Математическое моделирование и численный анализ геометрически нелинейных оболочек тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Бессонов Леонид Валентинович

• Бессонов Леонид Валентинович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Бессонов Леонид Валентинович

Введение

Часть 1. Избранные вопросы функционального анализа и

теории оболочек

1.1 Некоторые вопросы функционального анализа

1.1.1 Самосопряжённые положительно определённые операторы и их свойства

1.1.2 Сильно непрерывные ограниченные полугруппы операторов

1.1.3 Пространства Соболева

1.1.4 Производные по Фреше и по Гато, нелинейные дифференцируемые операторы

1.2 Геометрически нелинейные модели пологих оболочек и их

численный анализ

1.2.1 Развитие геометрически нелинейных моделей оболочек

1.2.2 Прямые и вариационные методы расчёта НДС оболочек. Метод Бубнова Галёркина

1.2.3 Методов последовательных возмущений параметров для расчёта НДС пологих оболочек в докритической области параметров

1.3 Операторный подход в задачах существования, единственности

и гладкости решения модельных задач

1.3.1 Ограниченные полугруппы операторов и операторные уравнения

1.3.2 Вопросы существования, единственности и гладкости решений геометрически нелинейных моделей оболочек

Часть 2. Численный анализ пологих оболочек с

кусочно-алгебраической границей методом

Бубнова — Галёркина

2.1 Описание нелинейной модели и граничных условий

2.2 Построение ортогонального базиса в пространстве функций, удовлетворяющих граничным условиям

2.3 Оценка скорости сходимости метода Бубнова Галёркина в

случае оболочек с кусочно-алгебраическими границами

2.4 Анализ эффективности применения предлагаемого подхода

2.4.1 Сравнение с аналитическим решением на треугольной области

2.4.2 Сравнение с аналитическим решением на прямоугольной области

Часть 3. Численный анализ геометрически нелинейных

моделей методом последовательных возмущений параметров в области устойчивости параметров

3.1 Спектральный критерий локальной потери устойчивости оболочечных конструкций

3.2 Спектральный критерий локальной потери устойчивости и численная реализация метода последовательного возмущения параметров

3.3 Обзор и апробация полученных результатов

Часть 4. Реализация программного комплекса

4.1 Структура программного комплекса

4.2 Пакет прикладных программ предварительных вычислений

4.3 Основной расчётный пакет прикладных программ

Заключение

Список литературы

Приложение А. Полная аналитическая запись некоторых

функций параграфа

А.1 Функция прогиба

А.2 Функция невязки

Приложение Б. Листинги некоторых принципиальных

компонентов программного комплекса

Б.1 Построитель ортогональный системы

Б.2 Интерактивный построитель кривых Бернштейна-Безье

Б.З Построитель ортогональной системы и набора вспомогательных

коэффициентов

Б.4 Компоненты модулей, реализующих метод Бубнова Галёркина

и метод последовательного возмущения параметров

Б. 5 Деплой-скрипт

Приложение В. Свидетельство о государственной регистрации

программы для ЭМВ — программного комплекса для расчёта НДС геометрически нелинейных оболочек

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и численный анализ геометрически нелинейных оболочек»

Введение

Теория илаетии и оболочек имеет важное практическое значение и находит широкое применение при расчётах строительных конструкций, летательных аппаратов, деталей механизмов и машин. При этом эффективность расчёта оболочечных конструкций связана с разработкой математических моделей и созданием комплексов программ.

Вопросы математического моделирования оболочек и их численный анализ берут начало с работ Софи Жермен, Лагранжа, Коши, Пуассона, Кирхгофа. Более позднее развитие этих моделей связано с трудами таких отечественных и зарубежных учёных как С.А. Амбарцумян[1; 2], В.В. Болотин[11], И.Г. Бубнов[13], И.Н. Векуа[15], В.З. Власов[16; 17], A.C. Вольмир[18 20], PI.PI. Ворович[21], Б.Г. Галеркин[22], В.В. Галишникова[24; 25], PI.PI. Гольден-блат[12; 26], А.Л. Гольденвейзер[28 30], Э.Р1. Григолюк[31], В.В. Карпов[36 46; 48], H.A. Кильчевский[47], С.Г. Лехницкий[65], А.PI. Лурье[67 69], Х.М. Мушт-ари[75; 76], A.A. Назаров[78], В.В. Новожилов[79], П.Ф. Папкович[81], Б.Л. Пе-лех[27; 82; 83], Ю.Н. Работнов[89; 90], А.Р. Ржаницыи[91; 92], С.П. Тимошен-ко[99], В.PI. Феодосьев[101], К.Ф. Черных[103 105] и другие. Нужно отметить, что в теории технических оболочек особо важное значение имеют геометрически нелинейные модели пологих оболочек, т.е. модели, содержащие нелинейные слагаемые, отражающие гауссову кривизну оболочки, развитие которых связано с работами В.З. Власова, Х.М. Муштари[77] и других ученых.

Для численного анализа геометрически нелинейных моделей, как правило, используются такие известные методы как метод Бубнова Галёркина, метод сеток, метод конечных элементов и другие. В области устойчивости параметров часто используют метод В.В. Петрова метод последовательного возмущения параметров[84]. В данной работе изучаются вопросы, связанные с применением метода Бубнова Галёркина и метода последовательного возмущения параметров. Выбор этих методов обусловлен следующими соображениями. Метод Бубнова Галёркина является вариационным методом и позволяет искать верное решение при переходе через критические значения параметров, т.е. через такие значения, при которых теряется устойчивость конструкции, что аналитически интерпретируется как потеря свойства единственности решения модельной задачи. Метод последовательного возмущения параметров имеет неслож-

ыую в реализации численную схему и экономен в смысле операционных затрат, сводя решение нелинейной задачи к последовательности линейных задач.

Численный анализ геометрически нелинейных моделей оболочек на основе метода Бубнова Галёркина осуществляется наиболее эффективно в случае прямоугольных в плане оболочек, шарнирно закреплённых по краям. Это связано с наличием в случае указанных оболочек ортогонального базиса в пространстве функций, удовлетворяющих нулевым граничным условиям, что значительно упрощает схему вычисления методом Бубнова Галёркина при анализе нелинейной модели.

В случае непрямоугольных в плане оболочек, например, треугольных, трапециевидных, эллиптических, их численный анализ приводит к большой вычислительной погрешности, обусловленной сложностью вычислительной схемы. Зачастую, сложность конструкции и сложность области её опирания приводит к существенным затруднениям при получении аналитического решения уравнений модели. В частных случаях некоторых линейных моделей и некоторых типов областей опирания (прямоугольник, треугольник, трапеция, эллипс) удаётся получить аналитическое решение, см. например, работы A.A. Назарова, С.П. Тимошенко, С. Войновского-Кригера[78; 99]. В случае нелинейных моделей, для более сложных геометрий поверхностей, зачастую, на практике доступен лишь численный анализ, см. например, работы К.З. Галимова[23], Я.М. Гри-горенко[32], М.С. Корнишина[49; 50], Ч.Е. Милейчовского[72], В.Н. Паймуши-на[80] и др. Трудности применения метода Бубнова Галёркина связаны также с отсутствием оценок сходимости этого метода.

Требует совершенствования и процесс расчёта напряжённо-деформированного состояния (НДС) пологих оболочек на базе геометрически нелинейных моделей. Тот же метод Бубнова Галёркина даже в случае прямоугольных в плане оболочек требует сложной предварительной подготовки, связанной с взятием серии интегралов. С целью повышения быстродействия и точности вычислительного процесса при разработке программного комплекса необходимо использовать современные технологии программирования. Это не только повысит точность вычислений, но и позволит автоматизировать подготовительный процесс при вычислениях.

Вместе с тем, остаётся ряд малоизученных задач. В частности, встаёт задача определения такого класса геометрически нелинейных моделей оболочек, для которого применение метода Бубнова Галёркина позволит эффектив-

но (в смысле снижения вычислительной сложности при сохранении, или даже улучикмши точности решения) получать решение, как в случае прямоугольных в плане шарнирно закреплённых обол очечных конструкций, так и в более сложных случаях.

При численном анализе геометрически нелинейных моделей оболочек широко применяется метод В.В. Петрова, гарантируется верный результат только в области устойчивости параметров, т.е. при таких значениях параметров (нагрузка, геометрические размеры и др.), для которых не происходит потеря устойчивости. Те значения параметров, при которых происходит потеря устойчивости, называются критическими значениями параметров. Переход через критические значения параметров может привести к ложным решениям. Зачастую критические значения параметров заранее неизвестны, что осложняет применение метода. Поэтому актуальна задача определения области устойчивости параметров.

Цель исследований — определить расширенный класс геометрически нелинейных моделей, численный анализ которых с помощью указанных методов позволяет получать приемлемый по точности результат для достаточно произвольных в плане границ пологих оболочек, имеющих как шарнирный, так и жёсткий характер закрепления, а также создать программный комплекс с повышенной скоростью автоматизированных вычислений.

