Математические модели квантовых оптических каналов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Фалеева Мария Петровна

• Фалеева Мария Петровна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Фалеева Мария Петровна

Введение

Глава 1. Оценка степени запутанности кубитов

1.1 Расстояние от матрицы до подпространства матриц, являющихся тензорными произведениями

1.2 Расстояние как степень независимости кубитов. Примеры

1.3 Оценка запутанности для реализации кубитов через связанные оптические волноводы

1.4 Расстояние как характеристика запутанности

1.5 Выводы к главе

Глава 2. Изменение запутанности пары кубитов при передаче по квантовому каналу в атмосфере

2.1 Описание задачи

2.2 Параксиальное уравнение Гельмгольца

2.3 Представление кубитов с помощью мод гауссова пучка

2.4 Одновременная передача пары запутанных кубитов

2.5 Передача одного кубита из запутанной пары

2.6 Исследование степени сохранения запутанности с помощью альтернативного метода

2.7 Выводы к главе

Глава 3. Влияние атмосферы на величину ошибки при выполнении

квантовых алгоритмов

3.1 Модель реализации алгоритма квантового распределения ключей в турбулентной атмосфере

3.2 Модель реализации алгоритма сверхплотного кодирования в турбулентной атмосфере

3.3 Выводы к главе

Глава 4. Вариационные оценки связанного состояния в оптическом волноводе с возмущением сердцевины

4.1 Метод исследования

4.2 Волновод с разрывом сердцевины

4.3 Волновод со вставкой в сердцевине

4.4 Волновод с периодическим набором вставок в сердцевине

4.5 Выводы к главе

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели квантовых оптических каналов»

Введение

Общая характеристика работы и актуальность исследования. В условиях стремительно растущих объемов передаваемой и обрабатываемой информации ко второй половине прошлого века возникла потребность в новых способах ее передачи, которые позволили бы многократно увеличить скорость и объем потоков данных, избежать сильного затухания сигналов на больших расстояниях и повысить уровень защиты от помех и перехвата, чего нельзя было достичь использованием традиционных проводных линий. Широкое развитие получило исследование технологий, основанных на передаче информации с помощью электромагнитных волн видимого диапазона через оптические волокна или волноводы [1-4], а в настоящий момент через квантовые каналы связи в свободном пространстве [5-7]. В связи с этим появляется множество задач и вопросов, важнейшие из которых состоят в обеспечении контроля и управления прохождением сигналов и гарантии достижения минимально возможной ошибки при передаче. Особый интерес вызывают исследования, посвященные разработке каналов, основанных на свойстве квантовой запутанности, обеспечивающем высокий уровень секретности связи [8-9]. Если же рассматривать квантовый канал в атмосфере, то его преимуществом является возможность многократного увеличения протяженности линий связи, чего не позволяют достичь оптоволоконные каналы из-за сильного затухания сигналов [10]. Согласно экспериментальным данным, затухание сигнала в оптоволоконных каналах, равное 0,2 дБ / км [2], позволяет передать запутанность на расстояния до 100 км [11]. Существуют решения, которые способны увеличить протяженность оптоволоконных линий связи, такие как разработка устойчивых к потерям протоколов [12] или использование квантовых повторителей [13-14]. Однако преимущество создания квантовых каналов в свободном пространстве очевидно в связи с небольшой степенью затухания сигнала и незначительными значениями

декогеренции в атмосфере, что подтверждается многочисленными опытами реализации алгоритмов, например, алгоритма квантового распределения ключей [15-17], телепортации кубитов [18-21]. Использование спутников для передачи и приема сигналов позволит увеличить протяженность каналов до глобальных масштабов [22-23].

Однако в настоящий момент накопленный материал в области изучения влияния турбулентной атмосферы на осуществление квантовых алгоритмов далек до возможности реализации глобальной квантовой коммуникации и квантового интернета. Исследования в данной области крайне необходимы.

При изучении моделей квантовых каналов одной из важнейших задач является обеспечение гарантии сохранения запутанности квантовых единиц информации при передаче, что позволит достичь минимально возможной вероятности наличия ошибки. Существует немало работ, посвященных изложению различных способов оценки запутанности, удобных в каждом конкретном случае [24-29]. Одним из результатов автора является разработка собственного метода оценки запутанности пары кубитов [30], в основе которого лежит известная теорема об аппроксимации некоторой матрицы матрицами более низкого ранга. Также метод позволяет оценить независимость преобразования кубитов квантовым оператором. Данный метод удобно применять в случае, если легко задать матричное представление соответствующих операторов. Полученный алгоритм проверен на некоторых простых примерах квантовых вентилей, применен к задаче исследования влияния параметров модели на запутанность для случая волноводной реализации кубитов и для определения способа наилучшего кодирования кубитов модами гауссова пучка при передаче через атмосферу с турбулентностью.

Среда с турбулентностью довольно сложна для математического описания. Модели турбулентности начали предлагать достаточно давно [31-34]. Одна из теоретических моделей света, распространяющегося через турбулентную атмосферу, основана на идее замены случайной среды на канал со случайными потерями [35]. Было установлено, что турбулентная атмосфера вводит дополнительный шум (возмущение) в квантовые состояния света. Авторами было

предложено теоретическое описание запутанных состояний света, распространяемых через каналы со случайными потерями в атмосфере, и поставлен ряд экспериментов [36-38]. Для такого света они вычисляют значение изменения запутанности кубитов, прошедших атмосферу, проверяя, насколько нарушается неравенство Белла, и приходят к интересному результату, что, несмотря на дополнительное возмущение, каналы со случайными потерями могут сохранять неклассические свойства намного лучше, чем аналогичные каналы с постоянными потерями [36]. В отличие от данного диссертационного исследования, авторы кодируют кубиты двумя ортогональными состояниями поляризации.

В настоящем исследовании рассмотрены также оптоволоконные каналы связи. В области теории оптических волноводов уже накоплен обширный исследовательский материал, волоконно-оптические линии связи разработаны и внедрены в огромном масштабе в самые различные области науки, производства и жизни общества. Однако, разработанные линии связи далеки от совершенства. Требуется улучшение пропускной способности и других характеристик, достижение устойчивого функционирования систем передачи информации, усовершенствование которых нуждается в развитии научной и технологической базы. Необходимы новые разработки оптических устройств, на основе волноводов, позволяющих управлять светом и выполняющих роли оптических фильтров, таких как ответвители и разветвители, устройства вставки или выделения каналов, а также мультиплексоры и демультиплексоры.

