Конечномерные аппроксимации решений сингулярных интегродифференциальных и периодических псевдодифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, доктор физико-математических наук Федотов, Александр Иванович

• Федотов, Александр Иванович
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Федотов, Александр Иванович

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ И ИХ СВОЙСТВА

§1.1. Основные понятия и обозначения

§1.2. Сингулярные интегральные уравнения с ядром Гильберта: одномерный случай

§1.3. Одномерные псевдодифференциальные уравнения.

§1.4. Сингулярные интегральные уравнения с ядром Гильберта: многомерный случай.

§1.5. Сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши на разомкнутом контуре

Глава II. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД В ПОСТРОЕНИИ

КВАДРАТУРНО-РАЗНОСТНЫХ МЕТОДОВ

§2.1. Об общей теории приближенных методов.

§2.2. Квадратурно-разностный метод, основанный на сплайн-аппроксимации.

§2.3. Полиномиальный подход в построении квадратурно-разностного метода.

Глава III. ЧИСЛЕННЫЙ ПОДХОД В ПОСТРОЕНИИ

КВАДРАТУРНО-РАЗНОСТНЫХ МЕТОДОВ

§3.1. Регулярная, устойчивая и компактная сходимость операторов и приближенное решение операторных уравнений

§3.2. Сходимость квадратурно-разностного метода в пространствах Гёльдера: линейный случай

§3.3. Сходимость квадратурно-разностного метода в пространствах Гёльдера: нелинейный случай

§3.4. Квадратурно-разностный метод для уравнений с разрывными коэффициентами

Глава IV. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

§4.1. Вспомогательные результаты

§4.2. Сходимость метода коллокаций для сингулярных интегральных уравнений

§4.3. Сходимость метода коллокаций для псевдодифференциальных уравнений

§4.4. Сходимость метода коллокаций для систем псевдодифференциальных уравнений

Глава V. КУБАТУРНО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД

РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ.

§5.1. Оценка нормы интерполяционного оператора в многомерных пространствах Соболева

§5.2. Сходимость кубатурно-разностного метода для многомерных сингулярных интегродифференциальных уравнений

Глава VI. КВАДРАТУРНО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД

РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НА РАЗОМКНУТОМ КОНТУРЕ

§6.1. Квадратурно-разностный метод для уравнений нулевого индекса

§6.2. Квадратурно-разностный метод для уравнений ненулевого индекса

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конечномерные аппроксимации решений сингулярных интегродифференциальных и периодических псевдодифференциальных уравнений»

Сингулярные интегродифференциальные уравнения составляют широкий класс задач, которые, с одной стороны, являются обобщением сингулярных интегральных уравнений, а с другой - обыкновенных дифференциальных уравнений или, в многомерном случае, уравнений в частных производных. Как и сингулярные интегральные уравнения, сингулярные интегродифференциальные уравнения тесно связаны с краевыми задачами теории функций комплексной переменной. Как обобщение обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, сингулярные интегродифференциальные уравнения относятся к задачам математической физики. Таким образом, как теория, так и методы исследования сингулярных интегродиффе-ренциальных уравнений лежат на стыке теорий краевых задач и задач математической физики.

Обе эти тесно взаимосвязанные теории к настоящему времени хорошо развиты в качественном плане, то есть вопросы существования и единственности решений и их принадлежность к определенным функциональным пространствам исследованы глубоко и полно. Однако многие вопросы нахождения самих этих решений как для конкретных уравнений, так и для классов уравнений, определяемых классами коэффициентов и правых частей, остаются открытыми до сих пор. Из теории известно, что сингулярные интегродифференциальные уравнения точно решаются лишь в редких частных случаях. Поэтому актуальной задачей является разработка и теоретическое обоснование приближенных методов решения таких уравнений.

Раздел математики, посвященный разработке и использованию методик обоснования приближенных методов решения различных уравнений, не имеет еще своего общепринятого названия. Это объясняется, по-видимому, сравнительно короткой еще историей развития этого направления, с одной стороны, и постоянно расширяющимся арсеналом используемых результатов смежных областей математики - с другой, что не позволило ему пока принять законченный вид и определить свое место среди других математических наук. При этом не вызывает сомнения тот факт, что базовым понятием этого направления является понятие сходимости и оно, таким образом, является частью математического анализа.

Сингулярные интегральные уравнения, содержащие производную искомой функции (то есть сингулярные интегродифференциальные уравнения), были рассмотрены впервые в работах А. Пуанкаре [196] в связи с теорией приливов и Д. Гильберта [184] в 1902 - 1904 гг. В 1918 г. Л. Прандтль (см. [197]), исследуя аэродинамические свойства поверхностей, получил сингулярное интегродифференциальное уравнение, которое носит имя своего первооткрывателя и до сих пор привлекает к себе внимание как специалистов по аэро- и гидродинамике, так и математиков (см., напр., [20, 94]). С этого времени сингулярные интегродифференциальные уравнения появляются в работах по аэро- и гидродинамике, теории упругости, электродинамике, теории дифракции и многих других прикладных дисциплинах.

С 1938 года начались планомерные исследования сингулярных ин-тегродифференциальных уравнений в рамках развития математической теории краевых задач теории функций комплексной переменной. Ф. Д. Гахов [41] в 1938 году, И. Н. Векуа [19] в 1942 году и Д. И. Шер-ман [159] в 1946 году представили три различные постановки задачи Гильберта, содержащей производные искомой функции, - в виде сингулярного интегродифференциального уравнения, в виде краевой задачи и в виде задачи гармонических функций. В монографии [42] Ф. Д. Гахов показал, что все три постановки в целом "равносильны как в отношении методов, которые могут быть применены для решения любой из них, так и в отношении результатов, которые при этом получаются".

Аналогичное обобщение задачи Римана было впервые сделано Л. Г. Магнарадзе [95, 96]. Впоследствии в работах Ю. М. Крикунова [87, 88, 89] и В. С. Рогожина [110] были получены представления, значительно упростившие исследования этой задачи. Р. С. Исаханов [68, 69] показал, что для таких уравнений справедливы теоремы, аналогичные теоремам Нётера, а также обобщил задачу на случай нескольких разомкнутых контуров и разрывных коэффициентов. Н. П. Векуа [21, 22] указал способ решения сингулярных интегродифференциальных уравнений путем сведения их к задаче Коши для сингулярных интегральных уравнений.

Здесь уместно подчеркнуть, что, хотя метод Векуа позволяет сводить сингулярные интегродифференциальные уравнения к сингулярным интегральным уравнениям, проблема методов приближенного решения сингулярных интегродифференциальных уравнений, как самостоятельная, не снимается. В качестве основных причин этого обстоятельства можно указать следующие: во-первых, разработка и обоснование методов приближенного решения сингулярных интегродифференциальных уравнений без их сведения к сингулярным интегральным уравнениям нужны потому, что сам процесс сведения с вычислительной точки зрения может оказаться сложным и нежелательным, и, во-вторых, положительное решение указанной проблемы может позволить обосновать ряд методов в применении к более широким классам сингулярных интегродифференциальных уравнений, в частности, к тем разновидностям сингулярных интегродифференциальных уравнений, для которых сведение к сингулярным уравнениям пока неизвестно или невозможно в принципе.

Первым трудом, в котором со всей математической строгостью рассмотрен вопрос о приближенном решении сингулярных интегральных уравнений, является работа М. А. Лаврентьева [91], опубликованная в 1932 году. В монографии [103] Н. И. Мусхелишвили, подводящей итог многолетним исследованиям в области теории сингулярных интегральных уравнений и их приложений, по поводу этой работы М. А. Лаврентьева сказано: "Дальнейшая разработка этого и аналогичных методов приближенного решения сингулярных интегральных уравнений является, как мне кажется, одной из важнейших очередных задач теории этих уравнений".

Бурное развитие теории сингулярных интегральных уравнений и сингулярных интегродифференциальных уравнений в последующие годы, их связь с краевыми задачами и многочисленные приложения в теории упругости, гидромеханике и многих разделах математической физики усилили внимание математиков к методам приближенного решения этих уравнений и к проблемам обоснования этих методов.

Общей теории приближенных методов решения операторных уравнений и ее приложениям к сингулярным интегральным и интегродиф-ференциальным уравнениям посвящено большое число работ. Первые значительные результаты в этой области получены С. Г. Михлиным, В. В. Ивановым, Б. Г. Габдулхаевым; весомый вклад в развитие приближенных методов решения сингулярных уравнений внесли также А. А. Бабаев, С. М. Белоцерковский, И. Гохберг, М. Гольберг, В. А. Зо-лотаревский, А. И. Каландия, В. И. Касьянов, И. К. Лифанов, Б. И. Му-саев, 3. Прёссдорф, Н. Я. Тихоненко, М. А. Шешко, Д. Эллиотт, а также их ученики и последователи.

Подробный обзор исследований в этой области приводится в специальных обзорных работах В. В. Иванова [65, 66], Б. Г. Габдулха-ева [36] и Г. М. Вайникко [16]. Обзор значительного числа результатов имеется в монографиях [10, 15, 37, 93, 106, 108] и диссертациях [1, 4, 7, 47, 56, 115,154] (см. также библиографию в работах [20, 28, 98]).

На основании этих работ можно констатировать, что к настоящему времени предложено и обосновано большое число различных приближенных методов решения сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядрами Гильберта и Коши и в ряде случаев получены окончательные результаты, то есть для отдельных классов уравнений указаны методы, обладающие наивысшей (асимптотически или по порядку) скоростью сходимости приближенных решений к точному. Однако на практике предпочтение нередко отдается методам, обладающим простыми вычислительными схемами, даже если скорость их сходимости невелика. К таким методам относятся, например, разностный и квадратурно-разностный методы решения регулярных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений. Это привело нас к необходимости разработки и обоснования аналогичных приближенных методов для решения сингулярных интегродифференциальных уравнений.

Данная работа посвящена разработке и обоснованию приближенных методов решения различных классов сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядрами Гильберта и Коши, в которых производные аппроксимируются конечными разностями, а интегралы, в том числе сингулярные, квадратурными суммами. Как и в регулярном случае, такие методы будем называть квадратурно-разностными методами решения сингулярных интегродифференциальных уравнений. Кроме того, в работе предложены и обоснованы полиномиальный метод коллокаций для полных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, при этом приближенное решение, в отличие от известных результатов, ищется в виде интерполяционного полинома с кратными узлами, и полиномиальный метод коллокаций для приближенного решения периодических псевдодифференциальных уравнений, являющихся естественным обобщением сингулярных интег-родифференциальных уравнений с ядром Гильберта.

Под теоретическим обоснованием приближенного метода в диссертации понимается следующий круг вопросов (см., напр., в [77]): а) установление осуществимости алгоритма метода; б) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и нахождение скорости сходимости; в) установление оценок погрешности.

Обоснование опирается на результаты общей теории приближенных методов решения операторных уравнений, основы которой заложены в работах Л. В. Канторовича, а также на результаты Б. Г. Габ-дулхаева по обоснованию приближенных методов решения сингулярных интегральных и интегродифференциальных уравнений, результаты Г. М. Вайникко по обоснованию непроекционных приближенных методов решения операторных уравнений и методику Д. Арнольда и В. Вендланда обоснования метода коллокаций путем сведения его к нестандартному методу Галеркина.

На основе названных теоретических результатов в диссертации построены и обоснованы:

1) квадратурно-разностный метод решения линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, полученный приближением точного решения сплайнами;

2) полиномиальный метод коллокации решения линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, полученный приближением точного решения тригонометрическими полиномами с кратными узлами;

3) квадратурно-разностный метод решения линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, полученный приближением точного решения тригонометрическими полиномами с кратными узлами;

4) квадратурно-разностный метод решения линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, полученный приближением производных точного решения в узлах произвольными сходящимися формулами численного дифференцирования, а интегралов - квадратурными суммами;

5) квадратурно-разностный метод решения нелинейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, полученный приближением производных точного решения в узлах произвольными сходящимися формулами численного дифференцирования, а интегралов - квадратурными суммами;

6) квадратурно-разностный метод решения многомерных линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, полученный приближением производных точного решения в узлах произвольными сходящимися формулами численного дифференцирования, а интегралов - квадратурными суммами;

7) полиномиальный метод коллокации решения периодических псевдодифференциальных уравнений;

8) квадратурно-разностный метод решения линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Коши, полученный приближением производных точного решения в узлах произвольными сходящимися формулами численного дифференцирования, а интегралов -квадратурными суммами.

