Методы граничных уравнений и сплайн-аппроксимаций в решении статических и динамических задач строительной механики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор технических наук Низомов, Джахонгир

• Низомов, Джахонгир
• доктор технических наук
• 1999

Оглавление диссертации доктор технических наук Низомов, Джахонгир

Введение.

Глава 1. Метод сплайн -аппроксимации в решении задач строительной механики

1.1. Кусочно-полиномиальные функции

1.2. Базисные сплайны с конечными носителями.

1.3. Исследование устойчивости и сходимости численных методов

1.4. Численное решение динамических задач балок и плит

Глава 2. Методы граничных интегральных уравнений и сплайн-аппроксимаций в решении задач, сводящихся к уравнениям Лапласа и Пуассона

2.1. Граничные уравнения и их численное решение.

2.2. Численная реализация граничных уравнений при линейной аппроксимации граничных параметров

2.3. Метод сплайн-аппроксимации граничных параметров

2.4. Решение динамической задачи мембраны

Глава 3. Решение статических и динамических задач взаимодействия штампа с упругим полупространством

3.1. Волны и волновые уравнения

3.2. Решение задачи о колебаниях штампа, лежащего на упругом двухслойном основании при действии поперечной волны

3.3. О колебаниях штампа при действии стоячей поперечной волны

3.4. Действие стоячей волны при двухслойном основании

3.5. Дискретное волновое уравнение и его решение

3.6. Сдвиг штампом упругого полупространства

3.7. Выводы.

Глава 4. Решение двумерных статических задач теории упругости

4.1. Аналитические функции в решении двумерных задач.

4.2. Фундаментальные решения

4.3. Граничные интегральные уравнения

4.4. Давление штампа на упругую полуплоскость

4.5. Бесконечная плоскость с отверстием

Глава 5. Метод граничных уравнений в решении задач свободных и подкрепленных отверстий.

5.1. Решение задачи упругой плоскости, ослабленной криволинейными отверстиями

5.2. Конечные односвязная и двухсвязная области

5.3. Решение плоской задачи теории упругости при наличии подкрепленных отверстий.

5.4. Упругая плоскость с криволинейным отверстием, подкрепленным стойками

5.5. Решение плоской задачи нестационарной динамики и дифракции волн.

Глава 6. Граничные уравнения в решении статических и динамических задач теории плит

6.1. Дифференциальные уравнения и фундаментальные решения

6.2. Асимптотические разложения функции Ганкеля

6.3. Граничные интегральные уравнения

6.4. Определение внутренних усилий

6.5. Сплайн-аппроксимация граничных параметров теории плит

6.6. Прямоугольная плита со смешанными граничными условиями

6.7. Решение динамической задачи

Глава 7. Решение задач по расчету конструкций, лежащих на упругом полупространстве

7.1. Фундаментальные решения

7.2. Граничные уравнения плоской задачи

7.3. Изгиб балок и плит на упругом полупространстве

7.4. Пологие оболочки на упругом полупространстве

7.5. Приближенный метод решения краевых задач

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы граничных уравнений и сплайн-аппроксимаций в решении статических и динамических задач строительной механики»

Проектирование зданий и сооружений в районах с высокой сейсмичностью опирается на результаты исследований в области теории сейсмостойкости, которая непосредственным образом связана с теорией колебаний, а также с динамикой сооружений. Элементы зданий и сооружений могут также быть подвержены действию динамической нагрузки в виде удара, мгновенного импульса, периодической нагрузки и др.

Актуальным является вопрос, связанный с взаимодействием сооружения и основания, где на какой-то глубине от поверхности земли имеется источник внешнего воздействия в виде фронта сейсмической волны или другого характера. Важной проблемой строительной механики является также теория расчета конструкций на упругом основании.

В механике твердого деформируемого тела получили существенное развитие точные и приближенные аналитические методы решения широкого класса задач о напряженно - деформированном состоянии односвязных и многосвязных, однородных и кусочно - однородных областей, которые нашли применение для описания процессов, происходящих в массивах горных пород, и дали возможность специально ставить и решать прикладные задачи, выдвигаемые практикой подземного строительства. В связи с развитием строительства уникальных комплексов энергетических, гидротехнических, транспортных и других подземных сооружений в тектонически и сейсмически активных районах становятся актуальными вопросы прочности и надежности заглубленных сооружений при воздействии статических и динамических нагрузок.

Обеспечение необходимой надежности строительных конструкций и снижения их стоимости остается одним из важнейших направлений в области строительной механики. В связи с этим разработка эффективных методов расчета сооружений, с достаточной полнотой отражающих реальное поведение конструкций, имеет большое народнохозяйственное значение.

Современный этап развития строительной механики связан с широким использованием численных методов и применением высокоскоростных ЭВМ, позволяющих проводить расчеты конструкций по весьма сложным расчетным схемам. В этой связи является актуальным вопрос о разработке численных методов, обладающих высокой точностью и удобных для использования современных ЭВМ.

С развитием вычислительной техники в практику проектирования стал интенсивно внедряться метод граничных интегральных уравнений (метод граничных элементов), являющийся развитием классического метода потенциала. Основное преимущество метода граничных интегральных уравнений - это понижение размерности задачи, что способствовало появлению большого количества работ теоретического и прикладного характера. Однако из-за сингулярности фундаментальных решений, возникает проблема, связанная с нерегулярностью границ (углы, ребра и др.). Поэтому актуальным является вопрос о применении специальных приемов для решения задач с негладкой границей.

В связи с тем, что методы граничных уравнений основаны на фундаментальных решениях исходных дифференциальных уравнений рассматриваемой модели, возникает проблема при постановке составных задач, если для одной из областей либо не существует фундаментальное решение, либо оно имеет очень сложный характер для реализации. В этом случае актуальным становится разработка комбинированного метода, который позволит исследовать кусочно-однородные, контактные и другие задачи.

Одним из основных методов исследования краевых задач в теории уравнений с частными производными является сведение краевой задачи к решению линейного интегрального уравнения с помощью потенциалов, построенных на основе фундаментальных решений. Метод потенциала, ведущий свое начало от работ И.Фредгольма и К.Неймана, сохранил свое значение в настоящее время, несмотря на широкое плодотворное применение в современных исследованиях по уравнениям с частными производными новых идей и методов.

Метод потенциала наряду с известными методами разделения переменных и функции источника (метод функции Грина) нашел широкое применение в решении краевых задач. Сведение краевых задач при помощи поверхностных потенциалов к интегральным уравнениям, с одной стороны удобно для теоретического исследования вопроса о разрешимости и единственности краевых задач, с другой стороны дает возможность эффективного численного решения краевых задач для области сложной формы.

Развитие теории потенциала применительно к классическим задачам математической физики связано с именами выдающихся ученых: Н.П.Векуа, К.Ф.Гаусса, Д.Гильберта, Д.Грина, Н.М.Гюнтера, П.Г. Л. Дирихле, В.Д.Купрадзе, Ж.Лагранжа, Г.Лауричелла, А.М.Ляпунова, С.Г.Михлина, Н.И.Мусхелишвили, К.Г.Неймана, Ж.Пуанкаре, В.И.Смирнова, В.А.Стеклова, Ф.Трикоми, Ф.Е.Фредгольма, Д.И.Шермана и ДР

Известная классическая методика решения уравнения Лапласа или Пуассона для задач Дирихле и Неймана, в которых по заданным на границе значениям искомой функции или ее нормальной производной определяют саму функцию в рассматриваемой области, основана на применении потенциалов. Применение потенциала двойного слоя, который имеет разрыв на контуре рассматриваемой области, для решения задач Дирихле, как внутренней, так и внешней, приводит к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно неизвестной функции плотности. К такому результату приводит и решение задачи Неймана, если воспользоваться нормальной производной потенциала простого слоя.

