Математическое моделирование ламинарно-турбулентного перехода для параллельных течений двухфазной жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Попов, Дмитрий Иванович

• Попов, Дмитрий Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Попов, Дмитрий Иванович

Введение.

Глава I. Возможности математического моделирования ламинарнотурбулентного перехода в многофазных системах.

Раздел

1. Модель монодисперсной смеси.

2. Оценки решения линеаризованных уравнений.

3. Спектр линейной задачи.

Раздел

1. Спектральные методы Галеркина и приближенные методы.

2. Численная схема для исследования автоколебаний.

Раздел

1. Метод дифференциальной прогонки.

Глава 2. Устойчивость плоскопараллельного течения Куэтта-Пуазейля бесстолкновительной монодисперсной смеси.

Раздел

1. Уравнения малых возмущений.

2. Некоторые сведения из теории аналитических возмущений.

3. Свойства спектра для монодисперсной смеси.

Раздел

1. Спектральные зависимости.

Раздел

1. Распределение энергии в сечении канала.

2. Собственные функции.

Глава 3. Исследование устойчивости течений в канале для цилиндрической геометрии.

Раздел

1. Уравнения малых возмущений.

2. Спектральные зависимости.

Раздел

1. Конструирование соленоидального базиса.

2. Распределение энергии в сечении канала.

Раздел

1. Конструирование соленоидального базиса.

2. Спектр течения Гагена-Пуазейля монодисперсной смеси.

3. Собственные функции.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование ламинарно-турбулентного перехода для параллельных течений двухфазной жидкости»

Актуальность темы. Математическая гидродинамика по-прежнему остается одним из актуальных направлений современной науки и науки будущего. Нет необходимости перечислять все направления современной гидродинамики, описывать связанные с ними задачи и сложность их решения (в том числе математическую). Укажем лишь те вопросы, которые рассматриваются в работе. Основной задачей данной работы является математическое моделирование ламинарно-турбулентного перехода в параллельных течениях некоторых простых двухфазных систем. Модельные уравнения, описывающие движение таких сред (монодисперсная смесь), хорошо известны в литературе, где обсуждаются как феноменологические, так статистические аспекты движения и характера межфазного обмена импульсом. Однако относительная простота модели позволяет выделить и проанализировать моменты, возникающие при исследовании более сложно устроенных систем гидродинамического типа. Многофазные системы широко распространены в природе. Только с середины прошлого столетия механика многокомпонентных систем стала приобретать современный вид. При этом в виду своего прикладного значения наиболее изученными оказались такие направления, как, например, ударно-волновые процессы в неоднофазных средах, обтекание тел двухфазными потоками, пленочные течения, вибрационные и фильтрационные движения, движение газо-жидкостных смесей и т.д. При этом имеющиеся модели гидродинамического типа, допускающие существование стационарных или периодических решений, являются основой для распространения результатов и ставят новые задачи для теории устойчивости. Обобщение подходов, развитых Ляпуновым, для уравнений гидродинамического типа и бесконечномерных динамических систем позволяет в ряде случаях ответить на вопрос об устойчивости (по Ляпунову). Наибольшие успехи достигнуты в решении вопроса о законности линеаризации (первый метод Ляпунова), который подробно изучен для уравнений параболического типа и уравнений Навье-Стокса. При этом оказывается, что некоторые выводы об устойчивости или неустойчивости, полученные для линеаризованных уравнений, переносятся и на нелинейные уравнения. Применение методов спектральной теории линейных операторов в гидродинамической теории устойчивости и бифуркаций остается и будет наиболее плодотворным и развивающимся направлением при изучении вопросов устойчивости течений жидкости. При этом спектральные методы могут быть средством качественного исследования влияния параметров модели на структуру спектра малых возмущений. О необходимости развития спектральной теории говорит тот факт, что строгий результат об абсолютной устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе не получен по сей день. Сравнительно недавними явились результаты зарубежных авторов [151-153] по применению теории псевдоспектров для исследования устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе. Количественное исследование спектра линеаризованных уравнений, как правило, сопряжено с решением задачи на собственные значения для уравнений с малым параметром при старшей производной. Данное обстоятельство накладывает определенные ограничения и требования на численные методы, исследование сходимости которых необходимо проводить отдельно. Изучение бифуркаций и возникновения турбулентности течений гидродинамических систем сопряжено с огромным объемом вычислительной работы. При этом даже в случае, когда существует строгая теория (например, движений системы на аттракторе), нет возможности проверить строгую выполнимость условий теорем, поэтому многие результаты проверяются посредством численного эксперимента. Наиболее распространен при исследовании бифуркации метод Ляпунова-Шмидга [24, 45, 87, 114-116, 120], позволяющий свести задачу ветвления к аналогичной проблеме для системы малой размерности и получать вторичные режимы в виде ряда по степеням малого параметра. В вычислительном плане наиболее эффективными являются спектральные методы конечномерной дискретизации гидродинамических уравнений. Прямое численное моделирование ламинарно-турбулентнОго перехода остается основным средством исследователя даже в отсутствии глобальной теоремы существования.

