Печуркин Н.С. Структурный подход к моделированию популяционной динамики нестабильных рекомбинантных штаммов бактерий, содержащих многокопийные плазмиды // ДАН, 1999, т. 369, № 2, с. 267 270.

61. Ганусов В.В., Брильков А.В., Печуркин Н.С. Математическое моделирование динамики популяции нестабильных плазмидсодержащих штаммов бактерий при непрерывном культивировании в хемостате // Биофизика, 2000, т. 45, № 5, с. 908-914.

62. Ганусов В.В., Брильков А.В., Печуркин Н.С. Популяционная динамика бактериальных плазмид // Математическое моделирование, 2001, т. 13, № 1, с. 77-98.

63. Гильманов Т.Г. Математическое моделирование биогеохимических циклов в травяных экосистемах. М.: Изд-во МГУ, 1978, 168 с.

64. Гимельфарб А.А., Гинзбург Л.Р., Полуэктов Р.А., Пых Ю.А., Ратнер В.А. Динамическая теория биологических популяций, под ред. Р.А. Полуэктова, М.: Наука, 1974, 456 с.

65. Гольдштейн Б.Н. Кинетические графы в энзимологии. М.: Наука, 1989, 166 с.

66. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М.: Наука, 1979, 432 с.

67. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. М. — Иж.: ИКИ, 2002, 560 с.

68. Гуревич Ю.Л. Качественный анализ структуры гетерогенной популяции бактерий // В кн.: Анализ роста популяций биофизическими методами.120

69. Новосибирск: Наука, 1984, с. 22 — 31.

70. Гуревич Ю.Л. Устойчивость и регуляция размножения в микробных популяциях. Новосибирск: Наука, 1984, 161 с.

71. Давиденко Д.Ф. О новом методе численного решения систем нелинейных уравнений // ДАН СССР, 1953, т. 88, № 4, с. 601 602.

72. Дрё Ф. Экология. Пер. с франц. (Франция, 1974) М.: Атомиздат, 1976, 165 с.

73. Иваницкий Г.Р., Кринский В.И., Сельков Е.Е. Математическая биофизика клетки. М.: Наука, 1978, 308 с.

74. Иваницкий Г.Р. Борьба идей в биофизике. М.: Знание, 1982, 64 с.

75. Ильяшенко Ю.С., Ли Вейгу. Нелокальные бифуркации. М.: МЦ НМО, ЧеРо, 1999,416 с.

76. Исаев А.С., Недорезов Л.В. Хлебопрос Р.Г. Математическая модель эффекта ускользания во взаимодействии хищника и жертвы // Математическое моделирование компонентов лесных биогеоценозов. Новосибирск: Наука, 1979, с. 74 82.

77. Исаев А.С., Суховольский В.Г., Овчинникова Т.М. Феноменологические модели роста лесных насаждений // Журн. Общей биологии, 2008, т. 69, № 1, с. 3 9.

78. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971, 400 с.

79. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы121будущего. М: Едиториал УРСС, 2003, 288 с.

80. Колмогоров А.Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяций // Проблемы кибернетики. М. Наука, 1972, вып. 25, с. 100-106.

81. Корзухин М.Д. Возрастная динамика популяции деревьев, являющихся сильными эдификаторами // В кн. Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. Л. Гидрометеоиздат, 1980, т. 3, с. 162- 178.

82. Крейцер Г.П. Избранные алгоритмы и программы для ЭВМ МИР-2. Простые особые точки системы двух дифференциальных уравнений. Пущино, ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1976, 48 с.

83. Кряжимский Ф.В. Гомеостаз и самоподобие динамики биологических систем // ДАН, 2007, т. 413, № 5, с. 714 717.

84. Кузнецов Ю.А. Одномерные сепаратрисы системы обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящей от параметров. Материалы по математическому обеспечению ЭВМ, вып. 8. Пущино, ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1983,48 с.

85. Леме Ж. Основы биогеографии. М.: изд-во Прогресс, 1976, 309 с.

