Метод последовательного возмущения параметров в приложении к расчету динамической устойчивости тонкостенных оболочечных конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, доктор технических наук Кузнецов, Валентин Николаевич

• Кузнецов, Валентин Николаевич
• доктор технических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор технических наук Кузнецов, Валентин Николаевич

Введение.

Глава 1. Описание класса уравнений нелинейной механики тонкостенных конструкций, допускающих линейную аппроксимацию по отдельным параметрам. 2. С

§1.1. Метод последовательного возмущения параметров и линейная аппроксимация по отдельным параметрам нелинейных уравнений механики. 1\

§12. Описание уравнений нелинейной механики, допускающих линейную аппроксимацию по отдельным параметрам. ЬУ

§ 1.3. Выводы по первой главе диссертации. 52.

Глава 2. Решение задачи динамической устойчивости для нелинейных моделей механики, допускающих линейную аппроксимацию по отдельным параметрам. Л

§ 2.1. Сходимость метода последовательного возмущения параметров и задача единственности решений нелинейных уравнений механики. 5"

§ 2.2. Описание области динамической устойчивости параметров для нелинейных моделей механики тонкостенных конструкций.

§ 2.3. Выводы по второй главе диссертации. ¡

Глава 3. Задача гладкости решеннй и вопросы сходимости проекционных методов для уравнений нелинейной механики тонкостенных конструкций.ЬЗЗ

§ 3.1. Эквивалентные операторы и вопросы сходимости проекционных методов для одного класса операторных уравнений с переменными коэффициентами.13Г

§32. Вопросы гладкости решений и сходимости проекционных методов для уравнений нелинейной механики.

§ 3.3. Выводы по третьей главе диссертации.

Глава 4. Численный эксперимент в задаче определения скорости сходимости метода Бубнова-Галеркина для нелинейных колебаний пластинки под действием продольных периодических нагрузок.

§ 4.1. Численная схема и алгоритм ее решения для точного решения задачи.

§ 4.2. Численная схема и алгоритм ее решения получения приближенного решения задачи методом Бубнова-Галеркина.

§ 4.3. Численная схема и алгоритм ее решения построения зон хаоса в плоскости воздействующих параметров. *

§ 4.4. Результаты численного эксперимента, их обсуждение. *

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод последовательного возмущения параметров в приложении к расчету динамической устойчивости тонкостенных оболочечных конструкций»

Актуальность темы. Расчет на устойчивость, как известно, является одним из важнейших элементов расчета при проектировании тонкостенных оболочечных конструкций в различных областях техники: судостроении, ракетостроении, строительстве, машиностроении и т. д.

Первые фундаментальные результаты в направлении решения задач устойчивости оболочечных конструкций были получены в начале девятнадцатого века. Появление и развитие новых направлений в науке и технике предопределили интерес к этой теме, и число публикаций, связанных с проблемами устойчивости, в настоящее время растет с каждым годом. Их анализ показывает, что актуальными являются исследования, связанные с определением области устойчивости параметров, с прояснением качественной картины механизма потери устойчивости. Причем здесь удачно сочетаются и дополняют друг друга теоретические разработки, основанные на аналитических методах, методах функционального анализа, топологических методах, и исследования, основанные на привлечении численных методов. Эта взаимосвязь прослеживается и в данной диссертации.

Известный метод В. В. Петрова - метод последовательных возмущений параметров - дает эффективную численную реализацию схемы Эйлера применительно к нелинейным уравнениям механики. Этот метод нашел широкое применение при численном расчете напряженно-деформированного состояния, прочности, устойчивости и долговечности конструкций, эксплуатирующихся в условиях не только воздействия нагрузок, но и воздействия агрессивных сред. [63], [64], [ 66]. Но, как видно из данной работы, метод последовательных возмущений параметров может применяться не только при численных расчетах, но иметь приложения и теоретического характера. Развивая идеи этого метода, автор предлагает новую методику линеаризации в задачах расчета динамической устойчивости обол очечных конструкций. Эта методика, которую в дальнейшем будем называть "линейной аппроксимацией по отдельным параметрам", позволила теоретическим путем получить новые результаты для достаточно широкого класса нелинейных моделей в задаче определения области' устойчивости параметров и в задаче определения скорости сходимости проекционных методов, в частности, широко применяемого при численном решении задач устойчивости метода Бубнова - Галеркина. Теоретические исследования дополняются в работе численным экспериментом.

Все сказанное выше позволяет говорить об актуальности темы диссертации.

Краткий исторический обзор.

Расчету на устойчивость оболочечных конструкций посвящено огромное количество работ, как теоретического плана, так и в плане привлечения численных методов.

