Методы приготовления связанных состояний солитонов конденсатов Бозе-Эйнштейна тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.21, кандидат наук Нго Тхе Винь

• Нго Тхе Винь
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Нго Тхе Винь

РЕФЕРАТ

SYNOPSIS

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Аналитический обзор литературы

1.1 Атомные джозефсоновские контакты на основе наведенных лазером оптических решеток

1.1.1 Полуклассическое описание БЭК в одномодовом приближении

1.1.2 Двумодовое описание связанных БЭК и эффект Джозефсона

1.2 Экспериментальное получение связанных БЭК

1.3 Лазерные системы с распределенно-связанными волнами как оптические контакты Джозефсона

1.4 Атомная интерферометрия на основе джозефсоновских контактов: подходы и схемы

1.5 Джозефсоновские кубиты

1.5.1 Зарядовый кубит

1.5.2 Фазовый (потоковый) кубит

1.6 Выводы по главе

Глава 2. Связанные солитоны в волноводо-подобных системах

2.1.1 Классическая модель оптических однонаправленных распределенно-связанных волн

2.1.2 Оптические солитоны в распределенно-связанных волноводах

2.1.3 Две модели солитонных джозефсоновских контактов

2.2 Квантовые суперпозиционные состояния солитонных джозефсоновских контактов и их свойства

2.2.1 Модель связанных квантовых солитонов

2.2.2 Суперпозиционные состояния квантовых солитонов

2.3 Нелинейная динамика слабосвязанных подвижных солитонов

2.3.1 Модель подвижных связанных солитонов

2.3.2 Динамика солитонов

2.4.1 Стационарное состояние солитонов

2.4.2 Проективная процедура измерения параметров солитонов

2.4.3 Измерение относительного расстояния и импульса солитонов

2.4.4 Измерение материальных параметров БЭК

2.5 Выводы по главе

Глава 3. Макроскопические состояния солитонов для устройств квантовой информации

3.1 Нелинейный эффект Джозефсона в системе связанных солитонов

3.2 Динамика связанных солитонов в приближении среднего поля

3.2.1 Стационарные решения

3.2.2 Динамика среднего поля

3.3 Солитонные кубиты и проблема их различения

3.3.1 Определение макроскопических кубитных состояний

3.3.2 Оценка фазы с помощью макроскопических кубитов

3.3.3 Предел нелинейной метрологии для измерения частоты, Г = iïsol

3.4 Выводы по главе

Глава 4. Проблема потерь частиц в солитонных системах

4.1 Одночастичные потери в солитонах при измерении частоты

4.2 Полуклассическая модель СДК в присутствии одночастичных потерь

4.3 Квантовая модель СДК с учетом потерь

4.4 Роль комбинированных потерь частиц в солитонах

4.5 Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А Аппроксимация функционалов 1г,Л и Л

ПРИЛОЖЕНИЕ Б Тексты основных публикаций

РЕФЕРАТ

Общая характеристика диссертации

Актуальность темы

В настоящее время изучение нелинейных, когерентных и квантовых свойств источников электромагнитного излучения занимает важное место в большинстве научных исследований, находящихся в русле современной лазерной физики и квантовой оптики, физики конденсированного состояния и их приложений в информационных технологиях и науке о жизни. Традиционно, особо подчеркивая свойство когерентности, к таким источникам применяют термин «лазер» (от английской аббревиатуры LASER - "Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation") - устройство, работающее на основе усиления светового излучения в квантовой многоуровневой (атомной, молекулярной, и т.д.) системе, за счет превышения вынужденного испускания фотонов над оптическим поглощением. Это условие требует инверсии населенностей уровней энергии, а величина усиления определяется внешней накачкой, превышающей некоторое критическое значение, характеризующее порог лазерной генерации. Однако, с недавних пор термин «лазер» стал употребляться также для описания широкого спектра оптических, атомных, поляритонных и других устройств, являющихся источниками когерентного, монохроматического и узконаправленного пучка фотонов или бозонов другой природы, например, атомов Бозе-Эйнштейновского конденсата (БЭК). Строго говоря, такие устройства, именуемые в литературе как «бозонный лазер», лазером в изначальном понимании этого термина не являются, однако они проявляют основные свойства лазеров такие как когерентность, монохроматичность и узконаправленность излучения.

Формирование БЭК, предсказанное теоретически в 1920-х годах, долгое время не поддавалось экспериментальному обнаружению. В последние десятилетия ситуация начала стремительно меняться, благодаря развитию лазерных методов охлаждения и пленения атомов, в связи с чем соответствующий фазовый переход был

обнаружен сразу в двух типах бозонных систем: в газах ультрахолодных атомов и твердотельных структурах. БЭК в ультрахолодном газе атомов щелочных металлов был экспериментально обнаружен в 1995 году в условиях сверхнизких концентраций и температур (температура фазового перехода составляет несколько нанокельвинов). В твердотельных системах формирование БЭК связано с квазичастицами экситонными поляритонами - гибридными состояниями вещества и лазерного излучения, формирующимися в микрорезонаторе высокой добротности. У таких систем есть одно преимущество перед холодными газами: фотонная компонента существенно меняет физические (когерентные) свойства экситон-поляритонной системы, что открывает новые возможности для использования обсуждаемых эффектов в квантовых опто- и микроэлектронных устройствах при достаточно высоких температурах вплоть до комнатных.

Когерентность Бозе-конденсатов (также, как и лазерных пучков), делает их полезными для изучения и моделирования фундаментальных процессов, протекающих в долгоживущих многочастичных системах. С недавних пор формирование и взаимодействие нелинейных коллективных мод в средах с керровской нелинейностью привлекает особое внимание исследователей с точки зрения различных практически важных применений в квантовой метрологии (стандарты времени и частоты), спектроскопии высокого разрешения, измерении расстояний. В лазерных системах для этих целей применяют частотные комбы (combs), которые возникают при нелинейном смешении мод в специальных (кольцевых) микрорезонаторах. Стоит отметить, что генерацию микрокомбов сопровождает формирование светлых солитонов. Физически такой солитон возникает из-за чисто нелинейного эффекта временной самоорганизации, возникающей в открытой (накачиваемо-диссипативной) фотонной системе. Однако из-за высокого уровня различных шумов в системе их трудно исследовать для чисто квантовых задач.

В настоящее время для приложений в квантовой информатике и метрологии адаптируются системы с конденсатами Бозе-Эйнштейна, которые оказывается возможным организовать на чипе. Конденсаты в этом случае представляют собой

низкоразмерные системы по типу джозефсоновских контактов, и ими можно управлять с помощью комбинации магнитного и лазерного полей. В этом смысле они представляют собой серьезную альтернативу как сверхпроводящим, так и оптическим своим аналогам - интерферометрам Маха-Цендера, обладая при этом целым рядом преимуществ, связанных в основном с возможностью прецизионного управления мезоскопическим числом частиц. Такое управление основано в первую очередь на лазерных методах приготовления, удержания и манипулирования с избирательным числом частиц.

В основе диссертационной работы лежат исследования, выполненные на основе материальных светлых солитонов. Их использование для задач квантовой информации и квантовой метрологии представляется весьма перспективным ввиду особых свойств формирования и динамики таких солитонов. Солитон представляет собой структурно устойчивый (частицеподобный) волновой пакет, распространяющийся в кубично-нелинейной среде и образующийся благодаря компенсации дисперсионного расплывания пакета фокусирующей нелинейностью среды. Кроме оптических солитонов, распространяющихся в керровских средах, экспериментально обнаружены материальные солитоны, образующиеся в Бозе-конденсатах атомов, а также экситон-поляритонов. При этом в роли непосредственно уединенного пакета выступает волновая функция конденсата, представляющая собой суперпозицию волн де Бройля конденсированных бозонов. В свою очередь кубичная нелинейность конденсированных бозонных сред возникает в следствие двухчастичного рассеяния в борновском приближении и в современных экспериментах может управляться в режиме реального времени на основе метода резонанса Фешбаха. Важным свойством солитонов является их инвариантность относительно преобразований Галилея. При взаимодействии (столкновении) друг с другом солитоны ведут себя как отдельно взятые частицы, динамические свойства которых определяются законами сохранения импульса и энергии. Обозначенные свойства солитонов уже сегодня используются в средствах оптической связи для передачи данных на большие расстояния без помех. В диссертационной работе впервые предлагается использовать нелинейные и квантовые

свойства материальных солитонов, выполненных на основе БЭК для задач квантовой информации, связанных с проблемой повышения точности измерений до уровня, определяемого квантовыми флуктуациями кинематических параметров солитонов.

Важно отметить, что огибающая светлого солитона описывается решением нелинейного уравнения Шредингера, и в этом смысле материальные солитоны математически эквивалентны оптическим солитонам лазерного излучения. Таким образом, методы и подходы, использованные в данной работе, являются достаточно универсальными, а полученные результаты могут быть применены как непосредственно в атомной оптике с атомными конденсатами, так и в лазерной физике с использованием нелинейно-оптических материалов. В дальнейшем для краткости будет использоваться термин «солитон», обозначающий как оптический солитон, так и материальный солитон БЭК, если это специально не оговаривается в тексте.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы приготовления связанных состояний солитонов конденсатов Бозе-Эйнштейна»

Цель работы

Целью диссертационной работы является исследование квантовой динамики солитонов в пространственно-связанных волноводоподобных системах с керровской нелинейностью для задач квантовой обработки информации и квантовых измерений.

Задачи работы

В соответствии с целью диссертационной работы были решены следующие основные задачи:

1) Построение квантовой теории, а также моделирование нелинейных когерентных свойств движущихся связанных светлых солитонов;

2) Исследование неустойчивостей и эффектов переключения параметров связанных солитонов в атомных средах с керровской нелинейностью;

3) Разработка схем формирования относительно устойчивых к потерям мезоскопических солитонных кубитов и способов измерения их состояний в задачах квантовой метрологии;

4) Выявление возможностей применения мезоскопических состояний связанных солитонов в схемах с измерением характерных частот Раби-осцилляций

конденсата атомов на уровне квантовых ограничений для создания стандартов частоты.

Научная новизна работы

1) Разработана новая квантовая модель связанных атомных солитонов в приближении Хартри. Модель учитывает две возможные геометрии удержания частиц в двуямной потенциальной ловушке - с последовательным и параллельным взаимным расположением солитонов; в каждом случае выявлена динамика амплитудно-фазовых и кинематических параметров солитонов БЭК как функции эффективного параметра взаимодействия солитонов Л = и2И2/16, где N - общее среднее число частиц в двух солитонах, и - коэффициент нелинейного взаимодействия частиц в пределах одной ловушки (пропорционален длине атом-атомного рассеяния).

2) Впервые предложен новый метод получения макроскопических кубитов на основе нелинейно-связанных солитонов в средах с кубичной нелинейностью. Исследованы формирование запутанных состояний таких кубитов, а также проблема различимости кубитных состояний.

3) Предложен новый способ оценки фазовых параметров, а также разности энергий (частоты) между основным и первым (возбужденным) состояниями конденсата. Данный результат может быть полезен при создании стандартов частоты с точностью на уровне предела Гейзенберга.

4) Впервые исследована проблема квантовой динамики связанных солитонов в неидеальных атомных или лазерных системах, допускающих потери частиц. Выявлено сходство таких систем с квантовым гармоническим осциллятором, обладающим частотой осцилляций, зависящей от времени. Впервые показано, что потери частиц приводят к увеличению частоты Раби-осцилляций и, как следствие, перераспределению неопределенности между разностью числа частиц и разностью фаз солитонов.

