Динамические контактные задачи для предварительно напряженных тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Калинчук, Валерий Владимирович

• Калинчук, Валерий Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Калинчук, Валерий Владимирович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Некоторые сведения из нелинейной теории упругости и электроупругости

1.1. Основные положения НТУ

1.1.1. Системы координат Лагранжа и Эйлера

1.1.2. Описание кинематики сплошной среды

1.1.3. Описание напряженного состояния сплошной среды

1.1.4. Краевая задача НТУ в лагранжевых координатах

1.1.5. Краевая задача НТУ в эйлеровых координатах 3 О

1.2. Основные положения НТЭУ

1.2.1. Описание состояния электроупругой среды

1.2.2. Представление потенциальной энергии в НТЭУ

1.2.3. Постановка краевой задачи НТЭУ (эйлеровы координаты)

1.2.4. Постановка краевой задачи НТЭУ (лагранжевы координаты)

1.3. Линеаризация уравнений НТЭУ

1.3.1. Линеаризация уравнений НТЭУ в ОК

1.3.2. Линеаризация уравнений НТЭУ в НДК

ГЛАВА 2. Краевые динамические задачи о колебании преднапряженных сред

2.1. Лагранжевы координаты

2.2. Краевая задача в координатах НДК

2.3. Неоднородная среда

2.4. Многослойная среда

2.5. Электроупругая среда (лагранжевы координаты)

2.5.1. Случай больших начальных деформаций

2.5.2. Случай малых начальных деформаций

2.5.3. Постановка задачи в декартовой системе координат

2.5.4. Определение НДС в классе 6шш (система координат Лагранжа)

2.6. Постановка задачи для электроупругой среды в НДК

2.6.1. Случай больших начальных деформаций

2.6.2. Случай малых начальных деформаций

2.6.3. Постановка задачи в декартовой системе координат

2.6.4. Случай однородного напряженного состояния

2.6.5. Определение НДС в классе 6шт (система координат Эйлера)

2.7. Постановка задач для электроупругой неоднородной среды

2.8. Постановка задач для электроупругой многослойной среды

ГЛАВА 3. Решение динамических задач для предварительно напряженных сред

3.1. Общий случай преднапряженной упругой среды

3.2. Гиперупругое полупространство

3.3. Гиперупругий слой

3.4. Составная гиперупругая среда (слой на полупространстве)

3.5. Неоднородный слой с защемленным основанием

3.6. Неоднородный слой, лежащий на однородном полупространстве

3.7. Общий случай электроупругой среды

3.8. Электроупругий слой

3.9. Составная преднапряженная электроупругая среда

ГЛАВА 4. Некоторые задачи о контактном взаимодействии массивных тел, механических (инерционных) или электрических (с сосредоточенными параметрами) систем с полуограниченными средами

4.1. Динамическое взаимодействие массивных тел и инерционных систем с полуограниченными упругими средами

4.1.1. Колебания массивного штампа (общий случай)

4.1.2. Поступательные колебания штампа

4.1.3. Колебания инерционной системы (а)

4.1.4. Колебания инерционной системы (б)

4.2. Динамическое взаимодействие массивных тел и инерционных систем с полуограниченными электроупругими средами

4.2.1. Колебания массивного штампа

4.2.2. Колебания инерционной системы

4.3. Динамическое взаимодействие электрических систем с сосредоточенными параметрами) с полуограниченными электроупругими средами

ГЛАВА 5. Интегральные уравнения динамических контактных задач для различных преднапряженных полуограниченных сред

5.1. Однородное полупространство

5.2. Однородный слой

5.3. Слой на поверхности полупространства

5.4. Неоднородный слой с переменными по глубине свойствами

5.5. Неоднородный слой на однородном полупространстве

5.6. Электроупругий преднапряженный слой

5.7. Электроупругий преднапряженный слой на диэлектрическом полупространстве

ГЛАВА 6. Некоторые методы решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений I рода

6.1. Метод факторизации решения интегральных уравнений

6.1.1. Общая схема метода факторизации

6.1.2. Решение интегрального уравнения (специальный случай)

6.1.3. Решение интегрального уравнения (произвольная форма основания штампа

6.1.4. Решение интегральных уравнений (одна точка ветвления)

6.1.5. Решение интегральных уравнений (две точки ветвления)

6.2. Метод фиктивного поглощения решения одномерных интегральных уравнений

6.2.1. Общая схема метода

6.2.2. Реализация метода

6.3. Метод фиктивного поглощения для двумерных интегральных уравнений

6.3.1. Общая схема метода

6.3.2. Реализация метода

6.4. Метод фиктивного поглощения для систем интегральных уравнений

6.4.1. Основные положения МФП для систем ИУ

6.4.2. Приближенное представление символа ядра

6.4.3. Точное представление символа ядра

6.4.4. Реализация метода

6.4.5. Некоторые типы систем интегральных уравнений

ГЛАВА 7. Особенности динамического контактного взаимодействия массивных тел с полуограниченными средами

7.1. Некоторые динамические свойства упругого слоя.

7.1.1. Сдвиговые колебания штампа.

7.1.2. Вертикальные колебания штампа.

7.2 Слой с переменными по глубине свойствами.

7.3 Слой с переменными по глубине свойствами, лежащий на поверхности однородного полупространства.

7.4 Динамические свойства пакета из двух слоев.

7.5. Резонансное взаимодействие упругой двухмассовой системы с упругим основанием.

7.6. Резонансные свойства электроупругой полосы.

7.7. Электроупругий слой на поверхности диэлектрического полупространства.

ГЛАВА 8. Влияние начальных напряжений на динамику массивных тел и инерционных систем.

8.1. Динамические свойства преднапряженного полупространства сдвиговые колебания).

8.1.1. Сдвиговые колебания штампа на поверхности преднапряженного полупространства.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамические контактные задачи для предварительно напряженных тел»

Диссертационная работа посвящена разработке проблемы динамического контактного взаимодействия массивных тел, механических (инерционных) или электромеханических (с сосредоточенными параметрами) систем с упругими или электроупругими полуограниченными средами, подверженными действию конечных (больших) начальных напряжений.

Контактное взаимодействие твердых деформируемых тел является одной из сложных и актуальных задач современной механики, привлекающей пристальное внимание многочисленных исследователей. Свидетельством этому является большое количество монографий, обобщающих исследования по статическим [7-9, 18, 66, 77, 96, 145, 146, 167, 168, 175,178, 189] и динамическим [21, 24, 67, 68, 83, 84, 130, 169, 180, 181] смешанным задачам механики твердого деформируемого тела.

Успехи в развитии теории контактного взаимодействия во многом опираются на результаты, полученные в области развития математической теории потенциала, краевых задач и интегральных уравнений [78, 132, 150, 157, 178, 195, 196].

Важным фактором, стимулирующим развитие теории и математических методов исследования смешанных задач динамической теории упругости и, связанных с данной проблемой, методов решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений, является значительный прогресс, достигнутый в изучении процессов распространения волновых полей в средах со сложными свойствами, о чем свидетельствуют многочисленные монографии как отечественных, так и зарубежных авторов [30, 56, 60, 61, 79, 89, 90, 95, 97, 100, 130,144, 154, 156, 159, 160, 164, 188, 197, 199, 204, 206, 215, 263, 273, 295, 313].

Машиностроение и приборостроение, ультразвуковая дефектоскопия и акустическая эмиссия, акустоэлектроника, фундаментостроение и сейсмостойкое строительство, сейсморазведка и геофизика,- далеко не полный перечень отраслей современной науки и техники, в которых проблема контактного взаимодействия твердых деформируемых тел играет важную, а в ряде случаев, определяющую роль.

Исследованию различных аспектов динамики контактного взаимодействия деформируемых твердых тел посвящены работы [5, 14- 17, 19-33, 3955,58, 64, 65, 67-74,81 -84,91 -93,95,96, 101, 102, 104, 111 -123, 138, 149, 169, 173, 174, 180, 181 и др.]. Исследования основаны на сведении краевых и начально-краевых задач теории упругости и математической физики к интегральным уравнениям (ИУ) или к системам интегральных уравнений (СИУ) первого рода, для решения которых используется широкий круг методов: асимптотические методы [6, 54, 102], метод факторизации [14-17, 19 - 27, 43 - 52, 67 - 74, 169], вариационно-разностный метод [24, 81], метод фиктивного поглощения [21, 24, 28, 29, 40, 68, 72, 173, 174], метод ортогональных многочленов [167, 168, 180, 181], метод граничных элементов [58, 111, 156, 157], метод коллокаций [53, 70, 140], метод комплексных потенциалов [32, 33, 93, 96], метод однородных решений [171] и др.

При исследовании динамики многослойных сред осцилляция символа ядра интегрального оператора существенно затрудняет использование численных методов (вариационно-разностный, коллокаций, граничных элементов и т.д.). Более эффективными, особенно на больших частотах колебания штампов, являются метод факторизации [21, 67], развитый в ряде работ В.А.Бабешко, и метод фиктивного поглощения, предложенный В.А. Бабешко и развитый в цикле работ В.А.Бабешко и О.Д.Пряхиной [21, 28, 68]. Он был успешно использован при изучении контактного взаимодействия массивных жестких штампов, упругих балочных плит и двухмассовых инерционных систем со средами типа слоя или пакета слоев [28, 68 и др.], а также при исследовании СИУ задач контактного взаимодействия массивных электродов с аналогичными типами электроупругих сред [68, 173, 174 и др.]. Проблема разработки новых подходов к решению ИУ и СИУ динамических смешанных задач для слоисто-неоднородного полупространства остается актуальной.

Принципы излучения, обеспечивающие единственность решения смешанных краевых задач динамической теории упругости и математической физики, сформулированы в работах В.А. Бабешко и И.И. Воровича [21 - 24, 64, 66, 67], И.Н. Векуа [59], А. Зоммерфельда [105], В.Д. Купрадзе [132], Л.И. Мандельштама [139], А.Г. Свешникова [179], А.Н. Тихонова [193] и др.

Совершенствование методов расчета деталей и узлов машин и конструкций, потребность прогнозирования их ресурсной способности, обуславливают необходимость не только учета начальных напряжений на стадии проектирования, но и разработки теоретических и экспериментальных методов контроля их напряженного состояния, оценки величины и характера начальных напряжений в деталях и элементах конструкций при эксплуатации.

Самостоятельный интерес представляет проблема неразрушающего контроля напряженного состояния и ресурсной способности деталей и узлов авиационной и космической техники, выполненных из композиционных материалов и находящихся в сложных условиях больших динамических силовых воздействий.

Проблема контроля напряженного состояния горных пород, причиной возникновения которого являются действие гравитационных сил и тектонические процессы в земной коре и верхней мантии, является актуальной в геофизике и сейсмологии при разработке методов раннего прогнозирования землетрясений и мониторинга сейсмоопасных районов. Значительный интерес представляет разработка теоретических основ методов вибрационного воздействия на очаги концентрации напряжений в сейсмоопасных районах с целью сброса накопившихся напряжений за счет инициирования искусственных землетрясений малой интенсивности.

Немаловажной представляется проблема учета начальных напряжений при расчетах фундаментов и конструкций ответственного назначения на вибрацию и сейсмостойкость. Все вышеизложенное определяет значительный, постоянно возрастающий интерес отечественных и зарубежных ученых к проблеме изучения динамики преднапряженных тел.

Строгое описание процессов, проистекающих в твердом деформируемом теле при больших (конечных) деформациях представляет сложную проблему и требует привлечения определяющих соотношений нелинейной теории упругости (НТУ) [134, 137, 155, 194, 303 и др.]. В то же время, множество процессов, происходящих в телах, подверженных действию начальных напряжений, можно рассматривать в рамках линеаризованной теории наложения малых деформаций (динамических возмущений) на конечные деформации (начальное статическое состояние) в предположении, что возмущения малы. Такой подход позволяет существенно упростить нелинейную проблему, за счет линеаризации нелинейных уравнений в окрестности статического состояния, и построить в той или иной мере последовательную линеаризованную теорию динамических процессов в предварительно напряженном теле. От последовательности линеаризации зависит степень адекватности описания влияния начальной деформации на динамические процессы в преднапряженных средах.

Впервые понятие предварительно напряженного упругого тела ввел Ко-ши (A.L.Cauchi //Sur l'eqilibre et le monvement d'une plaque solide. Exercices de mathematicue. Vol.3, Bure Freres; Paris, 1828). Отдельные аспекты подхода, основанного на наложении малых деформаций на конечные деформации в 1894 были изложены Фингером (Finger J. Ueber die allgemeinsten Beziehungen zwischen Deformationen und den zugehoerigen Spannungen in aelotropen und isotropen Substanzen.//Sitzungbericht d. Akad. Wiss., Wien, 1894). Исследование влияния начальных напряжений, обусловленных воздействием гравитационного поля Земли, на скорость релеевских волн предпринято в 1898 году проф. Бромвичем (TJ. l'A. Bromvich // On the Influence of Gravity on Elastic Waves, and, in particular, on the Vibrations of an Elastic Globe). Систематизированное изложение линеаризованной теории наложения малых деформаций на конечные дал А. Love (русский перевод Ляв А. Математическая теория упругости. ОНТИ, 1927г.). Общие вопросы механики преднапряженных упругих тел постоянно находили место в исследованиях как отечественных, так и зарубежных ученых, что нашло отражение в многочисленных публикациях (E.Trefftz [354], Kappus [287], В.В.Новожилов [155], F.D.Murnaghan [303], D.S.Hughes, J.L.Kelly [282], A.E.Green [274], M.Hayes, R.S.Rivlin [278-280], J.N.Flavin [266], C.Truesdell [194, 355], M.A.Biot [219], А.И. Лурье [134,135], Л.М.Зубов [106, 107], R.Burridge, L.Knopoff [235], F.John [285], А.Н.Гузь [95] и мн. др.).

В этих работах реализованы различные подходы к линеаризации нелинейных уравнений теории упругости. Построены различные варианты теории наложения малых деформаций на конечные деформации, в той или иной мере адекватно учитывающие особенности динамических процессов, проистекающих в реальных, подверженных большим силовым воздействиям, телах.

Вопросам распространения волн в предварительно напряженных неограниченных телах посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных авторов. Основное внимание уделено исследованию закономерностей распространения объемных волн [88, 94, 95, 97, 108, 109, 133, 141, 147, 151, 166, 176, 182 - 186, 189, 191, 199, 202, 205, 209, 214 - 218, 223 - 226, 229, 237 -239, 244, 252 - 254, 256 - 264, 273 - 279, 283, 289, 290, 293, 297 - 300, 304,-. 311,315 -317, 321 - 323, 325, 327, 329, 330, 338, 341, 342, 344, 358 - 364, 365 -367, 372 - 374 и др.], на основе которых возможна разработка экспериментальных, основанных на использовании особенностей распространения проходящих или отраженных волн, методов оценки напряженного состояния деталей и узлов конструкций, находящихся в условиях воздействия силовых факторов различной природы. Ряд выявленных закономерностей явились основой для разработки экспериментальных методов и реализующего их оборудования для определения упругих констант III порядка различных конструкционных материалов [176, 183 - 185, 222, 228, 231, 331, 337, 345, 346, 352, 375, 379 и др.].

