Двумерные математические модели переноса бинарного электролита в мембранных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Чубырь, Наталья Олеговна

• Чубырь, Наталья Олеговна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чубырь, Наталья Олеговна

Содержание

Список обозначений

Введение

Глава 1.

Процесс переноса бинарного электролита

1.1 Электромембранные процессы

1.2 Уравнения, описывающие электромембранные

процессы

1.3 Математические модели электродиализных аппаратов

1.4 Асимптотические методы решения сингулярно-возмущенных задач

1.5 Методы решения сингулярно-возмущенных задач мембранной электрохимии

Выводы к главе 1

Глава 2.

Модель переноса бинарного

электролита в приближении закона Ома

2.1 Вывод моделей переноса бинарного электролита

в мембранных системах

2.2 Декомпозиция системы уравнений модели переноса

в приближении закона Ома

2.3 Методы решения уравнения для функции и

2.4 Методы решения уравнения для обобщенной

концентрации

2.5 Методы решения уравнения для функции 77

2.6 Алгоритм решения краевой задачи модели переноса в приближении закона Ома для симметричного

электролита

Выводы к главе 2

Глава 3.

Методы асимптотического решения. Высшие приближения

3.1 Нахождение высших асимптотических разложений

краевой задачи модели с функцией Хэвисайда

3.2 Нахождение высших асимптотических разложений

краевой задачи модели в приближении закона Ома

3.3 Нахождение высших асимптотических разложений краевой задачи для декомпозиционной системы

уравнений

3.4 Вычисление асимптотики напряженности электрического поля в погранслоях

Выводы к главе 3

Глава 4.

Алгоритмы и методы численного решения

4.1 Численное решение краевой задачи модели переноса бинарного электролита с функцией Хэвисайда

4.2 Различные обобщения

4.3 Программный комплекс «Моделирование переноса бинарного электролита в МС»

4.4 Основные закономерности переноса

бинарного электролита

4.5. Верификация результатов

Выводы к главе 4

Заключение

Литература

Список обозначений

(2 ~ концентрации катионов и анионов, соответственно,

^ пр

/

моль м ;

С - эквивалентная концентрация электролита,

С — г ¡С I — —г2С2, моль/ м3 ; £) - коэффициенты диффузии катионов и анионов,

соответственно, м2 /с; £) - коэффициент диффузии электролита,

Р,Р2(г1-г2) 2 /

и =-,м ¡с;

г,О, -г202

с^ср - падение потенциала на межмембранном пространстве, В;

Е - напряженность электрического поля, В/м\

Р - постоянная Фарадея, Кл/моль\

Сг Г А, Г

- число Грасгофа, иг = —---;

Р0 У

I - плотность тока, А/м 2 ;

- предельная электродиффузионная плотность тока, а/м2;

]х,]г - плотность потока катионов и анионов, моль/м2с; Р -давление, Па\

Ре У0Н

- число Пекле, Ре =--/

й

Я - универсальная газовая постоянная, 8.314 Дж/моль ■ К;

- изменение концентрации /-го сорта ионов в единице объема за единицу времени в результате химических реакций, моль/м3 с;

Т - абсолютная температура, К;

/ - время, с;

- число переноса ионов /-го сорта в растворе;

44, _ числа переноса ионов /-го сорта в анионо- и катионообменной

мембранах, соответственно;

У - плотность силы электрического поля, / = ~р{г ¡С! + г2С2 (р;

у - скорость течения раствора, м/с\

2,, г2 - зарядовые числа катионов и анионов,

Д - оператор Лапласа,

5 - толщина диффузионного слоя, м;

£ - диэлектрическая проницаемость электролита, Ф/м;

<р - потенциал электрического поля, В;

р0 - характерная плотность раствора, кг/м3 ;

у - коэффициенты кинематической вязкости, м2¡с;

V - градиент.

Ьр - дебаевская длина в растворе, см;

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Двумерные математические модели переноса бинарного электролита в мембранных системах»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Одним из самых экологичных методов опреснения, очистки сточных вод, выделения из загрязненных вод определенных видов ионов являются электромембранные технологии и, в частности, электродиализ.

При эксплуатации и моделировании мембранных систем принято различать мягкие токовые режимы, при которых можно пользоваться условием электронейтральности (например, допредельные токи для бинарных электролитов и токи Харкаца при учете диссоциации воды и т.д.) и жесткие (интенсивные, запредельные) токовые режимы, когда этого делать нельзя.

Для глубокой деминерализации воды с исходным солесодержанием до 0.01 М предпочтительнее использование интенсивных токовых режимов (токов больше предельного и тока Харкаца), при которых происходит повышение эффективности процесса обессоливания за счет так называемых вторичных или сопряженных эффектов (эффект экзальтации предельного тока, гравитационная конвекция, электроконвекция и т.д.), способствующих уменьшению эффективной толщины диффузионного слоя и облегчающих доставку ионов соли из ядра потока к межфазной границе раствор/мембрана.

Таким образом, процессы, происходящие в мембранных системах при жестких токовых режимах, имеют сложную природу. Их изучение требует учета гидродинамических, термодинамических, электродиффузионных явлений. Математические модели мембранной электрохимии строятся на основе связанной системы уравнений Нернста-Планка и Пуассона. Однако эта система уравнений неудобна для численного и асимптотического решения и вывода модельных задач [82].

