Методы анализа динамики эндогенного технологического развития тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Сазонов Александр Михайлович

• Сазонов Александр Михайлович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Сазонов Александр Михайлович

Введение

Глава 1. Обзор литературы

1.1. Модели Полтеровича-Хенкина

1.2. Логистический рост в экономике

Глава 2. Моделирование шумпетеровской динамики капитала отрасли по уровням эффективности с общей экономической нишей

2.1. Основная модель

2.2. Двухуровневая модель

2.3. Многоуровневая модель

2.4. Модель с амортизацией

2.5. Многоуровневая модель с переменными ^

2.6. Модель с переменным числом уровней эффективности

2.7. Двухуровневая модель с кусочно-постоянным параметром

2.8. Математическая модель циклического процесса внедрения новой технологии

Глава 3. Моделирование шумпетеровской динамики капитала отрасли по уровням эффективности с различными экономическими нишами

3.1. Основная модель

3.2. Модель с переменным числом уровней

3.3. Модель с интеллектуальным капиталом

3.4. Сценарий появления нового уровня эффективности

3.5. Моделирование процесса биологической очистки сточных вод на основе шумпетеровской динамики

Глава 4. Численные эксперименты

4.1. Описание метода

4.2. Демонстрация устойчивости

4.3. Алгоритм численного моделирования шумпетеровской динамики капитала

4.4. Влияние инноваций

Заключение

Список литературы

Приложение А. Листинг программы «Численное моделирование шумпетеровской динамики капитала»

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы анализа динамики эндогенного технологического развития»

Введение

Актуальность темы исследования. Довольно долго моделирование научно-технического прогресса опиралось на представления об экзогенности технологических изменений. Вследствие этого последствия возникновения новых технологий изучались без учета механизма их распространения. Однако в начале XX века австрийский экономист Й. Шумпетер разработал теорию эндогенного распространения инноваций. В данной теории механизм инновационных изменений представлен как сочетание двух эндогенных процессов развития: инновационного и имитационного. Инновационный процесс — это процесс создания новых технологий, а имитационный — их заимствования. В настоящее время очевидно, что экономическое развитие осуществляется посредством внедрения и распространения новых технологий, что, в свою очередь, вызывает структурные изменения в экономике. Предложенная Й. Шумпетером концепция творческого разрушения позволяет описать такие структурные изменения. Таким образом, описание и изучение процессов внедрения новых технологий является крайне важной задачей. Понимание того, как происходит научно-технический прогресс, необходимо для прогнозирования и разработки стратегий развития экономики.

Следует отметить, что инновационная активность крайне важна для экономического развития, поскольку не всегда есть возможность заимствовать технологии. Зачастую новые технологии и разработки представляют коммерческую или государственную тайну. Однако развитие экономики исключительно инновационным путем требует гораздо более существенных финансовых вложений по сравнению с имитационным. Более того, если отрасль находится в отстающем положении, достичь уровня передового развития исключительно за счет инноваций значительно сложнее, чем имитируя уже существующие технологии, поскольку инновационная активность требует больших временных затрат. В то же время имитационный путь развития исключает возможность достижения

передового технологического уровня и, тем более, опережения. Таким образом, необходимо соблюдать баланс между инновационной и имитационной деятельностью.

Выводы о развитии экономических систем, сделанные исключительно при помощи эмпирических наблюдений, неоднозначны. Помимо этого, прогнозы, сделанные на основе эмпирических исследований, как правило, не являются достаточно точными. Таким образом, задача перехода к исследованиям экономического развития на языке математических моделей является актуальной. Кроме того, математическая формализация процессов экономического развития позволяет осуществлять прогнозирование посредством анализа математических моделей.

Цели и задачи диссертационной работы: Целью диссертационной работы является разработка методов математического моделирования, численных методов и комплекса программ для описания и качественного исследования шумпетеровской динамики распределения капитала.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Построение и аналитическое исследование математических моделей шум-петеровской динамики распределения капитала, учитывающих ограниченность экономического роста (пункты 1, 2 паспорта специальности 05.13.18).

2. Разработка алгоритма численного моделирования шумпетеровской динамики распределения капитала (пункт 3 паспорта специальности 05.13.18).

3. Разработка программного комплекса для реализации алгоритма численного моделирования шумпетеровской динамики распределения капитала (пункт 4 паспорта специальности 05.13.18).

Научная новизна. Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Построены и качественно исследованы математические модели шумпетеровской динамики распределения капитала, учитывающие ограничен-

ность экономического роста.

2. Доказаны теоремы о глобальной устойчивости равновесий.

3. Разработан алгоритм численного моделирования шумпетеровской динамики распределения капитала.

4. Разработан программный комплекс для реализации алгоритма численного моделирования шумпетеровской динамики распределения капитала.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость работы состоит в следующем:

1. Предложен подход к моделированию динамики распределения капитала по уровням эффективности, учитывающий ограниченность экономического роста.

2. Доказаны теоремы о глобальной устойчивости равновесий разработанным методом.

3. Предложен подход к моделированию циклического процесса внедрения технологии.

Практическая значимость работы состоит в следующем:

1. Разработан метод математического моделирования динамики распределения капитала по уровням эффективности, позволяющий осуществлять прогнозирование.

2. Разработан программный комплекс для численного моделирования динамики распределения капитала по уровням эффективности.

Положения, выносимые на защиту:

1. Методы математического моделирования динамики распределения капитала по уровням эффективности с общей экономической нишей (пункты 1, 2 паспорта специальности 05.13.18).

2. Методы математического моделирования динамики распределения капитала по уровням эффективности с различными экономическими нишами (пункты 1, 2 паспорта специальности 05.13.18).

3. Алгоритм численного моделирования шумпетеровской динамики распределения капитала (пункт 3 паспорта специальности 05.13.18).

4. Программный комплекс для реализации алгоритма численного моделирования шумпетеровской динамики распределения капитала (пункт 4 паспорта специальности 05.13.18).

Часть результатов диссертации получена в рамках исследований, проводимых по гранту РФФИ 18-01-00249а.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих международных научных конференциях:

1. III Международный экономический симпозиум — 2018, Кириллов А.Н., Сазонов А.М. Математические модели динамики распределения капитала отрасли по технологическим уровням. 19—21 апреля 2018 г., Санкт-Петербург, Россия.

