Неклассические уравнения Вольтерра I рода в интегральных моделях динамических систем: Теория, численные методы, приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, доктор физико-математических наук Апарцин, Анатолий Соломонович

• Апарцин, Анатолий Соломонович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Апарцин, Анатолий Соломонович

Введение.

Г л а в а 1. КЛАССИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬ-ТЕРРА I РОДА

§ 1. Классификация интегральных уравнений I рода типа

Вольтерра

§ 2. Лемма Гронуолла-Беллмана.

§ 3. Разностный аналог леммы Гронуолла -Беллмана

§ 4. Саморегуляризация.

§ 5. Двухпараметрическая (а, К)-регуляризация.

§ 6. Неравенства с изотонными операторами.

§ 7. Неравенства с перестановочными изотонными операторами. Неулучшаемые оценки.

§ 8. Неулучшаемые оценки решений многомерных интегральных неравенств

§ 9. Корректность двумерного уравнения Вольтерра I рода

§ 10. Неулучшаемые оценки решений двумерных разностных неравенств

Г л а в а 2. УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА I РОДА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. СЛУЧАЙ а(Ц) < Ц

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Метод шагов

§ 3. Иллюстративные примеры

§ 4. Теорема существования и единственности

§ 5. Оценка устойчивости решения

§ 6. Исследование специальной задачи математического программирования

§ 7. Численное решение тестового примера

§ 8. Геометрическая иллюстрация потери порядка сходимости

§ 9. Теорема сходимости метода квадратур (общий случай)

§ 10. Некоторые численные результаты

§ 11. О саморегуляризации.

§ 12. Моделирование долгосрочных стратегий развития электроэнергетических систем

§ 13. Исследование долгосрочных стратегий технического перевооружения электроэнергетических систем агрегированная модель)

Г л а в а 3. УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА I РОДА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. СЛУЧАЙ a(t0) =

§ 1. Постановка задачи

§ 2. Решение простейшего тестового уравнения.

§ 3. Теорема существования и единственности (общий случай)

§ 4. Оценка устойчивости решения

§ 5. Некоторые обобщения неравенства Гронуолла-Беллмана.

§ 6. Численное решение тестового примера

§ 7. Доказательство сходимости метода квадратур (общий случай).

§ 8. Некоторые численные результаты

§ 9. Саморегуляризация (случай возмущения правой части).

§ 10. Устойчивость численного решения к возмущениям a(t) .'.

Г л а в а 4. НЕКЛАССИЧЕСКИЕ МНОГОМЕРНЫЕ

УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА I РОДА, СВЯЗАННЫЕ С МОДЕЛИРОВАНИЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ РЯДАМИ ВОЛЬ

ТЕРРА. СКАЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ

§ 1. Краткий обзор литературы

§ 2. Идентификация ядер Вольтерра на базе тестовых возмущений в виде линейных комбинаций функций Хевисайда с отклоняющимся аргументом

§ 3. Метод модельных примеров

§ 4. Теоремы существования и единственности

§ 5. Упрощение формул обращения

§ 6. Численная аппроксимация двумерного ядра Вольтерра

§ 7. Численная аппроксимация трехмерного симметричного ядра Вольтерра

§ 8. Моделирование переходных процессов в теплообменниках с помощью эталонной модели.

§ 9. Моделирование нестационарных динамических систем рядами Вольтерра.

Г л а в а 5. НЕКЛАССИЧЕСКИЕ МНОГОМЕРНЫЕ

УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА I РОДА, СВЯЗАННЫЕ С МОДЕЛИРОВАНИЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ РЯДАМИ ВОЛЬ

ТЕРРА. ВЕКТОРНЫЙ СЛУЧАЙ

1. Постановка задачи.

2. Идентификация ядра К\2 - формулы обращения парных уравнений .'.

3. Понятие кода тестового сигнала

§ 4. Идентификация ядра К\2 ~ теоремы существования и единственности

§ 5. Стратегия выбора тестовых сигналов для идентификации трехмерных ядер Вольтерра

§ б Теоремы существования и единственности решений трехмерных уравнений Вольтерра I рода относительно ядер

123 и Кц2.

§ 7. Численная аппроксимация двумерного несимметричного ядра Вольтерра К и

§8. Моделирование переходных процессов на ВТК ИСЭМ СО РАН квадратичным отрезком ряда Вольтерра с двумя входами

§9. О проблеме разделения отклика динамической системы на составляющие

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неклассические уравнения Вольтерра I рода в интегральных моделях динамических систем: Теория, численные методы, приложения»

В 1896 году вышла в свет работа Вито Вольтерра [195], заложившая основы теории интегральных уравнений, названных впоследствии его именем. В этой работе Вольтерра установил, что решение (p(t) интегрального уравнения I рода t

J K(t,s)v(s)ds = f(t), te[to,T\, (0.1) to при соответствующей гладкости исходных данных - ядра K(t., s) и правой части f(t), а также условии K(t,t) ф 0 Vi Е [¿о,?1], представим» в виде явной формулы обращения, содержащей резольвентное ядро.

За истекшее столетие теории и численным методам решения уравнения (0.1), а также его различных обобщений были посвящены тысячи статей и десятки монографий. Прекрасный обзор современного состояния исследований в этой области дан в [160]. Укажем также обзор [145], в котором содержится более полная библиография работ отечественных математиков.

Новый импульс в изучении уравнений Вольтерра I рода был связан с созданием общей теории некорректных задач, решающий вклад в которую внесли выдающиеся математики современности А.Н. Тихонов, М.М. Лаврентьев, В.К. Иванов, их ученики и последователи.

Типичным примером некорректно поставленной в классическом, адамаровом смысле задачи является интегральное уравнение Фред-гольма I рода. т

J K(t,s)ip(s)ds = ДО, t G [¿о,Т], (0.2) to интерес к которому вызван как исключительной важностью (0.2) для приложений (задачи спектроскопии, гравиметрии, радиоастрономии и т.д.), так и наличием всех характерных для существенно некорректных задач трудностей (возможное нарушение адамаровых требований существования решения, его единственности; заведомая неустойчивость решения к возмущениям исходных данных в любых "разумных" функциональных пространствах).

Поскольку уравнение (0.1) является частным случаем (0.2) (когда ядро в (0.2) обращается в нуль на треугольнике ¿о < t < s < Т), то для устойчивого приближенного решения (0.1), вообще говоря, можно использовать стандартные методы регуляризации некорректных задач, основанные, например, на редукции исходной задачи к уравнению Эйлера для функционала А.Н. Тихонова. Такой подход реализован в [88, 140, 1]. С другой стороны, в большинстве зарубежных работ (среди пионерных отметим статьи [180, 169, 170, 172, 181, 163, 166, 168]) уравнение (0.1) трактуется как столь лее "хорошее", что и уравнение Вольтерра II рода, и для его численного решения предлагаются стандартные методы классической вычислительной математики. Обоснованием такого подхода служит тот факт, что при достаточной гладкости исходных данных (0.1) эквивалентно некоторому уравнению Вольтерра II рода, так что задача решения (0.1) корректна по Адамару в соответствующих функциональных пространствах.

Оба указанных направления имеют существенные недостатки. Так, главный недостаток первого заключается в том, что уравнение Эйлера для функционала А.Н. Тихонова содержит оператор V*V (V - оператор Вольтерра, определяемый левой частью (0.1), (V* -ему сопряженный), который уже не является вольтерровым. По этой причине при его численном решении приходится иметь дело с квадратной матрицей СЛАУ, что существенно ограничивает длину Т — Ц (временного) интервала восстановления искомого решения, а также величину шага сетки. Недостаток второго подхода - игнорирование того факта, что погрешность исходных данных, наличие которой в прикладных задачах неизбежно, выводит, как правило, решение (0.1) за пределы множества корректности, и потому приближенное решение, получаемое обычным "сходящимся" численным методом, может не иметь ничего общего с истинным.

Очевидно, наиболее целесообразен компромиссный путь, заключающийся в разработке специальных регуляризующих алгоритмов, учитывающих специфику интегральных уравнений I рода типа Вольтерра.

Первой в этом направлении была работа В.О. Сергеева [125], развитая в дальнейшем H.A. Магницким [103]. Им же выполнен цикл работ [104, 105, 106] по теории многопараметрических семейств решений интегральных уравнений Вольтерра I и III рода. A.M. Денисовым [90] рассмотрена схема (предложенная ранее М.М. Лаврентьевым в [100], [101] для случая вполне непрерывных самосопряженных неотрицательно определенных операторов в гильбертовых пространствах), заключающаяся в переходе от (0.1) к уравнению Вольтерра II рода t xp(t) + JK(t,s)<p(s)ds = /(*), t e [*o,n (0.3) to где

II /«-Ж> 11с[1оЛ< i.

Им показано, что при достаточной гладкости ядра и точного решения Tpit) уравнения (0.1) и условии <p(to) = 0 справедлива оценка

II т-<РаА*) I\см=0(61>), где (fa,s(t) - решение (0.3), а а = а(6) X 6%.

Таким образом, устойчивое в C[tQ>x] приближенное решение (0.1) может быть получено из (0.3) при согласовании параметра а с 8, 6 —> 0.

Отметим также большой цикл работ М.М. Лаврентьева и его школы (Ю.Е. Аниконова, А.Л. Бухгейма, С.И. Кабанихина, В.Г. Романова и др.) по операторным уравнениям Вольтерра I рода, введенным М.М. Лаврентьевым [99] в связи с задачами интегральной геометрии (см., например, монографии [98, 60, 61] и приведенную там литературу).