Кроме того, для одного класса сингулярных интегродифференци-альных уравнений получены простые достаточные условия существования и единственности решения, при обосновании квадратурно-разностного метода для многомерных сингулярных интегродиффе-ренциальных уравнений получены, как вспомогательные результаты, оценки норм операторов Лагранжа в многомерных пространствах Соболева, а при обосновании метода коллокаций для псевдодифференциальных уравнений разработана методика, обоснования аналогичная методике работы [163] для методов сплайн-коллокаций.

Остановимся подробнее на идеях, положенных в основу диссертационной работы.

Первая группа результатов диссертации (глава 2) связана с построением и обоснованием аналитических методов, приводящих к квадратурно-разностным методам. Метод называется аналитическим, если приближенное решение ищется в виде какого-либо аналитического агрегата, в данном случае это сплайны и тригонометрические полиномы с кратными узлами. При этом в первом случае значения самих этих агрегатов и их производных в узлах оказываются конечными разностями, а интегралы от них (сплайны предварительно сглаживаются интерполяционными полиномами) - квадратурными суммами.

Для приближенного решения сингулярных интегральных, интегро-дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений сплайны использовались многими авторами. Но виды конечных разностей, получающихся при их дифференцировании, и квадратурных сумм, получающихся при нахождении сингулярных интегралов от них, обычно не рассматривались. Поэтому большинство имеющихся результатов носят теоретический характер, так как не учитывают существенных трудностей при построении вычислительных схем, связанных с дифференцированием и интегрированием сплайнов.

В данной работе приводится обобщение результата Б. Г. Габдулхае-ва [30] на случай уравнений произвольного порядка. При этом квадратурные суммы получаются интегрированием производных от сплайнов, предварительно сглаженных интерполяционными полиномами. Поэтому используемые квадратурные суммы имеют более простой вид, что важно для практики, чем квадратурные суммы, получаемые при интегрировании непосредственно сплайнов.

Имеются существенные ограничения при использовании сплайнов для построения приближенных методов решения сингулярных интегральных и интегродифференциальных уравнений. А именно методы сплайн-коллокаций сходятся не для всех однозначно разрешимых сингулярных интегральных и интегродифференциальных уравнений. Этих ограничений нет у полиномиальных методов коллокаций с тригонометрическими полиномами с кратными узлами в качестве агрегатов аппроксимации точного решения. В отличие от сплайнов, тригонометрические полиномы с кратными узлами для приближенного решения сингулярных интегродифференциальных уравнений ранее не использовались. В данной работе построены и обоснованы метод коллокаций и квадратурно-разностный метод, в которых приближенное решение ищется в виде тригонометрического полинома с кратными узлами. При этом обоснование первого из этих методов является вспомогательным результатом при обосновании второго.

Вторая группа результатов диссертации (главы 3 и 5) связана с построением сеточных квадратурно-разностных методов решения сингулярных интегродифференциальных уравнений. Здесь, в отличие от рассмотренных выше методов, не предполагается каких-либо аналитических агрегатов аппроксимации точного решения. Приближенное решение ищется в виде вектора значений искомой функции в узлах некоторой сетки. Такое подразделение приближенных методов на аналитические (полиномиальные и сплайн-методы) и численные (сеточные) в зависимости от вида приближенного решения весьма условно. В данной работе такое подразделение оправдано лишь различием используемых методик обоснования приближенных методов этих видов.

В эту группу результатов входят построение вычислительных схем и обоснование квадратурно-разностных методов для линейных и нелинейных одномерных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта в пространствах Гёльдера, линейных одномерных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта с разрывными коэффициентами и правой частью и линейных многомерных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта в пространствах Соболева.

Методы основаны на аппроксимации точного решения уравнения вектором приближенных значений искомой функции в узлах равномерной сетки. Значения производных искомой функции аппроксимируются конечными разностями, а интегралы - простыми квадратурными суммами. При этом построенные квадратурные суммы автоматически реагируют на увеличение гладкости точного решения (погрешность уменьшается с увеличением гладкости), а конечные разности таким свойнт«н«т и* птштщ Штй«** шш^пн« »ш тя тшттптп рннят ных разностей подходящей точности скорость сходимости предлагаемого метода будет иметь порядок гладкости точного решения.

Третья группа результатов диссертации (глава 4) связана с построением и обоснованием полиномиального метода коллокаций для решения одномерных псевдодифференциальных уравнений и систем одномерных псевдодифференциальных уравнений в пространствах Соболева.

Одномерные псевдодифференциальные уравнения являются естественным обобщением сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта. Имеются, однако, два существенных отличия в постановках задач для сингулярных интегродифференциальных уравнений и псевдодифференциальных уравнений. В классической постановке сингулярные интегродифференциальные уравнения рассматриваются в пространствах Гёльдера и пространствах суммируемых функций. Псевдодифференциальные уравнения рассматриваются в пространствах Соболева. Сингулярные интегродифференциальные уравнения содержат производные искомой функции положительного целого порядка. Псевдодифференциальные уравнения могут содержать производные искомой функции произвольного действительного порядка. Это означает, что псевдодифференциальное уравнение нулевого порядка является сингулярным интегральным уравнением с ядром Гильберта в пространстве Соболева и для него справедливы все результаты, касающиеся приближенных методов решения последних. Поэтому в работе последовательно обосновывается метод коллокаций вначале для сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта, затем для псевдодифференциальных уравнений общего вида и, наконец, для систем одномерных псевдодифференциальных уравнений. Для обоснования используется методика сведения метода коллокаций к нестандартному методу Галеркина и обоснованию последнего путем сведения его к обычному методу Галеркина.

Следует отметить, что сведение метода коллокаций к методу Галеркина происходит без потери скорости сходимости. То есть порядок скорости сходимости метода коллокаций равен порядку скорости сходимости метода Галеркина. Доказательство этого основано на факте равномерной ограниченности последовательности операторов тригонометрического интерполирования в пространствах Соболева (лемма 4.2). При этом, как показано в теореме 5.1, в многомерных пространствах Соболева этот факт, вообще говоря, не имеет места. А именно, нормы интерполяционных операторов равномерно ограничены, если муль-тииндексы выбираются из некоторого конуса, при этом наименьшую норму имеют операторы с мультииндексами, в которых все частные индексы равны между собой.

Четвертая группа результатов диссетрации (Глава 6) связана с построением и обоснованием сеточного квадратурно-разностного метода для сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Коши на отрезке.

Известно, (см., напр., [42, 103, 166]), что теории сингулярных интегральных уравнений на замкнутом контуре или в периодическом случае (с ядром Гильберта) и на разомкнутом контуре (с ядром Коши) существенно различаются из-за разомкнутости контура в последнем случае. Поэтому как построение приближенных методов решения уравнений этих двух классов, так и их обоснование имеют существенные отличия. Так, если для уравнений с ядром Гильберта используется единая равномерная сетка узлов для построения формул численного дифференцирования, квадратурных формул и для узлов коллокации, то для уравнений с ядром Коши приходится использовать две различные сетки узлов - корней полиномов специального вида. В случае уравнения с ядром Гильберта задача ставится в пространствах Гёльдера, поэтому для обоснования метода используется обычная методика компактной аппроксимации [12], и скорость сходимости метода растет с увеличением гладкости коэффициентов и правой части уравнения неограниченно. В случае же уравнения с ядром Коши старшая производная искомой функции имеет, вообще говоря, интегрируемые особенности на концах контура, поэтому задача ставится в пространствах квадратично суммируемых с весами функций, для обоснования применяется так называемый "второй вариант" теории приближенных методов [12], а скорость сходимости метода ограничена порядком гладкости предпоследней производной точного решения.

В работе рассмотрены уравнения нулевого, положительного и отрицательного индексов, построены вычислительные схемы, доказана разрешимость и получены оценки скорости сходимости метода для каждого значения индекса.

На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационной работы.

1. Для линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта обоснованы квадратурно-разностные методы, основанные на аппроксимации точного решения сплайнами и тригонометрическими полиномами с кратными узлами.

2. Для линейных и нелинейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта обоснованы сеточные квадратурно-разностные методы решения.

3. Сеточный кубатурно-разностный метод решения обоснован для многомерных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта.

4. Обоснован метод полиномиальной коллокации для приближенного решения периодических псевдодифференциальных уравнений и систем псевдодифференциальных уравнений в пространствах Соболева.

5. Для линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Коши обоснован сеточный квадратурно-разностный методов решения.

6. Получены оценки норм операторов Лагранжа в одномерном и многомерных пространствах Соболева.

Результаты по мере их получения были доложены на Республиканской научно-технической конференции "Интегральные уравнения в прикладном моделировании" (г. Киев, 1983 г.), на V Всесоюзной школе "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики и теории приближений" (г. Казань, 1984 г.), на Всесоюзных симпозиумах "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики" (г. Харьков, 1987, 1989, 1993 гг., г. Одесса, 1991 г.), на Всесоюзной конференции "Методы решения сингулярных интегральных уравнений" (г. Тарту, 1989 г.), на Международной конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Н. Г. Чеботарева (г. Казань, 1994 г.), на Школе-конференции "Терия функций и ее приложения" (г. Казань, 1995 г.), на Втором европейском математическом конгрессе ЕСМ2 (г. Будапешт, 1996 г.), на Конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям EQUADIFF 9 (г. Брно, 1997 г.), на Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" (г. Одесса, 2000 г.), на Международных конференциях "Dynamical systems modelling and stability investigation" (г. Киев, 2001, 2003 гг.), на Научной конференции, посвященной 125-летию Казанского педагогического университета (г. Казань, 2001 г.), на Международной конференции по вычислительной математике и приложениям ENUMATH 2003 (г. Прага, 2003 г.), на Международной конференции "Алгебра и анализ", посвященной 200-летию Казанского государственного университета (г. Казань, 2004 г.), на Международной конференции "Conference on Differential & Difference Equations and Applications" (г. Мельбурн, Флорида, 2005 г.), на Международном конгрессе "World Congress of Nonlinear Analysts" (г. Орландо, Флорида, 2008 г.), на Международных конференциях имени академика М. Кравчука (г. Киев, 2004, 2006 гг.), а также на Итоговых научных конференциях Казанского государственного университета 1985-2003 гг. (г. Казань) и на научных семинарах "Теория аппроксимации и её приложения" при Казанском государственном университете (руководитель: профессор Б. Г. Габдул-хаев), "Геометрическая теория функций и краевые задачи" при НИИ механики и математики им. Н. Г. Чеботарева (руководитель: профессор Ф. Г. Авхадиев) и "Теория дифференцируемых функций многих переменных" при Математическом институте им. В. А. Стеклова (руководители: акад. С .М. Никольский, д.ф.- м.н. О .В. Бесов, д.ф.- м.н. Л. Д. Кудрявцев)

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [127] -[153] и [171] - [182].

Диссертационная работа выполнена в Казанском филиале Московского социально-гуманитарного института, но базой научной работы автора был и остается НИИ математики и механики им. Н. Г. Чеботарева при Казанском государственном университете.

Перейдем к более детальному изложению результатов диссертации.

Работа состоит из шести глав.

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней приведены определения основных понятий, используемых в дальнейшем изложении, а также основные обозначения. Даны определения и свойства пространств функций, удовлетворяющих условию Гёльдера, пространств функций, суммируемых с весом, а также одномерных и многомерных пространств Соболева. Затем приводятся система обозначений для регулярных и сингулярных интегралов с ядрами Коши и Гильберта и некоторые их свойства. Для всех видов сингулярных интегралов даны формулы Племеля-Сохоцкого. Показано, как изменяются эти формулы при переходе от одного функционального пространства к другому.

В §1.2 рассматриваются сингулярные интегральные и интегродифференциальные уравнения с ядром Гильберта в одномерном случае. Указываются свойства и условия разрешимости (если таковые имеются) этих уравнений.

В §1.3 приводятся свойства одномерных псевдодифференциальных уравнений в пространствах Соболева. Указывается связь между сингулярными интегральными и интегродифференциальными уравнениями с ядром Гильберта и псевдодифференциальными уравнениями в пространствах Соболева. Дается определение эллиптических псевдодифференциальных уравнений и указываются условия их разрешимости.

§1.4 посвящен основным свойствам двумерных сингулярных интегральных и интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта. Двумерный случай рассматривается лишь для простоты выкладок. Все приводимые здесь результаты без труда переносятся на случай п > 3, п Е М, измерений. Приводятся условия разрешимости для частных случаев уравнений.

В §1.5 рассматриваются сингулярные интегральные и интегродифференциальные уравнения с яром Коши на разомкнутом контуре. Для простоты изложения, а также из-за наличия многочисленных приложений, в качестве контура выбран отрезок [—1,1]. Дается определение индекса и канонической функции уравнения. Приводятся условия существования и единственности решения уравнений нулевого, положительного и отрицательного индексов.