Теоретическая и практическая значимость работы

Данная работа имеет важное (междисциплинарное) значение как в метрологии с материальными солитонами, так и в лазерной физике, фотонике, где оптические солитоны могут быть получены разными способами и давно используются в квантовой коммуникации и квантовой информации в схемах с различными интерферометрами. Полученные результаты представляют важный практический интерес в плане разработки новых физических принципов, которые могут быть положены в основу квантовых вычислений, включая обработку и передачу информации с использованием солитонных кубитов, в качестве логических. Теоретические методы и подходы, предложенные в работе для системы связанных конденсатов, которые обеспечивают формирование пространственно-локализованных структур с уникальными свойствами, могут быть использованы при разработке стандартов частоты, функционирующих с точностью на уровне предела Гейзенберга.

Положения, выносимые на защиту

1) В схеме измерений с участием подвижных квазиодномерных туннельно-связанных светлых квантовых солитонов в отсутствие потерь максимальная точность оценки расстояния между солитонами ограничена величиной, обратно пропорциональной кубу от числа частиц в условиях формирования К00К-состояний.

2) В системе квазиодномерных туннельно-связанных в продольном направлении нелинейно-связанных светлых квантовых солитонов существует критическое значение межсолитонного расстояния Ас, при котором наступает бифуркация разности населенностей солитонов. Выше критического значения Ас формируются макроскопические квантовые кубиты из этих солитонов.

3) В схеме измерений с участием нелинейно-связанных солитонных кубитов, содержащих мезоскопическое число частиц (от сотен до тысячи), погрешность измерения частоты перехода между основным и первым

(возбужденным) состояниями конденсата в отсутствие потерь соответствует пределу Гейзенберга 1/И относительно числа частиц N.

4) Потери небольшого (относительно Ы) числа частиц в схеме измерений с участием туннельно-связанных светлых квантовых солитонов приводят к эффекту увеличения частоты Раби-подобных осцилляций разности населенностей солитонов, что, в свою очередь, вызывает уменьшение (статистической) дисперсии Ап = (п2) — (п)2 разности числа частиц п, и одновременное увеличение дисперсии Ав = (02) — (в)2 разности фаз солитонов в. При этом нижняя граница соотношения неопределенностей (произведения дисперсий данных величин) также увеличивается пропорционально квадрату изменения частоты со временем, П2.

Апробация работы

Результаты работы прошли апробацию на следующих российских и международных конференциях:

• XLVШ, XLIX научные и учебно-методические конференции Университета ИТМО, 2019 - 2020 гг., Санкт-Петербург.

• XIII, IX, X Конгрессы молодых ученых, 2019 - 2021 гг., Санкт-Петербург.

• XI международная конференция «Фундаментальные проблемы оптики»; 2020 г., Санкт-Петербург.

• Международная научная конференция «Ломоносов-2021», 2021г., Москва.

• XXV Международная научная школа "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия", Академия наук республики Татарстан, Казань, 2021

Личный вклад автора

Представленные в диссертационной работе результаты оригинальны и получены автором лично. Выбор направления исследования, постановка задач и интерпретация полученных результатов производились совместно с научным руководителем и соавторами статей.

Достоверность научных достижений

Подтверждается использованием современных методов теоретического исследования, а также согласованностью полученных результатов с имеющимися в мире результатами теоретических и экспериментальных работ по формированию и взаимодействию материальных солитонов, выполненных другими авторами.

Внедрение результатов работы

Результаты работы использовались в ходе выполнения научно-исследовательской работы по теме «Машинное обучение для гибридной квантовой обработки информации и метрологии». Исследования выполнялись при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (РФФИ) грант № 19-52-52012 МНТ_а.

Публикации

Основные результаты опубликованы в 3 работах в изданиях из перечня ВАК или приравненных к перечню ВАК.

1) Tsarev D.V., Ngo T.V., Lee R.K., Alodjants A.P. Nonlinear quantum metrology with moving matter-wave solitons // New Journal of Physics. - 2019. - Т. 21. - №. 8. - С. 083041.

2) Ngo T.V., Tsarev D.V., Alodjants A.P. Coupled solitons for quantum communication and metrology in the presence of particle dissipation // Journal of Russian Laser Research. - 2021. - Т. 42. - С. 523.

3) Ngo T.V., Tsarev D.V., Lee R.K., Alodjants A.P. Bose-Einstein condensate soliton qubit states for metrological applications // Scientific reports. - 2021. - Т. 11. - С. 19363.

Также имеются иные публикации:

1) Алоджанц А.П., Царев Д.В., Нго Т.В. Квантовая метрология: как и что измерять за пределом Гейзенберга // XIII международные чтения по квантовой оптике (IWQO-2019). - 2019. - С. 43-46.

2) Нго В.Т., Царев Д.В., Алоджанц А.П. Динамика запутанных материально-волновых солитонов в сильно ассиметричных потенциальных ямах // Сборник трудов Конгресса молодых ученых. - 2019. - С. 149-151.

3) Царев Д.В., Нго Т.В. Максимально запутанные состояния материально-волновых солитонов для квантовой метрологии // Сборник трудов VIII Конгресса молодых ученых. - 2019. - С. 223-227.

4) Нго В.Т., Царев Д.В., Алоджанц А.П. динамика слабосвязанных солитонов БЭК в сильно асимметричной ловушке // Фундаментальные проблемы оптики-2020. - 2020. - С. 82-84.

5) Царев Д.В., Нго В.Т., Алоджанц А.П. формирование NOON-состояний связанных солитонов БЭК в w-потенциале //Фундаментальные проблемы оптики-2020. - 2020. - С. 50-52.

6) Царев Д.В., Нго Т., Алоджанц А.П. Запутанные состояния материальных солитонов для квантовой метрологии // Известия Российской Академии наук. Серия физическая. - 2020. - Т. 84. - № 3. - С. 332.

7) Tsarev D., Alodjants A.P., Ngo T.V., Lee R.-K. Mesoscopic quantum superposition states of weakly-coupled matter-wave solitons // New Journal of Physics. - 2020. -Т. 22. - №11. - С.113016.

8) Tsarev D.V., Vinh N., Alodjants A.P. Beating Heisenberg limit with moving matter-wave solitons // Proceedings - International Conference Laser Optics 2020. - ICLO

2020. - С. 9285804.

9) Царев Д.В., Нго Т.В., Алоджанц А.П. Формирование NOON-сосотояний связанных солитонов в W-потенциале // Сборник трудов XI Международной конференции «Фундаментальные проблемы оптики-2020». - 2020. - С. 50/

10) Tsarev D.V., Alodjants A.P., Ngo T.V., Lee R.-K. Enhanced nonlinear quantum metrology with weakly coupled solitons and particle losses // Physical Review A. -

2021. - принято в печать. - arXiv preprintarXiv:2108.03408

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, содержащего 98 наименований, и двух Приложений. Полный объем диссертации - 323 страниц, включая 70 рисунков.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы ее цель и основные задачи, показаны научная новизна и практическая значимость полученных результатов, а также изложены основные защищаемые положения и краткое содержание диссертации.

В первой главе выполнен аналитический обзор литературы и основных известных результатов по теме работы. Обсуждаются способы формирования бозонных джозефсоновских контактов (БДК) как удобной платформы для получения запутанных состояний для применения в квантовой метрологии и квантовой информации. Теоретические результаты, полученные для БДК с Бозе-конденсатами в рамках атомной оптики полностью применимы в оптике и лазерной физике, поскольку известны оптические аналоги БДК в волоконной оптике, а также экситон-поляритонные системы в микрорезонаторах.

В 1947г. Н.Н. Боголюбовым была сформулирована теория разреженного Бозе-газа, [1], в рамках которой для полевого оператора уничтожения , он выделил в нем классическую часть t) « Jn + в(г, t), где = const в литературе известно как C-число, обозначающее концентрацию атомов БЭК п = N/V, N0 - число атомов конденсата, V - объем, занимаемый БЭК. В свою очередь для квантовой части в в теории Боголюбова выполняется следующее условие: (в) = в « Jn, т.е. квантовые флуктуации полевого оператора рассматриваются как малое возмущение. Боголюбов обобщил - оператор на случай пространственно-неоднородного газа в виде

Ф(г,0 « ¥0(г,0+ 0(гД). (1)

Уравнение для оператора Ч в представлении Гейзенберга имеет вид

д ^

Ь2 Г

о v2 + Уехг(г) + I г)У(г' — г)Ч(г', г)бт'

2т }

Ч(г^), (2)

где Уех1 - удерживающий потенциал ловушки, V - потенциал двухчастичного взаимодействия между атомами, который в приближении Борна можно записать в виде V = д8(г' — г), где

4пЬ2аяг

д =--; (3)

т

азс - длина атом-атомного рассеяния в приближении Борна; Ь - постоянная Планка; т - масса частицы. Тогда, подставляя (1) и (3) в (2) и пренебрегая в нулевом приближении квантовыми флуктуациями в, после интегрирования получим уравнение

д

ь2 0

V2 + Vехt(r) + д|Чo(rlt)|'

2 т

Чо(г,1), (4)

известное как уравнение Гросса-Питаевского (ГП), и совпадающее с хорошо известным в лазерной физике нелинейным уравнением Шредингера, описывающим временную эволюцию световых пучков.

Важно отметить, что приближение Борна справедливо лишь при азс « а0, где а0 - характерный размер облака атомов конденсата (для пространственно-ограниченных БЭК а0 - характерный размер ловушки, определяемый конфигурацией удерживающего потенциала Vехt(r)). Однако, поскольку для разреженных газов всегда выполняется условие па^с « 1, уравнение (4) применимо вне зависимости от применимости приближения Борна. Межчастичное взаимодействие разреженных газов при низких температурах не зависит от формы потенциала V (г' — г) и полностью определяются длинной рассеяния а5 с.

Рассмотрим теперь более сложную систему, состоящую из двух БЭК, помещенных в W-потенциал, наведенный с помощью лазерного излучения, см.

рисунок 1. Такой потенциал может быть создан, к примеру, с помощью потенциального барьера, создаваемого лазерным источником излучения вдали от резонанса с атомами БЭК, который разделяет ловушку на две части [2]. В дальнейшем для простоты будем называть эти две части ловушками 1 и 2, соответственно.

В следствие перекрытия волновых функций конденсата, между ними возникает туннельная связь, это явление известно как эффект Джозефсона. При этом описание динамики БЭК с помощью уравнения ГП (4) для БЭК в W-потенциале сводится при определенных условиях к нелинейным двумодовым уравнениям для зависящих от времени волновых функций ^,2(0, описывающих БЭК в ловушках 1 и 2. Джозефсоновская (туннельная) связь между этими конденсатами в свою очередь описывается скоростью туннелирования частиц между ловушками - к, при этом пространственная зависимость волновой функции ^ в соответствующем

Рисунок 1 - '-ловушка для двух конденсатов Бозе-Эйнштейна с числами частиц Ы12 энергиями основного состояния и Е<02, соответственно

направлении не учитывается, она интегрирована в постоянные параметры. Такая модель связанных БЭК в литературе известна как бозонные джозефсоновские контакты (БДК).

