Динамические задачи теории упругости для полуограниченных сред при наличии неоднородностей различной природы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Смирнова, Алла Васильевна

• Смирнова, Алла Васильевна
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Смирнова, Алла Васильевна

Введение.

1 Краевые задачи динамической теории упругости для полуограниченных сред, содержащих неоднородности различной природы.

1.1 Основные соотношения и уравнения связанных задач термоэлектроупругости.

1.2 Начальные и граничные условия.

1.3 Общая постановка задач о взаимодействии массивного твердого тела со слоистой средой, содержащей неоднородности.

1.3.1 Уравнения движения массивного тела.

1.3.2 Уравнения движения полуограниченной среды с совокупностью неоднородностей.

1.4 Общая схема построения решения.

2 Метод построения матриц-символов Грина для полуограниченных сред при наличии параллельно ориентированных неоднородностей различной природы.

2.1 Классификация краевых задач для термоэлектроупругой среды с совокупностью неоднородностей на основе теории «вирусов» вибропрочности.

2.2 Функционально-матричные соотношения вспомогательных задач для однородного слоя и однородного полупространства.

2.2.1 Колебания термоэлектроупругого слоя

2.2.2 Колебания термоэлектроупругого полупространства.

2.3 Матрица-символ Грина и функционально-матричные соотношения для многослойной среды, не имеющей нарушения сплошности.

2.3.1 Колебания пакета слоев, жестко сцепленного с недеформируемым основанием

2.3.2 Функционально-матричные соотношения для слоистого полупространства

2.3.3 Матрица-символ Грина и функционально-матричные соотношения для пакета слоев с одной свободной гранью

2.4 Матрица-символ Грина и функционально-матричные соотношения для многослойной среды, содержащей систему включений.

2.4.1 Колебания пакета слоев, содержащего одноуровневое включение

2.4.2 Колебания пакета слоев, содержащего двухуровневые включения

2.4.3 Колебания пакета слоев, содержащего многоуровневые включения

2.5 Матрица-символ Грина и функционально-матричные соотношения для многослойной среды, содержащей систему трещин.

2.5.1 Колебания пакета слоев, содержащего трещину на одной из границ раздела слоев.

2.5.2 Колебания пакета слоев, содержащего двухуровневые трещины.

2.5.3 Колебания пакета слоев, содержащего множественные трещины.

2.6 Построение матриц-символов ядер систем интегральных уравнений, порождаемых динамическими задачами для сред, содержащих неоднородности

2.6.1 Системы интегральных уравнений для многослойных сред без нарушения сплошности (задача 1).

2.6.2 Системы интегральных уравнений для многослойных сред, содержащих совокупность включений (задача 2).

2.6.3 Системы интегральных уравнений для многослойных сред, содержащих совокупность трещин (задача 3)

2.6.4 Системы интегральных уравнений для сред, содержащих неоднородности различного типа

3 Свойства матриц-символов ядер интегральных уравнений, порождаемых динамическими контактными задачами для сред с неоднородностями

3.1 Некоторые свойства вспомогательных матриц.

3.2 Асимптотические свойства матриц-символов ядер интегральных уравнений.

3.3 Общая схема метода фиктивного поглощения

3.4 Построение определителей матриц-символов ядер систем интегральных уравнений.

3.4.1 Построение определителей матриц К(а,/3,а>) для многослойных сред, содержащих совокупность включений

3.4.2 Построение определителей матриц К(а,/3,а>) для многослойных сред, содержащих совокупность трещин.

3.4.3 Построение определителей матриц К(а,/3,а>) для многослойных сред, содержащих совокупность включений и трещин

4 Метод построения определителей матриц-символов ядер интегральных уравнений динамических контактных задач для полуограниченных сред с неоднородностями

4.1 Свойства определителей матриц-символов ядер интегральных уравнений плоских динамических контактных задач.

4.2 Свойства определителей матриц-символов ядер интегральных уравнений антиплоских динамических контактных задач.

4.3 Построение определителей матриц-символов ядер интегральных уравнений пространственных динамических контактных задач для сред с неоднородностями.

4.4 О локализации волнового процесса системой неоднородностей

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамические задачи теории упругости для полуограниченных сред при наличии неоднородностей различной природы»

Многие научно-технические проблемы связаны с изучением закономерностей динамических процессов в средах, обладающих как сложными физико-механическими свойствами, так и неоднородной структурой. В частности, определение критериев оценки прочностных свойств новых конструкционных материалов, фундаментальные проблемы оценки сейсмичности литосферных плит и прогноза землетрясений приводят к необходимости создания методов анализа напряжённо-деформированного состояния с позиции механики разрушения с учетом связности механических, электромагнитных и тепловых факторов, а также с учетом наиболее распространенных видов неоднородностей или дефектов — включений и трещин, присущих слоистым структурам.

