Математическое моделирование полей тензоров деформаций в пластических течениях с разрывным полем скоростей перемещений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Лошманов, Антон Юрьевич

• Лошманов, Антон Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лошманов, Антон Юрьевич

Введение.

Глава 1. Соотношения теории плоской деформации идеального жесткопластического тела.

1.1. Теория плоской деформации.

1.2. Соотношения вдоль линий скольжения.

1.3. Построение полного решения.

1.4. Деформации в окрестности особенностей поля линий скольжения.

1.4.1. Деформации на линии разрыва поля скоростей перемещений.

1.4.2. Деформации в окрестности центра веера линий скольжения.

1.5. Неединственность решения. Критерии выбора предпочтительного решения.

1.6. Критерии разрушения и выбора направления распространения трещины.

Глава 2. Задачи обработки материалов давлением.

2.1. Течение жесткопластического материала по каналу с угловым изгибом.

2.2. Прессование жесткопластической полосы.

2.2.1. Прессование полосы через прямоугольную матрицу.

2.2.2. Обратное прессование и прошивка полосы.

2.3. Выглаживание поверхности угловым штампом.

Глава 3. Растяжение полосы с V-образными вырезами.

3.1. Известные решения задачи.

3.2. Несимметричное решение.

3.3. Симметричное решение.

3.4. Решение со случайным фактором.

Глава 4. Разрушение полосы с V-образными вырезами при растяжении.

4.1. Разрушение полосы в окрестности вершин V-образных вырезов.

4.2. Разрушение полосы при распространении внутренней трещины.

4.2. Разрушение полосы при распространении внешних и внутренней трещин.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование полей тензоров деформаций в пластических течениях с разрывным полем скоростей перемещений»

Одной из основных задач механики твердого тела является оценка прочности элементов, работающих в реальных условиях эксплуатации. Одним из параметров, существенно влияющим на запас прочности элементов конструкций, является степень деформированности материала. Степень деформированности материала оценивается различными параметрами, которые не всегда являются инвариантными. В данной работе деформированность материала оценивается тензорами конечных деформаций и их инвариантами, что позволяет корректно оценить деформации частиц материала, включая окрестности зон локализации пластических деформаций.

Пластические свойства различных материалов были известны очень давно и изучались еще Кулоном (1776 г.). Систематические исследования пластических течений металлов были проведены Треска (1869 г.). В частности, он отметил основное свойство металлов в состоянии текучести - малую зависимость напряжений от величины происшедшей деформации, что явилось основой для построения теории идеального жесткопластического тела.

Теоретические основы описания этого явления были заложены в 1871 г. Б. Сен-Венаном [92] и М. Леви [82]. В этих работах, по существу в их современном виде, были сформулированы определяющие соотношения для жесткопластической среды в случае плоских [92] и пространственных [82] течений с условием пластичности Треска.

Реальные материалы обладают сложным комплексом свойств. Попытка учесть их все сразу чрезвычайно усложняет анализ. Однако зачастую необходимая информация может быть получена при помощи базовых моделей, к которым относится модель идеального жесткопластического тела; в этой модели полностью пренебрегают упругими деформациями. В такой постановке тело остается совершенно недеформируемым («жестким»), пока напряженное состояние в нем не станет где-либо удовлетворять условию текучести и не возникнет возможность пластического течения. При этом некоторые части тела останутся жесткими.

Естественно, что эта схема не всегда пригодна. Она приведет к подходящему приближенному решению, если пластическая область такова, что ничто не сдерживает развития пластических деформаций. Благодаря этому пластические деформации могут значительно превзойти упругие, что оправдывает использование схемы жесткопластического тела. При незначительном упрочнении совпадение теоретических и экспериментальных результатов для процессов холодной обработки металлов хорошее, и отклонения рассчитанных величин от опытных не превышают 10% [22].

Модель идеальной жесткопластической среды была переоткрыта Р. Мизесом в 1913 г. [84]. Основные соотношения были сформулированы с использованием условия текучести, предполагающего постоянным в области пластического течения интенсивность девиатора напряжений. Несколько раньше это же условие текучести было предложено М. Губером (1904 г.). Позднее Р. Мизес [84] сформулировал основные соотношения модели жесткопластической среды для произвольного гладкого условия текучести и вывел ассоциированный закон течения. Аналогичное построение для сингулярного условия текучести было дано Райссом.

Развитие фундаментальных соотношений теории идеальной пластичности связано также с именами Г. Гейрингер, Г. Генки, В. Койтера, Е. Ли, А. Надаи, Е. Оната, В. Прагера, Л. Прандтля, Р. Хилла и др. [59, 73, 77, 78, 87-90]. Вопросам и задачам теории идеальной пластичности посвящены многочисленные работы отечественных авторов: Б.Д. Анина, Г.И. Быковцева, Б.А. Друянова, Д.Д. Ивлева, А.Ю. Ишлинского, Л.М. Качанова, Ю.В. Немировского, Р.И. Непершина, Ю.Н. Радаева, В.В. Соколовского, С.А. Христиановича, А.И. Хромова и др. [1, 5, 10, 11, 20-22].

