Малонуклонные системы в формализме Бете-Солпитера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Бондаренко Сергей Григорьевич

• Бондаренко Сергей Григорьевич
• доктор наук
• 2024

Оглавление диссертации доктор наук Бондаренко Сергей Григорьевич

Введение

Глава 1. Основные понятия двухчастичного формализма БС

1.1 Уравнение БС

1.2 Парциальное разложение

1.3 Решение уравнения БС

1.3.1 Лестничное приближение

1.3.2 Сепарабельное ядро взаимодействия

Глава 2. Упругое электрон-дейтронное рассеяние

2.1 Кинематика и общие формулы

2.1.1 Сечение реакции, формфакторы

2.1.2 Амплитуда рассеяния, ток Мандельстама

2.1.3 Релятивистское импульсное приближение

2.2 ЭМ формфакторы дейтрона

2.2.1 Расчет формфакторов

2.2.2 ЭМ формфакторы при средних передачах импульса

О;2 < 2 (ГэВ/е)2

2.2.3 ЭМ формфакторы при высоких передачах импульса

О;2 - 5 (ГэВ/е)2

2.3 ЭМ моменты дейтрона

2.3.1 Определение ЭМ моментов дейтрона

2.3.2 Магнитный момент дейтрона

2.3.3 Результаты численных расчетов

2.3.4 Квадрупольный момент дейтрона

2.3.5 Результаты численных расчетов

2.4 Основные результаты

Глава 3. Сепарабельное ядро нуклон-нуклонных взаимодействий

3.1 Классификация спиновых состояний пр-пары

3.2 Парциальный анализ пр-рассеяния без учета неупругостей

3.2.1 Связь матрицы рассеяния с наблюдаемыми

3.2.2 Вычисление параметров сепарабельного ядра

3.2.3 Форма сепарабельного ядра

3.3 Парциальный анализ пр-рассеяния с учетом неупругостей

3.3.1 Параметризация ¿"-матрицы с учетом неупругостей

3.3.2 Комплексное ядро взаимодействия - оптическая модель

3.4 Основные результаты

Глава 4. Трехнуклонные системы

4.1 Уравнение Фаддеева для трехчастичной системы в операторном виде

4.2 Интегральное представление уравнений Фаддеева

4.3 Спин-изоспиновая структура, парциальное разложение системы трех нуклонов

4.4 Система уравнений Фаддеева с сепарабельным ядром взаимодействия

4.5 Ядра NN взаимодействия для уравнения БС со скалярными пропагаторами нуклонов

4.5.1 Релятивистское ядро Ямагучи/Табакин первого ранга

4.5.2 Релятивистские мультиранговые ядра Gгaz-II и РапБ-1,2

4.6 Методика и детали расчетов

4.7 Результаты расчетов

4.7.1 Решение уравнения БСФ с использованием потенциала Ямагучи

4.7.2 Решение уравнения БСФ с использованием потенциалов Gгaz-II и РапБ-1(2)

4.8 Основные результаты

Глава 5. ЭМ формфакторы трехнуклонных систем

5.1 Полная волновая функция трехнуклонной системы

5.2 Выражения для формфакторов гелия-3 и трития

5.2.1 Статическое приближение

5.2.2 Релятивистские поправки к формфакторам

5.3 Результаты расчетов

5.3.1 Одноранговые ядра Ямагучи и Табакин

5.3.2 Мультиранговые ядра Gгaz-II и Раг1э-1(2)

5.4 Основные результаты

Заключение

Список литературы

Приложение А

Приложение Б

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Малонуклонные системы в формализме Бете-Солпитера»

Актуальность темы.

Изучение свойств ядерных систем и реакций с ними остается актуальной и в большой степени нерешенной проблемой. Огромный массив уже полученных экспериментальных, а также планируемых к измерению данных, равно как и не меньшее количество подходов к описанию таких систем, подтверждают современность и необходимость дальнейшей разработки их теоретического описания.

Подходы, основанные на фундаментальных принципах Стандартной модели, в частности, квантовой хромодинамике (КХД), при всех успехах ее применения к мезонным, барионным, а также малонуклонным системам (см., например обзор [1]), не дают какого-либо приемлемого описания ядерного взаимодействия. Основой описания ядерных систем остаются многочисленные потенциальные нуклон-нуклонные и эффективные мезон-нуклонные модели.

Новые ядерные эксперименты планируются на установке NICA в ОИЯИ (Дубна, Россия):

• BM@N [2—4] по изучению барионной материи;

• MPD [5—7] с предполагаемой большой множественностью и высокими энергиями столкновений тяжелых ядер;

• SPD [8; 9] с поляризованными пучками легких ядер.

Также создаются установки по электрон-ионному рассеянию EIC (США) [10] и EicC (Китай) [11].

