Минимум энтропии измерений как вычислимая мера запутанности многочастичных квантовых состояний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.27.01, кандидат физико-математических наук Чернявский, Андрей Юрьевич

• Чернявский, Андрей Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чернявский, Андрей Юрьевич

Введение

1 Меры многочастичной квантовой запутанности

1.1 Формализм квантовой запутанности.

1.1.1 Локальные квантовые преобразования.

1.1.2 Необходимые свойства мер квантовой запутанности чистых состояний.

1.2 Запутанность двухчастичных состояний.

1.2.1 Разложение Шмидта и энтропия фон Неймана

1.2.2 Матричное SVD (Singular Value Decomposition) разложение

1.2.3 Изменение двухчастичных состояний под действием LOCC.

1.2.4 Сложность перехода к многочастичным состояниям

1.3 Многочастичная запутанность.

1.3.1 Формализм SLOCC (Stochastic LOCC).

1.3.2 Известные меры многочастичной запутанности чистых состояний.

1.4 Мера запутанности чистых квантовых состояний Енпип ■ •

1.4.1 Энтропия Шеннона и ее свойства.

1.4.2 Определение Ентт.

1.4.3 Effmin как мера запутанности чистых квантовых состояний

1.4.4 Монотонность относительно локальных ортогональных измерений.

1.4.5 Прочие свойства меры EHmin.

1.4.6 Свойства, связанные с расширением пространства состояний кудитов.

1.5 Мера запутанности многофермионных состояний.

1.5.1 Введение.

1.5.2 Определение запутанности многофермионных состояний

1.5.3 Критерий незапутанности многофермионных состояний

1.5.4 Разложение Слэйтера.

1.5.5 Мера Ецтгп для многофермионных состояний и ее свойства.

2 Вычисление меры запутанности, основанной на минимизации энтропии измерений

2.1 Постановка задачи.

2.1.1 Параметризация унитарных матриц.

2.2 Выбор метода оптимизации.

2.2.1 Генетические алгоритмы.

2.2.2 Реализация ГА для вычисления Ецт1п.

2.2.3 Островной ГА.

2.2.4 Оптимизация роем частиц.

2.2.5 Случайные мутации.

2.2.6 Тестирование на стандартных функциях

2.2.7 Тестирование на задачах вычисления Ентт • • ■ ■

2.3 Программный комплекс.

2.3.1 Структура программного комплекса.

2.3.2 Библиотека работы с комплексными матрицами и параметризации унитарных матриц.

2.3.3 Библиотека работы с квантовыми состояниями

2.3.4 Библиотека алгоритмов оптимизации.

2.3.5 Библиотека для решения различных задач оптимизации для квантовых состояний

2.3.6 Оптимизация вычислений.

2.3.7 Оптимизация локальных унитарных преобразований

2.4 Вычисление на графических адаптерах.

2.4.1 Введение.

2.4.2 Технология nVidia CUDA.

2.4.3 Вычисление меры запутанности для многокубит-ных состояний с использованием технологии nVidia CUDA.

2.4.4 Результаты.

3 Результаты вычислений

3.1 Запутанность обобщенных W-состояний.

3.2 Запутанность в алгоритме Гровера.

3.2.1 Введение.

3.2.2 Динамика Ентт в алгоритме Гровера.

3.2.3 Зависимость запутанности от числа кубитов

3.3 Флуктуация многочастичной квантовой запутанности

3.3.1 Введение.

3.3.2 Флуктуация многочастичной запутанности обобщенных GHZ и W состояний.

3.3.3 Флуктуация многочастичной запутанности в алгоритме Гровера.

3.4 Запутанность двучастичных состояний, эволюционирующих под действием случайных преобразований.

3.4.1 Зависимость двухчастичной запутанности от числа кудитов.

3.4.2 Зависимость двухчастичной запутанности от размерности кудитов.

3.4.3 Зависимость запутанности от размерностей подсистем

3.4.4 Зависимость динамики запутанности от числа кудитов, задействованных в преобразованиях.

3.4.5 Общая картина динамики запутанности при случайных преобразованиях

3.5 Запутанность и флуктуация запутанности чистых многокудитных состояний со случайными амплитудами.

3.5.1 Зависимость меры Ентш и ее флуктуации от числа кубитов.

4 Проверка гипотез о мере запутанности при помощи методов оптимизации

4.1 Численная проверка утверждений.

4.1.1 Численная проверка теоремы об эквивалентности меры Ентт редуцированной энтропии фон Неймана

4.1.2 Численная проверка Леммы 1.4.11.

4.1.3 Численная проверка Леммы 1.4.10.

4.2 Неэквивалентность двухчастичной и многочастичной запутанпости.

4.2.1 Постановка задачи.

4.2.2 Численный метод подбора контрпримера.

4.2.3 Результаты численных экспериментов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Минимум энтропии измерений как вычислимая мера запутанности многочастичных квантовых состояний»

Работа посвящена построению, вычислению и изучению свойств меры квантовой запутанности чистых многочастичных состояний. Квантовая запутанность является, пожалуй, самым важным и необычным квантовым эффектом, нашедшим свое применение во множестве теоретических и практических приложений. Запутанность лежит в основе квантовой телепортации, квантового плотного кодирования, некоторых протоколов квантовой криптографии, а также является необходимым фактором для эффективной работы одного из наиболее перспективных приборов, основанных на квантовых эффектах, - квантового компьютера. Но несмотря на важность и достаточно долгую историю данной области, законченной теории многочастичной квантовой запутанности до сих пор не существует.

Основополагающими работами по квантовой запутанности можно считать статью Э. Шредингера [104] (перевод на англ. представлен в [105]) и статью Эйнштейна, Подольского и Розена [53], опубликованные в 1935 году.

В своей работе Э. Шредингер впервые представил сам термин «запутанность» (в немецком оригинале «Verschrankung», в переводе на английский «entanglement»). В качестве терминологической справки следует отметить, что правильность перевода слова «Verschrankung» на английский язык до сих пор вызывает споры, и, в связи с этим, в русском переводе существует несколько эквивалентов термина квантовая запутанность: квантовая сцепленность, квантовая перепутанность. Также в работе было дано первое и до сих пор актуальное определение запутанности: «Максимальное знание о всей системе не обязательно влечет за собой знание о всех ее подсистемах, даже тогда, когда подсистемы полностью отделены друг от друга, и в данный момент никак не взаимодействуют.» Это определение означает, что знания об отдельной подсистеме могут быть неполны, т.к. ее состояние может быть нелокально связано с остальными подсистемами.

