Математические модели управления в экономических системах с сетевой структурой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, доктор наук Королев Алексей Васильевич

• Королев Алексей Васильевич
• доктор наук
• 2022

Оглавление диссертации доктор наук Королев Алексей Васильевич

Введение

Глава 1. Математические модели управления экономическими системами

1.1. Математические модели управления экономическими системами и методы их исследования

1.2. Типология сетей и меры центральности в сетях

1.3. Условия существования мер центральности

1.4. Отношение типологии и центральности

1.5. Классы сетей, для которых порядки, порожденные некоторыми различными мерами центральности, совпадают

1.6. Стимулирующие механизмы экологически мотивированного регулирования

1.7. Модели анализа взаимодействий в экономических системах

Глава 2. Теоретико-игровые модели на сетях с производством и экстерналиями

2.1. Описание модели

2.2. Поведение агента в равновесии

2.3. Сравнительная статика

2.4. Типология сетей и равновесия в сетевой игре

Глава 3. Динамика в сетях с производством и экстерналиями

3.1. Переходная динамика в сетях с гетерогенными агентами

(в дискретном времени)

3.2. Переходная динамика в регулярных сетях с гетерогенными

агентами (в непрерывном времени)

3.3. Игровые равновесия и переходная динамика в трирегулярных сетях

3.4. Динамика приспособления в сетевой игре со стохастическими параметрами

Глава 4. Теоретико-игровые модели управления мнениями на сетях

4.1. Статические теоретико-игровые модели управления

мнениями на сетях

4.2. Динамические игры управления мнениями на сетях с равноправными участниками (в дискретном времени)

4.3. Динамические игры управления мнениями на сетях с равноправными участниками (в непрерывном времени)

4.4. Иерархические динамические игры управления мнениями на сетях (дискретная модель)

4.5. Иерархические динамические игры управления мнениями на сетях (непрерывная модель)

Глава 5. Теоретико-игровые модели управления мнениями на сетях с фазовыми ограничениями

5.1. Подход к решению задачи

5.2. Иерархическая разностная игра с ограничением на сумму фазовых переменных. Случай стохастической (справа) матрицы влияний

5.3. Иерархическая разностная игра с ограничением на сумму фазовых переменных. Случай стохастической слева матрицы влияний

5.4. Иерархическая дифференциальная игра с ограничением на сумму фазовых переменных. Случай стохастической (справа) матрицы

влияний

5.5. Иерархическая дифференциальная игра с ограничением на сумму фазовых переменных. Случай стохастической слева

матрицы влияний

Заключение

Литература

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели управления в экономических системах с сетевой структурой»

Актуальность темы исследования

Диссертационная работа посвящена построению и исследованию математических моделей экономики с сетевой структурой методами дискретной математики и математической кибернетики. Основной используемый математический аппарат - это динамические игры на сетях.

В последние десятилетия бурно развиваются такие исследовательские области, как анализ социальных сетей, экономика сетей и игры на сетях. Многочисленные теоретические результаты в этих областях стали широко использоваться при анализе реально существующих сетей, таких как Интернет, отношения людей в коллективах и поселениях, отношения стран и т.д. Однако до сих пор в литературе недостаточное внимание уделяется сетям с производством. В авторской модели в вершинах сети произвольного вида располагаются агенты, которые в первом периоде получают доход, который распределяют между инвестициями в знания и потреблением. Потребление второго периода определяется производством, которое зависит как от собственных инвестиций, так и от инвестиций, сделанных ближайшими соседями по сети. Полезность агента определяется его потреблением в двух периодах.

Развитие теории сетевых игр обусловлено предположением, что выигрыш любого игрока зависит от структуры взаимодействия всех игроков. Такая структура взаимодействия описывается ориентированным или неориентированным графом, в котором каждый игрок отождествляется с одной из вершин, а каждая дуга определяет характер влияния (взаимодействия) между соединяемыми ею игроками.

Наряду с моделями влияния, еще больший интерес представляют модели управления в социальных группах с заданной структурой взаимодействия. В свою очередь, здесь естественно выделять модели оптимального (единственный субъект управления) и конфликтного управления (несколько взаимодействующих субъектов, имеющих различные интересы). Математическая формализация

моделей второй группы приводит к игровым постановкам на сетях. В соответствии с теорией управления устойчивым развитием активных систем необходимо, чтобы вектор состояния управляемой динамической системы всегда находился в некоторой области, задаваемой условиями гомеостаза для этой системы. Если при выполнении требований гомеостаза учтены и согласованы интересы всех активных агентов, то это и означает устойчивое развитие системы.

При помощи аппарата сетевых игр можно математически моделировать и находить решение ряда важных и актуальных игровых задач, например, нахождения оптимального поведения игроков в сети или нахождения такой конфигурации, которая бы отвечала определенному критерию.

В сетевых играх поведение игроков в равновесии определяется их позициями в сети, которые описываются той или иной мерой центральности. Однако в разных моделях важны различные меры центральности. Такое многообразие мер центральности, имеющих большое значение в различных конкретных ситуациях, естественно вызывает вопрос о смысле самого понятия центральности. Какие меры центральности задают на множестве вершин сети один и тот же порядок? В каких случаях можно трансплантировать сетевые отношения между различными сетями с одной той же типологией? В каких случаях можно ограничиться лишь мерой центральности той или иной вершины, абстрагируясь от всех ее конкретных связей?

Объектом исследования в диссертационной работе являются динамические активные системы с сетевой структурой, а предметом исследования - модели дискретной математики и математической кибернетики таких социальных или экономических систем. Цели работы

Цели диссертационной работы состоят в развитии теории сетевых игр и теории исследования операций, математической теории оптимального управления, нахождении решений динамических сетевых игр и их интерпретации в терминах организационно-экономических механизмов.

Основные задачи

1. Уточнение условий существования некоторых мер центральности. Определение понятия матрицы смежности типов. Изучение связи типологии с мерами центральности: какие меры центральности совпадают для вершин одной и той же типологии, в каких случаях для вычисления мер центральности вместо матрицы смежности вершин можно использовать матрицу смежности типов. Выяснение мер центральности, которые задают на множестве вершин один и тот же порядок.

2. Сравнительный анализ механизмов экологически мотивированного регулирования в промышленно развитых и развивающихся странах. Исследование возможности успешного экспорта в произвольно взятую переходную или развивающуюся экономику институтов, которые зарекомендовали себя эффективными в той или иной промышленно развитой стране.

3. Построение модели оценки «справедливой цены» купли-продажи фирмы и оптимальных инвестиционных правил для обеих сторон с помощью метода реальных опционов, программная реализация аналитически-численного метода Ю.А. Бычкова и применение его к системе интегро-дифференциальных уравнений с последействием в модели Лотки-Вольтерра.

4. Проверка гипотез моделей эндогенного роста Лукаса: а) о том, что любая равновесная траектория с меньшими начальными уровнями физического и человеческого капиталов будет доминироваться любой равновесной траекторией с более высокими начальными уровнями капиталов; б) о том, что для любой равновесной траектории соответствующая траектория с фазовыми переменными с удаленным трендом сходится к некоторой стационарной точке. Из этого бы следовало, что для любой равновесной траектории ее управление сходится к некому постоянному управлению, общему для всех равновесных траекторий.

5. Перенесение теории эндогенного роста с человеческим капиталом на модели пространственной экономики. Сравнение результатов на прямой и окружности.

6. Построение модели сетевых игр с производством и экстерналиями знаний с однородными и с гетерогенными агентами. Изучение степени заинтересованности агентов в соединении сетей методами сравнительной статики. Изучение связи равновесий с типологией сетей, возможности трансплантации равновесий между сетями одной типологии. Изучение вопросов устойчивости равновесий и переходной динамики между устойчивыми равновесиями в дискретном и в непрерывном времени. Рассмотрение сетей со стохастическими параметрами и динамикой приспособления в стохастических сетях. Качественный анализ решений системы стохастических дифференциальных уравнений динамики приспособления в стохастической сети.

7. Нахождение аналитических решений для дифференциальных и разностных игр управления мнениями на примере маркетинговых сетей с бюджетными ограничениями в форме равенств и неравенств. Сравнительный анализ независимого и кооперативного поведения игроков.

8. Нахождение аналитических решений для разностных и дифференциальных теоретико-игровых моделей Штакельберга управления мнениями в маркетинговых сетях с условием гомеостаза и без него. Выяснение степени согласованности интересов Центра и агентов влияния во всех случаях. Степень разработанности проблемы в литературе

В последние десятилетия бурно развиваются такие исследовательские области, как анализ социальных сетей, экономика сетей и игры на сетях (например, [Bramoulle, Kranton, 2007], [Galeotti et al., 2010], [Martemyanov, Matveenko, 2014]). Многочисленные теоретические результаты в этих областях стали широко использоваться при анализе реально существующих сетей, таких как интернет, отношения людей в коллективах и поселениях, отношения стран и т.д. Однако до сих пор в литературе недостаточное внимание уделяется сетям с производством. Авторами [Matveenko, Korolev, 2015] предложена модель с производством и экстерналиями на сети с двумя временными периодами, которая обобщает модель [Romer, 1986], где, по существу, рассматривается частный случай полной сети.

В разных моделях существенны различные меры центральности: например, степенная центральность - в модели систематического сдвига социальных норм [Jackson, 2017], промежуточная центральность - в [Jackson, 2008], центральность собственного вектора - в модели агрегации информации обществом [Golub, Jackson, 2010], центральность Каца-Бонасича - в модели криминального поведения [Ballester et al., 2006], диффузионная центральность - в моделях диффузии в сетях [Banerjee et al., 2013], специальный случай альфа-центральности (названный альфа-гамма-центральностью) - в модели с производством и экстерналиями знаний [Matveenko, Korolev, 2016, 2017a, 2017b]. Такое многообразие мер центральности, имеющих большое значение в различных конкретных ситуациях, естественно ставит вопрос о смысле самого понятия центральности. Существует обширная литература о взаимоотношениях различных мер центральности и их отношениях с другими структурными характеристиками сети (например, [Bloch et al., 2017], [Jackson, 2017], [König et al., 2014]).

Базовая модель влияния в социальной группе впервые рассмотрена в [French, 1956], [Harary, 1959] и более детально изучена в [De Groot, 1974]. Модель описывает динамику мнений агентов (вершин сети) в зависимости от их взаимного влияния (веса дуг сети).

Впоследствии рассматривались многочисленные обобщения и уточнения этой модели: случай меняющегося во времени взаимовлияния, условия сходимости мнений, скорость сходимости, условия единственности финального мнения и др. [De Marzo et al., 2003], [Golub, Jackson, 2010], [Hegselman, Krause, 2002], [Krause, 2000], [Berger, 1981], [Chatterjee, Seneta, 1977]. Одной из самых подробных монографий по моделированию сетей является монография [Jackson, 2008] и статья [Acemoglu, Ozdaglar, 2011]; в этой связи также очень важна статья [Jackson, Wolinsky, 1996]. Имеются также иные подходы к моделированию и имитации сетей, обзор этих подходов дан в статьях [Alparslan-Gok et al., 2011], [Alparslan-Gok et al., 2009].

Наряду с моделями влияния, имеются также модели управления мнениями в социальных сетях [Chkhartishvili et al., 2019]. В этом случае имеется один или несколько внешних агентов влияния, воздействующих на мнения базовых агентов сети в своих интересах. В наиболее близких к данной диссертации работах [Sedakov, Zhen, 2019], [Zhen, 2019] построены и исследованы линейно-квадратичные теоретико-игровые модели на сети с двумя узлами влияния. В [Sedakov, Zhen, 2019] найдено равновесие Нэша для двух независимых узлов, а в [Zhen, 2019] - равновесие Штакельберга для иерархически упорядоченных узлов. Применению сетевых игр в модели конкуренции посвящена работа [Sedakov, 2012], использованию метода характеристических функций в динамических сетевых играх - [Sedakov, 2018, 2020].

Применение сетевых моделей к анализу политических процессов описано в монографии [Алескеров и др., 2007]. Вопросы коммуникации и координации в социальных сетях анализируются в [Chwe, 2000]. Моделированию "сарафанного радио" посвящены работы [Buttle, 1998], [Godes, Mayzlin, 2004], [Goldenberg et al., 2001]. Коммуникация и координация в социальных сетях анализируются в [Masuda, 2009]. Относительное влияние узлов сети исследуется в [Masuda et al., 2009]. Системный подход применён к анализу сетей в [Newman, 2003]. Модели социального влияния описаны также в статьях [Robins et al., 2001], [Watts, 2004].

В работе [Agieva et al., 2019] представлен подход к математическому моделированию управления мнениями в социальных сетях с приложениями к маркетингу. Его основная идея состоит в следующем. Доказано [Roberts, 1976], что устойчивые финальные мнения всех составляющих сеть агентов (целевой аудитории в терминах маркетинга) определяются исключительно начальными мнениями членов сильных подгрупп сети (лидеров мнений), т.е. сильных компонент сети, входящих в вершинную базу её конденсации. Поэтому первый этап анализа сети заключается в сегментации сети на сильные подгруппы и спутников [Chkhartishvili at al., 2019], а также вычислении дополнительных количественных характеристик членов сильных подгрупп. На втором этапе решаются задачи оптимального и конфликтного (игрового) управления. При этом

управляющие (маркетинговые) воздействия оказываются только на членов сильных подгрупп, что обеспечивает существенную экономию при сохранении эффективности управления.