Задача о БДК решается вариационным методом с помощью анзаца волновой функции вида

V(x,t) = ЧМФ^г) + Ч2(!)Ф2(г), (5)

где x^1i2(t) = JN122(t)eWl'2(t), N12(t) и 0122(t) - амплитуда (число частиц) и фаза конденсатов в ловушках 1 и 2, соответственно. Полное число частиц в ловушках полагается постоянным на характерных временах рассмотрения: N1 + N2 = l^l2 + lx¥2l2 = N = const, т.е. эффекты диссипации (как и температурные эффекты) в данном случае не учитываются. С другой стороны числа частиц N12 (t) и фазы конденсатов 61,2(.t) являются вариационными параметрами и подчиняются нелинейным двумодовым динамическим уравнениям

= (Е0 + иМ^ - к^2'; (6а)

дЧ2

= (Е0 + ЩЪт - ^ (6б)

Здесь Е02 - энергии нулевой точки в каждой яме, см. рисунок 1; величины U12N12 пропорциональны энергиям взаимодействия атомов внутри соответствующих ловушек. Постоянные параметры Е02, U12N12 и к могут быть вычислены с помощью волновых функций Ф112(г), описывающих пространственное распределение конденсатов в соответствующих ловушках. В свою очередь Ф1:2(г) могут быть выражены через стационарные симметричные и антисимметричные решения уравнений ГП, сводящиеся к гауссовым волновым функциям.

Вместо фаз конденсатов и населенностей ловушек удобнее рассмотреть разность населенностей

= ш о — Ы2ШЫТ = (№±12 — пп/Ъ (7^

и разность фаз

6(^ = 62(^ — 6^). (7б)

Подставляя Ч12(?) = ^М12(€)е1вг,2(^ в (6) и переходя к переменным (7), получим окончательно уравнения динамики БДК в виде

¿(1) = —2к^1 — г2(1) sш[ 6(0]; (8a)

2кг ( О

6(г) = АЕ + +^^====^[6(г)], (8б)

где точки обозначают производные по безразмерному времени 1' = ш0 ш0 - характерная частота ловушки. Также в (8) были введены следующие обозначения:

п и1 — и2

А Е = Е0 — Е20 +\ N (9a)

(и1 + и2)ы

Л = У 1 2 2 . (9б)

Безразмерные параметры к, Л и А Е определяют динамические режимы туннелирования атомов БЭК.

На сегодняшний день известно много различных способов получения W-потенциалов для реализации БДК. Впервые W-потенциал был получен уже на заре экспериментов по наблюдению БЭК. Для этого использовался гармонический потенциал, создаваемый магнитной ловушкой и сфокусированным лазерным лучом, создающим потенциальный барьер. Такой потенциал с расстоянием между ямами 50 мкм использовался в первых экспериментах по интерференции БЭК [2]. Также можно упомянуть работы [3-5], в которых представлены похожие способы разделения конденсатов на две независимые части.

В [6] авторам удалось наблюдать эффект Джозефсона в W-потенциале, реализованном с помощью потенциалов, создаваемых лазерным излучением. Идея

заключалась в комбинации трехмерного гармонического потенциала, ограничивающего БЭК, и одномерного периодического потенциала с большим шагом решетки в 5 мкм, см. рисунок 2.

Для формирования удерживающей ловушки использовались два ортогональных пучка Nd-Yag лазера в дальнем красном спектре с отстройкой в 10 МГц от резонанса с БЭК (во избежание ненужной интерференции), см. рисунок 2(а). Радиально симметричный горизонтальный луч имел перетяжку в 60 мкм, обеспечивая удержание БЭК атомов рубидия 87Rb в направлении силы тяжести (ось y на рисунке 2(а)). Перекрещенный с ним радиально-асимметричный вертикальный луч имел радиусы перетяжки 140 мкм в направлении оси z и 70 мкм в направлении оси x. Эта асимметрия позволила регулировать размер гармонической ловушки в направлении оси x, в котором и формировался W-потенциал, без значительного изменения частот ловушек в других направлениях. При максимальной мощности около 500 мВт в горизонтальном пучке и 800 мВт в вертикальном пучке были достигнуты следующие гармонические частоты: ых,тах ~ 2и X120 Гц, fäy,max ~ 2и X 170 Гц и täzmax «2л X 180 Гц. Максимальная глубина ловушки (в единицах температуры) составила V0 « 5 мкК.

Периодический потенциал был реализован парой лазерных лучей с параллельной линейной поляризацией, пересекающихся под углом а = 9°, как показано на рисунке 2(а). Лучи были выровнены симметрично относительно вертикального пучка ловушки так, что потенциал ловушки модулировался только в направлении оси x. Для лазера, формировавшего периодический потенциал, была выбрана длина волны 811 нм. Результирующий потенциал показан на рисунке 2(б) в двух масштабах. Математически он может быть описан как

'ПХ'

TJ (10)

где Ах - относительное положение двух потенциалов. При Ах = 0 W-потенциал симметричен.

1

V = —тшх(х — Ах)2 + V0 cos2 2

а)

б)

Рисунок 2 - Реализация джозефсоновских контактов с использованием магнитооптических ловушек; (а) Базовая установка - магнито-оптическая ловушка, формируемая скрещенными лазерными лучами в сочетании с периодическим потенциалом, реализованным с помощью двух лучей, пересекающихся под углом 9°; (б) форма потенциала в масштабе трехмерной гармонической ловушки и увеличенная часть потенциала в центре ловушки - '-потенциал [7]

В такую ловушку был помещен БЭК атомов рубидия 87ЯЬ, после чего экспериментально наблюдалась временная эволюция распределения плотности атомов (в симметричном '-потенциале), как показано на рисунке 3 для двух различных изначальных значений разности населенностей г(0) (схематично изображенных на верхних графиках). Можно заметить, что на рисунке 3(а) наблюдаются нелинейные колебания Джозефсона (Раби-осцилляции); т.е. атомы

туннелируют вправо и влево с течением времени. Период наблюдаемых колебаний составлял около 40 мс. Причем этот период намного короче, чем период туннелирования, составляющий для данного потенциала приблизительно 500 мс [6]. Это показывает важную роль нелинейного атом-атомного взаимодействия в экспериментах с БДК. Другое проявление нелинейности показано на рисунке 3(б). В случае, если изначальная разность населенностей г(0) превышает (по модулю)

Рисунок 3 - Экспериментальное наблюдение туннельной динамики двух слабо связанных БЭК в симметричном W-потенциале. (а) джозефсоновские осцилляции наблюдаются при выборе начальной разности населенностей г(0) ниже критического значения; в обратном случае (б) наблюдается макроскопический

квантовый самозахват [6]

определенный порог, вместо осцилляций наблюдается так называемый самозахват. При этом могут наблюдаться небольшие осцилляции, и туннельный ток атомов БЭК никогда не равен нулю. Однако, при этом часть атомов оказывается «выключена» из осцилляций, как говорят, самозахвачена одной из ловушек (среднее по времени значение разности населенностей не равно нулю).

До сих пор БДК описывались в рамках атомной оптики. При этом платформой для получения контактов Джозефсона являлись туннельно-связанные БЭК атомов, помещенные в '-потенциал. Получение и использование таких систем сопряжено с рядом трудностей, например, с необходимостью поддерживать сверхнизкие температуры ниже критической для Бозе-конденсации. Существуют оптические (лазерные) аналоги джозефсоновских контактов, более практичные для экспериментальной и прикладной реализации. При этом, теоретические результаты, полученные для атомных БДК полностью применимы к их оптическим аналогам. В таком случае платформой являются лазерные пучки в волноводах, взаимодействие между которыми осуществляется с помощью соединителей.

2 мкм 1 мкм 2 мкм

¡4 ►•» V

0.74 мкм

ALo.13Gao.87As (1 мкм)

ОаАэООО А)/ А1013Оа0 72М (100 А)

АЬ03Оа07А5

ваАь полуизолирующая подложка

Рисунок 4 - Структура направленного нелинейного соединителя, выращенного методом молекулярно-лучевой эпитаксии. Общая толщина верхнего слоя АЮаАБ

составляет 1 мкм [8]

Рисунок 5 - Снимок направленного нелинейного соединителя, сделанный с помощью сканирующего электронного микроскопа [8]

На рисунке 4 схематически представлена структура направленного соединителя, выращенного методом молекулярно-лучевой эпитаксии. На рисунке 5 показана микрофотография соединителя, полученная с помощью сканирующего электронного микроскопа. Такие соединители позволяют создать линейную связь между двумя близко расположенными волноводами [9].

Волноводный слой такого соединителя состоит из 60 периодов квантовых ям GaAs/AlGaAs с толщиной 100 А как для ям, так и для барьеров. Экситонный резонанс образца на рисунке 5 составляет 845 нм для света, поляризованного в плоскости слоев квантовых ям, и смещен примерно до 839 нм для света, поляризованного перпендикулярно слоям квантовых ям [10]. Слои AlGaAs выше и ниже области квантовых ям ограничивают свет в вертикальном направлении, в то время как протравленные гребени шириной 2 мкм на верхнем слое AlGaAs приводят к ограничению света в горизонтальном направлении. Каналы формируются путем нанесения рисунка на образец с помощью фотолитографии с контактной печатью и последующего реактивного ионного травления верхнего слоя AlGaAs с фоторезистивной маской.

В [8] описан полностью оптический одномодовый переключатель на основе такого соединителя. С физической точки зрения свойства лазерных импульсов в нем аналогичны обсуждаемому выше поведению БЭК в ловушках. А именно, наблюдалось переключение при длине волны на входе — 870 нм. Оптический пучок был направлен в один из каналов, причем положение канала выбиралось путем перемещения соединителя относительно направления входного луча и наблюдения за профилями выходной интенсивности. Увеличивая интенсивность входящего света, можно изменить соотношение выходных интенсивностей двух каналов, так что большая часть света может оставаться во входном канале. Важно отметить, что потери в таких системах достаточно высоки, и поэтому исследовать квантовые режимы с относительно небольшим числом фотонов в них затруднительно.

С недавних пор для переключения светового излучения при малых световых интенсивностях стали использовать экситонные поляритоны, образующиеся в полупроводниковых микрорезонаторах в условиях сильной связи. На рисунке 6 изображен экситон-поляритонный джозефсоновский контакт в виде соединителя, вытравленного на основе микрорезонатора, содержащего образцы с четырьмя квантовыми ямами ОаАБ, изучавшийся в работе [11]. Отметим, что в экситон-поляритонных системах основным механизмом диссипации является некогерентный резервуар экситонов, который, в конечном итоге, может помешать формированию сугубо квантовых состояний светового излучения на выходе из микроструктуры.

В диссертационной работе рассматриваются два основных направления применения джозефсоновских контактов: квантовая метрология и квантовая информация. Рассмотрим кратко эти приложения.

Квантовая метрология с джозефсоновскими контактами может быть осуществлена в схеме на атомном чипе, изображенной на рисунке 7, [12]. В описанной схеме атомный БЭК когерентно расщепляется путем преобразования одиночной ловушки в '-потенциал; относительная фаза ф между двумя плечами создается с

Рисунок 6 - Изображение направленного поляритонного соединителя, сделанное с помощью сканирующего электронного микроскопа. Ь = 20 мкм, ш = 6 мкм, й = 0.6 мкм. Интенсивность распространяющегося пучка БЭК экситонных поляритонов была выше порога и составляла 26 кВт*см-2 [11]

помощью изменения потенциала в течение времени ^; затем расстояние между двумя ямами резко уменьшается, и потенциальный барьер между ними действует как делитель пучков (ДП) для обоих волновых пакетов, преобразуя относительную фазу в разность населенностей. По истечении времени рекомбинации *дп два атомных "облака" разделяются, а затем считывается число частиц в каждой из ям с помощью флуоресцентной визуализации, см. рисунок 7.