Статья А. Эйнштейна, Б. Подольского и Н. Розена «Сап quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?» («Может ли квантово-механическое описание физической реальности рассматриваться как полное?») была опубликована до статьи Э. Шредингера и являлась предпосылкой для его работы. В статье [53] был представлен, названный позже в честь авторов, ЭПР-парадокс, современная формулировка которого принадлежит Бому [32]. Приведем краткую формулировку парадокса (более подробное описание и объяснения можно найти, например, в [9, 101, 11]).

Пусть два участника (Алиса и Боб) разделяют между собой запутанное антисимметричное состояние:

101) - [10) у/2 ' причем Алиса и Боб находятся на большом расстоянии друг от друга.

Алиса измеряет величину проекции спина на какую-либо ось . Как несложно показать [9], при получении Алисой результата +1, результат измерения Боба будет —1, и наоборот. Возможны два объяснения такого эффекта:

• Результаты измерения Алисы влияют на результаты Боба (что нарушает локальность).

• Т.к. после измерения Алисы результат измерения Боба однозначен, частица, принадлежащая Бобу, имеет фиксированные характеристики, не описываемые квантовой механикой.

Основным результатом работы [53] являлось заключение, что квантовая механика не может правильно описывать физическую реальность.

Неравенство Белла

Дальнейшее и очень важное развитие ЭПР-парадокс получил в работе Дж. Белла [28] в виде теории скрытых параметров (LHVM - local hidden variable model, модель локальных скрытых переменных). Данная теория основана на трех предположениях:

• Реализм: результаты измерений определяются некоторыми собственными параметрами частиц и не зависят от самих измерений.

• Локальность: результаты измерений, получаемые в определенном месте пространства, не зависят от каких-либо действий, производимых удаленно.

• Свобода воли: параметры измерительного прибора не зависят от переменных, определяющих результаты измерений.

Дж. Белл показал, что эти предположения приводят к ограничениям на статистику результатов измерений двухчастичной системы, причем результаты, получаемые при измерении определенной запутанной квантовой системы, нарушают эти ограничения. Подобные ограничения в виде неравенств стали называть неравенствами Белла.

Наиболее популярным и наглядным из них является CHSH-неравенство, предложенное Клаузером (Clauser), Хорном (Horn), Ши-мани (Shimany) и Холтом (Holt) (название неравенства - аббревиатура фамилий авторов) [41]. Нередко это неравенство называют неравенством Белла.

Пусть Алиса и Боб получают копии одного и того же двухчастичного состояния. Алиса может производить измерения неких величин Pq и Р/?, а Боб - Ps и Рт\ Q, Я, S и Т - результаты измерения соответствующих величин, принимающие значения ±1. Алиса и Боб находятся на большом расстоянии и делают измерения одновременно. Причем случайный выбор величины (из двух возможных), которую нужно измерять, происходит за столь короткое время до самого измерения, что влияние выбора на другого участника становится невозможным (в силу невозможности передачи информации быстрее скорости света). Такими измерениями мы обеспечиваем локальность и свободу выбора. Реализм означает, что Q и R являются объективными характеристиками частицы Алисы, a S и Т -частицы Боба. Обозначим за Е математическое ожидание. Тогда, используя элементарные свойства математического ожидания и алгебраические вычисления, можно получить:

Е(QS) + Е(RS) + Е(ЯГ) - Е(QT) < 2.

Данное неравенство и называется CSHS-неравенством.

Несложно вычислить, что для запутанного двухчастичного состояния (ЭПР-пары)

01) — |10> л/2 и измерений Q = Z,R = = Т = где

Х = = (оЛ)' выРажение ЕС^5) + Е^) +

Е(КГ) — Е((5Т") принимает значение 2 у/2, и СНЗН-неравенство нарушается.

Важным является тот факт, что нарушения неравенств Белла были получены экспериментально. Впервые эксперименты с запутанными состояниями были проведены Клаузером и Шимани в 1978 году [42], а нарушения неравенств Белла были получены Аспеком в 1981-82 годах [23, 22]. В последующем было проведено множество других экспериментов, нарушающих неравенства Белла.

Данные эксперименты опровергли теорию скрытых переменных (а значит, и аргументацию Эйнштейна, Подольского и Розена) и показали существование квантовых нелокальных корреляций и, соответственно, запутанности.

Другим важным следствием нарушений неравенств Белла является то, что квантовая запутанность является сугубо квантовым эффектом и не может быть получена классически.

Исследование различных видов неравенств Белла (например, многочастичных) , а также их природы и связи с квантовой запутанностью является открытым и приоритетным вопросом (см., например, [78, 59, 60]). Также следует отметить, что экспериментально полученная запутанность ЭПР-пар, рассматриваемая в неравенствах Белла, имеет потенциал использования в реальных приложениях: в работе [99] рассматриваются модельные задачи, использование ЭПР-запутанности при решении которых дает улучшения относительно классических корреляций.

Квантовый компьютер.

Как хорошо известно, в связи с экспоненциальным ростом размерности пространства состояний при увеличении числа частиц, эффективное моделирование многочастичной квантовой механики на классическом компьютере невозможно. Исходя из этого, в 1982 году Ричард Фей-нман выдвинул идею «квантового компьютера» - компьютера, использующего в своей основе квантовые эффекты, такие, как суперпозиция и, главное, запутанность. В связи с квантовой природой, такой компьютер может быть естественным образом использован для моделирования многочастичных квантовых систем. Строгие обоснования этого факта в виде квантовых алгоритмов были построены Д. Абрамсом и С. Ллойдом [17], К. Залкой [129], С. Визнером [124] и некоторыми другими учеными.

Впервые формальная модель универсального квантового компьютера (квантовая машина Тьюринга) была предложена П. Бениоффом в 1980 году и развита Д. Дойтчем [46]. Более наглядная модель квантовых вычислений (эквивалентная квантовой машине Тыоринга) - квантовые схемы, была предложена Д. Дойчем [47].