Детальный анализ моделей влияния и некоторые формулировки моделей управления на сетях представлен в обзоре и монографии [Губанов и др., 2009, 2010]. Там же дается подробный обзор и анализ моделей управления в социальных группах с заданной структурой взаимодействия [Губанов и др., 2009, 2010]. Математическая формализация моделей конфликтного управления приводит к игровым постановкам на сетях [Novikov, 2014], [Jackson, Zenou, 2014]. Дифференциально-игровым моделям маркетинга посвящены монография [Jorgensen, Zaccour, 2004] и обзор [Jorgensen, Zaccour, 2014].

Теория игр Штакельберга изложена, например, в [Basar, Olsder, 1982], [Dockner et al., 2000]. Примеры приложений приведены в [Mazalov, Rettieva, 2010]. Оригинальный подход к решению игр Штакельберга предложен в [Gorelov, Kononenko, 2015]. Данный подход при нескольких агентах был модифицирован в [Ugol'nitskii, Usov, 2013, 2014]. В этом случае под оптимальным ответом агентов понимается равновесие Нэша в их игре в нормальной форме.

Теория управления устойчивым развитием активных систем развита и фундаментально изложена в монографии [Угольницкий, 2016]. Согласно этой теории, для устойчивого развития активной системы необходимо, чтобы ее вектор состояния всегда находился в некоторой области, задаваемой условиями гомеостаза, а если при этом учтены и согласованы интересы всех активных агентов, то это и означает устойчивое развитие.

Ключевой проблемой иерархических систем выступает согласование интересов различных уровней управления. Наиболее распространённая формулировка этой проблемы - сравнение общественно оптимального исхода игры с исходом при эгоистичном поведении игроков (проблема неэффективности равновесий) [Algorithmic Game Theory, 2007]. Для количественной оценки неэффективности равновесий используется показатель цены анархии [Papadimitriou, 2001]. Цена анархии - это дробь, числитель которой - значение

суммарного выигрыша игроков в наихудшем из равновесий Нэша, а знаменатель - максимально возможное значение суммарного выигрыша, достигаемое при полной кооперации игроков. Научная новизна

1. Выяснены инварианты типологии вершин сети. В дополнение к введенной Бонасичем [Bonacich, 1987] альфа-бета-центральности, как специальному случаю альфа-центральности, рассматривается введенная Матвеенко и Королевым [Matveenko and Korolev, 2016, 2017a, 2017b] альфа-гамма-центральность. Изучены условия существования различных мер центральности, введена матрица смежности типов, доказано, что она может быть использована вместо матрицы смежности вершин при вычислении мер центральности. Получены новые результаты относительно классов сетей, для которых порядки, порожденные некоторыми различными мерами центральности, совпадают.

2. Показано, что при условиях, которые представляются типичными для развивающихся и переходных экономик («грязные» фирмы относительно эффективны, а доля их в экономике высока), в большей степени следует ожидать назначения объединяющего (т.е. нерыночного) механизма.

3. Выведена формула для справедливой цены купли-продажи фирмы.

4. Ни в одной из моделей [Boucekkine et al., 2009], [Brito, 2004, 2011] не рассматривался человеческий капитал. В настоящей диссертации предпринята попытка заполнить этот пробел и рассмотреть модель с физическим и человеческим капиталами, распределёнными в пространстве, в то время как в качестве модели пространственной структуры используются прямая линия и окружность. Как и в моделях [Uzawa, 1965] и [Lucas, 1988], время репрезентативного индивидуума распределяется между временем, затрачиваемым на работу в материальном производстве, и временем, расходуемым на накопление человеческого капитала.

5. Построена модель игр в сетях с производством и экстерналиями знаний. В построенной модели методами сравнительной статики рассмотрено соединение

сетей и заинтересованность агентов в соединении, возможность трансплантации равновесий между сетями одной типологии, возможность использования матрицы смежности типов вместо матрицы смежности вершин сети.

6. Исходя из смысла якобианского равновесия, введена переходная динамика в сетях с производством и экстерналиями знаний. Рассмотрена динамика приспособления между состояниями устойчивого равновесия в дискретном и в непрерывном времени, в сетях с однородными и с гетерогенными агентами, в детерминистском и в стохастическом случаях.

7. Построены и аналитически исследованы дифференциально-игровые модели управления мнениями на сетях с бюджетными ограничениями типа равенств и неравенств. Проведён сравнительный анализ независимого и кооперативного поведения игроков.

8. Рассмотрены разностные и дифференциальные теоретико-игровые модели Штакельберга управления мнениями. Аналитически найдены равновесия Штакельберга и соответствующие выигрыши. Показано, что во всех случаях система управления идеально согласована.

Методология и методы исследования

В диссертационной работе используются методы исследования операций и теории динамических игр (принципы оптимальности, устойчивость равновесий), теории оптимального управления (принцип максимума Понтрягина, методы вариационного исчисления, метод динамического программирования, уравнение Беллмана-Якоби-Гамильтона), методы решения дифференциальных, разностных и стохастических дифференциальных уравнений, лемма Ито, методы оптимизации и теории вероятностей.

Теоретическая и практическая значимость работы

Доказано, что сети разного размера, но одной и той же типологии имеют общие свойства в экономических моделях; в частности, игровые равновесия, связанные с мерами центральности, могут быть трансплантированы между сетями с одинаковой типологией. Блох и др. доказали, что если дерево g является регулярной монотонной иерархией, то следующие меры центральности:

степенная центральность, центральность распада, центральность Каца-Бонасича, диффузионная центральность, промежуточная центральность, - определяют один и тот же порядок на множестве вершин. Однако в диссертации показано, что этот класс не ограничивается деревьями.

Показано, что даже «стандартные» институты регулирования, хорошо зарекомендовавшие себя в промышленно развитых странах, могут давать совершенно иные, неожиданные результаты в тех экономиках, в которых существенную долю в экономике занимают фирмы, создающие относительно высокий прямой или косвенный экологический ущерб и обладающие за счет этого большей относительной экономической эффективностью.

Вычислена «справедливая цена» купли-продажи фирмы, выполнена программная реализация аналитически-численного метода Ю.А. Бычкова применительно к модели Лотки-Вольтерра.

Показано, что в модели эндогенного роста Лукаса обе его гипотезы верны не всегда. Кроме того, модель эндогенного роста Лукаса с человеческим капиталом перенесена на простые пространственные структуры - прямую и окружность.

В диссертации исследованы две задачи управления мнениями на сетях применительно к маркетингу. Во-первых, статическая модель игры в нормальной форме, где игроки решают задачу максимизации финальных мнений членов целевой аудитории посредством маркетинговых воздействий на начальные мнения некоторых членов сильных подгрупп. Во-вторых, динамическая (разностная и дифференциальная) игры в нормальной форме, где игроки решают задачу максимизации суммы мнений членов целевой аудитории с помощью позиционных стратегий воздействия на текущие мнения членов сильных подгрупп. В обоих случаях получены аналитические решения и проведён их сравнительный анализ. Дана интерпретация полученных результатов применительно к маркетингу.

Рассмотрены разностные и дифференциальные теоретико-игровые модели Штакельберга управления мнениями в маркетинговых сетях. В базовой версии

модели ведущий и ведомые максимизируют суммарные мнения агентов сети. Во второй версии у ведущего имеется целевое значение суммарного мнения. Во всех случаях аналитически найдены равновесия Штакельберга и соответствующие выигрыши и показано, что система управления идеально согласована. Краткое описание работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 506 страниц; она содержит 8 таблиц и 45 рисунков. Список литературы включает 225 источников, которые приведены в алфавитном порядке: сначала источники на русском языке, затем - на английском.

Раздел 1.1 является вводным, он содержит перечисление некоторых инструментов анализа, используемых в диссертации.

Разделы 1.2-1.5 посвящены вопросам типологии сетей и различным мерам центральности вершин. Выясняются инварианты типологии. Перечисляются известные меры центральности. В дополнение к введенной Бонасичем [Bonacich, 1987] ар -центральности, как специальному случаю а-центральности, рассматривается введенная Матвеенко и Королевым [Matveenko and Korolev, 2016, 2017a, 2017b] ау -центральность. Изучаются условия существования различных мер центральности, вводится матрица смежности типов, доказывается, что она может быть использована вместо матрицы смежности вершин при вычислении мер центральности. Получаются новые результаты относительно классов сетей, для которых порядки, порожденные некоторыми различными мерами центральности, совпадают.

В разделе 1.6 исследуется модель теории контрактов, в которой целевые функции регулирующего органа и двух типов фирм включают экологические переменные. За основу взята модель Ж.-Ж.-М. Лаффона [Laffont, 2000], обобщенная В.Д. Матвеенко [Матвеенко, 2010]. Показано, что выбор способа работы механизма регулирования (объединяющий или разделяющий) зависит как от политических условий (какого типа регуляторы назначают механизм и контракты), так и от экономических условий (различие между «грязными» и

«зелеными» фирмами и степень их распространенности в экономике). При небольшом отличии значений параметра, характеризующего тип фирмы, оказывается, что, если использование «грязных» технологий повышает рентабельность фирм, а доля «грязных» фирм в экономике велика (это представляется типичным для многих развивающихся и переходных экономик), то чаще выбирается объединяющий (т.е., в определенном смысле, нерыночный) контрактный механизм. При условиях, которые представляются типичными для промышленно развитых стран (относительно эффективны «зеленые» фирмы), в большей степени следует ожидать выбора разделяющего (рыночного) механизма.

В разделе 1.7.1 приведена модель, в которой рыночная стоимость предприятия рассматривается как объект фондового рынка и моделируется поэтому, как это принято на фондовом рынке, геометрическим броуновским движением. С помощью метода реальных опционов выписывается вариант уравнения Мертона для фирмы-мишени и для фирмы-поглотительницы и выводится справедливая цена купли-продажи фирмы. Оказывается, она равна среднему геометрическому из стоимости продаваемой фирмы и чистой приведенной стоимости проекта покупки фирмы-мишени для фирмы-поглотительницы.

В разделе 1.7.2 используется аналитически-численный метод Ю.А. Бычкова, который, по мнению его создателя, сочетает в себе положительные стороны аналитических и численных методов. Данный метод применим для решения нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, для которых при заданных

начальных условиях существует решение класса С за исключением конечного числа особых точек. Идея метода чрезвычайно проста и естественна: в окрестности каждой очередной точки ? все неизвестные функции записываются в виде рядов Тейлора, берется преобразование Лапласа от обеих частей системы интегро-дифференциальных уравнений, и получаются рекуррентные соотношения для коэффициентов рядов Лорана изображений по Лапласу искомых функций. При этом полученные Ю.А. Бычковым рекуррентные соотношения очень легко программируются, так как перемножению формальных степенных рядов

соответствует перемножение «бесконечных матриц», т.е. инъективных пределов последовательностей квадратных матриц коэффициентов этих рядов -нижнетреугольной на верхнетреугольную, одну из которых предварительно поэлементно умножают на «треугольники Паскаля». Успех применения данного метода зависит от получения сколь возможно менее завышенных оценок локальной и глобальной погрешностей решения. При этом в точках аналитичности решения метод Бычкова позволяет достичь любой наперед заданной локальной точности интегрирования, а в некоторых случаях и обеспечить любую наперед заданную глобальную точность, за счет выбора порядка полиномов Тейлора и величины шага. Метод Бычкова был применен автором для расчета переходного процесса в модели Лотки-Вольтерра с последействием, а также был написан и зарегистрирован в ГосФАП ряд компьютерных программ, посвященных приложениям аналитически-численного метода и адаптационным процессам в емкостных сетях и сетях туннельных диодов.

В разделе 1.7.3 рассматриваются модели экономического роста, в частности, восходящие к Р. Лукасу [Lucas 1988] модели эндогенного роста. Изучается вопрос: может ли страна, изначально менее богатая физическим и человеческим капиталом, опередить с течением времени по этим показателям более богатую страну? Как и в модели эндогенного роста Лукаса, максимизируется общественное благосостояние

max —1—)1-а- 1]N(t)e"ptdt. c(t),u(t) 0 1

Вводится понятие сбалансированных траекторий, на которых выпуск, капитал и потребление изменяются с постоянным темпом, и полусбалансированных траекторий, на которых отношение потребления к капиталу есть величина постоянная. Принимается гипотеза атомарности, состоящая в том, что при принятии решения работник считает переменным собственный человеческий капитал h(t) в то время как средний для экономики человеческий капитал ha(t) он полагает экзогенно заданным. Для нахождения

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Королев Алексей Васильевич, 2022 год

Литература

1. Агиева М.Т. Задачи анализа на социальных сетях в маркетинге. Инженерный вестник Дона. 2018. № 2.

2. Агиева М.Т. Задачи прогноза на социальных сетях в маркетинге. Экономика и менеджмент систем управления. 2018. № 4.1(30). С. 110—117.

3. Агиева М.Т. Модели управления на социальных сетях в маркетинге. Инженерный вестник Дона. 2018. №1.

4. Агиева, М.Т., Бабичева, Ю.В., Окулист, Н.М., Угольницкий, Г.А. Задачи анализи и прогноза в управлении целевой аудиторией в маркетинге. Управление большими системами. 2019. Т. 79, С.27-64.

5. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Физматлит, 2007. 408 с.

6. Алескеров Ф.Т., Благовещенский Н.Ю., Сатаров Г.А. и др. Влияние и структурная устойчивость в Российском парламенте (1905-1917 и 19932005 гг.). М.: Физматлит, 2007. 312 с.

7. Беленький В.З. Оптимизационные модели экономической динамики. Понятийный аппарат. Одномерные модели. М.: Наука, 2006.

8. Беллман Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969. 118 с.

9. Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О. Некоторые вопросы математической теории процессов управления. М.: Ин. литература, 1962. 336 с.

10. Белопольская Я.И. Стохастические дифференциальные уравнения. Приложения к задачам математической физики и финансовой математики. СПб: 2019. 308 с.

11. Борисов К.Ю., Королев А.В. Теорема о незамещении в модели производства классического типа. Экономические исследования: теория и приложения. Сборник научных работ. Выпуск 1. ЕУСПб, 2000. С.111-138.

12. Бородин А.Н., Салминен П. Справочник по броуновскому движению. Факты и формулы. СПб: Лань. 2000. 640 с.

13. Быков В.В., Королев А.В. Исторические предпосылки теории Сраффы. Вопросы экономической теории и практики. Материалы совместного семинара ЕУСПб и Новгородского государственного университета им. Я. Мудрого. СПб: 1999. С. 29-36.

14. Бычков Ю.А. Аналитически-численный расчет. Динамика нелинейных систем. СПб: Изд-во СПб ГЭТУ(ЛЭТИ), 1991.

15. Бычков Ю.А. Аналитически-численный метод расчета динамических систем. СПб: Изд-во СПб ГЭТУ(ЛЭТИ), 1997.

16. Бычков Ю.А., Королев А.В., Щербаков С.В. Программа разложения дробно-рациональной функции комплексной переменной в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки. ГосФАП. 1994. №50940000070.

17. Бычков Ю.А., Королев А.В., Щербаков С.В. Программа разложения функции в ряд Тейлора в окрестности заданной точки. ГосФАП. 1994. №50940000069.

18. Бычков Ю.А., Королев А.В., Щербаков С.В. Программа непосредственного определения производных высших порядков. ГосФАП. 1994. №50940000068.

19. Бычков Ю.А., Королев А.В., Щербаков С.В. Программа вычисления с заданной локальной погрешностью значения одномерного интеграла. ГосФАП. 1994. №50940000067.

20. Бычков Ю.А., Королев А.В., Щербаков С.В. Программа выделения области существования точного значения одномерного интеграла. ГосФАП. 1994. №50940000066.

21. Бычков Ю.А., Королев А.В., Щербаков С.В. Программа вычисления следа степени матрицы. ГосФАП. 1994. №50940000065.

22. Бычков Ю.А., Королев А.В., Щербаков С.В. Программа расчета с оптимальным шагом уравнений динамики нелинейной цепи или системы. ГосФАП. 1994. №50940000063.

23. Бычков Ю.А., Королев А.В., Щербаков С.В. Программа расчета уравнений динамики нелинейной цепи или системы с заданной локальной погрешностью. ГосФАП. 1994. №50940000062.

24. Бычков Ю.А., Королев А.В., Щербаков С.В. Программа расчета уравнений динамики нелинейной цепи или системы аналитически-численным методом с переменным порядком. ГосФАП. 1994. №50940000061.

25. Бычков Ю.А., Королев А.В., Щербаков С.В. Программа выделения областей существования корней алгебраического уравнения. ГосФАП. 1994. №50940000060.

26. Бычков Ю.А., Королев А.В., Щербаков С.В. Программа унификации описания нелинейных свойств нелинейной системы с помощью функционально-степенных рядов. ГосФАП. 1994. №50940000066.

27. Бычков Ю.А., Королев А.В., Щербаков С.В. Программа построения с заданной точностью и на основе аналитически-численного метода области существования точного решения уравнений динамики нелинейной системы при наличии участков неустойчивого состояния. ГосФАП. 1994. №50940000065.

28. Бычков Ю.А., Щербаков С.В. Эффективный способ формирования коэффициентов результирующего полинома при возведении полиномов Тейлора в дробно-рациональные степени и перемножении их. Сб. науч. тр. ЛЭТИ. Л., 1990. Вып. 25. С. 35-61.

29. Бычков Ю.А., Щербаков С.В. Аналитически-численный метод расчета динамических систем. СПб: Энергоатомиздат, 2002.

30. Валдайцев С.В. Оценка бизнеса. Управление стоимостью предприятия. М., 2001.

31. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существлвание. М.: Наука, 1976.

32. Гармаш М.В., Королев А.В., Матвеенко В.Д. Игровые равновесия и динамика приспособления в сети. В кн. Системное моделирование

социально-экономических процессов. Аннотации к докладам 41-ой межд. научной школы-семинара им. акад. С.С. Шаталина. 2018. С. 63.

33. Губанов Д.А., Новиков Д.А., Чхартишвили А.Г. Модели влияния в социальных сетях (обзор), Управление большими системами. Вып. 27. М.: ИПУ РАН, 2009. С.205-281.

34. Губанов Д.А., Новиков Д.А., Чхартишвили А.Г. Социальные сети: модели информационного влияния, управления и противоборства. М.: Физматлит, 2010. 228 с.

35. Киселев А.О., Юрченко Н.И. Игровые равновесия и переходная динамика в диаде с гетерогенными агентами. Математическая теория игр и ее приложения. 2018. Т.10, Вып. 1, С. 40-64.

36. Колмогоров А.Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяций. Проблемы кибернетики. 1972. Вып. 25. С. 35-61.

37. Королев А.В. Синергетика и финансовый анализ. Вопросы экономической теории и практики. Материалы совместного семинара ЕУСПб и Новгородского государственного университета им. Я.Мудрого. СПб: 1999. С. 113-124.

38. Королев А. В. Анализ финансового положения торгового предприятия в зависимости от оборачиваемости ресурсов. В кн.: Проблемы учета и анализа: Сборник статей, посвященный 100-летию со дня рождения заслуженного деятеля науки РФ, проф. П.И. Савичева. СПб.: Издательство Санкт-Петербургского государственного университета экономики и финансов, 2001. С. 114-134.

39. Королев А. В. Анализ влияния оборачиваемости краткосрочных активов и пассивов на процессы слияния-поглощения. Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 5. Экономика. 2002. № 4(29). С. 4558.

40. Королев А.В. Гудвил как следствие оборачиваемости активов. Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 2003. № 1. С. 11-19.

41. Королев А. В. Гудвил как индикатор оборачиваемости активов. Вестник СанктПетербургского университета. Серия 5. Экономика. 2004. № 21(3). С. 107-121.

42. Королев А.В. Метод реальных опционов и оптимизация структуры капитала. Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 2006. №1, С. 33-40.

43. Королев, А.В., Модель эндогенного роста с человеческим капиталом на окружности, Системы управления и информационные технологии, 2020, №82(4), С. 4-9.

44. Королев А.В. Переходная динамика в сетевой игре с гетерогенными агентами: стохастический случай. Математическая теория игр и ее приложения. 2021. Т. 13, №1. С. 102-129.

45. Королев А. В., Королев Ю. А. Использование аналитически-численного метода в математических моделях экономики. Известия Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ». 2008. № 1. С. 90-96.

46. Матвеенко В.Д. Стимулирующие механизмы в экологически мотивированном регулировании: Станут ли эффективными экологические политики в переходных и развивающихся экономиках? Журнал Новой экономической ассоциации. 2010. № 8, С. 10-34.

47. Матвеенко В. Д., Гармаш М. В., Гармашов И. А., Королев А. В. Модель динамики объединения инновационных сетей с производством и экстерналиями знаний. В кн.: IXМосковская международная конференция по исследованию операций (ORM2018). Москва, 22-27 октября 2018 г. Труды. В двух томах. Т. 2: IX Московская международная конференция по исследованию операций (0ЯМ2018). Москва, 22-27 октября 2018 г. Труды. В двух томах. М.: МАКС Пресс, 2018. С. 210-214.

48. Матвеенко В. Д., Гармаш М. В., Жданова М. О., Королев А. В. Системы разностных уравнений для анализа взаимодействия агентов в социально-экономических сетях. В кн.: ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ Материалы конференции,

посвященной 95-летию со дня рождения профессора Н.В. Азбелева (Пермь, 17 - 19 мая 2017 г.). Издательство Пермского национального исследовательского политехнического университета, 2018. С. 154-179.

49. Матвеенко В. Д., Гармашов И. А., Гармаш М. В., Королев А. В. МОДЕЛЬ ОБЪЕДИНЕНИЯ ИННОВАЦИОННЫХ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СЕТЕЙ ПРИ НАЛИЧИИ ЭКСТЕРНАЛИЙ ЗНАНИЙ // В кн.: ГОСУДАРСТВО И БИЗНЕС. СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ЭКОНОМИКИ. МАТЕРИАЛЫ X Международной научно-практической конференции 25-27 апреля 2018 года Санкт-Петербург. Материалы международной научно-практической конференции. Том 1. Т. 1. СПб. : Северо-Западный институт управления РАНХиГС при Президенте РФ, 2018. С. 8-17.

50. Матвеенко В.Д., Гуревич А.М. Модели эндогенного роста, их развитие и перспективы. Эконом. исслед.: теория и приложения. Сб. науч. работ. СПб: Европ. ун., 2000. Вып. 1. С. 260 - 295.

51. Матвеенко В.Д., Королев А.В. Модели экзогенного и эндогенного роста: ступенчатый подход, Системное моделирование социально-экономических процессов. Межд. науч. школа-семинар им. акад. С.С.Шаталина. Труды школы-семинара. Часть I. Воронежский гос. унив. 2011. С. 65-73.

52. Матвеенко В.Д., Королев А.В. Разделяющие и объединяющие стимулирующие механизмы экологического регулирования (случаи промышленно развитых и развивающихся стран). Математическая теория игр и ее приложения. 2011. Т. 3, № 2. С. 50-80.

53. Матвеенко В. Д., Королев А. В. Стимулирующие механизмы экологически мотивированного регулирования. В кн.: XIIМеждународная научная конференция по проблемам развития экономики и общества. В четырех книгах. Книга 3. / Отв. ред.: Е. Г. Ясин. Кн. 3. М.: Издательский дом НИУ ВШЭ, 2012. С. 541-552.

54. Матвеенко В. Д., Королев А. В., Алфимова А. А. Об устойчивости равновесия в сетевой игре с производством и внешними эффектами. Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного

политехнического университета. Экономические науки. 2015. № 6(233). С. 206-215.

55. Матвеенко В. Д., Королев А. В., Алькаева М. С. Пространственная модель экономического роста с учетом человеческого капитала. Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Экономические науки. 2014. № 1(187). С. 184-190.

56. Матвеенко В. Д., Королев А. В., Бахтин М. А. Игровые равновесия в сети с экстерналиями. В кн.: Математика, статистика и информационные технологии в экономике, управлении и образовании. Ч. 1: Математика и статистика. Тверь: Тверской государственный университет, 2016. С. 79-84.

57. Матвеенко В. Д., Королев А. В., Бахтин М. А. Равновесия в игре на сети с производством и экстерналиями. В кн.: Экономический рост, ресурсозависимость и социально-экономическое неравенство. Материалы V Всероссийской конференции 7-9 ноября 2016 года. СПб: Издательство Нестор-История, 2016. С. 22-26.

58. Матвеенко В. Д., Королев А. В., Бахтин М. А. Равновесия в игре на сети с производством и экстерналиями. В кн.: Государство и бизнес. Современные проблемы экономики. Материалы VIII международной научно-практической конференции. Том 1. Т. 1. СПб: РАНХиГС, 2016. С. 77-83.

59. Матвеенко В. Д., Королев А. В., Бахтин М. А. Модели экстерналий знаний и производства в сетях: игровые равновесия, типы вершин, формирование сети. В кн.: Математика в современном мире. Тезисы докладов. Ответственный редактор Г.В. Демиденко, 2017. С. 549.

60. Матвеенко В. Д., Королев А. В., Бахтин М. А. Игровые равновесия в сетевых моделях с разной степенью зависимости от среды. В кн.: Государство и бизнес. Современные проблемы экономики. Материалы IX международной научно-практической конференции. СПб: РАНХиГС, 2017. С. 45-49.

61. Матвеенко В. Д., Королев А. В., Жданова М. О. Изучение динамики в социально-экономических сетях с помощью систем разностных уравнений. Прикладная математика и вопросы управления. 2017. № 2. С. 55-64.

62. Матвеенко В. Д., Королев А. В., Скоблова Ю. А. Анализ равновесий на цепях в сетевой игре с производственными экстерналиями. В кн.: Государство и бизнес. Современные проблемы экономики. Материалы VIII международной научно-практической конференции. Том 1. СПб: РАНХиГС, 2016. С. 84-88.

63. Нарбут М.А. Стохастические задачи динамики. СПб: Изд-во Санкт-Петерб. ун-та, 1994.

64. Нарбут М.А. Программа курса «Нелинейная динамика экономических систем». СПб.: Изд-во Санкт-Петерб. ун-та, 2006.

65. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М.: Финансы и статистика, 1994.

66. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976. 392 с.

67. Прасолов А.В. Математические модели динамики в экономике. ГУЭФ. СПб: 2000.