2. Международная научная конференция «Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация» (DSSCO'18) к 100-летию со дня рождения Е.А. Барбашина, Кириллов А.Н., Сазонов А.М. Динамика распределения капитала по технологическим уровням. 24—29 сентября 2018 г., Минск, Беларусь.

3. LI международная научная конференция аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» Control Processes and Stability (CPS'20), Сазонов А.М. Математическое моделирование эндогенного экономического развития 6—10 апреля 2020 г., Санкт-Петербург, Россия.

4. IV международная научная конференция «Устойчивость и процессы управления» Stability and Control Processes (SCP'20) памяти профессора В.И. Зубова, Kirillov A.N., Sazonov A.M. Economic Evolution with Structural Variations. 5—9 октября 2020 г., Санкт-Петербург, Россия.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 работах, из которых 4 статьи в изданиях, входящих в Перечень рецензируемых научных журналов, рекомендованных ВАК при Министерстве образования и науки Российской Федерации (включая 2 статьи в журналах, индексируемых в библиографических базах Web of Science и Scopus [97, 99]; 1 статью в журнале, индексируемом в библиографической базе Scopus [98]; 1 статью в журнале Перечня [30]), 3 тезиса докладов [27, 29, 49]. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [50].

Личный вклад автора. Основные результаты, представленные в диссертационной работе, получены автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка используемой литературы.

Во введении обоснованы актуальность, значимость работы; определены цель и задачи исследования; перечислены результаты исследования, в которых состоит новизна, теоретическая и практическая значимость работы; сформулированы основные положения, выносимые на защиту; дано краткое изложение содержания работы по главам.

В первой главе приведен обзор публикаций по теме диссертации.

Во второй главе представлены математические модели шумпетеровской динамики распределения капитала по уровням эффективности с общей экономической нишей. Для модели без амортизации показана глобальная устойчивость положения равновесия для произвольного числа уровней эффективности. На основе глобальной устойчивости предложены сценарии появления нового самого высокого и исчезновения низшего уровней эффективности, качественно ис-

следована модель с переменным числом уровней эффективности. Для модели с амортизацией показана глобальная устойчивость положения равновесия для двумерного случая. На основе этого разработана модель циклического внедрения новой технологии в виде гибридной системы (более точно, бушующей системы), представляющей собой комбинацию из предложенных двумерных систем, переключающихся между собой. Найдены периодические траектории системы.

В третьей главе представлены математические модели шумпетеровской динамики распределения капитала по уровням эффективности с различными экономическими нишами для уровней. Показана глобальная устойчивость положения равновесия для произвольного числа уровней эффективности. На основе глобальной устойчивости предложен сценарий появления нового самого высокого уровня эффективности. Кроме того, на основе предложенной модели шумпетеровской динамики распределения капитала разработана математическая модель процесса биологической очистки сточных вод. Для этой модели показана глобальная устойчивость положения равновесия.

В четвертой главе предложен алгоритм численного моделирования шумпетеровской динамики распределения капитала. Проведен анализ полученных численных результатов. Приведен пример, демонстрирующий важность инновационного процесса.

В заключении подведены итоги исследования и приведены основные результаты диссертации.

В приложении представлен код программы, реализующей алгоритм численного моделирования шумпетеровской динамики распределения капитала.

Общий объем диссертации составляет 126 страниц. Список литературы содержит 117 наименований.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю Александру Николаевичу Кириллову, д.ф.-м.н., доц., за бесценный опыт, переданный ему в процессе научных исследований, и чуткое руководство.

Глава 1 Обзор литературы

Теория эндогенного экономического развития Й. Шумпетера, в основе которой лежит концепция творческого разрушения, согласно которой новые технологии и товары заменяют старые посредством создания новых технологий — инноваций и их заимствования — имитаций, описана в работе [112].

Первая математическая формализация концепция эндогенного развития Шумпетера была предложена К. Иваи [89, 90]. В качестве основных спорных моментов в этих исследованиях можно выделить следующие. Рассматривая экономическую систему, в которой предприятия упорядочены по уровням эффективности в зависимости от величины удельных затрат, К. Иваи предполагает, что предприятия могут переходить на любой более высокий уровень эффективности. Более правдоподобной гипотезой является предположение о возможности перехода только на следующий более высокий уровень, выдвинутое В.М. Полтеровичем, Г.М. Хенкиным [48]. Кроме того, в исследованиях К. Иваи предлагается экзогенный характер изменения удельных затрат, что в довольно существенной степени априорно устанавливает скорость технологического развития. Более адекватными с точки зрения предметной области являются модели технологической эволюции на основе эндогенных процессов.

Задача моделирования эндогенного экономического развития остается актуальной [1, 5, 7, 8, 10-12, 15, 16, 22-29, 36, 39, 41, 43, 44, 47-49, 51-110, 113-117]. Далее приведен краткий обзор исследований в данной области.

Статья [8] посвящена разработке и анализу математических моделей, учитывающих взаимное влияние длинных (кондратьевских) волн экономического развития. Согласно результатам эмпирических исследований, технологии очередной промышленной революции часто являются улучшающими инновациями для технологий, относящихся к предыдущей промышленной революцией.

Вледствие этого, новая длинная волна увеличивает амплитуду колебаний траектории предшествующей длинной волны. Результаты взаимодействия длинных волн в экономике такого типа в некотором смысле являются аналогами интерференции физических волн. В статье предложена модель развития технологической базы производства, состоящая из нескольких подмоделей, в которой учитывается взаимодействие старых и новых технологий. Посредством различного математического описания для отдельных этапов развития технологической базы производства модель учитывает существенные различия между последовательными фазами жизненного цикла технологий широкого применения, которые считаются технологической основой промышленных революций. Автором проведены иллюстративные численные эксперименты при значениях экзогенных параметров, соответствующих логике смены длинных волн. Согласно результатам численного моделирования, вид кривой, описывающей изменение фондоотдачи, имеет сходство с реальной траекторией фондоотдачи частных основных производственных фондов в США с 1982 года по 2019 год.