В настоящее время имеется большое количество математических моделей переноса бинарного электролита (Н.П. Гнусин, В.И. Заболоцкий,

С.С. Духин, Б.П.Графов, A.A. Черненко[14-15, 18,21-25, 27, 29-31, 92], В.М. Волгин, А.П. Григин, А.Д. Давыдов [10], К.А. Лебедев, A.B. Листов-ничий, [46, 49, 50], Ю.И. Харкац, М.Х. Уртенов,[72-74, 81, 86, 89-91], J.-L. Afonso, M.J., Clifton, I. Rubinstein, L. Shtilman [108, 133], и др.). Однако в двумерных и трехмерных моделях предполагается электронейтральность среды и вместо уравнения Пуассона используется условие электронейтральности (Н.П. Гнусин, В.И. Заболоцкий, В.М. Волгин, А.П. Григин, А.Д. Давыдов, К.А. Лебедев, М.Х. Уртенов, Ю.И. Харкац, J.-L. Afonso, M.J. Clifton), хотя запредельный режим переноса непосредственно связан с наличием пространственного заряда, вызываемого этим эффектом, например электроконвекции (I. Rubinstein, L. Shtilman, E.H. Калайдин, Е.А. Де-мехин, М.Х. Уртенов, A.M. Узденова) [39,40,71,81,133]. Математические модели, учитывающие влияние пространственного заряда на перенос ионов соли (Б.П. Графов, A.A. Черненко, A.B. Листовничий, М.Х. Уртенов, I. Rubinstein, L. Shtilman), являются одномерными, даже если изучаемый процесс исследуется на плоскости или пространстве. Поэтому в настоящее время актуально построение и исследование двухмерных моделей переноса бинарного электролита с учетом пространственного заряда.

Имеющиеся асимптотические методы погранслойных функций Люс-терника Л. А., Вишика М. И., Васильевой А.Б. и Кутузова В.Ф. [8,9,12]и др. удобны для решения краевых задач мембранной электрохимии при допредельных токах. Однако, при запредельных токах вырожденные задачи, лежащие в основе этих методов, не имеют решения во всей области, поэтому необходимо эти методы модифицировать, использовать их в сочетании с методом согласования асимптотических решений, с новыми методами, разработанными специально для краевых задач мембранной электрохимии.

Таким образом, тему диссертационной работы, посвященной построению двумерных моделей переноса ионов соли в мембранных систе-

мах с учетом пространственного заряда, разработке эффективных численных и асимптотических методов решения соответствующих краевых задач, следует признать актуальной.

Актуальность темы исследования также подтверждается поддержкой, оказанной работе Федеральным Агентством по образованию и науке РФ в рамках темы 1.4.08 («Методы регулярного представления сингулярно- возмущенных уравнений и их приложения. Метод модулирующих функций в обратной задаче теории фильтрации» (направление фундаментальных научных исследований «Рациональное природопользование») и гранта РФФИ-Юг (№ 09-08-96529 «Модифицирование поверхности ионообменных мембран с использование углеродных нанотрубок с целью совершенствования процессов электродиализного обессоливания и концентрирования»).

Объектом исследования является перенос бинарного электролита.

Предметом исследования математическое моделирование краевых задач переноса бинарного электролита.

Цель исследования. Разработка и исследование двумерных математических моделей переноса бинарного электролита в мембранных системах, построение эффективных численных и асимптотических методов их решения.

Цель исследования предопределила следующие задачи исследования:

1. Построение математических моделей переноса бинарного электролита;

2. Построение эффективных численных и асимптотических методов решения краевых задач соответствующих моделей;

3. Разработка комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов по исследованию процессов переноса бинарного электролита в канале обессоливания

электродиализного аппарата и проведение вычислительных экспериментов;

4. Установление основных закономерностей переноса бинарного электролита.

Научная новизна:

1. Выведена иерархическая система двумерных математических моделей переноса бинарного электролита в мембранных системах с учетом пространственного заряда: модель переноса бинарного электролита в декомпозиционных переменных, модель переноса бинарного электролита в проточной мембране, модель без начального погранслоя (БНП), модель переноса бинарного электролита в приближении закона Ома (ЗОМ), модель с функцией Хэвисайда. Все модели, за исключением модели ЗОМ, являются оригинальными и не имеют аналогов;

2. Разработан новый асимптотический метод решения двумерных краевых задач соответствующих математических моделей, основной особенностью которого является следующее: 1) решения в разных областях имеют различные асимптотические разложения, типы уравнений для коэффициентов разложения зависят от области (например, в области электронейтральности - эллиптический, в области пространственного заряда - параболический), 2) в области пространственного заряда для текущего асимптотического приближения получаем неопределенную систему, а для следующего переопределенную, поэтому для однозначной разрешимости текущего асимптотического приближения используем условие разрешимости для следующего приближения;

3. Предложены алгоритмы численного решения двумерных краевых задач математических моделей переноса бинарного электролита на основе модификации метода установления, которая заключаются в следующем: вводится специальный дифференциальный оператор, имеющий разный тип в разных областях и два разных времени;

4. Установлены основные закономерности переноса бинарного электролита и показано: а) существенное влияние пространственного заряда на перенос в камере обессоливания; б) вместо исходной краевой задачи можно рассматривать значительно более простую краевую задачу в приближении закона Ома; в) область камеры обессоливания разбивается на области пространственного заряда, примыкающие к мембранам, область электронейтральности в ядре потока и промежуточный слой между ними, а также на погранслои вблизи границ; г) закономерности изменения электрохимических полей по времени и ширине канала обес-солевания.

Научная и практическая значимость

1. Разработанные в работе алгоритмы решений модельных задач реализованы в виде комплекса программ для ЭВМ и могут быть использованы на практике для выбора оптимальных технологических параметров работы мембранных систем.

2. Методы асимптотического и численного решения краевых задач, предложенные нами, могут быть применены при решении краевых задач для системы квазилинейных уравнений в математической физике.

3. Установленные нами основные закономерности переноса бинарного электролита могут быть использованы научно-исследовательскими группами, проектными организациями при разработке новых конструкций электродиализных аппаратов водоподготовки с целью повышения эффективности этих аппаратов

Основные положения, выносимые на защиту

1. Иерархическая система математических моделей переноса в бинарного электролита в мембранных системах: модель переноса бинарного электролита в декомпозиционных переменных, модель переноса бинарного электролита в проточной мембране, модель без начального погранслоя,

модель переноса бинарного электролита в приближении закона Ома, модель с функцией Хэвисайда.

2. Новое уравнение для функции тока, устанавливающее соответствие между функцией тока, напряженностью электрического поля и концентрацией электролита для двумерного случая с учетом пространственного заряда.

3. Алгоритмы асимптотического и численного решения, соответствующих краевых задач соответствующих математических моделей.

4. Основные закономерности переноса бинарного электролита в мембранных системах с учетом пространственного заряда: распределение областей электронейтральности, пространственного заряда, промежуточных и пограничных слоев, закономерности изменения электрохимических полей по ширине и длине камеры обессоливания электродиализного аппарата.

5. Комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов по исследованию процессов переноса бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного аппарата и проведение вычислительных экспериментов

Внедрение. Результаты диссертационного исследования используются в работе инновационного технологического Центра «Кубань-Юг» при проектировании новых систем водоподготовки, в учебном процессе ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный технологический университет».

Достоверность результатов. Достоверность исследований подтверждается согласованием их с результатами других авторов, когда это возможно.

Личный вклад автора. Все основные результаты работы получены лично автором. Диссертантке принадлежат: иерархическая система математических моделей переноса бинарного электролита в мембранных сис-

темах, алгоритмы численного и асимптотического решения краевых задач соответствующих математических моделей, комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов по исследованию процессов переноса бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного аппарата и проведение вычислительных экспериментов. Ею лично выявлены основные закономерности переноса бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного аппарата.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены:

1. на 13 Международных, Всероссийских и Региональных конференциях: «Ion transport in organic and inorganic membranes» (Krasnodar 2009 -2010), VI-VII Всероссийских конференциях «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (Анапа (2009, 2010)); на научных конференциях студентов и аспирантов КГУ ( 20062009гг) и КубГТУ ( 2007- 2011 гг);

2. на научных семинарах кафедры прикладной математики КубГУ (2006,2007,2009гг), прикладной математики КубГТУ (2007- 20 Юг)

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 27 печатных работ, из них 1 монография, 16 статей, 9 тезисов докладов, в том числе 6 статей в журналах из перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук, 1 свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (142 наим.). Работа изложена на 167 стр., в том числе содержит 12 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цель и задачи, перечислены результаты, выносимые на защиту, сформулированы научная новизна и практическая ценность исследования, определен личный вклад автора, указано содержание работы по разделам.

В главе 1 диссертации рассматриваются электродиализные процессы, приведен обзор математических моделей, описывающих эти процессы, а также обзор методов асимптотического решения сингулярно-возмущенных уравнений.

В п. 1.1. рассмотрены основные процессы, которые происходят в электродиализных аппаратах, типы и режимы работы этих аппаратов.

В п. 1.2. представлены уравнения, описывающие массоперенос в электрохимических системах, и ограничения, при которых эти уравнения справедливы.

В п. 1.3. проведен анализ современных математических моделей, описывающих процессы переноса в электромембранных системах, а также предлагается иерархическая классификация математических моделей переноса бинарного электролита.

В п. 1.4. приведены асимптотические методы решения сингулярно -возмущенных задач. Рассматриваются основные асимптотические методы решения сингулярно-возмущенных уравнений: метод Л. А. Люстерника, М. И. Вишика, погранслойных функций А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузова, метод сращиваемых асимптотических разложений.

В п. 1.5. дан обзор методов решения сингулярно-возмущенных задач мембранной электрохимии.

Из проведенного анализа сделаны выводы о актуальности темы исследования.

В главе 2 предложена новая иерархическая система математических моделей переноса ионов в канале обессоливания электродиализного аппарата в гальваностатическом режиме. Приведены несколько методов решения математической модели в приближении закона Ома.

В п.2.1. предлагается алгоритм вывода иерархической системы моделей, описывающих перенос бинарного электролита в мембранных системах, а затем произведен вывод всех описанных математических моделей. Для этого произведен переход к безразмерному виду в системе электродиффузионных уравнений и оценка безразмерных параметров, декомпозиция двумерной системы уравнений Нернста-Планка-Пуассона в безразмерном виде. Путем оценки членов декомпозиционного уравнения выведена нестационарная модель ППМС (переноса в проточных мембранных системах), модель БНП (без начального погранслоя), нестационарная модель переноса в приближении закона Ома, стационарная модель переноса в приближении закона Ома, стационарная модель переноса ППМС (переноса в проточных мембранных системах).

В п. 2.2. предлагается расщепление системы уравнений модели переноса в приближении закона Ома. Для простоты изложения рассматривается система уравнений модели переноса в приближении закона Ома для симметричного 1:1 бинарного электролита. Преобразовано уравнение для обобщенной концентрации и получено уравнение для «функции тока плотности тока».

В п.2.3.описаны методы решения уравнения для вспомогательной функции и, такие как сведение к эталонному уравнению, асимптотическое решение, метод последовательных приближений, метод Ньютона.

В п.2.4. на основе методов решения уравнения для вспомогательной функции и, предложены методы последовательных приближений и асимптотические методы решения уравнения для обобщенной концентра-

ции. С применением асимптотического метода решения выведена ещё одна модель, которая названа моделью переноса с функцией Хэвисайда.

В п.2.5. предлагаются методы решения уравнения для функции тока плотности тока: асимптотический метод, и метод последовательных приближений.

В п.2.6. приведены алгоритмы решения краевой задачи модели переноса в приближении закона Ома для симметричного электролита

В главе 3 описывается алгоритм нахождения высших приближений для краевых задач, построенных в работе моделей переноса, основные пункты которого прослеживаются при решении всех модельных задач.

В п.3.1. найдены высшие асимптотические разложения краевой задачи модели с функцией Хэвисайда в области электронейтральности и в области пространственного заряда.

В п.3.2. найдены высшие асимптотические разложения краевой задачи модели в приближении закона Ома в области электронейтральности и в области пространственного заряда.

В п.3.3. найдены высшие асимптотические разложения краевой задачи для декомпозиционной системы уравнений.

Глава 4 посвящена методам численного решения краевых задач.

В п.4.1. рассмотрено асимптотическое представление решения краевой задачи модели переноса с функцией Хэвисайда, вводится специальный дифференциальный оператор второго порядка с частными производными, с использованием которого решение краевой задачи ищется специальным методом установления. Выведены формулы для расчета исходных неизвестных.

В п.4.2. даны различные обобщения численного метода п.4.1: полунеявная схема, неявная схема, метод итераций.

В п.4.3. приведены и проанализированы результаты численного решения и установлены основные закономерности переноса бинарного электролита.

В п. 4.5. произведено сопоставление полученных данных с результатами других авторов.

