Моделирование и управление устойчивостью и экономической динамикой макросистем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, доктор экономических наук Торопцев, Евгений Львович

• Торопцев, Евгений Львович
• доктор экономических наук
• 2001

Оглавление диссертации доктор экономических наук Торопцев, Евгений Львович

ВВЕДЕНИЕ.

1. Методы управления демпферными свойствами экономических систем.

1.1. Роль и место межотраслевого баланса в анализе состояния и прогнозировании динамики экономических систем.

• 1.2. Алгоритм численного поиска оптимального вектора конечного спроса.

1.3. Функции качества переходных процессов, их свойства и особенности минимизации.

14. Обобщенная функция качества для совокупности режимов и условий функционирования экономической системы.

1.5. Прямое управление характеристическими корнями на базе сингулярного разложения матрицы уравнений прогноза.

1.6. Факторы, ограничивающие степень колебательной устойчивости или степень экономического роста при оптимизации конечного спроса.

1.7. Оценка вычислительной эффективности предложенных методов многопараметрической оптимизации собственных динамических свойств макроэкономических систем.

1.8. Выводы по главе 1.

2. Методы анализа и управления собственными динамическими

• свойствами макроэкономических систем.

2 1. Математический аппарат для анализа СДС.

2.2. Пример анализа СДС макроэкономической системы.

2.3. Учет неопределенности параметров модели МОБ при решении задач устойчивости. 123.

2.4. Идентификация отраслей народного хозяйства по степени их влияния на статическую устойчивость и экономические циклы.

2 5. Численный анализ переходных процессов высокоразмерных моделей экономической динамики.

2.6. Выводы по главе 2.

3. Методы упрощения динамической модели межотраслевого баланса.

3.1. Эффективность расчета корней характеристических уравнений высоких порядков при решении задач устойчивости.

3.2. Методика эквивалентирования моделей МОБ при анализе устойчивости и оптимизации динамических свойств.

3 3. Оценка погрешности и асимптотическое разложение характеристических корней по степеням параметра регулирования

3.4. Выводы по главе 3.

4 Упрощение динамических моделей МОБ, описываемых жесткими системами дифференциальных уравнений.

4.1. Жесткие системы и их свойства.

4.2. Принцип квазистационарности производных (ПКП) в динамических моделях межотраслевого баланса.

4.3. Методика понижения порядка динамической модели межотраслевого баланса В.В. Леонтьева на основе ПКП.

4.4. Выводы по главе 4.

5. Избирательное управление демпферными свойствами макроэкономических систем.

• 5.1. Методика реализации избирательного управления.

5.2. Аппроксимация модального управления.

5.3. Эффективность модального управления.

5 4. Выводы по главе 5.

ВЫВОДЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование и управление устойчивостью и экономической динамикой макросистем»

Современная макроэкономика традиционно большое внимание уделяет проблемам экономической динамики [1-9, 115-167, 169-173]. Особое место занимают здесь развитые к настоящему времени теории экономического цикла, исследующие причины колебаний экономической активности во времени. При этом важнейшей научной и народнохозяйственной задачей является разработка и проведение мероприятий по обеспечению статической устойчивости функционирования сложных экономических систем в части сохранения приемлемых темпов экономического роста и демпфирования низкочастотных конъюнктурных колебаний, генерируемых совокупностью произвольных экономических факторов. Для выбора рациональных решений по управлению динамическими свойствами макроэкономических систем, в которых натурное экспериментирование по многим обстоятельствам социально-политического, теоретического и прикладного плана резко ограничено, разумной альтернативы экономико-математическому моделированию и вычислительному эксперименту не существует.

Известно, что любая макроэкономическая система подвержена колебаниям уровней промышленного производства, ВНП, занятости, безработицы. В разных странах в отдельные годы наблюдается стремительное падение производства и взлет безработицы, в другие — наоборот, — рост производства и занятости. Так, например, Соединенные Штаты прошли в XX веке 19 полнопериодных экономических колебаний, называемых деловыми циклами [1,115,11 б]. При этом частоты отдельных составляющих движения макроэкономической системы и амплитуды колебаний существенно различаются друг от друга. Классическим примером наиболее длительного и глубокого падения ВНП является Великая депрессия, начавшаяся в 1929 г. и закончившаяся десятилетие спустя, когда этап падения от пика до дна занял 43 месяца (с августа 1929 г. до марта

1933 г.), а стадия подъема со дна до точки пика продолжалась 50 месяцев (с марта 1933 г. до мая 1937 г.). Между тем известно, что средние темпы прироста ВНП могут представлять собой положительную величину на протяжении длительных временных промежутков при том, что его погодовая динамика отнюдь не является стабильной. Если рассмотреть ХХ-е столетие, то можно легко найти примеры, когда в ряде случаев величина ВНП сокращалась по сравнению с предыдущим годом, период сокращения длился год или два, после чего рост ВНП возобновлялся. Самым же длительным за все послевоенное время подъемом, т.е. периодом между дном экономического цикла и ближайшим пиком, явилось расширение деловой активности 80-х годов, продлившееся с ноября 1982 г. до середины 1990 г. Таким образом, когда в экономике происходят нарушения равновесия различной природы — меняется денежная и фискальная политика, появляются новые продукты или новые методы производства, изменяются потребительские предпочтения людей или их предпочтения при выборе работы, изменяются цены на нефть и другие виды сырья и т.д., кривые совокупного спроса сдвигаются, а объем производства и цены меняются параллельно с этими сдвигами. Кривая совокупного спроса может сместиться в любой момент из-за изменений в области денежной и фискальной политики или потому, что изменился спрос частного сектора на производимую в экономике продукцию. Изменения цен на нефть и платы за труд также проявляются в виде сдвигов кривой совокупного предложения.

Здесь мы вторгаемся в область, где сосуществуют макроэкономические теории, которые абсолютно по-разному объясняют природу наблюдаемых бизнес-циклов. И при этом, пожалуй, не найдется ни одного теоретического или эмпирического исследования, в котором авторам удалось бы прийти к однозначным суждениям по важнейшим проблемам теории экономического цикла. Отмеченное положение объективно, так как экономические колебания в странах и регионах значительно отличаются по всем возможным параметрам и причинам возникновения. Ясно, что процессы в странах, экономика которых существенно зависит от условий внешней торговли, отличаются от процессов в странах с мощной экономикой, менее зависимой от условий, диктуемых внешним миром. Страны — экспортеры сырья испытывают воздействие иного типа факторов, нежели страны — экспортеры готовой продукции и высоких технологий. В рамках единой теории экономических колебаний невозможно дать объяснение всему этому многообразию.

Тем не менее, если бы различные бизнес - циклы не имели общих черт, то всякий из них следовало бы трактовать как уникальное явление, и тогда любая попытка обобщения, необходимая для создания единой теории, была бы обречена на неудачу. К счастью, для экономических циклов характерны некоторые общие свойства, что делает возможным их теоретическое изучение, экономико-математическое моделирование и управление ими.

Сказанное позволяет охарактеризовать деловой цикл как следствие шоковых ситуаций и нарушений равновесия, поражающих экономику в разные периоды и имеющих последствия, повторяющиеся во времени. Иными словами, формулируется положение о склонности больших экономических систем к низкочастотному самораскачиванию.