В связи с этой целью в работе решаются следующие задачи:

1. Определение расширенного класса геометрически нелинейных моделей оболочек, для которого в пространстве функций, удовлетворяющих граничным условиям строится ортогональный базис.

2. Определение для полученного класса моделей скорости сходимости метода Бубнова — Галёркина в зависимости от гладкости полученных решений.

3. Разработка алгоритма расчёта напряжённо-деформированного состояния (НДС) оболочек, однозначно разрешимого аппаратом символьных вычислений, позволяющего аналитически проверить результаты численных расчётов.

4. Разработка численной схемы, позволяющей определять область допустимых значений параметров при применении метода последовательного возмущения параметров в рассматриваемом случае.

5. Разработка эффективного программного комплекса для расчёта НДС оболочек и сопряжённых с этим расчётом задач для рассматриваемого случая.

В силу вышесказанного тема диссертационной работы является актуаль-

Научная новизна:

1. Определён расширенный класс геометрически нелинейных моделей пологих оболочек, отличающийся тем, что область О (проекция оболочки на плоскость опоры), имеет границу составленную из линий, заданных произвольными алгебраическими уравнениями. Этот класс отличается тем, что имеет произвольные в определённом смысле граничные условия, при этом для известных задач (прямоугольных, треугольных, трапециевидных, круговых в плане оболочек и некоторых других частных случаев) решение получается сравнимое по точности с аналитическим. И в то же время, удаётся получить решение для более экзотических конфигураций границ оболочки. При этом наряду с шарнирным закреплением возможно и жёсткое закрепление краёв оболочки. Предложен достаточно простой алгоритм построения ортогонального базиса в пространстве функций, непрерывных в области О, удовлетворяющих граничным условиям поставленной задачи, и существенно упрощающий расчёт оболочечной конструкции методом Бубнова — Галёркина, по сравнению с подходом, использующим неортогональные базисы.

2. Для предложенных геометрически нелинейных моделей разработан алгоритм расчёта НДС оболочек, однозначно разрешимый аппаратом символьных вычислений компьютерной алгебры, что позволило получить аналитическое решение для верификации численного решения.

3. Для предложенных геометрически нелинейных моделей пологих оболочек разработана численная схема, позволяющая в расчётах получить область критических значений параметров, приводящих к ложным решениям в методе последовательных возмущений параметров.

4. Для предложенных геометрически нелинейных моделей получена оценка скорости сходимости метода Бубнова — Галёркина при расчёте НДС в зависимости от гладкости начальных условий, что позволяет определить требуемое число слагаемых при разложении в ряд по ортогональному базису и существенно повышает эффективность метода.

5. Разработан программный комплекс для расчета НДС геометрически нелинейных оболочек, для которых область Q имеет кусочно-алгебраическую границу, учитывающий модификации метода Бубнова — Галер-кина и метода последовательных возмущений параметров, основанный на современных высокопроизводительных API языков программирования Java и Python.

Практическая и теоретическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы для расчёта НДС пологих оболочечных конструкций в случае области определяемой поверхностью оболочки, являющейся ограниченной областью с кусочно-алгебраической границей методом Бубнова — Галёркина и методом последовательного возмущения параметров. Для практического применения полученных в работе теоретических результатов разработан программный комплекс. Результаты работы могут быть использованы как в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов и аспирантов соответствующих направлений подготовки, так и специалистами при решении соответствующих задач теории оболочек и соответствующих прикладных областей, например, технической теории оболочек, строительной механики.

Объект исследования. Объектом исследования диссертации является определенный класс нелинейных моделей пологих оболочек, численные методы: метод Бубнова — Галёркина, метода последовательных возмущений параметров и их модификации.

Предмет исследования. Предметом исследования является НДС исследуемого класса геометрически нелинейных оболочечных конструкций.

Методология и методы исследования. В работе используются методы функционального анализа, методы рядов Фурье в различных функциональных пространствах, операторный метод.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Модификация метода Бубнова — Галёркина для случая геометрически нелинейных моделей пологих оболочечных конструкций с областью^, определяемой поверхностью оболочки, являющейся ограниченной областью, имеющей кусочно-алгебраическую границу. Эта модификация позволяет для известных задач (прямоугольных, треугольных, трапециевидных, круговых в плане оболочек и некоторых других частных случаев) получать решение, сравнимое по точности с аналитическим. И в то же время, построенная модификация позволяет получить решение

для более экзотических, ранее не рассматривавшихся, конфигураций границ оболочки. При этом наряду с шарнирным закреплением возможно и жёсткое закрепление краёв обол очки. Оценка скорости сходимости метода Бубнова — Галёркина в зависимости от гладкости начальных условий.

2. Определение области единственности решения модельной задачи в результате использования спектрального критерия локальной потери устойчивости в ходе процедуры применения метода последовательных возмущений параметров при расчёте НДС пологих оболочек с кусочно-алгебраическими границами области Q как в случае шарнирного, так и в случае жёсткого закрепления краёв оболочки.

3. Основные положения реализации программного комплекса расчёта НДС геометрически нелинейных моделей пологих оболочек, для которых область Q имеет кусочно-алгебраические границы, и иллюстрации возможностей этого комплекса на отдельных примерах. А именно, разработка алгоритма построения ортогонального базиса, однозначно разрешимого средствами компьютерной алгебры; применение для реализации алгоритмов символьных и численных расчётов современных высокоэффективных API языков программирования Python и Java; применение архитектуры программного комплекса, позволяющей модульно делать замены компонентов.

Достоверность полученных в диссертационной работе результатов обеспечивается строгими теоретическими выкладками и доказательствами, опирающимися на методы функционального анализа, теории функций, а также на ранее полученные результаты учёных, работавших над смежными вопросами. Также достоверность обеспечивается сравнением отдельных полученных результатов с аналогичными результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на кафедральном семинаре кафедры компьютерной алгебры и теории чисел СГУ имени Н.Г. Чернышевского, Саратов, 2012-2016; внутревузов-ской конференции «Актуальные проблемы математики и механики» СГУ имени Н.Г. Чернышевского, Саратов, 2012-2016; I Внутревузовской научно-практической конференции студентов и аспирантов, СГУ имени Н.Г. Чернышевского, Саратов, 2013; Международной конференции «MECHANICS, SIMULATION AND CONTROL» (ICMSC-2015), Санкт-Петербург, 2015; Девятнадцатой Меж-

и

дународной конференция по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2015), Алушта, 2015; XV международной конференции «Современные концепции научных исследований», Москва, 2015; X Всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», нос. Дивноморское, 2015; XI Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Казань, 2015.

Личный вклад. Решение поставленных задач, доказательство, анализ результатов и выводы из них получены автором самостоятельно. В выполненных в соавторстве работах соискателю в равной степени принадлежат как постановка задачи, так и результаты выполненных исследований.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах, из них 3 статьи [ ; ; ] в рецензируемых журналах, входящих в перечень журналов, рекомендуемых ВАК, 2 статьи в рецензируемых журналах[ ; ], 3 статьи в сборниках трудов конференций[ ; ; ]. Получено 1 авторское свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ[88], написанной по результатам исследований, приведённых в диссертационной работе, а также включающей ранее известные факты.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка цитированной литературы и приложений. Полный объём диссертации составляет 160 страниц, включая 19 рисунков. Список литературы содержит 140 наименований.

Краткое содержание работы Введение содержит постановку задачи, краткий обзор исследований, непосредственно примыкающих к теме диссертации, а также анализ полученных результатов с точки зрения их новизны по сравнению с известными, приводится краткое содержание работы.

В первой части диссертации рассматриваются некоторые вопросы функционального анализа, необходимые при изложении основных результатов диссертационной работы. Кроме того, в этой части рассматривается класс геометрически нелинейных моделей пологих оболочек, где функции прогиба и усилий удовлетворяют краевым условиям в форме Неймана, и избранным вопросам их численного анализа. В частности, приводится теорема о существовании и единственности решения определённого класса модельных задач для случая

прямоугольных 13 плане оболочек, формулировка которой была введена в [54]. Доказательство приводится полностью в силу трудиодоступпости первоисточника. Однако приведённое доказательство сделано в более подробном виде, чем было представлено в первоисточнике, а также допоилено некоторыми важными для настоящей работы фактами, приёмами и декомпоновано на вспомогательные утверждения.

