Математические модели и методы анализа устойчивости замкнутой цилиндрической оболочки при действии неравномерных внешних статических и динамических нагрузок тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Модин Алексей Сергеевич

• Модин Алексей Сергеевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Модин Алексей Сергеевич

Введение

1. Дифференциальные уравнения смешанного типа теории гибких пологих оболочек

1.1. Основные допущения и гипотезы

1.2. Уравнение равновесия элемента оболочки

1.3. Основные дифференциальные уравнения равновесия и совместности деформаций теории гибких пологих оболочек

2. Линейные задачи

2.1. Изгиб несовершенной цилиндрической оболочки неравномерным внешним статическим давлением

2.2. Динамика предварительно нагруженной несовершенной цилиндрической оболочки при неравномерном нагружении

2.3. Свободные колебания несовершенной цилиндрической оболочки

2.4. Линейные колебания цилиндрической оболочки при действии локального импульса неравномерного внешнего давления

3. Нелинейное деформирование замкнутой цилиндрической оболочки при неравномерном статическом внешнем давлении

3.1. Постановка задачи и алгоритм расчета

3.2. Численное исследование сходимости метода Бубнова

3.3. Сравнение различных методов решения системы нелинейных алгебраических уравнений

3.4. Зависимость верхней критической нагрузки от размеров площадки нагружения

3.5. Выводы по главе

4. Динамическая потеря устойчивости несовершенной замкнутой цилиндрической оболочки при действии неравномерного внешнего давления

4.1. Алгоритм расчета

4.2. Динамические критерии устойчивости

4.3. Нелинейные свободные колебания замкнутой цилиндрической оболочки как системы с «п» степенями свободы

4.4. Динамическая потеря устойчивости оболочки при импульсном воздействии неравномерного внешнего давления

4.5. Устойчивость предварительно нагруженной несовершенной цилиндрической оболочки при неравномерном нагружении

4.6. Устойчивость равновесных состояний замкнутой цилиндрической оболочки при неравномерном нагружении

4.7. Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Приложения

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели и методы анализа устойчивости замкнутой цилиндрической оболочки при действии неравномерных внешних статических и динамических нагрузок»

Введение

Актуальность темы исследования. Цилиндрические оболочки, являясь одними из самых широко распространенных элементов многих конструкций машиностроения, летательных аппаратов, глубоководной техники и других конструкций, привлекают к себе пристальное внимание исследователей.

При исследовании поведения гибкой оболочки приходится рассматривать её как систему со многими степенями свободы, так как аппроксимация конструкции системой с малым числом степеней свободы может привести к неточным результатам. Это обстоятельство становится особенно важным при расчете оболочек в случае действия неравномерных или сосредоточенных нагрузок.

Наиболее опасным для тонкостенных конструкций типа оболочек является сочетание статических нагрузок с разного типа динамическими воздействиями -такие комбинированные нагрузки особенно часто влекут за собой прощелкивания оболочки.

При исследовании объектов типа оболочек широко используется моделирование. Математическая модель цилиндрической оболочки позволяет проводить вычислительные эксперименты, что позволяет значительно экономить временные и производственные ресурсы, необходимые для проведения натурного эксперимента.

В данной работе в качестве математической модели используются дифференциальные уравнения теории пологих оболочек кинематической модели Кирхгофа-Лява в смешанной форме.

Наиболее привлекательными для исследования являются задачи устойчивости и определения напряженно-деформированного состояния оболочек, так как именно процесс потери устойчивости и последующая деформация указанных конструкционных элементов обычно исчерпывают их несущую способность. При решении таких задач немаловажными факторами являются учет начальных несовершенств исходной формы (начальной погиби) и наличие предварительного статического нагружения.

При изучении этих явлений принято использовать нелинейную теорию оболочек. Это объясняется тем, что в условиях, описываемых ею, работает большое количество оболочечных конструкций, применительно к которым линейная теория оказывается неприменимой.

Классические дифференциальные уравнения нелинейной теории оболочек в квадратичном приближении были получены Карлом Маргером в тридцатых годах XX века. Однако Маргер рассматривал лишь оболочки цилиндрической формы. Широкое применение нелинейной теории оболочек на практике, основанной на классических гипотезах, стало возможным благодаря усилиям Х.М. Муштари и К.З. Галимова [28, 94], В.З. Власова [17] и Л. Доннелла [37].

Позже В.З. Власов предложил и обосновал такой вариант теории оболочек, в котором стал возможен переход от метрики срединной поверхности к метрике плоскости. Впоследствии К. Маргер обобщил эту теорию на случай оболочек произвольной кривизны. Полученные таким образом уравнения, которые в литературе именуются уравнениями Доннелла-Муштари-Власова или Маргера-Власова, известны как уравнения теории гибких пологих оболочек.

В основе теории гибких пологих оболочек лежит гипотеза прямых недеформируемых нормалей Кирхгофа-Лява. Гипотеза состоит из двух допущений, одно из которых носит геометрический характер, а другое - силовой. Геометрическое допущение сводится к утверждению, что при определении перемещений произвольной точки оболочки можно считать, что любой прямолинейный элемент оболочки, перпендикулярный к срединной поверхности до деформации, остается таковым (то есть прямым и перпендикулярным) и после деформации, сохраняя, кроме того, свою длину. Силовое допущение состоит в том, что нормальные напряжения на площадках, параллельных срединной поверхности оболочки, считаются пренебрежимо малыми по сравнению со всеми остальными напряжениями.

Согласно этой гипотезе поведение элемента оболочки сводится к исследованию поведения её срединной поверхности, то есть, от трехмерной

задачи теории упругости переходят к двумерной. В связи с этим, возникает вопрос о погрешностях такого подхода и пределах применимости теории.

