Метод факторизации в проблеме напряженно-деформированного состояния литосферных плит тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Бабешко, Ольга Мефодиевна

• Бабешко, Ольга Мефодиевна
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Бабешко, Ольга Мефодиевна

Введение.

Глава 1. ФАКТОРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ И МАТРИЦ-ФУНКЦИЙ.

§ 1. Некоторые сведения из теории факторизации функций.

§ 2. Факторизация матриц-функций.

§ 3. О факторизации матриц-функций, не вырождающихся в функционально-коммутативные.

§ 4. О факторизации матриц-функций порядка N.

§ 5. Факторизация матриц-функций относительно оси.

§ 6. Новые формулы факторизации некоторых мероморфных матриц-функций.

Глава 2. МЕТОД ФАКТОРИЗАЦИИ В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ • СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.•.

§ 1. Топологическая основа метода факторизации.

§ 2. Метод факторизации для обыкновенного дифференциального ф уравнения в сравнении с другими методами.

§ 3. Прямой метод факторизации решения некоторых краевых задач.

§ 4. Обобщенная факторизация в краевых задачах в многосвязных областях.

§ 5. Метод факторизации в краевых задачах в неограниченных об® ластях. if

§6.0 методе факторизации в краевых задачах для сплошных сред.

§ 7. К исследованию связанных краевых задач механики сплошных сред и математической физики.

§ 8. Исследование краевых задач двойной факторизацией.

§ 9. Исследование краевых задач для систем дифференциальных уравнений высокого порядка.

А § 10. О выполнении граничных условий в методе факторизации.

Глава 3. ФАКТОРИЗАЦИЯ В ТЕОРИИ ВИРУСОВ ВИБРОПРОЧНОСТИ.

§ 1. Некоторые вопросы локализации, резонансов и вирусов вибропрочности для сред с неоднородностями.

§ 2. О существовании вирусов вибропрочности.

§ 3. Локализация и резонансы в случае единичных штампа и трещины.

§ 4. О классификации вирусов вибропрочности.,.

§ 5. Метод факторизации в теории вирусов вибропрочности.

Глава 4. ПРОБЛЕМА ОЦЕНКИ ВОЗДЕЙСТВИЙ НА НИЖНЕЕ ОСНОВАНИЕ ЛИТОСФЕРНОЙ ПЛИТЫ.

§ 1. Основные уравнения теории переноса субстанций.

§ 2. Задача переноса субстанций в многослойной среде.

§ 3. Распределение субстанций-плюмов на границе Мохоровичича с разнородными зонами.

§ 4. Задача о движении и концентрации субстанций при конвективном движении среды.

Глава 5. ПРОБЛЕМА КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ ВО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЛИТОСФЕРНЫХ ПЛИТАХ И ИХ

УСТОЙЧИВОСТЬ.

§ 1. Уравнения напряженно-деформированного состояния литосферной плиты.

§ 2. Концентрация напряжений во взаимодействующих литосферных плитах.

§ 3. Потеря устойчивости литосферных плит.

§ 4. Об оценке поведения плит после потери устойчивости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод факторизации в проблеме напряженно-деформированного состояния литосферных плит»

Актуальность проблемы

К числу нерешенных современных проблем наук о Земле относится прогноз землетрясений. Исследования в этой области ведутся издавна, опубликовано большое количество работ, проблемой занимаются выдающиеся ученые планеты. Однако до сих пор нет сколько-нибудь надежных ее решений.

Причина заключается в том, что оценка сейсмического состояния глубинных слоев Земли - одна из труднейших задач, с которыми когда-либо сталкивались исследователи, в ней воплощены все известные проблемы математики, механики, физики, химии и экспериментальных исследований. Сложности проблемы и разнообразным подходам к их решению посвящены работы [3, 121, 127, 148, 155, 168, 172, 173, 176-181, 193, 198, 200, 220] и др.

Назовем некоторые из них. Прежде всего, недоступность глубинных слоев Земли для получения надежных данных относительно параметров среды и протекающих там процессов. Известны лишь сравнительно приближенные модели тектонического строения Земли. Велико разнообразие и разброс как геометрических характеристик глубинных зон, так и физико-механических и химических процессов, протекающих в активных зонах, известных лишь приближенно, а зачастую принимаемых на основе гипотез.

Добавим к этому отсутствие знаний или установившейся точки зрения относительно строения коры Земли - является она сплошной структурой или блочной.

В настоящее время накоплен значительный материал, относящийся к оценке произошедших землетрясений по оценкам магнитуды и балльности сейсмических событий, местах традиционного проявления этого события, построены модели протекания процесса разрушения среды. Однако исследований по анализу нарастания сейсмической напряжённости с позиции механики разрушения литосферных плит выполнено очень немного.

Известные в этой области работы связаны со значительной идеализацией литосферных плит - идеализацией неоднородностей, разломов, вызванных незнанием строения литосферных плит в заданном районе.

И тем не менее концепция механического разрушения литосферных плит имеет под собой основу. Приведем соображения, которые дают основания применять этот подход в проблеме сейсмичности.

Кора Земли представляет собой деформируемое тело - сферическую плиту, в основном упругую, имеющую сложное строение, с разломами, рельефами, включениями и полостями (рис. В. 1). В ней различают, как правило, три характерные границы между осадочными структурами и кристаллическими - гранитом, между гранитом и базальтом (граница Конрада) и между базальтом и верхней мантией (граница Мохоровичича). Это не исключает наличия и других многочисленных границ в разных местах Земли. Нельзя исключать и часть коры Земли, превосходящую по площади территорию суши, покрытую океаном, где сформирована граница между водным слоем и непосредственно твердыми кристаллическими структурами дна (рис. В. 2).

С точки зрения происходящих сейсмических событий кору Земли нельзя рассматривать крупномасштабным объектом, поскольку сейсмические события в масштабах размеров Земли носят мелкомасштабный, локальный характер. Максимальные зарегистрированные разломы Земли, появлявшиеся при землетрясениях, не превосходят 100 км в длину, что в масштабах протяженности экватора Земли (40 ООО км) является малой величиной. Это же показывают и сейсмические события. Их проявления в одних местах, как правило, не влекут за собой подобных событий в других, удалённых районах. В связи с этим при изучении сейсмического события в литосферной плите анализируются мелкомасштабные особенности, разломы, включения, неоднородности, воздействия, а сама литосферная плита принимает образ горизонтально протяжённой и даже неограниченной трёхмерной плиты, имеющей сложное строение с рельефными внешними и внутренними границами. Проблема усугубляется тем, что относительно литосферной плиты нам достоверно известна лишь форма доступной её верхней границы. С учётом знаний и теорий исторических геологических процессов имеется предположительное описание строения зон осадочных пластов и пород, возможно, содержащихся в них, и совсем мало сведений известно относительно кристаллической части лито-сферной плиты (рис. В. 3). В то же время понятно, что основная часть упругой энергии накапливается именно в этой зоне, здесь формируются очаги наиболее сильных землетрясений, что следует из оценок глубин этих очагов (рис. В. 4).

Известно, что кора Земли имеет толщину от 6-8 км под дном океанов до 50 км в зонах горных массивов. Поэтому сильные землетрясения с глубинами более 50 км, называемые глубокофокусными, случаются редко и их разрушительное воздействие мало. Граница Мохоровичича разделяет упруго-деформируемую кристаллическую часть коры Земли и предположительно вязко-упругую, текучую, пластическую, относящуюся к верхней мантии ас-тиносфере. Наличие и места расположения разломов литосферных плит глобального характера, большой протяжённости, если они не выходят на поверхность, установлены по сейсмическим проявлениям, местам эпицентров землетрясений, сейсмической активности, а также с помощью спутниковых наблюдений. Это приэкваториальная зона, обилующая и вулканическими объектами, а также береговые зоны ряда океанов, в том числе и на Севере (рис. В. 5).

Однако сейсмические события происходят и в зонах, удалённых от глобальных разломов, т.е. определенную роль играют и разломы сравнительно малой мощности. Более того, в последние годы жизни академик М.А. Садовский, посвятивший много исследований проблемам сейсмичности, пришел к концепции блочного строения коры Земли. В его работах приведены многочисленные примеры, свидетельствующие о наличии оснований для такого утверждения [178-181]. Однако изучение волновых явлений в коре Земли не позволяет отвергать и ее сплошную структуру. Экспериментальные исследования глубинного строения литосферной плиты вплоть до нижнего основания в штате Огайо, выполненные профессором Р. Вильямсом (университет Теннесси, США) методом вибросейсморазведки с использованием тяжелого передвижного вибросейсмоисточника Y-3000, показали наличие как трещиноватого строения, претендующего на блочность литосферной плиты, так и зоны ее сплошности.

Скорее всего, имеет место и то и другое. Касаясь строения литосферных плит, нельзя не учитывать их преднапряжённость, сильную анизотропию, термоэлектроупругость, хотя и слабо проявляющуюся, а также вязкоупру-гость, по крайней мере, верхних слоёв, где известны поднятия и опускания геологических структур (рис. В. 6).