В заключении подводятся итоги данного исследования.

\

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Чубырь, Наталья Олеговна

Вывод:

Из проведенного выше численного анализа получаем следующие основные закономерности переноса симметричного бинарного электролита:

1. Показано существенное влияние пространственного заряда на перенос в камере обессоливания.

2. На основании численного анализа показано, что вместо исходной краевой задачи можно рассматривать значительно более простую краевую задачу с функцией Хэвисайда.

3. Показано, что камера обессоливания разбивается на ряд областей: область пространственного заряда, примыкающая к мембране, область электронейтральности в ядре и промежуточный слой между ними, кроме того напряженность электрического поля значительно меняется в начальный момент времени, а также на границах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В итоге проведенных исследований можно сформулировать следующие основные результаты:

1. Предложена иерархическая система математических моделей переноса бинарного электролита в мембранных системах: модель переноса бинарного электролита в декомпозиционных переменных, модель переноса бинарного электролита в проточной мембране, модель БНП (без начального погранслоя), модель переноса бинарного электролита в приближении закона Ома, стационарная модель ЗОМ (в приближении закона Ома), стационарная модель переноса бинарного электролита в проточной мембране, модель с функцией Хэвисайда.

2. Разработаны новый асимптотический метод и новый численный метод решения краевых задач соответствующих математических моделей.

3. Выведено новое уравнение для функции тока, устанавливающее соответствие между функцией тока, напряженностью электрического поля и концентрацией электролита.

4. Разработан комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов по исследованию процессов переноса бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного аппарата и проведение вычислительных экспериментов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чубырь, Наталья Олеговна, 2012 год

Список использованных источников

1. Бабешко В.А., Заболоцкий В.И., Кириллова Е.В, Уртенов М.Х. Декомпозиция систем уравнений Нернста-Планка-Пуассона //Доклады РАН. - 1995. - Т. 344. - № 3. - С. 485-487.

2. Бабешко В.А., Заболоцкий В.И., Корженко Н.М., Сеидов P.P., Уртенов М.Х. Декомпозиционные уравнения для стационарного переноса электролита в одномерном случае // Электрохимия. - 1997. - № 8. -С. 855.

3. Бабешко В.А. Заболоцкий В.И., Корженко Н.М., Сеидов P.P., Уртенов М.Х. Теория стационарного переноса тернарного электролита в одномерном случае // Доклады РАН. - 1997. - Т. 355. - № 4. -С.488.

4. Бабешко В.А., Заболоцкий В.И., Корженко Н.М., Сеидов P.P., Уртенов М.Х. Теория стационарного переноса бинарного электролита в слое Нернста // Доклады РАН. -1998.-Т.361.-№2.-С. 208.

5. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. -М.: Наука, 2001.-632 с.

6. Боглаев Ю.П. О двухточечной задаче для одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1970. - Т. 10.-№4.-С. 958-968.

7. Бутузов В.Ф. Сингулярные возмущения. - М.: Знание, 1988. - 48 с.

8. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. - М., 1978.

9. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. -М., 1990.- 208с.

10. Волгин В.М. Численное решение проблемы предельного тока для электроосаждения меди из растворов сульфата меди и серной кислоты в условиях естественной конвекции / В.М. Волгин, А.П. Григин, А.Д. Давыдов // Электрохимия. - 2003. - Т. 39. - № 4. - С. 335-349.

11. Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина,

A.П. Крищенко. - 2-е изд. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. -228 с.

12. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым парамет-ром//УМН 1957, т. 12, №5, С.3-122.

13. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. - 1950. - С. 354.

14. Графов Б.П., Черненко A.A. Прохождение постоянного тока через раствор бинарного электролита // Журнал физической химия. - 1963. -Т. 37.-С. 664.

15. Графов Б.П., Черненко A.A. Теория прохождения постоянного тока через раствор бинарного электролита // Доклады АН СССР. - 1962. -Т. 146.-№ 1.-С. 135.

16. Гнусин Н.П. Электрохимия гранулированных ионитов / Н.П. Гнусин,

B.Д. Гребенюк. - Киев: Наукова думка, 1972. - 178 с.

17. Гнусин, Н.П. Электрохимия ионитов / Н.П. Гнусин, В.Д. Гребенюк, М.В. Певницкая. - Новосибирск: Наука, 1972. - 200 с.

18. Гнусин Н.П. Конвективно-диффузионная модель процесса электродиализного обессоливания. Предельный ток и диффузионный слой / Н.П. Гнусин, В.И. Заболоцкий, В.В. Никоненко, М.Х. Уртенов // Электрохимия. - 1986. - Т. 22. - № 3. - С. 298-302.

19. Дамаскин Б.Б. Электрохимия / Б.Б. Дамаскин, O.A. Петрий, Г.А. Цир-лина. - М.: Химия, 2001. - 624 с.

20. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. - М., 1983.

21. Духин С.С. Влияние объемного заряда на запредельный ток в плоскопараллельном канале электродиализатора в ламинарном режиме // Химия и технология воды. - 1989. - Т. 11. - С. 678.

22. Духин С.С. Электрофорез/ С.С. Духин, Б.В. Дерягин. - М : Наука, 1976.-944 с.

23. Духин, С.С. Исчезновение феномена предельного тока в случае гранулы ионита / С.С. Духин, H.A. Мищук // Коллоидный журнал. - 1989. -Т. 51. -№ 4. - С. 659-671.

24. Духин С.С., Мищук H.A. Сильная концентрационная поляризация тонкого двойного слоя сферической частицы во внешнем электрическом поле // Там же. - 1988. - Т. 50. - № 2. - С. 237.

25. Духин С.С., Шилов В.Н. Теория статической поляризации диффузной части тонкого двойного слоя сферических частиц // Там же. - 1969. -Т. 31.-№ 5.-С. 706.

26. Жолковский Э.К. Запредельный ток в системе ионитовая мембрана-раствор электролита // Электрохимия. - 1987. - Т. 23. - № 3. - С. 180.