В работе [58] представлена математическая модель шумпетеровской динамики, в которой предприятия разделены на появляющиеся и существующие. Кроме того, рассматриваются два типа инноваций: радикальные и постепенные, которые могут проводить только существующие предприятия. Основным результатом исследования является существование и единственность траектории сбалансированного роста экономики, на которой экономические показатели растут с постоянной скоростью. Кроме того, показано, что стационарное распределение размеров фирм имеет хвост Парето.

Статья [59] представляет систематическое исследование институциональных предпочтений стран во взаимозависимом мировом экономическом пространстве. Авторами предложена математическая модель, в которой технологически взаимосвязанные страны извлекают пользу из развития технологий и одновременно вносят вклад в него. Результаты исследования модели свидетельствуют, что мировое равновесие должно быть асимметричным. Большее неравенство

между успешными и неуспешными предпринимателями увеличивает усилия и вклад страны в развитие технологий. При выполнении правдоподобных условий мировое равновесие будет асимметричным, будут различными как организация экономики, так и уровни технологического развития для разных стран. Некоторые страны становятся технологическими лидерами и предпочитают использовать модель жесткого капитализма, которая порождает большее неравенство и инновационную активность, в то время как другие используют достижения лидеров и выбирают более мягкую форму капитализма с большим социальным обеспечением для предпринимателей. Кроме того, в работе показано, что при одинаковых начальных условиях страны, выбравшие мягкую форму капитализма, будут иметь больший уровень благосостояния населения, чем страны, предпочитающие жесткую форму. При этом, переход страны от жесткого типа капитализма к мягкому снижает скорость мирового роста экономики. Таким образом, авторы делают вывод о взаимосвязи стран с жесткой и мягкой моделями капитализма. Невозможно использовать мягкую форму в каждой стране, поскольку страны мягкого типа используют достижения стран с жестким капитализмом.

В работе [60] представлены макроэкономические модели в виде дифференциальных уравнений в частных производных. Одна из моделей описывает экономическую систему с бесконечным числом разнородных субъектов, которые сталкиваются с шоковыми изменениями прибыли. Следующие модели описывают распределение экономических показателей, в частности, размер городов и предприятий, благосостояние, зарплаты руководящего состава, по экспоненциальным законам. Основой для этих моделей служит уравнение Фоккера-Планка для геометрического броуновского движения. Далее авторы предлагают семейство моделей для описания экономического роста, обусловленного диффузией знаний, на основе уравнений Фишера и Больцмана. На основе разработанных моделей в работе предложена более сложная модель, предназначенная для изучения колебаний экономических циклов.

В статье [61] представлены математические модели, основанные на шумпе-теровской теории, которые описывают важные аспекты экономики, такие как роль конкуренции и структура рынка, развитие предприятий, соотношение между экономическим ростом и развитием технологий, а также появление и влияние долгосрочных технологических волн. В каждом из указанных случаев представленные модели шумпетеровской динамики позволяют получать прогнозы, отличающиеся от других моделей экономического развития, которые можно проверить на эмпирических данных, и объяснять явления в экономике, которые не учитываются другими моделями. В результате исследования были получены прогнозы динамики предприятий и рынков, относительно их появления, исчезновения и перераспредления. Кроме того, предложенные модели шумпете-ровской теории дают возможность согласовать экономический рост и развитие технологий. Модели, основанные на комбинации концепции творческого разрушения и стратегий развития, подтверждают идею, что страны с сырьевой экономикой, в которых процесс творческого разрушения замедлен, более вероятно оказываются в так называемой ловушке медленного роста. Авторы делают общий вывод, что шумпетеровская теория экономического развития полезна как минимум в двух смыслах. Во-первых, она может быть использована как инструмент для разработки стратегии экономического роста, эффективность которой будет обоснована теоретическим и эмпирическим анализом. Во-вторых, эта теория позволяет оценить относительную величину эффектов частичного равновесия, недостаточно полно описанных в литературе относительно конкуренции, инвестиций и стимулирования.

Статья [72] посвящена математическим моделям экономического роста, основанным на популяции разнородных взаимодействующих агентов. Предложенные модели успешно демонстрируют важные экономические процессы, такие как устойчивый экономический рост, бизнес-циклы и циклы жизни товаров. В результате анализа моделей было установлено, что появление новых отраслей производства потребительских товаров не является необходимым условием для

обеспечения устойчивого экономического роста. Исследование показывает, что в основе экономического роста лежит процесс творческого разрушения, описанный Й. Шумпетером.

Статья [73] посвящена математическим агентным моделям, объединяющей шумпетеровкую и кейнсианскую концепции. Авторы предлагают и исследуют основную модель взаимодействия шумпетеровкой и кейнсианской концепций, в которой рассматривается связь между капиталоемкой отраслью и отраслью товаров потребления, а также ее модификацию, учитывающую кредитный рынок. Результатом анализа является вывод, что экономическая политика, стимулирующая инновационную активность, обеспечивает более высокий рост ВНП. Согласно исследованию, введение патентной системы препятствует долгосрочному росту ВНП, а также снижает экономическую эффективность в краткосрочной перспективе. При этом, конкуренция способствует увеличению эффективности.

Работа [84] посвящена исследованию, в котором совместно изучаются шум-петеровская динамика эндогенного развития отрасли и соответствующая динамика рынка капитала. Моделирование эндогенного развития отрасли основано на поведении ограниченно рациональных агентов, которые занимаются предпринимательской деятельностью и основывают новые предприятия, что позволяет учесть влияние диффузии знаний. Основой модели динамики рынка капитала также являются ограниченно рациональные агенты. Они изучают данные о реальном секторе экономики, взаимодействуют с другими инвесторами и занимаются инвестиционной деятельностью. Когнитивный процесс моделируется посредством аппарата нейронных сетей. Два описанных модуля модели связаны следующим образом: выходные данные модуля реального сектора экономики являются входными данными для модуля нейронной сети рынка капитала. Вследствие конкуренции среди предприятий, они могут исчезать и появляться, таким образом, число предприятий изменяется во времени. Согласно результатам исследования, в начале новой инновационной отрасли поведение предпринимателей основано на высоком уровне неопределенности, вследствие чего

решения агентов могут быть неверными в долгосрочной перспективе, что, в свою очередь, приводит к аномалиям на финансовом рынке. Это подтверждает тезис авторов о том, что не только спекулятивные вложения в рискованные ценные бумаги являются причиной аномалий на финансовом рынке.