Динамические задачи для полуограниченных сред, содержащих совокупность неоднородностей различной природы, являются на сегодняшний день малоизученными. Сложность их исследования обусловлена тем, что вследствие зависимости напряженно-деформированного состояния системы от многих параметров традиционные аналитические и численные методы анализа становятся неэффективными даже при небольшом количестве дефектов, а с ростом частоты колебаний и в областях больших размеров многие из них неприменимы. Кроме того, установленная неединственность решений динамических задач для сред с совокупностью неоднородностей при некоторых значениях параметров [23], делает эти задачи еще более сложными. В связи с этим актуальными становятся как исследования рассматриваемого класса задач в новой постановке, так и разработка новых численно-аналитических методов их решения.

В.А. Бабешко создана новая теория - теория «вирусов» вибропрочности [14, 16, 17, 23, 24], изучающая специальные сочетания неоднородностей и их влияние на динамические, в том числе и прочностные свойства деформируемых слоистых сред. Теория, являясь математически и механически строгой, способствует отходу от понятия идеальной сплошности, уводит от традиционных постановок задач и стратегии исследования. Она нацелена на выделение, классификацию и изучение свойств специальных механических объектов, находящихся в деформируемой среде, способных в условиях вибрации локализовать волновой процесс и вызвать резонансы.

Свойство совокупности неоднородностей при определенных условиях локализовать волновой процесс в своей окрестности является основой научного открытия В.А. Бабешко, И.И. Воровича, И.Ф. Образцова «Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями» [38]. Фундаментальные результаты по теоретическому обоснованию существования явления локализации волнового процесса содержатся в работах В.А. Бабешко [14-18, 23-26]. Установлено, что таким свойством обладают не только множественные, но и отдельные неоднородности. Способность локализовать волновой процесс присуща средам, проводящим волны различной физической природы - упругие, электромагнитные, звуковые, что имеет подтверждение в теоретических и экспериментальных исследованиях [15, 66, 104].

Настоящая работа посвящена моделированию динамических процессов в слоистых полуограниченных термоэлектроупругих средах при наличии множественных плоских неоднородностей типа жестких включений и трещин, ориентированных параллельно плоскостям раздела слоев.

Актуальность проведенных исследований определяется возможностью их широкого приложения в различных областях механики, геофизики, сейсмологии, акустики, вибросейсморазведки, фундаментостроении, машиностроении, микроэлектроники, ультразвуковой дефектоскопии и т.д.

Проблеме моделирования динамических процессов в упругих ограниченных и полуограниченных телах, содержащих неоднородности, посвящено большое количество работ, обзор которых проведён в [63, 139, 145, 172, 183,201].

Исследования выполнены в широком диапазоне постановок задач применительно к различным материалам как упругим, так и пластическим. Это работы В.М. Александрова, В.А. Бабешко, А.О. Ватульяна, Е.В. Глушкова, Н.В. Глушковой, Р.В. Гольдштейна, А.Н. Гузя, И.М. Дунаева, В.В. Зозули, В.В. Михаськива, Ю.Н. Подильчука, Г .Я. Попова, Н.Ф. Морозова, Дж. Райса, М. Г. Селезнева, Б. И. Сметанина, Г.П. Черепанова и др.

Изучаются механизмы образования и распространения дефектов, процессы, приводящие к концентрации напряжений и разрушению [11, 92, 93, 101, 106, 108, 119, 127, 129-133, 174, 184, 185, 191,220].

Как правило, рассматриваются дефекты, расположенные в однородных или двухслойных изотропных средах [3, 8, 9, 56, 134, 179, 180, 187] и реже -в средах со сложными физико-механическими свойствами (анизотропных, пьезоэлектриках и т.п.) [54, 55, 57, 118, 198, 201, 229, 230]. При этом наиболее часто дефекты предполагаются имеющими каноническую форму (круговой или эллиптический цилиндр, сфера, эллипсоид) [70, 122, 123, 125, 142, 192, 193, 204] или моделируется конечным либо полубесконечным математическим разрезом, на котором перемещения (для трещин) или напряжения (для включений) терпят разрыв.

В работах [12, 61, 94, 99, 109, 110] динамические задачи о напряжённо-деформированном состоянии тела с трещиной формулируются с учётом контактного взаимодействия её берегов в фазе сжатия. В [98] проведён анализ различных расчётных схем при потере устойчивости слоистых композитных материалов с трещинами на границе раздела слоев, приведена классификация межслоевых трещин. Для определения условий возможного разрушения (отслоения) соединения материалов с различными упругими свойствами важным является анализ концентрации напряжений в окрестности угловых точек фронта интерфейсных трещин. Исследование зависимости характеристик сингулярности от угла раствора трещины и соотношения упругих свойств проведено в работах [58, 86, 90, 118, 213].

Значительное количество публикаций посвящено вопросам дифракции волн на трещине или включении [86-89, 105, 126, 143, 187, 196, 205, 206].

