Математическое моделирование дискретно-континуальных механических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Андрейченко, Дмитрий Константинович

• Андрейченко, Дмитрий Константинович
• доктор физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Андрейченко, Дмитрий Константинович

ВВЕДЕНИЕ. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

ГЛАВА I. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ И АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕАРИЗУЕМЫХ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫХ СИСТЕМ.

1.1. Специальные вопросы теории устойчивости.

1.2. Параметрический синтез дискретно-континуальных систем.

1.3. Регуляризация алгоритмов численного обращения интегральных преобразований

1.4. Специальные квадратурные формулы и связанные с ними специальные функции

1.5. Выбор вспомогательного финитного бесконечно дифференцируемого оригинала

1.6. Автоматическое распознавание особенностей оригинала.

1.7. Замечания о реализации.

Выводы.

ГЛАВА II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫХ СИСТЕМ.

2.1. Динамическое моделирование упругого звена манипулятора.

2.2. Постановка задачи об устойчивости цилиндрического гидродинамического подвеса.

2.3. Исследование состояния подвижного равновесия при умеренных и средних числах Рейнольдса.

2.4. Решение линеаризованных задач.

2.5. Поведение возмущенного решения в высокочастотной области.

2.6. Поведение системы при больших значениях колебательного числа Рейнольдса

2.7. Случай малых эксцентриситетов.

2.8. Моделирование состояния подвижного равновесия.

2.9. Моделирование решения линеаризованных задач.

2.10. Моделирование устойчивости подвеса.

Выводы.

ГЛАВА III. УТОЧНЕННЫЕ МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ДЛИННОМЕРНЫХ

ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ.

3.1. Деформирование осевой линии.

3.2. Резалева система координат.

3.3. Система координат, связанная с длинномерным полым квазицилиндрическим элементом.

3.4. Деформирование элементов трубопроводов.

3.5. Уравнение импульсов.

3.6. Уравнения движения осевой линии.

3.7. Переход к уравнениям типа Тимошенко.

3.8. Повторный переход к модели Тимошенко Кинематика деформирования тонкостенных элементов.

3.9. Уравнения нелинейной динамики длинномерных тонкостенных элементов конструкций.

3.10. Упрощения, связанные с малостью прогибов относительно размеров сечения

Выводы.

ГЛАВА IV. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ЭЛЕМЕНТОВ ГЛУБОКОВОДНЫХ

ТРАНСПОРТИРУЮЩИХ ТРУБОПРОВОДОВ.

4.1. Задача о моделировании траекторий.

4.2. Распределение напряжений в элементах трубопровода.

4.3. Асимптотический анализ уравнений движения элементов трубопровода.

4.4. Асимптотика решения в случае длинных секций с малой массой буферного устройства.

4.5. Некоторые свойства упрощенных уравнений движения.

4.6. Осредненные модели.

4.7. Квазистатическое движение длинных секций.

4.8. Распространение коротких поперечных импульсов в длинных гибких секциях

4.9. Качественная оценка амплитуды автоколебаний.

Выводы.

ГЛАВА V. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В

МНОГОСЕКЦИОННЫХ ТРАНСПОРТИРУЮЩИХ ТРУБОПРОВОДАХ

5.1. Специальная форма метода Бубнова-Галеркина.

5.2. Сокращение числа искомых функций.

5.3. Случай длинных интенсивно растянутых секций. Равномерные численные методы решения задач с краевыми эффектами.

5.4. Моделирование нелинейной динамики многосекционных транспортирующих трубопроводов.

5.5. Результаты моделирования.

5.6. Вычисление якобиана. Линеаризация в окрестности состояния подвижного равновесия. u(r ,t) y(0 —► w(iy) -►

ВВЕДЕНИЕ. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1. Математическое моделирование дискретно-континуальных механических систем

Универсальность, алгоритмичность, а также низкая энергоемкость математического моделирования как метода исследования объектов и явлений реального мира привели к повышению его роли и значимости в различных отраслях науки и техники.

Важнейшей проблемой создания *(/) современных технических систем и выбора режимов их эксплуатации является проблема построения и анализа динамических моделей этих систем. При управлении движением облегченных быстродействующих манипуляционных роботов, глубоководных транспортирующих трубопроводов, ракет, больших космических конструкций, роторных систем с гибкими валами и опорными демпферами необходимо изначально учитывать деформации конструкции. Динамические модели прецизионных поплавковых гироскопических приборов, гидродинамических опор, подвесов и демпферов, а также систем гидропневмоавтоматики в значительной мере определяются уравнениями с частными производными движения потоков жидкости и газа.

Физические модели указанных и многих других технических систем содержат дискретные элементы с сосредоточенными по пространству параметрами (абсолютно жесткие тела, датчики первичной информации, усилители, двигатели) и континуальные элементы с распределенными по пространству параметрами (упругие стержни, оболочки, потоки жидкости и газа), динамически связанные через границы раздела и в этом смысле являются дискретно-континуальными. Структурная схема математической модели типичной дискретно-континуальной механической системы (ДКС) приведена на Рис.1. Здесь: x(f) и u(r,t) , v(r,t) - соответственно сосредоточенное и распределенные возмущения; y(t) и w(r, t) — соответственно сосредоточенная и распределенная реакции; г - вектор пространственных координат; t - время. Соответствующие адекватные в смысле [1] математические модели, предназначенные для моделирования динамического поведения дискретно-континуальных систем, и содержащие обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), связанные с ними через граничные условия (ГУ) уравнения с частными производными (УЧП), условия связи (УС) и начальные условия (НУ), для краткости также назовем дискретно-континуальными. Моделирование динамического поведения подобных систем требует учитывать малую, но ненулевую диссипацию механической энергии в континуальных элементах. Последнее делает соответствующие краевые задачи несамосопряженными и требует специфических методов при их исследовании и решении.

2. Постановка задачи исследования

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование дискретно-континуальных механических систем»

При исследовании динамических свойств конструкции в первую очередь, как правило, выполняется исследование ее собственных частот и соответствующих им форм колебаний. Однако традиционные подходы требуют нетривиальных вычислений даже при нахождении низших собственных частот и форм колебаний достаточно сложных конструкций. По данным работ [2, 3, 4], при проектировании систем управления движением упругих конструкций использование моделей упругих распределенных элементов без учета демпфирования может привести к дестабилизации и потере устойчивости. Более того, при умеренных значениях характерного демпфирования необходимо исследовать высшие частоты и формы колебаний. С другой стороны, традиционная дискретизация по пространственным переменным описывающих поведение континуальных элементов уравнений в частных производных может привести к возникновению фиктивных «паразитных» частот, описывающих колебания с чрезвычайно быстро экспоненциально возрастающей амплитудой [5]. Таким образом, проблема разработки критерия устойчивости линеаризованных в окрестности состояния подвижного равновесия дискретно-континуальных систем, основанного на геометрических методах теории функций комплексных переменных [6, 7, 8], в частности, на оценке взаимного расположения точек частотного годографа обобщенного детерминанта системы, является весьма актуальной. Данная проблема является тем более актуальной, поскольку методы подобного типа не требуют повышенной точности при нахождении точек частотного годографа, и, следовательно, легко позволяют исследовать устойчивость большинства нетривиальных дискретно-континуальных систем, состояние подвижного равновесия которых, аналогично [9], может быть исследовано лишь численно.

