Численно-аналитический метод расчета пластических течений с разрушением материала тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Григорьев, Ян Юрьевич

• Григорьев, Ян Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Григорьев, Ян Юрьевич

Введение

Глава 1. Основные положения механики сплошных сред. Уравнения пластического состояния. Осесимметричное деформирование.

1.1. Теория пластического течения.

1.2. Осесимметричная деформация.

1.3. Уравнения осесимметричной деформации идеального жесткопластического тела при условии текучести Треска-Сен

Венана.

1.4. Уравнения осесимметричной деформации идеального жесткопластического тела при условии текучести Мизеса.

Глава 2. Численно-аналитический подход к расчету полей напряжений и деформаций.

2.1. Общие замечания.

2.2. Суперэлемент.

2.3. Решение упругой задачи. Определение граничных условий

2.4. Обобщение плоской деформации при пространственном деформировании

Глава 3. Задача о разрушении кругового цилиндра при одноосном растяжении

3.1. Задача о растяжении упругопластического цилиндра с угловым круговым вырезом.

3.2. Задача о растяжении упругопластического цилиндра с внутренним вырезом

Глава 4. Пространственная задача

4.1, Обобщение осесимметричной деформации на пространственный случай

-34.2. Задача об одноосном растяжении упругопластического эллиптического цилиндра с угловым вырезом

4.3. Задача о растяжении упругопластического прямоугольного стержня со сглаженными углами и угловым вырезом

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численно-аналитический метод расчета пластических течений с разрушением материала»

Многие среды обнаруживают при деформировании совместное появление упругих и пластических свойств. Для описания поведения подобных сложных сред требуются соответствующие модели. Данной фундаментальной проблеме посвящены работы В.И. Астафьева, А.А. Буренина, А.А. Ильюшина, J1.M. Качанова, Б.Е. Победря [3, 35, 38]. Рассматривается построение основных соотношений связи между напряженным и деформированным состояниями для достаточно широкого класса реологически сложных сплошных сред. В основу построений положено три основных механизма деформирования: упругий, пластический и вязкопластический. Первый механизм определят обратимый процесс деформирования, второй и третий - необратимые.

Интенсивное развитие теории упругости началось со второй половины

XVIII века. В 1755 г. Л.Эйлер вывел уравнения движения идеальной однородной сплошной среды [60]. В 1822 г. O.JI. Коши разработал систему уравнений, характеризующих напряженное состояние материальных точек деформируемой среды, кроме того, он получил уравнения, связывающие деформации с перемещениями, и установил для упругих деформаций связь между напряжениями и деформациями для изотропного тела [68].

Трудами Б. Сен-Венана, С. Пуассона, JI. Навье, У. Томсона и др. в конце

XIX века сформулированы основные положения, создан математический аппарат теории упругости и решен ряд задач, не потерявших ценности в настоящее время. В дальнейшем теория упругости развивалась в трудах С.П. Тимошенко, Н.И. Мусхелишвили, JI.C. Лейбензона, Ю.Н. Работнова, И.А. Одинга, С.В. Серенсена и многих других [59, 67, 82].

Механика пластически деформируемого тела, для которого характерно отсутствие линейной зависимости деформаций от напряжений, развивались с использованием достижений теории упругости. Кардинальным вопросом для теории пластичности является определение условий перехода от упругих деформаций к пластическим.

Развитие фундаментальных соотношений теории идеальной пластичности связано с именами М. Леви, Р. Мизеса, Треска, Сен-Венана, J1. Прандтля, Г. Гейрингер, А. Райса, А.Ю. Ишлинского, С.А. Христиановича, В.В. Соколовского, Р. Хилла, Д.Д. Ивлева, В. Прагера, В. Койтера [29-33, 35, 60, 64, 69, 73, 86, 94, 96, 99-102, 105]. Вопросам и задачам теории идеальной пластичности посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных авторов: Б.Д. Анина, Г.И. Быковцева, Б.А. Друянова, М.И. Ерхова, А.А. Ильюшина, JI.M. Качанова, Е.В. Ломакина, П.П. Мосолова, В.П, Мясникова, А. Надаи, Ю.В. Немировского, Р.И. Непершина, Ю.Н. Работнова, Е. Ли и др. [1-2, 10-14,23-29, 35, 39, 51-52, 68, 75-78, 83-91,95-96,105].

