Методы факторизации в проблеме оценки напряженно - деформированного состояния сред территорий с разломами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Федоренко, Алексей Григорьевич

• Федоренко, Алексей Григорьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Федоренко, Алексей Григорьевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 Метод блочного элемента

§1.1 Факторизационные методы

§1.2 Представление решений о напряженно-деформированном состоянии сред с разломами.

§1.3 Двумерные блочные элементы

§ 1.4 Трехмерные блочные элементы

ГЛАВА 2 Метод блочных элементов при моделировании литосферных

§ 2.1 Полуограниченные блочные элементы

§ 2.2 Метод блочного элемента для сред с разломами

ГЛАВА 3 Метод блочного элемента для рельефных и горных территорий

§ 3.1 Блочный элемент в форме прямоугольной пирамиды

§ 3.2 Блочный элемент в форме произвольной треугольной пирамиды

§ 3.3 Многогранные и выпуклые блочные элементы

ГЛАВА 4 Применение метода блочного элемента для моделирования напряженно-деформированного состояния территории Краснодарского края с учетом разломов

§ 4.1 О моделях литосферных плит

§ 4.2 Применение ГИС-технологий для исследования разломов

§ 4.3 Построение параметров разломов

§ 4.4 Построение характеристических уравнений граничных задач

§ 4.5 Корни коэффициентов характеристических уравнений

§4.6 Построение алгоритма сопряжения литосферных плит и определение параметров их взаимодействия

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы факторизации в проблеме оценки напряженно - деформированного состояния сред территорий с разломами»

Актуальность темы исследования. Одной из важных проблем в Науках о Земле в настоящее время является проблема прогноза землетрясений. Землетрясения в Гаити и Индонезии, унесшее каждое более трехсот тысяч жизней являются серьезным предупреждением для всех сейсмоопасных зон. Работа посвящена исследованию актуальной на сегодняшний день проблемы прогноза нарастания сейсмичности в сейсмоопасных зонах, имеющих сложный ландшафт, в том числе горный, а также разломы. Несмотря на обилие работ в этой области проблема не решена и по сей день. В работе предлагается провести исследования этой проблемы с применением метода механики разрушения. Дня реализации этого подхода развиваются методы расчета напряженности литосферных плит как деформируемых твердых тел, подвергаемых внешним воздействиям различной природы. Для решения этой проблемы в соответствии с требованиями механики деформируемого твердого тела необходимо сформулировать соответствующие граничные задачи в областях, занимаемых литосферными плитами. В свою очередь литосферные плиты имеют разломы трещины, включения, которые могут сильно влиять на их прочностные свойства. В частности, разломы литосферных плит, в соответствии с имеющимися данными вибросейсмического зондирования могут быть сквозными, рассекающими литосферную плиту от поверхности до основания, частичными, выходящими либо на поверхность, либо на нижнее основание, внутренними, являющимися полостями, не касающимися границы. Все эти разломы могут существенно влиять на концентрацию напряжений в литосферных плитах и, таким образом, на нарастание сейсмичности. Считается, и это подтверждено практикой, что очагами землетрясений являются именно зоны разломов. Существуют различные подходы к описанию разломов. Однако практически все из них рассматривают разломы как трещины Гриффица, что в принципе не всегда так. Поэтому для решения проблемы напряженности литосферных плит, во-первых, необходимо более детально исследовать тип разлома в литосферной плите, т.к. его искажение может привести к ошибочным данным о концентрации напряжений. Во-вторых, необходимо научиться исследовать напряженно-деформируемые поля в литосферных плитах и концентрацию напряжений, при наличии разломов.

Заметим, однако, что информации лишь одного региона недостаточно для решения проблемы прогноза землетрясений. Необходима глобальная информация с обширных территорий, содержащих несколько блоков литосферных плит.

Целью исследования является создание специально приспособленного для исследований в области сейсмологии математического аппарата, способного осуществлять исследование территорий, содержащих несколько разломов различной природы с несколькими блоками литосферных плит. Метод должен быть достаточно унифицированным, чтобы обеспечить однотипный подход к решению' достаточно разнообразного круга задач, описываемых как дифференциальными, так и интегральными уравнениями. Он должен быть достаточно универсальным, способным описывать процессы в глобальных и локальных областях, не утрачивая точности. Таковым явился метод факторизации. Чтобы понять причины и убедиться в необходимости создания этого метода при наличии большого количества* других подходов, проанализируем существующие методы решения пространственных задач.