Многообразны как постановки, так и подходы к решению задач для сред, содержащих неоднородности. Особенно интенсивно за последние годы развиваются исследования, основанные на использовании прямых численных методов решения соответствующих краевых задач [89, 116, 212, 214, 215]. Одним из наиболее эффективных является общий метод граничных интегральных уравнений и основанный на нем при численной реализации метод граничных элементов. Этот подход позволяет изучать динамические характеристики в средах при наличии дефектов в плоскостях, не параллельных свободной поверхности [71, 72, 74, 75, 95]. Однако вследствие отмеченной выше неединственности решения, их применение должно контролироваться аналитическими методами повышенной точности.

В подавляющем большинстве публикаций изучается динамика отдельной трещины или включения, что не приводит к установлению закономерностей, свойственных их совокупности.

Диссертационная работа направлена на разработку методов исследования, позволяющих выявить влияние совокупности дефектов на динамические свойства слоистых сред. Не охватывая всех возможных типов неоднородностей (например, пространственных трещин-полостей, упругих или гибких включений и т.д.) и их ориентации относительно элементов многослойной структуры, основное внимание уделено тому факту, что количество неоднородностей носит множественный характер.

Изучение динамических процессов, происходящих в слоистых полуограниченных средах с неоднородностями, опирается на результаты в области динамической теории упругости, представленные в монографиях В.А. Бабешко [22], В.А. Бабешко, Е.В. Глушкова, Ж.Ф. Зинченко [39], И.И. Воровича, В.А. Бабешко [79], И.И. Воровича, В.А. Бабешко, О.Д. Пряхиной

80], В.В. Калинчука, Т.И. Белянковой [112], И.П. Гетмана, Ю.А. Устинова [85], В.Т. Гринченко, В.В. Мелешко [96], А.Н. Гузя, Ф.Г. Махорта [100], О.Ю. Жария, А.Ф. Улитко [107], А.С. Космодамианского, В.И. Сторожева [117], Л.А. Молоткова [128], Н.Ф. Морозова, Ю.В. Петрова [131], В. Новацкого [136], Г.И. Петрашеня [140], В.М. Сеймова, А.Н. Трофимчука, О.А. Савицкого [169], М.Г. Селезнева, A.JI. Собисевича [171], А.Ф. Улитко [182], J.D. Achenbach [189], A. Ben-Menahem, S.J. Singh [195], W.M. Ewing, W.S. Jardetzky, F. Press [203], K. F. Graff [209], M.J. Musgrave [224] и др.

Важное научное и практическое значение имеют постановка и решение связанных задач, в которых учитывается взаимодействие механических, тепловых и электромагнитных полей в деформируемых средах. На эффектах связанности полей основано функционирование ряда технических устройств и технологических процессов. Для надежного функционирования таких устройств, повышения их эффективности и улучшения динамических качеств необходимо создание новых аналитических и численно-аналитических методов исследования резонансных свойств динамических систем, находящихся под действием гармонических, нестационарных и импульсных электрических, тепловых и механических воздействий. Обзор исследований, выполненных по механике связанных полей содержится в работах [97, 100,139].

Одно из важных применений динамические задачи находят в акустоэлектронике. Возникающие здесь проблемы приводят к необходимости изучения взаимодействия одного или системы электродов с анизотропной средой, обладающей пьезо- и пироэлектрическими свойствами и другими эффектами, свойственными этим материалам.

Большинство исследований динамических процессов в электроупругих средах [21, 60, 65, 73, 97, 104, 139, 197, 223,224] проводится без учета массы электродов и характера взаимодействия электродов с пьезокристаллической средой. Такое приближение оправдано для сравнительно низких рабочих частот, достаточно большой амплитуды поверхностной волны и малой толщины электродов. С увеличением частоты на порядок и более приходится иметь дело со сверхкороткими поверхностными волнами, для которых уже нельзя пренебрегать массой электродов и надо решать связанную электромеханическую задачу. Если жесткость электрода намного больше жесткости среды, то задача рассматривается как контактная (смешанная) для жесткого штампа [80, 168].

При исследовании динамических режимов колебаний слоистых полуограниченных сред большое значение имеет вид функционально-матричных соотношений, связывающих перемещения и напряжения, и построение на их основе ядер систем интегральных уравнений, соответствующих рассматриваемым смешанным задачам и описываемых матрицей-символом Грина.

К настоящему времени для построения матрицы Грина разработаны как аналитические подходы, наиболее известный из них - метод матриц-пропагаторов или матричный метод [128, 208, 211, 234], так и численные методы [144, 186, 190, 210, 216, 217, 219, 228, 235], основанные на прямом численном интегрировании систем дифференциальных уравнений краевых задач.

Основные трудности реализации этих методов обусловлены наличием растущих экспоненциальных составляющих в фундаментальных решениях соответствующих систем дифференциальных уравнений, приводящих к неустойчивости численных процедур решения краевой задачи и к плохой обусловленности линейных алгебраических систем, возникающих при удовлетворении граничных условий. Все эти подходы требуют решения систем большого порядка и, чем больше количество слоев в системе, тем больше возникает трудностей вычислительного характера. Для преодоления указанных трудностей разработан ряд приемов, их обзор и сравнительный анализ приведен в [1, 188, 199, 202, 207, 218, 221, 237]. Например, в [39] разработан метод построения матрицы Грина, устойчивость которого обеспечивается выделением экспоненциальных составляющих и выносом их за рамки численного процесса. В [80] создан высокоэффективный метод построения матрицы-символа Грина многослойной среды, обладающей сложными физико-механическими свойствами.

