Динамика открытых оптических квантовых систем в режимах сильной и слабой связи тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Вовченко Иван

• Вовченко Иван
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Вовченко Иван

Введение

Глава 1. Обзор широко применяющихся марковских методов

для описания диссипации открытых квантовых систем

1.1 Уравнение Горини-Косеаковского-Сударшана-Линдблада

1.2 Глобальный подход

1.3 Локальный подход

1.4 Частично-секулярный подход

Глава 2. Особые точки открытых квантовых систем

2.1 Особые точки

2.2 Режим сильной связи внутри открытой квантовой системы, создаваемый окружением

Глава 3. Потоки тепла через открытую квантовую систему, при её переходе в режим сильной связи. Немонотонная

динамика температур резервуаров

3.1 Управляющие уравнения для открытой квантовой системы двух взаимодействующих двухуровневых систем

3.2 Потоки тепла через открытую квантовую систему

3.3 Связь максимизации удельного потока тепла через открытую квантовую систему с её переходом в режим сильной связи

3.4 Немонотонная динамика температур резервуаров

Глава 4. Асимптотические предельные переходы

частично-секулярного подхода

4.1 Асимптотический переход в локальный подход

4.2 Асимптотический переход в глобальный подход

Глава 5. Создание долгоживущего запутанного состояния в

системе двух сильно связанных кубитов, при помощи

некоррелированных дефазирующих резервуаров

5.1 Понятие запутанности

5.2 Управляющее уравнение

5.3 Временная динамика запутанности

Глава 6. Описание эрбиевого лазера, как открытой квантовой

системы

6.1 Управляющее уравнение

6.2 Лазерные уравнения открытой трёхуровневой системы

6.3 Сравнительный анализ со скоростными уравнениями и сглаживание порога генерации излучения

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика открытых оптических квантовых систем в режимах сильной и слабой связи»

Введение

Физика открытых квантовых систем является быстро развивающейся областью современной квантовой физики. Объектом исследования данной науки является выделенная квантовая система, взаимодействующая с большим числом степеней свободы окружающих её квантовых систем. Такая выделенная квантовая система называется открытой квантовой системой (ОКС). Окружающие её квантовые системы называются её окружением или резервуаром. Число степеней свободы в окружении предполагается много большим числа степеней свободы в открытой квантовой системе. Таким окружением может быть поле фотонов, фононов, электронный газ и т.п.

Основной задачей теории ОКС является построение моделей, способных описать эту динамику, используя наименьшее число независимых переменных, что уменьшает размерность системы. Действительно, ОКС вместе со своим окружением составляет замкнутую квантовую систему. Описание замкнутых квантовых систем возможно при помощи уравнения Шрёдингера [1—6] или эквивалентного ему уравнения фон Неймана [7—9]. Однако, размерность полученной системы уравнений будет пропорциональна числу частиц в окружении ОКС, которое может быть крайне велико. Поиск решений и моделирование такой системы уравнений является очень трудозатратной и вычислительно сложной задачей. То есть, другими словами, основной задачей физики открытых квантовых систем является построение моделей, способных описать динамику ОКС, исключая динамику окружения, или сводя её описание к минимуму.

Кратко приведём здесь список областей прикладной науки, для которых характерно возникновение задач, требующих глубоко развитой теории физики открытых квантовых систем. Далее рассмотрим каждое из этих приложений подробнее. Подобные задачи возникают в сенсорике [10; 11], фотонике [12; 13], нанофотонике [14; 15], квантовом транспорте [16; 17], биологии [18], химии [19], лазерной технике [20—22], квантовых вычислениях [23; 24], манипуляциях с квантовыми объектами [25; 26] и во многих других областях современных квантовых технологий. Помимо этого, модели открытых квантовых систем активно адаптируются исследователями в междисциплинарных областях, таких как теория игр [27; 28], финансы [29; 30], социология [31; 32] и урбанистика [33].

Как уже было обозначено выше, описание замкнутых квантовых систем происходит при помощи уравнения Шрёдингера [1—6] или эквивалентного ему уравнения фон Неймана [7—9]. В таких системах энергия, импульс и число частиц являются интегралами движения [4; 34]. Напротив, в ОКС, эти величины уже не являются интегралами движения, так как система, в общем случае, обменивается энергией, импульсом и частицами со своим окружением [35—41].

Такая динамика приводит к изменению состояния не только ОКС, но и окружения. Если замкнутая система, состоящая из ОКС и её окружения, описывается эрмитовым гамильтонианом со счётным набором собственных частот, то в такой системе должны возникать циклы Пуанкаре [42—44], то есть динамика данной системы будет обратимой. Действительно, прямое моделирование ОКС, взаимодействующей с резервуарами с конечным числом мод, показывает возможность такого поведения [45]. Однако, обычно плотность состояний окружения велика, а число мод можно считать бесконечно большим. Взаимодействие ОКС с таким окружением приводит к необратимой динамике [44]. Уравнения, которые описывают динамику ОКС, называются управляющими уравнениями

[35].

В часто применяемых подходах к описанию динамики ОКС, состояние окружения считается постоянным во времени [35; 37—39; 41; 46—48]. Такой подход оправдывается тем, что из-за огромного числа степеней свободы окружения, динамика ОКС не может в значительной степени повлиять на её состояние. Наложение данного условия также делает динамику ОКС необратимой.

Отличительной особенностью моделей ОКС, описывающих необратимую динамику, является возможность наличия как одинаковых собственных значений системы, так и коллинеарных собственных состояний [49]. Подпространство параметров системы, на котором некоторые собственные состояния становятся коллинеарными, а соответствующие им собственные значения совпадают, называется особым (exceptional). На практике, обычно приходится говорить об особой точке (exceptional point) системы [12]. Число коллинеарных собственных состояний с совпавшими собственными значениями называется порядком особой точки.

Обычно особая точка возникает в случае, когда ОКС состоит из взаимодействующих подсистем, например: два взаимодействующих кубита [50], два взаимодействующих волновода [49] и т.п. Строго говоря, особенное подпространство

параметров в таких задачах не является точкой, а является гиперповерхностью. Однако, из-за особенностей экспериментальных реализаций данных систем, в литературе закрепилось название — особая точка (exceptional point) [12; 49]. Также отметим, что особая точка может присутствовать не только в открытых квантовых системах, но и в классических системах с диссипацией [13].