Цель работы. Исследование возможности моделирования ламинарно-турбулентного перехода для монодисперсных смесей. Разработка библиотеки процедур для автоматизации отыскания собственных значений линеаризованной задачи. Исследование применимости спектральных методов для моделирования колебательной неустойчивости параллельных течений смеси. Качественный и количественный анализ спектра линеаризованных уравнений движения монодисперсной смеси в окрестности некоторого стационарного параллельного течения.

Решаемые задачи:

1. Возможность математического моделирования ламинарно-турбулентного перехода в случае монодисперсной смеси. Применимость первого метода Ляпунова. Качественный анализ спектра пучка операторов, соответствующих линеаризованным уравнениям для монодисперсной смеси.

2. Разработка библиотек, позволяющих автоматизировать решение задачи на собственные значения, с использованием метода дифференциальной прогонки. Исследование условий применимости спектральных методов Галеркина с использованием глобально ортогональных базисов в линейном и нелинейном случаях.

3. Исследование влияния формы основного профиля, геометрии течения на характер спектра для параллельных течений монодисперсной смеси. Численное подтверждение качественных результатов, относящихся к спектру линейной задачи.

Научная новизна и значимость работы.

1. Показано, что уравнения для монодисперсной смеси могут быть включены в общую теорию математической гидродинамики [147], изложенную в известной монографии Юдовича "Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости" [117], и на них распространяются результаты соответствующих теорем (в частности, обоснование законности линеаризации). Установлена дискретность спектра и полнота собственных и присоединенных векторов в некотором банаховом пространстве, а оператор задачи порождает аналитическую полугруппу.

2. Установлено, что линеаризованные уравнения для дисперсной фазы и слагаемое, описывающее межфазное взаимодействие в смеси, обусловливают существование отображения поля скоростей дисперсной фазы на поле скоростей дисперсионной фазы, осуществляемое пучком линейных обратимых операторов. При этом спектральная задача сводится к нелинейной задаче на собственные значения для голоморфного семейства замкнутых операторов с вполне непрерывной резольвентой. Обобщение теорем о неявных аналитических функциях и применение следствий теоремы Като дает представление о поведении характеристических чисел пучка операторов, как ветвей голоморфной функции. Установлено преобразование комплексной плоскости, переводящее сходственные точки спектра друг в друга при фиксированных значениях параметров, определяющих задачу. Для спектра двумерных возмущений данным обстоятельством качественно можно разъяснить сложную структуру параметрических зависимостей для критического числа Рейнольдса и спектральных зависимостей, а так же повышение значения критического числа Рейнольдса практически на порядок.

3. Установлено, что качественная картина устойчивости определяется величиной степени дисперсности примеси, а геометрия течения и форма основного профиля в определенном смысле отвечают за изменение количественных характеристик. Замкнутые подобласти у нейтральных кривых и ветви у параметрических зависимостей для трехмерных возмущений могут наблюдаться как в узко щелевом приближении, когда напорное течение в кольцевом зазоре вырождается в плоскопараллельное течение Пуазейля, так и при различных значениях радиуса внутреннего цилиндра. При этом характер распределения энергии пульсаций в сечении канала определяется величиною степени дисперсности.

Научная и практическая значимость работы. Разработанная библиотека процедур для решения спектральной задачи позволяет существенно автоматизировать процесс вычислений и минимизировать подготовительный этап. В частности, для начала расчетов необходимо иметь лишь приближенное представление о локализации спектра на комплексной плоскости. Исследована применимость и сходимость спектрального метода Галеркина с использованием полиномов Чебышева для линеаризованных уравнений, описывающих монодисперсную смесь. Приведен пример расчета плоских автоколебаний для монодисперсной смеси. Предложен способ дискретизации сильно нелинейного слагаемого, основанный на свойствах глобальной ортогональности и рекуррентных соотношениях для полиномов Чебышева.

На защиту выносятся:

1. Результаты исследования возможности математического моделирования ламинарно-турбулентного перехода в случае монодисперсной смеси. Применимость первого метода Ляпунова. Качественный анализ спектра пучка операторов, соответствующих линеаризованным уравнениям для монодисперсной смеси.

2. Разработка библиотеки процедур, позволяющих автоматизировать решение задачи на собственные значения, с использованием метода дифференциальной прогонки. Численная схема для исследования бифуркации Пуанкаре-Андронова-Хопфа плоскопараллельного течения Пуазейля монодисперсной смеси.