Другим направлением, привлекающим пристальное внимание исследоваг телей, является исследование закономерностей распространения волн на поверхности предварительно напряженных тел. Это вызвано тем, что часто условия или геометрические размеры исследуемых объектов, их расположение не позволяют применять методы контроля начального напряженного состояния, основанные на использовании проходящих или отраженных упругих волн.

Несмотря на то, что проблема распространения волн на поверхности предварительно напряженных тел является более сложной и более трудно реализуемой экспериментально, она представляет значительный интерес для разработки методов оценки напряженного состояния контролируемых объектов. Особенности распространения поверхностных волн в предварительно напряженных телах при различных видах начального напряженного состояния исследовались в [13, 94, 95, 97, 141, 151, 197, 205, 229, 232, 237, 240 - 249, 263 -267, 271, 272, 280, 281, 284, 292, 327, 335, 336, 357, 361, 365, 368 - 371 и др.]. Необходимо отметить, что волновые процессы в подавляющем большинстве работ рассматриваются без учета источников колебаний. В этом плане исключение составляют работы А.Н. Гузя и его учеников С.Ю. Бабича, Ф.Г. Махорта и В.Б. Рудницкого [32, 33, 93 - 97], в которых рассмотрены плоские динамические задачи о движении нагрузки для упругих сжимаемых и несжимаемых тел с начальными напряжениями. При этом исходные динамические задачи допускают преобразование к стационарным задачам в подвижной системе координат, движущейся прямолинейно с постоянной скоростью. Существенную роль в этих исследованиях играло предположение об однородности начального напряженного состояния, что позволяло использовать хорошо развитую теорию комплексных потенциалов. Более общие виды преднапряжений, а также более сложные модели (в том числе физически нелинейные материалы) среды использовались при исследовании статических контактных задач в работах В.М. Александрова, Н.Х. Арутюняна и их учеников: С.Р. Брудного, И.В. Воротынце-вой, В.Б. Зеленцова, Е.В. Коваленко, B.C. Порошина, JIM. Филлиповой [3, 4, 6, 10,75,103,200,201].

Динамические контактные задачи о вибрации жестких штампов для преднапряженных, как однородных, так и для неоднородных сред рассматривались в работах И.В. Ананьева, В.А. Бабешко, Т.И. Белянковой, И.В. Лысенко, И.Б. Поляковой и автора [14 - 17, 26, 42 - 52, 91, 92, 113 - 122]. Проблемы контактного взаимодействия массивных тел или систем с преднапряженными полуограниченными средами рассматривались в работах Т.И. Белянковой и автора [45, 49, 50, 116].

Значительный интерес как для технических приложений (снижение риска возникновения нежелательных резонансов в конструкциях), так и для фунда-ментостроения и сейсмостойкого строительства (выработка комплексов защитных инженерных мероприятий по снижению опасных сейсмических воздействий на здания и сооружения) представляет проблема резонансного взаимодействия ограниченных и полу ограниченных тел. В частности, большой интерес вызывают низкочастотные [39, 41, 53, 64, 65, 67, 68, 70, 71] и высокочастотные «изолированные» резонансы [19, 20, 22], поскольку они оказывают значительное влияние на прочностные характеристики контактирующих тел.

Исследования показывают, что резонансы могут играть важную роль при разработке принципов и методов неразрушающего контроля и мониторинга напряженного состояния и ресурсной способности узлов конструкций, находящихся в условиях больших статических и динамических воздействий.

Различные проблемы механики связанных электроупругих полей в отсутствие преднапряжений, в том числе, проблемы, связанные с динамическим контактным взаимодействием массивных электродов с электроупругими средами рассмотрены в [21, 29, 37, 38, 60, 62, 63, 68, 74, 79, 89, 90, 100, 111, 154, 156, 164, 173, 174, 178, 188, 197, 199, 204 и др.].

Изучение особенностей проявления начальных напряжений в электроупругой среде впервые, по-видимому, предпринято в работе R.N.Thurston, K.Brugger [346]. Последовательное построение линеаризованной теории динамических процессов в преднапряженной электроупругой среде, основанное на линеаризации нелинейных уравнений электроупругости дали J.C. Baumhauer, H.F.Tiersten [212]. Линеаризованные уравнения движения и уравнение вынужденной электростатики приведены в декартовой системе координат в традиционном для физической акустики компонентном представлении тензорных и векторных величин. В работах [213, 242, 343, 347 - 350, 379] при исследовании процессов распространения волн в различных кристаллах рассмотрены эффекты, связанные с учетом констант третьего порядка. Изучение влияния НДС на скорости ПАВ и акустоупругие эффекты второго порядка предпринято в [212, 241, 251, 268, 333, 343]. Влияние сильных начальных электрических полей на скорость поверхностных волн в пьезоэлектрической среде исследовалось в [212, 268, 348]. Сочетание совместного воздействия механических напряжений и сильных начальных электрических полей на скорость поверхностных волн в пьезоэлектрической среде исследовалось в [207]. Ряд выявленных в отмеченных выше работах закономерностей использован при разработке теоретических основ и экспериментальных методов определения нелинейных упругих, диэлектрических и пьезоэлектрических констант различных кристаллов [251, 379].

Целью настоящей диссертационной работы является разработка методов исследования динамического контактного взаимодействия массивных тел, механических (инерционных) или электромеханических (с сосредоточенными параметрами) систем с упругими или электроупругими преднапряженными полуограниченными средами; разработка и реализация методов решения ИУ и СИУ динамических контактных задач, символы ядер которых могут иметь точки ветвления на вещественной оси; изучение резонансных явлений, возникающих при взаимодействии массивных тел и инерционных систем с упругими полуограниченными преднапряженными средами; исследование резонансных явлений при контактном взаимодействии электроупругих сред с электромеханическими системами, состоящими из дискретных электрических элементов.

Научную новизну работы составляют следующие результаты, полученные автором:

1. изучен новый класс задач о динамическом контактном взаимодействии массивных тел, механических инерционных систем с преднапряженными упругими полуограниченными средами;

2. дана постановка нового класса задач о динамическом контактном взаимодействии электромеханических или чисто электрических систем с преднапряженными электроупругими полуограниченными средами;

3. получена новая форма линеаризованных уравнений движения электроупругой преднапряженной среды в лагранжевых и в эйлеровых, в общем случае, криволинейных координатах, безотносительно к виду начального напряженного состояния;

4. разработаны эффективные методы решения ИУ и СИУ первого рода, возникающих при исследовании задач для сред типа полупространства, слоистого полупространства, среды с переменными свойствами. В том числе:

- получил обобщение метод факторизации применительно к ИУ, символы ядер которых имеют одну или две точки ветвления на вещественной оси;

- получил обобщение метод фиктивного поглощения на класс динамических контактных задач для слоисто неоднородного полупространства. Обобщение основано на использовании в рамках МФП численных методов решения ИУ и СИУ;

5. изучен широкий круг конкретных задач о динамическом контактном взаимодействии массивных тел, инерционных механических и электромеханических систем с полуограниченными неоднородными, преднапряженными упругими и электроупругими средами.

На основе разработанных методов: построены новые решения интегральных уравнений динамических контактных задач для однородного полупространства, символы ядер которых имеют одну или две точки ветвления на вещественной оси;

- изучена взаимосвязь спектральных свойств краевой задачи со структурой поверхностного волнового поля и динамической жесткостью среды;

-изучено влияния характера изменения свойств среды на структуру поверхностного волнового поля и динамическую жесткость среды;

- изучены закономерности влияния условий контакта между слоями в двухслойной среде на динамику массивного штампа;

- исследованы условия возникновения неограниченных низкочастотных резо-нансов при контактном взаимодействии двухмассовой стержневой системы с полуограниченной средой;

- доказана теорема, устанавливающая связь параметров двухмассовой инерционной системы со стержневым упругим элементом с количеством изолированных резонансов;

- изучено влияние начального напряженного состояния различных полуограниченных тел на динамику контактирующих с ними массивных тел и двухмас-совых инерционных систем;

-изучены условия возникновения изолированных резонансов при взаимодействии электроупругой среды с электромеханической системой.

Достоверность основных положений и выводов подтверждается:

- применением строгого математического аппарата;

- корректностью постановки рассматриваемых в работе задач;

- обоснованностью используемых методов решения ИУ и СИУ;

- получением прозрачных в физическом и механическом смысле результатов;

- сравнением, где это возможно, с известными, полученными другими методами, результатами.

Вопросы однозначной разрешимости аналогичных рассматриваемым в работе ИУ и СИУ, детально изложены в публикациях и монографиях В.А.Бабешко и И.И.Воровича [21, 23, 24, 64 и др.]. Они тесно смыкаются с вопросами поверхностной и внутренней устойчивости среды, которые изучались в работах А.И. Лурье, А.Н. Гузя, Л.М. Зубова и др. [95, 107, 108, 134, 135].

Цель настоящей работы - поиск закономерностей влияния начальной деформации среды на динамическое поведение контактирующих с ней тел, исследование возможности проводить оценку напряженного состояния среды по изменению тех или иных параметров движения тела.

В связи с этим будем полагать, что пределы используемой при расчетах величины начальной деформации значительно меньше критических значений, которые могут привести к потере устойчивости среды.

При таком предположении доказательства теорем существования й единственности решения ИУ и СИУ ничем не отличаются от доказательств теорем существования и единственности решений ИУ и СИУ в отсутствие преднапря-жений, представленных в многочисленных публикациях и монографиях В.А. Бабешко и И.И. Воровича, и здесь не приводятся. В настоящей работе лишь отмечены свойства символов ядер ИУ и СИУ, наличие которых обуславливает однозначную разрешимость.

Исследования по рассматриваемому в диссертации кругу вопросов проводились в НИИ механики и прикладной математики РГУ в рамках ряда государственных научно - технических программ. Среди них ГНТП по проблеме 0.74.03 "Разработать и внедрить в практику народного хозяйства методы оценки опасности и комплекс мероприятий для уменьшения ущерба от землетрясений, цунами и вулканических извержений", ГНТП по проблеме 0.55.09 "Разработать и внедрить экономичные и технологичные решения атомных и тепловых электростанций унифицированных типов, линий электропередач и подстанций, а также поточно-скоростные методы их строительства", ГНТП по проблеме 0.50.03 "Разработать и внедрить аппаратуру и технологии сейсмических исследований с целью более полного изучения глубинного строения Земли, вещественного состава пород при поиске и разведке месторождений нефти, газа и твердых ископаемых".

В последние годы исследования, связанные с темой диссертации, проводились в рамках республиканской научной программы "Фундаментальные проблемы механики деформируемых сред и конструкций", в рамках программы Минобразования РФ «Университеты России», были поддержаны научными фондами (долгосрочный грант Международного Научного Фонда Сороса, конкурсы грантов Российского Фонда фундаментальных исследований 1995г., 1998г., грант Конкурсного Центра по фундаментальному естествознанию Минобразования РФ 1996г.)

Диссертация состоит из восьми глав и заключения.

В главе 1 приведены основные, необходимые для цельности изложения постановки динамических задач для преднапряженных упругих и электроупругих тел, сведения из нелинейной теории упругости (НТУ) и электроупругости (НТЭУ). Традиционно различают три состояния (конфигурации) тела: естественное (ненапряженное, ЕС или ЕК), начально-деформированное (НДС или НДК), актуальное (возмущенное по отношению к НДС, АС или АК). При этом особое значение приобретает выбор системы координат, которая может быть связана либо с ЕК (система координат Лагранжа или материальная система координат), либо с АК (система координат Эйлера или пространственная система координат) [30, 41, 42]. Линеаризованные уравнения движения существенным образом зависят как от выбора системы координат, так и от выбора определяющих соотношений, поскольку существует возможность определения напряженного состояния различными тензорами (Коши, Пиола, Кирхгофа и т.д.) и множественность их представления через меры и тензоры деформации (Коши - Грина, Фингера, Альманзи) или градиент места. Более детально с особенностями постановки задач для преднапряженных тел можно ознакомиться в монографиях А.И. Лурье [134, 135], А. Лява [137] и А.Н. Гузя [95].

В пЛЛ приводятся основные положения НТУ. Отмечено, что в нелинейной теории необходимо различать отсчетную конфигурацию, связанную с естественным состоянием тела (ОК или ЕК), и актуальную конфигурацию (АК), связанную с текущим деформированным состоянием тела. Различие этих конфигураций заключается в разной форме задания векторов, определяющих положение материальной точки, а также в разном определении тензоров, описывающих деформированное и напряженное состояние сплошной среды. Даны постановки нелинейных упругих краевых задач в материальной (лагранжевой) и в пространственной (эйлеровой) системах координат.

В п.1.2 приведены основные сведения НТЭУ. Отмечено, что в НТЭУ также различают отсчетную и актуальную конфигурации, которые связаны с материальной и пространственной формами описания определяющих соотношений. Соотношения, определяющие механические и электрические тензоры и вектора, задаются с помощью скалярной функции - электродинамического потенциала (функции Гиббса и т.п.).

В п.1.3 проведена линеаризация уравнений НТЭУ в окрестности некоторого начально-деформированного состояния в общей форме, независимо к выбору лагранжевой, в общем случае криволинейной, системы координат. Окончательные выражения представлены в компактной, удобной для дальнейшего использования, форме.

Отмечено, что использование материальной системы координат целесообразно в случае исследования процессов в электроупругой среде при отсутствии сильных внешних статических электрических полей. НДС создается за счет действия механических напряжений, электрическое поле является вторичным, возникающим за счет пьезоэлектрических свойств среды. В уравнениях движения и других определяющих соотношениях члены, содержащие множителем значение вектора напряженности электрического поля, могут быть опущены.

Пространственная форма описания используется в случае воздействия как механических напряжений, так и сильных внешних электрических полей. В этом случае в уравнениях движения и граничных условиях целесообразно сохранять все члены, содержащие квадрат вектора напряженности электрического поля. Указано, что ранее линеаризованные уравнения движения преднапря-женной электроупругой среды в декартовой системе координат и в традиционной для физической акустики компонентной форме получены 1.С. ВаитЬаиег, Н.Р.Тш^еп [212].

В главе 2 рассматривается постановка рассматриваемых в диссертации динамических задач о колебаниях преднапряженых упругих и электроупругих сред.

Первые три параграфа посвящены постановке краевых задач для упругих преднапряженных полуограниченных тел. В качестве таких тел рассматриваются полупространство, двухслойное полупространство, слой, лежащий без трения на жестком основании, и слой, нижняя грань которого жестко защемлена. Окончательные выражения построены в общей форме независимо от вида начального напряженного состояния.

В п.2.1 дается постановка задачи в лагранжевой системе координат, в описании которой участвует линеаризованный тензор напряжений О, который представляется через упругий потенциал, задаваемый инвариантами тензора деформации Коши - Грина, и градиенты деформации места, определенные в натуральном состоянии. Окончательные выражения построены в общей форме независимо от вида начального напряженного состояния.

В п.2.2 приводится постановка краевой задачи в эйлеровой системе координат, в описании которой участвует линеаризованный тензор напряжений. Он представляется через упругий потенциал, задаваемый инвариантами меры деформации Фингера, и тензором начальных напряжений, определенные в актуальной конфигурации. Окончательные выражения построены в общей форме независимо от вида начального напряженного состояния.