Задачи о равновесии и установившихся колебаниях сред в рамках линейных моделей математической физики обычно описываются при помощи краевых задач для эллиптических операторов второго порядка. К таким классам относятся модели изотропной и анизотропной теории упругости, модели геоэкологии, модель пористо-упругой среды Био, электроупругая и магнитоупругая среды, модели диффузии, теплопроводности и термоупругости.

Аналитические решения частных задач

Ряд точных решений для моделей связанных полей можно найти в монографиях [68, 69, 71, 81, 91, 109]. Однако они имеют специализированную направленность и не обладают универсальностью.

Аналитические и полуаналитические методы решения

К числу наиболее часто используемых методов построения аналитических (и полуаналитических) решений исторически относятся метод разделения переменных и метод интегральных преобразований, которые используются обычно для канонических областей. В последние годы получил развитие метод конечных интегральных преобразований, обобщающий известный метод Фурье разделения переменных; в некоторых задачах решение строится в рядах, в некоторых дополнительно приходится решать бесконечные системы [75, 95].

К числу методов, часто используемых при решении краевых задач, принадлежат метод суперпозиции и метод однородных решений. Эти подходы, как правило, приводят к бесконечным алгебраическим системам, которые необходимо решать численно на основе метода урезания и, как правило, позволяют обосновать сходимость метода редукции. К недостаткам этого подхода относятся достаточно узкий класс областей и сложность исследования структуры решения на особых множествах границы. Исследования в этой области, несмотря на долгую предысторию, продолжаются и в наше время [96].

Численные методы решения

В большинстве краевых задач для упомянутых операторов для неканонических областей точное решение построить не удается и встает вопрос об эффективном численном анализе задачи. Все существующие численные методы анализа краевых задач для дифференциальных операторов в частных производных и способы сведения к конечномерным проблемам условно можно разбить на две большие группы.

1-я группа. Метод алгебраических систем. К первой группе относятся методы, основанные на прямом сведении пространственных задач (ЗБ) к алгебраическим системам. Сюда относятся разностные методы, основанные на простейших аппроксимациях операторов в частных производных разностными, и проекционные, базирующиеся на идеях метода Галеркина; [101,102].

При наличии слабых постановок можно использовать конечноэлементные аппроксимации. Отметим, что наибольшего расцвета технология конечноэлементных аппроксимаций достигла, оформившись в ряд мощных пакетов; для которых посильно: решение самых разных задач из упомянутых областей механики и математической физики.

Так, вывод уравнений МКЭ из вариационных принципов электроупругости был проведен впервые, по-видимому,в [ 104].

В многочисленных публикациях, посвященных МКЭ; для: электроупругих сред, этот метод получил дальнейшее развитие. Были использованы; (и построены новые) различные типы КЭ; разработана техника учета граничных условий для электродированных поверхностей (аналог контактных элементов), созданы специализированные КЭ-программы [105, 106, 110], позволяющие определять все требуемые характеристики полей, частоты резонансов и антирезонансов, КЭМС и т.п.

Развитие конечноэлементных технологий в настоящее время осуществляется в нескольких направлениях.

1. Построение внутри конечного элемента аппроксимаций повышенной точности, использование для этого сплайн-аппроксимаций, позволяющих получать гарантированную точность решений при небольшом числе элементов, в том числе и вблизи границ [119].

Наиболее полно идеология такого подхода и ряд теоретических результатов по КЭ-аппроксимациям высокого порядка изложены в монографии [5].

2. Построение новых типов элементов [122].

2-я группа. Метод граничных интегральных уравнений. Эта группа методов алгебраизации краевых задач основана на предварительном понижении размерности исходных проблем и сведении их к двумерным операторным (интегральным) уравнениям - граничным интегральным уравнениям (ГИУ). При этом различают прямую формулировку, когда в качестве неизвестных фигурируют граничные значения векторов перемещений и напряжений, и непрямую, когда в качестве неизвестных выбираются плотности фиктивных сил. Кроме того, для прямой формулировки возможны два подхода при построении этих систем.

Первый основан на использовании идей теории потенциала и теоремы взаимности в самой общей форме для линейных моделей. Наиболее ясно этот подход изложен для операторов теории упругости и термоупругости в известной монографии [74].