Одним из направлений диссертационной работы является построение функционально-матричных соотношений, связывающих основные динамические характеристики рассматриваемых систем, позволяющих моделировать любое сочетание неоднородностей в слоистых средах с учетом связности механических, тепловых и электрических полей. В работе предлагается аналитический метод построения матриц-символов Грина для слоистых сред при наличии разрывных условий на линиях раздела слоев. Метод основан на использовании специального представления решения для одного слоя и применим для произвольного количества слоев и расположения неоднородностей. Достоинством этого метода является возможность построения простых алгоритмов • численного анализа, применимых для широкого диапазона изменения параметров задачи. В отличие от других подходов он не требует численного решения алгебраических систем большого порядка, возникающих при удовлетворении граничных условий, и не содержит в полученном представлении решения растущих экспоненциальных составляющих. При этом решение задачи для однородной полуограниченной среды (слой, полупространство), содержащей систему плоских, параллельно-ориентированных включений и/или трещин получается как частный случай, если принять физико-механические параметры слоев равными.

Рассматриваемые в настоящей работе задачи, как и большинство задач, с которыми приходится сталкиваться в теории упругости, электроупругости, термоупругости, акустике и других областях математической физики, при строгой их постановке оказываются смешанными. Ключевым вопросом в их математическом исследовании является решение интегральных уравнений и систем, порождаемых этими задачами. Большой вклад в развитие методов решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений статических и динамических задач внесли В.М. Александров, В.А. Бабешко, А.В. Белоконь. Н.М. Бородачев, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, А.Г. Горшков, В.А. Ильичев, В.В. Калинчук, Е.В. Коваленко, М.Д. Мартыненко, Н.Ф. Морозов, Н.Н. Мусхелишвили, Г.Я. Попов, О.Д. Пряхина, В.Л. Рвачев, В.М. Сеймов, М.Г. Селезнев, Л.И. Слепян, Д.В. Тарлаковский, Ю.А. Устинов, Ю.С. Яковлев и др. Некоторые результаты, полученные в указанной области, отражены в перечисленных выше монографиях, а также в [4-6, 10, 19, 20, 62, 67, 81, 82, 124, 145, 170, 171].

Смешанные динамические задачи приводят к необходимости решения интегральных уравнений (ИУ) и систем с сильно осциллирующими ядрами для полуограниченных сред. Существуют различные подходы к проблеме: метод факторизации [22, 79, 135], асимптотические методы [4-7, 78], методы ортогональных полиномов [144, 145, 169], сведение к интегральным уравнениям 2 рода [78], вариационно-разностный метод [39, 87], метод граничных элементов [73, 235] и другие. Каждый из этих методов имеет достоинства и недостатки. Например, асимптотические методы, вариационно-разностный метод эффективны при низких частотах. Метод факторизации позволяет захватывать и высокие частоты, однако дает возможность изучить лишь классические области контакта - круг, полоса. В случае пространственных задач эффективность этих методов снижается, либо они вовсе не применимы. Вариационно-разностный метод и метод коллокации позволяют исследовать пространственные задачи, но лишь при низких частотах. При этом они не вскрывают всех особенностей поведения решения, как по частотам, так одновременно и на особых множествах области задания интегральных уравнений.

Метод фиктивного поглощения решения динамических смешанных задач имеет некоторые преимущества по сравнению с перечисленными методами [44, 80]. Идея этого метода принадлежит В.А. Бабешко [19, 20, 22] и состоит в таком преобразовании ядер интегральных уравнений, которое позволяет уравнения с сильно осциллирующими и медленно убывающими ядрами сводить к интегральным уравнениям с ядрами, экспоненциально убывающими с ростом аргумента. Развитие метод фиктивного поглощения получил в работах О.Д. Пряхиной [44, 80]. Его достоинством оказалась возможность использования при решении динамических смешанных задач многочисленных, полученных ранее решений и методов решений соответствующих статических задач. Другим преимуществом метода фиктивного поглощения является то, что он позволяет строить решения с высокой точностью во всем частотном диапазоне, сохраняя правильное описание поведения решения как внутри области задания интегральных уравнений, так и в окрестности границ, включая угловые точки.

Сложность использования перечисленных методов в решении рассматриваемого в настоящей работе класса задач связана с большой размерностью системы интегральных уравнений. Наиболее эффективным в этом случае является обобщенный метод факторизации [22], развитый применительно к исследованию краевых задач в многосвязных областях с границами, допускающими смену знаков кривизны поверхности. В работах В.А. Бабешко, О.М. Бабешко [25-31] метод получил дальнейшее развитие -впервые введено понятие двухсторонней факторизации и получены новые соотношения, описывающие решения краевых задач в интегральной форме, допускающей дискретизацию. Метод распространен на случай многомерных интегральных уравнений, а также на случай произвольного количества областей задания интегральных уравнений. Метод фактически не имеет ограничений на параметры, поскольку всегда некоторой процедурой можно расширить диапазон его применения.