Непосредственная дискретизация по пространственным переменным линеаризованных уравнений движения континуальных элементов иногда приводит к возникновению «паразитных» частот, описывающих колебания с чрезвычайно быстро экспоненциально возрастающей амплитудой. Последнее делает в принципе невозможным получение приближенного решения исходной задачи посредством численного интегрирования «дискретизованной» задачи во временной области. Подобный пример, в частности приведен в [5], где на примере модельной линейной нестационарной краевой задачи показывается несостоятельность применения известной схемы Кран-ка-Николсона. Возникновение указанных «паразитных» частот объясняется тем, что применяемый способ дискретизации характеризуется недостаточной точностью выполнения кинематических уравнений (типа уравнений совместности деформаций либо уравнения несжимаемости). Вместе с тем, переход в частотную область с использованием интегральных преобразований (например, преобразования Лапласа) позволяет преодолеть указанные проблемы, поскольку изображение решения в низкочастотной области может быть легко найдено численно, а высокоточные приближенные формулы для изображения решения в высокочастотной области получаются применением методов типа Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна [10] либо сращиваемых разложений [11]. Отметим также, что проблема численного обращения интегральных преобразований (Лапласа, Фурье, Фурье-Бесселя, Ганкеля и т. д.) как таковая актуальна в теории распространения волн в неоднородных средах, теории теплопроводности, динамической теории упругости [12, 13, 14], вязкоупругости и гидроупругости тонкостенных конструкций [15], в задачах вибросейсморазведки. Задача численного обращения интегральных преобразований является, как известно, некорректной, поскольку малые возмущения изображения приводят к значительному изменению оригинала. Большинство классических алгоритмов обращения интегрального преобразования Лапласа [16] неэффективны, поскольку приводят к попыткам восстановить искомый оригинал (со всеми его особенностями) на полубесконечном интервале времени при помощи того или иного Фурье-разложения, плохо сходящегося по причине наличия особенностей. Ряд алгоритмов [16] приводит к необходимости деформировать контур интегрирования, что не всегда возможно, и требует информации о расположении особых точек изображения, что само по себе в большинстве ситуаций представляет нетривиальную проблему. Оригинальные алгоритмы, предложенные в [17, 18], основаны на вычислении функций в алгебре треугольных теплицевых матриц, представляющих собой конечно-разностные аппроксимации оператора дифференцирования. Однако размерность матрицы определяется числом равноотстоящих узлов, в которых необходимо восстановить искомый оригинал, а спектр теплицевых матриц содержит собственные значения, кратность которых пропорциональна размеру матрицы. Вычисление функций от матриц в этом случае требует нахождения производных изображения неограниченно высокого порядка, что не всегда приемлемо.

Таким образом, проблема разработки эффективных алгоритмов численного обращения интегральных преобразований, и в частности, преобразования Лапласа, является весьма актуальной.

Известна проблема излишнего управления [3] движением деформируемых конструкций, приводящего к возникновению интенсивных высокочастотных колебаний по неучтенной собственной форме. Следовательно, задача исследования устойчивости и параметрического синтеза упругих звеньев быстродействующих манипуляторов без априорной дискретизации уравнений движения континуальных элементов является весьма актуальной.

Известна проблема неустойчивости центрального положения шипа в гидродинамическом подшипнике скольжения [19, 20]. Однако в работе [21] показано, что неустойчивость наступает, если только масса шипа достаточно велика. Указанная проблема, связанная с учетом инерционных эффектов в поддерживающем слое жидкости, становится тем более актуальной применительно к высокооборотным гидродинамическим подвесам и опорам в приборостроении [22, 23, 24]. Как правило, при решении задач об устойчивости гидродинамических подвесов и опор в той или иной форме выполняется упрощение уравнений динамики вязкой несжимаемой жидкости, связанное с малостью безразмерного параметра, выражающего отношение характерного зазора цилиндрического подвеса (опоры) к характерному радиусу кривизны. Вместе с тем, как показано в [22, 23] при анализе устойчивости гидродинамических подвесов и опор с приближенным учетом инерционных членов в слое жидкости через осредненную по сечению зазора скорость, пренебрежение некоторыми слагаемыми первого порядка малости по указанному параметру может привести к принципиально неправильным выводам об устойчивости либо неустойчивости гидродинамических опор и подвесов. Существенное влияние имеет относительный эксцентриситет расположения разделенных слоями жидкости твердых тел, соотношение плотности жидкости и приведенной плотности внутреннего тела, степени нагруженности опоры и т.д. Окончательный вывод относительно влияния гидродинамических сил инерции на условия устойчивости цилиндрических гидродинамических подвесов и опор может быть дан только после полного учета зависимости профиля распределения скоростей жидкости от радиальной координаты.

Таким образом, задача об исследовании устойчивости цилиндрического гидродинамического подвеса на основе полного решения нелинейной краевой задачи с подвижной границей для уравнений Навье-Стокса является актуальной.

Традиционно элементы трубопроводов рассматриваются как упругие тонкостенные цилиндрические оболочки [25, 26]. Однако осевая линия гибких длинномерных тонкостенных элементов может испытывать изменения кривизны, свойственные для гибких стержней [27, 28], и значительно превышающие величины, характерные для [25, 26]. Таким образом, актуальна проблема корректного разделения полей смещений, деформаций и напряжений, описывающих деформирование осевой линии и деформирование конструкции в относительном движении с точки зрения континуальной механики твердого деформируемого тела.

Поскольку деформирование осевой линии может характеризоваться значительной геометрической нелинейностью, актуально использование традиционного для задач ориентации твердого тела аппарата кватернионов [29, 30, 31, 32], позволяющего избежать возникновения особенностей в кинематических уравнениях.

Типичным примером дискретно-континуальной механической системы являются глубоководные транспортирующие трубопроводы [33, 34]. Учет взаимодействия с внутренним потоком гидросмеси и внешним потоком окружающей жидкости приводит к тому, что и уравнения движения подводного технологического оборудования, и уравнения движения секций являются существенно нелинейными. Особые трудности вызываются тем обстоятельством, что задачи нелинейной динамики глубоководных трубопроводов, как правило, являются сингулярно-возмущенными [35]. Применение к ним традиционных численных методов обычно оказывается малоэффективным из-за наличия узких зон резкого изменения отдельных компонент прогнозируемого решения. Вместе с тем, моделирование динамики трубопроводов при помощи «гибких связей» [36] (т.е. гибких нерастяжимых нитей) не дает правильной картины напряженно-деформированного состояния, особенно для многосекционных трубопроводов либо в случае значительного ослабления эффективного осевого усилия в нижней части конструкции. Таким образом, проблема теоретического обоснования и реализации новых алгоритмов численного анализа динамики глубоководных транспортирующих трубопроводов является весьма актуальной.

При оценке погрешностей кварцевого линейного акселерометра применительно к бесплатформенным инерциальным системам [37] особое место занимают температурные погрешности баз и температурный дрейф нуля [38]. Данное обстоятельство делает актуальным построение и анализ математической модели термоупругих деформаций [39] кварцевого акселерометра, рассматриваемого как квазистатическая дискретно-континуальная механическая система.