68. Соколов Я.В. Основы теории бухгалтерского учета. М., 2000.

69. Соколов Я.В., Соколов В.Я. Международные стандарты бухгалтерского учета и мы. Проблемы учета и анализа. Сб.ст., посв. 100-летию со дня рожд. проф. П.И. Савичева. СПб, 2001, сс.135-146.

70.Угольницкий Г.А. Управление устойчивым развитием активных систем. -Ростов-на-Дону: изд-во ЮФУ, 2016. - 940 с.

71.Acemoglu, D. and Ozdaglar, A., Opinion dynamics and learning in social networks, Dynamic Games and Applications, 2011, vol. 1, pp. 3-49.

72.Acemoglu, D., Ozdaglar, A., and Tahbaz-Salehi, A., Networks, Shocks, and Systemic Risk, The Oxford Handbook of the Economics of Networks, Bramoulle, Y., Galeotti, A., and Rogers, B., Eds., Oxford: Oxford University Press, 2016.

73.Agieva, M.T. and Ougolnitsky, G.A., Regional sustainable management problems on networks, Proceedings of the International Scientific Conference

"Competitive, Sustainable and Secure Development of the Regional Economy: Response to Global Challenges " (CSSDRE 2018), Russkova, E., Ed., Advances in Economics, Business and Management Research (AEBMR), 2018, vol. 39, pp. 6-9, Atlantis Press.

74.Agieva, M. T., Korolev, A.V., and Ougolnitsky, G. A., Modeling and simulation of impact and control in social networks, Proceedings of the 1st International EURO Mini Conference Modeling and Simulation of Social-Behavioral Phenomena in Creative Societies'' (MSBC 2019), Vilnius, Lithuania, September 18-20, 2019, Springer, 2019, pp. 29-40.

75.Agieva M.T., Korolev A.V., Ougolnitsky G.A. Modeling and Simulation of Impact and Control in Social Networks with Application to Marketing // Mathematics, 2020, 8(9), 1529.

76. Agieva M.T., Korolev A.V., Ougolnitsky G.A. Game Theoretic Models of Sustainable Management in Marketing Networks. Contributions to game Theory and Management. ISDG12-GTM2019. Volume XIII. St. Petersburg State University. 2020. pp. 24-56.

77.Akerlof, G.A. and Kranton, R.E., Identity Economics: How Our Identities Shape Our Work,Wages, and Well-Being, Princeton: Princeton University Press, 2010.

78.Algorithmic Game Theory, Nisan, N., Roughgarden, T., Tardos, E., and Vazirani, V., Eds., Cambridge: Cambridge University Press, 2007.

79. Allouch, N., Aggregation in Networks, London: Queen Mary University, School of Economics and Finance, 2016.

http://webspace.qmul.ac.uk/nallouch/Modulardecomposition36.pdf

80. Alparslan-Gok, S.Z., Aydogan, T., Ergun, S., and Weber, G.-W., Performance analysis of a cooperative flow game algorithm in ad hoc networks and a comparison to Dijkstra's algorithm, J. of Industrial and Management Optimization, 2019, vol. 15(3), pp. 1085-1100.

81. Alparslan-Gok, S.Z., Defterli, O., Kropat, E., and Weber, G.-W., Modeling, inference and optimization of regulatory networks based on time series data, European Journal of Operational Research, 2011, vol. 211(1), pp. 1-14.

82. Alparslan-Gok, S.Z., Soyler, B., and Weber, G.-W., A new mathematical approach in environmental and life sciences: gene-environment networks and their dynamics, Environmental Modeling and Assessment, 2009, vol. 14(2), pp. 267-288.

83. Atik, F. and Panigrahi, P., Graphs with few distinct distance eigenvalues irrespective of the diameters, Electr. J. Lin. Alg., 2015, vol. 29, pp. 194-205.

84. Azariadis, C., Chen, B-L., Lu, C-H., and Wang, Y-C., A two-sector model of endogenous growth with leisure externalities, J. Econ. Theory, 2013, vol. 148, pp. 843-857.

85.Ballester, C., Calvo-Armengol, A., and Zenou, Y., Who's who in networks. Wanted: the key player, Econometrica, 2006, vol. 74, pp. 1403-1417.

86. Banerjee, A., Chandrasekhar, A., Duflo, E., and Jackson, M.O., Diffusion of microfinance, Science, 2013, vol. 341.

87. Banerjee, A., Chandrasekhar, A., Duflo, E., and Jackson, M.O., Gossip: Identifying central individuals in a social network. NBER Working Paper no. 20422, 2014.

88. Bartoneva, L.O, Basharin, S.A., Bychkov, M.Yu., Kalnin A.A., Korolev, A.V., Collective effects in networks of negatron elements, Technical physics, 1998 (May), vol. 43, no. 5, pp. 477-483.

89. Basar, T. and Olsder, G.J., Dynamic Noncooperative Game Theory, Academic Press, 1982.

90.Belen, S., Kropat, E., and Weber, G.-W., Dynamical gene-environment networks under ellipsoidal uncertainty: Set-theoretic regression analysis based on elipsoidal OR, Dynamics, Games and Science I (DYNA 2008), in honor of Mauricio Peixoto and David Rand, University of Minho, Braga, Portugal, September 8-12, 2008, pp. 545-571.

91. Benhabib, J., Perli, R.J., Uniqueness and indeterminacy: on the dynamics of endogenous growth, J. Econom. Theory, 1994, vol. 63, no. 1, pp. 113 - 142.

92.Berger, R.J., A necessary and sufficient conditions for reaching a consensus using De Groot's method, Journal of American Statistical Association, 1981, vol. 76, pp. 415-419.

93. Black, F. and Scholes, M., The pricing of options and corporate liabilities, Journ. of Political Economy, 1973, vol. 81, no. 3, pp. 637-659.

94. Bloch, F., Jackson, M.O., and Tebaldi, P., Centrality measures in networks, ArXiv: 1608.05845v3, 2017.

95.Bonacich, P., Factoring and weighting approaches to status scores and clique identification, J. of Math. Sociology, 1972, vol. 2, pp. 113-120.

96.Bonacich, P.B., Power and centrality: a family of measures, Am. J. Sociol., 1987, vol. 92, pp. 1170-1182.

97. Boucekkine, R., Camacho, C., and Zou, B., Bridging the gap between growth theory and the new economic geography: the spatial Ramsey model, Macroeconomic Dynamics, 2009, vol. 13, pp. 20-45.

98. Boucekkine, R., Camacho, C., and Fabbri, G., Spatial dynamics and convergence: The spatial AK model, Working Papers. Department of Economics. University of Glasgow, 2010, March 16, pp. 1-11.

99.Bramoulle, Y. and Kranton, R., Public goods in networks, Journal of Economic Theory, 2007, vol. 135, pp. 478-494.

100. Brito, P.B., The dynamics of growth and distribution in a spatially heterogeneous world, ISEG, 2004.

101. Brito, P.B., Global endogenous growth and distributional dynamics. Preliminary draft. ISEG. Technical University of Lisbon and UECE, 2011, November.

102. Broder, A., Kumar, R., Maghoul, F., Raghavan, P., Rajagopalan, S., Stata, R., Tomkins, A., and Wiener, J., Graph structure in the web, Computer Networks, 2000, vol. 33, nos. 1-6, pp. 309-320.

103. Brouwer, A.E. and Haemers, W.H., Spectra of graphs, New York: Springer, 2012.

104. Bulow, J., Geanakoplos, J., and Klemperer, P., Multimarket oligopoly: strategic substitutes and complements, J. Polit. Econ., 1985, vol. 93, no. 3, pp. 488-511.

105. Buttle, F.A. Word-of-Mouth: Understanding and Managing Referral Marketing, J. of Strategic Marketing, 1998, vol. 6, pp. 241-254.

106. Chatterjee, S., Seneta, E. Toward Consensus: Some Convergence Theorems on Repeated Averaging, Journal of Applied Probability, 1977, vol. 14, pp. 159-164.

107. Chicarini, L., and Asherie, N., An analytical model for the formation of economic clusters, Regional Science & Urban Economics, 2008, vol. 38, pp. 252-270.

108. Chkhartishvili, A., Gubanov, D., and Novikov, D., Social Networks: Models of Information Influence, Control, and Confrontation, Springer Publishers, 2019.

109. Chwe, M.S., Communication and coordination in social networks, Review of Economic Studies, 2000, vol. 67, pp. 1-16.

110. Collins, R.F. and Gbur, E.E., Quadratic utility and linear mean-variance: A pedagogic note, Review of Agricultural Economics, 1991, vol. 13, no. 2, pp. 289291.

111. Copeland, T., Koller, T., and Murrin, J., Valuation: Measuring and Managing the Value of Companies, 2nd ed., Frontiers in Finance Series, Wiley, 1995.

112. Crownover, R.M., Introduction to Fractals and Chaos, 1st ed., Jones and Bartlett Pub., 1995.

113. Davis, S.-J. and Caldeira, K., Consumption-based accounting of CO2 emissions, Proceedings of National Academy of Sciences of the USA, 2010, vol 107, no. 12, pp. 5687-5692.

114. De Groot, M.H., Reaching a consensus, Journal of American Statistical Association, 1974, vol. 69, pp. 118-121.

115. De Marzo, P., Vayanos, D., and Zwiebel, J., Persuasion bias, social influence and unidimensional opinions, Quarterly Journal of Economics, 2003, vol. 118, no. 3, pp. 909-968.

116. Desmet, K., Rossi-Hansberg, E., Innovation in space, American Economic Review : Papers & Proceedings, 2012, vol. 102, no. 3, pp. 447-452.

117. Dixit, A.K., and Pindyck, R.S., Investment under Uncertainty, Princeton, 1993.

118. Dockner, E., Jorgensen, S., Long, N.V., and Sorger, G., Differential Games in Economics and Management Science, Cambridge University Press, 2000.

119. Estrada, E., The Structure of Complex Networks: Theory and Applications, Oxford: Oxford University Press, 2011.

120. Ferraro, G., Iovanella, A., and Pratesi, G., On the influence of nodes' characteristic in interorganizational innovation network structure, Int. J. Computational Economics and Econometrics, 2016, vol. 6, no. 3, pp. 239-257.

121. French, J.R. A formal theory of social power, The Psychological Review, 1956, 63, 181-194.

122. Galeotti, A., Goyal, S., Jackson, M.O., Vega-Redondo, F., and Yariv, L., Network games, Review of Economic Studies, 2010, vol. 77, pp. 218-244.

123. Garmash, M.V. and Kaneva, X.A., Game equilibria and transition dynamics in complete networks and in a triangle with heterogeneous agents, Automation and Remote Control, 2020, vol. 81, no. 6, pp. 1149-1165.

124. Garmash, M.V., Utkina, A.A., and Korolev, A.V., Networks structure, equilibria, and adjustment dynamics in network games with nonhomogeneous Players, in Contributions to Game Theory and Management, Petrosyan, L.A. and Zenkevich, N.A., Eds., St. Petersburg: Graduate School of Management, St. Petersburg University, 2019, vol. 12, pp. 128-139.

125. Godes, D. and Mayzlin, D., Using online conversations to study word of mouth communication, Marketing Science, 2004, vol. 23, pp. 545-560.

126. Goldenberg, J., Libai, B., and Muller, E., Talk of the network: A complex systems look at the underlying process of word-of-mouth, Marketing Letters, 2001, vol. 2, pp. 11-34.

127. Golub, B. and Jackson, M., Naive learning in social networks and the wisdom of crowds, American Economic Journal: Microeconomics, 2010, vol. 2, no. 1, pp. 112-149.

128. Gorelov, M.A. and Kononenko, A.F., Dynamic models of conflicts. III. Hierarchical games, Automation and Remote Control, 2015, vol. 76, no. 2, pp. 264-277.

129. Goyal, S., Connections: An Introduction to the Economics of Networks, Princeton: Princeton University Press, 2009.

130. Graham, J. and Harvey, C., How do CFOs make capital budgeting and capital structure decisions?, Journ. of Applied Corporate Finance, 2002, vol. 15, no. 1, pp. 8-23.

131. Granovetter, M.S., The strength of weak ties, American Journal of Sociology, 1973, vol. 78, pp. 1360-1380.

132. Guckenheimer, J. and Holmes, P., Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, New York: Springer, 1983.

133. Hamilton, J.D., A new approach to the economic analysis of nonstationary time series and the business cycle, Econometrica, 1989, vol. 57, pp. 357-384.

134. Harary, F., A criterion for unanimity in French's theory of social power, in Studies in Social Power, Michigan: Institute of Sociological Research, 1959, pp. 168-182.

135. Harrison, A.E., Has globalization eroded labor's share? Some crosscountry evidence, Mimeo, 2002.

136. Hawksworth, J., The World in 2050. Implications of global growth for carbon emissions and climate change policy, PricewaterhouseCoopers, 2006.

137. Hegselman, R. and Krause, U., Opinion dynamics and bounded confidence models: Analysis and simulation, Journal of Artificial Societies and Social Simulation, 2002, vol. 5, no. 3.

138. Howard, A. and Jebara, T., Dynamical systems trees, Proceedings of the 12th Conference on Uncertainty in Artificial Intelligence (UAI2004), Banff, Canada, 2003, pp, 260-267.

