Вероятностные, информационные и корреляционные характеристики квантовых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Маркович Любовь Анатольевна

• Маркович Любовь Анатольевна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Маркович Любовь Анатольевна

1.2 Базовый формализм

1.2.1 Кубит, кудит и вектор состояния

1.2.2 Операторы

1.2.3 Матрица плотности

1.2.4 Сепарабельность и запутанность

1.2.5 Системы с подсистемами

1.3 Энтропия и информация

1.3.1 Х-состоянпе и состояние Вернера

1.3.2 Томограмма спинового состояния

1.3.3 Максимум информации Шеннона для состояния Вернера

1.3.4 Отрицательность и согласованность

1.4 Запутанность и ее характеристики

в системе из одного кудита

1.4.1 Отрицательность и согласованность

для системы из одного кудита

1.4.2 Вернеровское состояние с двумя параметрами

1.4.3 Новые следовые неравенства типа Минковского для системы из одного кудита

1.4.4 Х-состояние одного кудита

1.4.5 Симметричное спиновое состояние

1.5 Энтропия и информация системы из одного кутрита

1,5,1 Отрицательность и согласованность для кутрита

1.6 Энтропии Репьи и Тцаллиса

для двухкубитных и кудитных систем

1,6,1 Энтропия Тцаллиса для Х-состояпия

2 Зависимость сепарабельности и запутанности от системы координат

2,1 Введение

2.2 Критерий Переса-Городецкого

2.3 Унитарные матрицы вращения

2.3.1 Случай чистого состояния

2.3.2 Случай общего состояния

2.4 Связь сепарабельности и граничных условий

2.4.1 Две частицы, заключенные в одномерную «коробку»

2.4.2 Одна частица, заключенная в двумерную «коробку»

2.4.3 Временная эволюция ковариации центра масс

2.4.4 Функция Грина и временная эволюция

3 Стиринг и корреляции для кудитных квантовых систем

3.1 Квантовый стиринг

3.1.1 Корреляции в системе из одного кудита

3.1.2 Примеры Х-состояний систем из одного кудита

3.2 Стиринг в спиново-томографическом представлении для системы из двух ку-

битов

3,2,1 Томографическая связь между системами из двух кубитов и из одного

кудита

3.3 Корреляционная функция в системе из одного кудита

3.3.1 Физический смысл корреляционной функции в системе из одного кудита

3.3.2 Применение полученных результатов

4 Новые соотношения для специальных функций

4.1 Обратимое отображение индексов и неприводимое унитарное представление группы БII(2)

4.1.1 Неприводимые унитарные представления матричных элементов группы Би( 2)

4.1.2 Примеры для систем со спинами ] = 3/2 и ] =

4.1.3 Примеры взаимнооднозначных отображений и энтропий

4.2 Обратимое отображение индексов и неприводимое унитарное представление

группы 811(1,1)

4,2,1 Неравенства для представлений матричных элементов группы 811(1,1)

4.3 Смешанные состояния с Гауссовой

функцией Вигнера

4.3.1 Одномодовые смешанные состояния

4.3.2 Функция распределения двумодового сжатого света

4.3.3 Новые неравенства для полиномов

Эрмита, Лагера и Лежандра

4.4 Квадратурное соотношение неопределенностей и функция распределения , , ,

4.5 Примеры различных состояний

5 Оптимальная нелинейная фильтрация квантовых состояний

5.1 Фильтрация неизвестного сигнала

5.2 Модель слабых измерений

5.3 Фильтрация неизвестного сигнала

5.4 Модель наблюдения системы из одного к у. 1111а

5.5 Неравенства для квантовой томографической взаимной информации

Заключение

Список литературы

Приложения

5.6 Приложения к Главе

5.7 Приложения к Главе

5.8 Приложения к Главе

5.9 Приложения к Главе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вероятностные, информационные и корреляционные характеристики квантовых систем»

Введение

Актуальность работы. Изучение квантовых систем открыло их уникальное свойство - явление запутанных состояний. Квантовые состояния двух и более запутанных объектов, входящих в квантовую систему, оказываются взаимозависимыми, причем эта зависимость сохраняется даже при разнесении их в пространстве за пределы любых известных взаимодействий, Подобное свойство играет центральную роль в квантовой теории информации и таких технологиях, как квантовые компьютеры, квантовые криптография и телепорта-ция. Квантовые вычислительные системы предполагается строить из элементарных вычислительных элементов, а именно квантовых битов - кубитов. Известно, что единица измерения количества информации в классических компьютерах (бит) принимает два значения: логические ноль и единицу. Напротив, кубиты, как квантовые объекты, могут находиться еще и в когерентной суперпозиции этих двух состояний, то есть описывать промежуточные состояния между логическими нулем и единицей, С возрастанием числа объединенных кубитов, мощность квантовой вычислительной системы экспоненциально растет. Предполагается, что квантовые компьютеры смогут за конечное время решать задачи, на которые у классических суперкомпьютеров уходит значительное время. Известным примером служит «взлом» криптографического алгоритма ESA, основанного на поиске разложения больших чисел на простые множители. Классический компьютер, решая подобную задачу методом полного перебора, затрачивал бы гигантское время, сопоставимое с временем существования вселенной, в то время как квантовая вычислительная система может решить эту проблему за минуты. Реализация подобного компьютера имеет несколько препятствий. Квантовые состояния ионов, электронов и джозефсоновские контакты, используемые в качестве кубитов, крайне неустойчивы и сохраняются недолго, а для реализации вычислительных алгоритмов нужно иметь набор провзаимодействовавших кубитов в определенном известном состоянии. За последние годы удалось увеличить время устойчивости состояний кубитов от наносекунд до милпсекунд. Однако контролировать состояние из большого числа кубитов до сих пор представляется сложной задачей.

Для решения этой проблемы можно использовать в качестве квантовых объектов не кубиты, а кудиты, т.е. многоуровневые квантовые системы, число состояний которых больше двух. Этот прием сокращает размерность системы во много раз, а благодаря большей устойчивости требует меньших затрат. Таким образом, изучение кудитных систем представляет большой интерес для развития квантовых технологий.

Широкий ряд работ посвящен изучению различного рода характеристик для квантовых корреляций в системах с подсистемами. Например, понятие квантовой запутанности (entanglement phenomenon (англ,)) [222], хорошо изученное на примере двух частиц со спинами j = 1/2 и может служить ресурсом для развития квантовых технологий [192]. Корреляции также могут ассоциироваться с квантовым дискордом (quantum discord (англ,)) [159,186], Двухчастичные состояния системы определяются матрицей оператора плотности

р(1,2), который действует в гильбертовом пространстве Н состояния системы, предетави-мым тензорным произведением Н = Н^ ® Н2 гильбертовых пространств первого и второго состояний подсистем, соответственно. Такой подход позволяет сконструировать редуцированные операторы (reduced operator (англ,)) плотности, описывающие состояния первой и второй подсистем, как р(1) = Tr2p( 1, 2) и р(2) = Тг\р(1, 2), Составные системы имеют корреляции между подсистемами, поэтому физический смысл запутанности для них определяется естественным образом [52], Наличие корреляций в системах с подсистемами обнаруживается с помощью неравенства Белла (Bell (англ,)) [65,120,247], нарушающегося для запутанных состояний [64], а также энтропийных и информационных неравенств, известных как для классических функций распределения и классических наблюдаемых случайных величин [119], так и для матриц плотности составных систем. Для двух- и трех-чаетичных систем энтропийные неравенства задаются как неравенства субаддитивности и сильной субаддитивности, определяющие степень запутанности в системе [139,191],

В недавних работах [60,161] было показано, что квантовые корреляции, известные для многочастичных систем, существуют и в системах без подсистем, т.е. в системах из одного кудита. Такие корреляции названы «скрытыми» (hidden correlations (англ,)). Однако исследованию квантовых характеристик систем без подсистем, таких как один кутрит или кудит, в литературе уделено мало внимания,

В [88,153] предложено вероятностно-томографическое представление спинового состояния кудита, В этом представлении кудитное состояние ассоциируется со спиновой томограммой, являющейся вероятностью, определяемой оператором матрицы плотности состояния. Соотношение между спиновой томограммой и оператором плотности взаимнооднозначно и обратимо. Таким образом, томограмма содержит в себе всю информацию о квантовом состоянии системы. Для нескольких кудитов спиновая томограмма также является совместной функцией распределения. Это дает возможность восстановить по ней оператор плотности. Так как кудитное состояние в томографическом представлении соответствует обычной функции распределения, ее можно использовать как в энтропии и информации Шеннона, так и в других энтропиях, например, Репьи и Тцаллиса [206,241], В [183] показано, что энтропия фон Неймана является минимумом информации Шенона в спиново-томографическом представлении для всех унитарных преобразований в гильбертовом пространстве для кулич пых систем. Существует ряд энтропийных неравенств для классических и квантовых систем [139,140,202,205,247], Неравенства, связанные со спиново-томографической энтропией и энтропией фон Нейманна, используются как для составных систем, так и для систем без подсистем [58,60,61,158],

В связи с развитием экспериментальной базы возникают проблемы, связанные с оценкой и фильтрацией квантовых состояний. Проблема фильтрации неизвестного сигнала из смеси с шумом хорошо изучена в классической теории вероятностей, В [214] известная в области классической теории управления процедура, а именно Калмановская фильтрация [128], была применена к квантовым задачам. Фильтр Калмана обеспечивает оптимальное решение для линейной рекуррентной модели наблюдения с гауссовым шумом. Однако на практике,

как в классической, так и в квантовой механике, модели наблюдения неллинейны. Известно, что фильтр Калмана не дает оптимального решения задачи фильтрации для нелинейных моделей. Поэтому применяются методы линеаризации моделей наблюдения и псевдо-Калмановекие фильтры, которые могут не давать оптимальных решений.

Диссертационная работа посвящена задачам исследования свойств и характеристик квантовых систем без подсистем. Первая задача связана с нахождением новых информационных характеристик квантовых состояний систем без подсистем. Понятия квантовой запутанности и корреляции изучаются для систем из одного кудита со спином j = 3/2 и одного кутрита, как известно, не содержащих подсистем. Для таких многоуровневых квантовых систем получены такие характеристики запутанности, как отрицательность (negativity (англ,)) и согласованность (concurrence (англ,)).