Не меньше проблем представляет описание внешних факторов, влияющих на напряжённо-деформированное состояние литосферных плит. К их числу относится следующий, далеко не полный набор: центробежные силы, связанные с вращением Земли, наиболее значительные на экваторе и, возможно, наиболее значимые при подготовке землетрясений, атмосферное давление, притяжение Луны и возникающие приливы, выпадение осадков и волнения морей и океанов, подводные океанические течения, вызывающие ко-риолисовы силы, смена времён года и связанные с этим температурные и деформационные изменения, солнечная активность, техногенные воздействия, связанные с деятельностью человека. Нельзя исключать из рассмотрения и роль изобилующих на поверхности Земли и в глубинах ее коры электролитов - естественных и наведенных, последствия выемки углеводородного топлива в различных формах, приводящей к образованию полостей, и др. Наконец, требует исследования малоизученный фактор внешних воздействий на нижнее основание литосферной плиты (границу Мохоровичича), обусловленных глубинной активностью Земли в нижней мантии между границами Гуттен-берга и Мохоровичича, где не исключаются в условиях высокой плотности сложные физико-химические, а возможно, и термоядерные процессы, сопровождающиеся конвективными движениями жидких масс, движением плюмов с выделением тепла, газов и радиации (рис. В. 7, 8).

К числу важнейших факторов необходимо отнести зарегистрированный медленно происходящий по границе Мохоровичича дрейф литосферных плит, сопровождающийся их горизонтальной деформацией, причина которого до конца неясна. Кроме того, нельзя исключать из рассмотрения ни один, даже кажущийся незначительным, фактор, поскольку, в сумме с другими факторами вблизи точки бифуркации он сможет спровоцировать сейсмическое событие (рис. В. 9).

Именно сложность строения литосферных плит и многофакторность внешних воздействий на них явились той причиной, что до сих пор нет признанного и строго установленного фактора или факторов, наиболее ответственных за нарастание сейсмической напряжённости литосферных плит. Понятно лишь одно: землетрясение - это разрушение литосферной плиты, происходящее с высвобождением упругой энергии, накопившейся в литосферной плите за счёт внешних воздействий. Здесь можно назвать несколько сценариев разрушения литосферных плит. В одних случаях места разрушения расположены в зонах наибольшей концентрации напряжений, выявляемой при решении основных или смешанных задач [4-9, 13-16, 25, 37, 84, 85, 92— 111, 123, 151, 152, 158, 163, 167, 169-171, 182, 184, 194, 195]. Процессы разрушения происходят при максимальных соответствующих напряжениях, если зона без неоднородностей. Если имеются разломы, то разрушения проявляются в вершинах трещин, включений или иных структур сложного строения, состоящих из совокупностей неоднородностей (вирусов вибропрочности) [92-101]. Могут иметь место упруго-пластические разрушения при наличии больших нелинейных деформаций [158, 173].

Наряду с разрушением литосферных плит по причине превышения предельных значений концентрации напряжений, в основном в зонах разломов, нельзя исключать разрушение их в связи с потерей устойчивости как нелинейных протяженных оболочек сложного строения за счет выпучивания или иных сложных движений, в том числе крутильного характера, но уже при сравнительно меньших напряжениях, чем нужны для разрушения твердого тела [66, 81, 91, 110, 125, 188, 189]. Возможны и иные комплексные процессы, вызывающие разрушение литосферных плит, возникающие лишь при одновременном синхронном воздействии на плиту нескольких факторов в моменты подходящего стечения обстоятельств. Именно сложность определения мест подготовки землетрясения явилась причиной развития направления статистической оценки возможного землетрясения [121]. Понятно, что это не решает проблему прогноза.

Таким образом, при любых подходах к решению проблемы прогноза мест подготовки землетрясений, вопрос исследования напряженно-деформированного состояния литосферой плиты как сложного деформируемого тела обязательно возникает, и нет никаких оснований уклониться от анализа этих вопросов, если мы хотим понять процесс ее разрушения.

Как видно из сказанного, проблема оценки сейсмичности в теоретической части соприкасается практически со всеми разделами современной механики, прикладной математики, термодинамики, физики твердого тела, геофизики. Но для того чтобы они смогли быть успешно применены при оценке сейсмичности, многие методы из числа перечисленных нуждаются как в доработке, так и в приспособлении к проведению с их помощью многофакторного анализа.

Таким образом, специфика проблемы состоит в том, что в описанных задачах сейсмичности воедино переплетаются такие факторы, влияющие на прочность и разрушение литосферных плит, как сложная геометрия тел с не-однородностями, в том числе разной размерности и гладкости, сложное физико-механическое строение тел, совместное влияние различных полей, воздействующих и на внутренние, и на внешние точки твердого тела.

Нужно добавить, что эта задача ставится в условиях достаточно большой неопределенности. Если влияние вращения Земли вокруг оси и гравитационное поле достаточно определенны, то факторы, связанные с малыми движениями плит, не говоря о воздействии на нижнее основание на границе Мохоровичича, оказываются неизвестными.

Описанная картина сложности в исследовании литосферных плит поначалу может показаться исключающей возможность решения проблемы. Однако созданные в настоящее время экспериментальные технологии и аппаратура позволяют получать важные данные геофизического характера, необходимые для постановок и исследований описанных задач.

Рядом возможностей для проведения экспериментальных исследований в этой области располагает геофизический полигон Кубанского государственного университета, где сосредоточены современные отечественные и зарубежные средства возбуждения, приема и обработки геофизической, сейсмологической, магнитотеллурической, гравитационной и физико-химической информации. Особое значение имеют данные о ежедневных вертикальных перемещениях поверхности Земли, получаемые на территории Краснодарского края с помощью сети гидрогеологических скважин и специальной автономно работающей аппаратуры (рис. В. 10).

С их помощью можно получить ряд данных, необходимых для корректных постановок математических задач. Заметим, однако, что информации лишь одного региона недостаточно для решения проблемы прогноза землетрясений. Необходима глобальная информация с обширных территорий.

Целью исследования является создание специально приспособленного для исследований в области сейсмологии математического аппарата, способного охватить описанный комплекс проблем механики деформируемого твердого тела. Метод должен быть достаточно унифицированным, чтобы обеспечить однотипный подход к решению достаточно разнообразного круга задач, описываемых как дифференциальными, так и интегральными уравнениями. Он должен быть достаточно универсальным, способным описывать процессы в глобальных и локальных областях, не утрачивая точности. Таковым явился метод факторизации, качественно обобщивший на дифференциальные уравнения подход, в свое время развитый Н. Винером, только для интегральных уравнений. Чтобы понять причины и убедиться в необходимости и создания этого метода при наличии большого количества других подходов, проанализируем существующие методы решения пространственных задач.

Задачи о равновесии и установившихся колебаниях сред в рамках линейных моделей математической физики обычно описываются при помощи краевых задач для эллиптических операторов второго порядка. К таким классам относятся модели изотропной и анизотропной теории упругости, модели геоэкологии, модель пористоупругой среды Био, электроупругая и магнито-упругая среды, модели диффузии, теплопроводности и термоупругости.

Аналитические решения частных задач

Ряд точных решений для моделей связанных полей можно найти в монографиях [113, 114, 122, 153, 166, 217]. Однако они имеют специализированную направленность и не обладают универсальностью.

Аналитические и полуаналитические методы решения

К числу наиболее часто используемых методов построения аналитических (и полуаналитических) решений исторически относятся метод разделения переменных и метод интегральных преобразований, которые используются обычно для канонических областей. В последние годы получил развитие метод конечных интегральных преобразований, обобщающий известный метод Фурье разделения переменных; в некоторых задачах решение строится в рядах, в некоторых дополнительно приходится решать бесконечные системы [136, 183].

К числу методов, часто используемых при решении краевых задач, принадлежат метод суперпозиции и метод однородных решений. Эти подходы, как правило, приводят к бесконечным алгебраическим системам, которые необходимо решать численно на основе метода урезания и, как правило, позволяют обосновать сходимость метода редукции. К недостаткам этого подхода относятся достаточно узкий класс областей и сложность исследования структуры решения на особых множествах границы. Исследования в этой области, несмотря на долгую предысторию, продолжаются и в наше время [184].

Численные методы решения

В большинстве краевых задач для упомянутых операторов для неканонических областей точное решение построить не удается и встает вопрос об эффективном численном анализе задачи. Все существующие численные методы анализа краевых задач для дифференциальных операторов в частных производных и способы сведения к конечномерным проблемам условно можно разбить на две большие группы.

1-я группа. Метод алгебраических систем К первой группе относятся методы, основанные на прямом сведении пространственных задач (3D) к алгебраическим системам. Сюда относятся разностные методы, основанные на простейших аппроксимациях операторов в частных производных разностными, и проекционные, базирующиеся на идеях метода Галеркина [203, 204].

При наличии слабых постановок можно использовать конечноэлемент-ные аппроксимации. Отметим, что наибольшего расцвета технология конеч-ноэлементных аппроксимаций достигла, оформившись в ряд мощных пакетов, для которых посильно решение самых разных задач из упомянутых областей механики и математической физики.

Так, вывод уравнений МКЭ из вариационных принципов электроупругости был проведен впервые, по-видимому, в [206].

В многочисленных публикациях, посвященных МКЭ для электроупругих сред, этот метод получил дальнейшее развитие. Были использованы (и построены новые) различные типы КЭ, разработана техника учета граничных условий для электродированных поверхностей (аналог контактных элементов), созданы специализированные КЭ-программы [258-260], позволяющие определять все требуемые характеристики полей, частоты резонансов и ан-тирезонансов, КЭМС и т.п.