Потенциалы простого и двойного слоя в точках поверхности тела являются несобственными интегралами, и эти интегралы сходятся для определенного класса поверхностей, называемых поверхностями Ляпунова [102], если плотность потенциала ограничена и выполняется условие Гельдера [52].

В настоящее время теория потенциала является бурно развивающимся разделом математической физики, которая широко применяется в граничных задачах. Опубликовано достаточное количество монографий, трактующих теорию потенциала с чисто математических позиций [21,93,191,208].

Условие разрешимости интегральных уравнений Фредгольма второго рода с непрерывным ядром и интегрируемой правой частью сформулировано в трех теоремах Фредгольма [52,102,171,182,148].

Методы теории потенциала нашли широкое применение в задачах теории упругости благодаря фундаментальным исследованиям А.В.Бицадзе[16], И.Н.Векуа [26,27], В.Д. Купрадзе [89,90], С.Г.Михлина [107,108], Н.И.Мусхелишвили [110,111], Ф.Трикоми [186], Д.И. Шермана [204,205] и др.

Метод потенциала нашел широкое применение в решении пространственных задач теории упругости благодаря фундаментальным работам В.Д. Купрадзе [89] и С.Г. Мих-лина [108], где была построена теория многомерных сингулярных интегральных уравнений и даны доказательства разрешимости этих уравнений. Поместив "точки наблюдения" вне области интегрирования, в [89] получены функциональные уравнения, отличные от граничных интегральных уравнений, в которых отсутствуют сингулярные члены. Выбирая вспомогательную поверхность вне рассматриваемого тела, из решения функциональных уравнений определяется искомая функция плотности потенциала, а затем само решение в рассматриваемой области. Положительной особенностью такого подхода является то обстоятельство, что вспомогательную (расширенную) поверхность можно выбрать удобной для численной реализации.

В монографии М.А.Алексидзе [8] излагается метод численного решения граничных задач, основанный на разложении функции в ряды по фундаментальным решениям соответствующих дифференциальных операторов. По аналогии с задачей оптимального выбора параметра регуляризации при решении некорректных задач решается задача по приближении поверхности, на которой рассматривается интегральные уравнения, к основной поверхности граничной задачи.

Идея метода, предложенного В.Д.Купрадзе [89,90], использована в работах Ю.В.Верюжского [29,30], где получены результаты решения пространственной задачи теории упругости при различных расположения вспомогательной поверхности. Показано, что если осуществить полигонализацию поверхности, то все интегралы вычисляются в замкнутом виде.

В работе Н.М.Хуторянского [199] строится система функциональных соотношений посредством разложения в ряд ядер функционального уравнения. Показано, что для тел вращения указанная система распадается на совокупность независимых систем.

В работах Ю.Д.Копейкина [78,79] получены сингулярные интегральные уравнения основных осесимметричных задач теории упругости, которые интегрированием по угловой координате сводятся к одномерным сингулярным уравнениям, а также предлагается метод бигармонического потенциала, который принимается для решения пространственных задач теории упругости с плоской границей. Вопросы эффективного решения сингулярных уравнений двумерной задачи расчета элементов конструкций методом механических квадратур посредством использования интерполяционных полиномов изучены в работе [78].

В работах С.В.Кузнецова [219,220] на основе метода мультиполярных разложений построены фундаментальные решения уравнений равновесия в пространстве для анизотропных сред с произвольной упругой анизотропией и предложен итерационный метод построения тензоров Грина и Неймана для решения соответственно первой и второй краевых задач теории упругости анизотропного тела, а также решены вопросы сходимости итерационного метода в точках, лежащих на границе спектра.

П.И.Перлиным [144,145,147] на основе метода понижения особенностей Л.В.Канторовича [69] с использованием теоремы Гаусса предложено регулярное представление сингулярных интегралов пространственной задачи теории упругости, которые после применения метода последовательных приближений решаются на основе кубатур-ной формулы в предположении, что в пределах элементарной области плотность является постоянной.

Другой способ вычисления сингулярных интегралов, предложенный А.Я.Александровым [7], основан на возможности вычисления в явном виде интеграла, когда элемент поверхности есть плоский многоугольник. Для вычисления регулярных слагаемых интегральных сумм рекомендуется использовать приближенные формулы, построенные в ходе замены равномерно распределенной нагрузки сосредоточенными силами.

В работах С.М.Белоцерковского и И.К.Лифанова [14,98] предлагается метод дискретных вихрей, согласно которому интегральное уравнение с помощью специально выбранной сетки представляется в виде системы алгебраических уравнений. При этом суммы, которыми заменяются сингулярные интегралы, должны соответствовать главным значениям интегралов в смысле Коши. Предлагаются квадратурные формулы для сингулярных интегралов с ядром Гильберта и для кратных интегралов типа Коши. Использование двух сеток при построении численного метода решения сингулярных интегральных уравнений позволяет построить хорошо обусловленные системы алгебраических уравнений, которые делают метод устойчивым в равномерной метрике. Показано, что методы численного решения сингулярных интегральных уравнений, построенные на ос-1 нове идей метода дискретных вихрей, являются методами регуляризации для этих уравнений.

В работе [87] Т.А.Круз (Cruse Т.А) рассматривал возможность дискретизации граничных интегральных уравнений, где интеграл от двойного слоя, равномерно распределенного по плоскому многоугольнику, вычисляется в замкнутом виде для любой точки пространства и в том числе на самом многоугольнике. Затем в работе [216] эффективность этого подхода была улучшена путем выбора функций, линейно меняющихся в каждом граничном элементе. Этот подход получил дальнейшее развитие в работе [221], где Ж.К.Лаша (Lachet J.C.) и Дж. О.Уотсон (Watson J.O), используя параметрическое представление геометрической конфигурации и функций, проводят численное интегрирование. Это направление исследований получило широкое развитие в результате сочетания идей теории потенциала с методами современной теории аппроксимаций.

Применение теории аналитических функций в двумерных задачах связано с работами И.Н.Векуа [27], Н.И.Мусхелишвили [110] и Д.И.Шермана [204], Г.Н. Савина [160].

Исследование напряженного состояния пластинки, ослабленной эллиптическим отверстием, осуществлено Г.В. Колосовым [77]. Им заложены основы решения плоской задачи теории упругости с помощью теории функций комплексного переменного. В дальнейшем метод функции комплексного переменного и конформных отображений применительно к задачам теории упругости был развит в трудах Н.И. Мусхелишвили. В работах С.Г. Михлина [107], Г.Н. Савина [160] методами функции комплексного переменного и конформных отображений рассмотрен широкий круг важных контактных задач об упругом равновесии тонких пластин и плит, имеющих отверстия, подкрепленные кольцами.

Метод интегральных уравнений в плоской задаче теории упругости был впервые применен Лауричелла (О. ЬаигасеИа) [107].

Применение аппарата теории сплайнов приводится в работе П.И.Перлина и К.И.Заппарова [58], где на основе кубического сплайна вычисляются компоненты напряжений после нахождения решения интегрального уравнения. На основе общей теории Н.П.Векуа [27] в работе А.И.Каландия [68] рассмотрена задача изгиба пластинки со смешанными краевыми условиями, где получена система сингулярных интегральных уравнений для действительной и мнимой частей вспомогательной функции.

Интегральные уравнения Шермана -Лаурачеллы используются в работах В.Г.Мазья и С.С.Заргаряна [59,60] для решения задач в областях с угловыми точками. Предлагается некоторая модификация интегральных операторов с целью преодоления трудностей, связанных с решением интегрального уравнения Шермана - Лаурачеллы методом последовательных приближений. Показана эффективность "склеивания" асимптотики решения интегрального уравнения, заданной на малых участках, составляющих окрестность угловых точек контура, со сплайнами на оставшейся части контура.