Первые фундаментальные результаты здесь были получены на рубеже девятнадцатого столетия Лоренцем Ритцем [ <£], С. П. Тимошенко [70], [■!$*], Саутуэллом

Среди более поздних исследований, посвященных развитию аналитических, топологичеких методов и методов функционального анализа с целью определения критических нагрузок и выяснения качественной картины механизма потери устойчивости нужно отметить работы отечественных ученых А. С. Вольмира [>], [Г], [6], В. В. Новожилова [И], В. В. Болотина [ г ], [ 3], М. А. Красносельского [¿9], С. Г. Крейна [зо], И. И. Воровича [ //], С. Г. Михяцна [¿7], П. Е. Товстик [73] и многих других.

Начиная с середины пятидесятых годов, наблюдается бурный рост числа публикаций, в которых задачи устойчивости решаются с привлечением численных методов. Среди работ отечественных ученых, внесших значительный вклад в развитие таких известных, численных методов, как методы ортогональной прогонки, разностные методы, различные вариационные методы, в том числе методы конечных элементов, применительно к нелинейным моделям, нужно отметить работы В. В. Болотина ], А. С. Вольмира [4 ], [£ ], Э. И. Григолюка [16 ], [Н], [и], А. В. Саченкова [б?], В. Д. Клюшникова [1Ь], [2/], М. С. Корниышна [м], [#), В. А. Крысько в/], [32], [33] и многих других.

Трудности, связанные с выбором "правильного" решения модели, соответствующего как критическому, так и закритическому деформированию оболочки, побудили к созданию и изучению новых численных методов решения нелинейных моделей. Среди таких методов нужно выделить метод В. В. Петрова - метод последовательного возмущения параметров [бV], [65"], [66], метод В. Н. Шалашилина - метод наилучшего параметра [/б], [#-], метод В. И. Феодосьева [*ь], [??], [п] и другие.

В настоящее время насчитывается огромное количество статей и книг, посвященных проблеме устойчивости оболочечных конструкций. Достаточно полное освещение этих работ до середины семидесятых годов приведено в обзоре Э. И. Григолюка и В. В. Кабанова [/¿"].

Остановимся на ряде работ, которые в той или иной степени связаны с результатами диссертации.

Отметим, что существуют различные трактования понятия динамической потери устойчивости. При применении численных методов понятие динамической потери устойчивости связывается с особым поведением графика функции прогиба для отдельных точек оболочки. Так, например, А. С. Вольмир в качестве динамического критерия устойчивости принимает быстрый рост функции прогиба при незначительном изменении нагрузки [ ¿1 ]. Б. А. Кантор считает, что оболочка начинает прохлопывать, если прогиб в центре достигает значения большего относительной высоты оболочки [23]. Есть и другие взгляды на критерий потери устойчивости. При теоретических же исследованиях устойчивое состояние оболочки отождествляется с единственностью решения модельной задачи. При этом задача устойчивости заключается в определении области допустимых значений параметров, при которых соответствующая модель имеет единственное решение. В качестве параметров могут выступать как величины внешних воздействий, так и величины характеризующие отдельные функции (функция напряжений, функция прогиба, функция усилий).

Именно в такой постановке на базе линейной статической модели пластинки задачу устойчивости решал С. Г. Михлин ], рассматривая в качестве параметров сжимающие напряжения.

В такой же постановке И. И. Ворович, используя топологический метод, основанный на вычислении индекса вращения некоторого вполне непрерывного векторного поля на удаленной сфере, показал локальную устойчивость для широкого класса нелинейных моделей оболочек в статическом случае [м].

Именно в такой постановке задача устойчивости решалась в диссертации.

Задача единственности решений линейных динамических моделей механики изучалась С. Г. Крейном [зс]. В основе его исследований лежал метод сильно непрерывных полугрупп операторов применительно к операторным уравнениям вида у = -А(1)у + /{1)1 г <= [о, г], где при любом / е [О, Г] положительно определенный оператор, действующий в гильбертовом пространстве. В результате С. Г. Крейн получил результаты о существовании и единственности решений для ряда динамических линейных моделей механики. Но аппарат сильно непрерывных полугрупп операторов в том виде, в котором был использован в работе Крейна, не позволил получить результаты для нелинейного случая.

Иному подходу, основанному на операторных методах.' к решению задачи единственности посвящена диссертация С. В. Кузнецовой [¿tg ]. Обоснование этот подход получил в работах В. А. Крысько и В. Н. Кузнецова [ ], [3 6 ]. Суть этого подхода заключается в том, что для нелинейной модели оболочки строится линейный оператор, зависящий от тех же параметров, что и первоначальная модель. При этом показывается, что при тех значениях параметров, когда линейный оператор является положительно определенным, соответствующая модель имеет единственное решение. В результате определяется область однозначности параметров нелинейной задачи. Недостаток такого подхода заключается в неопределенности класса нелинейных уравнений механики, для которых можно построить соответствующий линейный оператор, что связано с отсутствием единого алгоритма построения таких операторов. Вид линейного оператора каждый раз зависел от выбранной модели.