Развитие конечноэлементных технологий в настоящее время осуществляется в нескольких направлениях.

1. Построение внутри конечного элемента аппроксимаций повышенной точности, использование для этого сплайн-аппроксимаций, позволяющих получать гарантированную точность решений при небольшом числе элементов, в том числе и вблизи границ [246].

Наиболее полно идеология такого подхода и ряд теоретических результатов по КЭ-аппроксимациям высокого порядка изложены в монографии [11].

2. Построение новых типов элементов [251].

3. Использование концепции суперэлементов, на основе которой возможно значительное сокращение порядка решаемых алгебраических систем [162].

4. Построение принципиально новых типов элементов, функции формы которых точно удовлетворяют дифференциальным уравнениям (элементы Треффтца) (см., например, [248]).

5. Распространение идей МКЭ на новые типы краевых задач, учитывающих разнородность сред и сопряжение физических полей (электроупругость, акустоупругость, акустэлектроупругость, термоэлектроупругость, различные керамики и ферроэлектрики) [52-54, 59, 117, 156, 213, 215, 219, 223, 224, 227-229, 233, 234, 242, 243, 256].

6. Создание автоматических алгоритмов разбиения области, обладающих минимальной шириной ленты в системе алгебраических уравнений [209-212, 218, 235, 247, 253, 254].

Созданию новых технологий в МКЭ посвящена работа [68].

2-я группа. Метод граничных интегральных уравнений. Эта группа методов алгебраизации краевых задач основана на предварительном понижении размерности исходных проблем и сведении их к двумерным операторным (интегральным) уравнениям — граничным интегральным уравнениям (ГИУ). При этом различают прямую формулировку, когда в качестве неизвестных фигурируют граничные значения векторов перемещений и напряжений, и непрямую, когда в качестве неизвестных выбираются плотности фиктивных сил. Кроме того, для прямой формулировки возможны два подхода при построении этих систем.

Первый основан на использовании идей теории потенциала и теоремы взаимности в самой общей форме для линейных моделей. Наиболее ясно этот подход изложен для операторов теории упругости и термоупругости в известной монографии [134].

В анизотропном случае отметим работы [252] и дальнейшее развитие метода в работе [255]. Вычислительные аспекты и приложения в механике даны в работах [126, 143, 192, 214, 225, 245].

Соответствующие граничные уравнения для моделей линейной электроупругости приведены в монографиях [165, 195].

Разработка граничноэлементных аппроксимаций применительно к новым классам операторов типа задач электроупругости осуществлена в работе [231].

Нестандартная формулировка граничноэлементной аппроксимации изложена в работе [232].

Ключевым моментом в построении систем ГИУ является разработка фундаментальных и сингулярных решений для соответствующего оператора в частных производных. Если оператор имеет постоянные коэффициенты, то фундаментальное решение существует и может быть найдено эффективно из теоремы Мальгранжа - Эренпрейса при помощи трехмерных интегралов Фурье (см., например, [130, 131, 140, 250]).

Основным препятствием для более интенсивного использования граничных уравнений и технологий на основе МГЭ является либо отсутствие простой формы фундаментальных решений (например, представление через гипергеометрическую функцию), либо невозможность кардинального упрощения интегрального представления. В то же время построение новых представлений функций Грина (удовлетворяющих некоторым граничным условиям) открывает большие перспективы на пути использования метода ГИУ. Ранее построенные фундаментальные решения нашли отражение в работах [230, 236-238].

Построенные системы двумерных ГИУ второго рода по границе тела могут быть использованы как для аналитического изучения структуры решения (особенно в окрестности особых множеств границы), так и для приближенного анализа и сведения к конечномерным проблемам (линейным алгебраическим системам) на основе различных подходов. Отметим, что уравнения, построенные согласно этой схеме, имеют нерегулярные ядра, хотя для большинства используемых таких уравнений. справедливы теоремы Фред-гольма.

Классический метод ГЭ, основанный на аппроксимации граничных полей, начал развиваться относительно недавно, что связано с появлением мощных вычислительных машин. Классический метод МГЭ (ВЕМ) приводит к решению хорошо обусловленных систем в силу того, что интегральные операторы в двумерных ГИУ имеют сингулярные особенности. К сожалению, для ряда осесимметричных задач изотропной теории упругости, для задач анизотропной теории упругости ядра интегральных операторов не выражаются в явном виде, что в значительной степени осложняет процедуру численной реализации, поскольку метод приводит к вычислению большого количества кратных сингулярных и несингулярных интегралов. При дискретизации и сведении к алгебраическим системам основная трудность - вычисление коэффициентов матрицы системы, которые даже в случае наличия явного вида фундаментальных решений (изотропная теория упругости) приводят к вычислению большого числа двойных интегралов; для более сложных ситуаций, когда фундаментальные решения не имеют явного представления, эти интегралы становятся многократными и главное достоинство метода ГИУ — понижение размерности - сходит на нет.

Одним из альтернативных подходов представленной идеологии является сведение краевых задач к граничным уравнениям первого рода, которые в теории потенциала были предложены впервые в работах В.Д. Купрадзе и М.А. Алексидзе [7-9, 132-134].

Однако в качестве ядер интегральных операторов были использованы фундаментальные решения соответствующих дифференциальных операторов. В.Д. Купрадзе предложил использовать регулярные интегральные уравнения, которые формулировались по некоторой вспомогательной поверхности, лежащей вне тела, что приводило к плохо обусловленным алгебраическим системам при дискретизации. В силу того, что фундаментальные решения многих операторов не выражаются в явном виде, этот подход оказался совершенно неэффективным для операторов анизотропной теории упругости и электроупругости, других, более сложных моделей, для которых возможно лишь построение интегральных представлений фундаментальных решений. Дадим характеристику этого метода в сопоставлении с другими методами исследования и решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Численные методы, основанные на вариационных принципах, методы Рица, Галеркина эффективны при исследовании задач, решения которых описываются слабо осциллирующими функциями и в ограниченных областях. Увеличение размеров области и наличие внутренних особенностей и сильной осцилляции делает эти методы неэффективными.

Метод граничных интегральных уравнений позволяет формулировать краевые задачи, сугубо связанные с дифференциальными уравнениями изотропной теории упругости в ограниченных областях. Переход к уравнениям более общего вида, анизотропным, с электроупругими соотношениями требует дополнительных усилий по построению аналогов формулы Бетти. Недостатками метода являются сингулярность входящих в представление интегральных уравнений операторов, а также полная утрата качественных особенностей задач вибрации, наличия параметров, описывающих осцилляци-онный характер зависимостей, связанных с возникновением волновых процессов.

Метод фундаментальных решений в отличие от предыдущего случая уже учитывает характер зависимости параметров, описывающих ядра интегральных уравнений от частоты, однако его недостатком является наличие особенностей в ядрах.

В работах [23, 47] на основе анализа трансформант Фурье функций с носителем в конечной области была построена система интегральных уравнений 1-го рода с гладкими ядрами для оператора изотропной теории упругости. Фактически в качестве ядер в этом случае фигурируют экспоненциальные решения соответствующего оператора. При прямой численной реализации этого подхода оказывается, что коэффициенты соответствующего дискретного оператора представимы в виде интегралов от экспоненциальных или цилиндрических функций. Если говорить об общем пространственном случае при достаточно простой аппроксимации границы многогранником и простых интерполирующих функциях, то коэффициенты алгебраических систем, которые при этом получаются, могут быть выписаны в явном виде, что является несомненным достоинством этого подхода и открывает большие перспективы. Главный недостаток полученных ГИУ 1-го рода - плохая обусловленность возникающих при этом алгебраических систем. На сегодняшний день имеются достаточно мощные вычислительные средства, позволяющие анализировать алгебраические системы, в основе которых лежит метод регуляризации в той или иной форме. Так, синтез МГЭ и метода регуляризации позволяет использовать эти уравнения для определения как характеристик напряженно-деформированного состояния, так и резонансных частот. Использование априорной информации о структуре решения позволяет существенно продвинуться в процедуре обращения вполне непрерывного оператора и создать эффективные численные алгоритмы для этого.

Идеология ГИУ первого рода с гладкими ядрами развивалась в работах [69-71,217].

Для регуляризации использовались либо метод А.Н. Тихонова, либо метод решения плохо обусловленных систем (метод Пейджа - Саундерса). Отметим, что в этом случае достаточно точно и устойчиво определялись резонансные частоты краевой задачи (это следует из сравнения результатов расчетов с точными решениями для модельных задач для канонических областей). Точность определения граничных значений неизвестных несколько хуже. Для более точного определения граничных значений неизвестных предложено использовать регуляризацию на компактных множествах, в качестве которых выбирались множества кусочно-гладких на границе функций с известными точками (линиями) нарушения гладкости. При этом использовались аппроксимации высокого порядка (второго, третьего и квазисплайны), для которых условия сопряжения на границе элемента выполняются автоматически.

Отметим таюке работу, посвященную новым ГИУ для трещин [257]. Кроме того, возможные варианты построения ГИУ с непрерывными ядрами обсуждены в работе [114].

В последние десятилетия интенсивно развиваются гибридные схемы, сочетающие конечноэлементные и граничноэлементные аппроксимации [49, 221].