139. Jackson, M.O., Social and Economic Networks, Princeton: Princeton University Press, 2008.

140. Jackson, M.O., The friendship paradox and systematic biases in perceptions and social norms, ArXiv: 1605.04470, 2017.

141. Jackson, M.O., A typology of social capital and associated network measures, https://arxiv.org/abs/1711.09504, 2018

142. Jackson, M. and Wolinsky, A., A strategic model of social and economic networks, J. Economic Theory, 1996, vol. 71, no. 1, pp. 44-74.

143. Jackson, M.O. and Zenou, Y., Games on networks, in Handbook of Game Theory, Young, P. and Zamir, S., Eds., Amsterdam: Elsevier Science, 2014, pp. 95-164.

144. Jackson, M.O. and Zenou, Y., Games on networks, in Handbook of Game Theory, Young, P. and Zamir, S., Eds., 2015, vol. 4, Elsevier Science, Amsterdam.

145. Jorgensen, S. and Zaccour, G., Differential Games in Marketing, Kluwer Academic Publishers, 2004.

146. Jorgensen, S. and Zaccour, G., A Survey of game-theoretic models of cooperative advertising, European J. of Operations Research, 2014, vol. 237, no. 1, pp. 1-14.

147. Katz, L., A new status index derived from sociometric index, Psychometrika, 1953, vol. 18, no. 1, pp. 39-43.

148. Korolev, A.V., Adjustment dynamics in network games with stochastic parameters, in Frontiers of Dynamic Games. Static & Dynamic Game Theory: Foundations & Applications, Petrosyan, L.A., Mazalov, V.V., and Zenkevich, N.A., Eds., Cham: Birkhauser, 2020, pp. 65-85.

149. Korolev, A.V. Regular networks unification in games with stochastic parameters // Frontiers of Dynamic Games. Game Theory and Management, St. Petersburg, 2021 (Submitted).

150. Korolev, A.V. and Garmashov, I.A., Game equilibria and transition dynamics with networks unification, in Optimization of Complex Systems: Theory, Models, Algorithms and Applications, Switzerland: Springer Publishing Company, 2020, pp. 398-406.

151. Korolev, A.V. and Matveenko, V.D., Structure of equilibrium time varying trajectories in the Lucas endogenous growth model, Automation and Remote Control, 2006, vol. 67, no. 4, pp. 624-633.

152. Korolev, A. and Ougolnitsky, G., Optimal resource allocation in the difference and differential Stackelberg games on marketing networks, Journal of Dynamics and Games, American Institute of Mathematical Sciences, 2020, vol. 7, no. 2, pp. 141-162.

153. Krause, U., A discrete nonlinear and non-autonomous model of consensus formation, in Communications in Difference Equations, Amsterdam: Gordon and Breach Publishers, 2000, pp. 227-236.

154. Kropat, E., Meyer-Nieberg, S., and Weber, G.-W., Singularly perturbed diffusion-advection-reaction processes on extremely large three-dimensional curvilinear networks with a periodic microstructure: Efficient solution strategies based on homogenization theory, Numerical Algebra, 2016, vol. 6, no. 2, pp. 183-219.

155. Kropat, E., Meyer-Nieberg, S., and Weber, G.-W., Bridging the gap between variational homogenization results and two-scale asymptotic averaging techniques on periodic network structures, Numerical Algebra, 2017, vol. 7, no. 3, pp. 223-250.

156. Kropat, E., Ozmen, A., and Weber, G.-W., Robust optimization in spline regression models for multi-model regulatory networks under polyhedral uncertainty, Optimization, 2017, vol. 66, no. 12, pp. 2135-2155.

157. Kropat, E., Weber, G.-W., and Akteke-Ozturk, B., Eco-finance networks under uncertainty, Proceedings of the International Conference on Engineering Optimization, Herskovits, J., Canelas, A., Cortes, H., and Aroztegui, M., Eds., Rio de Janeiro, Brazil, 2008.

158. Kurz, H.D. and Salvadori, N., Theories of 'endogenous' growth in historical perspective. Contemporary economic issues, Proceedings of the 11th World Congress of the International Economic Association, Tunisia, 1999, vol. 4 (Economic behaviour and design), Sertel, M.R., Ed., International Economic Association, pp. 223-261.

159. Kurz, H.D. and Salvadori, N., The dynamic Leontief model and the theory of endogenous growth, Economic Systems Research, 2000, vol. 12, no. 2, pp. 255-265.

160. König, M., Tessone, C., and Zenou, Y., Nestedness in networks: A theoretical model and some applications, Theoretical Economics, 2014, vol. 9, no. 3, pp. 695-752.

161. Laffont J.-J. (2000). Incentives and political economy. Oxford: Oxford University Press.

162. Lamperti, J., Stochastic Processes, Springer-Verlag, 1977.

163. Leontief, W., Input-output analysis, in The New Palgrave Dictionary of Economics, Eatwell, J., Milgate, M., and Newman, P., Eds., vol. 2, pp. 860-864, London: Macmillan, 1987.

164. Liu, Y.J., Zeng, C.M., and Luo, Y.Q., Dynamics of a new rumor propagation model with the spread of truth, Applied Mathematics, 2018, vol. 9, pp. 536-549.

165. Lorenz, J., A stabilization theorem for dynamics of continuous opinions, Physica A, 2005, vol. 355, pp. 217-223.

166. Lucas R.E. On the mechanics of economic development, J. Monetary Econom. 1988. vol. 22, no. 1, pp. 3 - 42.

167. Lucas, R.E., Making a miracle, Econometrica. 1993. vol. 61, no. 2, pp. 251 - 272.

168. Martemyanov, Y.P. and Matveenko, V.D., On the dependence of the growth rate on the elasticity of substitution in a network, International Journal of Process Management and Benchmarking, 2014, vol. 4, no. 4, pp. 475-492.

169. Masuda, N., Kawamura, Y., and Kori, H., Analysis of relative influence of nodes in directed networks, Physical Review, 2009, E80, 046114.

170. Matveenko, V.D., Garmash, M.V., and Korolev, A.V., Game equilibria and transition dynamics in networks with heterogeneous agents, in Frontiers of Dynamic Games. Static & Dynamic Game Theory: Foundations & Applications, Petrosyan, L.A., Mazalov, V.V., and Zenkevich, N.A., Eds., Cham: Birkhauser, 2018, pp. 165-188.

171. Matveenko, V., Garmash, M., and Korolev, A.V., Game equilibria and transition dynamics in triregular networks, in Contributions to Game Theory and Management, Petrosyan, L.A. and Zenkevich, N.A., Eds., St. Petersburg: Graduate School of Management, St. Petersburg University, 2018, vol. 11,

pp. 113-128.

172. Matveenko, V.D., Garmash, M.V., and Korolev, A.V., Variational inequalities, Nash equilibrium problems and applications: Unification dynamics in networks, in Frontiers of Dynamic Games, Game Theory and Management, St. Petersburg, 2018, Birkhäuser, 2019, pp. 157-174.

173. Matveenko, V.D. and Korolev, A.V., Mechanisms of environmental incentive regulation: Why ecological policies in transition and developing economies are not effective? Game Theory and Management. Abstracts, Petrosyan, L.A. and Zenkevich, N.A., Eds., St. Petersburg: Graduate School of Management, St. Petersburg University, 2011, pp. 154-156.

174. Matveenko, V.D. and Korolev, A.V., Network game with production and knowledge externalities, in Contributions to Game Theory and Management, Petrosyan, L.A. and Zenkevich, N.A., Eds., St. Petersburg: Graduate School of Management, St. Petersburg University, 2015, vol. 8, pp. 199-222.

175. Matveenko, V.D. and Korolev, A.V., Equilibria in networks with production and knowledge externalities, in Models, Algorithms and Technologies

for Network Analysis, Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, Kalyagin, V.A., Koldanov, P.A., and Pardalos., P.M., vol. 156, Switzerland: Springer, 2016, pp. 291-331.

176. Matveenko, V. and Korolev, A., Knowledge externalities and production in network: game equilibria, types of nodes, network formation, International Journal of Computational Economics & Econometrics, 2017, vol. 7, no. 4, pp. 323-358.

177. Matveenko, V.D. and Korolev, A.V., Network analysis based on a typology of nodes, Proceedings of the 4th Russian-Finnish Symposium on Discrete Mathematics (RuFiDiM 2017), vol. 22, University of Turku, 2017, pp. 119-135.

178. Matveenko, V.D. and Korolev, A.V., Equilibrium in a network game with production and knowledge externalities, Automation and Remote Control, 2018, vol. 79, no. 7, pp. 1342-1360.

179. Matveenko, V.D. and Korolev, A.V., Types of nodes and centrality measures in networks, in Game Theory for Networking Applications, Springer, 2019, pp. 3-14.

180. Matveenko, V. and Korolev, A.V., Typology of networks and equilibria in a network game with production and knowledge externalities, Automation and Remote Control, 2019, vol. 80, no. 3, pp. 556-575.

181. Matveenko, V.D., Korolev, A.V., and Zhdanova, M.O., Game equilibria and unification dynamics in networks with heterogeneous agents, International Journal of Engineering Business Management, 2017, vol. 9, pp. 1-17.

182. Mazalov, V.V., Mathematical Game Theory and Applications, Wiley, 2014.

183. Mazalov, V. and Chirkova J., Networking Games: Network Forming Games and Games on Networks, Elsevier, 2019.

184. Mazalov, V.V. and Rettieva, A.N., Fish wars with many players, International Game Theory Review, 2010, vol. 12, no. 4, pp. 385-405.

185. Milgrom, P. and Roberts, J., The economics of modern manufacturing: technology, strategy, and organisation, Am. Econ. Rev., 1990, vol. 80, pp. 511518.

186. Milgrom, P. and Roberts, J., Complementarities and systems: understanding Japanese economic organisation, Estud. Econ., 1994, vol. 9, pp. 342.

187. Mulligan, C.B. and Sala-i-Martin, X., Transitional dynamics in two-sector models of endogenous growth, Quarterly J. Econom, 1993, vol. 108, pp. 736774.

188. Myers, St., Determinants of corporate borrowing, Journ. of Financial Economics, 1997, no. 5, pp. 147-175.

189. Newman, M., The structure and function of complex networks, SIAM Review, 2003, vol. 45, no. 2, pp. 167-256.

190. Nisan, N., Roughgarden, T., Tardos, E., and Vazirani, V., Algorithmic Game Theory, Cambridge: Cambridge University Press, 2007.

191. Novikov, D.A., Games and networks, Automation and Remote Control, 2014, vol. 75, no. 6, pp. 1145-1154.

192. Oliver, N., Rosario, B., and Pentland, A., Graphical models for recognizing human interactions, in Advances in Neural Information Processing Systems, 1998, vol. 11, pp. 924-930.

193. Ougolnitsky, G., Sustainable Management, New York: Nova Science Publishers, 2011.

194. Ougolnitsky, G., Game theoretic formalization of the concept of sustainable development in the hierarchical control systems, Annals of Operations Research, 2014, vol. 220, no. 1, pp. 69-86.

195. Papadimitriou, C.H., Algorithms, games, and the Internet, Proceedings of the 33th Symposium on the Theory of Computing, 2001, pp. 749-753.

196. Park, J. and Barabasi, A.-L., Distribution of node characteristics in complex networks, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 2007, vol. 104(46), pp. 1791617920.

197. Petrosyan, L.A. and Zenkevich, N.A., Game Theory, 2nd ed., World Scientific, 2016.

198. Roberts, F., Discrete Mathematical Models with Applications to Social, Biological, and Environmental Problems, Pearson, 1976.

199. Robins, G., Pattison, P., and Elliot, P., Network models for social influence processes, Psychometrica, 2001, vol. 66, no. 2, pp. 161-190.

200. Romer, P.M., Increasing returns and long-run growth, The Journal of Political Economy, 1986, vol. 94, pp. 1002-1037.

201. Romer, P.M., Growth based on increasing returns due to specialisation. American Economic Review, 1987, vol. 77, no. 5, pp. 56-62.

202. Romer, P.M., Endogenous technological change, Journal of Political Economy, 1990, vol. 98, no. 10, part II, S71-S102.

203. Romer, P.M., Idea gaps and object gaps in economic development, Journal of Monetary Economics, 1993, vol. 32, no. 12, pp. 543-573.

204. Rossi-Hansberg, E., A spatial theory of trade, American Economic Review, 2005, vol. 95, no. 5, pp. 1464 - 1491.

205. Saul, L.K. and Jordan, M.I., Mixed memory Markov models: Decomposing complex stochastic processes as mixtures of simpler ones, Machine Learning, 1999, vol. 37, no. 1, pp. 75-87.

206. Savku, E. and Weber, G.-W., A stochastic maximum principle for a Markov regime-switching jump-diffusion model with delay and an application to finance, Journal of Optimization Theory and Applications, 2018, vol. 179, no. 2, pp. 696-721.

207. Sedakov, A., Network formation in competition model, in Contributions to Game Theory and Management, Petrosyan, L.A. and Zenkevich, N.A., Eds., St. Petersburg: Graduate School of Management, St. Petersburg University, 2012, vol. 5, pp. 286-292.

208. Sedakov, A., Characteristic functions in a linear oligopoly TU game, in Frontiers of Dynamic Games. Static & Dynamic Game Theory: Foundations &

Applications, Petrosyan, L., Mazalov, V., and Zenkevich, N., Eds., Cham: Birkhauser, 2018, pp. 219-235.