Отдельной интересной задачей выделяется изучение малонуклонных систем в упругих реакциях рассеяния электронов с большой энергией или передачей импульса. Примерами таких экспериментов являются, например, измерения JLab Hall A Collaboration упругого электрон-дейтронного рассеяния при квадрате импульса передачи Q2 = — д2=0.7-6.0 (ГэВ/c)2 [12]; предложения по измерению электрорасщепления дейтрона в JLab Hall C E12-10-003 [13]; глубоконеупругое рассеяние электронов на трехчастичных ядрах (Jefferson Lab MARATHON Coll.) E12-10-103 [14] и другие. Особенностью этих экспериментов является то, что измерения проводятся при больших квадратах импульса передачи, а значит параметр преобразования Лоренца значительно отличен от нуля, например, для упругого ed рассеяния при Q2=6.0 (ГэВ/c)2 параметр nLOR = Q>2/4M2 - 0.43, /1 + пьоп - 1.20; для эксперимента E12-10-003:

Льод = д2/4впр - 0.30, V 1+ Пьок - 1.14, а для Е12-10-103 при ^2=30 (ГэВ/с)2: пюн = Я2/4М1м - 0.95, VI + Пьок - 1.40 и т.д. Таким образом становится очевидным, что для описания таких реакций необходимо применять релятивистские методы описания с Лоренц-ковариантными уравнениями, а также корректно учитывать преобразования Лоренца как аргументов, так и формы волновых функций ядерных систем.

Другой активно обсуждаемой в последнее время проблемой, представляющей несомненно огромный интерес, является извлечение из экспериментов с легкими ядрами информации о структуре и физических характеристиках связанных внутри ядер нуклонов. Такого рода задачи требуют последовательного и максимально точного исследования побочных искажающих эффектов, не связанных с нуклонной структурой, учитывающих релятивистскую кинематику реакции и динамику взаимодействия. Именно поэтому построение самосогласованного ковариантного подхода и подробный анализ релятивистских эффектов в электромагнитных (ЭМ) реакциях с легкими ядрами представляет собой актуальную и интересную задачу.

Уравнение Бете-Солпитера (БС), возникшее в результате применения квантово-полевых методов к двухчастичной задаче [15], а также разработанная техника вычисления наблюдаемых [16], составляют основу ковариантного самосогласованного подхода. Однако, исследование малочастичных ядерных систем (включая простейшую ядерную систему - дейтрон) тормозилось многочисленными трудностями, в том числе техническими.

Чтобы решить уравнение БС, необходимо знать входящее в него ядро, которое представляет собой сумму всех неприводимых диаграмм Фейнмана, описывающих процесс взаимодействия. Однако найти его не проще, чем решить уравнение квантового поля в случае сильного взаимодействия. Решение может быть получено в рамках приближения основанного на разложении в ряд теории возмущений по константе связи. Поскольку мы имеем дело с сильными взаимодействиями, полученный ряд не может быть оборван в любом порядке, то необходимо провести суммирование всех членов ряда. Это можно сделать только в лестничном приближении. В то же время в работе [17]. показана большая роль перекрестных диаграмм, учет которых возможен только в частных случаях обмена некоторыми мезонами в первом порядке теории возмущений.

Существует класс подходов называемых квазипотенциальными [18—23], в которых нулевая компонента относительного 4-импульса фиксируется каким-

либо образом, что позволяет избежать интегрирования по ней. В основе таких подходов лежит квазипотенциальная редукция уравнения БС, где зависимость ядра взаимодействия от нулевой компоненты фиксируется на основе различных физических предположений, а пропагаторы нуклонов выводятся на массовую поверхность. Другой способ фиксации нулевой компоненты предложен в [24]. Здесь развивается так называемое приближение равного времени, в котором нулевая компонента импульса избавляется от р0 = 0 путем приравнивания друг к другу времен нуклонов.

Развиваемый в последние годы подход ковариантной спектаторной теории предполагает, что один из нуклонов находится на массовой поверхности, а другой остается виртуальным (полумассовое приближение [25]). В таком подходе рассмотрены расчеты двухнуклонных наблюдаемых в рассеянии, а также для связанного состояния (дейтрона) [26—31].

Существует также отдельная группа подходов называемая релятивистской квантовой механикой [32—36]. Они основаны на гамильтоновом формализме, который учитывает требования специальной теории относительности. Динамика системы описывается набором операторов, для которых строится алгебра. Фоковские векторы состояния системы рассматриваются на некоторой поверхности в 4-мерном пространстве-времени. Последняя позволяет зафиксировать нулевую компоненту относительного импульса и упростить вычисления, как и в случае квазипотенциальных подходов. Взаимодействие между нуклонами моделируется, как правило, реалистичным нерелятивистским потенциалом. Одной из наиболее развитых моделей такого рода является динамика на световом фронте [37—40]. Стоит также отметить подход [36], который отличается от вышеупомянутых и основан на решении уравнения Гросса [17]. Для учета взаимодействия в конечном состоянии между нуклонами используется функциональное аппроксимация фаз рассеяния протонов на нейтронах [41], вследствие чего, рассматриваемые взаимодействующие нуклоны действительно находятся на массовой поверхности. Еще один подход основан на так называемом представлении одетых частиц (clothed-particle representation), развиваемом в [42—44].

Представление Наканиши для ядра уравнения БС [45] представляет собой очень перспективную ветвь методов решения, которая активно развивается. В этом случае находятся решения двух и трехчастных уравнений БС [46—48]. Также развиваются методы прямого решения уравнений БС для двух и трех

частиц [49—54]. В обоих случаях рассмотрение проводится не только в псевдоевклидовом пространстве, но также и в пространстве Минковского.