27. Заболоцкий В.И., Корженко Н.М., Уртенов М.Х. Влияние пространственного заряда и диссоциация воды на массоперенос соли // Всеси-

бирские чтения по математике и механике (Механика) // Тез. докл. -Томск, 1997.-Т. 2.-С. 151.

28. Заболоцкий, В.И. Перенос ионов в мембранах / В.И. Заболоцкий,

B.В. Никоненко. -М.: Наука, 1996.-390 с.

29. Заболоцкий, В.И. Конвективно-диффузионная модель процесса элек-родиализного обессоливания: Распределение концентраций и плотности тока / В.И. Заболоцкий, Н.П. Гнусин, В.В. Никоненко, М.Х. Ур-тенов // Электрохимия. - 1985. - Т. 21, № 3. - С. 296-302.

30. Заболоцкий, В.И. Конвективно-диффузионная модель процесса элек-родиализного обессоливания: Распределение концентраций и плотности тока / В.И. Заболоцкий, Н.П. Гнусин, В.В. Никоненко, М.Х. Ур-тенов // Электрохимия. - 1985. - Т. 21, № 3. - С. 296-302.

31. Заболоцкий В.И., Никоненко В.В., Гнусин Н.П., Уртенов М.Х. Об одном подходе к моделированию динамики электродиализа // Численные методы и автоматизация исследований в гидро-газодинамике, гидравлике и гидротехническом строительстве береговой зоны Краснодарского края и других регионов // Тез. докл. - Краснодар, 1988 -

C.86

32. Заболоцкий В.И., Никоненко В.В., Гнусин Н.П., Уртенов М.Х. Оптимизация параметров электродиализного аппарата // Тез. Докладов Всесоюзной конференции. - Батуми, 1984.

33. Заболоцкий В.И. Об аномальных вольтамперных характеристиках щелевых мембранных каналов / В.И. Заболоцкий, Н.Д. Письменская, В.В. Никоненко // Электрохимия. - 1986. - Т. 22. - № 11. - С. 15131518.

34. Ильин A.M. Пограничный слой // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные исследования, ВИНИТИ. - М., 1988 г. - Т. 34. - 215 с.

35. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. - М. : Наука, 1989 г. - 336 с.

36. Ильин A.M., Захаров C.B. Данилин А.Р. Применение метода согласования асимптотических разложений к решению краевых задач // Современная математика и ее приложения. Т. 5. Асимптотические методы анализа. : Академия Наук Грузии, Институт Кибернетики. - 2003. -С. 33-78.

37. Ильин A.M., Сулейманов Б.И., О двух специальных функциях, связанных с особенностью сборки // Доклады РАН, 2002. - Т. 387. - № 2. С.156-158.

38. Ильин A.M., Сулейманов Б.И., Коэффициенты внутреннего разложения при исследовании асимптотики некоторых сингулярных краевых задач. Дальневосточный математический журнал. - 2003. - Т. 4. - № 1.-С. 78-85.

39. Калайдин E.H., Полянских C.B., Демехин Е.А. Автомодельные решения в ионообменных мембранах и их устойчивость// Доклады академии наук, 2010, том 434,№4,с. 476-480.

40. Калайдин Е. Н., Демехин Е. А., Коровяковский А. С. К теории электрофореза// Доклады академии наук, 2009, том 425, №5,с. 426-630.

41. Корженко Н.М., Сеидов P.P., Уртенов М.Х. Декомпозиция нестационарной системы уравнений Нернста-Планка-Пуассона // Численные методы анализа. - М., 1997. - С. 127.

42. Корженко Н.М., Уртенов М.Х. Решение краевой задачи диссоциации воды методом декомпозиции // Всесибирские чтения по математике и механике // Тез. докл. - Томск, 1997. - Т. 2. - С. 150.

43. Коул Дж. Д. Методы возмущений в прикладной математике. - М., 1972.-С. 274.

44. Лаврентьев A.B., Письменский A.B., Уртенов М.Х. Математическое моделирование переноса в электромембранных системах с учетом конвективных течений. - Краснодар: КубГТУ, 2006. - 146 с.

45. Лаврентьев A.B., Уртенов М.Х. Метод регулярного представления сингулярно возмущенных уравнений. - Краснодар, КубГТУ, 2002. -134 с.

46. Лебедев К.А., Никоненко В.В., Заболоцкий В.И., Гнусин Н.П. Влияние переноса коионов на предельную плотность тока в мембранной системе // Электрохимия. - 1986. - Т. 22. - С. 784

47. Левич В.Г. К теории неравновесного двойного слоя // Доклады АН СССР. - 1959. - Т. 134. - С. 869.

48. Левич В.Г. Теория неравновесного двойного слоя // Там же. - 1949. -Т .67.-С. 309.

49. Листовничий A.B. Прохождение токов больше предельного через систему электрод-раствор электролита // Электрохимия. - 1989. - Т. 25. -№ 12.-С. 1651.

50. Листовничий A.B. Расчет локальной скорости каталитического разложения воды с участием ионогенных групп ионообменных мембран // Электрохимия. - 1989.-Т. 25.-№ 12.-С. 1682.

51. Найфэ А. Введение в методы возмущения: - М.: Мир, 1984, 535 с.

52. Николаев E.B. К вопросу о разрешимости первой краевой задачи для системы Нернста-Планка-Пуассона. - Пущино, 1989.

53. Никоненко В.В. Электромассоперенос через неоднородные мембраны. Стационарная диффузия простого электролита / В.В. Никоненко, В.И. Заболоцкий, К.А. Лебедев // Электрохимия. - 1991. - Т. 27, № 9. -С. 1103-1113.

54. Никоненко В.В. Зависимость скорости генерации Н+, ОН- ионов на границе ионообменная мембрана/раствор от плотности тока /В.В. Никоненко, Н.Д. Письменская, Е.И. Володина // Электрохимия. - 2005. -Т. 41. - № 11.-С. 1351-1357.

55. Никоненко В.В., Заболоцкий В.И., Гнусин Н.П. // Электрохимия. -1989. - Т. 25.-С. 301.

56. Никоненко В.В., Письменская Н.Д., Заболоцкий В.И. Негидродинамическая интенсификация электродиализа разбавленных растворов электролита // Электрохимия. - 1991. - Т. 27. - № 10. - С. 1236.