В диссертационной работе исследование условий локализации вибрационного процесса опирается на общую структуру решения систем ИУ, построенного методом фиктивного поглощения. Во многих случаях указанное решение может быть получено в относительно простом аналитическом виде, что делает метод фиктивного поглощения эффективным при сведении обращения преобразования Лапласа решений нестационарных смешанных задач к интегралу Фурье с последующим численным интегрированием [80].

Нестационарные задачи являются менее изученным разделом динамических задач. Трудность их решения связана с тем, что сначала для конкретных значений параметра преобразования Лапласа р необходимо многократно строить решения краевых задач для системы дифференциальных уравнений в частных производных, а затем осуществлять переход от изображений к оригиналам. Анализ публикаций по этой тематике показывает, что к настоящему времени накоплен значительный объем теоретических результатов, дающих представление о закономерностях формирования волновых полей в случае нестационарного нагружения в упругих телах [5, 51, 56, 62, 69, 81, 98, 99, 114, 142] и, в меньшей степени, в электроупругих [25, 53, 54].

Обзор аналитических методов решения нестационарных задач содержится в [80, 85, 102]. При изучении нестационарных задач используются, в основном, следующие подходы: метод функционально-инвариантных решений [108], разложение в ряд по гармоническим колебаниям [61], асимптотические методы [107], сведение к интегральным уравнениям 1 рода [62, 73], конечно-разностные аппроксимации [64, 104, 122, 139, 144, 148], метод асимптотически эквивалентных функций [66, 79], метод регуляризации Тихонова [13, 14, 112], метод контурных интегралов [79]. Для построения обращения преобразования Лапласа применяются преимущественно метод Каньяра [106, 133, 147, 152], метод Папулиса [143] и сведение к интегралу Фурье [87, 94, 100, 146]. При этом необходимо проведение анализа трансформанты Лапласа для комплексных значений параметра р. Сложный вид решения краевых задач в комплексной плоскости переменного р для сред типа слоя, многослойного полупространства, пакета слоев затрудняет и, зачастую, делает невозможным применение этих методов.

В настоящей работе основное внимание уделяется случаю гармонических колебаний, переход к нестационарному режиму осуществляется заменой частоты со на ip.

В [79] дан анализ общего представления решения интегральных уравнений динамических контактных задач, состоящего из энергетической составляющей, обладающей конечной энергией, и неэнергетической с бесконечной энергией, обеспечивающей излучение энергии. В случае существования лишь энергетической составляющей решения полуограниченное тело при наличии массивного штампа приобретает точки изолированного спектра и возможен резонанс. Резонансы такого рода были названы низкочастотными или В-резонансами. Они возникают в диапазоне 0<а?< сокр Ф 0 докритических частот запирания волноводных свойств полуограниченного тела. Доказано, что точек дискретного спектра всегда конечное число, и они лежат в указанном диапазоне частот. Если сокр =0, то рассматриваемая система не имеет низкочастотных резонансов. Исследование этих задач содержится в [77, 83] и обобщающей монографии [80].

Если соха , то в [13, 18, 37,38] установлено, что существование в полуограниченных телах типа полосы, слоя, цилиндра лишь энергетической составляющей решения возможно только при выполнении определенных условий - специальным образом ориентированных включений и трещин, параметры которых удовлетворяют некоторым соотношения*м, связывающим их с характеристиками полуограниченного тела. Эти условия названы условиями локализации вибрационного процесса.

В работах В.А. Бабешко впервые в мировой практике проведена систематизация типов неоднородностей, названных «вирусами» вибропрочности, локализующих волновой процесс, и открыто новое, перспективное с точки зрения практического приложения, научное направление, одной из основных задач которого является установление условий и путей их реализации, посредством которых можно осуществить (а при необходимости - избежать) локализацию волнового процесса.

Вирус» локализует волновой процесс в среде погружения, если вызывает рост деформаций в ограниченной области своего расположения; при этом количество мод волн или составляющих решения вне этой зоны уменьшается. Локализация будет полной, если все точки системы колеблются синфазно. В противном случае локализация будет частичной.

Для «вирусов» вибропрочности различного класса условия локализации в виде теорем сформулированы в [14, 24, 23].

Результаты исследования условий локализации волнового процесса совокупностью включений или трещин для однородных изотропных сред представлены в [34-36, 42,43]. В настоящей работе проведено исследование условий локализации вибрационного процесса «вирусами» сложной структуры в многослойных средах.

Целыо работы является математическое моделирование динамических процессов в слоистых полуограниченных средах со сложными физико-механическими свойствами при наличии множественных неоднородностей типа плоских жестких включений и трещин, ориентированных параллельно плоскостям раздела слоев; разработка метода построения матриц-символов ядер систем интегральных уравнений краевых задач, изучение их свойств; создание аналитического метода построения определителей указанных матриц, исследование на основе разработанных методов условий локализации вибрационного процесса системой дефектов.