Вторая задача посвящена исследованию зависимости запутанности и сепарабельности от системы координат, В частности, исследуются квантовые корреляции в четырехуровневом атоме с использованием универсальных унитарных преобразований классической (диагональной) матрицы плотности. Подробно раеемотриваютея такие частные случаи, как чистое состояние, X -состояние и состояния Вернера, Обсуждается геометрический смысл унитарных вращений гильбертовой системы координат, порождающих запутывание в первоначально сепарабельном состоянии. Характеристики запутанности в терминах отрицательности, согласованности и энтропии получены как функции унитарной матрицы вращения. Далее исследуется система из двух частиц в двумерном конфигурационном пространстве S. Показано, что независимое от времени уравнение Шредингера этой системы может не разделяться на два одномерных одночаетичных уравнения Шредингера при наличии таких специльных граничных условий, как удержание в ограниченной области S (confinement (англ,)) и/или введения условий непроницаемости частиц. Рассматриваемая задача может быть приведена к задаче о движении одной частицы, находящейся в ограниченной области в двумерном конфигурационном пространстве. Рассмотрены случаи квадратного, треугольного, ромбовидного и прямоугольного квантовых «бильярдов» (quantum biliard (англ,)), С помощью соответствующих функций Грина, выраженных через вз -функции Якоби, изучена временная эволюции ковариации координат центра масс систем.

Третья задача посвящена квантовому стирингу (quantum steering (англ,)) в системах без подсистем. Известные корреляционные неравенства для обнаружения стиринга в системах с подсистемами распространены в работе на случай одиночных многоуровневых систем. Наконец, для систем без подсистем введены такие их характеристики, как томографическая энтропия Шеннона и энтропии фон Неймана, Репьи и Тцаллиса, относительная энтропия, вместе с соответствующими им информационными неравенствами. Следовые неравенства типа Минковекого (Minkowski like trace inequalities (англ,)), известные для систем из двух кубитов, распространены на случай системы из одного кудита со спином j = 3/2, Исследован как случай неравенства с одним параметром, так и с двумя. Все результаты рассмотрены на примерах известных состояний Вернера, Гиссина и Х-состояния,

С помощью полученных энтропийных неравенств и унитарных неприводимых представ-

лений групп SU{2) n SU( 1,1) в четвертой задаче диссертации получены новые неравенства для полиномов Якоби, Лежандра, Эрмита и для Гауссовой гипергеометрической функции. Исследовано влияние невыполнения квадратурного соотношения неопределенностей на существование функции распределения состояния.

Пятая задача посвящена разработке метода фильтрации, оптимального для нелинейных квантовых процессов, С этой целью, общее уравнение фильтрации [237], известное в теории вероятности, было применено для квантовой модели наблюдений, основанной на двух кубитах, В статье автора [176] доказано, что оптимальное уравнение фильтрации есть не что иное, как фильтр Калмана в случае линейной модели с Гауссовым шумом. Так как оптимальное уравнение фильтрации не содержит явных вероятностных характеристик неизвестной ненаблюдаемой последовательности, предложенный в диссертации метод позволяет найти оптимальную оценку квантового состояния, зная только наблюдаемые случайные величины, а именно измерения, произведенные на пробном кубите в известном состоянии. Так же предложена квантовая модель измерения для состояния из одного кудита. Метод оптимальной фильтрации, предложенный для двухкубитной модели, распространен для такой модели наблюдения. Новый тип моделей наблюдения полезен для возможного практического использования многоуровневых атомов.

Методы и подходы. В диссертации для всех задач используется томографико-вероятноетное представление квантовой механики [124, 150], Это представление основано на описании квантовых состояний в терминах функций распределения вероятностей, называемых квантовыми томограммами. Томограммы содержат всю доступную информацию о квантовом состоянии и связаны с операторами плотности посредством обратимых преобразований, Существует несколько видов томограмм, связанных между собой. Для непрерывных переменных - это симплектическая [150], оптическая, центра масс [25] и Френелевская [72] томограммы, а для дискретных случайных величин - это томограммы спиновая и счета фотонов [33,151], Такой подход позволяет использовать классический математический аппарат для функций распределения вероятностей и их характеристик таких, как энтропия и информация, При этом функция распределения, определяющая квантовое состояние, может быть померена непосредственно.

Степень разработанности темы. В [58, 60, 61, 160, 161] показано, что квантовые свойства систем без подсистем могут быть сформулированы при помощи метода взаимнооднозначных отображений. Это означает, что целые числа 1,2,3,..., являющиеся индексами элементов матриц плотности, могут быть отображены на пары (тройки и т.д.) чисел (hj)j hi = 1,2,.... Например, состояние одного кудита со спином j = 0,1/2,1, 3/2, 2,... может быть отображено на оператор плотности системы, содержащей подсистемы, как например, состояние из двух кубитов. Известные корреляционные свойства составных систем такие, как запутанность, корреляция, стиринг и дискорд сформулированы для систем без подсистем в [61,134,166], Квантовые корреляции для системы из одного кудита используются для формулировки квантового контекста (quantum eontextualitv (англ,)) в [134], В [160] обсуждалось понятие запутанности и корреляции для системы из одного кудита, В [59] предложено

использовать метод кубитпого портрета для получения новых энтропийных неравенств для ку. 1Н1 пых систем, а также получено новое энтропийное неравенство для системы из одного кутрита (] = 1), Однако, до сих пор другими авторами не проводилось подробного исследования понятия запутанности, стиринга, корреляций и их природы в системах без подсистем, несмотря на фундаментальный характер этих задач, В то же время, в последние годы системы без подсистем были реализованы как, например, трехуровневый искусственный атом на базе джозефсоновского контакта, см, [104,133], Матрица плотности такого кутритного состояния может быть измерена методом квантовой томографии (см, [227]), где квантовые состояния ассоциируются с вероятностями [124],

Актуальность задач, поставленных в диссертационной работе, определяется необходимостью рассмотрения новых многоуровневых квантовых систем, таких как кудитные квантовые системы без подсистем, в связи с быстрым развитием квантовых технологий в квантовых коммуникациях, вычислениях и криптографии.

Целью диссертационной работы является дальнейшее исследование свойств многоуровневых квантовых систем без подсистем, включая квантовые корреляции, явления запутанности, соотношения неопределенностей и неравенств для статистических характеристик (энтропии и информации) квантовых систем кубитов и кудитов, систем с непрерывными переменными типа квантовых цепочек и многоуровневых атомов.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в том, что рассмотренные в ней формулы, выводы и свойства квантовых и классических систем являются новыми, выведенными в соответствии с вероятностным представлением квантовых состояний, полученным в последнее десятилетие.

На защиту выносятся следующие положения:

1, получены новые энтропийные и информационные неравенства, а так же следовые неравенства типа Минковекого, характеризующие запутанность для систем из двух кубитов, одного кудита со спином у •'! 2 н кутрита;

2, выведены условия на унитарную матрицу поворота, переводящую систему четырехуровневого атома из сепарабельного состояния в запутанное;

3, получены спецпльные ограничения типа удержания и непроницаемости, влияющие на сепарабельность в системе, а так же граничные условия для частицы, заключенной в «ящики» сложных форм;

4, получено выражение квантового стиринга в терминах спиновых томограмм на основе введенных понятий квантовой корреляции и квантового стиринга в системе из одного кудита со спином ] = 3/2,

5, предложен и применен метод получения новых соотношений для классических математических полиномов Эрмита, Лагера, Лежандра и гипергеометрической функции, основанный на использовании известных энтропийных неравенств для квантовых систем и неприводимых унитарных представлений групп 811(2) и 811(1,1);

6, реализован новый общий метод квантовой фильтрации для нелинейной квантовой модели наблюдения, обеспечивающий оптимальное решение задачи оценивания состояния при известных наблюдаемых случайных величинах.

Практическая значимость полученных результатов определяется тем, что с их помощью выясняются фундаментальные аспекты квантовой теории, на основе которых базируется развитие новых квантовых технологий, таких как криптография, квантовый компьютер и телепортация.

Апробация работы. Основные результаты доложены на следующих международных конференциях:

1, Advances in foundations of quantum mechanics and quantum information with atoms and photons (Quantum 2014) (Турин, Италия, 26-31 мая, 2014),

2, Quantum theory: from problems to advances (QTPA) в Linnaeus University (Вакша, Швеция, 2014),

3, 57-й, 58-й, 59-й, 60-й научных конференциях МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе» (г, Долгопрудный, Московской области, 2014-2017 гг.),

4, Quantum Networks (QBNET 2016) (Барселона, Испания, 30 марта- 1 апреля, 2016)

5, Quantum Roundabout, Student conference on the mathematical foundations of quantum physics, (Ноттингем, Англия, 6-8 июля, 2016),

6, Information Technology and Systems 2016, The 40th Interdisciplinary Conference and School (Санкт Петербург, Россия, 25-30 сентября, 2016),

7, Вероятностные, информационные и корреляционные характеристики квантовых систем, семинар Structural Lerning в ИППИ РАН (Москва, Россия, 13 октября, 2016)

8, The Separability property in confined quantum systems (Quantum 2017) (Турин, Италия, 7-15 мая, 2017).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 14 статьях [165], [166], [168], [169], [167], [170], [172], [171], [173], [174], [9], [8], [176], [175] в рецензируемых журналах из перечня ведущих периодических изданий ВАК и SCOPUS.

Личный вклад автора. Все теоретические результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно. Постановка большей части задач выполнена научным руководителем, задача в [175] поставлена проф. Мессиной. Обсуждение результатов работ проводилось совместно с соавторами.

Структура и объем диссертационной работы Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации 153 страницы. Библиография включает 255 наименований на 18 страницах.

и

В первой главе даны базовые понятия и определения, рассмотрены квантовые корреляции в ку. 1Н1 нон системе при помощи специальной матричной характеристики - разницы между квантовой информацией фон Нейманна и максимумом томографической информации Шеннона в зависимости от всех унитарных преобразований в гильбертовом пространстве состояний двухкубитной системы. Данная характеристика вычислена точно и исследована для состояния Вернера в зависимости от различных параметров. Развиты результаты, полученные в [60,61], где состояние одного кудита со спином ] = 3/2 исследовалось на наличие запутанности. Для Х-состояпия построена матрица плотности рз/2 кудита со спином ] = 3/2 и аналоги редуцированных матриц плотностей "искусственных подсистем "р(1) и р(2), При помощи взаимнооднозначного отображения р3/2 р( 1,2) введено понятие сепарабельности и запутанности для системы из одного кудита со спином ] = 3/2, Получены выражения для энтропии и информации фон Неймана, а так же энтропийные неравенства для Х-состояния одного кудита со спином ] = 3/2, Введено понятие отрицательности и согласованности для систем без подсистем на примере матриц плотности 3x3, описывающих кутритное состояние. Предложены новые энтропийные неравенства для систем со спином j = 1 (кутрит), когда система соответствует двум фермионам в симметричном спиновом состоянии. Аналогичные энтропийные неравенства изучены для систем без подсистем, например, для трехуровневого атома.