В анизотропном случае отметим работы [121] и дальнейшее развитие метода в работе [123]. Вычислительные аспекты и приложения в механике даны в работах [72, 78, 97, 108, 114, 118].

Соответствующие граничные уравнения для моделей линейной электроупругости приведены в монографиях [90, 100].

Основным препятствием для более интенсивного использования граничных уравнений и технологий на основе МГЭ является либо отсутствие простой формы фундаментальных решений (например, представление через гипергеометрическую функцию), либо невозможность кардинального упрощения интегрального представления. В то же время построение новых представлений функций Грина (удовлетворяющих некоторым граничным условиям) открывает большие перспективы на пути использования метода ГИУ. Ранее построенные фундаментальные решения нашли отражение в работах [113, 115-117].

Отметим также работу, посвященную новым ГИУ для трещин [125]. Кроме того, возможные варианты построения ГИУ с непрерывными ядрами обсуждены в работе [69].

В последние десятилетия интенсивно развиваются гибридные схемы, сочетающие конечноэлементные и граничноэлементные аппроксимации [32, 111].

Приведенный достаточно полный обзор существующих методов показывает, что несмотря на эффективность при решении конкретных специальных задач, ни один из них не удовлетворяет полностью всем требованиям, необходимым для исследования напряженно-деформированного состояния литосферных плит, состоящих из комплекса блоков. Эти методы могут быть использованы на разных этапах после стадии математического анализа проблемы, который будет выполняться создаваемым методом факторизации.

Научная новизна результатов работы. Она состоит в том, что впервые удалось сформулировать и построить алгоритмы применения однотипного математического аппарата для исследования казалось бы разных граничных задач. Впервые построена математическая модель для описания поведения комплекса взаимодействующих блоков литосферных плит, способная учитывать разнотипность разломов.

Научное и практическое значение результатов работы. Научное значение полученных результатов состоит в том, что разработанные методы могут найти применение в смежных областях науки - в нанотехнологиях, проблемах оценки прочности подземных сооружений, в теории прочности изделий, использующих сложные композиционные материалы.

Практическое значение работы состоит в применении этих методов для целей оценки сейсмической обстановки Краснодарского края. С применением ГИС-технологий удается осуществить учет влияния всех основных типов разломов на территории Краснодарского края и территории олимпийской стройки.

Прикладное значение результатов состоит в создании модели прогноза зон подготовки землетрясений по максимальным разрушающим напряжениям.

Результаты исследований нашли внедрение при выполнении грантов РФФИ 06-08-00671-а; 06-01-96804-рюгофи; 06-08-96800-рюгофи; 07-05-00858-а; 07-01-12028-офи; 08-01-99013-рофи; 08-07-10000-к; 08-08-00447-а; 08-08-00669-а; 09-08-00171-а; 09-08-00294-а; 09-08-96522-рюга; 09-08-96527-рюга, гранта Президента РФ по поддержке молодых докторов наук МД-1554.2009.1, проекта НШ-3765.2010.1.

Достоверность результатов Достоверность теоретических результатов следует из применения строгих математических методов, а также проверкой результатов на тех частных задачах, которые решаются иными методами. Такие факторизационные методы, как дифференциальный и интегральный методы факторизации, апробированы, опубликованы в ведущих журналах, переведенных за рубежом, докладывались на конференциях и семинарах, включены в научные отчеты.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на X Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды": (Ростов н/Д, 2006г.), на всероссийских конференциях грантодержателей РФФИ в 2006 г., 2007 г., 2008 г., 2009 г., (Краснодар) на семинарах отдела проблем математики и механики ЮНЦ РАН, Научно-исследовательского центра прогнозирования и предупреждения геоэкологических катастроф Кубанского государственного университета, на заседаниях кафедры математического моделирования Кубанского государственного университета.

Публикации

Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в 12 публикациях, из которых 8 работ - в важнейших изданиях, рекомендованных ВАК РФ. На защиту выносятся:

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Разработка метода факторизации исследования и решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных для комплекса блочных элементов, моделирующих горизонтально ориентированные блочные структуры

2. Разработка способов применения блочных элементов для моделирования литосферных плит для территорий со сложным, в том числе горным, ландшафтом и разломами.

3. Разработка методов моделирования литосферных плит для территорий с разломами.

4. Построение алгоритма математического моделирования территории Краснодарского края с использованием ГИС - технологий.

