Математическое моделирование хаотических колебаний замкнутых цилиндрических оболочек и панелей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Савельева, Наталья Евгеньевна

• Савельева, Наталья Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Савельева, Наталья Евгеньевна

ВВЕДЕНИЕ (Краткий исторический обзор исследований по теме диссертации).

Глава I. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ И СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК > ПРИ КОНЕЧНЫХ ПРОГИБАХ.

§ 1. Основные соотношения и допущения теории пологих оболочек.

J / § 2. Алгоритм метода Бубнова - Галеркина. ^ 2.1. Замкнутая цилиндрическая оболочка.

2.2. Цилиндрическая панель.

§ 3. Достоверность полученных результатов.

§ 4. Метод установления в теории гибких пологих оболочек.

§ 5. Динамическая потеря устойчивости оболочек под действием импульса бесконечной продолжительности во времени.

Выводы по главе.

Глава II. СЦЕНАРИИ ПЕРЕХОДА КОЛЕБАНИЙ ИЗ

ГАРМОНИЧЕСКИХ В ХАОТИЧЕСКИЕ ДЛЯ ГИБКИХ ОБОЛОЧЕК.

§ 1. Анализ существующих математических моделей перехода из гармонических колебаний в хаотические.

§ 2. Новые математические модели сценариев перехода из гармонических колебаний в хаотические. Д

§ 3. Периодичность А.Н. Шарковского для дифференциальных уравнений теории гибких оболочек.

§ 4. О пространственно-временном хаосе.

Выводы по главе.

Глава III. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ХАОТИЧЕСКИХ

КОЛЕБАНИЙ ЗАМКНУТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ.

§ 1. Сходимость метода Бубнова - Галеркина при исследовании хаотических колебаний замкнутых цилиндрических оболочек.

§ 2. Исследование хаотических колебаний замкнутых цилиндрических оболочек в зависимости от геометрических параметров и от площади приложения внешней нагрузки.

Выводы по главе.

Глава IV. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПАНЕЛЕЙ И СФЕРИЧЕСКИХ

ОБОЛОЧЕК НА ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПЛАНЕ.

§ 1. Сходимость метода Бубнова - Галеркина при исследовании хаотических колебаний цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане.

§ 2. Исследование хаотических колебаний цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане в зависимости от геометрии оболочки в плане.

Выводы по главе.

Глава V. УПРАВЛЕНИЕ ХАОТИЧЕСКИМИ КОЛЕБАНИЯМИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ

ПАНЕЛЕЙ.

§ 1. Хаотические колебания цилиндрических оболочек.

§ 2. Хаотические колебания цилиндрических панелей.

Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование хаотических колебаний замкнутых цилиндрических оболочек и панелей»

краткий исторический обзор исследований по теме и основное содержание работы)

Тонкостенные элементы конструкций в форме цилиндрических оболочек в течение нескольких десятилетий являются объектом многочисленных и разнообразных исследований. Интерес к проблемам деформирования, прочности, колебаний, статической и динамической устойчивости цилиндрических оболочек обусловлен в первую очередь тем, что они представляют собой основные несущие элементы конструкций, применяемых в авиационной и ракетной технике, в подводных аппаратах, магистральных трубопроводах, корпусах современных энергетических установок.

Основные этапы развития механики оболочек и полученные к настоящему времени результаты с достаточной полнотой отражены в монографиях В.В.Болотина [1], А.Н. Гузя [2], А.И. Лурье [3], обзорных и проблемных статьях С.А. Амбарцумяна [4], В.В. Болотина [5,6]. Анализ уже известных работ дает возможность сделать вывод, что для цилиндрических оболочек к настоящему времени наиболее полно разработаны проблемы расчета напряженно-деформированного состояния, устойчивости, прочности и оптимального проектирования при статических внешних нагрузках.

Из сравнительно небольшого числа известных исследований по динамике цилиндрических оболочек основная часть посвящена линейным задачам распространения гармонических волн в бесконечно длинных оболочках. Этим вопросам посвящены работы Ю.Н. Новичкова [7], И. Мирского [8]. Также хорошо изучены собственные колебания оболочек конечной длины в работах А.Е. Богдановича [9], В.И. Купцова [10]. В работах Ж.Е. Багдасаряна [11], Г.Б. Варбартона [12] проведены теоретические исследования по проблемам вынужденных колебаний, в работах Ж.Е. Багдасаряна [13], А.Е. Богдановича [14], А.С. Вольмира [15] -параметрических колебаний, в работе И.Н. Преображенского [16] -нелинейных собственных колебаний.