Жесткопластический анализ позволяет исследовать механику большинства процессов обработки материалов давлением. К настоящему времени получены решения многих важных технологических задач, причем в ряде случаев найдены простые аналитические зависимости между параметрами процессов и искомыми величинами. К таким задачам можно отнести задачи о внедрении штампов различной формы, волочении, прокатки, прессовании, растяжении полосы в условиях плоской деформации, сжатии плоским штампом клинообразной заготовки [4, 10, 11, 27].

При решении подобных задач деформации материала традиционно оценивались по полю перемещения частиц, находящихся в начальный момент времени в узлах прямоугольной сетки. Данные характеристики только качественно описывают поведение среды и не характеризуют, собственно, деформации материала как изменения относительного расстояния между частицами. Это приводит к ограниченному использованию получаемых результатов.

Другой проблемой этого направления является то, что деформации в пластической области распределяются крайне неравномерно. Эксперименты показывают существование тонких слоев локализации деформаций (порядка 20-50 мкм), примыкающих к жесткопластическим границам с большим градиентом скоростей перемещений, что в теории жесткопластических тел соответствует особенностям поля скоростей перемещений (точки, линии и поверхности разрывов различного порядка). Подобный эффект наблюдается также окрестности точек резкого изменения формы тела (например, угловых точек) [3, 4, 15, 16, 51, 64, 66]. Деформации в окрестности таких особенностей значительно превышают деформации в непрерывном поле скоростей перемещений и могут определять процессы разрушения материала. Поэтому особый интерес представляет определение полей деформаций именно в окрестности этих особенностей.

Применение для расчета деформационного состояния в окрестности выше указанных особенностей традиционных конечно-разностных и конечно-элементных методов, использующих свойство непрерывности функций и соответствующих их производных, существенно ограничено сходимостью и аппроксимацией процесса. Поэтому исследование полей деформаций в окрестности их особенностей необходимо вести аналитическими методами, понижая размерность задачи и сводя ее к интегрированию, например, систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Реальная прочность материала в составе конструкций на несколько порядков отличается от теоретически достижимой прочности, определяемой межатомными (межмолекулярными) связями. Снижение прочности объясняется наличием дефектов, приводящих к пластическому течению даже при относительно малых напряжениях, и трещин, в результате развития которых может наступить разрушение. В общем случае под разрушением подразумевается не только необратимый распад материалов на две или больше частей. В понятие разрушения входит также необратимое пластическое течение, которое характеризуется остаточной деформацией и приводящее к исчерпанию несущей способности. Поэтому описание процесса накопления деформаций представляет отдельную задачу.

Крайний случай (по отношению к линейной механике разрушения), когда пластическая область преобладает над упругой и охватывает все поперечное сечение тела, остается мало изученным. Из немногочисленных работ, посвященных этому направлению, следует отметить работы Ф.А. Макклинтока [83], А. Арагона и JI.M. Качанова [21, 22]. Трудности чисто пластического аспекта разрушения связаны с необходимостью анализа деформированного состояния при больших деформациях с учетом изменения геометрии свободных поверхностей тела. Современные пакеты программ расчета напряженно-деформированного состояния твердых тел типа Nastran, Ansys, LS-DYNA и др. позволяют оценить деформированное состояние тел для относительно малых деформаций. Под деформированным состоянием тел понимаются поля тензоров деформаций (тензоры конечных деформаций Альманси, Грина и др.). Эти поля, как правило, данными пакетами программ не определяются.

Целью данной работы является жесткопластический анализ процесса накопления пластических деформаций и их локализация при плоских пластических течениях с угловыми точками, содержащими при расчете полей напряжений и скоростей перемещений особенности типа поверхности разрыва скоростей и центра веера линий скольжения; определение зон возможного разрушения материала; описание процесса разрушения для задачи о растяжении полосы с вырезами в рамках плоской деформации.

Решение таких задач актуально при разработке математических моделей поведения реальных элементов конструкций, оценки их надежности, разрушения при длительной эксплуатации с большим накоплением остаточных деформаций и в экстремальных условиях. Это связано, в первую очередь, с тем, что пластические деформации в каждой частице детали и элемента конструкции несут информацию об истории ее работы, начиная с начала ее изготовления. Возможно применение данного подхода при разработке методов расчета технологических процессов обработки материалов давлением, резанием; для проектирования оборудования, используемого при этих процессах.

В первой главе представлены основные соотношения теории плоской деформации идеального жесткопластического тела. Описан метод исследования деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения (линия разрыва поля скоростей перемещений и центр веера характеристик) и накопления деформаций, полученных материалом в процессе деформирования. Обозначены требования к построению и существованию полного решения задач теории идеального жесткопластического тела. Сформулирован используемый деформационный критерий выбора предпочтительного решения. Формулируются критерии разрушения и выбора направления развития трещины.