Разность фаз, которая образуется в плечах интерферометра на рисунке 7 имеет

вид

Ф(*ф) = (ро + еЬф/Н, (11)

где - начальная фаза, а параметр е подлежит оценке. Важно также отметить, что квантовое состояние на выходе из контактов Джозефсона является спиново-сжатым.

Величина сжатия относительно стандартного квантового предела измерения фазы составляет приблизительно 7.8 дБ и соответствует 150 запутанным атомам конденсата.

Таким образом, можно заключить, что атомная интерферометрия сегодня является перспективным и стремительно развивающимся направлением. Использование конденсатов атомов, представляющих протяженные макроскопические волны де Бойля вместо оптических электромагнитных волн, открывает новые возможности по измерению и оценке различных физических величин. Основную проблему здесь составляет приготовление и удержание атомных состояний, а также повышение точности атомной интерферометрии за счет подавления квантовых флуктуаций -спинового сжатия и запутанности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нго Тхе Винь, 2022 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Воспоминания об академике Н. Н. Боголюбове К 100-летию со дня рождения. Москва: МИАН, 2009. 177 p.

2. Andrews M.R. et al. Observation of interference between two bose condensates // Science. Cambridge Univ. Press, 1997. Vol. 275, № 5300. P. 637-641.

3. Tiecke T.G. et al. Bose-Einstein condensation in a magnetic double-well potential // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. 2003. Vol. 5, № 2.

4. Shin Y. et al. Distillation of Bose-Einstein condensates in a double-well potential // Phys. Rev. Lett. American Physical Society, 2004. Vol. 92, № 15. P. 150401.

5. Esteve J. et al. Realizing a stable magnetic double-well potential on an atom chip // Eur. Phys. J. D. 2005. Vol. 35, № 1. P. 141-146.

6. Albiez M. et al. Direct observation of tunneling and nonlinear self-trapping in a single bosonic josephson junction // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 95, № 1.

7. Gati R., Oberthaler M.K. A bosonic Josephson junction // J. Phys. B At. Mol. Opt. Phys. 2007. Vol. 40, № 10.

8. Jin R. et al. Picosecond all-optical switching in single-mode GaAs/AlGaAs strip-loaded nonlinear directional couplers // Appl. Phys. Lett. 1988. Vol. 53, № 19. P. 1791-1793.

9. Gibbons W.M., Sarid D. Model of a nonlinear directional coupler in gallium arsenide // Appl. Phys. Lett. 1987. Vol. 51, № 6. P. 403-405.

10. Warren M. et al. Electronic optical bistability in a GaAs/AlGaAs strip-loaded waveguide // Appl. Phys. Lett. American Institute of PhysicsAIP, 1987. Vol. 51, № 16. P. 1209-1211.

11. Rozas E. et al. Effects of the Linear Polarization of Polariton Condensates in Their

Propagation in Codirectional Couplers // ACS Photonics. 2021. Vol. 8, № 8. P. 24892497.

12. Berrada T. et al. Integrated mach-zehnder interferometer for bose-einstein condensates // nature.com. 2013.

13. Омельянчук А.Н., Ильичев Е.В., Шевченко С.Н. Квантовые когерентные явления в джозефсоновских кубитах. Киев: Издательство "Наукова думка" НАН Украины, 2013.

14. Nakamura Y., Pashkin Y.A., Tsai J.S. Coherent control of macroscopic quantum states in a single-Cooper-pair box // Nature. Nature Publishing Group, 1999. Vol. 398, № 6730. P. 786-788.

15. Chiorescu I. et al. Coherent quantum dynamics of a superconducting flux qubit // Science (80-. ). 2003. Vol. 299, № 5614. P. 1869-1871.

16. Pashkin Y.A. et al. Quantum oscillations in two coupled charge qubits // Nature. Nature Publishing Group, 2003. Vol. 421, № 6925. P. 823-826.

17. Vion D. et al. Manipulating the quantum state of an electrical circuit // Science (80-. ). 2002. Vol. 296, № 5569. P. 886-889.

18. Mollenauer L.F., Stolen R.H., Gordon J.P. Experimental observation of picosecond pulse narrowing and solitons in optical fibers // Phys. Rev. Lett. American Physical Society, 1980. Vol. 45, № 13. P. 1095-1098.

19. Pethick C.J., Smith H. Bose-Einstein condensation in dilute gases // Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases. 2008. Vol. 9780521846. 1-569 p.

20. Ostrovskaya E.A. et al. Coupled-mode theory for Bose-Einstein condensates // Phys. Rev. A - At. Mol. Opt. Phys. 2000. Vol. 61, № 3. P. 4.

21. Cirac J.I. et al. Quantum superposition states of Bose-Einstein condensates // Phys. Rev. A - At. Mol. Opt. Phys. 1998. Vol. 57, № 2. P. 1208-1218.

22. Bradley C.C., Sackett C.A., Hulet R.G. Bose-einstein condensation of lithium:

Observation of limited condensate number // Phys. Rev. Lett. American Physical Society, 1997. Vol. 78, № 6. P. 985-989.

23. Abraham E.R.I. et al. Spectroscopic determination of the s-wave scattering length of lithium // Phys. Rev. Lett. American Physical Society, 1995. Vol. 74, № 8. P. 13151318.

24. Smerzi A. et al. Quantum coherent atomic tunneling between two trapped bose-einstein condensates // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 79, № 25. P. 4950-4953.

25. Raghavan S., Agrawal G.P. Switching and self-trapping dynamics of Bose-Einstein solitons // J. Mod. Opt. 2000. Vol. 47, № 7. P. 1155-1169.

26. Kok P., Braunstein S.L., Dowling J.P. Quantum lithography, entanglement and Heisenberg-limited parameter estimation // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. IOP Publishing, 2004. Vol. 6, № 8. P. S811.

27. Helstrom C.W. Quantum detection and estimation theory // Journal of Statistical Physics. 1969. Vol. 1, № 2. P. 231-252.

28. Paraoanu G.S. et al. The Josephson plasmon as a Bogoliubov quasiparticle // J. Phys. B At. Mol. Opt. Phys. 2001. Vol. 34, № 23. P. 4689-4696.

29. Kohler S., Sols F. Oscillatory Decay of a Two-Component Bose-Einstein Condensate // Phys. Rev. Lett. 2002. Vol. 89, № 6.

30. Weiss C., Gardiner S.A., Breuer H.P. From short-time diffusive to long-time ballistic dynamics: The unusual center-of-mass motion of quantum bright solitons // Phys. Rev. A - At. Mol. Opt. Phys. 2015. Vol. 91, № 6.

31. Weiss C. et al. Superballistic center-of-mass motion in one-dimensional attractive Bose gases: Decoherence-induced Gaussian random walks in velocity space // Phys. Rev. A. 2016. Vol. 93, № 1. P. 13605.

32. Khaykovich L. et al. Formation of a matter-wave bright soliton // Science (80-. ). 2002. Vol. 296, № 5571. P. 1290-1293.

33. Tamura Y. et al. The First 0.14-dB/km Loss Optical Fiber and its Impact on Submarine Transmission // J. Light. Technol. IEEE, 2018. Vol. 36, № 1. P. 44-49.

34. Sakr H. et al. Hollow Core NANFs with Five Nested Tubes and Record Low Loss at 850, 1060, 1300 and 1625nm // 2021 Opt. Fiber Commun. Conf. Exhib. OFC 2021 -Proc. 2021. P. 1.

SYNOPSIS

General summary of the thesis

Topic relevance

Currently, the study of nonlinear, coherent, as well as purely quantum properties of electromagnetic irradiation sources takes an important place in modern laser physics and quantum optics, condensed matter physics, materials science, life sciences, and their applications in information technology and medicine. Traditionally for such sources, the term "laser" (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) is used, particularly emphasizing the property of coherence. It is a device that works on the amplification of light radiation in a quantum multilevel (atomic, molecular and others) system, which occurs due to the excess of stimulated emission of photons over optical absorption. This condition requires the population inversion of the energy levels, and the magnitude of the gain determined by the external pumping must exceed a threshold. However, the term "laser" has also been used recently to describe a wide range of optical, atomic, polariton and other devices being the sources of coherent, monochromatic directed beam of light or a material field. Strictly speaking, such devices, referred in the literature as "boson lasers", are not lasers in the original sense of this term; their properties are determined by the features of the Bose-Einstein condensation (BEC) of the particles that make their basis.

The formation of BEC was predicted theoretically in the 1920th; in recent decades, the development of experimental technology in laser methods of trapping and cooling atoms allowed to discover this phase transition in two types of bosonic systems simultaneously: in gases of ultracold atoms and solid structures. BEC in an ultracold gas of alkali metal atoms was experimentally observed in 1995 at ultralow concentrations and temperatures (the phase transition temperature is several nanokelvin). In solid-state systems, the formation of BEC is associated with quasiparticles exciton polariton, the hybrid states of matter and laser field formed in a high-quality microcavity. Such systems have one distinguishing feature over cold gases: the photonic component significantly changes the physical (coherent) properties of the exciton-polariton system, which opens new possibilities for applying the discussed effects in

quantum optoelectronic and microelectronic devices at sufficiently high temperatures, up to room temperature.

The coherence of Bose condensates (as well as of laser beams) makes them suitable for studying and modeling fundamental processes in long-lived many-particle systems. Recently, the formation and interaction of nonlinear collective modes in media with Kerr nonlinearity has attracted special attention from the point of view of various practically important applications in quantum metrology (time and frequency standards), high-resolution spectroscopy, and distance measurements. In laser systems, frequency combs are used for these purposes, which arise during nonlinear mixing of modes in special (ring) microcavities. Noteworthy the generation of microcombs is accompanied by the formation of bright solitons. Physically, such a soliton arises due to the purely nonlinear effect of temporal self-organization that occurs in an open (driven-dissipative) photonic system. However, because of the high level of various noises, it is difficult to examine these systems for purely quantum metrological purposes.

Today, systems with Bose-Einstein condensates have been adapted for quantum metrological applications, which can be organized on a chip. Condensates in this case are low-dimensional systems like Josephson junctions, and they can be controlled by a combination of magnetic and laser fields. In this sense, they represent a serious alternative to their optical counterparts - Mach-Zehnder interferometers.

The Thesis is based on studying of material bright solitons. Their using for quantum information and quantum metrology problems seems to be promising due to their special properties of the formation and dynamics. A soliton is a structurally stable (particle-like) wave packet propagating in a cubic nonlinear medium and formed due to the compensation of dispersive spreading of the packet by the focusing nonlinearity of the medium. In addition to optical solitons propagating in Kerr media, matter-wave solitons formed in Bose-condensates of atoms, as well as exciton-polaritons, were experimentally observed. In this case, the condensate wave function, which is a superposition of condensed bosons de Broglie waves, acts as a soliton wave packet. In turn, the cubic nonlinearity of condensed bosonic

media arises due to two-particle scattering in the Born approximation and in modern experiments can be controlled in real time via the Feshbach resonance technique. An important property of solitons is their invariance under Galilean transformations. When interacting (colliding) with each other, solitons behave like individual particles, the dynamic properties of which are determined by the laws of conservation of momentum and energy. These properties of solitons are already used in optical communication for transmitting data over long distances without interference. In the Thesis, for the first time, it is proposed to use the nonlinear and quantum properties of matter-wave BEC-based solitons for quantum information problems related to the task of increasing the measurement accuracy to a level determined by quantum fluctuations.