Эмпирическая проверка теории Шумпетера была проведена в исследовании [96] с использованием данных об экспорте примерно 200 стран за период с 1984 года по 2000 год. Согласно результатам анализа данных, разнообразие продуктов экспорта увеличивается. При этом, различается динамика экспорта для стран: страны с малым разнообразием остаются таковыми, в то время как сильное разнообразие экспорта также сохраняется для стран с высоким уровнем диверсифицированности. Следующим важным результатом исследования является наблюдение, что создание новых товаров вызывает появление другой новой продукции, связанной с ними. Согласно результатам исследования, новые товары появляются одновременно, взаимосвязанным кластером. Авторы объясняют это наблюдение тем, что появление новой продукции происходит, когда национальная экономика овладевает возможностями для производства этих продуктов. Далее в работе подтверждается концепция творческого разрушения Шумпетера посредством изучения процесса замещения одними товарами других. Анализ данных показывает, что исчезновение старых товаров после появления новых наблюдается, в то время как обратный процесс отсутствует, что подтверждает концепцию творческого разрушения. Кроме того, исследование подтверждает важный факт шумпетеровской теории, что более высокотехнологичная продукция заменяет более простую. Также авторы отмечают факт, что капиталоемкие и трудоемкие продукты, а также продукты машиностроительной и химической отраслей, появляются чаще, чем исчезают.

В работе [101] показано, как различается жизненный цикл роста заработной платы в разных странах. Авторы проанализировали охватывающий разные слои исследования касательно уровня доходов в множестве стран и вычислили, как возрастает зарплата при увеличении опыта. Согласно результатам исследо-

вания, рост заработной платы с увеличением опыта в развитых странах происходит быстрее, чем в бедных. Кроме того, скорость роста дохода выше у более образованных сотрудников. Результаты исследования свидетельствуют, что различия между странами, находящимися на разных уровнях технологического развития будут сохраняться.

В работе [103] предложена модель распределения времени экономических агентов между производством продукции и взаимодействием с другими агентами с целью получения идей, увеличивающих производительность. Решается задача поиска оптимального распределения времени между производством и обучением. Авторами предложен алгоритм для нахождения траектории сбалансированного роста экономики. Кроме того, решается задача оптимального планирования распределения времени агентов с разным уровнем эффективности для максимизации ожидаемой величины общего объема производства.

Работа [106] посвящена эмпирическому исследованию влияния инвестиций, научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ (НИОКР) на экономический рост. Авторами используются данные о португальских предприятиях обрабатывающей промышленности за период с 1990 года по 2001 год. Согласно полученным результатам анализа, объем расходов на НИОКР не влияет на скорость роста предприятий, в то время как физические инвестиции оказывают влияние на экономический рост. Наиболее сильный эффект от физических инвестиций наблюдается для малых и высокотехнологичных предприятий.

В статье [115] представлены детерминистические, непрерывные во времени математические модели эндогенного экономического роста в виде динамических систем, для которых существуют траектории сбалансированного роста экономики. Выведено необходимое условие, которое должно выполняться для динамической системы на траектории сбалансированного роста. Автором предложены два метода преобразования динамической системы в стационарную, которые для демонстрации были применены к фундаментальной модели Лукаса-Узавы.

Монография [116] посвящена применению дифференциальных уравнений

в в экономике. В работе рассматриваются одномерные, двумерные и многомерные математические модели, представлены как линейные, так и нелинейные уравнения. Одномерные уравнения используются для математического моделирования роста одной отрасли и роста городов. Двумерную размерность имеют модели 1Б-ЬМ для описания общего макроэкономического равновесия в закрытой экономике, модель оптимального внешнего долга, упрощенная кейнсиан-ская модель бизнес-цикла, модель регионального роста, а также модель роста популяции населения. Многомерные модели используются для описания процессов регулирования цен, торговли с накоплением капитала, роста в многоотраслевой экономике.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сазонов Александр Михайлович, 2021 год

Список литературы

1. Александрова А.Ю. Исследование скорости бегущей волны в одной модификации модели Полтеровича-Хенкина // Труды МФТИ. — 2015. — Т 7, № 4. — С. 11-16.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1989. — 472 с.

3. Асеев С.М., Бесов К.О. Кряжимский А.В. Задачи оптимального управления на бесконечном интервале времени в экономике // УМН. — 2012. — Т. 67, вып. 2(404). — С. 3-64.

4. Асеев С.М., Кряжимский А.В. Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста // Труды МИАН имени В.А. Стекло-ва. — 2007. — Т. 257. — С. 3-271.

5. Балацкий Е.В. Технологическая диффузия и инвестиционные решения // Журнал Новой экономической ассоциации. — 2012. — № 3(15). — С. 10-34.

6. Барбашин Е.А.Введение в теорию устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 223 с.

7. Дементьев В.Е. Ловушка технологических заимствований и условия ее преодоления в двухсекторной модели экономики // Экономика и математические методы. — 2006. — № 4. — С. 17-32.

8. Дементьев В.Е. Модель интерференции длинных волн экономического развития // Компьютерные исследования и моделирование. — 2021. — Т. 13, № 3. — С. 649-663.

9. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с.

10. Гельман Б.П., Левин М.И., Полтерович В.М., Спивак В.А. Моделирование динамики распределения предприятий отрасли по уровням эффективности (на примере черной металлургии) // Экономика и математические методы. — 1993. — Т. 29, № 3. — С. 460-469.

11. Глазьев С.Ю. Теория долгосрочного технико-экономического развития. — М.: ВлаДар, 1993. — 310 с.

12. Егоров Л.В. Автомодельная редукция дифференциально-разностного уравнения для изучения его асимптотики // Труды МФТИ. — 2020. — Т 12, № 1. — С. 83-89.

13. Емельянов С.В. Системы автоматического управления с переменной структурой. — М.: Наука, 1967.

14. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. — Минск: Наука и техника, 1979. — 744 с.

15. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. — М.: Мир, 1999. — 335 с.