К этой тематике примыкают и задачи компьютерной томографии. Прекрасный обзор исследований в этой области можно найти в монографиях [119, 144, 114].

Регуляризация вольтерровых уравнений I рода (линейных и нелинейных, одно- и многомерных) при нарушении условий их разрешимости в пространствах непрерывных функций (например, если в (0.1) /(¿о) ф 0) рассматривалась М.И. Иманалиевым [93] и его школой.

Регуляризующие итерационные процедуры, учитывающие вольтер-ровую специфику, в последние годы рассматривались В.В. Васиным [194, 66], Р. Lamm [174] - [178], R. Plato [185] - [188].

При реализации на ЭВМ того или иного регуляризующего алгоритма (p.a.) для решения интегрального уравнения I рода неизбежно применение процедуры дискретизации (конечномеризации) исходного уравнения.

Подобная процедура для уравнений I рода типа Вольтерра не является тривиальной, и если она осуществлена неудачно, то эффект, ожидаемый от редукции исходного уравнения к регуляризованному, может быть полностью нейтрализован, например, неустойчивостью используемой разностной схемой. С другой стороны, оказалось, что "удачная" дискретизация сама по себе обладает регуляризующим свойством.

Применительно к (0.1) регуляризующее свойство процедуры дискретизации, когда в качестве параметра регуляризации выступает шаг квадратурной формулы, впервые было обосновано в совместной статье автора и A.B. Бакушинского [7] и в статье автора [8]. Эти результаты обобщались автором в различных направлениях и легли в основу кандидатской диссертации [19]. В ней, в частности, дана классификация интегральных уравнений I рода типа V(/c), к £ [0, оо] (V - Вольтерра, к - показатель "степени" некорректности) и разработана общая схема построения методов саморегуляризации (по терминологии [141], [92]) для уравнения типа V(k), к < оо.

К типу V(k) относятся не только собственно уравнения Вольтерра I рода, но и уравнения Фредгольма I рода (0.2) с особенностями ядра или его производной по t конечного порядка на диагонали s = t (условие il (M) ф 0 Vi G накладываемое на ядро уравнения (0.1), также позволяет отнести (0.1) к этому классу, поскольку означает разрыв I рода ядра уравнения (0.2) в каждой точке диагонали s = t ), уравнения Абеля, уравнения вычислительной томографии (преобразование Радона) и многие другие.

Отметим, что саморегуляризуюгций эффект проекционных методов решения подобных уравнений изучался в [63, 64, 79, 80, 184, 191].

С середины 80-х годов внимание автора привлекло интегральное уравнение Вольтерра I рода вида t j K(t,s)v{s)ds = f(t), te[t0,n (0.4) a(t) отличающееся от (0.1) наличием (неубывающей) функции a(t) в нижнем пределе интегрирования. Интегральные операторы такого вида являются "визитной карточкой" интегральных моделей развивающихся систем, введенных впервые в 1977 году В.М. Глушковым [76] для моделирования двухсекторной макроэкономики. Уравнение (0.4) для частного случая a(t) = qt, 0 < q < 1, t0 = 0 было впервые рассмотрено еще в 1897 году самим Вольтерра [196]. В статье [161], специально подготовленной к столетнему юбилею уравнений Вольтерра I рода, приведен список публикаций начала 20-го века, имеющих отношение к (0.4). По нашему мнению, новый импульс в развитие теории и численных методов решения (0.4) был связан именно с моделями развивающихся систем типа В.М. Глушкова, так как при идентификации функциональных параметров, входящих в эти модели, приходится иметь дело с (0.4).

Оказалось, что перенесение результатов, известных для (0.1), на случай (0.4) является делом нетривиальным. Более того, сам математический аппарат исследования (0.4) существенно зависит от того, выполняется ли условие a(t) <t Vte [t0,T], (a) либо в начальной точке t = íq a{t0) = t0. (b)

Чтобы понять принципиальную разницу между (а) и (6), a также между (0.1) и (0.4), рассмотрим простейшие тестовые примеры.

Если в (0.1) положить K(t,s) = 1, то точное решение (0.1) ^p(t), существование которого в обеспечено, если f(t) Е и о) = 0, выражается формулой

W) = f'{t), te[t0,T\. (0.5)

В то же время решение (0.4) при K(t, s) = 1 и a(t) = t - 1 (случай (а)) имеет вид к— 1

W) = £ /'(* -1) + (pQ(t - к), t е [í0 + к - i, to + к), (0.6) о где ifo(t) - заданная начальная функция на предыстории [/0 — l,¿ob а к = 1, [Т — ¿o] + 1 ([■ • •] - символ антье); если же a(t) = t0 = 0 (случай (6)), то

00 1 /1 \ Í6[Í0,T]. (0.7)

Итак, видно, что, если решение (0.1) в точке t G [to,Т] определяется лишь значением производной от правой части в этой же точке, то в случае (а) уже требуется вычисление производной от правой части в конечном числе точек, а также подсчет в некоторый момент предыстории начальной функции <£>о(0> в случае же (6) необходимость в задании ^о(^) отпадает, но зато ряд, входящий в формулу обращения (0.7), бесконечен.

Поскольку уравнения типа (0.1), как отмечалось выше, изучались сотнями авторов в тысячах публикаций, а уравнения (0.4) до сих пор малоисследованы, то естественно (0.1) называть классическими, стандартными уравнениями, а (0.4) - неклассическими.

Теории, численным методам и некоторым приложениям неклассических уравнений типа (0.4) посвящена первая часть настоящей диссертации (главы 2, 3), ставшая основой монографии автора [47].

Во второй части рассматриваются иные классы уравнений Вольтер-ра I рода, для которых характерны их многомерность и переменность всех пределов интегрирования. Последний признак роднит эти уравнения с (0.4). При этом априорные свойства искомых решений типа полной или частичной симметрии в области определения в сочетании с их непрерывностью позволяют получать решения в виде явных формул обращения.

Эти уравнения введены автором в связи с проблемой моделирования нелинейных динамических систем, трактуемых как черный ящик, с помощью универсального аппарата рядов Вольтерра.

Общеизвестна теорема Вейерштрасса об аппроксимации непрерывной функции многочленами, согласно которой для всякой непрерывной на га-мерном параллелепипеде Пп = {:сг/аг- < жг- < 6г-, г = 17п} функции /(жь . . , хп) и любого с > 0 найдется такой многочлен п п п

Рт(хи . ,хп) = с0 + £ ед + X] Е Н-----Ь

1 {=\ п п Е •■• £ (0.8)

1 = 1 гт = 1 что п ) Рт ( % Ь • • • 5 хп)\ < £ \/жь . ,хп £ Пп. (0.9)

При этом теорема Вейерштрасса не дает рецепта по выбору коэффициентов многочлена, обеспечивающих требуемую точность аппроксимации. При дополнительных условиях гладкости f(xl,. ., хп) в качестве таких коэффициентов можно выбрать, например, коэффициенты разложения /(а^,., хп) в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки г = 1,п: 1

Сг1.лк - ^ д(к)

1(хъ.хп) (0.10)

Хг=Х}

Менее известно, что, согласно континуальному аналогу теоремы Вейерштрасса - теореме Фреше [167], для всякого непрерывного на компакте К С отображения у(<) = ^(х(£)) и любого £ > 0 найдется такое т , что выполняется неравенство ^М*)) - Рт№)) ||с,01Т]< 5 6 /С, (0.11) где т т т

Тт(х{г)) = К0(г)+ У K1(t,s)x(s)ds + У У /^(^Ь^М^О^^^М^- ■ ■

0 to

Т Т

----^ У " ' У 5'Ь ' ' • ' ^М^) ' • • Ж^го)^! • ■ • ¿Згп. (0.11

10 ¿0

Если оператор Г(х(1)) является причинным [62] (то есть при любом Г е [¿о,Г] сужение образа на промежуток зависит лишь от значений .г(/) на том же промежутке), то г г г to , ¿0 ¿0 г I

----^ ! ! 1, . . . , 5то)ж(51) • • • :фто)с^1 • • • (¿5т. (0.13) о ¿0

Доказательство (0.11) для случая (0.13) дано в [62].

Уточнению и обобщению теоремы Фреше для различных классов операторов и функциональных пространств посвящены работы [157, 189, 190, 171, 84, 85, 86, 87].

Поскольку причинность есть характеристическое свойство любой физически реализуемой динамической системы, то ршенно интегро-степенной ряд Вольтерра (иначе - полином Вольтерра [62]) (0.13) является универсальной математической моделью динамической системы типа вход-выход, в которой выходной сигнал есть непрерывная функция входного.

В (0.13) функция (г + 1)-ой переменной К{ называется г-ым ядром Вольтерра и в случае дифференцируемости по Фреше отображения ¥ в качестве Л',-, г = 0, т может быть взята производная Фреше з 1,.,5г;), - некоторая фиксированная функция из /С, СО =^0с(0)(*)).

В том же случае, когда оператор ¥ неизвестен (а именно этот случай соответствует задаче построения математической модели реальной динамической системы), возникает проблема идентификации ядер Вольтерра по тем или иным наборам входных-выходных сигналов.

Наиболее распространенная методика идентификации, использующая входные сигналы импульсного типа [83], во многих случаях физически нереализуема [102]. Недостатки другого известного подхода, восходящего к Винеру [70] и основанного на тестовых сигналах в виде белого шума, связаны с его чрезвычайной трудоемкостью. Анализ некоторых других подходов приведем ниже в гл. 4, а детальный обзор современного состояния исследований в этой области содержится в [128].