Научную новизну составляют следующие результаты, полученные автором:

1. Разработан новый аналитический метод исследования динамических краевых задач термоэлектроупругости для полуограниченных сред с неоднородностями типа трещин и жестких включений.

2. Получены новые функционально-матричные соотношения, связывающие основные динамические характеристики изучаемых моделей.

3. Создан новый аналитический метод вычисления определителей матриц-символов ядер систем интегральных уравнений рассматриваемого класса задач.

4. Выявлены новые свойства указанных матриц.

5. Впервые описаны спектральные свойства дифференциальных операторов ряда частных краевых задач, имеющих большое прикладное значение.

6. Проведено исследование условий локализации волнового процесса совокупностью неоднородностей — «вирусами» вибропрочности различного строения.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием адекватных моделей и строгих математических методов решения, сравнением с простыми примерами, допускающими аналитическое представление решения, и с результатами, полученными другими авторами.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Смирнова, Алла Васильевна

Заключение

Основными результатами работы являются: математические модели, описывающие динамический процесс в слоистых полуограниченных средах при наличии множественных неоднородностей, с учетом связности механических, электрических и тепловых полей; новый аналитический метод исследования динамических краевых задач термоэлектроупругости для полуограниченных слоистых сред с неоднородностями (дефектами) типа плоских жестких включений и трещин, ориентированных параллельно плоскостям раздела слоев; метод основан на постановке и решении краевых задач для специальных механических объектов - «вирусов» вибропрочности различного строения; новые универсальные функционально-матричные соотношения, связывающие основные динамические характеристики изучаемых моделей, позволяющие описывать динамические свойства среды при произвольном количестве и сочетании дефектов; метод построения матриц-символов ядер систем интегральных уравнений, соответствующих краевым задачам рассматриваемого класса; новый эффективный аналитический метод вычисления определителей указанных матриц, являющийся основой изучения условий локализации вибрационного процесса системой дефектов. В ходе проведенных исследований для различных моделей многослойных сред, содержащих неоднородности различной природы, построены матрицы-символы Грина; на этой основе получены матрицы-символы ядер систем интегральных уравнений рассматриваемого класса задач и изучены их свойства, в том числе новые; введены специальные матрицы, связанные с типом дефекта и его положением в слоистой среде, позволяющие преобразовать блочные матрицы-символы ядер систем ИУ большой размерности к блочным треугольным матрицам, что существенно упрощает задачу вычисления их определителей; для широкого спектра задач построены определители матриц-символов ядер систем ИУ и проведен анализ их особых множеств (нулей и полюсов); установлено взаимнооднозначное соответствие между определенными классами «вирусов» вибропрочности и функциями, описывающими особые множества определителей их матриц-символов Грина; для определителей матриц-символов ядер систем ИУ, соответствующих произвольному количеству и различным сочетаниям неоднородностей, расположенных в параллельных плоскостях пакета изотропных слоев на жестком основании, получено представление в виде отношения целых функций. Числителем является произведение функций, каждая их которых зависит только от геометрических и механических параметров среды, заключенной между указанными плоскостями. Знаменателем является знаменатель определителя матрицы-символа Грина многослойной среды, не содержащей неоднородности, связанные с нарушением ее сплошности. Достоинством такого представления является исключение корневых и полярных множеств, имеющих пересечения при произвольных значениях параметров механической системы, на стадии аналитического построения; при изучении резонансных режимов колебаний условия локализации волнового процесса «вирусами» вибропрочности различного строения дополнены описанием корневых множеств; выделены классы задач, в которых возможны только высокочастотные резонансы. Диссертационная работа выполнялась в Кубанском государственном университете в рамках ряда государственных научно — технических программ, в том числе:

- Федеральная целевая комплексная программа «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 1997 - 2000 гг.», проект № А0017;

- Федеральная целевая комплексная программа «Интеграция науки и высшего образования России на 2002 - 2006 гг.», проект № Б0121/1372;

- Программа Президента РФ «Развитие научного потенциала ВШ», грант НШ-2107.2003.1;

- Программа Минобразования России «Фундаментальные исследования в области естественных и точных наук», грант «Разработка математических моделей, методов и программных средств исследования динамических процессов в связанных задачах механики деформируемого тела», проект № Е-02-4.0-191.