Вторая глава посвящена исследованию аналитических квадратурно-разностных методов решения сингулярных интегродифференциальных уравнений. Здесь для одного частного класса уравнений приводятся простые достаточные условия существования и единственности точного решения и обосновывается квадратурно разностный метод решения основанный на аппроксимации точного решения периодическими сплайнами. Кроме того, для полных сингулярных интегродифферен-циальных уравнений обоснован полиномиальный метод коллокаций, в котором в качестве агрегата аппроксимации точного решения уравнения используются тригонометрические полиномы с кратными узлами.

В §2.1 содержатся необходимые сведения и леммы теории обоснования аналитических методов решения операторных уравнений в линейных нормированных пространствах. Приведем одну из лемм в формулировке работ [26, 27].

Пусть X и У - линейные нормированные пространства, а Хп С X и У„ С У (п = 1,2,.) - их линейные подпространства одинаковой размерности. Рассмотрим уравнения где А и Ап - линейные операторы, действующие из X в У и из Хп в Уп соответственно (А £ £(Х,У) и Ап £ £(ХП,УП), п £ М,).

Лемма 0.1. Пусть выполнены условия: а) оператор А : X —> У линейно обратим; б) ||А - Ап||х„->у 0 при п ->• оо; в) сИтХп = сИтУп < со, п — 1,2,.

Тогда при всех п, таких, что выполнены неравенства приближенное уравнение (0.2) имеет единственное решение ж* £ Хп при любой правой части уп £ Уп, причем п%п — 2/п) £ Хп, уп £

Ах = у, х £ X, у £ У

0.1) (0.2)

Если, кроме того, выполнено условие г) Ъ - Уп\\ 0 при п }■ оо, то приближенные решения х*п Е Хп сходятся к точному решению х* £ X по норме пространства X. При этом погрешность приближенного решения может быть оценена соотношением

II®* - <11 < ~ Уп\\ + Яп\\у\\).

1 ~ Яп

Лемма 0.1 является базовой при обосновании аналитических приближенных методов. С помощью этой леммы обоснование метода сводится, по-существу, к проверке двух условий: равномерной сходимости операторов, приближающих левую часть уравнения, и сходимости функций, приближающих правую часть. Однако это "удобство" обоснования обусловлено требованием Хп С X, сильно сужающим круг методов, допускающих такое обоснование. Таким образом, здесь имеет место обычная в математике ситуация, когда для более частного случая удается получить более красивые результаты. В главе 3 используется теория обоснования, в которой указанное выше условие заменено на значительно менее обременительное, но обоснование приближенных методов при этом оказывается более сложным.

В §2.2 для сингулярного интегродифференциального уравнения порядка га Е N вида xM(t) + mE^(t)x^(t) + / *М(т) ctg + 7 = y(t) (0.3) с условием

Г 2тг , ч о x(r)dr = 0, (0.4) где x(t) - искомая 27г-периодическая комплекснозначная функция, у -искомое комплексное число, au(t), bv(t), v = 0,1 , .,m — 1 и y(t) - известные комплекснозначные 27г-периодические функции, а сингулярные интегралы с ядром Гильберта

2тг

1 т — t ®М(г) ^ -^¿г, I/ = 0,1 понимаются здесь и далее в смысле главного значения по Коши-Лебегу, вначале получены достаточные условия существования и единственности точного решения (теорема 2.1), а затем обоснован квадратурно-разностный метод (теорема 2.2), основанный на аппроксимации точного решения парами вида хп = (жп,7п), где

- периодический сплайн порядка т, а 7„ - искомое комплексное число.

В уравнении (0.3) порядок старшей производной искомой функции вне сингулярного интеграла выше, чем порядок старшей производной этой функции под интегралом. Такие уравнения, хотя и содержат сингулярные интегралы, подчиняются теории интегральных уравнений Фредгольма, а не Нётера (см., напр., [103]). Обосновать тем же способом этот квадратурно-разностный метод для уравнений, имеющих равный порядок старших производных вне и под сингулярным интегралом, невозможно. Поэтому в §2.3 для таких уравнений построен и обоснован полиномиальный метод коллокации решения линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, полученный приближением точного решения тригонометрическими полиномами с кратными узлами. Приведем основной результат этого параграфа.

Рассмотрим сингулярное интегродифференциальное уравнение первого порядка п-ГОщ

0 = Е ъФШ

2п+8,

0.5)

-j 2тг K{t,r)x^(r)dr) =y(t) О с условием ж(0) = я(2тг), (0.6) где x(t) - искомая, av(t), bu(t), hv(t,r) (по обеим переменным), v = 0,1, и y{t) - известные непрерывные 27Г-периодические функции.

Приближенное решение задачи (0.5), (0.6) будем искать в виде тригонометрического полинома тъ

1 П-1 sin2 ~(t ~ t2k)

Xn(t) = -o E (x2к + x'2k sin(t - t2k))- t-u, » (0.7) n k=0 sin2 * 2 где ¿2Ь к = 0, l.,n — 1, - четные узлы сетки тг/с tk = -~, & = 0,1,., 2n — 1, (0.8) п 4 у а неизвестные коэффициенты х2к, х'2к, к = 0,1.,п — 1, полинома (0.7) найдем из системы линейных алгебраических уравнений (av(tk)xM(tk) + K(tk)(JxM)(tk) + (J°PL(Kx^))(tk)) = (0.9) v=0 y(tk), к = 0,1,., 2n- 1, где Pln - примененный по переменной г тригонометрический интерполяционный оператор Лагранжа по узлам (0.8), а

1 2тг

J°x = — f x(r)dr о регулярный интеграл. Доказана

Теорема 0.1. Пусть для задачи (0.5), (0.6) выполнены следующие условия:

А1 функции а^Ь), ^„(^т) (по обеим переменным), V — 0,1, и у{€) удовлетворяют условию Гёлъдера с некоторым показателем а е К, О < а < 1,

А2 а\{1) + ЪЦь) Ф О, г е [0,2тт], АЗ к = икЦа^) + гЬх(^)) = О,

А4 задача (0.5), (0.6) имеет единственное решение х*(Ь) £ Н^, при любой правой части у{£) £ Нр, О < (3 < а < 1.

Тогда при достаточно больших п система уравнений (0.9) однозначно разрешима и приближенные решения х*п(£) сходятся к точному решению х*(Ь) задачи (0.5), (0.6) по норме пространства Н^ при п оо со скоростью 1 х* - <||н(1) < сп-а+Р\пп, 0 < /3 < а < 1.

Третья глава диссертационной работы посвящена построению и исследованию квадратурно-разностных методов решения линейных и нелинейных сингулярных интегродифференциальных уравнений в пространствах Гёльдера и линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами и правой частью в пространствах квадратично суммируемых функций.

В §3.1 содержатся необходимые сведения и теоремы теории обоснования численных методов решения операторных уравнений в линейных нормированных пространствах. Сами эти теоремы и их использование для обоснования численных приближенных методов существенно сложнее, чем аналогичные теоремы теории обоснования аналитических методов. Это связано с тем, что здесь не предполагается выполнение условия Хп С X. Оно заменено более слабым условием наличия так

13десь и далее с обозначает вполне определенные постоянные, значения которых не зависят от п. называемых "связывающих отображений" (терминология Г. М. Вай-никко) рп : X —> Хп, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям, позволяющим определить различные виды сходимости как для элементов основных пространств, так и для определенных на них операторов.

Приведем две леммы этого параграфа в формулировках работ Г. М. Вайникко [12, 15].

Лемма 0.2. Следующие условия 1), 2) и 3) для операторов А Е £(Х,У) иАпе£{ХтУп), ПЕМ, равносильны:

1)Ап —> А регулярно, при почти всехп операторы Ап фредголъмовы с нулевым индексом, М{А) = {0};

2)Ап -4 А устойчиво, ЩА) = У;

3)Ап —У А устойчиво и регулярно.

Если выполнено какое-нибудь из условий 1),2) или 3), то существует оператор А~г Е £(Х, У), при почти всех п существуют операторы А~1 Е £(ХП, Уп) и А~г ОР-сходятся к А-1 устойчиво и регулярно.

Вновь рассмотрим операторные уравнения

Ах = у, х Е X, у Е У, (0.10)

Апхп = уп, хп Е Хп, уп Е У», (О'И)

Лемма 0.3. Пусть выполнено одно из (равносильных) условий 1),2) или 3) леммы 0.2 и пусть последовательность (уп)пеЩ> Уп £ 0,-сходится к у Е У. Тогда уравнение (0.10) имеет единственное решение х* = А~1у Е Х; уравнения (0.11) для всех достаточно больших п однозначно разрешимы и приближенные решения х*п = А~1уп Е Хп

V-сходятся к х* с оценкой с\\АпрпХ* - Уп\\у„ < ||< -РпХ* ||х„ < с\\АпрпХ* - Уп\\уп

В §3.2 обоснован квадратурно-разностный метод для полных линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта вида ^ (0.12) 1/=0 ^ о *

2тг о с условиями сс^(0) = ж^(2тг), у = 0,1,тп - 1, (0.13) где ж(£) - искомая, а/1„(£,т) (по обеим переменным), г/ = 0,1, .,т, и т/(£) - известные непрерывные 27г-периодические функции.

Вычислительная схема метода строится следующим образом. Выберем п Е N. Введем на [0,27т] сетку равноотстоящих узлов

2ттк tk =-, /г = 0,1,., п — 1. (0.14) п

Приближенное решение задачи (0.12), (0.13) будем искать в виде вектора

Хп = (Ж0,Ж1, .,жп1), (0.15) компоненты которого [хп]к = х^, к = 0,1,.,п— 1, - приближенные значения искомой функции в узлах (0.14) найдем из системы линейных алгебраических уравнений т А (+А п-1

Е ЫЬЖъ]к + Е (0.16) г/—° п 1=0

I 71— 1 н— Е ¿/Жхп]/) = к = 0,1,., п - 1. п г=о

Здесь v = 0,1, .,m, - формулы численного дифференцирования, определенные на сетке (0.14)

27Г xn]fc =/г " XI Cvjxk+j,h = —, V = 0,l,.,m, (0.17)

-Г„ П fc+i+n, & + j < 0 с = 0,1, .,n — 1, xk+j—nj к + j > 72, n) а коэффициенты квадратурных сумм = Щ-ь k,l = 0,1,.,п — 1, равны

Ы г ГТГ Г7Г , ar = i^g r ~ четно? — ctg тг—, i* — нечетно), п — нечетно;

2 п 2 п

Т* 7Г с/71) = {0, г — четно, 2 ctg —, г — нечетно}, п — четно.

2п

Сформулируем основной результат этого параграфа.

Теорема 0.2. Пусть для задачи (0.12), (0.13) и вычислительной схемы (0.14) ~ (0.17) выполнены следующие условия:

AI функции au(t), bv{t), hu(t,r) (по обеим переменным), v = 0,1,., т, и y(t) удовлетворяют условию Гёлъдера с некоторым показателем а G R, 0 < а < 1,

А2 a2m(t) + b2m{t) ф 0 на [0,2тг], A3 к = ind(am(t) - ibm(t)) = ind(am(t) + ibm(t)) = 0, A4 задача (0.12), (0.13) имеет единственное решение x*(t) Е Н^ при любой правой части y(t) £ Н^, ß Е R, 0 < ß < а,

В1 формулы численного дифференцирования D^xn, v = 0,1,.,т, сходятся,

В2 характеристические значения оператора D™ по модулю отличны от 1.

Тогда при достаточно больших п система уравнений (0.16) однозначно разрешима и приближенные решения х* сходятся к точному решению x*(t) задачи (0.12), (0.13) при п —> оо со скоростью

ХП -PnX*\L(m) < с(п"а+/3 In п + £п), п где п = 0<1<ш WD"PnX* ~ ЯпХ*И\\Н/},„.

В §3.3 строится и обосновывается квадратурно-разностный метод для нелинейного сингулярного интегродифференциального уравнения вида

F(t, x^m\t),., x{t), (Jz(m>)(£),., (Jx)(t), (0.18)

J°hmxW)(t),.,(J°h0x)(t)) = y(t), с условиями a>)(0) = ж(г/>(2тг), i/ = 0,l,.,m-l, (0.19) где x(t) - искомая, F(t, ит,., u0i vm,., v0, wm,., wq), hu(t,r), = 0,1,.,m и ?/(i) - известные 27г-периодические по переменным ¿иг непрерывные функции своих аргументов, J и J0 обозначают, как и выше, сингулярный интеграл с ядром Гильберта и регулярный интеграл соответственно.