В 1991, 1992 гг. в работах [30, 152, 153, 156, 48, 49] автором был предложен метод идентификации ядер Вольтерра, базирующийся на задании тестовых сигналов в виде специальных линейных комбинаций функций Хевисайда с отклоняющимся аргументом.

Оказалось, что такой подход, сохраняя свойство физической реализуемости тестовых сигналов, сводит проблему идентификации К^ к весьма специфическим многомерным линейным уравнениям Вольтерра I рода. Эти уравнения по аналогии с известными в теории интегральных уравнений парными одномерными уравнениями, позволяющими определить непрерывное на всей вещественной оси решение как склейку в нуле непрерывных на полуосях [—оо, 0] и [0, со] функций, естественно назвать двойными, тройными, шестерными и т.д. (г + 1)-мерными интегральными уравнениями в зависимости от числа склеек на соответствующих гиперплоскостях. Введенные уравнения допускают явные формулы обращения и в идейном плане близки к уравнениям компьютерной томографии.

В дальнейшем этот подход развивался автором в различных направлениях - как теоретическом [31] - [35], [154], так и - совместно с учениками и коллегами, - прикладном [36, 37, 38, 135, 155, 50, 51].

Этой проблематике посвящена вторая часть диссертации (гл. 4, 5).

Перейдем теперь к более детальному изложению содержания отдельных глав.

Первая глава носит вспомогательный характер. Она посвящена классическим уравнениям Вольтерра I рода и содержит в основном результаты автора, явившиеся базой для соответствующих обобщений на неклассические уравнения, которым посвящены главы 2-5 диссертации.

В гл. 2 рассмотрено уравнение (0.4) при условии (а).

В § 2.1 уточняется постановка задачи. Акцент делается на двух обстоятельствах. Во-первых, вместо обычного (см., например, [91, 115,

149]) предположения строгого возрастания функции а(£), означающего в моделях развивающихся систем невозможность восстановления выбывших (отмирающих) элементов системы, мы вводим более слабое условие неубывания a(t), которому удовлетворяет и нижний предел ä(t) = ¿о классического уравнения (0.1). Во-вторых, общепринятое [115, 138, 139, 149] задание начальной функции на предыстории в форме Tp{t) — (po(t), t G делает задачу переопределенной, так как значение tp(to) искомой функции на левом конце отрезка [/q, Т] естественным образом определяется в силу самого уравнения (0.4). Поэтому далее принимается [47, 52], что

Естественность (0.15) легко показать, если рассмотреть частный случай n(f) = a(t{)) и устремить разность /о ~ «(А)) к нулю. Предельное уравнение (0.4) при этом совпадает с классическим - (0.1), а предыстория [«(¿o)î^o)-, как 11 должно быть, становится пустым множеством.

В § 2.2 на простейшем примере уравнения (0.4), когда K(t,s) = 1 и a(t) = t — а, а > 0, демонстрируется способ получения искомого решения, известный в теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом как метод шагов. Установлены также условия согласования начальной функции (po(t) и правой части /(¿) в точке t — t о, обеспечивающие нужную гладкость решения в стыковых точках

Важность условий согласования демонстрируется в § 2.3 на серии иллюстративных примеров.

Теорема существования и единственности решения (0.4) в ^ доказана в §2.4, а в §2.5 получена оценка устойчивости решения, a'(t) > 0

0.14)

Ш = <Po(t) Vi G [a(to),tQ).

0.15) yk = t0 + ka, k = l,N, N < ^ или, что равносильно, оценка нормы обратного оператора, рассмао (1) © (1) триваемого действующим из C[iotT\ хС[а(*0),*о] в (П°Д С понимается пространство непрерывно дифференцируемых правых частей (0.4), удовлетворяющих дополнительным условиям согласования с K(t,s), a(t) ж ipo(t) в точке ¿о)

В § 2.6 проведено исследование одной специальной задачи выпуклого программирования, связанной с проблемой получения неулучшаемых оценок решений неклассических интегральных неравенств, обобщающих неравенство Г.-Б.

§ 2.7 - 2.13 посвящены численным методам решения уравнения (0.4) с условием (а) и приложениям к задачам энергетики.

В § 2.7 на тестовом примере (0.4) с K(t,s) = l, a(t) = t—(po(t) = t показано, что метод правых прямоугольников, дающий в классическом случае линейную по шагу сетки h сходимость, применительно к (0.4) с условием (а) не сходится (его погрешность есть 0{ 1)).

Геометрическая интерпретация потери одного порядка сходимости метода квадратур для (0.4) по сравнению с (0.1) дана в § 2.8.

Общая теорема сходимости модифицированного метода квадратур, сохраняющего классический порядок сходимости применительно к (0.4), (а), доказана в §2.9.

В § 2.10 изложены четыре способа восстановления порядка сходимости, совпадающего с порядком аппроксимации; приведены численные эксперименты и их анализ, показывающий, что каждая из модификаций имеет свои преимущества и недостатки по сравнению с другими. Предложена также модификация методов типа Рунге-Кутта, позволяющих за счет выбора дополнительных узлов подсетки основной сетки получать сходимость любого наперед заданного порядка.

В §2.11 отмечается важная стабилизирующая роль монотонности a(t) (и ее приближения a(t)) при анализе саморегуляризующего свойства дискретизации рассмотренных уравнений.

Два заключительных параграфа второй главы посвящены применению изложенного аппарата к задачам энергетики.

В § 2.12 построена модель для определения долгосрочных стратегий ввода различных генерирующих мощностей электроэнергетической системы (ЭЭС) с учетом ограничений на топливо и капвложения, а также замены устаревших технологий новыми. Самостоятельное значение имеет моделирование механизма наработки и складирования вторичного ядерного топлива.

Наконец, в § 2.13 рассмотрена задача оптимизации выбора упомянутых стратегий с точки зрения минимума приведенных затрат на эксплуатацию и ввод новых мощностей за прогнозируемый период.

Третья глава посвящена исследованию (0.4) в предположении, что нижний предел a(t) удовлетворяет условию (6), и поскольку функция a{t) = i0 113 (0-1) также удовлетворяет (6), то (0.4) (6) можно трактовать как естественное обобщение (0.1).

В § 3.1 уточняется постановка задачи, уже не предполагающая, как в главе 2, задания начальной функции (fo(t) на предыстории [а(£о)> ¿о) (условие (Ь) означает, что ставится задача моделирования развития системы с момента ее возникновения). Вводится числовая последовательность

Zi = a\T), г = 0,1,2,. al(t) — j-я степень отображения а(£),тоесть a°(t) = i, a2(t.) = a(a(t)) и т.д.), играющая принципиальную роль во всех последующих рассмотрениях и дающая представление отрезка [¿о, Т] в виде оо к,Т] = и tii = [zi,zii], i= 1 причем lim = tQ в силу того, что alt) < t Vi G (tn,T]. г—+oo v J a\t) 6 C+[t0iT] и a'(to) < 1.

В § 3.2 для случая в) = 1 доказана теорема о представлении единственного непрерывного на [¿о,Т] решения (0.4) с указанными выше условиями на а(£) в виде следующей формулы обращения оо г—1 т = Е/'ИО) П а'И*)), * € [¿о,Т], (0.16) г=0 .7=0 а в § 3.3 теорема существования и единственности решения (0.4) в классе доказана для произвольного непрерывного, непрерывно дифференцируемого по I ядра ^ 0 Е [¿о,Т]. Подчеркнем, что , в отличие от работы [91], где аналогичная теорема доказана при условии а'{€) > 0, обеспечивающем обратимость функции а(/), в нашем доказательстве обратимость а(£) не предполагается.

Оценка устойчивости решения уравнения (0.4), рассматриваемого о(1) на паре (С[/0]Т], получена в § 3.4.

Следующий § 3.5 посвящен обобщениям леммы Г.-Б. на некоторые классы интегро-функциональных неравенств.В частности, установлено [26, 47], что неулучшаемые оценки решений неравенств г qu{qt) +М/и(8)сЫ + Г (0.17) и г и(1) < д(1 + М( 1 - + М | + .Р, (0.18 где и(£) >0, 1 > д > 0, М > 0, .Р > 0, имеют вид

Г^У (0Л9

1-дге0 г! /¿V 1 + д + + V соответственно.

§ 6 - 10 главы 3 посвящены численным методам решения (0.4) с условием (6).

В § 3.6 на модельном примере показано, что, в отличие от случая задания начальной функции на предыстории, рассмотренного в гл. 2, при стандартном использовании метода квадратур (правые прямоугольники) для решения (0.4) с условием (6) порядок сходимости сохраняется равным порядку аппроксимации, что указывает на органичную связь (0.4), (Ь) с (0.1). Вместе с тем, установлен пилообразный характер погрешности сеточного решения (0.4). Применительно к (0.1) это обычно свидетельствует о неустойчивости разностной схемы, но в рассматриваемой ситуации, напротив, установленный эффект позволяет разрабатывать алгоритмы повышения точности за счет использования специальных подсеток основных узлов.

В § 3.7, следуя [47], дано доказательство совпадения порядка сходимости с порядком аппроксимации и в общем случае, а в § 3.8 приведены результаты численных экспериментов и отмечены особенности применения квадратуры средних прямоугольников.

Сохранение саморегуляризующего свойства процедуры дискретизации при С-возмущениях правой части (0.4) установлено в § 3.9, а в заключительном § 3.10 показана устойчивость численного решения к возмущениям сохраняющим свойство неубывания.

Перейдем теперь к изложению содержания второй части диссертации.