Во второй главе рассматриваются квантовые корреляции, связанные с явлением пе-репутывания в составной и одночастичной системах с собственными векторами матриц плотности состояний систем. Используя известный факт, что свойства запутанности зависят от системы отсчета, определяемой собственными векторами наблюдаемых, введена унитарная матрица, построенная как множество нормированных собственных векторов матрицы плотности, организованных как совокупность столбцов унитарной матрицы. Используя специальную параметризацию унитарных матриц, найдены область параметров матрицы преобразования, которая переводит матрицу плотности чистых состояний в сепарабельное состояние. Для общего случая смешанных состояний были найдены области определения элементов для специальных типов матриц вращения, таких как клеточная матрица, блочная матрица и X -матрица. Все результаты проиллюстрированы на примерах чистых и смешанных состояний и матриц поворота разных типов.

Изучены условия, при которых нарушается сепарабельность центра масс и относительного движения для одномерной системы из двух невзаимодействующих частиц, связанных общим ограничением. Рассмотрен случай движения двух частиц внутри конечного и неизменного интервала / С Д. В дополнение к такому граничному условию рассмотрены случаи, когда относительная координата может принимать как положительные, так и отрицательные значения и, когда одна из двух частиц всегда находится на одной стороне по отношению к другой. Последняя ситуация рассматривается как «условие непроницаемости» и понимается как добавочное ограничение на систему, В диссертационной работе исследовано полностью неограниченное движение двух частиц, то есть I = Я для случая отсутствия непроницаемости и для случая присутствия хотя бы одно из двух ограничений. Проиллюстрировано, что

существование базиса факторизованных стационарных состояний двух даже невзаимодействующих квантовых частиц критически зависит от того, будут ли и как соответствующие динамические переменные алгебраически связанны на границе двумерной области, за пределами которой любая волновая функция, удовлетворяющая граничным условиям, обращается в ноль. Другими словами, отделимость зависит не только от структуры относительного уравнения Шредингера, но и от геометрической формы области нормировки. Это позволяет перейти от одномерной системы из двух невзаимодействующих частиц к движению фиктивной частицы, движущейся в плоскости внутри области, форма которой определяется ограничениями, наложенными на исходную двухчастичную систему. Вторая часть этой Главы посвящена задаче квантового бильярда (quantum billiard (англ,)) с такими формами, как квадрат, ромб, треугольник и прямоугольник. Получены граничные условия на волновую функцию для каждого бильярда и временная эволюция ковариации координат центра масс, для чего использована функция Грина в форме вз -функции Якоби,

В третьей главе рассматриваются квантовые свойства систем без подсистем (один кудит). Используя метод взаимнооднозначного отображения индексов, введен аналог корреляционной функции для системы из одного кудита и, понятие стирпнга определено для систем без подсистем. Так же получено томографическое представление корреляционной функции. На ее основе записано неравенство для детектирования стиринга в системах без подсистем. Используя томографическое представление, получена связь между стпрпнгом в системе из двух кубитов и стирипгом в системе из одного кудита со спином j = 3/2,

В четвертой главе рассматриваются неприводимые унитарные представления двух матричных групп SU{2) и SU( 1,1). Известно, что матричные элементы таких групп пред-ставимы в виде полиномов Якоби, Лежандра, Гаусса, Эрмита и других. Эти представления использованы для построения новых неравенств для классических полиномов и специальных функций. Так же рассмотрены функции распределения смешанных состояний с Гауссовой функцией Вигнера, предетавимые в виде классических полиномов, С помощью энтропийных неравенств, получены новые соотношения для полиномов Якоби, Лежандра, Эрмита, а так же для Гауссовой гипергеометрической функции. Рассмотрена связь между существованием функции распределения и выполнением квадратурного соотношения неопределенностей,

В пятой главе рассматривается задача квантовой нелинейной фильтрации. Используя метод взаимнооднозначного отображения индексов, модель наблюдения, основанная на непрямых измерениях на пробном кубите, записана для системы из одного кудита. Так как приведенные модели могут быть нелинейными, известный подход на основе фильтра Кал-манн не дает оптимального решения. Предлагается общее уравнение фильтрации, что дает оптимальное решение для нелинейных моделей наблюдения, зная только наблюдаемые случайные величины, В отличие от известных в литературе методов оценки состояния, предложенный метод не опирается на какие-либо упрощения модели наблюдения также, как линеаризации или предположения о распределениях наблюдаемых случайных величин. Томографический подход используется далее для записи энтропии Шеннона для рассматриваемых состояний в зависимости от временного шага квантовой модели наблюдения. Используя эти

энтропии, получено новое информационное неравенство, зависящее от временного шага,

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Благодарности. Я выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю, профессору МФТИ Манько Владимиру Ивановичу, Именно благодаря ему, я набралась смелости и решилась изменить направление своих научных интересов от непараметрического статистического оценивания в сторону теоретической физики. Он стал моим главным учителем и наставником, терпеливо объяснял мне самые элементарные вещи и восполнял мои пробелы, Я благодарна В,И, Манько за постоянное внимание ко мне и терпение, поддержку и дружбу! Надеюсь, наша совместная работа продолжится и в дальнейшем. Также я выражаю глубокую благодарность доктору физ-мат наук профессору, зав, кафедрой теоретической физики МФТИ Белоусову Юрию Михайловичу и профессору университета г, Палермо (Италия) Антонио Мессине,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Маркович Любовь Анатольевна, 2018 год

Литература

[1] Андреев В,А,, Манько В,И, Томография двухчастичных спиновых состояний // ЖЭТФ.-1998.-Т.114.-С.437.

[2] Андреев В,А,, Манько В,И,, Манько О,В., Щукин Е.В. Томография спиновых состояний, критерий перепутанности и неравенства Белла // ТМФ,-2006,-Т,146,-С,140,

[3] Амосов Г, Г, Вероятностные и когомологичесеские характеристики квантовых динамических систем // Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. М..2008. 212 с,

[4] Пилявец О.В. Некоторые вопросы применения вероятностного представления в квантовой механике и теории бозонных квантовых каналов с памятью / / Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. 1 19 с. Москг.а. 2009.

[5] Коренной Я.А. Вероятностное представление квантовой механики и неклассических состояний поля излучения // диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М. 2011. 111 с.

[6] Ландау Л.Д. Проблема затухания в волновой механике // Фишка 1927. Т. 15. ('.130.

[7] Манько В.П., Манько О.В. Томография спиновых состояний // ЖЭТФ.-1997,-Т.112.Н.9.-С.796.

[8] Манько В.П., Маркович Л.А. Энтропийно-энергетические неравенства для кутрита на примере трехуровневого атома // Известия высших учебных заведений, Физика (ежемесячный научный журнал),-2016,-Т,59,Н,11,-С,178-181,

[9] Манько В.И. и Маркович Л.А. Фотонные распределения, неотрицательность информации и квадратурное соотношение неопределенностей // Инженерная физика,-2016,-Т,9,

[10] Манько В,И, и Маркович Л,А,, Оптимальная нелинейная фильтрация квантовых состояний , 60-я Научная конференция МФТИ, ISBN: 978-5-7417-0582-7, 20-25 Ноября, 2017

[11] Филиппов С.Н, Квантовые состояния и динамика спиновых систем и электромагнитного поля в представлении томографической вероятности / / Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М. 2012. 172 с.

[12] Чернега B.I 1. Вероятностное представление в квантовой физике // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.-М.,2013.-152с.

[13] Aguirre J., . Vallej J. Co, Sanjuan M, A. F. Wada basins and chaotic invariant sets in the Henon-Heiles system. // Phvs, Rev. E.-2001.-V.64.

[14] Aguirre J., C,, Mendes, E.V. Signal recognition and adapted filtering by non-commutative tomography // IET Signal Processing.-2014.-V.8.N.1.-P.67-75.

[15] Aim, C,, Dohertv, A. C.and Landahl, A. J.Continuous quantum error correction via quantum feedback control // Phvs. Rev. A.-2002.-V.65.-P.042301.

[16] Amore P., Fernandez F. M, Two particle harmonic oscillator in a one dimensional box // Acta Polytechnica.-2010.-V.50.-P. 17.

[17] Andreev V.A., Man'ko O.V., Man'ko V.I., Safonov S.S. Spin states and probability distribution functions //J. Russ. Laser Res.- 1998.-V.19.-P.340.

[18] Andrews M,,Gunson J. Complex angular momenta and manv-particle states properties of local representations of the rotation group // J. Math. Phvs - 1964.-V.5.N.10.-P.1391.

[19] Andrews G.E., Askev R,, Roy R. Special Functions // Cambridge: Cambridge University Press.- 1999.-V.2.N.8.

[20] Angelis M,, Gagliardi G,, Gianfrani L,, Tino G. M. Test of the symmetrization postulate for spin-0 particle // Phvs. Rev. Lett.-1996.-V.76.-P.2840.

[21] Anza F,, Martino S. Di, Messina A., Militello B. Dynamics of a particle confined in a two-dimensional dilating and deforming domain // Phvsica Seripta,-2015,-V,90,N,7,-P,074062,

[22] Aquino N,, Castaco E. The confined two-dimensional hydrogen atom in the linear variational approach // Revista Mexicana de Fesiea,-2005,-V,51,

[23] Aric M,, Coon D.D., Lam Y. Introduction of a finite set of quon operators in the context of the dual resonnace model // J. Math. Phvs - 1975.-V.16.-P.1776.

[24] Arkhipov A.S., Man'ko V.I. Relativistie Systems and Their Evolution in Quantum Tomography //J. Russ. Laser Res,-2004,-V,25,N,5,-P,468-476,

[25] Arkhipov A.S., Lozovik Y.E., Man'ko V.I. Tomography for several particles with one random variable //J. Russ. Laser Res.-2003.-V.24.N.3..-P.237-255.

[26] Armen, M. A., Au, J. K,, Stockton, J. K,, Dohertv, A. C. and Mabuchi, H. Adaptive homodvne measurement of optical phase // Phvs. Rev. Lett,-2002,-V,89,-P,133602,

[27] Artuso R,, Casati G,, Guarneri I. Numerical study on ergodic properties of triangular billiards // Phvs. Rev. E.-1997.-V.55.