57. Никоненко В.В. Дисбаланс потоков ионов соли и ионов продуктов диссоциации воды через ионообменные мембраны при электродиализе / В.В. Никоненко, Н.Д. Письменская, К.А. Юраш, В.И. Заболоцкий // Электрохимия. - 1999. - Т. 35. - № 1. - С. 56-62.

58. Никоненко В.В., Уртенов М.Х. Анализ решения краевой задачи для уравнений Нернста-Планка-Пуассона. Случай 1:1 электролита // Там же. - 1993. - Т. 29. - № 2. - С. 239.

59. Никоненко В.В., Уртенов М.Х. Решение нестационарной краевой задачи для многокомпонентного раствора с числами разной валентности // XI республ. конф. по мембранам и мембранной технологии. - Киев, 1991.

60. Никоненко В.В., Уртенов М.Х., Мартынова Н.В. Декомпозиция систем электродиффузных уравнений // Численные методы анализа. - М., 1995.-С. 43.

61. Ньюмен, Дж. Электрохимические системы. - М.: Мир, 1977. - 463 с.

62. Овчинников A.A., Тимашев С.Ф., Белый A.A. Кинетика диффузионно-

контролируемых химических процессов. - М., 1986.

63. Письменский A.B. Моделирование некоторых электромембранных процессов очистки воды в камере обессоливания // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. Приложение. Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика: Материалы II школы-семинара. -Краснодар, 2004.-С. 141-143.

64. Письменский A.B. Математическое моделирование электромембранных процессов очистки воды с учетом гравитационной конвекции: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Краснодар, 2006. - 148 с.

65. Сеидов P.P., Уртенов М.Х. Об одном алгоритме решения систем двумерных уравнений Нернста-Планка-Пуассона: Всесибирские чтения по математике и механике (Механика) // Тез. докл. - Томск, 1997. -Т.2.-С. 163.

66. Самарский A.A. Численные методы. A.A. Самарский, A.B. Гулин. -М. -.Наука, 1989.-432 с.

67. Сокирко A.B., Харкац Ю.И. К теории эффекта экзальтации миграционного тока с учетом диссоциации воды // Электрохимия. - 1988. -Т. 24.-№ 12.-С. 1657-1662.

68. Тимашев С.Ф. Физико-химия мембранных процессов. - М., 1988.

69. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, A.A. Самарский. -М. : Наука, 1972. - 736 с.

70. Треногин В. А., "Развитие и приложение асимптотического метода Люстерника-Вишика", УМН, 25:4(154) (1970), С. 123-156

71. Узденова А. М. Математическое моделирование электроконвекции в мембранных системах: Дис. канд. физ.-мат. наук /Кубанский государственный университет. - Краснодар, 2012. - 144с.

72. Узденова A.M., Коваленко A.B., Уртенов М.Х. Математические модели электроконвекции в электромембранных системах. - Карачаевск : Из-во КЧГУ, 2011.-С. 154.

73. Узденова A.M., Коваленко A.B., Уртенов, М.Х., Никоненко В.В. Математическое моделирование электроконвекции в канале обессолива-ния электродиализатора с учетом вынужденной конвекции // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2011. - № 3. - С. 5-16.

74. Уртенов K.M., Коваленко A.B., Шапошникова Т.Л.. Математическое моделирование тепломассопереноса в электродиализных аппаратах водоподготовки. - Москва : «Финансы и статистика», 2010. - 214 с.

75. Уртенов М.Х. Асимптотический и численный анализ уравнений Нернста-Планка-Пуассона. - Краснодар, 1986. - Деп. В ВИНИТИ 02.02.86.-№ 6968-В86.

76. Уртенов М.Х. Краевые задачи для систем уравнений Нернста-Планка-Пуассона (факторизация, декомпозиция, модели, численный анализ). -Краснодар, 1998.

77. Уртенов М.Х. Краевые задачи для систем уравнений Нернста-Планка-Пуассона (асимптотические разложения и смежные вопросы). - Краснодар, 1999.

78. Уртенов М.Х. Метод факторизации и декомпозиции в краевых задачах для одномерной системы уравнений Нернста-Планка-Пуассона // Всесибирские чтения по математике и механике (Механика) // Тез. докл.-Томск, 1997.-Т. 2.-С. 150.

79. Уртенов М.Х. Декомпозиция системы уравнений Нернста-Планка-Пуассона // Мембраны 98 : Всероссийская научная конференция // Тез. докл. - Москва. - С. 169.

80. Уртенов М.Х. Математическое описание процесса массопереноса в мембранных системах при интенсивных токовых режимах // Там же. -С. 170.

81. Уртенов М.Х. Конвективно-диффузионная модель процесса электродиализа. Методы численного решения. - Краснодар, 1991. - Деп. в ВИНИТИ, 15.05.91.-№ 1982-В91.

82. Уртенов М.Х. Об одной гидродинамической модели электродиализа // Экспериментальные и теоретические вопросы волнового движения жидкости. - Краснодар, 1981. - Вып. 1.

83. Уртенов М.Х., Никоненко В.В. Анализ решения краевой задачи для уравнений Нернста-Планка-Пуассона. Случай 1:1 электролита // Электрохимия. - 1993. - Т. 29. - № 2. - С. 239.

84. Уртенов М.Х., Никоненко В.В. Анализ электродиффузионных уравнений в декомпозиционный форме // Там же. - 1996. - Т. 32. - № 2. -С. 207.

85. Уртенов М.Х., Никоненко В.В. Об одной задаче идентификации в мембранной электрохимии // Численный анализ: методы, алгоритмы, программы. -М., 1991.-С. 170.

86. Уртенов М.Х., Сеидов P.P. Математические модели электромембранных систем очистки воды. - Краснодар: Кубанский государственный университет, 2000. - 139 с.

87. Уртенов М.Х., Сеидов P.P. Об одном преобразовании системы уравнений Нернста-Планка-Пуассона // Обратные и некорректно поставленные задачи : конф. // Тез. докл. МГУ. -М., 1998. - С. 81.