3. Результаты исследования влияния формы основного профиля, геометрии течения на характер спектра для параллельных течений монодисперсной смеси. Численное подтверждение качественных результатов, относящихся к спектру линейной задачи.

Достоверность результатов. Возможность использования процесса Бубнова-Галеркина в задаче об отыскании собственных чисел изучена, когда оператор представим в виде суммы самосопряженного, симметричного оператора Т и оператора К, который вполне непрерывен в энергетическом пространстве первого. В этом случае Н.И. Польским показано [67], что собственные элементы задачи могут быть построены как пределы собственных элементов, получаемых процессом Бубнова-Галеркина, если резольвента оператора Т~'К имеет простые полюсы. При этом приближенные решения сходятся по энергии оператора Т. Однако, как установлено Ладыженской и Юдовичем, обобщенные решения будут решениями в исходном гильбертовом пространстве. В случае исследования автоколебаний применимость методов Галеркина хорошо изучена для параллельных течений. Важным моментом как для линейной задачи, так и при исследовании автоколебаний оказывается вопрос о существовании и ед инственности обобщенного решения в соответствующих пространствах. Эта проблема решается работами В.И. Юдовича и О.А. Ладыженской [117, 147]. Сходимость метода дифференциальной прогонки оценивается апостериорно (контрольными вычислениями и сравнением с уже известными результатами). Поскольку в методе дифференциальной прогонки решается система конечных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, то применимы соответствующие теоремы о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметра и начальных данных. При этом коэффициенты матрицы дисперсионного определителя являются аналитическими, однозначными функциями собственного значения.

Апробация работы. Основные результаты докладывались автором на следующих конференциях: УП-УШ-й Всероссийских конференциях молодых ученых "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики" (Новосибирск, 2002-04 гг.), доклады на которых дважды были отмечены дипломом третьей степени, Всероссийская конференция "Теория и приложения задач со свободными границами" (Бийск, 2002г.), Международная конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2002г.), Международная конференция "Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей" (Новосибирск, 2004г.), 28-й сибирский теплофизический семинар (Новосибирск, 2005г.).

Личный вклад автора. Описанное в диссертации исследование было проведено автором самостоятельно, в том числе разработана библиотека процедур для автоматизации решения задачи на собственные значения. На основе сравнительного анализа спектральных методов (в частности, методов, использующих глобально ортогональные функции) построена схема, использующая Чебышев-Фурье дискретизацию уравнений автоколебаний, для исследования бифуркации Пуанкаре-Андронова-Хопфа плоскопараллельного течения Пуазейля монодисперсной смеси. Автором самостоятельно проведен качественный анализ спектральной задачи на основе известных результатов теории линейных операторов. Установлено, что пучок операторов, соответствующий линеаризованным уравнениям для монодисперсной смеси, удовлетворяет требованиям теорем, доказанных В.И. Юдовичем и обосновывающим первый метод Ляпунова в гидродинамике.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы. Работа содержит 50 рисунков, 10 таблиц, библиография насчитывает 170 наименований. Общий объем диссертации-128 страниц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Попов, Дмитрий Иванович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результатом проведенных исследований явились следующие краткие выводы:

1. Для модели монодисперсной смеси разработаны и реализованы численные алгоритмы решения задачи на собственные значения, основанные на методе дифференциальной прогонки и спектральных методов Галеркина. Вычислительные алгоритмы, основанные на методе дифференциальной прогонки, реализованы в виде универсального и удобного для исследователя средства - разработанного на языке FORTRAN95 библиотеки программных модулей для решения спектральной задачи, которые позволяют полностью проанализировать спектр малых возмущений параллельных течений монодисперсной смеси и существенно автоматизировать процесс вычислений. Характеристики устойчивости могут быть рассчитаны для больших чисел Рейнольдса. При этом несложная модификация исходного кода по заданным правилам позволяет использовать библиотеку для решения целого ряда задач на собственные значения для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (в том числе и так называемую нелинейную задачу на собственные значения). Алгоритмы, основанные на спектральных методах, использовались для верификации результатов и рассчета собственных функций для различных спектральных мод. Предложена схема спектральной аппроксимации сильно нелинейного слагаемого в уравнениях монодисперсной смеси. Для этого используются свойства полиномов Чебышева и специальным образом сконструированные базисы, свойства которых хорошо освещены в литературе.