При решении задач статики теория применима, когда (j-j < Здесь R -

радиус кривизны срединной поверхности, h - толщина. Вопросы пригодности и непригодности теории при решении задач динамики рассмотрены в [52].

Вопросы единственности и существования решений уравнений Маргера-Власова, а также обоснование возможности их использования даны в работах И.И. Воровича и В.И. Седенко [23, 106].

Эти уравнения используются при исследовании статической и динамической устойчивости оболочек и подробно рассмотрены в работах А.С. Вольмира [19, 21], В.Д. Кубенко, П.С. Ковальчука, Н.П. Подчасова [75], Г.С. Лейзеровича [78]. Выводу вариационных уравнений посвящена, например, работа Б.Я. Кантора [48].

Другие варианты геометрически нелинейной теории оболочек, используемые при решении различных задач, рассматриваются в обзорах и работах К.З. Галимова [28], Е.А. Гоцуляк и Д.Э. Прусова [29], Я.М. Григоренко и В.И. Гуляева [34], Н.А. Кильчевского, Г.А. Издебской, Л.М. Кисилевской [52], В.В. Новожилова [96], И.Г. Терегулова [110] и др..

Например, в книге К.З. Галимова [28] даны основные соотношения теории тонких оболочек при конечных перемещениях и деформациях, а также условия неразрывности деформаций, уравнения равновесия и граничные условия. Сформулированы также вариационные задачи нелинейной теории оболочек.

Значительный вклад в развитие нелинейной теории оболочек внесли С.А. Алексеев, В.В. Болотин [13], Н.В. Валишвили [16], Б. Будянский, В.З. Власов [17], А.С. Вольмир [18], И.И. Ворович [25], К.З. Галимов [28], Э.И. Григолгок [30], Л. Доннел, М.И. Длугач [36], В.В. Кабанов [43-44], А.В.Кармишин и В.И.Мяченков [49], В.В. Карпов [50], Ю.Г. Коноплёв, Ф.Х. Тазюков [64, 63], Г.Келлер, В.Койтер, М.С.Корнишин [65], В.А.Крысько [70], В.И.Моссаковский, Х.М.Муштари [4, 9495], С.Г. Михлин [82-84], Н.Ф. Морозов [91, 92], В.В. Новожилов [97, 98], В.В. Петров [101], А.В. Саченков [104, 105] и др.

Чтобы исследовать напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки в статической и динамической постановках, необходимо знать точное аналитическое решение системы нелинейных дифференциальных уравнений статики и динамики соответственно. Однако, на сегодняшний день, получить точное аналитическое решение невозможно в силу отсутствия методов для получения такого решения. Поэтому, как правило, исследователи ограничиваются получением приближенных решений.

Обычно при решении задач такого типа, переходят от систем с распределенными параметрами, к системам с сосредоточенными параметрами. То есть, оболочку заменяют идеализированной дискретной моделью, достаточно точно отображающей свойства исходного объекта. Для совершения такого перехода обычно используют такие методы, как:

• метод Ритца;

• метод Бубнова;

• метод коллокаций;

• метод конечных разностей;

• метод конечных элементов;

• и другие методы.

Для исследования напряженно-деформированного состояния статически нагруженной оболочки, исследователи, как правило, прибегают к построению кривых «нагрузка - прогиб» или «напряжение - деформация».

В ранних работах по устойчивости оболочек наблюдалось несовпадение полученных значений критических нагрузок с имевшимися теоретическими значениями верхней критической нагрузки. Нижняя критическая нагрузка, полученная в первых решениях, лучше соответствовала эксперименту. Поэтому, некоторое время устойчивость оболочек оценивалась по нижней критической нагрузке. Позже выяснилось, что неточность результатов была обоснована недостаточным числом степеней свободы рассматриваемой дискретной модели. С привлечением ЭВМ и увеличением числа степеней свободы было установлено, что ориентировка на нижнюю критическую нагрузку, как на единственный

критерий, служащий для практических расчетов, во многих задачах не дает удовлетворительных результатов.

Исследования устойчивости оболочки от действия неравномерного давления, по-видимому, начинаются с работ Б.О. Элмроса [118] и В.И. Моссаковского [93].

В работе И.Ф. Образцова, Б.В. Нерубайло, В.П. Ольшанского [99] приводится обзор работ, направления исследований и основные результаты решения задачи статического нагружения оболочки в линейной постановке.

Обзоры по методам решения статических и динамических задач, этапы развития нелинейной теории оболочек приводятся в книгах и статьях А.С. Вольмира [18-22], И.И. Воровича [23,24], Э.И. Григолюка и В.В. Кабанова [33], Я.М. Григоренко [35], Х.М. Муштари и К.З. Галимова [94], Л.С. Срубщика [107]. Обзор зарубежных работ аналогичной тематики представлен в статьях, входящих в сборник [103], а также в [115, 15].

В конце XX - начале XXI века появилось много обзоров, посвященных современному состоянию проблемы нелинейного деформирования цилиндрических оболочек, например обзоры Г.Д. Гавриленко и Дж. Г. А. Кролла [27,68], Я.М. Григоренко и В.И. Гуляева [34]. В.Д. Кубенко и П.С. Ковальчука [74], В.В. Пикуля [102].

Задача нелинейного деформирования и устойчивости оболочки при действии неравномерного внешнего давления является важной задачей практики, поскольку цилиндрическая оболочка является составным элементом многих конструкций. Не менее важным фактором при рассмотрении задач такого типа является учёт начальной погиби оболочки.

Одной из работ, посвященной решению данной задачи, является, например, работа В.В. Кабанова и В.Д. Михайлова [44]. В ней изложен алгоритм исследования нелинейного деформирования и устойчивости круговой цилиндрической оболочки при неосесимметричном нагружении. Исходное состояние в задаче устойчивости определяется решением системы нелинейных уравнений. Для свободно опертой оболочки, нагруженной внешним давлением, распределенным вдоль полосы, приводится сравнение с решением задачи при

линейном исходном состоянии с данными экспериментов. В этой работе показано, что приближенный учет исходного состояния приводит к значительной погрешности решения.

