Метод решения многомерной задачи оптимального управления динамикой макроэкономической системы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат физико-математических наук Сабирова, Ольга Рамилевна

• Сабирова, Ольга Рамилевна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сабирова, Ольга Рамилевна

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ИНСТРУМЕНТЫ АНАЛИЗА ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА.

1.1. Модели экономической динамики.

1.2. Производственные функции.

1.3. Учет научно-технического прогресса.

1.4. Методы решения задач оптимального управления.

2. РАЗРАБОТКА МЕТОДА РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ.

2.1. Постановка задачи (каноническая форма).

2.2. Аналитический метод решения задачи.

2.2.1. Метод построения оптимального управления как функции двойственных переменных.

2.2.2. Метод построения оптимального управления как функции фазовых переменных.'.

2.3. Численная реализация метода.

3. МОДЕЛИ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ.

3.1. Двухфакторная задача оптимального управления.

3.1.1. Постановка задачи.

3.1.2. Анализ решения задачи.

3.2. Задача оптимального управления с учетом научно-технического прогресса.

3.2.1. Постановка задачи с учетом распределения факторов производства по возрастам.

3.2.2. Редукция задачи к канонической форме.

4. АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ.

4.1. Результаты численной реализации двухфакторной модели.

4.1.1. Численная реализация метода решения задачи.

4.1.2. Тестирование метода.

4.1.3. Параметрические исследования модели.

4.2. Результаты численной реализации четырехфакторной модели.

4.2.1. Численная реализация метода решения задачи.

4.2.2. Параметрические исследования модели.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод решения многомерной задачи оптимального управления динамикой макроэкономической системы»

Актуальность темы. В России в последние годы наблюдается период экономического роста. В Послании Президента В.В. Путина Федеральному Собранию Российской Федерации 16 мая 2003 года [1] была сформулирована задача удвоения валового внутреннего продукта (ВВП) за десять лет. Именно динамика изменения ВВП на душу населения рассматривается в качестве оценки успеха мероприятий по обеспечению экономического роста. Особенно важен этот показатель в странах, выходящих из долгих периодов застоя или кризиса. Этот вопрос приобретает дополнительную актуальность в России по причине больших экономических потерь в период 1992-1998 гг., приведших к значительному снижению уровня жизни населения. В Программе социально-экономического развития России, утвержденной правительством РФ в январе 2006 года [2], также говорится о необходимости создания системы стимулирования экономического роста.

При выработке определенной политики улучшения макроэкономических показателей возникает необходимость в предварительном анализе экономики, сложившейся в настоящее время, в прогнозировании и планировании ее на будущее. Для этого применяются методы математического моделирования динамики макроэкономических систем, статистические методы обработки информации, методы оптимизации и др.

По мнению экономистов [3, 4], из четырех основных экономических проблем: размещение ресурсов, распределение дохода, экономическая устойчивость и экономический рост - последняя остается наиболее неизученной. В настоящей работе затрагиваются в большей или меньшей степени все названные проблемы, но именно оптимальный экономический рост является центральным понятием.

В работах, касающихся изучения экономической динамики, наиболее распространены одномерные модели. В реальных системах на экономический рост влияет множество факторов. Разработка и математический анализ много' мерных моделей позволит расширить спектр решаемых прикладных задач.

Краткая историческая справка. В двадцатом веке в экономическом анализе основное внимание уделялось изучению статического развития экономических систем. В области изучения динамики, законов экономического, роста существуют многочисленные работы представителей неоклассической теории (Т. Свана [5], Р. Харрода [6, 7], И. Домара [8], П. Агийона [9-11],), в том числе Нобелевских лауреатов (например, Т. Купманса [12], С. Кузнеца [13], Р. Солоу [14-17]), в которых анализируются некоторые детерминанты экономического роста. Неоклассические модели связывают экономический рост с накоплением капитала и техническими изменениями [18]. В рамках неоклассической теории проблемами учета и моделирования научно-технического прогресса занимались такие ученые как Й. Шумпетер [19, 20], П. Роумер [21-23], М. Олсон [24], Д. Норт [25, 26].

Двадцатый век ознаменовался интенсивным развитием математических методов описания и исследования экономических процессов. Большой интерес представляют работы, в которых внимание уделяется построению и использованию.производственных функций.

В. Рамсей предложил в 1928 году модель долгосрочного роста, предвосхитившую актуальные в наше время исследования по проблемам оптимального экономического роста [27].