Теория пластичности развивалась как технологическая теория пластичности, задачи которой были прямо связаны со многими задачами обработки металлов давлением, резанием [23, 26, 29, 36, 38-39, 53, 65]. Получены решения многих технологических задач о внедрении штампов различной формы, волочении, прокатки и прессовании. Вместе с тем эти задачи рассматривались в основном как задачи предельного равновесия или задачи об установившемся пластическом течении.

В рамках этой теории дано ограниченное число решений с учетом изменения формы геометрии свободных поверхностей: решения задач о растяжении полосы в условиях, о вдавливании клина в полупространство, решение задачи о вдавливании криволинейного штампа в полупространство, [91-92, 95-96, 103-106]. При решении подобных задач деформации материала оценивались по полю перемещения частиц, находящихся в начальный момент времени в узлах прямоугольной сетки и изменению формы геометрии свободных поверхностей, ограничивающих деформируемое тело. Данные характеристики только качественно описывают поведение среды и не характеризуют (собственно) деформации материала как изменения относительного расстояния между частицами. Это приводит к ограниченному использованию получаемых результатов. Одной из характеристик, дающих точное количественное описание деформаций в точке, является тензор конечных деформаций Альманси:

В работах [11,12, 30, 33,75-76] показано, что деформации в пластической области распределяются крайне неравномерно и основные деформации, как правило, наблюдаются на особенностях поля линий скольжения: линия разрыва поля скоростей перемещений и центр веера линий скольжения.

Решение задачи с учетом изменения геометрии необходимо для определения полей деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения (линия разрыва поля скоростей перемещений и центр веера характеристик). Так как изменение свободной поверхности определяет изменение положения этих особенностей. Деформации на них значительно превышают деформации в непрерывном поле скоростей перемещений. Эти деформации могут определять процессы разрушения материала.

Другой особенностью современного состояния теории жесткопластического тела является незаконченность теории разрушения жесткопластического тела. Разрушение идеальных пластических материалов рассматривалось в работах [38, 45, 46, 52]. В этих работах отмечалась возможность разрушения материала на особенностях поля линий скольжения. Но при этом не была представлена теория расчета деформаций в окрестности этих особенностей и поэтому не была сформулирована замкнутая теория распространения трещин при разрушении. Деформация - один из основных параметров, который входит в определяющие соотношения теории идеального жесткопластического тела (ассоциированный закон пластического течения) через тензор скоростей деформаций. Естественно ввести эти величины в критерий разрушения.

При выборе деформационного критерия разрушения возникает другая проблема теории идеального жесткопластического тела - неединственность поля скоростей перемещений. Данная неединственность связана с тем, что модель идеального жесткопластического тела является предельной моделью по отношению к другим более сложным моделям: упруго пластическое тело, упрочняющееся пластическое тело, упругое вязкопластическое тело и т.п. В рамках этих моделей решение задач является, как правило, единственным и этим решениям должно соответствовать некоторое определенное решение для идеального жесткопластического тела при предельных значениях параметров, характеризующих эти модели.

Формулировка выбора предпочтительного решения должна быть основана на общих термодинамических и экспериментальных закономерностях. Одной из таких экспериментально замеченных закономерностей является то, что упрочнение материала есть осреднение деформаций по объему осредняемого тела [69]. На основе этого сформулирован деформационный критерий выбора предпочтительного решения [76-77]: предпочтительным является решение, для которого наибольшее значение первого главного значения тензора Альманси Ej в пластической области минимально.

Целью данной работы является исследование областей резкого изменения формы как концентраторов деформаций в виде V-образных вырезов в цилиндрических образцах; построение решений с учетом разрушения материала для сложных моделей упругопластических тел; решение пространственных упругопластических задач с помощью созданного суперэлемента для осисемметричной деформации.