Значительно меньше внимания до недавнего времени уделялось проблемам деформирования, прочности, устойчивости цилиндрических оболочек при кратковременных импульсных и ударных нагрузках. Можно отметить ряд решений линейных задач нестационарного деформирования при осевом нагружении, внешнем или внутреннем давлении. Это работы Н.А. Абросимова [17], З.Г. Алпаидзе и Ш.У. Галиева [18], Б.А.Гордиенко [19], Л.Н.Суховой [20], С. Клейна [21]. Отметим также, что лишь в нескольких работах (Р.А. Багдасарян [22], А.Е. Богданович [23]) рассматривались задачи оптимизации при динамических ограничениях, отличных от ограничений на частоты собственных колебаний.

Актуальность разработки проблем деформирования и прочности оболочек при динамических сжимающих воздействиях в последние годы резко возросла. Объясняется это в первую очередь непрерывно расширяющимся внедрением оболочек в несущие элементы конструкций, работающих в интенсивных динамических режимах. Необходимо иметь в виду, что запросы практики требуют обеспечения высокой надежности ответственных конструкций, отдельные элементы которых изготовлены из цилиндрических оболочек и панелей. Проводимые же с этой целью натурные динамические испытания становятся все более сложными и дорогостоящими. Эффективно разрешить эту проблему можно лишь на базе комплексных теоретико-экспериментальных исследований, основная задача которых должна заключаться в выяснении физической сущности процессов, протекающих в конструкционных элементах в предполагаемых условиях эксплуатации.

Что касается теоретико-расчетной части общей задачи, то первая основная проблема при рассмотрении сложных конструкций заключается в создании эффективных математических моделей исследуемых систем, которые не только обеспечивают выполнение заданных требований к информативности и точности исследований, но и одновременно являются экономичными, способствуя, в частности, минимизации затрат машинного времени и памяти ЭВМ [24]. Математические модели рассматриваемых явлений и расчетные методики в идеале должны быть точными, надежными и в тоже время универсальными. Однако удовлетворить всем этим требованиям в задачах динамики оболочек практически никогда не удается. Объясняется это непростым физическим содержанием динамических процессов в тонкостенных конструкциях.

При расчете тонкостенных оболочек на динамические сжимающие нагрузки важно иметь в виду также следующее обстоятельство. Для реальных оболочек, обладающих (пусть даже очень малыми) начальными несовершенствами, во многих случаях оказывается невозможным рассмотрение в чистом виде классических задач деформирования, динамической устойчивости и прочности. Сравнительно медленное нарастание деформаций (безмоментных либо моментных осесимметричных в зоне краевого эффекта) на начальной стадии нагружения, последующий резкий переход оболочки к интенсивному неосесимметричному выпучиванию, образование и развитие в материале локальных зон неупругих деформаций или локальных повреждений представляют собой взаимовлияющие стороны единого процесса. Можно говорить лишь о том какая из них в тон или иной расчетной ситуации (при конкретном виде нагрузки, диапазоне скоростей нагружения, поле начальных несовершенств, соотношении геометрических параметров оболочки характеристика, жесткости и прочности материала) будет доминирующей.

Линейная теория однородных изотропных оболочек, начало которой положили работы Арона и Лява, в 30—40-е гг. прошлого века была предметом многочисленных и разнообразных исследований отечественных и зарубежных ученых. Подробный обзор и оценка достижений советских механиков в разработке классической теории оболочек даны в статье

B.В. Новожилова [25]. Отмечено, что фундаментальное значение для этих исследований имели более ранние работы Б.Г. Галеркина, П.Ф. Папковича, Ю.А. Шиманского, С.П. Тимошенко. В частности, Б.Г. Галеркиным [26] был разработан оригинальный метод, заключавшийся в получении всех формул теории оболочек из общих уравнений теории упругости. Он имел огромное значение с точки зрения построения математически последовательной линейной теории тонких оболочек и широко использовался в работах А.И. Лурье [3], В.З. Власова [27], А.Л. Гольденвейзера [28], В.В. Новожилова [25], Х.М. Муштари [29]. Впервые этим путем вывел уравнения теории тонких оболочек Л.И. Лурье [3]. Основные принципы, заложенные этими учеными в линейную теорию оборотных изотропных оболочек, послужили методологической основой для построения уточненных теорий, теорий анизотропных и многослойных оболочек. Они имеют фундаментальное значение для построения нелинейных теорий оболочек.

