Исследование влияния разломов на напряженно-деформированное состояние литосферных плит тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Колесников, Максим Николаевич

• Колесников, Максим Николаевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Колесников, Максим Николаевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

1 МЕТОДЫ ФАКТОРИЗАЦИИ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ И РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ

1.1 Основные методы факторизации функций и матриц-функций

1.2 О применении метода Винера - Хопфа к решению некоторых функциональных уравнений

1.3 Дифференциальный метод факторизации

1.4 Особенности топологического подхода в теории блочных структур при наличии разноразмерных блоков

2 ЗАДАЧА ОБ УСТАНОВИВШИХСЯ КОЛЕБАНИЯХ ДВУХ ПЛАСТИН НА ПОВЕРХНОСТИ УПРУГОЙ СРЕДЫ

2.1 Метод решения, связанный с преобразованием дифференциального оператора

2.2 Метод собственных функций

3 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ВЕРТИКАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПЛАСТИН НА УПРУГОМ СЛОЕ

3.1 Решение задачи методом, связанным с преобразованием дифференциального оператора

3.2 Решение задачи о вертикальных колебаниях пластин методом собственных функций

3.3 Результаты расчетов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование влияния разломов на напряженно-деформированное состояние литосферных плит»

ВВЕДЕНИЕ

Создание теоретической базы и методов обработки данных наблюдений, направленных на прогнозирование землетрясений и техногенных катастроф, относится к фундаментальным задачам сейсмологии и геофизики.

Различными вопросами теории распространения сейсмических волн и моделирования сейсмических процессов в земной коре занимались В.В. Адушкин, К. Аки, A.C. Алексеев, А.О. Глико, Л.В. Канторович, Б.В. Костров, В.В. Кузнецов, C.B. Медведев, A.B. Николаев, В.Ф. Писаренко, П. Ричарде, В.Н. Родионов, У.Ф. Саваренский, М.А. Садовский, Л.Е. Собисевич, А.Л. Собисевич, Ю.К. Чернов [1 - 20], A. Ben-Menahem, J.D. Byerlee, J.H. Dieterich, С. Marone, J.R. Rice, C.H. Scholz, а также другие ученые [21 — 31]. В области сейсморазведки и методов исследования структуры верхней литосферы важные результаты получены Е.В. Гальпериным, Г.А. Гамбурцевым, Ю.В. Ризниченко [32, 33].

В результате многолетних исследований создано множество различных моделей сейсмичности, разработаны теоретические и экспериментальные подходы к решению проблемы прогнозирования землетрясений. Однако эта проблема до сих пор остается нерешенной, что свидетельствует как о ее высокой сложности, так и о необходимости комплексного использования не только методов геофизики, но и смежных дисциплин - геохимии, физики атмосферы, механики деформируемого твердого тела.

Учеными Кубанского государственного университета и Южного научного центра РАН развивается метод применения механики деформируемого твердого тела для оценки напряженности литосферных плит и на этой основе оценки сейсмического состояния территорий. С точки зрения механики деформируемого твердого тела литосферные плиты могут моделироваться горизонтально протяженными или неограниченными трехмерными слоисто-блочными структурами, подвергающимися различного рода динамическим воздействиям. При этом подобная структура может содержать множествен-

ные разломы, неоднородности, включения, иметь оболочки. Исследование задач для сред описанного вида требует использования методов механики контактных взаимодействий.

Исследованию контактных задач посвящены работы таких авторов, как В.М. Александров, Б.Д. Аннин, Н.Х. Арутюнян, В.А. Бабешко, В.Г. Баженов, A.B. Белоконь, А.К. Беляев, Н.М. Бородачев, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Б.М. Глинский, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, Р.В. Гольдштейн, А.Г. Горшков, И.Г. Горячева, В.Т. Гринченко, А.Н. Гузь, В.И. Дунаев, О.В. Евдокимова, В.И. Ерофеев, М.В. Зарецкая, В.В. Зозуля, JI.A. Игумнов, М.А. Ильгамов, Д.А. Индейцев, В.В. Калинчук, В.И. Колесников,

A.M. Кривцов, В.А. Крысько, В.Д. Купрадзе, С.А. Лурье, A.B. Манжиров,

B.П. Матвиенко, Н.Ф. Морозов, В.И. Моссаковский, С.М. Мхитарян, Н.И. Мусхелишвили, A.B. Наседкин, В. Новацкий, В.В. Новожилов, A.B. Павлова, В.В. Панасюк, Ю.В. Петров, Г.Я. Попов, О.Д. Пряхина,

A.Ф. Резчиков, B.C. Саркисян, В.М. Сеймов, Б.И. Сметанин, A.B. Смирнова, Т.В. Суворова, Д.В. Тарлаковский, Ю.А. Устинов, Я.С. Уфлянд, Л.А. Филыптинский, М.И. Чебаков, Г.П. Черепанов, Е.И. Шемякин, Ю.Г. Яновский, J.D. Achenbach, W.M. Ewing, D. Gross, W.S. Jardetzky, H. Jeffreys, M. Lowengrub, M.J.P. Musgrave, Ch. Zhang и др. Более полные обзоры работ, посвященных исследованиям динамических контактных задач, приведены в монографиях [34 - 45].

Развитием методов исследования краевых задач для уравнений математической физики, описывающих поведение и свойства деформируемых тел, занимались И.Н. Векуа, М.И. Вишик, B.C. Владимиров, И.И. Ворович, Л.В. Канторович, М.Г. Крейн, В.Д. Купрадзе, О.Н. Ладыженская,

B.П. Маслов, В.П. Матвиенко, С.Г. Михлин, В.П. Михайлов, Н.Ф. Морозов,

C.Л. Соболев, Е. Hopf, M. Nagumo, В. Noble, L. Nirenberg и многие другие ученые.

В масштабах Земли литосферные плиты могут рассматриваться как покрытия сравнительно малой толщины, в более мелкомасштабных моделях их

можно моделировать горизонтально протяженными упругими телами с покрытиями.