В данной диссертационной работе исследуются системы, состоящие из двух (дейтрон, 2Н, й и системы пр-рассеяния) и трех нуклонов гелия-3 (гелион, 3Не), трития (тритон, 3Н).

Для релятивистского описания трехнуклонных систем, в частности ядер тритона и гелиона, в мировой научной литературе используется ряд теоретических подходов. К ним относятся следующие: "стандартный подход" [55; 56], использующий феноменологические реалистичные модели для ядерного взаимодействия и токов; подход киральной эффективной теории поля [57; 58], в рамках которого ядерное взаимодействие и токи строятся с использованием квантовой теории поля; подход использующий уравнение Гросса [59—64] и подход [65] использующий релятивистскую гамильтонову динамику на световом фронте для построения операторов тока.

В данной работе для описания систем трех нуклонов применяется релятивистское обобщение уравнения Фаддеева в формализме БС. Это уравнение является прямым обобщением обычного (квантовомеханического) уравнения Фаддеева. При этом в качестве двухчастичной ¿-матрицы входящей в релятивистское уравнение используется решение двухчастичного квантово-полевого уравнения БС, что позволяет говорить уже об уравнении Бете-Солпитера-Фад-деева (БСФ).

К особенностям этого уравнения относится то, что оно изначально является релятивистски ковариантным, в отличие от некоторых других подходов, использующих в качестве основного нерелятивистское уравнение и учитывающих релятивистские эффекты как поправки к решению этого уравнения. Вторая особенность фаддеевского подхода заключается в том, что соответствующее уравнение является модельно-независимым, справедливым для любого парного потенциала взаимодействия между частицами, а также легко обобщаемым на любые системы из трех частиц и даже трехкластерные системы. К особенностям уравнения БСФ можно также отнести то, что оно справедливо лишь для парного взаимодействия частиц в трехчастичной системе. Это не позволяет напрямую использовать его для изучения вклада трехчастичных сил в характеристики трехнуклонных ядер, но закладывает для этого базис.

Необходимость, в том числе релятивистского исследования, трехчастич-ных, в частности, трехнуклонных систем обусловлена рядом причин, среди которых можно выделить следующие:

• появление в трехчастичных системах эффектов несвойственных системам с меньшим количеством частиц (например, эффект Ефимова, эффект Томаса);

• результаты изучения этих систем могут быть использованы для решения обратной задачи нахождения потенциала из наблюдаемых так как знания характеристик одних лишь двухчастичных систем для этого недостаточно;

• трехчастичные системы являются простейшими объектами на которых возможно изучение трехчастичных сил. При этом, чтобы правильно оценить влияние трехчастичных сил в трехнуклонных системах, необходимо полностью учесть вклад парных взаимодействий, в том числе и релятивистский вклад;

• связанные трехнуклонные состояния (3Не(ррп), 3Н(рпп)) являются промежуточным звеном в цепочке (р, (1, 3Не, 4Не), изучение которой может дать ответ на вопрос об изменении структуры связанного нуклона;

• постоянный рост энергии сталкивающихся в ускорителях частиц требует описания трехнуклонных систем, в частности процессов столкновения электронов с трехчастичными ядрами и нуклонов с дейтронами (Ы + (I ^ N + (I, N + (I ^ N +(пр)), в рамках релятивистского подхода.

В данной работе развивается подход, основанный на использовании уравнения БС с ядром взаимодействия, которое представляется в сепарабельном виде. Это позволяет преобразовать рассматриваемую систему интегральных уравнений в систему линейных уравнений, которая разрешима аналитически. Таким образом, для описания дейтрона в таком подходе необходимо знать параметры функций, составляющих используемое сепарабельное ядро. Параметры находятся из анализа экспериментальных данных по фазам, низкоэнергетическим характеристикам (длина рассеяния, эффективный радиус) упругого рассеяния протонов на нейтронах и дейтрона (энергия связи, примесь Д-волны и т.д.). Причем, так как в этом случае нулевая компонента 4-импульса нуклонов в дейтроне не исключается из рассмотрения, удается сохранить ковариантность описания системы связанных нуклонов, что важно для моделей, претендующих на последовательное релятивистское описание.

В случае же трехнуклонных систем, сепарабельность ядра позволяет отделить зависимость по одному из 4-импульсов Якоби, уменьшить функциональную зависимость амплитуды и тем самым упростить систему интегральных уравнений.

Целью работы является подробное исследование статических и динамических свойств дейтрона в реакции упругого е^-рассеяния, построение интегрируемых ковариантных сепарабельных ядер нуклон-нуклонного взаимодействия в каналах с угловым моментом 3 = 0,1, а также рассмотрение релятивистских трехнуклонных систем и расчет формфакторов в реакциях упругого е3Н, е3Не рассеяния.