В п.п.2.4 и 2.5 приводится постановка краевых задач о колебании неоднородной и многослойной преднапряженной среды. В качестве неоднородной рассматривается среда, упругие и механические параметры которой, как и начальные напряжения являются произвольными, достаточно гладкими функциями координаты х3. В общем случае, в постановке задачи участвует линеаризованный тензор напряжений 0, компоненты которого представляются через упругий потенциал и зависят от дг3. Этот подход может быть использован при исследовании упругих материалов, для которых известны как константы второго, так и константы третьего порядка. В большинстве это конструкционные материалы (стали, сплавы, органические материалы и т.д.), широко используемые в машиностроении. Однако, в задачах геофизики, сейсмологии, фундаменто-строения, виброизоляции и защиты фундаментов и т.п. использование общего представления тензора О является неоправданным, так как изучаются процессы распространения упругих волн в материалах, для которых известны лишь обычные константы. Для таких случаев приводится приближенное представление тензора О.

Далее в главе 2 приводится постановка ряда краевых задач о колебаниях преднапряженной электроупругой среды.

П.2.5 посвящен постановке краевой задачи в лагранжевой, в общем случае криволинейной, системе координат. Задача описывается линеаризованными тензором напряжений © и вектором электрической индукции Д, которые представляются через термодинамический потенциал и градиент деформации места, определенные в ЕК. Как уже упоминалось, материальная система координат используется тогда, когда причиной НДС являются механические напряжения. Начальное электрическое поле является производным, возникающим за счет электроупругих свойств среды. В п.2.5 приведена постановка краевой задачи для случая малых начальных деформаций, а также постановка краевой задачи в декартовой системе координат. Для материалов класса бшш гексагональной сингонии и пьезокерамик в рамках декартовой системы координат приведены определяющие соотношения и формулы для вычисления необходимых при исследовании коэффициентов. Проведен анализ влияния НДС на симметрию рассматриваемых кристаллов. В частности, установлено, что класс симметрии пред напряженного кристалла зависит не только от вида НДС, но и от способа его создания (за счет каких усилий оно создается). Например, любое начальное усилие, действующее по осям х\ и х2, даже в случае гидростатического напряженного состояния, выводит пьезоэлектрик из класса 6шт.

В п.2.6 приведена постановка краевой задачи о колебаниях преднапря-женной среды в эйлеровой, в общем случае криволинейной системе координат^ связанной с НДК. Как уже упоминалось, использование эйлеровой системы координат целесообразно в случае, когда НДС создается как за счет воздействия механических усилий, так и за счет воздействия начального статического поля. В описании постановки задачи используются линеаризованные тензор напряжений О и вектор электрической индукции А. Они представляются через термодинамический потенциал, электрический тензор Максвелла и градиент деформации места, определенные в НДС среды. Здесь же приведена упрощенная постановка краевой задачи в случае малых начальных деформаций, а также постановка задачи в декартовой системе координат, как при однородной, так и при неоднородной начальной деформации. В рамках декартовой системы координат для материалов класса бшш гексагональной сингонии и пьезокерамик приведены определяющие соотношения и формулы, для вычисления коэффициентов, участвующих в представлении краевой задачи.

В п. 2.7 и 2.8 дана постановка краевых задач для неоднородной электроупругой и многослойной электроупругой среды.

В главе 3 приведены решения ряда краевых задач о колебаниях предна-пряженных упругих и электроупругих полуограниченных сред. Во всех случаях предполагается, что задачи допускают применение одномерного или двумерного интегрального преобразования Фурье. При этом задачи, описываемые системами дифференциальных уравнений в частных производных, сводятся к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которых строится в пространстве образов Фурье. Решение исходной задачи получается в результате использования формул обращения Фурье.

В п.3.1 приводится общая схема решения краевой задачи. В п.3.2, 3.3 приведены решения краевых задач для гиперупругого преднапряженного полупространства (п.3.2) и гиперупругого преднапряженного слоя (п. 3.3) для однородного произвольного и различных видов односного напряженного состояния. В п.3.4 приведено решение краевой задачи о колебаниях составной пред-напряженной среды, представляющей собой слой на поверхности полупространства. Как слой, так и полупространство предполагаются однородными, подверженными воздействию начальных напряжений, наводящих в них однородную начальную деформацию произвольного вида. 5

Решения краевых задач для слоя с переменными по глубине свойствами приведены в п.3.5 (неоднородный слой с защемленным основанием) и в п.3.6 (неоднородный слой жестко сцепленный с однородным полупространством). Особенностью этих задач является то, что после применения преобразования Фурье получаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, решение которых возможно лишь на основе использования численных методов. Решение исходной краевой задачи строится путем удовлетворения построенных фундаментальных решений граничным условиям исходной задачи для каждого значения параметра преобразования Фурье.

В п.3.7 приведена общая схема решения краевой задачи о колебаниях преднапряженной электроупругой среды. При этом предполагается, что имеющая прямолинейные границы электроупругая среда движется под действием распределенной в некоторой произвольной области 12 на поверхности среды обобщенной нагрузки (к механической составляющей добавлена электрическая). Вне этой области поверхность среды свободна от механических напряжений, свободные заряды отсутствуют.

В п.3.8 приведено решение краевой задачи для электроупругого слоя, контактирующего с недеформируемым основанием. Рассмотрены две задачи. Первая, - когда нижняя грань слоя жестко сцеплена с недеформируемым основанием, металлизирована и заземлена, вторая, - когда трение между слоем и металлизированным и заземленным недеформируемым основанием отсутствует.

Решение краевой задачи о колебаниях составной электроупругой преднапряженной среды, представляющей собой электроупругий слой, лежащий на поверхности диэлектрического полупространства, дано в п.3.9. Окончательные выражения, как в п.3.8, так и в этом параграфе построены в общей форме безотносительно к виду НДС и используемой (лагранжевой или эйлеровой) системы координат.

Глава 4 посвящена постановке задач о контактном взаимодействии массивных тел, механических и электромеханических систем с полуограниченными средами. В п.4.1 рассмотрены различные случаи контактного взаимодействия массивных тел и инерционных систем с упругими средами. Приведены уравнения и системы уравнений движения этих тел, важным элементом которых является динамическая жесткость среды - реакция среды на единичные смещение или поворот штампа. В п.4.2 даны уравнения движения массивных тел и различного вида инерционных систем, взаимодействующих с электроупругими средами. Взаимодействие электроупругих сред с механическими (массивные тела и системы) и электрическими системами, имеющими сосредоточенные элементы (емкость, индуктивность) рассмотрено в п.4.3. Механическая сторона задачи очевидна. В электрическом плане, электрод с металлизированным основанием образует некоторую емкость, которую можно последовательно или параллельно с другими сосредоточенными электрическими элементами включать в электрическую цепь. Подробно описаны различные способы подключения электрода и возможные случаи возбуждения образующейся электромеханической системы.

Во всех поставленных в главе 4 задачах, основным моментом является использование решений соответствующих рассматриваемым типам полуограниченных сред интегральных уравнений и систем интегральных уравнений первого рода, которые рассматриваются в главе 5.

В п.п.5.1 - 5.3 приведены ИУ и СИУ задач о колебаниях жесткого штампа на поверхности однородного преднапряженного полупространства (п.5.1), однородного преднапряженного слоя (п.5.2) и составной среды, представляющей собой преднапряженный слой на поверхности полупространства. Символы ядер этих ИУ выписываются на основе полученных в главе 3 решений соответствующих краевых задач. Отмечены свойства символов ядер ИУ, необходимые для корректной записи интегральных операторов и для обоснования использования соответствующих методов решения.

В п.5.4 приводятся СИУ и ИУ задач о колебаниях жесткого штампа на поверхности слоя с переменными свойствами, лежащего на недеформируемом основании. Поскольку символы ядер этих ИУ строятся численно, то центральной проблемой в данном случае является исследование их свойств, необходимых для обоснованной оценки корректности разрешимости этих ИУ. Четность и мероморфность определяются из вида аналитической зависимости от параметров коэффициентов производящих дифференциальных уравнений. Исследование асимптотических свойств проведено на основе их отождествления с асимптотическими свойствами соответствующих краевых операторов, что позволило установить логарифмический характер особенности ядра.

В п.5.5 приводятся СИУ и ИУ о колебаниях жесткого штампа на поверхности неоднородного слоя, лежащего на поверхности однородного полупространства. Проблема исследования свойств символов ядер в этом случае решается аналогично с той разницей, что в силу наличия полупространства, символы ядер имеют точки ветвления на вещественной оси. Это требует использования специальных методов решения ИУ, учитывающих наличие точек ветвления на вещественной оси.

В п.п.5.6 и 5.7 приведены СИУ задач о вибрации жесткого электрода на поверхности электроупругого слоя, нижняя грань которого либо жестко сцеплена с недеформируемым основанием (п.5.6), либо сцеплена с диэлектрическим полупространством. В обоих случаях нижняя грань слоя предполагается металлизированной и заземленной, поверхность среды вне зоны контакта -свободной в электрическом и механическом плане. Символы ядер этих СИУ выписываются на основе полученных в главе 3 решений соответствующих краевых задач. Указаны свойства символов, необходимые для корректной записи интегральных операторов и для обоснования использования соответствующих методов решения.

Глава 6 посвящена развитию комплекса методов решения ИУ и СИУ, возникающих при исследовании широкого круга задач динамического контактного взаимодействия массивных жестких и упругих тел, механических и электромеханических систем с полуограниченными преднапряженными упругими и электроупругими средами.

Потребность в поиске закономерностей динамического взаимодействия ограниченных тел с полуограниченными средами, несущими в себе информацию о напряженном состоянии среды, предъявляет высокий уровень требований к методам решения ИУ и СИУ в плане точности учета динамических характеристик среды. Это обусловило отказ от разработки универсальных методов решения ИУ.

В п.6.1 развиваются различные модификации метода факторизации применительно к решению ИУ, возникающих при исследовании ряда задач для преднапряженного слоя и полупространства.

В п.6.1.1 приводится общая схема метода факторизации решения ИУ, символы ядер которых являются мероморфными функциями. Метод позволяет с большой точностью учитывать динамические свойства среды. Он основан на замене символа ядра ИУ функцией, допускающей факторизацию, которая с большой точностью аппроксимирует символ на вещественной оси, и последующем сведении ИУ I рода к ИУ II рода, решение которого трудностей не представляет. В п.п.6.1.2 и 6.1.3 даны частные случаи предложенной на некоторые конкретные виды функций, описывающих форму подошвы штампа.

В случае наличия у символа ядра ИУ точек ветвления на вещественной оси, схема метода несколько изменяется. Обобщение метода на ИУ, имеющие одну (случай сдвиговых колебаний) и две точки ветвления (случай плоской задачи) на вещественной оси предложено в п.п.6.1.4 (одна точка ветвления) и 6.1.5 (две точки ветвления). В последнем случае использована специальная функция, равномерно аппроксимирующая символ ядра ИУ и учитывающая наличие точек ветвления на вещественной оси.

Использование предложенных методов позволило получить для контактных напряжений под штампом и перемещения свободной поверхности вне зоны контакта аналитические выражения, которые наглядно представляют структуру волнового поля. В частности, установлен осциллирующий характер убывающей степенным образом особенности напряжений на краях штампа. Она, если учесть временной множитель, представляет собой одну или несколько неоднородных волн, распространяющихся по поверхности среды от краев штампа со скоростью сдвиговой волны (в задаче о сдвиговых колебаниях) и со скоростями продольной и поперечной волн (в плоской задаче). Тем самым, края штампа играют роль источников быстро затухающих поверхностных волн.

П.п.6.2 - 6.4 посвящены обобщению метода фиктивного поглощения, предложенного В.А. Бабешко и развитого в цикле работ В.А. Бабешко и О.Д. Пряхиной применительно к решению различных ИУ и СИУ, возникающих при исследовании динамических контактных задач для упругого или электроупругого слоя и пакета слоев. В настоящей работе МФП обобщается на класс динамических контактных задач для упругого или электроупругого слоисто-неоднородного полупространства (п.6.2 - одномерные ИУ, п.6.3 - двумерные ИУ, п.6.4 - одномерные и двумерные системы ИУ). Характерной особенностью таких задач является наличие у символа ядра интегрального оператора (наряду с конечным количеством нулей и полюсов на вещественной оси) вещественных точек ветвления.

Обобщение МФП основано на использовании в его рамках численных методов решения ИУ и СИУ первого рода. В случае интегральных уравнений такой подход позволяет использовать точное представление символа ядра интегрального оператора и, тем самым, опустить необходимый при традиционной реализации МФП этап аппроксимации. Таким образом, сохраняются все динамические особенности символа ядра, в том числе точки ветвления, что приводит к более полному учету динамическ-их свойств задачи, и, следовательно, к повышению точности получаемого в результате решения.

В случае систем интегральных уравнений такой подход позволяет существенно упростить процедуру регуляризации, поскольку используемые при преобразованиях функции свободны от ограничений, обусловленных требованиями функциональной коммутативности. Они имеют простую структуру и сохраняют лишь асимптотические свойства матрицы-символа ядра. Тем самым значительно расширяется класс пригодных для использования в МФП матриц-функций, позволяющих с большей точностью аппроксимировать символ ядра. Это играет весьма существенную роль при исследовании динамики предна-пряженных сред.

Такая схема предоставляет возможность эффективного использования современных вычислительных технологий, позволяющих строить с любой степенью точности решения ИУ и СИУ с экспоненциально убывающими ядрами.

В качестве иллюстрации эффективности предложенных методов решения в главе 7 рассмотрен ряд задач, имеющих самостоятельный интерес, в которых важным моментом является точный учет динамических свойств среды.

П.7.1 посвящен исследованию динамических свойств упругого слоя с защемленным основанием. На примере задач о сдвиговых и плоских колебаниях жесткого штампа показана тесная связь спектральных свойств краевых задач с динамической жесткостью рассматриваемой среды. Установлена разумная достаточность количества учитываемых при вычислении динамической жесткости нулей и полюсов для достижения необходимой точности.

В п.7.1.1 на примере задачи о сдвиговых колебаниях штампа наглядно продемонстрирована тесная связь между поведением нулей и полюсов символа ядра ИУ с характерными особенностями поведения динамической жесткости среды. Особенностью задачи является наличие у символа ядра ИУ лишь одного семейства нулей и полюсов, связанных с существованием в среде лишь горизонтально поляризованных волн. Отмечено, что действительная и мнимая составляющие реакции среды являются почти периодическими функциями, которые на каждом периоде отличаются лишь амплитудными значениями. Действительная составляющая реакции является осциллирующей знакопеременной, мнимая - знакоопределенной отрицательной функциями. Для построения достаточно точных значений реакции можно учитывать лишь те нули и полюсы (в том числе и мнимые), модуль которых не превышает некоторое, достаточно большое число.

В плоской задаче проблема усложняется наличием двух семейств нулей и полюсов, связанных с существованием в среде как вертикально поляризованных продольных, так и вертикально поляризованных сдвиговых волн, которые на границе среды могут трансформироваться друг в друга. Это обуславливает сложный характер поведения нулей и полюсов в комплексной плоскости и на вещественной оси, который заключается в том, что некоторые нули и плюса, в отличие от «регулярных», которые через начало координат выходят на вещественную ось, являются «нерегулярными», т.е. через начало координат сходят с вещественной оси. Причем, направления движения нуля и полюса может как совпадать, так и быть противоположным. Это накладывает существенный отпечаток на поведение динамической жесткости среды.

