Связанные (пластичность-поврежденность) задачи механики деформируемых сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Курнышева, Наталья Александровна

• Курнышева, Наталья Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Курнышева, Наталья Александровна

Введение

Глава I. Тензорные меры анизотропного состояния поврежденности

1.1. Тензор поврежденности второго ранга.

1.2. Геометрическая модель пространственного поврежденного состояния

1.3. Тензоры поврежденности высоких рангов.

1.4. Вычисление тензора поврежденности по данным экспериментов

1.4.1. Двумерное ориентационное распределение поврежденности в концевой зоне коррозионной трещины

1.4.2. Усталостная микропластическая поврежденность при совместном действии циклического кручения и изгиба

Глава II. Связанные уравнения математической теории пластичности

II. 1. Условие текучести тела с рассеянными микроповреждениями

II.1.1. Эффективные напряжения. Тензор эффективных напряжений

И. 1.2. Обобщенное условие текучести Треска для микроповрежденного тела.

Н.2. Закон накопления повреждений.

11.3. Закон течения тела с рассеянными микроповреждениями

11.3.1. Обобщенный ассоциированный закон течения микроповрежденного тела для грани призмы Треска

11.3.2. Обобщенный ассоциированный закон течения микроповрежденного тела для ребра призмы Треска

11.4. Внутренние параметры поврежденного пластического состояния.

11.5. Уравнения несовместности микроповрежденной среды.

11.6. Формулировка связанных уравнений механики деформируемого тела в изостатической сетке.

И.6.1. Деривационные формулы для ортогональной криволинейной сетки £2, £3.

11.6.2. Уравнения равновесия в криволинейной сетке изостат

11.6.3. Уравнения совместности приращения малых деформаций в криволинейной сетке изостат.

11.6.4. Условие совместности для приращений поворотов

11.6.5. Соотношения Коши в изостатической сетке координат

11.6.6. Условие текучести тела с рассеянными микроповреждениями.

11.6.7. Закон течения тела с рассеянными микроповреждениями

Глава III. Классификация, характеристики и интегрируемые соотношения связанной системы уравнений теории пластичности

111.1. Характеристики связанных уравнений теории пластичности. Условия гиперболичности.

Конус характеристических направлений.

111.2. Характеристические соотношения осесимметричной и плоской связанный задач.

111.2.1. Связанная осесимметричная деформация.

111.2.2. Связанное пластически плоское деформированное состояние.

111.3. Интегрируемые соотношения вдоль изостат (пространственный случай).

Глава IV. Численный анализ связанной плоской и осесимметричной задачи теории пластичности

IV. 1. Конечно-разностная схема решения связанных задач

IV.2. Влияние микроповреждений на напряженное состояние у вершины трещины нормального отрыва (плоская задача).

IV.2.1. Постановка задачи.

IV.2.2. Общая численная схема решения плоской связанной задачи

IV.2.3. Результаты численных расчетов для связанного плоского деформированного состояния.

IV.3. Учет микроповреждений в области шейки при одноосном растяжении образца осесимметричная задача).

IV.3.1. Постановка задачи.

IV.3.2. Общая численная схема решения осесимметричной задачи с неизвестной границей.

IV.3.3. Результаты численных расчетов для связанной осесимметричной задачи (дискообразный вырез в теле)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Связанные (пластичность-поврежденность) задачи механики деформируемых сред»

Пластичность — это свойство твердых тел приобретать необратимые остаточные деформации, не изменяющиеся при постоянных внешних нагрузках. Основные эксперименты по изучению пластических свойств материалов проводятся над металлами, поэтому современная теория пластичности особенно связана со свойствами последних, хотя возможно ее применение к таким материалам, как горные породы, грунты, лед, сыпучие среды и т. д.

Теория пластичности — один из важнейших разделов механики деформируемого твердого тела. Она нашла широкое применение в области технологии обработки металлов давлением, оценки несущей способности конструкций, исследования распространил волн возмущений в металлах и грунтах, статике и динамике сыпучих сред. В основе математической теории пластичности лежит представление о поверхности нагружения (определяющей границу упругого поведения элемента тела в данном его состоянии) и ассоциированном законе течения, выражающем ортогональность приращения пластической деформации поверхности нагружения.

В настоящее время металлы являются единственными пластическими телами, для которых имеется достаточно данных, гарантирующих построение общей теории. В противоположность многим другим пластическим телам наиболее замечательное свойство металла состоит в его способности подвергаться обработке давлением в холодном состоянии. Для мягкого металла при обычных температурах и при надлежащим образом приложенных напряжениях может быть легко получено изменение размеров в двадцать раз, например, путем сжатия или сдвига медного цилиндра. Более сильные местные деформации создаются, когда заготовка металла выдавливается или пробивается.

Начало научного изучения пластичности металлов должно быть по справедливости отнесено к 1864 г. В этом году Треска (H. Tresca) [187] опубликовал предварительные итоги экспериментов по штамповке и выдавливанию, которые привели его к утверждению, что металл пластически течет, когда максимальное касательное напряжение достигает критического значения. Критерий течения пластических тел, главным образом грунтов, предложен раньше, например Кулоном (1773 г.). Он был применен Понселе (1840 г.) и Ренкиным (1853 г.) к таким задачам, как вычисление давления земли на подпорные стенки; однако, по-видимому, ранее важных исследований для металлов не было. Условие текучести Треска было применено Сен-Венаном (В. Saint-Venant) [189] для определения напряжений в частично пластичном цилиндре, подверженном кручению или изгибу (1870 г.), и в полностью пластичной трубе, расширяющейся под действием внутреннего давления (1872 г.) (первый шаг к решению для частично пластичной трубы был сделан Тернером в 1909 г.). Сен-Венан установил также систему пяти уравнений, связывающую напряжения и деформации при двумерном течении, и, признавая, что не хватает однозначного соотношения между напряжением и полной пластической деформацией, постулировал, что направления максимальной скорости сдвигающей деформации совпадают в каждый момент времени с направлениями максимального касательного напряжения. В 1871 г. Леви (М. Levy) [59], принимая концепцию Сен-Венана об идеально пластичном материале, предложил соотношения между напряжением и скоростью пластической деформации для пространственного течения.

В 1909 г. Хаар и Карман. (A. Haar, Th. von Karman) выдвинули условие полной пластичности [101], которое, по существу, устанавливает соответствие напряженного состояния ребру призмы Треска, и оказалось, что соотношения пространственной задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности являются статически определимыми.

В период между двумя мировыми войнами проблема активно разрабатывалась германскими авторами. В 1920 и 1921 гг. Прандтль показал, что плоская задача пластичности является гиперболической, и вычислил нагрузки, необходимые для вдавливания плоского штампа в плоскую поверхность и усеченный клин. Общая теория, лежащая в основе специальных решений Прандтля, была дана в 1923 г. Генки (Н. Непску) [24], который предложил использовать условие полной пластичности Хаара - Кармана в случае осесимметричного напряженного состояния, что привело его к статически определимой системе уравнений равновесия, которая оказалась гиперболической. Однако прошло некоторое время, прежде чем были получены уравнения, связывающие изменения скорости течения вдоль линий скольжения (Гейрингер, 1930 г.), при этом они были найдены задолго до того, как была внесена ясность в корректный подход к решению плоских задач (1945 - 1949 гг.).

После 1926 г., когда Лоде измерил деформации труб различных металлов при одновременном растяжении и внутреннем давлении, было показано, что соотношения Леви - Мизеса между напряжениями и деформациями верны в первом приближении. Однако результаты Лоде указывают на определенные отклонения, и они впоследствии были подтверждены более тщательными экспериментами Тейлора и Куинни (1931 г.). Теория была тогда же обобщена в двух важных направлениях: во-первых, Рейсом (1930 г.), который принял во внимание упругую часть деформации, следуя более раннему предложению Прандтля; во-вторых, Шмидтом (1932 г.) и Одкви-стом (1933 г.), которые несколько различными способами показали, каким образом упрочнение может быть введено в систему уравнений Леви - Мизе-са. Первое обобщение было в общих чертах подтверждено экспериментами Хоэнемзер (1931 - 1932 гг.),'а второе - исследованиями Шмидта.

Таким образом, около 1932 г. была создана теория, отображающая главные пластические и упругие свойства изотропного металла при обычных температурах и находящаяся в основном в соответствии с наблюдениями.

Переводы на русский язык трудов основоположников математической теории пластичности помещены в сборник [97], состоящий из 28 статей, принадлежащих перу Сен-Венана, Леви, Мизеса, Прандтля, Генки, Рейсса, Прагера. Эти работы отражают процесс становления и развития математической теории пластичности и дают возможность в подлиннике ознакомиться с ее основными концепциями, методами и результатами, оригинальность и своеобразие которых уже к 1948 г. позволили редактору сборника утверждать: "Эта теория, которую называют теорией пластичности (в узком смысле слова), не может считаться окончательно установленной; однако исследования последних лет выяснили с несомненностью некоторые основные законы, позволяющие считать многие результаты совершенно достоверными."

Считается, что первые работы по теории пластичности в нашей стране появились в 1936 г., которые связываются с именами A.A. Ильюшина и С.А. Христиановича [103].