В рамках исследования были поставлены и решены следующие задачи:

• решено уравнение БС с сепарабельным ядром, полученные амплитуды использовались для расчета формфакторов в реакции упругого е^-рассеяния;

• получены аналитические формулы для расчета магнитного и квадру-польного моментов дейтрона в терминах радиальных частей амплитуды БС, проведен численный расчет вкладов в моменты с учетом мезонного обменного ядра;

• построено интегрируемое релятивистское сепарабельное ядро нуклон-нуклонных взаимодействий с угловым моментом 3 = 0,1;

• проведено обобщение уравнения БСФ на случай с ненулевыми орбитальными моментами частиц трехнуклонной связанной системы, найдено решение и исследованы вклады $, Р и И состояний в энергию связи;

• проведен расчет ЭМ формфакторов трехнуклонных ядер с релятивистскими поправками, связанными с преобразованиями Лоренца аргументов подынтегрального выражения.

Научная новизна.

Результаты, представленные в диссертации являются новыми и оригинальными:

• в работе впервые получены аналитические формулы для расчета магнитного и квадрупольного моментов дейтрона в терминах радиальных частей амплитуды БС, с учетом релятивистских эффектов Лоренц-преобразования формы и аргументов амплитуды БС. Также проведен численных расчет вкладов в моменты с учетом мезонного обменного ядра;

• впервые предлагаются новые сепарабельные ядра для описания парциальных состояний np-системы с полным моментом J = 0,1, которые не приводят в вычислениях к неинтегрируемым сингулярностям, даже при условии учета нулевой компоненты импульса интегрирования, в отличие от своих предшественников (типа релятивистского ядра Graz II [66]). Построенные ядра позволяют описывать экспериментальные данные одинаково хорошо как в области низких, так и в области высоких энергий единым сепарабельным ядром;

• впервые в рамках релятивистского ковариантного формализма Бете-Солпитера был построен релятивистский аналог квантовомеханическо-го уравнения Фаддеева для описания системы трех частиц с учетом ненулевого углового момента между ними;

• также в рамках релятивистского формализма были найдены численные значения энергии связи трехнуклонного ядра и амплитуды его 1S0, 3S\, 3D\, lP\, 3P0, 3P\ парциальных состояний;

• найдены ЭМ формфакторы тритона и гелиона как функции квадрата переданного импульса вплоть до 50 Фм-2 в статическом приближении. Впервые были проведены расчеты релятивистских поправок к ЭМ формфакторам трехнуклонных систем в реакциях упругого e3H, e3He рассеяния.

Теоретическая и практическая значимость.

• Полученные аналитические выражения для магнитного и квадруполь-ного моментов, а также формфакторов дейтрона в терминах амплитуд БС закладывают основу для дальнейшего изучения влияния других моделей для дейтрона, а также учета вклада двухчастичного тока.

• Найденные ядра для интегрируемых нуклон-нуклонных ядер могут использоваться для изучения вкладов взаимодействия в конечном состоянии в реакциях расщепления дейтрона при высоких энергиях, продолжая уже начатые работы, например [67; 68].

• Изученные релятивистские поправки к формфакторам упругого рассеяния трехнуклонных систем дают основу для расширения формализма и учета многочастичных (двух и трехнуклонных) токов.

• Методы решения однородного трехчастичного уравнения могут быть распространены на неоднородные уравнения Nd рассеяния или расщепления.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, неоднократно докладывались и обсуждались на научных семинарах Лаборатории теоретической физики им. Н.Н.Боголюбова Объединенного института ядерных исследований (г.Дубна), Лаборатории теоретической и ядерной физики Дальневосточного федерального университета (г.Владивосток), физических факультетов университетов г.Росток, г.Гиссен, г.Бонн (ФРГ), г.Токио, г.Хиросима, г.Осака, г.Кобе, Токийского Института Ядерной Физики (Япония), а также более чем на 30 конференциях и рабочих совещаниях:

• Baldin ISHEPP, JINR, Dubna (XVI - 2002, XIX - 2008, XX - 2010, XXI -2012; XXII - 2014; XXIII - 2016; XXV - 2023)

• XVI PANIC02, Osaka, Japan, 2002

• RNP (Modra-Harmonia, Slovakia - 2006; Stara Lesna, Slovakia - 2012; Stara Lesna, Slovakia - 2014; Stara Lesna, Slovakia - 2019)

• Hadron Structure (11th, Bratislava, Slovakia - 2011; 13th, Tatranske Matliare, Slovakia - 2013)

• BLTP JINR-APCTP Joint Workshop (7th, Bolshie Koty, Russia - 2013; 8th, Jeju Island, Korea - 2014; 9th, Almaty, Kazakhstan - 2015; 10th, Wako, Japan - 2016; 11th, Petergof, Russia - 2017; 12th, Busan, Korea - 2018; 14th, Pohang, Korea - 2023)

• Small Triangle Meeting on Theoretical Physics (15th, Stara Lesna, Slovakia - 2013; 16th, Pticie, Slovakia - 2014; 17th, Sveta Nedelja, Croatia - 2015; 18th, Pticie, Slovakia - 2016; 21st, Spisske Tomasovice, Slovakia - 2019)

• XXIV Annual Seminar "Nonlinear phenomena in complex systems Minsk, Belarus, 2017

• XXIV Seminar "Nonlinear phenomena in complex systems Minsk, Belarus, 2017

• Hadron Structure and QCD, Gatchina, Russia - 2018

• The International Workshop on Nuclear and Particles Physics, Almaty, Kazakhstan, 2022

• International Conference "Models in Quantum Field Theory", Saint Petersburg, Russia (VI - 2018, VII - 2022)

• LXVII International Conference on Nuclear Physics "Nucleus-2017 Almaty, Kazakhstan, 2017

• MMCP, Stara Lesna, Slovakia - 2019.