За последние 20 лет опубликовано огромное число работ (отечественных и зарубежных) по линейной теории анизотропных и многослойных оболочек. В них использовались принципы и методы, заложенные в работах

C.А. Амбарцумяна, Э.И. Григолюка, В.В. Болотина, а также основные идеи построения уточненных вариантов теории однородных изотропных оболочек.

Фундаментальные принципы и положения, выработанные в линейной механике оболочек (выбор исходных аппроксимаций неизвестных функции по толщине; согласование точности всех элементов теории, как между собой, так и с точностью исходных аппроксимации; методы вывода уравнений равновесия и соотношений упругости; возможность введения функций напряжений и использование уравнении равновесия в смешанной форме), послужили методологической основой при разработке нелинейной теории.

Первые результаты по теории конечных перемещений топко-стенных упругих оболочек получены в работах Лява, С. П. Тимошенко, Саусвелла. Но детальная теоретическая разработка геометрически нелинейной теории началась с исследований Х.М. Муштари [30], получившего основные соотношения нелинейной теории тонких ортотропных оболочек в предположении, что перемещения точек срединной поверхности, сравнимые с толщиной, малы по сравнению с другими характерными размерами оболочки. В последующих работах Х.М. Муштари построил более общую нелинейную теорию, справедливую при произвольных изгибах срединной поверхности, провел качественное исследование напряженного состояния оболочки при малых деформациях и произвольных перемещениях, предложил строгую классификацию задач нелинейной теории оболочек. В работах [31,32] он получил (с позиций геометрически нелинейной теории) основные уравнения для оболочек, обладающих произвольными полями начальных напряжений и начальных геометрических несовершенств.

Крупный вклад в нелинейную теорию оболочек внес К.З. Галимов. На основе общих уравнений нелинейной теории упругости он получил тензорную форму уравнений равновесия нелинейной теории оболочек, в общем виде сформулировал статические граничные условия для случая конечных деформаций, применил вариационные методы к задачам нелинейной теории оболочек.

Геометрически нелинейная теория оболочек, основанная на гипотезах Кирхгофа—Лява, изложена X. М. Муштари, К.З. Галимовым в монографии [33] и известной монографии А.С. Вольмира [34], оказавших большое влияние на все последующие исследования в этой области. Фундаментальное значение для разработки геометрически нелинейной теории оболочек имели результаты, полученные В. В. Новожиловым [35], изложившим общий подход к проблеме деформации гибких тел (тонких стержней, пластин и оболочек). На основе нелинейной теории упругости в [35] были выведены уравнения тонких оболочек в ортогональных координатах.

Исследования по нелинейной теории оболочек проводили одновременно А.И. Лурье, В.З. Власов, Н.А. Алумяэ [36]. Зарубежные авторы до начала 60-х годов не уделяли большого внимания нелинейной теории оболочек, хотя ими и были опубликованы отдельные важные результаты. Так, Л.Х. Доннел [37] получил нелинейные уравнения среднего изгиба цилиндрической оболочки, обобщенные затем К. Маргерром [38] на случай пологих оболочек произвольной кривизны. Эти уравнения в настоящее время являются классическими в теории пологих оболочек.

Классическое направление нелинейной теории однородных изотропных оболочек, основанное на модели Кирхгофа-Лява, получило дальнейшее развитие в работах Дж. Л. Сандерса [39], В.Т. Койтера [40], В. М. Даревского [41], Л.А. Шаповалова [42], Э. И. Григолюка и В. И. Мамая [43], В.В. Кабанова [44].

Исследования, проводившиеся в 60—70-е гг. в рамках классической теории тонких цилиндрических оболочек, были направлены в основном на изучение влияния условий закрепления торцов на частоты и формы собственных колебаний. Общее решение задачи о собственных колебаниях изотропной цилиндрической оболочки, допускающее рассмотрение в принципе любых граничных условий, предложено К. Форсбергом [45] и Г.Б. Уорбартоном [46]. Решения задачи о собственных колебаниях цилиндрической оболочки рассматривались также на основе уравнений трехмерной теории упругости в работах Мирского [8] и др. Кроме того, проводился анализ эффектов, связанных с предварительным статическим нагружением (в работе М.В. Никулина [47]), с учетом тангенциальной инерции. Большое число работ посвящено учету начальных несовершенств формы оболочки. Проводились также обширные экспериментальные исследования в работах В.Г. Готтенберга [48].