Исследованием смешанных задач для сред с покрытиями занимались

B.М. Александров, С.А. Амбарцумян, И.Н. Векуа, A.C. Вольмир, И.И. Ворович, A.JI. Гольденвейзер, Е.В. Коваленко, А.И. Лурье,

C.М. Мхитарян, A.B. Павлова, Б.Л. Пелех, Г.И. Петрашень и другие авторы [46-51].

Данные сейсмических наблюдений, полученные за последние десятилетия, показывают, что большинство очагов сильных землетрясений располагается вблизи глобальных разломов литосферных плит, составляющих земную кору, однако сейсмические события происходят и в равнинно-платформенных областях [23]. Следовательно, разломы относительно малой мощности также оказывают определенное влияние на общую картину сейсмических событий. Этот факт во многом обусловил повышение интереса исследователей к изучению структуры верхней части коры Земли и изменений ее напряженно-деформированного состояния.

Сегодня ведутся активные исследования и уже получены значительные результаты в рамках моделей, основанных на представлении о слоисто-блочном строении земной коры, обоснованном в работах М.А. Садовского [14-17, 55]. Позиция академика М.А. Садовского в значительной мере инициировала развитие нового подхода к исследованию актуальной проблемы нарастания сейсмичности и возникновения сейсмических событий. Этот подход состоит в поиске зон концентрации напряжений в структурах литосферы. Однако сложность строения и разнородность свойств литосферных плит, отсутствие сведений о характере их взаимодействия на разломах делают эту проблему весьма сложной для анализа традиционными методами. Наиболее перспективными в этих задачах оказались факторизационные методы, восходящие к работам Н. Винера и успешно развиваемые с привлечением современной математики в ряде российских научных центров. Разработкой факто-ризационных методов, математической теории блочных структур занимались

ученые Кубанского государственного университета и Южного научного центра РАН, и на сегодняшний день основы их можно считать построенными [56 - 64 и др.].

В работах В. А. Бабешко, О.М. Бабешко, О.В. Евдокимовой, М.В. Зарецкой, A.B. Павловой, A.C. Мухина, В.В. Лозового и других авторов исследуются различные стороны процессов нарастания сейсмичности, протекания сейсмических событий. В частности, значительное внимание уделено вопросу математического описания блочными структурами реальных моделей глубинного строения Земли, литосферных плит и сопутствующих разломов. Однако не до конца решенным остается вопрос прохождения сейсмических волн через разломы. Наличие разломов литосферных плит нередко пытаются выявить бурением. Следует отметить, что эта задача остро стоит в строительной отрасли. Однако такой способ носит локальный характер и может не дать достаточно надежных результатов. Развиваемый в диссертации подход основан на возможности использования для этих целей передвижных вибросейсмоисточников, производящих моносигналы на определенных частотах, принимаемые на различных расстояниях. Таким образом, по дефекту приходящего сигнала выявляется наличие разломов. В то же время немаловажен и вопрос о характере взаимодействия берегов разломов в зонах контакта - с трением, свободных, сцепленных и т.д.

Диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию динамики литосферных плит, содержащих разломы, путем достаточно достоверного, с учетом масштабов, моделирования их структур двумерными пластинами на трехмерной упругой подложке, разработке методов исследования напряженно-деформированного состояния описанных структур, изучению влияния на их динамику характеристик разломов и свойств элементов структуры.

Актуальность выполненной диссертационной работы определяется необходимостью: разработки надежных методов диагностики разломов и по возможности определения типов контакта литосферных структур в этих об-

ластях, развития механико-математического аппарата для исследования и решения проблем анализа и прогнозирования сейсмических событий, позволяющего учитывать сложное строение геологической среды.

Целью диссертационного исследования является:

- разработка факторизационного метода для исследования взаимодействия литосферных плит в области контакта на прямолинейном разломе, позволяющего преодолеть трудности традиционно применяемых методов;

- математическое моделирование динамики контактирующих литосферных плит, находящихся под действием поверхностной нагрузки;

- выявление закономерностей, связанных с влиянием разлома на напряженно-деформированное состояние контактирующих литосферных плит, а именно с влиянием таких факторов, как характеристики контактирующих плит, свойства подложки, характер взаимодействия литосферных плит на разломе.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

- решение задачи о колебаниях контактирующих по прямой пластин на поверхности упругой подложки;

- проведение расчетов и анализ полученных результатов при варьировании характеристик одной из пластин при различных условиях на стыке пластин;

- проведение расчетов и анализ полученных результатов при изменении свойств подложки при различных условиях на стыке пластин.

Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечиваются использованием строгих математических методов и сравнением результатов, полученных автором, с уже известными, полученными другими методами.

Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем:

- предложен новый эффективный метод исследования смешанных граничных задач описанного типа, позволяющий проводить анализ решений

при различных условиях в области контакта для прямолинейных разломов, что вызывало существенные трудности при использовании других подходов;

- детально исследовано взаимодействие разнотипных литосферных плит, моделируемых пластинами Кирхгофа, расположенными на трехмерной подложке, и впервые получена информация о влиянии неоднородности структур, свойств подложки и характера взаимодействия плит на разломе на волновое поле, формируемое под воздействием поверхностного источника;

- представлены результаты решения целого ряда частных задач, имеющих практическое значение.

Научное и практическое значение и реализация результатов, полученных в данной работе, состоят в следующем:

- сделанные выводы о влиянии характера разлома и свойств литосферных плит на развитие волнового процесса в геологической среде могут быть применены для исследования структуры разломов в верхней части земной коры;

- полученные научные результаты являются новыми и служат развитию математических методов исследования напряженно-деформированного состояния сред, имеющих сложное строение;

- результаты исследования и сделанные выводы о влиянии разнотипности литосферных плит, характера их взаимодействия и типа подложки могут использоваться в сейсмологии для анализа напряженно-деформированного состояния геологических структур, а также применяться для диагностики дефектов покрытий конструкционных материалов.