2. Установлена ограниченность и единственность решения линеаризованных уравнений. Показано, что соответствующие оператор, резольвента и спектр удовлетворяют требованиям известных теорем, позволяющих сделать заключение об устойчивости или неустойчивости движения бесконечномерной динамической системы. Проанализирован спектр линеаризованного оператора для течения Куэтта-Пуазейля в случае двумерных возмущений при однородном распределении дисперсной фазы. При этом оказывается, что в общем случае спектральная задача для монодисперсной смеси может быть сведена к некоторой нелинейной задаче на собственные значения для пучка линейных операторов, зависящего полиномиально от характеристического числа. Оказывается, что при фиксированных значениях параметров, определяющих форму основного профиля, характеристический пучок допускает такое преобразование, что на мнимой оси могут одновременно обнаруживать себя несколько характеристических чисел. Это обстоятельство во многом разъясняет эффект смыкания ветвей нейтральной кривой. Произведены массовые расчеты в широких диапазонах изменения параметров. В результате построены кривые нейтральной устойчивости, параметрические зависимости для критических чисел Рейнольдса, кривые, описывающие зависимости поведения различных спектральных мод от значений параметров, и исследован характер поведения собственных функций и распределения производства и диссипации энергии пульсаций по сечению канала. Установлено, что характер стабилизации и дестабилизации основного профиля во многом определяется параметром, описывающим степень дисперсности примеси. В частности, при определенной концентрации взвеси наблюдаются области значений параметров, которым соответствует повышение значения критического числа Рейнольдса практически на порядок, и области, для которых неустойчивых мод в спектре возмущений не обнаружено ("окна устойчивости"). При этом нейтральные кривые и кривые, описывающие критические зависимости, имеют сложную структуру (нейтральные кривые могут состоять из нескольких подобластей).

3. Проанализирован спектр малых трехмерных возмущений осесимметричных течений в случае течения Пуазейля в трубе и напорного течения между концентрическими круговыми цилиндрами. Значения критического числа Рейнольдса при определенных значениях степени дисперсности могут увеличиваться практически на порядок для различных азимутальных мод. Построены кривые нейтральной устойчивости, зависимости поведения спектральных мод возмущений от значения параметров и распределения пульсационной энергии в сечении канала для различных азимутальных мод. Для течения Пуазейля в трубе исследован спектр возмущений для различных азимутальных мод. Установлено, что спектр течения Пуазейля в круглой трубе при определенных значениях степени дисперсности может располагаться внутри замкнутой жордановой кривой, что указывает на ограниченность оператора задачи на соответствующем классе функций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Попов, Дмитрий Иванович, 2007 год

1. Архангельский А. В. Канторовская теория множеств. - М.: Изд-во МГУ, 1988. - С. 112.

2. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966.-С. 544.

3. Бабенко К.И. Основы численного анализа. Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002.-С. 848.

4. Белоцерковский О. М., Яницкий В. Е. Статистический метод частиц в ячейках для решения задач динамики разреженного газа // Журн. вычисл. математики и мат. физики, Т. 15, № 5, 1975. С. 1195 - 1208.

5. Березанский Ю. М., Кондратьев Ю. Г. Спектральные методы в бесконечномерном анализе. Киев: Наук, думка, 1988.-С. 680.

6. Бетчев Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир, 1971. - 352 с.

7. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, 1968. - С. 272.

8. Бурбаки Н. Общая топология. (Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства). М.: Наука, 1969. - С. 392.

9. Бурбаки Н. Теория множеств. М.: Мир, 1965.

10. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. М.: И. Л., 1959.

11. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969,-527 С.

12. Васильева Н. J1., Черный JI. Т. Электрогидродинамика двухфазных сред при электризации частиц дисперсной фазы под влиянием электрического поля // ПММ, Т. 46, вып. 1, 1982. С. 107 - 115.

13. Волков П. К. Модель ячейки для описания двухфазных сред // ПМТФ, Т. 38, № 2, 1997. С. 115124.

14. Гаврилюк С. Л., Перепечко Ю. В. Вариационный подход к построению гиперболических моделей двухскоростных сред // ПМТФ, Т. 39, № 5, 1998. С. 39 - 54.

15. Ганнинг Р., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1969.

16. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966, - 576 С.

17. Гельфанд И. М., Райков Д. А. Коммутативные нормированные кольца М.: Физматгиз, I960. - С. 420.

18. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А., Устойчивость конвективных течений.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989

19. Гольдштик М.А., Штерн В.Н., Яворский Н. И.Вязкие течения с парадоксальными свойствами. Новосибирск: Наука, 1989. - С. 336.

20. Гольдштик, М.А., Штерн, В.Н., Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Нов-ск: Наука, 1977.

21. Гординг А. Задача Коши для гиперболических уравнений. -М.: И.Л., 1961.

22. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.: И.Л., 1963.

23. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных опереторов- М.: Наука, 1965,-448 С.

24. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970, - 534 С.

25. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы: Общая теория. М., 1962 - 895 с.

26. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы: Спектральная теория. М., 1966 - 1063 с.

27. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы: Спектральные операторы. М., 1973.

28. Даугавет И. К. Приближенное решение линейных функциональных уравнений. Л.: Изд-во Jle-нингр. ун-та, 1985. - С. 224.

29. Джозеф Д., Устойчивость движения жидкости.-М., 1981,-638 с.

30. Евграфов М. А. Аналитические функции.-М.: Наука, 1991. С. 448.

31. Жигулев В. Н., Тумин А. М. Возникновение турбулентности. Динамическая теория возбуждения и развития неустойчивостей в пограничных слоях. Новосибирск: Наука, 1987.

32. Зубарев Н. М. Вариационные принципы построения маломодовых моделей ламинарно-турбулентного перехода//ЖТФ, Т. 67, № 5,1997. С. 1 - 5.

33. Ильин В. А. Спектральная теория дифференциальных операторов. М.: Наука, 1991. - С. 368.

34. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

35. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. - С. 752.

36. Като Т. Теория возмущения линейных операторов. М.: Мир, 1972.

37. Клебанов Л. А., Крошилин А. Е., Нигматулин Б. И., Нигматулин Р. И. О гиперболичности, устойчивости и корректности задачи Коши для системы уравнений двухскоростного движения двухфазных сред // ПММ, Т. 46, вып. 1,1982. С. 83 - 95.

38. Клемент Ф., Хейманс X. и др. Однопараметрические полугруппы. М.: Мир, 1992. - С. 352.

39. Кожуховская T.A., Попов Д.И., Сагалаков A.M. Линейная устойчивость некоторых течений двухфазной жидкости // 28 сибирский теплофизический семинар: тезисы докладов / под ред. С.В. Алек-сеенко Новосибирск: Изд-во ИТ СО РАН, 2005.

40. Кожуховская Т.А., Попов Д.И., Сагалаков A.M. Нейтральные зависимости течений двухфазной жидкости между коаксиальными цилиндрами И Известия АлтГУ, Вып.1- Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2003.-С. 72-77.

41. Кожуховская T.A., Попов Д.И., Сагалаков A.M. Устойчивость двухфазных параллельных течений между коаксиальными цилиндрами У/ Теория и приложения задач со свободными границами: тез. докл.- Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2002. С. 47^19.

42. Колесов В. В., Юдович В. И. Расчет колебательных режимов в течении Куэтта вблизи точки пересечения бифуркации возникновения вихрей Тейлора и азимутальных волн // Изв. РАН, МЖГ, № 4, -1998.-С. 81 -93.

43. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. Л.: Судостроение, 1979. -С. 264.

44. Крайко А. Н. К двухжидкостной модели течений газа и диспергированных в нем частиц // ПММ, Т. 46, вып. 1, 1982.-С. 96-106.

45. Крайко А. Н. О корректности задачи Коши для двухжидкостной модели течения смеси газа с частицами // ПММ, Т. 46, вып. 3, 1982. С. 420-428

46. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966,-331 с.

47. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: государственное изд- во технико-теоретической лит., 1956.

48. Красносельский М.А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.

49. Красносельский М.А., Забрейко П.П. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М., 1966, -499 с.

50. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978. - С. 400.

51. Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - С. 608.

52. Куратовский К. Топология: том 2. М.: Мир, 1969.

53. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967, - 736 С.

54. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. -М.: Наука, 1973,-576 С.

55. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретеческая физика: учебное пособие. В 10 т. Т. VI. Гидродинамика. -3-е изд., перераб. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1986. - 736 с.

56. Леонов Г. А. Оценка аттракторов и существование гомоклинических орбит в системе Лоренца // ПММ, Т. 65, вып. 1,2001.-С. 21-35.

57. Лере Ж. Гиперболические дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984. - С. 208.

58. Линь Ц. Ц. Теория гидродинамической устойчивости. М.: И.Л., 1958. - 194 с.

59. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Гл. ред. физ.-мат. лит., Изд. 3-е, перераб. и доп. - М.: Наука, 1970.

60. Мамаев В. А., Одишария Г. Э. и др. Гидродинамика газо-жидкостных смесей в трубах. М.: изд-во Недра, 1969.-С. 208.

61. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. М., 1950.

62. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М., 1980, - 367 С.

63. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М., 1977. - С. 456.

64. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М., 1970. - С. 512.

65. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1962, 254 С.

66. Монин А. С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Ч. 1. М.: Наука, 1965, - 639 с.

67. Монин А. С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Ч. 2. М.: Наука, 1967, - 720 с.

68. Наймарк М. А., Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. - С. 528.