В работе Е.А. Лопаницына, Е.А. Матвеева [79] в геометрически нелинейной постановке решается задача об устойчивости упругих, изотропных, тонкостенных цилиндрических оболочек с малыми начальными неправильностями формы, находящихся под действием внешнего давления. В постановке задачи авторы используют уравнения, идентичные уравнениям Маргерра для пологой цилиндрической оболочки. Решение строится методом Релея-Ритца с аппроксимацией перемещений точек срединной поверхности оболочки двойными функциональными суммами по тригонометрическим и балочным функциям. Получающаяся при этом система нелинейных алгебраических уравнений решается методами продолжения. Рассматриваются случаи заделки и опирания оболочки при ее нагружении боковым и всесторонним равномерным давлением. В качестве начальных неправильностей оболочки используются ее прогибы из предельных точек закритических ветвей ее траектории нагружения. Перебор разных форм начальных неправильностей при их максимальных величинах до 30% толщины оболочки позволил получить практически весь диапазон ее экспериментально найденных критических давлений. В работе показано, что при расчете реальных конструкций не следует игнорировать даже малые начальные неправильности, не превосходящие долей толщины стенки оболочки.

В книге Л.В. Андреева, Н.И. Ободан, А.Г. Лебедева [5] изложен метод расчета нелинейных тонкостенных оболочек при неосесимметричной деформации, позволяющий построить решение во всем диапазоне нагрузок, определить и классифицировать особые точки решения, установить их связь с критическими нагрузками и несущей способностью рассматриваемых конструкций. В работе приведены решения широкого класса неосесимметричных задач теории оболочек, выявлены особенности деформирования. Установлено, что нелинейная зависимость значений критических нагрузок от изменяемости напряжённо-деформированного состояния является общим свойством

неосесимметричных систем и связана с резонансным взаимодействием исходных и собственных форм нелинейных краевых задач.

В статье Д.В. Бабич, Л.А. Дериглазовой [6] исследовалось влияние начальных отклонений от идеальной формы цилиндрической оболочки на критические значения нагрузки при неосесимметричной форме потери устойчивости, путем учета их через геометрические параметры срединной поверхности (кривизны, параметры Ламе). Исследование ведется на основе линейной теории. Решение производится с помощью вариационного принципа Э. Треффтца в сочетании с методом дискретной аппроксимации функционала вариационного уравнения.

В работе В.В. Кабанова, Г.И. Курцевича, В.Д. Михайлова [47] разработаны алгоритмы исследования нелинейного исходного состояния замкнутой цилиндрической оболочки кругового сечения при произвольных граничных условиях и произвольном внешнем давлении. Составными частями этого алгоритма являются метод Канторовича-Власова, метод конечных разностей, метод последовательных приближений и метод матричной прогонки. Диаграмма w — q строилась при монотонном изменении параметра нагрузки. За предельное значение параметра нагрузки принималось такое его значение, при превышении которого не получалось сходящегося решения. Очевидно, что при таком способе решения, величина верхней критической нагрузки может быть достигнута лишь приближенно. Закритическое поведение оболочки с использованием этого алгоритма не может быть исследовано.

В работе [81] Е.А. Матвеев исследует влияние краевых условий на устойчивость оболочки. Автором было выяснено, что замена защемления краёв оболочки на опирание приводит к уменьшению верхней критической нагрузки на 6-12%, а не на 50%, как это считается в классической литературе. Удаление торцевой сжимающей нагрузки на оболочку приводит к уменьшению верхней критической нагрузки в зависимости от вида граничных условий на величину до 16%, а её нижней критической нагрузки - до 30%.

В работе С.И. Трушина, Е.В. Сысоевой, Т.А. Журавлевой [111] изложены результаты численного анализа устойчивости гибких пологих цилиндрических оболочек при несимметричном статическом нагружении. При построении расчетной модели использовались соотношения теории оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига и геометрической нелинейности в квадратичном приближении. Для построения кривых равновесных состояний и исследования устойчивости форм равновесия оболочки был применен вариационно-разностный метод в сочетании с методом продолжения решения по параметру. Было установлено, что возрастание неравномерности приложения нагрузки, выраженное в увеличении соотношения величин нагрузок на левой и правой половинах оболочки, ведет к стремительному уменьшению значения предельной нагрузки и более ранней потере устойчивости. Так, например, уже при превышении нагрузки на одной половине оболочки на 5% величина предельной нагрузки по сравнению с оболочкой, загруженной равномерно, уменьшается на четверть.

Немаловажным при решении задач такого типа является и выбор формы решения. Обзор работ [113, 116, 117, 26] показывает, что наиболее простые формы аналитических решений уравнений оболочек при действии локальных нагрузок даёт метод двойных тригонометрических рядов.

При исследовании устойчивости довольно часто применяется энергетический критерий. К фундаментальным трудам в этой области можно отнести книги Н.А. Алфутова [2] и Э.И. Григолюка, В.В. Кабанова [33].

Энергетический подход применительно к исследованию нелинейного деформирования и устойчивости круговых цилиндрических оболочек с начальными несовершенствами формы рассмотрен в статье Л.П. Железнова и В.В. Кабанова [38]. Разработан алгоритм решения без ограничений на нагрузку и форму начальных прогибов. Использован метод конечных элементов в перемещениях.

При исследовании цилиндрической оболочки в динамике можно выделить ряд направлений. Одним из направлений является исследование свободных и вынужденных колебаний оболочек при действии внешней нагрузки.