Личный вклад. Автор принимал непосредственное участие в формировании цели и постановке задач данной работы. Все аналитические и численные вычисления были проведены автором лично. Интерпретация результатов вычислений и подготовка публикаций осуществлялась автором с соавторами.

Публикации.

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики им. Н.Н.Боголюбова Объединенного института ядерных исследований (г.Дубна).

Основные результаты по теме диссертации изложены в 16 печатных изданиях, 15 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК и входящих в список журналов Web of Science, 1 — в докладах конференции: Ядерная физика - 2, Письма в ЖЭТФ - 2, Письма в ЭЧАЯ - 1, Nucl. Phys. B Proc. Suppl. - 2, Nonlin. Phenom. Complex Syst. - 1, Phys. Rev. C. - 1, Phys. Lett. B - 1, Nucl. Phys. A. - 4, EPJ Web Conf. - 1, Proc. of the XXVIIIth ISHEPP - 1.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и 2 приложений. Полный объём диссертации составляет 189 страниц, включая 71 рисунок и 27 таблиц. Список литературы содержит 202 наименования.

Глава 1. Основные понятия двухчастичного формализма БС

В данной главе рассматриваются терминология и основные понятия ко-вариантного двухчастичного формализма БС: определяется уравнение БС для Т-матрицы и амплитуды, вводится парциальное разложение в различных представлениях - представлении прямого произведения и матричном представлении, вычисляются спин-угловые функции для различных каналов, а также обсуждаются решения уравнения БС для сепарабельного ядра взаимодействия и в лестничном приближении. Изложение следует работе [69].

1.1 Уравнение БС

Полная двухчастичная функция Грина определяется следующим образом [70]:

Сав;уь(х1,Х2; = -(0| Т^ж^р (ж2)гртЫ^ б Ы|0). (1.1)

Здесь "фа(ж) - оператор спинорного поля в представлении Гейзенберга, греческие символы - спинорные индексы, Т - оператор хронологического упорядочения. Уравнение БС для С можно записать в следующем виде (по повторяющимся индексам проводится суммирование)

Оав;уб(х1,Х2; = ^(0)ар;Тб(^1 ,х2; У1,У2) + г! d4Wl (14^з d4W4 (1.2)

где С - полная и

- свободные двухчастичные функции Грина, К - ядро взаимодействия. Двухчастичная свободная функция Грина может быть представлена как

С(°)ав;уб(Х1,Х2; У1,У2) = «у^ (х1 — х2№ рб^Ш - У2),

где З'р ар(г)(ж — у) - полная одночастичная функция Грина ¿-ой спинорной частицы.

Для того чтобы записать уравнение (1.2) в импульсном пространстве необходимо осуществить Фурье-преобразование ядра взаимодействия К и двухчастичных функций Грина С и С(0):

ехр (гр( 1 2 - 1 2) + гр'(Х1 - х2) - гр(у1 - у2)),

где определены полный Р и относительные р, р 4-импульсы двухчастичной системы взаимодействия, которые связаны с 4-импульсами первой д1,д[ и второй с[2,Я_2 частиц:

Р = Я1 + 42 = (¡1 + 4 Р=( <И - 0.2)/2, р' = ((Ь - й)/2, (1.4) Я1 = Р/2 + р, Я2 = Р/2 - р, д[ = Р/2 + р\ ((2 = Р/2 - р'.

Формулы аналогичные (1.3) действительны для С и

С(0). В результате для полной двухчастичной функции Грина можно записать:

с^АР'^Р) = ^(ат(р-+р)Ор -р) ь(4)(р/-р)+ (1.5)

^О^ р2+^/)5'^(р)А( р -р,) / , к';Р ,Р; Р ),

здесь "(р',р; Р) - Фурье образ ядра взаимодействия К, С(р',р; Р) - полной двухчастичной функции Грина. Полная одночастичная функция Грина (пропагатор спинорной частицы) представляется следующим выражением

^(р) = (Р • У -тм - ВД + Ю)-1, (1.6)

где т^ - масса частицы, Т,(р) - массовый оператор. В дальнейшем будут использоваться пропагаторы без учета массового оператора. Такие функции обозначаются как Зав(р).

Удобно переписать уравнение (1.5) в уравнение БС для Т-матрицы, которая определяется следующим операторным соотношением:

С" = С(0) Т.

Тогда уравнение БС для Т-матрицы [71; 72] примет вид следующий вид (см. рис. 1.1):

Та^Ьу(Р>,Р ;Р) = "ав;ЬУЫ,Р;Р) + (1.7)

^ "ар-Мр'к Р) ^(Р/2 + к) ^(Р/2 - к) ТЛр;бт(к,р; Р).