Анализ деловых циклов всегда представлял собой одну из главных задач макроэкономики, ищущей ответы на вопросы: в чем их причины? что определяет глубину падения объемов выпуска в каждом конкретном случае? какие экономические силы вызывают колебания? являются ли причиной деловых циклов потрясения, шоки, различные неожиданные события, или же циклы обусловлены внутренними, т.е. собственными динамическими свойствами экономических систем, имеющими вполне определенную природу, предсказуемое и управляемое поведение? могут ли действия правительства сгладить или устранить колебательные явления в экономике? Это лишь некоторые из ключевых вопросов, поставленных и в какой-то мере решенных современной макроэкономикой.

Как уже очевидно, все, связанное с экономическим циклом и управлением его параметрами, представляет собой ряд наиболее дискуссионных проблем макроэкономики. Первые исследования кризисных и циклических явлений в экономике появились еще в работах Ж. Сисмонди (1773 - 1842), Т. Мальтуса (1766 - 1834), К. Родбертуса — Ягецова (1805 - 1875).

Первая же серьезная попытка выделения общего в экономических циклах принадлежит А. Бернсу и У.К. Митчеллу. Их исследование, проведенное в рамках крупного научного проекта, осуществлявшегося в течение нескольких десятилетий Национальным бюро экономических исследований США NBER обобщено в [127]. Там же содержится и классическое определение экономического цикла.

Прогресс в расчетном и эмпирическом познании природы делового цикла и управления им стал возможен в результате улучшения качества макроэкономической информации. Начало формирования современной базы макроэкономических исследований в виде системы информации для счетов национального дохода, использование которой дает возможность изучать макроэкономические тренды, восходит к работам Нобелевского лауреата С. Кузнеца.

Далее следует сослаться на Дж. М. Кейнса с его "Общей теорией занятости, процента и денег" 1936 г. и другими фундаментальными трудами, внесшими огромный вклад в развитие экономической науки. Центральным пунктом теории Кейнса было положение о том, что рыночная экономика не обладает способностью к саморегулированию, т.е., иными словами, не обладает демпферными свойствами в отношении самораскачивания. Исследование природы экономических колебаний позволило Кейнсу сделать вывод о том, что сложные экономические системы подвержены циклическим колебаниям, обусловленным воздействием на них потрясений (шоков), являющихся результатом качаний совокупного уровня инвестирования. Последний, в свою очередь, определяется переменами массовых настроений — от оптимизма к пессимизму и наоборот. В этом случае, если даже предположить, что рыночная экономика обладает естественными демпферными свойствами, но они слабы, то номинальные цены и зарплата реагируют на динамику колебаний недостаточно быстро для того, чтобы постоянно приводить к полной занятости. Тогда корректное государственное вмешательство, реализующее сдвиги в объеме государственных расходов, в налогообложении, а также в денежной политике, способно помочь стабилизации экономики. Конечно, идеи Кейнса рождены в 30-х и 40-х годах XX в., и в более позднее время так называемые "неокейнсианцы" создавали для них более жизнеспособную теоретическую базу, рассматривая другие виды потрясений и придя к выводу о том, что анализ экономических колебаний возможен, когда исследователь охватывает все многообразие их причин.

С другой стороны, начиная с другого лауреата Нобелевской премии М. Фридмена, развивались идеи монетаризма, в соответствии с которыми рыночная экономика является саморегулирующимся механизмом, а государственное вмешательство не влечет за собой ее устойчивого развития.

Не будем на этих страницах вставать категорически на сторону одной или другой парадигмы для объяснения природы деловых циклов. По-видимому, ни одна из них не может быть признана превосходящей, и каждая в конкретных схемно-режимных ситуациях функционирования экономической системы описывает лишь часть сложной реальности. При этом безусловно важен анализ вклада различных шоков — инвестиционных, технологических, спроса, предложения и их разновидностей в генерацию колебаний.

Однако, до настоящего времени статистики и экономисты не способны дать точные прогнозы конъюнктуры рынка, определяя лишь общую ее тенденцию. Это, в первую очередь, связано с недостаточной информационной обеспеченностью задач анализа экономической динамики, а во вторую — с ограниченностью возможностей той или иной математической модели цикла. Первая трудность объективна. На самом деле, трудно учесть все факторы, особенно в период нестабильности экономики и политических потрясений, точно оценить влияние на национальную экономику международного окружения, предугадать поведение предпринимателей, определить время прохождения фаз цикла. Вторая трудность субъективна. Не стоит ожидать многого от экономико-математической модели цикла, записанной в виде нескольких алгебраических выражений, связывающих основные макроэкономические переменные независимо от принадлежности к конкретной школе — кейнсианской или неоклассической. В настоящее время явление колебательной неустойчивости в так называемом маловозмущенном движении больших экономических систем принято наблюдать как бы "со стороны", не обращаясь к их собственным, т.е. внутренним динамическим свойствам. Основное внимание уделяется изучению макроэкономических трендов, и начало этому положили работы, выполненные, как уже отмечалось, в NBER США в 20-х годах под руководством будущего тогда Нобелевского лауреата С. Кузнеца (1901 - 1985) по сбору и анализу информации, что привело впоследствии к созданию системы национальных счетов. При этом представители различных макроэкономических школ полагали, что колебательная устойчивость системы будет сохранена за счет естественного демпфирования (монетаризм) либо за счет корректного и своевременного государственного вмешательства (кейнсианский подход). Однако многочисленные статистические данные постоянно указывают на факты возникновения околотрендового самораскачивания в экономиках самых различных стран, отличающихся друг от друга большим многообразием условий и режимов функционирования

1-5]. При этом ранее других экономическая наука выделила циклы с периодом в 7 - 12 лет, которые впоследствии получили имя К. Жуглара (1819 - 1905) за его большой вклад в изучение природы промышленных колебаний во Франции, Великобритании и США на основе фундаментального анализа колебаний ставок процента и цен. Эти колебания обусловлены циклами инвестиций, которые, в свою очередь, инициируют изменения ВНП, инфляции и занятости. Например, Й. Шумпетер (1883 - 1950) в 1939 г. выделял 11 циклов Жуглара за период с 1787 по 1932 г. [3].

Так называемые коротковолновые циклы с периодом 2-4 года (циклы запасов или Китчина) были зафиксированы в 20-х годах на основе исследования финансовых счетов и продажных цен при движении товарных запасов [3].

Циклы Кузнеца длительностью 16-25 лет исследовались впервые в 1930-х годах при построении первых статистических индексов совокупного годового объема жилищного строительства в работах Дж. Риггольмена, В. Ньюмена и некоторых других. Впоследствии термин "строительный цикл" уступил место "длительным колебаниям", которые подробно исследованы в работе С. Кузнеца "Национальный подход", опубликованной в 1946 г. и содержащей выводы о том, что показатели национального дохода, потребления, чистых валовых инвестиций в производственное оборудование, здания и сооружения обнаруживают взаимосвязанные двадцатилетние колебания.