Глава 4 посвящена проблеме построения математической модели черного ящика в виде ряда Вольтерра (0.13) в предположении, что входной х^) сигнал является скалярной функцией времени. Если дополнительно Кт зависят лишь от разностей 5 • = ^ — 5,;, г = 1, т (стационарный случай), то Кгп(з'1,. ,з'т) обладают свойством симметрии по всем аргументам. В общем случае Кт симметричны по всем переменным, кроме первого. Это свойствоКт является определяющим при построении методов идентификации гл. 4.

В § 4.1 дан краткий обзор некоторых известных подходов к построению ядер Вольтерра и отмечены их недостатки.

В § 4.2 изложена основная идея предложенного автором в [30, 31,152, 153,154] метода идентификации Кт, базирующегося на задании (т— 1)-параметрического семейства кусочно-постоянных тестовых сигналов, представимых в виде некоторых линейных комбинаций функций Хеви-сайда с отклоняющимся аргументом. Показано, как с учетом свойства симметрии свести задачу поиска Кч и А'з к решению двух- и трехмерных линейных уравнений Вольтерра I рода, допускающих построение обратного оператора в явном виде.

В § 4.3 развит метод модельных примеров, позволяющий обобщить формулы обращения, полученные в предыдущем параграфе, на случай произвольного т.

Теоремы существования и единственности решения уравнений относительно К-2 и А'з доказаны в § 4.4, причем условия теорем являются необходимыми и достаточными.

С помощью естественной замены переменных в § 4.5 формулы обращения представлены в компактном виде, удобном для дальнейшего теоретического анализа.

Следующие два параграфа посвящены численной аппроксимации К2 и А'з. Получены сеточные аналоги формул обращения, отвечающие аппроксимации интегралов кубатурой средних прямоугольников, и доказан второй порядок их сходимости, а также свойство саморегуляризации в случае возмущенных исходных данных.

В § 4.8 развитая методика применена для построения квадратичной модели нестационарного теплообмена. В качестве входного сигнала принималось возмущение по расходу теплоносителя, а отклика -возмущение по температуре на выходе теплообменника, причем для идентификации ядер и К3 и оценки погрешности построенной модели использовалось семейство откликов "эталонной" математической модели.

Наконец, в последнем § 4.9 предложенный подход обобщен на случай, когда ядра Вольтерра зависят явно от времени.

В отличие от главы 4, в главе 5 основным является предположение о векторности входного сигнала, а следовательно, о симметрии ядер Вольтерра /1г1. ^т(51,., йто) лишь по тем переменным, которые отвечают совпадающим индексам. С одной стороны, это усложняет методику идентификации, так как требует более представительного набора тестовых возмущений, с другой - обеспечивает степень свободы, достаточную для построения различных алгоритмов идентификации.

В § 5.1 дается общая постановка задачи, которая в § 5.2 уточняется применительно к идентификации несимметричного ядра К\2. Получены два варианта парных двумерных уравнений относительно К\2 и выведены явные формулы их обращения.

В § 5.3 введено понятие кода тестового сигнала, позволившее провести качественный анализ этих уравнений.

Теоремы существования и единственности их решения доказаны в § 5.4.

Исследование стратегий выбора тестовых сигналов на базе их кодов в трехмерном случае содержится в § 5.5. Построены оптимальные семейства входных возмущений, имеющие минимально возможную суммарную длительность. Получены "тройные" относительно Кц2 и "шестерные" относительно К\2г трехмерные уравнения, для которых в § 5.6 доказаны теоремы существования и единственности.

Численной аппроксимации ядра /112 посвящен § 5.7. Дано детальное доказательство сходимости со вторым порядком нестандартной разностной схемы, аппроксимирующей А'^^ь в2) в узлах сетки, лежащих на диагонали й! = з2.

Построению квадратичной модели с двумя входами, описывающей реальный переходный процесс в теплообменнике, посвящен § 5.8, причем для идентификации ядер Вольтерра использованы данные натурных экспериментов, специально проведенных на ВТК.

В заключительном § 5.9 рассмотрена проблема разделения отклика на отдельные составляющие. Предложена комбинированная квадратичная модель, с максимальной полнотой использующая имеющуюся информацию об откликах системы.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях:

I Республиканская конференция "Интегральные уравнения в прикладном моделировании" (г. Киев, ИПМЭ АН УССР, 1983 г.); 4 Всесоюзная конференция по некорректным задачам (г. Саратов, 1985 г.);

2 Всесоюзный симпозиум по вычислительной томографии (г. Куйбышев, 1985); 4 Всесоюзный симпозиум "Методы теории идентификации в задачах измерительной техники и метрологии" (г. Новосибирск, 1985г.); Всесоюзная конференция "Курс-4" (г. Рига, 1986);

3 Всесоюзный симпозиум "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики" (г. Харьков, 1987г.); X Всесоюзный семинар "Вопросы оптимизации вычислений" (г. Киев, 1987г.); VIII Международная Байкальская школа-семинар "Методы оптимизации и их приложения" (г. Иркутск, 1989); III Республиканская конференция "Интегральные уравнения в прикладном моделировании" (г. Киев, 1989 г.); Всесоюзная конференция "Условно-корректные задачи математической физики и анализа" (г. Алма-Ата, 1989 г.); Всесоюзный семинар "Моделирование развивающихся систем" (п. Славское, 1989г.); Всесоюзная конференция "Математическое моделирование в энергетике" (г. Киев, 1990г.); Международная конференция "Идентификация динамических систем и обратные задачи" (г. Суздаль,

1990 г.); Symposium on modeling, inverse problems and numerical methods (Tallinn, 1991); Международная конференция "Ill-posed problems" (r. Москва, 1991г.); Международный семинар "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" (г. Владивосток, 1991г.); EPRI-SEI .Joint seminar of methods for solving the problems on energy power systems development and control (Beijing, China, 1991 г.); Конференция "Условно-корректные задачи математической физики и анализа" (г. Новосибирск, 1992 г.); II EPRI-SEI Joint seminar (г. Иркутск, 1992 г.); II Международный семинар "Моделирование развивающихся систем" (п. Славское, 1992 г.); International Symposium on computerized tomography (Novosibirsk, 1993 г.); IV Сибирская школа по вычмелительной математике (п. Шушенское, 1993 г.); I Всероссийский конгресс ИНПРИМ-94 (г. Новосибирск, 1994г.); Всероссийская конференция "Алгоритмический и численный анализ некорректных задач" (г. Екатеринбург, 1995 г.); Всероссийская конференция по математическому программированию (г. Екатеринбург, 1995г.); Всероссийская конференция "Обратные и некорректно поставленные задачи" (г. Москва, 1995 г.); X Международная Байкальская школа-семинар "Методы оптимизации и их приложения" (г. Иркутск, 1995 г.); International conference IIPP-96 honoring A.N. Tikhonov (Moscow, 1996г.); II Сибирский конгресс ИНПРИМ-96 памяти А.А. Ляпунова, А.П. Ершова, И.А. Полетаева (г. Новосибирск, 1996 г.); Международный семинар "Нелинейное моделирование и управление" (г. Самара, 1997 г.); Всесибирские чтения по математике и механике (г. Томск, 1997г.); Всероссийская конференция "Алгоритмический анализ некорректных задач" (г. Екатеринбург, 1998г.); XI Международная Байкальская школа-семинар "Методы оптимизации и их приложения" (г. Иркутск, 1998 г.); Восточно-Сибирская зонная межвузовская конференция по математике и проблемам ее преподавания" (г. Иркутск, 1999г.); International conference honoring S.K. Goduniov

Mathematical in applications" (г. Новосибирск, 1999г.); Международная конференция "Математические модели и методы их исследования (г. Красноярск, 1999 г.).

Основные результаты автора, вошедшие в диссертацию, опубликованы в монографии "Неклассические уравнения Вольтерра I рода. Теория и численные методы", Новосибирск, Наука, 1999 г. - 193 е., 33 статьях и 45 тезисах докладов конференций.

Объем диссертации - 319 страниц, из них 18 страниц библиографии.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Апарцин, Анатолий Соломонович

выводы не являются следствием грубости примененной техники, а отражают существо дела. Для этого мы построим, следуя [11, 13]. примеры, из которых вытекает неулучшаемость этих оценок, поскольку они достигаются как строгие равенства.

Вернемся к примеру (1.5.4), для которого сеточный аналог (1.5.5) г о^г'-1 + ^ £ ^Ру-1- ~ г = 1,п, пк — Т (Рб.б71)

2 3 = 1 2 имеет решение

-а + Ь, и так как (р{£) = 1, то а Л -/. N а,/г ( ® \ ■ П^-О - = —-Г , г =

1 2 2У 2 + п поэтому а,/г |1 <2 а- + /г откуда вытекает, что условие а = о{1г) необходимо для сходимости а-регуляризованного каркаса в норме Си

Продемонстрируем теперь неулучшаемость (1.5.28), (1.5.29) на следующем примере.

Рассмотрим уравнение 3

I Ф)с1з = 0 < г < 1 (1.5.33 3 точным решением которого является функция (р({) — £2 (вторая степень гарантирует ненулевую погрешность квадратуры средних прямоугольников, что существенно для наших целей). Зададим пилообразное возмущение правой части: тогда уравнение (1.5.10) для погрешности регуляризованного каркаса имеет вид а + Л^Л + ЛЕ^^ = + (1.5.34)

2 ]=1 2 так как !} г ¡] -Л гг{(р) = / в^йэ - к ЕС? - = Т7Г, г = 1,п.

