Математическое моделирование электродиффузионных процессов переноса около ионоселективных мембран тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Чопчиян, Анна Степановна

• Чопчиян, Анна Степановна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чопчиян, Анна Степановна

Введение.

1 Основные закономерности электродиффузионных процессов переноса в мембранных системах и их математическое моделирование: обзор литературы по теме исследования.

2 Математическое моделирование переноса ионов около ионоселек-тивной мембраны с учетом объёмного электрического заряда.

2.1 Концептуальная модель процессов переноса около ионоселективной мембраны во внешнем электрическом поле.

2.2 Построение математической модели переноса ионов около ионоселективной мембраны с учетом объемного электрического заряда.

2.3 Исследование математических моделей электродиффузионного переноса около ионоселективной мембраны.

2.3.1 Вид краевой задачи в зависимости от разности потенциалов.

2.3.2 Уравнение для плотности тока для п-компонентной элек тромембранной системы.

2.4 Решение двухточечной краевой задачи электродиффузионного переноса методом пограничных функций.

2.4.1 Применение метода пограничных функций.

2.4.2 Краевые задачи для нулевых приближений.

2.4.3 Краевые задачи для первых приближений.

2.5 Исследование некоторых закономерностей и особенностей электродиффузионного переноса около ионообменной мембраны.

3 Численное моделирование электродиффузионного переноса около ионоселективной мембраны.

3.1 Применение численных методов для нахождения решения задачи электродиффузионного переноса.

3.2 Алгоритм нахождения численного решения задачи электродиффузионного переноса.

3.2.1 Метод пристрелки.

3.2.2 Метод линеаризации Ньютона.

3.3 Реализация вычислительного алгоритма в пакете МаШетайса.

3.4 Сравнительный анализ аналитического и численного решения.

4 Математическое моделирование переноса ионов около ионоселек-тивной мембраны с учетом объёмного электрического заряда при наличии гомогенной химической реакции.

4.1 Построение математической модели переноса ионов около ионоселективной мембраны при наличии гомогенной химической реакции.'.

4.2 Решение двухточечной краевой задачи электродиффузионного переноса методом пограничных функций в случае наличия гомогенной химической реакции.

4.3 Исследование некоторых закономерностей и особенностей электродиффузионного переноса около ионообменной мембраны в случае наличия гомогенной химической реакции.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование электродиффузионных процессов переноса около ионоселективных мембран»

Во многих технологических процессах разнообразных производств необходимо разделять жидкие и газовые смеси. Нейтральные или заряженные компоненты, входящие в состав таких смесей, отличаются коэффициентами диффузии и равновесными параметрами растворимости в различных материалах, в связи с этим, появляется принципиальная возможность достаточно эффективно разделять целевые компоненты с использованием полупроницаемых мембран. Этот принцип разделения положен в основу производственной деятельности химической, нефтехимической, газовой, пищевой, фармацевтической, электронной и других промышленных отраслей, водоподго-товки с различным целевым назначением. К числу основных проблем, решаемых с помощью мембранных технологий, относятся: деминерализация воды, извлечение минерального сырья из природных соленых вод, обессоли-вание сахарных растворов, молочной сыворотки. Мембранные методы обладают малой металлоемкостью, высокой компактностью оборудования, без-реагентностью, экологичностью и простотой конструктивного оформления, возможностью гибкого управления ходом процесса и др.

Электромембранные системы, процессы разделения в которых протекают под действием внешнего электрического поля, характеризуются многообразием конструктивных различий, постоянным совершенствованием существующих и появлением новых схем функционирования. В основе этих процессов лежит использование ионообменных мембран, обладающих высокой избирательной проницаемостью для ионов определенного знака заряда.

Однако применение электромембранных методов в процессах очистки, концентрирования, дифференцированного выделения ионов из многокомпонентных систем сталкивается с рядом существенных проблем: • отсутствием надежной теоретической базы, позволяющей оценивать и прогнозировать механизм разделения и показатели количественного и качественного характера в широкой области изменения концентрации, плотности

• тока, напряженности;

• отсутствием программных средств для расчета электромембранных аппаратов и установок, позволяющих, определять основные размеры аппарата и установок, а также основные режимные; параметры ведения? мембранного процесса.

В этой связи актуал ьным является разработка и исследование математических моделей, описывающих электродиффузионные процессы переноса, а также создание программ; позволяющих проводить расчет параметров функционирования электромембранных систем.

Цели« № задачш исследования:. Основной! целыш работьв является? разработка методовматематическогомоделированияпроцессаэлектродиффузии электролита- около ионоселективных мембран! в электродиализных системах, построение асимптотических»представлений и разработка методов численного расчета^ основных характеристик работы электромембранпых систем. Для достижения поставленной цели сформулированы« следующие основные: задачи:: '

- математическое моделирование и построение иерархической совокупности моделей, описывающих электродиффузионный процесс переноса электролита около ионоселективной мембраны;

- анализ построенных моделей и возможных методов их решения;

- построение асимптотических формул для основных характеристик электродиффузионного процесса переноса;

- разработка алгоритмов' численного: решения полученных математических задач;

- ' создание программ для численной реализации построенных решений и их визуализации;

- проведение вычислительных экспериментов) для идентификации основных: характеристик процесса, систематизирование полученных сведений и сравнение результатов с данными других исследователей.

Методы исследования. Для решения поставленных задач-в работе ис пользованы апробированные методы* математического моделирования, математической физики; вычислительной^ математики и функционального анализа, современные методы и технологии,программирования.

Научная новизна.