Целью настоящей работы является разработка эффективных методов моделирования дискретно-континуальных механических систем, создание соответствующих алгоритмов и программ, и исследование их возможностей применительно к указанным выше задачам.

Научная новизна основных результатов проведенных исследований заключается в следующем:

- введен класс дискретно-континуальных механических систем, и разработаны математические основы их моделирования;

- разработан высокоэффективный метод исследования устойчивости дискретно-континуальных систем, основанный на геометрических методах теории функций комплексной переменной, и использующий оценку взаимного расположения точек частотного годографа обобщенного детерминанта дискретно-континуальной системы; сформулированы и доказаны теоремы об устойчивом характеристическом квазимногочлене дискретно-континуальной системы, а также теоремы об устойчивых, асимптотически устойчивых и неустойчивых обобщенных передаточных функциях;

- показано, что учет малой, но ненулевой диссипации энергии в континуальных элементах носит принципиальный характер, поскольку, во-первых, позволяет исследовать устойчивость достаточно сложных дискретно-континуальных систем на основе теоремы об устойчивом характеристическом квазимногочлене, во-вторых, позволяет локализовать распространяющиеся в длинномерных конструкциях короткие импульсы и значительно упрощает численное интегрирование соответствующих уравнений переноса, и в третьих, позволяет использовать «жестко устойчивые» методы численного интегрирования при исследовании движения системы в целом;

- предложен высокоэффективный метод численного обращения интегральных преобразований, основанный на свертке исходного изображения с быстро убывающим изображением вспомогательного финитного бесконечно дифференцируемого оригинала, и реализован соответствующий алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа;

- проведено исследование устойчивости, проведен параметрический синтез и выполнено исследование переходных функций в упругих звеньях манипуляторов без априорной замены «континуальных» уравнений конечномерными аппроксимациями;

- впервые выполнено исследование устойчивости цилиндрического гидродинамического подвеса на основе численного моделирования решения и асимптотического интегрирования уравнений Навье-Стокса для поддерживающего слоя жидкости;

- предложен высокоэффективный вариант проекционного метода Бубнова-Галеркина применительно к проблемам численного интегрирования уравнений Навье-Стокса для поддерживающего слоя жидкости, а также на основе методов асимптотического интегрирования получены приближенные формулы для обобщенных передаточных функций в высокочастотной области;

- получены модельные уравнения, описывающие деформирование длинномерных тонкостенных элементов конструкций, предложен корректный способ разделения полей смещений, деформаций и напряжений, описывающих деформирование осевой линии и деформирование конструкции в относительном движении с точки зрения континуальной механики твердого деформируемого тела; показана необходимость полного учета действующих на элементы конструкции сил инерции;

- для описания существенной геометрической нелинейности деформирования осевой линии предложено использовать аппарат кватернионов, что позволяет избежать возникновения особенностей в нелинейных кинематических уравнениях;

- применительно к проблемам формирования траекторий подводных элементов глубоководных транспортирующих трубопроводов показана допустимость существенного упрощения модельных уравнений, описывающих деформирование длинномерных трубчатых элементов; в частности, предложено использовать уравнения движения в осях подвижного Резалева трехгранника;

- при учете сил инерции, действующих на элементы конструкции со стороны внешнего потока, использован метод источников и стоков, что позволяет получать ударные соотношения для длинных гибких интенсивно растянутых элементов конструкций;

- выполнен асимптотический анализ модельных уравнений глубоководных транспортирующих трубопроводов и выяснено влияние наиболее существенных критериев подобия;

- предложен оригинальный способ исключения локальных продольных ускорений в нелинейных уравнениях движения секций и получена двухточечная краевая задача относительно эффективного осевого усилия;

- предложены оригинальные алгоритмы численного интегрирования уравнений нелинейной динамики глубоководных транспортирующих трубопроводов, в том числе и пригодные к решению задач с краевыми эффектами;

- при помощи разработанных в диссертации алгоритмов исследован ряд задач нелинейной динамики трубопроводов и установлены закономерности движения системы в целом;

- разработана математическая модель термоупругих деформаций кварцевого акселерометра как квазистатической дискретно-континуальной системы, и на основе предложенной высокоэффективной модификации метода конечных элементов определены температурные погрешности баз и температурный дрейф нуля.

Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечивалась корректностью математических преобразований при выводе модельных уравнений, теоретическим обоснованием сходимости разработанных алгоритмов, сопоставлением результатов численного моделирования, асимптотического интегрирования модельных уравнений и (по возможности) экспериментальных данных.

В первой главе диссертации рассматриваются вопросы, связанные с моделированием динамического поведения дискретно-континуальных систем (ДКС), которые допускают линеаризацию в окрестности состояния подвижного равновесия. Предполагается, что математические модели континуальных элементов учитывают неизбежно возникающую в сплошной среде малую, но ненулевую диссипацию механической энергии (внутреннее трение, потоки энтропии и т.д.).

В п. 1.1 предложен критерий устойчивости либо неустойчивости достаточно сложных управляемых конструкций, обладающих малым, но конечным конструкционным демпфированием, и опирающийся на геометрические методы теории функций комплексных переменных [40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48]. Обобщенная передаточная функция линеаризованной в окрестности состояния подвижного равновесия дискретно-континуальной системы представляется в виде матрицы, элементы которой являются квазирациональными дробями (отношениями квазимногочленов). Сформулирована и доказана теорема об устойчивом характеристическом квазимногочлене дискретно-континуальной системы, а также теоремы об устойчивых, асимптотически устойчивых и неустойчивых передаточных функциях. Нетривиальный пример применения предложенного критерия рассмотрен в п. 2.2-2.10.

В п. 1.3 предложен эффективный алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа, основанный на свертке исходного изображения с быстро убывающим изображением вспомогательного финитного бесконечно дифференцируемого оригинала [49, 50, 51, 52, 53]. Тем самым, выполняется регуляризация процедуры численного обращения посредством указания конечного отрезка (области), на котором необходимо восстановить искомый оригинал. Детали реализации алгоритма и свойства необходимых для этого специальных функций [57] подробно описаны в п. 1.3-1.5. Аналогичные методы могут быть использованы при численном обращении родственных интегральных преобразований (Фурье, Фурье-Бесселя, Ганкеля) и кратного преобразования Лапласа, однако это выходит за пределы настоящей работы.

Помимо вышеперечисленных, существуют еще как минимум две причины, вынуждающие подробно анализировать «в малом» поведение дискретно-континуальных механических систем в окрестности состояния подвижного равновесия:

1) Изображение решения исходной нелинейной задачи может в некоторых ситуациях оказаться аналитично по параметру, характеризующему нелинейность [54]. Несколько подобных примеров модельных задач для уравнений в частных производных, допускающих точные частные решения, приведены в приложении 1. В этом случае, аналогично [9], решение исходной нелинейной задачи может быть восстановлено посредством решения последовательности линейных краевых задач, полученных линеаризацией в окрестности состояния подвижного равновесия.