На стыке проблем собственных колебании и статической устойчивости тонкостенных элементов конструкций возникают задачи о параметрических колебаниях. Начиная с работы Н.М. Беляева [49] параметрические колебания стали предметом многочисленных исследований в приложении к разнообразным механическим системам с распределенными параметрами (в частности, к стержням, пластинам и оболочкам). В работе Г. Шмидта [50] содержится практически полный список литературы по данному вопросу, опубликованной до 1972г. Большое количество работ математического характера посвящено исследованию устойчивости уравнений и систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, к которым сводятся задачи о параметрических колебаниях. Упомянем здесь лишь первые фундаментальные исследования, Н.В.Мак-Лахлана [51], М.Д. Стретта [52], обзорную статью В.М. Старжинского [53] и монографию В.А.Якубовича и В.М. Старжинского [54], обобщающие математические исследования в данной области.

Коротко остановимся на важных с методологической точки зрения задачах расчета собственных и вынужденных нелинейных колебаний цилиндрических оболочек. Прежде всего, следует упомянуть первые работы Э.И. Григолюка [55] (на основе уравнений среднего изгиба пологих оболочек решена задача о вынужденных колебаниях свободно опертой круговой цилиндрической панели) и И.И. Воровича [56] (исследованы вопросы существования и единственности решения уравнений, описывающих нелинейные колебания пологих оболочек). Проблеме собственных и вынужденных нелинейных колебаний замкнутой круговой цилиндрической оболочки посвящена серия работ, начатых Чу [57], Дж.Л. Новинским [58], Д.А. Эвенсеном [59]. В центре их внимания был расчет амплитудно-частотной характеристики и обсуждение вопроса, к какому типу нелинейности («жесткой» либо «мягкой») она должна принадлежать. В первых двух исследованиях [59,60] оболочка сводилась к системе с одной степенью свободы, а полученное уравнение Дуффинга определяло нелинейность «жесткого» типа. При этом в [59] не удовлетворялось условие непрерывности окружного перемещения, а в [60] — равенство нулю прогиба на торцах. На основе двучленной аппроксимации прогиба получено решение [59], удовлетворяющее обоим этим требованиям. Оболочка также была сведена к системе с одной степенью свободы, но уравнение колебаний получалось существенно иного вида: оно содержало нелинейные инерционные члены. В результате решения была получена амплитудно-частотная характеристика «мягкого» типа.

Существенным шагом вперед явилась работа Е.Х. Довелла [60], где оболочка рассматривалась как система с тремя степенями свободы; в интегральном смысле удовлетворялись условия периодичности окружного перемещения и равенства нулю на торцах осевого перемещения. В этой работе отмечено, что решение Д.А. Эвенсена не удовлетворяет условию равенства нулю на торцах изгибающего момента и какому-либо определенному типу граничного условия на продольное перемещение

В числе первых работ по нелинейным параметрическим колебаниям тонкостенных конструкционных элементов следует упомянуть статью В.В. Болотина [61]. В монографии В.В. Болотина [62] изложены основные принципиальные положения теории нелинейных параметрических колебаний механических систем. Указано, в частности, на допустимость определения границ ОДН исходя из линеаризованных уравнений движения.

В начале 60-х гг. В. Ц. Гнуни [63,64] и Г. В. Мишенков [65] получили ряд решений геометрически нелинейной задачи о параметрических колебаниях пологой цилиндрической панели. В работе Р.А. Багдасаряна и В.Ц. Гнуни [66] проведено решение аналогичной задачи для оболочки вращения. В последующих многочисленных работах Р.А.Багдасаряна [13], А.С. Вольмира [15], В.Ц. Гнуни [67] рассматривались нелинейные параметрические колебания замкнутой цилиндрической оболочки. В исследованиях В.Ц. Гнуни [63,64] и Г.В. Мишенкова [65] решения получены на основе аппроксимации прогиба одним членом двойного ряда Фурье. Аппроксимации прогиба и процедуры решения, использованные в работах Р.А. Багдасаряна [13], А.С. Вольмира [15], В.Ц. Гнуни [67], соответствуют решению В.Л. Агамирова [68] задачи об импульсном нагруженни цилиндрическом оболочки осевым сжатием и внешним давлением. Во всех указанных работах система уравнений движения оболочки в конечном итоге была сведена к нескольким модификациям нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения с периодическим коэффициентом. Из анализа таких уравнений, проводившегося различными методами, сделаны определенные качественные выводы относительно характера амплитудно-частотной зависимости