Сочетание метода граничных элементов для акустических сред с конечно-элементными аппроксимациями для упругих и пьезоэлектрических областей рассматривалось также в [240].

Данный обзор показывает, что существующие методы не обладают универсализмом и больше специализированы для решения конкретных частных задач. Усложнение областей, типов неоднородностей, концентраторов напряжений, выход на задачи с бифуркациями делает неприемлемыми те или иные из перечисленных методов, начиная с некоторого усложнения задачи. Эти методы практически не применялись в задачах для совокупностей трещин и включений. Рассматриваемые в диссертации краевые задачи для систем дифференциальных уравнений в частных производных, являющиеся весьма общими, исследовались при различных предположениях относительно свойств описывающих ее параметров, коэффициентов. Теоретические исследования подобных систем в предположении эллиптичности изучались различными методами в работах С.Г. Михлина, О.А. Ладыженской, М.И. Вишика, Г.И. Эскина и других авторов, например, [1, 12, 50, 56, 74-76, 78-80, 116, 120, 132, 135, 138,141, 144, 150, 183, 186, 190,204].

Приведенный достаточно полный обзор существующих методов показывает, что несмотря на эффективность при решении конкретных специальных задач, ни один из них не удовлетворяет полностью всем требованиям, необходимым для исследования напряженно-деформированного состояния литосферных плит. Эти методы могут быть использованы на разных этапах после стадии математического анализа проблемы, который будет выполняться создаваемым методом факторизации.

Научная новизна результатов работы. Для исследования напряженно-деформированного состояния литосферных плит, преодоления перечисленных сложностей был развит метод факторизации исследования краевых задач, использующий топологический подход, приведший к применению методов интегральной геометрии, теории функций многих комплексных переменных, многомерных вычетов, внешнего анализа, факторизации [2, 12, 58, 61, 63, 73, 77, 78, 89, 90, 112, 137, 144, 149, 174, 175, 191, 199, 204, 205], т.е. методов разных математических направлений. Стояла проблема изучения воздействия на литосферную плиту большого количества отмеченных выше внешних факторов. Это приводило к краевым задачам для больших систем дифференциальных уравнений в частных производных. Данную проблему удалось преодолеть, впервые построив формулы факторизации основных типов полных мероморфных матриц-функций [18, 20, 36], чего не удавалось сделать раньше [34, 72, 84, 88, 105-108, 139, 159, 204, 241]. Это освободило исследователя от непростой работы по изучению собственных векторов крупноразмерной матрицы-функции многих переменных с большим количеством параметров, не имеющих конкретных числовых значений, и формализовало исследование краевой задачи для системы дифференциальных уравнений до уровня одного дифференциального уравнения. При изучении этих вопросов появилась теория «вирусов вибропрочности», справедливо названная так из-за скрытости совокупностей неоднородностей (вирусов), в одних условиях и их разрушительного воздействия на механический объект — в других [15,16,25,29].

Учет блочных объектов, неоднородностей той же размерности, что и плита, привел к необходимости разработки таких методов исследования задач прочности, которые учитывали бы совместное, комплексное влияние и физических, и геометрических характеристик поставленных задач. Протяженность, неограниченность литосферных плит с рельефными поверхностями делает неэффективным применение множества традиционных для таких задач численных методов [7, 8, 9, 11, 52-55, 59, 62, 68-71, 117, 162, 192, 206-219, 221-240, 242-260].

Методом факторизации удается исследовать ряд задач и из смежных областей -экологии, материаловедения.

Для исследования потери устойчивости литосферных плит сформулированные задачи механики для литосферных плит сведены к исследованию систем, в общем случае нелинейных дифференциальных и интегральных уравнений с большим числом неизвестных и свободных входных параметров в неоднородных средах со сложной геометрией.

В процессе исследования этих задач впервые решена проблема построения уравнений разветвления при потере устойчивости взаимодействующих литосферных плит и сформулированы достаточные условия потери устойчивости литосферных полубесконечных и полуограниченных плит. Научное и практическое значение результатов работы Разработан достаточно универсальный метод исследования и решения краевых задач для больших систем, линейных дифференциальных уравнений в частных производных в любых областях , в том числе неограниченных с рельефной поверхностью и при наличии неоднородностей меньших размерностей. Метод применим также при исследовании и решении краевых задач для псевдодифференциальных и интегральных уравнений. Эти задачи возникают не только в сейсмологии, но и в различных областях механики, физики, экологии, электроники. Ряд задач и соответствующие уравнения даны в приложении.

К системам такого рода приводятся задачи теории упругости для изотропных и анизотропных сред, термоупругости, электроупругости, при наличии гравитационных полей и полей иной природы, в том числе для пьезоке-рамических материалов. В такой же степени охватываются задачи моментной теории упругости, материалы БИО и др. Развиваемым методом можно исследовать и задачи из смежных областей, например, теории пластичности, гидромеханики, теории переноса загрязняющих веществ в экологии [57, 64, 67, 109, 113, 115, 126, 127, 129, 130, 131, 132, 134, 143, 153, 157, 158, 160, 161, 164, 165, 181, 187,197, 203, 206, 217].

В частности, близкой является проблема описания воздействий глубинной активности Земли в верхней мантии на нижнее основание литосферных плит по границе Мохоровичича. Предлагаемый метод также применим для решения проблемы проектирования материалов с заданными свойствами.

Практическое значение полученных результатов заключается в возможности единым методом одновременно решать комплекс вопросов сейсмологии, связанных с разрушением литосферных плит, чего не удавалось сделать другими методами, а также методом факторизации исследовать ряд новых, важных в приложениях задач' механики, материаловедения, электроупругости, экологии и др.

Прикладное значение результатов состоит в создании модели прогноза зон подготовки землетрясений как по максимальным разрушающим напряжениям, касательным, в случае простых воздействий и областей, в зонах разломов или при потере устойчивости.

Достоверность результатов

Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических методов, а также проверкой результатов на тех частных задачах, которые решаются иными методами. Например, при проверке метода факторизации использовалось спрямление границ, приводившее в слоистых областях к задачам, которые решаются методом интегральных преобразований.

Для проверки решений в случае искривленных границ применялся метод исследования и решения дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной, разработанный М.И. Вишиком и JI.A. Люстер-ником [74-76].

Исследования в области сейсмологии опирались на установленные и экспериментально подтвержденные результаты академика М.А. Садовского по блочному строению Земли, а также результаты профессора Р.Вильямса, построившего экспериментально горизонты в штате Огайо.

На защиту выносятся:

1. Разработка метода факторизации исследования и решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициетами произвольного порядка в ограниченных, полуограниченных и неограниченных областях. Области могут быть многосвязными, границы - кусочно-гладкими или содержащими неоднородности той же или меньшей размерности.

2. Разработка метода факторизации исследования и решения систем интегральных уравнений, порождаемых применением метода факторизации к краевым задачам для уравнений в частных производных.

3. Разработка нового метода факторизации полных мероморфных матриц-функций.

4. Разработка метода расчета концентрации напряжений во взаимодействующих литосферных плитах.

5. Разработка метода исследования потери устойчивости взаимодействующих литосферных плит и разных их состояний (ветвление решений).

6. Разработка метода учета воздействия верхней мантии на нижнее основание литосферных плит.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.), на Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2001 г.), на IV и V Международных экологических конференциях студентов и молодых ученых «Экологическая безопасность и устойчивое развитие» (Москва, 2000 г. и 2001 г.), на V Международном семинаре «Фундаментальные и прикладные проблемы мониторинга и прогноза стихийных бедствий. Стихия-2001» (Севастополь, 2001 г.), на I научной конференции «Экология и рациональное природопользование» (Санкт-Петербург, 2001 г.), на IV Международной научно-технической конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2001 г.), на III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием (Ростов-на-Дону, Азов, 2003 г.), на Международном симпозиуме «Technological Civilization Impakt of the Environment» (Германия, Карлсруэ, 1996 г.), на всероссийских научных конференциях грантодержателей РФФИ и администрации Краснодарского края конкурсов «Р2000Юг» и «Р2003Юг» (Сочи, 2000-2004 г.), на Международном симпозиуме «Pollutants Transfer by Tornadoes and Convective Movements» (Германия, Висбаден, 2004 г.), а также на семинарах кафедры математического моделирования КубГУ и Института проблем механики и геоэкологии КубГУ.

Структура, содержание и объем работы

Диссертация состоит из введения, 5 глав, приложения, заключения, списка использованной литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Бабешко, Ольга Мефодиевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Создан математический аппарат факторизации, специально приспособленный для исследования напряженно-деформированного состояния литосферных плит. В частности, разработан метод факторизации исследования и решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами произвольного порядка в ограниченных, полуограниченных и неограниченных областях. Области могут быть многосвязными, границы - кусочно-гладкими. Области могут содержать неоднородности той же или меньшей размерности.

Показано, что метод факторизации позволяет исследовать все основные типы краевых задач, возникающих при изучении напряженно-деформированного состояния литосферных плит, и при наличии воздействий внешних полей любой природы, описываемых системами линейных уравнений в частных производных конечного порядка с постоянными коэффициентами.

2. Разработан новый метод — метод факторизации исследования и решения интегральных уравнений теории вирусов вибропрочности в произвольных областях, основанный на применении внешнего анализа, геометрии многообразий. В отличие от метода фиктивного поглощения он применим также и в случае невыпуклых и многосвязных областей.