О 12

Из (1.5.34) следует рекурсия

-а 3

----, г =2, п, (1.5.35) а + /г г г а + а с /г3 , аЛ2

1?'* = - (1.5.36)

2 а + /г

Получим из (1.5.35), (1.5.36) явную зависимость — ф(6,а,к,г) и

1 2 убедимся, что оптимизация функции ф по параметрам а(6) и к(5) приводит к оценкам (1.5.28), (1.5.29). Введем обозначения а + к ' а + /г тогда из (1.5.35) имеем г-2 ^ = --й = -2(/ \uiir

Г1ёГ + £ - 6-,), « = 2, П. (1.5.37)

3 ¿=0

-1 . 1 - А* «-1 • • 1

Учитывая, что при 0 < Л < 1 Е А7 =--, а Е(~^У^ —-, о 1 — А 1 + А нетрудно подсчитать, что г-2

Остается вычислить Е д^-у. Применяя правило суммирования по частям, имеем Л:-, = - - 6-я-О Е $"} - -ЦП2 Е1 Е з", г - зТп, и так как с учетом введенных обозначений ^ ^ и а + Л / « а + к

Е Е я = —т~ Е(1 - (—тт) = а + Н ( ( а г--:— 1

К V + К

-2 / / а

ТО

Е Ч^г-з = -2аЫ + 2а{а + К) (^1 - ^ + ^ Таким образом, (1.5.37) преобразуется к виду г~2 + /г/ а-Ь'/г. 2а +/г V \a-\-h г = 3,п. (1.5.38

Остается максимизировать по а(<5) и /г(6) скорость стремления к нулю функции 1р при <5 —> 0. Пусть а(й) X к(6) X 0</?,7<1. Поскольку г< \ и = (1 - ^у"1 < е~« 0, дело сводится к нахождению величины ц = тах тт{27,1 — тт(/3,7)./?}. Очевидно, /2 = | и соответствует

О<(0,7<1 1 ^ значениям /? = 7 = а это доказывает неулучшаемость (1.5.28), (1.5.29).

Неулучшаемость (1.5.28), (1.5.30) доказывается совершенно аналогично, если рассмотреть, например, уравнение /3 ге [од], (1.5.39) о 3 с точным решением (р{{) = 1-И2 и тем же возмущением правой части.

Итак, мы доказали, что введение дополнительного параметра регуляризации а в дискретный аналог интегрального уравнения не улучшает асимптотику погрешности каркаса и не меняет асимптотику квазиоптимального шага сетки по сравнению с чистым методом саморегуляризации. Однако, несмотря на "асимптотическую бесполезность" параметра а, при фиксированном 6 наличие дополнительного параметра регуляризации может существенно повысить точность численного решения, причем эффект от введения а тем выше, чем больше величина 6.

Убедимся в сказанном на тестовом уравнении t

J cos(i - s)(p(s)ds = 1 - cost 0 < t < 1, (1.5.40) о точным решением которого является <p(t) = t.

В табл. 1.5.1 приведены результаты расчетов для чистого метода саморегуляризации. Для каждого уровня 6 по описанной выше схеме в правую часть (1.5.33) вносилось пилообразное возмущение, а величина honT и соответствующее значение ||£Лопт||с,Лопт определялись по методу Фибоначчи (15 испытаний).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты диссертации.

I. Для уравнения (2.1.1), играющего важную роль в интегральных моделях развивающихся систем:

1) изучены вопросы существования и единственности решения в предположении a'(t) > 0, что позволило рассматривать (2.1.1) как естественное обобщение классического уравнения Вольтерра I рода;

2) получены оценки нормы обратного оператора, рассматриваемого (!) действующим из C\t0}T] xC[a{to)>to] в C[tQ)T] в случае (2.1.2)-(2.1.4) и из

О (1)

C[t0,T\ в C[t0jT] в случае (3.1.1)-(3.1.4);

3) установлены условия согласования в точке to K(t,s), f(t) и начальной функции (fo(t), обеспечивающие непрерывность решения (2.1.1) на [t0,T]

4) выявлен эффект потери одного порядка сходимости квадратурных методов из-за накопления погрешности аппроксимации интеграла квадратурой на предыстории; дана геометрическая интерпретация этому эффекту и предложены модификации численных методов, восстанавливающие порядок сходимости равным порядку аппроксимации;

5) установлено, как и в классическом случае, саморегуляризующее свойство процедуры дискретизации (параметром регуляризации является шаг квадратуры);

6) получены неулучшаемые и двусторонние оценки решений некоторых интегро-функциональных неравенств, связанных с (2.1.1);

7) исследована специальная задача выпуклого программирования, ассоциированная с оценками п. 6);

8) рассмотрены актуальные задачи электроэнергетики - задача определения долгосрочных стратегий ввода новых мощностей электростанций с учетом наработки и складирования вторичного ядерного топлива, а также задача технического перевооружения и демонтажа основного оборудования электростанций.

II. Исследована задача построения математической модели нелинейной динамической системы, трактуемой как черный ящик, в виде интегро-степенного ряда (полинома) Вольтерра. Для решения основной проблемы - идентификации многомерных ядер Вольтерра:

1) предложен способ задания тестовых сигналов в виде некоторых линейных комбинаций функций Хевисайда с отклоняющимся аргументом;

2) для случая стационарной системы и скалярного входа идентификация симметричных по всем аргументам ядер Вольтерра Кт} т > 2 сведена к решению линейных т-мерных уравнений Вольтерра I рода, допускающих явные формулы обращения;

3) доказаны теоремы существования и единственности решений этих уравнений, причем условия теорем являются необходимыми и достаточными;

4) получены сеточные аналоги этих уравнений, использующие кубатуру средних прямоугольников; доказаны их сходимость и саморегу-ляризующее свойство;

5) получены обобщения на нестационарный случай, когда ядра являются явными функциями времени;

6) для случая векторного входа, наиболее важного для приложений, введено понятие кода тестового сигнала, позволившее установить оптимальные в некотором естественном смысле наборы тестов для идентификации несимметричных ядер К\2, Кпз, частично симметричного ядра Кп2 и т.д.;

7) выведены парное относительно К12, тройное относительно Кц2, шестерное относительно Аш уравнения;

8) доказаны теоремы существования и единственности; получены явные формулы обращения уравнений;

9) построены и исследованы сеточные аналоги этих формул;

10) предложенная методика применена для моделирования динамики теплообмена на высокотемпературном контуре (ВТК) Института систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН (имеется акт о внедрении).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Апарцин, Анатолий Соломонович, 2000 год

1. Алгоритм обработки теплофизического эксперимента. Под ред. С.С. Кутате-ладзе. Новосибирск: Ин-т теплофизики СО АН СССР. 1975.

2. Александровский Н.М., Дейч A.M. Методы определения динамических характеристик нелинейных объектов// Автоматика и телемеханика. 1968.1. С. 167-188.

3. Анциферов Е.Г., Апарцин A.C., Ащепков JI.T., Булатов В.П. Математические задачи энергетики (модели, методы, решения): Науч. отчет. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1987. - 286 с.

4. Апарцин A.C. Численное решение интегральных уравнений I рода типа'Воль-терра. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1981. - 26 с. - Препринт N 1.

5. Апарцин A.C. Дискретизационные методы регуляризации некоторых интегральных уравнений I рода// Методы численного анализа и оптимизации. -Новосибирск: Наука, Сиб.отд-ние, 1987. С. 263-297.

6. Апарцин A.C. Некоторые интегральные (разностные) неравенства и их приложения. Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 1988. - 41 с.

7. Апарцин A.C., Бакушинский А.Б. Приближенное решение интегральных уравнений Вольтерра I рода методом квадратур// Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 1972. - Вып. 1. - С. 248-258.

8. Апарцин A.C. О применении различных квадратурных формул для приближенного решения интегральных уравнений Вольтерра I рода методом квадратур// Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 1973. - С. 107-116.

9. Апарцин A.C., Тен Мен Ян. К задаче численного дифференцирования // Тр. по прикладной математике и кибернетике. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1972 - С. 15-21. - Деп. в ВИНИТИ, № 5285-72.

10. Апарцин A.C., Тен Мен Ян. Алгоритм и программа численного дифференцирования эмпирической функции ГФАП, П-0003338, 8.1.1973.

11. Апарцин A.C. Численное решение интегрального уравнения Вольтерра I рода с приближенно заданным ядром// Методы оптимизации и их приложения. -Новосибирск: Наука,Сиб. отд-ние, 1982. С. 138-146.

12. Апарцин A.C. О численном решении интегрального уравнения Вольтерра I рода регуляризованным методом квадратур// Методы оптимизации и их приложения. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1979. - С. 99-107.

13. Апарцин A.C. О неулучшаемости асимптотических оценок параметров регуляризации для одного численного метода решения уравнения Вольтерра I рода// Приближенные методы анализа и их приложения. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1985. - С. 170-174.

14. Апарцин A.C. К построению сходящихся итерационных процессов в гильбертовом пространстве// Тр. по прикладной математике и кибернетике. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1972. - С. 7-14. - Деп. в ВИНИТИ, № 5285-72.

15. Апарцин A.C., Тен Мен Ян. О корректности многомерных интегральных уравнений Вольтерра I рода// Вопр. прикладной математики. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1975. - С. 120-126.

16. Апарцин A.C., Тен Мен Ян. О неулучшаемых оценках решений некоторых интегральных неравенств// СМЖ. 1979, Т. 20, № 1. - С. 192-195.

17. Апарцин A.C., Тен Мен Ян. О неулучшаемых оценках решений некоторых многомерных интегральных неравенств// Вопр. прикладной математики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1978. - С. 36-52.

18. Апарцин A.C. Применение метода квадратурных сумм к решению некоторых интегральных уравнений Фредгольма I рода// Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 1975. - Вып. 3. - С. 106-119.