86. Лобанов А.И., Петров И.Б., Старожилова Т.К. Вычислительные методы для анализа моделей сложных динамических систем. Ч. II: Учебное пособие. Долгопрудный: ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ, 2002, 155 с.

87. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990, 272 с.

88. Малинецкий Г.Г. Математические основы синергетики. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. М.: КомКнига, 2005, 312 с.

89. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Нелинейная динамика и хаос. Основные понятия. М.: КомКнига, 2006, 240 с.

90. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б., Подлазов А.В. Нелинейная динамика. Подходы, результаты, надежды. М.: КомКнига, 2006, 280 с.122

91. Меншуткин В.В. Математическое моделирование популяций и сообществ водных животных. JL: Наука, 1971.

92. Минкевич И.Г. Материально энергетический баланс и кинетика роста микроорганизмов. Москва - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2005, 352 с.

93. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975, 248 с.

94. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущённых системах. М.: Физматлит, 1995, 336 с.

95. Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. М.: Наука, 1979, 224 с.

96. Молчанов A.M. Нелинейности в биологии. Пущино: ОНТИ ПНЦ РАН, 1992, 222 с.

97. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972, 472 с.

98. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987, 424 с.

99. Неймарк Ю.И. Математические модели естествознания и техники. Цикл лекций. Выпуск 1. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1994, 84 с.

100. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М. — Иж.: НИЦ «Регул, и хаот. динамика», 2004, 456 с.

101. Одум Ю. Основы экологии / Пер. с анг. Под ред. Н.П. Наумова. М.: Мир, 1975, 742 с.

102. Перт С.Д. Основы культивирования микроорганизмов и клеток. М.: Мир, 1978, 331 с.

103. Петросян Л.А., Захаров В.В. Введение в математическую экологию. Л.: Изд-во Ленингр. ун.-та, 1986, 224 с.123

104. Печуркин Н.С., Терсков И.А. Автоселекционные процессы в непрерывной культуре микроорганизмов. Новосибирск.: Наука, 1973, 64 с.

105. Печуркин Н.С., Терсков И.А. Анализ кинетики роста и эволюции микробных популяций (в управляемых условиях). Новосибирск, 1975, 240 с.

106. Печуркин Н.С. Популяционная микробиология. Новосибирск: Наука, Сиб. отд.-ние, 1978, 278 с.

107. Печуркин Н.С., Брильков А.В., Марченкова Т.В. Популяционные аспекты биотехнологии. Новосибирск: Наука, Сиб. отд.-ние, 1990, 173 с.

108. Полуэктов Р.А., Пых Ю.А., Швытов И.А. Динамические модели экологических систем. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1980, 288 с.

109. Пых Ю.А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики. М.: Наука, 1983, 183 с.

110. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. М.: Изд-во МГУ, 1993, 302 с.

111. Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Часть 1. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002, 232 с.

112. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии. М. -Иж.: ИКИ, 2003, 184 с.

113. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Биофизическая динамика продукционных процессов. М. Ижевск, ИКИ, 2004. 464 с.

114. Романовский Ю.М., Степанова Н.В, Чернавский Д.С. Что такое математическая биофизика (Кинетические модели в биофизике). М.: Просвещение, 1971, 136 с.

115. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С.124

116. Математическое моделирование в биофизике. М.: Наука, 1975, 344 с.

117. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.: Наука, Гл. ред. физ. мат. лит., 1984, 304 с.

118. Романов А.В. Эффективная конечная параметризация в фазовых пространствах параболических уравнений // Изв. РАН. Сер. матем., 2006, т. 70, №5, с. 163 -178.

119. Рубин А.Б. Термодинамика биологических процессов. Учебное пособие. М.: Изд.-во Моск. ун-та, 1976, 240 с.

120. Рубин А.Б., Пытьева Н.Ф., Ризниченко Г.Ю. Кинетика биологических процессов. М.: Изд.-во МГУ, 1977, 328 с.

121. РубинА.Б., Шинкарёв В.П. Транспорт электронов в биологических системах. М.: Наука, 1984, 320 с.

122. Рубин А.Б. Термодинамика биологических процессов. Учебное пособие — 2е изд. М.: Изд.-во Моск. ун-та, 1984, 290 с.