Решение таких задач актуально при расчетах в механике, тесно связанных с вопросами оценки надежности конструкций в машиностроении, расчетах полей остаточных деформаций в элементах конструкций. Анализ накопления больших пластических деформаций связан в первую очередь с исследованием деформаций в окрестности элементов конструкций с резким изменением геометрии свободной поверхности, которые принято называть концентраторами напряжений. Эти элементы с точки зрения теории идеального жесткопластического тела являются концентраторами деформаций, определяющими несущую способность всей конструкции.

По-существу все современные пакеты прикладных программ в механике (MSC, ANSYS, LS-DYNA и др.) являются численно-аналитическими, так как позволяют включение суперэлементов, содержащих алгоритмы отличные от основного алгоритма, определяемого спектром математических моделей, обслуживаемого данным пакетом.

В первой главе данной работы представлены основные соотношения теории осесимметричной деформации идеального жесткопластического тела. Рассмотрена теория пластического течения. Обозначены требования к построению и существованию полного решения задач теории идеального жесткопластического тела.

Во второй главе рассмотрен численно-аналитический подход к расчету

-■» Мь полей напряжений и деформаций для известных пакетов программ (MSC). Описан метод исследования деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения (линия разрыва поля скоростей перемещений и центр веера характеристик), построен суперэлемент при осесимметричной деформации. Сформулирован используемый деформационный критерий выбора предпочтительного решения. Формулируются критерии разрушения и выбора направления развития трещины. Определены граничные условия для внешней упругой задачи.

В третьей главе решены задачи о растяжении упругопластических цилиндров с внешним угловым круговым вырезом и внутренним вырезом. Установлена связь между выбором размеров суперэлемента и условиями задачи. Применен соответствующий алгоритм, определены направления движения трещин. При одинаковых условиях накопление деформаций происходит быстрее в окрестности вершин внешнего выреза, а значит, быстрее происходит разрушение.

В четвертой главе рассмотрен алгоритм расчета задач о растяжении упругопластических образцов произвольной формы сведением к осесимметричным задачам. Определены параметры таких осесимметричных задач. Решена задача о растяжении эллиптического цилиндра.

В работе принята тройная нумерация формул: первая цифра - номер главы, вторая - номер пункта; и двойная нумерация рисунков: первая цифра -номер главы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Григорьев, Ян Юрьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложен численно-аналитический метод расчета пластических течений с разрушением материала в условиях осесимметричной деформации.

2. Разработан алгоритм и программа расчета полей тензоров деформаций в окрестности особенностей поля скоростей перемещений для решения упругопластических осесимметричных задач с помощью суперэлемента, определенного в рамках модели идеального жесткопластического тела.

3. Получены поля тензоров деформаций с учетом их накопления и локализации в задачах о растяжении упругопластических цилиндрических образцов с внешними и внутренними угловыми вырезами. Определены области возможного образования трещин при ограничении максимальных деформаций.

4. Предложено обобщение численно-аналитического метода на случай пространственных задач с использованием осесимметричного и обобщенных плоских суперэлементов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Григорьев, Ян Юрьевич, 2007 год

1. Аннин Б.Д. Современные модели пластических тел. Новосибирск: НГУ, 1975.96 с.

2. Аннин Б.Д., Жигалкин В.М. Поведение материалов в условиях сложного нагружения. Новосибирск: Изд-во Со РАН, 1999. 342 с.

3. Астафьев В.И., Радаев Ю.Н., Степанова Л.В. Нелинейная механика разрушения. Самара: СамГТУ, 2001. 632 с.

4. Бриджмен II. Исследование больших пластических деформаций и разрыва. -М.: Ил., 1955.444 с.

5. Буханько А.А., Хромов А.И. Определение полей деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения // Вестник КнАГТУ: Вып.2 Сб. 1 Прогрессивные технологии в машиностроении: Ч.З: Сб. науч. тр., 2000, с. 8-14.

6. Буханько А.А. Концентраторы деформаций // Дальневосточная школа-семинар им. академика Е.В. Золотова.- Владивосток: Дальнаука, 2002. С. 71-72.