Как было отмечено, основные задачи теории упругости могут быть сведены к системам функциональных интегральных уравнений. В работе А.Я.Александрова [6] излагается способ решения задач теории упругости методом интегральных уравнений без использования этих уравнений в явном виде. Считая рассматриваемую область как часть сплошной бесконечной плоскости, внутри которой по контуру действуют некоторые неизвестные распределенные нагрузки, с использованием фундаментального решения, интегрированием по каждому участку и суммированием по всем участкам записываются выражения напряжений и смещений в точках области, включая контур. Полученные выражения напряжений и смещений вводятся в краевые условия задачи, в результате чего получается система уравнений относительно вышеуказанных нагрузок. После определения этих нагрузок вычисляются значения напряжений и перемещений на границе и внутри области, рассматриваемой как часть бесконечной пластинки.

Метод компенсирующих нагрузок, предложенный Б.Г.Кореневым [81,82,83], по сути своей близок методам теории потенциала. Идея метода заключается в том, что, представляя рассматриваемую область как часть бесконечной области, вводятся компенсирующие нагрузки, которые совместно с заданной нагрузкой должны вызвать внутренние усилия на границе, соответствующие граничным условиям. Определение компенсирующих нагрузок сводится к приближенному решению интегральных уравнений первого рода. Компенсирующие источники должны быть приложены только в той части расширенной области, которая находится вне заданной области. Выбор линий, по которым распределены компенсирующие источники, предоставляет много возможностей для того, чтобы использовать упрощения, подсказываемые характером рассматриваемой задачи.

В работе Э.С.Венцеля и В.М.Токаренко [28] рассматривается вопрос численной реализации метода компенсирующих нагрузок, где для решения интегральных уравнений первого рода используется метод саморегуляризации. Решена задача выбора оптимального расстояния от действительного контура пластины до линии действия компенсирующих нагрузок в зависимости от граничных условий.

Метод расширения заданной системы, предложенный О.В.Лужиным [99] в значительной мере является развитием метода компенсирующих нагрузок и приводит к системе интегральных уравнений Фредгольма первого рода. В качестве расширенной можно выбрать конечную или бесконечную область, для которой достаточно просто получить решение. Чтобы напряженно-деформированное состояние внутри контура заданной области расширенной системы совпало с напряженно-деформированным состоянием заданной области, необходимо, чтобы напряжения по контуру были тождественны контурным нагрузкам в заданной области. Удовлетворение отмеченному выше условию приводит к соответствующим уравнениям, позволяющим найти неизвестные внешние нагрузки в расширенной области, после чего определить окончательные значения напряжений и перемещений.

Идея расширения области была использована в предложенном Д.Н.Соболевым и А.К.Юсуповым [170] методе обобщенных жесткостей для решения стохастических краевых задач статики, динамики и устойчивости плит на неоднородном основании. В работе

Н.Н.Леонтьева, Д.Н.Соболева, А.А.Касумова [72] метод обобщенных жесткостей развивается с применением к уравнениям в расширенных областях интегральных преобразований Фурье и Лапласа.

Метод внутренних граничных условий (МВГУ) предлагается в работах С.К.Годунова и В.С.Рябенкого [43,157], где основная идея заключается в переходе от исходной разностной краевой задачи к системе уравнений на границе рассматриваемой области. Метод разностных потенциалов (МРП), который является дальнейшим развитием МВГУ, предлагается в работе [158], где вычисление разностного потенциала сводится к решению вспомогательной разностной задачи. Вместо функции Грина используется непосредственно оператор Грина, который соответствует решению вспомогательной задачи.

МРП получил дальнейшее развитие в работах А.Б.Золотова, В.Н.Сидорова, В.А.Харитонова [62], где рассматриваются вопросы численной реализации метода расширения заданной системы. Краевая задача рассматривается на расширенной области на множестве функций, имеющих разрыв вместе с производными при переходе через границу исходной области.

Метод R-функций (называемый часто структурным), который предложен В.Л.Рвачевым [159], указывает пути учета геометрической информации на аналитическом уровне без какой-либо ее аппроксимации. Теория R- функций позволила решить проблему построения полных систем координатных функций для области сложной формы и различных типов граничных условий, что в свою очередь дало возможность существенно расширить применение на практике различных типов вариационных методов.

Метод дельта -преобразования, основанный на использовании интегрального преобразования с ядром в виде дельта-функции, предложенный А.И.Цейтлиным [200,201], позволяет выделить особенности еще на стадии решения исходных дифференциальных уравнений в общем виде через производные дельта - функций. Применение дельта - преобразования в расширенной области позволяет представить оператор задачи в виде, включающим как дифференциальную операцию в действительной области, так и некоторые операторы на ее границе, в том числе операторы краевых условий. Обращая оператор краевой задачи с помощью функции Грина при разложении по собственным функциям и подставляя полученные решения в краевые условия, приходим к граничным интегральным уравнениям.

В работах А.И.Цейтлина и Л.Г.Петросяна [149,200] показано, что применение обобщенных интегральных преобразований сводит задачу к решению граничных уравнений: интегральных - при непрерывном спектре и алгебраических - при дискретном. Получена функция Грина для расширенной области с помощью интегральных преобразований и спектральных разложений. Предлагаемый спектральный метод граничных элементов является прямым спектральным аналогом метода дельта -преобразования [200].

Близким методам компенсирующих нагрузок, расширения области и дельта - преобразования является метод обобщенных решений, который предлагается в работах В.И.Травуша [183]. Исходя из интегро-дифференциальной системы уравнений с учетом разрыва искомой функции и ее производных при переходе через границы и с использованием интегрального преобразования Фурье, получена система интегральных уравнений второго рода относительно функций плотности.

Методы, основанные на использовании интегральных преобразований, успешно применяются в задачах математической физики и техники. Интегральные преобразования применяются для решения дифференциальных, интегральных и разностных уравнений [55,85,90,94,100,180,184,190,203]. Широкое применение в прикладных задачах нашли интегральные преобразования Фурье, Лапласа, Мендлина, Ханкеля и др. [190].

Работа Г.Я.Попова [150] посвящена статическим проблемам упругих напряжений возле концентраторов специального вида, где решение задач, основанное на использовании метода матриц влияния и обобщенного метода интегральных преобразований, сводится к интегральным уравнениям, которые решаются методом ортогональных многочленов. Методом биортогональных разложений с применением преобразования Фурье получено точное решение задачи о колебаниях защемленной пластинки на винклеров-ском основании. При этом дифференциальный оператор краевой задачи представляется в виде произведений дифференциальных операторов Гельмгольца. Решение задачи при наличии особенностей, где терпит разрыв либо сама функция, либо ее нормальная производная, либо и то, и другое, представляется на основе обобщенного варианта метода интегральных преобразований, который приводит к сингулярному интегральному уравнению.

Интегральные преобразования с экспоненциально - тригонометрическими ядрами для решения статических и динамических задач предлагается в работе [201]. На основе спектральной теории линейных дифференциальных операторов построены интегральные преобразования, соответствующие любому закреплению конца балки. Для расчета полубесконечных плит предлагаются специальные интегральные преобразования, ядрами которых служат собственные функции.

Одним из наиболее эффективных методов решения смешанных краевых задач, находящих широкое применение в строительной механике, является метод парных интегральных уравнений с парными ядрами.