It is important to note that the envelope of a bright soliton is described by the solution of the nonlinear Schrodinger equation, and in this sense matter-wave solitons are mathematically equivalent to optical solitons of laser radiation. Thus, the methods and approaches used in this work are quite universal, and the results obtained can be applied both in atomic optics with atomic condensates and in laser physics using nonlinear optical materials. In what follows, for brevity, the term "soliton" will be used, which denotes both an optical soliton and a material BEC soliton, if not specified.

The goal

The thesis is aimed to study the quantum dynamics of spatial soliton-like structures in atomic media with Kerr nonlinearity for problems of quantum information processing and quantum measurements.

Tasks

In accordance with the aim of the thesis, the following tasks were solved:

1) Construction of a quantum theory, as well as modeling, of nonlinear coherent properties of moving coupled bright solitons.

2) Investigation of instabilities and switching effects of coupled solitons parameters in

atomic media with Kerr nonlinearity.

3) Development of schemes for the formation of relatively robust to losses mesoscopic

soliton qubits and methods for measuring their states in quantum metrology problems.

4) Revealing the possibilities of using mesoscopic states of coupled solitons in schemes

with measuring the characteristic frequencies of Rabi-oscillations of the condensate of atoms at the level of quantum constraints for creation of frequency standards.

Novelty

1) In the Hartree approximation, a novel quantum model of coupled atomic solitons is developed. This model accounts for two confinement geometries of the double-well potential: with sequential and parallel mutual arrangement of solitons; in each case, the dynamics of the amplitude-phase and kinematic parameters of BEC solitons was revealed as a function of the effective parameter of solitons interaction, A = u2N2/16, where N is the total average number of particles in two solitons, u is the coefficient of nonlinear interaction of particles within one trap (proportional to the length of the atom-atom scattering).

2) For the first time, a new method for obtaining macroscopic qubits based on coupled solitons in cubic nonlinear media is proposed. The formation of entangled states of such qubits as well as their distingushiabilty problem are invsestigated.

3) A new method is proposed for estimating the phase parameters, as well as the energy (frequency) difference between the ground and first (excited) states of the condensate. This result may find an application in frequency standards developing with the Heisenberg level of sensitivity.

4) For the first time, the problem of the quantum dynamics of coupled solitons is investigated in nonideal atomic or laser systems that admit the loss of particles. The similarity of such systems with a quantum harmonic oscillator with a time-dependent oscillation frequency is shown. It is shown for the first time that the particle losses lead to the Rabi oscillations frequency growing and, as a result,

redistributing of the uncertainty between the particle and phase differences of the solitons.

Theoretical and practical significance

This work is of large (interdisciplinary) importance both in metrology with material solitons and in laser physics and photonics, where optical solitons can be obtained in different ways and have long been used in quantum communication and quantum information in schemes with various interferometers. The results obtained are of great practical interest in terms of new physical principles development that can be used as the basis for quantum computing, including the information processing and transmission with soliton qubits as logical ones. The theoretical methods and approaches proposed in the work for a coupled condensates system, which provides the formation of spatially localized structures with unique properties, can be used in the development of frequency standards that operate at the Heisenberg limit of accuracy.

Principal statements of the thesis

1) In the measurement scheme with the participation of mobile quasi-one-dimensional tunnel-coupled bright quantum solitons in the absence of losses, the maximum accuracy of estimating the distance between solitons is limited by a value inversely proportional to the cube of the number of particles under conditions of formation of N00N states.

2) In a system of quasi-one-dimensional tunneling-coupled in the longitudinal direction of nonlinearly coupled bright quantum solitons, there is a critical value of the intersoliton distance Ac, at which bifurcation occurs for the solitons population imbalance. Above the critical value Ac, macroscopic quantum qubits are formed from these solitons.

3) In the measurement scheme with the nonlinearly-coupled soliton qubits containing a mesoscopic number of particles (from hundreds to a thousand), the error in measuring the frequency of the transition between the ground and first (excited)

states of the condensate in the absence of losses corresponds to the Heisenberg limit 1/N with respect to the number of particles N.

4) The loss of a small (relative to N) number of particles in the measurement scheme with the tunnel-coupled bright quantum solitons leads to an increase in the frequency of Rabi-like oscillations of the soliton population imbalance, which, in turn, causes a decrease in the (statistical) variance An = (n2) — (n)2 of the difference in the number of particles n, and a simultaneous increase in the variance A0 = (02) — (0)2 of the phase difference of solitons 0. In this case, the lower boundary of the uncertainty relation (the product of the variances of these quantities) also increases in proportion to the square of the frequency change with time, H2.

Approbation of the results

The work results were approbated at the following national and international conferences:

• XLVIII, XLIX Scientific and Educational Conference of ITMO University, 2019 -2020., St. Petersburg, Russia;

• XIII, IX, X All-Russian Congress of Young Scientists, 2019 - 2021., St. Petersburg, Russia;

• XI International conference "Fundamental Problems of Optics"; 2020, St. Petersburg.

• International Scientific Conference "Lomonosov-2021", 2021, Moscow.

• XXV International Scientific School "Coherent Optics and Optical Spectroscopy", Academy of Sciences of the Republic of Tatarstan, Kazan, 2021

Author's personal contribution

The results presented in the thesis are original and obtained by the author personally. The choice of the research direction, the task formulating, and the results interpretation were performed jointly with the scientific supervisor and the co-authors of the articles.

The reliability of the results is ensured by the usage of generally accepted methods of theoretical research, as well as by general agreement with the experimental and theoretical results obtained in the works by other authors.

Implementation of thesis results

The results of the thesis were used in the research project "Machine Learning for Hybrid Quantum Information Processing and Metrology". The research was supported by the Russian Foundation for Basic Research (RFBR), grant № 19-52-52012 MHT_a.

Publications

The main thesis materials were published in 3 papers in the journals of the Higher Attestation Commission list or equivalent to the ones of the the Higher Attestation Commission list.

1) Tsarev D.V., Ngo T.V., Lee R.K., Alodjants A.P. Nonlinear quantum metrology with moving matter-wave solitons // New Journal of Physics. - 2019. - V. 21. - №. 8. - P. 083041.

2) Ngo T.V., Tsarev D.V., Alodjants A.P. Coupled solitons for quantum communication and metrology in the presence of particle dissipation // Journal of Russian Laser Research. - 2021. - V. 42. - P. 523.

3) Ngo T.V., Tsarev D.V., Lee R.K., Alodjants A.P. Bose-Einstein condensate soliton qubit states for metrological applications // Scientific reports. - 2021. - V. 11. - P. 19363.

The main thesis materials were also used for the following publications:

1) Alodjants A.P., Tsarev D.V., Ngo T.V. Quantum metrology: how and what to measure beyond the Heisenberg limit // The XIII International Workshop on Quantum Optics (IWQO-2019). - 2019. - P. 43-46.

2) Ngo V.T., Tsarev D.V., Alodjants A.P. The dynamics of entangled material-wave solitons in strongly asymmetric potential wells // Abstracts of the Congress of Young Scientists - 2019. - C. 149-151.

3) Tsarev D.V., Ngo T.V. The most entangled states of material-wave solitons for quantum metrology // Abstracts of the Congress of Young Scientists. - 2019. - P. 223-227.

4) Ngo V.T., Tsarev D.V., Alodjants A.P. dynamics of weakly coupled BEC solitons in a strongly asymmetric trap // Basic Problems of Optics -2020. - 2020. - P. 82-84.

5) Tsarev D.V., Ngo V.T., Alodjants A.P. Formation of N00N states of coupled BEC solitons in the W-potential // Basic Problems of Optics -2020. - 2020. - P. 50-52.

6) Tsarev D.V., Ngo T., Alodjants A.P. Entangled states of material solitons for quantum metrology // Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics. -2020. - T. 84. - № 3. - P. 332.

7) Tsarev D., Alodjants A.P., Ngo T.V., Lee R.-K. Mesoscopic quantum superposition states of weakly-coupled matter-wave solitons // New Journal of Physics. - 2020. -T. 22. - №11. - P.113016.

8) Tsarev D.V., Vinh N., Alodjants A.P. Beating Heisenberg limit with moving matter-wave solitons // Proceedings - International Conference Laser Optics 2020. - ICLO

2020. - P. 9285804.

9) Tsarev D.V., Ngo T.V., Alodjants A.P. Formation of N00N states of coupled solitons in the W potential // Abstracts of the XI International Conference "Basic Problems of Optics" - 2020. - 2020 - P. 50.

10) Tsarev D.V., Alodjants A.P., Ngo T.V., Lee R.-K. Enhanced nonlinear quantum metrology with weakly coupled solitons and particle losses // Physical Review A. -

2021. - in print. - arXiv preprintarXiv:2108.03408. Thesis structure

The thesis consists of Introduction, four Chapters, Conclusion, Reference list containing 98 titles, and two Appendices. The full volume of the thesis is 323 pages, including 70 figures.

Thesis content

Introduction substantiates the work relevance, formulates its goal and main tasks, demonstrates the scientific novelty and practical significance of the results obtained, and sets out the provisions to defend and a brief summary of the thesis.

In the First Chapter, an analytical review is performed for the literature and the main results related to the topic of work. Methods are discussed for the formation of Bosonic Josephson junctions (BJJs) as a convenient platform for obtaining entangled states for applications in quantum metrology and quantum information. The theoretical results obtained for a BJJ with Bose condensates within the framework of atomic optics are fully applicable in optics and laser physics, since optical analogs of BJJs based on fiber optics are known.

In 1947 N.N. Bogoliubov formulated the theory of a delute Bose gas, [1], within the framework of which for the field annihilation operator 4, he distinguished the classical part 4(r, t) « Vft + 0(r, t), where = const is known in the literature as the C-number denoting the concentration of BEC atoms n = N/V, is the number of condensate atoms, V is volume occupied by the BEC. In turn, for the quantum part 0 in Bogoliubov's theory, the following condition is satisfied: (0) = 0 « Vft, i.e., quantum fluctuations of the field operator are considered as a small perturbation. Bogoliubov generalized the 4-operator to the case of a spatially inhomogeneous gas in the form

4(r,t) « 40(r,t) + 0(r,t). (1)

The equation for the operator 4 in the Heisenberg representation has the form

d ^

ft2 0 f

n v2 + ^xt(r) + I t)K(r' — r)4(r', t)dr' 2m J

44(r,t), (2)

where Kext is the confining potential of the trap, V is the potential of two-particle interaction between atoms. The last potential in the Born approximation can be written in the form V = — r), where

0 =-££; (3)

m

asc is the atom-atom scattering length in the Born approximation; h is the Planck constant; m is the particle mass. Then, substituting (1) and (3) into (2) and neglecting quantum fluctuations 9 in the zeroth approximation, after integration we obtain an equation

d

h2 0

V2 + VeXt(r) + gW0(r,t)l'

2m

Vo(r,t), (4)

known as the Gross-Pitaevsky (GP) equation, which coincides with the nonlinear Schrodinger equation, well known in laser physics, describing time evolution of light beams.