Она также является почти периодической функцией, период которой (на каждом из них изменяется лишь амплитуда) связан с точками выхода на вещественную ось полюсов семейства продольных волн. Действительная составляющая реакции является осциллирующей знакопеременной, мнимая - осциллирующей знакопостоянной функцией. Их отличает от реакции в случае сдвиговой задачи наличие на графике дополнительных изломов, связанных со значениями частоты, на которых изменение типа нулей и полюсов семейства сдвиговых волн имеет противоположный характер.

П.п.7.2 и 7.3 посвящены исследованию динамических свойств слоя с переменными свойствами, лежащего либо на недеформируемом основании (п.7.2), либо на поверхности однородного полупространства (п.7.3). Отмечено, что изменение свойств материала может характеризоваться видом неоднородности, ее градиентностью и областью локализации (в приповерхностной или в придонной области слоя), интегральным коэффициентом неоднородности. Детальный численный анализ показал, что в случае слоя с защемленным основанием наибольшее влияние имеет вид неоднородности.

В работе рассмотрена «нормальная» неоднородность (увеличение относительной жесткости по глубине) и «аномальная» неоднородность (относительная жесткость слоя падает с глубиной). При этом «аномальную» неоднородность по сравнению с «нормальной» отличают:

- большее значение статической жесткости;

- повышенная жесткость среды (больше амплитуда действительной составляющей)

- лучшие волноводные качества (амплитуда мнимой составляющей больше).

Последнее характеризуется значительно более высоким уровнем излучения энергии из зоны контакта.

Установлено, что «аномальная» неоднородность слоя приводит к увеличению количества мод поверхностных волн и увеличению их фазовой скорости, при этом имеет место почти полное подавление первой моды. «Нормальная» неоднородность приводит к уменьшению количества мод поверхностных волн (структура поверхностного поля становится более однородной, приближаясь к структуре, характерной для однородного полупространства) и к резкому (пропорционально значению /0 ) снижению фазовой скорости первой моды.

Отмечено, что результаты исследования могут представлять интерес при моделировании неоднородного полупространства однородным или системой с сосредоточенными параметрами, что необходимо в инженерных подходах к расчету динамики фундаментов и сооружений. Замечено также, что целенаправленным изменением структуры среды можно влиять на динамику контактирующих с ней массивных тел и систем, добиваясь либо высокой чувствительности находящихся на поверхности объектов к динамическим воздействиям, либо наилучшего отвода энергии из зоны контакта.

Возможность использования резонансного метода для контроля состояния структуры композитной среды, представляющей собой пакет двух слоев, лежащий на недеформируемом основании, иллюстрируют представленные в п.7.4 результаты исследования резонансного взаимодействия массивного тела с пакетом двух слоев. Установлено ясно выраженное влияние условий контакта между слоями, соотношения их жесткостей и толщин по отношению друг к другу на резонанс системы «массивное тело - пакет слоев».

В п.7.5 исследуются условия возникновения неограниченных низкочастотных резонансов при взаимодействии упругой двухмассовой системы с упругим основанием, в виде теоремы сформулирована связь между параметрами системы, жесткостью среды и количеством низкочастотных резонансов. В качестве основания рассматривается полуограниченная среда, имеющая критическую частоту распространения волн (слой, пакет слоев и т.д.).

В п.7.6 изучаются особенности проявления изолированных резонансов в электроупругом слое, контактирующем с массивным электродом, подключенным в электрическую цепь совместно с электрическими сосредоточенными элементами. Предполагается, что поверхность полосы вне зоны контакта свободна от напряжений, нормальная составляющая вектора индукции в этой области равна нулю. Нижняя грань полосы защемлена, металлизирована и заземлена. Электрод с металлизированным основанием слоя образует некоторую емкость, которую можно подключать к источнику электрического напряжений либо последовательно, либо параллельно с электрическими сосредоточенными элементами (индуктивности, емкости). В настоящей работе исследование ограничилось случаем последовательного соединения электрода и индуктивности. Численный анализ показал, что способ подключения массивного электрода в электрическую цепь, равно как и значение сосредоточенных элементов этой цепи (в данном случае индуктивности), существенным образом влияет на изолированные резонансы.

В п.7.7 представлены результаты исследования динамических свойств составной среды, представляющей собой электроупругий слой на поверхности диэлектрического полупространства, контактирующей с массивным электрот дом, который с металлизированным основанием слоя образует некоторую емкость. Включение этой емкости параллельно или последовательно с другими электрическими сосредоточенными элементами позволяет решать вопросы управления резонансными явлениями в системе «массивный электрод - слоистое полупространство». Предыдущие исследования показали, что полупространство, в том числе и слоистое, при взаимодействии с массивным телом образует колебательный контур с очень низкой добротностью. Традиционным методом повышения резонансных свойств является использование вместо массивного тела (электрода) различных инерционных систем. В данном случае исследование показало, что включение индуктивности последовательно в цепь, соединяющую электрод с источником напряжения, существенно влияет на резонансные свойства системы «массивный электрод - слоистое полупространство», способствуя возникновению ярко выраженного ограниченного резонанса по перемещению электрода. Резонанс для потенциала на электроде выражен более четко.

Глава 8 посвящена изучению влияния НДС на динамическую жесткость преднапряженных сред и динамику контактирующих с ними массивных тел и различных типов инерционных систем. Центральным моментом является исследование возможности мониторинга напряженного состояния контролируемого объекта по изменению резонансных свойств систем, образованных данным объектом с массивным телом или инерционной системой.

В п.п.8.1, 8.2 представлена наиболее неблагоприятная ситуация, когда характерный размер контролируемого объекта намного превышает размеры датчика и длину волны - полупространство. Анализ показывает, что изменение НДС приводит к изменению динамической жесткости среды того же порядка. Выявить это изменение за счет контроля динамики массивного тела является достаточно сложной в техническом плане проблемой. Повысить эффективность контроля в данной ситуации позволяет использование различных инерционных систем, которые, как показали расчеты, отличаются добротностью образуемого с контролируемым объектом контура.

В п.8.3 представлены особенности динамического контактного взаимодействия массивного тела с преднапряженным слоем, нижняя грань которого жестко защемлена. Это исследование предваряют полученные в п.8.3.1 результаты изучения особенностей влияния одноосного НДС на спектральные свойства краевой задачи о колебаниях штампа на поверхности преднапряженного слоя. Анализ показал, что при таком НДС структура поверхностного волнового поля имеет характерные для анизотропной среды особенности. Детально исследовано влияние НДС на частоту зарождения «нерегулярной» моды поверх ностной волны в зависимости от направления распространения этой волны по отношению к направлению действия начальных напряжений.

В п.8.3.2 представлены результаты численного анализа влияния различных видов НДС на динамическую жесткость слоя. Отмечено, что вид НДС существенно влияет как на реактивную составляющую жесткости - упругость среды, так и на активную составляющую - излучение из зоны контакта. Наибольшее влияние оказывают начальные напряжения, действующие соосно действию штампа.

В п.8.3.3 представлены результаты анализа влияния различных видов НДС на динамику массивного штампа. Отмечается, что это влияние имеет свои особенности в низкочастотном и в высокочастотном диапазонах колебаний. В низкочастотном диапазоне (частоты ниже первой критической) влияние любого вида НДС характеризуется сдвигом частоты изолированного резонанса, который зависит от вида НДС (максимальный сдвиг - при напряжениях, действующих соосно штампу), а также от величины начальной деформации. На высоких (выше критической) частотах влияние каждого вида НДС отличается друг от друга. Действующие вдоль поверхности слоя начальные напряжения отличаются наличием частот максимального и минимального влияний. При напряжениях, действующих соосно действию штампа, такие частоты отсутствуют.

П.8.4. посвящен исследованию динамических свойств составной предна-пряженной среды, представляющей собой слой, лежащий на поверхности полупространства. Изучалось влияние соотношения между жесткостями слоя и полупространства, локализации начальной деформации в слое или в полупространстве на динамическую жесткость среды. Анализ показал, что сжатие слоя или полупространства делает их «жестче», растяжение их «смягчает». Если среда неоднородна и различается жесткостью слоя и полупространства, то сжатие более жесткой составляющей, равно как и растяжение более мягкой составляющей составной среды, приводит к усилению неоднородности. Сжатие более мягкой - к ослаблению неоднородности.

В п.8.5. исследованы особенности колебаний прямоугольного штампа на поверхности преднапряженного слоя. Изучалось влияние геометрических параметров штампа на чувствительность его колебаний к изменению НДС. Как показал анализ, закономерности влияния НДС на динамику массивного штампа при различных геометрических параметрах штампа (отношение длины штампа к его ширине) качественно не отличаются друг от друга. В количественном плане, вытянутый штамп (отношение 1 : 0.1) более чувствителен к изменению НДС по сравнению с квадратным (отношение 1:1) штампом.

В заключении дана сводка основных результатов и выводов, полученных в диссертации.

Основное содержание диссертации отражено в работах [15 -17, 25, 26, 39 - 52, 62, 63, 69 - 72, 74, 91, 92, 98, 111 - 124, 210], опубликованных в открытой печати и депонированных в ВИНИТИ. В работах [15 - 17] диссертанту принадлежит постановка задач, выбор метода решения и обсуждение результатов, Ананьеву И.В. и Поляковой И.Б. принадлежит реализация метода построения фундаментальных решений, проведение расчетов и обсуждение результатов. В работе [25] Бабешко В.А. принадлежит идея метода и выбор путей ее реализации, диссертанту - реализация метода, проведение расчетов и трактовка результатов; в работе [26] диссертанту в равной мере с В.А.Бабешко принадлежит постановка задач, диссертанту в равной мере с Поляковой И.Б. принадлежит вывод определяющих соотношений; в [39 - 41] диссертанту принадлежит постановка задач и основные идеи их решения, Белянковой Т.И. - выбор и реализация методов, Ворович Е.И. и Пузанову Ю.Е. - отдельные результаты численного анализа, Воровичу И.И. - обсуждение и трактовка результатов; в [42 -52] диссертанту принадлежит постановка задач, выбор методов и основные

25 идеи их реализации, Белянковой Т.И. - реализация методов, численный анализ и трактовка его результатов, Поляковой И.Б. и Пузанову Ю.Е. - отдельные, носящие характер уточнения, результаты численного анализа; в [62,63] диссертанту принадлежит постановка задач и разработка метода решения, Зайцевой И.А. - разработка алгоритма и численная реализация, Ворович Е.И. — уточнение результатов; в [69 - 72] диссертанту принадлежит постановка задач и выбор метода решения, Белянковой Т.И. - разработка метода и численная реализация, Воровичу И.И. - обсуждение результатов, Зайцевой И.А — реализация численного метода и проведение расчетов; в [98, 99] диссертанту принадлежит идея и теоретическое обоснование экспериментальных исследований, Гурьянову А.Г. - разработка и проведение эксперимента, обсуждение и трактовка результатов; в [116, 117] - диссертанту принадлежит постановка задач и выбор метода решения, Белянковой Т.И. - разработка метода и численная реализация; в [118 - 123] - диссертанту принадлежит постановка задач и выбор метода решения, Поляковой И.Б. - разработка метода и численная реализация, Лысенко И.В. - численный анализ отдельных результатов; результаты работ [27, 123, 124 и 210] принадлежат соавторам в равной мере.

Автор выражает глубокую благодарность своим консультантам академику РАН И.И. Воровичу и академику РАН В.А. Бабешко за поддержку и постоянное внимание к работе.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Калинчук, Валерий Владимирович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Изучен новый класс задач о динамическом контактном взаимодействии массивных тел или механических инерционных систем с преднапряженными упругими неоднородными полуограниченными средами.

2. Дана постановка новых классов задач о динамическом контактном взаимодействии электромеханических и чисто электрических систем с преднапряженными электроупругими неоднородными полуограниченными средами

3. Получена новая форма линеаризованных уравнений движения электроупругой преднапряженной среды в лагранжевых и в эйлеровых, в общем случае, криволинейных координатах, безотносительно к виду начального, в общем случае, неоднородного напряженного состояния.

4. Построены решения широкого круга краевых задач о колебании пред-напряженных упругих и электроупругих неоднородных полуограниченных сред.

5. Выведены и исследованы интегральные уравнения и системы интегральных уравнений динамических смешанных задач для преднапряженных упругих и электроупругих неоднородных полуограниченных сред.

6. Разработаны эффективные методы решения ИУ и СИУ первого рода, возникающих при исследовании задач для сред типа полупространства, двухслойного полупространства, среды с переменными по глубине свойствами. В том числе:

- получил обобщение метод факторизации применительно к ИУ, символы ядер которых имеют одну или две точки ветвления на вещественной оси;

- построены новые аналитические представления решений динамических контактных задач о сдвиговых и вертикальных колебаниях штампа;

- получил обобщение на класс динамических контактных задач для слоисто-неоднородного полупространства метод фиктивного поглощения. Обобщение основано на использовании численных методов решения ИУ и СИУ первого рода, что позволяет использовать точное представление символа ядра интегрального оператора.

7. Рассмотрен и исследован широкий круг новых конкретных задач о динамическом контактном взаимодействии массивных тел, инерционных механических и электромеханических систем с полуограниченными неоднородными, преднапряженными упругими и электроупругими средами.

8. Выявлен ряд закономерностей контактного взаимодействия массивных» тел и инерционных систем с неоднородными, преднапряженными упругими полуограниченными средами.

9. Обнаружен ряд новых физических явлений при взаимодействии электромеханических и чисто электрических систем с однородными и неоднородными электроупругими полуограниченными средами.

На основе разработанных методов:

-построены новые решения интегральных уравнений динамических контактных задач для однородного полупространства, символы ядер которых имеют одну или две точки ветвления на вещественной оси;

-исследована взаимосвязь спектральных свойств краевой задачи со структурой поверхностного волнового поля и динамической жесткостью среды;

-изучено влияние характера изменения свойств среды на структуру поверхностного волнового поля и динамическую жесткость среды;

- изучено влияние условий контакта между слоями в двухслойной среде, моделирующей композитный материал, на динамику массивного штампа;

- исследованы условия возникновения неограниченных низкочастотных резо-нансов при динамическом контакте двухмассовой стержневой системы с полуограниченной средой;

- доказана теорема, устанавливающая связь параметров двухмассовой стержневой системы, контактирующей с упругим основанием, с количеством изолированных резонансов;

- изучено влияние начального напряженного состояния различных полу ограниченных тел на динамику контактирующих с ними массивных тел и двухмассо-вых инерционных систем;

-изучены условия возникновения изолированных резонансов при взаимодействии электромеханической системы с электроупругой средой.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Калинчук, Валерий Владимирович, 2000 год

1. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами. М. : Наука, 1979. - 832 с.

2. Акустические кристаллы. Под ред. Шаскольской М.П. М.:Наука. 1982. -632 с.

3. Александров В.М., Арутюнян Н.Х. Контактные задачи для преднапряжен-ных деформируемых тел // Прикл. механика. 1984. Т. 20. № 3. С. 9-16.

4. Александров В.М., Брудный С. Р. Две задачи со смешанными граничными условиями для несжимаемого изотропного гиперупругого материала // ПММ. 1982. Т. 46. № 4. С. 700-704.