Метод парных интегральных уравнений по существу представляет собой обобщение метода разделения переменных на краевые задачи со смешанными граничными условиями. При этом представление искомых функций в виде разложений по собственным функциям, соответствующим непрерывному или дискретному спектру собственных значений, приводит к парным уравнениям, которые удается свести к интегральным уравнениям Фредгольма и к бесконечным алгебраическим системам [189,180,154]. В работе [201] для получения решения парных интегральных уравнений и уравнений с парными ядрами общего вида используется теория операторов преобразования, которые делают возможным осуществить ортогонализацию довольно широкого класса функций, в частности собственных функций самосопряженных дифференциальных операторов второго порядка. Вопросы, связанные с ортогонализацией собственных функций уравнений высших порядков, рассмотрены в работе [226].

Теперь переходим к рассмотрению тех работ, которые связаны с методом граничных элементов. По определению, данному в монографии А.Г.Угодчикова и Н.М.Хуторянского [188], "Метод граничных элементов - это метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, появившийся в результате сочетания идей теории потенциала с методами современной теории аппроксимаций ". Основным объектом аппроксимации в методе граничных элементов являются граничные интегральные уравнения. В [188] предлагаются численно-аналитические подходы к решению трехмерных задач теории упругости, термоупругости, вязкоупругости и к нестационарным динамическим задачам. Большое внимание уделяется вопросам численной реализации метода граничных элементов и аппроксимации граничных функций и граничных уравнений.

В работах Н.М.Хуторянского и В.В.Турилова [199] предлагается метод гранично-временных интегральных уравнений, сводящий нестационарные динамические задачи теории упругости к интегральным уравнениям по границе тела и по времени. При этом используется фундаментальное решение, зависящее от времени. Описана численная методика, включающая согласованную аппроксимацию границы тела, граничных перемещений и поверхностных сил и коллокационную схему решения. Интегрирование по времени производится шаговым методом. Решена вторая краевая задача о скачке давления на границе кубической полости в однородной изотропной среде.

В статье Дж.Шиппи (D.J. Shippy) [206] рассматриваются решения нестационарных задач методом граничных интегральных уравнений с применением преобразования Лапласа.

В книге П.Бенерджи (P.K.Banerjee), Р.Баттерфилда (R.Butterfield) [15] дано последовательное изложение всех аспектов МГЭ, связанных с применением к решению задач механики, физики и техники. В книге излагаются прямые и непрямые формулировки МГЭ и других численных методов.

В книгах К.Бреббия (C.A.Brebbia), С.Уокера (S.Wolker), Ж.Теллеса (J.C.Telles) и Л.Вроубеля (L.C.Wrobel) [19,20] в основном рассматривается прямая формулировка [89] МГЭ. В [20], кроме вопросов применения МГЭ к решению различных задач механики, рассматривается вопрос об использовании МГЭ совместно с другими методами, в частности, с методом конечных элементов.

Применение метода граничных элементов к решению нелинейных задач посвящена работа [177], где главным образом используется прямая формулировка. В монографии С.Крауча (S.L.Crouch), А.Старфилда (A.M.Starfield) [86] для решения плоских задач теории упругости предлагаются методы фиктивных нагрузок и разрывных смещений. Метод фиктивных нагрузок, предлагаемый в [86], по существу представляет собой непрямую формулировку МГЭ, где неизвестными являются плотности потенциалов в виде фиктивных нагрузок. Метод разрывных смещений основан на аналитическом решении задачи о бесконечной плоскости, смещения в которой терпят постоянный по величине разрыв в пределах конечного отрезка. Если граничные элементы образуют замкнутый контур, то решения внутренних задач находятся таким же способом, как в методе фиктивных нагрузок. В прямом методе граничных интегралов предполагается, что точка нагружения устремляется к границе извне рассматриваемой области, и, этим отличается от обычной прямой формулировки [87,226, 215].

Использование интеграла Коши, на основе которого построен метод граничных элементов, рассматривается в книге Т.Громадка II, Ч.Лей [48]. Переход в комплексную плоскость, ограничивая рамки использования метода плоскими задачами, позволяет использовать теорию комплексного переменного. Предлагаемый в [48] комплексный метод граничных элементов позволяет проводить вычисление граничных интегралов вдоль каждого граничного элемента аналитически, без численного интегрирования.

Сведения о развитии метода граничных интегральных уравнений и его применении для решения задач механики сплошных сред приведены в дополнениях Р.В.Гольдштейна [44], A.M. Линькова [97], A.M. Лиховцева [177].

В некоторых задачах механики деформируемого твердого тела и гидромеханики может быть целесообразным использование комбинированных методов. В задачах взаимодействия конструкций с грунтом или жидкостью и механики разрушения комбинированный метод может оказаться весьма эффективным средством для достижения цели.

Примеры гибридных решений, полученные комбинированием метода конечных разностей и метода граничных элементов можно найти в работах [207,229], где в одной из рассматриваемых областей отсутствует фундаментальное решение. При этом в качестве граничных условий для разностной аппроксимации используется решение, полученное из интегрального уравнения, которое определяется при помощи численного решения. Такой подход был применен к задачам нестационарного и гармонического во времени рассеивания на заливах или бухтах переменной глубины [224]. Аналогичная задача решается в [19], где комбинируется метод граничных элементов с методом конечных элементов. При этом на границе раздела используется условие излучения Зоммер-фельда [109]. Влияние условий излучения Зоммерфельда на точность расчетов исследуется в работе [210], где рассматривается задача о дифракции волн на препятствиях цилиндрической формы.

Комбинированным методом на основе МКЭ и МГЭ в [20] представлен расчет здания на упругом основании. Решение, полученное комбинированным методом, сравнивается с результатами расчетов, при которых конечными элементами представлялась вся область. Второе направление в применении комбинированных методов связано с теми задачами, где имеются зоны больших градиентов искомых функций. В этом случае можно сначала строить решение на грубой сетке, а затем использовать МГЭ, позволяющий уточнять решения в зонах большого градиента [29].

Третье направление гибридных решений связано с нестационарными задачами, где совместно с граничными интегральными уравнениями используются численные методы [125,126, 128, 132, 134], [214,231].

В монографии В.Д.Купрадзе [88] рассматривается решение основных граничных задач уравнений Гельмгольца установившихся колебаний, где в основу исследования положены идеи метода теории потенциала. Для неограниченной плоской области в ядро интегральных уравнений входят функции Ганкеля второго рода, что позволяет удовлетворить условиям на бесконечности, представляющим принцип излучения Зоммерфель-да[109].

Применение интегральных уравнений для решения задач об установившихся колебаниях мембран и пластин рассматривается в работах Б.Г.Коренева [82,83]. Система сингулярных уравнений, полученных для задачи о равновесии пластинки, лежащей на упругом основании, на основе процесса регуляризации С.Г.Михлина [107] сводится к регулярной системе.

Свободные колебания пластинок при смешанных граничных условиях на основе парных интегральных уравнений исследуется в работе А.И.Цейтлина [201]. Различные задачи теории упругости при установившимся состоянии на основе МГЭ и с применением преобразования Лапласа решены в работах [209,218].

Для решения нестационарных задач с применением граничных интегральных уравнений в основном используются два метода. Первый метод связан с преобразованием Лапласа по времени, а второй с пошаговым процессом изменения времени, в котором решение находится последовательно через определенные временные интервалы. В основном используется два различных подхода к пошаговому процессу решения граничных интегральных уравнений, которые для решения задач теории теплопроводности приведены в работах [231,233]. Основное различие между этими подходами заключается в способе, которым значения переменных, относящихся к данному моменту времен, учитываются при получении решения для нового момента времени. В одном подходе [211,212] значения переменных учитываются в интервале по области как псевдоначальные значения, а в другом [222,234,225] изменения учитываются путем суммирования граничных интегралов. Используемые при этом фундаментальные решения, зависящие от времени [109,71,31], приводят к появлению интегрирования по времени, что выражается свертками функций и увеличением размерности сингулярного решения.