Вычислительная схема метода строится следующим образом. Выберем п 6 N. Введем на [0,27т] сетку равноотстоящих узлов

2тгк =-, к = 0,1,.,п- 1. (0.20) п

Приближенное решение задачи (0.18), (0.19) будем искать в виде вектора хп = (х0, хи ., zni), (0.21) компоненты которого [хп]а; = = — 1,- приближенные значения искомой функции в узлах (0.20) найдем из системы нелинейных алгебраических уравнений

F(tk,[DZxn]k,.i[Dfrn]k, (0.22) 71— 1 \ 71—1

Е ajfe-i^jxn]/,.,- £ ajfc-zI-DjxJi, ™ ьо п 1=о

- ЕМ^^Жх»]/»-»- E/lo(ibiz)[^nXn]/) = y(tk), п 1=0 п 1=0 к = 0,1,., п — 1.

Здесь, как и в (0.16), и = 0,1,., т, - разностные операторы, определяемые формулами численного дифференцирования (0.17), а значения коэффициентов ak~i = как и в предыдущем параграфе, равны п) г Г7Г Г 7Г . ar = i^g Т^-? r — четно, — ctg —, г — нечетно j, п — нечетно; 2 п 2гг

7* 7Г о;^ = {0, г — четно, 2 ctg —, г — нечетно}, п — четно.

2 п

Для вычислительной схемы (0.20) - (0.22) задачи (0.18), (0.19) справедлива следующая

Теорема 0.3. Пусть выполнены следующие условия:

AI функции hu(t,T) (по обеим переменным), v = 0, 1,.,га, и y(t) удовлетворяют условию Гёлъдера с некоторым показателем а 6 R, 0 < а < 1,

А2 задача (0.18), (0.19) в некотором шаре пространств а Нд7^ имеет единственное решение x*{t) Е /3 Е 0 < ß < а < 1,

A3 функция F(t, ит: vm,., vo, wm,., г^о) непрерывно дифференцируема по переменным uv, vv, wv, v = 0,1,.,m, в области t |< oo, | uv- x^v\t) |< c, \vv- (Jx^v))(t) \< c, w„ - (J°hvx*(v))(t) |< c, v = 0,1,., m, и ее частные производные F'u , F'Vv, F'Wv, v = 0,1, .,m, удовлетворяют условию Гёлъдера с показателем а по переменной t и условию Липшица по переменным ии, vv, wv, v = 0,1,., т, А4 !£(**)Ока [0,2тг], A5K = ind (Fl(x*) + iF>m(x*)) = 0, А6 линеаризованная задача т

E(JS>V"(0 + Fi(x')(JwM)(t) + КХ^Кх^Щ) = О, (0.23) хМ(2тг), v = 0,1, .,m - 1, (0.24) имеет в Н^ лищъ нулевое решение,

В1 формулы численного дифференцирования D^xn, и — 0,1,.,т, сходятся,

В2 характеристичекие значения оператора D™ по модулю отличны от 1.

Тогда при достаточно больших п система уравнений (0.22) однозначно разрешима в некотором шаре и * и ^

Р^П РпХ Ti(ra)

3,п и приближенные решения х* £ Н^ сходятся к точному решению x*(t) £ Н^ задачи (0.18), (0.19) при п со со скоростью х* -рпх*\\ (га) < с(п а+/31пп + еп),

3,п где п = 0™<т ~ 9»®#НЦнЛ-

В §3.4 предложен и обоснован квадратурно-разностный метод решения линейного сингулярного интегродифференциального уравнения в пространстве квадратично суммируемых функций. При этом коэффициенты характеристической части удовлетворяют условию Гёльдера с некоторым показателем 0 < а < 1, а остальные коэффициенты и правая часть уравнения могут иметь интегрируемые разрывы. Точным решением уравнения в этом случае будет функция, старшая производная которой квадратично суммируема.

В вычислительной схеме метода, в отличие от метода, рассмотренного в §3.2, используются не значения коэффициентов в узлах, а их средние значения (по Стеклову) на промежутке между узлами.

Доказана разрешимость метода и получена оценка погрешности приближенного решения

171 1 1 vv2,n j,g Tl П п = max ||D^pnx* - qnx*iu)||L ,

0<и<.т 2тг

Wr{hvi8)2 = || sup {/ I hv(t,T + h) - hv{t,r) I2 dr}1*||l2. o<tj<s 5

В четвертой главе рассматриваются приближенные методы решения псевдодифференциальных уравнений. Псевдодифференциальные уравнения являются обобщением сингулярных интегродифференциальных уравнений и наследуют их свойства. Поэтому результаты по приближенным методам решения последних могут быть перенесены на случай псевдодифференциальных уравнений. В то же время псевдодифференциальные уравнения рассматриваются в пространствах Соболева, что позволяет получать более сильные результаты, не имеющие аналогов в других пространствах.

В §4.1 приводятся вспомогательные результаты, необходимые для обоснования полиномиального метода коллокаций. В частности, доказывается равносильность полиномиального метода коллокаций и модифицированного метода Галеркина. Кроме того, доказывается следующая лемма об ограниченности в пространствах Соболева интерполяционного оператора Лагранжа.

Обозначим На пространство Соболева порядка я £ К, я > 1/2, а Рп - тригонометрический интерполяционный оператор Лагранжа порядка п £ М0.

Лемма 0.4. Справедлива оценка

Рп||н^н-<\/1 + С(25)5 пЕМо, где т = е дзета-функция Римана, ограниченная и убывающая при Ь > 1.

В §4.2 обосновывается полиномиальный метод коллокации для сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта. Однако сам сингулярный интеграл с ядром Гильберта в тексте этого параграфа не присутствует, потому что, как показал М. С. Агранович [3], сингулярный интегральный оператор с ядром Гильберта в пространствах Соболева равен, с точностью до вполне непрерывного слагаемого, разности операторов проектирования в ряды Фурье по положительным и отрицательным индексам. Поэтому здесь сингулярный интегральный оператор представляется именно в таком виде.

Доказано, что полиномиальный метод коллокаций для сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта в пространствах Соболева имеет погрешность порядка наилучшего приближения точного решения, то есть является оптимальным по порядку.

В §4.3 результаты предыдущего параграфа обобщаются на случай псевдодифференциальных уравнений, а в §4.4 - на случай систем псевдодифференциальных уравнений.

В пятой главе обосновывается кубатурно-разностный метод для многомерных сингулярных интегродифференциальных уравнений в периодическом случае.

В §5.1 проводится исследование аппроксимативных свойств интерполяционного оператора Лагранжа в многомерном пространстве Соболева. Показано, что в отличие от одномерного случая, где норма этого оператора ограничена, в многомерном случае норма оператора зависит от выбора числа узлов по каждой переменной. Поэтому для сходимости интерполяционного полинома к интерполируемой функции наилучшим является случай равного количества узлов по каждой переменной.

В §5.2 обосновывается кубатурно-разностный метод для полного двумерного сингулярного интегродифференциального уравнения вида

АВх)(Ь) + (Тх)(1) = </«, t = (*(*>, *(2)) е [-7Г,7Г]2, где А - двумерный сингулярный интегральный оператор

Ах = аоо(*;)2:(1;) + а01^)(701®)(1) + аю^)(7ю + ап^е/пя)^) с сингулярными интегралами

•Мф = ± / х^Ч.^йв^^г«,

7Г

7Г (1) /(1) 7Г

7Г — 7Г понимаемыми в смысле главного значения по Коши-Лебегу, В - эллиптический дифференциальный оператор

Вх= Е М1)(£к+У)(1) к|=|1|=т с обобщенными производными к = Вк2Вк\ порядка к = (кък2) 6 N0, а Т - известный линейный оператор. Доказывается сходимость метода и получаются оценки погрешности приближенного решения.

Шестая глава посвящена разработке и обоснованию квадратурно-разностного метода решения сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Коши на разомкнутом контуре.

В §6.1 квадратурно-разностный метод строится и обосновывается для уравнений нулевого индекса вида где ж(£) - искомая, аи{Ь), Ь^Ь), г), V = 0,1 ,.т, /(¿) - известные непрерывные функции своих аргументов £,т 6 [—1,1], Ьт(£) является полиномом степени щ > 0.

В §6.2 указываются изменения в постановке, вычислительной схеме и обосновании метода в случае уравнений положительного и отрицательного индексов.

Остановимся на некоторых моментах, которые важны при чтении текста. Вся диссертация разбита на шесть глав, каждая из которых разбита на параграфы. Параграфы внутри каждой главы имеют независимую нумерацию. Первая глава носит вспомогательный характер. В ней приведены определения основных понятий, используемых в с начальными условиями 0, V = 0,1,., т- 1, -1 < 6 < 1, дальнейшем изложении, а также основные обозначения. Каждая глава, начиная со второй, начинается с краткого изложения истории возникновения и развития задач, рассматриваемых в этой главе. Здесь же даны ссылки на оригинальные работы других авторов. Номера формул состоят из номера главы, номера параграфа и непосредственно номера формулы внутри параграфа. В леммах и теоремах, касающихся обоснования приближенных методов для классов задач буквами А1, А2, . обозначены условия, налагаемые на задачу, буквами В1, В2, . -условия, налагаемые на метод решения. В тексте использованы сокращения: СИУ - сингулярное интегральное уравнение, СИДУ - сингулярное интегродифференциальное уравнение, ПДУ - псевдодифференциальное уравнение, КРМ - квадратурно-разностный метод, СЛАУ -система линейных алгебраических уравнений, СНАУ - система нелинейных алгебраических уравнений.

Прежде чем перейти к изложению материала, автор хотел бы отметить роль его учителей и коллег. Первым учителем и наставником автора по рассматриваемому направлению был Б. Г. Габдулхаев. Под его влиянием и при непосредственном участии были сформированы научные интересы и стиль автора. На его семинарах были доложены и обсуждены основные результаты диссертации. Плодотворные обсуждения и сотрудничество с Ф. Г. Авхадиевым, И. Р. Каюмовым, Р. Г. Са-лахудиновым и другими сотрудниками НИИ математики м механики им. Н. Г. Чеботарева стимулировали исследования и способствовали более глубокому пониманию проблем и решению новых задач.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Федотов, Александр Иванович

210 — ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Несмотря на то, что данная диссертационная работа посвящена разработке и обоснованию квадратурно-разностных методов решения сингулярных интегродифференциальных уравнений, автор хотел бы рассматривать ее как вклад в построение новой математической теории, а именно "теории методик обоснования приближенных методов решения операторных уравнений". Слово "методики" выбрано здесь, с одной стороны, из стилистических соображений, чтобы не повторялось дважды слово "методы". С другой стороны, приближенный метод решения уравнения - это обычно небольшое по объему (в рамках одной статьи) описание технических вычислительных приемов и базовых теоретических идей метода, а каждая методика обоснования - это самостоятельная теория, изложенная обычно в монографиях и поддержанная многочисленными статьями с примерами ее применения.

Для того, чтобы выяснить место и роль теории методик обоснования приближенных методов решения операторных уравнений среди других математических теорий, попробуем проследить развитие методики обоснования от, так сказать, "гносеологических корней".

Отправным пунктом создания методики обоснования приближенного метода является появление нового уравнения или, в широком смысле, задачи. Новые задачи (уравнения) появляются обычно в результате прикладных исследований и являются, по мнению их авторов, описаниями каких-то реально происходящих процессов. Понятно, что в момент возникновения уравнения его теория еще отсутствует и существование и единственность решения обосновываются исходя из свойств того процесса, которое это уравнение описывает.

Хотя новые уравнения получают обычно не математики, а специалисты прикладных дисциплин, они с успехом решают их приближенно, выбирая приближенный метод из имеющихся или изобретая новый метод интуитивно. И здесь необходимо отметить, что интуиция редко подводит прикладников (механиков, физиков и т. п.), потому что математики позже обычно лишь подтверждают, со всей математической строгостью, что метод выбран верно. Задача (уравнение) решается на компьютере численно, и сходимость определяется a posteriori, то есть по получаемым числовым последовательностям приближенных решений. Поэтому на этом этапе, при решении конкретных уравнений, необходимости в обосновании приближенного метода нет.

Если уравнения этого вида подтверждают со временем свою эффективность при решении прикладных задач и/или оказываются интересными с математической точки зрения, то математики изучают их свойства, то есть строят их теорию. Построение теории класса уравнений происходит, когда уже решено большое число конкретных уравнений, то есть хронологически значительно позже. Для прикладников теория уравнений интереса к этому моменту уже не представляет, так как важные с их точки зрения конкретные уравнения уже решены, и ее построение является результатом внутреннего (диалектического) развития самой математики.