Длинные волны" Кондратьева имеют период 40 - 60 лет. Первые попытки создания теории длинных волн относятся к началу XX века и принадлежат А. Гельфанду (Парвусу), Я. Ван Гельдерену и С. Де Вольфу. Однако фундаментальные результаты в этой области получены русским ученым Н.Д. Кондратьевым (1892 - 1938), который связывал генерацию длинной волны с массовым внедрением в производство новых технологий, с вовлечением в мировое хозяйство новых стран, с изменением объемов добычи золота. Это выражалось в динамике индексов товарных цен, процентных ставок, ренты, заработной платы, производства важнейших видов продукции и т.д.

Таким образом, из известных общественной науке около 1400 типов цикличности экономика оперирует преимущественно четырьмя из них, хотя в настоящее время единой теории цикла не существует. Скорее всего это невозможно в рамках существующих макроэкономических школ, поскольку анализ экономических колебаний выполним, когда охватывает все многообразие причин и результатов. Сами упомянутые школы в соответствии с наиболее значительными направлениями экономической мысли делятся на кейнсианскую и неоклассическую (монетаристскую).

Исторически первым шагом на пути создания экономико-математических моделей цикла явилась модель Самуэльсона — Хикса (мультипликатора — акселератора), выражающая изменения дохода во времени [4,5]. Колебания рассматриваемой системы начинаются при возникновении внешнего толчка, причиной которого является изменение экзогенной величины автономных расходов на покупку благ или одной из его составляющих. При этом равновесие системы нарушается, а характер отклонения дохода будет зависеть от качественных характеристик конкретной экономической системы, а именно от показателей акселератора и мультипликатора. Естественно, что двухпараметрическая модель не может отражать адекватно природу экономических колебаний и многообразия динамических свойств макроэкономических систем.

Модель Т. Тевеса [6] отличается от модели Самуэльсона - Хикса тем, что помимо рынка благ рассматривается финансовый рынок путем добавления в основное уравнение модели соответствующего слагаемого, влияющего на устойчивое равновесие системы. Сама модель продолжает оставаться двухпараметрической и сохраняет в основном недостатки предыдущей.

Модель Калдора [7], относящаяся к так называемой старой кейнсианской теории эндогенного типа, специфична в том смысле, что рассматривает нелинейные функции сбережения и инвестиций. Состояние статической устойчивости системы при совмещении указанных зависимостей имеет место в случае превышения сбережений над инвестициями. Если они равны, то система находится на границе устойчивости, если инвестиции превышают сбережения, то равновесие неустойчиво. Указанные функциональные зависимости дохода от времени перемещаются в плоскости. Модель Калдора позволяет решать вопрос об устойчивости, не разделяя апериодическую и колебательную устойчивости.

Модель С. Фишера, или теория рациональных ожиданий [8], в предположении негибкости цен и заработной платы открывает новые кейнсианские работы в области цикла. Ее основными компонентами являются функции спроса и предложения труда, а также уравнение заработной платы. Уравнение модели Фишера показывает, что неожиданное экзогенное нарушение или неожиданное мероприятие в области денежной политики оказывает реальное воздействие на конъюнктуру и может привести к потере устойчивости экономической системы. В модели Фишера это воздействие продолжается в течение одного периода.

Прочие, относящиеся к кейнсианским, направления исследования цикличности связывают причины возникновения циклов с природой несовершенной конкуренции. В качестве факторов нарушения равновесия выступают особенности монопольной конкуренции, негибкость заработной платы и цен и др. В подобных моделях явление самораскачивания системы является результатом запаздывания приспособления перечисленных факторов к изменяющимся условиям рынка.

Неоклассические теории и модели цикла также можно условно разделить на старые и новые. Старые основаны на постулатах Нобелевского лауреата М. Фридмена. Уделяя основное внимание проблеме достижения оптимального функционирования рыночных механизмов, монетаризм, как и новая классическая макроэкономика, также подразделяет теории цикла на экзогенные и эндогенные.

Монетаристская теория цикла М. Фридмена исходит из равновесного состояния полной занятости с постоянным уровнем цен. Колебательные же явления в системе есть результат возникновения случайных колебаний денежной массы. Процесс приспособления экономической системы к новому равновесию протекает в соответствии с реакцией экономики на денежный импульс. При этом стабильность частного сектора полагается таковой, что за счет естественного демпфирования колебания являются затухающими. Вопросы об амплитудах, частотах и декрементах затухания не обсуждаются.

Модель Д. Лейдлера [9] является развитием теории М. Фридмена и демонстрирует зависимость изменений между предложением денег, реальным доходом и уровнем цен. Она содержит три составные части, три сектора: монетарный, реальный и кривую Филлипса, связывающую два первых сектора. Экзогенно задаваемые предложения денег не совпадают со спросом на них, что обуславливает возникновение переходного процесса в системе, который может носить как апериодический, так и колебательный характер. Спрос на деньги зависит от уровня цен и реального дохода. В краткосрочном периоде денежная политика оказывает влияние на ситуацию в области занятости. Таким образом, переходные процессы представляют собой реакцию реальных макроэкономических переменных на денежные шоки.

Продуктом новой классической школы является теория и модель экономического цикла. Теория объясняет возникновение колебаний реальными сдвигами в экономике: технологическими сдвигами, мероприятиями в области налоговой политики, добровольной безработицей и тому подобному. Изменение равновесного уровня, т.е. колебания дохода и ставки процента возможны как следствие сдвигов реального совокупного спроса и сдвигов реального совокупного предложения. Первый может колебаться в результате резких изменений в государственных расходах и (или) налогах, второе - в результате резких технологических изменений или удорожания топливно-сырьевых ресурсов.

Существует также теория стохастических циклов, в соответствии с которой циклы могут возникать в экономике в результате воздействия хаотических потрясений, имеющих природу белого шума.

По-видимому, к числу общих недостатков упомянутых и им подобных моделей следует отнести неучет внутренних, т.е. собственных динамических свойств макроэкономических систем, их структурных особенностей, детально раскрывающих взаимосвязи между отраслями хозяйства.

Задачи устойчивости и экономической динамики рассматривались также в рамках односекторной (модель Солоу) и трехсекторной постановках, основанных на производственных функциях. Первая сводится к дифференциальному уравнению первого порядка, позволяющему получить закон изменения во времени ВВП, фондовооруженности или другого макроэкономического показателя.

Перечисленные подходы позволяют исследовать колебания и устойчивость в экономике на самом "верхнем" уровне и в самом общем смысле.

Новые возможности для аналитического исследования процессов экономической динамики открывает трехсекторная модель экономики, предложенная В.А. Колемаевым [10 - 16]. Несомненно удачное выделение материального, фондосоздающего и потребительского секторов позволило при высоком уровне агрегированности проследить промежуточный продукт, исследовать переходные процессы, распределение труда и инвестиций между секторами, вопросы цен и налогов, сбалансированные стационарные состояния и многое другое.