Проблема динамической устойчивости тонкостенных цилиндрических оболочек уже с конца 50-х гг. вызывает большой интерес. Связанные с нею задачи и полученные результаты обсуждались в монографиях А.С. Вольмира [34,69], в докладах и обзорных статьях В.В.Болотина [70], А.С. Вольмира [71-73], Н. Хоффа [74], В.И. Феодосьева [75], B.JI. Агамирова [76]. Работы по проблеме динамической устойчивости цилиндрических оболочек, подверженных продольному торцевому удару, детально проанализированы в обзорной статье А.Е. Богдановича [77]. Кроме того, практически полный список публикаций по этой проблеме (до 1977г.) приведен в работе К.А. Пандалаи [78]. В работе Ю.Г. Коноплева [79] дается описание работ по исследованию динамической устойчивости оболочек, динамической реакции пластин и оболочек на локальные воздействия, по созданию эффективных методов расчета на базе методов конечных элементов и граничных элементов. В работе Ю.Г. Коноплева [80] исследована устойчивость конических оболочек эллиптического поперечного сечения с большим эксцентриситетом, находящимся под действием осевого сжатия.

Теория динамической устойчивости оболочек развивалась по нескольким направлениям. Одно из них было начато работой А.С. Вольмира [81], где в геометрически нелинейной постановке рассматривалась задача об осевом динамическом сжатии несовершенной круговой цилиндрической панели. Движение панели описывалось уравнениями среднего изгиба в смешанной форме. Решение проводилось методом Бубнова-Галерки на с аппроксимацией как полного, так и начального прогибов первым членом ряда Фурье. Аналогичная задача для замкнутой круговой цилиндрической оболочки, находящейся под действием динамического осевого сжатия и внешнего давления, тем же методом с двучленной аппроксимацией прогиба была решена B.JI. Агамировым и А.С. Вольмиром [68]. В постановке, аналогичной [72], В.В. Болотин и Г.А. Бойченко [82] рассмотрели цилиндрическую панель при линейном нарастании во времени средних значении усилии на кромках. Полученные ими численные результаты выявили ряд важных особенностей поведения панели в нелинейной области. Решения задачи, аналогичной [68], проведены методом Бубнова-Галеркина в работах А.И. Блохиной [83], О.П. Проценко [84]. Они различались между собой исходными аппроксимациями прогиба, а также способами деления неизвестных функций.

В рамках направления, к которому относятся перечисленные работы, установлены важные особенности задач нелинейного динамического выпучивания несовершенных цилиндрических оболочек: характерный вид зависимости прогиба от времени, влияние на нее скорости нагружения, амплитуды начальных несовершенств, соотношении между геометрическими параметрами оболочки. Нагрузка, приводящая к динамической потере устойчивости, определялась обычно из условия начала резкого возрастания временного коэффициента у топ пространственной гармоники, которая, согласно расчетам, обладает наибольшим темпом роста, либо по условию достижения этим временным коэффициентом заданной предельной величины.

Второе направление теоретических работ по исследованию поведения цилиндрических оболочек при динамических сжимающих нагрузках связано с решением задач собственно динамической устойчивости на основе линеаризованных уравнений движения. С этой целью применялись методы классической теории устойчивости движения и различные приближенные аналитические подходы, позволяющие оценить устойчивость оболочки относительно малых внешних «возмущений».

Особый раздел теории колебаний представляет собой исследование нелинейных колебаний, имеющих важные специфические свойства. Такого рода движения могут возникать в пластинах и оболочках при больших перемещениях, когда деформации и перемещения связаны нелинейными соотношениями. С другой стороны, деформации могут лежать за пределами применимости закона Гука, и нелинейность зависеть от усилий.

