Пластические течения в окрестности скругленных угловых вырезов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Патлина, Оксана Валерьевна

• Патлина, Оксана Валерьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Патлина, Оксана Валерьевна

Основные обозначения.

Введение.

Глава 1. Основы теории идеального жесткопластического тела.

1.1. Теория плоской деформации.

1.2. Соотношения вдоль линий скольжения.

1.3. Интегрирование уравнений плоской деформации.

1.4. Определение полей деформаций.

1.5. Критерии разрушения и неединственность решения.

1.6. Построение полного решения.

Глава 2. Пластическое течение в окрестности скругленного углового выреза с постоянным углом раскрытия.

2.1. Обзор работ.

2.2. Вывод уравнения свободной поверхности.

2.3. Траектории движения частиц.

2.4. Определение радиусов кривизны поля линий скольжения.

2.5. Диссипация энергии и полнота решения.

Глава 3. Пластическое течение в окрестности скругленного углового выреза с переменным углом раскрытия.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Вывод уравнения свободной поверхности.

3.3. Траектории движения частиц.

3.4. Диссипация энергии и полнота решения.

Глава 4. Применение модели к решению упругопластических задач.

4.1. Сравнение с экспериментами.

4.2. Критерий перехода от затупления к разрушению в вершине.

4.3. Численно-аналитический метод оценки диссипации энергии.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Пластические течения в окрестности скругленных угловых вырезов»

Оценка качества конструкционных материалов с позиции континуальной механики разрушения занимает прочное место при разработке новых материалов и проектировании различного рода ответственных конструкций. Формулировка условия локального разрушения в рассматриваемой точке является важнейшим моментом в механике разрушения. Первостепенную роль в развитии трещин играет предшествующая разрушению пластическая деформация. Анализ пластических течений в окрестностях резкого изменения форм является актуальным, поскольку может служить основой для расчета необходимой энергии разрушения.

В общем случае под разрушением понимается не только распад тела на части. В понятие разрушения входит также необратимое пластическое течение, которое характеризуется остаточными деформациями и приводит к исчерпанию несущей способности. Напряженно-деформированное состояние, приобретенное в процессе службы, сопровождается рассеянием работы внутренних сил. Применение теории идеального жесткопластического тела к задачам механики разрушения актуально, поскольку она позволяет рассчитывать один из главных параметров истории деформирования — диссипацию механической энергии.

Модель идеального жесткопластического тела является наиболее разработанным разделом теории пластичности. В этой постановке полностью пренебрегают упругими деформациями. Теория идеального жесткопластического тела базируется на экстремальном принципе неравновесной термодинамики — принципе максимума Мизеса, который можно рассматривать как вариант формулировки принципа Онзагера. Жесткопластический анализ позволяет успешно описывать различные технологические процессы (такие как волочение, прессование, прокатка), решать задачи о внедрении штампов различной формы и растяжении образцов, ослабленных вырезами. Особый интерес представляет исследование задач с учетом изменения геометрии свободных поверхностей. Модель идеального жесткопластического тела является предельной по отношению к другим более сложным моделям деформируемых сред (упрочняющемуся жестко пластическому телу, упрочняющемуся упругопластическому телу и т. п.). Поэтому решения, полученные в ее рамках, могут служить оценкой для более сложных процессов деформирования.

Область применимости жесткопластического анализа к решению прикладных задач можно иллюстрировать с помощью диаграммы сг - е. Традиционное применение идеальной пластичности к задачам обработки металлов давлением состоит в фиксировании предела текучести между значениями сгт (предел текучести) и сг в (предел прочности).