В отличие от квантовых каналов в свободном пространстве, оптоволоконные каналы защищены от воздействия окружающей среды, в том числе от атмосферной турбулентности. Они обладают высокой степенью помехоустойчивости, маленькой вероятностью перехвата информации. Однако наличие дефектов в оптоволокне может существенно повлиять на качество передачи фотонов [39-42]. В то же время с помощью встроенных конструкций можно получить структуры, позволяющие производить некоторое управление светом. В данной работе исследуется несколько систем, имеющие в результате структуры своей конструкции некоторые особенности спектра. Изучено влияние на спектр

различных возмущений сердцевины цилиндрического диэлектрического волновода.

Поиску собственных чисел вне границ непрерывного спектра посвящено немало работ. В основном, известны задачи о двумерных связанных волноводах [43-51]. Также были исследованы спектры для изогнутых волноводов постоянного круглого сечения и сечения, имеющего различные деформации - расширения или сжатия [52-54]. Изучается наличие и отсутствие связанных состояний в зависимости от вида деформации. Автор статьи [55] рассчитал асимптотики наименьших собственных чисел для квантового двумерного волновода, представляющего бесконечные У-образные полосы. Есть работы, в которых рассмотрены материалы, обладающие свойством фотонного кристалла [56]. Что касается собственных значений, лежащих в спектральных интервалах, то метод исследования предложен в [57]. Существует обширная литература о возникновении ловушечных мод (т. е. значений, встроенных в непрерывный спектр) в изогнутых волноводах (например, [58, 59]).

В данной диссертации рассмотрены три задачи [60-62], в двух из которых имеется локальное возмущение, а в одной - периодическое. Интерес к последней возник в связи с фотонными кристаллами [63-65]. В периодическом случае удалось показать понижение нижней границы спектра, соответствующего невозмущенной задаче, и, следовательно, появление дополнительного диапазона разрешенных частот, с которыми волна не может распространяться по невозмущенному волноводу, а только по волноводу с такой периодической системой вставок. В случае с локальным возмущением доказывается существование связанного состояния ниже порога непрерывного спектра. Метод аналогичен предложенному в работах [66, 67], где изучена похожая плоская задача. Вариационный подход используется в разных задачах [68-70]. Один из методов вариационного исчисления, описывающий технику нахождения приближений собственных значений, в том числе наименьшего, и соответствующих им собственных функций, заключается в том, чтобы найти функцию, содержащую некоторое число свободных параметров и удовлетворяющую граничным условиям задачи, которая

будет являться аппроксимацией точного решения при определении этих неизвестных параметров. В данной работе использована некоторая модификация такого метода. Формула для нахождения собственного значения преобразована в формулу для разности минимального собственного числа и нижней границы непрерывного спектра, и на ее основе создан критерий существования связанного состояния. Основной идеей доказательства существования связанного состояния является подбор такой пробной функции, для которой оценка разности является отрицательной. Для каждой задачи приведен вид пробной функции, с учетом особенностей конструкции, найдены необходимые оценки, которые рассчитаны численно и построены графики, иллюстрирующие отрицательный знак выражения. В периодическом случае пробная функция выбирается удовлетворяющей условию Блоха, квазиимпульс в которой сначала фиксируется и рассматривается задача на отрезке одного периода, соответствующая одной вставке и одному собственному значению. Затем, полагая квазиимпульс непрерывной величиной, получаем непрерывный спектр, выясняем, где граница сдвинута. Учет периодичности структуры состоит в изменении значения квазиимпульса вдоль всего допустимого промежутка, что приводит к образованию нового интервала непрерывного спектра, который является либо продолжением спектра, соответствующего невозмущенной задаче, либо выделяется в отдельную зону, что характерно спектру фотонных кристаллов.

Объектом исследования являются квантовые каналы, предметом исследования - выполнение квантовых алгоритмов.

Целью данной диссертационной работы является моделирование некоторых особенностей процесса распространения электромагнитных волн и их влияния на реализацию квантовых алгоритмов.

Решены следующие задачи:

1. Разработка метода оценивания степени независимости преобразования кубитов и квантовой запутанности;

2. Расчет величины степени независимости преобразования кубитов для волноводной реализации кубитов;

3. Математическое описание модели кодирования кубитов модами гауссова пучка;

4. Нахождение оператора плотности, описывающего систему запутанных пар кубитов после прохождения через атмосферу;

5. Расчет степени запутанности кубитов после прохождения через турбулентную атмосферу;

6. Численное исследование зависимостей величин найденных оценок запутанности от номеров мод, кодирующих кубиты;

7. Оценка зависимости величины ошибки, появляющейся в ходе выполнения алгоритма квантового распределения ключей, от параметров атмосферы и мод, кодирующих кубиты;

8. Исследование модели реализации алгоритма сверхплотного кодирования в турбулентной атмосфере;

9. Исследование спектров цилиндрических диэлектрических волноводов, имеющих некоторое возмущение в сердцевине.

Научная новизна результатов, полученных в работе. Впервые рассмотрена модель реализации квантового канала в свободном пространстве с помощью генерации и последующего распространения в заданном направлении мод гауссова пучка света различных порядков, задающих состояния кубитов. Предложен способ оценки степени квантовой запутанности, с помощью которого определено, какие моды позволяют обеспечить наиболее точное выполнение квантовых алгоритмов. Рассчитаны вероятности верного распознавания пар передаваемых битов в модели реализации алгоритма сверхплотного кодирования в турбулентной атмосфере. Показано существование дискретного спектра в волокне с локальным возмущением сердцевины и зоны спектра в случае периодического возмущения сердцевины волокна.

Теоретическая значимость обуславливается ее вкладом в теорию квантовых каналов: изложением нового метода оценки степени запутанности квантовых единиц информации, описанием турбулентности среды распространения электромагнитных волн, исследованием спектров моделей волноводов,

нахождением способа кодирования, который лучшим образом сохранит запутанность и обеспечит точность работы алгоритма.

Практическая значимость работы связана с тем, что представленные в работе рекомендации могут быть полезны для разработчиков квантовых каналов связи.

В работе используются методы теории операторов и линейной алгебры, квантовой оптики, квантовой механики, квантовой теории информации, методы вариационного исчисления, методы теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Положения, выносимые на защиту:

1. Степень запутанности пары кубитов (степень независимости преобразования кубитов квантовым гейтом) можно оценить с помощью расстояния от матрицы плотности квантового состояния (матрицы преобразования) до подпространства матриц, являющихся тензорными произведениями. Расстояние вычисляется с помощью сингулярного разложения преобразованной определенным способом матрицы плотности квантового состояния (матрицы преобразования).

2. При передаче квантового запутанного состояния через турбулентную атмосферу наилучшего сохранения запутанности можно достичь, выбирая определенным образом набор мод гауссова пучка света, с помощью которых кодируются кубиты.

3. Выбор мод, кодирующих кубиты, определяет величину ошибки, возникающей при выполнении алгоритма квантового распределения ключей.