Основным элементом квантового компьютера (в противопоставлении биту классического компьютера) является кубит (qubit, от q-bit -quantum bit). Кубит представляет собой двухуровневую квантовую систему, и его состояние описывается нормированным вектором в пространстве С2: д) =о|0)+Ь|1>, где \а\2 + \b\2 = 1.

Соответственно, состояние системы из п кубитов описывается нормированным вектором 2п-мерного комплексного пространства: 1

Ф) = alll2.ln\iii2--.in).

Базис \i\i2 . in), ij £ {0,1} называется вычислительным.

Для универсальных квантовых вычислений необходимо:

• Иметь возможность приготавливать состояния из вычислительного баз Pica.

• Иметь возможность применять квантовые элементы (унитарные операции) из определенного универсального набора к произвольным кубитам.

• Производить измерения в вычислительном базисе.

Универсальным набором операций является набор, при помощи которого можно получить любую n-кубитную операцию. Например, таким набором являются все однокубитные операции и двухкубитный оператор CNOT: 1 0 0 0 \ 0 10 0 0 0 0 1 ' у 0 0 1 О у

Теория универсальных аппроксимаций унитарных операций рассмотрена в [9].

Помимо квантовой части, у квантового компьютера присутствует классическая часть, которая задает последовательность применения унитарных операций, получает результаты измерения, а также может производить вспомогательные расчеты (в некоторых случаях, например, при квантовой коррекции ошибок вспомогательные расчеты могут упростить схему вычислений, хотя эквивалентные расчеты могут быть проведены и в квантовой части).

Основными достижениями в теории квантовых вычислений являются алгоритм Гровера и алгоритм Шора.

Алгоритм Шора [107] позволяет раскладывать числа па простые множители за время 0(п3), в то время, как наилучшие классические алгоритмы позволяют делать это лишь за 0(еп1/3^09^"/3), где п - длина записи числа. Однако, невозможность полиномиального решения на классическом компьютере не доказана.

Алгоритм Гровера [61] позволяет решать переборные задачи за время порядка О (у/Л), в то время, как классический компьютер, очевидно, может делать это лишь за время О(Л^), где N - число необходимых к перебору вариантов.

Алгоритмы Шора и Гровера, а также алгоритмы моделирования многочастичной квантовой механики делают квантовый компьютер одним из наиболее перспективных приборов, использующих квантовые эффекты.

Роль квантовой запутанности в квантовых вычислениях.

Квантовая запутанность является необходимым условием для экспоненциального ускорения в квантовых вычислениях. Джозса и Липден [72] показали, что если максимальный ранг Шмидта (дискретная мера двухчастичной запутанности) при квантовых вычислениях является константой (не зависит от числа кубит), то такое вычисление можно за полиномиальное время смоделировать на квантовом компьютере. Более сильный результат был получен Ж. Видалом [119]. Результат состоит в том, что эффективное (за полиномиальное время) классическое моделирование возможно, даже если максимальное число Шмидта полиномиально зависит от числа кубит.

Кенигсбергом [74] было доказано, что ни одна нетривиальная задача не может быть решена алгоритмом Гровера без использования запутанности.

Однако, полная связь между быстрыми квантовыми алгоритмами и квантовой запутанностью не установлена [67]. В Главе 3 приводятся и анализируются значения меры многочастичной запутанности в алгоритме Гровера.

Вторым важным моментом является тот факт, что многочастичная запутанность, будучи необходимым условием квантового ускорения, является и главным останавливающим фактором на пути к созданию квантового компьютера. Для эффективных вычислений необходимо не только управлять, но и сохранять квантовую запутанность, чему мешает процесс декогерентности. В современной трактовке декогерснтность - разрушение квантового состояния (и, главное, его запутанности) под действием внешней среды. В настоящий момент не существует полного понимания и описания данного процесса, в связи с чем более тщательное изучение многочастичной квантовой запутанности может дать ключ к решению этой проблемы.

Также следует отметить, что известные результаты о двухчастичной квантовой запутанности играют важнейшую роль в кодах коррекции квантовых ошибок, необходимых для построения полноценного квантового компьютера [9].

Квантовая запутанность и защищенная связь.

Можно выделить два «противоположных» направления использования эффекта квантовой запутанности в квантовой криптографии:

• квантовые алгоритмы распределения секретного ключа, основанные на эффекте квантовой запутанности

• основанные на запутанности атаки на квантовые криптографические протоколы.

Первый протокол распределения ключа с использованием квантовой запутанности Е91 был представлен Экертом в работе [55]. Данный протокол основывается на нарушении неравенства Белла для ЭПР-пар. При измерениях в одинаковом базисе Алиса и Боб получают полностью противоположные результаты, что дает возможность получить ключ. Секретность может быть проверена неравенствами Белла на части результатов измерений: если Ева (подслушиватель) знает результаты ртзмерений

Боба и Алисы, то значения этих результатов были известны до самого измерения, а следовательно, неравенства Белла нарушаться уже не будут. Протокол Е91 неоднократно был реализован экспериментально [91, 114].

Даже при анализе протоколов, не использующих квантовую запутанность, считается, что подслушиватель может использовать все средства, не нарушающие законы природы. Таким образом появляется возможность использовать более эффективные атаки, основанные на квантовой запутанности. Например, в работе [57] рассматривается оптимальная атака с индивидуальными измерениями на протокол ВВ84 (сам протокол запутанность не использует). При такой атаке Ева запутывает свои ан-циллы (вспомогательные квантовые состояния) с состояниями, передаваемыми от Алисы к Бобу, и сохраняет эти анциллы в квантовой памяти. Ева производит индивидуальные измерения над состояниями из своей памяти уже после измерений Боба и согласования базисов. Такая атака приводит к величине критической ошибки (ошибки в канале, при которой возможна безопасная передача данных) 15% . В работе [8] строится атака, где Ева производит не индивидуальные измерения своих состояний, а коллективные, что снижает величину критической ошибки до ее теоретического минимума - 11%.

Квантовая телепортация.

Как известно, неизвестное квантовое состояние не может быть скопировано [128, 48]. Однако с использованием квантовой запутанности имеется возможность передать квантовое состояние на расстояние, не передавая непосредственно физическое представление данного состояния. Такой процесс называется квантовой телепортацией (теоретические основы квантовой телепортации впервые были представлены в работе [29]). Рассмотрим телепортацию одного кубита.