Дж. фон Неймана разработал в. 1932 году многосекторную модель расширяющейся экономики [28], положившую начало магистральной теории. В России в начале XX века большой вклад в развитие этого направления внесли В.К. Дмитриев и Е.Е. Слуцкий [29-32]. В< 1960 — 80-е годы экономико-математическое моделирование особенно продвинулось благодаря таким ученым, как B.C. Немчинов [33], В.В. Новожилов [34], JI.B. Канторович [35-36], которые предложили модели многосекторной экономики. Строились многоуровневые системы моделей народно-хозяйственного планирования, оптимизационные модели отраслей и предприятий [37-44].

Существенный вклад в развитие математических методов в экономике внесли JI. Вальрас [45], О. Курно, В. Парето [46], Ф. Эджворт, А.И. Анчишкин [47], С.А. Айвазян [48-49], В.И. Данилов и др. [37].

У истоков моделирования экономической динамики стоят работы В.В. Леонтьева. В дальнейшем эта область получила значительное развитие в работах Д. Гейла [50], В.Л. Макарова [51-52], A.M. Рубинова [52-53], И.В. Романовского [54],

Отдельно следует выделить работы Л.С. Понтрягина [55-57] и Р. Беллма-на [58], внесших большой вклад в разработку инструментальных методов оптимального управления и математического анализа динамических экономических систем.

Следует отметить, что оптимизационные динамические модели экономических систем основаны на классических работах Ф. Рамсея [27], Д. Касса [59], Т. Купманса [12], Р. Солоу [14-17]. Развитие этих моделей представлено работами В.Д. Матвеенко [60], В.З. Беленького [61-72] и др. [73-83].

Объектом исследования диссертационной работы является теория оптимального распределения капиталовложений в задачах макроэкономической динамики.

Предметом исследования является математический и инструментальный аппарат решения задач оптимального распределения капиталовложений.

Целью работы является разработка эффективного метода решения задачи оптимального распределения капиталовложений в фазовом пространстве произвольной размерности и анализ траекторий развития макроэкономической системы.

В ходе работы решались следующие научные и практические задачи.

1. Построение оптимизационной математической модели динамики макроэкономической системы в многомерном фазовом пространстве, учитывающей инвестиционные процессы; и максимальный рост благосостояния населения. .

2. Разработка эффективного метода реализации многомерной модели; Тестирование разработанного метода для решения задач оптимального управления в фазовых пространствах различной размерности.

3. Разработка многофакторной оптимизационной модели макроэкономи-: ческой системы, учитывающей научно-технический прогресс в производственной и социальной сфере.

4. Проведение анализа и параметрических исследований многомерных экономико-математических моделей.

Методы исследования. В работе использованы методы теории оптимизации, теории оптимального управления, теории дифференциальных уравнений, математического компьютерного моделирования.

На защиту выносятся:

1. Негомогенная; оптимизационная математическая модель динамики макроэкономической системы в многомерном фазовом пространстве, учитывающая инвестирование средств в факторы производства, критерием; оптимальности в которой является максимизация благосостояния населения.

2. Метод решения задачи оптимального управления в многомерном фазовом? пространстве (индексный метод), основанный на применений принципа максимума Понтрягина. Результаты тестирования разработанного метода решения задачи в двумерном и четырехмерном фазовых пространствах.

3". Многофакторная оптимизационная' математическая;; модель макроэкономической системы, учитывающая научно-технический прогресс в производственной1 и социальной сфере'. .

-4. Анализ результатов численной; реализации и параметрических исследований экономико-математических моделей. •

Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов обеспечена корректностью математических постановок задач (основанных на модели Рамсея-Касса-Купманса). Метод разработан на основе известного подхода к решению задач оптимального управления (принципа максимума Понтря-гина). При тестировании разработанного метода для моделей различной размерности выявлено влияние различных параметров макроэкономической системы на макроэкономическое развитие и доказана эквивалентность решений, полученных разработанным методом и принципом максимума. Полученные решения исследованы на сходимость, точность и устойчивость.

Научная новизна заключается в следующем:

1. В негомогенной оптимизационной модели динамики макроэкономической системы в многомерном фазовом пространстве впервые учитывается эффективность инвестиций и нижняя граница значений управляющих переменных.

2. Новый аналитический метод решения задачи оптимального управления макроэкономической системой, в отличие от существующих методов, не требует знания граничных условий для вектора двойственных переменных и позволяет строить оптимальные траектории в фазовых пространствах произвольной размерности.