[28] Asherova H.M.. Knyr V.A., Smirnov Y.F., Tolstoi V.N, Some group-theory aspects of the method of generalized hyperspherieal functions // Yad. Fiz,-1975,-V,21,N,5,-P,1126-1134,

[29] Aspect A. , G. Roger, S. Revnaud, J. Dalibard, C. Cohen-Tannoudji // Time Correlations between the Two Sidebands of the Resonance Fluorescence Triplet // Phvs, Rev. Lett,-1980.-V.45.-P.617.

[30] Atakishivev N.M. Fourier-Gauss Transforms of Some g-Speeial Functions // CRM Proceedings and Lecture Notes, Providence, RI: American Mathematical Society,-2000,-V.25.-P.13-21.

[31] Atakishivev N.M., Rueda J.P., Wol K.B. On g-extended eigenvectors of the integral and finite Fourier transforms //J. Phvs. A: Math. Theor,-2007,-V,40,-P,l-7,

[32] Audenaert K.M.R. Subadditivitv of g-entropies for q > 1 // J. Math. Phvs.-2007.-V.48,-P.083507.

[33] Banaszek K,, Wvdkiewiez K, Direct probing of quantum phase space by photon counting // Phvs. Rev. Lett.-1996.-V.76.N.23.-P.4344.

[34] Barehielli, A. Direct and heterodyne detection and other applications of quantum stochastic calculus to quantum optics.

Quantum Opt.-1990.-V.2.-P.423-441.

[35] Bargmann V. Irreducible unitary representations of the Lorentz group // Annals Mai h. 1947.-V.48.-P.568.

[36] Beghi A., Ferrante A., Pavon M. How to steer a quantum system over a Schrodinger bridge // Q. Inf. Proe,-2002,-V,1,N,3,-P. 183-206,

[37] Belavkin V, P. Towards the theory of control in observable quantum systems. // Automat, and Remote Control.-1983.-V.44.-P.178-188.

[38] Belavkin V. P. Quantum filtering of Markov signals with white quantum noise. // Radiotechnika i Eleetronika.-1980.-V.25.-P.1445-1453.

[39] Bell J.S. On the Einstein Podolskv Rosen Paradox // Physies.-1964.-V.l.-P.195 -200.

[40] Bellini M,, Coelho A.S., Filippov S.N.,Man'ko V.I., /avalla A. Towards higher precision and operational use of optical homodvne tomograms // Phvs. Rev. A - 2012.-V.85.-P.052129.

[41] Bennett C.H., Brassard G,, Criepeau ('.. Jozsa R,, Peres A., Wootters W.K. // Phvs. Rev. Lett.-1895 (1993).-V.70.

[42] Berry M. V., Wilkinson M. Diabolical Points in the Spectra of Triangles // Proc. R. Soc. Lond. A.-1984.-V.392.-P. 15-43.

[43] Bertrand J,, Bertrand P. A tomographic approach to Wigner's function // Found, Phys-1987.-V.17.-P.397.

[44] Biedenharn L.C. The quantum group SU(2)q and a g-analogue of the boson operators // J. Phvs. A: Math. Gen.-1989.-V.22.-P.L873.

[45] Blokhintsev D.I. The Gibbs Quantum Ensemble and its Connection with the Classical Ensemble //J. Phys.-1940.-V.2.-P.71.

[46] Bose S,, Casaccino A., Mancini S,, Severini S. Communication in xyz all-to-all quantum networks with a missing link // International Journal of Quantum Information,-2009,-V.7.N.4.-P.713-723.

[47] Bouten, L,, van Handel, R,, James, M. R. An introduction to quantum filtering. SIAM J.Control Optim.-2007.-V.46.-P. 199-2241.

[48] Bouten, L,, van Handel R,, James M. R. A Discrete Invitation to Quantum Filtering and Feedback Control.

SIAM Rev.-2009.-V.51.-P.239-316.

[49] Branezvk, A. M., Mendonca, P.E.M. F. Gilchrist, A. Dohertv, A. C., Bartlett, S. D. Quantum control of a single qubit.

Phvs. Rev. A.-2007.-V.75.-P.012329.

[50] Braunstein S.L., Ghosh S,, Severini S. Laplacian of a graph as a density matrix: a basic combinatorial approach to separability of mixed states // Ann. of Comb,-2006,-V,10,-P.291-317.

[51] Bunimovieh L. On the ergodic properties of nowhere dispersing billiards // Commun. Math. Phvs.-1979.-V.65.-P. 295-312.

[52] Can M.A., Klvaehko A.A., Shumovskv A.S. Single particle entanglement // J. of Opt. B, 2005.-V.7.N.2.-P.L1-L3.

[53] Carlen E.A., Lieb E.H. A Minkowski Type Trace Inequality and Strong Subadditivitv of Quantum Entropy // arXiv:math/0701352.-2007.

[54] Carlen E.A., Lieb E.H. A Minkowski Type Trace Inequality and Strong Subadditivitv of Quantum Entropy II: Convexity and Concavity // Lett. Math. Phvs.-2008.-V.83.-P. 107, arXiv:0710.4167.

[55] Casati G,, Prosen T. Mixing Property of Triangular Billiards // Phvs. Rev. Lett.--1999,-V.83.

[56] Chen J.L., Ye X.J., Wu C.F., Su H.Y., Cabello A., Kwek L.C., Oh C.H. Proof of Einstein-Podolskv-Rosen Steering // Scientific Reports,-1983,-V,88,-P,2143,

[57] Chernega V.N., Man'ko V.I. Bistohastie matrices and statistical characteristics of quantum observables //J. Euss. Laser Res.-2008.-V.29.-P.505-519.

[58] Chernega V.N., Man'ko V.I. Entropy and information characteristics of qubit states //J. Euss. Laser Ees.- 2008.-V.29.-P.505-519.

[59] Chernega V.N., Man'ko O.V., Man'ko V.I. Generalized qubit portrait of the qutrit-state density matrix //J. Euss. Laser Ees,-2013,-V,34,N,4,-P,383-387,

[60] Chernega V.N., Man'ko O.V., Man'ko V.I. Subadditivitv condition for spin-tomograms and density matrices of arbitrary composite and noncomposite qudit systems //J. Euss. Laser Ees.-2014.-V.35.N.3.-P.278-290.

[61] Chernega V.N., Man'ko O.V. Tomographic and improved subadditivitv conditions for two qubits and qudit with j = 3/2 // J. Euss. Laser Ees,-2014,-V,35,N,l,-P,27-38,

[62] Chernega V.N., Man'ko O.V., Man'ko V.I. Minkovskii-tvpe inequality for arbitrary density matrix of composite and noncomposite systems // J. Euss. Laser Ees,-2014,-V,36,N,1,-P. 17-23.

[63] Christandl M.. Mitchison G. The Spectra of Density Operators and the Kronecker Coefficients of the Symmetric Group // Commun. Math. Phvs // 2006.-V.261.N.3.-P.789-797.

[64] Cirel'son B.S. Quantum generalizations of Bell's inequality //J. Lett. Math. Phys,-1980,-V.4.N.2.-P.93-100.

[65] Clauser J.F., Home M.A., Shimonv A., Holt E.A. Proposed experiment to test local hidden-variable theories // Phys. Rev. Lett.-1969.-V.23.N.15.-P.880.

[66] Conradv F,, Hnvbida J. Unitary irreducible representations of SL{2,C) in discrete and continuous SU{ 1,1) bases // J.Math.Phys..-2011.-V.52.-P.012501.

[67] Braumuller J., Cramer J., Schlor S,, Eotzinger H,, Eadtke L,, Lukashenko A., Yang P., Marthaler M,, Guo L,, Ustinov A.V., Weides M. Multi-photon dressing of an anharmonic superconducting many-level quantum circuit // Phys. Eev,B,-2015,-V,91,-P,054523,

[68] Curtv M,, Lewenstein M,, Lutkenhaus N.Entanglement as a precondition for secure quantum key distribution // Phys. Rev. Lett.-2004.-V.92.N.21.-P.217903.

[69] Curtv M,, Guhne O,, Lewenstein M,, Lutkenhaus N. Detecting two-party quantum correlations in quantum-kev-distribution protocols// Phys. Rev. A,-2005,-V,71,N,2,-P.022306.

[70] Daskalovannis C. Generalized Deformed Oscillator and Nonlinear Algebras //J. Phys. A: Math. Gen.-1991.-V.24.N.15.-P.L789-L794.

[71] Dehkharghani A. S,, Volosniev A, G., Zinner N. T, Impenetrable mass-imbalaneed particles in one-dimensional harmonic traps // J, of Phys. A,-2016,-V,8,N,49,-P. 085301,

[72] De Nicola S,, Fedele R,, Man'ko M.A, et al, Fresnel tomography: a novel approach to wave-function reconstruction based on the Fresnel representation of tomograms // Theoretical and mathematical physics.-2005.-V.144.N.2.-P. 1206-1213.

[73] Deuar P.P. First-principles quantum simulations of many-mode open interacting Bose gases using stochastic gauge methods.-PhD Thesis.-2004.-Australia.

[74] Deutsch D. Quantum Theory, the Church-Turing Principle and the Universal Quantum Computer // Proc. Roy. Soc.-1985.-V.400.-P. 1818.

[75] Diji P. Parametrisation of unitary matrices // J. Phys. A: Math. Gen.-1982.-V.15.-P.3465-3473.

[76] DiVincenzo D. P. Quantum Computation // Science.-1995.-V.270.-P.255.

[77] Djajaputra D,, Cooper B. R. Hydrogen atom in a spherical well: linear approximation // Eu. J. of Phy.-2000.-V.21.N.3.-P.261.

[78] D'Helon, C,, Dohertv, A., James, M. R,, Wilson, S. Quantum risk-sensitive control // 45th IEEE Conference on Decision and Control CDC 2006 United States: (IEEE) Institute of Electrical and Electronics Engineers.-2006.

[79] D'Helon, C,, James, M. R. Stability, gain, and robustness in quantum feedback networks // Phys. Rev. A.-2006.-V.73.-P.053803.

[80] Dobrovidov, A. V Nonparametric methods of nonlinear filtering of stationary random sequences // Automat, and Remote Control.-1983.-V.44.N.6.-P.757-768.

[81] Dobrovidov, A. V., Koshkin, G. M. and Vasiliev V. A. Non-parametric State Space Models Paperback // Kendrick Press.-2012.