4. В случае реализации кубитов с помощью двух связанных волноводов степенью независимости преобразования кубитов можно управлять за счет изменения отверстия связи.

5. Наличие разрыва или вставки в сердцевине цилиндрического диэлектрического волновода вызывает появление дополнительного собственного значения ниже границы непрерывного спектра или понижение границы непрерывного спектра в случае периодического набора вставок.

Достоверность результатов. В данной диссертации результаты получены с использованием теоретических и расчетных методов, прошедших апробацию в

научной литературе, а также с помощью метода, предложенного автором впервые. В последнем случае проведено сравнение результатов с рассчитанными по альтернативному методу и получено их соответствие.

Апробация работы. Результаты диссертационного исследования были апробированы докладами на 11 международных и 13 всероссийских конференциях: «The 2016 International Conference Applied Mathematics, Computational Science and Systems Engineering», Рим, Италия; «Days on Diffraction 2016», Санкт-Петербург, Россия; «The Fifth Najman Conference on Spectral Theory and Differential Equations 2017», Опатия, Хорватия; «Spectral and scattering theory: from selfadjoint operators to boundary value problems 2017», Комо, Италия; «International Workshop on Operator Theory and Its Applications 2018», Шанхай, Китай; «30th International Workshop on Operator Theory and Its Applications 2019», Лиссабон, Португалия; «17th International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics 2019», Родос, Греция; «II Всероссийский научный форум «Наука будущего - наука молодых» 2016», Казань, Россия; ежегодное участие в международной конференции «Mathematical Challenge of Quantum Transport in Nanosystems (Pierre Duclos Workshop)», Санкт-Петербург, Россия в период с 2017 г. по 2020 г.; ежегодное участие во Всероссийском конгрессе молодых ученых, Санкт-Петербург, Россия, в период с 2015 г. по 2021 г.; ежегодное участие во всероссийской конференции «Фундаментальные проблемы оптики» в период с 2016 г. по 2019 г.; участие в конференциях и семинарах Университета ИТМО.

Список публикаций. По теме диссертационной работы опубликовано 8 статей в журналах, входящих в перечень ВАК, а также цитируемых в базах данных Web of Science, Scopus, РИНЦ.

Web of Science, Scopus:

1. Faleeva, M.P. Mathematical model of quantum channel for teleportation through atmosphere / M.P. Faleeva, I.Y. Popov // AIP Conference Proceedings. - 2020. - Vol. 2293. - P. 360004.

2. Faleeva, M.P. Entanglement transmission through turbulent atmosphere for modes of Gaussian beam / M.P. Faleeva, I.Y. Popov // Quantum Information Processing - 2020. -Vol. 19. -No. 2. - P. 72.

3. Faleeva, M.P. Bound state for dielectric waveguide with locally perturbed core / M.P. Faleeva, I.Y. Popov // Proceedings of the International Conference Days on Diffraction 2016. - 2016. - P. 133-136.

4. Faleeva, M.P. Bound state for dielectric waveguide with high contrast inset in the core / M.P. Faleeva, I.Y. Popov // ITM Web of Conferences . - 2017. - Vol. 9. -P. 01009

5. Melikhova, A.S. On the choice of parameters for a model of small window]/ A.S. Melikhova, M.P. Faleeva, I.Y. Popov // Наносистемы: Физика, химия, математика = Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics - 2021. -Vol. 12. -No. 2. -P. 151-155.

6. Faleeva, M.P. On quantum bit coding by Gaussian beam modes for the quantum key distribution / M.P. Faleeva, I.Y. Popov // Наносистемы: Физика, химия, математика = Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. - 2020. -Vol. 11. -No. 6. -P. 651-658.

Журналы из перечня ВАК:

7. Фалеева, М.П. О количественной оценке степени независимости преобразования кубитов квантовым вентилем или каналом / М.П. Фалеева, И.Ю. Попов, И. Жежула // Оптика и спектроскопия. -2018. - Т. 124. - N. 5. - С. 686-690.

РИНЦ:

8. Фалеева, М.П. Об оценке качества передачи запутанности через атмосферу / М.П. Фалеева, И.Ю. Попов. // Труды студенческого центра прикладных математических исследований. -2019. -Т.8. - С. 159-163.

Объем и структура работы. Диссертационное исследование изложено на 111 страницах и состоит из оглавления, введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Текст содержит 22 рисунка и 4 таблицы. Список литературы состоит из 109 наименований.

Глава 1. Оценка степени запутанности кубитов

Данная глава посвящена исследованию квантовых свойств света, на которых основываются квантовые каналы связи.

1.1 Расстояние от матрицы до подпространства матриц, являющихся тензорными произведениями

Для передачи информации по квантовому каналу связи, закодированной кубитами, т.е. единицами квантовой информации, или для выполнения квантовых алгоритмов важно уметь следить за тем, что происходит с запутанностью кубитов и насколько независимо преобразуются кубиты. В данной главе представлено утверждение, с помощью которого можно оценить и квантовую запутанность, и степень независимости преобразования кубитов.

Для того, чтобы кубиты преобразовывались квантовым каналом независимо, необходимо, чтобы матрица преобразования квантового канала являлась тензорным произведением однокубитовых матриц преобразования. Если это не выполняется, то можно оценить степень независимости преобразования кубитов, и использовать данную величину как критерий качества квантового канала. Для оценки степени независимости предлагается вычислять расстояние от матрицы квантового канала до подпространства матриц, представимых в виде тензорных произведений. В данной работе утверждается, что расстояние можно вычислить с помощью сингулярного разложения [71-72] матрицы преобразования, элементы в которой определенным образом переупорядочены. Интересно, что в квантовой теории информации часто используется переформулированное определение для сингулярного разложения матриц, называемое разложением Шмидта [73].

Процедура вычисления расстояния предложена в настоящем исследовании впервые, однако задачи аппроксимации некоторой матрицы матрицами более низкого ранга, известны, в частности этому посвящена известная теорема Эккарта-Янга [71, 74].

Опишем процедуру переупорядочения элементов матрицы 5 размера т х п, заданной над полем комплексных чисел. Введем оператор векторизации V, формирующий вектор из элементов матрицы следующим образом:

к (5)=(»*,..., »п )'

(11)

где 81 ,..., - обозначения столбцов матрицы 5, символ «звездочка» означает эрмитовое сопряжение.

Распишем выражение (1.1) в более подробной форме:

к

»11 »12

»21 »22

»т1 »т 2

31п

2 п

11

т1 12

т2 1п

11

т1

12

т2

1п

(1.2)

Рассмотрим тензорное произведение двух матриц Ттпхтп = Q ® Я, где Q -матрица размера т х т, Я имеет размер п х п:

Т =

Ч11

Чш

Чт1 ■■ Чт

'11

'1п

Г Г

п1 пп

Ч11Г

11

ЧпГп

Ч

п1

т1Г11

Чт1Гг

п1

И

1п

ЧпГп,

Ч.