К работам данного направления можно отнести, например, книгу А.С. Вольмира [19], в которой излагается общая нелинейная теория динамики пластинок и оболочек на основе гипотезы Кирхгофа-Лява, а также модели типа Тимошенко, исследуются собственные, вынужденные, параметрические колебания и автоколебания тонкостенных систем, приводятся данные для практических расчетов, основанные на линеаризованных зависимостях. Также в книге рассматривается поведение пластинок и оболочек при действии быстро изменяющихся во времени и ударных нагрузок с учетом процесса распространения волн деформации и приводятся результаты экспериментов.

В работе С.Н. Кукуджанова [76] исследуется влияние нормального давления (как внешнего, так и внутреннего) на форму волнообразования и величину наинизших собственных частот оболочек вращения, близких к цилиндрическим. Вопросы эти рассмотрены для оболочек средней длины, граничные условия соответствуют случаю свободного опирания.

В работах [40-42] Ю.П. Жигалко исследует статику и динамику оболочек при силовых локальных воздействиях, а также реакцию оболочки на локализованный импульс внешнего давления. Исследование ведется на основе линейной теории.

В работе В.А. Крысько, Н.Е. Савельевой [138] исследуются сложные колебания замкнутых круговых цилиндрических оболочек конечной длины при действии поперечной знакопеременной нагрузки (q = qQ sin шЬ) в рамках нелинейной классической теории. Переход от уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений по времени осуществляется с помощью метод Бубнова в высших приближениях. Полученная задача Коши численно решается методом Рунге-Кутта 4 порядка точности. Авторами получен новый сценарий перехода в хаос колебаний механических систем указанного типа, выявлен критерий жесткой потери устойчивости,

проанализировано влияние амплитуды нагрузки на формы потери устойчивости оболочек.

В своей кандидатской диссертации ЧАН Нгок Доан [114] исследует поперечные нормальные напряжения, которыми в классической теории обычно пренебрегают. Эти напряжения, согласно результатам [114], получаются одного порядка с максимальными значениями основного изгибного напряжения; этот результат имеет большое значение при расчетах пластинок и оболочек из изотропных и композиционных материалов.

Помимо этого, автор [114] исследует свободные колебания оболочки. Исследование проводится с помощью дифференциальных уравнений в перемещениях. В работе также показано влияние краевых условий и геометрических параметров на характер свободных колебаний цилиндрической оболочки.

Вторым направлением является анализ динамической устойчивости оболочки. При решении задач такого типа центральное место занимает выбор критерия устойчивости. Этот выбор особенно важен при исследовании явления устойчивости с привлечением геометрически нелинейных уравнений движения оболочки, так как неудачно выбранный критерий может аннулировать преимущества нелинейной теории.

Рассмотрим некоторые критерии динамической устойчивости оболочек.

В работе В.А.Крысько и П.Б.Федорова [72] предложен следующий критерий динамической устойчивости оболочек. Строятся кривые ш — Ь при различных значениях нагрузки q. Наблюдение во времени за прогибом w происходит до достижения кривой ш — Ь первого максимума. Определяются мембранные напряжения в точке максимума. Нагрузка, при которой происходит смена знака указанного напряжения, считается критической.

В диссертации Л.У. Бахтиевой [8] развит подход, предложенный А.В. Саченковым [104]. Этот подход заключается в использовании

линеаризованных уравнений движения элемента оболочки при решении задач динамической устойчивости оболочек.

Суть критерия, описанного в работе [8], заключается в следующем. В начале нагружения силы инерции препятствуют внешней нагрузке, затем, пройдя через нуль и сменив знак, они начинают сопутствовать внешней нагрузке. При этом ускорение также меняет знак на противоположный. Значит, в некоторый момент времени Ь скорость оболочки становится равной нулю, а затем происходит резкое возрастание прогиба. Момент обращения скорости оболочки в нуль и принят в [8] за критический. Эффективность этого критерия подтверждается достоверными результатами, полученными с его использованием при решении большого числа конкретных задач [11].

А.С. Вольмир [19] предлагает рассматривать диаграмму зависимости параметра прогиба - перемещения f от параметра нагрузки Р (рисунок В.1). При равномерном увеличении параметра нагрузки, в некоторый момент времени происходит бурное возрастание прогиба. Этому этапу соответствует участок ВС кривой f — Р. Для оболочек мы наблюдаем на этом участке прощелкивание к новой, изогнутой форме равновесия.

Рисунок В.1 - К описанию критерия Вольмира. Участок ВС может быть очерчен различным образом. Например, один из возможных подходов заключается в установлении положения точки перегиба кривой / — Р на этом участке и определении критической динамической нагрузки

Рд как абсциссы этой точки. Другое предположение заключается в определении абсциссы некоторой «средней» точки этого участка.

В работе Шио, Сунг и Рота [121] предложен критерий, согласно которому динамическая критическая нагрузка определяется из анализа кривых при

различных значениях параметра нагрузки q. Вначале, при увеличении нагрузки, время достижения первого максимума кривой возрастает, а при достижении некоторого значения q первый максимум кривой начинает достигаться

раньше по времени. Это значение нагрузки и принимается за динамическую критическую нагрузку.

Критерий Шио, Сунг и Рота [121] был выбран для использования в данной работе, потому что по нему достаточно точно и однозначно определяется критическая нагрузка, а также, потому что этот критерий достаточно экономичен по времени.

Рассмотрим некоторые работы по динамической устойчивости цилиндрических оболочек.

В работе Колосова Г.И. [62] анализируется устойчивость равновесных состояний сжатых в осевом направлении замкнутых круговых цилиндрических оболочек применительно к граничным условиям Навье с использованием классической линейной теории оболочек и динамического критерия их устойчивости. Представляется аналитическое решение, позволяющее определять величину параметра осевого сжатия оболочки, превышение которого делает вероятным потерю ее устойчивости от воздействия малых возмущений определенного вида. Результаты расчетов критических параметров осевого сжатия оболочки как качественно, так и количественно хорошо согласуются с экспериментальными данными.