2) В тех ситуациях, когда допустима дискретизация по пространственным переменным исходных нелинейных модельных уравнений, описывающих движение ДКС, «дискретизованная» задача, как правило, является «жесткой» в терминологии [55]. Численное интегрирование подобных систем обыкновенных дифференциальных уравнений требует привлечения специфических методов (обычно - модификаций известного метода Гира [55]), использующих информацию о поведении матрицы Якоби. Последняя в большинстве ситуаций представляет собой дискретный аналог линейного оператора задачи, полученной из исходных нелинейных уравнений движения ДКС линеаризацией в окрестности состояния подвижного равновесия. Нетривиальный пример рассмотрен в п. 5.4-5.7.

Во второй главе проводится исследование устойчивости и переходных процессов для ряда дискретно-континуальных механических систем.

В п. 2.1 исследуется устойчивость упругих звеньев быстродействующего манипулятора [40, 56] и проводится параметрический синтез дискретно-континуальной системы на основе точного выражения для обобщенной передаточной функции.

В п. 2.2-2.10 впервые проводится исследование устойчивости абсолютно твердого вращающегося цилиндрического тела в цилиндрическом гидродинамическом подвесе [22, 23, 57] на основе полного решения нелинейной краевой задачи с подвижной границей для уравнений Навье-Стокса. Получены упрощенные нелинейные уравнения, описывающие динамику поддерживающего слоя вязкой несжимаемой жидкости и обобщающие известные уравнения пограничного слоя. Проводится асимптотический анализ модельных уравнений с целью выяснения влияния наиболее существенных безразмерных параметров подобия. Используется критерий устойчивости дискретно-континуальных систем, предложенный в п. 1.1, и основанный на оценке взаимного расположения точек частотного годографа характеристического квазимногочлена КДС. Данный критерий не предъявляет повышенных требований к точности нахождения точек частотного годографа, что позволяет значительно сократить объем вычислений. Последнее обстоятельство представляется тем более ценным, поскольку состояние подвижного равновесия цилиндрического подвеса для некоторых режимов эксплуатации может быть эффективно исследовано только численно. Предложен высокоэффективный алгоритм дискретизации нелинейных стационарных уравнений гидродинамики поддерживающего слоя, а также уравнений возмущенного движения поддерживающего слоя в низкочастотной области. Получено асимптотическое решение уравнений возмущенного движения в высокочастотной области. Показано хорошее совпадение расчетных и экспериментальных данных.

Исследование переходных процессов в рассмотренных во второй главе дискретно-континуальных системах выполнялось численно с использованием алгоритма численного обращения интегрального преобразования Лапласа, предложенного в [49, 50], и подробно рассмотренного в п. 1.3-1.5. Последнее позволяет избежать ряда проблем, связанных с непосредственной дискретизацией модельных уравнений в частных производных, описанных в [5].

В третьей главе приводятся модельные уравнения, описывающие деформирование длинномерных тонкостенных элементов конструкций глубоководных морских транспортирующих трубопроводов. Предложен корректный способ разделения полей смещений, деформаций и напряжений, описывающих деформирование осевой линии конструкции с точки зрения теории гибких стержней и деформирование конструкции в относительном движении с точки зрения континуальной механики твердого деформируемого тела [57]. Получены нелинейные нестационарные уравнения движения осевой линии. Предложены и подробно проанализированы варианты двумерных нестационарных теорий типа Кирхгофа и Тимошенко, рассматриваемых в относительном движении, учитывающие известный эффект Т.Кармана. Показано, что корректные значения характерных скоростей распространения возмущений в материале конструкции могут быть получены лишь в случае полного учета сил инерции, действующих на элементы конструкций. При некоторых ограничениях на величину характерного прогиба сечения двумерные нестационарные уравнения переходят в известные уравнения теории пологих оболочек [9, 58, 59, 60]. Для описания существенной геометрической нелинейности деформирования осевой линии используется аппарат кватернионов, что позволяет избежать появления особенностей в нелинейных кинематических уравнениях [57], и, следовательно, облегчает дальнейшее численное интегрирование модельных уравнений.

В четвертой главе рассматриваются задачи моделирования процессов формирования траекторий подводных элементов глубоководных транспортирующих трубопроводов [33]. Трубопровод рассматривается как дискретно-континуальная система, состоящая из длинномерных элементов, последовательно соединенных с подводным технологическим оборудованием. Для ряда режимов эксплуатации конструкции показана возможность существенного упрощения предложенных в третьей главе модельных «континуальных» уравнений. Аналогично [33], используется эффективное осевое усилие, учитывающее интенсивное гидростатическое обжатие стенок трубопровода. Предлагается вариант метода Бубнова-Галеркина для установления зависимости изгибающих и крутящего моментов от кривизны осевой линии и эффективного осевого усилия для случая, когда материал трубопровода характеризуется ощутимой физической нелинейностью. Предложено рассматривать нелинейные нестационарные уравнения движения осевой линии в осях подвижного Резалева трехгранника, что значительно упрощает численное интегрирование модельных уравнений в частных производных. При учете гидродинамических сил инерции использован известный метод источников и стоков, что позволяет, в отличие от [34], получать ударные соотношения для длинных интенсивно растянутых элементов конструкций с малой изгибной жесткостью. Проведен асимптотический анализ модельных уравнений с целью выяснить влияние наиболее существенных безразмерных критериев подобия. Подробно проанализирован случай малой изгибной жесткости, получены упрощенные уравнения движения для конструкции в целом и явные выражения для погранслойных функций. Для малых значений эффективного осевого натяжения в нижней части конструкции в пренебрежении геометрической нелинейностью получено явное выражение погранслойных функций через цилиндрические и родственные им специальные функции. В случае, когда влияние геометрической нелинейности ощутимо, поведение погранслойных функций исследовано численно, и проведено сравнение с "геометрически линейным" случаем. Применительно к исследованию движения конструкции в целом предложен вариант метода прямых с использованием специальной квазиравномерной сетки, учитывающей скорость распространения возмущений в элементах конструкции. По результатам численного решения модельных задач установлен ряд закономерностей движения системы в целом [61], в частности, установлено, что в начальные моменты времени имеет место распространение интенсивных возмущений от плавсредства к нижней части конструкции, однако движение системы достаточно быстро становится квазистатическим. Рассмотрено распространение коротких поперечных импульсов в элементах конструкций. Показано, что учет малого, но ненулевого вязкого трения в материале трубопровода либо в защитных полимерных покрытиях на его поверхности приводит к локализации распространяющихся коротких импульсов, что значительно упрощает численное решение модельных уравнений в частных производных. Проведено численное интегрирование соответствующих нелинейных уравнений переноса коротких импульсов вдоль характеристик упрощенной (вырожденной) задачи.

В пятой главе рассматриваются задачи нелинейной динамики многосекционных глубоководных транспортирующих трубопроводов. Применение метода асимптотического интегрирования в сочетании с методом прямых может оказаться неэффективным при рассмотрении моделей многосекционных транспортирующих трубопроводов с учетом возможной разгрузки секций. С одной стороны, разностная аппроксимация искомых функций в пределах отдельных секций может приводить к чрезмерному сгущению сетки, и, следовательно, к неустойчивости счета при реализации метода прямых. С другой стороны, длина некоторых секций может оказаться сравнимой с характерной протяженностью зоны краевых эффектов. В работе предложен вариант дискретизации модельных уравнений при помощи проекционного метода Бубнова-Галеркина. Для реализации метода предложен способ исключения локальных продольных ускорений, приводящий к двухточечной задаче относительно эффективного осевого усилия [57]. Рассмотрение уравнений движения секций в осях подвижного Резалева трехгранника в данном случае позволяет значительно упростить модельные уравнения в частных производных, описывающих движение отдельных секций, однако приводит к существенно нелинейным краевым условиям. Поскольку априорный выбор полной системы базисных функций, удовлетворяющей краевым условиям, невозможен, в качестве базисных функций предложено использовать ортогональные полиномы Чебышева 1-го рода.