Хотя отмеченные выше недостатки в некоторой мере и преодолеваются в трехсекторной экономике, исследование вопросов устойчивости наиболее целесообразно в рамках теории "затраты - выпуск" и "запас - поток" нашего соотечественника и Нобелевского лауреата В В. Леонтьева (1906 - 1999), где в качестве математической модели выступает динамический межотраслевой баланс. Исследования Леонтьева и его последователей в области межотраслевого анализа с самого начала были связаны с решением важнейших народнохозяйственных задач изучения состояний сложных экономических систем и планирования их развития. Ими был завершен широкий круг теоретических, расчетных и эмпирических работ по экономико-математическому моделированию и балансовым исследованиям [1 7 - 19]. В дальнейшем, в 1960-х , 70-х годах, интерес к этому направлению угасал, что было, скорее всего, связано со слабым развитием вычислительной техники, не позволявшей анализировать модели сколь-нибудь высокой размерности.

В настоящее время как средства вычислительной техники, так и телекоммуникаций, предоставляют современным экономистам расширяющиеся возможности для конструирования моделей, адекватно отражающих масштабы хозяйственной деятельности, сложность взаимосвязей между предприятиями, отраслями, регионами, временной разрыв между началом подготовки производства и моментом реализации продукции, растущее влияние хозяйственной деятельности на окружающую среду, многие другие факторы, значительно усложняющие структуру экономических задач и повышающие их размерность. Сказанное обуславливает возрастающее значение экономико-математического моделирования и численного анализа моделей для практики оценивания состояний макроэкономических систем, составления прогнозов их развития и увеличивает возможности теоретического анализа. При этом сохраняется тождественность сотен и даже тысяч переменных, существенно снижается острота проблемы агрегирования данных, когда первичная детальная информация преобразуется в относительно небольшое число "пакетов", называемых "капитал", "труд", "сырье", "общий уровень цен" и т.д. Здесь при утрате адекватности вследствие агрегирования может быть использована менее укрупненная модель.

Построение и применение межотраслевых моделей требует большой работы по сбору и стандартизации разнообразной экономической информации, что во все времена представляло собой достаточно трудоемкую задачу, включающую серию эмпирических исследований, которые до сих пор являются самым серьезным испытанием для национальных статистических и информационных систем. Говорить о снижении трудоемкости можно будет при эффективном использовании громадного количества данных по экономике, доступных через INTERNET.

Детально составленный динамический межотраслевой баланс (МОБ) может и должен служить математико-статистической базой для анализа как колебательной, так и апериодической устойчивости макроэкономических систем. Для этого широкое распространение могут получить матричные методы, основанные на оценке собственных значений матриц коэффициентов динамических МОБ, записанных в виде систем дифференциальных уравнений и предварительно приведенных к нормальной форме Коши. Спектр собственных значений однозначно характеризует внутренние, т.е. собственные динамические свойства (СДС) системы. Заметим, что если не рассматривать циклы, ограничивая задачи маловозмущенного движения только анализом апериодической устойчивости и темпов расширения экономики, то привлекаемый математический аппарат значительно упрощается и появляется возможность использовать критерий, фиксирующий обращение в нуль свободного члена характеристического уравнения системы при изменении условий и режимов ее функционирования. Подходы к исследованию статической устойчивости на основе матричных методов развивались в рамках теории автоматического управления и ряде прикладных областей [21-29]. Значительные усилия были затрачены на поиск эффективного алгоритма вычисления собственных значений, восходящие еще к оценкам С.А. Гершгорина и методу A.M. Данилевского [30, 31]. В настоящее время в распоряжении исследователя имеется хорошо зарекомендовавшая себя на практике программная реализация OR - алгоритма, представленная в пакетах прикладных программ по линейной алгебре [32-34] и вычислительных математических средах [35], позволяющая на основе полной информации о собственных числах и собственных векторах сделать необходимые выводы о свойствах системы. Альтернативным путем здесь являются алгоритмы для решения частичной проблемы собственных значений, которые сокращают время расчетов ценой определения лишь нескольких корней характеристического уравнения, связанных с колебательными составляющими движения. Следует, по-видимому, проводить работы по разработке и применению методов расчетов собственных чисел в заданной частотной области и области демпфирования, в том числе ориентированные на параллельные вычисления. Естественно, на этом пути встречаются сложности создания надежных и эффективных формализованных алгоритмов.

Знание собственных значений матрицы коэффициентов замкнутой динамической модели МОБ дает суждение не только об устойчивости, но и позволяет характеризовать динамические свойства системы в возмущенном движении при воздействии на экономику различного рода шоков (потрясений). Следует отметить, что ранее вопрос об улучшении демпферных свойств системы в отношении деловых циклов и одновременной оптимизации темпов экономического роста при численном поиске тех или иных варьируемых параметров в рамках балансовых моделей не возникал.

Расчет собственных значений имеет решающие преимущества при решении практических задач анализа устойчивости, оптимизации собственных динамических свойств по сравнению с перечисленными выше методиками и моделями. Недостатки последних легко вскрываются. Они, в первую очередь, заключаются в недостаточном учете СДС системы и их зависимости от параметров регулирования. Вместе с тем, глубокий анализ этих свойств необходим, в частности, для организации полностью автоматизированной процедуры численной оптимизации на предмет обеспечения устойчивого апериодического роста экономики и приемлемого уровня демпфирования колебаний.

Основными факторами, затрудняющими постановку и решение на ЭВМ задач статической устойчивости больших экономических систем, являются повышенные требования к информационному обеспечению, высокая размерность и сложность моделей МОБ. В связи с этим значительные усилия экономической науки затрачены на обоснование оптимального объема математического описания, адекватно отражающего СДС макроэкономических систем. Предварительное агрегирование призвано в рассматриваемой постановке с минимальной избыточностью обеспечить получение достоверных результатов оценки устойчивости. Подобные упрощающие допущения давно претендуют на признание их универсальности, однако могут быть приняты только при условии оценки возникающих погрешностей. Использование упрощенного моделирования и традиционного агрегирования может приводить к грубым ошибкам при оценке опасности общесистемных колебаний, что легко заметить на примерах решения модельных задач. Поэтому для сложных систем объем математического описания получается весьма значительным [36]. Упрощение же оказывается возможным лишь на основе первоначально полного математического описания. Только всесторонний учет зависимости между параметрами экономической системы и составляющими ее движения позволяет выявить слабые связи и тем самым упростить исходную модель. Среди методов, обеспечивающих такой подход, можно указать метод малого параметра [37-38]. В электроэнергетике развивалось частотное эквивалентирование [39-41, 42]. Однако, эти алгоритмы не были доведены до стадии формализованного практического использования при расчетах устойчивости. Они требовали достаточно высокой квалификации пользователя и не были реализованы в промышленных алгоритмах и программах.

Дополнительное усложнение задачи экономико-математического моделирования переходных процессов, процедур агрегирования и эквивалентирования связано с насущной потребностью иметь единую математическую модель для анализа как апериодической, так и колебательной устойчивости сложных экономических систем.

Таким образом, целью данной диссертационной работы является разработка экономико-математических методов анализа и управления статическойустойчивостьюидинамическимисвойствами макроэкономических систем в рамках балансовых моделей и теории "затраты - выпуск", "запас - поток". Поэтому в качестве объекта исследования выступает макроэкономика регионов и государств.

Предметом диссертационного исследования избраны методологические, теоретические, методические и практические проблемы математического моделирования переходных процессов экономической динамики высокоразмерных систем, их эквивалентных преобразований и статической устойчивости.