16. Ильина Е.А., Парфенова А.Ю., Сараев Л.А. К теории диффузии инноваций, учитывающей сезонные периодические колебания числа потребителей // Вестник Самарского университета. Экономика и управление. — 2020. — Т. 11, №. 3. — С. 184-189.

17. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. — М.: Наука, 1983. — 300 с.

18. Калиткин Н.Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. — 512 с.

19. Кириллов А.Н. Динамическое моделирование и стабилизация процесса биологической очистки сточных вод // Целлюлоза. Бумага. Картон. — 2008. — № 5. — С. 66.

20. Кириллов А.Н., Смирнов Н.В. Компьютерное моделирование и управление процессом биологической очистки сточных вод // Вестник ПНИПУ. Электротехника, информационные технологии, системы управления. — 2018. — № 26. — С. 142-157.

21. Кириллов А.Н. Метод динамической декомпозиции в моделировании систем управления со структурными изменениями // Информационно-управляющие системы. — 2009. — С. 281-287.

22. Кириллов А.Н. Модель инвестирования экономической системы с перемен-

ной структурой // Труды института системного анализа РАН. — 2007. — № 1. — С. 20-24.

23. Кириллов А.Н. Управление многостадийными технологическими процессами // Вестник СПбГУ. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. — 2006. — Вып. 4. — С. 127-131.

24. Кириллов А.Н. Управляемая динамика экономического роста в системе со структурными изменениями // Материалы научной конференции «XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014», Москва, 16-19 июня 2014 г. — Москва, ИПУ РАН, 2014. — С. 5648-5654.

25. Галахова М.Е, Кириллов А.Н. Динамика экономического роста со структурными изменениями // Труды КарНЦ РАН. — 2014. — № 4. — С. 36-41.

26. Кириллов А.Н., Данилова И.В. Модель Полтеровича-Хенкина с амортизацией // Труды КарНЦ РАН. — 2017. — № 8. — С. 60-65.

27. Кириллов А.Н., Сазонов А.М. Динамика распределения капитала по технологическим уровням // Материалы международной научной конференции «Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация», Минск, 24-29 сентября 2018 г. — Минск: БГУ, 2018. — С. 121-122.

28. Кириллов А.Н., Сазонов А.М. Глобальная устойчивость в модели нелинейной шумпетеровской динамики // Труды КарНЦ РАН. — 2018. — № 7. — С. 34-40.

29. Кириллов А.Н., Сазонов А.М. Математические модели динамики распределения капитала отрасли по технологическим уровням // III Международный экономический симпозиум - 2018: Материалы международных научных конференций, Санкт-петербург, 19-21 апреля 2018 г. — Санкт-петербург: СПбГУ, 2018. — С. 199.

30. Кириллов А.Н., Сазонов А.М. Моделирование процесса биологической очистки сточных вод на основе шумпетеровской динамики // Труды ИСА РАН. — 2020. — Т. 70, Вып. 3. — С. 24-28.

31. Кириллов А.Н., Сазонов А.М., Брыксенкова Н.К. Стабилизация процес-

са биоочистки с переменным составом биомассы // Труды Карельского научного центра Российской академии наук. — 2019. № 7. — С. 34-39.

32. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. — М.: Мир, 1964. — 168 с.

33. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. — М.: Изд. иностранной литературы, 1961. — 388 с.

34. Лефшец С. Устойчивость нелинейных систем автоматического управления. — М.: Мир, 1967. — 184 с.

35. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. — М.: Наука, 1972. — 576 с.

36. Логинов Е.Л., Шкута А.А., Логинова В.Е., Сорокин Д.Д. Логинов Е. Л., Шкута А. А., Логинова В. Е., Сорокин Д. Д. Цикло-когерентные подходы к управлению бифуркационными состояниями агрегированных экономических систем в мировой экономике в условиях нелинейной циклической динамики // МИР (Модернизация. Инновации. Развитие). — 2017.. — Т. 8, № 2. — С. 314-321.

37. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — М.: Наука, 1980. — 368 с.

38. Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. — М.: Наука, 1965. — 384 с.

39. Москаленко А.И. Динамические задачи оптимизации налоговой ставки // Нелинейная теория управления и ее приложения. Сборник статей на основе материалов Международного конгресса «Нелинейный анализ и его приложения» под ред. В.М. Матросова, С.Н. Васильева, А.И. Москаленко. Москва, ФИЗМАТЛИТ. — 2001. — С. 218-248.

40. Мышкис А.Д., Хохряков А.Я. Бушующие динамические системы. I. Особые точки на плоскости // Матем. сб. — 1958. — Т. 45(87), № 3. — С. 401-414.

41. Нельсон Р., Уинтер С. Эволюционная теория экономических изменений.

— М.: Дело, 2002. — 536 с.

42. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М.: ОГИЗ, 1947. — 448 с.

43. Нижегородцев Р.М. Логистическое моделирование экономической динамики. Ч. I // Управление социально-экономическими системами. — 2004. — № 1. — С. 46-53.

44. Петров А.А. Об адекватности математических моделей экономики // Труды МФТИ. — 2009. — Т. 1, № 4. — С. 53-65.

45. Плисс В.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1977. — 303 с.

46. Плисс В.А. Принцип сведения в теории устойчивости движения // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1964. — Т. 28, вып. 6. — С. 1297-1324.

47. Полтерович В.М. Теория эндогенного экономического роста и уравнения математической физики // Журнал Новой экономической ассоциации. — 2017. — № 2. — С. 193-201.

48. Полтерович В.М., Хенкин Г.М. Эволюционная модель взаимодействия процессов создания и заимствования технологий // Экономика и математические методы. — 1988. — № 24 — С. 1071-1083.

49. Сазонов А.М. Математическое моделирование эндогенного экономического развития // Процессы управления и устойчивость. — 2020. — Т. 7(23). № 1. Труды 51-й международной научной конференции. Санкт-петербург, 20-24 апреля 2020 г. — Санкт-Петербург: СПбГУ, 2020. — С. 413-418.

50. Сазонов А.М. Программа для ЭВМ «Numerical simulation of the Schumpeterian capital dynamics». — Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2021660145 от 22.06.2021.

51. Скрипкин К.Г. Инструменты анализа технологических революций в экономической науке // Цифровая экономика. — 2018. — № 1. — С. 26-33.

