Условие пластичности, связанное с линиями уровня поверхности деформаций несжимаемого жесткопластического тела тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Григорьева, Анна Леонидовна

• Григорьева, Анна Леонидовна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Григорьева, Анна Леонидовна

Введение

Глава 1. Основные соотношения пластического состояния

1.1. Ассоциированный закон течения.

1.2. Условие пластичности

1.2.1. Условие пластичности Треска - Сен-Венана.

1.2.2. Условие пластичности Мизеса.

1.2.3. Условие пластичности, связанное с линиями уровня поверхности деформаций.

Глава 2. Одноосное растяжение различных образцов

2.1. Плоская деформация.

2.1.1. Основные уравнения. Условие текучести Треска-Сен Венана, условие текучести Мизеса. Условие текучести, связанное с линиями уровня поверхности деформаций.

2.1.2. Соотношения вдоль линий скольжения.

2.1.3. Построение полного решения.

2.1.4. Деформации в окрестности особенностей поля линий скольжения.

2.1.5. Растяжение полосы с непрерывным полем скоростей перемеще ний.

2.1.6. Растяжение полосы с разрывным полем скоростей перемещений.

2.2. Плоское напряженное состояние. Одноосное растяжение плоских образцов

2.2.1. Уравнения плоского напряженного состояния при условии текучести Мизеса.

2.2.2. Построение решений при новом условии текучести. Основные соотношения.

Глава 3. Разрушение жесткопластических тел при плоском напряженном состоянии. Разрушение полосы с V-образными вырезами

3.1. Построение решений при условии текучести Мизеса.

3.1.1. Неединственность решения с разрывным полем скоростей перемещений.

3.1.2. Растяжение полосы без вырезов с разрушением.

3.2. Построение решений при новом условии текучести.

3.2.1. Неединственность решения с разрывным полем скоростей перемещений.

3.2.2. Растяжение полосы без вырезов с разрушением.

3.3. Разрушение полосы с V-образным вырезом.

Глава 4. Изгиб полосы с растяжением при плоском напряженном состоянии

4.1. Решение при условии текучести Мизеса.

4.2. Решение при новом условии текучести.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Условие пластичности, связанное с линиями уровня поверхности деформаций несжимаемого жесткопластического тела»

Одной из важных проблем механики деформируемого твердого тела является построение моделей и алгоритмов расчета конструкций и технологических процессов при больших пластических деформациях с учетом разрушения. Исследование этой проблемы заключается в решении задач с учетом изменения геометрии деформируемых тел и формулировке критериев разрушения. Зачастую необходимая информация может быть получена при помощи простейших моделей, к которым относиться модель идеального жесткопластического тела.

Кардинальным вопросом для теории пластичности является переход от упругих деформаций к пластическим.

В 1868 году Х.Треска на основе экспериментального исследования сформулировал положение о том, что вне зависимости от схемы напряженного состояния максимальное касательное напряжение достигло некоторой критической величины. В дальнейшем Б.Сен-Венан, используя это положение, вывел основные уравнения пластичности для изотропного несжимаемого материала при условии совпадения направления главных напряжений и деформаций.

В 1904 году М.Губер сформулировал условие пластичности, считая, что для перехода в пластическое состояние независимо от схемы напряженного состояния интенсивность напряжений должна достичь определенной величины. Работа М.Губера долгое время была неизвестной, и сходное условие было предложено Р.Мизесом в 1913 году. Математическую запись условия пластичности Р.Мизес рассматривал как некоторое приближение к условию пластичности Сен-Венана, имеющее единую запись для всех схем напряженного состояния.

В 1925 году Г.Генки показал, что математическая запись условия Р.Мизеса соответствует условию постоянства энергии формоизменения, необходимой для перехода в пластическое состояние вне зависимости от схемы напряженного состояния [29-34, 57, 62, 66, 69, 88, 91, 93-96, 101-105].

В дальнейшем, экспериментальными работами В.Лоде, М.Роше, Э.Эйхингера, Г.Тейлора, Х.Квини, Г.А. Смирнова-Аляева и других было показано, что для пластичных материалов энергетическое условие пластичности Губера-Мизеса-Генки ближе соответствсует действительности, чем условие Треска-Сен-Венана.