Малоиспользуемая область применения в теоретических исследованиях — продолжение диаграммы сг - а за а ^ предел прочности сгв по жесткопластическому закону. Вместе с этим, данный вид экстраполяции используется во всех конечно-элементных пакетах программ типа АЫ8У8. Разработка области применения идеальной пластичности является одной из задач данной работы. а х О

Особенностью жесткопластического анализа является неединственность положения и вида пластической области, и вместе с тем, неединственность поля скоростей перемещений, определяющего изменение геометрии тела. Преимущества заключаются в возможности:

- построения аналитического описания пластических течений с учетом изменения геометрии свободных поверхностей;

- оценки предельных (конечных) значений тензоров напряжений и деформаций в окрестностях резкого изменения геометрических форм тела (включая угловые точки).

Первые работы по теории пластичности были выполнены в семидесятых годах XIX века Б. Сен-Венаном и М. Леви, которым принадлежит создание одного из вариантов теории пластичности, а также получение основных уравнений задачи плоской деформации. В 1909 г. опубликована работа А. Хаар и Т. Кармана, в которой была сделана попытка вывода основных уравнений из вариационного принципа. В статье Р. Мизеса (1913 г.) система уравнений Сен-Венана - Леви дополнилась условием пластичности, которое раньше было получено М. Губером. Г. Генки, Л. Прандтль и Р. Мизес вывели основные уравнения различных вариантов теории пластичности и получили решения задачи плоской деформации. В 20-х годах XX века в ряде работ были опубликованы результаты экспериментальной проверки различных гипотез.

Вопросам и задачам теории идеальной пластичности посвящены многочисленные работы: Б.Д. Аннина, Г.И. Быковцева, X. Гейрингер, Г. Генки, Б.А. Друянова, Д.Д. Ивлева, А.Ю. Ишлинского, Л.М. Качанова, В.Д. Клюшникова, Ю.В. Немировского, Р.И. Непершина, В.В. Соколовского, Р. Хилла, С.А. Христиановича и др.

Важнейшим моментом в механике трещин является формулировка условия локального разрушения в рассматриваемой точке контура трещины. Критерий разрушения не следует из уравнений равновесия и движения механики сплошной среды. Он является дополнительным краевым условием при решении вопроса о предельном равновесии тела с трещиной. Наиболее просто формулируется условие локального разрушения в теории квазихрупких трещин, когда пластическая область у вершины трещины мала по сравнению с длиной трещины и размерами образца. Если в области вершины трещины произошла заметная пластическая деформация, или образец находится в области общей текучести, то локальные напряжения и деформации уже нельзя рассчитать, используя значение приложенного напряжения. Использование обычных численных методов приводит к значительным трудностям. Поэтому разработка методов оценки напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины представляет собой актуальную задачу.

Крайний случай (по отношению к линейной механике разрушения), когда пластическая область преобладает над упругой и охватывает все поперечное сечение тела, остается мало изученным. Трудности чисто пластического аспекта разрушения связаны с необходимостью анализа деформированного состояния при больших деформациях с учетом изменения геометрии свободных поверхностей тела. Из немногочисленных трудов, посвященных этому направлению, следует отметить работы А. Ванга, Дж. Джойса, Л.М. Качанова, Ф. Макклинтока.

Одной из основных причин разрушения является диссипация механической энергии в материале. Расчет диссипации энергии Ж при больших пластических деформациях представляет определенные трудности, вызванные необходимостью интегрирования вдоль пути деформирования частиц: деформаций; ¿0 и £ — время.

Анализ пластических течений в окрестности угловых и скругленных вырезов является актуальным, поскольку может служить основой для расчета необходимой энергии разрушения. Энергетический критерий разрушения является наиболее универсальным на сегодняшний день. Для жесткопластического тела он сформулирован в [71]: разрушение в заданной точке образца наступает при достижении объемной плотностью диссипации энергии Ж некоторого критического значения . Альтернативой энергетическому условию является использование деформационного критерия: разрушение в заданной точке образца наступает по достижении первым главным значением тензора конечных деформаций Альманси Ех предельного

Здесь сг,у — тензор напряжений; тензор скоростей значения Е*. Величины Ж* и Е* есть пластические характеристики материала, определяемые экспериментально из испытаний на одноосное растяжение [31].