5. Александров В.М., Буряк В.Г. О некоторых динамических смешанных задачах теории упругости.//ПММ. 1978, Т.42, В. 1, С. 114 121.

6. Александров В.М., Воротынцева И.В. Осесимметричные контактные задачи для преднапряженных деформируемых тел // ПМТФ. 1990. № 3. С. 146-153.

7. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986, 336 с.

8. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука. 1983. 487 с.

9. Александров В.М., Пожарский Д.А. Неклассические пространственные задачи механики контактного взаимодействия упругих тел. М.: Изд-во «Факториал», 1998, 288 с.

10. Александров В.М., Порошин B.C. Контактная задача для предварительно напряженного физически нелинейного упругого слоя // Изв. Ан СССР. МТТ. 1984. №6. С. 79-85.

11. Алексеев A.C., Михайленко Б.Г. Решение задачи Лэмба для вертикально-неоднородного упругого полупространства. // Изв. АН СССР , Физика Земли, 1976, № 12. СЛ 1 -25.

12. Амандосов A.A., Нуржумаев О. Распространение волн Лява в среде с начальными деформациями. -Изв. АН КазССР. Сер.физ.-мат., 1977, N5, С. 71-74.

13. Ананьев И.В., Бабешко В.А. Колебания штампа на слое с переменными по глубине характеристиками. // МТТ, 1978, N 1, С. 64-69.

14. Ананьев И.В., Калинчук В.В., Полякова И.Б. Динамические контактные задачи для слоя с неоднородными начальными напряжениями. // В кн.: Смешанные задачи механики деформ. твердого тела. Тез. докл. II Всес. конф. Днепропетровск, ДГУ, 1981, С. 120.

15. Ананьев И.В., Калинчук В.В., Полякова И.Б. Изучение особенностей колебания предварительно напряженных сред под действием осциллирующей нагрузки // Динамика оснований, фундаментов и подземных сооружений. : Тез. докл. Всес. Конф. Ташкент, 1981, С.37.

16. Ананьев И.В., Калинчук В.В., Полякова И.Б. Динамические контактные задачи для сред с неоднородными начальными напряжениями и переменными по глубине свойствами. -Рук. Деп. в ВИНИТИ 10.05.1982, N 2321-82, 23 с.

17. Ананьев И.В., Калинчук В.В., Полякова И.Б. О возбуждении волн вибрирующим штампом в среде с неоднородными начальными напряжениями. // ПММ, 1983, Т.47, Вып.З, С.483-489.

18. Арутюнян Н.Х., Манжиров A.B. Контактные задачи теории ползучести. Ереван: Изд-во АН Арм. ССР, 1990, 320 с.

19. Бабешко В.А. Высокочастотный резонанс массивного штампа. //Докл. АН СССР, 1989, Т.306, N 6, С.1328-1332.

20. Бабешко В.А. К расчету параметров высокочастотного резонанса в трехмерном случае // ДАН СССР.- 1994,- Т.335.- № 1.- С.55-58.

21. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984, 256 с.

22. Бабешко В.А., Ворович И.И., Образцов И.Ф. Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями.//МТТ, 1990, N 3, С.74-83.

23. Бабешко В.А., Ворович И.И., Устинов Ю.А. Динамические и статические смешанные задачи для полуограниченных тел. // Аннот. докл. IV Всес. съезда по теор. и прикл. мех. Киев: Наук, думка, 1976, С.80.

24. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 343 с.

25. Бабешко В.А., Калинчук В.В. Об одном приближенном методе решения уравнений динамических контактных задач.//ПММ, 1974, Т.38, Вып.З.

26. Бабешко В.А., Калинчук В.В., Полякова И.Б. Вывод интегральных уравнений контактных задач для предварительно напряженных сред. В кн.: "Статические и динамические смешанные задачи теории упругости". Ростов н/Д, Изд-во РТУ, 1983, С. 162-173.

27. Бабешко В.А., Калинчук В.В., Селезнев М.Г. Обзор методов изучения волновых полей, возбуждаемых в упругих средах вибрирующими штампами. В кн.: "Исследование Земли невзрывными сейсмическими источниками". М.: Наука, 1980, С. 47-58.

28. Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Метод фиктивного поглощения в плоских динамических задачах.//ПММ, 1980, Т.44, Вып.З, С. 477-484.

29. Бабешко В.А., Сыромятников П.В. К проблеме исследования локализации волновых процессов в электроупругих средах // Докл. РАН, 1995, 345, № 1 С. 50-53.

30. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотический метод в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука. 1972.

31. Бабич В.М., Молотков И.А. Математические методы в теории упругихволн.//В кн. : Итоги науки и техники, Т. 10, Сер. Мех. твердого деформ. тела. М. : ВИНИТИ АН СССР, 1977, С.5-62.

32. Бабич С.Ю. О динамических контактных задачах для полуплоскости с начальными напряжениями. // Прикл. механика, 1982, 18, N 2, С.68-73.

33. Бабич С.Ю., Гузь А.Н., Рудницкий В.Б. Контактные задачи для упругих тел с начальными напряжениями (жесткие штампы). // Прикл. механика, 1989, Т.25, N 8, С. 3-18.

34. Бахвалов Н.С. Численные методы, Т.1. М.:Наука,1975, 631с.

35. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т.2. М.: Наука, 1973,-295 с.

36. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.:Наука,1976, 352с.

37. Белоконь A.B., Ворович И.И. Начально-краевые задачи динамической теории электроупругости // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки.- 1982. № 2. С.2932.

38. Белоконь A.B., Наседкин A.B. О некоторых свойствах собственных частот электроупругих тел ограниченных размеров // ПММ. 1996. Т. 60. № 1. С. 151-158.

39. Белянкова Т.И., Ворович Е.И., Калинчук В.В. Низкочастотные резонансы при продольных колебаниях упругого стержня, контактирующего с упругим слоем. //Изв. Вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки, 1998, № 3. С.19-21.

40. Белянкова Т.И., Ворович Е.И., Калинчук В.В., Пузанов Ю.Е. Динамическая контактная задача для термоупругого слоя // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1999. №4, С. 107-110.

41. Белянкова Т.И., Ворович И.И., Калинчук В.В. Низкочастотные резонансы при динамическом взаимодействии упругого тела с полуограниченной средой. //ПММ, 1998, Т. 62, Вып. 5, С.860-865.

42. Белянкова Т.И., Калинчук В.В. Возбуждение и распространение упругих волн в средах подверженных действию конечных начальных напряжений.// Тез. докл. международного симпозиума по нелинейной сейсмологии, Суздаль, 1986, С.Ю.

43. Белянкова Т.И., Калинчук В.В. О вибрации штампа на поверхности предварительно напряженной неоднородной среды.// Динамика неоднородных структур. : Тез. докл. II Всес. конф., Львов, 1987, С.29.

44. Белянкова Т.И., Калинчук В.В. Об одном методе исследования задачи о сдвиговых установившихся колебаниях жесткого штампа на поверхности предварительно-напряженного полупространства. Рук. Деп. в ВИНИТИ 13.11.90, № 5689-В90.

45. Белянкова Т.И., Калинчук В.В. К задаче о сдвиговых колебаниях массивного жесткого штампа на поверхности преднапряженного полупространства. Рукопись Деп. в ВИНИТИ 17.02.92, N 531 - В92. 22 с.

46. Белянкова Т.И., Калинчук B.B. О сдвиговых колебаниях штампа на поверхности предварительно напряженного полупространства.// ПММ. 1992, Т.56. Вып.2, С.313-320.

47. Белянкова Т.И., Калинчук В.В. Об одном методе исследования плоской задачи о нормальных колебаниях жесткого штампа на поверхности полупространства. Рукопись Деп. в ВИНИТИ 5.03.92, N 733 - В92, 37 с.

48. Белянкова Т.И., Калинчук В.В. О взаимодействии осциллирующего штампа с предварительно напряженным полупространством. ПММ, 1993. Т.57. Вып.4, С. 123-134.

49. Белянкова Т.И., Калинчук В.В. Динамика массивного тела, взаимодействующего с предварительно напряженным полупространством //Изв. РАН, МТТ, 1994. № 6. С.83-94.

50. Белянкова Т.И., Калинчук В.В. Динамика массивного тела, взаимодействующего с предварительно напряженным слоем. //Изв. РАН, МТТ, 1998, №2, С. 89-101.

51. Белянкова Т.И., Калинчук В.В. Полякова И.Б. Динамические контактные задачи для начально деформированных упругих тел. //VI Всес. съезда по теор. и приклад, механике : Тез. докл., Ташкент, 1986, С. 97

52. Белянкова Т.И., Калинчук В.В., Полякова И.Б., Пузанов Ю.Е. Некоторые динамические свойства упругого слоя. // Совр. Проблемы механики сплошной среды. Труды IV Междунар. Конф. Ростов н/Д; Издательство СКНЦ ВШ. Ростов н/Д. 1999. С. 53-56.

53. Боев С.И., Полякова И.Б. Об ограниченных В-резонансах в системе массивный штамп слоистое основание. //Изв. АН СССР, МТТ, № 6, 1990, С. 67-71.

54. Боев С.И., Сумбатян М.А. Динамическая контактная задача для упругой полуплоскости при высоких частотах колебания.//ПММ, 1985, Т.49, Вып.6, С. 1039-1043.

55. Бородачев Н.М. Определение динамических напряжений, возникающих в упругом полупространстве под штампом с плоским основанием.//Изв. АН СССР, Механика, 1965, N 4, С. 158 162.

56. Бреховских JI.M. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973, 344с.

57. Вазов В. Асимптотическое разложение решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968, 464 с.

58. Ватульян А.О. О граничных интегральных уравнениях первого рода в динамических задачах анизотропной теории упругости //ДАН. 1993. Т. 333. №3. С. 312-314.

59. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1970,-321 с.

60. Веселовский 3. Динамические задачи нелинейной теории упругости. Киев: Наук. Думка, 1981, 216 с.

61. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. М.: Наука, 1981,-287 с.

62. Ворович Е.И., Зайцева H.A., Калинчук В.В. Некоторые динамические связанные задачи для электроупругого слоя // Совр. Проблемы механики сплошной среды. Труды IV Междунар. Конф. Ростов н/Д; Издательство СКНЦ ВШ. Ростов н/Д. 1999.Т. 1. С. 107-110.

63. Ворович И.И. Спектральные свойства краевой задачи теории упругости для неоднородной полосы. ДАН СССР, 1979, Т.245, №4, С. 817 820.

64. Ворович И.И. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы. ДАН СССР, 1979, Т.245, №5, С. 1076 1079.

65. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М: Наука, 1974, 456 с.

66. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М: Наука, 1979, 320 с.

67. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир. 1999. -246 с.

68. Ворович И.И., Белянкова Т.И., Калинчук В.В. К проблеме низкочастотных резонансов при взаимодействии упругого тела с полуограниченной средой. //ДАН, 1998, Т. 358, №5, С. 624-626.

69. Ворович И.И., Боев С.И., Полякова И.Б. К проблеме изолированных резонансов в упругом слое: энергетика переходных режимов. //ДАН, 1993, Т.329, № 2, С. 148-150.

70. Ворович И.И., Зайцева И.А., Калинчук В.В. Некоторые резонансные свойства электроупругой полосы // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1999. № 4, С. 109-110.

71. Галин J1.A. Контактные задачи теории упругости для тел с переменным модулем упругости. // В кн.: Применение методов теории функций комплексного переменного к задачам математической физики, Тез. докл. Всес. совещ., Тбилиси, Изд. АН ГССР, 1961, С.44.

72. Галин JI.A. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. М.: Наука, 1980,-304 с.

73. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977, - 640 с.

74. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов.- Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1993. — 144 с.

75. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Кириллова Е.В. Динамическая контактная задача для кругового штампа, сцепленного с упругим слоем // ПММ. 1992.Т.56. Вып. 5. С. 780-785.

76. Головчан В.Т., Мартыненко В.П. Динамическая контактная задача о кручении упругого цилиндра полусферическим штампом. // Смешанные задачи механики деформ. тела.: Тез. докл. Всес. научн. конф., Ростов н/Д, 1977, Ч. 2, С. 142.

77. Гольдштейн Р.В., Клейн И.С., Эскин Г.И. Вариационно-разностный метод решения некоторых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений трехмерных задач теории упругости. Препринт № 33 ИПМ АН СССР, М.,1973, 56 с.

78. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи для абсолютно жестких тел и упругого полупространства. Препринт М.: Изд-во МАИ. 1989.-41 с.

79. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. М.: Наука, 1995, 352 с.

80. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Системы интегральных уравнений на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов. //УМН, 1958, Т. 13 Вып. 2, С. 3-72.

81. Градштейн И.С., Рыжик Н.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М: Физматгиз, 1962, 1108 с.

82. Грин А.Е. Крутильные колебания предварительно напряженного кругового цилиндра. В кн. Проблемы механики сплошной среды. М. Изд. АН СССР, 1961, С. 128-134.

83. Гринфельд М.А., Мовчан А.А. Влияние предварительного деформирования на распространение упругих волн. //Изв. АН СССР, Сер. Физика Земли, 1975, N8, С. 29-35.

84. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наук, думка, 1981, 283 с.

85. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф, Шульга H.A. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т.5. Электроупругость. Киев: Наукова Думка, 1989.-279 с.

86. Гриценко С.И., Калинчук В.В., Полякова И.Б. О возбуждении предварительно напряженного полупространства вибрирующим штампом.//Изв. СКНЦ ВШ, серия "Естеств. науки", N 4, 1976, С. 108.

87. Гриценко С.И., Калинчук В.В., Полякова И.Б. О динамической жесткости предварительно напряженной полосы и полуплоскости.//Технологические методы повышения качества машин.: Тез. докл. Всес. семинара, Фрунзе, 1978.

88. Гузь А.Н. О контактных задачах для упругих сжимаемых тел с начальными напряжениями.// Докл АН УССР, 1980, Сер. А, № 6, С.48-52.

89. Гузь А.Н. Упругие волны в сжимаемых материалах с начальными напряжениями и неразрушающий ультразвуковой метод определения двухосных остаточных напряжений // Прикл. мех. 1994, 30, № 1, С. 3-17.

90. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. Киев: Наук. думка, 1986, Т. 1, 376 е., Т.2, - 536 с.

91. Гузь А.Н., Бабич С.Ю., Рудницкий В.Б. Контактное взаимодействие упругих тел с начальными напряжениями. Киев: Вищ. школа. 1995, 304 с.

92. Гузь А.Н., Махорт Ф.Г., Гуща О.И. Введение в акустоу пру гость. Киев: Наук. думка, 1977, 152 с.

93. Гурьянов А.Г., Калинчук В.В. Устройство для определения динамических характеристик объекта. АС №1629772 от 22.10.90

94. Гурьянов А.Г., Калинчук В.В. Резонансный метод неразрушающего контроля композиционных материалов. В сб. "Современные проблемы механики сплошных сред", МП. "Книга", Ростов н/Д, 1996, Т.З, С.53-57.

95. Жарий О.Ю., Улитко А.Ф. Введение в механику нестационарных колебаний и волн. Киев: Вища школа. ГИ, 1989. 184 с.