7. Буханько А.А. Растяжение полосы с V-образными вырезами в рамках теории плоской деформации // Зимняя школа по механике сплошных сред (тринадцатая). Тезисы докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 2003. С.65.

8. Буханько А.А. Разрушение полосы с V-образными вырезами при растяжении // Обозрение прикладной и промышленной математики. М: ОПиПМ, Т. 10, вып. 1,2003 г. С. 111-113.

9. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Об определении предельной нагрузки тел, вдавливаемых в пластическую среду // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1961. № 1. С. 173-174

10. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука. 1998. 528 с.

11. Быковцев Г.И., Хромов А.И. Плоская деформация идеальных жесткопла-стических тел с учетом изменения границы // Изв. АН СССР. МТТ, 1979. № 2. С.71-78.

12. Быковцев Г.И., Хромов А.И. Плоская контактная задача для идеальных же-сткопластических тел // V Всесоюз. съезд пл теоретич. и прикл. механике. Алма-Ата, 1981. С.83.

13. Быковцев Г.И., Хромов А.И. Разрушение идеальных жесткопластических тел // Сибирская школа по современным проблемам механики деформируемого твердого тела / Тезисы докладов. Якутск, 1990. С.30-31.

14. Введение в механику сплошных сред: учеб. пособие / Черных К.Ф. Изд-во Ленингр. ун-та, 1984. 280 с.

15. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, - 1978. 304 с.

16. Григорьев Я.Ю. Задачи о растяжении цилиндрических образцов с окружными угловыми вырезами // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. ГОУ ВПО «ЧГПУ им. И.Я. Яковлева», Чебоксары, 2007. с. 45 50.

17. Григорьев Я.Ю., Патлина О.В., Шацкий А.Н. О расчете предельных пластических деформаций в зоне углового выреза // Вестник СамГТУ. Серия «Физико-математические науки» №1(14) 2007. Самара: СамГТУ, 2007. с. 161-164.

18. Григорьев Я.Ю., Патлина О.В., Шацкий А.Н. Метод расчета предельных пластических деформаций в зоне углового концентратора // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. Королева. 2006, №2(10) ч.2. С. 319-322.

19. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Гос.изд.физ.-мат.лит., 1963. 660с.

20. Джонсон У., Меллор П. Теория пластичности для инженеров. М.Е Машиностроение, 1979. 567 с.

21. Друянов Б.А. Начальное течение полосы при вдавливании гладкого криволинейного штампа // Исследование пластического течения металлов. М.: Наука, 1973. С. 98-106.

22. Друянов Б.А. О полных решениях некоторых задач деформации полосы // МТТ, 1968. №2. С.171-173.

23. Друянов Б.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности. М.: Машиностроение, 1990.-272 с.

24. Дудукаленко В.В„ Мяснянкин Ю.М. Об определении изменяющейся границы тела при плоском пластическом деформировании // На-уч.тр.фак.прикл.мат. и мех.Воронеж.ун-та, 1971. Вып.2, С.131-134

25. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы / В.К. Семенченко. М.: Мир, 1974. 604 с.

26. Ерхов М.И. Теория идеальнопластических тел и конструкций. М.: Наука, 1978. 352 с.

27. Ивлев Д.Д. К построению теории идеальной пластичности // ПММ, 1958. Т.22, вып.6. С.850-855.-10231. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. В 2 т. Т.1. Теория идеальной пластичности. М.: Физматлит, 2001. 448 с.

28. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. В 2 т. Т.2.0бщие вопросы. Жест-копластическое и упругопластическое состояние тел. Упрочнение. Деформационные теории. Сложные среды. М.: Физматлит, 2002. 448 с.

29. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. 232 с.

30. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. -М.: Наука, 1978. 208 с.

31. Илыошин А.А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948.

32. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики. К.1. Механика вязкопла-стических и не вполне упругих тел. М.: Наука, 1986. 360 с.

33. Качанов JI.M. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 312 с.

34. Качанов JT.M. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с.