It is important to note that the Born approximation is valid only for asc « a0, where a0 is the characteristic size of the BEC cloud (for spatially confined BECs, a0 is the characteristic size of the trap determined by the configuration of the confining potential Vext(r)). However, since the condition na^c « 1 is always satisfied for delute gases, equation (4) is applicable regardless of the applicability of the Born approximation. The interparticle interaction of delute gases at low temperatures does not depend on the shape of the potential V(r' — r) and is completely determined by the scattering length asc.

Let us now consider a more complex system consisting of two BECs placed in a double-well potential, created with the laser fields, see Figure 1. Such a potential can be formed, for example, using a potential barrier created by a laser source far from resonance with the BEC, which divides the trap into two parts [2]. In what follows, for simplicity, we will call these two parts traps 1 and 2, respectively.

Due to the condensate wave functions overlap a tunnel coupling between them occurs, this phenomenon is known as the Josephson effect. In this case, the description of the BEC dynamics using GP equation (4) for the BEC in the double-well potential under certain conditions reduces to two nonlinear equations for time-dependent wave functions ¥122( t) describing the BEC in traps 1 and 2. The Josephson (tunneling) coupling between these condensates, in turn, is described by the rate of particle tunneling between the traps - k, while the spatial dependence of the wave function ¥ in the corresponding direction is not taken into account; it is integrated into constant parameters. This model of coupled BECs is known in the literature as bosonic Josephson junctions (BJJs).

The BJJ problem is solved by the variational method using the wave function ansatz of form

¥(*, t) = 41(t)01(r) + 42(t)02(r), (5)

where x¥12 (t) = jNl2(t)ewi*(t), N±i 2(t) and 0i,2(t) are the amplitude (number of particles) and the phase of condensates in traps 1 and 2, respectively. The total number of particles in the traps is assumed to be constant at the characteristic live times: N1 + N2 = l%J2 + |42|2 = N = const, i.e., dissipation effects (as well as temperature effects) are not taken into account in this case. On the other hand, the numbers of particles N12(t) and condensate phases 012(t) are variational parameters and obey the nonlinear two-mode dynamic equations

l~dt = (^1° + U1N1)X¥1 -

(6a) (6b)

Figure 1 - Double-well trap for two Bose-Einstein condensates with numbers of particles N12 with the energies of the ground state and E°2, respectively

Here E02 are the energies of the zero point in each well, see Figure 1; the values U12N12 are proportional to the atoms interaction energies within the corresponding traps. The constant parameters E02, U12N12 and k can be calculated using the wave functions <&1i2(r), which describe the spatial distribution of condensates in the corresponding traps. In turn, &1i2(r) can be expressed in terms of stationary symmetric and antisymmetric solutions of the GP equations, which reduce to Gaussian wave functions.

Instead of condensate phases and trap populations, it is more convenient to consider the population imbalance

z(t) = [N1( t) — N2(t)]/NT = (| ¥112 — l¥2l2)/NT (7a)

and phase difference

9(t) = 92(t) —91(t). (7b)

Substituting ¥12 2 (t)el6l'2(t) in (6) and passing to variables (7), we finally

obtain the equations of the BJJ dynamics in the form

z(t) = —2K^T—^(t)sin[9(t)]; (8a)

2 kz( t) ^1 — z2(t)

9(t) = AE + Az(t) + , \ -ros[9(t)], (8b)

where the dots denote the derivatives with respect to the dimensionless time t' = t,w0 is the characteristic frequency of the traps. Also in (8) the following notations were introduced:

U1 — U2

A E = E° — E20 + \ N; (9a)

(U1 + U2)N

A = V 1 2 2 . (9b)

The dimensionless parameters k, A, and AE determine the dynamic modes of tunneling of BEC atoms.

To date, there are many different ways of obtaining double-well potentials for the implementation of the BJJ. For the first time the double-well potential was obtained already

at BEC observation experiments. For this, a harmonic potential created by a magnetic trap and a focused laser beam creating a potential barrier was used. Such a potential with a distance between the wells of 50 ^m was used in the first experiments on the BEC interference [2]. We can also mention the works [3-5], which present similar methods for separating condensates into two independent parts.

In [6], the authors succeeded in observing the Josephson effect in the W potential realized with the help of potentials generated by laser radiation. The idea was to combine a three-dimensional harmonic potential, limiting the BEC, and a one-dimensional periodic potential with a large lattice period of 5 ^m, see Figure 2.

To form the confining trap, two orthogonal beams of Nd-Yag lasers in the far-red spectrum were used with a 10 MHz detuning from the resonance with the BEC (to avoid unnecessary interference), see Figure 2(a). The radially symmetric horizontal beam had a waist of 60 ^m, ensuring the BEC of 87Rb rubidium atoms in the direction of gravity (y-axis in Figure 2(a)). The radially asymmetric vertical beam crossing it had waist radii of 140 ^m in the direction of the z-axis and 70 ^m in the direction of the x axis. This asymmetry made it possible to control the size of the harmonic trap in the direction of the x axis, in which the double-well potential was formed, without significant changes in the frequencies of the traps in other directions. With a maximum power of about 500 mW in a horizontal beam and 800 mW in a vertical beam, the following harmonic frequencies were achieved: Mx>max « 2n X 120 Hz, toyimax ~ 2n X 170 Hz and toZimax ~ 2n X 180 Hz. The maximum trap depth (in temperature units) was V° « 5 ^K.

The periodic potential was realized by a pair of laser beams with parallel linear polarization, intersecting at a relative angle a = 9°, as shown in Figure 2(a). The beams were aligned symmetrically with respect to the vertical beam of the trap, so that the potential of the trap was modulated only in the direction of the x-axis. For a laser generating a periodic potential, the wavelength was chosen to be 811 nm. The resulting potential is shown in Figure 2(b) at two scales. Mathematically, it can be described as

a)

b)

Figure 2 - Implementation of a single Josephson junction using optical dipole potentials.

(a) Basic setup - an optical trap formed by crossed laser beams in combination with a periodic potential realized using two beams intersecting at an angle of 9°; (b) the shape of the potential on the scale of a three-dimensional harmonic trap; (c) increased part of the potential in the center of the trap - double-well potential [7]

1 2

V = —m^>2(x — Ax)2 + V0 cos2

nx

(10)

where Ax is the relative position of the two potentials. At Ax = 0, the double-well potential is symmetric.

The BEC of 87Rb rubidium atoms was placed in such a trap, after which the temporal evolution of the atomic density distribution (in the symmetric double-well potential) was experimentally observed as shown in Figure 3 for two different initial values of the

population imbalance z(0) (schematically shown in the upper graphs). As seen in Figure 3(a) nonlinear Josephson oscillations are observed; i.e., atoms tunnel left and right over time. The period of the observed oscillations is about 40 ms. Worth noticing this period is much shorter than the tunneling period, which for a given potential is approximately 500 ms [6]. This demonstrates the important role of nonlinear atom-atom interaction in experiments with BJJ. Another manifestation of nonlinearity is shown in Figure 3(b). If the initial population imbalance z(0) exceeds a certain threshold, the so-called self-trapping occurs instead of oscillations. In this case, small oscillations are observed, and the tunneling current of BEC atoms is never zero. However, in this case, a part of the atoms is "turned off' from the oscillations, self-trapped by one of the traps (the time-average value of the population imbalance is not zero).

EH Josephson oscillations Q Self-trapping

Figure 3 - Experimental observation of the tunneling dynamics of two weakly-coupled BECs in a symmetric double-well potential. (a) Josephson oscillations are observed when the initial population imbalance z(0) is chosen below the critical value; in the opposite case (b) macroscopic quantum self-trapping is observed [6]

Until this point, BJJs have been described in terms of atomic optics. In this case, the platform for obtaining Josephson junctions was the tunnel-coupled BEC of atoms placed in the double-well potential. The preparation and using of such systems are associated with a number of difficulties, for example, with the need to maintain ultra-low temperatures below the critical value for Bose condensation. There are optical (laser) analogs of Josephson junctions, which are more suitable for experimental and applied implementation. At the same time, the theoretical results obtained for atomic BJJs are fully applicable to their optical counterparts. In this case, the platform is laser beams in waveguides, the interaction between which is performed with couplers.

Figure 4 is a schematic representation of the structure of a directional coupler grown by molecular beam epitaxy. Figure 5 is a scanning electron micrograph of the connector. Such connectors make it possible to create a linear connection between two closely spaced waveguides [8].

Figure 4 - Structure of a directional nonlinear coupler grown by molecular beam epitaxy. The total thickness of the upper ALGaAs layer is 1 ^m [10]

Figure 5 - Scanning electron microscope image of a directional nonlinear coupler [10]

The waveguide layer of such a coupler consists of 60 periods of GaAs/AlGaAs quantum wells with a thickness of 100 A for both wells and barriers. The exciton resonance of the sample in Figure 4 is 845 nm for light polarized in the plane of the quantum well layers which is shifted to about 839 nm for light polarized perpendicular to the layers of quantum wells [9]. AlGaAs layers above and below the quantum well region confine light in the vertical direction, while etched ridges with a width of 2 ^m on the top AlGaAs layer confine light in the horizontal direction. The channels are formed by applying a pattern to the sample using photolithography with contact printing and subsequent reactive ion etching of the upper AlGaAs layer with a photoresist mask.

In [10] describes a fully optical single-mode switch based on such a coupler. From a physical point of view, the behavior of laser pulses in it is similar to the behavior of the BEC in traps discussed above. Namely, switching was observed at an input wavelength of ^870 nm. The optical beam was coupled into one of the channels, and the position of the channel was chosen by moving the coupler relative to the direction of the input beam and observing the profiles of the output intensity. By increasing the intensity of the incoming light, the ratio of the output intensities of the two channels can be changed so that most of the light can remain in the input channel.

It is important to note that losses in such systems are quite high, and therefore it is difficult to study quantum regimes with a relatively small number of photons in them. Recently, exciton polaritons formed in semiconductor microcavities under strong coupling conditions have been used to switch light radiation at low light intensities. Figure 6 shows an exciton-polariton Josephson junction in the form of a coupler etched on the basis of a microcavity containing samples with four GaAs quantum wells, which was studied in [11]. Note that in exciton-polariton systems the main dissipation mechanism is an incoherent reservoir of excitons, which, ultimately, can prevent the formation of purely quantum states of light radiation at the exit from the microstructure.

This thesis discusses two main areas of application of Josephson junctions: quantum metrology and quantum information. Quantum metrology with Josephson junctions can be implemented in the circuit on an atomic chip, shown in Figure 7 [12]. In the described scheme, an atomic BEC is coherently split by converting a single trap into a double-well potential; the relative phase 0 between the two arms is created by the slope of the potential during the time t^; then the distance between the two wells decreases sharply, and the potential barrier between them acts as a beam splitter (BS) for both wave packets, converting the relative phase into a population imbalance. After the recombination time tBS, two atomic clouds are separated, and then the number of particles in each of well is read using fluorescence imaging, see Figure 7(a). At the output of the interferometer, the difference between the populations of the two wells z = (N2 — Nt)/N was measured, and the result of the experiment is in good agreement with the theoretical prediction, see Figure 7(b).