Одним из подходов к описанию динамики открытой системы (не обязательно квантовой) является составление эффективного гамильтониана, в котором потери энергии учтены, как мнимые добавки к частоте [12; 13; 49]. При выполнении определённых условий, накладываемых на параметры открытой системы, такие гамильтонианы становятся PT-симметричными неэрмитовыми гамильтонианами [13; 51—66].

Пусть оператор Р : р ^ —р, х ^ —х — это оператор пространственного отражения. Пусть оператор Т : р ^ —р, х ^ х, i ^ —i — это оператор отражения по времени. Гамильтониан Н называется PT-симметричным, если он коммутирует с оператором РТ, то есть [Й,РТ] = HPT — РТН = 0.

Несмотря на то, что гамильтониан коммутирует с оператором РТ, они не обязательно обладают одним набором собственных состояний, так как оператор РТ не линейный, а антилинейный. Говорят, что PT-симметрия гамильтониана не нарушена, если все собственные состояния гамильтониана являются также и собственными состояниями оператора РТ. Спектр таких гамильтонианов действителен, хотя сами гамильтонианы могут быть неэрмитовыми [13; 51—57; 62; 67].

В PT-симметричных системах с особой точкой, при переходе через особую точку, происходит нарушение PT-симметрии [13; 53]. В частности, это выражается в том, что собственные значения гамильтониана становятся комплексными [13; 49]. При рассмотрении таких систем можно ввести параметр порядка и показать, что при переходе через особую точку происходит фазовый переход второго рода [13].

Множество возможностей для реализации PT-симметричных систем и анализа неэрмитовых гамильтонианов возникло в оптике. Это связано с тем, что условие PT-симметричности гамильтониана равносильно тому, что для потенциала выполняется условие U(г) = U*(—г). В оптике профиль коэффициента преломления может играть роль внешнего потенциала. В частности было показано, что в одномерных периодических структурах за счёт комбинации брэгговского

рассеяния и РТ-симметрии системы можно добиваться эффекта односторонней невидимости [68—72] (за счёт использования волн постоянной интенсивности можно подавить излучение и в ближней зоне [53; 73; 74]) и конструировать линзы без аберраций [75].

В лазерных системах, из-за корневого расщепления спектра вблизи особых точек системы, можно конструировать лазеры с подпороговой генерацией на основе параметрической неустойчивости [22; 76]. Также переход через особую точку обеспечивает переход в режим одномодовой генерации: за счёт нарушения РТ-симметрии происходит селективное усиление и подавление мод [77— 81]. Одновременное наличие потерь и накачки в лазерных системах позволяет создавать системы с лазирующе-поглощающими модами [82; 83].

Разрушение РТ-симметрии при переходе через особую точку проявляется в виде локализации поля в одной моде. Иногда это может быть напрямую связано с пространственной локализацией поля. В случае двух связанных волноводов, при наличии РТ-симметрии, моды локализуются в обоих волноводах сразу. При нарушении РТ-симметрии, моды локализуются, в основном, в каждом из волноводов, что приводит к асимметрии в системе [84; 85]. Также разрушение РТ-симметрии приводит к ослаблению затухания поля в волноводе при увеличении потерь [86] (в данном случае речь идёт о разрушении скрытой РТ-симметрии).

Наличие особенного подпространства в открытой системе, в частности наличие особой точки, предполагает наличие дополнительных топологических свойств системы. Действительно, за счёт адиабатического обхода вокруг особой точки можно получить набег геометрической фазы в системе, тем самым топологически перекачав энергию между модами [87—97]. Также РТ-симметричные системы могут быть использованы для топологически защищённой передачи информации при комнатной температуре [98].

Помимо выше перечисленного, особые точки крайне интересны для сенсорики, так как предполагается, что корневое расщепление спектра системы в особой точке позволит строить высокочувствительные детекторы [10; 99—103]. Чувствительность детекторов зависит от порядка особой точки: расщепление собственных значений пропорционально корню степени порядка особой точки от возмущения, внесённого в систему детектируемым объектом. Поэтому особые точки высокого порядка представляют большой интерес [11; 66; 104—108].

Стоит отметить, что реализация таких сенсорных инструментов на нано-масштабах сталкивается с трудностями подавления квантовых шумов. Увеличение шума связано с неортогональностью мод в особой точке. Оно, в свою очередь, ограничивает разрешающую способность данных сенсоров за счёт ширины линии, тем самым нивелируя преимущества сенсоров на основе особой точки перед другими наномасштабными сенсорными приборами [10; 109—113].

Модели ОКС применяются и в тех областях физики, где наличие особой точки не играет важной роли. Рассмотрим приложения моделей ОКС, обозначенные выше, более детально. Так, данные модели оказываются весьма полезны для описания спектроскопии одиночных молекул [114—120], спектроскопии на основе Рамановского рассеяния [121—124] и Рамановского лазера [121].

В химии и биологии [125—130], и при проектировании наноустройств, [16— 18; 131; 132] часто возникают задачи, связанные с квантовым транспортом вдоль длинных молекул. Для решения данных задач также применяются модели ОКС. Помимо этого, ответвление квантовой химии — поляритонная химия, изучает химические свойства вещества, при его взаимодействии со светом. Описание поведения данного вещества и света происходит, в частности, в рамках методологии физики ОКС [14; 19; 133—137].

В лазерной технике, для описания динамики интенсивности электромагнитного поля в активной среде и для описания динамики средней заселённости атомов активной среды, обычно применяются скоростные уравнения [138— 141]. Данные уравнения также можно отнести к моделям ОКС, однако они не учитывают эффект спонтанного излучения атомов активной среды и не дают представления о взаимосвязи времени жизни уровней атомов активной среды и их температуры. Применение более точных моделей ОКС позволяет учесть влияние спонтанного излучения и температуры активной среды [20; 21; 142— 148]. Также, благодаря корректному описанию эффекта сильной связи между лазирующей модой и активной средой, можно формировать когерентное излучение в подпороговом режиме генерации при помощи наноразмерных источников [149].

В областях технологий, связанных с квантовыми вычислениями, важно поддерживать долгоживущие запутанные состояния кубитов [150]. Модели взаимодействия кубитов со своим окружением помогают понять динамику их засе-лённостей. Считается, что взаимодействие системы связанных кубитов с окру-

жением негативно влияет на сохранение запутанности [151]. Особенно ярко данное негативное влияние проявляется, если ОКС связанных кубитов взаимодействует с некоррелированными дефазирующими центрами [152]. Такими центрами могут выступать ядра молекулы и другие колебательные степени свободы [121; 123].