Диссертационная работа выполнялась в рамках проекта ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (соглашение № 14.В37.21.0869 от 06.09.2012 г. по теме «Развитие метода блочных элементов для оценки резонансных свойств тел и конструкций сложного строения»). На практическую значимость исследований указывает также поддержка их грантами РФФИ: 13-01-00132_а, 13-01-96503_р-юг-а, 13-01-96505_р-юг-а, 13-01-96508_р-юг-а.

Диссертация состоит из введения, списка использованных обозначений, трех глав, заключения и списка использованной литературы.

В первой главе излагаются основные свойства и методы, используемые для решения поставленной задачи, приводится обзор сведений, дающих представление о месте диссертационной работы в рамках развития фактори-зационных методов и математической теории блочных структур, созданных в Кубанском государственном университете и Южном научном центре РАН.

В первом параграфе анализируются основные свойства факторизации функций и матриц-функций, рассматривается метод приближенной факторизации функций, а также приводятся некоторые сведения о практически значимых возможностях факторизации матриц-функций.

Во втором параграфе излагается алгоритм применения метода Винера - Хопфа для решения некоторых функциональных уравнений, встречающихся в данной работе.

В третьем параграфе на примере краевой задачи общего вида дается алгоритм применения дифференциального метода факторизации.

В четвертом параграфе на примере структуры в виде пластины, контактирующей с трехмерной подложкой, описываются особенности топологического подхода в теории блочных структур при наличии разноразмерных блочных элементов. В частности, рассматриваются псевдодифференциальные уравнения, полученные топологическим методом и описывающие взаимосвязь напряжений и перемещений для разломов любой формы и кривизны, допускающие введение блочной структуры в широком спектре локальных систем координат.

Во второй главе обсуждается вопрос о поведении литосферных плит при наличии разломов прямолинейной формы. На практике чаще всего встречаются разломы, на большом протяжении имеющие именно такую форму. На рис. 1 представлены разломы на территории Краснодарского края, которые в большинстве своем являются прямолинейными.

Рис. 1. Тектонические разломы территории Краснодарского края

Применение для исследования поставленной задачи сложного математического аппарата, основанного на топологических методах первой главы, оказалось нецелесообразным. Поэтому в диссертации разработан новый фак-торизационный подход, более эффективный, чем технически громоздкий топологический, при исследовании граничной задачи с разломами при их прямолинейной геометрии. Этот подход не только необходим для получения достаточно простых выражений параметров решения задачи, но и полезен в качестве контрольного при тестировании решений, построенных топологическим методом для разломов сложной формы. Предложенным новым методом решена задача об установившихся колебаниях двух граничащих пластин, занимающих полуплоскости на поверхности упругой подложки, под воздействием поверхностной нагрузки, заданной в некоторой ограниченной области.

Далее описываются два подхода к решению поставленной задачи. В первом параграфе рассматривается подход, связанный с преобразованием (нормализацией) возникающих систем интегральных уравнений с помощью выноса из них дифференциального оператора определенного вида.

Во втором параграфе дается другой подход к решению поставленной задачи, названный методом собственных функций, более эффективный, чем

приведенный в первом параграфе. В отличие от традиционно используемых методов при исследовании задач описанного типа, связанных с выносом из интегрального уравнения некоторого дифференциального оператора, приводящим к появлению произвольных функций или констант в правой части, в диссертации разработан эффективный метод, значительно упрощающий получение корректного интегрального уравнения и удовлетворение граничным условиям.

В третьей главе разработанные методы применены для решения ряда конкретных задач. Рассмотрена задача о вертикальных колебаниях описанной структуры в плоском случае. В качестве внешних воздействий задана сосредоточенная в точке Ху = > 0 нагрузка интенсивностью А > 0.

В первом параграфе решение осуществляется с помощью изложенного в первом параграфе второй главы метода, связанного с преобразованием дифференциального оператора.

Во втором параграфе решение задачи о вертикальных колебаниях пластин осуществлялось методом собственных функций, изложенным во втором параграфе второй главы.

Результаты расчетов, полученные двумя представленными методами, совпали.

В третьем параграфе делаются выводы о влиянии типа контакта пластин на границе, характеристик пластин и свойств подложки на распространение сигнала в рассматриваемой структуре, а также о возможностях применения полученных результатов для диагностики разломов. Приводятся графики построенных решений.

Публикации. Основное содержание и результаты исследований, проделанных в рамках работы над диссертацией, отражены в 15 публикациях, в том числе 6 публикациях, вышедших в изданиях, рекомендованных ВАК для опубликования основных научных результатов диссертационных исследований на соискание ученой степени кандидата наук. В указанных публикациях

основные идеи постановок задач и методы их исследования разрабатывались совместно с научным руководителем В.А. Бабешко и соавторами.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю В.А. Бабешко за определение направления диссертационного исследования, постановку задач и обсуждение результатов.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

Приведем ряд обозначений используемых в работе.

К - вещественная прямая.

сг - контур в комплексной плоскости, совпадающий с вещественной прямой за исключением отрезка конечной длины, и выбираемый в соответствии с принципом предельного поглощения.

Я + ¿с - прямая т = с в комплексной плоскости а = £ + гт.

сг + к - контур, получаемый посредством сдвига контура сг параллельно мнимой оси на величину се Я.

®я+?с ~ пол°са с<х <(1 в комплексной плоскости а = £ + и.

©^ - область, заключенная между контурами сг + /с и сг + и/, с < с1, такую область в дальнейшем иногда будем называть криволинейной полосой.

0*+,с - полуплоскость т > с в комплексной плоскости а = £ + /г.

0Л+!С - полуплоскость т < с в комплексной плоскости а = £ + 1т.

0'+,с - область комплексной плоскости лежащая выше контура сг + /с.

0^+!С - область комплексной плоскости лежащая ниже контура сг + 1с.

[¥)±сг{а1,а2) - слагаемые, получаемые в результате факторизации вектор-функции ¥(ах,а2) в виде суммы по параметру ах относительно контура сг и регулярные при «,60', а2еЯ.