3. В многофакторной оптимизационной математической* модели впервые осуществляется одновременный учет научно-технического прогресса в производственной и социальной сфере, а также распределения факторов во временно-возрастной плоскости.

4. Впервые индексным методом проведены комплексные исследования, в ходе которых установлены оптимальные пропорции распределения капиталовложений, а также выявлены существенные параметры, влияющие на показатели макроэкономического роста.

Значение научных результатов для теории

Сформулированная в работе модель динамики макроэкономической системы (региона) позволяет планировать оптимальное распределение капиталои вложений при учете произвольного конечного числа факторов, влияющих на макроэкономическое развитие.

Доказана теорема, согласно которой, в случае выпуклых производственных функций, гамильтониан разработанной модели является выпуклым, что обеспечивает необходимость и достаточность условий оптимальности траекторий, построенных на основе принципа максимума.

Метод решения многомерных задач оптимального управления может быть непосредственно использован при построении и анализе экономических моделей.

Значение научных результатов для практики

Метод позволяет свести решение двойственной задачи оптимального управления с неизвестными граничными условиями для сопряженных переменных к решению прямой задачи для фазовых переменных, что в многомерном фазовом пространстве существенно сокращает объем необходимых вычислений для определения оптимальной траектории.

На основе построенного алгоритма разработан программный комплекс, который может быть использован для решения задач оптимального управления экономической системой на региональном уровне, в том числе в случае учета инновационных процессов. В качестве примера проведены расчеты по Удмуртской Республике.

Разработанный- метод используется в учебном процессе специальности 061800 «Математические методы в экономике» на факультете «Прикладная математика» Ижевского государственного технического университета.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XVII» (Воронеж, 3-9 мая 2006 г.); Всероссийской научно-практической конференции «Инновационная экономика и региональное инновационно-устойчивое развитие» (Чебоксары, 25 октября 2006 г.); Воронежской зимней математической школе «Современные методы, теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 27 января — 2 февраля 2007 г.); Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения — XVIII» (3-9 мая 2007 г.); 3-ей Международной научно-практической конференции «Достижения ученых XXI века» (Тамбов, 30-31 июля 2007 г.); Всероссийской научно-практической internet-конференции «Проблемы функционирования и развития социально-экономических систем» (Уфа; 15 октября — 15 ноября 2007 г.); Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения — XIX» (3-9 мая 2008 г.).

Публикации. Результаты работы отражены в 12 научных публикациях [84-95], из них - 7 статей в научных журналах, в том числе 2 статьи [87, 94] в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов диссертаций.

Структура* и объем работы. Диссертационная работа состоит изг введения, четырех глав, заключения и библиографического списка. Работа изложена на, 118 страницах машинописного текста, содержит 42'рисунка, 5'таблиц и список литературы из 130 наименований.

Введение-содержит обоснование актуальности темы исследования, цели и задачи диссертационной работы, положения, выносимые на защиту, практическую и научную значимость работы. t

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Сабирова, Ольга Рамилевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработана негомогенная оптимизационная модель динамики макроэкономической системы в многомерном фазовом пространстве, в которой учитывается эффективность инвестиций и нижняя граница значений управляющих переменных.

2. Предложен новый метод (индексный метод), основанный на применении принципа максимума Понтрягина и позволяющий решать задачи оптимального управления динамикой макроэкономических систем на основе решения прямой задачи Коши с заданными начальными условиями для фазовых переменных при неизвестных граничных условиях на сопряженные переменные.

Разработанный алгоритм численной реализации индексного метода применен к задачам оптимального управления в фазовых пространствах различной размерности, проведен анализ поведения управляемой экономической системы в зависимости от ее начального состояния. Во всех случаях тестирование предложенного метода показало эквивалентность управлений, построенных на основе индексного метода и непосредственного применения принципа максимума.

3. Представлена модель экономической системы с учетом научно-технического прогресса в производственной и социальной сфере. Дана постановка задачи в частных производных с учетом распределения факторов производства во временно-возрастной плоскости; данная задача при определенных условиях сводится к задаче в канонической форме; приводится ее решение с помощью разработанного алгоритма.