В данной диссертации устраняется этот недостаток. Анализ и развитие идей расчетного алгоритма метода В. В. Петрова - метода последовательного возмущения параметров [64], [6.Г], [¿6] - позволило автору выделить достаточно широкий класс нелинейных моделей оболочек, для которых в задаче единственности решений допускается линеаризация -линейная аппроксимация по отдельным параметрам, которая сводит задачу единственности к линейным операторным уравнениям, вид которых не зависит от выбора модели. Существенным моментом при этом явилась механическая интерпретация метода В. В. Петрова в зависимости от меняющихся параметров. Она позволила дать математическое обоснование предложенной методики линеаризации, а именно, найти единую методику доказательства законности обратного перехода от линейных операторных уравнений к нелинейной модели при решении задачи устойчивости.

Отметим, что наряду с методом В. В. Петрова существует достаточно много других расчетных алгоритмов, основанных на линеаризации. Это и известный метод упругих решений А. А. Илюшина [гс], метод переменных параметров упругости и метод дополнительных деформаций И. А. Биргера [х ] и метод дифференцирования по параметру [//] и многие другие. Но в силу методики доказательства сходимости этих методов, заключающейся в сходимости итерационных процессов без учета механического смысла (например, [/?], [ / ]), они оказались неприемлемыми для наших целей.

Та же самая методика - линейная аппроксимация по отдельным параметрам - позволила автору исследовать задачу о скорости сходимости проекционных методов, в частности метода Бубнова - Галеркина, нашедшего широкое применение при численном решении задач устойчивости. С этой целью в диссертации первоначально изучается задача о гладкости решений нелинейных моделей.

Относительно задачи гладкости решений нелинейных уравнений механики нужно сказать следующее.

В статическом случае под теоремами о гладкости решений в литературе понимают утверждения относительно принадлежности решения модельной задачи произведению пространств Соболева 1У'2 (П) при условии, что граница области О является гладкой и нормальная нагрузка q принадлежит пространству Ш"'4,2 (П) или IV'2'2 (Л) (например, [Щ). Величина п определяет порядок гладкости решения.

Несмотря на то, что задача о гладкости решений в статическом случае в диссертации не рассматривалась, для полноты обзора остановимся на результатах, полученных в направлении решения этой задачи. В целом данная задача далека от окончательного решения: здесь получены только отдельные результаты. Например, используя теоремы вложения Петре [56] и результаты Аглеона [$<?] относительно гладкости решений задачи Дирихле для области с достаточно гладкой границей, в [Г^ ] показано, что решение геометрически нелинейной модели Кармана принадлежит пространству ¡V42 Ц?4'2 (¿2), если только нормальная нагрузка ц е Ь2 (¿2). Метод доказательства этого факта не позволяет распространить утверждение теоремы на случай более высокого порядка гладкости.

При доказательстве утверждений о гладкости решений нелинейных уравнений в частных производных часто используют аппроксимацию решений решениями уравнений более простого вида. При этом результаты о гладкости предварительно получают для приближенных уравнений. В этом направлении получены результаты о гладкости решений отдельных нелинейных уравнений в частных производных в работах Бредйса и Стампаккья а также Леви и Стампаккья [86].

Отметим, что предложенная в диссертации методика линейной аппроксимации по отдельным параметрам позволила свести задачу о гладкости решений для достаточно широкого класса нелинейных моделей к линейному операторному уравнению с положительно определенным оператором, и здесь автору кажется реальным решение задачи о гладкости, тем более что в работе де Джорджи [8£] получен результат о гладкости решений эллиптических уравнений второго порядка.

Остановимся теперь на вопросах гладкости решений модельных задач механики в динамическом случае. Эта задача исследовалась в диссертации в следующей постановке. Гладкость решения предполагает его принадлежность произведению пространств С((0,Т), ГКЛк)\ где 0(Лк) — область определения (в пространстве ¿¿(/З)) к-ой степени оператора Лапласа. Величина к — определяет порядок гладкости решения. Задача заключается в том, чтобы показать, что решение системы нелинейных уравнений является гладким, если гладкими (того же порядка) являются начальные условия и действующие нагрузки.

Отметим, что задача о гладкости решений для нелинейных уравнений механики в динамическом случае долгое время не поддавалась решению. В начале семидесятых годов эту задачу как важную, но нерешенную для нелинейных уравнений в частных производных отметил в своей монографии "Некоторые методы решения нелинейных краевых задач" Ж.-Л.Лионс. В комментариях к этой книге он возлагал надежды на решение этой задачи методом нелинейных полугрупп операторов. Но последние результаты в этой области [ 1Ц ] не принесли ничего нового для решения задачи о гладкости. Как будет видно из диссертации, при решении задачи о гладкости в динамическом случае важную роль сыграли новые результаты, полученные в последние годы в теории линейных полугрупп операторов.

