Композиция методов линеаризации и аппроксимации операторных, интегральных и дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Кротов, Николай Владимирович

• Кротов, Николай Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кротов, Николай Владимирович

0. Введение

СОДЕРЖАНИЕ

I. Композиция методов для операторных уравнений

1.1. Модификация метода сжимающих отображений в линейном подпространстве ХВ-линеала.

1.2. Усреднение нелинейного уравнения и аппроксимация обратного оператора.

1.3. Модификация метода сжимающих отображений в серии подпространств.

1.4. Усреднение и проекционный метод в серии подпространств.

II. Композиция методов для интегральных уравнений

II. 1. Усреднение нелинейного интегрального уравнения и аппроксимация обратного оператора.

II.2. Линеаризация интегрального уравнения в сочетании с аппроксимацией ядра и невязки.

III. Композиция методов для обыкновенных дифференциальных уравнений

III. 1. Усреднение полулинейного уравнения второго порядка и аппроксимация обратного оператора.

111.2. Приближенное решение граничной задачи для полулинейного уравнения второго порядка в серии конечномерных подпространств.

111.3. Приближенное решение начальной задачи для полулинейного уравнения второго порядка в серии конечномерных подпространств.

IV. Композиция методов в задаче Коши для уравнения в частных производных гиперболического типа

IV. 1. Усреднение полулинейного уравнения и аппроксимация обратного оператора.

IV.2. Прямой метод приближенного решения полулинейного уравнения в серии подпространств.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Композиция методов линеаризации и аппроксимации операторных, интегральных и дифференциальных уравнений»

Проблеме поиска приближенных решений линейных и нелинейных уравнений, построению последовательности приближений посвящена обширная литература (см. например [1-5, 7-10, 16, 17, 20-22, 31-34] ).

Исследования по данной тематике вели, в частности, Н. В. Азбелев, Н. С. Бахвалов, Ф. П. Васильев, Е. В. Воскресенский, Л. В. Канторович, М. А. Красносельский, Ю. А. Кузнецов, С. Н. Слугин, В. И. Сумин, М. И. Сумин и др.

В диссертации исследуется процесс построения последовательности приближений к решению нелинейного операторного уравнения, записанного в форме, соответствующей задачам для дифференциальных уравнений:

Dx = F(x), Nx = z, (0.1) где D - главная линейная часть уравнения, а последнее равенство означает начальные или (и) краевые условия.

В поиске приближенных решений - нелинейное уравнение обычно подвергается известному процессу линеаризации: подбирается такой линейный оператор Г, что

T{x-z)~F{x)-F{z), минус-поправки Дя =ип- мя+1 вычисляются как решения линейных уравнений я-г)Дя-х>«я-/'(«„), о, устанавливаются достаточные условия сходимости метода в предположении, что линейные уравнения решаются точно. Однако, на практике они аппроксимируются другими линейными уравнениями, поэтому вопрос о сходимости метода остается открытым.

В диссертации исследуется композиция методов линеаризации нелинейного уравнения и аппроксимации при каждом п линейных уравнений алгоритма, устанавливаются достаточные условия существования и единственности решения нелинейного уравнения, сходимости процесса приближений к решению, указывается скорость сходимости.

Построение производится в банаховом полуупорядоченном пространстве Y. Образы

Dx, F(x)<=Y.

Использование свойства полуупорядоченности пространства позволяет получить более детальные результаты по сравнению с теми, где не постулирована полуупорядоченность.

В диссертации пространство У затем реализуется как пространства С, L2, Lx с естествен> ным - поточечным смыслом сравнимости у > 0.

Однако, при таком смысле сравнимости - дифференцируемые функции не образуют полуупорядоченного пространства, поэтому пространство X элементов х здесь рассматривается как линейное подпространство в У.

Здесь изучается случай, когда обратный оператор

D - Г)-1 :Y -* М = {А: АЕХ, NA = 0} неизвестен вычислителю, но известен оператор

D"1 :Y -* М .

Исследуются два способа аппроксимации линейных уравнений.

В первом способе производится выбор целых чисел > т(п) s 0, т(п) °о , оператор со

D - Г)-1 -D'^iTD'1)* при каждом п заменяется на операторы т(п)

D'1 ^(ПГ1)* .

Установлено достаточное условие выбора номеров т(п), при котором метод сходится.

Уравнение х = F(x) здесь трактуется как частный случай задачи (0.1) при

X =У, Z = {0}, D = N = 0, где 1х & х.