123. Рубин А.Б. Биофизика. Т. 1: Теоретическая биофизика. М.: Изд-во МГУ, Изд-во Наука, 2004, 462 с.

124. Свирежев Ю.М., Елизаров Е.Я. Проблемы космической биологии, т. XX. Математическое моделирование биологических систем. М.: Наука, 1972, 160 с.

125. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978, 352 с.

126. Свирежев Ю.М., Пасеков В.П. Основы математической генетики. М.: Наука, 1982, 512 с.

127. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987 368 с.

128. Серебрякова Н.Н. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений теории колебаний // ПММ, 1963, т. 27, № 1, с. 160-166.

129. Скалецкая Е.И., Фрисман Е.Я., Шапиро А.П. Дискретные модели динамики численности популяций и оптимизация промысла. М.: Наука, 1979, 166 с.

130. Слепков В.А., Суховольский В.Г., Хлебопрос Р.Г. Популяционная динамика в моделировании роста раковых опухолей // Биофизика, 2007, т. 52, вып. 4, с. 733 740.

131. Смит Дж. М. Модели в экологии / Пер. с анг. Под ред. А.Д. Базыкина. М.: Мир, 1976. 184 с.

132. Станишкис Ю. Оптимальное управление биотехнологическими процессами. Вильнюс: Мокслас, 1984, 256 с.

133. Степанова Н.В., Романовский Ю.М., Иерусалимский Н.Д. Математическое моделирование роста микроорганизмов при непрерывном культивировании // ДАН СССР, 1965, т. 163, № 5, с. 1266 1269.

134. Стрыгин В.В., Соболев В.А. Разделение движений методом интегральных многообразий. М.: Наука, 1988, 256 с.

135. Теория систем. Математические методы и моделирование. Сборник статей. Пер. с англ. М.: Мир, 1989, 384 с.

136. Теоретическая и математическая биология. Сб. статей. Пер. с англ. М.: Мир, 1968, 448 с.

137. Тимофеев-Рессовский Н.В., Яблоков А.В., Глотов Н.В. Очерк учения о популяции. М., Наука, 1973, 278 с.

138. Уатт К. Экология и управление природными ресурсами. М.: Мир, 1971.464 с.

139. Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ? М.: Наука, 1987, 128 с.

140. Фёдоров В.Д., Гильманов Т.К. Основы экологии. Изд-во МГУ, 1980, 464 с.

141. Фомин С.В. Математика в биологии. М.: Знание, 1969, 48 с.126

142. Фомин С.В., Беркинблит М.Б. Математические проблемы в биологии. М.: Наука, 1973, 200 с.

143. Фрисман Е.Я., Худолей Ю.И. О возможности различия по плотности особей в системе миграционно связных популяций // В сб. Математическая теория биологических процессов. Тезисы докладов I конференции. Калининград, 1976, с. 188-191.

144. Фрисман Е.Я., Худолей Ю.И. Об устойчивости различия по плотности в системе двух связных популяций //В сб. Математическое моделирование биологических сообществ. ДВНЦ АН СССР, Владивосток, 1977, с. 58 64.

145. Фрисман Е.Я., Шапиро А. П. Избранные математические модели дивергентной эволюции популяций. М.: Наука, 1977, 151 с.

146. Фрисман Е.Я. Об одной модели динамики численностей // В сб. Модели биологических сообществ. Владивосток, ДВНЦ АН СССР, 1979, с. 23-27.

147. Фрисман Е.Я., Дмитриев А.А. Динамическая модель пространственного распределения особей // В сб. Математические модели популяций. Владивосток, ДВНЦ АН СССР, 1979, с. 75 83.

148. Хибник А.И. Периодические решения системы п дифференциальных уравнений. Алгоритмы и программы на ФОРТРАНЕ, вып. 5. Пущино, ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1979, 72 с.

149. Хибник А.И., Шноль Э.Э. Программы для качественного исследования дифференциальных уравнений. Информационный материал. Пущино: ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1982, 16 с.