Задача о гладкости решений нелинейных уравнений механики непосредственно связана с задачей о скорости сходимости проекционных методов. Актуальность последней задачи в связи с применением численных методов при исследовании решений нелинейных моделей механики является очевидной.

Хотя задача . о скорости сходимости проекционных методов рассматривалась в диссертации только для динамического случая, для полноты картины остановимся на вопросах сходимости и в статическом случае.

Задача о скорости сходимости проекционных методов в этом случае заключается в доказательстве утверждения о том, что порядок скорости сходимости таких методов определяется порядком гладкости нормальной нагрузки, точнее на две единицы больше.

Отметим, что данная задача далека от решения. Здесь можно отметить отдельные результаты. Так, в работе [|£] И. К. Даугаветом были получены "хорошие" оценки скорости сходимости метода Бубнова - Галеркина, но только для обыкновенных дифференциальных уравнений. В общем случае для операторного уравнения

А™ = /, где А — нелинейный оператор, задача сходимости метода Бубнова -Галеркина исследовалась в работах С. Г. Михлина [ £ь ] и М. М. Красносельского В этих работах в случае, когда Л = А0+К, где А о имеет обратный оператор и А0' К — ограниченный обратный и, в случае, когда Ао — имеет вполне непрерывный обратный оператор и К — ограниченный оператор, доказана сходимость метода Бубнова - Галеркина, что, в свою очередь, нашло приложение для широкого класса нелинейных уравнений механики. Применяемые при этом методы исследования не позволили получить "хорошие" оценки скорости сходимости метода Бубнова - Галеркина.

В динамическом случае задача о скорости сходимости проекционных методов решена в диссертации в следующей постановке: показать, что скорость сходимости проекционных методов для нелинейной модели имеет тот же порядок, что" и порядок гладкости начальных условий и нормальной нагрузки.

Данную постановку задачи можно назвать "классической". Это связано с тем, что в классической теории приближений 2 ^-периодических функций тригонометрическими полиномами порядок сходимости частичных сумм определяется порядком гладкости приближаемой функции [#].

Автору не известны результаты решения задачи о скорости сходимости в "классической" постановке даже в линейном случае. Возникающие здесь трудности объясняются тем, что решение этой задачи требовало развития новых методов. Так в данной диссертации методика линейной аппроксимации по отдельным параметрам позволила свести задачу о скорости сходимости проекционных методов к линейному операторному уравнению вида

V = -Л(0и> + /(4 (е[0,Т] <Г(о) = 1Г0 (1)

0) = 1¥1 где А(() при любом t является линейным положительно определенным оператором определенного вида.

Задачей исследования решений операторных уравнений вида (1) занимался С. Г. Крейн [3«]. Но его методы исследования, в основе которых лежали результаты теории сильно непрерывных полугрупп операторов, позволили ему доказать лишь теоремы существования и единственности решения линейного уравнения (1).

Только последние результаты теории ограниченных полугрупп операторов, в особенности методов эквивалентных операторов, развитие которого получил в работах Т. А. Кузнецовой в связи с вопросами приближений в банаховых пространствах [ге ], [ ], позволили автору получить решение задачи о скорости сходимости проекционных методов в "классической" постановке для операторных уравнений вида (1).

Для геометрически нелинейных моделей типа Кирхгофа - Лява и типа Тимошенко результаты о скорости сходимости метода Бубнова - Галеркина в классической" постановке опубликованы автором в соавторстве с В. А. Крысько и Т. А. Кузнецовой в работах (¿9], рН].

В диссертации решение задачи о скорости сходимости проекционных методов в "классической постановке" приводится для достаточно широкого класса нелинейных уравнений механики.

Следует отметить, что порядок сходимости проекционных методов не определяет окончательно точность приближения этими методами, так как не определяет константы, участвующие в оценках приближения. Известно только, что эти константы зависят от величины норм производных к-го порядка решения модельной задачи, где к— порядок гладкости решения [jr^]. Но динамика поведения тонкостенной конструкции представляет очень сложную картину. Например, поведение функции прогиба зависит от многих параметров, характеризующих внешние воздействия, геометрические и физические свойства самой конструкции. Поэтому неизбежно возникает необходимость в численном эксперименте с целью определения влияния параметров на точность приближения проекционным методом.

Вопросы влияния таких параметров, как амплитуды начальных возмущений, кривизны оболочки, начальные условия, на точность сходимости метода Бубнова - Галеркина в задаче о собственных колебаниях оболочки изучались с помощью численных методов в монографии В. А. Крысько [з/].