19. Апарцин A.C. Некоторые некорректные задачи в энергетике и их саморегуляризация /./Математическое моделирование в энергетике. I. Киев: ИПМЭ АН Украины, 1990. - С. 26-29.

20. Апарцин A.C. Об интегральных уравнениях Вольтерра I рода в теории развивающихся систем // Численные методы оптимизации и анализа . Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1992. - С. 58-67.

21. Апарцин A.C. Исследование одной специальной задачи выпуклого программирования// Тез. докл. Всерос. конф. "Математическое программирование и приложения". Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1995. - С. 26-27.

22. Апарцин A.C. К решению одной специальной задачи выпуклого программирования// Тр. XI Между нар. Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1998. - Т. 1. - С. 41-44.

23. Апарцин A.C. Об одном классе уравнений Вольтерра I рода // Тр. XI Между-нар. Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". -Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1998. Т. 4. - С. 24-27.

24. Апарцин A.C. О некоторых обобщениях неравенства Г'ронуолла-Беллмана// Тр. XI Междунар. Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1998. - Т. 4, - С. 28-31.

25. Апарцин A.C., Тришечкин A.M. Применение моделей В.М. Глушкова для моделирования долгосрочных стратегий развития ЕЭЭС// Тез. докл. Всесоюз. конф. "Курс-4". Рига, 1986. - С. 17-19.

26. Апарцин A.C. О численном решении некоторых неклассических уравнений Вольтерра I рода// Оптимизация численных методов. Тез. докл. Междунар. конф., посвященной 90-летию С.Л. Соболева, 6-11.09.98. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 1998. - С. 6-7.

27. Апарцин A.C. О решении многомерных уравнений Вольтерра I рода, возникающих в задаче идентификации нелинейных динамических систем // Методы оптимизации и их приложения. Иркутск: СЭИ СО РАН, 1992. - С. 219-222.

28. Апарцин A.C. О новых классах линейных многомерных уравнений I рода типа Вольтерра// Изв. вузов. Математика. 1995. - № 11. - С. 28-42.

29. Апарцин A.C. Теоремы существования и единственности решений уравнений Вольтерра I рода, связанных с идентификацией нелинейных динамических систем (скалярный случай). Иркутск: СЭИ СО РАН, 1995. - 30 с. - Препринт9.

30. Апарцин A.C. Теоремы существования и единственности решений уравнений Вольтерра I рода, связанных с идентификацией нелинейных динамических систем (векторный случай). Иркутск: СЭИ СО РАН, 1996. - 57 с. - Препринт8.

31. Апарцин A.C. О выборе тестовых возмущений при моделировании нелинейных динамических систем рядами Вольтерра// Proc. Intern, seminar "Tools for mathematical modelling". S.-Petersburg: State Thech. Univ. 1998. - P. 77-86.

32. Апарцин A.C. К идентификации нелинейных нестационарных динамических систем// Краевые задачи. Иркутск: Иркутский гос. ун-т, 1997. - С. 91-99.

33. Апарцин A.C., Таиров Э.А., Солодуша C.B., Худяков Д.В. Применение интегростепенных рядов Вольтерра к моделированию динамики теплообменников //Изв. РАН. Энергетика. 1994. - № 3. - С. 138-145.

34. Апарцин A.C., Солодуша C.B., Таиров Э.А. Математические модели нелинейной динамики на базе рядов Вольтерра и их приложения// Изв. РАЕН, МММИУ. 1997. - Т. 1, № 2. - С. 115-125.

35. Апарцин A.C. О корректности уравнений I рода типа Вольтерра в интегральных моделях развивающихся систем// Моделирование функционирования развивающихся систем с изменяющейся структурой. Киев: - Ин-т кибернетики АН Украины. - 1989. - С. 4-7.

36. Апарцин A.C. Новые алгоритмы моделирования нелинейных динамических систем рядами Вольтерра// Тр. Междунар. конф. "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы". Уфа, Ии-т математики с ВЦ УНЦ РАН. 2000. - (в печати)

37. Апарцин A.C., Маркова E.B. Неклассические уравнения Вольтерра I рода и их приложения//Тр. Междунар. конф. Математика в приложениях", посвященной 75-летию С.К. Годунова. Новосибирск, ИМ СО РАН. -25.08.99 (в печати).

38. Апарцин A.C., Сидоров Д.Н. К идентификации ядер Вольтерра в интегральных моделях нестационарных динамических систем//Тезисы X Междунар. Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск: СЭИ СО РАН, 1995. - С. 235-236.

39. Апарцин A.C., Сидоров Д.Н. Новые классы многомерных интегральных уравнений Вольтерра I рода, возникающие при моделировании нестационарных динамических систем // Тезисы II Сибирского конгресса ИНПРИМ-96. -Новосибирск. 1996. С. 4.

40. Апарцин A.C., Сидоров Д.Н. К теории моделирования нелинейных динамических систем на основе функциональных рядов Вольтерра//Тезисы Междунар. семинара "Нелинейное моделирование и управление", Самара, СамГУ. 1997. -С. 12.

41. Апарцин A.C. Дискретизационные методы регуляризации интегральных уравнений I рода типа Вольтерра// // Диссертационная работа канд. физ.-мат. наук.- Иркутск. 1983. - 154 с.

42. Апарцин A.C. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы. Новосибирск.: Наука. Сиб. отд-ние, 1999. - 193 с.

43. Апарцин A.C., Солодуша C.B., Сидоров Д.Н. К идентификации интегральных моделей нелинейных динамических систем // Тр. III Междунар. конф. "Идентификация динамических систем и обратные задачи", Москва, 30.055.06.98, МАИ, 1998. С. 167-175.

44. Апарцин A.C., Солодуша C.B. О математическом моделировании нелинейных динамических систем рядами Вольтерра // Электронное моделирование, 1999. Т. 21, № 2. - С. 3-13.

45. Апарцин A.C. Об одном специальном классе уравнений Вольтерра I рода // Тезисы Всеросс. конф. "Обратные и некорректно поставленные задачи" Москва. - МГУ, 1999. - С. 8.

46. Бахвалов Н.С. Численные методы. I. М.: Наука, 1973. - 631 с.

47. Беллман Р., Беккенбах Э. Неравенства. М.: Мир, 1965. - 276 с.

48. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, I. М.: Физматгиз. - 1962,464 с.

49. Булатов М.В. Итерационное уточнение численного решения интегрального уравнения Вольтерра I рода, полученного методом квадратур: Дипломная работа. Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 1982. - 24 с.

50. Бурлаченко В.П., Сиденко Н.И. О приближении по методу В.П. Дзядыка решений задач для гиперболических уравнений// Дифференциальные уравнения.- 1976. Т. 12, № 5. - С. 857-864.

51. Бухгейм A.JT. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1983. - 205 с.

52. Бухгейм A.JT. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. - 183 с.

53. Бэслер И., Даугавет И.К. О приближении нелинейных операторов полиномами Вольтерра// Тр. Ленингр. матем. общества. 1990. - № 1. - С. 53-64.

54. Вайникко Г.М., Хямарик У. Саморегуляризация для решения некорректных задач проекционными методами // Модели и методы исследования операций. -Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1988. С. 157-163.

55. Вайникко Г.М., Хямарик У. Проекционные методы и саморегуляризация в некорректных задачах// Изв. вузов. Сер. матем. 1985. - № 10. - С. 3-17.

56. Вайникко Г.М. Регулярная сходимость операторов и приближенное решение уравнений// Итоги науки и техники. Математический анализ. М: ВИНИТИ, 1979. - Т. 16. - С. 5-53.

57. Васин В.В. Итерационная регуляризация монотонных операторных уравнений первого рода в полуупорядоченных B-пространствах// ДАН. 1995. - Т. 341, № 2. - С. 151-154.

58. Веников В.А., Суханов O.A. Кибернетические модели электрических систем.- М.: Энергоиздат, 1982. 327 с.

59. Веников В.А., Суханов O.A., Гусейнов А.Ф. Функциональное представление подсистем в кибернетическом моделировании// Брянск. 1974. - С. 39 -46.

60. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. М.: Наука, 1969. - 329 с.

61. Винер В. Нелинейные задачи в теории случайных процессов. М:. Иностранная литература. 1961. - 315 с.

62. Владимиров B.C., Михайлов В.П., Вашарин А.П. и др. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1974. - 217 с.

63. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. - 302 с.

64. Воронин В.В., Цецохо В.А. Численное решение интегрального уравнения I рода с логарифмической особенностью методом интерполяции и кол локации// ЖВМ и МФ. 1981. - Т. 21, № 1. - С. 40-53.

65. Галин H.H., Зябирев Ф.И. Метод решения нелинейных задач теплообмена с применением функциональных рядов Вольтерра// Гидродинамика и теплообмен в однофазных и двухфазных потоках. М.: МЭИ, 1987. - С. 34-48.

66. Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. М.: Наука, 1971. - 248 с.

67. Глушков В.М. Об одном классе динамических макроэкономических моделей// Управляющие системы и машины. 1977. - № 2. - С. 3-6.

68. Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко В.М. Моделирование развивающихся систем. М.: Наука, 1983. - 350 с.

69. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. - 439 с.

70. Гребенников А.И. Методы сплайн-коллокации и двойной сплайн-аппроксимации решения операторных уравнений и приложения к решению интегральных уравнений с особенностями// Методы и алгоритмы в численном анализе. М.: Наука, 1984.

71. Гребенников А.И. О регуляризирующих свойствах явных аппроксимирующих сплайнов//Методы матем. моделирования и автоматизир. обработка наблюдений и их приложения. М.: МГУ, 1986.