М+ (ара2) - множители, получаемые в результате правосторонней либо левосторонней факторизации матрицы-функции М(а19а2) в виде произведения по параметру ах относительно контура сг, регулярные и не имеющие нулей при ах е 0', а2е Я.

00

V(«)[/(*)]= | /(х)е'ах4х = Р(а) - преобразование Фурье функции

—00

/М-

Nx(x)\_F(a)^ = —^F(a)elaxda = f(x) - обратное преобразование

<7

Фурье функции Р(а).

00 00

У2(а1,а2)[/(х1,х2)] = \ \/(х1,х2)е'{ал+ал^х2^Р(а1,сс2) - двумер-

—О0 —00

ное преобразование Фурье функции /(х,,х2).

1 00

У2_1 ' *2 )[/(«1»«2)] = / /^(«I»«2)= / > *2 ) -

—со сг

обратное двумерное преобразование Фурье функции предполага-

ется, что параметр ^ находится на вещественной оси, а а2 изменяется в комплексной плоскости.

00

У22(х1,а2)[/(х1,х2)~^=^/(х1,х2)е,а1Х2Лх2 = /(х1,а2) - преобразование

-оо

Фурье функции двух переменных /(х1,х2) по второй переменной.

У2"11(х,,а2)[^(ог1,«2)] = — [р^а^а^е''"1*^^ з/(х1,а2) - обратное

<7

преобразование Фурье функции двух переменных по первой пере-

менной.

оо оо оо

У3(а1,а2,а3)\_/(х1,х2,х3)] = | | |/,х2,х3)е{-ал+агХг+агХ1^ххйх2йх3 =

—оо —оо —оо

з /^(арС^оТз) - трехмерное преобразование Фурье функции /(х1,х2,х3).

| оо оо —00 —00 0"

= /(х1,х2,х3) - обратное трехмерное преобразование Фурье функции Р {ах,а2,а3), предполагается, что параметры а{, а2 находятся на вещественной оси, а а3 изменяется в комплексной плоскости.

1 МЕТОДЫ ФАКТОРИЗАЦИИ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

И РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ

1.1 Основные методы факторизации функций и матриц-функций

Для динамических смешанных задач механики сплошных сред особый интерес представляет факторизация функций Р(а) и матриц-функций А(а) комплексной переменной а = С, + и имеющих конечное число вещественных особых точек. Т.е. функция Р{а) или элементы матрицы-функции А(#) регулярны не в полосе содержащей вещественную ось, а в некоторой криволинейной полосе (рис. 2).

Определение [35]. Факторизацией функции F(a) в виде суммы относительно контура ст называется её представление в виде

г

сг+/г+

а

Рис. 2. Область регулярности функции Р{а), имеющей вещественные особые точки, и контур <7

Теорема 1 [35]. Пусть F [ее) - аналитическая функция переменной а = Ç + ir, регулярная в области и такая, что |F + /г)| < , р > О

при —>оо, причем данное неравенство выполняется равномерно при т_+£<т<т+-£, £>0. Тогда F (а) может быть факторизована в виде суммы относительно контура сг и при т_<с<т <d <т+ справедливо представление

где функции {.F}* (а) регулярны в указанных областях.

Интегралы в выражениях для {i7}* [а) в случае голоморфной функции Fia) зачастую могут быть найдены с использованием теории вычетов. Так, если контур интегрирования a + ic в выражении {F}* (а) может быть замкнут в нижнюю комплексную полуплоскость, и функция F (а) в качестве

особых точек, лежащих в области 1С имеет только полюсы р., } = 1, Nр_ или нули, может быть найдена с использованием теории вычетов в

виде

1 г F(¿)

= ^ J nSld^-fi-—. (1.1.1)

2ni {. E-a м a-V¡

U+IC ~ J~l ' J

Аналогично, если контур интегрирования a + id в выражении может быть замкнут в верхнюю комплексную полуплоскость, и функция F(a) в качестве особых точек, лежащих в области имеет только полюсы p+j, j = l,Np+ или нули, (а) может быть представлена в виде

Х ' 2т-а % а-р* К

Заметим, что в качестве контура а при отсутствии у факторизуемых функций вещественных особых точек, в частности, может рассматриваться и вещественная ось И.

Рассмотрим преобразование Фурье /''(а) функции /(х)е ^(-00,00) с

носителем на положительной полуоси, имеющей лишь конечное число разрывов и на каждом конечном отрезке имеющей конечное число максимумов и минимумов

-Юо +оо

?(<*)= ¡/(х)ешЧх= \ ¡{х)е1Сх-тхйх. о о

Функция Р[а) является регулярной в верхней комплексной полуплоскости 0* и непрерывной вплоть до границы функцией, т.е. F(a) = {F}*(a) [65]. Аналогично, преобразование Фурье функции ^(лг)е/1(-оо,оо) обла-

дающей теми же свойствами с носителем на отрицательной полуоси является регулярной в нижней комплексной полуплоскости 0* и непрерывной вплоть

до границы функцией, т.е. О (а) = (а)

о о

в(а)= | 8{х)еШхйх= | §(х)е1Сх~тхс1х.

—СО —00

Определение [35]. Факторизацией функции Н {а) в виде произведения относительно контура сг называется её представление в виде

Н{а) = Щ(а)Н°_(а),

где Н+{а) - регулярные и не имеющие нулей, соответственно, в областях 0£, и непрерывные функции, включая границу, в т.ч. и на бесконечности.

Теорема 2 [35]. Если функция 1п Н(а) переменной а = £ + 1т удовлетворяет условиям теоремы 1 (т.е. Н{а) - аналитическая функция а = £ + п

регулярная и не имеющая нулей в области и такая, что

|Н + ¿г) -1| < С\£\ р, р > О при -> оо, причем данное неравенство выполняется равномерно при т_ +е<т<т+ -в, £>0), тогда функция Н(а) допускает каноническую факторизацию в виде произведения относительно контура сг и функции Щ(а) и (а) регулярны, ограничены и не имеют

нулей в областях и соответственно.