Во втором способе задача (0.1) приводится к эквивалентному виду — уравнению л: = Ф(х) в пространстве У. Номера

0 ss т{п) ^ т(п +1) -» оо. Вводится серия линейных подпространств

УтСУт+1СУ. (0.2)

Оператор Г: У У, Г(* - z) « Ф(х) - Ф(z) заменяется при т = т(п) на линейные операторы

Г «Г Г -У —> У т ' т ' т т'

Невязки хп - Ф(хп) заменяются на проекции

Уп=хп~ Уп GYm{H). уп - х„ - ф(х„), уп <EYm{n)

Обратные операторы (/ :Ym —> Ym считаются известными. Минус-поправки Хп ~ Хп+1 являются решениями линейных уравнений

-Гот(л))&и=уй. (0.3)

Установлено существование такой последовательности номеров т(п), что метод сходится.

Полученные операторные схемы затем конкретизируются в классах нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна и вольтерровых, а также полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка в обыкновенных и в частных производных (в последнем случае - гиперболического типа).

При этом во втором способе линейные уравнения (0.3) решаются прямыми методами: интегральные уравнения - методом Фурье и методом, реализуемым в конечномерных подпространствах некоторых ступенчатых функций, а дифференциальные уравнения -методом Фурье.

В главе I диссертации изучается композиция методов для операторных уравнений.

В п. 1.1 приводится определение АГВ-линеала У, эквивалентное известному [6]: частично упорядоченное ^-пространство, где любой элемент имеет модуль |у| = у v (-у), и норма изотонна: если |>>||v|, то ||у|| ^ ||v||.

Вначале рассматривается вспомогательная задача

Dx = Л(х), Nx = z (0.4) где хЕХ, X - линейное подпространство /Сй-линеала У; операции

D:X -*Y, A:Xt->Y; элемент zGZ, Z - линейное пространство; линейный оператор

N:X -+Z .

Строится модификация метода, отвечающего обобщенному принципу сжимающих отображений, для чего вводится последовательность операций

Ап(х)~А(х:) и производится процесс

Dx„+i = Am(n) (xn)> Nxn+1 = z. Установлены достаточные условия существования и единственности решения х* задачи (0.4) и сходимости процесса хп вместе с образами Dxn, соответственно, к решению х * и образу Dx *.

В п. 1.2 результат п. 1.1 применен к задаче (0.1). Построен процесс приближений хп, который сходится вместе с образами Dxn, соответственно, к единственному решению х * этой задачи и к образу Dx *. Приводится оценка скорости сходимости. В частности, изучен случай уравнения х = F(x). В п. 1.3 рассматривается вспомогательное уравнение х = А(х) в КВ-линеале Y. К уравнению применена модификация принципа сжимающих отображений в серии линейных подпространств (0.2) с привлечением операций

Устанавливаются достаточные условия, при которых возможен такой выбор номеров т(п), что процесс

Хп+1 = Ая(и) (хп ) сходится к решению уравнения х = А(х); указывается оценка скорости сходимости. В п. 1.4 предполагается, что известно решение х задачи

Dx = 0, Nx = z.

Задача (0.1) сводится к эквивалентному уравнению х = Ф(*), где

Ф(*) = x+D~lF{x). Затем результат п. 1.3 применяется к этому уравнению.

В главе II изучается композиция методов для интегральных уравнений.

В п. II. 1 конкретизируется результат п. 1.2 в применении к уравнениям в пространстве С(0Д): S

Ф) - J* f(s,t,x(t))dt + w(s), 0 1

Jt(s) = ajf (s,t,x(t))dt + w(s) (0.5) о с малым параметром а.

Строятся процессы приближений к решениям уравнений. Итерациям линейных интегральных операторов Г соответствуют итеративные ядра. Устанавливается, что при определенном выборе номеров т{п) процессы равномерно сходятся к решениям с указанной оценкой скорости сходимости.

В п. II.2 конкретизируется результат п. 1.4 в применении к уравнению (0.5). В качестве линейных подпространств (0.2) здесь вводятся, во-первых, линейные оболочки конечных подсистем базиса пространства L2(0,1) и, во-вторых, подпространства некоторых ступенчатых функций в пространстве (ОД).

Линейные уравнения (0.3) здесь принимают вид систем линейных алгебраических уравнений с квадратной и треугольной матрицами.