1. Построена' иерархическая совокупность моделей, описывающих электродиффузионный процесс переноса электролита около ионоселектив-ной мембраньгпри заданной разности потенциалов;

2. Выделено три различных типа сингулярно возмущенных краевых задач с двумя параметрами, описывающих процесс электродиффузионного переноса с учетом, наличия пространственного электрического заряда вблизи границы раздела сред: ионообменная мембрана /раствор электролита1.

3. Методом! пограничных функций А.Б. Васильевой построены асимптотические приближения решений для рассматриваемых моделей электродиффузионного процесса.

4. Предложены^алгоритмы численного.решения сингулярно возмущенной краевой задачи для системы уравнений Нернста - Планка и Пуассона.

5. Разработан комплекс программ, позволяющий проводить, расчет и визуализацию исследуемых параметров функционирования электромембранных систем в зависимости от исходных данных, вычислительные эксперименты с рассматриваемыми моделями.

Практическая значимость работы. Результаты, полученные в диссертационном исследовании, могут быть, использованы как в теоретических работах, так и для решения прикладных задач, например, в полупроводниках и биологических средах, электрохимических и мембранных системах, в биофизике и биохимии, теории процессов > переноса в топливных ячейках и коллоидных структурах. Полученные результаты расчетов могут быть применены при исследовании-физико-химических свойств ионообменных мембран, а также для расчета режимов функционирования электромембранных систем, конструированияустановок, осуществлениям компьютерного управления» процессом.

Отдельные результаты диссертационной работы используются в* учебном процессе Старооскольского Технологического Института, (филиал) НИ-ТУ МИСиС, Воронежского Государственного' Университета; Военного Авиационного Инженерного Университета (г. Воронеж) при? проведении* занятий по математическому моделированию и численным методам.

Соответствие диссертации^ паспорту научной* специальности. Указанная область исследования? соответствует формуле специальности 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы* программ» (физико-математические науки), а именно: пункту 1 — «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений», пункту 2 - «Развитие качественных и приближенных аналитических методов-исследования математических моделей», пункту 4 — «Реализация эффективных численных методов' и- алгоритмов в- виде комплексов проблемно-ориентированных программ для. проведения вычислительного эксперимента».

Апробация результатов исследования, ©сновные результаты диссер- * тационной работы докладывались на конференциях: XI'Международная конференция «Физико-химические основы ионообменных процессов — ИОНИ-ТЫ 2007» (г. Воронеж, 2007 г.); XXI (XXII) Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-21(22)» (г. Саратов, 2008 г.; г. Псков, 2009 г.); III Международная конференция по коллоидной химии, и физико-химической'механике 1С-ССРСМ'2008 (г. Москва, МГУ, 2008 г.); IX (X) Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (г. Волгоград - г. Волжский, 2008 г.; г. Сочи - Дагомыс, 2009* г.); III'Международная научная* конференция «Современные'проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 2009 г.); XVI Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (г. Москва, 2009 г.); Воронежская, весенняя математичеекая школа: Современные методы теории 1фаевых задач* «Понтря-гинские чтения, — XX (XXI)» (г. Воронеж, 2009-2010 гг.); I Международная научная» конференция* «Современные проблемы информатизации в. системах моделирования, программирования и- телекоммуникациях» (заочная; электронная« конференция); Воронежская зимняя? математическая школа С.Г. Крейна (г. Воронеж, 2010 г.); Международная' научно-практическая* конференция- «Образование, наука, производство и управление» (г. Старый Оскол, 2006-2010 гг.); Всероссийская научно-практическая конференция «Молодые ученые - науке и производству» (г. Старый ©скол, 2008-2010 гг.).

Личный вклад, соискателям Все представленные в* диссертационной работе результаты получены либо лично соискателем, либо при его непо-' средственном участии.

Основные положения, выносимые на^защиту.

1. Математические модели, описывающие процесс- электродиффузионного переноса с учетом наличия^пространственного электрического заряда вблизи границы раздела двух сред: ионообменная'мембрана/раствор!Электро-лита, а также гомогенных реакций в растворе.

2. Классификация типов сингулярно возмущенных краевых задач с двумя параметрами, описывающих процесс электродиффузионного переноса.

3. Асимптотические приближения, построенные методом пограничных функций, для решений исследуемых моделей электродиффузионного процесса переноса.

4. В допредельном токовом режиме около принимающей поверхности мембраны образуется область пространственного электрического заряда; знак которого противоположен знаку ионогенных групп в мембране, причем максимальное значение заряда достигается непосредственно на* поверхности мембраны.

5. Аналитические выражения* для распределения объемного электрического заряда и толщины области, где он образуется;

6. Численный алгоритм решения- нелинейной сингулярно' возмущенной краевой задачи для системы уравнений Нернста - Планка и Пуассона, основанный на методе линеаризации.Ньютона.

7." Комплекс программ, обеспечивающих проведение вычислительного эксперимента в электромембранных системах.

Структура и объем диссертации. Основное содержание изложено в четырех главах. Работа содержит 139 страниц»машинописного текста, 25*ри-сунков, 6 таблиц* и 8 приложений. Список использованных источников'состоит из 163 наименований.

В первой главе приводятся сведения об основных закономерностях электродиффузионных процессов переноса в мембранных системах, вводятся основные понятиями представления. Дается вывод и анализ уравнений Нерн-ста-Планка и Пуассона, используемые для описания явлений' переноса носителей электрических зарядов ¿в различных средах. Приводится краткий теоретический обзор краевых задач для уравнений Нернста-Планка и Пуассона, анализируются граничные условия и методы решения рассматриваемых задач.