Пусть между Алисой и Бобом разделено запутанное состояние ^(|00) + |11)) и Алиса хочет передать Бобу неизвестное состояние \ф) — а|0) +Ь|1). Соответственно, начальным состоянием всей системы из трех кубитов является ^(а|000) + 6|100) + а|011) + Ь|111>).

Алиса применяет к неизвестному кубиту преобразование Адамара, а после этого к имеющимся у нее двум кубитам преобразование СГТОТ, в результате система перейдет в

00)(с|0) +Ь|1» + |01>(а|1) +Ь|0» + |10)(а|0) - Ь|1» + |11>(а|1> - Ь|0))).

После этого Алиса измеряет имеющиеся у нее два кубита и сообщает результат Бобу по классическому каналу. Боб, зная результат измерения, применяет, соответственно, одно из четырех преобразований: I - тождеполучая нужное состояние |ф) — а|0) + Ь\1).

Важно отметить, что было проведено множество успешных экспериментов по квантовой телепортации (например, [33, 113, 26]).

Квантовое плотное кодирование.

С использованием эффекта квантовой запутанности имеется возможность передать 2 классических бита информации при помощи одного ку-бита [30]. Такой эффект называют квантовым плотным кодированием.

Пусть Алиса и Боб разделяют запутанную пару кубит ^(|00) + |11)). Алиса, используя преобразования I, NOT, Z и NOT ■ Z, может привести общее состояние к одному из 4 взаимно ортогональных состояний

Данный набор состояний называется базисом Белла. В связи с взаимной ортогональностью Боб может отличать друг от друга эти состояния посредством ортогональных измерений обоих кубитов.

Экспериментальное описание плотного кодирования дано в [86].

Следует отметить, что развитие теоретических аспектов квантовых запутанных состояний, помимо приведенных выше приложений, дает лучшее понимание основных законов квантовой физики [1] и методов моделирования сложных квантовых систем [99].

Открытые вопросы теории квантовой запутанности. Меры запутанности.

Как говорилось выше, на данный момент не существует полной теории многочастичной квантовой запутанности даже для чистых систем. Семья Городецки выделяет в своей работе [67] несколько важных открытых задач:

• Как наилучшим образом детектировать запутанность теоретически и экспериментально?

• Как сохранять запутанность?

• Как классифицировать запутанность и определять ее количество? или NOT ■ Z,

00> + |11)), -У100) - |П)), -Ы101) + |Ю», -Ы|01) - |Ю».

Именно вопрос измерения количества запутанности и исследовался в диссертационной работе. Этот вопрос особенно важен в связи с идеей, неоднократно высказываемой академиком К.А. Валиевым и многими другими учеными: квантовая запутанность является физическим ресурсом, имеющим важное значение для различных приложений, а особенно для квантового компьютера. В связи с этим появляется необходимость в количественной оценке такого ресурса. Даже для краткого изложения основ и результатов в области классификации и мер квантовой многочастичной запутанности необходимо для начала изложить некоторый теоретический аппарат. Поэтому обзор формализма, постановки задач и известные результаты будут даны не во введении работы, а в Главе 1 после краткой теоретической справки. Все же приведем несколько важных фактов.

Существенным шагом в развитии теории мер квантовой запутанности является формулировка необходимых свойств таких мер, впервые четко описанная Ведралом и Пленио [115]. Важным и, обычно, самым трудным для доказательства свойством является монотонность - невозможность гарантированно увеличить запутанность, не приводя подсистемы к непосредственному локальному взаимодействию. Данное требование придает всем «правильным» мерам квантовой запутанности полезное практическое свойство: если Е - монотонная мера запутанности, Е(\ф)^) > Е(\ф)2), а подсистемы состояния \ф)2 разнесены в пространстве и не могут быть приведены в непосредственное взаимодействие, то без дополнительного источника запутанности преобразовать состояние \ф)2 в |ф)х невозможно.

Благодаря определенным требованиям к мерам запутанности сформировался так называемый аксиоматический подход к построению мер. Именно такой подход и будет использован в работе. С другой стороны, из-за основополагающей важности квантовой запутанности в различных приложениях (например, упомянутых выше квантовых вычислениях, квантовой криптографии, квантовой телепортации и т.д.) существует другой, не менее важный подход, основанный как раз-таки на конкретных приложениях. Т.е. «количество» запутанности состояния оценивается по его «полезности» в определенном приложении или протоколе. Конечно, правильная теория запутанности должна совмещать в себе оба подхода, однако, такой результат получен только для случая чистых двухчастичных состояний. Для этого случая запутанность состояний целиком определяется коэффициентами Шмидта (подробнее об этом будет рассказано в Главе 1), которые, в свою очередь, целиком определяют возможность преобразований состояния без взаимодействия подсистем. А разложение Шмидта, из которого и получаются коэффициенты Шмидта, играет важнейшую роль практически во всех приложениях, где важна запутанность между двумя подсистемами [9].

Цель работы.

Целью диссертационной работы является:

• построение меры квантовой запутанности чистых многокудитных состояний и исследование свойств этой меры;

• построение меры квантовой запутанности чистых многофермион-ных состояний и исследование свойств этой меры;

• разработка метода вычисления построенных мер запутанности;

• вычисление значения предложенных мер запутанности для некоторых важных многочастичных квантовых состояний;

• исследование задачи о существенности многочастичной запутанности (невозможности описания многочастичной запутанности при помощи двухчастичной) и анализ предложенной меры на предмет существенной многочастичности.

Теоретическая и практическая значимость.

• Построенная мера запутанности, а также численное решение задачи о неэквивалентности двухчастичной и многочастичной запутанности являются теоретическими результатами.

• Вычисление значений предложенных мер запутанности, реализованное в программном комплексе, может быть использовано для оценки успешности экспериментов по генерации запутанных многочастичных квантовых состояний, особенно важных на пути создания квантового компьютера.

• Созданный программный комплекс может быть использован для решения различных оптимизационных задач в области теории квантовой запутанности чистых состояний.

Апробация работы и публикации.

Основные результаты работы в 8 печатных работах, из них 4 статьи в рецензируемых журналах [19, 14, 38, 15], 1 статья в сборнике трудов конференции [35] и 3 докладов конференций, опубликованных в тезисах [40, 16, 39].