В послевоенные годы только в изданиях Академии наук было опубликовано свыше двухсот работ, обзор которых дан в [21].

Главное практическое значение теории пластичности состоит в том, что она (вместе с теорией упругости и теорией ползучести) является теоретическим фундаментом науки о прочности и жесткости конструкций под действием статических и динамических нагрузок.

Для многих задач, представляющих наибольший практический интерес, вследствие математических трудностей мы вынуждены пренебрегать упругой составляющей деформации. Мы должны также пренебречь чисто упругой деформацией в непластической области. Следовательно, мы имеем дело с материалом, который является жестким, когда он напряжен ниже предела текучести, и модуль Юнга которого имеет бесконечно большое значение. Таким образом возникает модель идеально пластического тела. Распределение напряжений .в идеально пластическом теле близко к распределению напряжений в реальном металле при тех же внешних условиях тогда, когда пластический материал обладает свободой течения в некотором направлении.

Распространение математического аппарата гиперболических уравнений, описывающего плоское течение идеально пластического материала на общий трехмерный случай, явилось предметом целого ряда исследований.

В 1944 г. А.Ю. Ишлинский [46] исследовал осесимметричную задачу теории пластичности, предполагая выполнение условия полной пластичности, доказав статическую определимость и гиперболичность основных уравнений. С помощью численного метода в этой же работе было получено решение задачи о вдавливании твердого шарика в идеально пластическую среду.

Соотношения пространственной задачи теории пластичности, когда, аналогично условию полной пластичности Хаара - Кармана, имеется два соотношения между главными напряжениями, были предложены и проанализированы А.Ю. Ишлинским [47], который также использовал обобщенный закон пластического течения, не предполагающий столь жесткие ограничения на скорости пластических деформаций, устанавливаемые традиционным требованием пропорциональности тензора скорости пластических деформаций и девиатора тензора напряжений.

Результаты А.Ю. Ишлинского предвосхитили более поздние исследования Д.Д. Ивлева [36,37], в которых было показано фундаментальное значение условия полной пластичности Хаара - Кармана для всей теории пластичности и развит соответствующий вариант теории пластичности: сингулярное условие текучести (в частности, ребро призмы Треска) и обобщенный ассоциированный закон пластического течения. Было установлено, что при условии полной пластичности уравнения пространственной задачи теории идеальной пластичности являются статически определимыми и принадлежат к гиперболическому типу. Характеристические направления при этом образуют конус, касающийся площадок максимальных касательных напряжений, построенных в его вершине.

Кинематические соотношения теории идеальной пластичности на ребре призмы Треска были исследованы в 1977 г. Г.И. Быковцевым [14]. Им же были обобщены условия совместности на линиях и поверхностях разрыва и получены лучевые разложения решений на характеристических поверхностях.

Любопытно отметить, что как статические, так и кинематические уравнения осесимметричной задачи теории идеальной пластичности для грани призмы Треска также являются гиперболическими; характеристические направления ориентированы так же, как и главные направления тензора напряжений. Полное исследование характеристик уравнений осесимметричной задачи при условии пластичности Треска можно найти в [52, с. 258-268].

Значительный вклад в математическую теорию пластичности в разное время был сделан Б.Д. Анниным [1-4], Г.И. Быковцевым [14-17,43], М.А. Задояном [35], Д.Д. Ивлевым [36-44], A.A. Ильюшиным, А.Ю. Иш-линским [46-49], JI.M. Качановым [50,52], В.Д. Клюшниковым [54,55], Ю.Н. Работновым [84], БД Соколовским [94,95], JI.A. Толоконниковым [98], С.А. Христиановичем [103], Е.И. Шемякиным [104].

Стремительный рост производительности современной вычислительной техники привел к развитию численных методов решения задач математической теории пластичности [109,139,159].

Механика разрушения ветвь механики деформируемого твердого тела, которая изучает закономерности нарушения сплошности твердых тел.

Под разрушением в механике деформируемого твердого тела понимается макроскопическое нарушение сплошности тела в результате воздействия на него внешнего окружения. Разрушение обычно развивается параллельно с упругой или пластической деформацией твердого тела или в условиях ползучести. Различают две формы разрушения: скрытое разрушение — зарождение и развитие микродефектов, рассеянных по объему тела, и полное разрушение — разделение тела на части. Кроме того, различают несколько видов разрушения в зависимости от того, какие из свойств тела играют определяющую роль в наблюдаемом процессе разрушения: хрупкое (без заметных пластических деформаций)1, пластическое (вязкое)2, усталостное3

1При хрупком разрушении деформации тела обратимы вплоть до его разрушения. Образовавшиеся в результате хрупкого разрушения части тела обычно можно сложить, восстановив исходное тело. Этот вид разрушения характеризуется значительными необратимыми деформациями тела, приводящими к существенному искажению его геометрии и исчерпанию его несущей способности.

2При пластическом разрушении величина упругих деформаций тела обычно пренебрежимо мала.

3Усталостное разрушение — финальная стадия процесса развития дефектов, сопровождающего цики длительное4.

Исследование скрытого разрушения в настоящее время уже не является предметом механики разрушения, а осуществляется с помощью методов и теорий только что сложившейся новой науки — механики поврежденности. Поврежденность, следуя [156], трактуется как сокращение упругого отклика тела вследствие сокращения эффективной площади составляющих его элементов, передающей внутренние усилия от одной части тела к другой его части, обусловленного, в свою очередь, появлением и развитием рассеянного поля микродефектов (микротрещины — в упругости, дислокации — в пластичности, микропоры — при ползучести, поверхностные микротрещины — при усталости).

Основная область приложения механики деформируемого твердого тела - оценка прочности элементов конструкций. Под прочностью обычно понимают свойство тела в определенных условиях и пределах, не разрушаясь, сопротивляться воздействиям со стороны внешнего окружения (термическим, силовым, электромагнитным, химическим).

Механика разрушения, механика поврежденности и теории прочности в комплексе образуют науку, которая призвана решить главную прикладную задачу об оценке запаса прочности твердого тела. Известно несколько видов нарушения прочности, это — потеря устойчивости, чрезмерная деформация, усталость, износ, негативное воздействие внешней среды и пр.

Экспериментальное определение прочности по моменту разрыва образцов целенаправленно стали проводить в XIX веке в связи с ростом технического прогресса. Понимание того, что разрушение — это процесс, текущий лическое пластическое деформирование тела.

4Длительное разрушение является результатом прогрессивного накопления внутренних повреждений, разупрочнения и характерно для металлов в условиях ползучести. во времени, пришло не сразу и не сразу была осознана необходимость его изучения, ссылаясь на то, что этот процесс нельзя допускать и что для этого существует система коэффициентов запаса прочности. Строение излома, особенно после работ Веллера, изучавшего явление усталости, явно указывало на протяженность разрушения во времени [32,100].

В 1907 году появилось решение К. Вигхардта плоской задачи в действительных переменных о нагружении упругой плоскости с острым угловым вырезом [193]. Были получены асимптотические формулы для напряженно-деформированного состояния в окрестности конца выреза. Практически результат этого обсуждения вылился в критерий разрушения, устраняющий появляющуюся бесконечность напряжения посредством его осреднения на некотором пространственном отрезке перед острой кромкой выреза с последующим сопоставлением полученного осредненного напряжения с характеристикой прочности ненадрезанного материала. Позднее эта идея неоднократно переоткрывалась рядом авторов, в частности Г. Нейбером и В.В. Новожиловым [69,71,72,165]. Привлекли внимание научной общественности только работы A.A. Гриффитса, появившиеся в 1920 и 1924 годах [126-128]. В этих работах развивался энергетический критерий разрушения на основе первого закона термодинамики — энергия, необходимая на создание новой поверхности тела (трещины), черпается из энергии деформации напряженного тела. Им была исследована прочность плоскости при двухосном напряженном состоянии с большим числом, правда невзаимодействующих, трещин. Получена предельная огибающая в пространстве главных напряжений для расчета разрушающих напряжений при разных длинах трещин. Эти работы стали востребованными после дополнения 1947 г. И.Л. Шимелевичем, Е. Орованом и Дж.Р. Ирвиным поверхностного натяжения твердого тела работой пластической деформации у вершины трещины [138,168]. Полагалось, что поскольку удельная работа пластической деформации у вершины трещины много больше поверхностного натяжения (удельной поверхностной энергии), то последней пренебрегали. Затем выяснилось, что удельная работа пластической деформации (вязкость разрушения) является функцией удельной поверхностной энергии, что позволило учесть эффекты окружающей среды [120]. Однако задолго до этого в 1920-х годах А.Ф. Иоффе показал, что удаление поверхностных слоев существенно повышает прочность кристалла, приближая ее к теоретической [45]. Этим была продемонстрирована роль поверхностных трещин в инициировании хрупкого разрушения, происходящего в результате последующего роста трещин, разделяющих тело на части. Он же обосновал понятие критической температуры хрупкости, отделяющей на температурной шкале области хрупкого и вязкого разрушения, понятие, которое до практической реализации довел H.H. Давиденков [28,29]. Несколько позднее И.В. Обреимов показал возможность использования энергетического критерия Гриффитса для определения параметров разрушения при отщеплении клином тонкого слоя с поверхности кристалла слюды, что привело к способу определения поверхностной энергии твердого тела [166].