Одними из первых публикаций в этом направлении являются книги А.С. Вольмира [69], Б.Я. Кантора [85], В.А. Крысько [86], в которых авторы интересуются именно нелинейными колебаниями пластин и оболочек. Эта область представляет одну из частей общей нелинейной механики твердых деформируемых тел, или, в более широких рамках, нелинейной механики сплошных сред. Одним из важных практических приложений в этом направлении является вопрос о поведении пластин и оболочек при импульсных воздействиях. Этому вопросу в вышеперечисленных источниках уделяется большое внимание. В то же время при рассмотрении периодических колебаний может идти речь о некотором установившемся движении системы. В задачах о динамическом нагружении наибольшее внимание привлекают неустановившиеся переходные процессы. Такой процесс заключается обычно в скачкообразном переходе - перескоке системы от установившегося движения одного типа к некоторому другому движению. Подобное явление особенно характерно для оболочек и носит название хлопка или прощелкивания. Хлопок оболочки сопровождается, как правило, значительными перемещениями. Поэтому изучение поведения пластин и оболочек при импульсных воздействиях будет достаточно полным лишь в том случае, если оно проводится для больших прогибов, с позиций нелинейной теории.

Но чрезвычайно важным является вопрос о нелинейной динамике пластин и оболочек с учетом диссипации энергии под воздействием знакопеременных нагрузок и изучение сценариев перехода таких систем в состояние хаоса. Данное направление интенсивно развивается в научной школе, возглавляемой профессором В.А. Крысько. В этом направлении исследованы прямоугольные в плане пластинки и оболочки при действии продольных и поперечных знакопеременных нагрузок с учетом диссипации энергии [87,88]. Исследованию динамики пологих оболочек методом Бубнова - Галеркина в известной нам литературе не уделялось должного внимания.

В предлагаемой диссертационной работе изложена (на примере цилиндрических оболочек и панелей) попытка комплексного анализа проблемы динамического деформирования оболочек. Для реализации этой цели решается ряд частных проблем. В первую очередь — выбор исходной расчетной модели и обоснование ее применимости к рассматриваемым оболочкам и внешним нагрузкам. Обсуждая этот вопрос, следует иметь в виду, что в задачах о динамическом сжатии должна использоваться как минимум геометрически нелинейная постановка. Так, рассматривая осевое вибрационное нагружение, приводящее к параметрическому резонансу, в принципе невозможно рассчитать характеристики напряженно-деформированного состояния оболочки, основываясь на линеаризованных уравнениях. При импульсном или ударном нагружении использование линеаризованных уравнений дает приемлемую точность расчета напряженно-деформированного состояния лишь в ограниченных диапазонах скоростей нагружения. Что же касается необходимости учета физической нелинейности, то этот вопрос не имеет столь принципиального значения и может рассматриваться по каждой конкретной задаче отдельно.

Принимая геометрически нелинейную постановку задачи, в силу ряда известных причин (в том числе и чисто технических) естественно стремиться к максимальной простоте системы уравнений движения оболочки, предполагаемой к дальнейшему использованию. В этом плане возможны следующие разумные упрощения расчетной модели. Во-первых, принятие кинематических гипотез Тимошенко или Кирхгофа-Лява. Это имеет большое значение с точки зрения последующей численной реализации. Разумеется, указанное упрощение ограничивает как класс исследуемых оболочек, так и скорости нагружения. Во-вторых, введение ряда характерных для нелинейной теории упрощающих предположений, относящихся к сравнительным величинам удлинений, сдвигов и углов поворота. В-третьих, введение дополнительных упрощений, выдержанных в духе технической теории (теории пологих оболочек). В-четвертых, пренебрежение деформациями поперечных сдвигов. В-пятых, пренебрежение в уравнениях движения некоторыми инерционными членами.

Нелинейная динамика пластин и оболочек интенсивно начала развиваться со второй половины прошлого века. Изучение колебаний оболочек было начато еще Рэлеем в его знаменитой книге «Теория звука». В последующее время труды в этой области опубликовали такие выдающиеся ученые как Н.А. Алумяэ [89], В.В. Болотин [90], Э.И. Григолюк [91] и другими авторами. В имеющейся литературе речь идет, как правило, о малых колебаниях упругих оболочек, когда соотношение между деформациями и перемещением с одной стороны и деформациями и усилиями с другой, могут быть приняты линейными. Однако в такой постановке подобные задачи оказываются весьма трудными. Если малые колебания пластинок сопровождаются лишь появлением напряжений собственно изгиба, то в случае оболочки к ним присоединяются цепные напряжения. В зависимости от очертания оболочки и условий закрепления мы получаем тот или иной спектр частот и форм колебаний. Для одних видов колебаний оказываются преобладающими изгибные усилия, для других - цепные. Характер напряженного состояния при колебаниях может сильно меняться вдоль главных размеров оболочки по мере удаления от края.