Г

п1 1п

Чт1Гп

11

Ч1тГг

Ч.

п1

V

тт 11

ЧттГп1

Ч1тГ1

Ч1

1п

Г

т пп

Ч

V

тт 1п

Ч г

тт пп

(1.3)

Определим матрицу Т, содержащую все те же элементы, что и Т, но расположенных в другом порядке, с помощью операции векторизации:

Чп

Ч

т\

Чъ

Чт

[II

'п1

'1п

Г 1 =

пп J

Ч11г1

11

ЧпГ

п1

ЧпГ

1п

Чт1Г11 ■■ Чт1Гп1 ■■■ Ч т 1Г1

1п

Ч\тГ1

11

Ч1тГп

п1

ЧтГ

1п

11 пп

Чт1Гт

Ч1тГт

Ч Г Ч Г Ч Г Ч г

тт 11 тт п1 тт 1 п тт п

,(1.4)

где шрихом обозначено транспонирование вектора.

Таким же образом можно переупорядочить элементы любой прямоугольной матрицы 5 размера тп х тп, путем выделения в ней блоков размера п х п, последующим преобразованием блоков в строки и формированием полученных строк в матрицу Я в соответствии с приведенным образцом (1.4). В качестве нормы матрицы рассмотрим норму Фробениуса. Для произвольной матрицы М размера

т х п

норма равна

1М1

V

III

г=1 ] =1

а

Тогда

верно

, поскольку разности элементов, стоящих на

соответствующих позициях в матрице, сохранятся при вычислении нормы.

2

Утверждение 1. Для прямоугольной матрицы Smnxmп, заданной над полем комплексных чисел, норма ||S - Q ® Щ принимает наименьшее значение, если матрицы Qmxm и RnXn удовлетворяют условию: V(Q)(v(R))' = Xjuv*, где X -наибольшее из сингулярных чисел матрицы S 22, // и v левый и правый сингулярные векторы матрицы S, отвечающие сингулярному числу Я .

Доказательство.

Рассмотрим произвольные матрицы Smnxmn, Qmxm, Rnxn. Пусть V(Q)(V(R))' = abc*, где b и c - нормированные векторы высотой m2 x 1 и n2 x 1, соответственно. к - нормировочный коэффициент. Запишем сингулярное разложение матрицы S :

(1.5)

i=i

где к - ранг матрицы 5 , л,. Л2,... Як - сингулярные числа матрицы, упорядоченные по убыванию > 0, г = \..к), , уг - ортонормированные векторы размера т2 и п2, соответственно (правые и левые сингулярные векторы). Тогда

d = min

S-F(0)(F(«))| =

YX.Mv',- abc"

i=i

(1.6)

Норма Фробениуса обладает следующим свойством: ||М| £ = № (ММ *) = № ( М *М где № (М) - след матрицы М.

Рассмотрим

d2

V - abc

i=i

tr

i k

V i=i

V

abc

k

V i=i

V

abc

= К

= К

к к

к ('к * 1 * V 1 - *

Цг^гМг Ц/7 ~асЬ" ^ЦУ* - ^Я^Ц

V г=1 7=1

г=1

Л Л

2 1*1 *

аЬс + а сЬ Ьс

к к к 1ЯЯ ~асЬ* 1ЯгУгМг

V г=1

=1

V г=1

аЬс + а2

V г=1 )

(1.7)

Используя свойства линейности следа матрицы, преобразуем выражение:

а2 = 1 (я? ) - (сЬ * цуУ) - (уЦЬс *) + а

г =1 г=1 г =1

(1.8)

Пусть с =

I=1 •

Ь =

7 =1

Ц

7=1

, У =

У

I=1

■ Тогда

С т2 \

* * сЬ МУ

с, у)

V 7=1 )

I л=1

(1.9)

* * УЦ Ьс

с т2

I

V 7=1

(М )* Ь

I ,г=1

(1.10)

Приходим к выражению

Ъ- ( 2 Г

к п

2

а2 = I? - аI ЯI с, (у;) 1Ьм7 - а1 Я, I

г=1 г=1 V I=1 V V 7=1 У II г=1 ^ ,=1

V 7 =1 )))

к к С п2 * п2

+ а2 =IЯ2 - аIя, ЬМг I (У, ) +М*ЬЦС,

ус

г =1

кк

г=1 V ,=1 V

+ а2 =

( т2

II (м7 ) ь,

V 7=1

+

)))

г=1 V ,=1

,=1

= !Я2 - aIЯ (Ь ЦУг с + МгЬс Уг ) + а 2

г=1 г=1

(111)

Найдем величину а, при которых выражение (1.11) принимает наименьшее 1 к

значение: а = — I? (Ь* Цуу с + ц* Ьс *у) и вычислим квадрат расстояния, подставив

2 г=1

данное выражение в (1.11):

к 1 к

а2 = IЯЯÍ - 1 I? (ЬЦУг С + Ц*ЬСУг )

г =1 4 г =1

(1.12)

2

2

2

2

2

п

т

п

т

с

2

п

2

к

2

Выражение (1.12) принимает наименьшее значение при наибольшей величине

b * муус + м-Ьс *у)

1=1

Оценим данное выражение, используя неравенство

треугольника и учитывая факт, что сингулярные числа расположены по убыванию:

к

Ел, ( ; * * *7 * \

b му*с + мЬсч)

i=i

Х-1 nil* * *J* , I; * * I \ , I * ; *

< b с + М* Ьс У < b ЛЧ С + М* Ьс у

1=1

1=1

1=1

( к А X Ь*м

V i=1

(1.13)

* v ч * -J

у С+ Х|мb

*=1

с у

С помощью неравенства Гельдера проведем следующие оценки:

У с

<

у

c =1.

|b * м| \Mb\

с у

<

<

<

М

= 1.

= 1.

к =1.

(1.14)

(1.15)

(1.16) (1.17)

Причем, |b * м\

у с

= 1 и

M*b| |с *у = 1, если b = м , с = у

Таким образом, для матрицы Smnxmn величина ||S - Q ® Щ принимает наименьшее значение, если матрицы Q и R удовлетворяют условию V (Q )(V (R))' = А/лу* , то есть верно:

d = ттЦ^-Q®R\\ = min||s-V(Q)(v(R))\ = ||s-Лцу ||. (1.18)

Выражение (1.18) и определяет расстояние от матрицы Smnxmn до подпространства тензорных произведений матриц размеров m х m и n х n.