72. Гродникова Е. О решении многомерных интегральных уравнений I рода типа Вольтерра, возникающих при идентификации нелинейных динамических систем: Дипломная работа. Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 1991. - 41 с.

73. Давиденко К.Я. Представление и реализация функционалов в управляющих вычислительных машинах методом разложения в ряд Вольтерра// Вопр. машинной кибернетики. М, 1973. - С. 42-47.

74. Данилов JI.B., Матханов JI.H., Филиппов B.C. Теория нелинейных динамических цепей. М.: Энергоиздат, 1990. - 252 с.

75. Даугавет И.К. О полиномиальном приближении операторов// Вестник СПб-ГУ. Сер. 1. Вып. 3 (15). 1994. - С. 23-26.

76. Даугавет И.К. О полиномиальном приближении стационарных операторов// Вестник СПбГУ. Сер. 1. Вып. 1 (1). 1989. - С. 21-25.

77. Даугавет И.К. О приближении операторов причинным и их обобщениями. I. Линейный случай// Численные методы анализа и их приложения. Иркутск, СЭИ СО АН СССР. 1987. - С. 114-128.

78. Даугавет И.К. О приближении операторов причинным и их обобщениями. II. Нелинейный случай// Методы оптимизации и их приложения. Иркутск, СЭИ СО АН СССР. 1988. - С. 166-178.

79. Дейч А.М. Методы идентификации динамических систем. М.: Энергия, 1979.- 240 с.

80. Демидович В.Б. Восстановление функции и ее производных по экспериментальной информации// Вычисл. методы и программирование. М.: МГУ, 1967.- Вып. 8. С. 96-102.

81. Денисов А.М. О приближенном решении уравнения Вольтерра I рода// ЖВМ и МФ. 1975. - Т. 15, № 4. - С. 1053-1056.

82. Денисов А.М., Коровин C.B. Об интегральном уравнении I рода типа Вольтерра// Вестн. МГУ. Сер. 15. Вычисл. матем. и кибер. 1992. - № 3. - С. 22-28. •

83. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. О численном решении некоторых интегральных уравнений Фредгольма I рода // Вычисл. методы и программирование. -М.: МГУ, 1968. Вып. 10. - С. 49-54.

84. Иманалиев М.И. Методы решения нелинейных обратных задач и их приложение. Фрунзе.: Илим, 1977. - 347 с.

85. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

86. Каминскас В. Идентификация динамических систем по дискретным наблюдениям. Вильнюс: "Мокслас". -1985. - 152 с.

87. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.- 741 с.

88. Караулова И.В. Численное решение интегральных уравнений Вольтерра I рода с переменным нижним пределом методом Хуга-Вейсса: Дипломная работа. -Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 1989. 45 с.

89. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, "1983. -286 с.

90. Лаврентьев М.М. Обратные задачи и специальные операторные уравнения первого рода// Междунар. мат. конгресс в Ницце 1970. М.: Наука. - 1972.- С. 130-136.

91. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода// Докл. АН СССР. 1959. - Т. 127, № 1. - С. 31-33.

92. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1962. - 92 с.

93. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991.- 432 с.

94. Магницкий Н.А. Об одном методе регуляризации уравнений Вольтерра I рода// ЖВМ и МФ. 1975. - Т. 15, № 5. - С. 1317-1323.

95. Магницкий Н.А. О существовании многопараметрических семейств решений интегрального уравнения Вольтерра I рода // Докл. АН СССР, 1977. Т. 235, № 4,- С. 774-777.

96. Магницкий Н.А. Многопараметрические семейства решений интегральных уравнений Вольтерра // Докл. АН СССР, 1978. Т. 240, № 2,- С. 268-271.

97. Магницкий Н.А. Линейные интегральные уравнения Вольтерра I и III рода // ЖВМ и МФ, 1979. Т. 19. 240, № 4. - С. 970-988.

98. Маркова Е.В. О численных методах решения интегральных уравнений Вольтерра I рода в моделях развивающихся систем// Proc. Intern, seminar "Tools for mathematical modelling".- S.-Petersburg: State Thech. Univ, 1998. P. 171-175.

99. Маркова Е.В. Об особенностях численного решения уравнения Вольтерра I рода с переменным нижним пределом// Тр. XI Междунар. школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1998. - Т. 4.- С. 134-137.

100. Маркова Е.В. Особенности численного решения интегральных уравнений Вольтерра I рода с переменным нижним пределом// Материалы XXVIII конф. научной молодежи. Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1999. - С. 144-152.

101. Маркова E.B. Численные методы решения неклассических линейных уравнений Вольтерра I рода и их приложения // Диссертационная работа канд. физ.-мат. наук. Иркутск. - 1999. - 100 с.

102. Морозов В.А. О регуляризующих семействах операторов// Вычисл. методы и программирование. М.: МГУ, 1967. - Выи. 8. - С. 63-95.

103. Морозов В.А. О принципе невязки при решении операторных уравнений методом регуляризации// ЖВМ и МФ. 1968. - Т. 8, № 2. - С. 295-309.

104. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. М.: Физматгиз, 1962. -342 с.

105. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. М.: Мир, 1990. - 279 с.

106. Наубетова Ш.А., Яценко Ю.П. Регуляризирующие алгоритмы решения интегральных уравнений Вольтерра I рода с переменным нижним пределом// Приближенные методы анализа и их приложения. Иркутск: СЭИ СО РАН, 1988. -С, 81-91.

107. Никифоров B.C., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1978. - 316 с.

108. Определение входного сейсмического сигнала с помощью решения интегральных уравнений Вольтерра I рода. Науч. отчет.// Отв. исп. A.C. Апарцин. -Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1978. 51 с.

109. Пинчук В.М. Аппроксимация непрерывных процессов конечными рядами Вольтерра при помощи итеративной процедуры// Автоматика. 1983. - № 5. -С. 39 - 46.

110. Преображенский Н.Г., Пикалов В.В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1982. - 237 с.

111. Пупков К.А., Каналин В.И., Ющенко A.C. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. М.: Наука, 1976. - 448 с.

112. Пупков К.А., Шмыкова H.A. Анализ и расчет нелинейных систем с помощью функциональных степенных рядов. М.: Машиностроение, 1982. - 150 с.

113. Разработка математических основ и построение нелинейных интегральных моделей динамики теплоэнергетических объектов. Отчет по НИР// Отв.исп. Апарцин A.C., Таиров Э.А. Иркутск: СЭИ СО РАН. - 1992. - 104 с.

114. Ракевич Т.А. Метод Хуга-Вейсса для решения двумерных интегральных уравнений Вольтерра I рода с двумя переменными пределами интегрирования: Дипломная работа. Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 1989. - 51 с.

115. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. -687 с.

116. Сергеев В.О. Регуляризация уравнений Вольтерра I рода// Докл. АН СССР, 1971. Т. 197, № 3. - С. 531-534.

117. Сидоров Д.Н. О существовании и единственности решений одного класса двумерных интегральных уравнений Вольтерра I рода// Приближенные методы анализа. Иркутск: ИГПИ, 1997. - С. 130-140.

118. Сидоров Д.Н. О восстановлении трехмерных ядер Вольтерра в задаче моделирования нестационарных динамических систем// Тр. XI Междунар. Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1998. - Т. 4. - С. 165-168.

119. Сидоров Д.Н. Моделирование нелинейных динамических систем рядами Вольтерра: идентификация и приложение // Диссертационная работа канд. физ.-мат. наук. Иркутск. - 1999. - 145 с.

120. Слюсарь Н.С. Численное решение интегральных уравнений Вольтерра I рода регуляризованным методом квадратур. Дипломная работа. Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 1983. - 38 с.

121. Солодуша C.B. О численном решении одного класса линейных двумерных уравнений Вольтерра J рода // Приближенные методы решения операторных уравнений. Иркутск: ИГПИ, 1992. - С. 114-124,

122. Солодуша C.B. Математическое моделирование динамических систем с помощью рядов Вольтерра и его приложения в некоторых. задачах теплофизики //Тр. XXIII конф. научной молодежи СЭИ СО РАН. Иркутск, 1992. - С. 88-93. - Деп. ВИНИТИ 15.03.93, № 612-В93.

123. Солодуша C.B. Численные методы идентификации несимметричных ядер Вольтерра и их приложения в теплоэнергетике //Тр. XXIV конф. научной молодежи СЭИ СО РАН. Иркутск, 1994. - С. 76-91. - Деп. ВИНИТИ 30.08.94,2129-В94.

124. Солодуша C.B. Построение интегральных моделей нелинейных динамических систем с помощью рядов Вольтерра // Диссертационная работа канд. физ.-мат. наук. Иркутск. - 1996. - 153 с.

125. Таиров Э.А. Нелинейное моделирование динамики теплообмена в канале с однофазным теплоносителем// Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. - 1989. - № 1. - С. 150-156.

126. Таиров Э.А., Апарцин A.C. Построение интегральных моделей теплообменников и их исследование на высокотемпературном контуре// Изв. РАН. Энергетика. 1996. - № 3. - С. 85-98.

127. Тен Мен Ян. Приближенное решение двумерных интегральных уравнений Вольтерра I рода методом квадратур// Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 1975. - Вып. 3. - С. 194-211.

128. Тен Мен Ян. Блочный метод для решения двумерных интегральных уравнений Вольтерра первого рода// Дифференциальные уравнения. 1979. - Т. 15, № 6. - С. 1121-1126.

129. Тен Мен Ян. Метод квадратур для уравнения Вольтерра I рода с переменной предысторией// Методы оптимизации и их приложения. Иркутск: СЭИ СО РАН, 1992. - С. 184-199.