При достижении цели исследования была поставлена и решена следующая совокупность научно-экономических задач, образующих научную новизну:

- разработка методического подхода и математического аппарата для анализа собственных динамических свойств макроэкономических систем по балансовым моделям;

- выявление зависимости частот и затуханий отдельных составляющих движения экономики от условий ее функционирования и значений параметров управления;

- создание математического аппарата для решения задач управления СДС, включая методику формирования функций качества при многопараметрическом поиске в условиях совокупности режимов функционирования экономики и ограничений по варьируемым параметрам;

- разработка методов эквивалентирования моделей МОБ, альтернативных традиционному агрегированию, с целью существенного повышения эффективности расчетов при многопараметрической оптимизации динамических свойств высокоразмерных экономических систем;

- синтез сигнала избирательного управления составляющими движения макроэкономических систем;

- разработка методов эквивалентирования жестких динамических моделей МОБ.

Методы исследования динамических свойств экономических систем базируются на аппарате линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений, автоматического управления и модального анализа. При решении задач оптимизации использованы специальные функционалы качества и методы минимизации. Разработка перспективных законов управления СДС построена на основе теории чувствительности и модального управления.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы.

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Торопцев, Евгений Львович

ВЫВОДЫ

1. Решена важная инженерно-экономическая и научно-техническая проблема, связанная с анализом собственных динамических свойств и обеспечением колебательной и апериодической статической устойчивости макроэкономических систем, представленных динамическими моделями межотраслевого баланса, за счет нового методического подхода к построению управления, адекватного свойствам системы. Решение базируется на предложенном математическом аппарате для анализа и управления собственными динамическими свойствами макроэкономических систем и методах определения оптимальных значений элементов вектора конечного спроса, включающих процедуры численного поиска и новые подходы к упрощению балансовых моделей для повышения эффективности вычислений, в том числе в условиях неопределенности режимов работы и параметров системы, а также на программных продуктах, реализующих эти методы.

2. Разработан математический аппарат и методический подход к анализу собственных динамических свойств сложных экономических систем, базирующийся на вычислении комплекса показателей, к числу которых относятся частоты и затухания отдельных составляющих движения, их наблюдаемость, возбуждаемость, управляемость, чувствительность к параметрам управления, а также количественные характеристики.

3. Разработан метод поиска единого вектора конечного спроса для совокупности условий и режимов функционирования экономики, основанный на численной минимизации функции качества переходных процессов, обладающей необходимыми математическими свойствами непрерывности и дифференцируемости, формируемой по группе корней характеристического уравнения, учитывающей разнообразные ограничения на варьируемые параметры и допускающей как последовательную, так и одновременную процедуры координации. Эффективность метода оценена на примерах решения модельных задач. Существенно, что трудоемкость расчетов лишь линейно зависит от числа режимов. Предложен и более эффективный метод численного поиска оптимальных значений варьируемых параметров, значительно снижающий трудоемкость вычислений по сравнению с традиционными и обеспечивающий устойчивость и приемлемые динамические свойства экономической системы. Разработаны два алгоритма его реализации — с использованием модификации градиентного метода, а также метода сингулярного разложения матрицы чувствительности уравнений прогноза, позволяющие полностью формализовать процедуру выбора значений оптимизируемых параметров. Основной эффект достигается за счет построения уравнений прогноза изменения вещественных частей собственных значений матрицы состояния системы при оптимизации варьируемых параметров. Основным преимуществом метода является слабая зависимость числа итераций от количества одновременно оптимизируемых параметров.

4. Предложены критерии качества для алгоритма численного поиска, позволяющие обеспечить заданные или предельно достижимые демпферные свойства системы в отношении колебательных составляющих движения. Аналогично возможна оптимизация степени экономического роста по группе вещественных корней. Исследовано влияние параметров критерия качества на эффективность процесса численного поиска, обоснованы рекомендации по выбору их значений. Выполнено обобщение критерия качества для определения оптимального вектора конечного спроса для совокупности режимов экономики, что позволяет учитывать неопределенность параметров модели МОБ и статистическую ошибку в исходных данных.

5. Обобщены закономерности, ограничивающие возможность управления степенью колебательной устойчивости или степенью экономического роста на каждом этапе последовательной координации элементов вектора конечного потребления.

6. Предложена методика оптимизации функции качества в условиях некорректной постановки задачи, когда минимум определяется однозначно не для варьируемых параметров системы, а для некоторого меньшего числа их комбинаций (комплексов). Выявляется число параметров, входящих в комплексы, и минимальный объем дополнительной априорной информации для их однозначно определения.

7. Для определения влияния неопределенности параметров динамической модели МОБ на оценки устойчивости и демпфирования маловозмущенного движения предложен алгоритм, основанный на нахождении экстремумов функции, отражающей смещение на комплексной плоскости доминирующих корней характеристического уравнения из-за неопределенности параметров модели.

8. Показано, что программная реализация OR - алгоритма расчета собственных значений обеспечивает достаточную точность для заполненных матриц состояния систем дифференциальных уравнений переходных процессов экономических систем до 1000-го порядка и более. Ограничением его применения для задач численного поиска конечного спроса или других параметров в сложных системах является длительность расчета собственных чисел, зависимость которой от размерности матрицы носит степенной характер с показателем, близким к трем.

9. Разработан метод ранжирования отраслей народного хозяйства по степени влияния их неопределенных параметров на устойчивость маловозмущенного движения в экономике. Метод позволяет определить отрасли, вносящие основной вклад в неопределенность результатов исследования и максимально уточнить модель при минимуме системных измерений. Метод основан на расчете интегральных показателей, определяемых по коэффициентам чувствительности демпфирования колебаний к параметрам отраслей в балансовой модели. Максимальная информативность этих показателей достигается их вычислением в точках, равномерно распределенных в пространстве неопределенных параметров, определяемых на основе ЛПГ - последовательностей.

10. Предложен метод упрощения динамической модели межотраслевого баланса при управлении демпферными свойствами макроэкономических систем, основанный на исключении из рассмотрения при оптимизации слабоуправляемых и неуправляемых корней характеристического уравнения. Для повышения точности метода построено асимптотическое разложение для управляемых корней по степеням параметра регулирования.

11. Разработано формализованное описание класса жестких систем дифференциальных уравнений, позволяющее корректно определить типы уравнений, относящиеся к этому классу, а также выявить и исследовать их свойства.

12. Для динамических моделей МОБ, представляемых жесткими линейными дифференциальными уравнениями с постоянной матрицей доказан принцип квазистационарности производных, выдвинутый Ю.В. Ракитским. На его основе и свойствах жестких систем разработаны, обоснованы и исследованы алгоритмы асимптотических преобразований динамических моделей МОБ с учетом их практической реализуемости. Предложены и исследованы методы формализованного контроля за правильностью применения полученных алгоритмов и методик асимптотического приближения моделей.

13. Показана возможность реализации избирательного управления одной составляющей движения при постоянстве остальных. Получены формулы относительной чувствительности корней характеристического уравнения к компонентам вектора избирательного управления, позволяющие оценить погрешность упрощения сигнала регулирования и выбрать "точку" его подключения к системе.