35. Кроха В.А. Упрочнение металлов при холодной пластической деформации: Справочник. М.: Машиностроение, 1980. - 157 с.

36. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1979. 208 с.

37. Козлова О.В., Хромов А.И. Константы разрушения для идеальных жестко-пластических тел// Докл.РАН, 2002.Т.385, № 3, с. 342-345.

38. Койтер В. Соотношения между напряжениями и деформациями // Механика, №2, 1960.

39. Колесников Ю.В., Морозов Е.М. Механика контактного разрушения. М.: Наука, 1989. 224 с.

40. Корнев В.М. Модификация критерия разрушения Нейбера-Новожилова для угловых вырезов (антиплоская задача). // Прикладная механика и техническая физика. Т.43,№ 1-2002. С. 153-139.

41. Леонов М.Я. Механика деформаций и разрушения. Фрунзе: Илим, 1981. 236 с.

42. Макклинток Ф. Пластические аспекты разрушения // Разрушение, т. 111. С. 67-262.

43. Макклинток Ф., Арагон А. Деформация и разрушение материалов. М.: Мир, 1970. 443 с.

44. Михлин С.Г. Математическая теория пластичности // Некоторые новые вопросы механики сплошной среды. М.: Изд-во АН СССР, 1938.

45. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 56 с.

46. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. Проблемы динамики разрушения твердых тел. -СПб: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1997. 132 с.

47. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластических сред. М.: Наука, 1981.208 с.

48. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т.2. М.: Мир, 1969. 864 с.

49. Пластичность и разрушение / под ред. В.Л. Колмогорова. М.: Металлургия, 1977.336 с.

50. Прагер В. Проблемы теории пластичности, Физматгиз, 1958.

51. Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел. М.: Издательство иностранной литературы, - 1956. 400 с.

52. Проблемы механики неупругих деформаций: Сборник статей. К семидесятилетию Д.Д. Ивлева. М.: Физматлит, 2001. 400 с.

53. Работнов Ю.Н. Введение в механику разрушения. М.: Наука, 1987. 80 с.

54. Работнов Ю.Н. Избранные труды. Проблемы механики деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1991. 196 с.

55. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела: Учеб. пособие для вузов. -М.: Наука, 1988. 712 с.

56. Разрушение: Энциклопедический справочник / под ред. Г. Либовица. М.: Мир, Т. 1, 1973. 616 е.; Т.2, 1975.764 с.; Т.З, 1976.797 с.

57. Райе Дж.Р. Локализация пластических деформаций // Теоретическая и прикладная механика. Труды XIV Междунар. конгр. ЮТАМ. М.: Мир, 1979. С. 438-471.

58. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.2. М.: Наука, 1970. 568 с.

59. Слепяп Л.И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1990. 296 с.

60. Соколовский В.В. Построение полей напряжений и скоростей в задачах пластического течения //Инж.журн. 1961. Т.1, вып.З. С.116-121.

61. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969. 608 с.

62. Тимошенко С.И., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1975. 576 с.

63. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1979. 318 с.

64. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир, 1964.308 с.

65. Унксов У.П., Джонсон У., Колмогоров В.Л. и др. Теория пластических деформаций металлов. Под ред. Е.П. Унксова, А.Г. Овчинникова. М.: Машиностроение, 1983. - 598 с.

66. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. В 2ч. 4.1. Деформация и разрушение. М.: Машиностроение, 1974. 472 с.

67. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гос. изд-во техи,-теорет. лит, 1956. 407 с.

68. Ходж Ф. Краевые задачи пластичности. Пластичность и термопластичность. М.: Машиностроение, 1983. 598 с.

69. Хромов А.И. Деформация и разрушение жесткопластических тел. Владивосток: Дальнаука, 1996, 181 с.

70. Хромов А.И. Деформация и разрушение жесткопластической полосы при растяжении. // Механика твердого тела. № 1. 2002. С. 136-142.

71. Хромов А.И. Локализация пластических деформаций и разрушение идеальных жесткопластических тел // Докл. РАН. 1998. Т. 362, № 2. С. 202205.