В монографии Коноплёва Ю.Г., Тазюкова Ф.Х. [63] рассмотрены вопросы динамической устойчивости оболочек и пластин. Использование критерия устойчивости, предложенного А.В. Саченковым, вариационных и численных методов позволило решить широкий круг задач, многие расчётные формулы получены в замкнутом виде.

В работах Л.У. Бахтиевой и Ф.Х. Тазюкова [10, 12] авторы исследуют статическую и динамическую устойчивость тонкостенной оболочки, используя метод Ритца и энергетический подход к решению задачи устойчивости.

Рассмотренные работы показывают, что при усложнении модели, описывающей оболочку, выявляются все новые особенности поведения оболочки, как при свободных, так и при вынужденных колебаниях. Эти особенности вынуждают исследователей более полно описывать перемещения оболочки, сохраняя в аппроксимации прогиба большее число членов. Следовательно, для описания нелинейного деформирования оболочки необходимо представить её в виде системы с большим числом степеней свободы.

Важными в практическом отношении являются задачи устойчивости цилиндрических оболочек при действии импульса внешнего давления конечной продолжительности во времени.

Исследование колебаний цилиндрических оболочек при кратковременном импульсном воздействии внешнего давления показывает, что для получения достоверных результатов в представлении искомых функций при определении напряженно-деформированного состояния и исследовании устойчивости необходимо удерживать большее количество членов ряда, чем при действии импульса бесконечной продолжительности во времени. При этом наблюдается рост динамической критической нагрузки по сравнению со статическим значением критической нагрузки. Этот факт объясняется тем, что скорость приложения нагрузки больше скорости нарастания прогибов. Поэтому потеря устойчивости происходит при более высоком энергетическом уровне нагружения и поэтому возникают волнообразования по более высоким гармоникам, чем при статическом нагружении. В процессе нагружения происходит перестройка форм волнообразования. Эти выводы были подтверждены рядом работ, обзор и анализ которых приведен в работах В.Л. Агамирова [1], А.С.Вольмира [19], Э.И.Григолюка и А.И.Сребовского[32].

Многомерному анализу динамики цилиндрических оболочек посвящены работы В.А. Баженова, Е.С. Дехтярюк, Т.Г. Захарченко [7], В.Г. Борисенко [14],

А.С. Вольмира [20], В.А. Крысько, А.А. Коломойца, С.А. Рыжова [69], Ф.Х. Тазюкова [109], В.В. Чемлаева [115], Н.З. Якушева [119]. Чаще всего исследования проводятся на основе методов Бубнова, конечных разностей и конечных элементов.

В основном, в работах посвященных многомерному анализу динамической устойчивости несовершенных оболочек, акцент делается на методике расчета, а различные виды несовершенств рассматриваются в качестве примеров демонстрации работы алгоритмов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Модин Алексей Сергеевич, 2017 год

/ \

/ >

/ \

г

1

/

г

/ /

/ 1

А У у

У к

/ \ к

/ Г / У V 1

/ г \ 1

• / у

/

✓ / 11 \

/ > 1

1

1 / \

г /

1 \

1 / V

1 \ \

) ♦ V у У N \

/ / > \ \ \

1 г / Д

1 * / N

/ / 1 \ V У к

1 / у N

С ] Л у ¡1

Л . / ♦ \

/ / \ V ч У

/ 7 у ■ ч *

1 II Л ч ч. «Л

/ N N ч у

■ N.

■ 1 •

■ 1

3.2. Численное исследование сходимости метода Бубнова

Исследуем сходимость метода Бубнова. Зафиксируем значение N = 2 и решаем задачу нелинейной статики для различных значений М. При сравнении полученных зависимостей — w было установлено, что при значениях М > 12 кривые практически совпадают (рисунок 3.4). Далее, при фиксированном значении М = 12 решалась задача статики для различных значений N (рисунок 3.5). При значениях N > 4 графики совпадают.

Сходимость метода достигается при значениях N = 4, М = 12.

Ниже в таблицах 3.2, 3.3 также приводятся значения критических нагрузок для кривых, показанных на рисунках 3.4, 3.5.

0,2

0,18

0,16

0,14

0,12

0,1

0,08

0,06

0,04

0,02

-М=9 М=10 М=11 М=12

w

10

12

14

Рисунок 3.4 - Сходимость метода Бубнова по М.

0

0

2

4

6

8

Рисунок 3.5 - Сходимость метода Бубнова по N.

Таблица 3.2 - Сходимость метода Бубнова по М.

N = 2

М Верхняя критическая нагрузка Нижняя критическая нагрузка

41 w 41 w

6 0,3636 4,19 -0,0414 15,62

7 0,2538 3,70 0,0418 12,72

8 0,2071 3,41 0,0806 10,81

9 0,1843 3,23 0,1020 9,51

10 0,1727 3,12 0,1154 8,60

11 0,1671 3,07 0,1247 7,99

12 0,1647 3,05 0,1311 7,62

13 0,1640 3,05 0,1353 7,43

14 0,1640 3,05 0,1377 7,39

Таблица 3.3 - Сходимость метода Бубнова по N.

М = 12

N Верхняя критическая нагрузка Нижняя критическая нагрузка

41 41

2 0,1647 3,05 0,1311 7,62

3 0,1278 2,29 0,1025 5,23

4 0,1278 2,29 0,1025 5,23

3.3. Сравнение различных методов решения системы нелинейных

алгебраи ческих уравнений

Чтобы выбрать лучший метод решения системы уравнений (3.11), решение производилось с помощью различных численных методов.

Решение системы уравнений (3.11) с помощью метода Ньютона с добавлением дополнительного уравнения с шагом по параметру w было подробно рассмотрено в п.3.1 данной главы.