Вторая глава посвящена математическому моделированию* электродиффузионного процесса переноса ионов около ионоселективной мембраны с учетом объемного электрического заряда, образующегося вблизи границы раздела сред электролит/мембрана.

Третья глава посвящена численному решению нелинейной краевой задачи для уравнений Нернста — Планка и Пуассона.

Четвертая глава диссертационной работы посвящена математическому моделированию переноса ионов около ионоселективной* мембраны с учетом объёмного электрического заряда при наличии гомогенной химической реакции. (

В* заключении приведены основные выводы и положения, выносимые на защиту.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Чопчиян, Анна Степановна

Выводы по четвертой главе.

Построена математическая модель электродиффузионного процесса переноса многокомпонентных растворов с учетом объемного электрического заряда при наличии гомогенных химических реакций.

Методом пограничных функций А.Б. Васильевой найдены асимптотические приближения полученной сингулярно возмущенной краевой задачи.

Проведено исследование некоторых закономерностей и особенностей электродиффузионного переноса около ионообменной мембраны в случае наличия гомогенной химической реакции с учетом полученных решений. Результаты исследований говорят о том, что влияние фактора гомогенных химических реакций оказалось значительным лишь для взаимодействующих компонентов смеси. На невзаимодействующих компонентах смеси, определяющих поведение системы, оно почти не отразилось. Полученные в ходе компьютерного эксперимента характеристики переноса невзаимодействующих компонентов смеси качественно согласуются с результатами других исследователей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты проведенных исследований можно сформулировать следующим образом:

1. Предложен метод математического моделирования электродиффузионного процесса переноса электролита около ионоселективной мембраны, отличающийся использованием величины разности потенциалов в качестве одного из граничных условий, позволяющий определить распределения концентраций, потенциала, напряженности электрического поля и другие характеристики процесса.

2. Построена иерархическая совокупность математических моделей, описывающих электродиффузионный процесс переноса электролита около ионоселективной мембраны.

3. Методом пограничных функций найдены асимптотические приближения решениясистемы уравнений, описывающей процесс электродиффузии бинарного электролита во внешнем электрическом поле около ионоселективной мембраны с учетом наличия объемного электрического заряда вблизи границы раздела сред электролит/мембрана в случае, когда падение электрического потенциала есть величина порядка кТ/е.

4. Полученные решения позволяют сделать следующие выводы: в допредельном токовом режиме в области обессоливания около принимающей поверхности мембраны образуется область пространственного электрического заряда, знак которого противоположен знаку ионогенных групп в мембране, при этом максимальное значение заряда достигается непосредственно на поверхности мембраны; плотность пространственного заряда монотонно возрастает при увеличении концентрации ионов в растворе; большая часть величины падения напряжения приходится на область в непосредственной близости от поверхности мембраны, протяженность которой является величиной порядка 10" 8. Вне этой области величина падения напряжения электрического поля изменяется незначительно.

5. Получено аналитическое выражение для расчета толщины области пространственного заряда. Установлено, что толщина области пространственного заряда имеет близкую к линейной зависимость от разности потенциалов и уменьшается при повышении концентрации раствора.

6. Предложены алгоритмы численного решения нелинейной сингулярно возмущенной краевой задачи для уравнений Нернста — Планка и Пуассона.

7. Разработан комплекс программ, позволяющий проводить расчет и визуализацию исследуемых параметров функционирования электромембранных систем в зависимости от исходных данных, вычислительные эксперименты с рассматриваемыми моделями.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чопчиян, Анна Степановна, 2010 год

1. Акимов В.Н., Ким В.М. Краевая задача для системы электродиффузионных уравнений. // ДАН СССР, 1974. т.217, №4. - с. 785-787.

2. Бабешко В.А., Заболоцкий В.И., Кириллова Е.В., Уртенов М.Х. Декомпозиция систем уравнений Нернста-Планка-Пуассона// Докл. РАН, 1995. т.344, №4. с. 485-486.

3. Бабешко В.А., Заболоцкий В.И., Корженко Н.М., Сеидов P.P., Уртенов М.Х. Теория стационарного переноса бинарного электролита в одномерном случае. Численный анализ // Докл. РАН, 1997. т.355, №4. — с. 488-490.

4. Бахвалов Н.С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя. // ЖВММФ, 1969. т.9, №4. с.842-859.

5. Березин Б.И., Петухова Н.Ю. Использование асимптотических разложений для построения численных алгоритмов решения сингулярно возмущенных краевых задач. // Фундаментальная и прикладная математика, 1996. т.4, №4. с. 1187-1194.

6. Блатов И.А., Стрыгин В.В. О методе сплайн-коллокаций четвертого порядка точности для сингулярно возмущенных краевых задач // Сибирский математический журнал, 1993. т.ЗЗ, №1. с. 16-31.

7. Боглаев И.П. Приближенное решение нелинейной краевой задачи с малым параметром при старшей производной. // ЖВММФ, 1984. т.24, №11.-с. 1649-1656.

8. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Федорюк М.В. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. // Итоги наука. Сер. Математика. Математический анализ 1967. М.: ВИНИТИ, 1969. — с. 5-73.

9. Бутузов В.Ф., Левашова Н.Т. Об одной сингулярно возмущенной системе типа реакция-диффузия-перенос в случае малой диффузии и быстрых реакций. // Фундаментальная и прикладная математика, 1995. т.1, №4.-с. 907-922.

10. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. — 464 с.

11. Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.: МГУ, 1982.-210 с.