Важные результаты достигнуты в работах Р.Шмидта, Е.Девиса, доказавших, что при простом нагружении направляющие тензоров напряжений и деформаций равны и коаксиальны, а октаэдрические напряжения являются функциями октаэдрического сдвига.

Введение в математические зависимости функций, характеризующих неоднородность напряженно-деформированного состояния и зависимость свойств металла от координат, открывает большие возможности получения более общих уравнений, относящихся к идеальной пластичности.

Это направление в настоящее время успешно разрабатывается и разрабатывалось Б.Д. Анина, Г.И. Быковцева, Б.А. Друянова, М.И. Ерхова, A.A. Ильюшина, JIM. Качанова, Е.В. Ломакина, П.П. Мосолова, В.П, Мясникова, А. На-даи, Ю.В. Немировского, Р.И. Непершина, Ю.Н. Работнова, Е. Ли и др. [1-3, 1519,23-29,34-36,38, 49-51, 65, 70-72, 82-84, 90-91].

Совершенствование математической теории пластичности позволило приблизить получаемые решения к задачам практики обработки металлов давлением [23, 26, 29, 36, 40, 63, 64]. Получены решения многих технологических задач о одноосном растяжении плоского и цилиндрического образцов, растяжение полосы с V-образным вырезами, волочении, прокатки и прессовании. Вместе с тем эти задачи рассматривались в основном как задачи предельного равновесия или задачи об установившемся пластическом течении.

В рамках этой теории дано ограниченное число решений с учетом изменения формы геометрии свободных поверхностей: решения задач о растяжении полосы в условиях плоской деформации, плоского напряженного состояния, о растяжении полосы с вырезами [85, 86, 90, 91, 98-100]. При решении подобных задач деформации материала использовались разные критерии текучести.

При формулировке принципа максимума Мизеса применяется понятие удельной скорости диссипации энергии, которое определено в точках непрерывности для скоростей перемещений. Возможна формулировка и других критериев. Эти приводит к заданию деформационно-энергетического критерия, связанного с линиями уровня поверхности деформаций. Одной из характеристик, дающих точное количественное описание деформаций в точке, является тензор конечных деформаций Альманси:

В работах [16, 17,30, 68, 71-72] показано, что деформации в пластической области распределяются крайне неравномерно и основные деформации, как правило, наблюдаются на особенностях поля линий скольжения: линия разрыва поля скоростей перемещений и центр веера линий скольжения.

Другой особенностью современного состояния теории жесткопластиче-ского тела является незаконченность теории разрушения жесткопластического тела. Разрушение идеальных пластических материалов рассматривалось в работах [37, 43, 45, 52, 53]. В этих работах отмечалась возможность разрушения материала на особенностях поля линий скольжения. Деформация - один из основных параметров, который входит в определяющие соотношения теории идеального жесткопластического тела (ассоциированный закон пластического течения) через тензор скоростей деформаций. Естественно ввести эти величины в критерий разрушения.

Формулировка выбора предпочтительного решения должно быть основано на общих термодинамических и экспериментальных закономерностях. Одной из таких экспериментально замеченных закономерностей является то, что упрочнение материала есть осреднение деформаций по объему осредняемого тела [61]. На основе этого сформулирован деформационный критерий выбора предпочтительного решения [86, 89]: предпочтительным является решение, для которого наибольшее значение первого главного значения тензора Альман-си в пластической области минимально, а также минимально значение диссипации энергии £>0 = ^¡(7^1. о

Целью данной работы является исследование полей деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения (линии разрыва поля скоростей перемещений и центра веера линий скольжения, которые по существу являются концентраторами деформаций) при различных критериях разрушения; определение преимуществ деформационно-энергетического критерия при решении различных задач.

Решение таких задач актуально при разработке методов расчета технологических процессов, обработки материалов давлением, резанием, тесно связанных с решением контактных задач; для проектирования оборудования, используемого при этих процессах; при расчете оценки несущей способности конструкций при длительной эксплуатации с большим накоплением остаточных деформаций и в экстремальных условиях; при расчете конструкций одноразового действия. Анализ накопления больших пластических деформаций связан в первую очередь с исследованием деформаций в окрестности элементов конструкций с резким изменением геометрии свободной поверхности, которые принято называть концентраторами напряжений. Эти элементы с точки зрения теории идеального жесткопластического тела являются концентраторами деформаций, определяющими несущую способность всей конструкции.