Однако, взаимодействие с окружением может не только разрушать запутанность. Оно может помогать её сохранять и генерировать. Так, было показано, что за счёт взаимодействия кубитов с окружением, можно конструировать квантовые гейты [24], получать стационарные запутанные состояния [23; 153— 166] и квазистационарные долгоживущие запутанные состояния даже при наличии некоррелированных дефазирующих центров в системе [167].

Управление квантовыми объектами, например с помощью плазмонных пинцетов [25; 26; 168—173], является важной задачей в дизайне квантовых систем. Также на основе плазмонов можно конструировать потенциальные ловушки [124; 174—178] и наномоторы [179; 180]. Диссипация энергии из плазмонов, понижает эффективность работы данных наноструктур. Корректное описание данного процесса, при помощи моделей ОКС, позволяет понимать его и контролировать [181—188]. Также плазмоны могут сами выступать в роли окружения открытой квантовой системы, образуя плазмонный резервуар [189].

Кроме этого, модели ОКС применяются в междисциплинарных областях. Так, в теории принятия решений и теории игр поведение агентов может быть описано в терминах управляющих уравнений ОКС [28; 190—197] или при помощи других моделей ОКС [27; 192; 196—199]. Отдельно можно отметить теорию социального лазера, которая описывает поведения индивидуумов и групп под влиянием коррелированного воздействия извне [31; 200; 201]. На основе управляющего уравнения для ОКС можно построить модель, которой можно попытаться оценивать стоимость активов в долгосрочной перспективе [29].

Несмотря на прикладной характер данных исследований, агенты в них обычно принимают абстрактные решения, которые могут относиться к различным сферам жизнедеятельности. Поэтому, данные модели потенциально применимы как к прогнозированию спроса на товар, так и к описанию повседневного взаимодействия людей, так и к описанию формирования политических альянсов. Обозначенные исследования являются частью новой развивающейся науки: квантовой социологии [30; 32; 202; 203]. Основная цель данных исследований за-

ключается в попытке описания аспектов поведения индивидуума и социума в целом при помощи моделей, аналогичных квантово-механическим моделям для описания физических систем.

Помимо практического интереса, описание динамики ОКС представляет большой теоретический интерес. Первый важный теоретический аспект связан с тем, что динамика ОКС не описывается уравнением Шрёдингера. Значит, в общем случае, не гарантированно, что диагональные элементы матрицы плотности будут положительными, матрица плотности будет эрмитовым оператором, след матрицы плотности будет равен единице, а сама матрица плотности будет положительно (или вполне положительно) определённым оператором [204— 206]. Данная проблема важна, так как обозначенные свойства матрицы плотности связаны с её физической интерпретацией и интерпретацией измеряемых величин. Однако, некоторые исследователи допускают, что вполне положительность матрицы плотности и положительность матрицы плотности во все моменты времени не обязательна для приближённого количественного описания динамики ОКС [207].

Второй важный теоретический вопрос связан с выполнением начал термодинамики на наномасштабах. ОКС взаимодействует с окружением, обмениваясь с ним энергией и частицами. Если предполагается, что состояние окружения постоянно, то ему приписывается температура [35; 37; 39; 48]. Соответственно, можно предположить, что для потоков тепла между ОКС и её окружением должны выполняться первое и второе начала термодинамики. Однако, при таком рассмотрении начала термодинамики должны вводиться в задачу не феноменологически, а должны следовать из уравнений, описывающих динамику ОКС.

На сегодняшний день про некоторые модели для описания динамики ОКС известно, что они сохраняют все необходимые свойства матрицы плотности [35; 204—206; 208], а некоторые — нет [209]. Аналогично, для некоторых моделей динамики ОКС начала термодинамики выполняются [210—212], а для некоторых — нет [213].

Модели ОКС разделяются на два класса по наличию памяти в системе: марковские и немарковские. В марковских моделях динамическое отображение системы между двумя точками по времени равно произведению динамических отображений системы из начальной временной точки в промежуточную вре-

менную точку и из промежуточной временной точки в конечную [35]. Описание динамики ОКС в марковском подходе сводится к решению системы дифференциальных уравнений [35; 40].

Таким образом, в марковских моделях в системе отсутствует долгосрочная память: корреляторы операторов затухают экспоненциально и вычисляются в конкретной точке по времени [35]. Марковское описание, обычно, не учитывает влияние ОКС на окружение [9; 35; 214; 215]. Из этого следует, что, марковское описание динамики ОКС приемлемо в режиме слабой связи ОКС с её окружением: энергия взаимодействия между ОКС и её окружением — много меньше энергии самой ОКС.

С другой стороны, немарковские модели учитывают возможное наличие памяти в системе [216]. Корреляторы в таком описании считаются медленно затухающими, а система — сильно связанной со своим окружением: энергия взаимодействия между ОКС и её окружением — порядка энергии самой ОКС. Существует множество немарковских методов описания динамики ОКС. Кратко перечислим некоторые из них здесь: техника проекционных операторов Цван-цига [217—223], Келдышевская техника неравновесной функции Грина [224— 234], вычисление интегралов по траекториям [130; 235—239], применения преобразований Боголюбова к гамильтониану окружения и гамильтониану взаимодействия между ОКС и окружением (reaction coordinate mapping) [240—243] и предельный случай такого описания ОКС (TEDOPA mapping [244—248]), NIBA аппроксимация [249—256], управляющие уравнения в поляронном представлении [257—265], метод замещающего гамильтониана (ограничение числа мод, содержащихся в окружении) [43; 266—271], метод стохастического замещающего гамильтониана [272—278], пост-марковские управляющие уравнения — феноменологические управляющие уравнения со средним характерным временем затухания корреляторов (интегро-дифференциальные уравнения с довольно быстро затухающими корреляторами, но не дельта-функциональными) [279—285].

Так как данные модели учитывают наличие памяти системы о своих предыдущих состояниях, они часто сводятся к интегро-дифференциальным уравнениям, которые технически сложно решать [35; 220; 221]. Марковские же подходы, с технической точки зрения, намного проще, так как описывают динамику ОКС при помощи системы дифференциальных уравнений.