Шаговые численные схемы предлагаются в [188,199] для решения нестационарных задач теории упругости, где, используя кусочно-линейную интерполяцию по времени, получена система алгебраических уравнений. Для интегрирования по граничным элементам применяется формула Гаусса. Получено численное решение задачи Шарпа, а также колебаний упругого шара [142].

Предложенный А.Ф.Смирновым [166] численный метод интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений краевых задач с помощью специальной числовой матрицы, позволяющей последовательно выражать младшие производные через старшие, получил дальнейшее развитие в работах А.В.Александрова [4], Р.Ф.Габбасова [39], Б.Я.Лащеникова [95], В.А.Смирнова [167].

В [166] и [4] было предложено решение обыкновенных дифференциальных уравнений соответственно с помощью матриц интегрирования и дифференцирования. Из [95] следует, что предложенные в [166] и [4] подходы являются двумя разными формами одного и того же численного метода, где матрицы интегрирования или дифференцирования используются последовательно. Осуществляется последовательная аппроксимация искомой функции и каждой ее производной полиномом одного и того же порядка. Это обстоятельство, обеспечивающее рассматриваемому методу высокую точность, позволило называть его численным методом последовательных аппроксимаций (МПА) [39]. Метод последовательных аппроксимаций получил применение при решении краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Дифференциальная его форма используется в [167] и других работах В.А.Смирнова. Как показано в [39] матрица дифференцирования и матрица интегрирования, взятые без начальной строки и начального столбца, являются взаимно обратными.

В работе [95] была получена формулировка численного интегрирования, учитывающая разрывы первого рода, где дается пример расчета балки на сосредоточенную силу с использованием предложенной методики.

С использованием кусочно-полиномиальных функций в [37] получены формулы численного интегрирования и дифференцирования, учитывающие разрывы функций и ее производной.

В работе [38] Р.Ф.Габбасовым предлагается разностная модификация метода последовательных аппроксимаций. На основе разностной формы метода последовательных аппроксимаций в [38,39] получены решения различных задач строительной механики. Дальнейшее развитие метода последовательных аппроксимаций применительно к решению динамических задач по расчету балок, плит и пологих оболочек, а также разработка соответствующих алгоритмов и программ получил в работах [117,119,120,114,118,115].

Преимуществами МПА перед МКЭ являются: простота алгоритма; большая точность (при сравнимом порядке аппроксимирующих полиномов в пределах элемента); возможность учета разрывов; возможность использования метода в ручном счете.

Численные методы, применяемые в задачах строительной механики, связаны с аппроксимацией искомой функции. Это задачи численного дифференцирования, численного интегрирования, а также численное решение дифференциальных и интегральных уравнений. Аппроксимация сплайнами применяется во многих задачах прикладной математики и механики. Положительная особенность сплайнов заключается в том, что они хорошо приспособлены для решения интерполяционных задач. Крупный вклад в развитие теории сплайн - функций и ее приложений внесли работы И.Шенберга [228], Дж.Альберга, Э.Нильсона, Дж.Уолша [3], С.Б.Стечкина, Ю.Н.Субботина [175]. Дальнейшее развитие теории сплайн-функций связано с работами Н.С.Бахвалова [12], В.А.Василенко [24], Ю.С.Завьялова, Б.И.Квасова [57], Н.П.Корнейчука [84], В.Н.Малоземова, А.Б.Певного [104], М.И.Игнатова, А.Б.Певного [65].

Развитие теории сплайн - функций одной переменной, как аппарата численного анализа было обусловлено двумя причинами. Во-первых, лучшими аппроксимативными свойствами по сравнению с классическим аппаратом приближения многочленами и, во-вторых, удобством реализации построенных на основе алгоритмов и программ на ЭВМ. На практике наибольшее распространение получили представления сплайнов в форме кусочно-многочленной функции и через В -сплайны. Применение теории сплайнов для численного решения интегральных уравнений излагается в работах [57,67,213,232,134,136].

В плане решения частных осесимметричных задач теории упругости важное место занимает представление Папковича-Нейбера, которое позволяет выразить перемещения через гармонические решения, что в результате достигается возможность использовать частные решения уравнения Лапласа. Решение осесимметричных задач через одну функцию Лява сводится к рассмотрению бигармонического уравнения. Форма решения, выраженного через две гармонические функции, дана Буссинеском. Представление поля перемещений через три функции, которые при отсутствии массовых сил являются би-гармоническими, дал Галеркин.

Метод функций Грина, который приводит к функциональной зависимости поля перемещений от заданных на границе функций напряжений или перемещений (в зависимости от граничных условий), связан с решением дифференциальных уравнений при однородных граничных условиях и определением функции Грина. Определение функции Грина, которые удовлетворяют дифференциальным уравнениям со смешанными граничными условиями, может натолкнуться на значительные трудности математического характера. Дальнейшим развитием метода функции Грина является использование основной системы, в которой функции Грина удовлетворяют однородным граничным условиям. При этом считается, что тензор перемещений удалось вычислить в основной системе. В результате задача сводится к системе интегральных уравнений первого рода для основной системы, а затем к определению перемещения из функционального уравнения. В качестве основной системы также можно использовать расширенную область, где относительно легко строится функция Грина.

Методы теории потенциала, где в качестве основной системы используется бесконечная область с выполнением условия излучения Зоммерфельда (ограниченность решения), позволяют решение основных задач теории упругости свести к сингулярным интегральным уравнениям второго рода, где доказаны теоремы единственности и теоремы существования решения как для внутренней, так и для внешней задачи в предположении, что граничная поверхность принадлежит классу поверхностей Ляпунова, а плотность -классу Гельдера-Липшица. Сведение краевых задач при помощи потенциалов к интегральным уравнениям дает возможность эффективного численного решения для областей сложной формы. Если в качестве неизвестных в интегральные уравнения входят значения искомой функции и ее производных на поверхности, то получим прямую формулировку метода потенциала. Если неизвестной является функция плотности источников, то получим непрямую формулировку метода потенциала. Интегральные уравнения прямой формулировки можно получить на основе теоремы взаимности или тождество Грина. Положительной особенностью прямой формулировки по сравнению с непрямой является то, что допускается рассматривать также поверхности с углами и ребрами.

Для решения интегральных уравнений теории потенциала могут быть применены общие приближенные методы: метод замены ядра на вырожденное и различные его модификации, метод последовательных приближений, метод механических квадратур, метод коллокации, метод дискретных особенностей, метод наименьших квадратов и др. Если учесть, что интегральные уравнения теории потенциала являются обобщением фредгольмовских уравнений, то формально применимы многие методы решения таких уравнений без регуляризации сингулярных интегральных уравнений. В то же время широко распространенный метод решения фредгольмовских уравнений второго рода, не может быть обоснован применительно к сингулярным интегральным уравнениям в общем случае. Однако регуляризация сингулярных уравнений не всегда возможно. Кроме этого, она может приводить к неадекватным уравнениям и к излишне сложным вычислениям. Поэтому правомерно искать приближенное решение сингулярных интегральных уравнений без их регуляризации.

Из приведенного обзора литературы и анализа состояния вопроса можно заключить, что к настоящему времени хорошо изученными в теоретической постановке и в смысле получения решений, удобных для практических инженерных расчетов, оказались лишь статические контактные задачи на винклеровском основании и на модели с двумя коэффициентами постели. Более трудную проблему представляет исследование контактных напряжений на основе модели упругого полупространства при сейсмическом воздействии. Точные теоретические решения получены для ограниченного числа случаев. Немногочисленны также и приближенные решения.