Непосредственное применение метода Бубнова-Галеркина для гибких интенсивно растянутых секций может оказаться неэффективным. С другой стороны, непосредственное применение асимптотических разложений высокого порядка приводит к решению большого числа вспомогательных краевых задач и может в силу этого оказаться неэффективным. Также возможна ситуация, когда последовательность калибровочных функций малого параметра оказывается неоправданно сложной. Для преодоления указанных проблем предложено использовать равномерные методы численного решения задач с пограничным слоем, аналогичные [62], но основанные на проекционном методе Бубнова-Галеркина [57]. При этом обыкновенные дифференциальные уравнения, полученные в результате дискретизации исходной сингулярно-возмущенной краевой задачи, при обнулении параметра возмущения переходят в уравнения, полученные в результате дискретизации упрощенной (вырожденной) краевой задачи.

Учет диссипации механической энергии приводит к необходимости исследования и решения несамосопряженных задач. Это служит причиной ряда трудностей при дискретизации модельных уравнений в частных производных, но может дать некоторые преимущества при численном моделировании. Не являются исключением в данном случае и задачи нелинейной динамики многосекционных транспортирующих трубопроводов. Так, аналогично [5], дискретизация нелинейных уравнений в частных производных, описывающих движение отдельных секций, может приводить к появлению «паразитных» частот, описывающих колебания с чрезвычайно быстро экспоненциально возрастающей амплитудой, что делает невозможным приближение искомого решения посредством решения «дискретизованной» задачи. Возникновение указанных «паразитных» частот объясняется приближенным выполнением кинематических уравнений (в частности, уравнений совместности деформаций). Установлено, что, если кинематические уравнения выполняются более точно, чем собственно уравнения движения (изменения количества движения) конструкции, подобный эффект не возникает, и предложена соответствующая модификация проекционного метода Бубнова-Галеркина. С другой стороны, система обыкновенных дифференциальных уравнений, полученная в результате применения метода Бубнова-Галеркина, является «жесткой» в терминологии [55]. Это позволяет использовать специальные методы (например, различные модификации «жестко устойчивого» метода Гира [55]), требующие информацию о якобиане правых частей системы обыкновенных дифференциальных уравнений, но значительно ускоряющие численное интегрирование.

В частности, проводилось моделирование трехмерного движения многосекционного транспортирующего трубопровода при внезапном выходе плавсредства из состояния покоя. Установлено, что общая картина движения дискретно-континуальной системы оказывается достаточно близкой к результатам, полученным при использовании «осредненных» моделей, однако интенсивная разгрузка секций и значительное гидродинамическое сопротивление подводного технологического оборудования значительно изменяют распределение изгибных напряжений в элементах конструкции. Численное интегрирование уравнений движения дискретно-континуальной системы проводилось без каких-либо ограничений на значения параметров ориентации сечений трубопровода, что исключало возможность оптимизации вычисления якобиана правых частей «дискретизованных» уравнений. Тем не менее, даже в этом случае применение «жестко устойчивых» методов не менее чем на порядок сокращало время моделирования.

Эффективность применения «жестко устойчивых» методов численного интегрирования «дискретизованных» обыкновенных дифференциальных уравнений в значительной мере определяется эффективностью вычисления якобиана правых частей. Это в особенности актуально для конструкций, состоящих из большого числа секций средней длины. В работе показано, что, в предположении о непрерывности разгрузки элементов конструкции, с ростом числа секций якобиан правых частей «дискретизо-ванных» обыкновенных дифференциальных уравнений становится с точностью до малых высшего порядка разреженной блочно-диагональной матрицей.

В шестой главе проводится построение и анализ математической модели термоупругих деформаций кварцевого акселерометра, рассматриваемого как квазистатическая дискретно-континуальная механическая система [63, 64], и выполняется определение соответствующих дрейфа нуля и погрешностей баз. Моделирование термоупругих деформаций элементов акселерометра выполняется на основе метода конечных элементов [65, 66, 67]. С точки зрения теории упругости, конструкция акселерометра содержит массивные тела (размеры которых по всем направлениям соизмеримы) и тонкостенные объекты (рассчитываемые по «уточненной теории» [68] оболочки). Адекватным при моделировании напряженно-деформированного состояния является использование треугольных либо тетраэдрических конечных элементов, в которых поле перемещений аппроксимируется при помощи полных кубических полиномов, с точностью до малых второго порядка непрерывно продолженных через границу элемента. Показана быстрая сходимость предложенной в работе модификации метода конечных элементов, а также хорошее совпадение расчетных и экспериментальных данных.

Отдельную проблему представляет собой разработка мобильного программного обеспечения, легко переносимого из одной операционной среды в другую для разнообразных современных компьютерных платформ. В работе использованы совместимый со стандартом ANSI 32-разрядный компилятор Borland С++ 5.4 (входящий в состав системы программирования С++ Builder 4.0 для операционных систем Windows'9x/NT), а также стандартные для большинства современных компьютерных платформ (UNIX, Windows, MAC) системы компьютерной математики MATLAB, Maple, Mathematica. Численное моделирование некоторых задач было выполнено непосредственно в среде MATLAB 6.0 для Windows'9x/NT. Вычислительные программы, предназначенные для решения задач, критичных по отношению ко времени моделирования и/или к объемам оперативной памяти, разрабатывались стандартными средствами С++. При этом создаваемые приложения импортировали математические функции системы MATLAB. Графический интерфейс пользователя и доступ к родственным рабочим книгам MS Excel электронным таблицам Formula One, служившим источником/приемником данных и средством подготовки презентационной графики для разработанных программ, осуществлялся через компоненты библиотеки VCL, стандартной для С++ Builder/Delphi. Контроль символьных преобразований и вычис

19 ления с повышенной разрядностью выполнялись средствами пакетов Maple 6 и Mathematica 3.0 для Windows'9x/NT.

Апробация работы. Основные результаты докладывались:

- на научно-технической конференции «Транспорт России: проблемы и пути их решения» (Суздаль, 1992);

- на Международной конференции «Морские месторождения нефти и газа в России. Состояние и перспективы освоения» (С.-Петербург, 1994);

- на Международной конференции РАН «Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении» (Саратов, 1997);

- на научно-технической конференции «Математическое моделирование» (Саратов, СГТУ, 1998-2000);

- на Международной научно-технической конференции «Проблемы управления и связи» (Саратов, 2000).

В целом работа докладывалась на научном семинаре кафедры «Механика деформируемого твердого тела и прикладная информатика» под руководством академика РААСН Петрова В.В. (2001 г.)