12. Васильева А.Б. Асимптотические формулы для решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих при производных параметры различных порядков малости // Докл. АН СССР, 1959. т. 128, №6. — с. 1110-1113.

13. Васильева А.Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных. // ЖВММФ, 1963. т.З, №4. с. 611-642.

14. Васильева А.Б. О дифференцировании решений дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр. // ДАН СССР, 1948. т.61, №4. -с. 597-599.

15. Васильева А.Б. Условно устойчивые сингулярно возмущенные системы с особенностями в граничных условиях // Дифференциальные уравнения, 1975. т. 11, №2 с. 227 - 238 .

16. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Нефедов H.H. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах // Фундаментальная и прикладная математика, 1998. т.4, №3 с. 799-851.

17. Васильева А.Б., Давыдова М.А. Сшпулярно возмущенное уравнение высокого порядка с малым параметром при первой и второй производной. // ЖВММФ, 1999. т.39, №9. с. 1504-1512.

18. Васильева А.Б., Кардо-Сысоева А.Ф., Стельмах В.Г. Пограничный слой в теории р-n перехода. // Физика и техника полупроводников, 1976. т. 10, №7. с. 1321-1324.

19. Васильева А.Б., Стельмах В.Г. Сишулярно-возмущенные системы теории полупроводниковых приборов. // ЖВМиМФ, 1977. т. 17, №2.с.339.348.

20. Васильева* А.Б. Асимптотика решений; некоторых краевых задач; для обыкновенных, нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. // Успехи математических наук, 1963. т. 18, №3, — с. 15-86.

21. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения: решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. — 272 с.

22. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: МГУ, 1978. 106 с.

23. Васильева А.Б., Бутузов В=Ф1 Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990. — 208 с.

24. Ван-Дайк Mi Методы возмущению в механике жидкости: М.: Мир; 1967.- 310 с.

25. Вишик М;И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. // Успехи математических наук, 1957. т.12, №5. с. 3-122.

26. Воронков Д.А., Коржов E.H. Математическое моделирование процессов переноса многокомпонентных смесей в электромембранных системах с учетом диссоциации нейтрального компонента. // Вестник ВГУ. Серия: Химия. Биология. Фармация., 2004. №1. с. 38-45.

27. Воронков Д.А., Коржов E.H. Математическое моделирование разделения многокомпонентных смесей с учетом гетерогенной реакции диссоциации нейтрального компонента // Сорбционные и хроматографиче-ские процессы. Специальный выпуск. 2004. т.4. с. 229-235.

28. Григин А.П. Электродинамика растворов электролитов. // Магнитная гидродинамика, 1990. №1. — с. 103-108.

29. Григин А.П., Шаповалов'А.П: Влияние объемного заряда нг критическое число Рэлея в растворе1 с концентрационной поляризацией. // Механика жидкости и газа, 1987. №5. с. 9-12.

30. Григин А.П. Теория» прохождения постоянного тока в бинарном'электролите. // Электрохимия, 1991. т. 27, №10. с. 1254-1260>

31. Григин А.П. Электрогидродинамика m конвективная диффузия в» растворах электролитов, сверхтекучих1 и» полярных жидкостях: дисс. . д.х.н. М.: ВНИПКТ Институт источников тока, 1989. 255 с.

32. Григорчук О.В. Конвективная? диффузия в ЭМС: автореф. дисс. . д.х.н. Воронеж: ВГУ, 2007. — 32 с.

33. Гуревич Ю.Я., Харкац Ю.И. Общее решение электродиффузионной задачи для произвольной системы однозарядных ионов // Электрохимия, 1978. вып. 1. — с. 94-98.

34. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: Мир, 1983.

35. Духин С.С., Экстрела-Льопис В.Р., Жолковский Э.К. Электроповерхностные явления и электрофильтрование. Киев: Наукова думка, 1985. — 288 с.

36. Духин С.С., Сидорова М.П., Ярощук А.Э. Электрохимия-мембран и обратный осмос. JL: Химия, 1991. — 192 с.

37. Емельянов К.В. Применение оптимальных разностных сеток к решению задач с сингулярными возмущением. // ЖВМиМФ, 1994. т.34, №6: -с. 936-943.

38. Есипова В.А. Асимптотика решения общей; краевой задачи для сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений условно устойчивого типа. // Дифференциальные уравнения, 1975: т.1Т,№11.-с. 1956-1966.

39. Жолковский Э.К. Запредельный ток в системе ионитовая мембрана — раствор электролита // Электрохимия; 1987. т. 23, №.3 — с. 180-186.

40. Жолковский Э:К., Шилов В.Н:, Мокров А.А. О возможности наблюдения запредельного тока в системе ионитовая мембрана раствор основания (кислоты) // Электрохимия, 1987. т. 23, №.5 - с. 614-619.

41. Заболоцкий В.И., Никоненко В.В. Перенос ионов в мембранах. М.: Наука, 1996. 396 с.

42. Заболоцкий ВШ., Гнусин Н.П., Никоненко В.В., Уртенов М.Х. Конвективно диффузионная модель процесса электродиализного обессоли-вания. Распределение концентрации и плотности тока // Электрохимия, 1985. т. 21, №.3 - с. 296-302.

43. Заболоцкий В.И., Лебедев К.А., Ловцов Е.Г. Математическая модель сверхпредельного состояния ионообменной мембранной, системы. // Электрохимия, 2006. т.42, №8. с. 931 -941.