Целью данной работы является построение возможных пластических течений и расчет диссипации энергии в окрестности вершины скругленного углового выреза с учетом изменения геометрии свободной поверхности жесткопластического тела. Решение подобных задач актуально для прогнозирования зарождения, распространения и остановки трещин в реальных конструкциях.

В первой главе представлены основные соотношения теории плоской деформации. Рассмотрены методы интегрирования уравнений плоской деформации с использованием двойных степенных рядов. Приведены методы расчета полей деформаций. Введены критерии разрушения жесткопластических тел. Обозначены требования к построению и существованию полного решения задач теории идеального жесткопластического тела.

Во второй главе рассматривается пластическое течение в окрестности скругленного углового выреза с постоянным углом раскрытия 26. В первом параграфе приведен обзор работ, посвященных исследованию формы свободной поверхности £(/), образующейся при растяжении полосы со скругленным угловым вырезом. Во втором параграфе с помощью двойных степенных рядов определено поле скоростей перемещений в пластической области и предложен вывод аналитических уравнений свободной поверхности Е(/). Уравнение £(/) найдено в параметрическом виде. Параметрами являются: у — угол между касательной к £(/) и осью Ох; время t. В третьем параграфе построены траектории частиц, сформировавших £(0, и проанализирована их кинематика. В четвертом параграфе изложен алгоритм определения радиусов кривизны поля линий скольжения, основанный на использовании радиуса кривизны £(/)• В пятом параграфе на основе полученных полей скоростей перемещений и радиусов кривизны исследована диссипация энергии в пластической области и на линиях разрыва скоростей. Рассмотрен вопрос о полноте решения.

В третьей главе исследуется пластическое течение в окрестности скругленного выреза с переменным углом раскрытия. В первом параграфе определяется поле скоростей перемещений в двойных степенных рядах и устанавливается число неизвестных величин. Во втором параграфе предложен аналитический вывод уравнения свободной поверхности. В третьем параграфе рассмотрена кинематика частиц на свободной поверхности. В четвертом параграфе получено поле радиусов кривизны линий скольжения и исследована диссипация энергии частиц в пластической области. Рассмотрен вопрос о полноте решения.

Четвертая глава посвящена вопросу применения жесткопластических моделей к описанию процессов пластического течения в реальных телах. В первом параграфе проведено сравнение с численной схемой А. Ванга по определению скоростей перемещений точек свободной поверхности и с экспериментом Дж. Джойса, исследовавшим форму Х(7). Во втором параграфе предложен энергетический критерий, позволяющий установить переход от непрерывного формообразования (затупления) к разрушению в вершине Е(/). В третьем параграфе предложен численно-аналитический подход, позволяющий использовать пластическое течение, рассмотренное в главе 3, для описания поля диссипации энергии в окрестности скругленного выреза при решении упругопластических задач.

В работе принята тройная нумерация формул: первая цифра - номер главы, вторая - номер пункта; и двойная — нумерация рисунков: первая цифра — номер главы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Патлина, Оксана Валерьевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие результаты:

1. Получено аналитическое описание формы свободной поверхности, образующейся из скругленного выреза в жесткопластической полосе при растяжении.

2. Разработан алгоритм определения диссипации энергии в окрестности скругленного выреза, учитывающий изменение геометрии свободной поверхности жесткопластического тела.

3. Сформулирован энергетический критерий, позволяющий установить момент перехода от непрерывного формообразования (затупления) к появлению локальной трещины в вершине скругленного выреза в жесткопластическом теле.

4. Предложен численно-аналитический подход, позволяющий оценивать диссипацию энергии в окрестности скругленных вырезов при решении упругопластических задач.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Патлина, Оксана Валерьевна, 2010 год

1. Агамирзян JI.C. Решение задач статики сыпучей и пластической сред при помощи рядов метацилиндрических функций // Инж. журн. 1961. Т.1, №4. С. 76-85.