150. Цурков В.И. Динамические задачи большой размерности. М.: Наука, 1988, 288 с.

151. Чернавский Д.С. Синергетика и информация. М.: Наука, 2001, 244 с.

152. Чернавский Д.С., Старков Н.И., Щербаков А.В. Динамическая модель поведения общества. Синергетический подход к127макроэкономике // Новое в синергетике. Взгляд в третье тысячелетие. М.: Наука, 2002, с. 239 291.

153. Чернавский Д.С., Чернавская Н.М., Малков С.Ю., Малков А.С. Геополитические процессы как объект математического моделирования // История и синергетика: Математическое моделирование социальной динамики. М.: КомКнига, 2005, с. 103 116.

154. Шапиро А.П., Луппов С.П. Рекуррентные уравнения в теории популяционной биологии. М.: Наука, 1983, 134 с.

155. Шильников Л. П. О некоторых случаях рождения периодических движений из особых траекторий // Математический сборник, 1963, т. 61(104), с. 443-446.

156. Шильников Л. П. Об одном случае существования счётного множества периодических движений // ДАН СССР, 1969, т. 160, № 3, с. 558-561.

157. Шильников Л. П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус // Математический сборник , 1970, т. 81(123), № 1, с. 92 103.

158. Шильников Л. П. Теория бифуркаций и модель Лоренца // В кн.: Дж. Марсден, М. Маккракен. Бифуркация рождения цикла и её приложения, М.: Мир. 1980, с. 317-336.

159. Шошитайшвили А.Н. Бифуркации топологического типа векторного поля вблизи особой точки // Тр. семинаров им. И.Г. Петровского, 1975, вып.1, с. 279-309.

160. Эренфелд Д. Природа и люди. М.: Мир, 1979.128

161. Alle W.C., Emerson A.E., Park 0.5 Park Т., Schmidt K.P. Principles of animal ecology, 1949, W.B. Saunders ed., 837 p.

162. Antonovsky M.Ya., Aponina E.A., Kuznetsov Yu.A. Spatial-temporal structure of mixed-age forest boundary: the simplest mathematical model. WP-89-54. Laxenburg, Austria: IIASA, 1989, 13 p.

163. Antonovsky M. Ya., Aponina E.A., Kuznetsov Yu.A. On the stability analysis of the standing forest boundary. WP-91-010. Laxenburg, Austria: IIASA, 1991, 10 p.

164. Arneodo A., Goulett P.,Tresser C. Occurrence of strange attractor in three dimensional Volterra equations // Physics letters, 1980, v. 79A, N 4, p. 259-263.

165. Bazykin A.D., Khibnik A.I., Aponina E.A. A model of evolutionary appearance of dissipative structure in ecosystems // J. Math. Biology, 1983, v. 18. N 1. p. 13-23.

166. Cramer N.F., May R.M. Interspecific competition predation and species diversity: a comment J. Theor. Biol., 1972, v. 34, N 2, p. 289 293.

167. Dwiwedi C.P., Imanaka Т., Aiba S. Instability of Plasmid-Harbouring Strain of E. coll in Continuous Colture // Biotechnology and Bioengineering, 1982, v. 24, N 6, p. 1465 1468.

168. Fujii K. Complexity stability relationship of two-prey-one-predator species system model: local and global stability // J. Theor. Biol., 1977, v. 69, N4,613-623.

169. Ganusov V.V., Brilkov A.V. Estimating the Instability Parameters of Plasmid Bearing Cells. I. Chemostat Culture // J. Theor. Biol, 2002, v. 219, p. 193-205.

170. Gilpin M. E. Spiral chaos in a predator — prey model // Amer. Natur., 1979, v. 113, N. 2, p. 306-308.

171. Govaerts W., Kuznetsov Yu.A. and Sijnave B. Continuation of codimension — 2 equilibrium bifurcations in CONTENT // In: Doedel E. and129

172. Tickerman L.S. (eds). Numerical methods for bifurcation problems and large -siale dynemical systems. Springer Verlag, New York, 2000, p. 163 - 184.