The phase that forms in the arms of the interferometer in Figure 7 has the form

= Vo + et^/h, (11)

Figure 6 - Image of a directional polariton coupler taken with a scanning electron microscope. L = 20 ^m, w = 6 ^m, d = 0.6 ^m. The intensity of the propagating BEC beam of exciton polaritons was above the threshold and amounted to 26 kW * cm-2 [11]

Figure 7 - Atomic Mach-Zehnder interferometer based on Josephson junctions; z = (N2 — Nt)/N is the normalized population imbalance between two wells [12]

where y0 is the initial phase, and the parameter e is to be estimated. It is also important to note that the quantum state at the exit from the Josephson junctions is spin-squeezed. The amount of contraction relative to the standard quantum phase measurement limit is approximately 7.8 dB and corresponds to 150 entangled condensate atoms.

Thus, we can conclude that atomic interferometry today is a promising and rapidly developing direction. The use of atomic condensates, which represent extended macroscopic De Broglie waves instead of optical electromagnetic waves, opens new possibilities for measuring and evaluating various physical quantities. The main problem here is the preparation and confinement of atomic states, as well as improving the accuracy of atomic interferometry by suppressing quantum fluctuations: spin compression and entanglement.

In the thesis, it is proposed to solve the problem of the accuracy of interferometry by using solitons of atomic BEC in a scheme similar to that shown in Figure 7. It is expected that the superposition states of such solitons can significantly improve the estimate of the kinematic parameters of solitons below the corresponding level of the standard quantum limit, which has not yet been investigated at all. In this regard, this work has a high degree of novelty and great prospects for modern quantum metrology.

In quantum information, Josephson junctions can be used to create Josephson qubits, devices that exhibit quantum properties at the macroscopic level and are the basis of modern quantum computing.

To date, Josephson qubits on superconductors, where Cooper pairs are superfluid (superconducting) bosons, have been well studied [13]. In this case, such qubits, like any BJJ-systems, obey the equations of dynamics (8) in terms of the population imbalance z (for Cooper pairs, this is equivalent to the charge difference) and the phase difference 9. In the quantum domain, these parameters correspond to some operators associated with the operators of the particle number and phase, and therefore obeying the uncertainty relations. Thus, the Josephson qubit two limiting cases are possible: when the difference between the populations of the contacts (charges) is determined sufficiently accurately, or when the phase difference is determined. Such qubits are known as charge qubits and phase or flux qubits.

These names come from Josephson qubits based on Cooper pairs, since the measured parameters in such systems are charge (coupled with z) and magnetic flux (coupled with phase 0).

A charge qubit is shown schematically in Figure 8(a). It is a superconducting element coupled by a Josephson junction to the charge reservoir and controlled by the applied voltage across the capacitive gate. In the basis of eigenstates |n) of particle number operator n, the charge qubit quantum Hamiltonian has the form

H = ^ [ec(û - ng)2ln)(nl -1EJ(In)(n + 1| + In + 1)<n|)], (12)

n

a)

b)

Figure 8 - Schems of (a) a charge qubit with a Josephson coupling energy controlled by a magnetic field; (b) a single-contact flux qubit. Here is magnetic flux; Cg is capacitive gate, controlled by voltage Vg; I is the strength of the current flowing through the ring

with inductance L; Ic is the critical value of the current at which the device remains nondissipative; O0 is a "quantum" of the magnetic flux associated with the geometry of

the qubit [13]

c) d)

Figure 9 - Photomicrographs of Josephson qubits made by a scanning electron microscope. (a) charge qubit [14]; (b) flux qubit [15]; (c) paired charge qubits [16]; (d)

charge qubit [17]

where Ec and Ej are the charge energy and Josephson energy, depending on the charge and phase differences, respectively. For a charge qubit, the condition Ec > Ej is satisfied.

On the contrary, the condition Ec « Ej must be satisfied for a phase qubit, and the quantum variable in this case is the phase difference 0 at the Josephson junction (or the magnetic field flux O through the superconducting ring). A phase qubit in the simplest implementation is a Josephson junction in a circuit with a given current I. In the quantum regime, such a system is described by the Hamiltonian

d2 h Ii = -ECQ02-Ejcos[0]--I0, (13)

similar to the Hamiltonian of a quantum particle moving in the so-called washboard potential. In practice, it can be difficult to directly measure the phase 0 of Cooper pairs. On the other hand, this phase can be associated with the magnetic flux O passing through the superconducting ring, on the basis of which a flux qubit can be created, see Figure 8(b), while

0 = 2n — where O0 = 2nhc/2e is the quantum of the magnetic flux; the flux qubit quantum O0

Hamiltonian has the form

i®0Y d2 r 1

H = EcUs&- EJ c0s [2"*o\ + L(*- *')2- (14)

The potential energy of a quantum system described by Hamiltonian (14) with an external flow Oe= — and a sufficiently large ring inductance L, such that 2nLIC > O0 (Ic

is the critical current, the maximum current flowing through the junctions, at which the system remains nondissipative), the potential energy has the form of a double-well potential, the minima of which determine two ring stable states 0) and l<&2,0). These two states correspond to persistent currents in the ring with opposite directions. Quantum mechanical tunneling in the O-space leads to the establishment of two discrete quantum levels 10) and |1), the qubit basis states.

The Second Chapter presents the original results on the formation of bright solitons in quasi-one-dimensional atomic and laser systems. The research is based on the so-called

unidirectional distributed-coupled waves (UDCW), interest in which in nonlinear optics and laser physics arose at the end of the last century, in connection with the task of creating optical transistors and optical computers. One of the disadvantages of those devices was their high energy consumption and, as a result, the problem of cooling. In this Thesis, other systems are considered, for which the number of particles (pump power) can be significantly lower. Namely, both photonic systems with UDCWs and atomic condensates are analyzed, which represent a universal basis for bosonic Josephson junctions (BJJs) in modern laser physics and quantum technologies.

The BEC phenomenon is universal; it was observed not only for atoms, but also for polaritons, and even photons. In fact, atomic BECs are sources of a coherent state of matter, and therefore in atomic optics act as analogs of coherent laser radiation. An important advantage of atomic BECs as a platform for studying quantum coupled solitons in problems of quantum information and quantum metrology is the possibility of obtaining solitons containing a small number of particles (of the order of 102-103).

Estimates of the number of photons for solitons obtained in [18] based on traditional quartz fiber systems lead to values of N — 107 and more. Quantum optical solitons can be transmitted over long distances and used in quantum communication. For the observation of such effects as squeezing (suppression) of quantum fluctuations of the light field quadratures, the presence of a macroscopically large number of photons does not play a special role and is even a positive feature.

However, for problems of quantum metrology, mesoscopic states do play a special role, for which an urgent problem is the presence of large Kerr nonlinearities with a relatively small number of particles. Within the framework of traditional nonlinear optics, the efficiency of the photon-photon interaction, determined by the cubic susceptibility of the medium, is quite low. The situation changes significantly if particles (quasiparticles), for example, atoms or excitons, participate in such an interaction. In this case, it is possible to increase the effective Kerr nonlinearity of the medium by several orders of magnitude, and

thus to reduce the number of particles required for the formation of a bright soliton. Bose-Einstein condensates (atomic or exciton-polariton) make it possible to achieve this.

The mathematical description of the considered systems in the absence of losses is based on the three-dimensional nonlinear Gross-Pitaevsky (GP) equation for the order parameter-the wave function of the condensate (complex amplitude of the laser field) ¥(r, t):

d 1

i — x¥(r,t) = -~V2x¥(r,t) + 2u0N\x¥(r,t)\2x¥(r,t) + V(r)x¥(r,t), (15)

Uu 2

where the parameter u0 = 2nasc/a1 determines the Kerr nonlinearity of the medium, dependent on asc, the atom-atom scattering length in the Born approximation [19];

= jh/mte^ is a characteristic trap size described by the harmonic potential frequency and the particle mass m. In equation (15) and further, the scaled (dimensionless) spatial and temporal variables are used: x,y,z ^ x/a±,y/a±, z/aL, and t ^

The configuration of the potential V(r) is of special interest. To form a BJJ, it is necessary to prepare two traps (for simplicity, assume them identical) having two minima separated by a distance d, see Figure 10. As a result, the solution of equation (15) is a quantum mechanical superposition

Figure 10 - probability density distribution |¥| for two (a) laterally and (b) longitudinally coupled condensates. In atom optics, double-well potential provide the atom tunneling. For the laser systems two traps correspond to close spaced (5 ^m and less) waveguieds providing photon tunneling between them

V(?,t) = V1(r,t)+V2(?,t), (16)

where the wave functions ^ and 42 characterize condensates in two wells. In this thesis, two configurations of such a potential V(r) are considered, shown in Figure 10. In Figure 10(a), it is assumed that V(r) = W(r±) + VH(x), i.e. condensates are strongly coupled in the transverse (r±) plane using W(r±)--potential; VH(x) is a weak harmonic potential of the trap in the X-axis direction. Tunneling between condensates occurs in the transverse plane (YOZ). In this case, Eq. (13) takes the form

4(r, t) = Oi (r± — Vi(x, t) + O2 (r± + 42(x, t), (17)

where O1 — d) and O2 + are spatial (time-independent) wave functions of

Gaussian-like wave packets in the transverse plane on both sides of the barrier. In turn, functions x¥1>2 describe the distribution of condensates in two wells along the X-axis, as well as the temporal dynamics of the system.

In another configuration, shown in Figure 10(b), it is assumed that the potential W(x) is created in the X-axis direction. In this case, tunneling occurs in the same direction, along the X-axis. In this case, essentially nonlinear properties of solitons effect significantly on tunneling; they can be investigated within the framework of the nonlinear coupled modes theory approach [20]. In particular, for weakly interacting atoms, one can assume that

4(r,t) = O1(r±)x¥1(x + d/2,t)e-iPit + O2(r±)x¥2(x — d/2,t)e-i^2t. (18)

In the general case, the wave functions 4L(x + d/2, t) and 42(x — d/2, t) may be not only separated in space, but also possess different energies ^2 = E12/h corresponding to the ground and first excited states energies of the two-mode system.

In the case when the particle number N is not too large, the wave functions O12 in (17), (18) are Gaussian and unchanged on the corresponding time scales, and the functions 41>2 (x, t) can be found via the quantum field-theory variational approach [21]. In particular, in condensates with negative scattering length, at u0 < 0, the formation of bright matter-wave

solitons occurs. In this case, for the geometry of the couple of traps shown in Figure 10(a), one can find

N; pu hsech 1,2 2 ^N

un±i2

x

2

ex

V[i0i,2], (19)

V.2 N2

where 0j = —^t are soliton phases (j = 1,2), and Oj = 2/uNj their widths; u = -\u0 \ > 0 is effective parameter of the Kerr nonlinearity.

The model shown in Figure 10(a) will hereinafter be referred to as the model of soliton Josephson junctions (SJJ). In contrast to the SJJ, the model in Figure 10(b) assumes a significantly nonlinear coupling between contacts, therefore we will refer to this model as nonlinear soliton Josephson junctions (NSJJ).

For numerical estimates in the work we take the condensate iLi, containing N « 103 attracting atoms. The atom-atom scattering length asc = -1.45 nm is an adjustable (using the Feshbach resonance method) parameter [22,23]. The characteristic size of the trap ~ 7 ^m is achieved at « 2n x 29 Hz. The density of the condensate in the center of the trap n = Na-3 in this case is about 3 x 1012 cm-3. The particle interaction energy

2nh2\a

UN =-3 sc is 1.83 nK in temperature units (kB is the Boltzmann constant), which

corresponds to uN = UNkB/h^± « 1.3. The tunneling rate is K = —^\k\ = 0.14 nK,

KB

which corresponds to \k\ = 0.1.