В условиях Теоремы 2 множители Щ(а) могут быть найдены в следующем виде

Я:(а) = ехр({ЬЛ£(а)), (1.1.3)

где

Замечание. При факторизации функции в виде суммы или произведения целесообразно находить ту из составляющих, которая вычисляется проще, а другую составляющую получать вычитанием или делением, соответственно, исходной функции.

Вычисление интегралов по контурам сг + гс, сг + 1(1 при факторизации относительно контура сг является задачей более сложной, чем вычисление интегралов по прямым Я + ¿с, Я + и/ при факторизации относительно вещественной оси. В связи с этим рассмотрим способ сведения факторизации функций в виде произведения относительно контура сг к факторизации относительно вещественной оси [37].

Пусть функция Н(а) регулярна и не имеет нулей в криволинейной

полосе , г_ <0, т+ >0, а в полосе =>0™у в качестве особых точек имеет лишь одинаковое конечное число положительных и отрицательных вещественных полюсов, нулей и точек ветвления типа нулей радикалов. Обозначим через вещественные особые точки функции Н(а), принадлежа-

щие, соответственно, областям Построим функцию П(а), имеющую такие же вещественные особые точки, что и функция Н (а)

П(а) = Ц{а-р+кУ{а-р-к)\

Здесь числа г/ соответствуют порядку нулей, полюсов и точек ветвления р\ (г/ - целое положительное если р\ - ноль, целое отрицательное если р\ -полюс, и дробное если рк - точка ветвления). Тогда функция Н{а) может быть представлена в виде произведения

Н(а) = Н(а)11(а), (1.1.4)

где Н(а) регулярна и не имеет нулей в полосе . Таким образом, если

построена факторизация функции Н(а) в виде произведения относительно вещественной оси

Й(а) = Н«(а)Н"_{а), то факторизация Н(а) в виде произведения относительно контура сг

н(а) = н°(а)н:(а)

определяется соотношениями

н:(а) = Й«(а)Щ(а),

где Щ(а) = Ц(а-Р±к)Г' . (к)

На практике зачастую достаточно ограничиться приближенной факторизацией функций, в связи с этим рассмотрим способ аппроксимации функции Н{а) рациональной.

Рассмотрим функцию Н(а) регулярную и не имеющую нулей в некоторой полосе , содержащей вещественную ось, и обладающую асимптотическим поведением Н [а] = 1 + О (а~т ), а -» ±оо, т > 0.

Функция н(а) представляется в виде Н (а) = Нх (а) + аН2 (а), где 2Н1(а) = Н(а) + Н(-а); 2аН2(а) = Н(а)-Н(-а). Поскольку функции Нх(а) и Н2(а) являются четными, на положительной полуоси вводится замена переменной

а = \^->О, А>0, уе[0,1], « е[0,<х>], 2а\ \1-у а +А

Получаемые в результате функции Нк(у) = Нк

\А2у

[1 -у

Л

, к = 1,2, у е[ОД], яв-

ляющиеся непрерывными на отрезке [0,1], аппроксимируются полиномами Бернштейна

к (у)=(1 - у)"'-' ■

1=0

а

В результате обратной замены переменных у = —-получаются

а + А

Г _.2 Л

функции Н*к{а) = к)

а

Ча2 + Л2у

, Н*(а) = Н1(а) + аН*(а), «е[-оо, +оо].

Число отрезков ЫА выбирается достаточно большим, чтобы выполнялись неравенства

\\(у)-К{у)\<е{1-у)Г, ^{уУЧуЪ^-уГ"' Г<§•

Тогда будет выполняться следующая оценка [37]

где х= р1"1 Таким образом, Н(а)&Н*(а) при а е[-оо,+оо].

Функция Я* (а) имеет следующий вид

К-

П(«Г

_М_

V / / -л\НА/ ч\Мл (а-1А) Л(« + *А)

где г* е©£ - нули числителя рациональной функции Я*(а); к* - их кратка К'

ности; ^к* + = 2ЛГД; причем очевидно, что при достаточно малом £,

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Колесников, Максим Николаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В результате диссертационного исследования разработан новый фак-торизационный метод решения смешанных краевых задач для структур в виде пластин, граничащих по прямой, на трехмерной упругой подложке, позволяющий более эффективно по сравнению с традиционно применяемыми методами проводить анализ решений при различных условиях в области контакта. Разработанный метод был назван методом собственных функций.

2. На основе представленных факторизационных методов - метода связанного с преобразованием дифференциального оператора и метода собственных функций разработаны алгоритмы их применения. Приведены результаты численной реализации разработанных алгоритмов для ряда задач, моделирующих динамику контактирующих литосферных плит, находящихся под действием поверхностной нагрузки. Результаты расчетов, полученные двумя представленными методами, совпали, что свидетельствует об их достоверности, при этом очевидным оказалось преимущество нового метода.

3. Установлено, что разработанный метод может служить для получения контрольных данных при проверке результатов расчетов, полученных на основе технически более сложного топологического метода, используемого для более сложных конфигураций среды.

4. По результатам проведенных исследований выявлен характер распространения гармонического сигнала в описанной структуре для разнотипных и однотипных пластин при различных условиях контакта и свойствах подложки. Выявлены конфигурации прохождения гармонического сигнала непосредственно на разломе, которые могут служить индикатором типа разлома.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Колесников, Максим Николаевич, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Адушкин, В.В. Техногенные процессы в земной коре (опасности и катастрофы) / В.В. Адушкин, С.Б. Трунтаев. - М.: ИНЭК, 2005. - 252 с.

2. Адушкин, В.В. Актуальные проблемы геомеханики земной коры / В.В. Адушкин // Вестник ОГТТН. - 2001. - № 1(16). - С. 1-32.

3. Аки, К. Количественная сейсмология. Теория и методы: в 2 т. / К. Аки, П. Ричарде. - М.: Мир, 1983. - 876 с.