3. Впервые построены формулы факторизации полных (без требования функциональной или иной коммутативности или треугольности) мероморф-ных матриц-функций. На их основе: создан метод двойной факторизации, который позволил свести исследование краевых задач для систем дифференциальных уравнений к аналогу одного уравнения;

- разработан метод исследования взаимодействующих плит, пластин и оболочек, лежащих на деформируемом основании, учитывающий разнотипность последних.

4. Предложен метод исследования воздействия верхней мантии на нижнее основание литосферных плит субстанциями, выбрасываемыми плюмами; построены модели расчета их оседания.

5. Разработан метод исследования напряженно-деформированного состояния взаимодействующих литосферных плит, концентрации напряжений в них, в том числе при наличии вирусов вибропрочности.

6. Предложен аналитический метод исследования потери устойчивости взаимодействующих литосферных плит и оценки последующих их состояний (ветвление решений) с применением факторизации.

Разработанный метод факторизации исследования и решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами конечного порядка в ограниченных, полуограниченных и неограниченных областях позволяет получать общее представление решения этих краевых задач в произвольных системах координат.

Для получения решения краевой задачи в интегральном виде требуется решать систему двумерных псевдодифференциальных уравнений. Последние можно исследовать таким же методом дальше, применив метод факторизации к главному оператору и понизив порядок уравнений еще на единицу. Кроме того, система псевдодифференциальных уравнений допускает дискретизацию, т.е. сведение к системам линейных алгебраических уравнений путем разложения решения уравнений по полным системам функций, сплайнов и т.д.

Наличие общего представления решения и псевдодифференциальных уравнений для определенных значений параметров задачи позволяет получать в простом виде приближенные или вырожденные аналитические решения рассматриваемых задач, особенно в статических случаях. Например, в случаях относительно больших в безразмерных параметрах областях в псев-додиференциальных уравнениях можно оставлять только главный оператор и пренебрегать экспоненциально малым вполне непрерывным. В результате можно воспользоваться решениями задач для полупространства, которые строятся просто. То же самое можно сделать и в задачах теории вирусов вибропрочности.

Развитый метод применим во всех случаях, когда приходится иметь дело с краевыми задачами для систем дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами произвольного порядка, имеющих неоднородности.

Он применим в задачах проектирования материалов с заданными свойствами, в задачах экологии, геофизики, акустики, радиофизики и других областях.

В тех случаях, когда дифференциальные уравнения в частных производных краевой задачи имеют переменные коэффициенты, метод можно применять, осуществив разбиение области на подобласти, в которых коэффициенты считаются постоянными.

В случае нелинейных краевых задач можно также использовать этот подход, применив метод Ньютона - Кантаровича сведения нелинейных операторных уравнений к линейным.

Разработанный в диссертации метод факторизации полных мероморфных матриц-функций дает возможность решать в аналитическом виде многие сложные смешанные задачи. Кроме того, он позволяет ставить и решать краевые задачи для бесконечных систем дифференциальных уравнений в частных производных в произвольных областях.

Все вышеперечисленные задачи в перспективе предполагается исследовать.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Бабешко, Ольга Мефодиевна, 2005 год

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. М.: ИЛ, 1962. 208 с.

2. Айзенберг Л.А., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979. 368 с.

3. Аки К, Ричарде П. Количественная сейсмология. М.: Мир, 1983. Т. 1, 2. 876 с.

4. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. 487 с.

5. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Наука, 1993. 224 с.

6. Александров В.М., Ромалис Б.Л. Контактные задачи в машиностроении. М.: Машиностроение, 1986. 176 с.

7. Алексидзе М.А: Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. М.: Наука, 1978. 351 с.

8. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука, 1991. 352 с.

9. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции уравнений математической физики в приближенных решениях граничных задач. Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1989. Ч. 1. 412 с.

10. Алоян А.Е. Динамика и кинетика газовых примесей и аэрозолей в атмосфере. М.: ИВМРАН, 2002. 201 с.

11. Апанович В.Н. Метод внешних конечноэлементных аппроксимаций. Минск: Вышэйша шк., 1991. 170 с.

12. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. 432 с.

13. Арутюнян Н.Х., Манжиров А.В., Наумов В.Э. Контактные задачи механики растущих тел. М.: Наука, 1991. 176 с.

14. Арутюнян Н.Х., Манжиров А.В. Контактные задачи теории ползучести. Ереван: НАН, 1999. 320 с.

15. Бабешко О.М. К расчету экологических последствий спиралеобразных движений атмосферы и водных масс // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. №3. С. 57— 60.

16. Бабешко В.А. «Вирусы» вибропрочности // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. 1994. Спецвыпуск. № 1. С. 90-91.

17. Бабешко В.А. Высокочастотный резонанс массивного штампа // Докл. РАН СССР. 1989. Т. 306. № 6. С. 1328-1333.

18. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Исследование краевых задач двойной факторизацией // Докл. РАН. 2005. Т. 403. № 1. С. 20-24.

19. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Собисевич A.JI. Исследование поведения вязкой жидкости при вибровоздействии // Докл. АН СССР. 1994. Т. 336. № 6. С. 760-762.

20. Бабешко В.А., Бабешко О.М. К исследованию связанных краевых задач механики сплошных сред и математической физики // Докл. РАН. 2005. Т. 400. №2. С. 192-196.

21. Бабешко В.А., Бабешко О.М. К исследованию краевых задач сейсмологии // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2004. № 3. С. 5-10.

22. Бабешко В.А., Бабешко О.М. К оценке экологических последствий спиралеобразных движений атмосферы и водных масс // Изв. Междунар. акад. наук высш. шк. 2002. № 3 (21). С. 105-110.

23. Бабешко В.А. К проблеме исследования динамических свойств трещиноватых тел // Докл. АН СССР. 1989. Т. 304. № 2. С. 318-321.

24. Бабешко В.А. О неединственности решений динамических смешанных задач для систем штампов // Докл. АН СССР. 1990. Т. 310. № 6. С. 13271330.

25. Babeshko O.M., Zaretskaya M.V., Syromyatnikov P.V. Pollutants Transfer by Tornadoes and Convective Movements: Proceeding of a Workshop held at the University of Applied Sciences. Wiesbaden, Germany, 29.09-01.10. 2004.

26. Бабешко B.A., Бабешко O.M., Вильяме P. Метод факторизации решения некоторых неоднородных краевых задач // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. Спец. вып. С. 10-12.

27. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации решения некоторых краевых задач // Докл. РАН. 2003. Т. 389. № 2. С. 184-188.

28. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации в краевых задачах в неограниченных областях // Докл. РАН. 2003. Т. 392. № 6. С. 767-770.

29. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации в теории вирусов вибропрочности // Докл. РАН. 2003. Т. 393. № 4. С. 473-477.

30. Бабешко В.А:, Бабешко О.М. О методе факторизации в краевых задачах для сплошных сред // Докл. РАН. 2004. Т. 399. № з. с. 315-318.

31. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Обобщенная факторизация в краевых задачах в многосвязных областях // Докл. РАН. 2003. Т. 392. № 2. С. 185—189.

32. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Об одном новом подходе в проблеме прогноза сейсмичности. Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. 2005. № 4. С. 69-74.

33. Бабешко В.А., Бабешко О.М. О некоторых проблемах в сейсмологии // Вестн. Юж. науч. центра РАН. 2004. № 1. С. 17-23.

34. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. 265 с.

35. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Вильяме Р. Проблема исследования напряженно-деформированного состояния литосферных плит // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. Спецвыпуск. С. 10-12.

36. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Формулы факторизации некоторых мероморфных матриц-функций // Докл. РАН. 2004. Т. 399. № 1. С. 26-28.

37. Бабешко В.А., Ворович И.И., Образцов И.Ф. Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1990. № 3. С. 74-83.

38. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Интегральные преобразования и метод факторизации в краевых задачах // Докл. РАН. 2005. Т. 403. № 6. С. 26-28.

39. Бабешко О.М., Евдокимов С.М., Евдокимова О.В. К оценке эколого-экономической целесообразности дизайна рекреаций предприятий // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1999. № 3. С. 115-117.

40. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Об одной модели расчета концентрации напряжений в литосферных плитах // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 2. С.16-22.

41. Бабешко О.М., Сыромятников П.В. Система расчета оседания загрязняющих веществ в многослойной среде с учетом подстилающих поверхностей: Свидетельство об офиц. регистрации программы для ЭВМ. № 2004611392; от 04.06.2004.

42. Бабешко О.М. Новый подход в оценке оседания веществ на разнотипные поверхности // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. № 1. С. 82-87.

43. Бабешко О.М., Евдокимова О.В., Евдокимов С.М. Об учете типов источников и зон оседания загрязняющих веществ // Докл. РАН. 2000. Т. 371. № 1. С. 32-34.

44. Бабешко О.М. Об одном подходе в проблеме оценки загрязнения разнородных ландшафтов // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2003. № 1. С. 10-15.

45. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 344 с.

46. Бабешко В.А., Бабешко О.М. О представлении решений в методе факторизации: Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 1. С. 5-9.

47. Балабаев С.М., Ивина Н.Ф. Анализ пьезопреобразователей комбинированным методом конечных и граничных элементов // Акустический журнал. 1996. Т. 42. № 2. С. 172-178.