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

Семинар «Квантовая информатика» па факультете ВМК МГУ, семинар лаборатории квантовой информатики и квантовой оптики кафедры квантовой электроники физического факультета МГУ, семинар «Квантовые компьютеры» в Физико-Технологическом институте РАН, международный симпозиум «Quantum Informatics - 2009», Zvenigorod, Russia, международная конференция «Mathematical Modeling and Computational Physics 2009», Dubna, Russia, научно-практическая конференция «Вычисления с использованием графических процессоров в молекулярной биологии и биоинформатике», 2010, Москва, Биологический факультет МГУ, научная конференция «Ломоносовские чтения», 2010, Москва, МГУ.

Работа выполнена под руководством профессора Юрия Игоревича Ожигова, которому автор выражает искреннюю признательность.

Заключение диссертации по теме «Твердотельная электроника, радиоэлектронные компоненты, микро- и нано- электроника на квантовых эффектах», Чернявский, Андрей Юрьевич

Заключение

Приведем в заключении основные результаты работы.

I. Построена мера запутанности чистых многокудитных: квантовых состояний, основанная на минимизации энтропии: измерений.

Аналитически доказано, что данная мера удовлетворят следующим: необходимым свойствам:

• инвариантна относительно локальных унитарных преобразований;

• равна нулю на незапутанных состояниях;

• не возрастает в среднем относительно локальных ортогональны^^ измерений.

Помимо необходимых свойств, представленная мера обладает следу- ющими важными особенностями:

• аддитивность в смысле добавления кудитов;

• мера равна нулю только на полностью незапутанных состояниях;

• на двухчастичных состояниях мера совпадает с энтропией фо^ Неймана;

• мера Ент?т? не может быть выражена через коэффициенты Шми^ та для числа кудит больше 2 (является существенно многочастц-^ ной);

• имеется возможность вычисления представленной меры.

Численные эксперименты показали, что данная мера обладает следующими свойствами:

• квадраты модулей амплитуд состояния, имеющего минимум энтропии измерений, являются инвариантами локальной унитарной орбиты этого состояния;

• инвариантна относительно добавления к состоянию незапутанной анциллы;

• аддитивна в смысле расширения пространства;

• монотонна относительно LOCC.

II. На основе минимизации энтропии измерений, по аналогии с многокудитным случаем, построена мера запутанности многофермионных состояний.

Данная мера обладает следующими важными свойствами:

• равна нулю на состояниях, являющихся детерминантом Слэйтера в каком-либо одпочастичном базисе, и только на них;

• для двухфермионных состояний совпадает с энтропией разложения Слэйтера;

• как и в случае различимых частиц, имеется способ вычисления рассматриваемой меры.

III. Реализован программный комплекс, позволяющий вычислять построенные меры запутанности.

Помимо вычисления Ентт, программный комплекс позволяет решать и другие оптимизационные задачи, в том числе:

• задача минимизации произвольной функции на множестве много-кудитных состояний (с фиксированным числом кудит и заданными размерностями каждого кудита);

• задача минимизации произвольной функции на локальной унитарной орбите фиксированного состояния;

• задача минимизации произвольной функции на множестве много-фермионных состояний (с фиксированным числом частиц и фиксированной размерностью одночастичного пространства);

• задача минимизации произвольной функции по всевозможным изменениям одночастичного базиса фиксированного многофермион-ного состояния.

Разработана и использована методика тестирования алгоритмов глобальной оптимизации для решения задачи вычисления меры Ентт

IV. Вычисление меры запутанности Ентгп Для многокубит-ных состояний было реализовано с использованием технологии вычислений на графических адаптерах nVidia CUD А.

Использование технологии nVidia CUDA позволило получить 14-ти кратное ускорение при вычислениях на домашнем графическом адаптере nVidia GeForce GTX275 относительно четырехядерного процессора Intel Q6600.

V. С использованием разработанного программного комплекса была решена задача о неэквивалентности многочастичной и двухчастичной запутанности.

А именно, построен пример двух состояний полностью эквивалентных в терминах двухчастичной запутанности, но неэквивалентных в терминах многочастичной запутанности.

VI. Были вычислены и проанализированы значения меры Е и rain Для некоторых важных для квантовой теории многочастичных состояний.

А именно:

• Вычислены значения Ентгп и ее флуктуации для обобщенных GHZ-состояний.

• Вычислены значения Ентт и ее флуктуации для обобщенных W-состояний.

• Вычислены значения Ентгп и ее флуктуации для состояний алгоритма Гровера. Проанализирована зависимость запутанности от числа кубитов.

• Вычислены значения Ентт и ее флуктуации для состояний со случайными амплитудами. Проанализирована зависимость среднего значения запутанности от числа кудитов и их размерности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чернявский, Андрей Юрьевич, 2010 год

1. Валиев К. А., Кокин А. А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. РХД, 2001.

2. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.

3. Винберг Э. Б. Курс алгебры. Факториал Пресс, 2002.

4. Вирт Н. Алгоритмы и структуры данных: Пер. с англ. 2-е, испр. изд. Невский Диалект, 2001. 352 с.

5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: учебное пособие в 10 т. 5-е изд. М.: Физматлит, 2001. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория). 808 с.

6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: учебное пособие в 10 т. 5-е изд. М.: Физматлит, 2003. Т. V. Статистическая физика. Часть 1. 616 с.

7. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Теоретическая физика: учебное пособие в 10 т. 4-е, исправленное изд. М.: Физматлит, 2002. Т. IV. Квантовая электродинамика. 808 с.

8. Молотков С., Тимофеев А. Явная атака на ключ в квантовой криптографии (протокол ВВ84), достигающая теоретического предела ошибки Qr. и 11% // Письма в ЖЭТФ. 2007. Т. 85, № 10. С. 632637.

9. Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информа-ция:Пер с англ. МИР, 2006.

10. Ожигов Ю. И. Квантовые вычисления. Учебно-методическое пособие. 2003.

11. Стин Э. Квантовые вычисления:Пер с англ. РХД, 2000.

12. Фельдман Э. Б., Юрищев М. А. Флуктуации квантовой запутанности // Письма в ЖЭТФ. 2009. Т. 90-1. С. 75-79.