Систему (3.11) также можно решать шаговым методом по параметру не вводя дополнительное уравнение. Однако данный подход не позволяет точно вычислить верхнюю критическую нагрузку, так как итерационный процесс расходится при достижении параметром значения, близкого к верхней критической нагрузке qlкр в силу того, что матрица Якоби системы обращается в нуль.

Далее будем решать систему (3.11) с помощью метода продолжения решения по параметру [31]. Рассмотрим его подробнее.

Рассмотрим систему т нелинейных алгебраических уравнений с т неизвестными и параметром Р, который будем называть параметром задачи:

F¿(X1,X2,...,Xm_1,Xm,P) = 0, I = 1,2,...,т. (3.15)

Параметр задачи Р будем считать равноправным с неизвестными Х^ (г = 1,2,..., т). Чтобы подчеркнуть это обстоятельство введем обозначение Хт+1 = Р.

Введем параметр Я, который в отличие от параметра задачи Р будем называть параметром продолжения.

Обозначим X = (Х1,Х2,... ,Хт_1,Хт,Хт+1 = Р]. Компоненты Х^ (/ = 1,2, ...,т + 1) вектора X 6 Ят+1 считаем непрерывными и достаточное число раз дифференцируемыми функциями параметра продолжения Я.

Х] = ХДЯ),

(3.16)

У = 1,2.....т + 1. к ;

Изменение параметра продолжения Я соответствует продвижению вдоль кривой Ь решения системы (3.15) в Дт+1.

Продифференцируем (3.15) по Я. В результате получим систему т линейных

ах1

однородных уравнений для т + 1 неизвестных —-г.

йл

т+1

1

ах1

р.__I = 0

^ ах 0

;=1

I = 1,2, ...,т.

В матричной форме эта система уравнений имеет вид

(3.17)

-ах - .. ..

дХ]

(3.18)

£ = 1,2, ...,т;] = 1,2, ...,т + 1.

Пусть Х0 некоторое известное решение системы (3.15). Принимаем, что этому известному решению соответствует значение параметра Я = 0.

*(0)=Х0. (3.19)

Уравнение (3.18) с начальным условием (3.19) представляет собой неявно сформулированную задачу Коши по параметру Я. Для интегрирования задачи Коши необходимо из системы уравнений (3.18) найти вектор

ах ах

ах± ах2 ах,

т+1

ах ' ах ' ах

Обозначим через К^ строку матрицы /:

^ = [^¿Д, — ,^Е,т+1] Систему (3.18) запишем в виде скалярного произведения векторов:

( 0Х\

\К1,~аХ1 = 0, 1 = 1,2,...,т.

(3.20)

(3.21)

Построим из базиса К^, £ = 1, ...,т ортонормированный базис с помощью процесса ортогонализации Грама-Шмидта.

Пусть ^, 1 = 1, ...,т ортогональный базис, а ^, ¿ = 1, ...,т -соответствующий и^ ортонормированный базис. Процесс построения базисов и^ и ^ по Граму-Шмидту имеет вид:

= - • ^ = (3.22)

к = 2, ...,т.

Когда известен ортонормированный базис ^, £ = 1, ...,т, то отыскание решения системы (3.21) сводится к нахождению орта Ут+1 ортогонально дополняющего ^, ¿ = 1, ...,т до базиса Ят+1. Для этого задаем некоторый вектор Q, имеющий ненулевую составляющую ит+1 и поэтому линейно независимый с векторами ^, £ = 1, ...,т. Um+1 = Q-llr=1(Q,Vi)•Vi;

у = Цщ+1 (3.23)

Кт+1 \\ит+1\\.

Следуя [31] обозначим через ол(/, Q) операцию (3.22), (3.23) определения орта Ут+1 по заданным векторам К^ и вектору Q, линейно независимому с К^. Тогда решение систем (3.18), (3.21) можно представить в виде:

^=оп(/,д). (3.24)

Дифференциальное уравнение (3.24) вместе с начальным условием (3.19) в отличие от (3.18) представляют собой явную формулировку задачи Коши по параметру Я. Интегрирование (3.24) позволяет построить кривую решения системы нелинейных уравнений (3.15), начиная от точки Х0 и двигаясь вдоль кривой множества решений L.

Систему (3.24) решаем с помощью любого метода численного интегрирования.

Для демонстрации преимуществ данного метода, рассмотрим задачу построения кривой лемнискаты Бернулли [31].

Пример.

С помощью метода продолжения решения по параметру построить Лемнискату Бернулли в осях Хг, Х2:

F(x) = (Xf + X%)2 - 2a2(Xl - X$) = 0, X = [Х1,Х2],при а = 1.

(3.25)

Решение.

Считая Хг и Х2 функциями параметра Я, получаем уравнение продолжения: -дХ ~

^ dX

dF dF ] dX dX± /dX'

[дХ1' дХ2\ ' dX dX2 / dX _

(3.26)

Здесь ] — расширенная матрица Якоби функции р{х) = Р(Х1,Х2). Запишем уравнение (3.26) в развернутом виде и произведем сокращение на множитель 4:

[((*12 + Х$)хг - Х1), ((X2 + Х2)Х2 + х2)]

dX± / dX _dX2 /dX _

= 0.

(3.27)

Здесь матрица ] = []\\,]\2 ] представляет собой вектор-строку в двумерном векторном пространстве Я2.

Решение будем искать в виде [31]

dX -

di=ort (J'Q)

с помощью общей процедуры ортогонализации при начальных условиях

Х0 = [V2,0 ]T,Q = [0,1].