69. Наймарк М. А., Нормированные кольца. М.: Наука, 1968. - С. 664.

70. Натансон И. П. Конструктивная теория функций. М.: гос. изд-во технико-теоретической лит., 1949.

71. Нигматулин, Р.И., Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.

72. Нигматулин, Р.И., Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987.

73. Никитин Н. В. Пространственный подход к численному моделированию турбулентности в трубах // Докл. РАН, Т. 343, №6, 1995. - С. 767 - 770.

74. Никитин Н. В. Спетрально-конечно-разностный метод расчета турбулентных течений несжимаемой жидкости в трубах и каналах // Журн. вычисл. математики и мат. физики, Т. 34, №6,- 1994. С. 909 -925.

75. Никитин Н. В. Численное исследование ламинарно-турбулентного перехода в круглой трубе под действием периодических входных возмущений // Изв. РАН, МЖГ, №2, 2001. - С. 42 - 55.

76. Нуссбаумер Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток. М.: Радио и связь, 1985.-С. 248.

77. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы. М.: Мир, 1983. -С. 384.

78. Попов Д.И. Моделирование ламинарно-турбулентного перехода двухфазных течений в кольцевом зазоре // Труды Междунар. конф. молодых ученых по мат. моделир. и информ. техн-ям,- Новосибирск, 2002. С. 36-37.

79. Попов Д.И. Устойчивость течения Куэтта-Пуазейля двухфазной монодисперсной смеси // Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики: тез. докл. VIII Всероссийской конференции молодых ученых,- Новосибирск: Изд-во ИТ СО РАН, 2004 С. 24-25.

80. Попов Д.И., Проскурин А.В., Сагалаков A.M. Эволюция волн Толлмина-Шлихтинга в кольцевом зазоре // Теория и приложения задач со свободными границами: тез. докл. Барнаул : Изд-во Алт. унта, 2002-С. 78-80.

81. Попов Д.И., Сагалаков A.M. Влияние формы профиля скорости на характеристики устойчивости течения монодисперсной бесстолкновительной смеси // Известия АлтГУ, Вып. 1 -Барнаул : Изд-во унта, 2005.-С. 148-152.

82. Ревина С. В., Юдович В. И. Возникновение автоколебаний при потере устойчивости пространственно-периодических трехмерных течений вязкой жидкости относительно длинноволновых возмущений // Изв. РАН, МЖГ, №2, 2001. - С. 29 - 41.

83. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики: том 2. М.: Мир, 1978.

84. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики: том 4. М.: Мир, 1982. - С. 428.

85. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

86. Рудяк В. Я., Исаков Е. Б., Борд Е. Г. Неустойчивость плоского течения Куэтта двухфазных жидкостей //Письма в ЖТФ, Т. 24, № 5, 1998. -С. 16- 80.

87. Рудяк В.Я., Исаков Е.Б. Устойчивость течения Пуазейля двухфазной жидкости с неоднородным распределением частиц. ПМТФ. 1996, т.37, №1.

88. Рудяк В.Я., Исаков Е.Б.,Борд Е.Г., Устойчивость струйных течений двухфазной жидкости // Теплофизика и Аэромеханика, T.5, № 1, 1998. С. 59 - 66.

89. Руев Г. А., Рождественский Б. Л., Фомин В. М., Яненко Н. Н. Законы сохранения систем уравнений двухфазных сред// Докл. АН СССР, Т. 254, № 2, 1980. С. 288-293.

90. Сапожников В.А. Решение задачи на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений методом прогонки // Труды Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. Нов-ск, 1969. - С. 212-219.

91. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.-С. 336.

92. Coy, С.Л., Гидродинамика многофазных систем. М.: Мир, 1975.

93. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.

94. Струминский В. В. Влияние диффузионной скорости на течение газовых смесей // ПММ, Т. 38, вып. 2,1974.-С. 203 -210.

95. Треногин В. А. Функциональный анализ. М,: Наука, 1980.

96. Устинов М. В. Взаимодействие волны Толлмина-Шлихтинга с локальной неоднородностью течения //ПМТФ, Т. 39,№ 1, 1998.-С. 75 -83.

97. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Наука, 1960.

98. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: T.I, Т.2 -М.: Мир, 1991.

99. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988. - С. 352.

100. Франк А. М. Дискретные модели несжимаемой жидкости. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - С. 224.

101. Фукс Б. А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М.: Физматгиз, 1962.-С. 420.

102. X. Суинни и Дж. Голлаб Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. М.: Мир, 1984.

103. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений : нежесткие задачи.-М.: Мир, 1990.-С. 512.

104. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.: объед. научно-техническое изд-во НКТП СССР, 1937.

105. Шлихтинг Г. Возникновение турбулентности. М.: И.Л., 1962. - 201 с.