13. Хайкин С. Нейронные сети: полный курс. 2-е изд. Издательский дом «Вильяме», 2006.

14. Чернявский А. Вычислимая мера квантовой запутанности многоку-битных состояний // Микроэлектроника. 2009. Т. 38, № 3. С. 217— 223.

15. Чернявский А. Неэквивалентность двухчастичной и многочастичной квантовой запутанности // Микроэлектроника. 2009. Т. 38, № 6. С. 449-451.

16. Abrams D., Lloyd S. Simulation of many-body Fermi systems on a universal quantum computer // Physical review letters. 1997. Vol. 79, no. 13. Pp. 2586-2589.

17. Akhtarshenas S. Concurrence vectors in arbitrary multipartite quantum systems // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2005. Vol. 38. Pp. 6777-6784.

18. Akulin V., Burkov A., Damir A. et al. Ion trap quantum computations: control and success criterion // Quantum computers and computing. 2006. Vol. 6, no. 1. Pp. 107-124.

19. Anderson A., Goddard W., Schroder P. Quantum Monte Carlo on graphical processing units // Computer Physics Communications. 2007. Vol. 177, no. 3. Pp. 298-306.

20. Apolloni В., Carvalho C., De Falco D. Quantum stochastic optimization. // STOCHASTIC PROCESS. APPLIC. 1989. Vol. 33, no. 2. Pp. 233-244.

21. Aspect A., Dalibard J., Roger G. Experimental test of Bell's inequalities using time-varying analyzers // Physical Review Letters. 1982. Vol. 49, no. 25. Pp. 1804-1807.

22. Aspect A., Grangier P., Roger G. Experimental tests of realistic local theories via Bell's theorem // Physical Review Letters. 1981. Vol. 47, no. 7. Pp. 460-463.

23. Assion A., Baumert T., Bergt M. et al. Control of chemical reactions by feedback-optimized phase-shaped femtosecond laser pulses // Science. 1998. Vol. 282, no. 5390. P. 919.

24. Barnum H., Linden N. Monotones and invariants for multi-particle quantum states // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2001. Vol. 34. Pp. 6787-6805.

25. Barrett M., Chiaverini J., Schaetz T. et al. Deterministic quantum tele-portation of atomic qubits // Nature. 2004. Vol. 429, no. 6993. Pp. 737739.

26. Barricelli N. Symbiogenetic evolution processes realized by artificial methods // Methodos. 1957. Vol. 9, no. 35-36. Pp. 143-182.

27. Bell J. et al. On the einstein-podolsky-rosen paradox // Physics. 1964. Vol. 1, no. 3. Pp. 195-200.

28. Bennett C., Brassard G., Crepeau C. et al. Telcporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-Rosen channels // Physical Review Letters. 1993. Vol. 70, no. 13. Pp. 1895-1899.

29. Bennett C., Wiesner S. Communication via one-and two-particle operators on Einstein-Podolsky-Rosen states // Physical review letters. 1992. Vol. 69, no. 20. Pp. 2881-2884.

30. Bhatia R. Matrix analysis. Springer, 1997.

31. Böhm D. Quantum theory // New York: Princeton-Hall. 1951. Pp. 604608.

32. Bouwmeester D., Pan J., Mattle K. et al. Experimental quantum texportation // Nature. 1997. Vol. 390, no. 6660. Pp. 575-579.

33. Bravyi S., Kitaev A. Fermionic quantum computation // Arxiv preprint quant-ph/0003137. 2000.

34. Burkov A., Chernyavskiy A., Ozhigov Y. Algorithmic approach to quantum theory 3: bipartite entanglement dynamics in systems with random unitary transformations // Proceedings of SPIE. Vol. 6264. 2006. P. 62640B.

35. Buscemi F., Bordone P., Bertoni A. Linear entropy as an entanglement measure in two-fermion systems // Physical Review A. 2007. Vol. 75, no. 3. P. 32301.

36. Carteret H., Higuchi A., Sudbery A. Multipartite generalization of the Schmidt decomposition // Journal of Mathematical Physics. 2000. Vol. 41. Pp. 7932-7939.

37. Chernyavskiy A. Multiparticle analogue of Schmidt coefficients // Quantum Computers and Computing. 2008. Vol. 8, no. 1. Pp. 141-148.

38. Chernyavskiy A. Entanglement Measure for Multiparticle States and Its Numerical Calculation // ICMNE-2009, Book of Abstracts. 2009. C. q3-07.

39. Chernyavskiy A. Entanglement Measure for Pure Multiparticle States and Its Numerical Calculation // Тезисы докладов международной конференции «Математическое моделирование и вычислительная физика (ММСР'2009)». 2009. С. 184.

40. Clauser J., Home М., Shimony A., Holt R. Proposed experiment to test local hidden-variable theories // Physical Review Letters. 1969. Vol. 23, no. 15. Pp. 880-884.

41. Clauser J., Shimony A. Bell's theorem. Experimental tests and implications // Reports on Progress in Physics. 1978. Vol. 41. Pp. 1881-1927.

42. Coffman V., Kundu J., Wootters W. Distributed entanglement // Physical Review A. 2000. Vol. 61, no. 5. P. 52306.

43. Davidor Y. Genetic Algorithms and Robotics: A heuristic strategy for optimization. World Scientific, 1991.

44. Deerwester S., Dumais S., Furnas G. et al. Indexing by latent semantic analysis // Journal of the American society for information science. 1990. Vol. 41, no. 6. Pp. 391-407.

45. Deutsch D. Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1985. Pp. 97-117.

46. Deutsch D. Quantum computational networks // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1989. Pp. 73-90.

47. Dieks D. Communication by EPR devices // Physics Letters A. 1982. Vol. 92, no. 6. Pp. 271-272.

48. Dorigo M. Optimization, learning and natural algorithms // Milano: Politécnico di Italy, doktorska disertacija. 1992.

49. Dur W., Vidal G., Cirac J. Three qubits can be entangled in two in-equivalent ways // Arxiv preprint quant-ph/0005115. 2000.

50. Eberhart R., Kennedy J. A new optimizer using particle swarm theory // Proceedings Sixth Symposium on Micro Machine and Human Science. 1995. Pp. 39-43.