При использовании нового критерия энергия диссипации при деформировании будет наименьшей, тем самым разрушение конструкционного материала будет предсказано раньше. Путь деформирования измениться.

В первой главе данной работы представлены основные соотношения пластического состояния идеального жесткопластического тела. Описаны существующие условия текучести Мизеса и Треска. В рамках теории упрочняющегося жесткопластического тела рассмотрен деформационно-энергетический критерий разрушения. Введена поверхность нагружения, связанная с линиями уровня поверхности деформаций и позволяющая выделить диссипацию энергии как параметр, определяющий разрушение. Рассмотрены свойства новой поверхности нагружения, которые приводят к оптимальной диссипации энергии. Приведены различные поверхности нагружения для различных конструкционных материалов и проведено их сравнение.

Во второй главе рассмотрены задачи теории плоской деформации, и плоского напряженного состояния идеального жесткопластического тела. Рассмотрены пластические течения с учетом изменения геометрии тела в процессе деформирования материала при растяжении полосы с непрерывным и разрывным полем скоростей, внедрении Получено распределение деформаций и усилие потраченное при растяжении для критерия Мизеса и нового условия текучести. Проведен сравнительный анализ полученных результатов. Произведен выбор предпочтительного решения.

В третьей главе рассмотрена задача о растяжении полосы с внутренней трещиной и с У-образными концентраторами деформации при плоском напряженном состоянии. Проанализировано поле скоростей в пластической области для решения при условии текучести Мизеса и новом условии текучести, проведен сравнительный анализ и выбрано предпочтительное решение.

В четвертой главе рассмотрена задача о изгиб полосы с растяжением при плоском напряженном состоянии. Проанализированы решения полученные при условии текучести Мизеса и новом условии текучести. Проведен сравнительный анализ полученных результатов и представлено предпочтительное решение.

В работе принята тройная нумерация формул: первая цифра - номер главы, вторая - номер пункта; двойная нумерация рисунков: первая цифра - номер главы; двойная нумерация таблиц: первая цифра - номер главы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Григорьева, Анна Леонидовна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие результаты:

1. Представлено новое условие текучести, связанное с линиями уровня поверхности деформационных состояний. Построены поверхности нагружения для различных конструкционных материалов.

2. Получены поля тензоров деформаций с учетом их накопления и локализации в задачах о растяжении полосы без разрушения с однородным и разрывным полями скоростей перемещений при различных условия текучести в плоской деформации и плоском напряженном состоянии.

3. Предложено новое решение задачи о растяжении полосы с разрушение без вырезов в условиях плоского напряженного состояния, при новом условии пластичности и с У-образными вырезами при условии пластичности Мизеса. На основе анализа поля тензора деформаций производится выбор предпочтительного пластического течения.

4. Представлено решение полосы с изгибом при растяжении для различных условий текучести при плоском напряженном состоянии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Григорьева, Анна Леонидовна, 2007 год

1. Аннин Б.Д. Современные модели пластических тел. Новосибирск: НГУ, 1975. 96 с.

2. Аннин Б.Д., Жигалкин В.М. Поведение материалов в условиях сложного нагружения. Новосибирск: Изд-во Со РАН, 1999. 342 с.

3. Астафьев В.И., Радаев Ю.Н., Степанова JI.B. Нелинейная механика разрушения. Самара: СамГТУ, 2001. 632 с.

4. Бриджмен П. Исследование больших пластических деформаций и разрыва. -М: Ил., 1955.444 с.

5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. Москва: ГИТТЛ, 1948. 556 с.

6. Буханько A.A., Хромов А.И. Определение полей деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения // Вестник КнАГТУ: Вып.2 Сб. 1 Прогрессивные технологии в машиностроении: Ч.З: Сб. науч. тр., 2000, с. 8-14.