Сложную проблему представляет также исследование концентрации напряжений в плоскости, ослабленной отверстиями некругового очертания при тектонических и сейсмических воздействиях. С широким применением теории функций комплексного переменного и конформных отображений получены общие теоретические результаты и построены решения, пригодные для непосредственных инженерных приложений. В связи с тем, что эффективность метода конформных отображений зависит от вида функции, обеспечивающей конформное преобразование рассматриваемой области на какую- либо простейшую каноническую область (круг, полуплоскость и др.), то решение задачи с отверстиями сложной формы очертания контуров значительно усложняется.

В практике научных исследований и инженерных расчетов в области прочности все чаще прибегают к использованию приближенных численных методов решения задач механики деформируемого твердого тела. Во-первых, это связано с повышением требований к надежности современных инженерных конструкций, а во-вторых, с возможностями компьютерной техники, которые позволяют проводить расчеты со значительными объемами вычислительных операций. Для многосвязных областей, ограниченных линиями сложного очертания, особенно при наличии угловых точек и усложненных граничных условий, использование аналитических методов решения интегральных уравнений теории потенциала становится проблематичным. Поэтому вопросы построения алгоритмов численного решения интегральных уравнений, удобных для реализации на ЭВМ, становятся актуальными.

Цель и задачи диссертации. Целью работы является развитие метода граничных интегральных уравнений на основе использования теории сплайн- функций для решения различных задач статики и нестационарной динамики линейно -деформируемых систем.

Для реализации этой цели поставлены следующие задачи:

1. Построение и обоснование эффективного метода численного интегрирования дифференциальных уравнений для решения динамических и статических задач.

2. Построение граничных уравнений и численное решение статических и динамических задач по расчету натянутой мембраны при сплайновой аппроксимации граничных параметров.

3. Вывод граничных уравнений и решение задачи о колебаниях штампа, лежащего на упругом двухслойном основании, при действии поперечной волны; построение общих граничных уравнений взаимодействия штампа с упругим полупространством на основе дискретизации по времени; построение граничных уравнений сдвига штампом упругого полупространства.

4. Вывод граничных уравнений двумерных статических задач теории упругости и построение общих уравнений для бесконечной плоскости, ослабленной криволинейными отверстиями; разработка алгоритмов и программ для определения напряженно-деформированного состояния на контуре свободных и подкрепленных отверстий в плоской задаче при действии тектонических напряжений; построение граничных уравнений и разработка алгоритмов расчета плоскости с криволинейным отверстием, подкрепленным стойками.

5. Построение общих уравнений решения статических и динамических задач плит на упругом основании с двумя коэффициентами постели и разработка соответствующих алгоритмов и программ.

6. Создание алгоритмов расчета балок плит и оболочек на упругом полупространстве; разработка алгоритма приближенного метода решения краевых задач без привлечения фундаментальных решений.

7. Построение и обоснование метода решения задач распространения упругих волн и нестационарной дифракции.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• предложены способы численного решения динамических задач строительной механики и на основе численных экспериментов доказаны их устойчивость и сходимость;

• решены практические задачи, связанные с расчетом мембран и плит на упругом основании с сплайн-аппроксимацией граничных параметров и учете при этом особенности в угловой точке; существенно расширен класс функций, используемых для получения решений, а именно, найдены аналитические выражения для действительных и мнимых членов функции Ганкеля, которые позволяют исследовать статические и динамические состояния плит на упругом основании с двумя коэффициентами постели; получены новые точные решения задач о колебаниях штампа на однослойном и двухслойном основании при действии бегущей и стоячей поперечной волны; разработана методика и получены результаты расчета штампа на основе упруго-динамической модели с использованием сплайновой аппроксимации ускорения и скорости; получено решение задачи сдвига штампом упругого пролупространства с учетом влияние полости, образовавшейся вследствие провала грунта, на контактные касательные напряжения; рассматривается решение задачи деформации сдвига при неоднородном упругом полупространстве; предлагается методика расчета давления штампа на упругую плоскость с учетом и без учета сил трения с использованием сплайновой аппроксимации граничных параметров и приводится сравнение результатов; получена система граничных уравнений и разработана методика расчета бесконечной плоскости с криволинейными отверстиями при действии нагрузки как на контуре отверстия, так и на бесконечности; решены практические задачи, связанные с изучением напряженно-деформированного состояния контуров выработок подземных сооружений от действия тектонических напряжений; исследовано взаимное влияние двух отверстий на напряженно-деформированное состояние их границ; получена система граничных уравнений и предлагается методика расчета плоской задачи теории упругости при наличии подкрепленных отверстий; приводятся результаты при различных значениях отношений модулей сдвига; предлагается методика расчета упругой плоскости с криволинейными отверстиями, подкрепленными стойками; приводится сравнение результатов, полученных при различных значениях предварительного натяга и коэффициента податливости стойки; с помощью метода Вольтерра получено решение задачи Коши по распространению цилиндрической волны от заданного источника; разработана методика численного решения задачи дифракции цилиндрических волн;

• разработана методика расчета балок, плит и оболочек на упругом полупространстве; предложен приближенный метод решения краевых задач на основе идеи расширения области;

• разработаны программы решения на ЭВМ статических и динамических задач по расчету балок, мембран, плит на упругом основании, плоской задачи теории упругости при наличии свободных и подкрепленных отверстий.

Достоверность научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации, определяется строгостью применяемого математического аппарата, в том числе точным удовлетворением дифференциальным уравнениям и граничным условиям, доказательствами устойчивости и сходимости используемых методов аппроксимаций, различными внутренними проверками на основе очевидных тождеств при получении аналитических зависимостей, а также многочисленными сопоставлениями полученных результатов с известными, в том числе и с имеющимися точными решениями некоторых задач.

Научная и практическая ценность работы заключается в том, что разработанные алгоритмы и составленные программы могут быть использованы для расчета различных конструкций при различных моделях упругого основания (винклеровское основание, основание с двумя коэффициентами постели и упругое полупространство). Разработанные методы решения задач изгиба плит для областей с нерегулярной границей могут применяться при исследовании напряженно-деформированного состояния элементов конструкций, содержащих концентраторы напряжений, вызываемые наличием углов, выступов или отверстий. Предлагаемые алгоритмы и методы решения плоской задачи теории упругости позволяют исследовать статические и динамические взаимодействия конструкций с упругим полупространством, а также определять напряженно-деформированное состояние плоскости, ослабленной криволинейными отверстиями. Научная ценность определяется комплексом проведенных исследований, включающих в себя развитие теории потенциала, на основе которого разработаны алгоритмы и программы, позволяющие получать решения прикладных задач строительной механики, имеющих важное народнохозяйственное значение.

Реализация работы. Результаты разработок использовались для исследования напряженно-деформированного состояния контуров выработок подземных сооружений Рогунской ГЭС и внедрены в практику проектирования институтов «Таджикгидропро-ект» и «Таджикгипрострой». Теоретические и прикладные результаты диссертации внедрены в учебный процесс Таджикского технического университета для специальностей 2903-ПГС, 2911-мосты и транспортные туннели, 0904-шахтное и подземное строительство.

На защиту выносятся следующие научные результаты исследований, имеющие научную и практическую значимость:

1 .Численные результаты динамического расчета балок, плит и оболочек, основанные на методе последовательных аппроксимаций, с применением сплайновой аппроксимаций скоростей и ускорений.

2. Математические модели статических и динамических состояний натянутой мембраны, разработанные на основе метода граничных интегральных уравнений с применением сплайновой аппроксимации граничных параметров.

3. Аналитические и численные результаты решения задач о колебаниях штампа на однослойном и многослойном основании при действиях бегущей волны и произвольной динамической нагрузки.