Стандартным марковским подходом является составление уравнения Го-рини-Косеаковского-Сударшана-Линдблада (ГКСЛ) для ОКС [167; 204; 208; 214; 215; 286—293]. Этот подход ещё называют глобальным или секулярным. Данный подход обладает рядом необходимых свойств. Так, уравнение ГКСЛ сохраняет положительную определённость матрицы плотности [35; 204; 208]. Также данное уравнение сохраняет след и эрмитовость матрицы плотности. Таким образом, если матрица плотности в начальный момент времени является положительно определённым эрмитовым оператором, со следом равным единице, то она будет оставаться таковой на протяжении всей своей эволюции под действием уравнения ГКСЛ.

Уравнение ГКСЛ согласовано также и с началами термодинамики. Из его формы следует выполнение первого начала термодинамики [50; 287; 294] и второго начала термодинамики в форме Клаузиуса [210; 211]. Однако, в некоторых ситуациях, оно может прогнозировать существенно ненулевые потоки энергии между не взаимодействующими системами [50].

Микроскопический вывод данного управляющего уравнения заключается в усреднении всех осциллирующих членов, возникающих при записи уравнения фон Неймана в представлении взаимодействия, считая состояние окружения постоянным. Если при тех же предположениях не усреднять осциллирующие члены, то получившееся управляющее уравнение называют управляющим уравнением Редфилда [295—307].

Если в представлении взаимодействия усреднить только быстро осциллирующие члены, то получится, так называемое, управляющее уравнение ча-стично-секулярного подхода [205; 308—312]. Данный подход основывается на уменьшении крупнозернистости производной в уравнении ГКСЛ. Сама методология изменения масштаба данной крупнозернистости может быть различной [206; 313—320].

Помимо уравнения ГКСЛ, локальное по времени управляющее уравнение можно получить, вычисляя кумулянты уравнения фон Неймана в представлении взаимодействия [236; 318; 321—329], либо составляя иерархические уравнения движения [237; 239; 330—332], или используя метод псевдо мод [333; 334]. Последние методы могут быть использованы для учёта сильной связи ОКС с окружением.

Несмотря на то, что обозначенные методы описания динамики ОКС являются марковскими, они всё ещё остаются технически сложными для реализации. Основной технической сложностью этих методов является необходимость точно знать собственные состояния и собственные значения гамильтониана ОКС. Особенно сильно данная проблема проявляется в системах, состоящих из множества взаимодействующих подсистем.

Из-за этой технической сложности, появился ещё ряд подходов для описания динамики ОКС, которые не требуют точного вычисления собственных значений и собственных состояний гамильтониана ОКС. Одним из наиболее распространённых таких подходов является локальный подход [12; 212; 213; 287; 294; 309; 335—338]. Данный подход называется локальным, так как уравнение ГКСЛ составляется не для всей ОКС, состоящей из взаимодействующих подсистем, как для единого целого, а для каждой подсистемы в отдельности. Затем получившиеся диссипаторы складываются, а взаимодействие между подсистемами учитывается в эрмитовой части уравнения.

Управляющие уравнения, полученные в локальном подходе, отличаются от управляющих уравнений, которые описывают динамику невзаимодействующих подсистем уравнениями ГКСЛ, только эрмитовой частью. Соответственно, управляющие уравнения локального подхода, аналогично уравнению ГКСЛ, сохраняют положительную определённость матрицы плотности, её след и эрми-товость [336; 338].

Однако, термодинамические свойства локального подхода уступают термодинамическим свойствам уравнения ГКСЛ. Так, известно, что в локальном подходе может нарушаться нулевое [311; 339] и второе [213] начала термодинамики. В работах [212; 213; 337] было показано, что нарушение второго начала связано с тем, что локальный подход к описанию диссипации ОКС является нулевым порядком теории возмущений по константе связи между подсистемами, в то время как потоки энергии имеют второй порядок малости по данному параметру. В работах [212; 337] было показано, что учёт более высоких порядков теории возмущения для диссипаторов уравнения ГКСЛ позволяет восстановить выполнение второго начала термодинамики.

Восстановить выполнение второго начала термодинамики в локальном подходе также можно, использовав его «кластерную» модификацию [338; 340]. В данном подходе близколежащие частоты ОКС объединяются в кластеры. Все

частоты кластера заменяются одной эффективной частотой (это соответствует разложению Фурье-образов корреляционных функций резервуаров в уравнении ГКСЛ в ряд Тейлора до нулевого порядка одновременно с заменой гамильтониана системы на приближённый). Также, в данном подходе выполнено и нулевое начало термодинамики: стационарным состоянием ОКС является распределение Гиббса, если температуры резервуаров в системе равны.

Схожим подходом является подход позиционно и энергетически разрешающего уравнения Линдблада (РЕЯЬт^ [341; 342]. В данном подходе операторы в диссипаторах строятся феноменологически и таким образом, чтобы описывать те переходы, которые необходимы по постановке задачи. Эти переходы могут не совпадать с переходами между собственными состояниями ОКС. Распределение Гиббса не является стационарным состоянием для данного подхода, что может приводить к нарушению второго начала термодинамики [341; 343].

Также к марковским подходам описания динамики ОКС относятся столк-новительные подходы (подходы повторяющихся взаимодействий), в которых окружение ОКС взаимодействует с ней каждой из своих мод на разном масштабе времени [336; 344—348]. Соответственно, можно считать, что в каждый момент времени эволюции ОКС она взаимодействует с ограниченным набором мод своего окружения, и для каждого момента времени этот набор мод будет своим.

Наиболее часто используемыми в исследованиях марковскими подходами являются локальный и глобальный подходы. Обозначенные выше минусы обоих подходов ставят вопрос о границах их применимости. Так, из общих соображений понятно, что для того, чтобы применять глобальный подход, необходимо, чтобы связь между подсистемами была намного сильнее скоростей их диссипации. В таком случае действительно логично трактовать ОКС, как единое целое, с точки зрения диссипации энергии [287; 294; 309; 311]. Такой режим диссипации называется режимом сильной связи (внутри ОКС).