Вторая часть посвящена численному анализу пологих оболочек с кусочно-алгебраической границей методом Бубнова Галёркина. Описывается предложенный в диссертации класс геометрически нелинейных моделей пологих оболочек с кусочно-алгебраическими границами плана оболочки, для которого разрабатывается конструктивный алгоритм построения ортонормированного базиса в пространстве функций, удовлетворяющих граничным условиям краевой задачи. Предложенный класс моделей рассматривается на частном случае модели Кармана, что не ограничивает общность результата. В параграфе 2.2 формулируется и доказывается теорема 1 о существовании ортонормированного базиса для указанного класса моделей. Показывается, что метод Бубнова Галёркина в случае таких моделей и применения ортонормированного базиса, построенного по разработанному алгоритму, даёт подобные в смысле эффективности результаты как и в случае прямоугольных в плане оболочек. С этой целью делается сравнение полученных с применением предложенного подохода результатов с аналитическими решения решениями для случая линейных моделей на треугольной и прямоугольной областях. Здесь же делается вывод об эффективности применения предложенного подхода на базе систем компьютерной алгебры и современных систем автоматизированного проектирования. В параграфе 2.3 формулируется и доказывается теорема 4 об оценке скорости сходимости метода при использовании построенного ортонормированного базиса, строится оценка скорости сходимости, позволяющая при численном анализе выбрать усечение базиса для достижения оптимального результата. Перед доказательством теоремы 4 формулируется опорные теоремы: теорема 2 о принадлежности решений операторного уравнения определённого типа области определения оператора д2г и те0рему о скорости сходимости последовательности функций заданного вида к решению указанного операторного уравнения.

В третьей части для геометрически нелинейных моделей пологих оболочек с кусочно-алгебраическими границами приводится модификация метода последовательных возмущений параметров, в результате которой определяется об-

ласть докритических значений параметров, при которых возможно применение этого метода.

В четвёртой части описывается программный комплекс, реализованный по результатам проведённых теоретических исследований. Комплекс включает в себя как ранее известные результаты, так и новые, полученные в рамках диссертационного исследования. Также приводятся примеры применения реализованного программного комплекса.

В заключении приводятся основные результаты и делаются выводы.

В приложениях представлены аналитические записи функций, которые в силу их громоздкого вида не были полностью представлены в тексте работы, а также приводятся листинги различных элементов программного комплекса.

Часть 1. Избранные вопросы функционального анализа и теории

оболочек

В настоящее время трудно представить современную трактовку полученных результатов в области исследования решений краевых задач без привлечения идей и методов функционального анализа. Большая заслуга в этом принадлежит таким учёным как Л. С. Соболев, М. А. Красносельский, С. Г. Михлин, И. И. Воронин и многие другие.

Начиная с 60-х годов XX века в теории краевых задач особенно эффективно стали применяться методы функциональных полугрупп операторов. Здесь следует отметить работы Э. Хилле и Р. Филлипса [102], С. Г. Крейна [52], С. Ми-зохата [71] и других авторов.

Применяя метод сильно непрерывных полугрупп операторов С. Г. Крейн по-новому доказал теоремы существования и единственности решений линейных уравнений механики. [52] В работах [54; 57] в отличие от результатов С. Г. Крейна метод сильно непрерывных ограниченных полугрупп операторов позволил решить задачу о гладкости решений и скорости сходимости проекционных методов для нелинейных уравнений механики. Существенную роль при получении этих результатов сыграли два новых момента. Во-первых, авторами был разработан так называемый метод линейной аппроксимации по отдельным параметрам, который позволил свести задачи единственности, гладкости решений, задачу определения скорости сходимости проекционных методов для достаточно широкого класса нелинейных уравнений теории пластин и оболочек к соответствующим задачам для последовательности систем линейных уравнений. Вторым моментом является применение ограниченных полугрупп операторов, которые приобрели важное значение в теории приближений [59; 63; 97], что позволило решить задачу о гладкости решений систем линейных уравнений теории пластин и оболочек.

В начале этой части приведены сведения из функционального анализа, необходимые для изложения дальнейших) материала. Более подробное изложение базовых сведений можно найти в [34; 60; 61; 70; 100]. Вторая половина части посвящена вопросам нелинейных моделей оболочек и их численному анализу.

1.1 Некоторые вопросы функционального анализа

1.1.1 Самосопряжённые положительно определённые операторы и

их свойства

Укажем свойства самосопряжённых положительно определённых операторов, которые используются при построении численных методов решения операторных уравнений, а также при выводе различных критериев, например, критерия локальной потери устойчивости.

Будем рассматривать операторы, заданные в гильбертовом пространстве.

Определение 1. Пространство Н над полем К называется гильбертовым, если это банахово (линейное нормированное полное) пространство, норма в котором порождена скалярным произведением — эрмитовой положительно определённой формой (х,у) : Н х Н ^ К, то есть функцией от двух аргументов, обладающей следующими свойствами:

— линейность по первому аргументу: Ух, у,х € Н У а, в € К (ах + ву, х) = а(х,г) + в(у,г); _

— эрмитова симметричность: Ух, у € Н (х,у) = (у,х);

— положительная определённость: Ух € Н (х,х) ^ 0; Ух € Н ((х,х) = 0 ^^ ж = 0);

Очевидно, что в том случае, когда К = К, эрмитовость формы вырождается в билинейность.

Определение 2. Сопряжённым к данному линейному пространству Е называется пространство Е* всех линейных функционалов на Е.

Е

гильбертово, то согласно теореме Рисса существует канонический изоморфизм Е Е*

Определение 3. Пусть Еж, Еу — линейные пространства, и пусть А : Ех ^ Еу — линейный оператор. Тогда для любого линейно го функционала ф € Е* оператор А порождает линейный функционал / € Е* по следующей формуле:

/(х) = ср(Аж). Таким образом, построен оператор А* : Е* ^ Е*, который называется сопряжённым, оператором к оператору А.

Очевидно, что так как р е Е* и А линейны, то оператор А* также линеен.

Если оператор А является эндоморфизмом Е, то А* является эндомориз-Е*

А : Е ^ Е А* : Е* ^ Е*, Е

изоморфизма Е и Е* можно считать, что А* задан на самом Е.

Определение 4. Оператор А : Н ^ Н называется самосопряжённым, если он равен своему сопряжённому оператору, т.е. А = А*.

Определение 5. Линейный оператор А : Н ^ Н, у которого область определения О (А) всюду плот на в Н, называется симметрическим, если

Ух,у е И (А) (Ах,у) = (х,Ау).

Приведём без доказательства несколько утверждений относительно симметрических операторов.

Теорема. Область определения, А*, сопряжённого к симметрическому оператору А, может быть шире, чем область определения, самого А.

Теорема. Если симметрический оператор определён на всём пространстве, то он ограничен.

Теорема. Симметрический всюду определённый оператор, заданный на гильбертовом пространстве, является самосопряжённым.

Введём важные для нас понятия собственного значения и спектра оператора.

Определение 6. Собственным значением оператора А : Н ^ Н называется такое значение Л е К Для которого существует х е Н, такое, что Ах = Лх.

Определение 7. Спектром оператора А : Н ^ Н называется множество всех его собственных значений.

Теорема. Спектр самосопряжённого оператора состоит из действительных значений.

Н

соответствующий самосопряжённому оператору А : Н ^ Н7 состоящий из нормированных собственны,х элементов, соответствующих различным, собственным значениям оператора А.

Определение 8. Симметрический оператор А называется положительным, если

Ух € И (А) (Ах, х) ^ 0; (Ах, х) = 0 ^^ х = 0.

Определение 9. Симметрический оператор А называется положительно определённымесли

ЗС> 0 Ух € Б (А) (Ах, х) ^ С ||ж||2.

Теорема. Пусть А — положительный оператор. Тогда, уравнение Ах = / и,м,еет в заданном, пространстве не более одного решения.

1.1.2 Сильно непрерывные ограниченные полугруппы операторов

Используя методы сильно непрерывных полугрупп операторов, С.Г Крейн [52] доказал теоремы существования и единственности решений некоторых линейных уравнений механики. Позднее, в работах [54; 56; 57] на основе методов сильно непрерывных полугрупп были получены результаты о гладкости решений и скорости сходимости проекционных методов для нелинейных краевых задач механики на прямоугольных областях с нулевыми граничными условия-

Определение 10. Пусть Н — комплексное банахово пространство. Семейство ограниченных линейных операторов V€ (-го; то), действующих в пространстве называется сильно непрерывной ограниченной группой операторов (С.Н.О.Г.О.), если выполняются следующие условия: " V(0) - Е;

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бессонов Леонид Валентинович, 2017 год

Список литературы

1. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. — М. : Наука, 1974. - 446 с.

2. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных оболочек. — М. : Физматизд, 1961. - 384 с.

3. Бабенко К. И. Основы численного анализа. — М.: Наука, 2002. — 848 с.

4. Бессонов Л. В. Геометрические параметры и точки локальной потери устойчивости цилиндрической оболочки // Студенческая наука: перекрёстки теории и практики. Материалы I Внутривузовской научно-практической конференции студентов и аспирантов. — Саратов, 2013. — С. 20—23.

5. Бессонов Л. В. Об операторном подходе при расчёте напряжённо-деформированного состояния оболочечных конструкций //XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Казань, 20-24 августа 2015 г. : сборник трудов. — Казань: Пиво Казанского (Приволжского) федерального ун-та. — Казань, 2015. — С. 467 469.