209. Sedakov, A., Characteristic function and time consistency for two-stage games with network externalities, Mathematics, 2020, vol. 8, no. 1, p. 38.

210. Sedakov, A. and Qiao, H., Strong time-consistent core for a class of linearstate games, Journal of Systems Science and Complexity, 2020, no. 4.

211. Sedakov, A. and Zhen, M., Opinion dynamics game in a social network with two influence nodes, Vestnik SPb. Gos. Univ. Ser. Appl. Math. Inform. Sci. Contr, 2019, vol. 15, no. 1, pp. 118-125.

212. Sraffa, P., Production of Commodities by Means of Commodities. Prelude to a Critique of Economic Theory, Cambridge: Cambridge University Press, 1960.

213. Sraffa, P., Production of commodities by means of commodities: A comment, Economic Journal, 1962, vol. 72, pp. 477-479.

214. Sukhinov, A.I., Ougolnitsky, G.A., and Usov, A.B., Methods of Solving the Theoretic Game Models for Coordinating Interests in Regulating the Fishery Industry, Mathematical Models and Computer Simulations, 2020, vol. 12, no. 2, pp. 176-184.

215. Timmermann, A., Moments of Markov switching models, Journal of Econometrics, 2000, vol. 96, pp. 75-111.

216. Topkis, D.M., Supermodularity and Complementarity, Princeton: Princeton University Press, 1998.

217. Ugol'nitskii, G.A. and Usov, A.B., A study of differential models for hierarchical control systems via their discretization, Automation and Remote Control, 2013, vol. 74, no. 2, pp. 252-263.

218. Ugol'nitskii, G.A. and Usov, A.B., Equilibria in models of hierarchically organized dynamic systems with regard to sustainable development conditions, Automation and Remote Control, 2014, vol. 75, no. 6, pp. 1055-1068.

219. Uzawa, H., Optimum technical change in an aggregative model of economic growth, International Economic Review, 1965, no. 6, pp. 18-31.

220. Van Horne, J. and Wachowicz, J.M., Fundamentals of Financial Management, Pearson Education Limited, 2010.

221. Watts, D., The "new" science of networks, Annual Review of Sociology, 2004, vol. 30, pp. 243-270.

222. Xie, D., Divergence in economic performance: transitional dynamics with multiple equilibria, J. Econom. Theory, 1994, vol. 63, no. 1, pp. 97 - 112.

223. Zhang, W.-B., Synergetic Economics. Time and Change in Nonlinear Economics, Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 1991.

224. Zhang, D., Gatica-Perez, D., Bengio, S., and Roy, D., Learning Influence among Interactive Markov Chains, in Advances in Neural Information Processing Systems, 2005, pp. 132-141.

225. Zhen, M., Stackelberg equilibrium in opinion dynamics game in social network with two influence nodes, in Contributions to Game Theory and Management, Petrosyan, L.A. and Zenkevich, N.A., Eds., St. Petersburg: Graduate School of Management, St. Petersburg University, 2019, vol. 12, pp. 366-386.

NATIONAL RESEARCH UNIVERSITY HIGHER SCHOOL OF ECONOMICS

Printed as manuscript

ALEXEI V. KOROLEV

MATHEMATICAL MODELS OF CONTROL FOR ECONOMIC SYSTEMS WITH A NETWORK STRUCTURE

Scientific speciality: 01.01.09 - Discrete Mathematics and Mathematical

Cybernetics

Doctoral Dissertation in Physics and Mathematics Translation from Russian

Academic adviser: Doctor of Sciences (Physics and Mathematics),

Professor G.A. Ougolnitsky

St. Petersburg 2021

Contents

Introduction...............................................................................4

Chapter 1. Mathematical Models of Control for Economic Systems.........28

1.1. Mathematical models of control for economic systems and

methods to study them....................................................................28

1.2. Typology of networks and centrality measures for networks..................34

1.3. Existence conditions for centrality measures.....................................47

1.4. Relation between typology and centrality........................................51

1.5. Classes of networks with coinciding orders induced by

different centrality measures.............................................................54

1.6. Incentive mechanisms for environmentally motivated regulation.............60

1.7. Analysis models for interactions in economic systems..........................89

Chapter 2. Game-Theoretic Models on Networks with Production and Externalities.............................................................................157

2.1. Description of model................................................................ 159

2.2. Agent's behavior in equilibrium.................................................. 168

2.3. Comparative statics.................................................................181

2.4. Typology of networks and equilibria in network game....................... 197

Chapter 3. Dynamics in Networks with Production and Externalities.....227

3.1. Transition dynamics in networks with heterogeneous agents

(the case of discrete time)..............................................................227

3.2. Transition dynamics in regular networks with heterogeneous agents

(the case of continuous time)..........................................................254

3.3. Game equilibria and transition dynamics in triregular networks............275

3.4. Adjustment dynamics in network game with stochastic parameters.........289

Chapter 4. Game-Theoretic Models of Opinions Control on Networks .... 320

4.1. Static games of opinions control on networks..................................323

4.2. Dynamic games of opinions control on networks with equal players

(the case of discrete time)..............................................................330

4.3. Dynamic games of opinions control on networks with equal players

(the case of continuous time)...........................................................348

4.4. Hierarchical dynamic games of opinions control on networks

(the case of discrete time)..............................................................364

4.5. Hierarchical dynamic games of opinions control on networks

(the case of continuous time)...........................................................391

Chapter 5. Game-Theoretic Models of Opinions Control on Networks with State-Space Constraints...............................................................410

5.1. Approach to Solution...............................................................411

5.2. Hierarchical difference game with constraint on the sum of state variables. The case of right-hand stochastic influence matrix..................................414

5.3. Hierarchical difference game with constraint on the sum of state variables. The case of left-hand stochastic influence matrix.....................................433

5.4. Hierarchical differential game with constraint on the sum of state variables. The case of right-hand stochastic influence matrix...................................438

5.5. Hierarchical differential game with constraint on the sum of state variables. The case of left-hand stochastic influence matrix.....................................451

Conclusions References .

456 458

Introduction

Topicality of research

This dissertation is devoted to the design and analysis of mathematical models of the economy with a network structure by the methods of discrete mathematics and mathematical cybernetics. The main mathematical apparatus used is dynamic network games.

In recent decades, social networks analysis, network economics, and network games have been actively developed. Numerous theoretical results in these fields of research began to be widely used in the analysis of real-life networks, such as the Internet, relations between people in collectives and settlements, international relations, etc. However, so far in the literature, insufficient attention has been paid to networks with production. In the author's model, agents are located in the nodes of an arbitrary-type network. In the first period, each agent obtains some income, which is distributed between his investments in knowledge and consumption. In the second period, the consumption of each agent is determined by production, which depends both on his own investments and on the investments made by his nearest neighbors in the network. The utility of each agent is determined by his consumption in both periods.

The theory of network games is based on the assumption that the payoff of any player depends on the structure of interactions of all players. Such a structure is described by a directed or undirected graph, in which each player is identified with one of the vertices, and each arc determines the nature of influence (interaction) for the players it connects.

Along with the models of influence, the models of control in social groups with a given structure of interactions are of even greater interest. In turn, here it is natural to discriminate between the models of optimal control (a single influence agent) and the models of conflict control (several influence agents with different interests). The mathematical formalization of the models of the second group leads to game-theoretic problems on networks. In accordance with the theory of sustainable management of active systems, the state vector of a controlled dynamic system needs to belong to a

certain domain, specified by the homeostasis conditions for this system. If the homeostasis requirements are satisfied and, in addition, the interests of all active agents are taken into account and coordinated, then the system has sustainable development.

The framework of network games can be used to construct a mathematical model and find a solution for a number of applications-relevant game-theoretic problems, e.g., finding the optimal behavior of players in a network or finding a configuration that will meet a certain criterion.

In network games, the behavior of players in equilibrium is determined by their positions in the network, which are described by one or another centrality measure. However, different centrality measures are significant for different models. The diversity of centrality measures, which are of great importance in particular situations, naturally raises the question regarding the very concept of centrality. Which centrality measures induce the same order on the node set of a given network? When can network links be transplanted between different networks with the same typology? In which cases can further analysis be restricted to the centrality measure of a given node, regardless of its particular links?

In this dissertation, the object of research is dynamic active systems with a network structure, and the subject of research is the models of such social or economic systems based on discrete mathematics and mathematical cybernetics. The goals of research

This dissertation aims at developing the theory of network games, operations research, and the mathematical theory of optimal control, as well as at solving dynamic network games and interpreting their solutions in terms of organizational and economic mechanisms.

The primary tasks of research

1. Refining the existence conditions for some centrality measures. Defining the concept of a type adjacency matrix. Studying the relationship between typology and centrality measures: which centrality measures coincide for the nodes of the same typology; in which cases, the type adjacency matrix can be used instead of the classical

(node) adjacency matrix to calculate centrality measures. Identifying the centrality measures that induce the same order on the set of nodes.

2. Comparative analysis of the mechanisms of environmentally motivated regulation in industrialized and developing countries. The study of the possibility of successful export to an arbitrary transition or developing economy of institutions that have proven to be effective in a particular industrialized country.

3. Construction of a model for estimating the" fair price " of a firm's purchase and sale and optimal investment rules for both parties using the method of real options, software implementation of the analytical-numerical method of Yu. A. Bychkov and its application to the system of integro-differential equations with aftereffect in the Lotka-Volterra model.

4. Testing the hypotheses of the Lucas endogenous growth models: a) that any equilibrium trajectory with lower initial levels of physical and human capital will be dominated by any equilibrium trajectory with higher initial levels of capital; b) that for any equal trajectory, the corresponding trajectory with phase variables with a moderate trend converges to a certain stationary point. From this it would follow that for any equilibrium trajectory, its control converges to a certain constant control common to all equilibrium trajectories.

5. Transfer of the theory of endogenous growth with human capital to the models of spatial economy. Comparison of results on a straight line and a circle.

6. Constructing the model of network games with production and knowledge externalities, with homogeneous and heterogeneous agents. Studying the degree of agents' interest in linking their networks by comparative statics methods. Studying the connection of equilibria with the typology of networks, the possibility of transplanting equilibria between networks of the same typology. Studying the stability of equilibria and transition (adjustment) dynamics between stable equilibria in discrete and continuous time. Considering networks with stochastic parameters and adjustment dynamics in stochastic networks. Analyzing in quantitative terms the solutions of a system of stochastic differential equations of the adjustment dynamics in a stochastic network.

7. Finding analytical solutions of differential and difference opinions control games, on the example of marketing networks with budget constraints in the form of equalities and inequalities. Comparing the independent and cooperative behaviors of players with one another.

8. Finding analytical solutions for differential and difference game-theoretic Stackelberg models of opinions control on marketing networks with and without the homeostasis conditions. Identifying the degree of compatibility of interests pursued by the Principal and influence agents in all cases.

The current level of scrutiny in the literature

In recent decades, such fields of research as the analysis of social networks, the economics of networks, and games on networks have developed rapidly; for example, see [Bramoullé, Kranton, 2007], [Galeotti et al., 2010], and [Martemyanov, Matveenko, 2014]. Numerous theoretical results in these fields began to be widely used in the analysis of real-life networks, such as the Internet, relations between people in collectives and settlements, relations between countries, etc. However, so far in the literature, insufficient attention has been paid to networks with production. The authors [Matveenko, Korolev, 2015] proposed a model with production and knowledge externalities on two-period networks, which generalizes the original model [Romer, 1986], where a special case of a complete network was considered.

In different models, different centrality measures are significant: for example, power centrality, in the model of systematic biases in perceptions and social norms [Jackson, 2017]; betweenness centrality, in [Jackson, 2008]; eigenvector centrality, in the model of information aggregation by society [Golub, Jackson, 2010]; the Katz-Bonacich centrality, in the model of criminal behavior [Ballester et al., 2006]; diffusion centrality, in the diffusion of microfinance in networks [Banerjee et al., 2013]; a special case of a -centrality (the so-called ay -centrality), in the model with production and knowledge externalities [Matveenko, Korolev, 2016, 2017a, 2017b]. The diversity of centrality measures, which are of great importance in particular situations, naturally raises the question regarding the very concept of centrality. There is an extensive literature on the connection of different centrality measures and their relation to other

structural characteristics of a network; for example, see [Bloch et al., 2017], [Jackson, 2017], and [König et al., 2014].

The basic model of influence in a social group was first considered in [French, 1956], [Harary, 1959] and then examined in detail in [De Groot, 1974]. The model describes the dynamics of the opinions of agents (network nodes) depending on their mutual influence (the weights of network arcs).

Subsequently, numerous generalizations and refinements of this model were suggested: the case of time-varying mutual influence, the convergence of opinions, the rate of convergence, the uniqueness of the final opinion, etc.; see [De Marzo et al., 2003], [Golub, Jackson, 2010], [Hegselman, Krause, 2002], [Krause, 2000], [Berger, 1981], and [Chatterjee, Seneta, 1971]. One of the most comprehensive monographs on network modeling is [Jackson, 2008]; also, note the important papers [Acemoglu, Ozdaglar, 2011] and [Jackson, Wolinsky, 1996]. In addition, there exist other approaches to network modeling and simulation, which were overviewed in [Alparslan-Gok et al., 2011] and [Alparslan-Gok et al., 2009].