При изучении нелинейных колебаний замкнутых цилиндрических оболочек возникают новые неожиданные явления, новые в том смысле, что при изучении линейных колебаний о них даже невозможно было подозревать. Среди этих явлений следует отметить:

1. Зависимость амплитуды от формы колебаний [92-99];

2. Явление скачка [96-98];

3. Возникновение суб- или супер- гармонических колебаний [99];

4. Возникновение хаотических колебаний [98,99];

5. Существование бифуркационных точек [99].

Эти результаты являются новыми и получены с большим степеней свободы (методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях), причем, число степеней свободы было выбрано таким, что последующее его увеличение не привносило в решение изменений. Приведенные выше исследования [92-99] выполнены с малым числом степеней свободы, что является не вполне корректным и на это будет обращено особое внимание.

Целью работы является построение математической модели нелинейных колебаний сложных механических систем в виде замкнутых цилиндрических оболочек кругового сечения, а также цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане. Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработка математической модели для сложных колебаний замкнутых цилиндрических оболочек, а также цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане для заданных краевых условий под действием знакопеременной локальной нагрузки.

2. Разработка алгоритма и комплекса программ на ПЭВМ для качественного исследования хаотических колебаний диссипативных систем в виде гибких замкнутых цилиндрических оболочек, а также цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане при заданных краевых условиях.

3. Изучение сценариев перехода в состояние хаоса колебаний оболочечных систем в зависимости от геометрических параметров и от координат приложения поперечного внешнего давления к поверхности оболочки.

4. Исследование возможности управления хаотическими колебаниями оболочек при помощи дополнительных малых целенаправленных продольных знакопеременных воздействий, а также распределения поперечной нагрузки по поверхности оболочки.

Особое внимание в настоящей работе уделялось точности получаемых результатов. Исследования проводились по пространственным координатам методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях, методом Рунге-Кутта 4-го порядка точности по времени. Это связано с задачей установить истинность хаоса, в отличие от модели Лоренца, когда низшие приближения обнаруживают хаос, а увеличение аппроксимации приводит к его исчезновению. Кроме того, к известным четырем сценариям перехода гармонических колебаний к хаотическим удалось добавить несколько новых.

Впервые рассмотрен вопрос об управлении хаотическими колебаниями с помощью некоторых дополнительных воздействий как продольного так и поперечного типа, что позволило перевести хаотические колебания в гармонические или в хаотические, но с другими свойствами.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка используемой литературы. Работа содержит 153 страницы наборного текста, 71 рисунок, 19 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Савельева, Наталья Евгеньевна

Основные выводы по диссертации

1. Построена математическая модель гибких оболочек с учетом геометрической нелинейности для замкнутой цилиндрической оболочки кругового сечения конечной длины, для пологой цилиндрической панели у- и для пологой сферической оболочки на прямоугольном плане.

2. Разработан комплекс программ для качественного исследования сложных колебаний цилиндрических оболочек с помощью метода Бубнова

Галеркина в представлении Фурье.

3. Проведено исследование интегральной сходимости метода Бубнова -Галеркина в зависимости от числа членов ряда для цилиндрических оболочек и панелей и для сферических оболочек при действии поперечной локальной и распределенной знакопеременной нагрузки.

4. В соответствии с известными сценариями перехода колебаний оболочечных конструкций в хаос проведена классификация колебаний оболочек, находящихся под действием нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону. Выявлены и исследованы сценарии перехода в хаос, характерные для колебаний исследуемых систем, которые были названы модифицированным сценарием Рюэля-Такенса-Фейгенбаума, модифицированным сценарием Помо-Манневиля, модифицированным Н сценарием Рюэля-Такенса-Ньюхауза, и выявлены их области на картах динамических режимов ^0,(ор). v

А 5. Выявлены области сценария Фейгенбаума на картах ^0,(ор) для замкнутой цилиндрической оболочки при действии локальной знакопеременной нагрузки, для цилиндрической панели при действии равномерно распределенной знакопеременной нагрузки, где происходило до 7 бифуркаций Хопфа, что позволило вычислить константу Фейгенбаума.