7. Буханько A.A. Задача о прессовании полосы // Труды одиннадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", ч.1. Самара: СамГТУ, 2001. С. 35-37.

8. Буханько A.A. Исследование полей деформаций в задаче о прессовании полосы // Прикладные задачи механики деформируемого твердого тела. Вып.2. Владивосток: Дальнаука, 2001. С. 37-44.

9. Буханько A.A. АВТОРЕФЕРАТ уступа под действием плоского штампа // Обозрение прикладной и промышленной математики / Тезисы докладов. -М.: ОПиПМ, Т. 9, вып. 1,2002. С. 173-175.

10. Буханько A.A., Хромов А.И. Поля деформаций при внедрении клинообразных и плоских штампов // Дальневосточный математический журнал. -Владивосток: Дальнаука, ч. 3, № 2, 2002. С.311-319.

11. Буханько A.A. Концентраторы деформаций // Дальневосточная школа-семинар им. академика Е.В. Золотова.- Владивосток: Дальнаука, 2002. С. 71-72.

12. Буханько A.A. Растяжение полосы с V-образными вырезами в рамках теории плоской деформации // Зимняя школа по механике сплошных сред (тринадцатая). Тезисы докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 2003. С.65.

13. Буханько A.A. Разрушение полосы с V-образными вырезами при растяжении // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ, Т. 10, вып. 1,2003 г. С. 111-113.

14. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Об определении предельной нагрузки тел, вдавливаемых в пластическую среду // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1961. № 1. С. 173-174

15. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука. 1998. 528 с.

16. Быковцев Г.И., Хромов А.И. Плоская деформация идеальных жесткопла-стических тел с учетом изменения границы // Изв. АН СССР. МТТ, 1979. №2. С.71-78.

17. Быковцев Г.И., Хромов А.И. Плоская контактная задача для идеальных же-сткопластических тел // V Всесоюз. съезд пл теоретич. и прикл. механике. Алма-Ата, 1981. С.83.

18. Быковцев Г.И., Хромов А.И. Разрушение идеальных жесткопластических тел // Сибирская школа по современным проблемам механики деформируемого твердого тела / Тезисы докладов. Якутск, 1990. С.30-31.

19. Введение в механику сплошных сред: учеб. пособие / Черных К.Ф. Изд-во Ленингр. ун-та, 1984. 280 с.

20. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, - 1978. 304 с.

21. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Гос.изд.физ.-мат.лит., 1963. 660с.

22. Джонсон У., Меллор П. Теория пластичности для инженеров. М.Е Машиностроение, 1979. 567 с.

23. Друянов Б.А. Начальное течение полосы при вдавливании гладкого криволинейного штампа // Исследование пластического течения металлов. М.: Наука, 1973. С. 98-106.

24. Друянов Б.А. О полных решениях некоторых задач деформации полосы // МТТ, 1968. № 2. С.171-173.

25. Друянов Б.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности. М.: Машиностроение, 1990. - 272 с.

26. Дудукаленко В.В„ Мяснянкин Ю.М. Об определении изменяющейся границы тела при плоском пластическом деформировании // На-уч.тр.фак.прикл.мат. и мех.Воронеж.ун-та, 1971. Вып.2, С.131-134

27. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы / В.К. Семенченко. М.: Мир, 1974. 604 с.

28. Ерхов М.И. Теория идеальнопластических тел и конструкций. М.: Наука, 1978.352 с.

29. Ивлев Д.Д. К построению теории идеальной пластичности // ПММ, 1958. Т.22, вып.6. С.850-855.

30. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. В 2 т. Т.1. Теория идеальной пластичности. -М.: Физматлит, 2001. 448 с.

31. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. В 2 т. Т.2.Общие вопросы. Жест-копластическое и упругопластическое состояние тел. Упрочнение. Деформационные теории. Сложные среды. М.: Физматлит, 2002. 448 с.

32. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. 232 с.

33. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. -М.: Наука, 1978. 208 с.

34. Ильюшин A.A. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948.

35. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики. К.1. Механика вязкопла-стических и не вполне упругих тел. М.: Наука, 1986. 360 с.

36. Качанов JI.M. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 312 с.