52. Старцев Ю.Н. S-образные модели развития и технологические разрывы // Вестник Челябинского государственного университета. — 2008. — № 1. —

С. 52-57.

53. Ташлицкая Я.М., Шананин А.А. Многоукладность технологической структуры и влияние транзакционных издержек на распространение инноваций // Математическое моделирование. — 2000. — Т. 12, № 12. — С. 24-34.

54. Яшин С.Н., Тихонов С.В. Применение S-образных логистических кривых при оценке и прогнозировании инновационного потенциала предприятия // Финансы и кредит. — 2015. — № 43. — С. 37-52.

55. Хенкин Г.М., Шананин А.А. Математическое моделирование шумпетеров-ской инновационной динамики // Математическое моделирование. — 2014. — Т. 26, № 8. — С. 3-19.

56. Acemoglu D. Introduction to modern economic growth. — Princeton University Press, 2009. — 1008 p.

57. Acemoglu D., Akcigit U., Alp H., Bloom N., Kerr W. Innovation, reallocation and growth // American Economic Review. — 2018. — Vol. 108, no. 11. — pp. 3450-3491.

58. Acemoglu D., Cao D. Innovation by entrants and incumbents // Journal of Economic Theory. — 2015. — Vol. 157. — pp. 255-294.

59. Acemoglu D., Robinson J., Verdier T. Asymmetric growth and institutions in an interdependent world // Journal of Political Economy. — 2017. — Vol. 125, no. 5. — pp. 1245-1305.

60. Achdou Y., Buera F., Lasry J.-M., Lions P.-L., Moll B. Partial differential equation models in macroeconomics // Philosophical Transactions of the Royal Society A. — 2015. — Vol. 372: 20130397. — pp. 1-19.

61. Aghion P., Akcigit U., Howitt P. What do we learn from Schumpeterian growth theory? // Handbook of Economic Growth. — 2014. — Vol. 2. — pp. 515-563.

62. Aghion P., Harris C., Howitt P., Vickers J. Competition, imitation and growth with step-by-step innovation // The Review of Economic Studies. — 2001. — Vol. 68. — pp. 467-492.

63. Aghion P., Howitt P. A model of growth through creative destruction //

Econometrica. — 1992. — Vol. 60. — pp. 323-351.

64. Atkeson A., Burstein A. Innovation, firm dynamics and international trade // Journal of Political Economy. — 2010. — Vol. 118. — pp. 433-483.

65. Breschi S., Malerba F., Orsenigo L. Technological regimes and Schumpeterian patterns of innovation // The Economic Journal. — 2000. — Vol. 110, Iss. 463.

— pp. 388-410.

66. Caballero R.J., Hammour M.L. On the timing and efficiency of creative destruction // The Quarterly Journal of Economics. — 1996. — Vol. 111, Iss. 3.

— pp. 805-852.

67. Comes C.-A. Banking system: Three level Lotka-Volterra model // Procedia Economics and Finance. — 2012. — No. 3. — pp. 251-255.

68. Corrocher N., Malerba F., Montobbio F. Schumpeterian patterns of innovative activity in the ICT field // Research Policy. — 2007. — Vol. 36, Iss. 3. — pp. 418-432.

69. Christensen C, Raynor M. The innovator's solution. — Boston, Harvard Business School Press, 2003. — 265 p.

70. Delli Gatti D., Gallegati M., Kirman A. Interaction and market structure: essays on heterogeneity in economics. — Berlin: Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000. — 301 p.

71. Derunova E., Semenov A., Balash O., Firsova A. The mechanisms of formation of demand in the high-tech products market // International Journal of Economics and Financial Issues. — 2016. — Vol. 6, Iss. 1. — pp. 96-102.

72. Desmarchelier B., Djellal F., Gallouj F. Economic growth, business cycles and products variety: exploring the role of demand satiety // Journal of Evolutionary Economics. — 2017. — Vol. 27. — pp. 503-529.

73. Dosi G., Napoletano M., Roventini A., Treibich T. Micro and macro policies in the Keynes+Schumpeter evolutionary models // Journal of Evolutionary Economics. — 2017. — Vol. 27. — pp. 63-90.

74. Federico E. Innovation by leaders // The Economic Journal. — 2004. —

Vol. 114. — pp. 281-303.

75. Foster R., Kaplan S. Creative destruction: why companies that are built to last underperform the market—and how to successfully transfrom them. — New York: Currency, 2001. — 384 p.

76. Franke R. A simple approach to overcome the problems arising from the Keynesian stability condition // European Journal of Economics and Economic Policies: Intervention. — 2017. — Vol. 14, Iss. 1. — pp. 48-69.

77. Franke R. Microfounded animal spirits in the new macroeconomic consensus // Studies in Nonlinear Dynamics & Econometrics. — 2012. — Vol. 16, Iss. 4.

78. Franke R. Reviving Kalecki's business cycle model in a growth context // Journal of Economic Dynamics and Control. — 2018. — Vol. 91. — pp. 157-171.

79. Franke R. What output-capital ratio to adopt for macroeconomic calibrations? // International Review of Applied Economics. — 2017. — Vol. 31, Iss. 2. — pp. 208-224.

80. Fontana R., Martinelli A., Nuvolari A. Regimes reloaded! A reappraisal of Schumpeterian patterns of innovation, 1977-2011 // Journal of Evolutionary Economics. — 2021. — pp. 1-25.

81. Fontana R., Nuvolari A., Shimizu H., Vezzulli A. Schumpeterian patterns of innovation and the sources of breakthrough inventions: evidence from a data-set of R&D awards // Journal of Evolutionary Economics. — 2012. — Vol. 22, Iss. 4. — pp. 785—810.

82. Geiger N. Cycles "versus" growth in Schumpeter // The Review of Economic Studies. — 1991. — Vol. 68. — pp. 35-54.

83. Goodwin R. Chaotic economic dynamics. — New York: Oxford University Press Inc., 1990. — 137 p.

84. Grebel T., Hanusch H., Merey E. Schumpeterian dynamics and financial market anomalies // Discussion Paper Series, Universitaet Augsburg, Institute for Economics. — 2004. — Vol. 264. — pp. 1-14.