6. Бессонов Л. В. Численная реализация алгоритма спектрального критерия устойчивости оболочечных конструкций // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвузовский сборник научных трудов. - Саратов, 2012. - С. 3 9.

7. Бессонов Л. В. Численная реализация метода последовательного возмущения параметров при расчете напряжённо-деформированного состояния оболочечной конструкции в случае жесткого закрепления краев оболочки // Изв. Сарат. ун-та Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. — Саратов, 2015. — Т. 15, № 7. — С. 74 79.

8. Бессонов Л. В. Численная реализация спектрального критерия определения точек локальной потери устойчивости оболочечной конструкции // Материалы XIX Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМ-СППС'2015). - Алушта, 2015. - С. 223-225.

9. Бессонов Л. В.7 Кузнецов В. Кузнецова Т. А. Ограниченные полугруппы операторов и вопросы сходимости метода Бубнова Га пёркини для одного класса нелинейных уравнений пологих оболочек // Чебышевский сборник: Науч.-теор. журн. — Тула, 2016. — Т. XVII, 4(60). — С. 110 123.

10. Бессонов Л. В., Кузнецова Т. А., Чумакова С. В. О численной реализации метода последовательного изменения параметров при расчёте напряженно-деформированного состояния пологих оболочек // Чебышевский сборник: Науч.-теор. журн. — Тула, 2016. — Т. XVII, 3(59). — С. 18 28.

11. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. — М. : Го-стехтеориздат, 1956. — 360 с.

12. Болотин В. В.7 Гольденблат И. И.7 Смирнов А. Ф. Строительная механика. Современное состояние и перспективы развития. — М. : Стройиздат, 1972. - 192 с.

13. Бубнов И. Г. Избранные труды. — Л. : Судпромгиз, 1956. — 493 с.

14. Вабищевич П. Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1991. — 160 с.

15. Веку а И. Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. — М.: Наука, 1982. — 285 с.

16. Власов В. 3. Общая теории оболочек и ее приложения в технике. — М. : Л., 1949. - 784 с.

17. Власов В. 3. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек // Прикладная математика и механика. — 1944. — Т. 8, Л" 2. - С. Ю9—140.

18. Волъмир А. С. Гибкие пластины и оболочки. — М. : Гостехиздат, 1956. — 419 с.

19. Волъмир А. С. Нелинейная динамика пластин и оболочек. — М. : Наука, 1972. - 120 с.

20. Волъмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. — М. : Наука, 1967. - 984 с.

21. Ворович И. И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. — М. : Наука, 1989. — 373 с.

22. Галеркин Б. Г. Собрание сочинений. Т. 2. — М. : Издательство АН СССР, 1953. - 440 с.

23. Галимов К. 3. Теория оболочек с учетом поперечного сдвига. Казань; Изд-во Казанского ун-та, 1977. — 210 с.

24. Галишникова В. В. Унифицированный и общий подход к геометрически нелинейному расчёту строительных конструкций // Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Серия: Технические науки. — 2006. — № 6. — С. 42—66.

25. Галишникова В. В.7 Хейдари А. Факторы, влияющие на критическую нагрузку и распространение местной потери устойчивости в сетчатых оболочках (современные достижения) // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Инженерные исследования. — 2013. - № 1. -С. 118-133.

26. Гольденблат И. И. Нелинейные проблемы теории упругости. — М. : Физ-матгиз, 1969. — 336 с.

27. Гольденвейзер А. Л. Некоторые вопросы развития теории и методов расчета анизотропных оболочек и пластин с конечной сдвиговой жесткостью // Механика полимеров. — 1973. — № 2. — С. 269—284.

28. Гольденвейзер А. Л. Погранслой и его взаимодействие с внутренним на-пряженым состоянием тонкой оболочки // Прикладная математика и механика. - 1969. - Т. 33, № 6. - С. 996-1028.

29. Гольденвейзер А. Л. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // Прикладная математика и механика. — 1962. — Т. 26, № 4. — С. 668-686.

30. Гольденвейзер А. Л. Теория тонких упругих оболочек. — М. : Наука, 1976. - 512 с.

31. Григолюк Э. И. Устойчивость сферической оболочки при конечных прогибах и несимметричной деформации // Изв. АН СССР ОТН Механика и машиностроение. — 1960. — № 6. — С. 68—73.

32. Григоренко Я. Л/.. Василенко А. Т. Методы расчета оболочек. Теория оболочек переменной жесткости. Т. 4. — К.: Наукова Думка, 1981. — 544 с.

33. Кантор Б. Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек. — К. : Наукова думка, 1971. — 136 с.

34. Канторович Л. В.7 Акимов Г. П. Функциональный анализ. — М. : Наука, 1977. - 741 с.

35. Канторович Л. В.7 Крылов В. И. Приближённые методы высшего анализа. — М. : Физматлит, 1977. — 710 с.

36. Карпов В. В. Анализ алгоритмов исследования устойчивости тонкостенных оболочек // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Мат. Мех. Инф. — 2012. - Т. 12, № 1. - С. 63-69.

37. Карпов В. В. Геометрически нелинейные задачи для пластин и оболочек и методы их решения. — СПб.: Изд-во СПб гос. архитект.-строит. ун-та, 0199. - 154 с.

38. Карпов В. В. Математическое моделирование, алгоритмы исследования модели, вычислительный эксперимент в теории оболочек. — СПб.: Изд-во СПб гос. архитект.-строит. ун-та, 2006. — 330 с.

39. Карпов В. В. О погрешности линеаризации при расчёте гибких оболочек // Механика деформируемых сред. — 1976. — № 4. — С. 102—108.

40. Карпов В. В., Баранов Д. А., Семёнов А. А. Компьютерное моделирование местных и общих форм потери устойчивости тонкостенных оболочек // Вычислительная механика сплошных сред. — 2015. — Т. 8, № 3. — С. 229-244.

41. Карпов В. В.7 Баранова Д. А., Беркалиев Р. Т. Программный комплекс исследования устойчивости оболочек. — СПб.: Изд-во СПб гос. архи-тект.-строит. ун-та, 2009. — 104 с.

42. Карпов В. В.7 Горячевских А. В. Системы аппроксимирующих функций при различных способах закрепления контура оболочки // Промышленное и гражданское строительство. — 2012. — № 2. — С. 23—24.

43. Карпов В. В.7 Москаленко Л. П. Алгоритм решения задач устойчивости подкреплённых оболочек, основанный на методе продолжения решения по параметру // Вестник гражданских инженеров. — 2010. — Т. 3. — С. 40-42.

44. Карпов В. В.7 Панин А. П. Математическое моделирование и расчёт элементов строительных конструкций. — СПб.: Изд-во СПб гос. архи-тект.-строит. ун-та, 2013. — 176 с.

45. Карпов В. В.7 Пет,рое В. В. Уточнение решений при использовании шаговых методов в теории гибких пластинок и оболочек // Изв. РАН. МТТ. — 1975. - Т. 5. - С. 189-191.

46. Карпов В. В., Семёнов А. А. Безразмерные параметры в теории подкреплённых оболочек // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. — 2015. Т. 3. С. 74— 94.

47. Килъчевский П. А. Основы аналитической механики оболочек. — Киев.: Изд-во АН УССР, 1962. - 354 с.

48. Компьютерные технологии расчёта оболочек / В. В. Карпов, А. Ю. Атис-ков, Д. А. Баранова [и др.]. — СПб.: Изд-во СПб гос. архитект.-строит. ун-та, 2012. — 184 с.

49. Корнишин М. С., Паймушин В. Фирсов В. А. К решению двумерных задач механики деформирования оболочек сложной геометрии // Вопросы вычислительной и прикладной математики. — 1980. — № 60. — С. 70— 79.

50. Корнишин, М. С., Савинов В. Расчет гибких составных тонкостенных конструкций методом суперэлементов // Труды семинара по теории оболочек, _ 1980. - Т. XIX. - С. 94-102.

51. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. — М. : Гостехиздат, 1956. — 392 с.

52. Крейн С. Г. Нелинейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1967. — 256 с.

53. Крысько В. А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. — Саратов : Издательство Саратовского университета, 1976. — 216 с.

54. Кузнецов В. П. Метод последовательного возмущения параметров в приложении к расчёту динамической устойчивости тонкостенных конструкций [Текст] : дис. ... д-ра техн. наук : 05.23.17 / Кузнецов В. Н. — Саратов, 2000. - 167 с.

55. Кузнецов В. Я, Кузнецова Т. А., Чумакова С. В. О численной реализации метода последовательных нагружений при расчёте геометрически нелинейных оболочек // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвузовский сборник научных трудов. - Саратов, 2010. - № 6. - С. 37-43.

56. Кузнецов В. Я, Кузнецова Т. А., Чумакова С. В. Операторные методы в нелинейной механике // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвузовский сборник научных трудов. — Саратов, 2003. Л'° 1. С. 70—80.