Структура, содержание и объем работы

Диссертация состоит из введения, 4 глав, приложения, заключения, списка из 125 наименований использованной литературы. Объем диссертации с приложением 132 страницы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Федоренко, Алексей Григорьевич

Заключение

1. В диссертации развит метод применения блочных элементов для моделирования территорий с разломами.

2. Разработаны подходы учета сложных рельефов территорий, в том числе горных, имеющих разломы.

3. Развит метод и предложены различные приближенные модели по оценке поведения напряженно-деформированного состояния территорий с разломами.

4. Проведены необходимые вычислительные работы по подготовке требуемых данных по описанию литосферных плит с разломами территории Краснодарского края.

5. Сформирован алгоритм реализации математической модели по оценке напряженно-деформированного состояния территории Краснодарского края. Его реализация требует введения дополнительных данных о физико-механических свойствах среды блоков.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Федоренко, Алексей Григорьевич, 2010 год

1. Айзикович С.М., Александров В.М., Белоконъ A.B., Кренев Л.И., Трубчик И. С. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред. М.: Физматлит, 2006. 238 с.

2. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. 487 с.

3. Александров В.М., Ромалис Б.Л. Контактные задачи в машиностроении. М.: Машиностроение, 1986. 176 с.

4. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Наука, 1993. 224 с.

5. Апанович В.Н. Метод внешних конечноэлементных аппроксимаций. Минск: Вышэйша шк., 1991. 170 с.

6. Арутюнян Н.Х., Манжиров A.B. Контактные задачи теории ползучести. Ереван: HAH, 1999. 320 с.

7. Арутюнян Н.Х., Манжиров A.B., Наумов В.Э. Контактные задачи механики растущих тел. М.: Наука, 1991. 176 с.

8. Бабешко В.А., Евдокимова О.В,. Бабегико О.МЗарецкая М.В., Павлова A.B. Дифференциальный метод факторизации для блочной структуры //ДАН. 2009. т. 424, № 1. С. 36-39.

9. Бабешко В.А. «Вирусы» вибропрочности // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. 1994. Спецвыпуск. №1. С. 90-91.

10. Бабешко В.А. Высокочастотный резонанс массивного штампа // Докл. АН СССР. 1989. Т. 306, № 6. С. 1328-1333.

11. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. 265 с.

12. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Интегральные преобразования и метод факторизации в краевых задачах // ДАН. 2005. Т.403, №6. С. 26-28.

13. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации в теории вирусов вибропрочности // Докл. РАН. 2003. Т. 393, № 4. С. 473-477.

14. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Обобщенная факторизация в краевых задачах в многосвязных областях // ДАН. 2003. Т. 392, №2. С. 163-167.

15. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Формулы факторизации некоторых меромофных матриц-функций // ДАН. 2004. Т. 399, №1. С.163-167.

16. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. О проблеме блочных структур академика М.А.Садовского //ДАН. т. 427, №4, 2009, С.480-485.

17. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. Об интегральном и дифференциальном методах факторизации // ДАН. 2006. Т. 410, №2. С. 168-172.

18. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. Выполнение граничных условий в дифференциальном методе факторизации // ДАН. 2007. Т. 412, №5. С. 600-603.

19. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. Интегральный метод факторизации в смешанных задачах для анизотропных сред //ДАН. 2009. Т.426, №4. С. 471-475

20. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. К теории блочного элемента//ДАН. 2009. т. 427, №2, С.183-186.

21. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. О блочном элементе в форме произвольной треугольной пирамиды //ДАН. т. 429, №6, 2009, С.758-761.

22. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. О пирамидальном блочном элементе // ДАН. 2009. Т.428, №1. С. 30-34.

23. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В., Федоренко А.Г. О трехмерных блочных элементах. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества// 2009. № 2. С. 5-10

24. Бабешко В.А., Ворович И.И., Образцов И.Ф. Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1990. № 3. С. 74-83.

25. Бабешко В.А., Горшкова Е.М., Лозовой В.В., Мухин A.C. Гладской И.Б., Федоренко А.Г. Дифференциальный метод факторизации в смешанных задачах для неклассических линейно деформируемых тел // Наука Кубани, 2009. №2. С 4-9.

26. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Дифференциальный метод факторизации в блочных структурах и нано структурах // ДАН. Т.415, №5. 2007. С. 596-599.

27. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. О дифференциальном методе факторизации в задачах для сплошных сред// ДАН. 2008. Т.421, №1. С. 37-40

28. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Зарецкая М.В., Павлова

29. A.B., Мухин A.C., Лозовой В.В., Федоренко А.Г. О приложениях теории блочных структур в науках о Земле, сейсмологии, строительстве, материаловедении. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества// 2008. № 4, С.27-34.

30. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Рядчиков И.В.Лозовой

31. B.В.Горшкова Е.М., Федоренко А.Г. О блочных элементах в моделировании сложных структур и объектов. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества// 2010. № 1, С. 13-25

32. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Интегральный метод факторизации в смешанных задачах для анизотропных сред// ДАН. 2009. т. 426, №4. С. 471-475

33. Бабешко В.А., Лозовой В.В., Ратнер C.B., Сыромятников П.В., Федоренко А.Г. Теоретические и экспериментальные исследования по изучению глубинного строения Земли в аридных зонах Юга России// Вестник Южного научного центра РАН. 2006. № 2. С.42 45.

34. Балабаее С.М., Ивина Н.Ф. Анализ пьезопреобразователей комбинированным методом конечных и граничных элементов // Акустический журнал. 1996. Т. 42. № 2. С. 172-178.

35. Барышев М.Г., Евдокимова О.В., Джгшак С.С., Васильев Н.С. / Патент РФ на полезную модель № 53111. Комплекс для обеззараживания одежды и придания ей бактерицидных свойств. ФИПС. 10.05.2005.

36. Барышев М.Г., Сидоров И.В., Евдокимова О.В., Коржов А.Н., Куликова H.H. Результаты поисковых исследований по созданию функциональных приборов для биоэлектроники // Вестн. ЮНЦ РАН. 2005. Т. 1. № 4. С. 18-20.

37. Борисов Д.В., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Решение динамической задачи для трехслойной среды с включениями // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. № 2. С. 813.

38. Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию. М.: Высшая школа, 1980. 296 с.

39. Бреббия К., Телес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 526 с.

40. Вишик М.И., Люстерник Л. А. Об асимптотике решения краевых задач для квазилинейных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1958. Т. 121. №5. С. 778-781.

41. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Об эллиптических уравнениях, содержащих малые параметры при старших производных // Докл. АН СССР. 1957. Т. 113. №4. С. 734-737.

42. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1964. 412 с.

43. Ворович И.И. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245. № 5. С. 1076-1079.

44. Ворович И.И. Спектральные свойства краевой задачи теории упругости для неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245. № 4. С.817-820.

45. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 456 с.

46. Ворович И.И, Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 456 с.

47. Ворович И.И, Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.

48. Ворович И.И, Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.

49. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. 248 с.

50. Галин JI.А. Контактные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1953. 264 с.

51. Ганпъмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

52. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

53. Глушков Е.В. Вибрация системы массивных штампов на линейно деформируемом основании // Прикладная математика и механика. 1985. Т. 49. вып. 1.С. 142-147.

54. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. К проверке существования явления высокочастотного резонанса в полуограниченных областях // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1990. № 3. С. 208-209.

55. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Кириллова Е.В. Динамическая контактная задача для кругового штампа, сцепленного с упругим слоем // Прикладная математика и механика. 1992. Т. 56. Вып. 5. С. 780-785.

56. Горячева И.Г. Механика фрикционного взаимодействия. М.: Наука, 2001. 478 с.

57. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Системы интегральных уравнений на полупрямой, с ядрами, зависящие от разности аргументов // Успехи математических наук. 1958. Т. 13. вып. 2. С. 3-72.

58. Евдокимова О.В. Дифференциальный метод факторизации в механике разрушения, материаловедении и сейсмологии // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2006. № 4. С. 32-42.

59. Евдокимова О.В., Бабешко В.А., Бабешко О.М., Зарецкая М.В., Павлова A.B.,Федоренко А.Г. О дифференциальном методе факторизации в приложениях// Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2008. № 2. С. 5-12.

60. Евдокимова О.В., Бабешко В.А., Бабешко О.М., Федоренко А.Г. О дифференциальном методе факторизации в сложных макро-, микро- и наноструктурах// Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2007. №1, С.24-29.

61. Евдокимова О.В., Бабешко В.А., Федоренко А.Г., Бабешко О.М. Дифференциальный метод факторизации в проблеме конструирования материалов // Современные проблемы механики сплошной среды: тр. X Междунар. конф. Ростов н/Д, 2006. С. 103-108.

62. Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Бабешко В.А. О дифференциальном методе факторизации в неоднородных задачах //ДАН. т. 418, № 3, 2008, . С. 321-323

63. Евдокгшова О.В., Барышев М.Г. / Патент РФ на полезную модель № 43711. Текстильное изделие с электрическим обогревом. ФИПС. 27.01.2005.

64. Евдокгшова О.В., Барышев М.Г. Экология одежды // Экология-2004 — море и человек: материалы III Всерос. науч. конф. Таганрог, 2004. С. 238.

65. Евдокгшова О.В., Зарецкая М.В., Павлова А.В.,Бабешко О.М.,Лозовой В.В., Бабегико В.А., Федоренко А. Г. О полуограниченных блочных элементах// Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. № 4. С. 14-19.

66. Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1974. 400 с.

67. Иванова Е.А., Индейцев Д.А., Морозов Н.Ф. К вопросу об определении параметров жесткости нанообъектов // Журнал технической физики. 2006. Т. 76. Вып. 10. С. 74-80.

68. Игумнов Л.А. Интегральные представления для голоморфных векторов теории упругости // Прикладные проблемы прочности и пластичности (Горький). 2000. № 61. С. 210-219.

69. Игумнов Л.А. Применение сингулярных операторов Михлина -Кальдерона Зигмунда к решению динамических краевых задач теории упругости // Вестн. Нижегород. ун-та. Сер. Механика. 2002. № 1. С. 72-85.

70. Иоснда К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 с.

71. Карнаухов В.Г., Кнричок И.Ф. Электротермовязкоупругость. Киев: Наукова думка, 1988. 320 с.

72. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.311 с.

73. Кочнн Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М. Наука, 1965, 426 С.

74. Купрадзе В.Д., Гегелна Т.Г., Багиелейшвгши М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976. 603 с.

75. Куренное С. С., Николаев А.Г. Первая основная задача термоупругости для сжатого сфероида с концентрической полостью // Прикладная математика и техническая физика. 2004. Т. 45. № 1. С. 92-98.

76. Липанов А.М. Метод численного решения уравнений гидромеханики в многосвязных областях// Математическое моделирование. 2006. Т.18, №12, С. 3-18.

77. Лифишц ИМ., Розг{ен1{вейг Л.Н. О построении тензора Грина для основного уравнения теории упругости в случае неограниченнойупругости анизотропной среды // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1947. Т. 17, вып. 9. С. 783—791.

78. Мазья В.Г. Интегральные уравнения теории потенциала в областях с кусочно-гладкими границами // Успехи математических наук. 1981. Т. 38, № 4. С. 229-230.

79. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. 320 с.

80. МилнорД., Уоллес Ф. Дифференциальная топология. М.: Мир, 1972. 278 с.

81. Мусий Р.С. Математическая постановка и методика решения пространственных задач электромагнитотермоупругости для сферических тел // Теоретическая и прикладная механика. 2003. № 37. С. 52-58.

82. Никифоровский В.С., Шемякин Е.И. Динамическое разрушение твердых тел. Новосибирск: Наука, СО АН СССР, 1979. 272 с.

83. Нобл Б. Метод Винера Хопфа. М.: ИЛ, 1962. 280 с.

84. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970. 256 с.

85. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. С. 872.

86. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. М.: Мир, 1986. 160 с.

87. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наукова думка, 1978. 444 с.

88. Партон В.З., Борисовский В.Г. Динамика хрупкого разрушения. М.: Машиностроение, 1988. 240 с.

89. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 470 с.

90. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 470 с.

91. Подилъчук Ю.Н. Точные аналитические решения статических задач электроупругости и термоэлектроупругости трансверсально-изотропного тела в криволинейных системах координат // Прикладная механика. 2003. Т. 39. №2. С. 14-54.

92. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. 344 с.

93. Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1966. 320 с.

94. Садовский М.А. Естественная кусковатость горной породы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 247. № 4. С. 829-831.

95. Сеницкий Ю.Г. Метод конечных интегральных преобразований. Его перспективы в исследовании краевых задач механики // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. 2003. № 22. С. 10-39.

96. Серебряков Г.Г., Коваленко М.Д., Цыбин Н.Н. О некоторых свойствах однородных решений теории упругости // Докл. РАН. 2003. Т. 388. №2. С. 193-196.