4. Параметры и коэффициенты разработанной двухфакторной модели рассчитывались на основе статистических данных по Удмуртской Республике. Построены траектории оптимального управления и динамики макроэкономических показателей. Показано существование траектории сбалансированного; развития (квазистацйонарной траектории); которая > характеризуется ростом удельной величины ВРП и благосостояния населения в среднем на 1.5 % ежегодно;, на . траектории сбалансированного роста необходимо около одной трети произведенного продукта, инвестировать в развитие факторов*, производства* и около двух третей» направлять на общее потребление.

5. В случае учета НТП также построены траектории оптимального управления; и динамики макроэкономических показателей, а также показано существование траектории сбалансированного экономического развития; которая характеризуется; экономическим? ростом: ежегодно- удельная величина ВРП и благосостояния населения увеличивается в.среднем на 6;5 % в? год; при этом около 90 % произведенного продукта направляется на общее потребление:. , - .

6. Проведены параметрические: исследования; двух- и чегырехфакторной• задач;. Исследована зависимость, решения от начальных условий и от нижней границы потребления. Показано, что времядостижения траектории;. сбалансированного роста-, зависит от начального- состояния системы, а функционал благосостояния системы немонотонно зависит, ог значения: нижней: границы» потребления; и достигает наибольших; значений при задании границы на уровне 30 % (на горизонте1 планирования 15 лет). Показано, что; при заданных начальных: условиях, при увеличении абсолютного значения; темпов» НТП быстрее наступает момент выхода; на траекторию сбалансированного роста, а также, возрастают значения целевого функционала, и удельного ВРП. Темпы роста: экономики* на оптимальной траектории прямо пропорциональны абсолютной величине темпов HTII:

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сабирова, Ольга Рамилевна, 2008 год

1. Послание Президента Федеральному Собранию Российской Федерации 16 мая 2003 года. Электронный документ.http://vmw.kremlin.ru/text/appears/2003/05/44623.shtml). Проверено1003.2008 г.

2. Распоряжение Правительства Российской Федерации от 19 января; 2006 г. N 38-р Электронный документ.http ://www.mzsrrf.m/prav rasp/295 .html). Проверено 10.03.2008'г.

3. Сэндлер Т. Экономические концепции для общественных наук / Пер. с англ. М.: Изд-во«Весь мир», 2006. - 376 с.

4. Шараев Ю.В. Теория экономического роста: Учебное пособие для вузов. М.: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2006. - 254 с.

5. Swan Т. Economic Growth and Capital Accimulation // Economic Record, 1956. Vol. 32.-№ 2. - P. 334-361.

6. Harrod R. Towards a Dynamic Theory // Economic Journal, 1939. Vol. 49. -P. 14-33.

7. Харрод P. К теории экономической динамики. Новые выводы экономической теории и их применение в экономической политике. М.: Издательство иностранной литературы, 1959.

8. Domar Е. Capital Expansion, Rate of Growth, and Employment // Economet-rica, 1946.-Vol. 14.-P. 167-147.

9. Aghion P., Bolton P. A Ticle-Down Theory of Growth and Development with Dept'Overhand// Review of Economic Studies, 1997. Vol. 64 (2). - № 219.-P. 151-172.

10. Aghion P., Hewitt P. A Model of Growth through Creative Destruction: NBER Working Paper // Econometrica, 1992. Vol. 60. - P. 323-351.

11. Aghion P., Hewitt P. Endogenous Growth Theory. Cambridge: MIT Press, 1998.-Ch. 1.

12. Koopmans T.C. On the Concept of Optimal Economic Growth // Ex Aedibvs •

13. Academicis in Civitate Vaticana, 1965.

14. Kuznets S. Economic Growth and Income Inequality // American Economic Review, 1955.-Vol. 45.-№ l.-P. 1-28.

15. Solow R. A Contribution to the Theory of Economic Growth I I Quarterly Journal of Economics, 1956. Vol. 70. - P. 65-94.

16. Solow R. Growth Theory. Oxford: Oxford University Press, 2000.

17. Солоу P.M. Экономическая теория ресурсов или ресурсы экономической теории. Лекция в честь Ричарда Т. Эли // Вехи экономической мысли. — СПб.: Экономическая школа, 1999. Т. 3.

18. Солоу P.M. Теория роста // Панорама экономической мысли конца XX столетия / Под ред. Д. Гринэуэя, М. Блини, И. Стюарта: В 2-х т. / Пер. с англ. Спб.: Экономическая школа, 2002. - Т. 1. - С. 479-505.