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Андрейченко, Дмитрий Константинович

Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Введен класс дискретно-континуальных механических систем, и разработаны математические основы их моделирования, в том числе:

- разработан высокоэффективный метод исследования устойчивости дискретно-континуальных систем, основанный на геометрических методах теории функций комплексной переменной, и использующий оценку взаимного расположения точек частотного годографа обобщенного детерминанта дискретно-континуальной системы; сформулированы и доказаны теоремы об устойчивом характеристическом квазимногочлене дискретно-континуальной системы, а также теоремы об устойчивых, асимптотически устойчивых и неустойчивых обобщенных передаточных функциях;

- показано, что учет малой, но ненулевой диссипации энергии в континуальных элементах носит принципиальный характер, поскольку, во-первых, позволяет исследовать устойчивость достаточно сложных дискретно-континуальных систем на основе теоремы об устойчивом характеристическом квазимногочлене, во-вторых, позволяет локализовать распространяющиеся в длинномерных конструкциях короткие импульсы и значительно упрощает численное интегрирование соответствующих уравнений переноса, и в третьих, позволяет использовать «жестко устойчивые» методы численного интегрирования при исследовании движения системы в целом;

- предложен высокоэффективный метод численного обращения интегральных преобразований, основанный на свертке исходного изображения с быстро убывающим изображением вспомогательного финитного бесконечно дифференцируемого оригинала, и реализован соответствующий алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа;

- проведено исследование устойчивости, проведен параметрический синтез и выполнено исследование переходных функций в упругих звеньях манипуляторов без априорной замены «континуальных» уравнений конечномерными аппроксимациями;

- впервые на основе сформулированных в работе теорем об устойчивости дискретно-континуальных систем исследована устойчивость цилиндрического гидродинамического подвеса и определены условия и области устойчивости подвеса на кривой подвижного равновесия;

- предложен высокоэффективный вариант проекционного метода Бубнова-Галеркина применительно к проблемам численного интегрирования уравнений Навье-Стокса для поддерживающего слоя жидкости, а также на основе методов асимптотического интегрирования получены приближенные формулы для обобщенных передаточных функций в высокочастотной области;

- получены модельные уравнения, описывающие деформирование длинномерных тонкостенных элементов конструкций, предложен корректный способ разделения полей смещений, деформаций и напряжений, описывающих деформирование осевой линии и деформирование конструкции в относительном движении с точки зрения континуальной механики твердого деформируемого тела; показана необходимость полного учета действующих на элементы конструкции сил инерции;

- для описания существенной геометрической нелинейности деформирования осевой линии предложено использовать аппарат кватернионов, что позволяет избежать возникновения особенностей в нелинейных кинематических уравнениях;

- применительно к проблемам формирования траекторий подводных элементов глубоководных транспортирующих трубопроводов показана допустимость существенного упрощения модельных уравнений, описывающих деформирование длинномерных трубчатых элементов; в частности, предложено использовать уравнения движения в осях подвижного Резалева трехгранника;

- при учете сил инерции, действующих на элементы конструкции со стороны внешнего потока, использован метод источников и стоков, что позволяет получать ударные соотношения для длинных гибких интенсивно растянутых элементов конструкций;

- выполнен асимптотический анализ модельных уравнений глубоководных транспортирующих трубопроводов и выяснено влияние наиболее существенных критериев подобия;

- предложен оригинальный способ исключения локальных продольных ускорений в нелинейных уравнениях движения секций и получена двухточечная краевая задача относительно эффективного осевого усилия;

- предложены оригинальные алгоритмы численного интегрирования уравнений нелинейной динамики глубоководных транспортирующих трубопроводов, в том числе и пригодные к решению задач с краевыми эффектами;

- при помощи разработанных в диссертации алгоритмов исследован ряд задач нелинейной динамики трубопроводов и установлены закономерности движения системы в целом;

- разработана математическая модель термоупругих деформаций кварцевого акселерометра как квазистатической дискретно-континуальной системы, и на основе предложенной высокоэффективной модификации метода конечных элементов определены температурные погрешности баз и температурный дрейф нуля; адекватность математической модели подтверждается совпадением расчетных и экспериментальных данных.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Андрейченко, Дмитрий Константинович, 2001 год

1. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика: логика и особенности приложения математики. - М.: Наука, 1983. -328 с.

2. Злочевский С.И., Кубышкин Е.П. О стабилизации спутника с гибкими стержнями// Космич. исследования. 1991. Т.29. Вып.6. С.828-839.

3. Кобельков Г.М. К решению нестационарной задачи Стокса// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 12. С. 1838-1841.

4. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. -М.: Наука, 1969.-239 с.

5. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. - 688 с.

6. Иванов В.А., Медведев B.C., Чемоданов Б.К., Ющенко А.С. Математические основы теории автоматического регулирования/ Под ред. Б.К.Чемоданова: В 2 т. Т. 1. М.: Высш. шк., 1977. - 366 с. Т. 2. - М.: Высш. шк„ 1977. - 454 с.

7. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. - 119 с.

8. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. - 535 с.

9. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972 - 274 с.

10. Поручиков Б.В. Реакция упругой цилиндрической оболочки на импульсное воздействие // Изв. РАН. МТТ. 2000. №1. С. 172-178.

11. Поручиков Б.В. Методы динамической теории упругости М.: Наука, 1986.-328 с.

12. Коссович Л.Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1986. - 176 с.

13. Горшков А.Г., Кузнецов В.Н., Селезов И.Т. Цилиндрическая оболочка в нестационарном потоке вязкой жидкости // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 3. С. 89-95.

14. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы численного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. М.: Наука, 1974. - 223 с.

15. Тарасов Р.П. Вычисление функций в алгебре треугольных теплицевых матриц и численное обращение интегрального преобразования Лапласа// Ж. вычисл. матем. иматем. физ. 1990. Т. 30. № 12. С. 1827-1833.

16. Тарасов О.А., Тарасов Р.П. Численное обращение двумерного преобразования Лапласа в алгебре треугольных теплицевых матриц над кольцом формальных полиномов// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32. № 3. С. 360-379.

17. Крылов А.Л., Шустер В.Г. Об устойчивости центрального положения шипа в гидродинамическом подшипнике//Докл. АН СССР. 1966. Т. 169. № 5. С. 1030-1033.

18. Бурков М.С. Вибрация валов в подшипниках скольжения высокооборотных машин. В кн.: Развитие гидродинамической смазки подшипников быстроходных машин. -М.: Изд-во АН СССР, 1962. С. 5-128.

19. Уринцев А.Г. Об устойчивости равномерного вращения ненагруженного шипа в гидродинамическом подшипнике скольжения// Изв. АН СССР. МЖГ. 1974. № 1. С. 149-156.

20. Андрейченко К.П. Устойчивость цилиндрического гидродинамического подвеса// Изв. АН СССР. МТТ. 1975. №6. С. 32-39.

21. Андрейченко К.П. Влияние гидромеханических сил инерции на устойчивость цилиндрической гидродинамической опоры//Машиноведение. 1983. № 5. С. 96-102.

22. Андрейченко К.П. К теории жидкостного демпфирования в поплавковых приборах//Изв АН СССР. МТТ. 1977. № 5. С. 13-23.

23. Аксельрад Э.Л., Ильин В.П. Расчет трубопроводов. Л.: Машиностроение, 1972. -240 с.

24. Овчинников В.Ф., Смирнов Л.В. Одномерные уравнения колебаний тонкостенной криволинейной трубы с внутренним потоком жидкости//Проблемы машиностроения и надежности машин. 1991. № 4. С. 38-43.