57. Кузнецов В. Я, Кузнецова Т. А., Шабанов Л. Е. Операторный подход к задаче статической потери устойчивости оболочечных конструкций // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвузовский сборник научных трудов. — Саратов,

2003. - № 1. - С. 59-69.

58. Кузнецова Т. А. Ограниченная группа операторов и теория приближений в комплексных областях // Вычислительные методы и программирование: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 1981. — С. 53—62.

59. Кузнецова Т. А. Отыскание полугруппы операторов целого экспоненциального типа на заданных подпространствах [Текст] : дне. ... канд. физ.-мат. наук : 01.01.06 / Кузнецова Т. А. — Саратов, 1980. — 82 с.

60. Кузнецова Т. А., Кузнецов В. Я. Ограниченные полугруппы операторов и их приложения. — Саратов : Издательство Саратовского университета,

2004. - 36 с.

61. Кузнецова Т. А., Кузнецов В. Я. Функциональный анализ и полугруппы операторов: учебное пособие. — Саратов : Саратовский государственный технический университет, 2001. — 150 с.

62. Кузнецова Т. А., Шабанов Л. Е.7 Чумакова С. В. Спектральный критерий локальной потери устойчивости прямоугольных в плане оболочечных конструкций // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред. Межвузовский научный сборник. — Саратов, 2003. - С. 143-146.

63. Купцов Я. Я. Теория приближений и полугруппы операторов // УМН. — 19б8_ _ Т_ 23. - С. 117-179.

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

Курант Р., Фридрихе К., Леей Г. О разностных уравнениях математической физики // УМН. - 1941. — № 8. — С. 125-160.

Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. — М. : Наука, 1977. - 368 с.

Лионе Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. — М. : Мир, 1972. - 104 с.

Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. — М. : Наука, 1980. — 512 с.

Лурье А. И. Статика тонкостенных упругих оболочек. — М. : Гостехиздат, 1947. - 252 с.

Лурье А. И. Теория упругости. — М. : Наука, 1970. — 939 с.

Люетерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — М. : Наука, 1965. - 520 с.

Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. — М.: Мир, 1977. - 340 с.

Милейчовекий Ч. Е.7 Купэр А. К. Гипары : расчет и проектирование пологих оболочек покрытий в форме гиперболических параболоидов. — М.: Стройиздат, 1978. — 223 с.

Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. — М. : Наука, 1970. - 510 с.

Михлин С. Г. Численная реализация вариационных методов. — М. : М., 1966. - 280 с.

Муштари X. М. Об одном возможном подходе к решению задач устойчивости тонких цилиндрических оболочек произвольного сечения // Труды Казанского авиац. ин-та. — 1935. — № 4. — С. 19—31.

Муштари X. М. Об устойчивости круглой тонкой цилиндрической оболочки при кручении // Труды Казанского авиац. ин-та. — 1934. - № 2. -С. 3-17.

Муштари X. Л/.. Галимов К. 3. Нелинейная теория упругих оболочек. — Казань : Изд-во Каз. филиала АН СССР, 1957. — 431 с.

Назаров А. А. Основы теории и методы расчета пологих оболочек. — Л.: Стройиздат, 1966. — 303 с.

79. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. — Л. : Судостроение, 1962. — 431 с.

80. Паймушин В. П. К вариационным методам решения нелинейных пространственных задач сопряжения деформируемых тел // ДАН СССР. — 1983_ _ Т 273, № 5. - С. 1083-1086.

81. Папкович П. Ф. Труды по строительной механике корабля. Т. 2. — Л. : Судпромгиз, 1962. — 640 с.

82. Пелех Б. Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. — Киев : Наукова Думка, 1973. - 248 с.

83. Пелех Б. Л.7 Сухорольский М. А. Контактные задачи теории упругих анизотропных оболочек. — Киев : Наукова Думка, 1980. — 217 с.

84. Пет,ров В. В. Метод последовательных ни гружен и и в нелинейной теории пластин и оболочек. — Саратов : Издательство Саратовского университета, 1975. - 118 с.

85. Петров В. В., Иноземцев В. К., Синёва П. Ф. Теория наведённой неоднородности и её приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек. — Саратов : Издательство Саратовского технического университета, 1996. - 312 с.

86. Петров В. В., Овчинников П. Г., Ярославский В. И. Расчёт пластинок и оболочек из нелинейно-упругого материала. — Саратов : Издательство Саратовского университета, 1976. — 136 с.

87. Порт,ян,ки,н, П. A. Swing: Эффектные пользовательские интерфейсы, 2-е издание. — СПб. : Лори, 2011. — 608 с.

88. Программный комплекс для расчёта напряжённо-деформированного состояния геометрически нелинейных оболочек [Текст] : а. с. 2016662160 Рос. Федерация / Л. В. Бессонов, В. А. Матвеев (РФ) ; СГУ имени Н.Г. Чернышевского. — № 2016616752 ; заявл. 27.06.2016 ; опубл. 31.10.2016.

89. Работное Ю. П. Локальная устойчивость оболочек // ДАН СССР. — 1946. - Т. 52, № 2. - С. 111—112.

90. Работное Ю. П. Основные уравнения теории оболочек // ДАН СССР. — 1945. - Т. 47, № 5.

91. Ржаницын А. Р. Новые методы расчета строительных конструкций. — М.: Стройиздат, 1971. — 238 с.

92. Ржаницын А. Р. Устойчивость равновесия упругих систем. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1955. — 476 с.

93. Роджерс Д., Адаме Д. Математические основы машинной графики. — М. : Мир, 2001. - 604 с.

94. Рябенький В. С., Филиппов А. Ф. Об устойчивости разностных уравне-!пи"1. — М.: Гостехиздат, 1956. — 172 с.

95. Соболев В. И. О собственных элементах некоторых нелинейных операторов // ДАН СССР. - 1941. - Т. 31, № 5. - С. 734-736.

96. Соболев С. Л. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике. — Л. : Издательство Ленинградского государственного университета, 1950.

97. Терёхин А. П. Ограниченная группа операторов и наилучшее приближение // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика: межвуз. науч. сб. — Саратов: Изд-во Сарт.гос.техн.ун-та. — 1975. — С. 1— 23.

98. Терёхин А. П. Полугруппы операторов и смешанные свойства элементов банахова пространства // Мат. заметки. — 1974. — Т. 16:1. — С. Ю7—115.

99. Тимошенко С. 77., Войновекий-Кригер С. Пластинки и оболочки. — М. : Физматизд, 1966. — 636 с.

100. Треногин В. А. Функциональный анализ. — М. : Главная редакция физико-математической литературы, 1980. — 496 с.

101. Феодоеьев В. И. Об одном способе решения нелинейных задач устойчивости деформируемых систем // Прикладная математика и механика. — 1963. - Т. 27, № 2. - С. 265-274.

102. Хилле 9.. Филлипе Р. Функциональный анализ и полугруппы. — М.: Изд-во иностр. лит., 1962. — 624 с.

103. Черных К. Ф. Ведение в анизотропную упругость. — М. : Наука, 1962. — 190 с.

104

105

106

107

108

109

110

111

112

ИЗ

114

115

116

117

118

Черных К. Ф. Линейная теория оболочек. Часть 1. Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1962. 274 с.

Черных К. Ф. Линейная теория оболочек. Часть 2. Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1964. 395 с.

Шабанов Л. Е. Вопросы численной реализации метода последовательных возмущений при расчёте оболочечных конструкций: дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.02.04 / Шабанов Л. Е. Саратов, 2005. 102 с.

Шкутин Л. И. Введение двух разрешающих функций в уравнения непологих оболочек // ДАН СССР. 1972. Т. 204, № 4. С. 809 811.

Path SVG 1.1 (Second Edition) / E. Dahlstrom, P. Dengler, A. Grasso [и др.] ; World Wide Web Consortium. 05.2017. URL: https://www.w3. org/TR/SVGll/paths.html#PathDataCnbicBezierCommands.

SymPy Development Team Sympy / Sympy.org. 05.2017. URL: http: / /www. sympy.org.

Sympy project statistics on Open HUB / A. Menrer, C. Smith, K. Snominen [и др.] ; Sympy.org. 05.2017. URL: https://www.openhub.net/p/sympy.

The Official SymPy Blog / A. Menrer, F. Pedregosa, O. Certík [и др.] ; Sympy.org. 05.2017. URL: http://sympy.blogspot.ru/.

A multi-faceted language for the Java platform / Apache Groovy project. — 05/2017. —URL: http://groovy-lang.org/.

Abeles P. Efficient Java Matrix Library (EJML). — 05/2017. — URL: http://ejml.org/wiki/index.php?title=Main_Page.

Berlekamp E. R. Factoring Polynomials Over Finite Fields // Bell System Technical Journal. — 1967. — No. 46. — P. 1853-1859.