[82] Dodonov V.V., Man'ko V.I. Generalization of uncertainty relation in quantum mechanics // Proc. P. N. Lebedev Physical Institute (Trudy FIAN).-1989.-V.183.N.3-P.101.

[83] Dodonov V. V., Manko V. I. Invariants and the Evolution of Nonstationarv Quantum Systems // Proceedings of the P. N. Lebedev Physical Institute-1989,

[84] Dodonov V.V., Klimov A.B., Manko V. I. Generation of squeesed states in a resonator with a moving wall // Phys. Lett.A.-1990.-V.149.N.4.-P.225-228.

[85] Dodonov V.V., Klimov A.B., Nikonov D.E. J. Math. Phvs.-1993.-V.34.-P.3391.

[86] Dodonov V.V., Klimov A.B., Nikonov D.E. Quantum phenomena in nonstationarv media // Phys. Rev. A.-1993.-V.47.N.5.-P.4422.

[87] Dodonov V.V., Man'ko O.V., Man'ko V.I. Photon distribution for one mode mixed light with generic gaussian Wigner function // Phvs, Rev. A.-1994.-V.49.-P.2993.

[88] Dodonov V.V., Man'ko V.I. Positive distribution description for spin states // Phvs. Lett. A.-1997.-V.229.-P. 335-339.

[89] Dodonov E.V., Dodonov A.V., Dodonov V.V. Photon generation from vacuum in nondegenerate cavities with regular and random periodic displacements of boundaries // Phvs. Lett. A.-2003.-V.317.-P.378.

[90] Doescherand S. W,, Rice M. H,, Infinite Square-Well Potential with a Moving Wall // Am. J. Phys,-1969,-V,37,-P,1246,

[91] Edwards S.C., Belavkin V.P. Optimal Quantum Feedback Control via Quantum Dynamic Programming // quant-ph/0506018 University of Nottingham-2005.

[92] Ekert A. K. Quantum cryptography based on Bell's theorem // Phvs. Rev. Lett.-—1991.— V.367.-P.3 661.

[93] Einstein A., Podolskv Yu,, Rosen N. Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered // Phvs. Rev.-1935.-V.47.-P.777-780.

[94] Fernandez F. M. The confined hydrogen atom with a moving nucleus // Eu. J. of Phvs,-2009.-V.7.

[95] Fevnman R. P. Simulating Physics with Computers // Int. J. Theor. Phvs,-1982,-V,21, N.6/7.-P,467-488,

[96] Figueroa A., Lopez J., Castanos O,, Lopez-Pena R,, Man'ko M.A., Man'ko V.I. Entropv-energv inequalities for qudit states //J. of Phvs, A: Mathematical and Theoretical,-2015,-V.48.N.6.-P.065301.

[97] Filippov S.N., V. I. Manko Quantumness tests and witnesses in the tomographie-probability representation // Phvs. Scripta.-2009.-V.79.-P.055007.

[98] Fujii T., Matsuo S,, Hatakenaka N., Kurihara S,, Zeilinger A. Quantum circuit analog of the dynamical Casimir effect // Phvs. Rev. B.-2011.-V.4.N.17.-P.174521.

[99] Fulling S. A., Guntiirk K. S. Exploring the propagator of a particle in a box // Am. J. Phvs.-2003.-V.71. N. 55.

[100] Garcia J. M.. Medeiros-Ribeiro G,, Schmidt K,, Ngo T., Feng J. L., Lorke A., Kotthaus J., Petroff P. M. Appl. Phvs. Lett.-1997.-V.71.-P.2014.

[101] Gasper G,, Rahman M. Basic Hypergeometrie Series 2nd edn // Cambridge: Cambridge University Press.-2004.

[102] Gisin N. Hidden quantum nonlocality revealed by local filters // Phvs, Lett, A. Y.210. P.151-156.-1996.

[103] Glauber E.J, Coherent and Incoherent States of the Radiation Field // Phvs. Rev. V. 131.N.6.-2766.-1963.

[104] Glushkova A., Glushkov E,, Man'ko V.l. On Testing Entropie Inequalities for Superconducting Qudit // arXiv: 1504.08203.-2015.

[105] Gough, J. E,, Kostler, J. E. Quantum Filtering in Coherent States. // Communications on Stochastic Analysis.-2010.-V.4.N.4.-P.505-521.

[106] Gromov N.A., Man'ko V.l. The Jordan-Sehwinger representations of Caylev-Klein groups.

I. The orthogonal groups // J. Math. Phys,-1990,-V,31,-P,1054,

[107] Gromov N.A., Man'ko V.l. The Jordan-Sehwinger representations of Caylev-Klein groups.

II. The unitary groups // J. Math. Phvs.-1990.-V.31.-P.1054.

[108] Gromov N.A., Man'ko V.l. The Jordan-Sehwinger representations of Caylev-Klein groups.

III. The sympleetie groups // J. Math. Phvs.-1990.-V.31.-P.1060.

[109] Grover L.K. Quantum Mechanics Helps in Searching for a Needle in a Haystack // Phvs. Rev. Lett.-V.79.-P.325.-1997.

[110] Gueorguiev V. G,, Rau A. R. P., Draaver J. P. Confined One Dimensional Harmonic Oscillator as a Two-Mode System // Am. J. of Phvs.-2006.-V.74.N.5.-P.394.

[111] Guniberti G., Yi J., Porto M. Appl. Phvs. Lett.-2002.-V.81.-P.850.

[112] Hannesson T., Blinder S. M. Theta-function representation for particle-in-a-box propagator // Il Nuovo Cimento B Series 11.-1984.-V.79.N.2.-P.284-290.

[113] Hardy G.H., Littlewood J.E., Pylva G. Inequalities Cambridge Mathematical Library (second ed.). // Cambridge: Cambridge University Press-1952,

[114] Hedemann S.R. Evidence that All States Are Unitarilv Equivalent to X States of the Same Entanglement // http://arxiv.org/abs/1310.7038.-2014.

[115] Heisenberg W, Uber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik // Zeitschrift für Phvsik.-1927.-V.43.N.3.-P.172-198.

[116] Heller E. J. Bound-State Eigenfunctions of Classically Chaotic Hamiltonian Systems: Scars of Periodic Orbits // Phvs. Rev. Lett.-1984.-V.53.-P.1515-1518.

[117] Hilborn R.C., Yuca C.L. Spectroscopic test of the symmetrization postulate for spin-0 nuclei // Phvs. Rev. Lett.-1996.-V.76.-P.2844.

[118] Hill S,, Wootters W.K. Entanglement of a Pair of Quantum Bits // J.Phys. Rev, Lett,-1997.-V.78.-P.5022.

[119] Holevo A.S. Probabilistic and Statistical Aspects of Quantum Theory // North Holland, Amsterdam-1982,

[120] Clauser J.F., Home M.A., Shimonv A., Holt R.A. Proposed experiment to test local hidden-variable theories // Phvs. Rev. Lett.-1969.-V.23.N. 15.-880.

[121] Horodecki M,, Horodecki P., Horodecki R. Separability of Mixed States: Necessary and Sufficient Conditions // Phvs. Lett. A.-1996.-V.223.-P.1-8.

[122] Horodecki M,, Horodecki P., Horodecki R,, Horodecki K. Quantum entanglement // Rev. Mod. Phvs.-2009.-V.81.-P.865.

[123] Husimi K. Some Formal Properties of the Density Matrix // Proc. Phvs. Math. Soc. Jpn,-1940.-V.23.N.264.

[124] Ibort A., Man'ko V.. I., Marmo G,, Simoni A., Ventriglia F. An introduction to the tomographic picture of quantum mechanics // Phvsiea Seripta,-2009,-V,79,N,6,

[125] Jacobs, K,, Steck, D. A. A Straightforward Introduction to Continuous Quantum Measurement // Contemporary Physics.-2007.-V.47.N.5.-P.279-303.

[126] Jevtie S,, Pusev M,, Jennings D,, Rudolph T. Quantum Steering Ellipsoids // Phvs. Rev. Lett.-2014.-V. 113.-P. 020402.

[127] Joseph S. K,,Sanjuan M. A. F. Entanglement Entropy in a Triangular Billiard.-P. // Entropv.-2016.-V.18.-P.79.

[128] Kalman, R.E.A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems // Journal of Basic Engineering.-1960.-V.82.N.l.-P.35 - 45.

[129] Kessel A.R., Ermakov V.L. Physical implementation of three-qubit gates on a separate quantum particle // JETP Lett.-2000.-V.71.N.7.-P.307-309.

[130] Kesse A.R., Yakovleva N.M. Schemes of implementation in NMR of quantum processors and Deutsch-Jozsa algorithm by using virtual spin representation // Phvs. Rev. A.--2002,-V.66.-P.062322.

[131] Khoroshkin S,, M,, Pop I.. I., Samsonov M.E., Stolin A.A., Tolstoy V.N. On some Lie bialgebra structures on polynomial algebras and their quantization // Comm. in Math. Phvs.-2008.-V.282.N.3.-P.625-662.

[132] Kiktenko E.O., Fedorov A.K., Man'ko O.V., Man'ko V.L Multilevel superconducting circuits as two-qubit systems: Operations, state preparation, and entropic inequalities // Phvs Rev. A.-2015.-V.91.-P.042312.

[133] Kiktenko E.O., Fedorov A.K., Strakhov A.A., Man'ko V.l. Single qudit realization of the Deutsch algorithm using superconducting many-level quantum circuits // Phvs, Lett. A.-2015.-V.379.N.22.-P. 1409-1413.

[134] Klvaehko A.A., Can M.A., Binicioglu S,, Shumovskv A.S. Simple test for hidden variables in spin-1 systems // Phvs. Rev. Lett.-2008.-V.101.-P.20403.

[135] Kushner, H. J. On the dynamical equations of conditional probability density functions with applications to optimal stochastic control theory //J. Math. Appl,-1964,-V,8,-P,332-334,

[136] Ladee Fact Sheet, NASA // 2013.

[137] Landau L.D., Lifshitz E.M. Quantum Mechanics: Non-Relativistie Theory // Butterworth-Heinemann,-1977,

[138] Lapkiewicz R,, Li P., Schaff C,, Langford N.K., Ramelow S,, Wieisniak M,, Zeilinger A. Experimental non-elassiealitv of an indivisible quantum system // Nature.-2011.-V.474,-P.490.

[139] Lieb E.H., Ruskai M.B. Proof of the Strong Subadditivitv of Quantum Mechanical Entropy //J. Math. Phys,-1973,-V,14,-P, 1938-1941,

[140] Lieb E.H., M.B. Ruskai Some Operator Inequalities of the Schwarz Type // Adv. Mai h. 1974.-V.12.-P. 269-273.