4. Алексеев, A.C. О концепции многодисциплинарного прогноза землетрясений с использованием интегрального предвестника / A.C. Алексеев,

A.C. Белоносов, В.Е. Петренко // Проблемы динамики литосферы и сейсмичности. Вычислительная сейсмология. - М.: ГЕОС, 2001. - Вып. 32. - С. 81-97.

5. Канторович, Л.В. Статистическая модель сейсмичности и оценка основных сейсмических эффектов / Л.В. Канторович, Г.В. Молчан, Е.В. Вилькович, В.И. Кейлис-Борок // Известия АН СССР. Физика Земли. 1970.-№5. -С. 85-102.

6. Костров, Б.В. Механика очага тектонического землетрясения / Б.В. Костров. - М.: Наука, 1975. - 176 с.

7. Кузнецов, В.В. Физика горячей Земли / В.В. Кузнецов. - Новосибирск: Наука, 2000. - 365 с.

8. Кузнецов, В.В. Физика земных катастрофических явлений /

B.В. Кузнецов. - Новосибирск: Наука, 1992. - 96 с.

9. Медведев, C.B. Инженерная сейсмология / C.B. Медведев. -М.: ГОССТРОЙ СССР, 1962. - 284 с.

Ю.Николаев, A.B. Проблемы нелинейной сейсмики // Проблемы нелинейной сейсмики / под ред. A.B. Николаева, И.Н. Галкина. - М.: Наука, 1987. -С. 5-20.

П.Николаев, A.B. Развитие нетрадиционных методов в геофизике // Физические основы сейсмического метода / A.B. Николаев. - М.: Наука, 1991.-С. 5-17.

12.Родионов, H.B. Очерк геомеханики / H.B. Родионов. - М.: Научный мир, 1996. - 64 с.

13.Саваренский, Е.Ф. Сейсмические волны / Е.Ф. Саваренский. -М.: Недра, 1972. - 292 с.

14.Садовский, М.А. Естественная кусковатость горной породы / М.А. Садовский // Доклады АН СССР. - 1979. - Т. 247, № 4. - С. 829-831.

15.Садовский, М.А. О распределении размеров твердых отдельностей / М.А. Садовский // Доклады АН СССР. - 1983. - Т. 269, № 1. - С. 69-72.

16.Садовский, М.А. Деформирование геофизической среды и сейсмический процесс / М.А. Садовский, Л.Г. Болховитинов, В.Ф. Писаренко. -М.: Наука, 1987. - 104 с.

17.Садовский, М.А. Блоковая тектоника литосферы / М.А. Садовский, Л.И. Красный // Доклады АН СССР. - 1986. - Т. 287, № 6. - С. 1451-1454.

18.Собисевич, A.JI. Мониторинг слоистых неоднородных сред / А.Л. Собисевич. - М.: ОИФЗ РАН, 2001. - 354 с.

19.Собисевич, Л.Е. Волновые процессы и резонансы в геофизике / Л.Е. Собисевич, А.Л. Собисевич. - М.: ОИФЗ РАН, 2001. - 299 с.

20.Чернов, Ю.К. Сильные движения грунта и количественная оценка сейсмической опасности территории / Ю.К. Чернов. - Ташкент: Изд-во ФАН, 1989. - 296 с.

21.Карлович, И.А. Геология / И.А. Карлович. - М.: Академический проект, 2002. - 704 с.

22.Касахара, К. Механика землетрясений / К. Касахара. - М.: Мир, 1985.-262 с.

23.Кузьмин, Ю.О. Современные суперинтенсивные деформации земной поверхности в зонах платформенных разломов / Ю.О. Кузьмин // Геологическое изучение и использование недр: Информ. сб. - М.: Наука, 1996. -Вып. 4. - С. 43-53.

24.Назаров, А.Г. Основы количественного определения интенсивности сильных землетрясений / А.Г. Назаров, С.С. Дарбинян. - Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1974.-286 с.

25.Притчетт, У. Получение надежных данных сейсморазведки / У. Притчетт. - М.: Мир, 1999. - 450 с.

26.Райс, Дж. Механика очага землетрясения / Дж. Райе. - М.: Мир, 1982.-216 с.

27.Уланов, В.И. Динамика земной коры Средней Азии и прогноз землетрясений / В.И. Уланов. - Ташкент: Изд-во ФАН, 1974. - 216 с.

28.Ben-Menahem, A. Seismic waves and sources / A. Ben-Menahem, S.J. Singh. - New York: Springer-Verlag, 1981. - 1108 p.

29.Brown, S.R. A simplified spring-blocks model of earthquakes / S.R. Brown, C.H. Scholz, J.B. Rundle // Geophys. Res. Lett. - 1991. - Уо1. 18, №2.-P. 215-218.

30.Ding, E.J. Analytical treatment for a spring-blocks model / E.J. Ding, Y.N. Lu // Phys. Rev. Lett. - 1993. - Vol. 70, № 23. - P. 3627-3630.

31.Dmowska, R. Fracture Theory and its seismological applications. Continuum theories in solid earth physics / R. Dmowska, J.R. Rice // PWN-Polish Scientific Publishers. - Warsawa. - 1986. - P. 187-255.

32.Ризниченко, Ю.В. Проблемы сейсмологии / Ю.В. Ризниченко. -М.: Наука, 1985.-408 с.

33.Ризниченко, Ю.В. Сейсморазведка слоистых сред / Ю.В. Ризниченко. - М.: Недра, 1985. - 184 с.

34.Арутюнян, Н.Х. Контактные задачи теории ползучести / Н.Х. Ару-тюнян, А.В. Манжиров. - Ереван: НАН, 1999. - 320 с.

35.Бабешко, В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости / В.А. Бабешко. -М.: Наука, 1984. - 265 с.

36.Бабешко, В.А. Динамика неоднородных линейно-упругих сред / В .А. Бабешко, Е.В. Глушков, Ж.Ф. Зинченко. - М.: Наука, 1989. - 344 с.