В последние годы в работах В. А. Крысько и его учеников изучаются области хаоса и прилегающие к ним подобласти в плоскости параметров (со.ро) при вынужденных колебаниях пластин и оболочек под действием продольных периодических нагрузок вида рх = р0 sin cot [AS], ).

В настоящей диссертации проводится численный эксперимент, цель которого выяснить влияние расположения воздействующих параметров в одной из подобластей, примыкающих к зоне хаоса (классификация таких областей приведена в [ ]), на точность сходимости метода Бубнова -Галеркина в случае вынужденных колебаний пластинки под действием продольных периодических нагрузок.

Отметим, что при решении основных вопросов неоднократно использовались факты относительно существования решений нелинейных моделей в случае гильбертова пространства и пространства Соболева. Задача существования решений в этом случае хорошо изучена. В этом направлении можно отметить работы Н. Ф. Морозова [53], И. И. Воровича [3 ], [/<?], [И], О. А. Ладыженской [ГГ], С. Г. Михлина [57], С. Г. Крейна [30], М. И. Вишика, М. М. Карчевского [Л] и многих других.

Постановка задачи

Как видно из исторического обзора задача динамической устойчивости оболочек решалась в основном с привлечением численных методов. Теоретические исследования, связанные с определением области допустимых значений параметров, при которых соответствующая модель имеет единственное решение, проводились только в отдельных случаях. Отсутствовала методика, позволяющая решать эту задачу для достаточно широкого класса уравнений. Отсутствовала методика, позволяющая исследовать вопросы сходимости проекционных численных методов в "классической" постановке.

Поэтому в данной диссертации ставились и решались следующие задачи:

1. Разработать методы, которые позволили бы для достаточно широкого класса уравнений нелинейной механики тонкостенных конструкций получить, возможно, полное решение следующих вопросов:

• описать область изменения параметров, при которых соответствующая модель будет иметь единственное решение;

• решить вопрос о скорости сходимости проекционных методов в "классической" постановке, то есть показать, что порядок гладкости начальных условий и нормальной нагрузки определяет порядок сходимости проекционного метода.

2. Провести численный эксперимент, позволяющий ответить на ряд вопросов относительно точности приближения проекционных методов, ответ на которые не удается получить в результате теоретических исследований.

Методы решения задачи

Решение задач, поставленных в работе и связанных с теоретическими исследованиями, достигается путем линеаризации этих задач и их решения в нелинейном случае. В отличие от известных методик линеаризации, в данной диссертации предлагается методика, которая появилась в результате развития известного метода В. В. Петрова - метода последовательного возмущения параметров, и которая для достаточно широкого класса нелинейных уравнений оболочек сводит поставленные задачи к случаю определенного класса линейных операторных уравнений, и что очень важно, вид которых не зависит выбора модели. Для линейных операторных уравнений эти задачи решаются на основании единого подхода, базирующегося на теории ограниченных полугрупп операторов, в частности, на методе эквивалентных операторов, развитие которого получило в последние годы в связи с вопросами приближения в банаховых пространствах.

В основе численного эксперимента лежат известные факты, касающиеся зон неустойчивости (хаоса) оболочек, возникающих при продольных периодических воздействиях и обусловленных явлением резонанса. Изучение таких зон интенсивно происходит в последние годы.

Объем работы: Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Общий объем ее составляет страниц.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Кузнецов, Валентин Николаевич

Выводы по диссертации.

Заключение.

1. Перспективы развития метода последовательного возмущения параметров в задаче качественного исследования решений нелинейных уравнений математической физики

Отметим, что метод последовательного возмущения параметров находит применение при качественном исследовании решений не только нелинейных уравнений механики. Возможности этого метода значительно шире.

Укажем на одно обобщение этого метода, который позволяет строить последовательность нелинейных уравнений определенного вида, решения которых сходятся к решению первоначальной задачи.

Рассмотрим нелинейное уравнение параболического типа

1>0 (1) от где функция и удовлетворяет граничным и = 8 на 1-Гх(0,Т) (2) и начальным условиям

Щ*,0)-ив(*Х*бО (3)

А - нелинейный монотонный оператор, т.е.

А(и1)-А(иг),и1-и2)^0 при любых и 1Г2 из V с Н (V- плотно в Н, Н - пространство гильберта).

Примерами таких уравнений является, например, нелинейное уравнение диффузии ([ ]), которое возникает во многих приложениях: теория распространения тепла, диффузия газа и т.д. д1Г = ]Г 3 и р-2 ас/ дt ^ дх.1 ^ 1 дх, где р> 1. Причем и = g на -Г о) =£/„(*), х&а

Рассмотрим оператор А вида

4) У

4<Р)=-±-г Г

СЬС; сЬс,

5)

4 отображает пространство Соболева в пространство где ~ + = 1. (В качестве Н здесь рассматривается пространство Ь2 (о), а в качестве V рассматривается пространство Ж ^(О)).