37. Качанов J1.M. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с.

38. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1979.208 с.

39. Койтер В. Соотношения между напряжениями и деформациями // Механика, №2,1960.

40. Колесников Ю.В., Морозов Е.М. Механика контактного разрушения. М.: Наука, 1989.224 с.

41. Корнев В.М. Модификация критерия разрушения Нейбера-Новожилова для угловых вырезов (антиплоская задача). // Прикладная механика и техническая физика. Т.43, № 1 2002. С. 153-139.

42. Кроха В.А. Упрочнение металлов при холодной пластической деформации: Справочник. М: Машиностроение, 1980. 157 с.

43. Леонов М.Я. Механика деформаций и разрушения. Фрунзе: Илим, 1981. 236 с.

44. Макаров К.А., Меркулов В.И., Егорова Ю.Г., Хромов А.И. Пластический изгиб листа с растяжением // Кузнечно-штамповочное производство. 1999. № 1.С. 9-12.

45. Макклинток Ф., Арагон А. Деформация и разрушение материалов. М.: Мир, 1970. 443 с.

46. Михлин С.Г. Математическая теория пластичности // Некоторые новые вопросы механики сплошной среды. М.: Изд-во АН СССР, 1938.

47. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 56 с.

48. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. Проблемы динамики разрушения твердых тел. СПб: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1997. 132 с.

49. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластических сред. М.: Наука, 1981.208 с.

50. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т.2. М.: Мир, 1969. 864 с.

51. Пластичность и разрушение / под ред. В.Л. Колмогорова. М.: Металлургия, 1977. 336 с.

52. Прагер В. Проблемы теории пластичности, Физматгиз, 1958.

53. Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел. М.: Издательство иностранной литературы, - 1956. 400 с.

54. Проблемы механики неупругих деформаций: Сборник статей. К семидесятилетию Д.Д. Ивлева. М.: Физматлит, 2001. 400 с.

55. Работнов Ю.Н. Введение в механику разрушения. М.: Наука, 1987. 80 с.

56. Работнов Ю.Н. Избранные труды. Проблемы механики деформируемого твердого тела. -М.: Наука, 1991.196 с.

57. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела: Учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1988. 712 с.

58. Разрушение: Энциклопедический справочник / под ред. Г. Либовица. М.: Мир, Т.1,1973. 616 е.; Т.2,1975. 764 е.; Т.З, 1976. 797 с.

59. Райе Дж.Р. Локализация пластических деформаций // Теоретическая и прикладная механика. Труды XIV Междунар. конгр. ШТАМ. М.: Мир, 1979. С. 438-471.

60. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.2. М.: Наука, 1970. 568 с.

61. Слепян Л.И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1990. 296 с.

62. Соколовский В.В. Построение полей напряжений и скоростей в задачах пластического течения // Инж.журн. 1961. Т.1, вып.З. С.116-121.

63. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969. 608 с.

64. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1979. 318 с.

65. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир, 1964. 308 с.

66. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. В 2ч. 4.1. Деформация и разрушение. -М.: Машиностроение, 1974. 472 с.

67. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит, 1956. 407 с.

68. Ходж Ф. Краевые задачи пластичности. Пластичность и термопластичность. М.: Машиностроение, 1983. 598 с.

69. Христианович С.А. Плоская задача математической теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре: Мат. сб. (Нов. сер.) 1938. Т. 1, вып. 4.

70. Христианович С.А., Михлин С.Г., Девисон Б.Б. Некоторые вопросы механики сплошных сред. Изд-во АН СССР, 1938.

71. Хромов А.И. Деформация и разрушение жесткопластических тел. Владивосток: Дальнаука, 1996, 181 с.

72. Хромов А.И. Деформация и разрушение жесткопластической полосы при растяжении. // Механика твердого тела. № 1. 2002. С. 136-142.

73. Хромов А.И. Локализация пластических деформаций и разрушение идеальных жесткопластических тел // Докл. РАН. 1998. Т. 362, № 2. С. 202205.

74. Хромов А.И., Жигалкин К.А. Математическое моделирование процесса деформирования материалов//Дальневосточный математический журнал. -Владивосток: Дальнаука, ч. 3, № 1,2002. С. 93-101.