85. Grossman G., Helpman E. Innovation and Growth in the Global Economy. —

Cambridge: MIT Press, 1991. — 359 p.

86. Grossman G., Helpman E. Quality ladders in the theory of growth // Journal of Evolutionary Economics. — 2017. — Vol. 27. — pp. 41-63.

87. Henkin G.M., Polterovich V.M. A difference-differential analogue of the Burgers equation: stability of the two-wave behavior. // Journal of Nonlinear Science. — 1994. — Vol. 4. — pp. 497-517.

88. Hopenhayn H.A. Entry, exit, and firm dynamics in long run equilibrium // Econometrica. — 1991. — Vol. 65, Iss. 5. — pp. 1127-1150.

89. Iwai K. Schumpeterian dynamics. Pt 1: an evolutionary model of innovation and imitation // Journal of Economic Behavior and Organization. — 1984. — Vol. 5, no. 2. — pp. 159-190.

90. Iwai K. Schumpeterian dynamics. Pt 2: technological progress, firm growth and "economic selection" // Journal of Economic Behavior and Organization. — 1984. — Vol. 5, no. 3-4. — pp. 321-351.

91. Iwai K. A contribution to the evolutionary theory of innovation, imitation and growth // Journal of Economic Behavior and Organization. — 2000. — Vol. 43, no. 2. — pp. 167-198.

92. Jarne G., Sanchez-Choliz J., Fatas-Villafranca F. "S-shaped" economic dynamics. The logistic and Gompertz curves generalized // The Electronic Journal of Evolutionary Modeling and Economic Dynamics. — 2005. — no. 1048. — pp. 1-37.

93. Jones C. R&D-based models of economic growth // Journal of Political Economy. — 1995. — Vol. 103. — pp. 759-784.

94. Klepper S. Entry, exit, growth, and innovation over the product life cycle // American Economic Review. — 1996. — Vol. 86, no. 3. — pp. 562-583.

95. Klette T.J., Kortum S. Innovating firms and aggregate innovation // Journal of Political Economy. — 2004. — Vol. 112. — pp. 986-1018.

96. Klimek P., Hausmann R., Thurner S. Empirical confirmation of creative destruction from world trade data // Journal PLoS ONE. — 2012. —

Vol. 7(6):e38924. — pp. 1-13.

97. Kirillov A.N., Sazonov A.M. Global schumpeterian dynamics with structural variations // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». — 2019. Т. 12, № 3. — C. 17-27.

98. Kirillov A.N., Sazonov A.M. The dynamics of the economic evolution with the capital depreciation // Differential Equations and Control Processes. — 2020. — no. 2. — pp. 118-130.

99. Kirillov A.N., Sazonov A.M. The global stability of the Schumpeterian dynamical system // Вестник СПбГУ. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2020. — Т. 16, вып. 4. — С. 348-356.

100. Kwasnicki W. Logistic growth of the global economy and competitiveness of nations // Journal of Economic Behavior and Organization. — 2000. — Vol. 43, no. 2. — pp. 167-198.

101. Lagakos D., Moll B., Porzio T., Qian N., Schoellman T. Life cycle wage growth across countries // Journal of Political Economy. — 2018. — Vol. 126, no. 2. — pp. 797-849.

102. Lorenz H.-W. Nonlinear dynamical economics and chaotic motion. — Berlin: Springer-Verlag Berlin, 1993. — 319 p.

103. Lukas R.E., Moll B. Knowledge growth and the allocation of time // Journal of Political Economy. — 2014. — Vol. 122, no. 1. — pp. 1-51.

104. Selection, growth and the size distribution of firms // The Quarterly Journal of Economics. — 2007. — Vol. 122. — pp. 1103-1144.

105. Malerba F., Orsenigo L. Schumpeterian patterns of innovation are technology-specific // Research Policy. — 1996. — Vol. 25, Iss. 3. — pp. 451-478.

106. Oliveira B., Fortunato A. Firm growth and R&D: Evidence from the Portuguese manufacturing industry // Journal of Evolutionary Economics. — 2017. — Vol. 27. — pp. 613-627.

107. Polterovich V.M., Henkin G.M. An evolutionary model of economic growth // Matekon. — 1990. — Vol. 26, no. 3. — pp. 44-64.

108. Romer P.M. Endogenous technological change // Journal of Political Economy.

— 1990. — Vol. 98, no. 5. — pp. 71-102.

109. Rozsypal F. Schumpeterian business cycles // London School of Economics Working Paper. — 2016. — pp. 1-61.

110. Scherer F. Innovation and Growth: Schumpeterian Perspectives. — Cambridge: MIT Press, 1986. — 310 p.

111. Schumpeter J. Business cycles. A theoretical, historical and statistical analysis of the capitalist process. — New York, London: McGraw-Hill, 1939.

112. Schumpeter J. Theorie der wirtschaftlichen Entwicklung. — Leipzig, Duncker und Humblot, 1912. — 395 p. [Schumpeter J. The theory of economic development. — Oxford, Oxford University Press, 1961. — 255 p.]

113. Segerstrom P.S., Anant T.C.A., Dinopoloulos E. A Schumpeterianmodel of the product life cycle // American Economic Review. — 1990. — Vol. 80. — pp. 1077-1091.

114. Thurner S., Klimek P., Hanel R. Schumpeterian economic dynamics as a quantifiable minimum model of evolution // New Journal of Physics. — 2010.

— Vol. 12: 075029.— pp. 1-21.

115. Trimborn T. On the analysis of endogenous growth models with a balanced growth path // Journal of Mathematical Economics. — 2018. — Vol. 79. — pp. 40-50.

116. Zhang W.-B. Differential equations, bifurcations, and chaos in economics. — World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2005. — 489 p.

117. Zilibotti F., Konig M., Lorenz J. Innovationvs. imitation and the evolution of productivity distributions // Theoretical Economics. — 2016. — Vol. 11, Iss. 3.

— pp. 1053-1102.