[141] Lindblad G. Eigenfunction expansions associated with unitary irreducible representations of SU( 1,1) // Phvs. Scripta.-1970.-V.l.-P.201.

[142] Liptser, R. S,, Shirvaev, A. N. Statistics of Random Processes: II. Applications // Springer,-2001.

[143] Lo H.K., Popescu S,, Spiller T. Introduction to Quantum Computation and Information // World Scientific, Singapore-1998,

[144] Lvpez-Peea R,, Man'ko V.l., Marmo G,, Sudarshan E.C.G., Zaccaria F. Photon distribution in nonlinear coherent states //J. Russ. Laser Res,-2000,-V,21,N,4,-P,305-316,

[145] Lorke A., Luyken R. J., Govorov A. O,, Kotthaus J. P., Garcia J. M,, Petroff P. M. Phvs. Rev. Lett.-2000.-V.84.-P.2223.

[146] Macfarlane A.J. On g-analogues of the quantum harmonic oscillator and the quantum group SU(2)g // J. Phvs. A: Math. Gen.-1989.-V.22.-P.4581.

[147] Malkin I. A., Manko V. I. Coherent states and magnetic translations // Phvs. stat. solidi B.-1969.-V.31.N.1.-P.K15-K17.

[148] Malkin A., Man'ko V.l., Trifonov D.A. J. Math. Phvs.-1973.-V.14.-P.576-582.

[149] Manand, M, A., Man'ko, V. I., Mendes, E, V, Tomograms and other transforms a unified view // J. of Phvs. A,-2001,-V,34,-P. 8321,

[150] Maneini S,, Tombesi P., Man'ko V.I, Svmpleetie tomography as classical approach to quantum systems // Phvs. Lett. A.-1996.-V.213.N.1.

[151] Maneini S,, Tombesi P., Man'ko V.I. Density matrix from photon number tomography // Eur. Lett.-1997.-V.37.N.2.-P.79-83.

[152] Man'ko V.I., Tino G.M. Experimental limit of the blue-shift of the frquenev of light implied by q-nonlinearitv // Phvs. Lett. A.-1995.-V.202.-P.24.

[153] Man'ko V.I., Man'ko O.V. Spin state tomography // JETP.-1997.-V.85.N.3.-P.430.

[154] Manko O.V., Manko V.I. Spin State Tomography // Zh. Eksp. Teor, Fiz.-1997-V. 112:3.N.9.-P.796-804.

[155] Man'ko O.V., Schrade G. Photon statistics of 2-mode squeezed-light with Gaussian-Wigner function // Phvsiea seripta. T.-1998.-V.58.N.3.-P.228-234.

[156] Man'ko M.A., Man'ko V.I., Mendes E.V. Non-commutative time-frequency tomography // J. Euss. Laser Res.-2006.-V.27.-P.507-532.

[157] Man'ko O.V., Man'ko V.I., Marmo G., Vitale P. Star products, duality and double Lie algebras // Phvs. Lett. A.-2007.-V.360.-P.522.

[158] Man'ko M.A., Man'ko V.I. Quantum correlations expressed as information and entropic inequalities for composite and noncomposite systems // J. Phvs. Conf. Ser. in the Proceedings of the XVI Symposium Symmetries in Science, Bregenz, Austria, July 21-26,2013.

[159] Man'ko V.I., Yurkevieh A. Tomographic Discord and Quantum Correlations in a System of Qubits //J. Euss. Laser Ees.-2013.-V.34.N.5.-P.463-467.

[160] Man'ko M.A., Man'ko V.I. Entanglement and other quantum correlations of a single qudit state as a resource for quantum technologies, (unpublished) arXiv: 1409.4221, 2014.

[161] Man'ko M.A., Man'ko V.I. The quantum strong subadditivitv condition for systems without subsystems // Phvs. Ser,-2014,-V,T160,

[162] Man'ko M.A., Man'ko V.I. Deformed Subadditivitv Condition for Qudit States and Hybrid Positive Maps //J. Euss. Laser Ees.-2014.-V.35.N.5.-P.509-517.

[163] Man'ko M.A., Man'ko V.I. Hidden Quantum Correlations in Single Qudit Systems //J. Euss. Laser Ees. (unpublished), arXiv:1507,06264,-2015,

[164] Man'ko M.A., Man'ko V.I. Hidden correlations in indivisible qudits as a resource for quantum technologies on examples of superconducting circuits // arXiv:1512.08368.-2015.

[165] Man'ko V.I., Markovich L.A. Entropic inequalities and properties of some special functions //J. Euss. Laser Res.-2014.-V.35.N.2.-P.200-210.

[166] Man'ko V.I., Markovich L.A, New inequalities for quantum von Neumann and tomographic mutual information // J, Euss, Laser Res.-2014.-V.35.N.4.-P.355-361.

[167] Man'ko V.I., Markovich L.A. New Minkowski type inequalities and entropic inequalities for quantum states of qudits // Int. J. Quantum Inform,-2014,-V,12,N,7n08,-P,1560021,

[168] Man'ko V.I., Markovich L.A. Separability and entanglement of the qudit X-state with j = 3/2 // J. Euss. Laser Ees.-2014.-V.35.N.5.-P.518-524.

[169] Man'ko V.I., Markovich L.A. Separability and entanglement of spin 1 particle // J. Euss. Laser Ees.-2015.-V.36.N.2.-P.110-118.

[170] Man'ko V.I., Markovich L.A. Deformed entropic and information inequalities for X - states of two-qubit and single qudit state // Advances in Mathematical Physics.-2015.-V.2015,-P. 717621.

[171] Man'ko V.I., Markovich L.A, Steering and correlations for the single qudit state on the example of j = 3/2 // J. Euss. Laser Ees.-2015.-V.36.N.4.-P.343-349.

[172] Man'ko V.I., Markovich L.A. Inequalities for purity parameters for multipartite and single qudit states // J. Euss. Laser Ees.-2016.-V.37.N.2.-P. 133-140.

[173] Man'ko V.I., Markovich L.A. Steering in spin tomographic probability representation // Phvsiea A: Statistical Mechanics and its Applieations,-2016,-V,4,-P,266-275,

[174] Man'ko V.I., Markovich L.A, Entropic inequalities for matrix elements of rotation group irreducible representations // Lobaehevskii Journal of MaiIieinalio. 2017. Y.38.N.I. P.699-708.

[175] Man'ko V.I., Markovich L.A., Messina A. Breakdown of separability due to confinement // Eep. on Math. Phvs.-2017.-V.80.N.3.-P.277-294.

[176] Markovich, L. A. Inferences from optimal filtering equation // Lith. Math. J.-2015.-V.55.N.3.-P.413-432.

[177] Markovich, L. A. Nonparametric gamma kernel estimators of density derivatives on positive semi-axis by dependent data // Eevstat Stat J.-2016.-V.14.N.3.-P.327-348.

[178] Marciniak M,, Yin Z,, Eutkowski A., Horodecki M,, Horodecki E. Unbounded violation of steering inequalities for binary output // arXiv: 1411,5994,-2014,

[179] Marian P., Marian T.A. Squeezed states with thermal noise, I. Photon-number statistics // Phvs. Rev. A. 1993. Y.7. IM I7I.

[180] Marian P., Marian T.A. Squeezed states with thermal noise, II. Damping and photon counting // Phvs. Rev. A.-1993.-V.47.-P.4487.

[181] Martino S. Di, Anz'a F., Facchi P., Kossakowski A., Marmo G,, Messina A., Militello B,, Pascazio S. J. Phvs. A.-2013.-V.46.-P.365301 .

[182] Mazhar A., Eau A.E.P., Alber G. Quantum discord for two-qubit X-states // Phvs. Rev. A.-2010.-V.81.-P.042105.

[183] MendesE.V., Man'ko V.l. On the problem of quantum control in infinite dimensions // Journal of Physics A: Math. Theor.-2011.-V.44.N.13.-P.135302.

[184] Mendes, E. V., Mendes, H. C,, Araujo, T. Signals on graphs: Transforms and tomograms // Phvs. A.-2016.-V.450.-P1-17.

[185] Miller W, Symmetry Groups and their Applications // Academic Press, New York,-1972,-P.159-161.

[186] Modi K,, Brodutch A., Cable H,, Paterek T,, Vedral V. Quantum discord and other measures of quantum correlation // Rev. Mod. Phys.-2012.-V.84.-P.1655-1707.

[187] Mousavi S. V. EPL.-2012.-V.99.-P.30002.

[188] Mousavi S. V. Phvs. Let. A.-2013.-V.377.-P.1513.

[189] Nelsen E.B. An Introduction to Copulas // Springer-2006.

[190] Neumann J. Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik // Nach. Ges. Wiss. Gottingen.-1927.-V.11.-P.245; J. von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik // Springer, Berlin.-1932.

[191] Nielsen M.A., Nielsen N.A., Petz D.A. A simple proof of the strong subadditivitv inequality, -2004,- arXiv:quant-ph/0408130

[192] Nielsen M.A., Chuang I.L. Quantum Computation and Quantum Information // Cambridge University Press.-2010.

[193] Nikiforov A.F., Uvarov V.B. Classical orthogonal polynomials in a discrete variable on nonuniform lattices // Preprint Inst. Prikl. Mat. M. V. Keldvsh Akad. Nauk SSSE (In Eussian),-1983.-V.17.

[194] Nikiforov A.F., Suslov S.K., Uvarov V.B. Orthogonal Polynomials in Discrete Variables // Springer-Verlag, Berlin.- 1991.

[195] Ohva M,, Petz D. Quantum entropy and its use // Springer-Verlag, Berlin.- 1993.

[196] Ohva M,, Petz D. Sufficient Subalgebras and the Relative Entropy of States of a von Neumann Algebra // Springer Berlin - 1993.

[197] Olivares S, Quantum optics in the phase space, A tutorial on Gaussian states // The European Physical Journal Special Topics,- 2012,- V.203.N.1,- P.3-24,

[198] Pan J, W,, Bouwmeester D,, Weinfurter H,, Zeilinger A, Experimental entanglement swapping: entangling photons that never interacted // Phvs, Rev, Lett,-1998,- V.80-P.3891-3894.

[199] Pan J, W,, Bouwmeester D,, Daniell M,, Weinfurter H,, Zeilinger A, Nature,-2000,- V.403-P.515.