В [Г"4] показано, что оператор (5) является монотонным. Другим примером является уравнение типа Шредингера ди Ы 1Ш-\и\ри

6) где р заданное положительное число. Краевые условия

7 = 0 на Г х,о)=£/0(х),. хеО

Опять же в показано, что

Яе((/ДС/, -|£/2|ри2}и, -С/2)>0

В [74] приведено изложение основных положений теории функциональных полугрупп нелинейных операторов применительно к решению уравнений вида (1). m

Остановимся на некоторых фактах из этой теории.

Определение 1. Пусть Н банахово пространство. Нелинейная сжимающая полугруппа на Н - это семейство операторов T{t)\H —>//, t > 0, удовлетворяющих условиям:

1) T(t + s) = T(t) • T(s), при всех /, s Z 0, Г(о) = Е ;

2) ||7^(/)х - < ||х - у||, при каждом t>0 и любом х е Н;

3) Для любого хеН отображение t ->T{t)x непрерывно на [0,со). Определение 2. Оператор А, определенный по формуле h ' называется порождающим для полугруппы (Т,(/)}, t > 0.

Определение 3. Оператор А называется т -диссипативным, если {Е - ИЛ) 1 всюду определен на Н при любом h> 0 и является (при любом h > 0 ) оператором сжатия.

В [ ] показано, что существует взаимнооднозначное соответствие между сжимающими полугруппами (линейных и нелинейных) операторов и т -диссипативными (линейными и нелинейными) операторами. При этом, если А - т -диссипативный нелинейный оператор, то операторы ТА (t) вводятся как разрешающие операторы для задачи Коши

-{t)=AU{t),t> О • dtK) W' (7) u(q)=u0gd(a) то есть функция U{t), определенная формулой U{t) = TA(f)^ есть решение задачи Коши (7).

Чтобы показать, что в случае m -диссипативного оператора А задача Коши (7) имеет решение (единственное), а тем самым, существует полугруппа нелинейных операторов {ТА (/)}, />0, в [14] рассматривается аппроксимация Эйлера - Иосиди оператора А. А именно, рассматривается семейство нелинейных операторов вида

Аь^Е-МУ-Е), И>0 (8)

Относительно операторов Ак вида (8) в [ Щ ] доказаны следующие утверждения.

Теорема 1. Для любого к>0 оператор Аи является Липшиц непрерывным оператором.

Теорема 2. Семейство операторов Ан сходится в резольвентном смысле к оператору А, т.е. I

Иш(£ - ЛАИ )-1 х = (Е -ЛА)~] х Теорема 3. Для любого /г > О А(г является т -диссипативным, и пусть I(0 , ¿>0, соответствующая сжимающая полугруппа операторов. Тогда на любом ограниченном интервале функции ^ (О* при И -> О равномерно сходятся к функции ( -» Тл(/)х при любом хеН.

Наряду с задачей Коши (7) рассматривается последовательность задач Коши вида д, - (9) с/(о)=с/0

В силу теоремы 1 задача (9) имеет единственное решение и Ж), которое можно найти, например, методом итераций. А в силу теоремы 3 последовательность решений иА (?) сходится к решению задачи Коши (7) при /г —> 0. Таким образом, задача (7) имеет единственное решение.

В работе [74 ] показано, что в случае гильбертова пространства оператор А является т -диссипативным, и, следовательно, к нелинейной задаче (1), (2), (3) применимы вышеприведенные рассуждения.

Наряду с уравнением (1) рассматривается последовательность нелинейных уравнений вида ди dt где

Ю) 1 V1 1

А„=п Е--А\ -Е [У П J J

Граничные и начальные условия для уравнения (10) оставляем те же, что и для уравнения (1).

U = g на Г (11)

С/(х,о)=1/0(х), xeQ (12)

Задача (10), (11), (12) имеет единственное решение U„, которое можно найти, например, методом итераций. Последовательность решений \Un} сходится при п ~> оо к решению U задачи (1), (2), (3). Таким образом, имеет место

Теорема 4. Нелинейное уравнение (1) с краевыми условиями (2), (3) имеет единственное решение в пространстве

Метод, который позволяет строить последовательность функций {t/„} как решений последовательности нелинейных задач (10), (11), (12) является обобщением метода линейной аппроксимации по отдельным параметрам. Этот метод можно назвать методом нелинейной аппроксимации по фиктивному параметру (в качестве фиктивного параметра выступает величина h > 0).

-ter

Этот метод позволяет в ряде случаев (вышеприведенные примеры и другие) доказать единственность решений нелинейных уравнений параболического типа, указать область изменения параметров, входящих в уравнение, при которых соответствующая задача будет иметь единственное решение. При этом реализация утверждений типа теорем существования и единственности значительно проще, чем известны ранее, основанные, например, на теории монотонных операторов (например, [54]).