For laser systems based on optical UDCW, the characteristic values of the indicated parameters are \k\ = 5 x 10-4 and uN = 0JT « 2 x 10-3, respectively. As seen, the characteristic coupling values for atomic BEC are three orders of magnitude larger than for optical UDCW. At the same time, for optical solitons uN « 1, which for u a 10-7 is achieved at a macroscopic number of photons N ^ 107.

Thus, the high Kerr nonlinearity of quasi-one-dimensional BECs makes it possible to consider the formation of solitons in such systems with the number of particles (amplitude) by orders of magnitude less than in traditional optical waveguides. At the same time, solitons

provide an additional advantage, providing an effective nonlinearity of the medium kN2, and not k N, which is typical for waves with a Gaussian profile in Kerr media [24,25]. A higher effective nonlinearity makes it possible to achieve a better resolution of logical states for an optical transistor at a lower pump power.

Let us consider the SJJ model in more detail, and return to the NSJJ later. The complete SJJ Hamiltonian H can be described as follows:

H = Hi+ H2 + Hint, (20a)

where Hj (j = 1,2) are the BEC Hamiltonians in the j-th well; while Hint describes the Josephson coupling energy between two wells. In the second quantization form, one can write

f t i 1 q2 u + \

Hy = J dxajWl--— — - a] (x) ay (x) ) fy (x) ; (20b)

Hint = Kfdx(si(x)a2(x)+a2(x)ai(x)),

where k characterizes the rate of particle tunneling between the wells in the transverse direction, normalized to the characteristic trap frequency

It is convenient to investigate the problem of the coupled BEC solitons formation in the Schrodinger representation within the framework of the Hartree approach, which is justified in the limit of a large particle number, as well as at the temperature of the system significantly below the critical temperature of Bose condensation. In this case, the macroscopic BEC can be considered ideal and in equilibrium, and the N-particle vector of the ground state of the system shown in Figure 10(a), in this case, can be written as the product of N single-particle states [21]:

m» = vw.

^ „CO iN

im

(¥1a] + x¥2a]) dx

-m

|0>, (21)

where |0>=|0>x|0>2 is a two-mode vacuum state; W1>2 =^1>2(x,t) are soliton wave functions. In the limit k ^ 0, BEC solitons are isolated and described by Eq. (19). For k < 0

ansatz (19) remains its shape, but the populations of traps N1i2 and the phases of solitons 61i2 become (variational) functions of time. Solving the variational problem, one can find the master equations of the system in the form

z = (1- z2)(1 - 0.21z2) sin[0]; (22a)

6 =AKz- 2z(1.21 - 0.42z2) cos[0], (22b)

where z = (N2 — N1) /N is the population imbalance of solitons normalized to the total number of particles N = N1 + N2; 0 = 02 — d1 is their phase difference. In addition, the

u^N2 A

dimensionless parameter AK = = — is introduced in (22), the control parameter of the

u2N2

SJJ model A =-, normalized to \k\, as well as the functional

16 ' 1 ''

_1 fm dx 2

Eqs. (22) have two nontrivial stationary solutions. The first solution has the form

z0 = OT2(1-21-T); (24a)

cos[60] = -1 (24b)

and the second is

zl = 1; (25a)

2AK AK

cos[e°]=—~T:58- (25b)

A solution similar to (24) can be obtained for the BJJ [21]. However, the parameter AK, introduced earlier for the SJJ in (22), depends on N , not on N as in the BJJ. This fact is very important in practice, in the limit of a large number of particles N. As for the second solution (25), it has no analogs in the two-mode approximation. From a physical point of view, both solutions (24) and (25) correspond to a constant population imbalance z0 = ±C, where C =

Jo^(l'21 — if) for (24) and C = 1 for (25). The existence of two values of the population imbalance in the quantum consideration means the possibility of the simultaneous existence

of two states with z0 = + C and z0 = — C. They correspond to Schrodinger's Cat soliton states (SC-states) or N00N-states.

At the same time, since 0 < | cos[ 0q] | < 1, solution (25) can exist only for 0 < AK < 1.58. As seen, there exists a critical value AK>cr = 1.58 « n/2, at which z2 = 1 and cos[00] = —1, and the SC-state coincides with the N00N-state.

Since the population imbalance 0 < Izl < 1, solution (24) exists only in the range of the control parameter 1.58 < AK < 2.42. The state vector of solitons (21) in this case takes the form

ISC+) =

1

I dx(ip+a[ —

J — on

JN.

|0>, (26a)

where ^±=^a±\zo\)sech[fa±\zo\)x] and \Zo\ = ^(1.21—f). By

determining the macroscopic superposition of states from equations (26a), one can find the SC-state of coupled solitons, cf. [21]:

1

'SC> = V2aWSC+>+'SC->)' (26b)

where X = (1 — zq)i(z) « (1 — zq)(1 — 0.21zq). It is important to note that the "halves" of the SC-state (26) are not orthogonal to each other:

r = {V±Clwf) = XN. (27)

Physically, one can define the size of the cat as 1/r = x—n. The macroscopic SC-state requires r ^ 0, which means the maximum attainable (infinite) cat size at \z0 \ ^ 1 and X ^ 0.

The N00N-state exists for 0 < AK < 1.58. Solution (25) assumes the state vector of solitons (21) in the form

N

\0>; (28a)

1

\N0> =

JN.

dx(ipa[)

-co

I0N) =

Jrn

¡•œ

I dxfyâ^)

J — œ

N

|0>,

(28b)

u . JuN u

where w =-sech

^ 2

uN

■X

. In this case, the superposition N00N-state has the form

IN00N> = — (\N0> + eiNe°\0N>),

(28c)

where 60 = arccos At the critical value AK>cr = 1.58, SC-state (26) transforms into N00N-state (28) with 60 = n.

In the case when the traps shown in Figure 10(a) are sufficiently elongated, the SJJ model allows considering coupled solitons with spatial freedom along the X-axis, see Figure 11. It is noteworthy that such a model can be implemented on the basis of all-optical Josephson junctions [9] using nonlinear waveguides to form laser light solitons.

A more general version of ansatz (19), which takes into account the spatial freedom of solitons, has the form

Figure 11 - Scheme of bright material-wave solitons moving in opposite directions with momenta Pi = Pi = P/2 and relative distance S, which can be measured through an

estimate of the nonlinear relative phase of solitons. The experimental platform is represented by two highly asymmetric (cigar-shaped) condensates held by the doublewell potential. d - distance between the centers of the traps

1

2

N12 [ü

Vi2=-tt hsech 1,2 2 V N

uNi,2 f Y x

exp

_ p

Mii + i^ix-Xit)

where X1i2 and P2 = — P1 = P/2 play the role of the coordinates of the center of mass of the corresponding soliton at the initial moment of time and their momentum, respectively. The system of coupled mobile solitons is shown in Figure 11. In this reference system, solitons move in opposite directions with momenta

1.2

= P/2. They are separated in two

dimensions by the distances S = X2 — X± and d, which is the distance between the two wells. The latter is implicitly included in the tunneling parameter k, since the Josephson coupling energy depends on the overlap of the wave functions of condensates in this direction.

The master equations describing this system have the form

1 d

0=AKz + 2~ [(l-z2)i\; (30a)

* = -2(1-z2)dê; (30b)

1 0 dl 8 = 2\k\P - (1- 2}~^P] (3°c)

• . „ dl

P = (1-Z)~d8' (3°d)

where the dots denote the derivatives with respect to the dimensionless time t = 2\k\t; S =

X 2— X± ,P = P2-P1,z = N 2-Nl, and 0 = 02 — 0± are four variational variables required

to describe the dynamics of mobile solitons. In turn, the functional l(z) in the case of mobile solitons has a more complex structure than (23):

1 fœ cos [ 6 + 2Px/Nu]dx

I = —

œ

2 f_œ cosh[x - z8 uN/4] + cosh[zx - S uN/4]' (31)

Figure 12 - (a-d) the mode of small oscillations of solitons at AK = 2 for in-phase solitons 0(0) = 0 (blue line) and AK = 3 for out-of-phase 0(0) = n (red dash-dotted line); (e-h) mode of small oscillations of initially diverging out-of-phase solitons

at AK = 4

As seen, Eqs. (30) are reduced to Eqs. (22) for S, P « 1, while functional (31) takes the form (23).

The dynamics of the amplitude-phase and kinematic parameters of coupled BEC solitons in a trap are revealed as functions of AK Figures 12 and 13 show the results of numerical modeling of the main dynamics modes for the phase difference 0 (a,e), the population imbalance z (b,f) of solitons, their relative coordinate S (c,g) and relative momentum P (g,h). For small-amplitude oscillations (Rabi-oscillations), characteristic (normalized) frequencies

were obtained for initially out-of-phase solitons (0(0) =n) = V2.42 +AK, as well as for in-phase solitons (0(0) = 0) Q0 = V2.42 — AK. It is shown that in this case the coordinate

and momentum of the solitons oscillate at frequencies = JK^ — Ak) and n0>5 =

■J1(lT + Ak), respectively. It is revealed that at A> n2/3 initially out-of-phase solitons start

to scatter (along the X-coordinate, see Figure 11), which ultimately leads to the termination of tunnel exchange and the establishment of stationary amplitude and phase, see Figure 11(e-

h). A similar transition also takes place for the amplitude-phase oscillations of in-phase solitons, seen from the expression for H0, which leads to the running phase regime at Ak > 2.42, see Figure 13. At the same time, irregular modes of switching between self-trapping and nonlinear oscillations of the population imbalance of large amplitude are observed, see Figure 13(b). The coordinate and momentum also oscillate nonlinearly near zero.

Eqs. (30) for mobile solitons admit a stationary solution similar to (25), leading to the N00N-state formation. In the limit z = ±1, functional (31) can be analytically estimated as

\nP-

n

I = — sech 2

uN

cos

PS

e + sign (z) —

4cos[e],

(32)

-sech -p' cos [p5q1

2 .uN. . 2 .

and 0 < AK < A. The last expression in (32) is valid at times z «zcr = S0/P « 2.16 ms; thus, the measurement procedure should be performed in time

meas

< T- cr •

In the second chapter, a new method for the formation of the maximally entangled N00N-state of coupled solitons possessing spatial freedom is proposed for the first time. The state has the form

1

|0> = (|o(+)) + ew"№(-))),

J2

(33)

0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30

T T T T

Figure 13 - unstable dynamic regime of initially in-phase solitons at A k = 5

where its "halves" are defined as |o(±)) = ^[f^dz^&a^l)] |0),

, and 6N = N60 = Narccos [Äf].

and

, VuN ,

O =-sech

Consider a projective measurement procedure based on the operator (see [26]):

t = IN0)(0NI + I0N)(N0l (34)

Averaging (34) over state (33), we obtain

(£) = cos[N60]. (35)

Similarly, the variance of the operator has the form

((A£)2) = sin2[N60l (36)

As seen from (33), the phase shift of solitons 00 appears in combination with the number of particles N, and therefore can be measured with high accuracy, determined by this particle number. In fact, some parameter x associated with 00 can now be estimated with an accuracy determined by the error incursion formula (see [27]):

Ax =