С другой стороны, из аналогичных общих соображений понятно, что для того, чтобы применять локальный подход, необходимо, чтобы связь между подсистемами была намного слабее скоростей их диссипации. Действительно, в таком случае логичнее трактовать ОКС не как единое целое, а как набор связанных ОКС с раздельной диссипацией [287; 294; 309; 311]. Такой режим диссипации называется режимом слабой связи (внутри ОКС).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Вовченко Иван, 2024 год

- { - -

V (У2(У2(У 1 )

А2 + 4&2

/ 2УА2+4п2 -{- - УА2 +4Р2-{- - \

1 А-УА++4Ш(У1(У 1( 2 - п °2° 2( 1 \ 2УА2+4п2 -1 - - , УА2+4П2 -1 - -- А+у А2^4П2 1(2 + 72727 1 -2УА2+4П2 - , УА2+4П2 - пУА2+402 -1 - -Ь+УА+П?0 1 + + 72 - 21(2 2УА2+4П2 - УА2+4П2 - , 0УА2+4П2 -1 - -V А-у ¿\2+пп'2 71 -72 + -172 У

(3.14)

Так как в данных переменных матрица системы дифференциальных уравнений (3.5) имеет диагональный вид, то сама система имеет следующие решения, получаемые после подстановки начальных условий вида А(0) = А для операторов в представлении взаимодействия:

-2У А2+4П2 - , У А2+4П2 - о У А 2+4П2 -1 - -—+УА2+40,2° 1 + п 72 - ^ п 172 =

( -2УА2+4П2 - , УА2+4П2 - 0УА2+4П2 -1 - - А „ЛЛ = {-+уА2+402 О1 + П (2 - 2Л/ п а1а1ау е + ,

2УА2+4П2 - УА2+402 - , о УА2+402 -1 - -А-—у ¿\2+°п'2 71 2 0 1О 2 =

( 2УА2+402 - УА2+402 - , 0УА2+402 -1 - - А „Л г " А-у А2+А02 О1 (2 + п 717172) е - .

(3.15)

(3.16)

Складывая данные уравнения получаем представление взаимодействия для оператора 01:

„ у+2л/у2/4+1 х Л

01(0 = I +-2 - ^^ | ехр(Л-£)+ (3.17)

1() 1 2^/4+1 Р( ) ' '

л у-2Уу2/4+1 л х л \

, 1 -2--({О1О2 | м

+ 1 2^/4 + 1 + 1 ехр(Л+4^

Здесь у = А/&. При выводе данной формулы применён тот факт, что тождественно верно следующее соотношение для константы связи между ДУС: П2 = -(А + У А2 + 4&2)(А - У А2 + 4П2)/4.

Представление взаимодействия для оператора о2 получается из представления взаимодействия для оператора 71 заменой индексов 1 <—> 2 (это также включает в себя замену у ^ —у, так как индексы частот ДУС также нужно поменять местами)

у-2у/у2 / 4+1

*2-2--+ *1 *2*2*1

*2® = 1 ; г^-^ - - г?шЧ I ехР ) + (3.18)

1 V У2/4 + 1 л/у2/4 + 1*

у+2-у2/4+1 л х л \

+ 1 --* + Ч*2'1 I ехр (Х+1).

Для дальнейших выкладок более удобен другой формат записи представления взаимодействия для операторов: а1,2

= А12 ехр (-г(ей + П)^ + В12 ехр (-г(С - П)^ , (3.19)

где

А1 = 2^ 1+ '2 - 2'}а1а^ , (3.20)

* 1 / Л у- 2г Л + Л Л \

В1 = 2г V -а1—2--а2 + 2*1*1*2 \ ,

* 1 Л -у + 2г Л + Л Л \

А2 = 2г\ '2-2--+а1 - 2*2*2*1 ,

* 1 / у + 2г * + ь * \

В'2 = 2г\ *2—2--*1 + 2*2*2*1 ) .

Здесь введены следующие вспомогательные величины: ее = (ш1 + с2)/2 — среднее частот первой и второй ДУС, П = л/А2 + 4П2/2 — модифицированная, за счёт ненулевой расстройки между ДУС, константа дипольного взаимодействия между первой и второй ДУС, г = у7у2/4 + 1.

Заметим, что в выражении представления взаимодействия для ди-польно-взаимодействующих осцилляторов (1.17): ехр(гН^)а1 ехр(-гН^) = — (*е-г+ се-гАналогично, в выражении представления взаимодействия (1.18): ехр(гHst)а2 ехр(-Hst) = (Ъе-- ае-). Выражение (3.19) по форме не отличается от данных выражений. Соответственно, для него можно записать все возможные суммы разниц собственных частот гамильтониана ОКС аналогично (2.1). Действительно:

—о 3

-03 -2(00 + 0)

-оа

-20

~Оп

о*

о а

-2(0 0

-20

-2(0 - 0) 20 0

о 3

0 20

Оа

-201 0

2(0 + 0) 20 20 2(0 - 0)

(3.21)

Здесь 03 = 0 + 0,, 0а = О — 0.

Составление управляющего уравнения частично-секулярного подхода происходит путём усреднения быстрых частот из (3.21) и рассмотрения вклада медленных. Будем считать, что 0 ^ О. Так как по форме (3.21) не отличаются от (2.1), управляющее уравнение частично-секулярного подхода на матрицу плотности двух дипольно-взаимодействующих ДУС можно получить из управляющего уравнения на матрицу плотности двух дипольно-взаимодейству-ющих осцилляторов (2.2), подставив вместо приэкспоненциальных операторов из (1.17) и (1.18) приэкспоненциальные операторы из (3.19).

Произведём в управляющем уравнении (2.2) следующие замены параметров и операторов: о ^ о, 0 ^ 0, заменим Ь ^ А1, с ^ В1 в слагаемых ] и ], и заменим Ь ^ А2, —с^В2 в слагаемых &2[ря] и СР82[ря]. Получаем управляющее уравнение для ОКС двух взаимодействующих ДУС:

^ = -[Й8,ря] + ((1) ^ (2)) +

°1(—0 з)Ь[А1Д] + Щ^ЬАЛ^

2 ЧВ.Д ] + В1]+

+ С1-(-0а) + С1+(—03) ЦА1 В\] + С1-(-(°а) - С1+(-(03)

(3.22)

2

С1(-0а)

2 Г~1' ^ ' 2 С1-(03) + С1+(0а) -г-1 С1-(03) -С1+(0а) --2-Ь[В1 'А1] +-2-

В\Аър8

+

С1-(0а) + С1+(0з) 2

ь[А\А] +

С1-(0а) - С1+(0з)

АВ ,рз

ва , ря

+ +

+ С1-(-0з) + С1+(-(Оа) А] + °1-(—0з) - ^1+(-(0а)

2

АВърв

Здесь слагаемое ((1) ^ (2)) — означает прибавление слагаемых, аналогичных следующим далее, с соответствующей заменой индексов 1 ^ 2. В данном управ-

+

ляющем уравнении пренебрежено слагаемыми сдвигающими собственные частоты гамильтониана ОКС: Е8[Дд].