37.Ворович, И.И. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей / И.И. Ворович, В.А. Бабешко. - М., 1979. -320 с.

38.Ворович, И.И. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах / И.И. Ворович, В.А. Бабешко, О.Д. Пряхина. -М.: Научный мир, 1999. - 248 с.

39.Горшков, А.Г. Динамические контактные задачи с подвижными границами / А.Г. Горшков, Д.В. Тарлаковский. - М.: Наука, 1995. - 352 с.

40.Калинчук, В.В. Динамика поверхности неоднородных сред / В.В. Калинчук, Т.И. Белянкова. - М.: Физматлит, 2009. - 312 с.

41.Калинчук, В.В. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных тел /В.В. Калинчук, Т.И. Белянкова. - М.: Физматлит, 2002.-240 с.

42.Калинчук, В.В. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных электроупругих тел /В.В. Калинчук, Т.И. Белянкова. -М.: Физматлит, 2006. - 272 с.

43.Ворович, И.И. Механика контактных взаимодействий / под ред. И.И. Воровича, В.М. Александрова. - М.: Физматлит, 2001. - 672 с.

44.Моссаковский, В.И. Контактные задачи математической теории упругости / В.И. Моссаковский, Н.Е. Качаловская, С.С. Голикова. - Киев: Нау-кова думка, 1985. - 250 с.

45.Alexandrav, V.M. Three-dimensional contact problems / V.M. Alexan-drov, D.A. Pozharskii. - Dortrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers, 2001.-406 p.

46.Александров, В.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками / В.М. Александров, С.М. Мхитарян. - М.: Наука, 1983. -487 с.

47.Векуа, И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек / И.Н. Векуа. - М.: Наука, 1982. - 288 с.

48.Вольмир, A.C. Гибкие пластинки и оболочки / A.C. Вольмир. -М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. -419 с.

49.Вольмир, A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / A.C. Вольмир. - М.: Наука, 1972. - 432 с.

50.Гольденвейзер, A.JI. Теория упругих тонких оболочек / A.JI. Гольденвейзер. - М.: Наука, 1976. - 512 с.

51.Павлова, A.B. К проблеме моделирования динамических процессов в средах с покрытиями / A.B. Павлова, М.Н. Колесников // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2009. - №4. - С. 41-47.

52.Павлова, A.B. Исследование дисперсионных характеристик упругого полупространства с дефектами при наличии покрытия / A.B. Павлова, С.Е. Рубцов, М.Н. Колесников // Современные проблемы механики сплошной среды: материалы ХПМеждунар. конф. - Ростов н/Д: ЦВВР, 2008. -С. 170-173.

53.Павлова, A.B. К исследованию дисперсионных свойств слоистого пакета с покрытием / A.B. Павлова, М.Н. Колесников // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: материалы VI Всерос. науч. конф. молодых ученых и студентов. - Краснодар: Просвещение-Юг, 2010. - С. 126-129.

54.Колесников, М.Н. Задача об установившихся колебаниях пластины на поверхности слоистого упругого полупространства / М.Н. Колесников, A.M. Гончаров // В мире научных открытий: материалы III Всерос. науч.-практ. конф. «Научное творчество XXI века» с международным участием. -Красноярск: Научно-инновационный центр, 2010. - С. 90-93.

55.Бабешко, В.А. О проблеме блочных структур академика М.А. Садовского / В.А. Бабешко, О.М. Бабешко, О.В. Евдокимова // Доклады Академии наук. - 2009. - Т. 427, № 4. - С. 480-485.

56.Бабешко, В.А. Дифференциальный метод факторизации в блочных структурах и наноструктурах / В.А. Бабешко, О.В. Евдокимова, О.М. Бабеш-ко // Доклады Академии наук. - 2007. - Т. 415, № 5. - С. 596-599.

57.Евдокимова, О.В. О дифференциальном методе факторизации в неоднородных задачах / О.В. Евдокимова, О.М. Бабешко, В.А. Бабешко // Доклады Академии наук. - 2008. - Т. 418, № з. _ с. 321-323.

58.Дифференциальный метод факторизации для блочной структуры /

B.А. Бабешко [и др.] // Доклады Академии наук. - 2009. - Т. 424, № 1. -

C. 36-39.

59.Бабешко, В.А. Об интегральном и дифференциальном методах факторизации / В.А. Бабешко, О.М. Бабешко, О.В. Евдокимова // Доклады Академии наук. - 2006. - Т. 410, № 2. - С. 168-172.

60.Евдокимова, О.В. Дифференциальный метод факторизации в неоднородных и нестационарных задачах / О.В. Евдокимова // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2007. - № 2. - С. 51-55.

61.Бабешко, В.А. К теории блочного элемента / В.А. Бабешко, О.М. Бабешко, О.В. Евдокимова // Доклады Академии наук. - 2009. - Т. 427, №2.-С. 183-187.

62.Павлова, A.B. Исследование многослойных материалов при наличии нарушений сплошности соединений / A.B. Павлова, С.Е. Рубцов // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2004. - № 3. - С. 19-22.

63.Пряхина, О.Д. Интегральные уравнения динамических задач для многослойных сред, содержащих систему трещин / О.Д. Пряхина, A.B. Смирнова // Прикладная математика и механика. - 2005. - Т. 69, Вып. 2. -С. 345-351.

64.Пряхина, О.Д. К исследованию волноводных свойств пакета упругих слоев с совокупностью жестких включений / О.Д. Пряхина, A.B. Смирнова // Изв. РАН. МТТ. - 2009. - № 3. - С. 55-65.

65.Нобл, Б. Применение метода Винера - Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных / Б. Нобл. - М.: Издательство иностранной литературы. - 1962. - 280 с.

66.Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. - М.: Наука. -1967. - 576 с.

67.Бабешко, В.А. Формулы факторизации некоторых мероморфных матриц-функций / В.А. Бабешко, О.М. Бабешко // Доклады Академии наук. -2004. - Т. 399, №1. - С. 26-28.