Работами А.К. Дымова, а затем H.H. Давиденкова и Я.Б. Фридмана была показана зависимость вида разрушения от напряженного состояния [29,31,100].

Появление теории дислокаций в 30-х годах объяснило физические причины не только пластического деформирования, но и разрушения.

В 40-х годах P.A. Заком получено решение на основе концепции Гриффитса о критическом состоянии пространства с дисковидной трещиной

179]. Несколько позднее И.H. Снеддон получил асимптотическое решение о напряженно-деформированном состоянии в ближайшей окрестности фронта трещины [184]. Примерно в это же время Н.Ф. Мотт на основе баланса энергий получил формулу для скорости роста трещины в закрити-ческой стадии после достижения растягивающей нагрузкой критического значения по Гриффитсу [161]. В начале 50-х годов Е.Х. Иоффе получила распределение напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины, движущейся с заданной скоростью [196]. Пятидесятые годы и начало шестидесятых характерны появлением обозримого числа работ Я.И. Френкеля, Ф.К. Рослера, X. Шардина, Грегса, Дж.П. Берри, К.Б. Броберг, А.К. Хеда, [99,110,113,134,178,180], посвященных принципиальным вопросам механики разрушения. Критериальное условие Ф.А. Мак-клинтока состояло в предположении, что рост трещины начинается при достижении деформацией крйтического значения на некотором расстоянии перед вершиной трещины [158]. В 1957 году M.JL Вильяме решил задачу, аналогичную задаче Вигхарда [195]. В 1958 году Ирвин использовал коэффициент при корневой особенности напряженного состояния у вершины трещины в качестве критериальной величины (силовой критерий разрушения) и одновременно показал эквивалентность силового и энергетического критериев [138]. После этих работ Ирвина стало возможным говорить о постепенном внедрении положений механики разрушения. Примерно в эти же годы появились работы М.Я. Леонова, В.В. Панасюка, П.М. Вит-вицкого, С.Я. Яремы, посвященные деформационному критерию разрушения [22,60,67,77,78].

Введено предположение, что рост раскрытой щели наступит, если расстояние между противоположными точками на берегах щели на границе области действия межатомных сил достигает предельной величины. Эта схема математически аналогична предположению о наличии тонкой пластической зоны вместо области действия межатомных сил. Та же задача была решена Д.С. Дагдейлом и A.A. Уэллсом [123,194]. Вообще, все критерии, построенные на величинах, относящихся к малой окрестности вершины трещины, неизбежно сводятся к критерию Ирвина [75].

В это же время появились основополагающие работы JI.M. Качано-ва [51] и Ю.Н. Работнова [82] по механике поврежденного континуума. Ценность этих первых работ, признанных ныне классическими, заключается в возможности применения единой схемы представления поврежден-ности для описания поврежденности в упругих и упругопластических телах, а также ее развития в условиях ползучести. Сущность нового подхода заключалась в использовании новой переменной — параметра поврежденности, отражающей присутствие в теле поврежденности (или различных видов повреждений). Последующее развитие теории происходило, в частности, по пути обобщения основных положений механики поврежденного контину-ума для случая трехмерного состояния анизотропной поврежденности [111,119,136,140,141,143,148,162-164,181].

Согласно сложившейся традиции, основополагающими для континуальной механики поврежденности следует считать известные статьи JI.M. Ка-чанова [51] и Ю.Н. Работнова [82]. Вклад JI.M. Качанова в механику поврежденности выразился в большом количестве работ, посвященных в основном описанию поврежденности и кинетики ее развития в условиях ползучести и подытоженных в монографии [140]. Важное место в научном творчестве Ю.Н. Работнова занимают проблемы моделирования и расчета поврежденности и длительной прочности элементов конструкций в условиях ползучести, при циклическом нагружении и под влиянием агрессивной внешней среды. Значительный вклад в конкретизацию определяющих зависимостей теории ползучести и длительной прочности, включающих скалярную меру поврежденности, принадлежит С.А. Шестерикову [105,106].

Учет поврежденности и микронеодродности напряженно-деформированного состояния металлов при пластическом течении был выполнен В.В. Новожиловым в цикле оригинальных работ (см. сборник его научных трудов [74]). Исторический аспект проблемы, основные идеи, методы и результаты феноменологического подхода к описанию поврежденности и разрушения твердых тел подытожены в докладе [73].

Влияние поврежденности на развитие трещин и моделирование пред-разрушения и задержки разрушения рассматривались A.A. Вакуленко и Н.Ф. Морозовым [18,19].

С середины 60-х годов появляются работы, посвященные изучению поведения трещин с помощью конфигурационной силы, введенной Эшелби в 1951 году и влияющей на особенность упругого поля [107]. Соответствующее выражение имеет вид интеграла, взятого по контуру, проведенному вокруг вершины трещины, названного впоследствии интегралом Черепанова-Раиса. Причем он инвариантен по отношению к форме и размерам контура. Кроме того, этот интеграл является коэффициентом при особенности полей напряжений и деформаций в упругопластической области у вершины трещины. Это обстоятельство позволило использовать его в качестве критериальной величины в записи критерия разрушения. Плодотворность этого аппарата выразилась в возможности решения разнообразного круга задач и в применении к оценке свойств трещиностойкости материалов.

Получали развитие работы по изучению кинетических аспектов роста трещин в телах разной реологии [9,10,13,33,34,93,96].

В конце 70-х годов были предложены первые теоретические модели роста трещин в металлах в условиях ползучести с явным учетом деградации прочностных свойств металла. Моделирование основывалось на предположении, что рост трещины происходит в том случае, если некоторая мера поврежденности достигает своего критического значения на некотором расстоянии от вершины трещины. В [5,145] при моделировании роста трещин использовался скалярный параметр поврежденности Качанова-Работнова. В [175] параметр поврежденности связывался с величиной пористости материала и предполагалось, что процесс накопления повреждений обусловлен совместным действием диффузионного и вязкого механизмов роста пор в условиях высокотемпературной ползучести. В [118] в качестве меры поврежденности материала принималась величина интенсивности накопленных деформаций ползучести. Модель, описывающая рост трещин в условиях ползучести, в более общей постановке была предложена в [6]. В рамках этой модели предполагалось, что величина критической поврежденности материала не является постоянной, зависит от уровня напряжений и убывает при возрастании интенсивности напряжений.

Асимптотическое решение для поля напряжений у вершины трещины в упрочняющейся среде, формально пригодное и для случая установившейся ползучести, было исследовано в работах [137,174]. В работе [177] проанализировано перераспределение напряжений, вызванное влиянием упругих деформаций, для случая неподвижной трещины. В условиях ползучести происходит перераспределение напряжений у вершины подрастающей трещины. Новый тип сингулярности поля напряжений для растущей в условиях ползучести трещины был определен в [135].

Однако наиболее существенное влияние на перераспределение напряжений и деформаций в окрестности вершины трещины, несомненно, оказывает величина накопленной поврежденности. Первые теоретические модели, учитывающие процесс накопления рассеянных повреждений, основывались на несвязанной постановке задачи теории ползучести и механики поврежденности. В несвязанной постановке накопленная поврежденность определялась посредством интегрирования кинетического уравнения после определения поля напряжений. Таким образом, величина накопленной поврежденности не влияет на напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины трещины. Немногочисленные работы [132,133] были посвящены конечноэлементному анализу процесса роста трещины в условиях ползучести на основе связанной постановки задачи теории ползучести с поврежденностью, предложенной впервые Ю.Н. Работновым [83].

В связанной постановке задачи теории ползучести и механики поврежденности параметр поврежденности входит в определяющие соотношения задачи и, следовательно, влияет на напряженно-деформированное состояние.

Проблема моделирования роста трещин в связанной постановке представляет собой одну из важных задач механики деформируемого твердого тела, и к настоящему времени предприняты попытки рассмотреть распространение трещины в связанной постановке. Так, в [7] дано решение задачи о росте трещины антиплоского сдвига в среде с поврежденностью в связанной постановке. Исследование показало, что у вершины трещины отсутствует характерное для теории трещин сингулярное поле напряжений: эффективные напряжения ограничены, сами напряжения и сплошность линейно падают до нуля, к свободным от нагрузок берегам трещины вблизи ее вершины примыкают области полностью разрушенного материала, в которых все напряжения и сплошность равны нулю.

В [8] рассмотрена задача о растущей в процессе ползучести трещины нормального отрыва в среде с поврежденностью. Результаты показывают, что к берегам растущей трещины примыкает область полностью поврежденного материала. Такое поле напряжений принципиально отличается от соответствующего сингулярного поля напряжений в несвязанной постановке задачи.

В [197] изучен усталостный рост трещины в среде с поврежденностью. Установлено, что принципиально невозможно удовлетворить граничным условиям на берегах трещины, что в свою очередь приводит к необходимости модификации постановки задачи: введения области, в которой все компоненты тензора напряжений и сплошность равны нулю.