Рисунок 1.1 — Уравнение БС для Т-матрицы в случае фермион-фермионного рассеяния с ядром взаимодействия V(р',р; Р). Сплошные линии со стрелками

соответствуют фермионам

Связанное состояние, возникающее в системе двух взаимодействующих частиц, проявляется в виде простого полюса в Т-матрице при Р2 = М| (Мв - масса связанного состояния):

(1.8)

™ ( ' Р) Гкв(Р,р')Гт6(Р,р) + _ ( ) ГаР;Т5[Р ,Р; Р) = ' р2-TJ2- + (Р ,Р; Р)

Р2 — МВ

где Дар;Тб(р',р;Р) - регулярная при Р2 = М| функция, а Га(3 (Р,р) - вершинная функция БС.

Можно определить также амплитуду БС

,4 г4 / г-1^1 + х2

Фав ( Р,р) = J d4x\d4х2 exp (гР-

2

+ гр(х\ — Х2) ) х

(0 | Т^«(Х1 (Х2) | Р),

(1.9)

(здесь | Р) - вектор состояния связанного состояния с полным импульсом Р), которая связана с вершинной функцией следующим образом:

Фав ( Р,Р) = (Р^+Р)^ (Р — Р)ГТб(Р,Р). (1.10)

Подставляя соотношение (1.8) в уравнение (1.7) и вычисляя предел limp2(Р2 — МВ) х [...], можно получить уравнение БС для вершинной функции Гар (Р,рг) (см. рис. 1.2):

Гав ( Р,Р')=1 J " W (р'к ;Р) (Р/2 + к) S® (Р/2 — к) Г^р (Р,к).

Уравнение для амплитуды БС следует из соотношений (1.10) и (1.11):

Фае( Р,р!) =13$(Р/2 + р') 5(2(Р/2 — р1)! Щь ^л(р',к;Р) Ф£Л(Р,к).

Когда ядро взаимодействия не зависит от полного импульса системы, вершинная функция БС, удовлетворяет следующему условию нормировки:

2 Рц = г

d к

(2п)4

Г( Р,к)

д

дР ^

S(1) (Р/2 + к )S(2) (Р/2 — к)

Г(Р, к).

р2=м2в

Рисунок 1.2 — Уравнение БС для вершинной функции Гар (Р,р) 1.2 Парциальное разложение

В дальнейшем будут рассматриваться простейшие ядерные системы состоящие из нуклонов, в частности связанное состояние двух нуклонов - дейтрон, а также двухнуклонные системы рассеяния, для которых полная энергия больше суммы масс конституентов.

При решении уравнения БС и проведении расчетов реакций с участием двухнуклонных систем используется парциальное разложение Т-матрицы рассеяния и амплитуды БС, которое позволяет отделить радиальные части от спин-угловых. Рассмотрим парциальное разложение амплитуды БС в различных представлениях.

Представление прямого произведения

В представлении прямого произведения двухчастичный спинорный базис в системе покоя определяется как ир(1)(р)®иР22(2)(-р), где -проекция спина, а р1,2 отвечают так называемому р-спину [73]. Сами спиноры ир(р) следующим образом связаны со свободными дираковскими спинорами иц(р), Vц(р) (решениями свободного уравнения Дирака):

(и»(рК Р = +■ (1.11)

Дираковские спиноры определены согласно [74], т.е.

иц(р) = Ь(р)иц(0), у^(р) = Ь(р) ^(0),

(1.12)

где оператор "буста" частицы со спином 1/2 и массой т^ есть

= Г+П^. (1.13)

у 2Ьр(тм + Ер)

Здесь р = ( Ер,р) - 4-импульс частицы на массовой поверхности, Ер = т2Н + р2 - энергия частицы. В системе покоя спиноры выглядят как:

мо) = (Хц), = ( х-^,

где Хц - двухкомпонентные спиноры Паули.

Определенные таким образом спиноры удовлетворяют следующим условиям нормировки:

-( \ ( \ тм -г \ ( \ тм /1 1 /Л

и(р) и(р) = —, У(р) у{р) = . (1.14)

Ер Ер

Амплитуда БС пары частиц с определенным полным угловым моментом 3 и проекцией М в системе покоя записывается в виде:

Ф 1М( Р,Р) = Е Фа(роМ) УМ (р), (1.15)

а

здесь Р = (М,0) - полный, ар- относительный импульс системы (р = (ро,р),Ро = Ер). Разложение проводится по состояниям а, которые представляют собой комбинации квантовых чисел - углового момента Ь, спина £ и р-спина - и определяются симметрийными соотношениями. Радиальные части обозначены через фа(р0,1р\), а спин-угловые - У^(р):

УМ(р) = ^ ^ ( ЬтьБтв|ЗМ)( 1 ^^)¥Ьть(р) х (1.16)

Ц1 Ц2'тьт3

хир (1)(р) ®ир; (2)(-р),

здесь (.|.) - коэффициенты Клебша-Гордана, ар = р/|р|. Функции У^(р) представляют собой матрицы (1 х 4) 0 (1 х 4) = (1 х 16) в спинорном пространстве.