Обоснование приближенного метода решения для некоторого класса операторных уравнений, то есть развитие теории приближенных методов, является следующим витком в этой диалектической спирали. Обоснование существенно использует теорию уравнений и имеющиеся прикладные результаты по использованию метода. Обоснование приближенного метода, как доказательство его разрешимости, сходимости, и получение оценки погрешности приближенного решения, также является результатом внутреннего развития математики и отстоит от практического решения конкретных уравнений еще дальше, чем построение их теории. Одна из причин этого в том, что большинство получаемых в теории приближенных методов оценок скорости сходимости методов являются порядковыми. Они содержат "слепые" (невы-числяемые) константы, которые не позволяют получить конкретную (числовую) оценку погрешности для конкретного уравнения. Поэтому для прикладников теории приближенных методов представляют интерес лишь постольку, поскольку подтверждают давно полученные ими численные результаты. Однако для решения вновь получаемых уравнений они бесполезны.

Таким образом, этапы развития методики обоснования приближенных методов можно кратко изобразить в виде следующей последовательности: 1) задача (уравнение), 2) приближенный метод решения, 3) теория класса уравнений типа 1, 4) обоснование приближенных методов решения класса 2 для уравнений класса 1.

Одной из первых методик обоснования, используемой в основном для обоснования разностных методов решения дифференциальных уравнений и не сохранившей имени автора, была методика "аппроксимация плюс устойчивость" [44]. Суть этой методики в том, что сходимость приближенного метода является следствием аппроксимации оператора левой части исходного уравнения оператором приближенного метода и устойчивости последнего. Поэтому доказательство сходимости метода состоит из доказательства аппроксимации приближающим оператором точного оператора и устойчивости приближающего оператора. Широко используемые в настоящее время методики обоснования приближенных методов, такие, как теории Г. М. Вайникко, Б. Г. Габдулхаева и Л. В. Канторовича, имеют в своей основе ту же идею, дополненную набором теорем, указывающих, как именно доказывать аппроксимацию и устойчивость операторов, и многочисленными результатами-примерами обоснования конкретных методов для конкретных классов уравнений. Эти теории строились путем обобщения конкретных приближенных методов, и эти исходные методы легко угадываются даже в самых общих теоремах этих теорий.

Так, Г. М. Вайникко [12] начинал построение теории с обоснования конечно-разностных методов решения дифференциальных уравнений. Поэтому его теория хорошо работает при обосновании приближенных методов решения именно дифференциальных уравнений. А для интегральных уравнений ему пришлось создать так называемый "второй вариант" теории [12], который в его монографию [15] и обзорную работу [16] даже не был включен.

Теория Л. В. Канторовича [78] начиналась с обоснования приближенных методов решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода, и для обоснования приближенных методов решения дифференциальных уравнений она менее удобна.

Теория приближенных методов, построенная Б. Г. Габдулхаевым [37], начиналась с обоснования приближенных методов решения сингулярных интегральных уравнений как обобщения интегральных уравнений второго рода и является в этом смысле обобщением теории Л. В. Канторовича. И так же, как последняя, менее удобна для обоснования приближенных методов решения дифференциальных уравнений.

Понятие "удобства" теории, конечно, не может быть формализовано. Но каждый, кто пробовал приближенно вычислять производные высоких порядков от функции, заданной значениями в узлах некоторой сетки, во-первых, дифференцируя интерполяционный полином или сплайн, и, во-вторых, в виде конечных разностей, легко поймет, что имеется в виду.

Н. Б. Плещинский указал на различия и общие черты "абстрактной приближенной схемы" В. А. Треногина [125] и "общей теории приближенных методов" Л. В. Канторовича [76, 77]. В работе [107] он построил свою "абстрактную теорию приближенных методов решения линейных операторных уравнений" являющуюся синтезом двух вышеназванных теорий.

Возникает вопрос, каким методом решать сингулярные интегродиф-ференциальные уравнения и какой теорией пользоваться для обоснования этого метода. Необходим гибридный метод, в котором производные аппроксимировались бы конечными разностями, а интегралы - квадратурными суммами, полученными интегрированием интерполирутцих агрегатов. Но такой метод не может быть обоснован в рамках какой-либо одной из вышеперечисленных теорий.

В работе [133] был обоснован квадратурно-разностный метод решения сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта в периодическом случае. Производные аппроксимировались простыми конечными разностями, а интегралы - квадратурами, полученными при интегрировании интерполяционных полиномов. Для обоснования использовались как результаты Б. Г. Габдулхаева 7 (для обращения оператора, аппроксимирующего характеристическую часть уравнения), так и результаты Г. М. Вайникко (для обоснования обратимости разностного уравнения). Была доказана разрешимость метода, и показано, что скорость его сходимости зависит от гладкости точного решения и точности используемых для аппроксимации производных формул численного дифференцирования. При этом, если квадратурные формулы, аппроксимирующие интегралы, "автоматически" реагируют

7Отметим, что эти исследования проводились автором по инициативе и под руководством проф. Б. Г. Габдулхаева. на увеличение гладкости точного решения, то есть их оценка погрешности улучшается с увеличением гладкости неограниченно, то конечные разности имеют фиксированный порядок аппроксимации, и для получения скорости сходимости соответствующей гладкости точного решения надо использовать формулы численного дифференцирования подходящей точности.

Отметим, что Б. Г. Габдулхаевым [30] был предложен и обоснован (в рамках только теории Габдулхаева) квадратурно-разностный метод для решения сингулярных интегродифференциальных уравнений первого порядка специального вида. Приближенные решения при этом отыскивались в виде сплайнов, и разностные формулы получались как значения производной сплайна в узлах сетки. Однако, как было показано автором в [127], такой подход построения квадратурно-разностных методов неудобен для решения уравнений порядка выше 3, так как, как было указано выше, вычисление значений производных от сплайнов высоких порядков в узлах весьма затруднительно, а получающиеся при этом конечные разности имеют вычурный вид и неудобны для расчетов.

В работе [131] построен и обоснован квадратурно-разностный метод, основанный на аппроксимации точного решения кратными тригонометрическими интерполяционными полиномами Э. О. Зееля [61]. Однако этот результат также оказался неперспективным, так как вычислительная схема этого метода оказалась неоправданно сложной.

Таким образом, наиболее перспективным и естественным для построения квадратурно-разностных методов при решения сингулярных интегродифференциальных уравнений оказалась аппроксимация производных конечными разностями подходящей точности, а интегралов, регулярных и сингулярных, - квадратурами, полученными интегрированием интерполяционных полиномов. При этом для обоснования построенных методов приходится привлекать как результаты теории Г. М. Вайникко, так и результаты теории Б. Г. Габдулхаева. Эти результаты были обобщены автором в работах [135], [136] на уравнения с разрывными коэффициентами и на нелинейные сингулярные интег-родифференциальные уравнения.

Все перечисленные результаты получены для решения сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, то есть в периодическом случае. Непериодический случай как с точки зрения теории уравнений, так и с точки зрения приближенных методов их решения значительно более сложен и не может быть сведен к периодическому. Так, если при решении уравнений с ядром Гильберта используется единая равномерная сетка узлов для построения формул численного дифференцирования, квадратурных формул и узлов коллокации, то для уравнений с ядром Коши приходится использовать две различные сетки узлов - корней полиномов специального вида. В случае уравнения с ядром Гильберта задача ставится в пространствах Гельдера, поэтому для обоснования используется обычная методика компактной аппроксимации Вайникко, и скорость сходимости метода растет с увеличением гладкости коэффициентов и правой части уравнения неограниченно. В случае же уравнения с ядром Коши старшая производная искомой функции имеет, вообще говоря, интегрируемые особенности на концах контура, поэтому задача ставится в пространствах квадратично суммируемых с весами функций, для обоснования применяется так называемый "второй вариант" теории Вайникко, а скорость сходимости метода ограничена порядком гладкости искомой функции и коэффициентов уравнения. Кроме того, в непериодическом случае приходится рассматривать не только классы уравнений нулевого (как в периодическом случае), но и положительных, и отрицательных индексов. При этом как в вычислительную схему, так и в обоснование приходится вносить некоторые изменения [140], [173].

Все эти результаты показывают, что, несмотря на развитость и разработанность теорий Г. М. Вайникко, Б. Г. Габдулхаева и Л. В. Канторовича, имеются уравнения и методы их решения, для обоснования которых этих теорий (методик) недостаточно и, следовательно, необходимо продолжать исследования по разработке новых методик обоснования.

В последние 30 - 40 лет широкое распространение получила теория псевдодифференциальных уравнений (см., например, [123], [124], [161]). Вначале она разрабатывалась как обобщение теории дифференциальных уравнений в частных производных, но позже оказалась удобным инструментом для обобщения теорий регулярных и сингулярных ин-тегродифференциальных уравнений. Действительно, псевдодифференциальный оператор можно рассматривать как обобщение дифференциального и интегрального. Их различие выражается только в знаке показателя символа оператора. Для дифференциального оператора показатель положительный, а для интегрального - отрицательный. Более того, как показал М. С. Агранович [3], в одномерном случае любой (классический) псевдодифференциальный оператор является (с точностью до вполне непрерывного слагаемого) сингулярным интегродиффе-ренциальным оператором.

В работе [163] Д. Арнольд и В. Вендланд предложили оригинальную методику обоснования метода сплайн-коллокаций для сильно эллиптических псевдодифференциальных уравнений путем сведения его к нестандартному методу Галеркина. Автором в работе [174] была построена аналогичная методика обоснования метода полиномиальной коллокации. При этом оказалось, что метод полиномиальной коллокации имеет в этом случае ряд преимуществ перед методом сплайн-коллокации. Так, метод полиномиальной коллокации сходится для всех однозначно разрешимых эллиптических уравнений, а не только сильно эллиптических, как в случае метода сплайн-коллокаций. Метод полиномиальной коллокации не имеет насыщения, то есть порядок его сходимости растет с увеличением гладкости точного решения неограниченно, в то время как скорость сходимости сплайн-метода ограничена гладкостью самих сплайнов. Наконец, полиномы более удобны, чем сплайны, для вычисления сингулярных интегралов с ядром Гильберта.

Эти результаты, полученные в рамках теории псевдодифференциальных операторов, казалось, давали возможность перейти к рассмотрению и обоснованию приближенных методов для многомерных уравнений. Оказалось, однако, что переход от одномерного случая к многомерному не количественный, а качественный, то есть многие результаты, полученные для одномерного случая, не имеют многомерных аналогов. В частности, как сама теория многомерных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений, так и теория приближающих операторов в многомерном случае, недостаточно разработаны для получения результатов, аналогичных результатам в одномерном случае. Поэтому полученные результаты [177] оказались применимы лишь для некоторого, весьма узкого, класса уравнений. А порядок скорости сходимости оказался ограниченным даже для гладких решений, так как нет аналогичных одномерным критериев обратимости многомерных разностных операторов.

Для обобщения результатов работы [174] на многомерный случай потребовалось получить оценку нормы интерполяционного оператора Лагранжа в многомерном пространстве Соболева. Однако даже здесь различия между одномерным и многомерным случаями оказались весьма существенными. Так, если в одномерном случае оператор Лагранжа ограничен, то в многомерном случае оценка его нормы зависит от соотношения числа узлов по разным осям, то есть если число узлов по всем осям одинаковое, то оценка нормы остается ограниченной. В противном случае она возрастает. Это, в свою очередь, означает, что на оценку скорости сходимости последовательности интерполяционных полиномов влияет выбор последовательности мультииндексов, состоящих из числа узлов по каждой оси. При одном выборе этой последовательности полиномы будут сходиться с одной скоростью, при другом, возможно, не будут сходиться вовсе.

Исследования приближенных методов решения псевдодифференциальных уравнений, а также указанные выше частные результаты наводят на мысль о том, что дальнейшее развитие теории методик обоснования приближенных методов должно происходить в направлении "метод - класс разрешимых им уравнений". В пользу этого говорят и следующие соображения.

Изучение имеющейся обширной литературы по приближенным методам решения операторных уравнений позволяет сделать вывод о том, что имеется множество "результатов-близнецов". То есть после появления результата об обосновании какого-либо метода для уравнения появляется статья, в которой этот метод обосновывается для слегка измененного уравнения. Ясно, что, во-первых, таких "малых" изменений уравнений, а следовательно, и результатов по обоснованию одного и того же метода для них может быть получено сколь угодно много. А во-вторых, что все эти результаты являются частными случаями одного общего результата, полученного для данного метода и всего класса разрешимых им уравнений. Значит, необходимо перейти от исследования типа "класс уравнений - обоснование метода" к исследованию "метод - класс разрешимых им уравнений". Причем результаты такого типа должны формулироваться в терминах "необходимо и достаточно". Здесь под достаточностью мы понимаем доказательство того, что фиксированный метод сходится для уравнений данного класса. А под необходимостью - описание класса уравнений, для которых данный метод сходится. Говоря коротко, "достаточность": дан класс уравнений -доказать сходимость метода; "необходимость": метод сходится - описать класс уравнений.