Наряду с построением асимптотик полей напряжений и сплошности в окрестности вершины прорастающей трещины, как это было сделано в работах [7,8,197], в [176] введены автомодельные переменные для задачи о росте трещины в среде с поврежденностью. Однако полное решение данной задачи к настоящему времени отсутствует.

Параллельно развиваются методы оценки трещиностойкости на стадии распространения трещины при циклическом нагружении [65,108]. Повсеместное распространение находит степенная зависимость П. Р. Париса для скорости роста трещины в функции размаха коэффициента интенсивности напряжений.

Разработка основ классической механики разрушения и появление прикладных задач, связанных с созданием сложных технических систем в атомной энергетике, ракетно-космическом комплексе, нефте газо химии, привели к формированию новых направлений исследований в механике трещин, к которым можно отнести коррозионно-механическое разрушение, механику катастрофических разрушений, механику контактного разрушения, микроструктурную механику разрушения, аналитическое и численное моделирование распространения трещин при наличии связанных физико-механических полей и многие другие.

Практическая потребность в расчетах прочности на основе положений механики разрушения стимулировала разработку методических нормативных (руководящих) документов, регламентирующих методы и средства измерения характеристик трещиностойкости в разных условиях нагруже-ния [26,64-66]. В настоящее время практически ни один проект, ни одно сопровождение эксплуатации сложных технических систем, ни одна экспертиза аварийных ситуаций не обходятся без применения аппарата механики разрушения.

Целью работы является моделирование напряженно-деформированного состояния пластических тел с рассеянным полем микроповреждений, что является одной из важнейших задач механики деформируемого твердого тела, особенно в применении к выяснению вопросов распространения трещин. Обобщение понятия поля скольжения на случай связанных состояний. Расчет влияния рассеянного поля микроповреждений на распределение напряжений в теле с помощью связанной краевой задачи (пластичность-поврежденность) составляет основу работы, а также развитие численных методов расчета поля напряжений и поврежденности, позволяющих найти решения плоской и осесимметричной связанных (пластичность-поврежден-ность) задач математической теории пластичности, описываемых гиперболическими дифференциальными уравнениями.

Актуальность темы заключается в следующем:

Теория связанных (пластичность-поврежденность) задач имеет важные приложения во многих областях техники (оценка прочности и несущей способности конструкций, обработка металлов), в геофизике и геологии. Моделирование напряженно-деформированного состояния пластических тел с рассеянным полем микроповреждений, является одной из важнейших задач механики деформируемого твердого тела, особенно в применении к выяснению вопросов устойчивого состояния и распространения трещин. Данная тематика актуальна в плане совершенствования расчетов на прочность элементов конструкций. Теоретические рассмотрения и экспериментальные данные свидетельствуют о существенном влиянии рассеянного поля микроповреждений, локализованных в зонах пластического течения у концентраторов напряжений (трещины, вырезы и другие дефекты), на распределение напряжений в теле. Решение связанной плоской и осесиммет-ричной задачи механики деформируемых тел имеет большое значение для построения теории испытания материалов на твердость. В связи с этим тематика работы, несомненно, является актуальной. Связанная постановка позволяет учесть искажение пластического течения анизотропным полем микроповреждений и одновременно возрастание повреждений в процессе накопления пластических деформаций. Актуальным представляется также учет анизотропии распределения поврежденности в основных уравнениях математической теории пластичности.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

Рассмотрены вопросы математического представления анизотропного состояния поврежденности. В рамках математической модели поврежденность представляется тензором поврежденности. Тензорная мера анизотропной поврежденности является мерой сокращения, вследствие распределения микроповреждений, реально несущей нагрузку площади двумерного элемента тела в зависимости от его ориентации. Тензорная мера анизотропной поврежденности вводится как симметричный тензор второго ранга, который имеет три взаимно ортогональных главных направления (главные оси поврежденности) и три соответствующих собственных значения (главные поврежденности). Считается, что ортонормированный базис тензора поврежденности ориентирован точно так же, как и базис из собственных векторов тензора напряжений.

Получена замкнутая система статических и кинематических уравнений теории связанной пластичности и поврежденности в изостатической координатной системе относительно главных приращений пластических деформаций и приращений перемещений, которая оказывается наиболее удобной для представления и анализа уравнений связанной задачи. Обобщено ключевое для дальнейшего анализа понятие поля скольжения на случай связанных состояний, получены уравнения для характеристик связанных задач. Найдены соотношения, интегрируемые вдоль линий главных напряжений. Показано, что система основных соотношений связанных (пластичность-поврежденность) задач относится к гиперболическому типу.

Разработан численный метод расчета главных напряжений, поврежденности и сетки изостатических траекторий вблизи выреза одноосно растягиваемого образца с учетом анизотропного распределения микроповреждений. Исследована задача о расчете пластической зоны у вершины трещины одноосно растягиваемого образца в плоской постановке с учетом накопления анизотропной поврежденности и о локализации пластических деформаций и повреждений в пределах шейки одноосно растягиваемого образца по обобщенной схеме полной пластичности. Численно определены поле изостат, распределение главных напряжений, поврежденности, сетка линий скольжения и найдена предельная растягивающая нагрузка.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием фундаментальных представлений теории пластичности и теории поврежденности, применением классических методов механики сплошных сред, достаточно хорошим качественным и количественным согласованием полученных результатов с известными экспериментальными данными по геометрии изостатических траекторий.

Практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы при расчетах предельного состояния жесткопластических тел, применяемых в инженерной практике при оценке жесткости и устойчивости элементов конструкций.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Курнышева, Наталья Александровна

Заключение

1. Разработан алгоритм построения тензорных мер анизотропной повреж-денности, исходя из распределения по ориентациям микродефектов в пространстве. Алгоритм позволяет вывести тензор поврежденно-сти заданного четного ранга непосредственно из известного или полученного экспериментально распределения поврежденности по ориентациям. Методы и результаты, приведенные в работе, могут быть применены к анализу любой физической величины, непрерывно или кусочно-непрерывно распределенной по ориентациям.

2. Дана геометрическая и механическая интерпретация собственных элементов (главных направлений и спектра поврежденности) тензора поврежденности. Понятие о спектре трехмерной анизотропной поврежденности распространено вплоть до бесконечного (счетного) дискретного спектра.

3. Рассмотрено жесткопластическое тело, подчиняющееся обобщенному критерию текучести Треска, с рассеянным анизотропным полем повреждений. Поврежденность представляется симметричным тензором поврежденности второго ранга, главные оси которого совпадают с главными осями тензора напряжений. Предложена математическая модель связанного (пластичность-поврежденность) состояния, которая базируется на уравнениях, включающих уравнения равновесия, обобщенное условие пластичности, уравнение несовместности приращений пластических деформаций, соотношения обобщенного ассоциированного закона течения с учетом повреждений, а также уравнения, определяющие изменение главных поврежденностей в зависимости от приращений деформаций. Получена замкнутая система статических и кинематических уравнений теории связанной пластичности и поврежденности в изостатической координатной системе.

4. Проанализирована замкнутая система трехмерных кинематических уравнений теории связанной пластичности и поврежденности в изостатической координатной системе относительно главных приращений пластических деформаций и приращений перемещений. Показано, что система основных трехмерных кинематических соотношений является правильно определенной и принадлежит к гиперболическому типу. Обобщено понятие характеристического конуса Д.Д. Ивлева на случай связанных пространственных состояний.

5. Показано, что система основных соотношений в случаях плоского и осесимметричного связанного состояния относится к гиперболическому типу, что позволяет обобщить ключевое для дальнейшего анализа понятие поля скольжения на случай связанных состояний. Вычислен наклон линий скольжения в среде с анизотропным распределением микроповреждений.

6. Предложен численный метод расчета главных напряжений, поврежденности и сетки изостатических траекторий вблизи выреза. Исследована задача о расчете пластической зоны у вершины трещины одноосно растягиваемого образца в постановке плоского деформированного состояния с учетом накопления анизотропной поврежденности. Численно определены поле изостат, распределение главных напряжений, поврежденности и сетка линий скольжения. Проведен численный анализ задачи о локализации пластических деформаций в пределах шейки одноосно растягиваемого образца в осесимметрич-ной постановке по обобщенной схеме полной пластичности. Проведено сравнение с экспериментальными данными, полученными ранее Бриджменом.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Курнышева, Наталья Александровна, 2007 год

1. Аннин, Б.Д. Одно точное решение осесимметричной задачи идеальной пластичности / Б.Д. Аннин // Прикл. мех. и техн. физика. — 1973. - т. - С. 171-172.

2. Аннин, Б.Д. Групповые свойства и точные решения уравнений пластичности Мизеса и Треска / Б.Д. Аннин // Теоретична и прилож-на механика: труды IV конгресса. — Кн. 1. — София: БАН, 1981. — С. 644-649.

3. Аннин, Б.Д. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности / Б.Д. Аннин, В.О. Бытев, С.И. Сенатов. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1985. 143 с.

4. Аннин, Б.Д. Упруго пластическая задача / Б.Д. Аннин, Г.П. Черепанов. — Новосибирск: Наука, 1983. — 240 с.