Управляющее уравнение глобального подхода получается из полученного управляющего уравнения частично-секулярного подхода занулением всех слагаемых диссипаторов, пропорциональных неполным Фурье-образам, вместе с занулением слагаемых вида: СЕ8[ аs]. Таким образом, получаем:

= -[Н,М + ((1) ^ (2)) + (3.23)

+ о^ - й„*[В1М + тм

В данном управляющем уравнении мы также пренебрегли слагаемыми, сдвигающими собственные частоты гамильтониана ОКС: Е8[ аs].

Для получения управляющего уравнения в локальном подходе, необходимо вычислить представление взаимодействия для операторов *^ без учёта взаимодействия между первой и второй ДУС. Так как коммутатор %[а\*1,'1] = -Ишх'х (аналогично для оператора *2), используя формулу (1.8), получаем *1 ¿(1) = *12е-г. Из данного представления взаимодействия получаем управляющее уравнение локального подхода на матрицу плотности двух дипольно-взаимодействующих между собой ДУС, каждая из которых дипольно-взаимо-действует со своим резервуаром излучения:

^ = - ^,аs] + ((1) ^ (2)) + ^^и*,М] + ^**'*]• (3.24)

ы

Как и ранее, в данном управляющем уравнении пренебрежено слагаемыми, сдвигающими собственные частоты гамильтониана ОКС: Е8[Дд].

3.2 Потоки тепла через открытую квантовую систему

Изменение энергии ОКС выражается в изменении среднего значения её гамильтониана. Среднее значение гамильтониана ОКС вычисляется аналогич-

но вычислению средних амплитуд и заселённостей: ( Hs) = tr(Hsps)• Соответственно, изменения средней энергии ОКС во времени описывается следующим уравнением:

^ = tr( Hs PS). (3.25)

В соответствии с формулой (2.8), эрмитовые части управляющих уравнений во всех обозначенных подходах не вносят изменения в среднюю энергию ОКС. Таким образом, изменение энергии ОКС связано с её взаимодействием с окружающими её резервуарами.

Как видно из выводов управляющих уравнений на матрицу плотности в частично-секулярном, глобальном и локальном подходах, диссипаторы, частотные сдвиги и комплексные частотные сдвиги ОКС всегда представляются в виде суммы соответственно диссипаторов, частотных сдвигов и комплексных частотных сдвигов, связанных с различными резервуарами. Принадлежность того или иного слагаемого к определённому резервуару определяется по индексу Фурье-образа корреляционной функции резервуара, который входит в данное слагаемое (в рассмотренных задачах с осцилляторами — это индексы 1 и 2, которые обозначают принадлежность всего данного слагаемого к первому или второму резервуару, соответственно).

Исходя из такого представления слагаемых управляющих уравнений, потоки энергии из резервуара можно определить, как вклады каждого из резервуаров в изменение средней энергии ОКС. Запишем изменение энергии ОКС в разложении по резервуарам:

d(Hs) X - I^гттъг* ^+tr(HsFSMs]) +

dt

£ (ti(HsD j[ps]) + tr(HsFS j\ps]) + tr(HsCFSj[ps. (3.26)

Соответственно, поток энергии из резервуара в ОКС можно определить следующим образом:

З3 = а(Й8 Щр8 ]) + а(Й8 я ]) + 1т(Й8 С¥Б3[р я ]). (3.27)

Заметим, что слагаемые 1т(Й3]) глобального и частично-секулярно-го подходов не вносят вклад в потоки. Действительно, заметим, что оператор

из уравнения (1.4) можно переписать в виде:

& = £ ЗаЬ\а)(Ь\ = £ \а)Ъа,ш. (3.28)

£а—£Ь=Ш а

В последней сумме данного выражения суммирование происходит по всем собственным состояниям гамильтониана ОКС, также здесь введён оператор:

Ьа,Ш = (Ъ\6£а-£ь„. (3.29)

Суммирование в данной формуле также происходит по всем собственным состояниям гамильтониана ОКС.

Таким образом, при вычислении средних значений гамильтониана ОКС, слагаемые рБ]) вносят следующий вклад:

1г([ ^ ф8]Н8) = £ мйДь ) = ^(Н, Ь1Х» ]). (3.30)

а а

Так как энергия всех собственных состояний гамильтониана, входящих в сумму Ьа,ш, равна £ ь = £а — с, то такие коммутаторы равны нулю. Действительно, распишем данный коммутатор:

Н, ь1Х»] = ЕЕза^ Н \ ь1)(ь2\ — \ ь1)(ь2\Н8) = (3.31)

Ь2

££^ ДаЪ 2 (е ь\Ьг)( Ь2\ — \ Ьг)( Ь2\еь) = 0.

Ь\ Ъ2

Таким образом, для глобального и частично-секулярного подходов, формула для вычисления потока энергии из резервуара в ОКС принимает упрощённый вид:

з3 = а(Н8 Щр8]) + а(Н8 СР8,[^]). (3.32)

Несмотря на то, что коэффициенты в слагаемых Б]) и СР8^[ р3]) имеют мнимые части, легко показать, что из общей формы управляющего уравнения на матрицу плотности в частично-секулярном подходе следует, что потоки энергии будут действительными, так как само данное уравнение эрмитово самосопряжённое.

Отметим, что в локальном подходе слагаемые 1г(HsЕ8^[^]) вносят вклад в потоки энергии. Этот вклад не нулевой, так как выражается в сдвиге собственных значений подсистем ОКС, а не собственных значений всей ОКС в целом. То есть, учёт данных слагаемых меняет расстройку между подсистемами ОКС (Ды). Далее мы пренебрегаем данным эффектом. Таким образом, в данной работе, основным определением для потока энергии из резервуара в ОКС будет уравнение (3.32).

Заметим, что в стационарном состоянии сумма потоков в ОКС из всех резервуаров должна равняться нулю, так как d(Hs= 0 в стационарном состоянии. Таким образом:

0 = , (3.33)

где — стационарный поток из ]-го резервуара в ОКС.