19. Макконнел К.Р., Брю С.Л. Экономикс: принципы, проблемы и политика / Пер. с 13 англ. изд. М.: ИНФРА-М, 1999. - 974 с.

20. Шумпетер Й Теория экономического развития. М., 1982.

21. Шумпетер Й Капитализм, социализм и демократия. М.: Экономика, 1995.

22. Romer P. Endogenous Technical Change I I Journal of Political Economy, 1990. Vol. 98. - № 5. - P. 71-102.

23. Romer P. Increasing Returns and Long-Run Growth // Journal of Political-Economy, 1986. Vol. 94. - № 5.

24. Romer P. Capital Accumulation in the Theory of Long-Run Growth // Modern Business Cycle Theory / J. Barro (ed.). Cambridge, MA: Harvard University Press, 1989.

25. Олсон M. Логика коллективных действий. M.: 1995.

26. НортД. Институты и экономический рост // Thesis, 1993. Т.1. — Вып.2.

27. Норт Д. Институты, институциональные изменения и экономическая эффективность. М., 1998.

28. Ramsey F.P. A Mathematical Theory of Saving // Economic Journal, 1928.1. Vol. 38.-P. 543-559.

29. Нейман Дэ!с., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. — М.: Наука, 1970.

30. Дмитриев В.К. Экономические очерки. М.: ГУ ВШЭ, 2001. - 580 с.

31. Слуцкий Е.Е. К теории сбалансированного бюджета потребителя // Экономико-математические методы. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

32. Слуцкий Е.Е. К вопросу о вычислении дохода государства от эмиссии // Журнал Киевского ГубЭкоСо. Киев, 1923. - № 2.

33. Четвериков Н.С. Жизнь и научная деятельность Е. Е. Слуцкого // Ученые записки по статистике. М.: Изд-во АН СССР, 1959. - Т. V.

34. Немчинов B.C. Избранные произведения. М., 1967-98. - Т. 1-6.

35. Новоэ/силов В.В. Проблемы измерения затрат и результатов при оптимальном планировании. -М., 1967.

36. Канторович JI.B. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. М.: Изд-во АН СССР, 1959.1 36. Канторович Л.В., Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике. -М., 1972.

37. История экономических учений: Учебное пособие. М.: ИНФРА, 2000.

38. Альсевич В.В. Математическая экономика. Конструктивная теория. -Минск: Дизайн ПРО, 1998. 240 с.

39. Багриновский К.А., Рубцов В.Н. Модели и методы прогнозирования и долгосрочного планирования народного хозяйства. М.: Изд-во РУДН, 1992.

40. Багриновский К.А., Сумин Г.А. Математические методы в экономике и планировании народного хозяйства. -М.: Изд-во РУДН, 1993.

41. Гражданников Е.Д. Прогностические модели социально-демографических процессов. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1974. - 112 с.

42. Имитационное моделирование экономических систем: Сб. ст. под ред. К.А. Багриновского. М.: Наука, 1978. - 221 с.

43. Соколовский Л.Е. Модели оптимального функционирования предприятия. -М.: Наука, 1980. 172 с.

44. Информационное моделирование экономической системы / Под ред. Е.Г. Ясина. М.: ЦЭМИ АН СССР, 1979.

45. Валърас Л. Элементы чистой политической экономии или Теория общественного богатства. -М.: Изограф, 2000.

46. Парето В. Чистая экономия. Воронеж, 1912.

47. Анчишкин А.И. Прогнозирование роста социалистической экономики. -М.: Экономика, 1973. 294 с.

48. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. — М.: Статистика, 1983. 352 с.

49. Айвазян С.А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. М.: Юни-ти-Дана, 2001. - Т. 2. - 976 с.

50. Гейл Д. Замкнутая линейная модель производства//Линейные неравенства и смежные вопросы. М., 1959.

51. Макаров В Л. Состояние равновесия сбалансированного роста в модели Неймана с функцией полезности // Оптимальное планирование. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1967. - Вып. 8. - С. 168-169.

52. Макаров В.Л., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. — М.: Наука, 1973.

53. Рубинов A.M. Магистрали в моделях Неймана-Гейла // ДАН СССР, 242, 2, 1978.

54. Понтрягип Л.С. Принцип максимума в оптимальном управлении. — М.: Наука, 1989.-61 с.

55. Понтрягип Л. С. Избранные научные труды. — М.: Наука, 1998. Т. 2.