Замечание 1. Для вычисления степени независимости преобразования кубитов, расстояние нужно нормировать: ||S|| 11|S - Q ® Щ. Если Smxm унитарная матрица, то

||£|| — у[т . Если расстояние равно нулю, то кубиты преобразовываются квантовым вентилем независимо.

Замечание 2. Для оценки квантовой запутанности необходимо брать не матрицу квантового вентиля, а матрицу плотности квантового состояния для расчета расстояния, которое будет являться характеристикой запутанности. Чем

больше величина ||5|| 11|5 - Q ® , тем сильнее запутаны кубиты.

1.2 Расстояние как степень независимости кубитов. Примеры

Рассмотрим первый пример. Проверим, насколько независимо преобразует кубиты унитарный квантовый оператор СКОТ (рисунок 1.1), который действует на базисные двухкубитовые состояния следующим образом: 7 |00) =|00), 7Ц01) =|01>, 7Ц10) =|11>, 7Ц11) =|10).

€N01 \Ь®а)

1 - /

Рисунок 1.1 - Схематичное представление оператора СКОТ

Зададим матрицу СКОТ в базисе |00), |01), |10), |11)

1 0 0 0'

0 10 0

0 0 0 1

0 0 10

(1.19)

В соответствии с утверждением 1 и замечанием 1 для этого необходимо

~ -1 ~ *

вычислить следующую величину: 7, Т1-\/и1У1 . Если проанализировать

результат перестановки элементов матрицы (1.3) по виду матрицы (1.4), то можно заметить, что исходная матрица разбивается на блоки определенного размера, столбцы в которой записываются один под другим, далее полученные столбцы транспонируются и из полученных строк формируется новая матрица следующим образом: сначала пишут строки, соответствующие блокам первого столбца матрицы в исходном порядке, ниже - строки, соответствующие блокам второго столбца, и так далее до последнего столбца. В нашем случае размерность блоков разбиения должна соответствовать размерности матрицы преобразования одного кубита, то есть 2 х 2. Преобразуя (1.19) описанным способом, получим:

10 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 110

(1.20)

Для вычисления сингулярного разложения матрицы (1.20) приведем известное утверждение.

Утверждение 2. Для произвольной матрицы Smxn найдутся такие унитарные матрицы Ми N, что S = MEN *, матрица Zmxn - диагональна, и на диагонали у нее находятся сингулярные числа {■&} матрицы Smxn, Л > 0, к - ранг S. Столбцы

матриц Mmxm и N„x„ являются левыми ^{ц^j и правыми jj сингулярными

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Фалеева Мария Петровна, 2021 год

Список литературы

1. Agrawal, G. P. Fiber-optic communication systems / G. P. Agrawal. - New Jersey: John Wiley & Sons, 2010. - 561 P.

2. Mitschke, F. Fiber optics: physics and technology / F. Mitschke. - Berlin: Springer, 2009. - 301 P.

3. Keiser, G. Fiber optic communications / G. Keiser. - Berlin: Springer, 2010. - 688 P.

4. Stewart, G. Laser and fiber optic gas absorption spectroscopy / G. Stewart. - Cambridge University Press, 2021. - 230 P.

5. Zhang, Sh. Entanglement performance of light through the composite free space channel /Sh. Zhang, J. Shi, J. Zhao, H. Zhang, W. Bao// Optical and quantum electronics. - 2021. -Vol. 53. - No. 2. - P.81.

6. Vilnrotter, V. Quantum detection theory for the free-space channel / V. Vilnrotter, C.W. Lau// IPN Progress Report. - Vol. 142. - P.146.

7. Yune, J. Secure communication through free-space channel using quantum illumination: Thesis: M. Eng. / J. Yune. - Massachusetts institute of technology, department of electrical engineering and computer science, 2014. - 67 P.

8. Petrache, A. L. Security in quantum computing /A. L. Petrache, G. Suciu// Annals of Disaster Risk Sciences. - 2020. -Vol. 3. - No. 1. - URL: file:///C:/Users/Admin/Downloads/v3i1_40.pdf (дата обращения 20.06.2021).

9. Boykin, O. Information security and quantum mechanics: security of quantum protocols/ O. Boykin. - Los Angeles: University of California, 2002. - 152 P.

10. Agrawal, G.P. Fiber optics and optical communications / G. P. Agrawal. - New Jersey: John Wiley & Sons, 2020. - 626 P.

11. Hubel, H. High-fidelity transmission of polarization encoded qubits from an entangled source over 100 km of fiber / H. Hubel, M. R. Vanner, T. Lederer, B. Blauensteiner, T. Lorunser, A. Poppe, A. Zeilinger// Opt. Express. -2007. - Vol. 15. -P. 7853-7862.

12. Takesue, H. Quantum key distribution over a 40-dB channel loss using superconducting single-photon detectors / H. Takesue, S. W. Nam, Q. Zhang, R. H.

Hadeld, T. Honjo, K. Tamaki, Y. Yamamoto// Nature Photon. - 2007. -Vol. 1. - P. 343348.

13. Briegel, H.-J. Quantum repeaters: The role of imperfect local operations in quantum communication / H.-J. Briegel, W. Dur, J. I. Cirac, P. Zoller// Phys. Rev. Lett. -1998. -Vol. 81. - P.5932-5935.

14. Erhard M. Twisted photons: new quantum perspectives in high dimensions / Erhard M., Fickler R., Krenn M., Zeilinger A. // Light Sci. Appl. -2018. - Vol. 7. - P. 17146.

15. Hughes R. J. Practical free-space quantum key distribution over 10 km in daylight and at night / R. J. Hughes, J. E. Nordholt, D. Derkacs, C. G. Peterson // N. J. Phys. -2002. - Vol. 4. - P. 43.

16. Uysal, M. Optical wireless communications - An emerging technology / M. Uysal, C. Capsoni, Z. Ghassemlooy, A. Boucouvalas, E. Udvary. - Springer International Publishing, 2018. - 634 P.

17. Moschandreou, El. Experimental decoy-state Bennett-Brassard 1984 quantum key distribution through a turbulent channel / El. Moschandreou, Br. J. Rollick, B. Qi, G. Siopsis // Phys. Rev. A. - 2021. -Vol.103. - P. 032614.

18. Yin, J. Quantum teleportation and entanglement distribution over 100-kilometre freespace channels / J Yin, J.-G. Ren, H. Lu, Yu. Cao, H.-L. Yong, Yu-P. Wu, Ch. Liu, Sh.-K. Liao, F. Zhou, Ya. Jiang, X.-D. Cai, P. Xu, G.-Sh. Pan, J.-J. Jia, Yo.-M. Huang, H. Yin, J.-Yu Wang, Yu-Ao Chen, Ch.-Zh. Peng, J.-WeiPan// Nature. - 2012. -Vol. 488. -P. 185-188.