Обычно, технически проще реализовать следующую схему вычисления потоков энергии. Сначала составить систему дифференциальных уравнений на энергетические средние значения операторов, входящих в гамильтониан ОКС Hs. Затем расписать производную среднего значения гамильтониана ОКС по времени в виде линейной комбинации производных от средних значений операторов, входящих в гамильтониан ОКС. После этого, подставить в каждую из данных производных её уравнение, а затем объединять слагаемые в получившемся выражении по индексу корреляционных функций резервуаров, выделяя таким образом энергетический вклад каждого из резервуаров.

Применим данный подход для вычисления потоков через интересующую нас ОКС двух дипольно-взаимодействующих ДУС, каждая из которых взаимодействует со своим резервуаром. Производная среднего значения гамильтониана по времени равна:

d(HS) = + ^°2*2) + п ^¡^ + п ^^ (3 34)

dt dt dt dt dt

Таким образом, нам необходимо составить систему дифференциальных уравнений на средние значения заселённостей первой и второй ДУС, и на средние значения перекрёстных произведений понижающих и повышающих операторов, связанных с потоками энергии между ДУС. В локальном подходе данная

система уравнений будет иметь вид:

ь =

( с1(ш1) ^ 02(^2)

\

0 0

/

(3.35)

Мь =

\

—2 1 0 —п п

0 —2 2 гП — п

—п ш —91 — д2 + г Дш 0

ш —п 0 —91 — 92 — г Дш

(3.36)

и (7'7) =

Здесь коэффициент д^ = (С^(—ш^) + С^(ш^))/2 = (ш^)(щ(ш^) + 1/2) ((), , ), (7\72)). Подставляя уравнения для производных в выра-

жение (3.34) и собирая все слагаемые, которые помножаются на Фурье-образы корреляционных функций первого резервуара (Фурье-образы корреляционных функций с индексом 1), получаем уравнение на поток энергии из первого резервуара в ОКС:

= —2ш1д\(а\(71) + ш\С1 (ш\) — 2Пд1Ке(7\72).

(3.37)

. Рассмотрим стационарное значение данного потока энергии. Для этого подставим в выражение (3.91) стационарные значения фигурирующих там средних величин операторов. Вычислим эти стационарные средние значения операторов, занулив левую часть системы линейных дифференциальных уравнений (3.35). Введём вспомогательные обозначения ( 7\7\)а1 = х, (7\72)а1 = у, (7\72)аг = с + гр. В данных обозначениях система уравнений на стационарные значения, интересующих нас средних величин операторов, принимает следующий вид:

—2дхх + 2Пр = —Сх (шх),

< —2я?У— = — (3.38)

— (д\ + д2)с — Дшр = 0,

—Пх + Пу + Дшс — (д 1 + д2)р = 0.

Из данной системы линейных уравнений получаем следующие выражения для её переменных:

с =--А^р, (3.39)

9\ + 92

2Пр + С1(со1) х = —

У =

2 9\

— 2Пр+в2(ш2)

2 92

Подставим данные выражения в четвёртое уравнение системы (3.38). Получаем выражение:

_ ( 2Пр + С1(с1) , —2Пр + С2(Ш2) \ (Ас)2 +

^--о-+-о---.-Р — (91 + 92)Р = 0. (3.40)

V 2 дг 2 д2 ) дг + 92

Таким образом, получаем, что

Р = — / ^, (3.41)

С1(ш1)С2(—со2) — Сг(—1^1)62(^2) 4 (9г + 92) ,

(Ас)2

е = 9\92 + --729192.

(9\ + 92)

Подставляя получившиеся стационарные значения средних значений операторов в уравнение (3.91), мы получаем выражение, определяющее значение стационарного потока энергии из первого резервуара в ОКС:

^ = —2 шм + ьт ыт^у* = (3.42)

9г + 92

= (сд2 + С291) ъ(а)Ъ(с2)&2__еШ1/Т1 — еШ2/Т

= 2(д\ + д2)2 [9192 + -^9,92 + ^ — 1) — 1).

Данный поток энергии пропорционален мнимой части (а{ст^^ и константе дипольного взаимодействия между ДУС. Величина (а\(12)з1;, в свою очередь, сама пропорциональна константе дипольного взаимодействия между ДУС, и пропорциональна разнице заселённостей ДУС. Также, она обратно пропорциональна квадрату константы дипольного взаимодействия между ДУС.

Исходя из данных зависимостей, можно сказать, что при малых значениях константы дипольного взаимодействия между ДУС, стационарный поток энергии из резервуара в ОКС растёт квадратично по константе дипольного взаимодействия. Однако при больших значениях данной константы, стационарный поток энергии не будет от неё зависеть. То есть, при больших константах дипольного взаимодействия между ДУС, должно наблюдаться насыщение стационарного потока энергии из резервуара в ОКС в локальном подходе.

Исследуем зависимости стационарных потоков энергии в системе двух ди-польно-взаимодействующих ДУС в частично-секулярном и глобальном подходах. В частично-секулярном подходе, система уравнений на средние значения заселённостей имеет вид:

= Мы--) + (! РВ, 3

! ^

$22

РБ =

$12 С** \ /

(3.43)

Мрв =

( А

0 -г П + Я Ш + £)*

0

Г

г п + т -гп + т *

—п + т * гП + Я* гки + У

V

г П + Т -Ш + Я

0

0

-г ки + V *

(3.44)

/

Здесь коэффициенты равны: V = (А + Г)/2 + И, Я = В + С, Т = В -С. Коэффициенты А, Г отвечают за диссипацию заселённостей, коэффициент В отвечает за кросс-диссипацию. Коэффициенты С, И появляются из слагаемых СР8^[рБ]) и рБ]) уравнения (3.22), соответственно. Чтобы записать явные выражения для данных коэффициентов введём следующие вспомогательные обозначения:

СЫ,2 =

( С^-и+п)) \ 2

с^ (ш+п) 2

С1!2(-(Щ-п)) 2

С12 (ш-п) 2

V

/

РБ1,2 =

( Р1,2-(-(Щ-п))+С1,2+(-(ш+п)) \ 2

С1!2-(ш+п)+С1!2+(ш-п) 2

С1,2-(Щ-П)+С1,2+(Щ+П) 2

С1,2-(-(ш+п))+С1,2+(-(ш-п)) 2

V

/

(3.45)