Along with the models of influence, there are the models of opinions control in social networks [Chkhartishvili et al., 2019]. In this case, one or more influence agents (also called opinion leaders) affect the opinions of the basic agents of a given network in their own interests. In the publications closest to this dissertation, [Sedakov, Zhen, 2019] and [Zhen, 2019], linear-quadratic game-theoretic models on networks with two influence nodes were constructed and investigated. In [Sedakov, Zhen, 2019], the Nash equilibrium was found for two independent nodes; in [Zhen, 2019], the Stackelberg equilibrium for hierarchically ordered nodes. The paper [Sedakov, 2012] was devoted to the application of network games in the competition model, and the papers [Sedakov, 2018, 2020] to the use of characteristic functions in dynamic network games.

The application of network models to the analysis of political processes was described in the monograph [Aleskerov et al., 2007]. Communication and coordination issues in social networks were studied in [Chwe, 2000]. The papers [Buttle, 1998], [Godes, Mayzlin, 2004], and [Goldenberg et al., 2001] were devoted to modeling of the word-of-mouth processes. Communication and coordination in social networks were

considered in [Masuda, 2009] as well. The relative influence of network nodes was examined in [Masuda et al., 2009]. A systems approach was employed to analyze networks in [Newman, 2003]. In addition, social influence models were described in [Robins et al., 2001] and [Watts, 2004].

The paper [Agieva et al., 2019] presented an approach to mathematical modeling of opinions control in social networks, with applications to marketing. The main idea of this approach is as follows. As was proved in [Roberts, 1976], the stable final opinions of all agents in a given network (target audience in terms of marketing) are determined exclusively by the initial opinions of the members of its strong subgroups (opinion leaders), i.e., the strong components of the network included in the node base of its condensation. Therefore, the first stage of network analysis is to segment the network into strong subgroups and satellites [Chkhartishvili at al., 2019], as well as to calculate additional quantitative characteristics of the members of strong subgroups. In the second stage, the problems of optimal control and conflict (game-theoretic) control are solved. At the same time, control impacts (marketing actions) are applied only to the members of strong subgroups, which significantly reduces control costs without decreasing the efficiency of control.

A detailed treatment of influence models and some formulations of control models on networks were presented in the survey and monograph [Gubanov et al., 2009, 2010], including a comprehensive review and analysis of control models in social groups with a given structure of interaction. The mathematical formalization of conflict control models leads to games on networks; see [Novikov, 2014] and [Jackson, Zenou, 2014]. The monograph [Jorgensen, Zaccour, 2004] and the survey [Jorgensen, Zaccour, 2014] were devoted to differential game-based marketing models.

The theory of Stackelberg games was described, for example, in [Basar, Olsder, 1982] and [Dockner et al., 2000]. Some examples of applications were given in [Mazalov, Rettieva, 2010]. An original approach to solving Stackelberg games was proposed in [Gorelov, Kononenko, 2015]. This approach was modified to the case of several agents in [Ugol'nitskii, Usov, 2013, 2014]. In this case, the optimal response of agents is understood as the Nash equilibrium of their normal-form game.

The theory of sustainable management of active systems was elaborated and fundamentally presented in the monograph [Ougolnitsky, 2016]. According to this theory, an active system has sustainable development if its state vector is in a certain domain determined by the homeostasis conditions and, in addition, if the interests of all active agents are taken into account and coordinated.

A key problem of hierarchical systems is to coordinate the interests of different levels of control. The most common statement of this problem is to compare the socially optimal outcome of the game with the outcome in the case of selfish behavior of all players (the problem of ineffective equilibria) [Algorithmic Game Theory, 2007]. The inefficiency of equilibria is measured in quantitative terms using the price of anarchy [Papadimitriou, 2001]. The price of anarchy is a fraction in which the numerator is the total payoff of all players in the worst Nash equilibrium, and the denominator is the maximum possible value of the total payoff achieved under complete cooperation of all players.

The scientific novelty of research

1. The invariants of the typology of the network nodes have been identified. In addition to the a[5 -centrality introduced by Bonacich [Bonacich, 1987], as a special case of a -centrality, the ay -centrality introduced by Matveenko and Korolev [Matveenko and Korolev, 2016, 2017a, 2017b] has been considered. The conditions for the existence of various centrality measures have been studied. The type adjacency matrix has been introduced and then used instead of the classical adjacency matrix to calculate centrality measures. New results on the classes of networks for which the orders induced by different centrality measures will coincide have been obtained.

2. It is shown that under the conditions that seem typical for developing and transition economies ("dirty" firms are relatively efficient, and their share in the economy is high), we should expect the emergence of a unifying (i.e., non-market) mechanism to a greater extent.

3. The formula for the fair purchase and sale price of the company is derived.

4. None of the models [Boucekkine et al., 2009], [Brito, 2004, 2011] considered human capital. This dissertation attempts to fill this gap and consider a model with

physical and human capital distributed in space, while a straight line and a circle are used as a model of the spatial structure. As in the models [Uzawa, 1965] and [Lucas, 1988], the time of a representative individual is divided between the time spent on working in material production and the time spent on accumulating human capital.

5. The model of games in networks with production and knowledge externalities has been constructed. Within this model, the methods of comparative statics have been adopted to consider the junction of networks and the interest of agents in junction, the possibility of transplanting equilibria between networks of the same typology, and the possibility of using the type adjacency matrix instead of the classical adjacency matrix of network nodes.

6. Proceeding from the concept of Jacobian equilibrium, transition (adjustment) dynamics have been introduced for networks with production and knowledge externalities. The adjustment dynamics between stable equilibria have been considered, in discrete and continuous time, in networks with homogeneous and heterogeneous agents, and in deterministic and stochastic cases.

7. The differential game-based models of opinions control on networks with budget constraints (equalities and inequalities) have been constructed and analytically studied. The independent and cooperative behaviors of the players have been compared with one another.

8. The difference and differential game-based Stackelberg models of opinions control have been considered. The Stackelberg equilibria and the corresponding payoffs have been found analytically. As has been shown in this dissertation, in all cases the control system satisfies the perfect compatibility conditions.

The methodology of research

This dissertation involves the methods of operations research, the theory of dynamic games (the principles of optimality, the stability of equilibria), optimal control theory (Pontryagin's maximum principle, variational calculus, dynamic programming, the Hamilton-Jacobi-Bellman equation), methods for solving differential, difference, and stochastic differential equations, Ito's lemma, as well as the methods of optimization and probability theory.

The theoretical and practical importance of research

As has been established in this dissertation, networks of different size, but of the same typology, have common properties in economic models; in particular, game equilibria associated with centrality measures can be transplanted between networks with the same typology. Bloch et al. proved that if a tree g is a regular monotone hierarchy, then power centrality, decay centrality, the Katz-Bonacich centrality, diffusion centrality, and betweenness centrality all induce the same order on the set of nodes. However, this dissertation shows that the class of such networks is not limited to trees.

It is shown that even "standard" regulatory institutions, which are well established in industrialized countries, can produce completely different, unexpected results in those economies in which a significant share of the economy is occupied by firms that create relatively high direct or indirect environmental damage and thus have greater relative economic efficiency.

The "fair price" of the purchase and sale of the company was calculated, and the program implementation of the analytical-numerical method of Yu. A. Bychkov was performed for the Lotka-Volterra model.

It is shown that in the endogenous growth model of Lucas, both of his hypotheses are not always correct. In addition, the Lucas model of endogenous growth with human capital is transferred to simple spatial structures-a straight line and a circle.

In this dissertation, two problems of opinions control on networks have been investigated, with application to marketing. The first problem is a static normal-form game in which the players maximize the final opinions of all members of a target audience via marketing impacts on the initial opinions of some members of strong subgroups. The second problem is a dynamic (difference or differential) normal-form game in which the players maximize the sum of the opinions of all members of a target audience using feedback strategies to influence the current opinions of some members of strong subgroups. In both cases, analytical solutions have been obtained and compared with one another. The final results have been interpreted in terms of marketing.

The difference and differential game-theoretic Stackelberg models of opinion management in marketing networks are considered. In the basic version of the model, the master and slave maximize the total opinions of the network agents. In the second version, the presenter has a target value of the summary opinion. In all cases, the Stackelberg equilibria and the corresponding gains are found analytically, and it is shown that the control system is perfectly consistent. A brief description of research

This dissertation consists of an introduction, five chapters, a conclusion and, a list of references. The volume of this dissertation is 480 pages; it contains 8 tables and 45 figures. The list of references includes 225 sources, which are presented in alphabetical order.

Section 1.1 is introductory, describing some of the analysis tools used in this dissertation.

Sections 1.2-1.5 are devoted to some issues of the typology of networks and different centrality measures of nodes. The typology invariants are identified. The well-known centrality measures are listed. In addition to the aft -centrality introduced by Bonacich [Bonacich, 1987], the ay -centrality proposed by Matveenko and Korolev [Matveenko and Korolev, 2016, 2017a, 2017b] is considered as a special case of a-centrality. The conditions for the existence of different centrality measures are studied. The type adjacency matrix is introduced and then used instead of the classical adjacency matrix of network nodes to calculate centrality measures. New results on the classes of networks for which the orders induced by different centrality measures will coincide are obtained.

Section 1.6 explores a model of contract theory in which the target functions of the regulator and the two types of firms include environmental variables. The model of J.-J.-M. Laffont [Laffont, 2000], generalized by V. D. Matveenko [Matveenko, 2010], is taken as a basis. It is shown that the choice of how the regulatory mechanism works (unifying or dividing) depends both on the political conditions (what type of regulators assign the mechanism and contracts) and on the economic conditions (the difference between "dirty" and "green" firms and the degree of their prevalence in the economy).

With a small difference in the values of the parameter that characterizes the type of firm, it turns out that if the use of "dirty" technologies increases the profitability of firms, and the share of "dirty" firms in the economy is large (this seems typical for many developing and transition economies), then a unifying (i.e., in a certain sense, non-market) contract mechanism is more often chosen. Under conditions that seem typical for industrialized countries (relatively efficient "green" firms), the choice of a separating (market) mechanism should be expected to a greater extent.

Section 1.7.1 provides a model in which the market value of an enterprise is considered as an object of the stock market and is therefore modeled, as is customary in the stock market, by geometric Brownian motion. Using the real options method, a variant of the Merton equation is written out for the target firm and for the sink firm, and the fair purchase and sale price of the firm is derived. It turns out that it is equal to the geometric average of the cost of the firm being sold and the net present value of the project of buying the target firm for the absorbing firm.

Section 1.7.2 uses the analytical-numerical method of Yu. A. Bychkov, which, according to its creator, combines the positive aspects of analytical and numerical methods. This method is applicable for solving non-linear integro-differential equations for which, under given initial conditions, there is a solution of the class C with the exception of a finite number of singular points. The idea of the method is extremely simple and natural: in the neighborhood of each regular point t, all unknown functions are written in the form of Taylor series, the Laplace transform from both parts of the system of integro-differential equations is taken, and recurrent relations are obtained for the coefficients of the Laurent series of images according to Laplace of the desired functions. At the same time, the recurrent relations obtained by Yu. A. Bychkov are very easy to program, since the multiplication of formal power series corresponds to the multiplication of "infinite matrices", i.e. the injective limits of the series of square matrices of the coefficients of these series - the lower triangular to the upper non-triangular, one of which is previously multiplied by the "Pascal triangles". The success of this method depends on obtaining as little as possible overestimated estimates of the local and global errors of the solution. At the same time, at the points of analyticity of

the solution, the Bychkov method allows you to achieve any pre-set local integration accuracy, and in some cases, to provide any pre-set global accuracy, by choosing the order of Taylor polynomials and the step value. The Bychkov method was used by the author to calculate the transient process in the Lotka-Volterra model with aftereffect, and a number of computer programs were written and registered in the GosFAP on applications of the analytical-numerical method and adaptation processes in capacitive networks and tunnel diode networks.

In section 1.7.3, models of economic growth are considered, in particular, models of endogenous growth that go back to R. Lucas [Lucas 1988]. The question is being studied: can a country that is initially less rich in physical and human capital outperform a richer country over time in these indicators? As in the Lucas endogenous growth model, social welfare is maximized

max J0°—[c(t)1-a- 1]N(t)e~ptdt. c(t),u(t) 0 1 -a

The concept of balanced trajectories, in which output, capital, and consumption change at a constant rate, and semi-balanced trajectories, in which the ratio of consumption to capital is constant, is introduced. The atomicity hypothesis is adopted, which consists in the fact that when making a decision, an employee considers his own human capital h(t) as a variable, while he considers the average human capital ha(t) for

the economy to be exogenously set. To find the optimal value of human capital at a given level of average human capital, the Pontryagin maximum principle is applied. The equilibrium trajectory is the trajectory on which h(t) = ha (t).

R. Lucas [Lucas 1988] formulated the hypothesis that any equilibrium trajectory with lower initial levels of physical and human capital will be dominated by any equilibrium trajectory with higher initial levels of capital. Another hypothesis of Lucas was that for any equilibrium trajectory, the corresponding trajectory with phase variables with a remote trend converges to a certain stationary point. From this it would follow that for any equilibrium trajectory, its control converges to a certain constant control common to all equilibrium trajectories. These hypotheses, as it turned out, are not always true, because for certain combinations of parameters, there are balanced

equilibrium trajectories, which have different controls and, consequently, different growth rates. For other combinations of parameters, there are semi-balanced equilibrium trajectories, which also have different control constants u, and, consequently, different long-term growth rates.