44. Заболоцкий В.И., Манзанарес Х.А., Мафе С., Никоненко В.В., Лебедев К.А. Учет нарушения электронейтральности при математическоммоде-лировании.стационарного переноса ионов через трехслойную мембранную систему // Электрохимия, 2002. Т.38, №8. с. 921-929.

45. Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике. М.: изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. 496 с.

46. Ильин А.И. Согласованные асимптотические разложения-решений краевых задач. М.: Наука, 1989. — 336 с.

47. Ильин А. М. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной / / Матем. заметки, 1969. Т. 6, №2-с. 237-248.

48. Коржов E.H. Гидродинамические модели электромембранных систем: дисс. .канд. физ.-мат. наук. Воронеж: ВГУ, 1991. 152 с.

49. Коржов E.H. Модель электродиализа в ламинарном режиме // Химия и технология воды, 1986. т. 8, №5 с. 20-23.

50. Коржов E.H., Чопчиян A.C. Математическое моделирование электродиффузионного процесса переноса около ионоселективной мембраны с учётом объёмного электрического заряда // Сорбционные и хромато-графические процессы, 2007 Т.7, №5, - с. 815-823.

51. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972.-276 с.

52. Крылов B.C., Малиенко В.Н. Влияние неравновесного двойного электрического слоя на скорость ионного массообмена при анодном растворении. // Электрохимия, 1973. т.9, №7. — с. 1073-1077.

53. Кузьмина Р.П. Метод малого параметра в регулярно возмущенной задачи Коши. М.: МГУ, 1991.

54. Кузьмина Р.П. Метод малого параметра для сингулярно возмущенных уравнений. М.: МГУ, 1994. 103 с.

55. Кухлинг X. Справочник по физике. Москва: Мир, 1983 .-519с.

56. Лебедев К.А., Никоненко В.В., Заболоцкий В.И., Гнусин Н.П. Стациоинарная электродиффузия трех сортов ионов через ионообменную мембрану // Электрохимия, 1986. т. 22, №.5 — с. 638-643.

57. Лебедев К.А. Экологически чистые электродиализные технологии (Математическое моделирование переноса ионов в многослойных мембранных системах). Краснодар: КубГУ, 2002. 143 с.

58. Левич В. Г. Теория неравновесного двойного слоя // Докл. АН СССР, 1949. т. 67.-с. 309-312.

59. Листовничий A.B. Влияние диссоциации воды на строение области пространственного заряда вблизи поверхности мембраны. // Докл. АН УССР. Сер. Б. Геол. хим. и биол. науки, 1989, №2. с.43-47.

60. Листовничий A.B. Возникновение области пространственного заряда впроцессе электродиализа // Химия и технология воды, 1990. т. 12, №8. —iс. 675-680.

61. Листовничий A.B. Концентрационная поляризация системы электрод — раствор электролита в режиме нарушенной электронейтральности. // Докл. АН УССР. Сер. Б. Геол. хим. и биол. науки, 1988, №8. с.39-41.

62. Листовничий A.B. Прохождение токов больше предельного через систему электрод — раствор электролита // Электрохимия, 1989. т.25, №12. -с. 1651-1654.

63. Листовничий A.B. Расчет вольт-амперных характеристик системы ио-нитовая мембрана раствор электролита в запредельном режиме // Деп. ВИНИТИ, Москва, 1990.

64. Ловцов Е.Г. Перенос ионов в трехслойных ионообменных мембранных системах при интенсивных токовых режимах: автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук, Краснодар: КГУ, 2007. 22 с.

65. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981.

66. Майоров С.А., Руденко A.A., Шипилин A.B. О численном методе решения системы уравнений для потенциала и носителей заряда в полупроводниковых структурах // ЖВММФ, 1980. т.20, №1. с. 112-120.

67. Маслов В.П. Асимптотические методы в теории возмущений. М.: Наука, 1988.

68. Мищенко- Е.Ф., Розов Н:Х. Дифференциальные уравнения с: малым параметром и релаксационные колебания. М;: Наука, 1975: — 248 с.

69. Морф В.М. Принципы работы ионоселективных электродов и мембранный транспорт- М.: Мир, 1985. —280 с.

70. Найфе А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 456 с.

71. Найфе А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984; — 535 с.

72. Никифоров Г. А. Применение метода контрольных объемов для решения задач двухфазной фильтрации в переменных «скорость-насыщенность». // Вычислительные методы и программирование; 2006. т.7. с. 224-228.

73. Петров А.П. О бегущих контрастных структурах типа «ступеньки». // ЖВММФ, 1999. т.39, №9. — с. 1513-1518.

74. Пехенько И.В. Оценки решений обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. // Дифференциальные уравнения, 1975. т.11, №3. с. 456-461.

75. Тихонов А.Н. О зависимости решений, дифференциальных уравнений от малого параметра. // Математический сборник, 1948. т.22, №2. — с. 193-204.

76. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1980. 232 с. (2-е изд. 1985 г. 231 е.).

77. Ур генов М.Х. Краевые задачи-для систем уравнений Нернста-Планка-Пуассона. Краснодар: КубГУ, 1998. 126 с.

78. Фещенко С.Ф., Шкиль НИ., Пидченко Ю.П., Сотниченко H.A. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Киев: Наукова Думка, 1981.

79. Харкац; Ю.И. Миграционные токи в электрохимической кинетике // Итоги науки и техники. Сер. Электрохимия. Т.38. М.: ВИНИТИ, 1991. -с. 3-144.

80. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно-возмущенные краевые задачи: теория и приложения. — М.: Мир, 1988. — 247 с.