5. Астафьев, В. И. О росте трещин при ползучести с учетом пластической зоны вблизи вершины трещины / В. И. Астафьев // ПМТФ. — 1979. №6. - С. 154-158.

6. Астафьев, В. И. Закономерности подрастания трещин в условиях ползучести / В. И. Астафьев // Изв. АН СССР. — Мех. тверд, тела. — 1986. №1. - С. 127-134.

7. Астафьев, В. И. Влияние поврежденности материала на напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины трещины при ползучести / В. И. Астафьев, Т. В. Григорова , В. А. Пастухов // ФХММ. 1992. - Т. 28. - №1. - С. 5-11.

8. Астафьев, В. И. Распределение напряжений и поврежденности у вершины растущей в процессе ползучести трещины / В. И. Астафьев,

9. Т. В. Григорова // Изв. РАН. — Мех. тверд, тела. — 1995. — №3. — С. 160-166.

10. Астафьев, В.И. Нелинейная механика разрушения / В. И. Астафьев, Ю.Н. Радаев, JI.B. Степанова. — Самара: Издательство "Самарский университет", 2001. — 632 с.

11. Бартенев, P.M. Влияние масштабного фактора на механизм разрушения и долговечность полимеров в твердом состоянии / P.M. Бартенев, Д. Шерматов, А.Г. Бартенева // Высокомолекулярные соединения. — 1998. V. А40. - №9. - С. 1465-1473.

12. Бердичевский, B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды / B.JI. Бердичевский. — М.: Наука, 1983. — 448 с.

13. Блох, В.И. Теория упругости / В.И. Блох. — Харьков: Издательство Харьковского университета, 1964. — 484 с.

14. Болотин, В.В. О распространении усталостных трещин в линейных вязкоупругих средах / В.В. Болотин // Изв. АН. — Механика твердого тела. 1998. - №. - С. 117-127.

15. Быковцев, Г.И. Свойства уравнений пространственной задачи теории идеальной пластичности / Г.И. Быковцев, И.А. Власова // Механика деформируемых сред: межвуз. сб. — Куйбышев: Куйбышевский гос. университет, 1977. Вып. 2. - С. 33-68.

16. Быковцев, Г.И. Теория пластичности / Г.И. Быковцев, Д.Д. Ивлев. — Владивосток: Дальнаука, 1998. — 528 с.

17. Быковцев, Г.И. К теории осесимметричного состояния идеально пластического материала / Г.И. Быковцев, Д.Д. Ивлев, Т.Н. Мартынова // Прикл. мех. и техн. физика. — 1963. — №5. — С. 102-108.167

18. Быковдев, Г.И. О свойствах общих уравнений теории идеальной пластичности при кусочно-линейных потенциалах / Г.И. Быковцев, Д.Д. Ивлев, Т.Н. Мартынова // Изв. АН СССР. — Мех. тверд, тела. 1965. - №1.

19. Вакуленко, А. А. Определение скорости распространения трещин / A.A. Вакуленко, Н. Ф. Морозов , А. В. Проскура // ФХММ. —1993. — Вып. 3. С. 137-140.

20. Вакуленко, А. А. Расчет времени задержки разрушения / A.A. Вакуленко, Н. Ф. Морозов-, А. В. Проскура // Исследования по упругости и пластичности. Механика разрушения. Теория и эксперимент. — 1995. №17. - С. 19-22.

21. Вакуленко, A.A. Континуальная модель среды с трещинами / A.A. Вакуленко, M.JI. Качанов // Изв. АН СССР. — Мех. тверд, тела. — 1971. №4. - С. 159-166.

22. Вакуленко, A.A. Теория пластичности / A.A. Вакуленко, M.JI. Качанов // Механика в СССР за 50 лет. Т.З. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука, 1972.

23. Витвицкий, П.М. О разрушении пластинок со щелью / П.М. Витвиц-кий, М.Я. Леонов // Прикладная механика. — 1961. — №5.

24. Волков, С.Д. Проблема прочности и механика разрушения / С.Д. Волков // Проблемы прочности. — 1978. — №7. — С. 3-12.

25. Генки, Г. О некоторых статически определимых случаях равновесия в пластических телах / Г. Генки // Теория пластичности: сб. ст. — М.: Гос. издательство иностр. литературы, 1948. — С. 80-101.168

26. Гиббс, Дж. В. Термодинамика. Статическая механика / Дж.В. Гиббс. М.: Наука, 1982. - 584 с.

27. ГОСТ 25.506-85. Методы механических испытаний металлов. Определение характеристик трещиностойкости (вязкости разрушения) при статическом нагружении. — М.: Издательство стандартов, 1985. — 61 с.

28. Грин, А. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды / А. Грин, Дж. Адкинс. — М.: Мир, 1965. — 456 с.

29. Давиденков, H.H. Динамические испытания маталлов / H.H. Дави-денков. 2-е изд. - М.: ОНТИ, 1936. - 395 с.

30. Давиденков, H.H. Проблема удара в металловедении / H.H. Давиденков. М.; Л.: Издательство АН СССР. ОТН, 1938. - 116 с.

31. Давиденков, H.H. Анализ напряженного состояния в шейке растянутого образца / H.H. Давиденков, Н.И. Спиридонова // Заводская лаборатория. 1945. - Т. XI. - С. 583-593.

32. Дымов, А.К. Сопротивление материалов / А.К. Дымов. — 1933.

33. Екобори, Т. Научные основы прочности и разрушения материалов / Т. Екобори; Пер. с японского. — Киев: Наукова думка, 1978. — 352 с.

34. Журков, С.Н. Кинетическая концепция прочности твердых тел / С.Н. Журков // Вестник АН СССР. 1968. - №3. - С. 496-527.

35. Журков, С.Н. Кинетические концепции прочности твердых тел / С.Н. Журков // Изв. АН СССР. — Неорганические материалы. — 1967. Т.З. - №10. - С. 1767-1771.

36. Задоян, М.А. Пространственные задачи теории пластичности / М.А. Задоян. М.: Наука, 1992. - 382 с.169

37. Ивлев, Д.Д. Об общих уравнениях теории идеальной пластичности и статики сыпучих сред / Д.Д. Ивлев // Прикл. матем. и механика. — 1958. Т. 22. - Вып. 1. - С. 90-96.

38. Ивлев, Д.Д. О соотношениях, определяющих пластическое течение при условии пластичности Треска, и его обобщениях / Д.Д. Ивлев // Докл. АН СССР. 1959. - Т. 124. - №3. - С. 546-549.

39. Ивлев, Д.Д. Об одном частном решении общих уравнений теории идеальной пластичности в цилиндрических координатах при условии пластичности Треска / Д.Д. Ивлев // Изв. АН СССР. — ОТН мех. и машиностроения. — 1959. — №1. С. 132-133.

40. Ивлев, Д.Д. К теории осесимметричного напряженного состояния при условии пластичности Треска / Д.Д. Ивлев // Изв. АН СССР. — ОТН мех. и машиностроения. — 1959. — №6. — С. 112-114.

41. Ивлев, Д.Д. О вдавливании тонкого тела вращения в пластическое полупространство / Д.Д. Ивлев // Прикл. мех. и техн. физика. — 1960. Ш. - С. 75-78.

42. Ивлев, Д.Д: Теория идеальной пластичности / Д.Д. Ивлев. — М.: Наука, 1966. 232 с.

43. Ивлев, Д.Д. Механика пластических сред: в 2 т. Т. I. Теория идеальной пластичности / Д.Д. Ивлев. — М.: Физматлит, 2001. — 448 с.

44. Ивлев, Д.Д. Теория упрочняющегося пластического тела / Д.Д. Ивлев, Г.И. Быковцев. М.: Наука, 1971. - 231 с.

45. Ивлев, Д.Д. Об условии полной пластичности для осесимметричного состояния / Д.Д. Ивлев, Т.Н. Мартынова // Прикл. мех. и техн. физика. 1963. - №3. - С. 102-104.170

46. Иоффе, А.Ф.Деформация и прочность кристаллов / А.Ф. Иоффе, М.В. Кирпичева, М.А. Левитская // Журнал русского физико-химического общества. — Часть физическая. — 1924. — Вып. 56. — С. 489-503.

47. Ишлинский, А.Ю. Осёсимметрическая задача пластичности и проба Бринелля / А.Ю. Ишлинский // Прикл. матем. и механика. —1944. — Т. 8.-Вып. З.-С. 201-224.

48. Ишлинский, А.Ю. Об уравнениях деформирования тел за пределом упругости / А.Ю. Ишлинский // Уч. зап. МГУ. Механика. — 1946. — Вып. 117. С. 90-108.

49. Ишлинский, А.Ю. Прикладные задачи механики. Книга 1. Механика вязкопластических и не вполне упругих тел / А.Ю. Ишлинский. — М.: Наука, 1986. 360 с.

50. Ишлинский, А.Ю. Математическая теория пластичности / А.Ю. Ишлинский, Д.Д. Ивлев. — М.: Физматлит, 2001. — 704 с.