130. Тен Мен Ян. Квадратурные методы решения интегральных уравнений I рода типа Вольтерра с переменным нижним пределом// Численные методы решения сингулярных систем ОДУ. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1993. - С. 55-77.

131. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. - 287 с.

132. Тихонов А.Н., Дмитриев В.И. Метод расчета распределения тока в системе линейных вибраторов и диаграммы направленности этой системы // Вычисл. методы и программирование. М.: МГУ, 1968. - Вып. 10. - С. 3-8.

133. Устойчивые методы идентификации динамических систем. Отчет по НИР// Отв.исп. Апарцин A.C., Иркутск: СЭИ СО РАН. - 1993. - 72 с.

134. Флейк Р.Г. Теория рядов Вольтерра и ее приложение к нелинейным системам с переменными параметрами// Оптимальные системы. Статистические методы. Тр. II Междунар. конгр. Базель. 25 авг. 4 сект. 1963. - М.: Наука. - 1965.1. С. 453-468.

135. Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям: основы реконструктивной томографии. М.: Мир, 1983.

136. Цалюк З.Б. Интегральные уравнения Вольтерра// Математический анализ (Итоги науки и техники). М.:ВИНИТИ, 1977. - Т. 5. - С. 131-198.

137. Щербаков М.А. Параллельная реализация цифровых фильтров Вольтерра в частотной области// Автоматика и вычислительная техника. 1996 - № 6. - С. 35-44.

138. Щербаков М.А. Цифровая полиномиальная фильтрация: теория и приложения. Пенза: ПГТУ. - 1997. - 246 с.

139. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.- 296 с.

140. Яценко Ю.П. Интегральные модели систем с управляемой памятью. Киев: Наук, думка, 1991. - 218 с.

141. Apartsyn A.S. Some ill-posed problems and their applications in energy research// Sov. Tech. Rev. A. Energy. 1992. - Vol. 6, Pt. 1. - P. 65-125. Harwood Academic Publishers, GmbH, USA.

142. Apartsyn A.S. Mathematical modelling of the dynamic systems and objects with the help of the Volterra integral series// EPRI-SEI Joint seminar. Beijing, China, 1991. - P. 117-132.

143. Apartsyn A.S. On some identification method for nonlinear dynamic systems// ISEMA-92. Shenzhen, China, 1992. - P. 288-292.

144. Apartsyn A.S. Inversion formulas of One Class of Multidimensional Integral Volterra Equations of the First Kind// Proc. IV Intern. Symp. on Computerised

145. Tomography, Editor-in-Chief M.M. Lavrentiev. Utrecht: The Netherlands, VSP.1995. P. 49-53.

146. Apartsyn A.S. On some class of the Volterra integral equations of the first kind and their selfregularization // Abstracts of Int. conf. "Ill-posed problems". Moscow, 19-25.08.91. Moscow State Univ. - 1991. - P. 52.

147. Baesler, I., Daugavet, I.K. Approximation of nonlinear operators by Volterra polynomials// Proc. St.-Petersburg. Math. Soc. Vol. 1. - P. 47-52.

148. Bellman R. The stability of solutions of linear differential equations// Duke Math. J. 1943. - Vol. 10. - P. 643-647.

149. Blondel J.-M. Phénoméne de perturbation singulière pour une équation intégrale linéaire de Volterra// Rev. franc, inform, et. rech. opér. 1971. - Vol. 5, № R-3. -P. 331-336.

150. H.Brunner, van der Houwen P.J. The Numerical Solution of Volterra Equations, CVVI Monographs 3 (North-Holland, Amsterdam). 1986. - 588 p.

151. Brunner H. 1896 1996: One hundred years of Volterra integral equations of the first kind// Applied Numerical Mathematics. 1997. - Vol. 24. - P. 83-93.

152. Brunner H., Yatsenko Y. Spline collocation methods for nonlinear Volterra integral equations with unknown delay// J. Comput. and Appl. Mathematics.1996. Vol. 71. - P. 66-81

153. Brunner H. The solution of Volterra integral equations of the first kind by piecewise polinomials // J. Inst. Math, and Appl. 1973. - Vol. 12, № 3. - P. 295-302.

154. Denisov A.M., Lorenzi A. On a Special Volterra Integral Equation of the First Kind// Bollettino U.M.I. 1995. -(7) 9-B. - P. 443-457.

155. Denisov A.M., Lorenzi A. Existence results and regularization thechniques for severely ill-posed integro-functional equations/'/ Universita degli studi di Milano, quadrno. 1996. - № 9. - 14 p.

156. El Tom M.E.A. On spline function approximation to the solution of Volterra integral equations of the first kind // BIT. 1974. - Vol. 14, № 3. - P. 288-297.

157. Frechet M. Sur les funktionnoles continues. Ann. de l'Ecole Normale Sup. 1910, (30), 27.

158. Holyhead P.A.W., McKee S., Taylor P.J. Multistep methods for solving of linear Volterra integral equations of the first kind // SIAM J. Numer. Anal. 1975.- Vol . 12, № 5. P. 698-711.

159. F. de Hoog, Weiss R. On the solution of the Volterra integral equations of the first kind// Numer. Math. 1973. - Vol. 21, № 1. - P. 22-32.

160. F. de Hoog, Weiss R. High order methods for the Volterra integral equations of the first kind// SIAM J. Numer. Anal. 1973. - Vol. 10, № 4. - P. 647-664.

161. Istratescu, V.I. A Weierstrass theorem for real Banach spaces// J. Approx. Theory- 1977. Vol. 19. - № 2. - P. 118-122.

162. Keech M.S. A Third order, semi-emplicit method in the numerical solution of the first kind Volterra integral equations// BIT. 1977. - Vol. 17, № 3.

163. Kolling, T.E., Larsen, T. High order Volterra series analysis parallel computing// Int. J. of Circuits Theory and Applications, 25(2). 1997. - P. 107-114.

164. Lamm P.K. Approximation of ill-posed Volterra problems via predictor-corrector regularization methods // SIAM J. Appl. Math, 1996. Vol. 56, № 2. - P. 524-541.

165. Lamm P.K., Elden L. Numerical solution of first kind Volterra equations by sequential Tikhonov regularization // SIAM J. Numer. Anal, 1997. Vol. 34, № 4.- P. 1432-1450.

166. Lamm P.K. Regularized inversion of finitely smoothing Volterra operators: predictor-corrector regularization methods // Inverse Problems, 1997. Vol. 13, № 2. - P. 375-402.

167. Lamm P.K. Future-sequential regularization methods for ill-posed Volterra equations. Applications to the inverse heat conduction problem //J. Math. Anal. Appl, 1995. Vol. 195, № 2. - P. 469-494.

168. Lamm P.K. A survey of regularization methods for first kind Volterra equations // Preprint, 1999.

169. Larsen, T. Determination of Volterra transfer functions of nonlinear multiport not works// Int. J. of Circuits Theory and Applications, 21(4). 1993. - P. 107-131.

170. Linz P. Numerical methods for the Volterra integral equations of the first kind// Comput. J. 1969. - Vol. 12, № 4. - P. 393-397.

171. Linz P. Product integration methods for the Volterra integral equations of the first kind// BIT. 1971. - Vol. 11, № 4. - P. 413-421.

172. Maas, S.A. Analysis and Optimizationsof nonlinear microwave circuits of Volterra series analysis. Microwave Journal, 33(4). 1990. - P. 245-251.

173. Marmarelis, V.Z. Particable identification of nonstationary nonlinear systems// Proc. Inst. Elect. Eng., Vol. 5. -1981. P. 211-214.

174. Natterer F. Regularizierung schlect gestelter Problem durch Projektions-verfahren// Numer. Math. 1977. - Vol. 28. - P. 329-341.

175. Plato R. On the descrepancy principle for iterative and parametric methods to solve linear ill-posed equations // Numer. Math, 1996. Vol. 75. - № 1. - P. 99-120.

176. Plato R. Resolvent estimates for Abel integral operators and the regularization of associated first kind integral equations //J. Integral Equations Appl, 1997. Vol. 9, № 3. - P. 253-278.

177. Plato R. The Galerkin scheme for Lavrentiev's m-times iterated metod to solve linear accretive Volterra integral equations of the first kind // BIT, 1997. Vol. 37, № 2. - P. 404-423.

178. Prenter, P.M. A Weierstrass theorem real normeel linear spaces// Bull. Amer. Math. Soc. 1969. - Vol. 75. - № 4. - P. 860-862.

179. Prenter, P.M. A Weierstrass theorem for real separable Hilbert spaces// J. Approx. Theory 1970. - Vol. 3. - № 4. - P. 341-351.

180. Richter G.R. Numerical 'solution of integral equations of the first kind with nonsmooth kernels// SIAM J. Numer. Anal. 1978. - Vol. 15, № 3. - P. 511522.

181. Sandberg, I.W. On Volterra Expansion for Time-Varying Nonlinear Systems. IEEE Trans. Circuits and Systems. Vol. 30. 1983. - P. 61-67.

182. Vainikko G.M. Funktionanalysis der Discretisierungmethoden. Leipzig: Teubner Verglasgestellschaft, 1976. - 137 S.

183. Vasin V.V., Ageev A.L. Ill-Posed Problems with A Priory Information. Utrecht, The Netherlands: VSP. - 1995. - 255 p.

184. Volterra V. Sülle inversione degli integrali definiti// Nota I, Atti R. Accad. Sei. Torino. 1896. - Vol. 31. - P. 311-323.

185. Volterra V. Sopra alcune questioni di integrali definitive// Ann. Mat. Pura Appl. 1897. - (2)25. - P. 139-178.