Систематизация результатов теории приближенных методов по критерию "метод - класс разрешимых им уравнений" была бы, по нашему мнению, наиболее полной и законченной. А результаты такого типа были бы пятым и последним звеном в цепочке: уравнение - приближенный метод решения - теория уравнений этого класса - обоснование метода для класса уравнений - описание класса уравнений, для которых этот метод сходится.

Для таких исследований необходим аппарат описания классов уравнений, к которым применим тот или иной метод. Псевдодифференциальные уравнения являются таким классом для метода Галеркина. Однако уже для метода коллокаций он не подходит, так как здесь необходима непрерывность правой части, а наличие скалярного произведения необязательно. Поэтому результат работы [174] о сходимости метода коллокаций для всех однозначно разрешимых псевдодифференциальных уравнений, хотя и является одним из результатов типа "метод -класс разрешимых им уравнений", получен для некоторого сужения класса уравнений из-за дополнительного условия гильбертовости.

Можно сформулировать проблемы, которые, на наш взгляд, необходимо решить в первую очередь для дальнейшего развития теории методик обоснования приближенных методов:

• разработка аппарата описания наиболее широких классов уравнений, разрешимых тем или иным методом, и получение необходимых и достаточных условий сходимости методов для данных классов уравнений;

• обоснование приближенных методов решения многомерных псевдодифференциальных уравнений;

• построение теории операторных уравнений, аналогичных псевдодифференциальным в пространствах без скалярного произведения.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Федотов, Александр Иванович, 2011 год

1. Агачев, Ю. Р. Сплайновые приближения решений интегральных и дифференциальных уравнений : дисс. . канд. физ.-мат. наук : 01.01.01 : защищена 24.03.88 : утв. 15.08.88 / Агачев Юрий Романович. - Казань, 1987. - 144 с. - Библиогр.: с. 134-144.

2. Агачев, Ю. Р. Сходимость метода подобластей и одного "смешанного" метода для интегральных и дифференциальных уравнений / Ю. Р. Агачев ; Казан, ун-т. Казань, 1986. - 48 с. - Библиогр.: с. 48. - Деп. в ВИНИТИ 17.8.86, №9039 - В86.

3. Агранович, М. С. Спектральные свойства эллиптических псевдодифференциальных операторов на замкнутой кривой / М. С. Агранович // Функциональный анализ и его приложения. 1978. - Т. 13. - Вып. 4. - С. 54-56.

4. Афендикова, Н. Г.О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений / Н. Г.Афендикова, И. К. Лифанов, А. Ф. Матвеев// Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23, №8. - С. 1392-1402.

5. Ахмадиев, М. Г. Прямые методы решения одного сингулярного интегро-дифференциального уравнения / М. Г. Ахмадиев // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, №3. - С. 482-488.

6. Бабаев, А. А. Обоснование метода квадратур для нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта / А. А. Бабаев, С. М. Мальсагов, В. В. Салаев // Уч. зап. Азерб. ун-т. сер. физ.-мат. наук. 1971. - №1. - С. 13-33.

7. Бабаев, А. А. О сходимости одного численного процесса для нелинейных сингулярных интегральных уравнений / А. А. Бабаев, Б. И. Мусаев// Доклады АН АзССР. 1971. - Т. 27, №2. - С. 3-7.

8. Белоцерковский, С. М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях / С. М. Белоцерковский, И. К. Лифанов. -М.: Наука, 1985. 254 с.

9. Берс, Л. Уравнения с частными производными / Л. Берс, Ф. Джон, М. Шехтер. М.: Мир, 1966. - 351 с.

10. Вайникко, Г. М. Компактная аппроксимация операторов и приближенное решение уравнений / Г. М.Вайникко. Тарту: Изд-во Тартуского ун-та, 1970. - 192 с.

11. Вайникко, Г. М. О сходимости квадратурно-разностного метода для линейных интегро-дифференциальных уравнений / Г. М. Вайникко // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 1971. - Т. 11, №3. - С. 770-776.

12. Вайникко, Г. М. О сходимости разностного метода в задаче о периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений / Г. М. Вайникко // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 1975. - Т. 15, №1. - С. 87-100.

13. Вайникко, Г. М. Анализ дискретизационных методов / Г. М. Вайникко. Тарту: Изд-во Тартуского ун-та, 1976. - 161 с.

14. Вайникко, Г. М. Регулярная сходимость операторов и приближенное решение уравнений / Г. М. Вайникко // Итоги науки и техники. Сер. матем. анализ, Т. 16. М.: ВИНИТИ, 1976. С. 15-33.

15. Вайникко, Г. М. О сходимости приближенных методов решения линейных и нелинейных операторных уравнений / Г. М. Вайникко, О. О. Карма // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1974. - Т. 14, №4. - С. 828-837.

16. Вайникко, Г. М. Сходимость разностного метода в задаче о периодических решениях уравнений эллиптического типа / Г. М. Вайникко, Э. Э. Тамме // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1976. - Т. 16, №3. - С. 652-664.

17. Векуа, И. Н. Об одной линейной граничной задаче Римана / И. Н. Векуа // Труды Тбилисс. мат. ин-та АН ГССР. 1942. -Т. 11. - С. 109-139.

18. Векуа, И. Н. Об интегро-дифференциальном уравнении Прандтля / И. Н. Векуа // Прикл. мат. и мех. 1945. - Т. 9, №2. - С. 143-150.

19. Векуа, Н. П. Об одной системе сингулярных интегро-дифференциальных уравнений и ее приложениии в граничных задачах линейного сопряжения / И. Н. Векуа // Труды Тбилисс. мат. ин-та АН ГССР. 1957. - Т. 24. - С. 135-147.

20. Векуа, Н. П. Задача Коши для сингулярного интегро-дифферен-циального уравнения / И. Н. Векуа // Сообщения АН ГССР. -1959. Т. 22, №6. - С. 641-648.

21. Владимиров, В. С. Задача линейного сопряжения голоморфных функций / В. С. Владимиров // ИАН СССР, сер. матем. 1965. -Т. 29, №4. - С. 807-834.

22. Владимиров, В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных / В. С. Владимиров. М.: Наука, 1968. - 412 с.

23. Габдулхаев, Б. Г. Об одном прямом методе решения интегральных уравнений / Б. Г. Габдулхаев // Изв. вузов. Математика. 1965.- №3. С. 51-60.

24. Габдулхаев, Б. Г. Некоторые вопросы терии приближенных методов IV / Б. Г. Габдулхаев // Изв. вузов. Математика. 1971. - №6.- С. 15-23.

25. Габдулхаев, Б. Г. Прямые методы решения уравнения теории крыла / Б. Г. Габдулхаев // Изв. вузов. Математика. 1974. - №22. -С. 29-44.

26. Габдулхаев, Б. Г. Аппроксимация в Л-пространствах и приложения / Б. Г. Габдулхаев // ДАН СССР. 1975. - Т. 223, №6. - С. 12931296.

27. Габдулхаев, Б. Г. Сплайн-методы решения одного класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений / Б. Г. Габдулхаев // Изв. вузов. Математика. 1975. - №6. - С. 14-24.

28. Габдулхаев, Б. Г. Приближенное решение многомерных сингулярных интегральных уравнений, 1,11 / Б. Г. Габдулхаев // Изв. вузов. Математика. 1975. - №7. - С. 30-41; Изв. вузов. Математика. -1976. - №1. - С. 30-41.

29. Габдулхаев, Б. Г. Решение нелинейных сингулярных интегральных уравнений методом редукции / Б. Г. Габдулхаев, В. Е. Горлов // Изв. вузов. Математика. 1976. - №2. - С. 3-13.

30. Габдулхаев, Б. Г. Квадратурные формулы с кратными узлами для сингулярных интегралов / Б. Г. Габдулхаев // ДАН СССР. 1976. - Т. 227, №3. - С. 531-534.

31. Габдулхаев, Б. Г. Компактная аппроксимация одного класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений / Б. Г. Габдулхаев // Математический анализ. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1979. -С. 24-32.

32. Габдулхаев, Б. Г. Полиномиальные аппроксимации по В. К. Дзя-дыку решений сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений / Б. Г. Габдулхаев // Изв. вузов. Математика. 1978. - №6. С. 51-62.

33. Габдулхаев, Б. Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и ин-тегро-дифференциальных уравнений / Б. Г. Габдулхаев // Итоги науки и техники. Сер. мат. анализ, Т. 18. М.: ВИНИТИ, 1980. С. 251-307.

34. Габдулхаев, Б. Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач / Б. Г. Габдулхаев. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980. -232 с.

35. Габдулхаев, Б. Г. Оптимизация прямых методов решения периодических краевых задач / Б. Г. Габдулхаев // Изв. вузов. Математика. 2002. - №12. С. 55-65.

36. Гахов, Ф. Д. Линейные краевые задачи теории функций комплексной переменной / Ф. Д. Гахов // Изв. Казанск. физ.-мат. об-ва. -1938. Т. 10. - Сер. 3. - С. 39-79.

37. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. М.: Наука, 1977. -640 с.

38. Гильманов, Р. А. О компактной аппроксимации сингулярных интег-ро-дифференциальных уравнений с ядром Гильберта / Р. А. Гильманов // Изв. вузов. Математика. 1979. - №12. - С. 21-26.

39. Годунов, С. К. Разностные схемы. Введение в теорию / С. К.Годунов, В. С. Рябенький. М.: Наука, 1977. - 400 с.

40. Голубев, В. В. Лекции по теории крыла / В. В. Голубев. М. - Л.: Гостехиздат, 1949. - 480 с.

41. Горлов, В. Е. О приближенном решении нелинейных сингулярных интегральных уравнений / В. Е. Горлов // Изв. вузов. Математика. 1976. - №4. - С. 122-125.

42. Горлов, В. Е. О прямых методах решения линейных и нелинейных сингулярных интегральных уравнений: дисс. . канд. физ.-мат. наук : 01.01.01 : защищена 09.06.77 : утв. 10.12.77 / Горлов Владимир Евгеньевич. Казань, 1977. - 132 с. - Библиогр.: с. 122-132.

43. Горлов, В. Е. О прямых методах решения одного класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений / В. Е. Горлов // Изв. вузов. Математика. 1981. - №12. - С. 8-25.

44. Гохберг, И. Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения / И. Ц. Гохберг, И. А. Фельдман. М.: Наука, 1971. - 352 с.

45. Гохберг, И. Ц. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов / И. Ц. Гохберг, Н. Я. Крупник. Кишинев: Штиинца, 1973. - 426 с.

46. Гудович, Н. Н. Об абстрактной схеме разностного метода / Н. Н. Гудович // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 1966. - Т. 6, №5. - С. 916-921.

47. Гудович, Н. Н. О построении устойчивых разностных схем любого наперед заданного порядка аппроксимации для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Н. Н. Гудович // ДАН СССР. 1974. - Т. 217, №2. - С. 264-267.

48. Джураев, А. Д. Метод сингулярных интегральных уравнений / А. Д. Джураев. М.: Наука, 1987. - 416 с.

49. Дьяченко, М. И. Мера и интеграл / М. И. Дьяченко, П. Л. Ульянов.- М.: Факториал, 1998. 160 с.

50. Егоров, Ю. В. О канонических преобразованиях псевдодифференциальных операторов / Ю. В. Егоров // УМН. 1969. - Т. 24, №5.- С. 235-236.

51. Завьялов, Ю. С. Методы сплайн-функций / Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, В. Л. Мирошниченко. М.: Наука, 1980. - 352 с.

52. Захаров, Е. В. О численном решении сингулярных интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в задачах дифракции / Е. В. Захаров, И. В. Собянина // Тез. докл. всесоюз. симпоз.:

53. Метод дискретных особенностей в задачах математической физики, 19 23 мая 1985 г. - Харьков, 1985. - С. 49-50.

54. Захаров, Е. В. Об одномерных интегродифференциальных уравнениях задач дифракции на экранах / Е. В. Захаров, И. В. Собянина // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1986. - Т. 26, №4. - С. 632-636.

55. Зеель, Э. О. О тригонометрическом (0,р, д)-интерполировании / Э. О. Зеель // Изв. вузов. Математика. 1970. - №3. - С. 27-35.