Операция ort для системы одного уравнения представляет собой: U1 = T1=J,

1 ш

U2 = Q-(Q'V1)V1 ,

2 ш

(3.28)

(3.29)

(3.30)

Так как размерность системы, т = 1, то орт У2 является решением системы (3.28).

dX

— = v2

dX

(3.31)

На каждой итерации уточняется вектор Q, который принимается равным —

йл

Интегрирование системы производится с помощью методов Эйлера, трапеций, Адамса и Рунге-Кутта 4 порядка точности.

На рисунке 3.6 наиболее точно соответствует исходной форме кривая, полученная с помощью метода Рунге-Кутта. Кривые, полученные с помощью методов Адамса и трапеций, достаточно близки по форме к исходной кривой, а кривая, полученная методом Эйлера, по форме значительно отличается от исходной кривой.

На рисунке 3.7, кривая, полученная с помощью методов Рунге-Кутта, совпадает по форме с исходной кривой. Кривые, полученные с помощью методов Адамса и трапеций, практически совпадают между собой и практически полностью совпадают по форме с исходной кривой. Кривая, полученная методом Эйлера, с уменьшением шага приближается по форме к исходной кривой.

х,

J к

« * и 5 —"

✓ и,5 N

✓ \

к 1

• •

1 и

1,

2 ,5 - 1 -и ,5 и 5 1 5

V

1 К 1 1

> *

> и,5 /

ч Ч 4 ф

-1

X,

•Рунге

Эйлер

Трапеции

Адамс

Рисунок 3.6 - Лемниската, построенная методом продолжения по параметру с помощью различных численных методов (ДА = 0.1).

1 к к

0,5

<<

0 0

1,

2 -1 - 1 -0 ,5 0 1 0, 5 1, 5

<

* к

0,5 0,5

-1

■Рунге

Эйлер

Трапеции

Адамс

Рисунок 3.7 - Лемниската, построенная методом продолжения по параметру с помощью различных численных методов (ДА = 0.01).

Применим метод продолжения решения по параметру к системе (3.11).

Пусть т = 2Ы(М + 1). Запишем систему нелинейных алгебраических уравнений в виде

^(ЛюМп.....ЛММ,В10,В11.....Вмм>41) =

■ 1 о (3.32)

I = 1,2, ...,т.

Введем параметр т, который в отличие от параметра задачи будем называть параметром продолжения.

Обозначим X = [А10, А1±, ... ,АИМ, В10, В1Ъ ..., Вим, Компоненты Х^

(/ = 1,2,..., т + 1) вектора X 6 Ят+1 будем считать непрерывными и достаточное число раз дифференцируемыми функциями параметра продолжения т.

Х] = Х](г),

(3.33)

У = 1,2.....т + 1. ^ 7

Изменение параметра продолжения т соответствует продвижению вдоль кривой Ь решения системы (3.32) в Дт+1.

Продифференцируем (3.32) по т. В результате получим систему т линейных

т+1

ZdXi

; = 1 аТ (3.34)

£ = 1,2, ...,т.

В матричной форме эта система уравнений имеет вид

- ¿X - и ,.

/■ЗГ=0,/ = 1И,,11 =

(3.35)

dт

£ = 1,2, ...,т;] = 1,2, ...,т + 1.

Пусть Х0 некоторое известное решение системы (3.32). Принимаем, что этому известному решению соответствует значение параметра т = 0.

*(0) = х0. (3.36)

Решение системы (3.35) представим в виде (3.24)

dX ч

¿7 = оЧ/,<г).

Дифференциальное уравнение (3.24) вместе с начальным условием (3.36) представляют собой явную формулировку задачи Коши по параметру т. Интегрирование (3.24) позволяет построить кривую решения системы нелинейных уравнений (3.32), начиная от точки Х0 и двигаясь вдоль кривой множества решений L.

Систему (3.24) решаем с помощью любого метода численного дифференцирования.

Сравним результаты, полученные при решении системы (3.11) с помощью метода Ньютона по параметрам w и и метода продолжения решения по параметру. На рисунке 3.8 показаны кривые прогиб - нагрузка, полученные с помощью методов, рассмотренных в данной главе. Обращаем внимание, что кривые «Метод продолжения по параметру» и «Метод Ньютона (м)» на рисунке совпадают.

В таблице 3.4 приведен сравнительный анализ методов решения системы (3.11) с указанием размера шага, количества итераций и затраченного времени для каждого из указанных методов.

Таблица 3.4 - Сравнительный анализ методов решения системы (3.11).

Параметр Размер шага Количество шагов Время, с Результат, ^1крит

Метод Ньютона Чг 0.001 131 43.4 Расходится после = 0.127

№ 0.01 900 297.9 0.1278

Метод продолжения решения по параметру Т 0.1 30 27.4 0.1278

Метод продолжения по параметру — — — Метод Ньютона М Метод Ньютона

Рисунок 3.8 - Сравнительный анализ методов решения системы (3.11).

Сравнение методов Ньютона и продолжения решения по параметру показало, что использование в алгоритме метода продолжения решения по параметру позволяет получить решение с меньшими затратами по времени и обеспечивает беспрепятственное прохождение предельных точек, в отличие от метода Ньютона.

нагружения.

Используя алгоритм решения задачи статики, изложенный в пп.3.1, 3.3 главы 3, покажем влияние геометрических параметров оболочки и размера площадки нагружения идеальной и несовершенных оболочек на величину критической нагрузки при нагружении неравномерным внешним давлением.

Критическая статическая нагрузка определялась по зависимости прогиб-нагрузка (рисунок 3.9). Точки А, В, С, И на рисунке соответствуют нагрузке = 0.08, верхней критической нагрузке = 0.1278, нижней критической нагрузке = 0.1025 и нагрузке = 0.13 соответственно. Для удобства расчетов, эта зависимость строилась для точки с максимальным прогибом. Координаты точек с максимальным по модулю прогибом приведены в п.2.1 Главы 2. Везде, где это дополнительно не оговаривается, расчеты проводились для Ку = 112.5, X = 1.5, (х0;у0) = (0.5; 0), а = 0.3, р = 0.2 при N = 4, М = 12.