4. Численные результаты расчета сдвига штампом упругого полупространства с учетом влияния полости, образовавшейся вследствие провала грунта, на контактные касательные напряжения.

5. Аналитические и численные результаты расчета давления штампом на упругую плоскость с учетом и без учета сил трения.

6. Математические модели статического состояния бесконечного массива с отверстиями произвольных контуров.

7.Численные результаты решения задач: о взаимодействии выработок подземных сооружений; бесконечного массива с подкрепленными отверстиями; бесконечного массива с отверстиями, подкрепленными стойками.

8. Аналитические результаты решения задачи Коши о распространения цилиндрических волн и методика численного решения задачи дифракции.

9. Решение задач теории изгиба плит на упругом основании при действии статических и динамических нагрузок.

10. Методика расчета балок, плит и оболочек на упругом полупространстве.

11. Метод приближенного решения краевых задач без привлечения фундаментальных решений.

Апробация работы. Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались на Всесоюзных конференциях: «Проблемы численного моделирования и автоматизации проектирования инженерных конструкций» (Ленинград, 1986г.); «Численные методы решения задач строительной механики и теории упругости и пластичности» (Волгоград, 1990г.); IV Научно-технической конференции Университета Дружбы Народов им. П. Лумумбы (Москва, 1991г.); на XI-XII Международных конгрессах по применению математики в строительстве (Веймар, 1987,1989гг.); на Республиканских научно-теоретических конференциях ( Душанбе, 1980,1984, 1985, 1988, 1989гг.); на итоговых 9 научно- технических конференциях (Душанбе, 1989, 1994гг.); на Международной конференции «Современные проблемы аппроксимации и ее приложения» (г.Куляб, 1995г); на расширенном заседании кафедр строительной механики, сопротивление материалов и прикладной математики ТТУ (Душанбе, 1996г); на объединенном научном семинаре кафедр сопротивления материалов и строительной механики МГСУ под руководством профессоров Г.С.Варданяна и Н.Н.Леонтьева (Москва, 1996г); на Международной конференции «Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами» (Душанбе, 1996г); на II Международной конференции «Актуальные вопросы сейсмостойкости зданий и сооружений Центральной Азии» (Самарканд, 1997г); на Международной научно-практической конференции (Душанбе, 1998г); на Международной конференции «Горные регионы Центральной Азии. Проблемы устойчивого развития» (Душанбе, 1999 г.); на объединенном научном семинаре кафедр сопротивления материалов и строительной механики МГСУ под руководством профессоров Г.С.Варданяна и Н.Н.Леонтьева (Москва, 1999).

Публикации. Результаты диссертационных исследований опубликованы в 29 научных трудах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения , семи глав, общих выводов, списка литературы(234 наименования), двух приложений и содержит 286 страниц основного текста, включая 84 рисунка, 45 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Низомов, Джахонгир

Основные результаты и выводы

1.Предложены и теоретически обоснованы методы численного интегрирования дифференциальных уравнений. Развит численный метод последовательных аппроксимаций применительно к решению динамических задач строительной механики.

2.Построена система граничных уравнений и разработаны алгоритмы решения статических и динамических задач мембраны при сплайновой аппроксимации граничных параметров. Предложены числовые процедуры для решения шаговым методом соответствующих систем интегральных уравнений динамических задач мембраны.

3.Получены аналитические результаты для исследования динамики штампа, лежащего на упругом неоднородном полупространстве при действии поперечной волны. Исследовано действие стоячей волны на штамп, установленный на двухслойном основании. Путем дискретизации по времени и применения сплайн- аппроксимации разработан универсальный алгоритм для исследования колебаний штампа при различных динамических воздействиях и начальных условиях.

4.Получено решение статической задачи, связанной с влиянием полости, образовавшейся вследствие провала грунта, на контактные касательные напряжения при сдвиге упругого полупространства.

5.Разработана и теоретически обоснована методика построения граничных интегральных уравнений плоской задачи теории упругости. Найдено решение статической контактной задачи о взаимодействии штампа с упругим полупространством без учета и с учетом сил трения в области контакта.

6.С использованием интегрального представления и сплайновой аппроксимации граничных параметров получены разрешающие уравнения, позволяющие исследовать НДС бесконечного массива с отверстием при различных нагружениях.

7.Разработанный алгоритм расчета бесконечного массива с отверстием реализован при решении задачи Кирша с последующим исследованием вопросов сходимости и точности предлагаемой методики. Получены результаты напряженно-деформированного состояния на контуре выработки машинного зала Рогунской ГЭС от действия тектонических сжимающих напряжений. Исследовано влияние смежной выработки трансформаторного помещения на НДС контура основной выработки машинного зала.

8.Предложенный алгоритм решения задач для многосвязных конечных областей реализован на примере задачи Ламе; исследовано НДС контура массива в условиях плоской деформации при различных способах аппроксимации граничных параметров. Разработаны алгоритмы решения задач каменно-земляной плотины с центральным ядром и гравитационных плотин.

9.Найдено решение плоской задачи при наличии подкрепленных отверстий и исследовано влияние отношения модулей сдвига материалов на НДС на контурах спая и кольца. Разработан метод решения статической задачи для массива с криволинейным отверстием, подкрепленным стойками.

Ю.Получены аналитические зависимости для исследования распространения волн, решения задачи Коши на основе метода Вольтерра и построен алгоритм решения задачи дифракции упругих цилиндрических волн.

11.Получены аналитические выражения для действительных и мнимых членов функции Ганкеля комплексного аргумента и исследованы их асимптотические разложения. Изучены основные математические вопросы и построена система граничных интегральных уравнений решения статических и динамических задач плит на упругом основании с двумя коэффициентами постели. Разработан алгоритм решения системы уравнений путем сплайновой аппроксимации ядра интегральных уравнений.

12.Построены общие алгоритмы расчета конструкций, лежащих на упругом полупространстве. Получены аналитические выражения для компонентов напряжений в полупространстве от действия единичных сил. Осуществлено интегральное представление и получены системы разрешающих уравнений плоской задачи теории упругости, задачи балок, плит и оболочек на упругом полупространстве. Предлагается приближенный метод решения краевых задач с использованием расширенной области.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Низомов, Джахонгир, 1999 год

1. Абрамов В.М. Проблема контакта упругой полуплоскости с абсолютно жестким фундаментом при учете сил трения //ДАН СССР.-1937.- №4, т.17.- С. 173-178.

2. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. -М.: Наука, 1978.- 351с.

3. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972,- 320 с.

4. Александров A.B. Численное решение линейных дифференциальных уравнений при помощи матрицы дифференцирования / Тр. МИИТ, Строительная механика. -М., 1961, вып.131. С. 253-266.

5. Александров A.B., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. -М.: "Высшая школа", 1990.- 399с.

6. Александров А.Я., Зиновьев Б.М. О вычислении сингулярных интегралов при численном решении задач теории упругости методом граничных интегральных уравнений // ДАН СССР. -1981. №6, т. 257. - С. 1328 - 1332.

7. Александров А.Я. Решение основных задач теории упругости путем численной реализации метода интегральных уравнений / В сб.: Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975. - С. 3-24.

8. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука, 1991. - 352 с.

9. Андреев В.И., Золотов А.Б., Прокопьев В.И., Сидоров В.А. Определение напряжений в упругом полупространстве со сферической полостью с учетом неоднородности среды.// Строительная механика и расчет сооружений.-1980.-№6.-С.37-40.

10. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. М.: Наука , 1969.-287 с.

11. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.

12. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973, т.1.

13. Бахрамов Б.М., Нурмухамедов Х.Д. Сдвиговые волны в конечном слое двухкомпо-нентной среде // ДАН Уз ССР,- 1976. №10,- С. 14-16.

14. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985. - 253 с.

15. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. -М.: Мир, 1984.-494 с.

16. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966. - 203 с.

17. Бормот Ю.Л. Численный анализ методом потенциала пространственного напряженного состояния элементов конструкций // Изв. АН СССР. МТТ,- 1977,- №4.- С. 203.

18. Боровиков В.А. Дифракция на многоугольниках и многогранниках. -М.: Наука, 1966. -455с.

19. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982.-248 с.

20. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. -524 с.

21. Брело М. О топологиях и границах в теории потенциала. М.: Мир, 1974.

22. Бурчуладзе Т.В., Гегелиа Т.Г. Развитие метода потенциала в теории упругости. -Тбилиси: Мецниереба, 1985.

23. Вайнберг Д.В., Синявский А.Л. Приближенный расчет оболочки с вырезами методами теории потенциала / В сб.: Проблемы механики сплошной среды. М.: Изд-во АН СССР, 1961.-С. 73 - 82.

24. Василенко В.А. Сплайн функции: теория, алгоритмы, программы. - Новосибирск: Наука, 1983.-216 с.

25. Ватсон Т.Н. Теория бесселевых функций. М.: ИЛ, 1949. - Т. 1. - 798 с.

26. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988. - 512 с.

27. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.: Физматгиз, 1970.

28. Венцель Э.С., Токаренко В.М. Об одном варианте реализации метода компенсирующих нагрузок применительно к расчету пластин сложной формы // Строительная механика и расчет сооружений. 1982. - №2. - С. 21 - 25.

29. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. Киев: "Вища школа", 1978. - 183 с.

30. Верюжский Ю.В., Вусатюк А.Н., Савицкий В.В. Решение методом потенциала задач изгиба пластин на упругом основании / В сб.: Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев, "Будивельник", 1974. - Вып. 24. - С. 64 -77.

31. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. - 512 с.

32. Власов Б.Ф. Неклассическая теория поперечного изгиба тонких изотропных плит/Сб.науч.трудов: Теоретические и экспериментальные исследования прочности и жесткости элементов строительных конструкций.-М.: МГСУ, 1995.-С.64-80.

33. Власов В.З. Избранные труды. -М.: Изд-во АН СССР, т.1, 1962.- 528с.

34. Власов В.З., Леонтьев H.H. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М.: Физматгиз, 1960. - 491 с.

35. Власов O.E. Основы динамики взрыва. М.: ВИА, 1945. - 350 с.

36. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек,- М.: Наука, 1972,- 432с.

37. Габбасов Р.Ф. О численно- интегральном методе решения краевых задач строительной механики для дифференциальных уравнений в частных производных / В сб.: Исследования по теории сооружений,- М.: Стройиздат, 1976,вып.22,- С.27-34.

38. Габбасов Р.Ф. О разностных формах метода последовательных аппроксимаций / В сб.: Численные методы решения задач строительной механики. Киев: КИСИ, 1978.-С. 122-126.

39. Габбасов Р.Ф. Об интегральных и дифференциальных формах численного метода последовательных аппроксимаций // Строительная механика и расчет сооружений. -1978. -№3. С. 26-30.

40. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1953. - 264 с.

41. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1958. -439 с.

42. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. - 375 с.

43. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. Введение в теорию. -М.: Наука, 1973.-400 с.

44. Гольдштейн Р.В. К вопросу о применении метода граничных интегральных уравнений для решения задач механики сплошных сред / В сб.: Метод граничных интегральных уравнений. М.: Мир, 1978. - С. 183 - 209.

45. Горбунов -Посадов М.И. Балки и плиты на упругом основании. М.: Машстройиз-дат, 1949.-238 с.

46. Гордеева С.Н. Волновое сейсмическое воздействие и расчет подземного машинного зала Рогунской ГЭС // Гидротехническое строительство. -1992,- №12.-С.33-38.

47. Грей Э., Мэтьюз Г.Б. Функции Бесселя и их приложения. М.: ИЛ, 1953. - 371 с.

48. Громадка Т., Лей Ч. Комплексный метод граничных элементов в инженерных задачах. М.: Мир, 1990. - 303 с.

49. Гузь А.Н.,Кубенко В.Д.,Черевко М.А. Дифракция упругих волн,- Киев: "Наукова думка", 1978,- 204с.

50. Гурса Э. Курс математического анализа, т.З, часть 1,- М.-Л.: Гостехиздат, 1933.-276с.

51. Гуртовик Ф.И.,Золотов О.Н.Дуперман В.Л.,Мостков В.М.,Осадчий Л.Г. Оценка современного состояния строящегося подземного машинного зала Рогунской ГЭС // Гидротехническое строительство. -1992.-№3.-С. 22-26.

52. Гюнтер Н.М. Теории потенциала и ее приложение к основным задачам математической физики. М.: Гостехиздат, 1953. - 415 с.

53. Демидович Б.П., Морон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.-664 с.

54. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционные исчисления. М.: Наука, 1974,- 542 с.

55. Жемочкин Б.Н. Теория упругости. М.: Госстройиздат, 1957. -256с.

56. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн -функций. -М.: Наука, 1980. 350 с.

57. Заппаров К.И., Перлин П.И. Численное решение плоской задачи теории упругости для области сложной конфигурации // Прикладная механика. 1976.- №3.- С. 87-98.

58. Заргарян С.С. Интегральные уравнения плоской задачи теории упругости для многосвязных областей с углами // Изв. АН СССР. МТТ,- 1982.-№3.-С.87-98.

59. Заргарян С.С., Мазья В.Г. Об асимптотике решений интегральных уравнений теории потенциала в окрестности угловых точек контура // Прикладная математика и механика. -1984.-Т.48.-№ 1 .-С. 169-173.

60. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. -М.: Мир, 1986.-318с.

61. Золотов А.Б., Сидоров В.Н. Алгоритмизация решения краевых задач строительной механики на ЭВМ. //Строительная механика и расчет сооружений.-1975.-№5.

62. Золотов О.Н., Илюшин В.Ф., Мостков В.М. Выбор и исследование конструкции подземного машинного зала Рогунской ГЭС // Гидротехническое строительство. -1988.-№1,- С. 11-15.

63. Иваненко Д., Соколов А. Классическая теория поля. М.: Гостехиздат, 1951. -479 с.

64. Игнатов М.И., Певный А.Б. Натуральные сплайны многих переменных. -JL: Наука, 1991.-125 с.

65. Изучение упругих и вязкоупругих волн напряжений методами фотоупругости и го-лографической интерферометрии// Сб. тр. под ред. Г.Л.Хесина,- М.: МИСИ, 1988,-250с.

66. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. -М.: Наука, 1985.-336с.

67. Каландия А.И. О приближенном решении одного класса сингулярных интегральных уравнений //ДАН СССР.-1959.-Т. 125.-№4.-С.715-718.

68. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -М.: Физ-матгиз, 1962.

69. Карман Т., Био М. Математические методы в инженерном деле. -М.,Л.: ОГИЗ.-1946.-423 с.

70. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. -М.: Наука, 1964.-487 с.

71. Касумов A.A., Леонтьев H.H., Соболев Д.Н. Метод обобщенных жесткостей для решения стохастических задач об изгибе плит на упругом основании // Строительная механика и расчет сооружений. 1991.-№2.-С. 24-28.

72. Киселев В.А. Расчет пластин. М.: Стройиздат, 1973.-151 с.

73. Киселев В.А. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений. -М.: Стройиздат, 1980.-418 с.

74. Клепиков В.П., Михайлов С.Е. Применение метода граничных интегральных уравнений в расчете сварных узлов конструкций // Строительная механика и расчет сооружений. 1989.-№4.-С. 4-7.76.