Bessonov L. V. Numerical Realization of The Method of Subsequent Parameters Perturbation for Calculating a Stress-Strain State of The Shell // Applied Mechanics and Materials. — 2015. — Vol. 779-800. — P. 656-659.

Blanco-Silva F. Learning SciPy for Numerical and Scientific Computing. — Packt Publishing, Limited, 2013. — 150 p.

Bressert E. SciPy and NumPy. — O'Reilly, 2012. — 57 p.

Davenport J. H. On the integration of algebraic functions. — Springer, 1981. — 102 p.

119. Donnell L. H. A new theory for the buckling of thin cylinders under axial compression and bending // Transactions ASME (AER-56-12). — 1934. — Vol. 56. — P. 795-806.

120. Fateman R. J. Essays in algebraic simplification: tech. rep. / Massachusetts Institute of Technology. — 01/1972. — 191 p.

121. Foppl A. Vorlesungen uber technische Mechanik // Die wichtigsten Lehren der höheren Elastizitatstheorie. Leipzig: B. G. Teubner. — 1907. — Vol. 5. — P. 132.

122. Gathen J. von zur, Gerhard J. Modern Computer Algebra, Third Edition. — Cambridge University Press, 2013. — 808 p.

123. Java SE Licensees / Oracle America, Inc. — 05/2017. — URL: http: / / www. oracle. com / technetwork / java / javase / overview / licensees - jsp-136136.html.

124. Karman T. Festigkeitsprobleme in Maschinenbau. Enzyklopadie der Mathematischen Wissenschaften // Mechanik. Teilband 4. Heft 3. Art 27. Punkt 8. Ebene Platten. Leipzig: B. G. Teubner. — 1910. — Vol. IV. — P. 311-385.

125. License / J. Hunter, D. Dale, E. Firing, [et al.] ; Matplotlib development team. — 05/2017. —URL: http://matplotlib.org/users/license.html.

126. Lightweight Java Game Library License. — 05/2017. — URL: https: //www.lwjgl.org/license.

127. Marsh D. Applied Geometry for Computer Graphics and CAD. — London: Springer, 2005. — 350 p.

128. Maxwell R. Integration in Finite Terms // The American Mathematical Monthly. — 1972. — Vol. 79, no. 9. — P. 963-972.

129. MigLayout - Java Layout Manager for Swing, SWT and JavaFX 2! / MiG InfoCom AB. — 05/2017. —URL: http://www.miglayout.com/.

130. NumPy developers NumPy license / Sympy.org. — 05/2017. — URL: http://www.numpy.org/license.html.

131. Open source computer algebra systems: SymPy / D. Joyner, O. Certik, A. Meurer, [et al.] // ACM Communications in Computer Algebra. — 2012. — 45 (3/4). — P. 225-234.

132. Rish R. H. The problem of integration in finite terms // Trans. Amer. Math. Soc. — 1969. — No. 139. — P. 167-189.

133. Rish R. H. The solution of the problem of integration in finite terms // Bull. Amer. Math. Soc. — 1970. — No. 76. — P. 605-605.

134. Segaran T. Matplotlib for Python Developers. — Packt Publishing, 2007. — 308 p.

135. Segaran T. Programming Collective Intelligence: Building Smart Web 2.0 Applications. — O'Reilly Media, Inc, 2007. — 308 p.

136. Surhone L., Tennoe M., Henssonow S. Lightweight Java Game Library. — 2011. — 96 p.

137. SymPy Development Team License / SymPy Development Team. — 05/2017. — URL: http://docs.sympy.org/latest/aboutus.html#license.

138. The Java® Language Specification - Java SE 8 Edition / J. Gosling, B. Joy, G. Steele, [et al.] ; Oracle America, Inc. and/or its affiliates. — 05/2017. — URL: https://docs.oracle.com/javase/specs/jls/se8/jls8.pdf.

139. The Java®® Virtual Machine Specification - Java SE 8 Edition / T. Lindholm, F. Yellin, G. Bracha, [et al.] ; Oracle America, Inc. and/or its affiliates. — 05/2017. —URL: https://docs.oracle.com/javase/specs/jvms/ se8/jvms8.pdf.

140. Vaingast S. Beginning Python Visualization: Crafting Visual Transformation Scripts. — Springer, 2009. — 384 p.

Приложение А

Полная аналитическая запись некоторых функций параграфа 2.4.2

А.1 Функция прогиба

wA(x)y) = -^^ - 17808300710206749640240628854947840000ЛУ+ +97358011901022629532886521480971550720Л3:гУ--141293032599692634817328738830060093440Л3у+

+61742473662741082894174830375783628800Л3+ +20648145713758786830775206853402951680ЛУ--676988470259781804027163268825669959680ЛУ+ +1292012719278233986720488407534130954240Л2у--635622161536797653077157837761255833600Л2+ +12132082376433525359303039647324569600Лу3+

+1061887540797558646617465054976750387200Лу 2--2160167894585085494549697235783778304000Лу+ +1086145373778642322267481904806709166080Л--14968313949037118764136775309198360576Л3 у3--482266713672933670944557478564845322240^У+ +1009435499932098872019372464302341488640Л3у-

-512201712412672955474500704463728148480Л3--49458467061400200170399229542400000Л2£^гУ+ +174813245137654083071337875845939200Л2£^У--201254067115127493361743430051430400Л2£^г3у+ +75899263759155855876818246565888000Л2^Ж3+ +21660127546536852585018652046131200Л2£^ГУ-

—93892536329589946218272160271564800D2Ehx2y2+ +122767993037108477795638333302374400D2Ehx2 у— —50470215453790137523359881940172800D2Ehx2+ +105064269633486704200936549515264000D2 Ehxy3— —336689821315356910179919727689728000D2Ehxy2+ +358197460135805793243286229483520000D2 Ehxy—

—126572968541189575398355606123315200D2Ehx— —77256412877023258002942629731368960D2Ehy3+ +255742888017778003115199692380569600D2 Ehy2— —279727219569248319040707578403225600D2Ehy+ +101235620110939597827222964430438400D2Eh+

+3782904566521488156601712640000DE 2h2x3y3— — 15579408179194270876256627589120DE 2h2x3y 2+ +19810384258718410808463808266240DE 2h2x3y— +8013824891200042114584939724800D£ 2h2 x3+ +2673689850659452836904784363520DE 2h2x2y 3+

+4912125693910068222356355809280DE 2h2x2y2— —17841352278775196957863453655040DE 2h2x2y+ +10249193711833401007862661120000D£ 2h2x2— —16696926561826858876873644441600DE 2h2xy3+ +36918069458116946011767491788800D£ 2h2xy2—

—23745776771852518217690382336000DE 2h2xy+ +3524876421782104855978974904320D£ 2h2x+ +10239468871029262809903977988096D£ 2h2y 3— —26247535464161474107423972392960D£ 2h2y 2+ +21778158802555788731306866114560DE 2h2y—

—5769369020523115002509840875520DE 2 h2+ +234710515492116658012260000^ 3h3x3y3— —592435482110513616373030080^ 3h3x3y2+ +480747770830716281914016160^ 3 h3x3y— -123028463694369381940033200^ 3h3x3-

-616247632894193412410157120^ 3h3x2y3+ +1555791207462603246238327395^ 3h3x2y2--1262797083746649344581315110^ 3h3x2y+ +323084051273019144702815475^ 3h3x2+ +528336114317728246340193600^ 3 h3xy3-

-1334271816926322207549884550^ 3h3xy 2+ +1083438942736049317942303500^ 3 h3xy--277515547717575838029132870^ 3h3x--146828470252371973931173536^ 3h3y3+ +370895183983458943878059235^ 3h3y2-

-301333965803352509049280710^ 3 h3y+ +77252521795857453108941795^3h3),

где

a = 7764119530998416724751224531174031360000D4--4375164039253063072338763589877760000D3£h+ +599285321977615625575255244800000D2£ 2h2--23509564956060605868933120000D£ 3h3+ +33537480210312878080000^ 4h4

А.2 Функция невязки

Ь(Х,У) 263062258348143308416063897600000000000000000000л2 Х

х(4349786864089444937586817099365234375000000000п2ж5/-

-23777203947463930606749561294465637207031250000п2ж5у4+ +34505513983361497400244814802125549316406250000п2ж5у 3--15077889908053047546061510924979782104492187500п2жУ--5042283271626551160256008184314918518066406250п2жУ+ +165300868007685240869904181891290283203125000000п2ж4у4--315470054402227935650867800062585449218750000000п2жУ+ +155199202295529445418802526671569824218750000000п2ж4у2--2965642009808818244420837649281501770019531250п2ж3/-

-259266371659700918846101652004907226562500000000п2жУ+ +527428830504007312106923733139465332031250000000п2ж3у3--265196109295772953933339683453051757812500000000п2жУ+ +3657255831383269764502773356703281402587890625п2жУ+ +117745060070651503328556179359057617187500000000п2ж2у4--246461186713169446970384300284783935546875000000п2жУ+ +125059173768096715892083243611990356445312500000п2ж2у2--5002969942492708653151691710026369239875584000 ят (пх) вт (щ)--200160329839505876362783779385803511588454400ят (пх) вт (3пу)-