41

0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0

i к

.в Р

с

-►

w

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Рассматривались несовершенства следующих видов:

а) wQ = Asininx, при А = 0.2, i = 1. В разложении (2.10) а10 = 0.2, а остальные коэффициенты a¿j равны нулю;

б) w0= Asininx, при А = 0.2, i = 2. В разложении (2.10) а20 = 0.2, а остальные коэффициенты a¿j равны нулю;

в) wQ= Asininx, при А = 0.2, i = 3. В разложении (2.10) а30 = 0.2, а остальные коэффициенты a¿j равны нулю;

г) случайные начальные несовершенства, коэффициенты a¿j заданы по нормальному закону распределения. Для примера в данной главе использовались коэффициенты, приведенные в таблице 3.5.

Таблица 3.5 - Пример случайно заданных коэффициентов a¿; по нормальному

закону распределения

aij

i / j 0 1 2 3 4 5 6

1 0,063078 0,103413 -0,05463 0,110891 0,098102 0,074968 -0,01453

2 -0,02952 0,037935 0,023156 -0,00016 -0,01553 0,019002 0,043168

3 -0,03078 0,055176 0,000359 0,073336 0,097032 0,08964 0,069522

4 0,100733 0,050291 0,143732 0,072206 0,024311 -0,03013 0,139528

i / J' 7 8 9 10 11 12

1 0,026225 0,012534 0,01415 0,017689 0,019091 0,118722

2 0,103248 0,148271 -0,01185 0,026581 0,00318 0,076677

3 -0,06132 0,125208 0,038578 0,08149 0,009921 0,034002

4 0,094578 0,038796 0,091611 0,015933 0,029776 0,101437

На рисунках 3.10 - 3.13 показана зависимость верхней критической нагрузки (точка «В» на рисунке 3.9) от ширины площадки нагружения. Кривая 1 на каждом из рисунков построена для идеальной цилиндрической оболочки, кривая 2 построена для оболочек с несовершенствами вида а) - г) соответственно.

0,24 0,22 0,2 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1

к

#<

Л // _ — ч\ Л

л 4

ч У

—►

0,5

1 1

1,5

2,5

Рисунок 3.10 - Зависимость верхней критической нагрузки от ширины площадки нагружения для идеальной оболочки и оболочки с несовершенствами вида а).

0,24 0,22 0,2 0,18 0,16 0,14 0,12

0,1 -► а

0,5

1 1

1,5

2,5

Рисунок 3.11 - Зависимость верхней критической нагрузки от ширины площадки нагружения для идеальной оболочки и оболочки с несовершенствами вида б)

(кривые 1, 2 на рисунке совпадают).

0

2

3

2

0

2

3

2

0,3

Я

0,25

0,2

0,15

0,1

► а

0,5

1 1

1,5

2,5

Рисунок 3.12 - Зависимость верхней критической нагрузки от ширины площадки нагружения для идеальной оболочки и оболочки с несовершенствами вида в).

Я,

0,3

0,25

0,2

0,15

0,1

а

0,5

1 1

1,5

2,5

0

2

3

2

0

2

3

2

Для каждого из рассмотренных видов несовершенств, была получена величина относительного изменения критической нагрузки несовершенной оболочки относительно идеальной, которую получаем по формуле

^1несов.кр — дЧиджр 1гто/ р =-^идкр--100%. (3.37)

В таблице 3.6 приведены значения максимального, минимального и среднего относительного изменения критической нагрузки для несовершенств вида а) - г) при изменении ширины площадки нагружения. Как видно из таблицы, несовершенства вида а) в среднем уменьшают критическую статическую нагрузку на 3%, несовершенства вида б) не оказывают значительного влияния на величину критической нагрузки, а несовершенства вида в) увеличивают критическую нагрузку в среднем на 14%.

Влияние несовершенств вида г) на критическую нагрузку при изменении длины площадки нагружения напрямую зависит от коэффициентов а^у, заданных по нормальному закону распределения. Рассмотренные в данной работе коэффициенты по-разному влияют на критическую нагрузку при различных значениях а. Так, при а = 0.1 достигается максимальное значение Дqlкр = 57% , а при а = 3.1 минимальное значение Дqlкр = -22%. Однако, в среднем, показывает незначительное уменьшение критической нагрузки на 2%.

Таблица 3.6 - Значения максимального, минимального и среднего относительного изменения критической нагрузки для несовершенств вида а) - г).

а) б) в) г)

% а % а % а % а

Максимальное значение -1,0542 0,5 0,203292 0,5 16,62429 0,4 57,32517 0,1

Минимальное значение -4,20039 0,4 -0,69293 0,4 8,810702 0,5 -22,2451 3,1

Среднее значение -3,15179 — -0,37135 — 13,72778 — -2,33027 —

На рисунках 3.14 - 3.17 показана зависимость верхней критической нагрузки от длины площадки нагружения. Кривая 1 на каждом из рисунков построена для идеальной цилиндрической оболочки, кривая 2 построена для оболочек с несовершенствами вида а) - г) соответственно. Отметим, что в отличие от зависимостей ^1крит(а), рассмотренных ранее, общий вид кривой ^1Крит(Д) не зависит от вида начальных несовершенств.

В таблице 3.7 приведены значения относительного изменения критической нагрузки несовершенной оболочки относительно идеальной оболочки для несовершенств вида а) - г) при изменении длины площадки нагружения. В результате было установлено, что несовершенства вида а) в среднем уменьшают критическую статическую нагрузку на 3.5%, несовершенства вида б) не оказывают значительного влияния на величину критической нагрузки, а несовершенства вида в) увеличивают критическую нагрузку в среднем на 14%.