Доказана возможность такого выбора номеров т{п), что процессы приближений сходятся к решению уравнения (0.5), соответственно, среднеквадратично или п. в. равномерно. Дана оценка скорости сходимости.

В главе III изучается композиция методов для обыкновенных полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка.

В п. III. 1 приводится приложение результатов п. 1.2 в пространствах

Х=С2(0,1), У = С(ОД) к задачам x"(t) = f(t,x(t)), *(0) = z0 , хЩ = Zj; (0.6)

- x\t) = f(t,x(t)), x(0) = z0 , x(l) = z,. (0.7)

Устанавливается, что при определенном выборе номеров т(п) процессы приближений равномерно сходятся вместе со вторыми производными, соответственно, к решениям этих задач и их вторым производным.

В п. III.2 приводится приложение результатов п. 1.4 в пространствах (см. [19] )

X-U\ ОД), Y = Ь2(0,1) к задаче (0.7). Функция/определена при xEY. Решение этой задачи здесь понимается обобщенно - как решение интегрального уравнения с ядром - функцией Грина: 1 x(s) = z0 + (zt -z0)s+ pl(s,t)f(t,x(t))dt. 0

Построение процесса приближений производится методом Фурье - в линейных оболочках Ут(и) конечных подсистем базиса //-пространства У.

Установлена возможность такого выбора номеров т(п), что процесс среднеквадратично сходится к обобщенному решению данной задачи.

В п. III.3 приводится приложение результатов п. 1.4 к задаче (0.6). Решение этой задачи понимается обобщенно - как решение интегрального уравнения S x(s) = z0 + zxs + J*(s - t)f (t,x(t))dt. 0

Результат аналогичен изложенному в п. III.2.

В главе IV изучается композиция методов для полулинейного уравнения в частных производных гиперболического типа.

В п. IV. 1 производится приложение результатов п. 1.2 к задаче на квадрате Q = [0Д]х[0,1] :

4 = f(s,t,x(s,t)\ x(s,0) = z,(s), x(0,l) = z2(t), ^(0) = z2(0) . (0.8) Пространства (см. [19])

X=H2(Q), 7 = L2(G), Z — пространство следов (см. [19]) функций xElX на сторонах квадрата Q , находящихся на осях координат.

Процесс приближений среднеквадратично сходится вместе со смешанной производной к решению этой задачи и его смешанной производной.

В п. IV.2 производится приложение результата п. 1.4 к задаче (0.8). Решение задачи понимается обобщенно - как решение интегрального уравнения s t t) = Zj (5) + z2 (/) - Zj (0) + J*dcrjf(<7, т,х(а, t))dr . о 0

Функции ek(s,t) составляют базис //-пространства Y. Применяется метод Фурье. Процесс среднеквадратично сходится к обобщенному решению.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [12-15, 23-30], а именно: п. 1.1: [14,24,28,30]; п. 1.2: [14,23,26,28]; п. 1.3: [14,24,30]; п. 1.4: [12,13,25,27,29,30]; п. II.1: [14]; п. II.2: [12,13]; глава III: [30]; п. IV. 1: [26,28]; п. IV.2: [15,25]. и

I. Композиция методов для операторных уравнений

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Кротов, Николай Владимирович

V. Заключение

В диссертации получены следующие результаты.

Поставлена проблема поиска приближений к решению задачи (1) в линейном подпространстве банахова полуупорядоченного пространства.

Сформулирована и обоснована модификация обобщенного принципа сжимающих отображений с оценкой нормы итерации модулярной мажоранты и с аппроксимацией нелинейной операции.

Построена и исследована композиция методов линеаризации нелинейного операторного уравнения и аппроксимации линейных уравнений в алгоритме вычисления последовательности приближений. Установлены достаточные условия существования и единственности решения нелинейного уравнения, сходимости метода, дана оценка погрешности приближений.

Функциональные схемы конкретизированы в классах нелинейных интегральных уравнениий типа Гаммерштейна и вольтерровых; в начальной и граничной задачам для полулинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка; в задаче Коши для полулинейного уравнения в частных производных гиперболического типа.

Более подробно о схеме в терминах функционального анализа:

Установлены модификации обобщенного принципа сжимающих отображений в применении к задаче

Dx = А(х), Nx = z (V.1) и, в частности, к уравнению х~А(х). (V.2)

В модификациях используются приближения Ат операции А, строится процесс поиска последовательных приближений:

Dxn+1 -Ат(н)Ы> Nxn+i=z (V.3) и, в частности, хп+1 = Лт(п)(хп), (V.4) стремящихся к решениям, соответственно, задачи (V.1) и уравнения (V.2).