106. Юдович В. И. Возникновение автоколебаний в жидкости. ПММ, 1971, Т. 35,4, - С. 638 - 655

107. Юдович В. И. Исследование автоколебаний сплошной среды, возникающих при потере устойчивости стационарного режима. ПММ, 1972, Т. 36,3, - С. 450-459

108. Юдович В. И. Об автоколебаниях, возникающих при потере устойчивости параллельных течений вязкой жидкости относительно длинноволновых периодических возмущений // Изв. АН СССР, МЖГ, №1,- 1973.-С. 32-35.

109. Юдович В.И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Изд. Рост, ун-та, 1984.

110. Яницкий В. Е. Применение стохастического процесса Пуассона для расчета столкновительной релаксации неравновесного газа // Журн. вычисл. математики и мат. физики, Т. 13, № 2, 1973. С. 505 -510.

111. Allen М. P., Tildesley D. J. Computer simulation of liquids. Oxford University Press, 1989.

112. Arnold V. I., Khesin B. A. Topological methods in hydrodynamics: Applied mathematical science. Springer-Verlag, New York, 1998.

113. Bender С. M., Orszag S. A. Advanced mathematical methods for scientists and engineers. McGraw-Hill, Inc., 1978.

114. Boyd J. P. Chebyshev and Fourier spectral methods. DOVER Publications, Inc., 2000.

115. Canuto C., Hussaini M. Y., Quarterni A. & Zang T. A. Spectral methods in fluid dynamics / Springer series in computational physics. Berlin New York: Springer-Verlag, 1988.

116. Cerutti S., Meneveau Ch., and Knio О. M. Spectral and hyper eddy viscosity in high-Reinolds-number turbulence // J. Fluid Mech., Vol. 421,2000. PP. 307 - 338.

117. Chorin A. J. Vorticity and turbulence. Applied mathematical sciences. V. 103. Springer-Verlag, New York, 1994.

118. Chorin A. J., Marsden J. E. A mathematical introduction to fluid mechanics. Texts in applied mathematics. Springer-Verlag, New York, 1993.

119. Davies C., and Carpenter P. W. Numerical simulation of Tollmien-Schlichting waves over finite complient panels // J. Fluid Mech., Vol. 335,1997. PP. 361 - 392.

120. Drazin P. G. & Reid W. R. Hydrodynamic stability. Cambridge: Cambridge University Press, 1981.

121. Ferziger J. H., Peric M. Computational methods for fluid dynamics. Springer,2002.

122. FischerP. F., Kruse G. W., and Loth F. Spectral elements methods for transitional flows in complex geometries // Journal of science computing, V.17, N. 1-3,2002. -P. 87 106.

123. Gottlieb D., Orszag S. A. Numerical analysis of spectral methods: theory and applications. SIAM, Philadelphia, 1977.

124. Guermond J.-L., Prudhomme S. On the construction of suitable solutions to the Navier-Stokes equations and questions regarding the definition of large eddy simulation // Physica D, 207, Elsevier, 2005. PP. 64 -78.

125. Hairer E. Numeric geometric integration. Department of Mathematics, Geneva University, 1999.

126. Holmes P. J., Lumley J. L. et al. Low-dimensional models of coherent structures in turbulence // Physics Reports, 287. Elsevier, 1997. - P. 337 - 384.

127. Holmes P., Lumley J. L. and Berkooz G. Turbulence, coherent structures, dynamical systems and symmetry. Cambridge University Press, 1996.

128. Huang W., Ma H., and Sun W. Convergence analysis of spectral collocation methods for a singular differential equation // SIAM J. Numer. Anal., Vol. 41, No. 6. PP. 2333 -2349.

129. Kaheda Y., and Ishihara T. High-resolution direct numerical simulation of turbulence // J. Of Turbulence, Vol. 7, No. 20,2006.

130. Kassam A.-K. And Trefethen L. N. Fourth-order time-stepping for stiff PDEs // SIAM J. Sci. Comput., Vol. 26, No. 4,2005. PP. 1214 - 1233.

131. Komminaho J. Direct numerical simulation of turbulent flow in plane'and cylindrical geometries: doctoral thesis 11 Royal Institute of Technology, Department of Mechanics. Stockholm, 2000.

132. Kamran Mohseni and Tim Colonius Numerical Treatment of Polar Coordinate Singularities // J. Сотр. Physics 157. Academic Press - 2000. - PP. 787 - 795.

133. Kozhukhovskaya T.A., Sagalakov A.M., Popov D.I. Neutral relations for the parallel flow of a two-phase fluid between coaxial cylinders // Transport Phenomena in two-phase Flow: 7th workshop-Varna 2002.