Представим обратные пропагаторы [ £(1)(Р/2 +р)]-1, [£(2)(Р/2 - р)]-1 в системе покоя двух частиц в следующем виде:

[£(1)( Р/2+р)]-1 = Р • у/2+р • у -тм = (1.17)

= '(Р1 • У - тк)5-1)-1 + (р2 • у + тк)5+1)-1] /2Ер, [£ (2)( р/2 - р)]-1 = Р • у/2 -р- у -тм =

(Р2 • у - тк)5-2)-1 + (р1 • у + тк)5,+2)_11 /2Ер,

где введены следующие 4-импульсы: р1 = (Ер,р),р2 = ( Ер, — р), ,з = Р2, а функции 5'±г) есть:

^ = 1/(^3/2 + р° Т Ер), 6±2) = 1/(^3/2 — р° Т Ер). (1.18)

Используя формулы (1.12) и (1.17), а также уравнения Дирака легко показать, что

(1)(Р/2 + р)}-1 ир (1)(р) = р5±(1)^р (1)(— р), [£(2)(Р/2 — р)}-1 ир(2)(— р) = р6±(2) ир(2)(р)

и таким образом разложение для вершинной функции может быть записано в виде:

ГJм(.Р,p) = Е 9а(р°М) УМ(—р). (1.19)

а

Здесь введены радиальные части да вершинной функции, которые связаны с функциями фа соотношениями:

Фа(р0,|р|) = S(I)S(2) 9а(Р0М)- (1.20)

Если ввести следующие обозначения состояний с р-спином:

(++) ^ (+), (——) ^ (—),

а вместо (+—) и (—+) линейные комбинации

(е) = ((+—) + ( —+))/V2, (о) = ((+—) — ( —+ ))/V2,

где (e) от even - четная комбинация и (о) от odd - нечетная комбинация, то соотношения (1.20) запишутся как:

Фа(ро,|р|) = J^Sae(po,lpl;s) двЫМ), (1.21)

в

с функцией Sap(po,|p|;s) в виде:

S++ = S+ = (^ + ро — Ер)—1(^ — Ро — Ер)—1, (1.22)

S— = S— = (^ + ро + Ep)—10f — Ро + Ер)—\

See = S00 = Se = (4 — ^ — El )((4 — ^ — Е?р )2 — 4plEl ) — 1,

Seo = Soe = So = (2роЕр)((4 — ^2 — E^ )2 — )—1.

Свойство ортогональности спин-угловых функций выглядит следующим образом (проводится суммирование по повторяющимся спинорным индексам):

I 1Пр (5%(р))Ц1Ц2 (уМ'(-р)^1Ц2 = ^ММ'. (1.23)

При этом: (Ю.р = 1фр (1 сое 6р, а сопряженные спин-угловые функции получаются из обычных функций следующей заменой иц(±)(р) ^ и(±)(р).

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Бондаренко Сергей Григорьевич, 2024 год

Список литературы

1. 50 Years of Quantum Chromodynamics / F. Gross [h gp.] // Eur. Phys. J. C. — 2023. — T. 83. — C. 1125. — arXiv: 2212.11107 [hep-ph].

2. Kapishin, M. The fixed target experiment for studies of baryonic matter at the Nuclotron (BM@N) / M. Kapishin // Eur. Phys. J. A. — 2016. — T. 52, № 8. — C. 213.

3. Kapishin, M. Studies of baryonic matter at the BM@N experiment (JINR) / M. Kapishin // Nucl. Phys. A / nog peg. F. Antinori [h gp.]. — 2019. — T. 982. — C. 967—970.

4. The BM@N spectrometer at the NICA accelerator complex / S. Afanasiev [h gp.] // Nucl. Instrum. Meth. A. — 2024. — T. 1065. — C. 169532. — arXiv: 2312.17573 [hep-ex].

5. The MPD detector at the NICA heavy-ion collider at JINR / K. U. Abraamyan [h gp.] // Nucl. Instrum. Meth. A / nog peg. T. Bergauer [h gp.]. — 2011. — T. 628. — C. 99—102.

6. The Multi-Purpose Detector (MPD) of the collider experiment / V. Golovatyuk [h gp.] // Eur. Phys. J. A. — 2016. — T. 52, № 8. — C. 212.

7. Status and initial physics performance studies of the MPD experiment at NICA / V. Abgaryan [h gp.] // Eur. Phys. J. A. — 2022. — T. 58, № 7. — C. 140. — arXiv: 2202.08970 [physics.ins-det].

8. Spin Physics Experiments at NICA-SPD with polarized proton and deuteron beams / I. A. Savin [h gp.] // EPJ Web Conf. / nog peg. U. D'Alesio, F. Murgia. — 2015. — T. 85. — C. 02039. — arXiv: 1408.3959 [hep-ex].

9. On the physics potential to study the gluon content of proton and deuteron at NICA SPD / A. Arbuzov [h gp.] // Prog. Part. Nucl. Phys. — 2021. — T. 119. — C. 103858. — arXiv: 2011.15005 [hep-ex].