96. Закорко В.Н., Ростовцев H.A. К динамической контактной задаче стационарных колебаний упругого полупространства. //ПММ, 1965, Т.29, В.З, С.545-552.

97. Зеленцов В.Б. Об одном асимптотическом методе решения нестационарных динамических контактных задач // ПММ, 1999, Т. 63. Вып. 2. С. 303 -311.

98. Зеленцов В.Б., Филиппова JI.M. Контактные задачи для предварительно напряженных полуплоскости и полосы // Изв. РАН МТТ, 1989, № 2, С. 73 -76.

99. Зильберглейт A.C. О динамических осесимметричных задачах для упругого слоя // ЖТФ. 1992. Т. 62. № 3 С. 95 99.

100. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.:ИЛ., 1956.

101. Зубов JI.M. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек. Ростов н/Д. Изд-во РГУ. 1982. 143 с.

102. Зубов JI.M. Эффективный способ проверки условия Адамара для нелинейно-упругой сжимаемой среды. // ПММ, 1992, Т. 56, Вып.2, С. 296-305.

103. Зубов JI.M., Рудев А.Н. Об условиях существования продольных волн в анизотропной нелинейно-упругой среде // ДАН. 1994. Т. 334. № 2. С. 156158.

104. Ильичев В.А. Определение динамических напряжений при прохождении упругих волн в грунте. // В кн.: Тр. к VIII Международному конгрессу по механике грунтов и фундаментостроения. М.: Стройиздат, 1973, С.317-319.

105. Ильман В.М., Ламзюк В.Д., Приварников Ф.К. О характере взаимодействия штампа с упругим многослойным основанием. //Изв. АН СССР, МТТ, 1975, N5, С. 134-138.

106. Калашьян Е.В., Калинчук В.В. Об одном приближенном методе исследования многоэлектродных структур. //Изв. Вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки, 1998, № 1.С. 27-31.

107. Калинчук В.В. Методы исследования резонансных явлений в структурно-неоднородных средах и их приложения. // В сб. "Современные проблемы механики сплошных сред", МП. "Книга", Ростов н/Д, 1996, Т.З, С. 84-89.

108. Калинчук В.В. Резонансный метод исследования напряженного состояния упругих тел. // В сб. "Современные проблемы механики сплошной среды". Труды III Международной конференции. МП "Книга", Ростов н/Д, 1997, Т.1, С.209-213.

109. Калинчук В.В. Некоторые динамические контактные задачи для неоднородных полуограниченных упругих тел. // Совр. Проблемы механики сплошной среды. Труды V Междунар. Конф. Ростов н/Д; Изд-во: СКНЦ ВШ. 2000. Т.2. С.35-38

110. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Контактные задачи для начально деформированных тел.// В кн.: Проблемы контактного взаимодействия, трения и износа, Ростов н/Д, 1990, С.48.

111. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. К проблеме исследования динамических смешанных задач электроупругости и термоупругости для слоисто-неоднородного полупространства // Изв. Вузов, Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2000, №3, С.74 76.

112. Калинчук В.В., Лысенко И.В., Полякова И.Б. Об особенностях взаимодействия колеблющегося штампа с неоднородным тяжелым основани-ем.//ПММ, 1989, Т.53, Вып.2, С. 301-308.

113. Калинчук В.В., Полякова И.Б. О возбуждении волн в слое с начальными напряжениями. //ПММ, 1980, Т.44, Вып. 2, С.320-326.

114. Калинчук В.В., Полякова И.Б. О возбуждении преднапряженного цилиндра. //ПММ, 1981, Т.45, Вып. 2, С. 384-389.

115. Калинчук В.В., Полякова И.Б. О вибрации штампа на поверхности предварительно напряженного полупространства. // Прикл. механика, 1982, Т. 18, Вып.6, С. 22-27.

116. Калинчук В.В., Полякова И.Б. О контактном взаимодействии осциллирующего штампа с неоднородной преднапряженной средой. // В сб. тез. докл. "Совр. проблемы теории контакт, взаимодействий" Ереван, 1988, С. 69.

117. Калинчук В.В., Селезнев М.Г. Некоторые особенности возбуждения и распространения упругих волн в неоднородных средах. // Тез. докл. II Всес. совещания "Методы невзрывной сейсморазведки". Гомель, 1986, С. 61-66.

118. Коваленко Г.П. Некоторые динамические и статические задачи теории упругости для неоднородных сред частных видов. // В кн.: Всес. конф. по теории упругости. Тез. докл. Ереван, 1979, С. 178-180.

119. Коваленко Е.В. О некоторых приближенных методах решения интегральных уравнений смешанных задач // ПММ.- 1989.- Т.53.- Вып.1.- С. 107-114.

120. Коган Б.И., Зинченко В.Д. Напряженное состояние неоднородного слоя, покоящегося на упругом полупространстве. // Изв. ВУЗов. Строительство и архитектура, 1960, N3.

121. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.

122. Колчин Г.Б. Аналитические методы в теории упругости неоднородных тел. // В кн.: V Всес. съезд по теор. и прикл. мех. Аннот. докл., Алма-Ата, 1981, С.203.

123. Космодамианский A.C., Сторожев В.И. Динамические задачи теории упругости для анизотропных сред. Киев: Наукова Думка. 1985. 175 с.

124. Крейн М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов.//УМН, 1958, Т. 13, Вып. 5(83), С. 3-120.

125. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: ГИФМЛ, 1963. -472 с.

126. Кушнир В.П. Продольные волны в сплошном трансверсально-изотропном цилиндре с начальными напряжениями. // Прикл. мех., 1974, Вып 10, N7, С.109-113.

127. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М: Наука, 1980, 512 с.

128. Лурье А.И. Теория упругости. М: Наука, 1970, 939 с.

129. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.-Л., Гостехиздат, 1951.

130. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: Наука, 1970, 939 с.

131. Мамтеев Ю.А. Динамическая контактная задача для кольцевого штампа на упругом инерционном основании.//Смешанные задачи механики деформ. твердого тела.: Тез. докл. Всес. конф., Ростов н/Д, 1977, 4.2, С. 153.

132. Мандельштам Л.И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике.//Сб. тр. Т.2, М.: Изд. АН СССР, 1947.

133. Мартыненко М.Д., Романчик B.C. Об одном методе решения основного интегрального уравнения контактных задач теории упругости. // Весци АН БССР, Сер. физ.-матем. наук, 1977, N 3, С.42-47.

134. Махорт Ф.Г., Гуща О.И., Чернооченко A.A. Нелинейные свойства твердых тел и некоторые особенности распространения волн Релея в телах с начальными напряжениями // Прикл. мех. Киев, 1995, 31, № 2, С. 62-66.

135. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М., Наука, 1970, 512 с.

136. Михлин С.Г. О вариационно-разностном методе для многомерных краевых задач. Зап. научн. семинаров ЛОМИ, 1972. Т.23, С.99-114.

137. Молотков Л.А. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых упругих и жидких средах. Л.: Наука, 1984. 202 с.

138. Морозов Н.Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. Л.: Изд-во ЛГУ. 1978.- 182 с.

139. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука. 1984. -255 с.

140. Морозов Ю.Г., Поленов B.C. К расчету интенсивности волновых фронтов в неоднородной упругой среде с начальными напряжениями. Деп. в ВИНИТИ № 969-В93 от 15.04.93, 9с.

141. Моссаковский В.И. Давление круглого штампа на упругое полупространство, модуль упругости которого является степенной функцией глубины. // ПММ, 1958, Т.22, Вып. 1, С.58-63.

142. Муравский Г.Б. Гармонические колебания штампа на полупространстве при действии силы, приложенной к поверхности полупространства.//Изв. АН СССР, МТТ, 1969, N 6, С. 134-139.

143. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966, 708 с.

144. Наламвар А.Л., Эпштейн М. Деформационные эффекты в устройствах на поверхностных акустических волнах // ТИИЭР, т.64, №5, 1976, С. 48 51.

145. Никишин B.C. Осесимметричные контактные задачи теории упругости для неоднородных сред. Сообщ. по прикл. мат. ВЦ АН СССР, Вып.З, М.: ВЦ АН СССР, 1976, 103 с.

146. Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.,ИЛ, 1962, 275 С.

147. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. М.: Мир. 1986.- 160 с.

148. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948.-238 с.

149. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука. 1988. 472 с.

150. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука. 1977. 312 с.

151. Петрашень Г.И. Основы математической теории распространения сейсмических волн. В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Вып. XVIII. Л.: Наука, 1978. - 248 с.

152. Петрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. -Л.: Наука, 1980.-280 с.

153. Петрашень Г.И., Молотков Л.А., Крауклис П.В. Волны в слоисто-однородных изотропных упругих средах. Л.: Наука, 1982. 289 с.

154. Петришин В.И., Приварников А.К., Шевляков Ю.А. К решению задач для многослойных оснований. // Изв. АН СССР, Механика, 1965, N 2.

155. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ. 1984.-336 с.

156. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ. 1981.-343 с.

157. Поверхностные акустические волны в неоднородных средах / Бирюков C.B., Гуляев Ю.В., Крылов В.В., Плесский В.П.- М.: Наука, 1991.-416 с.

158. Пожуев В.И. К решению задач теории упругости для неоднородного плоского слоя. // В кн.: Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев, 1979, N34, С. 52-56.

159. Поленов B.C., Чигарев A.B. Нестационарные упругие волны в неоднородных средах с начальными напряжениями // Весщ АН Беларуа Сер. ф1з.-мат. н., 1995, № 1, С. 51-54.

160. Попов Г.Я. Контактные задачи для линейно-деформируемого основания.-Киев; Одесса: Вища школа, 1982. 168 с.

161. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. 344 с.

162. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986.- 328 с.

163. Приварников А.К., Шевляков Ю.А. К расчету слоистых оснований. //Прикл. мех., 1962, Т. 8, Вып.2.

164. Проценко B.C. Кручение упругого полупространства, модуль упругости которого изменяется по степенному закону. // Прикл. мех., 1967, Т. 3, Вып. 1, С. 38-41.

165. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И., Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983, 752 с.

166. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Тукодова О.М. Метод фиктивного поглощения в динамических задачах электроупругости. //ПММ, 1998, Т. 62, Вып. 5, С.834-839.

167. Пряхина О.Д., Фрейгейт М.Р. Связанная нестационарная задача о возбуждении электроупругого слоя массивным электродом. //Изв. РАН, МТТ, 1998, №2, С. 111-118.

168. Рвачев В.Д., Проценко B.C. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. Киев: Наук, думка, 1977, 236 с.

169. Родюшкин В.М. Акустическое зондирование для определения НДС упругих сред. III междунар. совещ.-сем. "Инж.-физ. проблем новой техники", Москва, 17-19 мая, 1994: Тез. докл., М., 1994., С. 10 11.

170. Ростовцев H.A. К теории упругости неоднородной среды. // ПММ, 1964, Т. 28, Вып. 4, С. 34-39.

171. Саркисян B.C. Некоторые задачи математической теории упругости для анизотропного тела. Ереван, Изд. Ереванского ун-та, 1976. 534 с.

172. Свешников А.Г. Принцип предельного поглощения для волновода.//ДАН СССР, 1951, T.78,N3.

173. Сеймов В.М. Динамические контактные задачи. Киев: Наук, думка, 1976, -284 с.

174. Сеймов В.М., Трофимчук А.Н., Савицкий O.A. Колебания и волны в слоистых средах. Киев: Наук, думка, 1990, 224 с.

175. Секеев К. Влияние начальных напряжений и малых деформаций на скорости упругих волн. Рук. Деп. в ВИНИТИ 30.06.81, N 3193-81, 25с.

176. Секоян С.С. Исследование влияния статических напряжений на скорости распространения упругих волн в стали и определение модулей упругости третьего порядка. Упругость и неупругость. М.: Изд. Моск. ун-та, 1971, Вып.1, С. 268-269.

177. Секоян С.С. О вычислении констант упругости третьего порядка по результатам ультразвуковых измерений. //Акуст. журн., 1970, 16, N 3, С.453-457.

178. Секоян С.С., Еремеев А.Е. Измерение константы "п" Мурнагана для стали методом эллиптически поляризованных волн. //Измер.техника, 1966, N 10, С. 20-24.

179. Секоян С.С., Субботина Е.К. О распространении упругих волн в изотропном теле с начальными напряжениями. //Прикл. мех., 1972, 8, N 2, С.113-115.

180. Селезнев М.Г. Возбуждение волн в двухслойной среде колеблющимся штампом.//ПММ, 1975, Т.39, Вып.2, С.381-384.

181. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны.-Л.: Судостроение, 1972, -376 с.

182. Слепян Л.И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1980. - 344 с.

183. Слепян Л.И., Энгельбрехт Ю.К. Резонансные и медленные волны в начально напряженном волноводе // Изв. РАН МТТ, 1992, № 3, С. 132-138.

184. Сорокин Б.П., Турчин П.П., Глушков Д.А. Упругая нелинейность и особенности распространения объемных акустических волн в условиях действия однородных механических напряжений в монокристалле La3Ga5Sioi4 //Физ. тверд.тела, 1994, 36, № 10, С. 2907-2915.

185. Тер-Мкртчян Л.Н. Некоторые задачи теории упругости неоднородных упругих сред. //ПММ, 1961, Т. 25, Вып. 6, С. 68-74.

186. Тихонов А.Н., Самарский А.Л. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1966,-735 с.

187. Трусделл С. Первоначальный курс рациональной механики сплошной среды. М.: Мир, 1975, 592 с.

188. Улитко А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости. Киев: Наук, думка, 1979, 261 с.

189. Уфлянд С.Я. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. М. .Наука, 1967.-420 с.

190. Фарнелл Дж. Свойства упругих поверхностных волн. В кн.:Физическая акустика. Под ред. Мэзона У. М.: Мир. 1973. Т. 6. С. 139 202.

191. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука. 1977. 368 с.

192. Физическая акустика. Под ред. Мэзона У. М.: Мир. 1966. Т.1. Ч.А. 592 с.

193. Филиппова Л.М. Пространственная контактная задача для предварительно напряженного упругого тела // ПММ. 1978. Т. 42. № 6. С. 1080-1084.

194. Филиппова Л.М., Цветков А.Н., Чебаков М.И. Плоская контактная задача для предварительно напряженного состояния тела прямоугольного сечения // Прикл. механика. 1990. Т. 26. № 12. С. 81-89.

195. Хейз М., Ривлин Р. Распространение волн в изотропном материале, находящемся в состоянии чистой однородной деформации. //Механика, 1962, N3, С. 109-117.

196. Шехтер О.Я. Решение осесимметричных задач для круговых плит на упругом основании.//В сб.: Основания, фундаменты и механика грунтов, 1966, N5, С.1-5.

197. Шульга H.A., Болкисев A.M. Колебания пьезоэлектрических тел. Киев: Наукова Думка. 1990. 228 с.

198. Яковенко М.Г. Волны Релея и поверхностная неустойчивость в предварительно деформированной нелинейно-упругой полуплоскости.//Изв. АН СССР, Сер. Физика Земли, 1979, N 2, С. 48-53.

199. Achenbach J.D. Wave propagation in elastic solids. Amsterdam: Nort-Holland Publ. Co., 1973,-425 p.

200. Awojobi A.O., Gibson R.E. Plane strain and axially symmetric problem of a lineary nonhomogeneous elastic half space. // Qart. J. Mech.and Appl. Math., 1973, 26,3, p. 285-302.