Проведенные исследования были поддержаны научными фондами:

- Грант REC-004 Американского фонда гражданских исследований и развития для независимых государств бывшего Советского Союза, 1999 -2002 гг.;

- Российский Фонд Фундаментальных Исследований, Администрация Краснодарского края, р2000Юг, грант «Моделирование динамических процессов в сейсмически активных зонах при наличии гидротехнических сооружений», проект № 00-01-96008, 2000-2002 гг.;

- Российский Фонд Фундаментальных Исследований, Администрация Краснодарского края, р2002Юг, грант «Экологическая оценка вибрационного воздействия на окружающую среду и промышленные объекты ответственного назначения», проект № 00-01-96007, 2000-2002 гг.;

Российский Фонд Фундаментальных Исследований, Администрация Краснодарского края, р2002Юг, грант «Теоретические и экспериментальные исследования вибрационного воздействия на здания и сооружения с целью создания методов экспресс-оценки их технического состояния для обеспечения геоэкологической безопасности региона», проект № 03-01-96645, 2003-2005 гг.;

Российский Фонд Фундаментальных Исследований, грант «Исследование литосферной плиты с учетом преднапряженности, термо- и пьезоэффектов», проект № 03-01-96537;

Российский Фонд Фундаментальных Исследований, грант «Разработка критериев разрушения тел с совокупностью трещин», проект № 03-0100694;

Российский Фонд Фундаментальных Исследований, грант проект № 0301-00662;

Российский Фонд Фундаментальных Исследований, грант проект № 0301-96658;

Российский Фонд Фундаментальных Исследований, грант «Влияние степени дефектности слоистых полуограниченных тел на процесс их динамического разрушения», проект № 05-01-00811.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Смирнова, Алла Васильевна, 2005 год

1. Аки К., Ричарде П. Количественная сейсмология. М.: Мир, 1983. Т. 1. 519 с.

2. Акустические кристаллы. Под ред. М.П. Шаскольской. М.: Наука. 1982. 632 с.

3. Акопян В. Н., Ясницкий А. В. Напряженное состояние упругой полуплоскости, содержащей тонкое жесткое включение // Известия АН СССР. МТТ. 2002. № 6. С. 76 82.

4. Александров В. М. Асимптотические методы в контактных задачах теории упругости // ПММ. 1968. Т. 32. Вып. 4. С. 672-683.

5. Александров В. М. Асимптотические методы в задачах механики сплошной среды со смешанными граничными условиями // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 2. С. 102-108.

6. Александров В. М., Коваленко Е. В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. 336 с.

7. Александров В. М., Мхитарян С. М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. 487 с.

8. Александров В. М, Пожарский Д. А. К задаче о кольцевой трещине на границе раздела упругих слоя и полупространства // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. З. С. 476-483.

9. Александров В. М., Пожарский Д. А. К задаче о трещине на границе раздела упругих полосы и полуплоскости // Известия РАН. МТТ. 2001. № 1.С. 86-93.

10. Александров В. М., Рохалис Б. Л. Контактные задачи в машиностроении. М.: Машиностроение. 1986. 174 с.

11. Александров В. М., Сметанин Б. И., Соболь Б. В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Наука, 1993. 223 с.

12. Андреев А. В., Гольдштейн Р. В., Житников Ю. В. Расчет предельного равновесия внутренних и краевых трещин со взаимодействующимиповерхностями в упругой полуплоскости // Известия АН СССР. МТТ. 2002. №4. С. 96- 112.

13. Бабешко В. А. Высокочастотный резонанс массивного штампа // Докл. АН СССР. 1989. Т. 306. № 6. С. 1328 1332.

14. Бабешко В. А. Динамика сред при наличии совокупности неоднородностей или дефектов и теория вирусов вибропрочности // Известия вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 1998. № 1. С. 24 -26.

15. Бабешко В. А. К обоснованию метода Олинера // Докл. АН СССР. 1991. Т. 320. №2. С. 311-314.

16. Бабешко В. А. К проблеме динамического разрушения трещиноватых слоистых тел // Докл. АН СССР. 1989. Т. 307. № 2. С. 324 327.

17. Бабешко В. А. К проблеме исследования динамических свойств трещиноватых тел//Докл. АН СССР. 1989. Т. 304. № 2. С. 318 321.

18. Бабешко В. А. К расчету параметров высокочастотного резонанса в трехмерном случае // Докл. РАН. 1994. Т. 335. № 1. С. 55 58.

19. Бабешко В. А. К теории смешанных задач в произвольных областях // Докл. АН СССР. 1981. Т. 256. № 3. С. 552 556.

20. Бабешко В. А. Метод фиктивного поглощения в форме преобразования Фурье // Докл. РАН. 1995. Т. 345. № 4. С. 475-478.

21. Бабешко В. А. Об интегральных уравнениях электроупругости, возникающих при расчете акустоэлектронных устройств // Докл. АН СССР. 1988. Т. 302. № 4. С. 812-815.

22. Бабешко В. А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. 256 с.

23. Бабешко В. А. Среды с неоднородностями (случай совокупности включений и неоднородностей) // Известия РАН. МТТ. 2000. № 3. С. 5 -9.

24. Бабешко В. А. Теория «вирусов» вибропрочности для совокупностей включений // Известия вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2000. №3. С. 21-23.

25. Бабешко В. А., Бабешко О. М. Метод факторизации в краевых задачах в неограниченных областях // Докл. РАН. 2003. Т. 392. № 6. С. 1 4.

26. Бабешко В. А., Бабешко О. М. Метод факторизации в теории вирусов вибропрочности // Докл. РАН. 2003. Т. 393. № 4. С.1 5.