75. Хромов А.И., Козлова О.А. Разрушение жесткопластических тел. Константы разрушения. Владивосток: Дальнаука, 2005. 157 с.

76. Хромов А.И., Кочеров Е.П., Григорьева А.Л. Деформационно-энергетический критерий растяжения жесткопластических тел // Докл.Ран. 2007. Т413, №4.С.1-5.

77. Черепанов Г.П., Ершов Л.В. Механика разрушения. М.: Машиностроение, 1977. 224 с.

78. Чудин Г. Экстремальные принципы термодинимики необратимых процессов и механики сплошной среды. М.: Мир, 1966. 135 с.

79. Bishop J.F.W. On the complete solution to problems of deformation of a plastic-rigid material. J. Mach. and Phys. Solids, 1953, v.2, n.l. P.43-53.

80. Bishop J.F.W., Green A.P., Hill R. A note on the deformable region in a rigid-plastic body. J. Mach. and Phys. Solids, 1956, v. 4. P. 256-258.

81. Frendental A.M., Geiringer H. The mathematical theories of the inelastic continuum // Handbuch der Physic. Berlin, 1958. V.6.

82. Ewing D.J.F., Hill R. The plastic constraint of V-notched tension bars. J. Mach. and Phys. Solids, 1967, v. 15. P. 115-124.

83. Geiringer H. Fondements mathématiques de la theorie des corps plastiques isotropes. Memorial des sciences mathématiques. Gauthier-Villars, Paris, 1937.

84. Green A.P. The plastic yielding of shallow notched bars due to bending. J. Mach. and Phys. Solids, 1956, v. 4. P. 259-268.

85. Hadamard J., Leçons sur la propagation des ondes et les équations de l'hydrodynamique, Paris, 1903.

86. Hency H. Uber einige statisch bestimmten Falle des Gleichgewichts in plastischen Korpern//ZAMM, 1923. BD.3, h.4. P.241-251.

87. Hill R. Discontinuity relations in mechanics of solid, Progress in Solid Mechanics, vol.11,1961. P. 247-276.

88. Hill R. On the State of Stress in a Plastic-Rigid Body at the Yield Point. Phil. Mag., 1951, v. 42. P. 868-875.

89. Hill R. On discontinuous plastic states, witch special reference to a localized necking in thin sheets. JMPS, 1.1, N. 1,1952.

90. Koiter W.T. General theorem for elastic-plastic solids // Progress in Solid Mechanics, 1960. V.l, ch.IV.

91. Lee E.H. The theoretical analysis of metal forming problems in plane strain. J. appl. Mech., v.19,1952. P. 97-103.

92. Lee E.H. Plastic Flow in a V-Notched Bar Pulled in Tension. J. appl. Mech., 1952, v.19. P.331-336.

93. Levy M. Sur lintegration des equtions aus differences partielles relatives aux pouvments interieurs des corps solids ductiles lorsque ces mouvements ont lieu parplaus puralleles // C.R. Acad.Sci. (Paris), 1871. V.73. P.1098-1103

94. MacClintock F.A. Ductile Fracture instability in shear // J. Appl. Mech., 1958. V.25, № 4. P. 582-587.

95. Neimark J.E. The Fully Plastic, Plane-Strain Tension of a Notched Bar. J. appl. Mech., 1968, v. 35. P. 111-116.

96. Onat E.T., Prager W. The Necking of a Tension Speciment in Plane Plastic Flow, 1954, v. 25, № 4. P. 491-493.

97. Prager W. Problem der Plastizitatstheotie. Basel, 1955.

98. Prager W., Hodg Ph.G. Theory of perfectly plastic solids. N.Y., 1951.

99. Prandtl L. Anwendungsbiespiele zu einem Henckysehen Satz über das plastische Gleichgewicht // ZAMM, 1923. BD.III, h.6.

100. Prandtl L. Uber die Harte des plastischer Korper // ZAMM, 1921. BDI, h.l.

101. Richmond O. Plane strain necking of V-notched and un-notehed tensile bars. J. Mech. Phys. Solids, 1969, v. 17. P. 83-90.