They found that if the elasticity of output by physical capital excellent-walking the elasticity of production of external effect of human capital, the country, rich human capital, no matter how large the physical capital it holds, will on a large time lag for both types of capital from the countries initially richer in human capital. In this case, there is a single equilibrium trajectory for any initial state.

If the elasticity of output in terms of the external action of human capital exceeds the elasticity of output in terms of physical capital, then country B, which had smaller initial reserves of human and physical capital, always has the opportunity to outperform country A in both types of capital over time, spending quite a lot of time on training. More precisely, this will happen if and only if country B moves along an equilibrium trajectory with an initial control u0B that satisfies the condition:

Y-P

u

u0 B <

% B Tp

*0 A,

V h0 A J

where h0 A and h0B are the initial levels of human capital in countries A and B, respectively. At the same time, different initial controls u0 can be applied in any initial state, and the more time is spent on training (i.e., the less u0), the higher the level of the country will reach. In both cases, the long-term growth rates will be the same on all trajectories, i.e. all differences are possible only in the achieved levels.

The boundary case, when the elasticity of output by the external action of human capital is equal to the elasticity of output by physical capital, has the features of both of these cases: in any initial state, different initial controls u0 can be applied. The growth rate of human capital and the long-term growth rate of physical capital are increasing functions of the time share used for training 1 - u0. This means that country A, moving along any equilibrium trajectory with a share u0A of non-free time devoted to the

production of goods, can be ahead of country B from any initial state, if it devotes a share of non-free time to training greater than 1 - u0A, i.e. if u0B < u0A. At the same time, the convergence to stationary states with higher growth rates of physical capital proceeds more slowly. Moreover, the lead in this case is not only in terms of the levels of human and physical capital, but also in terms of the growth rates of both capitals.

In section 1.7.4, the study of growth models with human capital continues, but within the framework of spatial economy models, or economic geography. A variant of the Lucas endogenous growth model with human capital based on simple spatial models - a straight line and a circle-is considered. The social welfare function was maximized

<x>

J J U (C(x, t)) e~ptdxdt.

0 R

In both cases, applying the basic lemma of the classical variational calculation, the trajectories of the development of physical and human capital, the distribution of time for work in material production and the accumulation of human capital, as well as consumption, were found explicitly. The model on the straight line shows that the larger the initial stock of human capital in a particular location, the more time is spent in this location on the accumulation of human capital at any given time, and the larger the initial stock of physical capital, the more time is spent on work in material production. In addition, the greater the proportion of physical capital in a location, the more people work there, and the more impatient the society (the greater the value of the parameter p ), the less people learn and work more in material production. The model on the circle shows that, compared to the initial distribution of physical capital, the number of maximum points doubles over time; the old minimum points also become maximum points, which can be explained by the high marginal productivity, and the transformation process occurs very quickly. At the resulting maximum points of physical capital, the maximum export of capital takes place, and at the minimum points located between the maximum points, the maximum import of capital takes place.

Chapter 2 is devoted to the game-theoretic models on networks with production and knowledge externalities, constructed by Matveenko and Korolev [Matveenko,

Korolev, 2015, 2016, 2019]. Consider a network (undirected graph) in which each node is associated with an agent. The behavior of each agent is described by the simple two-period Romer model [Romer, 1986]. In the first period, each agent has an initial stock of the final good e. The agent can use this stock, partly for consumption in the first period and partly for an investment in knowledge that will be used to produce goods for consumption in the second period. This investment immediately turns into a knowledge level. The agent's preferences are described by a quadratic utility function, which depends on his consumption in both periods. An indirect utility function is also introduced, which expresses the agent's utility through the amount of his investment in knowledge and through his environment, i.e., the sum of investments of all his nearest neighbors in the network, including himself.

The concept of Nash equilibrium with externalities is defined, which represents a kind of Jacobian equilibrium and differs from the classical Nash equilibrium in that, at the time of making a decision, each agent considers the environment to be exogenous, although he participates in its formation. A similar equilibrium arises when determining the equilibrium trajectory in the Lucas endogenous growth model. There are three types of agent's behavior in an equilibrium. An agent can be passive (does not invest), active (invests part of his stock) or hyperactive (invests his stock in full). Various equilibria are studied by comparative statics methods. It is proved that utility monotonically depends on the environment. The interest of different agents in changing the network structure (creating coalitions) is analyzed.

Chapter 3 discusses transition (adjustment) dynamics in networks with production and externalities. Based on the definition of equilibrium adopted in this model, adjustment dynamics are introduced in a natural way in both discrete and continuous time. This leads to the concept of equilibrium stability and the concept of a transient process between equilibria. An equilibrium is said to be stable if the network returns to it after a transient process occurring as soon as at least one agent deviates from the equilibrium. Adjustment dynamics also occur when networks are joined (unified). As has turned out, the model under consideration has homophyly: the agents of the same type behave identically, and not only in equilibrium, but also in transition dynamics.

Finally, a random component is introduced into the agents' characteristics. Like the initial stock inherited by each agent is naturally considered a constant value, the agent's productivity is naturally considered a value subject to random fluctuations over time. Thus, the behavior of each agent in the transient process becomes a geometric Brownian motion. By analogy with the deterministic case, the junction and unification of networks and transient processes between equilibria are considered. The systems of stochastic differential equations are adopted, and their solutions are analyzed in qualitative terms using Ito's lemma and the law of the iterated logarithm. Here, an obvious criticism of the model is possible: why is the behavior of agents modeled by simple geometric Brownian motion, and not, say, reflected Brownian motion or absorbed Brownian motion? The author's answer to this question is: it seemed natural to start with the simplest model.

Chapter 4 is entirely devoted to the game-theoretic models of opinions control on networks. The well-known basic model of influence in social networks is described, which represents a directed graph with constant weights of arcs and dynamic values of vertices reflecting the opinions of agents. In the case of linear dynamics, stable final opinions of all agents are determined by the initial opinions of the members of strong subgroups of the influence digraph (strong components of the digraph included in the vertex base of its condensation). Hence the main idea of opinions control is as follows: it suffices to influence only the members of strong subgroups (opinion leaders), which can significantly improve the efficiency of control.

This idea is implemented in various game-theoretic formulations of opinions control on networks in the presence of several influence agents. In Section 4.1, static games are considered; in Sections 4.2 and 4.3, difference and differential games with equal-right participants (competing firms); in Sections 4.4 and 4.5, hierarchical difference and differential games of opinions control (in the presence of a coordinating Principal). The corresponding Nash and Stackelberg equilibria are constructed analytically. For this purpose, mathematical induction on the number of periods of the game is used for the difference formulations, and the Hamilton-Jacobi-Bellman equations for the differential ones. Budget constraints are considered both in the form of

equalities and in the form of inequalities; in the latter case, a special method for solving optimization problems is developed. The independent and cooperative behaviors of the players are investigated. To quantify the level of coordination in a control system, the index of system compatibility is applied.

Chapter 5 of this dissertation is devoted to the study of game-theoretic models of opinions control on networks with state-space constraints. When applied to the problems of opinions control, these constraints mean that the individual or total values of opinions, at a terminal time instant or on the entire planning horizon, will stay within a given range. According to the theory of sustainable management of active systems [Ougolnitsky, 2016], it is necessary that the state vector of a controlled dynamic system always be in a certain domain determined by the homeostasis conditions for this system. If the homeostasis requirements are satisfied and, in addition, the interests of all active agents are taken into account and coordinated, then the system has sustainable development. This idea is implemented in Chapter 5.

The difference and differential hierarchical games with the constraints on the sum of state variables are studied analytically. The upper level of the hierarchy is occupied by the Principal, who determines the marketing budgets of agents and is responsible for fulfilling the homeostasis requirements, taking into account the interests of agents. These interests are formalized as a Nash equilibrium in the normal-form game of agents. The solution of the game is Stackelberg equilibrium, taking into account the state-space constraints. From a technical point of view, to solve the problem, a more convenient approach is to assume that the matrix of mutual influences of network members is right-hand stochastic; hence, this case is studied first. However, the more general case of a left-hand stochastic matrix of influences is often considered. As is demonstrated in Chapter 5, the second case can be reduced to the first.

For a quantitative assessment of the coordination of the Principal and agents, the indices of system compatibility are calculated in all cases. They are equal to 1, which indicates that the system is perfectly compatible.

The results of research submitted for defense

1. The following facts have been established for the typology of networks and centrality measures in networks.

Theorem 1.4.3. In any class of networks of the same topology, if i and j are nodes of the same type (possibly, belonging to different networks of a given topology), then c (i) = c (j), where c is any of the following centrality measures: power centrality, eigenvector centrality, the Katz-Bonacich centrality, diffusion centrality, ay -centrality, and ap -centrality.

Theorem 1.4.4. For calculating any of the centrality measures listed in Theorem 1.4.3, the type adjacency matrix T can be used instead of the adjacency matrix M.

Theorem 1.5.1. For any typology with two types of nodes, the orders induced on the set of nodes by power centrality, diffusion centrality, eigenvector centrality, the Katz-Bonacich centrality (if exists), ay -centrality, and ap -centrality (under additional conditions) coincide with one another.

2. The study clarifies the widely held view that it is possible to successfully export to an arbitrary transition or developing economy institutions of environmentally motivated regulation that have proven to be effective in a particular industrialized country.

3. The "fair price" of the purchase and sale of a firm is found as the geometric mean of the market value of the target firm and the net present value of the investment project of the purchase of this firm for the absorbing firm, and the optimal investment rules for both parties.

4. It is proved that both Lucas hypotheses in the endogenous growth model are true only if y < p, i.e., the elasticity of output in terms of physical capital exceeds the elasticity of output in terms of the external action of human capital. Then, indeed, for any initial state, there is a single equilibrium trajectory on which a single management u(t) = u = const, is permissible, and a country that is less rich in human capital, no matter how much physical capital it has, will lag behind a country that is initially richer in human capital for a long period of time in both types of capital.

If so y > p, different initial controls u0 can be applied in any initial state, and the less u0 (i.e., the more time is spent on training), the higher the country will reach. This means that if country A has initial reserves of human and physical capital (hA, KA) greater than country B (hB, KB), and moves along an equal trajectory with initial management u0A, then country B always has the opportunity to outperform country A in both types of capital over time, spending quite a lot of time on training. At the same time, in both cases, the long-term growth rates are the same on all trajectories, i.e. all differences are possible only in the achieved levels. In the boundary case y = p, the advance will take place not only in terms of capital levels, but also in terms of the growth rate of human and physical capital.

5. In a model with human capital on simple spatial structures-a straight line and a circle-the following results are obtained.

In the straight-line model, the solution shows that the larger the initial stock of human capital in a particular location, the more time is spent in this location on the accumulation of human capital at any given time. On the contrary, the larger the initial supply of physical capital, the more time is spent on working in material production. This is quite consistent with the specialization of geographical areas in different types of activities that actually take place. The model also shows that the greater the share of physical capital in a location, the more people work there. The more impatient the society is (the greater the value of the parameter p), the less people learn and work more in material production.

In the model on the circle, compared to the initial distribution of physical capital, the number of maximum points doubles; the old minimum points also become maximum points. In the latter case, this may be due to high marginal productivity. At the resulting points of maximum physical capital, there is a maximum export of capital. At the minimum points, which are located between the maximum points, there is a maximum import of capital.

6. The model of network games with production and knowledge externalities with heterogeneous agents has been constructed. Equilibria in the network and transition

dynamics between stable equilibria in discrete and continuous time have been studied. Networks with stochastic parameters and dynamics in stochastic networks have been considered. The solutions of the systems of differential, difference and stochastic differential equations describing transient processes in a network game have been analyzed in qualitative terms.

7. Analytical solutions of differential opinions control games on networks with budget constraints in the form of equalities and inequalities have been found. For the case of inequalities, a special method for solving such games has been proposed.

8. The independent and cooperative behaviors of players have been compared with one another, and the results have been interpreted in terms of marketing. Cooperation is more beneficial in the sense of total payoff. Some conclusions regarding the optimal allocation of the marketing budget have been drawn.

9. Two problems of opinions control on networks have been investigated. The first problem is a static normal-form game in which the players maximize the final opinions of all members of a target audience via marketing impacts on the initial opinions of some members of strong subgroups. The second problem is a dynamic (difference or differential) normal-form game in which the players maximize the sum of the opinions of all members of a target audience using feedback strategies to influence the current opinions of some members of strong subgroups. In both cases, analytical solutions have been obtained and compared with one another.

10. Difference and differential game-theoretic Stackelberg models of opinions control in marketing networks have been considered. By assumption, at the stage of network analysis, opinion leaders have already been identified, and the control impact is applied to them only. The leader determines the marketing budgets of the followers. In the basic version of the model, the leader and the followers maximize the total opinions of the network agents. In the second version, the leader has a target value for the total opinion. In all four models, the Stackelberg equilibria and the corresponding payoffs have been found analytically. As has been demonstrated, the control system is perfectly compatible in all cases considered. As has turned out, the Principal benefits nothing

from providing influence agents with more resources than they need for their rational behavior.