56. Зеель, Э. О. О кратном тригонометрическом интерполировании / Э. О. Зеель // Изв. вузов. Математика. 1974. - №3. - С. 43-51.

57. Зигмунд, А. Тригонометрически ряды, Т. 2 / А. Зигмунд. М.: Мир, 1965. - 537 с.

58. Иванов, В. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений: автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук : 01.01.01 : защищена 12.04.56 : утв. 18.09.56 Иванов Виктор Владимирович. М., 1956. - 17 с. - Библиогр.: с. 16-17.

59. Иванов, В. В. Методы приближенного решения сингулярных интегральных уравнений / В. В. Иванов // Итоги науки и техники. Сер. мат. анализ. 1963. М.: ВИНИТИ, 1965. С. 125-177.

60. Иванов, В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений /

61. B. В. Иванов. Киев: Наук, думка, 1968. - 288 с.

62. Ильинский, Н. Б. О решении одной краевой задачи фильтрации в неоднородном грунте / Н. Б. Ильинский // Вычислительная и прикладная математика. Киев: Изд-во Киевск. ун-та, 1970. - Вып. 11. - С. 52-59.

63. Исаханов, Р. С. Дифференциальная граничная задача линейного сопряжения и ее применение в теории интегро-дифференциальных уравнений / Р. С. Исаханов // Сообщения АН ГССР. 1958. -Т. 20, №6. - С. 659-666.

64. Исаханов, Р. С. О некоторых дифференциальных граничных задачах теории аналитических функций / P.C. Исаханов / / Сообщения АН ГССР. 1958. - Т. 21, №1. - С. 11-18.

65. Иокк, X. О сходимости разностных методов для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка / X. Иокк // Изв. АН Эст. ССР. Физ. Мат. 1973. - Т. 22, №1. - С. 31-36.

66. Иокк, X. О сходимости разностных методов для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на неравномерной сетке / X. Йокк // Изв. АН Эст. ССР. Физ. Мат. 1973. - Т. 22, №3.1. C. 227-232.

67. Какичев, В. А. О регуляризации сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши для бицилиндрических областей / В. А. Какичев // Изв. вузов. Математика. 1967. - №7. - С. 54-64.

68. Какичев, В. А. Методы решения задач линейного сопряжения для функций, голоморфных в бицилиндрических областях / В. А. Какичев // Теория функций, функц. анализ и их прил. Харьков: Изд-во Харьковского, ун-та, 1971. - Вып. 14. - С. 3-17.

69. Какичев, В. А. Методы решения некоторых краевых задач для аналитических функций двух комплексных переменных / В. А. Какичев. Тюмень: Изд-во Тюменского ун-та, 1978. - 124 с.

70. Какичев, В. А. Краевые задачи для функций аналитических в био-бластях : дисс. докт. физ.-мат. наук : 01.01.01 : защищена 20.04.88 : утв. 17.12.88 / Какичев Валентин Андреевич. Таганрог. 1988. -298 с. - Библиогр.: с. 286-198.

71. Канторович, Л. В. К общей теории приближенных методов анализа / Л. В. Канторович // ДАН СССР. 1948. - Т. 60, №6. - С. 17-20.

72. Канторович, Л. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. М.: Наука, 1959. - 684 с.

73. Канторович, Л. В. Приближенные методы высшего анализа. Изд. 3-е / Л. В. Канторович, В. И. Крылов. М.-Л.: Гос. изд. техн.-теорет. лит., 1950. - 696 с.

74. Карпенко, Л. Н. Приближенное решение одного сингулярного интегрального уравнения с помощью многочленов Якоби / Л. Н. Карпенко // Прикл. мат. и мех. 1966. - Вып. 3. - С. 564-569.

75. Кацевман, И. Я. О критерях компактности в С1+а / И. Я. Кацевман // Сб. асп. работ. Точные науки. Матем. Мех. Физ. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1969. - С. 32-36.

76. Киш, О. О тригонометрическом (0, г)-интерполировании / О. Киш // Acta math. Acad, scient. Hung. 1960. - V. 11, №3-4. - P. 243-276.

77. Коган, X. M. Об одном сингулярном интегро-дифференциальном уравнении / X. М. Коган // УМН. 1965. - Т. 20, Вып. 3. - С. 243-244.

78. Коган, X. М. Об одном сингулярном интегро-дифференциальном уравнении / X. М. Коган // Дифференц. уравнения. 1967. - Т. 3, №2. - С. 278-293.

79. Крейн, С. Г. Об устойчивости разностных схем для задачи Коши / С. Г. Крейн, JI. Н. Шаблицкая // Журн. вычисл. мат. и мат. физ.- 1966. Т. 6, №4. - С. 648-664.

80. Крейн, С. Г. Необходимые условия устойчивости разностных схем и собственные значения разностных операторов / С. Г. Крейн, JI. Н. Шаблицкая // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 1973. - Т. 13, №3. - С. 647-657.

81. Крикунов, Ю. М. О решении обобщенной краевой задачи Римана и линейного сингулярного интегро-дифференциального уравнения / Ю. М. Крикунов // Ученые записки КГУ. 1952. - Т. 112, №10.- С. 191-199.

82. Крикунов, Ю. М. О решении обобщенной краевой задачи Римана и линейного сингулярного интегро-дифференциального уравнения / Ю. М. Крикунов // ДАН СССР. 1952. - Т. 85, №2. - С. 269-272.

83. Крикунов, Ю. М. Обобщенная краевая задача Римана и линейное интегро-дифференциальное уравнение / Ю. М. Крикунов // Ученые записки КГУ. 1956. - Т. 116, №4. - С. 3-29.

84. Крылов, В. И. Вычислительные методы высшей математики / В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырный. Минск: Вы-шэйшая школа, 1975. - 671 с.

85. Лаврентьев, М. А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы / М. А. Лаврентьев // Труды ЦАГИ. 1932. - Вып. 118. - 53 с.

86. Лифанов, И. К. О методе "дискретных вихрей" для крыла бесконечного размаха и уравнения Прандтля для крыла конечного размаха / И. К. Лифанов // Изв. вузов. Математика. 1980. - №6. - С. 44-51.

87. Лифанов, И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент (в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн) / И. К. Лифанов. М.: ТОО "Янус", 1995. - 520 с.

88. Магнарадзе, Л. Г. Об одном новом интегральном уравнении теории крыла самолета / Л. Г. Магнарадзе // Сообщения АН ГССР. -1942. Т. 3, №6. - С. 503-508.

89. Магнарадзе, Л. Г. Об одной системе линейных сингулярных ин-тегро-дифференциальных уравнений и о линейной граничной задаче Римана / Л. Г. Магнарадзе // Сообщения АН ГССР. 1943. -Т. 4, №1. - С. 3-9.

90. Маслов, В. П. Теория возмущений и асимптотические методы / В. П. Маслов М.: МГУ, 1965. - 553 с.

91. Матвеев, А. Ф. Приближенное решение некоторых сингулярных интегро-дифференциальных уравнений / А. Ф. Матвеев // Препр. ИТЭФ. - 1982. - №87. - 32 с.

92. Матвеев, А. Ф. О построении приближенных решений сингулярных интегральных уравнений второго рода / А. Ф. Матвеев // ДАН. -1989. Т. 307, №5. - С. 1046-1050.

93. Михлин, С. Г. Сингулярные интегральные уравнения / С. Г. Мих-лин // УМН. 1948. - Т. 3, Вып. 3(25). - С. 29-112.

94. Михлин, С. Г, Многомерные интегралы и интегральные уравнения / С. Г. Михлин М.: Физматгиз, 1962. - 256 с.

95. Морарь, Г. А. К периодической контактной задаче для полуплоскости с упругими накладками / Г. А. Морарь, Г. Я. Попов // Прикл. мат. и мех. 1971. - Т. 35, Вып. 1. - С. 172-178.

96. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили М.: Наука, 1968. - 512 с.

97. Натансон, И. Г. Конструктивная теория функций / И. Г. Натансон- М.: Наука, 1949. 688 с.

98. Никольский, С. М. Приближение периодических функций тригонометрическими полиномами / С. М. Никольский // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1945. - Т. 15. - С. 1-76.

99. Панасюк, В. В. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции / В. В. Панасюк, Н. П. Саврук, 3. Т. Назарчук Киев: Наук, думка, 1984. - 344 с.

100. Плещинский, Н. Б. К абстрактной теории приближенных методов решения линейных операторных уравнений / Н. Б. Плещинский // Изв. вузов. Математика. 2000. - №3. - С. 39-47.

101. Прёссдорф, 3. Некоторые классы сингулярных уравнений / 3. Прёссдорф М.: Мир, 1979. - 493 с.

102. Райнов, Н. С. О приближенном решении одного сингулярного интегро-дифференциального уравнения теории упругости / Н. С. Райнов // Труды 2-ой конферен., Руссе. 29 июня 4 июля 1981 г.: Дифференциальные уравнения и приложения. - Руссе, 1982.- С. 601-606.

103. Рогожин, В. С. Новое интегральное представление кусочно-аналитической функции и его приложение / В. С. Рогожин // ДАН СССР. 1960. - Т. 135, №4. - С. 791-793.

104. Самарский, А. А. Введение в теорию разностных схем / А. А. Самарский М.: Наука, 1971. - 552 с.

105. Самарский, А. А. Методы решения сеточных уравнений / А. А. Самарский, Е. С. Николаев М.: Наука, 1978. - 591 с.

106. Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев- Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

107. Сеге, Г. Ортогональные многочлены / Г. Cere М.: Физматгиз, 1962. - 500 с.

108. Сейчук, В. Н. Прямые методы сингулярных интегральных уравнений на ляпуновском контуре: дисс. . канд. физ.-мат. наук : 01.01.01 : защищена 24.12.87 : утв. 05.05.88 / Сейчук Владислав Николаевич.- Казань, 1987. 126 с. - Библиогр.: с. 115-126.

109. Симоненко, И. Б. К вопросу о разрешимости бисингуляных и полисингулярных уравнений / И. Б. Симоненко // Функциональный анализ и его приложения. 1971. - Т. 5. - Вып. 1. - С. 93-94.

110. Солиев, Ю. О квадратурных и кубатурных формулах для сингулярных интегралов с ядрами Коши / Ю. Солиев // Изв. вузов. Математика. 1977. - №3. - С. 108-122.

111. Солиев, Ю. Об интерполяционных кубатурных формулах с кратными узлами для сингулярных интегралов / Ю. Солиев // Изв. вузов. Математика. 1977. - №9. - С. 122-126.

112. Солиев, Ю. Квадратурные и кубатурные формулы с кратными узлами для сингулярных интегралов: дисс. . канд. физ.-мат. наук : 01.01.01: защищена 16.09.78 утв. 02.02.79 / Солиев Юнус. Казань, 1978. - 127 с. - Библигр.: с. 118-127.

113. Софронов, И. Д. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений: автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук : 01.01.01 :защищена 11.05.55 : утв. 18.12.55 Софронов Иван Денисович. М., 1955. - 16 с. - Библиогр.: с. 15-16.

114. Софронов, И. Д. К приближенному решению С.И.У. / И. Д. Софронов // ДАН СССР. 1956. - Т. 111, №1. - С. 37-39.

115. Стечкин, С. Б. Сплайны в вычислительной математике / С. Б. Стечкин, Ю. Н. Субботин М.: Наука, 1976. - 248 с.

116. Тейлор, М. Псевдодифференциальные операторы / М. Тейлор-М.: Мир, 1985 469 с.

117. Трев, Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье / Ф. Трев М.: Мир, 1984 - 359 с.

118. Треногин, В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин М.: Наука, 1980 - 486 с.

119. Тумашев, Г. Г. Об одном приложении сингулярного интегро-дифференциального уравнения в теории фильтрации / Г. Г. Тумашев, Н. Б. Ильинский // Изв. вузов. Математика. 1967. - №7. - С. 100-103.

120. Федотов, А. И. Решение одного класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений квадратурно-разностным методом / А. И. Федотов ; Ред. "Изв. вузов. Математика." Казань, 1983. -12 с. - Библиогр.: с. И. - Деп. в ВИНИТИ 14.2.83, №1606.

121. Федотов, А. И. Аппроксимация решений одного класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений тригонометрическими полиномами с кратными узлами / А. И. Федотов ; Казан, ун-т.

122. Казань, 1986. 13 с. - Библиогр.: с. 12. - Деп. в ВИНИТИ 28.3.86, №2483 - В86.

123. Федотов, А. И. Об одном подходе к построению квадратурно-разностного метода решения сингулярных интегродифференциальных уравнений / А. И. Федотов // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 1989. - Т. 29, №7. - С. 978-986.