56. Р:Беллман. Динамическоегпрограммирование. — М:: ЙЛ^ I960.

57. Cass D. Optimum Growth iman Aggregative Model* ofCapital Accumulation //Review of Economic: Studies., 1965. Volt 32:— P; 233-240;,

58. Матееенко В Д. Эффективный функционал и магистраль, в моделях экономической динамики. // Математические модели экономическою динамики. - Вильнюс:ИЭАНЛитССР,1988.

59. Беленький В.З: Вековое уравнение для неподвижных точек оптимальной стратегии стационарного уравнения- Беллмана // Экономика и мат. методы, 1991.-№5. ;

60. Беленький В;3. Оптимальное развитие производства: при стационарно растущем спросе://Экономика и мат: методы, 1979: № 41

61. Беленький В.31, Сластпиков А Д. Модель оптимального-инвестирования проекта новой технологии // Экономика и мат. методы, 1997. № 3.

62. Беленький В.З. Оптимальное управление: принцип максимума и динамическое программирование. М: 1{ЭМИ РАН - РЭШ, 2001.

63. Беленький В.З. О понятии «потенциал экономической системы» // Экономическая наука современной России, 2006: № 1.

64. Беленький ВЗ. Оптимальное управление: принцип; максимума и динамическое программирование. М. -- Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2006.

65. Беленький В.З: Теорема о стационарном решении обобщенной модели Рамсея-Касса-Купманса // Сб. "Анализ и- моделирование экономических процессов". М., ЦЭМИ РАН, 2004. - Выи. 1.

66. Беленький В.З. Операция ratio-сопряжения и ее применение в линейно-однородных моделях экономики // Экономика и мат. методы, 2006. № 2.

67. Беленький В.З. Стационарные модели экономической динамики. М.: ЦЭМИ РАН, 1981.

68. Беленький В.З., Kemoea К.В. Принцип оптимальности Беллмана и стационарные модели экономической динамики // В сб. «Интеллектуальные системы в производстве». Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2004. - № 2. - С. . 59-75.

69. Беленький В.З., Кетова КВ. Вековое уравнение для устойчивой неподвижной точки стационарной динамической конечномерной модели ЭД в непрерывном времени // Сб. «Анализ и моделирование экономических процессов». — М.: ЦЭМИ РАН, 2006. — Вып. 3.

70. Беленький В.З., Кетова КВ. Полное аналитическое решение макромодели развития региона при экзогенном демографическом прогнозе // Экономиками мат. методы, 2006. — Вып. 4.

71. Капелюшников Р.И. Современные буржуазные концепции формирования рабочей силы: критический анализ. М.: Наука, 1981.

72. Кендрик, Дж. Совокупный капитал США и его формирование. М.: Прогресс, 1978.

73. Алексеев В.М. и др. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979. 429 с.t

74. Болтянский В Г. Математические методы оптимального управления. -М.: Наука, 1969.-408 с.

75. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. -М.: Наука, 1973.-446 с.

76. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. - 495 с.

77. Лагоша Б.А. Оптимальное управление в экономике. М.: Финансы и статистика, 2003. - 191 с.

78. Математическая% теория оптимальных процессов / JI.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. — М.: Наука, 1983. — 392 с.

79. Кетова КВ. Оптимальное распределение капиталовложений с учетом демографического прогноза: Диссертация- канд. физ.-мат. наук. — Ижевск: ИжГТУ, 2004. 151 с.

80. Русяк И.Г., Кетова> КВ. Анализ решения задачи управления демоэкономическим состоянием региона // В сб. «Интеллектуальные системы, в производстве». М. (МГУ) - Ижевск (ИжГТУ): Изд-во ИжГТУ, 2003. - №2. - С. 151-160:

81. Кетова КВ. Применение принципа оптимальности Беллмана к решению задачи оптимального экономического роста в стационарной постановке // В сб. «Интеллектуальные системы в производстве». Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2004.-№1.

82. Чуваш, ун-та, 2006. С. 41-44.

83. РусякМ.Г., Кетова КВ., Сабирова О.Р. Квазистационарная кривая развития региона в двухфакторной динамической макромодели // Вестник ИжГТУ. - Ижевск, 2007. - № 1. - G. 111 -116.

84. Kttp://iseixommunityhost.ru/thread/?thread mid=352653601). Проверено 10.03.2008 г.

85. Русяк И.Г., Кетова КВ., Сабирова О.Р. Постановка задачи оптимального управления в случае многомерной модели макроэкономической динамики и разработка алгоритма ее решения // Вестник ТОГУ, 2007. — № 4 (7).-С. 89-100.