81. Чопчиян A.C., Коржов E.H. Математическая: модель электродиффузионного переноса электролитов около селективно проницаемой мембраны// Обозрение прикладной и промышленной математики, 2009. Т. 16, в.1.-с. 151-152.

82. Чопчиян A.C., Коржов E.H. О краевых задачах для уравнений Нернста-Планка и Пуассона// Системы управления и информационные технологии, 2009. №4.1(38). - с. 200-203:

83. Чопчиян A.C. О разрешимости краевой задачи электродиффузионного переноса двухкомпонентной смеси около ионоселективной мембраны// Обозрение прикладной и промышленной математики, 2010 Т.17, в.1, -с. 156-157.

84. Шишкин A.A. Асимптотика решений некоторых задач для одного класса квазилинейных систем однородных дифференциальных уравнений с малым параметром при производной. // Дифференциальные уравнения, 1975; т.11, №6.-с. 1013-1022.

85. Шишкин A.A., Гуров Г.Б. Асимптотика решения краевой задачи для одной сингулярно возмущенной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. // Дифференциальные уравнения, 1985, №6. — с. 9971006.

86. Шишкин Г.И. Аппроксимация сингулярно-возмущенных уравнений реакции-диффузии на адаптивных сетках. // Математическое моделирование, 2001. т. 13, №3. с. 103-119. •

87. Шишкин Г.И. Сеточная аппроксимация метода аддитивного выделения особенностей для сингулярно возмущенного уравнения параболического типа. // ЖВММФ, 1994. т.34, №5. с. 720-738.

88. Шишкин Г.И. Метод аддитивного выделения особенностей для квазилинейных сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. // ЖВММФ, 1994. т.34, №12. с. 1793-1814.

89. Эмануэль Н.М., Кнорре Д.Г. Курс химической кинетики. М.: Высшая школа, 1984. 464 с.

90. Ярославцев А.Б., Никоненко В.В. Ионообменные мембранные материалы: свойства, модификация и практическое применение. //. Обзоры. Российские нанотехнологии, 2009. т. 4, №3-4. с. 44-62.

91. Barcilon V., Chen D.P., Eisenberg R:S., Jerome J.W. Qualitative properties of steady — state Poisson-Nernst-Planck systems: Perturbation and simulation study. SIAM J. Appl. Math. 1997, v.57, N.3-. pp. 631-648.

92. Baker R.W. Membrane Technology and Applications. 2nd Ed. Chichester: Wiley, 2004. - 538 p.

93. Bass L. Electrical structures of interfaces in steady electrolysis // 1963. — pp. 1656-1663.

94. Bazant M.Z., Chu K.T., Bayly B.J. Current-voltage relations fro electrochemical thin films // SIAM J. Appl. Math. 2005. v.65, №5. pp. 14631484.

95. Brayanov I.A. Numerical solution of a mixed singularly perturbed parabolic-elliptic problem // J. Math. Anal. Appl., 2006. v. 320. pp. 361-380.

96. Brayanov I.A. Uniformly convergent finite volume difference scheme for 2D convection-dominated problem with discontinuous coefficients.- // Applied Mathematics and Computation, 2005. v. 163. — pp. 645-665.

97. Brayanov I.A. Uniformly convergent difference scheme for singularly perturbed problem of mixed type. // Electronic transaction on numerical analysis, 2006. v. 23.-pp. 288-3 03:

98. Chu K.T., Bazant M.Z. Electrochemical thin films at and above the classical limiting current // SIAM J. Appl. Math: 2005. v.65, № 5. pp. 1485-1505.

99. Clavero C., Gracia J.L., Lisbona F., Shishkin G.I. A Robust metnod of improved order for convection-diffusion problems in a domain with characteristic boundaries.// ZAMM. Z. Angew. Math. Mech., 2002. v. 9. pp.631647.

100. Enikov E.T., Boyd J.G. // International Journal English Science, 2000. v.38. -pp. 135-158. ;

101. Filippov A.N., Starov V.M., Kononenko N.A., BerezinaN.P. Asymmetry of diffusion permeability of bi-layer membranes.// Advanced in colloid and interface science, 2008. v. 139. pp. 29-44.

102. Harden J.L., Viovy J.L. Numerical studies of pulsed iontophoresis through model membranes.// Journal of Controlled released, 1996. v. 35 — pp. 129139.

103. Hsu J., Kuo Y., Tseng S. // J. Colloid Interface Sci., 1997. v. 195 pp. 388 -394.

104. Kato M. Numerical analysis of the Nernst-Planck-Poisson system. // Journal of Theoretical Biology, 1995. v. 177 pp. 299-304. : ■

105. Kilic M.S., Bazant M.Z., Ajdari A. Steric effects in the dynamics of electrolytes at large applied voltages. I. Double-layer charging // Physical Review E, 2007. 75(2), 021502(16).

106. Laura J. Banasiaka, Thomas W. Kruttschnittb, Andrea I. Schefer. Desalination using electrodialysis as a function of voltage and salt concentration.// Desalination, 2007. v.205.-pp.38-46.

107. Lim J., Whitcomb J., Boyd J., Varghese J. Transient finite element of electrical double layer using Nernst-Planck-Poisson equations with a modified Stern layer // J. Colloid Interface Scicnce. 2006. ,

108. Lin6 T., Stynes M. A hybrid difference scheme on a Shishkin mesh for linear convection-diffusion problems // Applied Numerical Mathematics 31 (1999) 255-270. • ■"'.

109. Mas E^, Pierrard\P:M;, Prax P.Ai, Sohm J.C. Behaviour of an= electrodialysis unit cell. // Desalination; 1970, v. 7, №3. pp. 285-296.