88. Фрумкин А.Н., Багоцкий B.C., Иофа З.А., Кабанов Б.Н., кинетика электродных процессов. - 1952.

89. Харкац Ю.И. К теории эффекта экзальтации миграционного тока // Электрохимия. - 1978.-Т. 14.-№ 12.-С. 1840.

90. Харкац Ю.И. О механизме возникновения запредельных токов на границе ионообменная мембрана. Электролит // Там же. - 1985. - Т. 21. -№ 7. - С. 974.

91. Харкац Ю.И. Об одном приближенном методе решения электродиффузионных задач с конвективным переносом // Там же. - 1979. - Т. 15. - №2.-С. 241.

92. Черненко А.А. К теории прохождения постоянного тока через раствор бинарного электролита // Доклады АН СССР. - 1963. - Т. 153. -С. 1129.

93. Чубырь Н.О.(Фоменко Н.О.) Вывод уравнения для плотности тока для бинарного электролита // Прикладная математика XXI века: Материалы VI / объединенной конференции студентов и аспирантов факульте-

та компьютерных технологий и прикладной математики. - Краснодар: КубГУ, 2006, С. 122-125.

94. Чубырь Н. О. (Фоменко Н.О.) Приближенное решение уравнения для плотности тока для бинарного электролита // Прикладная математика XXI века: Материалы VII объединенной конференции студентов и аспирантов факультета компьютерных технологий и прикладной математики. - Краснодар: КубГУ, 2007, С. 55-56

95. Чубырь Н.О. Полная декомпозиция неодномерной системы уравнений Нернста-Планка-Пуассона для бинарного электролита / Лаврентьев A.B., Уртенов K.M., Хромых A.A., // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - Краснодар. - 2009. - №2. - С. 32-37.

96. Чубырь Н.О. Численное и асимптотическое решение неодномерной системы уравнений Нернста-Планка-Пуассона/ Лаврентьев A.B., Уртенов K.M., Хромых A.A.// Известия вузов. Северо-Кавказский регион". Естественные науки. 2010. №5. С. 17-22.

97. Чубырь Н.О. Краевая задача для плотности тока в области пространственного заряда, Уртенов K.M., Коваленко A.B., Хромых A.A. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2010, №1, С.70-74

98. Чубырь Н.О., Коваленко A.B., Узденова A.M., Уртенов М.Х. Хромых A.A., Барсукова В. Ю. Численное решение краевой задачи модели переноса бинарного электролита в приближении закона// Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета, №77(03), 2012 года.

Режим доступа http://ej.kiibagro.rii/2012/03/pdf/58.pdf

99. Чубырь Н. О. Анализ краевой задачи модели переноса бинарного электролита в приближении закона Ома /Коваленко A.B., Уртенов М.Х., Узденова A.M., Хромых A.A., Барсукова В. ЮЛ Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета, №77(03), 2012 года http://ej .kubagro.ru/2012/03/pdf/5 7. pdf

100. Чубырь Н.О. Численное решение краевых задач для квазилинейных уравнений математической физики с функцией Хэвисайда./ Коваленко A.B., Уртенов М.Х., Узденова A.M.// Современные проблемы науки и образования. - 2012. - № 2; URL: http://wvvvv.science-education.ru/102-5919 (дата обращения: 04.04.2012).

101. Чубырь Н.О. Приведение к каноническому виду уравнения первого приближения для плотности тока краевой задачи с условием квазиравномерного распределения заряда // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. Труды VI Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. -Краснодар: Изд-во «Просвещение-Юг», 2009.С. 121-123

102. Чубырь Н.О., Хромых A.A. Сопоставительный анализ асимптотического и численного решения краевой задачи с условием квазиравномерного распределения заряда // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Труды VI Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. - Краснодар: Просвещение-Юг, 2009. - С. 123-125

103. Чубырь Н.О. Двумерные математические модели переноса бинарного электролита в мембранных системах (численный и асимптотический

анализ): монография/ Коваленко А.В., Уртенов М.Х. -Краснодар: ФГБОУ ВПО «КубГТУ», 2012. -132с.

104. Шаповалов С.В., Тюрин В.И. Математическая модель течения и мас-сопереноса в электромембранной ячейке с макровихревым течением жидкости // Электрохимия. - 1996. - Т. 32. - № 2. - С. 235.

105. Шапошник В.А., Васильева В.И., Сурия Р., Праслов Д.Б. Локально-распределительный анализ бинарных растворов методом двухчастот-ной лазерной интерферометрии // Журнал аналитической химии. -1990,- Т. 45. С. 961.

106. Шапошник В.А. Кинетика электродиализа. - Воронеж, 1989.с.

107. Шапошник В.А. Концентрационное поле при электродиализе в ламинарном гидродинамическом режиме // Электрохимия. - 1981. - Т. 17. -№ 11.-С. 1602.

108. Afonso J.-L. Coupling between transfer phenomena in continuous-flow electrophoresis: effect on the steadiness of the carrier flow / J.-L. Afonso, M.J. Clifton // Chem. Eng. Sci. - 2001. - V. 56. - P. 3056-3064.

109. Aaboubi O., Chopart J.P., Douglade J., Olivier A., Gabrielli C., Tribollet B. Magnetic field effect on mass transport // Electrochem. Soc. - 1990. -V. 137. - № 6. - C. 1796.

110. Anufriev A.P. The Boussinesq and anelastic liquid approximations for convection in the Earth's core / A.P. Anufriev, C.A. Jones, A.M. Soward // Physics of The Earth and Planetary Interiors. - 2005. - V. 152. - №. 3. -P. 1-7.

111.Bohiderl K.-E. Concentration polarization in electrodialysis: Buffer solution experimental method / K.-E. Bohiderl, K. Oulmi // Desalination. -2000. - V.132. - P.199-204.

112. Ben Y. Nonliner electrokinetics and «superfast» electophoresis / Y. Ben, E.A. Demekhin, H-Ch. Chang // J. Colloid Interface. Sci. - 2004. - V. 276. -P. 483-497.

113. Chubyr N.O., M.Kh. Urtenov About one particular solution of QECS tasks. International conference «Ion transport in organic and inorganic and inorganic membranes». - Krasnodar, 2009. - P. 38-40.