27. Бабешко В. А., Бабешко О. М. Метод факторизации решения некоторых краевых задач // Докл. РАН. 2003. Т. 389. № 2. С. 1 5.

28. Бабешко В. А., Бабешко О. М. О некоторых проблемах в сейсмологии // Вестник южного научного центра РАН. 2004. Пилотный выпуск. С. 17 -23.

29. Бабешко В. А., Бабешко О. М. Обобщенная факторизация в краевых задачах в многосвязных областях // Докл. РАН. 2003. Т. 392. № 2. С. 1 -5.

30. Бабешко В.А., Бабешко О.М. О представлении решений в методе факторизации. // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 1. С.5-9.

31. Бабешко В.А., Бабешко О.М. К исследованию связанных краевых задач механики сплошных сред и математической физики // Докл. РАН. 2005. Т. 400. №2. С. 192-196.

32. Бабешко В. А., Белянкова Т. И., Калинчук В. В. Метод фиктивного поглощения в задачах теории упругости для неоднородного полупространства // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 2. С. 276-284.

33. Бабешко В. А., Калинчук В. В. Метод фиктивного поглощения в связанных смешанных задачах теории упругости и математической физики для слоистонеоднородного полупространства // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 2 С. 285-292.

34. Бабешко В. А., Бужан Е. М, Вильяме Р. К проблеме локализации вибрационного процесса в упругом твердом теле совокупностьюплоских жестких включений // Докл. РАН. 2002. Т. 382. № 6. С. 765 -767.

35. Бабешко'В. А., Бужан Е. М, Горшкова Е. М., Рохлин С. И. К проблеме распространения интерфейсных волн в средах со сварными соединениями // Известия вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2000. № 4. С. 23 25.

36. Бабешко В. А., Бужан Е. М., Натальченко А. В., Смирнова А. В. К проблеме расчета прочности сварных конструкций // Известия вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 1998. № 2. С. 12-16.

37. Бабешко В. А., Ворович И. И., Образцов И. Ф. Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями // Известия АН СССР. МТТ. 1990. № 3. С. 71 83.

38. Бабешко В. А., Глушков Е. В., Зинченко Ж. В. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 344 с.

39. Бабешко В. А., Зинченко Ж. Ф., Смирнова А. В. К задаче о набегании волн нормального давления на штамп // ЖПМТФ. 1982. № 2. С. 143 -146.

40. Бабешко В. А., Зинченко Ж. Ф., Смирнова А. В. Нестационарное взаимодействие штампа с упругой средой // Известия АН СССР. МТТ. 1982. №4. С. 139- 140.

41. Бабешко В. А., Павлова А. В., Ратнер С. В. К задаче о вибрации упругого полупространства с совокупностью внутренних трещин // Известия вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2002. № 3. С. 36 -38.

42. Бабешко В. А., Павлова А. В., Ратнер С. В., Вильяме Р. К решению задачи о вибрации упругого тела, содержащего систему внутренних полостей // Докл. РАН. 2002. Т. 382. № 5. С. 625 628.

43. Бабешко В. А., Пряхина О. Д. Об одном методе в теории динамических контактных задач для круглых штампов // Известия АН СССР. МТТ. 1981. №2. С. 22-28.

44. Бабешко В. А., Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Динамические задачи для сред с нарушением сплошности // Прикладная механика. 2004. № 2. С. 3- 10.

45. Бабешко В. А., Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Определение динамических характеристик сред с неоднородностями // Механика и трибология транспортных систем: Сб. докладов Международного конгресса по трибологии. Ростов-на-Дону, 2003. Т. 1. С. 62 64.

46. Бабешко В. А., Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Решение динамических задач для многослойных сред с разрывными граничными условиями // Известия вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2002. Юбилейный выпуск. С. 80 82.

47. Бабешко В. А., Сыромятников П. В. К проблеме исследования локализации волновых процессов в электроупругих средах // Докл. РАН. 1995. Т. 345. № 1. С. 50 53.

48. Бабешко В. А., Сыромятников П. В. Метод построения символа Фурье матрицы Грина многослойного электроупругого полупространства // Известия РАН. МТТ. 2002. № 5. С. 35 47.

49. Багдоев А. Г., Саакяи С. Г. Антиплоская задача распространения трещины с произвольной скоростью в анизотропной неоднородной упругой среде // Известия РАН. МТТ. 2002. № 2. С. 145 153.

50. Баглоев А. Г., Шекоян А. В. Антиплоская анизотропная задача для трещины, движущейся с произвольной скоростью // Известия РАН. МТТ. 1999. №4. С. 170- 173.

51. Бакиров В. Ф, Гольдштейн Р. В. Модель Леонова-Панасюка-Дагдейла для трещин на границе соединения материалов // ПММ. 2004.- Т. 68. Вып. 1.С. 170-179.

52. Бардзокас Д., Филыитинский Б. Л. Дифракция сдвиговой волны на цилиндрических включениях в пьезоэлектрическом полупространстве // Известия РАН. МТТ. 1997. № 3. С. 77 -.