19. Ma, X.-S. Experimental quantum teleportation over a high-loss free-space channel / X.-S. Ma, S. Kropatschek, W. Naylor, Th. Scheidl, J. Kofler, Th. Herbst, A. Zeilinger, R. Ursin// Optics Express. -2012. - Vol.20. - No.21. -P. 23126.

20. Herbst, T. Teleportation of entanglement over 143 km/ T. Herbst, T. Scheidl, M. Fink, J. Handsteiner, B. Wittmann, R. Ursin, A. Zeilinger// PNAS, 2015, V. 112, P. 14202.

21. Pfaf, W. Unconditional quantum teleportation between distant solid-state qubits / W. Pfaff, B. Hensen, H. Bernien, S. B. van Dam, M. S. Blok, T. H. Taminiau, M. J. Tiggelman, R. N. Schouten, M. Markham, D. J. Twitchen, R. Hanson// Science. -2014. -Vol. 345. - No. 6196. - P. 532-535.

22. Pirandola, St. Satellite quantum communications: Fundamental bounds and practical security / St. Pirandola// Physical Review Research. - 2021. - Vol.3. - No.2.- P. 023130.

23. Bohmann M. Probing free-space quantum channels with laboratory-based experiments / M. Bohmann, R. Kruse, J. Sperling, C. Silberhorn, W. Vogel// PhysRevA. -2017. -Vol. 95. - P.063801.

24. Szalay, Szilard. Multipartite entanglement measures / Szilard Szalay// Phys. Rev. A. -2017. -Vol. 92. - P.042329.

25. Cerf N. J. Quantum information theory of entanglement and measurement/ N. J. Cerf, C. Adami// Physica D Nonlinear Phenomena. -1998. -Vol. 120. - P.62-81.

26. Vedral, V. Entanglement measures and purification procedures / V. Vedral, M. B. Plenio// Phys. Rev. A.- 1997. - Vol. 57. -P.1619.

27. Lewenstein M. Separability and entanglement of composite quantum systems / M. Lewenstein, A. Sanpera //Phys. Rev. Lett. - 1997. - Vol. 80. - P. 2261.

28. Bennett C.H. Concentrating partial entanglement by local operation/ C. H. Bennett, H. J. Bernstein, S. Popescu, B. Schumacher//Phys. Rev. A. -1996. -Vol. 53. - P. 2046.

29. Deng, W. Entropic methodology for entanglement measures / W. Deng, Yo. Deng // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. -2018. -Vol. 512. -P. 693-697.

30. Faleeva, M.P. On quantitative determination of the degree of independence of qubit transformation by a quantum gate or channel / M.P. Faleeva, I.Y. Popov, I. Zezula // Optics and spectroscopy - 2018. -Vol. 124. -No. 5. - P. 720-725 / Фалеева, М.П. О количественной оценке степени независимости преобразования кубитов квантовым вентилем или каналом / М.П. Фалеева, И.Ю. Попов, И. Жежула // Оптика и спектроскопия. -2018. - Т. 124. - N. 5. - С. 686-690.

31. Tatarskii, V. The effect of the turbulent atmosphere on wave propagation / V. Tatarskii. - Jerusalem: Israel program for scientific translations, 1971. - 472 P.

32. Fante, R.L. Electromagnetic beam propagation in turbulent media / R.L. Fante //Proc. IEEE. -1975. -Vol. 63. - No.12.- P. 1669.

33. Jakeman, E. Modeling fluctuations in scattered waves / E. Jakeman, K. D. Ridley. -NY:Taylor & Francis Group, 2006. - 336 P.

34. Esposito, R. Power scintillations due to the wandering of the laser beam / R. Esposito //Proc. IEEE. -1967. -Vol. 55. -P. 1533.

35. Semenov A. A. Quantum light in the turbulent atmosphere / A. A. Semenov, W. Vogel // Phys. Rev. A. -2009. -Vol. 80. -P. 021802.

36. Vasylyev, D.Yu. Toward global quantum communication: beam wandering preserves nonclassicality / D.Yu. Vasylyev, A. A. Semenov, W. Vogel// Phys. Rev. Lett. - 2012. -Vol. 108. -P. 220501.

37. Vasylyev, D.Yu. Atmospheric quantum channels with weak and strong turbulence / D.Yu. Vasylyev, A. A. Semenov, W. Vogel // Phys. Rev. Lett. - 2016. -Vol. 117. - P. 090501.

38. Semenov, A. A. Entanglement transfer through the turbulent atmosphere / A. A. Semenov, W. Vogel // Physical Review A. - 2010. -Vol. 81. - No.2 - P.023835.

39. Hu, J. Low-loss high-index-contrast planar waveguides with graded-index cladding layers / J. Hu, N.-N. Feng, N. Carlie, L. Petit, J. Wang, A. Agarwal, K. Richardson, L. Kimerling //Optics Express. - 2007. - Vol. 15. -No. 22. - P. 14566-14572.

40. Kiselev A.D. Light scattering of Laguerre-Gaussian beams: near-field structures and symmetries / A.D. Kiselev, D. O. Plutenko // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. - 2016. - Vol. 7. - P. 349-370.

41. DeCorby, R. G. High index contrast waveguides in chalcogenide glass and polymer / R. G. DeCorby, N. Ponnampalam, M. M. Pai, H. T. Nguyen, Pr. K. Dwivedi, Th. J. Clement, Ch. J. Haugen, J. N. McMullin, S. O. Kasap. // Journal of selected topics in quantum electronics. -2005. -Vol. 11. -No.2. - P. 539-545.

42. Heideman, R.G. Low loss, high contrast optical waveguides based on CMOS compatible LPCVD processing: technology and experimental results /R.G. Heideman, A. Melloni, M. Hoekman, A. Borreman, A. Leinse, F.Morichetti // Proceedings Symposium IEEE/ LEOS Benelux Chapter. - 2005. - P. 71-74.

43. Melikhova, A.S. On the choice of parameters for a model of small window / A.S. Melikhova, M.P. Faleeva, I.Y. Popov // Наносистемы: Физика, химия, математика = Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics - 2021. -Vol. 12. -No. 2. -P. 151-155.

44. Exner, P. Asymptotic estimates for bound states in quantum waveguides coupled laterally through a narrow window / P. Exner, S. Vugalter //Ann. Inst. Henri Poincare. -1996. - Vol. 65. - P. 109-123.

45. Exner, P. Bound-state asymptotic estimates for window-coupled Dirichlet strips and layers / P. Exner, S. A. Vugalter // J. Phys A. - 1997. - Vol. 30. -P. 7863-7878.

46. Попов, И.Ю. Волноводы, связанные через отверстия: асимптотика собственного значения / И.Ю. Попов // Письма в ЖТФ. -1999. - Т. 23. - N. 3. - С. 57-59.