-29609787804537380304340232119725085918494720 ят (пх) вт (5пу)--8006487303956723393808654252216591461646336 вт (пх) вт (7пу)--200160329839505876362783779385803511588454400 вт (3пж) вт (пу)--61778367949258377075780981781383636037140480 вт (3пж) вт (3пу)--17315081887831742066222860069632599320952832 вт (3пж) вт (5пу)--5950118492573437246910159388360510718083072 вт (3пж) вт (7пу)--29609787804537380304340232119725085918494720 ят (5пж) вт (пу)--17315081887831742066222860069632599320952832 вт (5пж) вт (3пу)--8006487303956723393808654252216591461646336 вт (5пж) вт (5пу)-

—3655270567477088451200608146233031659618304 sin (5nx) sin (7ny) — —8006487303956723393808654252216591461646336 sin (7nx) sin (ny) — —5950118492573437246910159388360510718083072 sin (7nx) sin (3ny) — —3655270567477088451200608146233031659618304sin (7nx) sin (5ny)~ —2084156232133730471035661948453776797990912 sin (7nx) sin (7ny^j.

Приложение Б

Листинги некоторых принципиальных компонентов программного

комплекса

Б.1 Построитель ортогональный системы

Листинг Б.1 Построитель ортогональный системы OrtSys.py # -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import Symbol

from sympy import integrate

from sympy import sqrt

from sympy import N

from sympy import nsimplify

from sympy import latex

10

15

20

25

def multi_index_reduce(count_of_functions):

Редуктор мультииндекса: (i, j) --> m, m - 0. .. count_of_functions

if count_of_functions<3 :

rang=2 else :

for rang in range(0,count_of_functions): if (rang-1)**2>=count_of_functions : break

result = {}

for i in range(0, rang):

for j in range(0, rang):

m = 1/2*((i + j)*(i + j+1) -( (-1)**(i + j)-l)*i + ((-l)**(i + j )+1)*j) if m<count_of_functions :

result, upd at e({int(m) :(int(i) ,int(j))}) return result

def printer(output, selector^'', title='', ender='')

if title ! = ' ' :

print(title) if selector == 'eqarr':

output = "".join(['\\begin{dmath*}\n', 11 , \\\\\n11 . j о in ( output), \n\\endidmath*}\n ' ]) print(output) if ender ! = ' ' : print(ender)

40 if __name__ == "__main__":

# Требуемое количество функций базиса к = 3

# Количество знаков после запятой при округлении ргес = 5

# Границы минимального прямоугольника, заключающего в себе о власть Omega

ха = -1/3 xb = 2/3 уа = -5/3/sqrt(3) yb = 5/3/sqrt(3)

# Инициализация символов компьютер но й алгебры х = Symbol("х", real=True) у = Symbol("у", real=True)

55

# Вспомогательная фукнция

fi = nsimplifу((х+1/3)**2 * (у-х/sqrt(3)+2/3/sqrt(3))* *2 * ( y + x/sqrt (3) -2/3/sqrt(3))**2)

printer(latex(fi), title='Вспомогательная функция:') p - []

output = []

mi = multi_index_reduce(k)

printer (mi, title='Редукция мультииндекса: ') for key, m_index in mi.items () :

rrr = nsimplifу(fi*x* *m_index[0]* у* *m_index [ 1]) p.append(rrr)

output.append(latex(rrr.expand ()))

printer ( output , selector = 11 eqarr 11 , t it le =' Полная система функ ций, \

45

50

60

65

80

85

удовлетворяющая граничным условиям краевой задачи:', ender='\n')

г = [] output = [] for a in р: Ъ = а

if len (г) >0 :

for z in г :

b = b - integrate(a*z, (x,xa,xb), (y,ya,yb))/ integrate(z*z, (x,xa,xb), (y,ya,yb))*z

b = N(nsimplifу(b/sqrt(integrate(b*b, (x,xa,xb), (y,ya,

yb)))) , prec) r.append(b)

output . append ("". j oin ([11 r_{\°/0d} (x , y) = 11 \°/0 (r. index (b)) , latex(b, mode='plain')]))

printer ( output , selector = 11 eqarr 11 , title= ' Ортонормированная с истема функций, \ удовлетворяющих граничным условиям краевой задачи:', ender='\n')

Б.2 Интерактивный построитель кривых Бернштейна-Безье

Листинг Б.2 BezierBuilder.py # -*- coding: utf-8 -*-

import matplotlib

5

matplotlib.use('webagg') font = {'family': 'Verdana',

'weight': 'normal'} matplotlib.rc('font', **font)

10

import numpy as np

from scipy . special import binom

import matplotlib.pyplot as pit

15

from matplotlib.lines import Line2D

class BezierBuilder(object)

25

30

35

40

45

50

55

Интерактив ный построитель кривых Б ернштейна-Безье def __init__ ( self , control_polygon , ax_bernstein) : Конструктор класса

На входе принимает многоугольник для построения кривой Без ье

self.control_polygon = control_polygon self.xp = list(control_polygon.get_xdataО) self.yp = list(control_polygon.get_ydata()) self.canvas = control_polygon.figure.canvas self.ax_main = control_polygon.get_axes() self.ax_bernstein = ax_bernstein

# Обработчки события нажатия кнопки мыши

self . cid = self.canvas.mpl_connect('button_press_event self)

# Инициализация построения кривой Бер нштейна-Без ье line_bezier = Line2D([], [] ,

с=control_polygon.

get_markeredgecolor()) self.bezier_curve = self.ax_main.add_line(line_bezier)

def __call__ (self , event):

# Исключение обработки вне координатной плоскости if event.inaxes != self.control_polygon.axes:

return

# Добавление точки

self.xp.append(event.xdata) self.yp.append(event.уdata)

self.control_polygon.set_data(self.xp, self.yp)

# Перестройка кривой Бер нштейна-Без ье и обновление self.bezier_curve.set_data(*self._build_bezier ()) self._update_bernstein()

self._update_bezier()

def _build_bezier(self):

x, у = Bezier(list(zip(self.xp, self.yp))).T

70

75

80

85

90

95

return x, у

def _update_bezier(self): self.canvas.draw()

def _update_bernstein(self): N = len(self.xp) - 1 t = np.linspace (0 , 1, num = 200) ax = self.ax_bernstein ax.clear ()

for kk in range(M + 1) :

ax.plotCt, Bernstein(M, kk)(t)) ax . set_title ("Базис Бернштейна, N = {} 11 . f ormat (M) ) ax . set_xlim (0, 1) ax.set_ylim (0 , 1)

def Bernstein(n, k) :

Класс "Полином Бернштейна"

coeff = binom(n, к)

def _bpoly (x) :

return coeff * x ** к * (1-х) ** (n - к)

return _bpoly

def Bezier(points , num = 200) :

Строим кривую Безье no точкам N = len(points)

t = np.linspace(0, 1, num=num) curve = np.zeros((num , 2)) for ii in range(M):

curve += np.outer(Bernstein (M - 1, ii)(t), points[ii]) return curve

if __name__ == '__main. # Инициализация

110

115

120

fig, (axl, ax2) = pit.subplots(1, 2, figsize=(12, 5))

# Разметка плоскости

line = Line2D ([] , [] , ls='--', c='#666666 ' ,

marker='x', mew=2, mec='#204a87 ') axl.add_line(line)

# Координатная сетка кривой axl . set_xlim(0, 1)

axl.set_ylim(0, 1)

axl.set_title("Кривая Бернштейна-Безье")

# Координатная сетка для базиса ах2.set_title("Базис Бернштейна")

# Создаём экземпляр построителя кривых bezier_builder = BezierBuilder(line, ах2)

pit.show ()

Б.З Построитель ортогональной системы и набора вспомогательных коэффициентов

Листинг Б.З Построитель ортогональной системы и набора вспомогательных коэффициентов

(* dpi[N][к] возвращает пару {г, j}, находящуюся во взаимооднозн ачном соответствии с к в квадрате размера NxN *)

dpi [N_] [k_] :^Module[{i, n = 0, m = 0, left^True}, For[i = 0, i<k-l, i ++ ,

Which [

left&fem —0&&n<N-l , left=False; n + +; ,

! left&fen —0&&m<N-l , left = True; m + +; , !left&&m = = N-l , left = True; n + +; , left &&n —N -1 , left=False;

25

30

35

40

45

m + + ; , left , n + + ; m-- ; , ! left , n- - ; m + + ;

{n , m}

(* Функции доступа к отдельным элементам пары {г, j} *) dpil [N_] [k_] : = dpi[N] [к] [ [1]] dpi2 [N_] [k_] : = dpi [N] [k] [ [2] ]