2. Аркулис Г.Э., Дорогобид В.Г. Теория пластичности. М: Металлургия, 1987. 350 с.

3. Бернштейн M.JL, Займовский В.А. Механические свойства металлов. М: Металлургия, 1979. 494 с.

4. Браун У., Сроули Дж. Испытания высокопрочных металлических материалов на вязкость разрушения при плоской деформации. М: Мир, 1972. 245 с.

5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по высшей математике. М: Наука, 1981.718 с.

6. Буханько A.A. Растяжение полосы с V-образными вырезами в рамках теории плоской деформации // Зимняя школа по механике сплошных сред (тринадцатая): тезисы. Екатеринбург: УрО РАН, 2003. С. 65.

7. Буханько A.A. Разрушение полосы с V-образными вырезами при растяжении // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ,Т. 10, вып. 1, 2003. С. 111-113.

8. Быковцев Г.И., Хромов А.И. Плоская деформация идеальных жесткопластических тел с учетом изменения границы // Изв. АН СССР. МТТ, 1979. №2. С. 71-78.

9. Быковцев Г.И., Хромов А.И. Разрушение идеальных жесткопластических тел // Сибирская школа по современным проблемам механики деформируемого твердого тела: тезисы. Якутск, 1990. С. 30-31.

10. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. 529 с.

11. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. 304 с.

12. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, 1978. 304 с.

13. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Гос.изд.физ.-мат.лит., 1963. 660 с.

14. Джонсон У., Меллор П. Теория пластичности для инженеров. М.: Машиностроение, 1979. 567 с.

15. Друянов Б.А. Об интегрировании уравнений плоского течения идеальнопластических тел // Докл. АН СССР, 1965. Т.167, № 5. С. 10231024.

16. Друянов Б.А. О полных решениях некоторых задач деформации полосы // МТТ, 1968. № 2. С. 171-173.

17. Дудукаленко В.В, Мяснянкин Ю.М. Об определении изменяющейся границы тела при плоском пластическом деформировании // Науч.тр.фак.прикл.мат. и мех.Воронеж.ун-та, 1971. Вып.2, С. 131-134.

18. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы /В.К. Семенченко. М.: Мир, 1974. 604 с.

19. Жуковец И.И. Механические испытания металлов. М: Высшая школа. 1986, 200 с.

20. Ивлев Д.Д. К построению теории идеальной пластичности // ПММ, 1958. Т.22, вып.6. С. 850-855.

21. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. 232 с.

22. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. Т.1. Теория идеальной пластичности. М.: Физматлит, 2001. 448 с.

23. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. Т.2. Общие вопросы. Жесткопластическое и упругопластическое состояние тел. Упрочнение. Деформационные теории. Сложные среды. М.: Физматлит, 2002. 448 с.

24. Ильюшин A.A. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948.

25. Карзов Г.П. Физико-математическое моделирование процессов разрушения. СПб, 1993. 390 с.

26. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М: Наука, 1969. 420 с.

27. Качанов JI.M. Основы механики разрушения. М: Наука, 1974. 311 с.

28. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во МГУ, . 1979. 208 с.

29. Козлова О.В, Наумкин А.П., Хромов А.И., Шамрай С.А. Пластические константы разрушения. КнАГТУ, 2005. 52 с.

30. Коллинз И.Ф. Алгебра и геометрия полей линий скольжения с „ приложением к краевым задачам // Механика: Сб. переводов, 1969. №4. С. 94-152.

31. Колос В.И. К интегрированию уравнений плоской деформации идеальнопластического тела // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1963, № 1.

32. Леонов М.Я. Механика деформаций и разрушения. Фрунзе: Илим, 1981. 236 с.