47. Borisov D. Exponential splitting of bound states in a waveguide with a pair of distant windows / D. Borisov, P. Exner // Journal of Physics A: Mathematics and General. -2004. - Vol. 37. -No. 10. - P. 3411-3428.

48. Панкратова Т.Ф. Анализ расщепления нижних энергетических уровней для двумерного уравнения Шредингера / Т.Ф. Панкратова, М.П.Фалеева // Труды студенческого центра прикладных математических исследований. - 2015. -Т.5. -С. 98-106.

49. Pankratova, T.F. An approach to a multi-dimensional tunneling / T.F. Pankratova, M.P. Faleeva // Proceedings of the International Conference Days on Diffraction 2015, P. 228-233.

50. Dittrich, J. Bound states in straight quantum waveguides with combined boundary conditions /J. Dittrich J. Kriz // J. Math. Phys. - 2002. - Vol. 43. - P. 3892-3915.

51. Exner P. Quantum waveguides with a lateral semitransparent barrier: spectral and scattering properties / P. Exner, D. Krejcirik // J. Phys. A: Math. Gen. - 1999. - Vol. 32. - p. 4475-4494.

52. Duclos P. Curvature-induced bound states in quantum waveguides in two and three dimensions / P. Duclos, P. Exner // Rev. Math. Phys. - 1995. - Vol. 7. - P. 73102.

53. Exner, P. Bound states in a locally deformed waveguide: the critical case / P. Exner, S.A. Vugalter // Lett. Math. Phys. - 1997. - Vol. 39. - P. 59-68.

54. Linton, C. M. Bound states in coupled guides. I. Two dimensions / C. M. Linton, K. Ratcliffe // J. Math. Phys. - 2004. - Vol. 45. - P. 1359-1379.

55. Dhia, A.-S. B.-B. Diffraction by a defect in an open waveguide : a mathematical analysis based on a modal radiation condition / A.-S. B.-B. Dhia, G. Dakhia, C. Hazard, L. Chorfi // SIAM J. Appl. Math. - 2009 . - Vol.70. - P 677693.

56. Figotin, A. Band-gap structure of spectra of periodic dielectric and acoustic media. Scalar Model / A. Figotin, P. Kuchment // SIAM J. Appl. Math. - 1996. - Vol. 56. - P. 68-88.

57. Langer, M. Triple variational principles for self-adjoint operator functions / M. Langer, M. Strauss // J. Func. Anal. - 2016 . - Vol. 270. - P. 2019-2047.

58. Dauge, M. Plane waveguides with corners in the small angle limit / M. Dauge, N. Raymond // J. Math. Phys. - 2012. -Vol. 53. - P. 123529.

59. Duclos, P. Curvature-induced bound states in quantum waveguides in two and three dimensions / P. Duclos, P. Exner // Rev. Math. Phys. - 1995. - Vol. 7. - P. 73102.

60. Faleeva, M.P. Bound state for dielectric waveguide with locally perturbed core / M.P. Faleeva, I.Y. Popov // Proceedings of the international conference Days on Diffraction 2016. - 2016. - P. 133-136.

61. Faleeva, M.P. Bound state for dielectric waveguide with high contrast inset in the core/ M.P. Faleeva, I.Y. Popov // ITM Web of Conferences . - 2017. - Vol. 9. -P. 01009.

62. Фалеева, М.П. Об оценке качества передачи запутанности через атмосферу /М.П. Фалеева, И.Ю. Попов // Труды студенческого центра прикладных математических исследований. -2019. -Т.8. - С. 159-163.

63. Johnson, S. G.Photonic crystals, the road from theory to practice/ S. G. Johnson, J. D. Joannopoulos. - Boston: Kluwer, 2002. - 156 P.

64. Axmann, W. Asymptotic methods for thin high-contrast two-dimensional PBG materials / W. Axmann, P. Kuchment, L. Kunyansky // J. Light. Tech. - 1999 . -Vol. 17. - P. 1996-2007.

65. Tip A. Band Structure for Absorptive Photonic Crystals / A. Tip, A. Moroz, J. M. Combes // J. Phys. A: Math. Gen. - 2000 . -Vol. 33. - P. 6223-6252.

66. Popov I.Y. Coupled dielectric waveguides with photonic crystal property / I.Y. Popov, A.I. Trifanov, E.S. Trifanova // Comp. Math Math. Phys. - 2010. - Vol. 50. - P. 18301836.

67. Melnichuk, O. P. Coupled dielectric waveguides: variational estimations / O. P. Melnichuk, I. Y. Popov // J. Math. Phys. - 2005 . - Vol. 46. - P. 073501.

68. Хештер, Р. С. Вариационный метод в инженерных расчетах / Р. С. Хештер. -Москва: Мир, 1971. - 292 с.

69. Адамс, М. Введение в теорию оптических волноводов /M. Адамс. - Москва: Мир, 1984. - 512 с.

70. Морс, Ф. М. Методы теоретической физики / Ф. М. Морс, Г.Фешбах. -Москва: Издательство иностранной литературы, 1958. - Т.1. - 931 с.

71. Markovsky, I. Low-rank approximation: algorithms, implementation, applications/ I. Markovsky. - Berlin: Springer, 2012. - 258 P.

72. Gohberg, I.C. Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators in Hilbert Space. Translations of Mathematical Monographs / I.C. Gohberg, M.G.Krein. -RI , Providence: AMS, 1969. - 378 P.

73. Bogdanov, A.Yu. Analysis of localized Schmidt decomposition modes and of entanglement in atomic and optical quantum systems with continuous variables / A.Yu. Bogdanov, Yu.I. Bogdanov, K.A. Valiev//Proc. SPIE. Quantum Informatics. - 2005. -Vol. 6264. -P. 626404.

74. Carl, E. The approximation of one matrix by another of lower rank/ E. Carl, Y. Gale //Psychometrika. - 1936. - Vol. 1. - No. 3. - P. 211-218.

75. Wall M.E. Singular value decomposition and principal component analysis / M.E. Wall, A. Rechtsteiner, L.M. Rocha // A Practical Approach to Microarray Data Analysis. - Kluwer. - 2003. - P. 91-109.

76. Nielsen M.A. Quantum computation and quantum information / M.A. Nielsen, I.L. Chuang. - Cambridge University Press, 2001. - 674 P.

77. Holevo, A.S. Quantum systems, channels, information: a mathematical introduction/ A.S. Holevo. - Berlin: Walter de Gruyter GmbH & Co.KG, 2019. - 368 P.

78. Liu, C.L. A new coherence measure based on fidelity / C.L. Liu, D.-J. Zhang, X.-D. Yu, Q.-M. Ding, L. Liu // Quantum Inf. Process. - 2017. - V. 16. - P. 198.