110. Mathur S.R., Murthy J.Y. A multigrid method for the Poisson-Nernst— Planck equations. // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2009, v. 52(17-18). -pp. 4031-4039.

111. Mayer J.P., Kostin M.D. Time-dependent Nernst-Planck and Poisson equations: Initial phase of action potential // J. Ghem. Phys. 1974. v.61, №10. -pp. 4067-4069. i

112. Moya A.A., Gastilla J. and Horno J.,Ionic Transport in Electrochemical Cells Including Electrical Double-Layer Effects. A Network Thermodynamics

113. Approach. // J. Phys. Chern., 1995. Vol. 99, №4. pp. 1292-1298.

114. Newman J.S. The Polarized Diffuse Double Layer. // 1965. pp.2229-2237.

115. Newman J.S. Electrochemical systems. 2nd Ed. Prentice-Hall; Inc. Engle-wood Cliffs, N.J., 1991. .127: O'Malley R.E., Two-parameter singular perturbation problems for second-order equations // J. Math. Mech., 1967. v. 16. pp. 1143-1164. • /'•.''■ .

116. Park J.-Hi, Jerome J.W. Qualitative properties of steady — state Poisson-Nernst-Planck systems: mathematical study. SI AM J. Appl. Math: ; 1997,v.57; №3. — pp. '609-630.

117. Peers A.M. // Discuss. Faraday Soc. 1956; N.21. p. 124.

118. Planck M. Uebcr die potantialdifferenz zwischen zwei verdunnten losungen electrolyte. // Annalen der Physic und Chemie. Leipzig, 1890, v.40 pp. 561-570. i ' :

119. Pnueli D., Grossman G. A mathematical model for the concentration field in ' an electrodialysis cell II Desalination;:1970i v.7, №3r.- pp:297-3031

120. Rosenberg N.W., Tirrell C.E. Limiting currents in membrane cells // Ind.

121. Eng: Chem. 1957 v. 49, №4. pp; 780-784:

122. Ross H.-G., Uzelac Z. The SDFEM for a convection-diffusion problem with two small parameters // Comput. Methods Appl. Math. 2003. v.3, N.3 • pp. 443-458. ' . . : - . '

123. Rubinstein I. Ai diffusional model of "water splitting" in electrodialysis // J. Phys. Ghem. 1977. v. 81, №14. -pp. 1431-1436.

124. Rubinstein I., Shtilman L. Voltage against current curves of cation exchange membranes.//JuPhys. Ghem. 1978. v.75; -pp. 231-246.

125. Rubinstein I., Zaltzman B. Electro-convective versus electroosmotic instability in concentration polarization // Advances in Colloid and Interface Science, 2007. v. 134-135.-pp. 190-200. ;

126. Rubinstein I., Zaltzman Bi, Kedem O. Electric fields in and around ionexchange membranes.// J. of Membrane Science, 1997. v. 125. pp. 17t21.

127. Rubinstein I. Multiple steady states in one-dimensional electrodiffusion with local electroneutrality // SIAM J. Appl. Math. 1987, v.47, №5. pp. 10761093. .''}

128. Rubinstein I., Segel L.A. Breakdown of a stationary solution to the Nernst-Planck-Poisson equations // J. Chem. Soc. Faraday Trans. 2, 1979. v.75. — pp. 939-940.

129. Rubinstein I. Asymptotics of propagating front formation in diffusion kinetics // SIAM J. Appl. Math. 1985. v.45; №3. pp. 403-419.

130. Rubinstein I. Counterion condensation as an exact limiting property of solutions of the Poisson-Boltzmann equation // SIAM J. Appl. Math. 1986. v.46, №6. — pp. 1024-1038.

131. Rubinstein I. Multiple steady states in one-dimentional electrodiffusion withlocal electroneutrality // SIAM J. Appl. Math. 1987. v.47, №5. pp. 10761093.

132. Rubinstein I. Electrodiffusional free boundary problem in concentration polarization in electrodialysis // Math. Models and Methods in Applied Sciences, 1996. v.6, №5.-pp. 623-648.

133. Rubinstein I., Oren Y., Zaltzmant B. Multi-phase model of a sparse ionexchange membrane spacer // J. Membr. Sci. 2004. v. 239, N.l. — pp. 3-8.

134. Sadrzadeh M., Kaviani A., Mohammadi T. Mathematical modeling of desalination by electrodialysis // Desalination, 2007. v.206. pp.53 8-546.

135. Samson E., Marchand J., Robert J-L. and Bournazel J-P. Modeling ion diffusion mechanisms in porous media// International journal for numerical methods in engineering, 1999. v. 46. pp. 2043-2060.

136. Simons R. Water splitting in ion-exchange membranes // Electrochim. Acta, 1985. v.30, №3. -pp.275-282.

137. Shishkin G.I., Titov V.A. A difference scheme for a differential equation with two small parameters at the derivatives // Numer. Meth. Contin. Medium Mech., 1976. v.7, №2. pp. 145-155.

138. Solan A., Winograd Y., Katz U. An analytical model for mass transfer in an electrodialysis cell with spacer of finite mesh // Desalination, 1971. v. 10, N. 1-4.-pp. 89-95.

139. Sonin A.A., Probstein R.F. A hydrodynamic* theory of desalination by elec-trodialysis //Desalination 1968. v.5, №3.-pp. 293-329.