51. Eckart C., Young G. The approximation of one matrix by another of lower rank // Psychometrika. 1936. Vol. 1, no. 3. Pp. 211-218.

52. Einstein A., Podolsky B., Rosen N. et, al. Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? // Physical review. 1935. Vol. 47, no. 10. Pp. 777-780.

53. Eisert J., Briegel H. Schmidt measure as a tool for quantifying mul-tiparticle entanglement // Physical Review A. 2001. Vol. 64, no. 2. P. 22306.

54. Ekert A. Quantum cryptography based on Bell's theorem // Physical Review Letters. 1991. Vol. 67, no. 6. Pp. 661-663.

55. Fraser A. Simulation of genetic systems by automatic digital computers. I. Introduction // Australian J. Biological Sciences. 1957. Vol. 10. P. 484-491.

56. Fuchs C., Gisin N., Griffiths R. et al. Optimal eavesdropping in quantum cryptography. I. Information bound and optimal strategy // Physical Review A. 1997. Vol. 56, no. 2. Pp. 1163-1172.

57. Ghirardi G., Marinatto L. General criterion for the entanglement of two indistinguishable particles // Physical Review A. 2004. Vol. 70, no. 1. P. 12109.

58. Gisin N. Bell's inequality holds for all non-product states // Physics Letters A. 1991. Vol. 154. Pp. 201-202.

59. Greenberger D., Home M., Zeilinger A. Going beyond Bell's theorem // Bell's theorem, quantum theory, and conceptions of the universe. 1989. Pp. 73-6.

60. Grover L. A fast quantum mechanical algorithm for database search // Proceedings of the twenty-eighth annual ACM symposium on Theory of computing / ACM. 1996. P. 219.

61. Gutierrez E., Romero S., Trenas M., Zapata E. Parallel Quantum Computer Simulation on the CUDA Architecture // Lecture Notes in Computer Science. 2008. Vol. 5101. Pp. 700-709.

62. Hammarling S. The singular value decomposition in multivariate statistics // ACM Signum Newsletter. 1985. Vol. 20, no. 3. Pp. 2-25.

63. Haupt R., Haupt S. Practical genetic algorithms. Wiley-Interscience, 2004.

64. Hodge W., Pedoe D. Methods of algebraic geometry. Vol. II, Reprint of the 1952 original. 1994.

65. Holland J. Adaptation in natural and artificial system: an introduction with application to biology, control and artificial intelligence // Ann Arbor, University of Michigan Press. 1975.

66. Horodecki R., Horodecki P., Horodecki M., Horodecki K. Quantum entanglement // Arxiv preprint quant-ph/0702225. 2007.

67. Horodecki R., Horodecki P., Horodecki M., Horodecki K. Quantum entanglement // Reviews of Modern Physics. 2009. Vol. 81, no. 2. Pp. 865942.

68. ILNumerics.Net the .NET library for numerical computations, http://ilnumerics.net/.

69. Janson S., Middendorf M. A hierarchical particle swarm optimizer and its adaptive variant // IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Part B. 2005. Vol. 35, no. 6. Pp. 1272-1282.

70. Jian Cui H. F. Correlations in Grover search // Arxiv preprint arX-iv:0904.2703. 2009.

71. Jozsa R., Linden N. On the role of entanglement in quantum-computational speed-up // Proceedings: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 2003. Vol. 459, no. 2036. Pp. 2011-2032.

72. Juang C. A hybrid of genetic algorithm and particle swarm optimization for recurrent network design // IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Part B. 2004. Vol. 34, no. 2. Pp. 997-1006.

73. Kenigsberg D., Mor T., Ratsaby G. Quantum advantage without entanglement // Quantum Information and Computation. 2006. Vol. 6, no. 7. Pp. 606-615.

74. Kennedy J. Swarm intelligence. Springer.

75. Kennedy J., Eberhart R. Particle swarm optimization // IEEE International Conference on Neural Networks, 1995. Proceedings. Vol. 4. 1995.

76. Khinchin A. Mathematical foundations of information theory. Courier Dover Publications, 1957.

77. Khrennikov A. Frequency analysis of the EPR-Bell argumentation // Foundations of Physics. 2002. Vol. 32, no. 7. Pp. 1159-1174.

78. Kirkpatrick S, Optimization by simulated annealing: Quantitative studies // Journal of Statistical Physics. 1984. Vol. 34, no. 5. Pp. 975-986.

79. Kolda T. A counterexample to the possibility of an extension of the Eckart-Young low-rank approximation theorem for the orthogonal rank tensor decomposition // Anal. Appl. 2001. Vol. 23. Pp. 243-355.

80. Lathauwer L., Moor B., Vandewalle J. A multilinear singular value decomposition // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 1995.

81. Levay P., Vrana P. Three fermions with six single particle states can be entangled in two inequivalent ways // Physical Review A. 2008. Vol. 78. P. 022329. URL: doi : 10.1103/PhysRevA. 78.022329.

82. Linden N., Popescu S., Schumacher B., Westmoreland M. Reversibility of local transformations of multiparticle entanglement // Quantum Information Processing. 2005. Vol. 4, no. 3. Pp. 241-250.

83. Lohmayer R., Osterloh A., Siewert J., Uhlmann A. Entangled three-qubit states without concurrence and three-tangle // Physical review letters. 2006. Vol. 97, no. 26. P. 260502.

84. Mandilara A., Akulin V., Smilga A., Viola L. Quantum entanglement via nilpotent polynomials // Physical Review A. 2006. Vol. 74, no. 2. P. 22331.

85. Mattle K., Weinfurter H., Kwiat P., Zeilinger A. Dense coding in experimental quantum communication // Physical Review Letters. 1996. Vol. 76, no. 25. Pp. 4656-4659.

86. Meyer D., Wallach N. Global entanglement in multiparticle systems // Journal of Mathematical Physics. 2002. Vol. 43. P. 4273.

87. Montana D., Davis L. Training feedforward neural networks using genetic algorithms // Proceedings of the eleventh international joint conference on artificial Intelligence. Vol. 123. 1989.

88. Mora C., Briegel H., Kraus B. Quantum Kolmogorov complexity and its applications // Arxiv preprint quant-ph/0610109. 2006.