6. Исследована периодичность А.Н. Шарковского для дифференциальных уравнений теории гибких цилиндрических оболочек и панелей.

7. Построены карты динамических режимов в зависимости от управляющих параметров \д0,сор\ для замкнутой цилиндрической оболочки кругового сечения конечной длины и сферической оболочки на прямоугольном плане и карты динамических режимов в зависимости от управляющих параметров {р0,(ор} для цилиндрической панели с рассмотренными краевыми условиями и типами нагружения.

8. Дается сопоставление решений, полученных методом конечных разностей и методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях для прямоугольной в плане сферической оболочки с опиранием на гибкие несжимаемые (нерастяжимые) ребра при действии распределенной знакопеременной нагрузки.

9. Исследована возможность управления хаотическими колебаниями цилиндрических оболочек, находящихся под действием локальной поперечной нагрузки, при помощи дополнительных малых целенаправленных продольных знакопеременных воздействий, а также распределения поперечной нагрузки по поверхности цилиндрической оболочки.

10. Исследована возможность управления хаотическими колебаниями цилиндрических панелей, находящихся под действием продольной нагрузки, при помощи дополнительных поперечных статических воздействий.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Савельева, Наталья Евгеньевна, 2005 год

1. Болотин В.В. Механика многослойных конструкций / В.В. Болотин, Ю.Н. Новичков//М.: Машиностроение. 1980. 376 с.

2. Гузь А.Н. Механика композитных материалов и элементов конструкций /

3. A.Н. Гузь, Л.П. Хорошун, Г.А. Ванин // Киев.: Наукова думка, 1982. 368 с.

4. Лурье А.И. Общая теория упругих тонких оболочек / А.И. Лурье // Прикладная математика и механика. 1940. Вып. 2. с. 7 34.

5. Амбарцумян С.А. Специфические особенности теории оболочек из ^ современных материалов / С.А. Амбарцумян // Известия АН АрмССР. * Механика. 1968. Т. 21. №4. С. 3-19.

6. Болотин ВВ. Влияние технологических факторов на механическую надежность ^ конструкций из композитов/ В Б Бол отан //Механика полимеров. 1972. № 3. С. 529- 540.

7. Болотин В.В. Дефекты типа расслоений в конструкциях из композитных материалов /

8. B.В.Болотин // Механика композитных материалов. 1984. № 2. С. 239 —255.

9. Новичков Ю.Н. распространение волн в слоистых цилиндрических оболочках / Ю.Н.Новичков // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1973. №2. С. 51 60.

10. Mirsky I. Vibrations of orthotropic, thick, cylindrical shells / I. Mirsky // J. Acoustical Soc. Amer. 1964. Vol. 36. № 1. P. 41 51.

11. Богданович А.Е. О влиянии граничных условий на частоты собственных колебаний композитных цилиндрических оболочек с заполнением /А.Е. Богданович, Л.А. Столярова // Механика композитных материалов. 1980. № 1.1. C. 62-72.

12. Купцов В .И. О собственных поперечных колебаниях консольных ортотропных цилиндрических оболочек / В.И. Купцов// Прикладная механика 1977. Т. 13. С.38-44.

13. Багдасарян Ж.Е. Резонанс в вынужденных нелинейных колебаниях слоистых анизотропных оболочек / Ж.Е. Багдасарян, В.Ц. Гнуни // Известия АН АрмССР. Сер. физ.-мат. наук. 1961. Т. 14. №1.

14. Warburton G.B. Resonant response of orthotropic cylindrical shells / G.B.Warburton, S.R. Soni //J. Sound Vibrations. 1977. Vol. 53. № 1. P. 1 -23.

15. Багдасарян Ж.Е. Динамическая устойчивость анизотропной замкнутой цилиндрической оболочки / Ж.Е. Багдасарян, В.Ц. Гнуни // ДАН АрмССР. 1981. Т. 73. №5. С. 278-281.

16. Богданович А.Е. Анализ неосесимметричного выпучивания цилиндрических оболочек при осевом динамическом сжатии / А.Е.Богданович, Э.Г. Феддмане // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1982. №2. С. 144 154.

17. Вольмир А.С. Нелинейные параметрические колебания цилиндрических оболочек из композионных материалов / А.С. Вольмир, А.Т. Пономарев // Механика полимеров. 1973. № 3. С. 531 539.И