51. Качанов, Л.М. Вариационные принципы для упругопластических сред / JI.M. Качанов // Прикл. мат. и мех. — 1942. — Т.6. — Вып.2-3. С. 187-196.

52. Качанов, Л.М. О времени разрушения в условиях ползучести / Л.М. Качанов // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. - №8. - С. 26-31.

53. Качанов, Л.М. Основы теории пластичности / Л.М. Качанов. — М.: Наука, 1969. 420 с.

54. Кинематика разрушения листовой аустенитной стали на заключительной стадии деформирования / A.A. Лебедев, Н.Г. Чаусов,

55. О.И. Марусий и др. // Проблемы прочности. — 1989. — №3. — С. 16-21.

56. Клюшников, В.Д: Математическая теория пластичности / В.Д. Клюшников. — М.: Издательство МГУ, 1979. — 207 с.

57. Клюшников, В.Д. Физико-математические основы прочности и пластичности / В.Д. Клюшников. — М.: Издательство Московского университета, 1994. — 189 с.

58. Коллатц, Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений / Л. Коллатц. — М.: Издательство иностр. литературы, 1953. — 460 с.

59. Курант, Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант. — М.: Издательство иностр. литературы, 1964. — 830 с.

60. Ландау, Л.Д. Статическая физика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. — М.: Наука, 1976. 584 с.

61. Леви, М. К вопросу об общих уравнениях внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами упругости / М. Леви // Теория пластичности: сб. ст. — М.: Гос. издательство иностр. литературы, 1948. — С. 20-23.

62. Леонов, М.Я. Механика деформаций и разрушения / М.Я. Леонов. — Фрунзе: Илим, 1981. — 236 с.

63. Лурье, А.И. Пространственные задачи теории упругости / А.И. Лурье. — М.: Гостехтеоретиздат, 1955. — 492 с.

64. Лурье, А.И. Теория упругости / А.И. Лурье. — М.: Наука, 1970. — 940 с.

65. Лурье, А.И. Нелинейная теория упругости / А.И. Лурье. — М.: Наука, 1980. 512 с.

66. Методика определения допускаемых дефектов в металле оборудования и трубопроводов во время эксплуатации АЭС. — М-02-91.— М., 1991.

67. Методы механических испытаний металлов. Определение характеристик трещиностойкости при циклическом нагружении: метод, указания. М.: ИМАШ РАН, 1993. - 53 с.

68. Механика катастроф. Определение характеристик трещиностойкости конструкционных материалов: метод, рекомендации. — М.: ФЦНТП ПП "Безопасность", МИБ СТС, Ассоциация КОДАС. Т. 1. 1995. -360 с; Т. 2. - 2001. - 254 с.

69. Мураками, С. Математическая модель трехмерного анизотропного состояния поврежденности / С. Мураками, Ю.Н. Радаев // Изв. РАН. — Мех. тверд, тела. 1996. - №4. - С. 93-110.

70. Нейбер, Г. Концентрация напряжений / Г. Нейбер; пер. с нем.; под ред. А.И. Лурье. — М.: Гостехиздат, 1947. — 204 с.

71. Никитин, JI.В. Об осуществимости состояний материала, соответствующих "падающему" участку диаграммы / J1.B. Никитин, Е.И. Ры-жак // Изв. АН СССР. МТТ. - 1986. - №2. - С. 155-161.

72. Новожилов, В. В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности / В. В. Новожилов // Прикл. матем. и мех. — 1969. — Т.ЗЗ. т. - С. 212-222.

73. Новожилов, В. В. К основам теории равновесных трещин в хрупких телах / В. В. Новожилов // Прикл. матем. и мех. — 1969. — Т.ЗЗ. — №5. С. 797-812.

74. Новожилов, В. В. О перспективах феноменологического подхода к проблеме разрушения / В. В. Новожилов // Механика деформируемых тел и конструкций. — М.: Машиностроение, 1975. — С. 349-359.

75. Новожилов, В. В. Вопросы механики сплошной среды / В. В. Новожилов. — Л.: Судостроение, 1989. — 400 с.

76. Об условии в конце трещины / Л.А. Галин, Я.В. Фридман, Г.П. Черепанов, Е.М. Морозов, В.З. Партон // Докл. АН СССР. 1969. -Т. 187. - №4. - С. 754-757.

77. Онат, Е. Образование шейки при пластическом течении растягиваемого плоского образца / Е. Онат, В. Прагер // Механика. Сб. переводов. М.: Издательство АН СССР, 1955. - №4(32). - С. 93-97.

78. Панасюк, В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами / В.В. Панасюк. — Киев: Наукова думка, 1968. — 246 с.

79. Панасюк, В.В. Механика квазихрупкого разрушения материалов / В.В. Панасюк. — Киев: Наукова думка, 1990. — 545 с.174

80. Папкович, П.Ф. Теория упругости / П.Ф. Папкович. — М.; JL: Обо-ронгиз, 1939. 640 с.

81. Поздеев, A.A. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения / A.A. Поздеев, П.В. Трусов, Ю.И. Няшин. — М.: Наука, 1986. 232 с.

82. Положий, Г.Н. Уравнения математической физики / Г.Н. Положий. — М.: Высш. школа, 1964. — 560 с.

83. Работнов, Ю. Н. О механизме длительного разрушения / Ю. Н. Ра-ботнов // Вопросы прочности материалов и конструкций. — М.: Издательство АН СССР, 1959. С. 5-7.

84. Работнов, Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций / Ю. Н. Работнов. М.: Наука, 1966. - 752 с.

85. Работнов, Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю. Н. Работнов. М.: Наука, 1988. - 712 с.

86. Радаев, Ю.Н. Предельное состояние шейки произвольного очертания в жесткопластическом теле / Ю.Н. Радаев //Изв. АН СССР. — Мех. тверд, тела. 1988. - №6. - С. 69-75.

87. Радаев, Ю.Н. Теория конечных деформаций сплошных сред / Ю.Н. Радаев. — Самара: Издательство Самарского гос. университета, 1997. 103 с.

88. Радаев, Ю.Н. Тензорные меры поврежденности и гармонический анализ тонкой структуры поврежденности / Ю.Н. Радаев // Вестник Самарского гос. университета. — 1998. — №2(8). — С. 79-105.

89. Радаев, Ю.Н. Континуальные модели поврежденности твердых тел: дис. . д-ра физ.-мат. наук / Ю.Н. Радаев / — М., 1999. — 380 с.175

90. Радаев, Ю.Н. Канонические инварианты уравнений теории связанной пластичности и поврежденности / Ю.Н. Радаев // Вестник Самарского гос. университета. — 1999. — №4(14). — С. 70-93.

91. Радаев, Ю.Н. Канонические инварианты уравнений теории связанной пластичности и поврежденности / Ю.Н. Радаев // Изв. РАН. — Мех. тверд, тела. 2000. — №5. - С. 27-45.

92. Радаев, Ю.Н. Об одном численном методе решения осесимметричной задачи теории пластичности / Ю.Н. Радаев, Ю.Н. Бахарева // Вестник Самарского гос. университета. — 2004. — Второй спец. выпуск. — С. 52-64.

93. Радаев, Ю.Н. О гиперболичности связанных уравнений математической теории пластичности / Ю.Н. Радаев, H.A. Курнышева // Вестник Самарского гос. университета. — 2005. — №6(40). — С. 89-112.

94. Регель, Н.Б. Кинетическая природа прочности твердых тел / Н.Б. Ре-гель, А.П. Слуцкер, Э.Е. Томашевский. — М.: Наука, 1974. — 560 с.

95. Соколовский, В.В. Плоское и осесимметричное равновесие пластической массы между жесткими стенками /В.В. Соколовский // Прикл. мат. и мех. 1950. - Т. 14. - Вып. 1. - С. 75-92.

96. Соколовский, В.В. Теория пластичности / В.В. Соколовский. — М.: Высшая школа, 1969. — 608 с.

97. Тамуж, В.Г. Микромеханика разрушения полимерных материалов / В.Г. Тамуж, B.C. Куксенко. Рига: Зинатне, 1978. - 294 с.

98. Теория пластичности: сб. ст. / под ред. Ю.Н. Работнов. — М.: Издательство иностр. литературы, 1948. — 452 с.176

99. Толоконников, JI.А. Механика деформируемого твердого тела / Л.А. Толоконников. — М.: Высшая школа, 1979. — 318 с.

100. Френкель, Я.И. Введение в теорию металлов / Я.И. Френкель. — М.: ГИТТЛ, 1950.

101. Фридман, Б.Я. Механические свойства материалов: в 2 т. / Б.Я. Фридман. — М.: Машиностроение, 1974. — Т. 1. — 472 е.; Т. 2. — 368 с.

102. Хаар, А. К теории напряженных состояний в пластических и сыпучих средах / А. Хаар, Т. Карман // Теория пластичности: сб. ст. — М.: Гос. издательство иностр. литературы, 1948. — С. 41-56.

103. Хилл, Р. Математическая теория пластичности / Р. Хилл. — М.: Го-стехиздат, 1956. — 480 с.