89. Munshi A. OpenCL Specification VI: Tech. rep.: 0. Technical report, Khronos OpenCL Working Group, 2008.

90. Naik D., Peterson C., White A. et al. Entangled state quantum cryptography: Eavesdropping on the Ekert protocol // Physical review letters. 2000. Vol. 84, no. 20. Pp. 4733-4736.

91. Nielsen M. Majorization and its applications to quantum information theory // Available a t http://www. qinfo. org/talks/1999/06-maj/maj. pdf. 1999.

92. Ozhigov Y. Easy Control over Fermionic Computations // Decoher-ence, Entanglement and Information Protection in Complex Quantum Systems. Pp. 27-32.

93. Ozhigov Y. Quantum computers speed up classical with probability zero // Arxiv preprint quant-ph/9803064. 1998.

94. Ozhigov Y. Constructive approach to quantum computer // Quantum computers and computing. 2008. Vol. 7, no. 1. Pp. 133-140.

95. Panait L., Luke S. A comparative study of two competitive fitness functions // Proceedings of the Genetic and Evolutionary Computation Conference (GECCO 2002) / Citeseer. 2002.

96. Preskill J. Lecture notes for physics 229: Quantum information and computation // California Institute of Technology. 1998.

97. Robinson J., Sinton S., Rahmat-Samii Y. Particle swarm, genetic algorithm, and their hybrids: optimization of a profiled corrugated horn antenna // IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium, 2002. Vol. 1. 2002.

98. Schliemann J., Cirac J., Kus M. et al. Quantum correlations in two-fermion systems // Arxiv preprint quant-ph/0012094. 2000.

99. Schrödinger E. Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik // Naturwissenschaften. 1935. Vol. 23, no. 49. Pp. 823-828.

100. Schrödinger E. The Present Situation in Quantum Mechanics: A Translation of Schrödinger's 'Cat Paradox'Paper // Proceedings of the American Philosophical Society. 1980. Vol. 124. Pp. 323-38.

101. Shannon C. A mathematical theory of communication // ACM SIGMO-BILE Mobile Computing and Communications Review. 2001. Vol. 5, no. 1. Pp. 3-55.

102. Shor P. Algorithms for quantum computation: Discrete logarithms and factoring // ANNUAL SYMPOSIUM ON FOUNDATIONS OF COMPUTER SCIENCE / Citeseer. Vol. 35. 1994. Pp. 124-124.

103. Siddique M., Tokhi M. Training neural networks: backpropagation vs. genetic algorithms // Neural Networks, 2001. Proceedings. IJCNN'01. International Joint Conference on. Vol. 4. 2001.

104. Stacey A., Jancic M., Grundy I. Particle swarm optimization with mutation // Evolutionary Computation, 2003. CEC'03. The 2003 Congress on. Vol. 2. 2003.

105. Tilma T., Sudarshan E. Generalized Euler angle parametrization for SU (N) // Journal of Physics A-Mathematical and General. 2002. Vol. 35, no. 48. P. 10467.

106. Tilma T., Sudarshan E. Generalized Euler angle parameterization for U (N) with applications to SU (N) coset volume measures // Journal of Geometry and Physics. 2004. Vol. 52, no. 3. Pp. 263-283.

107. Ufimtsev I., Martinez T. Quantum chemistry on graphical processing units. 1. strategies for two-electron integral evaluation // Journal of Chemical Theory and Computation. 2008. Vol. 4, no. 2. Pp. 222-231.

108. Ursin R., Jennewein T., Aspelmeyer M. et al. Communications: Quantum teleportation across the Danube // Nature. 2004. Vol. 430, no. 7002. P. 849.

109. Ursin R., Tiefenbacher F., Schmitt-Manderbach T. et al. Entanglement-based quantum communication over 144 km // Nature Physics. 2007. Vol. 3, no. 7. Pp. 481-486.

110. Vedral V., Plenio M. Entanglement measures and purification procedures // Physical Review A. 1998. Vol. 57, no. 3. Pp. 1619-1633.

111. Verstraete F., Dehaene J., De Moor B. Normal forms and entanglement measures for multipartite quantum states // Physical Review A. 2003. Vol. 68, no. 1. P. 12103.

112. Verstraete F., Dehaene J., De Moor B., Verschelde H. Four qubits can be entangled in nine different ways // Physical Review A. 2002. Vol. 65, no. 5. P. 52112.

113. Vidal G. Entanglement monotones // Journal of Modern Optics. 2000. Vol. 47, no. 2. Pp. 355-376.

114. Vidal G. Efficient classical simulation of slightly entangled quantum computations // Physical Review Letters. 2003. Vol. 91, no. 14. P. 147902.

115. Waldemar P., Ramstad T. Hybrid KLT-SVD image compression // 1997 IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1997. ICASSP-97. Vol. 4. 1997.

116. Wei T., Goldbart P. Geometric measure of entanglement and applications to bipartite and multipartite quantum states // Physical Review A. 2003. Vol. 68, no. 4. P. 42307.

117. Whitley D. Genetic algorithms and neural networks // Genetic Algorithms in Engineering and Computer Science. 1995. Pp. 203-216.

118. Wiegand R., Liles W., De Jong K. An empirical analysis of collaboration methods in cooperative coevolutionary algorithms // Proceedings of the Genetic and Evolutionary Computation Conference (GECCO). 2001. Pp. 1235-1242.

119. Wiesner S. Simulations of many-body quantum systems by a quantum computer // Arxiv preprint quant-ph/9603028. 1996.

120. Wiseman H., Vaccaro J. Entanglement of indistinguishable particles shared between two parties // Physical review letters. 2003. Vol. 91, no. 9. P. 97902.

121. Wong A., Christensen N. Potential multiparticle entanglement measure // Physical Review A. 2001. Vol. 63, no. 4. P. 44301.

122. Wootters W. Entanglement of formation of an arbitrary state of two qubits // Physical Review Letters. 1998. Vol. 80, no. 10. Pp. 22452248.

123. Wootters W., Zurek W. A single quantum cannot be cloned // Nature. 1982. Vol. 299. P. 802.

124. Zalka C. Efficient simulation of quantum systems by quantum computers // Arxiv preprint quant-ph/9603026. 1996.

125. Zanardi P. Quantum entanglement in fermionic lattices // Physical Review A. 2002. Vol. 65, no. 4. P. 42101.