134. Kozhukhovskaya T.A., Sagalakov A.M., Popov D.I. Spectral curves of Couette-Poiseuille flow of two-phase mixture // Transport Phenomena in two-phase Flow: 9th workshop Varna 2004 - P. 35-41.

135. Kozhukhovskaya T.A., Sagalakov A.M., Popov D.I. The Stability of Couette-Poiseuille Flow of Two-Phase Liquid // Transport Phenomena in two-phase Flow: 8lb workshop Varna 2003. - P. 30-37.

136. Kozhukhovskaya,T.A., Kryukov,A.A., Sagalakov,A.M., Yudintsev,A.Yu., Stability of parallel flow of a two-phase liquid between coaxial cylinders // Russian J. Eng. Thermophys. 2000. - Vol. 10. № 2.

137. Kraichnan R. H. and Montgomery D. Two-dimensional turbulence. Rep. Prog. Phys., Vol. 43, 1980.

138. Ladyzhenskaya O.A. The mathematical theory of viscous incompressible flow. New York, Gordon and Breach, 1963.

139. Lopez J. M., Marques F., Shen J. An efficient spectral-projection method for the Navier-Stockes equations in cylindrical geometries И J. Сотр. Physics 176 (2002). PP. 384 - 401.

140. Ma X. And Karniadakis A low-dimensional model for simulating three-dimensional cylinder flow // J. Fluid Mech., Vol. 458, 2002. PP. 181 - 190.

141. Majda A. I., Bertozzi A. L. Vorticity and incompressible flow: Cambridge texts in applied mathematics. -Cambridge University Press, 2002.

142. Meseguer A., Trefethen L.N. A spectral Petrov-Galerkin formulation for pipe flow I: Nonlinear transitional stages // Oxford University Computing Laboratory , Numerical analysis group, technical report no. 00/18, September, 2000.

143. Meseguer A., Trefethen L.N. Linearized pipe flow to Reinolds number l.E+7 // J. Сотр. Physics 186 (2003).-PP. 178- 197.

144. Meseguer A., Trefethen L.N. Stability analisys of perturbed plane Couette flow // Physics of Fluids, Vol 11, No. 5, 1999

145. Mittal R. A Fourier-Chebyshev spectral collocation method for simulating flow past spheres and spheroids // Int. J. Numer. Meth. Fluids 30: 921 937 (1999).

146. Mohnseni K. and Colonius T. Numerical treatment of polar coordinate singularities // J. Сотр. Physics. 157,2000.-PP. 787-795.

147. Noack B. R. and Eckelmann A low-dimensional Galerkin method for three-dimensional flow around a circular cylinder//Phys. Fluids 6(1), 1994.

148. Orszag S. A. Lectures on the statistical theory of turbulence. Department of Mathematics, Massachusetts Institute of Technology. P. 235 - 347.

149. Quarteroni A., Sacco R., Saleri F. Numerical mathematics. Springer-Verlag, New York, 2000.

150. Saffman, P.G., On the stability of laminar flow of a dusty gas, J. Fluid Mech., 13, Pt 1, P. 120-128, 1962.

151. Sagalakov A.M., Popov D.I. Influence of interphase interaction on stability of two-phase Couette-Poiseuille flow // Transport Phenomena in two-phase Flow: 10th workshop. Varna 2005. - P.38-44.

152. Shen J. Efficient spectral-Galerkin methods II. Direct solvers of second and fourth order equations by using Chebyshev polinomials // SIAM J. Sci. Comput., Vol. 16, No. 1,1995. PP. 74 - 87.

153. Shen J. Efficient spectral-Galerkin methods III: polar and cylindrical geometries // SIAM J. Sci. Comput., Vol. 18, No. 6, 1997. PP. 1583 - 1604.

154. Shen J. Efficient spectral-Galerkin methods IV. Spherical geometries // SIAM J. Sci. Comput., Vol. 20, No. 4, 1999.-PP. 1438- 1455.

155. Shen J. On error estimates of the projection methods for the Navier-Stockes equations: second-order schemes // Mathematics of computations, Vol. 65, No. 215,1996. PP. 1039 - 1065.

156. Temam R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. Springer, New York, 1988.

157. Trefethen L.N. Computation of pseudospectra. Acta Numerica, Cambridge University Press, 1999.

158. Trefethen N. Finite difference and spectral methods for ordinary and partial differential equations. Cornell University, 1996.

159. Wang C. and Liu J.-G. Convergence of gauge method for incompressible flow // Math, of Comput., Vol 69, No. 232, 2000. PP. 1385 - 1407.

160. Wesseling P. Principles of computational fluid dynamics. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2001.

161. Wilcox D. C. Turbulence modelling for CFD. DCW Industries, 1994.