68.К теории прогноза сейсмичности на основе механической концепции, топологический подход / В.А. Бабешко [и др.] // Доклады Академии наук. - 2013. - Т. 450, № 2. - С. 166-170.

69.Колесников, М.Н. К моделированию динамики литосферных структур в условиях вибрационных воздействий / М.Н. Колесников, A.B. Павлова, С.Е. Рубцов // Механика и процессы управления: материалы XXXXII Всерос. симпозиума. - М.: РАН, 2012. - С. 75-82.

70.Развитие новых наукоемких методов мониторинга и прогноза состояния территорий в сейсмоопасных и оползнеопасных зонах / В.А. Бабешко [и др.] // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2013. - № 3. - С. 8-14.

71.Бабешко, В.А. О «вирусной» теории некоторых аномальных природных явлений / В.А. Бабешко, О.В. Евдокимова, О.М. Бабешко // Доклады Академии наук. - 2012. - Т. 447, № 1. - С. 33-37.

72.Бабешко, В.А. «Вирусная теория» некоторых природных аномалий / В.А. Бабешко, О.В. Евдокимова, О.М. Бабешко // Доклады Академии наук. -2012. - Т. 447, № 6. - С. 624-628.

73.Бабешко, В.А. О локализации энергии природных процессов и природные вирусы / В.А. Бабешко, Д. Ритцер, О.В. Евдокимова, О.М. Бабешко // Доклады Академии наук. - 2013. - Т. 448, № 4. - С. 406-409.

74.0 поведении и резонансах некоторых блочных структур сейсмологии и материаловедения / В.А. Бабешко [и др.] // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2013. - № 1. - С. 6-12.

75.Об особенностях исследования оползневых структур на горизонтальном основании / В.А. Бабешко [и др.] // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2012. - №3. - С. 5-11.

76.Эскин, Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений / Г.И.Эскин. - М.: Наука, 1973. - 232 с.

77.Евдокимова, О.В. Дифференциальный метод факторизации в проблеме конструирования материалов / О.В. Евдокимова, В.А. Бабешко, О.М. Бабешко, А.Г. Федоренко // Современные проблемы механики сплошной среды: материалы X Междунар. конф. - Ростов н/Д: ЦВВР. - 2006. -С. 103-108.

78.Некоторые приложения дифференциального метода факторизации / О.В. Евдокимова [и др.] // Экологический вестник научных центров ЧЭС. -2007. - № 3. - С. 18-32.

79.Бабешко, В.А. Топологический метод решения граничных задач и блочные элементы / В.А. Бабешко, О.В. Евдокимова, О.М. Бабешко // Доклады Академии наук. - Т. 449, № 6. - 2013. - С. 657-660.

80.Бабешко, В.А. Некоторые общие свойства блочных элементов / В.А. Бабешко, О.В. Евдокимова, О.М. Бабешко // Доклады Академии наук. -2012. - Т. 442, № 1. - С.37-40.

81.Бабешко, В.А. О пирамидальном блочном элементе / В.А. Бабешко, О.М. Бабешко, О.В. Евдокимова // Доклады Академии наук. - 2009. - Т. 428, №1. - С. 30-34.

82.Бабешко, В.А. Метод блочных элементов / В.А. Бабешко, О.В. Евдокимова, О.М. Бабешко // Вестник ЮНЦ РАН. - 2010. - Т. 6, №4. - С. 5-17.

83.Бабешко, В.А. О колебаниях слоистых упругих сред с рельефной границей / В.А. Бабешко, О.М. Бабешко, О.В. Евдокимова // Прикладная математика и механика. - 2010. - Т. 74, Вып.6. - С. 890-894.

84.Бабешко, В.А. Блочные элементы со сферической границей / В.А. Бабешко, О.В. Евдокимова, О.М. Бабешко // Доклады Академии наук. -2010. - Т. 434, №5. - С. 616-619.

85.Метод блочного элемента для гладких границ / В.А. Бабешко [и др.] // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2012. - №4. - С. 5-9.

86.Бабешко, В.А. К проблеме исследования материалов с покрытиями / В.А. Бабешко, О.М. Бабешко, О.В. Евдокимова // Доклады Академии наук. -2006. - Т. 410, №1. - С. 49-52.

87.Бабешко, В.А. К проблеме оценки состояния материалов с покрытиями / В.А. Бабешко, О.М. Бабешко, О.В. Евдокимова // Доклады Академии наук. - 2006. - Т. 409, №4. - С.481-485.

88.Ворович, И.И. Неклассические смешанные задачи теории упругости / И.И. Ворович, В.М. Александров, В.А. Бабешко. - М.: Наука, 1974. - 456 с.

89.Бабешко, В.А. Об автоморфизме и псевдодифференциальных уравнениях в методе блочного элемента / В.А. Бабешко, О.В. Евдокимова, О.М. Бабешко // Доклады Академии наук. - 2011. - Т. 438, № 5. - С. 623-625.

90.Бабешко, В.А. Блочные элементы в теории плит сложной формы / В.А. Бабешко, О.М. Бабешко, О.В. Евдокимова // Изв. РАН. МТТ. - 2012. -№5. - С. 92-97.

91.Бабешко, В.А., Калинчук В.В. Южный научный центр в системе сейсмического и геодинамического мониторинга причерноморского региона / В.А. Бабешко, В.В. Калинчук // Вестник ЧЭС. - 2012. - №1. - С. 25-32.

92.Павлова, A.B. К решению динамических задач для слоистого полупространства с дефектами / A.B. Павлова, С.Е. Рубцов // Наука технологии: труды XXIV Росс. Школы. - М.: Изд. РАН. - 2004. - С.283-290.

93.Колесников, М.Н. Дифференциальный метод факторизации в исследовании динамики упругих сред с совокупностью дефектов / М.Н. Колесников, A.B. Павлова // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2011. - №4. - С. 36-44.