48. Барыбин А.А. Волны в тонкопленочных полупроводниковых структурах с горячими электронами. М.: Наука, 1986. 288 с.

49. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. М.: Наука, 1970. 328 с.

50. Белоконъ А.В., Наседкин А.В., Соловьев А.Н. Новые схемы конечно-элементного динамического анализа пьезоэлектрических устройств // Прикладная математика и механика. 2002. Т. 66. №. 3. С. 491-501.

51. Белоконъ А.В., Надолин К.А., Наседкин А.В. и др. Симметричные алгоритмы в конечно-элементном анализе сложных пьезоэлектрических устройств // Математическое моделирование. 2001. Т. 13. № 2.

52. Белоконъ А.В., Еремеев В.А., Наседкин А.В., Соловьев А.Н. Блочные схемы метода конечных элементов для динамических задач акустоэлектроупругости // Прикладная математика и механика. 2000. Т. 64. №3. С.381-393.

53. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. 496 с.

54. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. 352 с.

55. Бердичевский М.Н., Дмитриев В.И., Новиков ДБ., Пастуцан В.Б. Анализ и интерпретация магнитотеллурических данных. М.: Изд-во МГУ, 1997.

56. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. М.: Мир, 1967. 336 с.

57. Болкиев A.M. Конечно-элементный анализ деформированного состояния пьезоэлектрического двигателя // Прикладная механика. 1993. Т. 29. № 8. С. 69-72.

58. Борисов Д.В., Пряхина О.Д., Смирнова А.В. Решение динамической задачи для трехслойной среды с включениями // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. № 2. С. 8-13.

59. Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию. М.: Высш. шк., 1980. 296 с.

60. БреббияК., Телес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 526 с.

61. Бремерман Г.Б. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье. М.: Мир, 1968. 276 с.

62. Бреховских Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989.412 с.

63. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1977. 288 с.

64. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 528 с.

65. Вайсблат Г.В., Петрова С.А. О связи коэффициента турбулентности в пограничном слое атмосферы с некоторыми метеорологическими параметрами // Вопросы климатологии и загрязнения атмосферы. М.: Гидрометеоиздат, 1980. 278 с.

66. Василъченко К.Е., Наседкин А.В., Соловьев А.Н. К расчету АХЧ задач об установившихся колебаниях на основе кластерных технологий в ACELAN // Вычислительные технологии. 2004. № 3.

67. Ватулъян А. О. О граничных интегральных уравнениях 1-го рода в динамических задачах анизотропной теории упругости // Докл. РАН. 1993. Т. 333. №3. С. 312-314.

68. Ватулъян А. О., Ковалев О.В., Соловьев А.Н. Новый метод ГИУ в краевых задачах для эллиптических операторов и его численная реализация // Вычислительные технологии. 2002. Т. 7. № 1. С. 54-65.

69. Ватулъян А.О., Соловьев А.Н. Новая формулировка граничных интегральных уравнений первого рода в электроупругости // Прикладная математика и механика. 1999. Т. 63. Вып. 6. С. 1035-1043.

70. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука. 1970. 379 с.

71. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп. М.: Наука, 1991.576 с.

72. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Об асимптотике решения краевых задач для квазилинейных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1958. Т. 121. №5. С. 778-781.

73. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи математических наук. 1957. Сент.-окт. Т. 12. Вып. 5 (77). С. 3-122.

74. Вишик М.И., Люстерник JI.A. Об эллиптических уравнениях, содержащих малые параметры при старших производных // Докл. АН СССР. 1957. Т. ИЗ. № 4. С. 734-737.

75. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1964. 412 с.

76. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.

77. Волевич JI.P., Панеях Б.П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения // Успехи математических наук. 1965. Т. 20. Вып. 1. С. 3-74.

78. Волевич Л.Р., Егорова Ю.В., Панеях Б.П. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1967. 366 с.

79. Волъмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.

80. Ворович И.И. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245. № 5. С. 1076-1079.

81. Ворович И.И. Спектральные свойства краевой задачи теории упругости для неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245. №4. С. 817-820.

82. Ворович ИИ., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М., 1979. 320 с.

83. Ворович ИИ, Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 456 с.

84. Ворович И.И, Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. 248 с.

85. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

86. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

87. Гелъфанд ИМ., Граев М.И., Вшенкин Н.Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. М.: Наука, 1962. 656 с.

88. Гелъфанд И.М., Граев М.И., Пятецкий-Шапиро И.И. Теория представлений и автоморфные функции. М.: Наука, 1966. 512 с.

89. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

90. Глушков Е.В. Вибрация системы массивных штампов на линейно-деформируемом основании // Прикладная математика и механика. 1985. Т. 49. Вып. 1.С. 142-147.

91. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. К проверке существования явления высокочастотного резонанса в полуограниченных областях // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1990. № 3. С. 208-209.

92. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Кириллова Е.В. Динамическая контактная задача для кругового штампа, сцепленного с упругим слоем // Прикладная математика и механика. 1992. Т. 56. Вып. 5. С. 780-785.

93. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Дифракция упругих волн на пространственных трещинах произвольной в плане формы // Прикладная математика и механика. 1996. Т. 60. Вып. 2. С. 282-289.

94. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Лапина О.Н. Дифракция нормальных мод в составных и ступенчатых упругих волноводах // Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62. Вып. 2. С. 297-303.

95. Глушков Е.В., Кириллова Е.В. Динамическая смешанная задача для пакета упругих слоев // Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62. Вып. 3. С. 455-461.

96. Глушкова Н.В. Асимптотическое представление термоупругих напряжений в угловых точках разномо,дульных соединений // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1998. № 2. С. 69-77.

97. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Резонансные частоты рассеяния упругих волн пространственными трещинами // Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62. Вып. 5. С. 866-870.

98. Глушков Е.В., Глушкова КВ., Лапина О.Н. Показатели сингулярности упругих напряжений в точке выхода трещины на поверхность // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1998. № 5. С. 146-153.

99. Глушкова Н.В., Глушков Е.В., Хофф Р. Сингулярность напряжений в многогранных угловых точках упругих разномодульных соединений // Докл. РАН. 2000. Т. 370. № 2. С. 181-185.

100. Головчан В.Т., Кубенко В.Д., Шулъга Н.А., Гузъ А.Н., Гринчен-коВ.Т. Пространственные задачи теории упругости и пластичности. Т. 5. Динамика упругих тел. Киев: Наукова думка, 1986. С. 288.

101. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. М.: Наука, 1995. 352 с.

102. Горячева И.Г., Добычин КГ. Контактные задачи в трибологии. М.: Машиностроение, 1988. 254 с.

103. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Системы интегральных уравнений на полупрямой, с ядрами, зависящие от разности аргументов // Успехи математических наук. 1958. Т. 13. Вып.2. С. 3-72.

104. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Проекционные методы решения уравнений Винера Хопфа. Кишинев: Изд-во Молд. ССР, 1967. 164 с.

105. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971. 352 с.

106. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Теория Вольтеровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения. М.: Наука, 1967. 508 с.

107. Гузъ А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. Киев: Наукова думка, 1986. Т. 1. 268 с.

108. Гузъ А.Н. Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых тел. Киев: Наукова думка, 1986. 512 с.

109. Дъелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. М.: Наука, 1982. 424 с.

110. Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1974. 400 с.

111. Игумнов JI.A. Интегральные представления для голоморфных векторов теории упругости // Прикладные проблемы прочности и пластичности (Горький). 2000. № 61. С. 210-219.

112. Игумнов JI.A. Применение сингулярных операторов Михлина -Кальдерона Зигмунда к решению динамических краевых задач теории упругости // Вестн. Нижегород. ун-та. Сер. Механика. 2002. № 1. С. 72-85.

113. Израэлъ Ю.А., Назаров ИМ., Прессман А.Я. и др. Кислотные дожди. JL: Гидрометеоиздат, 1989. 272 с.

114. Иосида К Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 с.

115. Кажис Р.-ИЮ., Мажейка Л.Ю. Расчет неоднородных электрических и акустических полей в измерительных пьезопреобразователях методом конечных элементов // Науч. тр. вузов ЛитССР. Радиоэлектроника. 1983. Т. 19. № 1.С. 25-35.

116. Карлович И А. Геология. М.: Академический проект, 2002. 704 с.

117. Канторович Л.В. Функциональный анализ и прикладная математика // Успехи математических наук. 1948. Т. 3. Вып. 6. С. 89-185.

118. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 742 с.

119. Канторович Л.В., Молчан Г.В., Вилъкович Е.В., Кейлис-Борок В.И. Статистическая модель сейсмичности и оценка основных сейсмических эффектов // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1970. № 5. С. 85-102.

120. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Электротермовязкоуцругость. Киев: Наукова думка, 1988. 320 с.

121. Кордовский КВ., Пряхина О.Д., Смирнова А.В. Решение динамической задачи для трехслойной среды с трещинами // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. №3.

122. Като Т. Теория возмущения линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.

123. Келлер Д.Б., Антман С. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. М.: Мир, 1974. 256 с.

124. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987. 311 с.

125. Костров Б.В. Механика очага тектонического землетрясения. М.: Наука, 1975. 176 с.

126. Крейн М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов // Успехи математических наук. Т. 13. Вып. №5. 1958. С. 3-120.