72. Хромов А.И., Буханько А.А., Степанов С.Л. Концентраторы деформаций// ДАН, 2006, №1.

73. Хромов А.И., Козлова О.В. разрушение жесткопластических тел. Константы разрушения// Владивосток: Дальнаука, 2005.

74. Чрепанов Г.П., Ершов Л.В. Механика разрушения. М.: Машиностроение, 1977. 224 с.

75. Шулькин Ю.Б. Теория упругих стержневых конструкций. М.: Наук. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 272 с.

76. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969.

77. Bishop J.F.W. On the complete solution to problems of deformation of a plastic-rigid material. J. Mach. and Phys. Solids, 1953, v.2, n.l. P.43-53.

78. Bishop J.F.W., Green A.P., Hill R. A note on the deformable region in a rigid-plastic body. J. Mach. and Phys. Solids, 1956, v. 4. P. 256-258.

79. Frendental A.M., Geiringer H. The mathematical theories of the inelastic continuum // Handbuch der Physic. Berlin, 1958. V.6.

80. Ewing D.J.F., Hill R. The plastic constraint of V-notched tension bars. J. Mach. and Phys. Solids, 1967, v. 15. P. 115-124.

81. Geiringer H. Fondements mathematiques de la theorie des corps plastiques isotropes. Memorial des sciences mathematiques. Gauthier-Villars, Paris, 1937.

82. Green A.P. The plastic yielding of shallow notched bars due to bending. J. Mach. and Phys. Solids, 1956, v. 4. P. 259-268.

83. Hadamard J., Lecons sur la propagation des ondes et les equations de rhydrodynamique, Paris, 1903.

84. Hency H. Uber einige statisch bestimmten Falle des Gleichgewichts in plasti-schen Korpern //ZAMM, 1923. BD.3, h.4. P.241-251.

85. Hill R. Discontinuity relations in mechanics of solid, Progress in Solid Mechanics, vol.11, 1961. P. 247-276.

86. Hill R. On the State of Stress in a Plastic-Rigid Body at the Yield Point. Phil. Mag., 1951, v. 42. P. 868-875.

87. Hill R., Lee E.H., Tupper S.J. The theory of wedge indentation of ductile materi-als//Proc. Roy. Soc. L., 1947. Ser. A. v. 188. 273 p.

88. Koiter W.T. General theorem for elastic-plastic solids // Progress in Solid Mechanics, I960. V.l, ch.IV.

89. Lee E.H. The theoretical analysis of metal forming problems in plane strain. J. appl. Mech., v. 19,1952. P. 97-103.

90. Lee E.H. Plastic Flow in a V-Notched Bar Pulled in Tension. J. appl. Mech., 1952, v.l9. P.331-336.

91. Levy M. Sur Integration des equtions aus differences partielles relatives aux pouvments interieurs des corps solids ductiles lorsque ces mouvements ont lieu parplaus puralleles // C.R. Acad.Sci. (Paris), 1871. V.73. P.1098-1103

92. MacClintock F.A. Ductile Fracture instability in shear // J. Appl. Mech., 1958. V.25, № 4. P. 582-587.

93. Neimark J.E. The Fully Plastic, Plane-Strain Tension of a Notched Bar. J. appl. Mech., 1968, v. 35. P. 111-116.lOl.Onat E.T., Prager W. The Necking of a Tension Speciment in Plane Plastic Flow, 1954, v. 25, № 4. P. 491-493.

94. Prager W. Problem der Plastizitatstheotie. Basel, 1955.

95. Prager W., HodgPh.G. Theory of perfectly plastic solids. N.Y., 1951.-107104. Prandtl L. Anwendungsbiespiele zu einem Henckyschen Satz uber das plastische Gleichgewicht II Ik MM, 1923. BD.III, h .6.

96. Prandtl L. Uber die Harte des plastischer Korper // ZAMM, 1921. BDI, h.l.

97. Richmond O. Plane strain necking of V-notched and un-notched tensile bars. J. Mech. Phys. Solids, 1969, v. 17. P. 83-90.