104. Христианович, С.А. Плоская задача математической теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре / С.А. Христианович. // Мат. сб. Новая серия. — 1936. — Т. 1. — Вып. 4. С. 511-534.

105. Христианович, С.А. К теории идеальной пластичности / С.А. Христианович, Е.И. Шемякин // Инж. ж. — Мех. тверд, тела. — 1967. — №4. С. 86-97.

106. Шестериков, С. А. Конкретизация уравнений состояния в теории ползучести / С. А. Шестериков, М. А. Юмашева // Изв. АН СССР. — Мех. тверд, тела. 1984. - №3. - С. 126-141.

107. Эшелби, Дэю. Континуальная теория дислокаций / Дэю Эшелби; пер. с англ.; под ред. Б.Я. Любова. — М.: Иностр. лит., 1963. — 247 с.

108. Ярема, С.Я. Об основах и некоторых проблемах механики усталостного разрушения / С.Я. Ярема // Физико-химическая механика материалов. 1987. - №5. - С. 17-29.

109. Armen, Н. Assumptions, models, and computational methods for plasticity / H. Armen // Computer-Aided design. — 1979. — V. 11. — Issue 6. P. 161-174.

110. Berry, J.P. Some kinetic consideration of the Griffith criterion for fracture. Pt. I, II / J.P. Berry //J. Mech. and Phys. Solids. I960. - V. 8. -No. 3. - P. 194-216.

111. Betten, J. Damage tensors in continuum mechanics / J. Betten // J. de Mecanique The orique et Appliquee. -1983. V. 2. - No. 1. - P. 13-32.

112. Betten, J. Applications of tensor factions in continuum damage mechanics / J. Betten // Int. J. Damage Mechanics. — 1992. — V. 1. — No. 1. P. 47-59.

113. Broberg, K.B. The propagation of a brittle crack / K.B. Broberg // Arkiv for Fysik. I960. - Bd. 18. - H. 10. - P. 159-192.

114. Chaboche, J.L. Continuum damage mechanics: Part I — General concepts / J.L. Chaboche // J. Appl. Mech. 1988. - V. 55. - No. 1. -P. 59-64.

115. Chaboche, J.L. Continuum damage mechanics: Part II — Damage growth,crack initiation, and crack growth / J.L. Chaboche //J. Appl. Mech. — 1988. V. 55. - No. 1. - P. 65-72.

116. Chow, C.L. Ductile fracture characterization with the anisotropic continuum damage theory / C.L. Chow, J. Wang // Eng. Fracture Mech. 1988. - V. 30. - P. 547-563.

117. Ciancio, V. On the representation of dynamic degrees of freedom / V. Ciancio, J. Verhas //J. Non-Equilib. Thermodyn. — 1993. — V. 18. — P. 39-50.

118. Cocks, A. C. F. The growth of dominant crack in a creeping material / A. C. F. Cocks, M. F. Ashby // Scr. Metall. 1982. - V. 16. -P. 109-114.

119. Cordebois, J. P. Anisotropic damage in elasticity and plasticity / J. P. Cordebois, F. Sidoroff // J. de Mecanique Theorique et Appliquee. — 1982. Numero Special. - P. 45-60.

120. Dahl, J.M. The strength of materials at aggressive medium / J.M. Dahl // Trans. Strength Problems of Deformed Bodies. — СПб: Издательство СПб АН по проблемам прочности, 1997. — Т. 1. — С. 61-68.

121. Davison, L. Thermodynamic constitution of spalling elastic bodies / L. Davison, A.L. Stevens // J. Appl. Phys. -1973. V. 44. - P. 668-674.

122. Dragon, A. A continuum model for plastic brittle behavior of rock and concrete / A. Dragon, Z. Mroz // Int. J. Eng. Sci. 1979. - V. 17. -No. 2. - P. 121-137.

123. Dugdale, D.S. Yielding of steel sheets containing slits / D.S. Dugdale // J. Mech. and Phys. Solids. I960. - V. 8. - No. 2. - P. 100-108.179

124. Ericksen, J.L. Tensor Fields / J.L. Ericksen // Principles of Classical Mechanics and Field Theory. Encyclopedia of Physics, Vol.III/1. Ed. by S. Flugge. Berlin: Springer, 1960. - P. 794-858.

125. Frocht, M.M. Photoelasticity / M.M. Frocht. Vol.I. - John Wileg&Sons, New York, 1949. - 411pp.; Vol.11. - John Wileg&Sons, New York, 1948. - 505pp. (Vol.I., pp. 57-63.)

126. Gilman, J.J. Alan Arnold Griffith, An Appreciation / J.J. Gilman // Fracture: A Topical .Encyclopedia of Current Knowledge. Ed. by G.P. Cherepanov. — Melbourne: Krieger Publ. Corp., 1998.

127. Griffith, A. A. The phenomenon of rupture and flow in solids / A. A. Griffith // Phil. Trans. Roy. Soc. Ser. A. 1920. - V.221. -P. 163-198.

128. Griffith, A.A. The theory of rupture / A. A. Griffith // Proc. 1st. Congr. Appl. Mech. Delft, 1924. - P. 55-63.

129. De Groot, S.R. Non-Equilibrium Thermodynamics / S.R. De Groot, P. Mazur. — Amsterdam: North-Holland, 1962.

130. Gyarmati, I. Non-Equilibrium Thermodynamics / I. Gyarmati. — Berlin: Springer, 1970.

131. Hayhurst, D. R. The role of continuum damage in creep crack growth / D. R. Hayhurst, P. R. Brown, C. J. Morrison // Phyl. Trans. Roy. Soc. — 1984.-V. A311.-P. 131-158.180

132. Hayhurst, D. R. Estimates of the creep rupture lifetime of structures using finite element method / D. R. Hayhurst, R R. Dimmer, M. W. Chernuka // J. Mech. and Phys. Solids. 1975. - V. 23. -P. 335-355.

133. Head, A.K. The growth of fatigue cracks / A.K. Head // Phil. Mag. -1953. — V. 44. Ser. 7. - №356. - P. 925-938.

134. Hui, C. Y. The asymtotic stress and strain field near the tip of a growing crack under creep conditions / C. Y. Hui, H. Riedel // Int. J. of Fracture. 1981. - V. 17. - P. 409-425.

135. Hult, J. Creep in Continua and Structures / J. Hult / Topics in Applied Continuum Mechanics. Ed. by J.L. Ziegler. — Vienna: Springer, 1974. — P. 137-155.

136. Hutchinson, J. W. Singular behavior at the end of tensile crack in a hardening material tip"/ J. W. Hutchinson //J. Mech. Phys. Solids. — 1968. V. 16. - P. 13-31.

137. Irwin, G.R. Fracture / G.R. Irwin / Handbuck der Physik. Bd. 6. -Berlin: Springer-Verlag, 1958. P. 551-590.

138. Xiao-Mo, Jiang. Spread-of-plasticity analysis of three dimensional steel frames / Jiang Xiao-Mo, Chen Hong, J.Y. Richard Liew // J. of Constructional Steel Research. 2002. - V. 58. Issue 2. - P. 193-212.

139. Kachanov, L.M. Introduction to Continuum Damage Mechanics / L.M. Kachanov. — Dordrecht; Boston: Martinus Nijhoff, 1986. — 135 pp.

140. Krajcinovic, D. Constitutive equations for damaging materials / D. Krajcinovic // J. Appl. Mech. 1983. - V. 50. - P. 355-360.181

141. Krajcinovic, D. Damage mechanics / D. Krajcinovic // Mech. Materials. 1989. - V. 8. - P. 117-197.

142. Krajcinovic, D. Damage mechanics / D. Krajcinovic. — Amsterdam: Elsevier Science B. V., 1996. 762 pp.

143. Krajcinovic, D. The continuous damage theory of brittle materials. Part I: General theory / D. Krajcinovic, G.U. Fonseka //J. Appl. Mech. — 1981. V. 48. - No. 4. - P. 809-815.

144. Kubo, S. An analysis, of creep crack propagation on the basis of the plastic singular stress field / S. Kubo, K. Ohji, K. Ogura // Eng. Frac. Mech. — 1979. V. 11. - P. 315-329.

145. Lee, E. Plastic flow in a V-notched bar pulled in tension / E. Lee // J. Appl. Mech. 1952, - V. 19. - P. 331-336.

146. Lee, E. Elastic-plastic deformation at finite strains / E. Lee //J. Appl. Mech. 1969. - V. 36. - P. 1-6.

147. Lemaitre, J. A Course on Damage Mechanics / J. Lemaitre. — Berlin: Springer-Verlag, 1992. 210 pp.

148. Lemaitre, J. Aspect phenomenologique de la rupture par endommagement / J. Lemaitre, J.L. Chaboche // J. de Mechanique Appliquée. 1978. - V. 2. - P. 317-365.

149. Lemaitre, J. Mechanics of Materials / J. Lemaitre, J.L. Chaboche. — Cambridge: Cambridge University Press, 1990.

150. Love, A.E.H. A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity / A.E.H. Love. — New York: Dover Publications, 1944. — 643 pp.182

151. Lubarda, V.A. Damage tensors and the crack density distribution / V.A. Lubarda, D. Krajcinovic // Int. J. Solids Structures. — 1993. — V. 30. No. 20. - P. 2859-2877.