[200] Peres A, Separability Criterion for Density Matrices // Phvs, Rev, Lett,-1996,-V.77.-P, 1413,

[201] D. Petz Sufficient Subalgebras and the Relative Entropy of States of a von Neumann Algebra // Commun. Math.Phvs.-1986.-V.105.-P.123-131.

[202] Petz D,, Virosztek D.L. Some inequalities for quantum Tsallis entropy related to the strong subadditivitv // arXiv:1403.7062.-2014.

[203] Pinder D, N. The contracting square quantum well // Am, J, Phys,-1989,-V,58,-P,54,

[204] Radon J. Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte langs gewisser Mannigfaltigkeite // Ber. Sachs. Akad. Wiss,, Leipzig.-1917.-V.69.-P.262.

[205] Rastegin A.E, Fano type quantum inequalities in terms of q-entropies,-2012,-V,ll,N,6,-P.1895-1910.

[206] Renvi A. On measures of information and entropy // Proceedings of the fourth Berkeley Symposium on Mathematics, Statistics and Probability,-1961,-P,547-561,

[207] Renvi A, Probability Theory // North-Holland, Amsterda,-1970,

[208] Rieper E,, Anders J,, Vedral V, The relevance of continuous variable entanglement in DNA // arXiv: 1006,4053,-2010,

[209] Roa L,, Munoz A,, Gruning G, Entanglement swapping for X states demands threshold values // Phvs. Rev. A.-2014.-V.89.-P.064301.

[210] Robertson H.P. The Uncertainty Principle // Phvs. Rev.-1929.-V.34.-P.163.

[211] Robnik M. Classical dynamics of a family of billiards with analytic boundaries // J. Phvs. A Math. Gen,-1983,-V,16,

[212] Rohith M, An investigation of nonclassical properties of light using an optical tomogram // PhD Thesis,-2016,-P. 126,

[213] Ruppert, L,, Hangos, K. M. Martingale approach in quantum state estimation using indirect measurements // Proceedings of the 19th International Symposium on Mathematical Theory of Networks.-2010.-P.2049-2054.

[214] Huppert, L, Towards Kaiman Filtering of Finite Quantum Systems // Technical report SCL,-2012,-V, 001,

[215] Sarovar, M,, Ahn, C,, Jacobsand, K,, Milburn, G, J, Practical scheme for error control using feedback // Phvs. Rev. A.-2004.-V.69.-P.052324.

[216] Saunders D.J., Jones S.J., Wiseman U.M.. Prvde G.J. Experimental EPR-Steering using Bell-local States // Nature Physies.-2010.-V.6.-P.845-849.

[217] Schlitt D. W., Stutz C. // Am. J. Phys.-1970.-V.38.-P.70.

[218] Schneeloch J., Broadbent C.J., Walborn S.P., Cavaleanti E.G., Howell J.C. Einstein-Podolskv-Rosen steering inequalities from entropic uncertainty relations // Phvs. Rev. A,-2013.-V.87.-P. 062103.

[219] Schneeloch J., Broadbenta C.J., Howella J.C. Improving Einstein-Podolskv-Rosen Steering Inequalities with State Information // (unpublished) arXiv:1308.1967.-2013.

[220] Schrade G,, Akulin V.M., Man'ko V.l., Schleich W.P. Photon statistics of a two-mode squeezed vacuum // Phvs. Rev. A.-1993.-V.48.-P.2398.

[221] Schrödinger E. Quantisierung als Eigenwertproblem // Ann. Phvs (Leipzig)-1926.-V.79-P.489.

[222] Schrödinger E. Die gegenwartige Situation in der Quantenmechanik (The present situation in quantum mechanics) // Naturwissenschaften.-1935.-V.23.-P.807-812.

[223] Schrödinger E. Discussion of Probability Relations between Separated Systems // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Soeiety,-1935,-V,31,N,04,-P.555-563.

[224] Schubert G. Numerical approaches to complex quantum, semiclassical and classical systems // PhD Thesis.-Germanv-2008.-P. 123.

[225] Sen K. D,, Roy A. K. Spherically confined isotropic harmonic oscillator // Phvs. Lett, A,-2006.-V.357.-P. 112-119.

[226] Shalibo Y,, Rofe Y,, Barth I., Friedland L,, Bialczack R,, Martinis J.M., Katz N. Quantum and classical chirps in an anharmonic oscillator // Phvs. Rev. Lett.-2012.-V.108.-P.037701.

[227] Shalibo Y,, Resh R,, Fogel O,, Shwa D,, Bialczak R,, Martinis J. M.. Katz N.Quantum and classical chirps in an anharmonic oseillato // Phvs. Rev. Lett,-2013,-V,110,-P,100404,

[228] Shannon C.E. A Mathematical Theory of Communication // Bell System Technical Journal.-1948.-V.27.-P.379.

[229] Shen-xi Yu Generalized center-of-mass coordinate and relative momentum operators studied through unitary transformations // Phvs. Rev. A,-1996,-V,54,N,2,

[230] Shor P.W. Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer // SIAM J. Comp.-1997.-V.26.N.5.-P. 1484-1509.

[231] Shor P.W. Phvs. Rev. A.-1995.-V.52.-V.R2493.

[232] Sinai Ya. G. On the foundations of the ergodic hypothesis for a dynamical system of statistical mechanics // Dokladv Akademii Nauk SSSR (in Russian).-1963.-V.153.N.6.-P. 1261-1264. (in English, Sov. Math Dokl.4.-1963.-P. 1818-1822.

[233] Smirnov Yu.F., Suslov S.K., Shirokov A.M. Clebsch-Gordan coefficients and Racah coefficients for the SU(2) and SU( 1,1) groups as the discrete analogues of the Poschl-Teller potential wavefunctions // J. Phys.A.-1984.-V.17.N.ll.-P.2157.

[234] Smith, G. A., Silberfarb, A., Deutsch, I. H,, Jessen, P. S. Efficient quantum-state estimation by continuous weak measurement and dynamical control // Phvs. Rev. Lett,-2006,-V.97. N. 18.-P. 180403.

[235] Soare, A,, Ball, II.. Hayes, I).. Zhen, X., Jarratt, M. ('.. Sastrawan, J., Uvs, II.. Biercuk, M. J. Experimental bath engineering for quantitative studies of quantum control // Phvs. Rev. A.-2014.-V.89.-P.042329.

[236] Steane A.M. Error Correcting Codes in Quantum Theory // Phvs. Rev. Lett,-1996,-V,77,-P.793.

[237] Stratonovieh, R, L, Conditional Markov Processes // Theory of Probability and its Applications,-1960,-V.5.-P, 156 - 178.

[238] Stratonovieh, R. L. Conditional Markovian processes and their application to the optimal control theory // Moscow Univ. Press,-1966,-(in Russian).

[239] Sudarshan C.G, Equivalence of Semiclassical and Quantum Mechanical Descriptions of Statistical Light Beams // Phvs. Rev. Lett.-1963.-V.10.-P.277.

[240] Tanner C. The role of boundary conditions in separation of variables: Quantum oscillator in a box // Am. J. Phvs.-1991.-V.59.-P.333-335.

[241] Tsallis C. Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics //J. of Stat. Phys,-1988,-V.52.-P.479-487.

[242] Umegaki H, Conditional Expectation in an Operator Algebra, IV. Entropy and Information // Kodai Math. Sem. Rep.-1962.-V.14.-P.59-85.

[243] Vidal G,, R.F. Werner Computable measure of entanglement // Phys. Rev. A,-2002,-V,65,-P.032314.

[244] Vilenkin N.Ja,, Klimvk A.U. Representation of Lie Groups and Special Functions: Recent Advances (Mathematics and Its Applications) // Springer.-1994.

[245] Vogel K,, Eisken H, Determination of quasiprobabilitv distributions in terms of probability distributions for the rotated quadrature phase // Phvs, Rev, A,-1989,-V,40,-P,2847,

[246] Werner E.F Quantum states with Einstein-Podolsky-Rosen correlations admitting a hidden-variable model // Phvs. Rev. A.-1989.-V.40.-P.4277.

[247] Wehner S,, Winter A. Entropic uncertainty relations, a survey // New J. Phvs,-2010,-V,12,-P.025009.

[248] Werner R.F. Steering, or maybe why Einstein did not go all the way to Bell's

[249] Whittaker E. T,, Watson G. N. A Course of Modern Analysis // Cambridge University Press-1902, argument //J. Phvs. A: Math.

[250] Wigner E. On the quantum correction for thermodynamic equilibrium // Phvs. Rev,-1932-V.40.-P.749. Theor.-2014.-V.47.-P.424008.

[251] Wiseman H.M., Jones S.J., Dohertv A.C. Steering, Entanglement, Nonloealitv, and the Einstein-Podolsky-Rosen Paradox // Phvs. Rev. Lett.-2007.-V.98.-P. 140402.

[252] Wootters W.K. Entanglement of Formation of an Arbitrary State of Two Qubits // J.Phvs. Rev. Lett.-1998.-V.80.-P.2245.

[253] Zhang G., Jiang X., Wang E. Science.-2003.-V.300.-P.472.

[254] Zukowski M,, Dutta A., Yin Z. Geometric Bell-like inequalities for steering (unpublished) // arXiv:1411.5986.-2014.

[255] Zvezkowski P., Horodecki A. Sanpera and Lewenstein M. Volume of the set of separable states // Phvs. Rev. A.-1998.-V.83.N.58.-P.883-892.