127. Кринчик Г.С. Физика магнитных явлений. М.: Изд-во МГУ, 1985. 336 с.

128. Кузнецов С.В. Построение тензора Грина и Неймана в теории упругости анизотропного тела // Прикладная математика и механика. 1991. Т. 27. № 7. С. 58-62.

129. Кузнецов С.В. Фундаментальные решения уравнений Ляме для анизотропных сред // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1989. № 4. С. 50-54.

130. Купрадзе ВД Методы потенциала в теории упругости. М.: Наука, 1963.472 с.

131. Купрадзе В Д. О приближенном решении задач математической физики // Успехи математических наук. 1967. Т. 22. № 2. С. 59-107.

132. Купрадзе В Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976. 603 с.

133. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 832 с.

134. Куренное С.С., Николаев А.Г. Первая основная задача термоупругости для сжатого сфероида с концентрической полостью // Прикладная математика и техническая физика. 2004. Т. 45. № 1. С. 92-98.

135. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965. 716 с.

136. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

137. Литвинчук Г.С., Спитковский ИМ. Факторизация матриц-функций: В 2 ч. М., 1984. Ч. 1-2. Деп. в ВИНИТИ № 2410-84.

138. Лифшиц ИМ., Розценцвейг Л.Н. О построении тензора Грина для основного уравнения теории упругости в случае неограниченной упругости анизотропной среды //■ Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1947. Т. 17. Вып. 9. С. 783-791.

139. Люстерник Л. А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.

140. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

141. Мазъя В.Г. Интегральные уравнения теории потенциала в областях с кусочно-гладкими границами // Успехи математических наук. 1981. Т. 38. № 4. С. 229-230.

142. Маслов В.П. Операторные методы. М.: Наука, 1973. 544 с.

143. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М.: Наука, 1967. Т. 1.488 с.

144. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М.: Наука, 1968. Т. 2, 624 с.

145. Марчук Г.И Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. 320 с.

146. Медведев С.В. Инженерная сейсмология. М.: ГОССТРОЙ СССР, 1962. 284 с.

147. Мгшнор Д., Уоллес Ф. Дифференциальная топология. М.: Мир, 1972. 278 с.

148. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. 576 с.

149. Морозов К Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 256 с.

150. Моссаковский В.И., Качаловская Н.Е., Голикова С.С. Контактные задачи математической теории упругости. Киев: Наукова думка, 1985. 250 с.

151. Мусий Р.С. Математическая постановка и методика решения пространственных задач электромагнитотермоупругости для сферических тел // Теоретическая и прикладная механика. 2003. № 37. С. 52-58.

152. Мусхелишвили Н.И. Системы интегральных уравнений. М.: Физ-матлит, 1962. 600 с.

153. Назаров А.Г., Дарбинян С.С. Основы количественного определения интенсивности сильных землетрясений. Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1974. 286 с.

154. Наседкин А.В., Скалиух А.С., Соловьев А.Н. Пакет ACELAN и конечно-элементное моделирование гидроакустических пьезопреобразова-телей // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. 2001. Спецвыпуск. (Математическое моделирование). С. 122-125.

155. Никаноров A.M. Гидрохимия. СПб.: Гидрометеоиздат, 2001. 448 с.

156. Никифоровский B.C., Шемякин Е.И. Динамическое разрушение твердых тел. Новосибирск: Наука, СО АН СССР, 1979. 272 с.

157. Нобл Б. Метод Винера Хопфа. М.: ИЛ, 1962. 280 с.

158. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. М.: Мир, 1986. 160 с.

159. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970. 256 с.

160. Новиков С.П., Сакало В.И. Применение суперэлементов для решения задач МКЭ с использованием релаксационной схемы // Динамика, прочность и надежность транспортных машин: Сб. тр. Брянск: Брянский гос. техн. ун-т, 2003. С. 43^48.

161. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наукова думка, 1978. 444 с.

162. Партон В.З., Борисовский В.Г. Динамика хрупкого разрушения. М.: Машиностроение, 1988. 240 с.

163. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 470 с.

164. Подилъчук Ю.Н. Точные аналитические решения статических задач электроупругости и термоэлектроупругости трансверсально-изотроп-ного тела в криволинейных системах координат // Прикладная механика. 2003. Т. 39. №2. С. 14-54.

165. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. 344 с.

166. Притчетт У. Получение надежных данных сейсморазведки. М.: Мир, 1999. 450 с.

167. Пряхина О.Д., Смирнова А.В. Построение матриц-символов Грина динамических смешанных задач для слоистых сред с неоднородностями // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Спецвыпуск. Нелинейные проблемы механики сплошной среды. 2003. С. 279-284.

168. Пряхина ОД., Смирнова А.В. Эффективный метод решения динамических задач для слоистых сред с разрывными граничными условиями // Прикладная математика и механика. 2004. Т. 68. Вып. 3. С. 499-506.

169. Пряхина ОД., Смирнова А.В. Динамическая задача для разномо-дульной среды с включениями // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. Т. 11. Вып. 2. С. 388.

170. Ризниченко Ю.В. Проблемы сейсмологии. М.: Наука, 1985. 408 с.

171. Райе Дж. Механика очага землетрясения. М.: Мир, 1982. 216 с.

172. Рохлин В.А., Фукс ДБ. Начальный курс топологии. М.: Наука, 1977. 488 с.

173. Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1966. 320 с.

174. Саваренский Е.Ф., Кирнос Д.П. Элементы сейсмологии и сейсмометрии. М.: Наука, 1955. 543 с.

175. Саваренский Е.Ф. Сейсмические волны. М.: Недра, 1972. 292 с.

176. Садовский М.А. Естественная кусковатость горной породы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 247. № 4. С. 829-831.

177. Садовский М.А. О распределении размеров твердых отдельностей // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269. № 1. С. 69-72.

178. Садовский М.А., Болховитинов Л.Г., Писаренко В.Ф. Деформирование геофизической .среды и сейсмический процесс. М.: Наука, 1987. 104 с.

179. Садовский М.А., Красный Л.И. Блоковая тектоника литосферы // Докл. АН СССР. 1986. Т. 287. № 6. С. 1451-1454.

180. Саркисян B.C. Контактные задачи для полуплоскостей и полос с упругими накладками. Ереван: Изд-во Ереван, ун-та, 1983. 260 с.

181. Сеницкий Ю.Г. Метод конечных интегральных преобразований. Его перспективы в исследовании краевых задач механики // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. 2003. № 22. С. 10-39.

182. Серебряков Г.Г., Коваленко М.Д., Цыбин Н.Н. О некоторых свойствах однородных решений теории упругости // Докл. РАН. 2003. Т. 388. № 2. С. 193-196.

183. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1955. 668 с.

184. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 442 с.

185. Сорокин В.М., Сорокин Г.В. Физика медленных МГД-волн в ионосферной плазме. М.: Энергоиздат, 1982. 136 с.

186. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. Киев: Наукова думка, 1972. 506 с.

187. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. 804 с.

188. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

189. Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье. М.: Мир, 1984. Т. 1. 360 с.

190. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1986. 296 с.

191. Уланов В.И. Динамика земной коры Средней Азии и прогноз землетрясений. Ташкент: Изд-во ФАН, 1974. 216 с.

192. Филъштинский JI.A. Двумерные статические и динамические задачи теории упругости для тел с трещинами // Теория и расчет тонкостенных конструкций: Сб. ст. М., 1986. С. 107-117.

193. Филъштинский М.Л., Бардзокас Д. Метод граничных интегральных уравнений в проблемах дифракции электроупругих волн. Сумы: Изд-во Сумского гос. ун-та, 1999. 193 с.

194. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1968. 280 с.

195. Хорват Л. Кислотный дождь. М.: Стройиздат, 1990. 281 с.

196. Чернов Ю.К. Сильные движения грунта и количественная оценка сейсмической опасности территории. Ташкент: Изд-во ФАН, 1989= 296 с.

197. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ: В 2 ч. М.: Наука, 1985. Ч. 1-2.

198. Шаров Н.В. и др. Глубинное строение и сейсмичность Карельского региона и его обрамления. Петрозаводск, 2004. 352 с.

199. Шевченко Ю.Н. Термопластичность при переменных нагружениях. Киев: Наукова думка, 1970. 288 с.

200. Шинкаренко Г.А. Проекционно-сеточные аппроксимации для вариационных задач пироэлектричества. I. Постановка задач и анализ установившихся вынужденных колебаний // Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29. № 7. С. 1252-1260.

201. Шинкаренко Г.А. Проекционно-сеточные аппроксимации для вариационных задач пироэлектричества. II. Дискретизация и разрешимость нестационарных задач // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. № 2. С. 317-326.

202. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973. 232 с.

203. Южаков А.П. Элементы теории многомерных вычетов. Красноярск: Изд-во Красноярск, гос. ун-та, 1975. 182 с.

204. Allik Н., Hughes T.J.R. Finite element method for piezoelectric vibration // Intern. J. Numer. Meth. Eng. 1970. Vol. 2. № 2. P. 151-157.

205. Babuska L, Aziz A.K. On the Angle Condition in the Finite Element Method. SIAM // J. on Numerical Analysis. 1976. Vol. 13(2). P. 214-226.

206. Bern M., Mitchell S., Ruppert J. Linear-size non-obtuse triangulation of polygons // Proceedings of the 10th ACM Symposium on Сотр. Geometry. S.L.. 1994. P. 221-230.