201. Bach F., Askegaard V. General stress-velocity expression in acoustoelasticity. //Exp. Mech., 1979, 19, N 2, p. 69-75.

202. Babeshko V.A., Kalinchuk V.V. Application of localized wave resonances for evaluation of residual stresses. Review of Progress in Quantitative NDE, NDE University of Washington, Seattle, Washington, 1995, p. 128.

203. Baker M., Ericksen J.L. Inequalities restricting the from of the stressdeformation relations for isotropic elastic solids and Reiner-Rivlin fluids.//J. Washington Acad. Sci. 1954. V. 44. N 2. P.33-35.

204. Baumhauer J.C., Tiersten H.F. Nonlinear electroelastic equations for small fields superposed on bias // J. Acoust. Soc. Amer., 1972, 54, N 4, p. 1017-1034.

205. Beatty M.F., Hayes M.A. Deformations of an elastic, internally constrained material. I Homogeneous deformations. J. Elasticity. 29(1992). N 1. P. 1 84.

206. Belward I.A. Elastic waves in a prestressed Money material. // Bull. Austral. Math.Soc., 1972, 7, N 1, p. 135-160.

207. Ben-Menahem A., Singh S.J. Seismic waves and sources. New York: SpringerVerlag, 1981,- 1108 p.

208. Bergman R.M. and Shahbender Effect of statically applied stressed on the velocity of propagation of ultrasonic waves. // J. Appl. Phys., 1958, 29, 12, P. 1736-1739.

209. Bhattacharya R.C. A theory for longitudinal elastic wave propagation in a solid cylinder under an initial stress. //Int. Adv. Nonderstruc. Test., 1977, 5, p. 321325.

210. Bhattacharya R.C., Sengupta P.R. Effects of initial stress on reflection and rere-fraction of plane waves at a plane interface of two elastic solid media. //Gerlands Beitr.Geophys.,1978, 87, N 5, p. 395-402.

211. Biot M.A. Mechanics of incremental deformation. N.-Y.: John Willey and Sons, 1965,-504 p.

212. Birch F. The effect of pressure upon the elastic properties of isotropic solids according to Murnaghan's theory of finite strain. // J. Appl. Phys., 1938, 9,N 4, p.279-288.

213. Bjarehed H.L. Multiply loaded rigid punch on a stressed orthotopic half-plane via a thin elastic layer // Trans. ASME J. Appl.Mech., 1992, 59, N 2, p. 115122.

214. Bocardus E.H. Third-order elastic constants of Ge, MgO and fused Si02. // J. Appl. Phys., 1965, 36, N 8, p. 2504-2513.

215. Boulanger P., Hayes M.A. Collected results on finite amplitude plane waves in deformed Mooney-Rivlin materials. Math. Probl. In elasticity. Ser. Adv. Math. Appl. Sci. 38. World Sci. Publishing, River Edge, 1996. N 7. P. 1-45.

216. Boulanger Ph., Hayes M. Fin-amplitude waves in deformed Mooney-Rivlin materials // Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1992, 45, N 4, p. 575-593.

217. Boulanger Ph., Hayes M. Finite amplitude plane waves in deformed Hadamara elastic materials // Geo. J. Int., 1994, 118, N 2, p. 447-458.

218. Boulanger Ph., Hayes M.A. Further properties of finite-amplitude plane waves in deformed Mooney-Rivlin materials. Quart. J. Mech. Appl. Math. 48(1995). N 3. P. 427-464.

219. Bradford L.J., Dong S. Elastodynamic behavior of laminated orthotropic plates under initial stress. //Int.J.Solid and Struct.,1975, 11, N 2, p.213-230.

220. Bridgmann P. W. The compression of 39 substances to 100,000 kg/cm . // Proc. Acd. Sci. Amsterdam, 1948, 76, p. 55 -70.

221. Bromwich T.J.I'A. On the influence of gravity on elastic waves, and, in particular, on the vibrations of an elastic globe. // Proc. Lond. Math. Soc. vol. XXX, p. 98-121.

222. Brown P.T., Gibson R.E. Rectangular loads on inhomogeneous elastic solid.// J.Soil Mech. and Found. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Enng. 1973, 10, p. 917-920

223. Brugger K. Thermodynamic definition of higher order elastic coefficients // Phys. Rew., 1964, 133, N 6A, p. A1611-A1612.

224. Brunelle E. Surface wave propagation under initial tension or compres-sion.//Bull.Seismol.Soc.Amer., 1973,63,6, P. 1895-1899.

225. Bufler H. Der Spannungszustand in einen geschichteten Scheibe. // Z.angew. Math, und Tech., 1961, 41, 4.

226. Bufler H. Die inhomogene elastic schicht. // Z.angew. Math, und Mech., 1963, 43, Sonderh, 61.

227. Burridge R., Knopoff L. The effect of in stress or residual stress on elastic energy calculations.//Bull.Seismol.Soc.Amer., 1966, 56, 2, P.412-420.

228. Cauchy A.L. Sur l'equilibre et le monvement d'une plaque Solide Exercices de mathematique. // Bure Freres, Paris, 1828, vol. 3.

229. Chadwick P. Interfacial and surface waves in pre-stressed isotropic elastic media. J. Ang. Math. Phys. 46(1995). Spec. Issue. P. 551-571.

230. Chadwick P., Jarvis D.A. Interfacial waves in a prestrained neo-Hookean body. I. Biaxial states of strain. //Quart.J.Mech. and Appl.Math., 1979, 32, N 4, p. 387-399.

231. Chadwick P., Jarvis D.A. Interfacial waves in a prestrained neo-Hookean body. 2. Trixial states of strain. //Quart.J.Mech. and Appl.Math., 1979, 32, N 4, p. 401-418.

232. Chadwick P., Jarvis D.A. Surface waves in prestressed elastic body. // Proc. Roy. Soc. London, A, 1979, 336, N 1727, p.517-536.

233. Chai J.F., Wu T.T. Propagation of surface waves in a prestressed piezoelectric material // J. Acoust. Soc. Amer., 1996, 100, N 4, Pt. 1, p. 2112-2122.

234. Chakraborty S. K. A SH-source in a elastic half-space with a non-homogeneous surface layer. //Pa geoph., 1973, 102, 1, p. 73-77.

235. Chakraborty S.K., De R.K. The propagation of disturbance due to a normal pressure over the boundary of an initially stressed anisotropic elastic solid. //Rev. roum. sci. tech. Ser. mech. appl., 1982, 27, N 1, p. 129-136.

236. Chakraborty S.K., Dey S. Reflection and refraction of plane shear waves in initially stressed orthotropic elastic media. // Gerlands Beitr. Geophys., 1980, 89, N5, p. 425-436.

237. Chakraborty S.K., Dey S. The disturbance due to plane and line sources in prestressed semi-infinite elastic solid. //Int.J.Solids and Struct., 1982, 18, N 12, p. 1153-1164.

238. Chattopadhyay A., Kar B. K. On the dispersion curves of Love type waves in an internally stressed crystal layer having an irregular interface. // Geoph. Res. Bull. (India), 1978, 16, p. 13-23.

239. Chattopadhyay A., Kar B. K. On the dispersion curves of Love type waves in an internal stratum of finite thickness under initial stress lying between two semiinfinite isotropic elastic media. // Gerlands Beitr. Geoph. Leipzig, 1977, 86, p. 493-497.

240. Chattopadhyay A., Kar B.K. Love waves due to a point source in an isotropic elastic medium under initial stress. //Int. J. Non-Linear Mech., 1981, 16, N 3/4, p. 247-258.

241. Chattopadhyay A., Pal A.K., Kushawha V. Generation of Love waves under initial stress due to a momentary point source. //Indian J.Pure and Appl.Math., 1982, 13, N7, p. 818-828.

242. Chen W.T., Wright T.W. Frequency equation for waves propagation in an initially stressed circular cylinder. //J. Acoust. Soc.Amer., 1966, 39, N 5, pt. 1, p. 847-848.

243. Cho Y., Yamanouchi K. Nonlinear, elastic, piezoelectric, electrostrictive and dielectric constants of litium niobate // J.Appl. Phys., 1987, 61, N 3, p. 875-887.

244. Connor P., Ogden R.W. The influence of shear strain and hydrostatic stress on stability and elastic waves in a layer. Intern. J. Engrg. Sci. 34(1996). N 4. P. 375-397.

245. Currie P.K. Longitudinal and transverse waves in hypoelastic materials. // Rend. Ins. Lombardo Acad. sci. e lett. A, 1970, 104, N 3, p. 615-627.

246. Currie P.K., Hayes M. Longitudinal and transverse waves in finite elastic strain Hadamard and Green materials. // J. Ins. Math, and Appl., 1969, 5, N 2, p. 140161.

247. Dahlen F.A. Elastic velocity anisotropy in the presence of an anisotropic initial stress. //Bull Seismol. Soc. Amer., 1972, 62, p. 1183-1193.

248. Das S.C., Dey S. Edge wave under initial stress. // Appl. Sci. Res., 1970, 2, 5, P. 382-389.

249. Dey S. Torsional wave under initial stress. // Pure and Appl. Geophys., 1972, 9, P. 53-59.

250. Dey S. Wave propagation in two layer medium under initial syresses. // Pure and Appl. Geophys., 1971, 90, 7, P. 38-52.

251. Dey S., Addy S.K. Reflection of plane waves under initial stresses at a free surface. //Int. J. Non-Linear Mech., 1977, 12, N 6, p. 371-381.

252. Ditri John J. Determination of nonuniform stresses in an isotropic elastic half space from measurements of the dispersion of surface waves // J. Mech. and Phys. Solids, 1997, 45, N 1, p. 51-66.

253. El-Naggar A.M., Saliem M.M. Wave propagation in layered media under initial stress. Appl. Math. Comput. 75(1996). N 2-3. p. 95-117.

254. Eringen C., Suhubi E.S. Elastodinamics. V. II. Linear theory. New York: Academic Press, 1975, - 660 p.

255. Ewing W.M., Jardetzky W.S., Press F. Elastic waves in layered media. New York etc.: Mc Graw - Hill Book Co., 1957, - 380 p.

256. Fine A.D., Shield R.T. Second-order effects in the propagation of elastic waves.//Int. J. Solids and Struct. 1966, 2, 4, P. 606-620.

257. Finger J. Ueber die allgemeinsten Beziehungen zwischen Deformationen und den zugehoerigen Spannungen in aelotropen und isotropen Substanzen. //Sitzungsbericht d. Akad. Wiss., Wien, 1894, Ser. A, 103, s. 1073-1100.

258. Flavin J.N. Surface wave in pre-stressed Mooney material.// Quart J. Mech. and Appl. Math., 1963, 16, 4, P. 144-149.

259. Fu Y., Devenish B. Effects of pre-stressed on the propagation of nonlinear surface waves in an incompressible elastic half-space. Quart. J. Mech. Appl. Math. 49(1996). N l.P. 65-86.

260. Gafka D. Influence of a biasing stress on the SAW velocity on piezoelectric substrate // Arch. Acoust., 1991, 16, N1, p. 79-90.

261. Gaviglia G., Morro A. Asymptotic rays in prestressed, anisotropic, dissipative solids. Europ. J. Mech. A Solids. 16(1997). N 5. P. 857-877.

262. Gazetas G. Static and dynamic displacements of foundations on heterogeneous multilayered solid. //Acoust. Soc. Amer., 1976, 60, 5, p. 1085-1088.

263. Gerhart G.R. Rayleigh wave velocity for a stress induced slightly anisotropic solid. //Acoust. Soc. Amer., 1976, 60, 5, P. 1085-1088.

264. Ghosh M. L. Love waves due to a point source in an inhomogeneous medium. //Gerlands Beitr. Geoph., 1970, 79, p. 129-141.

265. Graff K.F. Wave motion in elastic solids. Oxford: Clarendon press, 1975.- 666 P

266. Green J.E. A note on wave propagation in prestressed elastic solids. // J. Mech. and Phys. Solids, 1963, 11, 2, P. 119-126.

267. Guo J., Kaloni P. N. Second order effects in an elastic half-space acted upon non-uniform shear load // Acta Mech., 1994, 104, N 3-4, p. 173-200.

268. Hayes M. On wave propagation in a deformed Money-Rivlin material. // Quart. . Appl. Math., 1976, 34, N 3, p. 319-321.

269. Hayes M. Wave propagation and uniqueness in pre-stressed elastic solids. //Proc.Roy.Soc.London, A, 1963, 274, N 1359, p. 500-506.

270. Hayes M., Rivlin R.S. Energy propagation in a deformed elastic material.//Arch. Ration Mech. and Analysis, 1972, 45, 1, P.54-62.

271. Hayes M., Rivlin R.S. Propagation of plane wave in an isotropic elastic material subjected to pure homogeneous deformation. //Arch. Ration Mech. and Analysis, 1961, 8, 1JP.15-22.

272. Hayes M., Rivlin R.S. Surface waves in deformed elastic materials.//Arch. Ration Mech. and Analysis, 1961, 8, 5, P.358-380.

273. Hirao M., Fukuoka H., Hori K. Acoustoelastic effect of Rayleigh surface wave in isotropic material. //Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1981, 48, 1, P. 119-124.

274. Hughes D.S., Kelly J.L. Second-order elastic deformation on solids. //Phys.Rev., 1953, 92, N 5, p. 1145-1149.

275. Iwashimizu Yu. Ultrasonic wave propagation in deformed isotropic elastic materials. //Int. J. Solids and Struct. 1971, 7, N 4, p. 419-429.

276. Iwashimizu Yukio, Kobori Osami. The Rayleigh wave in a finitely deformed isotropic elastic material. // J. Acoust. Soc. Amer., 1978, 64, N 3, p. 910-916.

277. John F. Plane problem for a perfectly elastic materials of harmonic type. //Commun. Pure and Appl. Math. 1960, 12, 2, P.239-296.

278. Johnson B.E., Hoger A. The dependence of the elasticity tensor on residual stress. J. Elasticity. 33(1993). N 2. P. 145-165.

279. Kappus R. Zur Elastizitaetstheorie endlicher Verschiebungen. // ZAMM, 1933, 12, s. 160-165.

280. Koiter W.T. Approximate solution of Wiener-Hopf type integral equations with applications. // Proc. Koninkl. Nederl. Akad. wet., 1954, B57, 5.

281. Kurashige M. Radial propagation of axial shear waves in finitely deformed elastic solid. //Ibid., 1974, 41, N 1, p. 83-88.

282. Kurashige M. Shear waves guided by a cylindrical hole in a finitely deformed elastic solid. //Trans. ASME, E, 1972, 39, N 3, p. 703-708.

283. Ljamov V.E. Nonlinear acoustical parameters of piezoelectric crystals // J. Acoust. Soc. Amer., 1972, 52, N 1, Pt. 2, p. 200-202.

284. Mase G.T., Johnson G.C. An acoustoelastic theory for surface waves in anisotropic media // J. Appl. Mech. 1987, 54, p. 127-135.

285. Maugin G.A. Exact relativistic theory of wave propagation in prestressed nonlinear elastic solids. //Ann.Ins. H. Poicare, A, 1978,28, N 2, p. 155-185.