33. Лошманов А.Ю. Об одном решении задачи о растяжении полосы с V-образными концентраторами деформаций // XXX Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: тезисы. Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2005. С. 162-163.

34. Макклинток Ф., Аргон А. Деформация и разрушение материалов. М.: Мир, 1970. 443 с.

35. Макклинток Ф. Пластические аспекты разрушения // Разрушение. М.: Мир, 1976. Т.З. С. 133-229.

36. Михлин С.Г. Математическая теория пластичности // Некоторые новые вопросы механики сплошной среды. М.: Изд-во АН СССР, 1938.

37. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М: Наука, 1984. 255 с.

38. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластических сред. М.: Наука, 1981.208 с.

39. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т.2. М.: Мир, 1969. 864 с.

40. Нотт Дж.Ф. Основы механики разрушения. М: Металлургия, 1978. 255 с.

41. Партон В.З. Механика разрушения от теории к практике. М: Наука, 1990. 239 с.

42. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. Основы механики разрушения. М: Издательство ЛКИ, 2008. 352 с.

43. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. Специальные задачи механики разрушения. М: Издательство ЛКИ, 2008. 192 с.

44. Патлина О.В. О расчете полей деформаций в окрестности вершины трещины // Актуальные проблемы современной науки: Труды 2-го международного форума. 20-23 ноября 2006 г., Самара. С. 197-200.

45. Патлина О.В., Самойлов В.А., Шацкий А.Н. К расчету процессов распространения трещины с использованием энергетического условия разрушения // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ, 2008. Т. 15, № 5. С. 916-917.

46. Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел. М.: Издательство иностранной литературы, 1956. 400 с.

47. Прагер В. Проблемы теории пластичности, Физматгиз, 1958. 136 с.

48. Проблемы механики неупругих деформаций: Сборник статей к 70-летию Д.Д. Ивлева. М.: Физматлит, 2001. 400 с.

49. Работнов Ю.Н. Введение в механику разрушения. М.: Наука, 1987. 80 с.

50. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела: Учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1988. 712 с.

51. Работнов Ю.Н. Избранные труды. Проблемы механики деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1991. 196 с.

52. Разрушение: Энциклопедический справочник / под ред. Г. Либовица. М.: Мир. Т.1, 1973. 616 е.; Т.2, 1975. 764 е.; Т.З, 1976. 797 с.

53. Райе Дж.Р. Локализация пластических деформаций // Теоретическая и прикладная механика: Труды XIV Междунар. конгр. ЮТАМ. М.: Мир, 1979. С. 438-471.

54. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.2. М.: Наука, 1970. 568 с.

55. Слепян Л.И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1990. 296 с.

56. Соколовский В.В. Построение полей напряжений и скоростей в задачах пластического течения // Инж. журн, 1961. Т.1, вып.З. С.116-121.

57. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969. 608 с.

58. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир, 1964. 308 с.

59. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 494 с.

60. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. 4.1. Деформация и разрушение. М: Машиностроение, 1974. 472 с.

61. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. 4.2. Механические испытания. Конструкционная прочность. М: Машиностроение, 1974. 368 с.

62. Хеллан К. Введение в механику разрушения. М: Мир, 1988. 365 с.

63. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит, 1956. 407 с.

64. Ходж Ф. Краевые задачи пластичности. Пластичность и термопластичность. М.: Машиностроение, 1983. 598 с.

65. Хромов А.И. Интегрирование уравнений плоской деформации идеальных жесткопластических тел и построение полных решений // Прикладные задачи механики деформируемых сред. Владивосток: ДВО АН СССР, 1991. С.152-171.

66. Хромов А.И. Деформация и разрушение жесткопластических тел. Владивосток: Дальнаука, 1996. 181 с.

67. Хромов А.И. Локализация пластических деформаций и разрушение идеальных жесткопластических тел // Докл. РАН, 1998. Т. 362, № 2. С. 202205.