14.Разработан метод аппроксимации закона избирательного управления, позволяющий резко сократить число измеряемых компонент в сигнале управления с сохранением свойств модальности. Последнее означает управление заданными формами циклических колебаний при относительно малом "побочном" влиянии на остальные. Алгоритм, реализующий метод, носит формализованный характер и позволяет составить ранжированный список измеренных переменных состояния по степени их влияния на свойства модальности. Разработанный метод является основой для создания качественно нового, непротиворечивого управления опасными для устойчивого развития экономики формами движения с использованием минимального объема информации в условиях неопределенности параметров системы.

Список литературы диссертационного исследования доктор экономических наук Торопцев, Евгений Львович, 2001 год

1. Сакс Дж., Ларрен Ф. Макроэкономика. Глобальный подход. - М.: "Дело", 1993.

2. Фишер С., Дорнбуш Р., Шмалензи Р. Экономика. М.: "Дело ЛТД", 1993.

3. Селищев А С. Макроэкономика. Серия "Базовый курс". СПб.: "Изд-во "Питер"", 2000.

4. Samuelson P. Interactions Between the Multiplier Analysis and the Principle of Acceleration // Review of Economics and Statistics. 1939. Vol. 21, pp. 75-78.

5. Hicks J R. A contribution fo the Theory of the Trade Cycle. London. 1950.

6. Tewes T. Ein einfaches Model einer monetaren Konjunk turerechnung // Weltwirtschaff. Arch. 1996. Bol. 96.

7. Kaldor N. A Model of the Trade Cycle // Economic Jornal. 1940. March. Vol. 50, pp. 78-92.

8. Fischer S. Long Term Contracts, Rational Expectations, and the Optimal Money Supply Rule // Journal of Political Economy. 1977.

9. Laydler D. An elementary monetarist model of simultaneous tluctuations // Econometrica. 1975. Vol. 50, pp. 1345-1370.

10. Ю.Колемаев В.А. Математические модели макроэкономики. М.: ГАУ им. С. Орджоникидзе, 1994.1ТКолемаев В.А., Малыхин В.И., Калинина В.И. Математическая экономика в примерах и задачах. М.: ГАУ им. С. Орджоникидзе, 1995.

11. Колемаев В.А. Математическая экономика. М.: ГАУ им. С. Орджоникидзе, 1996.

12. Колемаев В.А. Математические модели макроэкономической динамики. -М. ГАУ им. С. Орджоникидзе, 1996.

13. Колемаев В.А. Трехсекторная модель экономики // Сб. научных трудов международной академии информатизации. М.: ООО "Копия - Принт", 1997.

14. Колемаев В.А. Математическая экономика. М.: Изд. объед. "Юнити", 1998.

15. Колемаев В.А., Константинова J1.A. Статистика трехсекторной экономики // Вопросы статистики. № 4. 2000. с. 86-88.

16. П.Леонтьев В В. Экономические эссе. М.: Изд-во полит, лит-ры, 1990.

17. Леонтьев В В. Межотраслевая экономика. М.: Экономика, 1997.

18. Леонтьев В В. и др. Будущее мировой экономики. М.: Международные отношения, 1979.

19. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства. М.: Экономика, 1985.

20. Справочник по теории автоматического управления. Под. ред. А.А. Красовского. М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. литератры, 1987.

21. Арене В.Д. и др. Динамика систем управления ракет с бортовыми цифровыми вычислительными машинами. М.: Машиностроение, 1972.

22. Андерсон П., Фуад А. Управление энергосистемами и устойчивость. М.: Энергия, 1980.

23. Качаров К. А., Пилютик А.Г. Введение в техническую теорию устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1962.

24. Красовский А.А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем. М.: Наука, 1974.

25. Зубов В.И. Методы A.M. Ляпунова и их применение

26. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979.

27. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1969.

28. Леонов Г.А. Устойчивость и колебания фазовых систем // Сиб. мат. журн.- 1975. -Т.16,№ 5. с.1031 - 1052.

29. Фаддеев Д.К., Фаддеева В Н. Вычислительные методы линейной алгебры.- М.: Физматгиз, 1960.

30. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970.

31. Garbow B.S., Boyle J.M., Dongarra J.J., Moler С.В. Matrix eigensystem routines EISPACK guide extension. Berlin - Heidelberg - New Jork -Springer: 1977, VIII. - 343 p. (Lecture Notes Computer Sci. 51).

32. Chan S.P., Feldman R., Parlett B.N. ALGORITHM 517. A program for computing eigenvectors F2. // ACM Transactions on Mathematical Software.-Vol. 3, No 2. Jone 1977. - pp. 186 - 203.

33. Francis J.G.F. The QR Transformations, Parst I, II. Comput. J.4, 1961, pp. 265 -271, 1962, pp. 332 - 345.

34. MATLAB Reference Guide, The Math Works, Inc., 1994, p. 548.

35. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г. Численная оптимизация динамических свойств макроэкономической системы. // Вопросы статистики. 2000. № 4, с. 81-86.

36. Черноруцкий ИГ. Оптимальный параметрический синтез:

37. Электротехнические устройства и системы. Л.: Энергоатомиздат, 1987. 41.Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г. Прикладной анализ балансовых моделей

38. В. Леонтьева. Ставрополь, Кн. изд-во, 1999. 42.Ошибки округления в алгебраических процессах. Сб. докладов под ред. В В. Воеводина. М.: ВЦ МГУ, 1968, с. 38-59.

39. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980.

40. Справочник по теории автоматического управления. Под ред. А.А. Красовского. М. Наука, 1987.

41. Резенвассер Е.Н., Юсупов P.M. Чувствительность систем управления. -М.: Наука, 1981.

42. Торопцев E.J1, Гурнович Т.Г., Гладилин А.В. Численный анализ высокоразмерных моделей экономической динамики // Вопросы статистики, — 1998, — № 8. — с. 32 34.

43. Торопцев ЕЛ, Гурнович Т.Г., Бутова О.О. Устойчивый алгоритм получения формы Коши в модели межотраслевого баланса. Тезисы докладов междунар. конф. "Компьютерные технологии в оборудовании и предпринимательстве" (6-7 октября 1998 г.) — Чита, СУПК, 1998.

44. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г., Бутова О.О. Численный анализ модели межотраслевого баланса. Тезисы докладов междунар. конф. "Компьютерные технологии в оборудовании и предпринимательстве" (6-7 октября 1998 г.) — Чита, СУПК, 1998.

45. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г., Бутова 0.0. Анализ балансовой модели с переменным вектором конечного спроса. Тезисы докладов III Всесозн. симпозиума "Математическое моделирование и компьютерные технологии" (22-24 апреля 1999 г.) — Кисловодск, КИЭП, 1999.

46. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г. Прикладной анализ балансовых моделей В. Леонтьева. — Ставрополь: Кн. изд-во, 1999.

47. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г. Оценка и оптимизация статической устойчивости макроэкономических систем. — Ставрополь: Кн. изд-во, 1999.

48. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г. Численная оптимизация динамических свойств макроэкономической системы // Вопросы статистики, — 2000. — №4.

49. Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976.

50. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М. Наука, 1988.

51. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ / Пер. с англ. Х.Д. Икрамова и др.; Под ред. Х.Д. Икрамова. М.: Мир, 1989.

52. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применение. М.: Мир, 1980.

53. Воеводин В В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

54. Кублановская В Н. О некоторых алгоритмах для решения полной проблемы собственных значений. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1961. Т. 1. - № 4, с. 555 - 570.

55. Груздев И.А., Торопцев Е.Л., Устинов С.М. Исследование эффективности расчета корней характеристических уравнений высоких порядков при решении задач устойчивости. // Изд. вузов СССР. Энергетика. 1986. № 4, с. 7- 10.

56. Мороз А.И. Курс теории систем. М.: Высшая школа, 1987.

57. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.

58. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.

59. Сениченков Ю.Б. Программная реализация линейных моделей. В сб.: Тр. ЛПИ, 1983, №391, с. 84 - 87.

60. Сениченков Ю.Б. Программные средства сравнительного исследования численных методов линейной алгебры и решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений: Автореф. дисс. канд. физ.- мат. наук. Л., 1984. - 11 с.

61. Фаддеева ВН., Колотилина Л.Ю. Материалы по математическому обеспечению ЭВМ (вычислительные модели линейной алгебры. Набор матриц для тестирования). Изд-во ЛО математического ин-та АН СССР, 1982.

62. Гладилин А.В., Торопцев ЕЛ, Гурнович Т.Г. Численный анализ высокоразмерных моделей экономической динамики // Вопросы статистики, 1998 г., № 8, с. 32 34.

63. Вейль Г. Математика. Теоретическая физика: Избр. т р. м.: Наука, 1984.

64. Вейль Г. Симметрия. М. Наука, 1968.

65. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М. Наука, 1969.

66. Соболь И М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М.: Наука, 1981.

67. Соболь И.М. Точки, равномерно заполняющие многомерный куб // Математика и кибернетика, 1985, № 2, с. 32.

68. Соболь И.М., Статников Р.Б. Наилучшие решения где их искатью. М.: Знание, 1982.

69. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.

70. Curtiss С. F., Hirschfelder. Integration of stiff equations. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1952, v. 3.8, pp. 235.

71. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т IV. М.: Наука, Гл. ред. физ - мат. лит-ры, 1974.

72. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

73. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1998.

74. Ракитский Ю.В., Устинов С М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979.

75. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

76. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, Гл. ред. физ. - мат.лит-ры, 1969.

77. Lambert I D. Computational methods in ordinary diffential eqyations. N. Y.,1973.

78. Dahiquist G. Aspecial stability problem for liner multistep methods. BIT,1963, 3.

79. Nevanlinna O., Sipila Aarne H. A nonexistence theorem for explicit A stable methods. - Math. Comput., 1974, 28, № 128.

80. Gear C.W. The automatic integration of stiff ordinary differential equations. -Inform. Processing 68, 1969.

81. Ракитский Ю.В., Устинов C.M., Хохлов. В.А. Проблемы построения математических моделей и теория жестких систем // IV Всесоюзн. копер. "Математические методы в химии". Ереван, 1982, с. 232.

82. Хохлов В.А., Устинов С.М., Ракитский Ю.В. Определение комплексов параметров при идентификации математических моделей // Теор. основы химич. технологий. XX т, 1986, с. 224 - 229.

83. Саянов Ю.С., Васильева А.Б. Обоснование и условия применимости метода квазистационарных концентраций Семенова Боденштейна // Журнал физ. химии, 29. - № 5. - 1995.

84. Aiken R.C., Lapidus L. An efferktinee numerical integration method for typical stiff systems // AICNE J., 1974, 20, № 2, pp. 368 375.

85. Dahiquist G. Problems related to the numerical treatment of stiff differential systems // Aim Proc of Inf. Comput. Symp., 1974.

86. Былов Б.Ф., Виноградов Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова. М. Наука, 1966.

87. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге Кутта для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1988.

88. Тихонов А Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Матем. об. 31 (73). № 3. - 1952.

89. Картвелишвили Н А., Галактионов Ю.И. Идеализация сложныхдинамических систем. М.: Наука, 1977.

90. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

91. Minaker W.L. Numerical methods of boundary bayer type for stiff systems of differential equations // Computing, 1973, 11, № 3, pp. 221 234.

92. Ракитский Ю.В. Об "избыточности" жестких дифференциальных систем и способе ее сокращения // VII Всесоюзный симпозиум по проблеме избыточности в информационных системах. 4 III. - JL: 1977.

93. Кузовнов Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устойства. М.: Машиностроение, 1976.

94. Porter В., Grossley R. Modal control. Theory and applikations. London: Taylor and Fransis. - 1972. - 233 p.

95. Торопцев E.J1., Гурнович Т.Г. Избыточность динамической модели межотраслевого баланса при решении задач устойчивости. Тезисы докладов IV Всесоюз. симпозиума "Математическое моделирование и компьютерные технологии" (20-22 апреля 2000 г.) — КИЭП, 2000.

96. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г. Системный анализ макроэкономических циклов и управление ими. Тезисы докладов междунар. науч. практ. конф. "Системный анализ в проектировании и управлении" (14-16 июня 2000 г.) — Санкт - Петербург, СпбГТУ, 2000.

97. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г. Явление жесткости динамических моделей межотраслевого баланса. — Ставрополь: "Кавказский край", 2000.

98. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г. Управление собственными динамическими свойствами макроэкономических систем. Тезисыдокладов Всесоюз. симпозиума "Математическое моделирование в научных исследованиях" (27-30 сентября 2000 г.) — Ставрополь, СГУ, 2000.

99. Торопцев E.JI. Методика модального управления динамическими свойствами макроэкономических систем. // Мат-ры НПК проф. преп. состава СкГТУ, Ставрополь, 2001.

100. U.S. Historical Statistics, Series D85-86, Fl-5.

101. Economic Report of the President, 1991.

102. International Monetary Fund, World Economic Outlook, May 1990.

103. John M. Keynes. The General Theory of Employment, Interest and Money. -London: Macmillan, SI.

104. M. Friedman, A. Schwartz. A. Monetary History of the United States, 18671960 (Princeton, № J: National Bureau of Economic Research, Princeton University Press, 1963).

105. Ch. Kindleberger. The World in Depression 1923-1939 (Berkeley and Los Angeles: University of Clifornia Press, 1973).

106. P. Temin. Lessons from the Great Depression (Cambridge, M.A.: The Mil Press, 1989).

107. B. Eichengrin, D. Sachs. Exchange rates and Economic Recovery in the1930.//Jornal of Economic History. -№ 12, 1985.

108. W.C. Mitchell. What Happens During Business Cycles? New Jork: National Bureau of Economic Research, 1951.

109. EC LA, Preliminary Overview of the Economy of Latin America and the Caribbean, United Nations, New Jork , 1990.

110. The collected Writings of John Maynard Keynes. London: Macmillan, 1972.

111. D C. North, R.P. Thomas. The Rise of the Western World: A New Economic History . Cambridge University Press. - Cambridge, 1973.