207. Blacker T.D., Meyers R. Seams and wedges in plastering: A 3-d hexahedral mesh generation algorithm // Engineering with Computers. 1993. Vol. 2. P. 83-93.

208. Cavendish J.C., David A.F., William H.F. An Approach to Automatic Three-Dimensional Finite Element Mesh Generation // Intern. J. for Numerical Methods in Engineering. 1985. Vol. 21 (2). P. 329-347.

209. Challande P. Finite element method applied to piezoelectric cavities study: influence of the geometry on vibration modes and coupling coefficient // J. Mec. Theor. et Appl. 1988. Vol. 7. № 4. P. 461-477.

210. Charles L. Lawson. Software for CI Surface Interpolation // Mathematical Software III / Ed. J.R. Rice. N.Y.: Acad, press, 1977. P. 161-194.

211. Chen W., Lynch C.S. Finite element analysis of cracks in ferroelectric ceramic materials // Eng. Fract. Mech. 1999. Vol. 64 (5). P. 539-562.

212. Chen J.R., Lu Y, Ye G.R., Cai G.R. 3-d elektroelastic fields in functionally graded piezoceramic hollow sphere under mechanical and electric loading // Arch. Appl. Mech. 2002. Vol. 72. № 1. p. 39-51.

213. Cheung Y.K., Jin W.G., Zienkewicz O.C. Solution of Helmholtz equation by Trefftz method // Intern. J. Numer. Methods Eng. 1991. Vol. 32. P. 53-68.

214. D'Azevedo E.F., Simpson R.B. On Optimal Interpolation Triangle Incidences // SIAM J. on Scientific and Statistical Computing. 1989. Vol. 10. P.1063-1075.

215. DeGiorm KG. Computational evaluation of coline induced stress in a1. О X .j. ~ ' w — ----piezoelectric ceramic // Appl. Mech. Eng. 2000. Vol. 5 (1). P. 89-100.

216. Dmowska R., Rice J.R. Fracture Theory and its Seismological Applications. Continuum Theories in Solid Earth Physics // PWN-Polish Scientific Publishers. Warsawa, 1986.

217. Doherty J.P., Deeks A.J. Scaled boundary finite element analysis of nonhomogeneous axisymmetric domain subjected to general loading // J. Num. and Anal. Meth. Geomech. 2003. Vol. 27. № 10. P. 813-835.

218. Gray L.J., Kaplan Т., Richardson J.D., Paulino G.H. Green's functions and boundary integral analysis for exponentionally graded materials // Trans. ASME. J. 2003. № 4. P. 543-549.

219. Hunt J.T., Knittel M.R., Barach D. Finite element approach to acoustic radiation from elastic structures // J. Acoust. Soc. Amer. 1974. Vol. 55. № 2. P. 269-280.

220. Hwang S.C., McMeeking R.M. A finite element model of ferroelastic polycrystals // Intern. J. Solids Struct. 1999. Vol. 36 (10). P. 1541-1556.

221. Krishnasamy G., Echmerr L.W., Rudolphi T.J., Rizzo F.J. Hypersingular boundary integral equation: Same applications in acoustic and elastic wave scattering // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1990. Vol. 57. № 2. P. 404-414.

222. Liew K.M., Lim HK., Tan M.J., He X.O. Analysis of laminated composite beams and plates with piezoelectricpatches using the element-free Galerkin method // Computational Mechanics. 2002. Vol. 29. P. 486.

223. Kagawa Y. Finite element simulation of transient heat response inultrasonic transducers // IEEE Trans. Sonics Ultrasonics. 1992. Vol. SU-39. № 3. P. 432-440.

224. Kagawa Y, Tsuchiya Т., Kawashima T. Finite element simulation of vibrator gyroscopes // IEEE Trans. XJltrason. Ferroelect. and Freq. Control. 1996. Vol. 43. P. 509-518.

225. Kagawa Y., Arai H. Finite element simulation of energy-trapped electromechanical resonators // J. Sound and Vibr. 1975. Vol. 39. № 3. P. 317—335.

226. Kobayashi S., Nishimura N. Green's tensors for elastic half-spaces: An application of boundary integral equation method // Mem. Faculty Eng. Kyoto Univ. 1980. Vol. 42. P. 228-241.

227. Liew K.M., Liang J. Modeling of 3D transversely piezoelectric and elastic bimaterials using the boundary element method // Computational Mechanics. 2002. Vol.29. P. 151-162. Springer-Verlag. 2002. DOI 10.1007/s00466-002-0328-9.

228. Lu P., Mahrenholtz O.A. Variational boundary element formulation for piezoelectricity // Mech. Res. Comm. 1994. Vol. 21. P. 605-611.

229. Mackerle J. Finite element modeling of ceramics and glass, a bibliography (1977-1998) // Eng. Comput. 1999. Vol. 16 (5). P. 510-571.

230. Makkonen Т., Holappa A., Salomaa M.M. 3-d FEM modeling of composite BAW resonators // Proc. ШЕЕ Ultrasonics Symp. 2000. P. 893-896.

231. Miller G.L., Talmor D., Teng S.-H. Data generation for geometric algorithms on non-uniform distributions // Intern. J. of Computational Geometry and Applications. 1998.

232. Pan E. Three-dimension Green's functions in anisotropic elastic bimaterials with imperfect interfaces // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2003. Vol. 70. №2. P. 180-190.

233. Pan E. Three-dimension Green's functions in anisotropic half-space with general boundary conditions I I Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2003. Vol. 70. № l.P. 101-110.

234. Pan E., Tonon F. Three-dimensional Green's function in anisotropic piezoelectric solids // Intern. J. Solids Struct. 2000. Vol. 37. P. 943-958.

235. Park K.N., Banerjee P.K. Two- and three-dimensional soil consolidation by BEM via particular integral // Comput. Meth. Appl. Mech. an Eng. 2002. Vol. 191. № 29-30. P. 3233-3255.

236. Piranda В., Steichen W., Ballandras S. Comparison between different finite element / boundary formulations for modeling acoustic radiation in fluids // Proc. IEEE Ultrasonics Symp. 1998. P. 1073-1076.

237. Rawlins A.D., Williams W.E. Matrix Wiener-Hopf factorization // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1981. Vol. 34. № 1. P. 1-8.

238. Roberts A.P., Garboczi E.J. Elastic properties of model porous ceramics // J. Am. Ceram. Soc. 2000. Vol. 83 (12). P. 3041-3048.

239. Stephan E.P. Boundary integral equations for screen problems in R3 // Integral Equations Operator Theory. 1987. Vol. 10. P. 236-257.

240. Stone G.O. High-order finite elements for inhomogeneous acoustic guiding structures // IEEE Trans, on Microwave Theory and Techn. 1973. Vol. MTT-21. P. 538-542.

241. Stmal K.D., Chanderjit L.B., Kokichi S. On good triangulations in three dimensions // Intern. J. of Computational Geometry & Applications. 1992. Vol. 2 (1). P. 75-95.

242. Teixeira de Freitas J.A., Cismasiu C. Hybrid-Trefftz displacement element for spectral analysis of bounded and unbounded media // Inern. J. Solid and Structure. 2003. Vol. 40. № 3. p. 671-699.

243. Lin Y., Dodson J.M., Hamilton J.D. et al. Theory and experiment for the design of piezoelectric element for phased arrays // Proc. IEEE Ultrasonics Symposium. 1997. P. 1697—1700.

244. Tverdokhlebov A., Rose J.L. On Green's functions for elastic waves in anisotropic media // J. Acoust. Soc. Am. 1988. Vol. 83. № 1. p. 118-121.

245. Vogel S.K., Rizzo F.J. An integral equation formulation of three dimensional anisotropic elastostatic boundary value problem // J. Elastisity. 1973. Vol. 3. P. 203-216.

246. Walkington N. A Delaunay based numerical method for threefVidimensions: generation, formulation, and partition // Proceedings of 27 Annual ACM Symposium on the Theory of Computing (Las Vegas, Nevada, 29 May -1 June 1995). Las Vegas, 1995. P. 683-692.

247. Watson D.F. Computing the n-dimensional Delaunay Tessellation with Application to Voronoi Polytopes // Computer J. 1981. Vol. 24 (2). P. 167-172.

248. Wilson R.B., Cruse T.A. Efficient implementation of anisotropic three dimensional boundary-integral equations. Stress analysis // J.for Numer. Meth. In Eng. 1978. Vol. 12. P. 1383-1397.

249. Zhai J., Zhou M. Finite element analysis of micromechanical failure modes in a heterogeneous ceramic material system // J. Fract. 2000. Vol. 101 (1/2). P. 161-180.

250. Zhang Ch, Achenbach J.D. A new boundary integral equation formulation for elastodynamic and elastostatic crack analysis // J. of Appl. Mechanics. 1989. Vol. 56. №> 2. P. 284-290.

251. ANSYS. Theory Ref. Rel. 5.4 / Ed. P. Kothnke / ANSYS Inc. Houston, 1997.

252. ATILA. Finite-element code for piezoelectric and magnetostrictive transjducer and actuator modeling. V.5.1.1. User's Manual. / Lille Cedex (France): ISEN, 1997.

253. COSMOS/M. V. 2.0. Advanced Modules Manual. ASTAR. Structural Research & Analysis Corp., 1997.