25. Светлицкий В.А. Механика стержней. 4.1. Статика. М.: Высш. шк., 1978 - 320 с.

26. Светлицкий В.А. Механика стержней. 4.II. Динамика. М.: Высш. шк., 1978. -304 с.

27. Бранец В.П., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. - 320 с.

28. Челноков Ю.Н. Кватернионы и динамика управляемого движения твердого тела// Изв. РАН. МТТ. 1996. № 2. С. 13-23.

29. Челноков Ю.Н., Сапунков Л.Г. Построение оптимальных управлений и траекторий космического аппарата на основе регулярных кватернионных уравнений задачи двух тел// Космич. Исследования. 1996. Т. 34. № 2. С. 150-158.

30. Челноков Ю.Н., Юрко В.А. Кватернионное построение оптимальных управлений и траекторий движения космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле// Изв. РАН. МТТ. 1996. № 6. С. 3-13.

31. Петров В.В., Кузнецов В.В., Земеров В.Н. Механика длинномерных элементов глубоководных комплексов/ Под ред. В.В.Петрова. Саратов: Изд-во Сарат. унта, 1989.- 187 с.

32. Лукомский Ю.А., Чугунов B.C. Системы управления морскими подвижными объектами. -Л.: Судостроение, 1988. -272 с.

33. Кузнецов В.В., Околеснова О.Н. Асимптотический анализ установившегося пространственного движения глубоководных трубопроводов// Изв. РАН. МТТ. 1993. № 1.С. 190-196.

34. Каргаев П.П., Кудряшов В.Е., Лукомский Ю.А. Исследования процессов управления морскими буксирными комплексами на основе передаточных функций гибких связей//Изв. РАН. Теория и системы управления. 1996. № 3. С. 163-170.

35. Красовский А.А. Основы теории акселерометрических бесплатформенных инер-циальных систем// Техническая кибернетика. 1994. №4. С. 135-146.

36. Патент РФ № 2087917 кл. G 01 Р 15/125, 15/13. Пластина маятникового акселерометра/ И.Е.Денисов, А.И.Холонкина, В.М.Глебов, А.А.Смирнов, И.А.Сырова// Бюл. 1997. №23.

37. Крысько В.А., Павлов С.П. Оптимизация формы термоупругих тел. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т. 2000. - 160 с.

38. Андрейченко К.П., Андрейченко Д.К. Динамическое моделирование манипулятора с гибкой рукой// Проблемы машиностроения и надежности машин, 1996, № 3. С. 94-100.

39. Андрейченко К.П., Андрейченко Д.К, Смарунь А.Б. Динамическое моделирование линейных дискретно-континуальных систем// Прикладная математика и механика. 2000. Т. 64. Вып. 2. С. 183-195.

40. Andreichenko К.Р., Andreichenko D.K., Smarun' А.В. Dynamical modelling of linear discrete-continious systems// J. Appl. Maths Mesh. 2000. Vol. 64. No 2. P. 177-188.

41. Андрейченко К.П., Андрейченко Д.К. К теории комбинированных динамических систем// Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. № 3. С. 54-69.

42. Андрейченко К.П., Андрейченко Д.К. Динамическое моделирование гироскопической системы угловой стабилизации упругой ракеты// Доклады академии военныхнаук. 1999. № 1. С. 5-13.

43. Андрейченко К.П., Андрейченко Д.К. Моделирование систем с деформируемыми объектами управления. Деп. в ВИНИТИ 05.07.95, № 2013-В95. - 16 с.

44. Андрейченко К.П., Андрейченко Д.К. Математическое моделирование комбинированных динамических систем. Деп. в ВИНИТИ 21.02.97, № 557-В97. - 12 с.

45. Андрейченко К.П., Андрейченко Д.К. Комбинированные динамические системы// Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении: Материалы межд. конф. РАН. Саратов, 1997. - с. 104-106.

46. Андрейченко Д.К. Эффективный алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 7. С. 1030-1044.

47. Andreichenko D.K. An Efficient Algorithm for Numerical Inversion of the Laplace Transform// Computational Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 40. N 7. 2000, P. 987-999.

48. Андрейченко К.П., Андрейченко Д.К. Петрова Т.Ю. Об одном классе алгоритмов численного обращения интегрального преобразования Лапласа// Доклады академии военных наук. 2000. № 5. С. 5-23.

49. Андрейченко Д.К., Андрейченко К.П., Петрова Т.Ю. Моделирование переходных процессов в линейных дискретно-континуальных системах// Автоматизация и управление в машино- и приборостроении: Межвуз. научн. сб. Саратов: Сар. гос. техн. ун-т. 2001. - С.9-12.

50. Андрейченко Д.К., Петрова Т.Ю. Новый класс методов численного обращения интегрального преобразования Лапласа// Проблемы управления и связи: Материалы межд. конф. Саратов: Сар. гос. техн. ун-т. - 2000. - С.82-86.

51. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.-587 с.

52. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Мир, 1979. 312 с.

53. Андрейченко К.П., Андрейченко Д.К. Моделирование упругого звена манипулятора. -Деп. в ВИНИТИ 21.12.98, № 3793-В98. -25 с.

54. Андрейченко Д.К. Математическое моделирование дискретно-континуальных механических систем. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т. 2001. - 320 с.

55. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа: Задачи аэроупругости. М.: Наука, 1976.-416 с.

56. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа: Задачи гидроупругости. М.: Наука, 1979. - 320 с.

57. Ворович И.И. Математические проблемы теории пологих оболочек. М.: Наука, 1989.-373 с.

58. Андрейченко Д.К. Переходные процессы в глубоководных трубопроводах// Изв. РАН. МТТ. 1999. № 3. С. 159-170.

59. Дулан Э. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. -М.: Мир, 1983.-200 с.

60. Андрейченко К.П., Андрейченко Д.К., Калихман Д.М. Температурная погрешность кварцевого акселерометра// Гироскопия и навигация. 1999. № 2(25). С. 1830.

61. Андрейченко К.П., Андрейченко Д.К. Исследование температурных погрешностей кварцевого акселерометра. Деп. в ВИНИТИ 30.10.98, № 3149-В98. - 23 с.

62. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. - 428 с.

63. Зенкевич О., Могран К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986. -318 с.

64. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. - 349 с.

65. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. -М.-.Наука, 1984. -446 с.

66. Постников М.М. Устойчивые многочлены. М.: Наука, 1981. - 176 с.

67. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1989. - 735 с.

68. Потемкин В.Г. Система научных и инженерных расчетов MATLAB 5.x.: В 2-х т. Т. 1. - М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999. - 366 с. Т. 2. - М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999. -304 с.

69. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.:Мир, 1967. - 310 с.

70. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М.: Наука, 1962,- 1100 с.

71. Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды. М.: Наука, 1987. - 544 с.

72. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. - 326 с.

73. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. шк., 1990. - 208 с.

74. Андрейченко К.П., Андрейченко Д.К. Математическое моделирование и устойчивость комбинированных динамических систем/У Доклады Российской Академии Естественных наук. 1999. № 1. С. 6-27.

75. Лавровский Э.К., Формальский A.M. Управление упругим звеном манипулятора при помощи обратной связи по положению и скорости груза// ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 6. С. 94-100.