286. McMahon D.H. Acoustic second-harmonic generation in piezoelectric crystals // J. Acoust. Soc. Amer., 1968, 44, N 4, p. 1007-1013.

287. Miklowitz J. The theory of elastic waves and waveguides. Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1978. - 618 p.

288. Mittra M. On a finite SH type source in a layered half-space (II). // Pageoph., 1970, 80, III, p. 147-151.

289. Montanaro A. An analysis of the propagation condition for small displacement waves in prestressed bodies. Intern. J. Non-Linear Mech. 33(1998). N 2. P. 327355.

290. Montanaro A. On small-displacement waves in prestressed bodies with isotropic incremental elasticity tensor. Mech. 32(1997). N 6. P. 505-514.

291. Montanaro A. Wave propagation along axes of symmetry in lineary elastic media with initial stress. J. Elasticity. 46( 1997). N 3. P. 217-221.

292. Moodie T., Bryant, Rogers C., Clements D.L. Radial propagation of axial shear waves in an incompressible elastic material under finite deformation. //Int. J. Eng. Sci., 1976, 14, N 7, p. 585-603.

293. Mooney M. A theory of large elastic deformation. //J. Appl. Phys., 1940,. 11, p. 582-592.

294. Mott G. Equations of elastic motion of an isotropic medium in the presence of body forces and static stresses. //J. Acoust. Soc. Amer., 1971, 50, N 3, pt. 2, p. 859-868.

295. Murnaghan F.D. Finite deformation of an elastic solid. John Willey and Sons, N.-Y.,1951, 140 p.

296. Musgrave M.J. Crystal acoustics. Introduction to the study of elastic waves and vibrations in crystals. San Francisco: Holden Day, 1970. 288 p.

297. Nariboli G.A., Juneja B.L. Wave propagation in an initial stressed hypoelastic medium. // Int. J. Non Linear Mech., 1971, 6, 1, P. 13-25.

298. Nowinski J. L. Reflection of acoustic waves at the fiberface of two highly stressed elastic half-space. //J. Acoust. Soc. Am., 1978, 6, p. 1287-1290.

299. Ogden R.W. Wave in isotropic elastic materials of Hadamarad, Green or harmonic type.// J. Nach. and Phys. Solids, 1970,18, 2, P. 149-169.

300. Ogden R.W., Sotiropoulos D.A. On interfacial waves in pre-stressed layered incompressible elastic solids // Proc. Roy. Soc. London. A, 1995, 450, N 1939r p.319-341.

301. Ogden R.W., Sotiropoulos D.A. On interfacial waves in pre-stressed layered incompressible elastic solids. Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 450(1995). N 1939. P. 319-341.

302. Ogden R.W., Sotiropoulos D.A. The effect of pre-stress on the propagation and reflection of plane waves in incompressible elastic solids. IMA J. Appl. Math. 59(1997). N LP. 95-121.

303. Ogden R.W., Yibin Fu Nonlinear stability analysis of pre-stressed elastic halfspaces. 19-th, Int. Congr. Theoret. and Appl. Mech., Kyoto, Aug. 25-31, 1996, Abstr., Kyoto, 1996, p. 694.

304. Pan F., Beatty M. Instability of an internally constrained hyperelastic material. Intern. J. Non-Linear Mech. 34(1999). N 1. p. 169 177.

305. Pan U.C. SH-waves in two layered inhomogeneous medium under initial stress. //Bull. Calcutta Math. Soc., 1979, 71, N 2, p. 86-93.

306. Pao Y.H., Sachse W., Fukuoka H. Acoustoelasticity and ultrasonic measurements of residual stresses // Phys. Acoust. (Ed. Mason W.P., Thurston R.N., Academic, N.Y. 1984), vol. 17, p.62-143.

307. Payton R.G. Two dimensional wave front shape induced in homogeneously strained elastic body by a point perturbing body force. // Arch. Rat. Mech. And Anal., 1969, 32, N 4, p. 311-330.

308. Payton R.G. Wave-front singularities for two dimensional anisotropic elastic waves. //Ibid., 1972, 72, N 2, p. 105-116.

309. Ramakanth I. Some problems of propagation of waves in prestressed isotropic bodies. // Proc. Vibr. Probl. Pol. Acad. Sci., 1965, 6, N 2, p. 161-172.

310. Ramakanth J. Longitudinal Vibrations of prestressed circular cylinder. //Bull. Acad. pol. sci. Ser. Tech., 1964, 12, N 11, p.495-503.

311. Rao C.R., Godo M.A. Generalization of Lamb's problem to a class of inhomogeneous elastic half spaces. // Proc. Roy. Soc. London, 1978, 359, 1696, p. 93110.

312. Reismann H., Pawlik P.S. Dynamics of initially stressed hyperelastic solids. //ZAMM, 1979, 59, N 4, p. 145-155.

313. Richardson B.A., Thompson R.B., Wilkinson C.D.W. Finite-amplitude waves in dielectric crystals // J. Acoust. Soc. Amer., 1968, 44, N 6, p. 1608-1615.

314. Rogers C., Moodie T.B., Clements D.L. Radial propagation of rotary shear waves in an initially stressed neo-Hookean material. // J.Mech., 1976, 15, N 4, p. 595-614.

315. Rogerson G.A. Waves in pre-stressed laminated plates // IUTAM Symp. Anis., Inhomogen. and Nonlin. Solid Mech., Proc. IUTAM-ISIMM Symp., Nottingham, 30 Aug. 3 Sept., 1994, Dordrecht, 1995, p. 475-480.

316. Rogerson G.A., Fu Y.B. An asymptotic analysis of the dispersion relation of a pre-stressed incompressible elastic plate. Acta Mech. 111(1995). N 1-2. P. 59-74.

317. Rokhlin S.I. Recent advances in waves in layered media // J.Phys.Sec.4, 1992, 2, N 1, Pt. 2, p. 819-826.

318. Rusu E. Ibanescu I. Some problems of thermoelasticity in initially stressed bodies//Bull. Inst, politehn. Iasi. Sec.l, 1993, 39, N 1-4, p. 101-112.

319. Sato Y. Love waves propagated upon heterogeneous medium. // Bull. Earthq. Res. Inst. Tokyo, 1952, 30, p. 1-11.

320. Sawyers K.N., Rivlin R.S. A note Hadamard criterion for an incompressible isotropic elastic material. //Mech. Res. Commun., 1978, 5, N 4, p. 211-214.

321. Sawyers K.N., Rivlin R.S. On the speed of propagation of waves in a deformed compressible elastic material. //ZAMP, 1978, 29, N 2, p. 245-251.

322. Scott N.H., Hayes M. Constant amplitude acceleration waves in prestrained incompressible isotropic elastic solids. Math. Mech. Solids. 2(1997). N 3. P. 291295.

323. Seeger A.,Buck O. Die experimentermittung der elastischen Konstanten hohere ordnung. //Z. Naturforsch. A, 1960, 15, N 12, p. 1056-1060.

324. Seth B. R. Finite strain in elastic problems. //Phil. Trans. Roy. Soc. Lon., 1935, Ser. A., 234, p. 231-264.

325. Sezawa K. Love waves generated from a source of a certain depth. // Bull. Earthq. Res. Inst. Tokyo, 1935, 13, p. 1-10.

326. Singh B. M., Dhaliwal R. S. Propagation of SH-waves in laterally and vertically heterogeneous media due to a line source. //Rev. Roum. Tech. Mech. Appl., 1979, 24, N2, p. 217-223.

327. Singh I., Singh S.J. Surface waves in prestressed elastic media // Acta Geophys. Pol., 1991, 39, N1, p. 33-45.

328. Smith R.T. Stress-induced anisotropy in Solids the acoustoelastic effect. // Ultrasonics, 1963, 1, N 3, p. 135-147.

329. Smith R.T., Stern R., Stephens R.W.B. Third-order elastic moduli of polycrys-talline metals from ultrasonic velocity measurements // J. Acoust. Soc. Amer.,1966, 40, N5, p. 1002-1008.

330. Sotiropoulos D.A., Sifniotopoulos C.G. Interfacial waves in pre-stressed incompressible elastic interlayer. J. Mech. Phys. Solids. 43(1995). N 3. P. 365387.

331. Stachowicz B. Determination of the stresses under a punch in a non-homogeneous elastic semi-plane. //Arch. Mech. Stosowanej, 1968,20,6.

332. Suhubi E.S. Small longitudinal vibrations of an initially stressed circular cylin- . der. //Int.J.Eng.Sci., 1965,2,N 5,p.509-515.

333. Surhendu D. Torsional wave under initial stress. //Pure and Appl. Geophys., 1972, 94, N2.

334. Tang S. Wave propagation in initially stressed elastic solids. // Acta Mech.,1967, 4, 1, P. 92-106.

335. Tanimoto T., Yamamoto K., Morii T. Nonlinear stress-strain behavior of piezoelectric ceramics under tensile loading // ISAF 94, Proc. Ninth. IEEE Int. Symp. Applications Ferroelectricy, IEEE, 1994, N4, p. 394-397.

336. Teymur M. Small but finite amplitude waves in two-layered incompressible elastic medium. Intern. J. Engrg. Sci. 34(1996). N 2. P. 227-241.

337. Thurston R.N. Effective elastic coefficients for wave propagation in crystals under stress // J. Acoust. Soc. Amer., 1965, 37, N 2, p. 348-356.

338. Thurston R.N., Brugger K. Third-order elastic constants and the velocity of small amplitude elastic waves in homogeneously stressed media // Phys. Rev., 1964, vol. 133, N 6A, p. A1604-A1610.

339. Tiersten H.F. Elecrtoelastic interactions and the piezoelectric equations // J. Acoust. Soc. Amer., 1981, 70, N , p. 1567-1576.

340. Tiersten H.F. Electroelastic equations for electrode thin plates subject to large driving voltages // J. Appl. Phys., 1993, 74, N 5, p. 3389-3393.

341. Tiersten H.F. On the nonlinear equations of thermoelectroelasticity // Int. J. Eng. Sci., 1971, 9, p. 587-604.

342. Tito Frank A., Bufler John L., Rolf Kenneth D. Piezoelectric ceramic mechanical and electrical study // J. Acoust. Soc. Amer., 1994, 96, N 3, p. 1914-1917.

343. Tokuoka T., Iwashimizu Yu. Acoustical birefringence of ultrasonic waves in deformed isotropic elastic materials. //Int.J. Solids and Struct., 1968, 4, N 3, p. 383-389.

344. Tokuoka T., Saito M. Elastic wave propagation's and acoustical birefringence in stressed crystals. // J. Acoust. Soc. Amer. 1969, 45, N 5, p. 1241-1246.

345. Toupin R.A., Bernstein B. Sound waves in deformed perfectly elastic materials. Acoustoelastic effect // J. Acoust. Soc. Amer., 1961, 33, N 2, p. 216-225.

346. Trefftz E. Zur Theorie der Stabilitaet des elastischen Gleichgewichts. // ZAMM, 1933, 12, s. 160-165.

347. Truesdell C. General and exact theory of waves in finite elastic strain // Arch. Rati. Mech. Anal., 1961, 8, p. 263-296.

348. Vlaar N. J. The field from an SH-point source in a continuously layered inho-mogeneous half space. // Bull. Seism. Soc. Am., 1966, 56, p. 1305 1315.

349. Wagh D.K. Effect of constant initial stress on the Love wave propagation. //Acta Gtophys., 1974, 22, N 1, p. 3-9.

350. Wagh D.K. Longitudinal wave in an elastic cylinder having Cauchy's initial stress.//J.Indian Math.Soc.,1969, 33,2-4,P.165-179.

351. Wagh D.K. Propagation of plane waves in an unbounded elastic medium with Cauchy's initial stress. //Pure and Appl. Geophys., 1970, 82, 5, P. 62-65.

352. Wagh D.K. Propagation of SH waves in an infinite elastic plate with Cauchy's . initial transverse stress. // Pure and Appl. Geophys., 1979, 99, 7, P. 95-115

353. Wagh D.K. Rayleigh waves in an elastic half-space with Cauchy's initial stress. //Grelands Beitr.Geophys.,1970, 79,4,P.289-294.

354. Wagh D.K. Torsional waves in an elastic cylinder with Cauchy's initial stress. //Grelands Beitr.Geophys., 1972, 81,6,P.489-493.

355. Walton K. Seismic waves in prestrained media. // Geophys. Roy. Astron. Soc., 1973, 31, 4, P. 374-394.

356. Wiener N., Hopf E. Uber eine Klasse singularer Integral gleichungen. // Sitzungsber., Akad. Wiss., Berlin, 1931.

357. Willson A.J. Loves waves and primary stress. //Bull. Seismol. Soc. Amer., 1975, 65, N5, p. 1481-1486.

358. Willson A.J. Plate waves in Hadamarad materials. //J. Elast., 1977, 7, 1, P. 103111.280

359. Willson A.J. SH waves in uniaxially stressed Hadamarad materials. // Pure and Appl. Geophys., 1973, 110, 9, P. 1977-1981.

360. Willson A.J. Surface and plate waves in biaxially-stressed elastic media. //Pure and Appl.Geophys., 1973,10,2, P. 182-192.

361. Willson A.J. Surface waves in prestressed elastic plates. //Pure and Appl.Geophys.,1973,110,9,P.1967-1976.

362. Willson A.J. Surface waves in uniaxially stressed Mooney materials. // Pure and Appl. Geophys., 1974, 112, 2, P. 352-364.

363. Willson A.J. The anomalous surface waves in uniaxially stressed elastic material. //Pure and Appl.Geophys.,1974, 112,4,P.667-674.

364. Willson A.J. Wave propagation in biaxially-stressed elastic media. // Pure and Appl.Geophys, 1972, 95, 3, P. 48-58.

365. Willson A.J. Wave propagation in thin pre-stressed elastic plates. //Int.J.Eng.Sci, 1977, 15, N 4, p. 245-251.

366. Willson A.J. Wave propagation in uniaxially-stressed elastic media. // Pure and Appl.Geophys, 1971, 93, 1,P. 5-18.

367. Winkler Kenneth M, Liu Xigzhou Measurements of third-order elastic constants in rocks // J. Acoust. Soc. Amer, 1996, 100, N 3, p. 1392-1398.

368. Wo Guo-Wel An elastic solution of a nonhomogeneous half-plane hroblem // Appl. Math, and Mech, Engl.Ed, 1994, 15, N 10, p. 989-996.

369. Woodhouse J.H. Asymptotic results for elastodynamic propagator matrices in plane-stratified and spherically-stratified Earth models. //Geophys. J. Roy. Astron. Soc, 1978, 54, 2, p. 263-279.

370. Yang J.S, Batra R.C. A Theory of electrode thin thermopiezoelectric plates subject to large driving voltages // J. Appl. Phys, 1994, 76, N 9, p. 5411-5417.

371. Yasuhiko Nakagawa, Kazuhiko Yamanouchi, Kimio Shibayama Third-order elastic constants of litium niobate // J. App. Phys, 1973, 44, N 9, p. 3969-3974.

372. Zhao Yu-Xiang, Gu Xiang-Zhen, Li Huan-Giu, Yinguong Shuxue he Lixue Generalised variational principies of symmetrical elasticity problem of large deformation. // Appl. Math, and Mech, 1994, 15, N 9. p. 768-774.