д

GL1,2 FS =

д

( (ha-(r(ù+à))rGia+(r(ù+à)) \ 2

Gi}2-(ù+à)—Gi}2+(ù+à) 2

G^A"^ гп))^2+(г(ш —à)) 2

Glt2-(ü> —à)—Gi}2+(û —à)

V

/

PS1/2 FS =

( G^r^ гп^^^г^+п)) \ 2

Glj-jü+ÜyGu+jü, —à) 2

Gh2-(ü> —à)—Glt2+(û>+à)

2

GÍ}2-(г(ù+à))гGÍ}2+(г(ù г à )) \ 2 f

--t"

-1-1-1-1GL1 =

/ г2()2 \

г2( '-+Г )2

-2i л 2

■2(2i—Г )

-2( >-=2- )2 )

i—" -1-1,-1-1 PS1 =

( y2 "Ar2 \ Sr 2 y2—4r 2

Sr 2 y2—4r 2

Sr 2 y2—4r 2 \ Sr2 )

(3.46)

"-1"

-1-1,-1-1GL2 =

-—д

-1-1-1-2GL1 =

/ 1 \ 2r 2 / 1 \ '2r 2

1 2r 2 1 T-"" 1 '2r 2 1

, -t-1-t-1PS2 =

2r 2 2r 2

\ 1 2r2 J 1 \ 2r2 J

/ y+2r \ Sr 2 ( у—2r \ Sr 2

y+2r Sr 2 y—2r T-"" у—2r Sr 2 y+2r

, -i-\,-[-2PS1 =

Sr 2 Sr 2

у—2r Sr2 у y+2r \ Sr2 )

=—^ -1-1-1-2GL2 =

( y=2L \

Sr 2 y—2r Sr 2 y+2r Sr 2 y+2r

\ ~Wr )

=—-> -1-1,-1-2PS2 =

( —y+2r \ Sr 2 —y+2r Sr 2 y+2r

y+2r \ )

--г*

TXT\ ,T1T2GL1_FS =

( y+2r \ 8r 2 y+2r

y—2r 8r 2 y—2r

\ Sw J

-—

TlT\,TlT2PS1_FS =

( \

8r 2 y—2r

8r 2 y+2r 8r 2 y+2r

\ SW J

—t—r

TlT\,TlT2GL2_FS =

( —y+2r \

8r 2

—y+2r

8r 2

y+2r

8r 2

V y+2r )

8r 2

--^

TlT\,TlT2PS2_FS =

( V—L \ 8r 2 y—2r

SSF2' +2

\

8r 2 y+2r

8r2 J

T2T2,T2T2GL1 = TlTi,TlT\GL2■ T2T2,T2T2PS\ = TlT\,TlTiPS2■

(S.47)

--^

T2T2,T2T2GL2 =

( _2( — y+2r\2 \

2( ^ ) -2^ : -2( ) -2(Г )

--^

T2T2,T2T2PS2 =

( y2—4r2 \ 8r 2 y2—4r 2

8r 2 y2—4r 2

8r 2 y2—4r 2

\ 8r2 J

--^

T2T2,TlT2GL1 —-—>■

TlT\,TlT2GL\■ T2T2,TlT2PS1 —-—-—^

--Г

TXT\ ,T1T2PS1■

—-—>■

t2(2,tIt2gl2 = tItI,tIt2gl2, t2(2,tIt2ps2 = T1 ,tIt2ps2,

T2T2,(T1T2GL1_FS = TT1T1 ■TT1T2GL1_FS ■ T2T2,T1T2PS1_FS = —T1T1,T1T2PS1_FS

t2t2,(t1t2GL2_FS = TT1T1 ■TT1T2GL2_FS ■ T2T2,(T1(T2PS2_FS = —T1T1,T1T2PS2_FS

"-г*

( _ Гу+2г\2 +

V 4г ) + 4г2

(у+2г \ 2__

V 4Г ) 4г2

_ /у - 2г\2 +

V 4г ) + 4г2 /у_2г\2_А_

\ V 4г ) 4г2 /

1—"

1112,а1а22р81_Е8 =

( у2-4г 2 16г 2 __ 4 т 2 \

у2-4г 2 + 41

16г 2

у2-4г 2 + 41

16г 2

у2-4г 2

\ 16г 2 __ 4 г 2 )

(3.48)

"-Г"

"1"2(1"2СЬ2_Ря =

/ / -у+2г\2__\

V 4г ) 4г2

- (^^т )2 +

( У+2г\2 V 4г ) _ (у+2г\2 + \ V 4г ) + 4г2 /

1

2 1

2

--Г"

"1"2 • "1"2ря2_ря =

( у2-4г 2 + -М + 4Г 2

16г 2

у2-4г 2

16г 2 __ 4 2

у2-4г 2 __^

16г 2 4г 2

\ у2-4г 2 + 1 + 4г2 /

16г 2

Используя данные обозначения, коэффициенты в уравнениях (3.43)-(3.44) могут быть записаны в следующем виде (операция (х,у) обозначает суммирование компонент вектора, полученного почленным произведением элементов из х

и у: (х,у) = Т,гхгУг):

А = А1 + А2, А3 = Аоц + Арб3 Асьз = Ыз—ГГ1—1"1сь^ , Ар.яп = ("

СЬз,"1"1,"1"1СЬз

РБз"1"1"1"1 Р83

) •

(3.49)

Р = Р1 + Р2 • Рз = Раьз + рряз, Рсьз = атз—ГГ9,гГ"2г<т„- \ • Рряз = ("" I

СЬз,"21"2,"21"2СЬз

РБз

-РБЛ2"2"2"2 рБз

В = В1 + В2, Вз = Встз + Вр8з, Всьз = ^"атзгГГ ,"\"2,г<т, Вряз = ("}

СЬз"1"1"1"2сЬз

1ряз

рЯз"\"1"\"2р8з

) •

С = С1 + С2, Сз = Ссьз + Сряз, Ссьз = атз Ря ГгГ г\"2г<т А ТР с^ • Сряз = ( "

СЬз_РЯ •"^•"Г^сьз^я

'ряз

ряз_ря "\"1"\"2рЯз_РЯ

)

И = И1 + В2, В3 = Всщ + Вр8],

Для записи свободных членов в уравнениях (3.43)-(3.44) введём следующие вспомогательные обозначения:

т*