86. Беленький В.З., Кетова КВ., Сабирова О.Р. Стационарные состояния в конечномерных динамических моделях с ограниченными траекториями // Экономика и мат. методы, 2008. Т. 44. - № 3. - С. 135-147.

87. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс, 1975. — 605 с.

88. Столерю Л. Равновесие и экономический рост. М.: Статистика, 1974. -472 с.

89. Клейнер Г.Б. Производственные функции: Теория, методы, применение. М'.: Финансы и статистика, 1986. - 239 с.

90. Терехов Л.Л. Производственные функции. М.: Статистика, 1974. - 128 с.

91. Френкель А.А. Многофакторные корреляционные модели производительности труда. М.: Экономика, 1966.,101 .Анчишкин А. И., Яременко Ю.В. Темпы и пропорции экономического развития. -М.: Экономика, 1967.

92. Анчишкин А. И. Прогнозирование роста социалистической экономики. -М.: Экономика, 1973.103 .Крастинь О.П. Агроэкономические функции. — Рига, 1971.

93. Крастинъ О.П. Методы анализа регрессий и корреляций при определении агроэкономических функций. Рига, 1972.

94. Баркалов Н.Б. Производственные функции в моделях экономического роста. М.: Изд-во МГУ, 1981. - 126 с.

95. Иваншов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. — М.: Наука, 1979.-303 с.

96. Лукашин Ю., Рохлина Р. Производственные функции в анализе мировой экономики // Мировая экономика и международные отношения, 2004. — №1. С. 17-27.

97. Булгаков В.К, Булгаков О.В. Моделирование динамики обобщающих показателей развития региональных экономических систем России // Экономика и математические методы, 2006. Т. 42. - № 1. - С. 32-49.

98. Хеди Э., Диллон Д. Производственные функции в сельском хозяйстве. -М.: Прогресс, 1965.

99. Cobb С. W. Douglas Р.Н. A Theory of Production // Amer. Econ. Rev., 1928. -Vol. 18.111 .Ашманов C.A. Введение в математическую экономику. — М.: Наука, 1984. -293 с.

100. Замков О.О. Математические методы в экономике: Учебник/ Под общ. ред. д.э.н., проф. А.В. Сидоровича / О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных; МГУ им. Ломоносова. 3-е изд., перераб. - М.: Издательство «Дело и сервис», 2001.

101. С ахал Д. Технический прогресс: концепции, модели и оценки. М. Финансы и статистика, 1985.

102. Браун М. Теория и измерение технического прогресса. М.: Статистика, 1971.

103. Истерли В. В поисках роста: Приключения и злоключения экономистов в тропиках / Пер. с англ. М.: Институт комплексных стратегических исследований, 2006. — 352 с.

104. Замков О. О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.: Дело и сервис, 2001. — 365 с.

105. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

106. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, -1989.

107. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные } уравнения. М.: Высшая школа, 2000.

108. Хамминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1972. — 400 с.

109. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А А. Опыт математического моделирования экономики. — М., Энергоатомиздат, 1996.

110. Российский статистический ежегодник: Стат. сб. Госкомстата России. —t

111. М.: Финансы и статистика, 2001. — 621 с.

112. Российский статистический ежегодник: Стат. сб. Госкомстата России. -М.: Финансы и статистика, 2004. 634 с.

113. Закон о бюджетной системе Удмуртской Республики на 1994-2007 годы. Бюджетная система Российской Федерации. Электронный документ. (http://www.budgetrf.ru). Проверено 10.03.2008-г.

114. Отчет об исполнении консолидированного бюджета Удмуртской Республики по бюджетной деятельности на 1999-2005 годы. Бюджетная система Российской Федерации. Электронный документ., (http://www.budgetrf.ru). Проверено 10.03.2008 г.

115. Естественное движение населения в Удмуртской Республике: Стат. бюл. Госкомстата УР. Ижевск, 1996-2006.

116. Отчетность Федеральной налоговой службы "Отчет о начислении и поступлении налогов, сборов и иных обязательных платежей в бюджетную систему РФ", по состоянию на 01.01.2007 г.

117. Русяк И.Г., Кетова КВ. Математическое моделирование демографических показателей // Сб. статей. Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2002. - С. 163169.