68. Хромов А.И. Деформация и разрушение жесткопластической полосы при растяжении //Механика твердого тела, 2002. № 1. С. 136-142.

69. Хромов А.И., Козлова О.В. Разрушение жесткопластических тел. Константы разрушения. Владивосток: Дальнаука, 2005. 159 с.

70. Хромов А.И. Разрушение жесткопластических тел. Константы разрушения // Известия РАН. МТТ, 2005. № 3. С. 137-152.

71. Хромов А.И., Буханько А.А., Степанов С.Л. Концентраторы деформаций // ДАН, 2006. № 1

72. Хромов А. И., Буханько А.А., Патлина О.В., Кочеров Е.П. Растяжение полосы с симметричными угловыми вырезами // Вест. СамГТУ. Сер.: Физ.-мат. науки, 2008. №1 (16). С. 53-58.

73. Черепанов Г.П., Ершов Л.В. Механика разрушения. М.: Машиностроение, 1977. 224 с.

74. Шацкий А.Н., Григорьев Я.Ю., Патлина О.В. О расчете предельных пластический деформаций в зоне углового выреза // Вест. СамГТУ. Сер.: Физ.-мат. науки. 2007. №1 (14). С. 161-164.

75. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. 424 с.

76. Bishop J.F.W. On the complete solution to problems of deformation of a plastic-rigid material // J. Mach. and Phys. Solids, 1953. V.2, № 1. P. 43-53.

77. Bishop J.F.W., Green A.P., Hill R. A note on the deformable region in a rigid-plastic body // J. Mach. and Phys. Solids, 1956. V. 4. P. 256-258.

78. Ewing D.J.F., Hill R. The plastic constraint of V-notched tension bars. // J. Mach. And Phys. Solids, 1967. V. 15. P. 115-124.

79. Frendental A.M., Geiringer H. The mathematical theories of the inelastic continuum // Handbuch der Physic. Berlin, 1958. V.6.

80. Hency H. Uber einige statisch bestimmten Falle des Gleichgewichts in plastischen Korpern // ZAMM, 1923. BD.3, H.4. P. 241-251.

81. Hill R. The mathematical theory of plasticity. Oxford: Clarendon Press, 1950. 355 p.

82. Hill R. On the State of Stress in a Plastic-Rigid Body at the Yield Point // Phil. Mag., 1951. V. 42. P. 868-875.

83. Hill R. On the problem of uniqueness in the theory of a rigid plastic solids // J. Mech. Phys. Solids, 1956. V.4. P. 247-255; 1957. V. 5. № 3; 1957. V. 5. № 4.

84. Johnson M. A., Large Scale Ductile Geometry Changes at a Crack Tip // M. S. thesis Brown Univ., Providence, 1968.

85. Joyce J. A., Tensile Plastic Deformation at Notch Roots // M. S. thesis. Dept. of Mechanical Eng., M.I.T., Cambridge, 1968.

86. Lee E.H. The theoretical analysis of metal forming problems in plane strain // J. Appl. Mech., V.19, 1952. P. 97-103.

87. Lee E.H. Plastic Flow in a V-Notched Bar Pulled in Tension // J. Appl. Mech., 1952, V.19. P. 331-336.

88. Neimark J. E., The Fully Plastic, Plane-Strain Tension of a Notched Bar // J. Appl. Mech., 35, 1958. P. 111-116.

89. Onat E.T., Prager W. The Necking of a Tension Specimen in Plane Plastic Flow // J. Mech. And Phys. Solids, 1954. V. 25, № 4. P. 491-493.

90. Prager W., Hodg Ph.G. Theory of perfectly plastic solids. N.Y., 1951.

91. Richmond O. Plane strain necking of V-notched and un-notched tensile bars // J. Mech. And Phys. Solids, 1969. V.17. P. 83-90.

92. Wang A. J., Quart. Appl. Math., 11, 1954. P. 427-3438.