112. A. Burns, W. Mitchell. Measuring Business Cycles. New Jork: National Bureau of Economic Reseach, 1946.

113. R. Lucas. Understanding Business Cycles. Carnegie - Rochester Conference Series on Public Policy, Vol.5, 1977.

114. V. Zarnowitz. Business Cycles: Theory, History, Indicators and Forecasting. -Chicago: University of Chicago Press for the National Bureau of Economic Research, 1991.

115. Ch. Nelson, Ch. Plosser. Trends and Random Walks in Macroeconomic Time Series. // Jornal of Monetary Economics, September 1982.

116. E. Prescott. Theory Aheard of Business Cycle Measurement. Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review, Fall 1986.

117. J. Campbell, G. Mankiw. Are Output Fluctuatios Transitory? Quarterly Jornal of Economic, November 1987.

118. J. Campbell, G. Mankiw. International Evidence on the Persistence of Economic Fluctuations. Harvard University, Cambridge, Mass., 1989.

119. O. Blanchard, S. Fischer. Lectures on Macroeconomics. Cambridge, Mass. MIT Press, 1989.

120. E. Слуцкий. Проблемы экономических условий М.: Изд-во Конъюктурного ин-та, 1927.

121. Е. Slutski. The Summation of Randon Causes as the Source of Cyclic Processes. Econometrica, April 1937.

122. I. and F. Adelman. The Dynamic Properties of the Klein Goldberger Model. - Econometrica, October 1959.

123. L. Metzler. The Nature and Stability of Statistics, August 1941.

124. P. Дорнбуш, С. Фишер Макроэкономика. // Изд-во МГУ, 1997.

125. J. R. Hicks. A Contribution to the Theory of the Trade Cycle, 3-rd ed. -Oxford: Oxford University Press, 1956.1410. Blanchard. What Is Left of the Multiplier Accelarator? American Economic Review, May 1981.

126. M. Fridman, A. Schwartz. A Monetary History of the United States, 1897-1960. Princeton, N. J.: Princeton University Press, 1963.

127. A. Alesina, J. Sachs. Political Parties and the Business Cycle in the United States, 1948 1984. // Journal of Money, Credit and Banking, November 1987.

128. M. Fridman. The Role of Menetary Policy. // American Economic Review, March 1968.

129. R. Lucas. Some International Evidence on Output Inflation Trade - offs. // American Economic Review, June 1973.

130. R. Lucas. Exspectations and the Neutrality of Money. // Journal of Economic Theory, April 1972.

131. R. Barro. Unanticipated Money, Output and the Price Level in the United States. // Journal of Political Economy, August 1978.

132. F. Mishkin. Does Anticipated Monetary Policy Matter? An Econometric Investigation. // Journal of Political Economy, February 1982.

133. R. Barro, Z. Hercowitz. Money Stock Revisions and Unanticipated Money Growth. // Journal of Monetary Economics, April 1980.

134. J. Long, C. Posser. Real Business Cycles. // Journal of Political Economy, February 1983.

135. E. Prescott. Theory Ahead of Business Cycle Measurement. Carnegie Rochester Conference Series on Public Policy, Autumt 1986.

136. R. Lucas, L. Rapping. Real Wages, Emploument and Inflation. // Journal of Political Economy, Septenber / October 1968.

137. J. Altonji. Intertemporal Substitution in Labor Supply. // Journal of Political Economy, June 1986 (Part 2)

138. J. Pencavel. Labor Supply of Men: A Survey. In Orley Ashenfeter and Richard Layard, end. Handbook of Labor Economics, Vol. 1 (Amsterdam: North Holland, 1986).

139. G. Mankiw. Real Business Cycles. A New Keynesian Perspective. // Journal of Economic Perspectives, Summer 1989.

140. S. Fischer. Long Term Contracts, Rational Expectations and the Optimal Money Supply Rule. // Journal of Political Economy, February 1977.

141. J. Taylor. Staggeret Wage Setting in a Macro Model. // American Economic Review, May 1979.

142. C. Azariadas. Implicit Contracts and Underemployment Equilibra. // Journal of Political Economy, December 1975.

143. M. Baily. Wages and Employment Under Uncertain Demand. // Review of Economic Studies, January 1974.

144. R. Barro. Long Term Contracting, Stisky Prices and Monetary Policy. // Journal of Monetary Economic, July 1977.

145. J. Stiglitz. The Efficiency Wage Hypothesis, Surplus Labor and the Distribution of Income in L.D.C.S. // Oxford Economic Papers, July 1976.

146. R. Solow. Another Possible Source of Wage Stickyness. // Journal of Macroeconomics, Winter 1979.

147. J. Yellen. Effeciency Wage Models of Unemployment. // American Economic Review, May 1984.

148. G. Mankiw. Small Menn Costs and Large Business Cycles: A Macroeconomic Model of Monopoly. // Quarterly Journal of Economics, May 1985.

149. J. Ackerloff, J. Yellen. A Near-Rational Model of the Business Cycle with

150. Wage and Price Inertia. // Quarterly Journal of Economics, Supplement 1985.

151. S. Cechett. The Frequency of Price Adjustment: A Study of the Newsstand Prices of Magazines, 1953 to 1979. // Journal of Econometrics, April 1986.

152. D. Carlton. The Rigidity of Prices. // American Economic Review, Septenber 1986.

153. S. Gerlach. International Business Cycles: A Survey of Recent Empirical Research. Finanzmarkt und Portfolio Management, 4, Jahrgang 1990.

154. Светуньков С.Г. Прогнозирование экономической конъюнктуры в маркетинговых исследованиях: Учеб.- метод.пособие / Светуньков С.Г.; С.-Петерб. гос.ун-т экономики и финансов, каф. маркетинга. СПб. Изд-во СПбГУЭФ, 1997.- 106 с.

155. Завгородняя А.В. Адаптивное управление фирмы по слабым сигналам: Автореф.дис.д-ра экон. наук. 05.13.10 Упр.в соц. и экон. системах / Завгородняя А.В.; С - Петерб. гос.ун-т экономики и финансов. - СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 1999. - 35 с.

156. Государственное регулирование в стратегии устойчивого развития экономики России / С.-Петерб. ун-т экономики и финансов. Каф.общ.экон.теории; Сост. и науч. ред.: А.И. Муравьев, С.А. Дятлов. [СПб.]. Изд-во СПбГУЭФ, 1996. - 152 с.

157. Торопцев E.JI., Гурнович Т.Г. Управление колебательной устойчивостью макроэкономических систем // Современные аспекты экономики, 2001, №5.

158. Торопцев E.JI., Гурнович Т.Г. Модальное управление собственными динамическими свойствами макроэкономических систем // Современные аспекты экономики, 2001, JVfe 5.

159. Торопцев E.JI. Модификация градиентного метода для управления устойчивостью макроэкономических систем // Современные аспекты экономики, 2001, №5.

160. Торопцев E.JI. Прямое управление характеристическими корнями динамической модели межотраслевого баланса // Современные аспекты экономики, 2001, №5.

161. Leontief W., Strount A. Structural Interdependence and Economic Development, T. Barna(ed), 1963.

162. Leontief W. Rewiew of Economics and Statisticsm 52, 3 (August 1970).