Модификации осуществляются двумя способами. В первом способе операции Ат, указанные в алгоритме (V.3), определены на подмножестве КВ-линеала У. Во втором способе эти операции, указанные в алгоритме (V.4), определены в линейных подпространствах

Ym С Ym+1 С У. (V.5)

Полученные модификации применяются для построения процесса приближений к решению задачи

Dx = F(x), Nx = z (V.6) и уравнения

-Ф(х), (V.7) эквивалентного задаче (V. 6).

Для этого вначале производится известное действие - линеаризация (усреднение) уравнения. Вводится линейный оператор

Г, Г (x-z)~F{x)-F(z) для задачи (V.6), а для уравнения (V.7)

Т{х-г)~Ф(х)-Ф{£).

В обычном методе очередная минус-поправка А„ = ип- ми+1 для уравнения (V.6) является решением линейной задачи

D-r)An=Dxn-F(xn), NAn=0, (V.8) а для уравнения (V.7) - решением линейного уравнения

-Г)ДЙ=*„-Ф(*Л). (V.9)

Такой процесс может быть назван также и модификацией метода касательных, но в нашем случае не требуется ни сильной, ни слабой дифференцируемое™ операции F.

При каждом номере п здесь производится аппроксимация линейного уравнения (V.8) или (V.9).

В диссертации поиск минус-поправки 5хп = хп - ведется в задаче (V.6) посредством замены в задаче (V.8) обратного оператора (D - Г)-1 на приближенные, а для уравнения (V.7) - замены в уравнении (V.9) оператора / - Г и невязки хп - Ф(х„) на приближенные. В последнем случае действие происходит в серии линейных подпространств (V.5).

Кроме установления теоретического факта сходимости метода, приводится практически важная оценка погрешности приближения при каждом номере.

В достаточных условиях сходимости и в оценке погрешности приближения вычислителю предоставлен выбор произвольного сходящегося ряда величин Ьп > 0, участвующих в этих условиях и оценке.

Чем меньше величины Ьп в п. 1.1 и 1.2, тем меньше переменные (рп (1.1.13) и, следовательно, меньше радиус шара S, определенный через шах (рп. По одному из условий, шар

S включен в область Е, на которой определены операции Л в п. 1.1 и операция F в п. 1.2. Это влечет возможность сужения области Е и, следовательно, ослабление требований к этим нелинейным операциям. Кроме того, улучшается оценка (1.1.16) погрешности приближения.

Однако, уменьшение величин Ьп приводит и к увеличению номера т(п), удовлетворяющего условию (1.1.17) и, следовательно, к усложнению вычислительного процесса.

Это замечание справедливо и по отношению к аналогичным фактам в пп. 1.3 и 1.4.

В диссертации постулирована полуупорядоченность пространства. Это позволяет использовать дополнительные свойства многих конкретных функциональных пространств. Так например, выполнение условий мажорирования вида (1.1.3,4) с привлечением модулей элементов легко проверяется для многих операций в функциональных пространствах, но эквивалент этих условий в терминах функционального анализа в пространствах без полуупорядочения - формулируется достаточно сложно, и их проверка в конкретных случаях затруднена.

Результаты главы I могут быть применены и в более широких классах квазилинейных дифференциальных уравнений в обыкновенных и в частных производных и их систем.

При аппроксимации задачи (V.8) и уравнения (V.9) могут быть использованы и другие методы: например, конечных разностей, сплайнов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кротов, Николай Владимирович, 2005 год

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы // М., Наука. 1987.

2. Бойков И.В., ТъшдаА.Н. Приближенное решение нелинейных интегральных уравнений теории развивающихся систем // Дифференциальные уравнения. 2003. 39, № 9.1. С. 1214-1223.

3. Вержбицкий В.М., Петров М.Ю. О полюсном методе Ньютона в конечномерных и в банаховых пространствах. // Вычислительная математика и математическая физика. 2004. 44, № 6. С. 979-985.

4. ГаевскийX., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. //М., Мир. 1978. -336 с.

5. Зайцев В. Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Физматлит, 2001. — 576 с.

6. ВулихБ.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. II М.: Физматгиз, 1961.-407 с.

7. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. II М.: Наука, 1984. - 750 с.

8. Кокурин М.Ю. Непрерывные методы устойчивой аппроксимации решений нелинейных уравнений в гильбертовом пространстве на основе регуляризованной схемы Гаусса-Ньютона //Вычислительная математика и математическая физика. 2004. 44, № 1.1. С. 8-17.

9. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. // -М., Наука, 1962.

10. КрасносельскийМ.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б. Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. -М: Наука, 1969. -455 с.

11. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве-М.: Наука, 1971 104 с.

12. Кротов Н.В. Композиция метода касательных и аппроксимации уравнения.

13. Вычислительная математика и кибернетика. Конференция. Тез. докл. Нижний Новгород. 2000. С. 46.

14. Кротов Н.В. Комбинированный метод касательных и аппроксимации уравнения в частично упорядоченных пространствах. // 7 Нижегородская сессия молодых ученых (математические науки). Тез. докл. Саров. 2002. С. 52-53.

15. Кротов Н.В. Модификация принципа сжимающих отображений и метода касательных. // 8 Нижегородская сессия молодых ученых (математические науки). Тез. докл. Саров. 2003. С. 44-45.

16. Кротов Н.В. Прямой метод приближенного решения задачи Коши для полулинейного уравнения гиперболического типа. // Нелинейный мир. 10 междисциплинарная научная конференция. Тез. докл. Нижний Новгород. 2005. С. 75.

17. КуфнерА., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. // -М., Наука. 1988.-304 с.

18. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика // М., Физматлит, 2000. 295 с.

19. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными // Мир. 1977. - 504 с.

20. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. -391 с.

21. ОбэнЖ.П., ЭкландИ. Прикладной нелинейный анализ // М.: Мир. 1988.

22. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. — М.: Физматлит. 2001. 575с.

23. Полянин А.Д., Манжиров А.В. Справочник по интегральным уравнениям. -М.: 2003. Физматлит. 2003. -608с.

24. Слугин С.Н., Кротов Н.В. Аппроксимация обратного оператора в модифицированном методе касательных. // Нелинейные колебания механических систем. Международная конференция. Тез. докл. Нижний Новгород. 1999.

25. Слугин С.Н., Кротов Н.В. Модификация обобщенного метода сжимающих отображений в АВ-линеале. // Вестник Нижегородского госуниверситета. 1999. Вып. 2(21). С. 125-128.

26. Слугин С.Н., Кротов Н.В. Метод линеаризации и аппроксимации уравнения в применении к задаче Коши для квазилинейного уравнения гиперболического типа. //Понтрягинские чтения -XII. Математическая школа. Тез. докл. Воронеж. 2001.

27. Слугин С.Н., Кротов Н.В. Аппроксимация обратного оператора в модифицированном методе касательных для вольтеррова уравнения. // Вестник Нижегородского госуниверситета. Математическое моделирование и оптимальное управление. 2003. Вып. 1(26). С. 50-54.

28. Слугин С.Н., Кротов Н.В. Модификация метода касательных в серии подпространств. //Вестник Нижегородского госуниверситета. Математика. 2004. Вып. 1(2). С. 171-177.

29. Слугин С.Н., Кротов Н.В. Модифицированный метод усреднения нелинейного уравнения в пространстве с конусом. // Дифференциальные уравнения. Известия РАЕН. 2004. № 8. С. 77-82.

30. Слугин С.Н., Кротов Н.В. Приближенное решение нелинейного операторного уравнения в серии подпространств. // Нелинейный мир. 10 междисциплинарная научная конференция. Тез. докл. Нижний Новгород. 2005. С. 126.

31. Слугин С.Н., Кротов Н.В. Прямой метод приближенного решения нелинейного уравнения в серии подпространств. // Дифференциальные уравнения. Известия РАЕН. 2005. №9. С. 89-98.

32. Треногим В.А. Функциональный анализ // М.: Физматлит. 2002. 488 с.

33. ХоллДж., УаттДж. (ред.) Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. // М., Мир. 1979. 312 с.

34. Damm Т., Hinrichsen D. Newtons method for concave operators with resolvent positive derivatives in ordered Banach spaces. // Lineal Algebra and Appl. 2003. 363. P. 43-64.

35. Moore Chika. The solution by iteration of nonlinear equations of Hammer stein type. // Nonlinear Annal. 2002. 49, № 5, P. 631-642.