Во второй главе рассмотрены задачи обработки материалов давлением. Получены соотношения, определяющие распределение поля деформаций задаче о течении материала по каналу с угловой точкой. Приведены расчеты для случаев, когда угловая точка находится в покое или является движущейся. Получены распределения деформаций с учетом их накопления в пластических течениях при прямом прессовании, обратном прессовании и прошивке полосы.

Получены соотношения, определяющие распределение поля деформаций при выглаживании поверхности жестким угловым штампом.

В третьей главе рассмотрена задача о растяжении полосы с V-образными концентраторами деформации. Рассмотрены известные решения этой задачи: решение Е. Ли (обобщения решений Хилла и Прандтля задачи о внедрении плоского штампа в жесткопластическое полупространство), решение О. Ричмонда и решение с несимметричным пластическим течением. Рассмотрено решение, когда в пластическом состоянии попеременно находятся верхняя и нижняя части полосы. Предложено новое решение этой задачи, когда положение пластической области (в верхней или нижней частях полосы) выбирается случайным образом.

В четвертой главе рассмотрена задача о разрушении полосы с V-образными вырезами при растяжении. Предложено решение задачи о разрушении полосы в окрестности вершин вырезов на основе решения задачи без разрушения. Предложены схемы построения свободных поверхностей и процесса разрушения при распространении внутренней трещины и комбинации внутренней и внешних трещин.

В работе принята тройная нумерация формул: первая цифра - номер главы, вторая - номер пункта; и двойная нумерация рисунков: первая цифра -номер главы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Лошманов, Антон Юрьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие результаты:

1. Разработан алгоритм и программа расчета полей тензоров деформаций в окрестности особенностей поля скоростей перемещений для решения плоских задач в рамках модели идеального жесткопластического тела.

2. Получены поля тензоров деформаций с учетом их накопления и локализации в задачах:

- течение жесткопластического материала по каналу с угловой точкой;

- прессование полосы;

- выглаживание поверхности жестким угловым штампом.

3. Предложено новое решение задачи о растяжении полосы с V-образными вырезами без разрушения. На основе анализа поля тензора деформаций производится выбор предпочтительного пластического течения.

4. Рассмотрены возможные случаи образования трещин в полосе с V-образными вырезами при растяжении на основе анализа полей тензоров деформаций в пластической области с учетом механических свойств конструкционных материалов. й

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лошманов, Антон Юрьевич, 2006 год

1. Аннин Б.Д. Современные модели пластических тел. Новосибирск: НГУ, 1975.96 с.

2. Бриджмен П. Исследование больших пластических деформаций и разрыва. -М.: Ил., 1955.444 с.

3. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука. 1998. 528 с.

4. Быковцев Г.И., Хромов А.И. Плоская деформация идеальных жесткопластических тел с учетом изменения границы // Изв. АН СССР. МТТ, 1979. №2. С.71-78.

5. Введение в механику сплошных сред: учеб. пособие / Черных К.Ф. Изд-во Ленингр. ун-та, 1984. 280 с.

6. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, - 1978. 304 с.

7. Джонсон У., Меллор П. Теория пластичности для инженеров. М.Е Машиностроение, 1979. 567 с.

8. Друянов Б.А. О полных решениях некоторых задач деформации полосы // МТТ, 1968. №2. С.171-173.1114,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,

9. Друянов Б.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности. М.: Машиностроение, 1990.-272 с.

10. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы / В.К. Семенченко. М.: Мир, 1974. 604 с.

11. Ерхов М.И. Теория идеальнопластических тел и конструкций. М.: Наука,1978. 352 с.

12. Ивлев Д.Д. К построению теории идеальной пластичности // ПММ, 1958. Т.22, вып.6. С.850-855.

13. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. В 2 т. Т.1. Теория идеальной пластичности. -М.: Физматлит, 2001. 448 с.

14. Козлова О.В., Хромов А.И. Константы разрушения для идеальных жесткопластических тел // Доклады АН. 2002. Т. 385. № 3. С.342-345. Койтер В. Соотношения между напряжениями и деформациями // Механика, № 2,1960.

15. Колесников Ю.В., Морозов Е.М. Механика контактного разрушения. М.: Наука, 1989. 224 с.

16. Корнев В.М. Модификация критерия разрушения Нейбера-Новожилова для угловых вырезов (антиплоская задача). // ПМТФ. Т.43, № 1 2002. С. 153139.

17. Леонов М.Я. Механика деформаций и разрушения. Фрунзе: Илим, 1981. 236 с.

18. Лошманов А.Ю. Выглаживание поверхности угловым штампом // Обозрение прикладной и промышленной математики / Тезисы докладов. -М.: ОПиПМ, Т. 13, вып. 2, 2006. С. 333-334.

19. Лошманов А. Ю. Об одном решении задачи о растяжении полосы с V-образными концентраторами деформаций // XXX Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е. В. Золотова : тезисы докладов. Хабаровск : Изд-во ДВГУПС, 2005. С. 162-163.

20. Лошманов А.Ю. Расчет полей деформаций в задачах обработки материалов давлением // Вестник ДВО РАН. 2006. № 4. С. 127-133.35