76. Андрейченко К.П., Андрейченко Д.К., Смарунь А.Б., Федюнин А.Е. Динамическое моделирование упругой ракеты// Сб. тр. СВВКИУРВ, Саратов, 1996. 13 с.

77. Андрейченко К.П., Андрейченко Д.К., Смарунь А.Б., Федюнин А.Е. К теории угловой стабилизации упругой ракеты// Управление в технических системах: Тезисы докладов научно-технического семинара. Саратов. СВВКИУ, 1998. - 3 с.

78. Андрейченко К.П. Динамика поплавковых гироскопов и акселерометров. М.: Машиностроение, 1987.- 125 с.

79. Пальцев Б.В., Чечель И.И. О точных оценках скорости сходимости итерационных методов с расщеплением граничных условий для системы типа Стокса в слое с условием периодичности// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 12. С. 1832-1837.

80. Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы. М.: Наука, 1989. - 272 с.

81. Седов Л.И. Механика сплошной среды.: -В 2 т. Т. I. М.: Наука, 1976. 536 с. Т. II. - М.: Наука, 1976. - 576 с.

82. Новиков С.П., Фоменко А.Т. Элементы дифференциальной геометрии и топологии. -М.: Наука, 1987. -432 с.

83. Андрейченко Д.К. Уточненные модели деформирования длинномерных тонкостенных элементов конструкций. -Деп. в ВИНИТИ 29.06.2000, № 1836-В00. -52 с.

84. Рикардс Р.Б. Уравнения неразрывности деформаций в теории оболочек типа Тимошенко//Механика полимеров. 1973. №1. С. 105-109.

85. Андрейченко Д.К., Кузнецов В.В. Анализ динамических характеристик глубоководного трубопровода, буксируемого плавсредством Деп. в ВИНИТИ 3.07.92, № 2165-В92 -26 с.

86. Андрейченко Д.К., Кузнецов В.В. Анализ переходных процессов в глубоководных трубопроводах морских гидротехнических сооружений// Транспорт России: проблемы и пути их решения: Тр. конф. Суздаль, 1992. - С. 4-6.

87. Андрейченко Д.К. Исследование переходных процессов в глубоководных трубопроводах// Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами: Межвуз. научн. сб. Саратов: Сар. гос. техн. ун-т. 1998. -С. 73-78.

88. Андрейченко Д.К. Переходные процессы в морских трубопроводах// Современные проблемы нелинейной механики конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами: Межвуз. научн. сб. Саратов: Сар. гос. техн. ун-т. 2000, с.132-138.

89. Бэтчелор Дж. Введение в механику жидкостей. М.: Мир, 1973. - 758 с.

90. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970. - 904 с.

91. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. - 711 с.

92. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости М.:ГИТТЛ, 1955.-519 с.

93. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Т. I. М.: ГИТТЛ, 1955.-560 с.

94. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.6. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. - 733 с.

95. Чжэн П.К. Отрывные течения. Т.З. -М.: Мир, 1973. 333 с.

96. Биркгоф Г., Сарантонелло Э. Струи, следы и каверны. М.: Мир, 1964. - 532 с.

97. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1966. -678 с.

98. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 939 с.

99. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989.-637 с.

100. ЮЗ.Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988. -352 с.

101. Андрейченко Д.К., Кузнецов В.В. Анализ малых поперечных колебаний глубоководных морских трубопроводов. 4.1. Асимптотический анализ уравнений малых колебаний. Деп. в ВИНИТИ 15.04.91, № 1952-В91. - 12 с.

102. Chakrabarti S.K., Frampton R.E. Review of riser analysis techniques// Appl. Ocean Res., 1982, V. 4, N2, P 73-90.

103. Chung J.S., Whitney A.K. Axial stretching oscillation of an 18000-ft vertical pipe in the ocean// Trans. ASME: J. Energy Res. Technol. 1983. V. 107. N 2. P. 226-234.

104. Chung J.S., Whitney A.K., Loden W.A. Nonlinear transient motion of deep ocean mining pipe// Trans. ASME: J. Energy Res. Technol. 1981. V. 103. N. 1. P. 3-10.

105. Kirk C.L. Dynamic response of marine risers by single wave and spectral analysis methods// Appl. Ocean Res. 1985. Vol. 7. N 1. P. 2-13.

106. Kiihne M. Modellbildung und simulation der transverselschwingungen elastischer forderrohre sur mineralgewinnung aus der tiefsee// Proc. Inter. Symp. and Course SIMULATION. Zurich, 1975.

107. Nordgren R.P. On computation of the motion of elastic rods// J. Appl. Mech. 1974. V. 41. N4. P. 275-297.

108. Nordgren R.P. Dynamic analysis of marine risers with vortex excilation// Transact. ASME: J. of Energy Res. Technol. 1982. V. 104. P. 14-19.

109. Tikhonov V.S., Zubarev V.K. Simulation on nonlinear vibrations of an elevating pipeline// Proc. 14-th Annual Offshore Technol. Conf., Paper N OTC 4243. 1982. P. 51-62.

110. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваккер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. - 512 с.

111. Кузнецов В.В. Об использовании метода продолжения решения по длине отрезка интегрирования при расчете круглых гофрированных пластин// Изв. АН СССР. МТТ. 1983. №2. С. 189-191.

112. Konuk I. Higer order approximations in stress analysis of submarine pipelines// J. Energy Res. Technol. 1980. V. 102. N 12. P. 190-196.

113. Энгельбрехт Ю.К., Нигул У.К. Нелинейные волны деформации. М.: Наука, 1981.-256 с.

114. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986. - 527 с.

115. Yoshizawa Masatsagu, Suzuki Toshiyuki, Takayanagi Masaya, Hashimoto Kouji. Nonlinear lateral vibration of a vertical fluid-conveying pipe with end mass// JSME Int. J. C. 1998. 41, N3. P. 652-661.

116. Тондл А. Автоколебания механических систем. M.: Мир, 1979. - 397 с.

117. Андрейченко Д.К. Исследование автоколебаний в глубоководных транспортирующих трубопроводах Деп. в ВИНИТИ 16.01.95, № 117-В95. - 27 с.

118. Андрейченко Д.К., Кузнецов В.В. Моделирование динамических характеристик глубоководных трубопроводов// Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1991. № 12. С. 33-38.373

119. Андрейченко Д.К. Применение метода Бубнова-Галеркина к решению задач нелинейной динамики транспортирующих трубопроводов Деп. в ВИНИТИ 16.01.95, № 119-В95. - 23 с.

120. Shampine L.F., ReieheltM.V. The MATLAB ODE Suite// SIAM Journal on Scientific Computing. 1997. V. 18. P. 1-22.

121. Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость тел неоднородной структуры. М.: Наука, 1970. - 368 с.

122. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.:Мир, 1977. - 622 с.

123. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978. - 688 с.

124. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УНИТАРНОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ

125. Математическое моделирование дискретно континуальных механических системпредставленный на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

126. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УНИТАРНОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ "КОРПУС" Россия, 410019, г. Саратов, ул. Осипом, 1 Телетайп 241124 РУБИН, Факс [phone]

127. Применение модели термоупругих погрешностей позволило предложить способы усовершенствования конструкции прецизионного кварцевого акселерометра КХ67-041.