Можно рассмотреть приложение этого метода в вопросах гладкости решений и сходимости проекционных методов для нелинейных уравнений типа (1). Но в данной работе эти вопросы рассматриваться не будут.

-13 6

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Кузнецов, Валентин Николаевич, 2000 год

1. Биргер И.А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности // Прикладная математика и механика -1951 — 15-6-с.81-88.

2. Болотин В.В, Динамическая устойчивость упругих систем М.: Гостехиздат- 1956-381 с.

3. Болотин В.В. О вариационных принципах теории упругой устойчивости //

4. Проблемы механики твердого деформируемого тела Л.: Судостроение - 1973 - с.83-88

5. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука - 1967982 с.

6. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки М.: Гостехиздат - М.: 1956-420 с.

7. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек М.: Наука1972-432 с.

8. Власов В.З. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек // Прикладная математика и механика 1944 -№2 - с.44-59

9. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологихоболочек М.: Наука - 1989 - 373 с.

10. Ворович И.И., Красовский Ю.П. О методе упругих решений // Докл. АН- 1959 126 - №4 - с.740-743

11. Григолюк Э.И. Теоретические и экспериментальные исследования устойчивости оболочек за пределами упругости // Итоги науки. Механики. Устойчивость и пластичность 1964 - М.: ВИНИТИ- 1966 -с.7-81

12. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость круговых цилиндрическихоболочек // Итоги науки. Механика твердого деформированного тела 1967-М.: ВИНИТИ - 1969.

13. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек М.: Наука - 1978- 360 с.бГриголюк Э.И.Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого тела М.: Наука - 1988 - 232 с.

14. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений // Докл. АН 1959 - Т.126 - №4 - с.740-743.

15. Даугавет И.К. О быстроте сходимости метода Галёркина для обыкновенных дифференциальных уравнений // Изв. вузов, математ. -№5 1958 - с.158-165

16. Егурнов Н.В. Динамическая потеря устойчивости гибких пологих прямоугольных в плане оболочек с учетом связанности полей деформаций и температуры // Кандидатская диссертация Саратов-1983.

17. Илюшин A.A. Пластичность М.: Гостехиздат - 1948 - 273 с.

18. Карчевсий М.М. О разрешимости геометрически нелинейных задач теории оболочек // Изв. вузов, математ. 1995 - №6 - с.30-36

19. Комаров С.А. Выпучивание пластин и оболочек при комбинированномпрофильно-поперечном нагружении // Диссертация на соискании уч. степ, к.т.н. Саратов - 1996

20. Кантор Б.А. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек-Киев: Наукова думка 1971 - 136 с.

21. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и оболочек и методыих решения М.: Наука - 1964 - 192 с.

22. Клюшников В.Д. Возможные вариационные формулировки условия устойчивости упругих пластин // Докл. АН 1973 - т.247 - №6- с.1338-1341

23. Клюшников В.Д. Устойчивость упруго-пластических систем М.: Наука- 1980 312 с.

24. Клюшников В.Д. О некоторых особенностях явления неустойчивости запределом упругости // Успехи механики деформируемых сред- М.: Наука 1975 - с.265-268

25. Красносельский М.А. Токологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений М.: Гостехиздат - 1956 - 320 с.

26. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве М.: Наука - 1967 - 320 с. •

27. Крысько В А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек

28. Саратов: Издательство СГУ 1976 - 216 с. I. Крысько В.А., Куцемако А.Н. Динамическая и статическая потеря устойчивости гибких оболочек из композитного материала // Механика полимеров - 1975 - №6 --c.il 08-11112Л?

29. Крысько В.А., Дедюкин И.Ю. О критериях динамической потери устойчивости оболочек // Герикл. механика 1994 — т.ЗО — №10 -с.67-71

30. Крысько В .А., Петров, В.В., Мицкевич С.А. Сложные колебания и жесткая потеря устойчивости геометрически нелинейных пластин при продольных нагрузках // Труды 18 Международной конференции по теории оболочек и пластин Саратов - 1997 -т. 1-е. 160-174.

31. Крысько В.А., Кузнецов В.Н. Сходимость одного проекционного методадля ортотронных пластин и оболочек // Тезисы докладов IV Международной конференции по механики неоднородных структур Тернополь - 1995 - с.389

32. Крысько В.А., Кузнецов В.Н. Устойчивость геометрически нелинейныхпластин и оболочек в температурном поле.// Труды XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин -Казань 1996 - т.П - с.25-30

33. Крысько В.А., Кузнецов В.Н., Кузнецова Т.А. Гладкость решений и сходимость проекционных методов для уравнений геометрически нелинейных пластин и оболочек // Труды Российско-Польской конференции по механике деформируемых тел -Саратов 1995 - с.40-45

34. Крысько В.А.,'Кузнецов В.Н. Вопросы устойчивости решений связной задачи термоупругости теории пластин и оболочек // Труды IV Международной конференции Ивано-Франковск - 1996 -ч.1-с.71-74.