152. Lur'e, A.I. Three-Dimensional Problems of the Theory of Elasticity / A.I. Lur'e. — Interscience Publishers. — New York; London; Sydney, 1964. 494pp. (TYansl. from Russian by D.B. McVean, Ed. by J.R.M. Radok).

153. Malvern, L.E. Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium / L.E. Malvern. — Prentice-Hall. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice — Hall, 1969. 714 pp.

154. Maugin, G. A. Internal variables and dissipative structures / G. A. Maugin // J Non-Equilib. Thermodyn. 1990. - V. 15. -P. 173-192.

155. Maugin, G.A. The Thermomechanics of Plasticity and Fracture / G. A. Maugin. — Cambridge: Cambridge University Press, 1992. — 350 pp.

156. Maxwell, J.C. On the Equilibrium of Elastic Bodies / J.C. Maxwell // The Transaction of the Royal Society of Edindurgh. 1853. - V. 20. -P. 87-120.

157. McClintock, F.A. Ductile fracture instability in shear /

158. F.A. McClintock // J. Appl. Mech. 1958. - V. 25. - P. 581-588.

159. Mitchell, G.P. Numerical solutions for elastic-plastic problems /

160. G.P. Mitchell, D.R. Owen // J. Eng. Comput. 1988. - V. 5. - No. 4. -P. 274-284.

161. Moriguti, S. Fundamental theory of dislocations of elastic bodies. Ogo Sudaku Rikigaku / S.' Moriguti // Applied Math, and Mechanics. — 1947. No. 1. - P. 87-90.

162. Morozov, E.M. Some Heuristic Models of Propageting Cracks / E.M. Morozov // FRACTURE; A Topical Encyclopedia of Current Knowledge. Ed. by G.P; Cherepanov. — Melbourn: Grieger Publ. Comp., 1998. P. 440-449.

163. Murakami S. Anisotropic Aspects of Material Damage and Application of Continuum Damage Mechanics / S. Murakami / Continuum Damage Mechanics — Theory and Applications. Eds. D. Krajcinovic and J. Lemaitre. Wien: Springer-Verlag, 1987. - P. 91-133.

164. Murakami, S. Mechanical modeling of material damage / S. Murakami // J. Appl. Mech. 1988. - V. 55. - No. 2. - P. 280-286.

165. Murakami, S. A Continuum Theory of Creep and Creep Damage / S. Murakami, N. Ohno / Creep in Structures. Eds. A. R. S. Ponter and D. R. Hayhurst. Berlin: Springer-Verlag, 1981. - P. 422-444.

166. Neuber, H. Uber die Berücksichtigung der Spannungskonzentration bei Festigkeitsberechnungen / H. Neuber // Konstruction. —1968. — V. 20. — P. 245-251.

167. Obreimoff, J.W. The splitting stregth of mica / J.W. Obreimoff // Proc. Of the Royal Society of London. Ser. A. - V. CXXVII. - 1930. -No. 804. - P. 290-297.

168. Onat, E.T. Effective properties of elastic materials that contain penny shaped voids / E.T. Onat // Int. J. Engng. Sei. 1984. - V. 22. -No. 8-10.-P. 1013-1021.

169. Orowan, E.O.: Transactions Inst. Engrs. Shipbuild. — Scotland. — 1945. V. 89. - P. 165.

170. Prager, W. A Geometrical discussion of the slip line fild in plane plastic, flow / W. Prager // Trans. Roy. Inst. Tech., Stockholm. -1953. No. 65.

171. Radayev, Y.N. Constitutive models of anisotropic damage and modeling of damaging microprocesses in solids / Y. N. Radayev // Вестник Самарского гос. университета. — Естественнонаучная серия. — Второй спец. выпуск. 2003. — С. 74-86.

172. Radayev, Y.N. On directional average of the local anisotropic damage / Y. N. Radayev // Int. J. Fracture. 2004. - V. 128. - P. 293-307.

173. Radayev, Y.N. Mathematical Description of Anisotropic Damage State in Continuum Damage Mechanics / Y. N. Radayev, S. Murakami, K. Hayakawa // Trans. Japan Soc. Mech. Engn. 1994. - V. 60 A. -No. 580. - P. 68-76.

174. Rice, J. R. Plane strain deformation near a crack tip in a power-law hardening material / J. R. Rice, G. F. Rosengren // J. Mech. Phys. Solids. 1968. - V. 16. - P. 32-48.

175. Riedel, H. The extension of a macroscopic crack at elevated temperature by the coalescence of microvoids / H. Riedel // Creep Structures: Proc. 3rd Symp., Leicester., 1980. Berlin: Springer, 1981. - P. 504-519.185

176. Riedel, H. Fracture at High Temperature / H. Riedel. — Berlin: Springer, 1987. 418 pp.

177. Riedel, H. Tensile crack in creeping solids / H. Riedel, J. R. Rice // ASTM STP 700. 1980. - P. 112-130.

178. Roesler, F.C. Brittle fracture near equilibrium / F.C. Roesler // Proc. Phys. Soc, Sec. B. 1956. - V. 69. - Pt. 10. - №442. - P. 981-992.

179. Sack, R.A. Extension of Griffith theory of rupture of three dimension / R.A. Sack // Proc. Phys. Soc. 1946. - V. 58. - P. 729-736.

180. Schardin, H. Photogr. et cinematogr. ultra-rapides / H. Schardin. — Paris: Dunod, 1956. P. 301.

181. Seweryn, A. On the criterion of damage evolution for variable multiaxial stress states / A. Seweryn, Z. Mroz // Int. J. Solids Structures. — 1998. — V. 35. No. 14. - P. 1589-1616.

182. Simo, J.C. Strain- and stress- based continuum damage models — I. Formulation / J.C. Simo, J.W. Ju // Int. J. Solids Structures. -1987. -V. 23. №7. - P. 821-840.

183. Smith, G.F. On Isotropic Integrity Basis / G.F. Smith // Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. - V. 18. - P. 282-292.

184. Sneddon, I.N. The distribution of stress in the neighborhood of a crack in an elastic solid / I.N. Sneddon // Proc. Roy. Soc. Ser.A. — 1946. — V. 187. P. 229-260.

185. Spencer, A.J.M. Theory of Invariants / A.J.M. Spencer // Continuum Physics. V. I. Ed. A. C. Eringen. — New York: Academic Press, 1971. — P. 239-353.

186. Spencer, A.J.M. The Theory of Matrix Polynomials and its Application to the Mechanics of Isotropic Continua / A.J.M. Spencer, R.S. Rivlin // Arch. Rat. Mech. Anal. 1958, 1959. - V. 2. - P. 309-336.

187. Tresca, H. Mémoire sur l'écoulement des corps solides soumis à de fortes pressions / H. Tresca // C. R. Acad. Sei. Paris. 1864. - V. 59. -P. 754.

188. Truesdell, C. The Classical Field Theories / C. Tïuesdell, R.A. Toupin / Principles of Classical Mechanics and Field Theory. — Encyclopedia of Physics. Vol. III/l. Ed. S. Flügge. - Berlin: Springer, 1960. -P. 226-793.

189. Wang, A. Plastic flow in a deeply notched bar with semi-circular root / A. Wang // Quart. Appl. Math. 1954. - V. 11. - P. 427-438.

190. Wang, C.C. On Representations for Isotropic Function. Part I, II / C.C. Wang // Arch. Rat. Mech. Anal. 1969. - V. 33. - P. 249-287.

191. Washizu, K. A note on the conditions of computibility / K. Washizu // J. Math. Phys. 1958: — No. 36. - P. 306-312.

192. Weighardt, K. Über Spalter und Zerressen elastischer Korper / K. Weighardt // Zeitsehr. für Math, und Phys. 1907. - Bd. 55. -No. 1/2. - P. 60-103.

193. Wells, A. A. Application of fracture mechanics at and beyond general yielding / A. A. Wells // Brit. Yielding J. 1963. - V. 10. - No. 11. -P. 563-570.

194. Williams, M.L. On the stress distribution at the base of a stationary crack / M.L. Williams // Journ. Appl. Mech. 1957. - V. 24. - No. 1. -P. 109-114.

195. Yoffe, E.H. The moving Griffith crack / E.H. Yoffe // Phil. Mag. -1951. V. 42. - Pt. 2; - P. 739-750.

196. Zhao, Jun. The asymptotic study of fatigue crack growth based on damage mechanics / Jun Zhao, Xing Zhang // Eng. Fract. Mech. — 1995. — V. 50. No. 1. - P. 131-141.

197. Zheng, Q.-S. Theory of Representation for Tensor Functions: A Unified Invariant Approach to Constitutive Equations / Q.-S. Zheng // Appl. Mech. Rev. 1994. - V. 47. - P. 545-587.

198. Ziegler, H. Some extremum principles in irreversible thermodynamics with applications to continuum mechanics / H. Ziegler // Progress in Solid Mechanics. Eds. I. N. Sneddon and R. Hill. — Amsterdam: North-Holland, 1963. V. 4. - P. 93-193.