Приложения

5.6 Приложения к Главе 1

Первые производные гамильтониана (1,22)

(5.29)

9(Н) дв1

р/2(сое 02 вт б1! — сое(-01 + Ф2) сое 0\ вт О2)

1п (1/4 (1 — рсо§{%1)1 + ф2) зт в\ вт 62 — рсоъ в\ сое 62))

— 1п (1/4 (р сое 6\ сое в2 + рсоз(ф1 + ф2) вш 6\ втб^ + 1))

9(Н)

дво

Р/2(сов б1! вт 02 — сов(Ф1 + ф2) сов $2 вт б1! )

1п (1/4 (1 — рсо§(ф\ + ф2) вт в\ вт 62 — рсоъ в\ сое 62))

— 1п (1/4 (р сов б1! сов &2 + рСОз(ф\ + ф2) втб1! вт 02 + 1))

д{Н) д{Н)

= р/2 вт^ + ф2) вт 0\ вт б2

дф\ дф2

1п (1/4 (1 — рсоз(ф1 + ф2) вт в\ вт в2 — р сое в\ сое в2))

— 1п (1/4 (р сов в\ сов в2 + рСОз(ф1 + ф2) втб1! вт в2 + 1))

Матрица (1.62), дополненная нулевыми строкой и столбцом

(5.30)

Р

( РП Р12 Р13 0 ^

Р21 Р22 Р23 0

Р31 Р32 Рзз 0

V 0 0 0 0 у

Элементы блочной формы матрицы (1.63)

, Ри Р12 \ / Р13 0

(5.31) ап= \ ,й12= „ „

Р21 р22 V 0 0

. Я 21

Р31 Р32

о о

&22

Рзз о 0 0

5.7 Приложения к Главе 2

Параметризация элементов унитарной матрицы поворота размерности 4x4

(5.32) «12 = bVl ~ а2ехр(г(/?22),

Mis = cyj(1 - а?){1 - b2) ехр(г^1з), ии = л/(1~ a2)(l ~ &2)(! ~ с2) ехр(г<£>14),

(5.33) м22 = -abdexp(i(ipи + <£21 - >Pii)) + а/3\/(1 - b2)( 1 - d2)

■ (^/cfhexp(iifi22) + cd( 1 - /2)(1 - /г,2)ехр(г(/?32)

+ 6Vl - с2 ехр(г</?2з)(/л/1 - /г-2 - d/ïV1 - /2 ехр(г((/?32 - <£>22)))), «23 = -acdVl - Ь2 ехр(г(</?21 + <~pi3 ~ <~Рп))

- aj5y/1 - d2 ехр(г(</?1з - ipi2))(b(fhexp(i(p22) + М1-/2)(1-^2)ехр(г^з2)) - c(l - б2)л/Т^с2ехр(г</?2з) • - dh\/l — f2 ехр(г(</?з2 - ^22)))), «24 = ~ b2)(l ~ с2) ехр(г(</?21 + <p4i - ¥>11)) . - d2) ехр(г(</?14 + </?2з - ^12))

a /7. ,2,

0 _

. (/vT^Tî2 — dh(l — f2) ехр(г((/?32 — <£22))),

«за = -abfV 1 - d2exp(z(</?i2 + </?3i - ¥>11))

+ a/ЗлЛ - 62 exp(-ï(/?2i)(c(-d/ï,exp(ï((/?22 + <£31))

+ /(1 - d2) V(1 - /2)(1 - /¿2) ехР(г(^1 + Ы))

- Ьл/1 - с2 ехр(г(</?2з + ¥>3i))(dVl - /¿2 + ^/(1 - d2)

• V1 - /2ехр(г(^з2 - ¥>22)))),

«зз = -ac/v7(1 - b2)(l - d2) ехр(г((/?1з + t/?3i - </?ц))

- а/?ехр(г(<р 13 - </?i2 - (/?2i))(-M/ï,exp(ï((/?31 + </?22))

+ 6/(1 - d2)V(l - /2)(1 - h2) ехр(г(<^з1 + Ы)

+ cV(l " &2)(1 " с2) ехР(г(^з + m))(dVT^¥

+ hf(l — d2)\/l — /2 ехр(г(</?з2 — <£22)))),

«34 = —a/\/(1 - 62)(1 - c2)(l - d2) ехр(г((/?з1 + </?м - </?ц))

+ - ехр(г(<^14 + </?3i + <^2з - ^12 - <^2l)) О!

• (dVT^W + /1/(1 - ^2)л/1-/2ехр(г(^з2 " Ы)),

м42 = -аЬл/(1 - сР){1 - р) ехр(г(</?12 + </?41 - <£п))

™ ^ 9 Г 9

- Ъ ) ехр(г((/?32 + </?41 - </?21))(с\/ (1 - Л- )

Г

- ЪклД\ - с2) ехр(г((/?23 - ¥>22)))

м43 = -асл/(1 - Ь2)(1 - сР){1 - /2) ехр(г(</д3 + </?41 - </?п))

О!

+ — ехр(г((/?32 + </д3 + </?41 - <^12 - <£21))

• (Ьл/Т^Тг2 + с/г,(1 — Ь2) л/Т^с2 ехр(г(</?2з — ^22))), «44 = —ал/(1 - Ь2)(1 - с2)(1 - (Р){1 - /2) ехр(г(</?14 + ^41 - ¥>п))

- ск/З/гехр(г(с/?14 + </?41 + </?гз + </?зг - <£12 - <£21 - ^22)),

где были введены обозначения

а = (/2 + с? -/V)"1/2, /3= (Ь2 + с2-Ь2с2)-1/2, а, Ь, с, Е [0,1].

Условия на элементы унитарной матрицы (2,4)

(5.34) £Ы2 = 1, =

г 3

Д и*ащ = 0, 2 = 2, 3, 4, Д и*2щк = 0, к = 3, 4 Д и*3иц = 0,

г г г

ПИ1Л* = 0' .? = 2>3>4, П«2г^г = 0, /с =3,4 Дг4«4г = 0.

г г г

Элементы матрицы (2.11)

(5.35) Р12 = /1«21Мп + ¿2^22^12 + 1зЩзи*13 + /4^24^14,

Р13 = ^МпИз! + /2М12М32 + 1зЩзи*33 + /4М14М34, Р14 = ¿1«21«31 + ки22П*32 + ки23и*33 + /4^24^34, Ргз = + ки\2и12 + /3^13^3 + ¿4^14^44,

Р24 = ¿1^21^41 + ¿2^22^42 + ¿3«23«43 + ¿4«24«44, Р34 = /1М41М31 + ¿2^42^32 + ¿3^43^33 + ¿4^44^34, Ри = ¿1 |2 + /2|м12|2 + /з|м1з|2 + ¿41^1412, Р22 = ¿11 12 + ¿2|И22|2 + ¿з|и2з|2 + ^|м24|2, РЗЗ = ¿11^3112 + ¿2 1^-32 |2 + ¿з|Мзз|2 + ¿4|«34|2, Р44 = ¿11 12 + ¿гКг!2 + ¿зКз|2 + ^41^4412 •

Условия на элементы матрицы (2,13)

(5.36) \ип\2 + кз|2 = 1, klI2 + кз|2 = 1, кз|2 + кз|2 = 1 \и22\2 + к4|2 = 1, 1М42|2 + \ии\2 = 1, |«24|2 + |«44|2 = 1 \un\2 + ki|2 = кг|2 + кг|2 = 1, и22и\2 + и24и*и = 0

«11^13 + M31«33 = «11^31 + W13W33 = 0, «22^24 + м42«44 = О-

Элменты матрицы (2.15)

(5.37) pu = /i|MH|2 +/3|м1з|2, Pu = huuu*31 + hui3u*33,

P22 = ^41^2412 + ^2 |^2212 j P24 = I2U22U42 + ¿4^24^44, Рз1 = /1«>з1 + /з?4«зз, Рзз = ¿зкз|2 + ¿iki|2,

Р42 = ku*22UA2 + ¿4^24^44, Р44 = h |«4212 + U |«44 |2•

Условия на элементы матрицы (2.16)

(5.38) ki|2 = кг|2, |«34|2 = |«4з|2, ki|2 = кг|2, |«зз|2 = |«44|2-Элменты матрицы (2.36)

(5.39) pu = h\un\2 + ¿гкг!2, Р12 = huuu*2l + 12Щ2и*22,

P2i = hu2iu*n + l2u22u*12, p22 = h\u2i\2 + l2\u22\2, Рзз = ¿зкз|2 + k\u34¡2, P34 = 1зиззК3 + ku3iU*u, Р43 = /4М44М34 + hu*33U43, Р44 = ¿зкз|2 + Цп^? ■

Условия на элементы матрицы (2.18)

(5.40) kil2 + kil2 = 1, 1^2212 + к2|2 = 1, кз|2 + кз|2 = 1, |мм|2 + |м44|2 = 1, kl|2 + \ии\2 = 1, 1«22|2 + |м2з|2 = 1,

кг I2 + кз|2 = 1, l«4i|2 + 1^4412 = 1,

(5.41)

UuU*u + «41^44 = 0, UuU*u + М14М44 = О, и22и*32 + М23М33 = о, и22и*23 + «32^33 = 0.

Элменты матрицы (2,20) (5.42)

Р п Р22 Р32 Р41

1\\иц\2 + /4|м14|2, Рм = Ьип«« + киии*и, к\и23\2 + к\и22\2, Ргз = ки22и*32 + 13и23и*33, ки*22и32 + 13и*23и33, Рзз = /з|мзз|2 + ¿2 1^-3212, /1М^1М41 + ¿4^14^44) Р44 = к^и]2 + ¿4 | ^¿44 |2-

5.8 Приложения к Главе 3

Тензор корреляции для матрицы (1.29)

(5.43)

Ти = Рз/2,-3/2 " ^ Р1/2-1/2 + Р—1/2,1/2 - Ь Р-3/2,3/2,

Т\2 = (РЗ/2,-3/2 — Р1/2-1/2 4 - Р—1/2,1/2 — Р-3/2,3/2)«

Т13 = Рз/2,-1/2 " ~ Р1/2-3/2 + Р-1/2,3/2 " ~ Р—3/2,1/2 >

Т21 = (РЗ/2,-3/2 + Р1/2-1/2 " " Р—1/2,1/2 Р-3/2,3/2)«

^22 = Р1/2-1/2 " ~ РЗ/2,-3/2 + Р—1/2,1/2 " ~ Р—3/2,3/2 >

^23 = (РЗ/2,-1/2 ~~ Р 1/2,-3/2 " " Р-1/2,3/2 + Р-3/2,1/2)«

Тз1 = Рз/2,1/2 + Р1/2,3/2 — Р- -1/2,-3/2 — Р-3/2,-1/2,

2З2 = (РЗ/2,1/2 " " Р1 /2,3/2 — Р -1/2,-3/2 4 - Р-З/2,-1/2)«

2зз = Рз/2,3/2 — Р1/2Д/2 - Р- -1/2,-1/2 + Р-3/2,-3/2-

(5.44)

В1т(а,р) =

( \ +

Щ^ъшре0* 0 0

^^ яп

т сое /3

ю

1 + -

4 10 63 т 105

О

О

вт /Зес

63 т 105

\ - ^т сов/З

3-\/3 т. ,

10

вт /Зес

О О

вт /Зе~

ю

| - -^тсоБ/З

В2т(а,/3) = I 3 сое2 /3 — 1 л/Зет 2/Зе™ л/3 йт2 /Зе2™

V 0

'Зе~а'1 яп 2/3 -Зсов2/3 + 1 О

л/3 йт2 /Зе2™