79. Gavrilov M. Quantum computer elements based on coupled quantum waveguides// M. Gavrilov, L. Gortinskaya, A. Pestov, I. Popov, E. Tesovskaya // Phys. Elem. Particles Atomic Nucl. Lett. - 2007. - Vol. 4. - P. 137-140.

80. Popov, I.Yu. Eigenvalues and bands imbedded in the continuous spectrum for a system of resonators and a waveguide: Solvable model/ I.Yu. Popov, S.L. Popova // Phys. Lett. A. - 1996. - Vol. 222. - P. 286-290.

81. Popov, I.Yu. Zero-width slit model and resonances in mesoscopic systems/ I.Yu. Popov, S.L. Popova // Europhys. Lett. - 1993. - Vol. 24. - P. 373.

82. Popov, I.Yu. Model of point-like window for electromagnetic Helmholtz resonator / I.Yu. Popov// Z. Anal. Anwend. - 2013. - V. 32. - P. 155.

83. Albeverio, S. Solvable models in quantum mechanics / S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Hoegh-Krohn, H. Holden. - RI, Providence: AMS Chelsea Publishing, 2005. - 452 P.

84. Ахиезер, Н. И. Теория линейных операторов в Гильбертовом пространстве /Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман. - Москва : Наука, 1966. - 544 с.

85. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики/ А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. - Москва: Издательство МГУ, 1999. - 799 с.

86. Попов, И.Ю. Квантовый компьютер и квантовые алгоритмы / И.Ю. Попов . -Санкт-Петербург: СПбГУ ИТМО, 2007. - 88 c.

87. Sharma, V. analysis of atmospheric effects on satellite-based quantum communication: A comparative study/ V. Sharma, S. Banerjee// Quantum Information Processing. -2019. -Vol. 3.- P.18-26.

88. Berman, G.P. Beam wandering in the atmosphere: the effect of partial coherence/ G.P. Berman, A.A. Chumak, and V.N. Gorshkov// Physical Review E. - 2007. -Vol. 76. - P. 056606.

89. Andrews, L.C. Laser beam propagation through random media / L.C. Andrews, R. L. Phillips. - Washington, Bellingham: SPIE Press, 2005. - 820 P.

90. Faleeva, M.P. Entanglement transmission through turbulent atmosphere for modes of Gaussian beam / M.P. Faleeva, I.Y. Popov // Quantum Information Processing. - 2020. -Vol. 19. -No. 2. - P. 72.

91. Gavrilov, M.I. Quantum computer elements based on coupled quantum waveguides/ M.I. Gavrilov, L.V. Gortinskaya, A.A. Pestov, I.Yu. Popov, E.S. Tesovskaya // Phys. Part. Nucl. Lett. - 2007. - Vol. 4. -No. 2. -P. 237-243.

92. Kocsis, S. Heralded noiseless amplification of a photon polarization qubit / S. Kocsis, G. Y. Xiang, T. C. Ralph, G. J. Pryde// Nature Physics. -2012. -Vol. 9. - No.1. -P.23-29.

93. Miroshnichenko, G.P. Linear optical quantum computing / G.P. Miroshnichenko // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. -2012. - Vol. 3. -No. 4. -P. 36-53.

94. Faleeva, M.P. Mathematical model of quantum channel for teleportation through atmosphere / M.P. Faleeva, I.Y. Popov // AIP Conference Proceedings. - 2020. - Vol. 2293. - P. 360004.

95. Faleeva, M.P. Singular numbers, entangled qubits transmission through a turbulent atmosphere and teleportation / Faleeva M.P., Popov I.Y. // Indian Journal of Physics -2021, URL: http://link.springer.com/article/10.1007/s12648-021-02143-9 (дата обращения 17.06.2021).

96. Miroshnichenko, G.P. Optimization of optical fiber parameters to reduce errors of quantum key distribution using entangled polarization states of biphotons / G.P. Miroshnichenko, A.A. Sotnikova// Optics and Spectroscopy. - 2012. -Vol. 112. - P. 327334.

97. Faleeva, M.P. On quantum bit coding by Gaussian beam modes for the quantum key distribution / M.P. Faleeva, I.Y. Popov // Наносистемы: Физика, химия, математика = Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. - 2020. -Vol. 11. -No. 6. -P. 651-658.

98. Gisin, N. Quantum cryptography / N. Gisin, Gr. Ribordy, W. Tittel, H. Zbinden// Reviews Of Modern Physics. -2002. - Vol. 74. -P. 145-196.

99. Zhou, Y.-Sh. Efficient superdense coding with W states / Y.-Sh. Zhou, F. Wang, M. Luo // International Journal of Theoretical Physics. -2018. - Vol. 56. - No.2 - P.1935-1941.

100. Pati, A. K. Probabilistic superdense coding // A. K. Pati, P. Parashar, Pr. Agrawal // Physical Review A. - 2005. - Vol. 72. - No.1. -P. 012329.

101. Harrow, A. Superdense coding of quantum states / A. Harrow, P. Hay den, D. Leung // Physical Review Letters. - 2004. - Vol. 92. - No.18. - P.187901.

102. Moreno, G. Semi-device-independent certification of entanglement in superdense coding / G. Moreno, R. Nery, C. de Gois, R.l Rabelo, R. Chaves// Phys. Rev. A. - 2021. - Vol. 103. - P. 022426.

103. Schleich, W. P. Quantum optics in phase space/ W. P. Schleich. - Berlin: WILEY-VCH, 2001. - 696 P.

104. Soderholm, J. Quantum polarization characterization and tomography/ J. Soderholm, G. Bjork, A. B. Klimov, L. L. Sanchez-Soto, G. Leuchs // New Journal of Physics. - 2012. - Vol. 14. -P. 115014.

105. Gumberidze, M.O. Bell nonlocality in the turbulent atmosphere/ M.O. Gumberidze, A.A. Semenov, D. Vasylyev, W. Vogel. // Phys.Rev A. - 2016. - Vol. 94. - P. 053801.

106. Маркузе, Д. Оптические волноводы / Д. Маркузе. - Москва: Мир, 1974. - 576с.

107. Янке, Е. Специальные функции / Е. Янке, Ф. Эмде , Ф. Леш. - Москва : Наука, 1964. - 344 с.

108. Kittel, Ch. Introduction to solid state physics/ Ch. Kittel. - New York: Wiley, 2004. -704 P.

109. Мельничук, О.П. Квантовые волноводы, связанные через периодическую систему малых отверстий: оценка запрещенной зоны / О.П. Мельничук, И.Ю. Попов // Письма в ЖТФ. - 2002. - Т.28. - N. 8. - C. 69 - 73.