140. Spiegler K.S. Polarization at ion. exchange membrane-solution interface: // Desalination, 1971. v. 9. pp. 367-385.

141. Tanaka Y. A computer simulation of ion-exchange membrane electrodialysis for concentration« of seawater. // Membrane Water Treatment, 2010. v. 1, №1. — pp. 13-37.

142. Verhust F. Methods and1 Applications of Singular Perturbations. Boundary Layers andMultiple Timescale Dynamics. Berlin: Springer, 2005. 324 p.

143. Vetter K.J. Elektrochemische Kinetik. Berlin e.a.: Springer, 1961.

144. Vulanovic R. A higher-order scheme for* quasilinear boundaiy-value problems with two small parameters // Computing 2001. v.61. pp. 287-303.

145. Wijmans J.G., Baker R.W. The solution-diffusion model: a review. J. Membr. Sci. 1995. v.107. №1. pp. 1-21.

146. Wu B., White ',R.E. One implementation variant of the finite difference method for solving ODEs/DAEs. // Computers and Chemical Engineering, 2004. v. 28. -pp. 303-309.

147. Xu T.W. Ion exchange membranes: State of their development and perspective // J. Membr. Sci. 2005. v.263. №1. pp.1-29.

148. Yang W., Matsubara A., Kimizuka H. Solution of Nernst-Planck-Poisson equation in membrane transport // Memb: Fac: Sci. Kynshu.Univ. Ser.C. 1986. v.15. №2. — pp. 189-194.

149. Yasemin Oztekin, Zafer Yazicigil/ Recovery of acids from salt forms of soidium using cation-exchange membranes.// Desalination, 2007.' v.212. -pp.62-69.

150. Zaltzman B., Rubinstein I. Electro-osmotic slip and electroconvective instability // J. Fluid Mech. 2007. v.579. pp. 173-226.1. Список обозначений8 толщина диффузионного слоя, м;- вектор плотности электрического тока, А/м2;

151. Е вектор напряженности электрического поля, В/м;й, число переноса ионов г'-го сорта;в диэлектрическая проницаемость среды;п количество сортов ионов;1. V скорость среды, м/с;1.время, с;о

152. С, концентрация ионов ¿-го сорта, моль/м ;

153. N. плотность полного молярного потока ьго компонента;

154. X, приведенная скорость химической реакции;3, плотность диффузионного потока 1-го компонента;л

155. Д коэффициент диффузии ионов /-го сорта, м /с;г, зарядовое число 1-го компонента;е = 1.6 • 10-19 элементарный электрический заряд, Кл;= 1.38-1(Г23 постоянная Больцмана, Дж/К;

156. Т = 293 абсолютная температура, К;е диэлектрическая проницаемость среды;р электрический потенциал, В;= 9.65 • 104 постоянная Фарадея, Кл/моль;х пространственная координата, м;

157. С,0 значение концентрации ионов /-го сорта на внешней границедиффузионного слоя, моль/м ; А<р0 разность значений электрического потенциала на границахдиффузионного слоя, В;

158. X безразмерная пространственная координата;

159. Ф безразмерная функция потенциала;- безразмерная плотность тока;

160. Л предельная электродиффузионная плотность тока, А/м2;

161. А, эффективный коэффициент диффузии бинарного электролита, м2/с;- миграционное число переноса противоионов в мембране; Рк вспомогательные коэффициенты; И- - малый параметр;г безразмерная пространственная координата в пограничнойобласти;

162. Ъ вектор - функция совокупности {р, п, Ф}; Ъ - регулярная часть асимптотики;пъ погранслойная часть асимптотики;

163. С ко нулевое приближение регулярной части асимптотики для концентраций ионов;нулевое приближение регулярной части асимптотики для потенциала;

164. П0Ск нулевое приближение погранслойной части асимптотики для концентраций ионов; 1

165. П0Ф нулевое приближение погранслойной части асимптотики для потенциала;

166. А вспомогательный коэффициент;

167. В вспомогательный коэффициент;

168. Аг точка, определяющая на оси X начало пограничного слоя;

169. Основные понятия и определения предметной области

170. Диссоциация молекул химическая* реакция, при которой молекула какого-либо вещества распадается на составные части - ионы.

171. Зарядовое число иона характеристика иона какой-либо смеси или раствора, численно равная числу элементарных электрических зарядов, эквивалентных заряду данного иона.

172. Ионит твердый, материал, способный при попадании в водный-раствор к процессу ионного обмена

173. Ионный обмен процесс обмена ионами разных сортов между ионо-обменником и окружающим его раствором электролита.

174. Коион сорт ионов, знак заряда которых одинаков знаку заряда ионо-генных групп матрицы мембраны.

175. Миграционное число переноса доля электрического заряда, переносимого в однородном растворе электролита за счет лишь электроми-грациоиного механизма транспорта.

176. Противоион сорт ионов, знак заряда которых противоположен знаку заряда ионогенных групп матрицы мембраны.

177. Рекомбинация ионов химическая реакция, обратная диссоциации.

178. Скорость химической реакции количество вещества, возникающего или исчезающего в,результате химической^реакции за единицу времени в единице объема.

179. Число переноса' доля электрического заряда, переносимого* отдельным сортом компонентов смеси.

180. Электродиализ один из наиболее распространенных видов электромембранного разделения компонентов жидких смесей с помощью электрического поля и ионоселективных мембран.

181. Электролит -.смесь, возникающая при диссоциации молекул какого-либо вещества в некотором жидком растворителе.

182. Эффективное* число переноса доля» электрического заряда, переносимого через мембрану за счет всех возможных механизмов ионного транспорта.

183. Физико-химические параметры электромембранной системы