97. Тимошенко СЛ., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. 636 с.

98. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

99. Угодников А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1986. 296 с.

100. Филъштинский М.Л., Бардзокас Д. Метод граничных интегральных уравнений в проблемах дифракции электроупругих волн. Сумы: Изд-во Сумского гос. ун-та, 1999. 193 с.

101. Шинкаренко Г.А. Проекционно-сеточные аппроксимации для вариационных задач пироэлектричества. И. Дискретизация и разрешимость нестационарных задач // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. №2. С. 317-326.

102. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973. 232 с.

103. Юэ/саков А.П. Элементы теории многомерных вычетов. Красноярск: Изд-во Красноярск, гос. ун-та, 1975. 182 с.

104. Allik Н., Hughes T.J.R. Finite element method for piezoelectric vibration // Intern. J. Numer. Meth. Eng. 1970. Vol. 2. № 2. P. 151-157.

105. ANSYS. Theory Ref. Rel. 5.4 / Ed. P. Kothnke / ANSYS Inc. Houston, 1997.

106. ATILA. Finite-element code for piezoelectric and magnetostrictive trans ducer and actuator modeling. V.5.1.1. User's Manual. / Lille Cedex (France): ISEN, 1997.

107. Blacker T.D., Meyers R. Seams and wedges in plastering: A 3-d hexahedral mesh generation algorithm 11 Engineering with Computers. 1993. Vol. 2. P. 8393.

108. Charles L. Lawson. Software for CI Surface Interpolation // Mathematical Software III / ed. J.R. Rice. N.Y.: Acad, press, 1977. P. 161-194.

109. Cheung Y.K., Jin W.G., Zienkewicz O.C. Solution of Helmholtz equation by Trefftz method // Intern. J. Numer. Methods Eng. 1991. Vol. 32. P. 53-68.

110. Evdokimova O.K., Barishev M.G., Evdokimov S.M. On the possibility of developing safe and healthful clothes // Environmental Problems and Ecological Safety: Proceeding of the Workshop. Wiesbaden, 2004. p. 70-72.

111. Kobayashi S., Nishimura N. Green's tensors for elastic half-spaces: An application of boundary integral equation method // Mem. Faculty Eng. Kyoto Univ. 1980. Vol. 42. P. 228-241.

112. Krishnasamy G., Echmerr L.W., Rudolphi T.J., Rizzo F.J. Hypersingular boundary integral equation: Same applications in acoustic and elastic wave scattering // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1990. Vol. 57, № 2. P. 404-414.

113. Pan E. Three-dimension Green's functions in anisotropic elastic bimaterials with imperfect interfaces // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2003. Vol. 70. № 2. P. 180-190.

114. Pan E. Three-dimension Green's functions in anisotropic half-space with general boundary conditions // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2003. Vol. 70. № l.P. 101-110.

115. Pan E., Tonon F. Three-dimensional Green's function in anisotropic piezoelectric solids // Intern. J. Solids Struct. 2000. Vol. 37. P. 943-958.

116. Stephan E.P. Boundary integral equations for screen problems in R3 // Integral Equations Operator Theory. 1987. Vol. 10. P. 236-257.

117. Stone G.O. High-order finite elements for inhomogeneous acoustic guiding structures // IEEE Trans, on Microwave Theory and Techn. 1973. Vol. MTT-21. P. 538-542.

118. Teixeira de Freitas J.A., Cismasiu C. Hybrid-Trefftz displacement element for spectral analysis of bounded and unbounded media // Inern. J. Solid and Structure. 2003. Vol. 40, № 3. P. 671-699.

119. Vogel S.K., Rizzo F.J. An integral equation formulation of three dimensional anisotropic elastostatic boundary value problem // J. Elastisity. 1973. Vol. 3. P. 203-216.

120. Wilson R.B., Cruse T.A. Efficient implementation of anisotropic three dimensional boundary-integral equations. Stress analysis // J.for Numer. Meth. In Eng. 1978. Vol. 12. P. 1383-1397.

121. Wiener N., Hopf E. Uber eine Klasse singularer Integralgleichungen, S. B. Preuss. Acad. Wiss, 1932. P. 696-706.

122. Zhang Ch., Achenbach J.D. A new boundary integral equation formulation for elastodynamic and elastostatic crack analysis // J. of Appl. Mechanics. 1989. Vol. 56, № 2. P. 284-290.