114. Chubyr N.O., Asymptotics in the solution of two-dimensional marginal task of transferring binary electrolyte in the sphere of space charge. International conference «Ion transport in organic and inorganic and inorganic membranes» - Краснодар, 2010. - P. 40-42.

115. Davies G.F. Gravitational depletion of the early Earth's upper mantle and the viability of early plate tectonics // Earth and Planetary Science Letters. - 2006. - V.243, N.3-4. - P.376-382.

116. Glushkov E. V., Glushkova N. V., and Timofeev D. V., Solution of Singularly Perturbed Convection-Diffusion Problems by the Local Green's Function Method, Computational Mathematics and Mathematical Physics, Vol. 45, No. 3, 2005, pp. 444-453.

117. Jouve N. Three-dimensional modelling of the coupled flow field and heat transfer in continuous-flow electrophoresis / N. Jouve, M.J. Clifton // International J. Heat Mass Transfer. - 1991. - V. 34. - P. 2461-2474.

118. Kitamoto A. Ionic mass transfer in turbulent flow by electrodialysis with ion exchange membranes / A. Kitamoto, Y. Takashina // J. Chem. Eng. of Jap. - 1970.-V.3,N.2.-P.182-191.

119. Kirillova E.V., Urtenov M.Kh. Decomposition of Nernst-Planck-Poisson equation systems. Abstracts International Conference on Membrane Electrochemistry. - Anapa (Russia), 1994. - P. 52.

120. Leitner G. Water Desalination, What are Today's Costs? // Des. & Wat. Reused. - 1992. - V. 2. - P. 39-42.

121. Lutin F., Largeteau D. Nitrate removal from drinkable water by electrodia-lysis (EDR). Presented at 1997, Eurodia Industrie S.A., Kenitra Conference. - April 1997.

122. Maletzki F., Rosier H.-W., Staude E. Ion transfer across electrodialysis membranes in the overlimiting current range: stationary voltage current characteristics and current noise power spectra under different conditions of free convection//J. Membrane Sci. - 1992. -V. 71. - P. 105.

123. Manzanares J.A., Kontturi K., Mafe S., Aguilella V.M., Pellicer J. Polarization effects at the cation-exchange membrane-solution interface // Acta Chem.-Scand, 1991.-V. 45.-P. 115-121.

124. Mischuk N.A. Perspectives of the electrodialysis intensification // Desalination. - 1998. - V. 117. - P. 16-20.

125. Murphy W.D. et al. A numerical study of the equilibriumand nonequilib-tium diffuse double layer in electrochemicalcells / W.D. Murphy, J.A. Manzanares, S. Maf B, H. Reiss // American Chem. Soc. - 1992. -V. 96.-№24.-P. 1983.

126. Newman J. The polarized diffuse double layer // Trans. Faraday Soc. -1965.-V. 61,-№ 10.-P. 2229.

127. Nikonenko V.V., Lebedev K.A., Zabolotsky V.I. Model of Comperetive Lon Transport Throuungh an Ion-Exchange Membranes with modified surface // Abstract of International Conference on Membrane Electrochemistry. - Anapa (Russia), 1994. - P. 100.

128. Nikonenko V.V., Urtenov M.Kh. On a generalization of the electroneutrali-ty condition // Abstract of International Conference on Membrane Electrochemistry. - Anapa (Russia), 1994. - P. 41.

129. Plack J. Vergleich von Electrodialyse und Umkehrosmose in der Trinkwasseraufbereitung, University of Stuttgart, Master's thesis, 1997.

130. Reichmuth D.S. Increasing the performance of high-pressure, high-efficiency electrokinetic micropumps using zwitterionic solute additives / D.S. Reichmuth, G.S. Chirica, B.J. Kirby // Sensors and Actuators. - 2003. -B. 9.-P. 237-43.

131. Rubinstein I. Theory of concentration polarization effectsin electrodialysis on counter-ion selectivity of ion-exchange membranes with differing counter-ion distribution coefficients // J. Chem. Soc. Faraday Trans. - 1990. -V. 86. - №10.-P. 1857.

132. Rubinstein I. // J. Chem. Soc. Faraday Trans. II. - 1979. - V. 75. - № 2. -P. 231.

133. Rubinstein I., Maletzki F. Electroconvection at an electrically inhomogene-ous permselective membrane surface // Trans. Faraday Soc. - 1991. -V. 87.-№ 13.-P. 2079.

134. Rubinstein I., Shtilman L. Voltage against current curvesof cation exchange membranes // J. Chem. Soc. Faraday Trans. II. - 1979. - V. 75. -P. 231.

135. Rubinstein I., Staude R., Kedem O. Role of the membranesurface in concentration polarization at ion-exchange membranes // Desalination. - 1988. -V. 69.-№2.-P. 101.

136. Sanchez V., Clifton M. Determination du transfer de matiere par interfero-metrie holographique dans un motif elementaire d'un electrodialyseur // J. Chim. Phys. - 1980. - V. 77. - P. 421.

137. Schlogl R. Elelctrodiffusion in freier Losung und geladenenMembranen // Physik.Chem. N.F. - 1954. - № 5. - P. 305.

138. Solan A., Winograd Y. Boundary-layer analysis polarization in electrodia-lysis in a two-dimensional laminar flow // Phys. Fluids. - 1969. - V. 12. -P. 1372.

139. Sonin A., Probstein P. A hydrodynamic theory of desalination by electro-dialysis // Desalination. - 1968. - № 3. - P. 293.

140. Yamane R., Sata T., Mizutani Y., Onoue Y. // Bull. Chem. Soc. - Japan, 1969.-V. 42.-P. 2741.

141. Zabolotsky V.I., Gnusin N.P., Nikonenko V.V. Investigations and a model approach to the structural ingomogeneity of ion-exchange membranes // Membranes and membrane separation processes. Proceeding of international symposium. - Torun (Poland), 1989. - P. 278.

142. Zabolotsky V.I., Nikonenko V.V., Pismenskaya N.D. On the role of gravitational convection in the transfer enhancement of salt ions in the course of dilute solution electrodialysis // J. Membrane Sci., 1996. - P. 171.