173. Helling R.B., Kinney T, Adams J. The Maintenance of Plasmid-Containing Organisms in Populations of E. coli // Gen. Microbiol., 1981, v. 123, N1, p. 129-141.

174. Hershberger C.L., Radue A.K., Rosteck P.R. Method for Stabilizing and Selection Host Cells Containing Recombinant DNA. Заявка Великобритании No 2084584, СЗН, C12 N15/ 00, 1982.

175. Imanaka Т., Tsunekawa H., Aiba S. Phenotypic stability of trp Operon Recombinant Plasmids in E. coli // J. Gen. Microbiol., 1980, v. 118, p. 253 -261.

176. Khibnik A.I., Kuznetsov Yu.A., Levitin V.V., Nikolaev E.V. Continuation techniques and interactive software for bifurcation analysis of ODEs and iterated maps // Physica, 1993, D62, p. 360 371.

177. Klyoshi M., Harao M., Microorganism, harbouring a Plasmid with Stabilized Characteristics and Method of Obtaining it. Заявка на европейский патент N 0019877, C12, N15/00, 1980.

178. Koizumi Jun-ichi, Aiba Shuichi. Oscillatory behavior of population density in continuous calture of genetic-ingineered Bacillus Stearothermophilus // Biotechnology and Bioengineering, 1989, v. 34, p. 750-754.

179. Kuznetsov Yu.A., Antonovsky M.Ya., Biktashev V.N., Aponina E.A. A cross-diffusion model of forest boundary dynamics // J. Math. Biology, 1994, v. 32, p. 219-232.

180. Levin B.R., Stewart F.M. The population biology of bacterial plasmids: a priori conditions for the existence of mobilizable nonconjugative factors // Genetics, 1980, v. 94, N 2, p. 425 443.

181. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flou // J. atm. Sci., 1963, v 20, p. 130-141.

182. Monod J. Recherches sur la croissance des cultures bacteriennes. Paris: Hermann, et Cie, 1942, 210 p.

183. Monod J. La technique de culture continue. Theorie et applications // Ann. Institute Pasteur, 1950, v. 79, p. 390 410.

184. Novick A., Szillard L. Discription of the chemostat // Science, 1950, v. 112, p. 715.

185. Paine R.T. Food web complexity and cpecies diversity // Amer. Natur., 1966, v. 100, N910, p. 65-75.

186. Parrish J.D., Saila S.B. Interspecific competition, predation and species diversity // J. Theor. Biol. (1970), v. 27, N 2, p. 207 220.

187. Road J.I., Sneddom M.K., Morrison J.F. Instability in tyr R Strains of Plasmids Carrying the Tyrosine Operon: Isolation and characterisation of Plasmid Derivatives with Insertions and Deletions // J. Bact., 1980, v. 144, No 2, p. 552-559.

188. Rossler O. Different types of chaos in two simple differential equations. // Z. Naturfosch, Teil B, Anorg. Chem., Biochem., Biophys., Biol., 1976, v. 31, p. 1664-1670.

189. Ruelle D. Takens F. On the nature of turbulence // Comm. Math. Phys., 1971, v. 20, p. 167-192.

190. Ruelle D. The Lorenz attractor and the problem of turbulence // Lecture Notes in Math. 1976, v. 565, p.146 155.

191. Stewart F.M., Levin B.R. The population biology of bacterial plasmids: a priori conditions for the existence of conjugationally transmitted factors // Genetics, 1977, v. 87, N 2, p. 209 228.

192. Takahashi F. Reproduction curve with two equilibrium points: a consideration on the fluctuation of insect population // Res. Pop. Ecol, 1964, v. 6, N 1, p. 28-36.

193. Vance R.R. Predation and resource partitioning in one predator — two prey model communities // Amer. Natur., 1978, v. 112, p. 797 813.131

194. Wouters J.T.M, Driehuis F.L., Polaczeck P.J., van Oppenraay M.-L.H.A., van Andel J.G. Persistence of the pBR322 Plasmid in E. coli K12 grown in chemostat Cultures // Antonie van Leeuwenhock, 1980, v. 46, p. 353 362.