(* Система линейно независимых функций, полная в L"2 (\Omega) *) fCn_, m_][x_, y_] := (x - a)~2*(y - b)~2*x~(n + 2)*y~(m + 2)

(* Скалярное произведение в L"2 (\Omega) *)

ip [f _ , g_] : = Integrate [f [x , y]g[x, y], {x , 0, a}, {y, 0, b}]

(* Корень из числа функций вышеописанной системы, которое мы буд ем использовать при вычислениях *)

(* Первый элемент ортог онализо ванной системы, полученной из f [п,

т], и квадрат его нормы *) g [0 , 0] [х_ , у_ ] : =g [0 , 0] [x , у] =f [0 , 0] [х , у]; sg[0, 0] = ip [g [0 , 0] , g [0 , 0]]

(* Вспомогательная функция, которая вычисляет N-й элемент ортого

нализ о в анно й системы *) compute [N_] :=Module[{i = dpil[M] [N] , j=dpi2[M][N]},

g [i , j][x_, y_]:=g[i, j][x, y] = Simplify[f[i, j][x, y]-Sum [ip [f [i , j], g [dpi 1 [M] [k] , dpi2[M] [k]]] / sg[dpil [M] [k] , dpi2[M][k]], {к, 1, N - 1}]g[dpil [M] [k] , dpi2 [M] [k]] [x, y]]; sg[i, j] = ip[g[i, j] , g Ci, j]]

(* Вычисляем ортог онализо ванную систему *) compute /@ Range[2, М*М]

(* Нормируем функции ортог онализо ваннои системы, чтобы полу чить

орто нормированную систему е [п, т] *) Do [е [i , j][x_, у_]— g[i, j][x, y]/Sqrt [sg [i, j]], {i, 0, M-l>, {j , 0 , M-l>] ;

(* Альтернативный вариант - собственные функции, соответствующие

граничным условиям для шарнирного закрепления *) Do [е [i , j][x_, у_]=Sin [Pi *(i + 1)*x]Sin[Pi *(j+1)*y] , {i, 0, M-l>, {j , 0, M-l>] ;

60 (* Квадрат о пер amop а Лапласа *)

D2 [w_] : = Laplacian[Laplacian[w, {x, y>] , {x, y}]

(* Для безразмерной системы а и b (длина и ширина оболочки) равн

ы 1 *) а = 1; Ъ = 1;

(* Определяем формулы, по которым будут вычислять ся коэффициенты

для метода пошаговой линеаризации *) 10 [к_, 1_] := Chop[MIntegrate[е[к, 1][х, у], {х, 0.4, 0.6}, {у, 0.4, 0.6}, AccuracyGoal -> 6, Prес isionGoal -> Infinity, WorkingPrecision -> 10], 10~(-8)] Il[n_, m_, i _, j_] := Chop[MIntegrate [D2 [e [n, m][x, y]]*e[i, j][ x, у], {x, 0, 1}, {у, 0, 1}, AccuracyGoal -> 6, PrecisionGoal -> Infinity, WorkingPrecision -> 10], 10~(-8)] Ilx[n_, m_, i_, j_] := Chop[MIntegrate[D[e[n, m][x, y], x, x, x, x]*e[i, j][x, у], {x, 0, 1}, {у, 0, 1}, AccuracyGoal -> 6, PrecisionGoal -> Infinity, WorkingPrecision -> 10], 10~(-8)] Ily[n_, m_, i_, j_] := Chop[MIntegrate[D[e[n, m][x, у], у, у, y, y]*e[i, j][x, у], {x, 0, 1}, {у, 0, 1}, AccuracyGoal -> 6, PrecisionGoal -> Infinity, WorkingPrecision -> 10], 10~(-8)] Ilxy[n_, m_, i_, j_] := Chop[MIntegrate [D [e [n, m] [x , у] , x, x, у , y]*e[i, j][x, у], {x, 0, 1}, {у, 0, 1}, AccuracyGoal -> 6, PrecisionGoal -> Infinity, WorkingPrecision -> 10], 10~(-8)]

12 [n_ , m_ , k_ , 1_ , i _ , j_] := Chop [MIntegrate [D [e [n , m][x, y] , x

, x]*D[e[k, 1] [x, у] , у, у] * e [i , j][x, у] , {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, AccuracyGoal -> 6, PrecisionGoal -> Infinity, WorkingPrecision -> 10], 10~(-8)]

13 [n_, m_, k_, 1_, i_, j_] := Chop [MIntegrate [D [e [n , m][x, y] , x

, y]*D[e[k, 1] [x, y] , x, у] * e [i , j][x, у] , {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, AccuracyGoal -> 6, PrecisionGoal -> Infinity, WorkingPrecision -> 10], 10~(-8)]

80

85

90

Id [n_ , m_ , k_ , 1_ , i_ , j_] := Chop [MIntegrate [ (D [e [n , m] [x , y] , x, x]*D[e[k, l][x, у] , у, y] + D[e[n, m][x, у] , y, y]*D[e[k, 1] [x, y] , x, x] - 2*D[e[n, m][x, y] , x, y]*D[e[k, l][x, у] , x , y])*e[i, j][x, у] , {x, 0, 1}, -[у, 0, 1}, AccuracyGoal -> 6, PrecisionGoal -> Infinity, WorkingPrecision -> 10], 10~(-8)]

I4x[n_, m_ , i_ , j_] := Chop [MIntegrate [D [e [n, m][x, y] , x, x]*e[ i, j][x, у], {x, 0, 1}, {у, 0, 1}, AccuracyGoal -> 6, PrecisionGoal -> Infinity, WorkingPrecision -> 10], 10~(-8)]

I4y[n_, m_ , i_ , j_] := Chop [MIntegrate [D [e [n, m][x, у] , y, y]*e[ i, j][x, у], {x, 0, 1}, {у, 0, 1}, AccuracyGoal -> 6, PrecisionGoal -> Infinity, WorkingPrecision -> 10], 10~(-8)]

I4xy[n_, m_, i_, j_] := Chop[MIntegrate [D[e [n, m] [x, y] , x, y]*e [i , j][x, у] , {x, 0, 1}, {у, 0, 1}, AccuracyGoal -> 6, PrecisionGoal -> Infinity, WorkingPrecision -> 10], 10~(-8)]

(* Эта функция сохраняет в файл fname массив чисел tbl в прямом плоском порядке *)

(* Эти файлы используются программой на Java *)

dump[fname_, tbl_]:^Export[fname, CForm[#]& /@ Flatten[tbl], " Text"]

(* Вычисляем коэффициенты *)

TO=Table[10[k, 1], {k, 0, M-l>, {1, 0, M-l>];T0//MatrixForm

Т1=ТаЪ1е[II[n, m, i, j], {n, 0, M-l>, {m, 0, M-l>, {i, 0, M-l>, {j , 0, M-l>] ;

Tlx = Table[Ilx [n, m, i, j], {n, 0, M-l>, {m, 0, M-l>, {i , 0, M -1>, {j , 0, M-l>] ;

Tly = Table[Ily [n, m, i, j], {n, 0, M-l>, {m, 0, M-l>, {i , 0, M -1>, {j , 0, M-l>] ;

Tlxy^Table[Ilxy [n, m, i, j], {n, 0, M-l>, {m, 0, M-l>, {i , 0, M -1>, {j , 0, M-l>] ;

Td^Table[Id[n, m, к, 1, i, j], {n, 0, M-l>, {m, 0, M-l>, {k , 0, M-l>, {1, 0, M-l>, {i, 0, M-l>, {j , 0, M-l}];

T4x = Table [ I4x [n, m, i, j], {n, 0, M-l}, {m, 0, M-l}, {i, 0, M -1}, {j , 0, M-l}] ;

T4y = Table [I4y[n, m, i, j], {n, 0, M-l}, {m, 0, M-l}, {i , 0, M -1}, {j , 0, M-l}] ;

T4xy = Table [I4xy[n, m, i, j], {n, 0, M-l}, {m, 0, M-l}, {i , 0, M -1}, {j , 0, M-l}] ;

(* Вычисляем коэффициенты Q_*~*, которые используются в спектрал ьном критерии *)

105

110

115

120

Ql=Table[II[n, m, i, j], {n , 0, M-l}, {m , 0, M-l}, {i, 0, M-l}, {j , 0, M-l}] ;

Q4x=Table[I4x [n, m, i, j], {n , 0, M-l}, {m, 0, M-l}, {i, 0, M

-1}, {j , 0, M-l}] ; Q4y = Table [I4y[n, m, i, j], {n, 0, M-l}, {m, 0, M-l}, {i, 0, M

-1}, {j , 0, M-l}] ; Q4xy = Table[I4xy[n, m, i, j], {n, 0, M-l}, {m, 0, M-l}, {i , 0, M -1}, {j , 0, M-l}] ;

(* Сохраняем все подсчитанные коэффициенты в указанные файлы *)