35. Крысько В.А., Кузнецов В.Н., Полякова C.B. Нелинейные колебания пластин и оболочек под действием периодических продольных нагрузок Саратов - Сарат. техн. ун-т - 1995 - Деп. в ВИНИТИ 13.12.95, №3284-В95

36. Кузнецов В.Н. О единственности решений одного класса операторныхуравнений с переменными коэффициентами // Тезисы докладов 9ой Саратовской зимней школы по современным проблемам теории функций и их применений Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та- 1998-с.93

37. Кузнецов В.Н. К задаче единственности решений для нелинейных уравнений механики // Тезисы докладов Воронежской зимней школы по современным методам теории функций и смежным проблемам Воронеж: Изд-во ВГУ - 1999 - с.113 v

38. Кузнецов В. Н. Метод последовательного возмущения параметров и задача устойчивости решений нелинейных уравнений механики // Труды межвузовской конференции по современным проблемам нелинейной механики конструкций Саратов: Издательство СГТУ - 2000 - с.

39. Кузнецова C.B. Операторный подход в геометрически нелинейной задачеустойчивости изотропных оболочек под действием продольных нагрузок Диссертация на соискание уч. степени к.т.н. - Саратов - 1998

40. Кузнецова Т.А. Отыскание полугруппы операторов, целой экспоненциального типа на заданных подпространствах Диссертация на соискание уч. степени к.физ.-мат.н. - Саратов - 1980

41. Кузнецова Т.А. Эквивалентные операторы и вопросы сходимостипроекционных методов дляодного класса операторныхуравнений // Тезисы докладов 8ой Саратовской зимней школы по современным проблемам теории функций Саратов: Изд-во1. СГУ -1996 -с. 69

42. Купцов Н.П. Теория приближений и полугруппы операторов // Успехи математ. наук 1968 - т.23 - с. 117-179

43. Лионе Ж.-М. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач -М.: Мир 1972 -587 с.

44. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа М.: Наука - 1964 - 416 с.

45. Маслов В.П. операторные методы М.: Наука - 1973 - 543 с.

46. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике М.: Наука-1970 - 510 с.

47. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов М.: Наука -1966-432 с.

48. Морозов Н.Ф. К нелинейной теории тонких пластин // ДАН 1957 - 114, №5 - с.968-971

49. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек Казань: Таткнигиздат - 1957-471 с.

50. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек Л.: Судпромгиз - 1951 - 412 с.

51. Овчинников М.Г., Петров В.В. Определение долговечности элементов конструкций, взаимодействующих с агрессивной средой // Строит. Механика и расчёт сооружений 1982 - №2 - с. 13-18

52. Петров В,В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек // Диссертация на соиск. уч. степени д.т.н. Саратов - 1971

53. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек Саратов: Изд-во СГУ - 1975 - 173 с.

54. Петров В.В., Овчинников Н.Г., Ярославский В.И. Расчет пластин и оболочек из нелинейно-упругостного материала Саратов: Изд-во СГУ- 1976-133 с.

55. Петров В.В., Иноземцев В.К., Синева Н.Ф. Теория Наведенной неоднородности и ее применения к проблеме устойчивости пластин и оболочек Саратов: Изд-во СГТУ - 1996 - 312 с.

56. Саченков A.B. Об устойчивости оболочек за пределом упругости // Изв.

57. Казанского филиала АН. Серия физ.-мат. и техн. наук 1956 -№10-с,81-100

58. Свирский И.В. Метод Бубнова Галеркина и последовательные приближения - М.: Наука - 1968 - 278 с.

59. Соболев С.Л. Приближение функционального анализа к математической физике Л.: Наука - 1950 - 320 с.

60. Tumoshenko S.P. On the correction for shear of the differential equation for transverse vibration of prismatic bar // Philosophical Magazine -1921 41, №6 - ss.744-746izo

61. Тиман А.Ф. Теория приближений функций действительного переменного- М. : Физмат 1960- 624 с.

62. Феодосьев В.И. Об одном способе решения нелинейных задач устойчивости деформируемых систем // ПММ 1963 - Т.27 - №2 - с.7-12

63. Agmon S. The Lp approach to the Dirichlet problem. // J. Ann. Sc. Norm. Sup.

64. Jons J.L., Magenes;E. Problèmes aux limites non homogens et applications //

65. Они представляют собой фундаментальные теоретические положения в области обоснования применения численных методов решения нелинейных задач строительной механики.

66. Полученные результаты были использованы в НИР кафедры высшей математики, а также в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов строительной специальности.1. СГГУ