119

Приложение А

Листинг программы «Численное моделирование шумпетеровской динамики капитала»

#include <iostream> #include <vector> #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> using namespace std;

int main() {

long double a = 0.0, b = 1000.0; long double h = 0.02;

int NumThreads = omp_get_num_threads();

int init_size;

cout << "Enter init number of levels:" << endl;

cin >> init_size;

vector <long double> init;

long double eps, delta;

cout << "Enter epsilon and delta:" << endl; cin >> eps >> delta; init.resize(init_size);

cout << "Enter initial values of capitals:"« endl;

for (int i = 0; i < init_size; ++i) {

cin >> init[i];

}

int stepCount = b / h + 1; long double currentTime = a + h;

long double V = 100.0;

vector <long double> sh_nx_lv, un_pr_cst, gr_rt, alpha, beta;

alpha.resize(init_size);

beta.resize(init_size);

sh_nx_lv.resize(init_size);

un_pr_cst.resize(init_size);

gr_rt.resize(init_size);

cout << "Enter niche volume:" <<endl; cin >> V;

cout << "Enter innovation and imitation rates:" <<endl;

for (int i = 0; i < init_size; ++i) {

cin >> alpha[i] >> beta[i];

}

cout << "Enter unit prime costs:" <<endl;

for (int i = 0; i < init_size; ++i) {

cin >> un_pr_cst[i];

}

int MAX_LEVELS = 20; int gamma[MAX_LEVELS]; for (int i = 0; i < MAX_LEVELS; ++i) gamma[i] = 0;

vector <long double> prevValues; vector <long double> currentValues; prevValues.resize(init_size);

for (int i = 0; i < init_size; ++i) {

prevValues[i] = init[i]; gamma[i] = 1;

}

freopen("Nlev.out", "w", stdout); cout << "Step 0:";

for (int i = 0; i < MAX_LEVELS; ++i) {

cout << gamma[i] << ' ';

}

cout << endl;

int low = 0, next = init_size; long double sq_sum = 0; long double K[4]; for (int j = 0; j < 4; j++) K[j] = 0;

int cur_size = init_size;

long double cap_sum, cap_sum_i;

currentValues.resize(cur_size);

for (int j = 1; j < stepNum; j++) {

cap_sum = 0; cap_sum_i = 0;

for (int i = 0; i < cur_size; ++i) {

cap_sum += prevValues[i];

}

sh_nx_lv[0] = alpha[0] + beta[0]*(cap_sum - prevValues[0])/(cap_ gr_rt[0] = (1 - sh_nx_lv[0])/un_pr_cst[0]; K[0] = gr_rt[0]*prevValues[0]*(V-cap_sum); K[1] = gr_rt[0]*(prevValues[0] + h*K[0]/2.0)*

(V-cap_sum - h*K[0]/2.0 * cur_size); K[2] = gr_rt[0]*(prevValues[0] + h*K[1]/2.0)*

(V-cap_sum - h*K[1]/2.0 * cur_size); K[3] = gr_rt[0]*(prevValues[0] + h*K[2])*

(V-cap_sum - h*K[2] * cur_size); currentValues[0] = prevValues[0] + (K[0] + 2.0*K[1] + 2.0*K[2] +

#pragma omp parallel for private (K, cap_sum_i) num_threads(NumT

for (int i = 1; i < cur_size; ++i) {

cap_sum_i += prevValues[i];

sh_nx_lv[i] = alpha[i] + beta[i]*(cap_sum - cap_sum_i)/ (cap_sum);

gr_rt[i] = (1 - sh_nx_lv[i])/un_pr_cst[i];

K[0] = gr_rt[i]*prevValues[i]*(V-cap_sum) + sh_nx_lv[i-1]*

prevValues[i-1]; K[1] = gr_rt[i]*(prevValues[i] + h*K[0]/2.0)*(V-cap_sum - h*

(prevValues[i-1] + h*K[0]/2.0); K[2] = gr_rt[i]*(prevValues[i] + h*K[1]/2.0)*(V-cap_sum - h*

(prevValues[i-1] + h*K[1]/2.0); K[3] = gr_rt[i]*(prevValues[i] + h*K[2])*(V-cap_sum - h*K[2]

(prevValues[i-1] +h*K[2]); currentValues[i] = prevValues[i] + (K[0] + 2.0*K[1] + 2.0*K[

}

sq_sum = 0;

for (int k = 0; k < cur_size-1; ++k)

sq_sum += currentValues[k] * currentValues[k]; sq_sum += (currentValues[cur_size-1] - V) * (currentValues[cur_size-1] - V);

if (sqrt(sq_sum) <= delta) {

cerr << "New " << cur_size+1 << "-th level! Step "

<< currentStep << endl; cur_size++;

alpha.resize(cur_size); beta.resize(cur_size); sh_nx_lv.resize(cur_size); un_pr_cst.resize(cur_size);

gr_rt.resize(cur_size);

cerr << "Enter innovation and imitation rates:" << endl; cin >> alpha[cur_size-1] >> beta[cur_size-1]; cerr << "Enter unit prime cost:" << endl; cin >> un_pr_cst[cur_size-1];

prevValues.resize(cur_size); prevValues[cur_size-1] = 0; currentValues.resize(cur_size); currentValues[cur_size-1] = 0;

gamma[next] = 1; next++;

cout << currentStep <<": ";

for (int i = 0; i < MAX_LEVELS; ++i) {

cout << gamma[i] << ' ';

}

cout << endl;

}

if (currentValues[0] <= eps) {

cerr << "Vanishing of lowest level! Step "

<< currentStep << endl; cur_size--;

for (int k = 0; k < cur_size; ++k)

{

currentValues[k] = currentValues[k+1]; alpha[k] = alpha[k+1]; beta[k] = beta[k+1]; un_pr_cst[k] = un_pr_cst[k+1];

}

alpha.resize(cur_size);

beta.resize(cur_size);

sh_nx_lv.resize(cur_size);

un_pr_cst.resize(cur_size);

gr_rt.resize(cur_size);

prevValues.resize(cur_size);

currentValues.resize(cur_size);

gamma[low] = G; low++;

cout << currentStep <<": ";

for (int i = G; i < MAX_LEVELS; ++i) {

cout << gamma[i] << ' ';

}

cout << endl;

}

for (int k = G; k < cur_size; ++k) prevValues[k] = currentValues[k];

currentStep += h;

}

for (int i = 0; i < cur_size; ++i) {

cerr << currentValues[i] << ' ';

}

return 0;

}