124. Федотов, А. И. О сходимости квадратурно-разностного метода для одного класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений / А. И. Федотов // Изв. вузов. Математика. 1989. - №8. - С. 64-68.

125. Федотов, А. И. О сходимости квадратурно-разностного метода для линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений / А. И. Федотов // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 1989. -Т. 29, №9. - С. 1301-1308.

126. Федотов, А. И. Квадратурно-разностные методы решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений : дис. . канд. физ.-мат. наук : 01.01.01 защищена 19.11.90 : утв. 27.02.91 / Федотов Александр Иванович. Казань, 1990. - 110 с. - Библиогр.: с. 100110.

127. Федотов, А. И. О сходимости квадратурно-разностного метода для линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами / А. И. Федотов // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 1991. - Т. 31, №2. - С. 261-271.

128. Федотов, А. И. О сходимости квадратурно-разностного метода для нелинейных сингулярных интегродифференциальных уравнений / А. И. Федотов // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 1991. - Т. 31, №5. - С. 781-787.

129. Федотов, А. И. Сходимость квадратурно-разностного метода для сингулярных интегро-дифференциальных уравнений на интервале

130. А. И. Федотов // Тез. докл. школы конференции: Теория функций и ее приложения, 15 22 июня 1995 г. - Казань, 1995. - С. 68-69.

131. Федотов, А. И. Сходимость квадратурно-разностного метода для одного класса линейных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений на отрезке / А. И. Федотов // Изв. вузов. Математика. 1997. - №3. - С. 73-76.

132. Федотов, А. И. О классах псевдодифференциальных уравнений разрешимых методами Галеркина и коллокаций / А. И. Федотов // Тез. докл. международ, конференции: Дифференциальные и интегральные уравнения, 12 14 сентября 2000 г. - Одесса, 2000. - С. 279-280.

133. Федотов, А. И. Классы уравнений, разрешимые методами Галеркина и коллокаций / А. И. Федотов // Тез. докл. международ, конференции: Dynamical systems modelling and stability investigation, 22 -25 мая 2001 г. Киев, 2001. - С. 102.

134. Федотов, А. И. Кубатурно-разностный метод для многомерных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений / А. И. Федотов // Труды Матем. центра имени Н. И. Лобачевского. Т. 11. / Казан, мат. о-во. Казань: УНИПРЕСС, 2001. - С. 263-266.

135. Федотов, А. И. О классах уравнений, разрешимых методами Галеркина и коллокаций / А. И. Федотов // Труды Матем. центраимени Н. И. Лобачевского. Т. 11. / Казан, мат. о-во. Казань: УНИ-ПРЕСС, 2001. - С. 267-268.

136. Федотов, А. И. О сходимости квадратурно-разностного метода для полных линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений на интервале / А. И. Федотов // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 2004. - Т. 44, №2. - С. 337-348.

137. Федотов, А. И. Оценка нормы оператора Лагранжа в многомерных пространствах Соболева / А. И. Федотов // Тез. докл. X международ. научной конференции им. академика М. Кравчука, 13 15 мая 2004 г. - Киев, 2004. - С. 153.

138. Федотов, А. И. Норма оператора Лагранжа в многомерных пространствах Соболева / А. И. Федотов // Тез. докл. международ, конференции: Алгебра и анализ 2004, 2-9 июля 2004 г. - Казань, 2004. - С. 108-109.

139. Федотов, А. И. Оценка нормы интерполяционного оператора Ла-гранжа в многомерном пространстве Соболева / А. И. Федотов // Мат. заметки. 2007. - Т. 81, №3. - С. 427-433.

140. Хайруллина, А. М. Приближенное решение многомерных сингулярных интегральных уравнений : дисс. . канд. физ.-мат. наук : 01.01.01 : защищена 13.03.87 : утв. 25.10.87 / Хайруллина Альфия Махмудовна. Казань, 1987. - 127 с. - Библиогр.: с. 117-127.

141. Хведелидзе, Б. В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций и некоторые их приложения / Б. В. Хведелидзе // Труды Тбилисс. Мат. ин-та АН ГССР. 1956. - Т. 23. - С. 3-158.

142. Хенл, X. Теория дифракции / X. Хенл, А. Мауэ, К. Вестфаль -М.: Мир, 1964. 428 с.

143. Хёрмандер, Л. Псевдодифференциальные операторы / Л. Хёрман-дер // Псевдодифференциальные операторы М.: Мир, 1967. - С. 63-87.

144. Чибрикова, JI. И. Основные граничные задачи для аналитических функций / Л. И. Чибрикова Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1977.- 302 с.

145. Шерман, Д. И. К общей задаче теории потенциала / Д. И. Шерман // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1946. - Т. 10. - С. 121-134.

146. Шестопалов, В. П. Метод задачи Римана Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн / В. П. Шестопалов - Харьков: Изд-во Харькове, ун-та, 1971. - 400 с.

147. Шубин, М. А. Псевдодифференциальные уравнения и спектральная теория / М. А. Шубин М.: Наука, 1978 - 279 с.

148. Anselone, P. М. Approximate solution of integral and operation equations / P. M. Anselone, R. H. Moore //J. math. appl. 1964. -V. 9. - P. 268-273.

149. Arnold, D. N. On the asymptotic covergence of collocation methods / D. N. Arnold, W. L. Wendland // Math, of Сотр. 1983. - V. 41, N2164. - P. 349-381.

150. Arnold, D. N. The convergence of spline collocation for strongly elliptic equations on curves / D. N. Arnold, W. L. Wendland // Number. Math. 1985. - V. 46. - P. 317-341.

151. Atkinson, К. E. The numerical solution of eigenvalue problem for compact integral operators / К. E. Atkinson // Trans. Amer. math, soc. 1967. - V. 129, №3. - P. 458-465.

152. Elliott, D. The approximate solution of singular integral equations / D. Elliott // Solut. meth. integral equat. Theory and appl. New York- London. 1979. P. 83-107.

153. Elschner, J. On spline collocation for singular integral equations on an interval / J. Elschner // Semin. Anal. Oper. Equat. and Numer. Anal. 1985/86. 1986. P. 31-54.

154. Elschner, J. On spline approximation for a class of integral equations III. Collocation methods with piecewise linear splines / J. Elschner // Semin. Anal. Oper. Equat. and Numer. Anal. 1986/87. 1987. P. 25-40.

155. Elschner, J. On spline approximation for singular integral equations on an interval / J. Elschner, Preprint Akad. Wiss. DDR. Karl Weierstrass. Inst. Nath. 1987. - 10 p.

156. Elschner, J. On spline approximation for singular integral equations on an interval / J. Elschner // Math. Nachr. 1988. - V. 139. - P. 309-319.

157. Fedotov, A. I. On convergence of the polynomial collocation method for singular integral equations and periodic pseudifferential equations / A. I. Fedotov // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2000. - V. 7. - P. 3-14.

158. Fedotov, A. I. On convergence of quadrature-differences method for linear singular integro-differential equations on the interval / A. I. Fedotov // Archivum Mathematicum. 2001. - Tomus 37, №4. -P. 257-271.

159. Fedotov, A. I. On the asymptotic convergence of the polynomial collocation method for singular integral equations and periodic pseudodifferential equations / A. I. Fedotov // Archivum Mathematicum. 2002.- Tomus 38, №1. P. 1-13.

160. Fedotov, A. I. Lebesgue constant estimation in multidimensional Sobo-lev space / A. I. Fedotov // Lobachevskii Journal of Mathematics. -2004. V. 14. - P. 25-32.

161. Fedotov, A. I. Convergence of cubature-differences method for multidimensional singular integro-differential equations / A. I. Fedotov // Archivum Mathematicum. 2004. - Tomus 40, №2, - P. 181-191.

162. Fedotov, A. I. Justification of the Galerkin method for one class of singular integro-differential equations on an interval / A. I. Fedotov // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2008. - V. 29, №2, - P. 73-81.

163. Fedotov, A. I. Justification of a Galerkin method for a regularized Cauchy singular integro-diiferential equation / A. I. Fedotov // Quart. Appl. Math. 2009. - V. 67. - P. 541-552.

164. Fedotov, A. I. Quadrature-differences methods for solving linear and nonlinear singular integral equations / A. I. Fedotov // Nonlinear Analysis. 2009. - V. 71, №12. - P. 303-308.

165. Golberg, M. A. The convergence of several algorithms for solving integral equations with finite-part integrals / M. A. Golberg // Journal of Integral Equations. 1983. - V. 5. - P. 329-340.

166. Hilbert, D. Über eine Anwendung der Integralgleichungen / D. Hilbert // Verhandl. des III Internat. Mathematiker Kongress, Heidelberg. -1904. S. 57-76.

167. Junghanns, P. A polynomial collocation method for Cauchy singular integral equations over the interval / P. Junghanns, A. Rathsfeld, Preprint 2000-12, Fakultät für Mathematik, TU Chemnitz Zwickau. - 2000. - 43 p.

168. Junghanns, P. Collocation methods for systems of Cauchy singular integral equations on an interval / P. Junghanns, S. Roch, B. Silbermann // Comp. Technologies. 2001. - V. 6. - P. 88-126.

169. Junghanns, P. Local theory of a collocation method for Cauchy singular integral equations on an interval / P. Junghanns, U. Weber, Preprint1997 10, Fakultät für Mathematik, TU Chemnitz - Zwickau. - 1997. - 26 p.

170. Kohn, J. J. Pseudo-differential operators and non-elliptic problems / J. J. Kohn // Pseudo-differential Operators, C. I. M. E. Stresa. Italy. 1968. - P. 157-165.

171. Liron, Nadav. Calculating the fundamental solution to linear convection diffusion problem / Nadav Liron, Jakob Rubinstein // SIAM J. appl. math. - 1984. - V. 44, №3. - P. 493-511.

172. McLean, W. Trigonometric approximation of solutions of periodic pseudodifferential equations / W. McLean, S. Wendland // Operation Theory: Advances and Applications. 1989. - V. 41. - P. 359-383.

173. Mikhlin, S. G. Singular integral operators / S. G. Mikhlin, S. B. Prößdorf Springer-Verlag, 1986.

174. Nirenberg, L. Pseudo-differential operators / L. Nirenberg // Proc. Symp. Pure Math. 1970. - V. 16. - P. 147-168.

175. Noether, F. Uber eine Klasse singulärer Integralgleichungen / F. Noether // Math. Ann. 1921. - V. 82. - P. 42-63.

176. Poincaré, H. Leçons de Mecanique Celeste. T. 3 / H. Poincaré Paris : Gautheier-Villars, 1907. - 370 p.

177. Prandtl, L. Applications of modern hydrodynamics to aeronautics / L. Prandtl // Report NACA №116. 1923. - P. 157-215.

178. Prößdorf, S. Recent results in numerical analysis for singular integral equations / S. Prößdorf // Proc. 9th conf. Probl. and Meth. Math. Phys. (TPM) Karl Marx - Stadt. June 27 - July 1. - 1988. - P. 224-234.

179. Prößdorf, S. A finite element collocation method for singular integral equations / S. Prößdorf, G. Schmidt // Math. Nach. 1981. - V. 100. - P. 33-60.

180. Prößdorf, S. A finite element collocation method for systems of singular integral equations / S. Prößdorf, G. Schmidt, Prep. acad. wiss. DDR. Inst. math. 1981. - №26. - 21 p.

181. Prößdorf, S. Projetionfahren und die nährungsweise Lösung singulärer Gleihungen / S. Prößdorf, B. Silbermann Leipzig: Teubner, 1977. -273 p.

182. Salzer, H. E. New formulas for trigonometric interpolation / H. E. Salzer //J. math, and phys. 1960. - V. 39, №1. - P. 83-96.

183. Saranen, J., Wendland W. L. The Fourier series representation of pseudo-differential operators on closed curves / J. Saranen, W. L. Wendland // Complex variables. 1987. - V. 8 - P. 55-64.

184. Schmidt, G. On spline collocation for singular integral equations / G. Schmidt // Math. Nach. 1983. - V. 111. - P. 177-196.

185. Sharma, A. Trigonometric interpolation A. Sharma, A. K. Varma // Duke math. j. 1965. - V. 32, №2. - P. 341-357.

186. Stein, E. M. Singular Integrals and Differetiability Properties of Functions / E. M. Stein Princeton: Princeton University Press, 1970. -206 p.

187. Varma, A. K. Trigonomrtric interpolation / A. K. Varma // J. math, analysis and applic. 1969. - V. 28, №3. - P. 652-659.

188. Wendland, W. L. Strongly elliptic boundary integral equations / W. L. Wendland Oxford: Claredon Press, 1987. - 236 p.