10. Electron Ion Collider: The Next QCD Frontier: Understanding the glue that binds us all / A. Accardi [h gp.] // Eur. Phys. J. A / nog peg. A. Deshpande, Z. E. Meziani, J. W. Qiu. — 2016. — T. 52, № 9. — C. 268. — arXiv: 1212.1701 [nucl-ex].

11. Electron-ion collider in China / D. P. Anderle [h gp.] // Front. Phys. (Beijing). — 2021. — T. 16, № 6. — C. 64701. — arXiv: 2102.09222 [nucl-ex].

12. Large momentum transfer measurements of the deuteron elastic structure function A(Q**2) at Jefferson Laboratory / L. C. Alexa [h gp.] // Phys. Rev. Lett. — 1999. — T. 82. — C. 1374—1378. — arXiv: nucl-ex/9812002.

13. Deuteron Electro-Disintegration at Very High Missing Momenta / W. U. Boeglin [h gp.]. — 2014. — Okt. — arXiv: 1410.6770 [nucl-ex].

14. Measurement of the Nucleon F2n/F.. Structure Function Ratio by the Jefferson Lab MARATHON Tritium/Helium-3 Deep Inelastic Scattering Experiment /

D. Abrams [h gp.] // Phys. Rev. Lett. — 2022. — T. 128, № 13. — C. 132003. — arXiv: 2104.05850 [hep-ex].

15. Salpeter, E. E. A Relativistic equation for bound state problems /

E. E. Salpeter, H. A. Bethe // Phys. Rev. — 1951. — T. 84. — C. 1232—1242.

16. Mandelstam, S. Dynamical variables in the Bethe-Salpeter formalism / S. Mandelstam // Proc. Roy. Soc. Lond. A. — 1955. — T. 233. — C. 248.

17. Gross, F. Relativistic quantum mechanics and field theory / F. Gross. — 1993.

18. Logunov, A. A. Quasioptical approach in quantum field theory / A. A. Logunov, A. N. Tavkhelidze // Nuovo Cim. — 1963. — T. 29. — C. 380—399.

19. Blankenbecler, R. Linear integral equations for relativistic multichannel scattering / R. Blankenbecler, R. Sugar // Phys. Rev. — 1966. — T. 142. — C. 1051—1059.

20. Kadyshevsky, V. G. Quasipotential approach and the expansion in relativistic spherical functions / V. G. Kadyshevsky, R. M. Mir-Kasimov, N. B. Skatchkov // Nuovo Cim. A. — 1968. — T. 55. — C. 233—257.

21. Thompson, R. H. Three-dimensional bethe-salpeter equation applied to the nucleon-nucleon interaction / R. H. Thompson // Phys. Rev. D. — 1970. — T. 1. — C. 110—117.

22. Fabian, W. ELECTRODISINTEGRATION OF DEUTERIUM INCLUDING NUCLEON DETECTION IN COINCIDENCE / W. Fabian, H. Arenhovel // Nucl. Phys. A. — 1979. — T. 314. — C. 253—286.

23. Holinde, K. Relativistic one-boson-exchange potential and two-nucleon data / K. Holinde, K. Erkelenz, R. Alzetta // Nucl. Phys. A. — 1972. — Т. 194. — С. 161—176.

24. Pascalutsa, V. Pion nucleon interaction in a covariant hadron exchange model / V. Pascalutsa, J. A. Tjon // Phys. Rev. C. — 2000. — Т. 61. — С. 054003. — arXiv: nucl-th/0003050.

25. Covariant description of inelastic electron deuteron scattering: Predictions of the relativistic impulse approximation / J. Adam Jr. [и др.] // Phys. Rev. C. — 2002. — Т. 66. — С. 044003. — arXiv: nucl-th/0204068.

26. Gross, F. Covariant spectator theory of np scattering: Phase shifts obtained from precision fits to data below 350-MeV / F. Gross, A. Stadler // Phys. Rev. C. — 2008. — Т. 78. — С. 014005. — arXiv: 0802.1552 [nucl-th].

27. Gross, F. Covariant spectator theory of np scattering: Effective range expansions and relativistic deuteron wave functions / F. Gross, A. Stadler // Phys. Rev. C. — 2010. — Т. 82. — С. 034004. — arXiv: 1007.0778 [nucl-th].

28. Gross, F. Covariant nucleon wave function with S, D, and P-state components / F. Gross, G. Ramalho, M. T. Pena // Phys. Rev. D. — 2012. — Т. 85. — С. 093005. — arXiv: 1201.6336 [hep-ph].

29. Gross, F. Covariant Spectator Theory of np scattering: Deuteron Quadrupole Moment / F. Gross // Phys. Rev. C. — 2015. — Т. 91, № 1. — С. 014005. — arXiv: 1411.7076 [nucl-th].

30. Gross, F. Covariant spectator theory of np scattering: Deuteron magnetic moment / F. Gross // Phys. Rev. C. — 2014. — Т. 89, № 6. — С. 064002. — arXiv: 1404.1584 [nucl-th]. — [Erratum: Phys.Rev.C 101, 029901 (2020)].

31. Gross, F. Covariant Spectator Theory of np scattering: Deuteron form factors / F. Gross // Phys. Rev. C. — 2020. — Т. 101, № 2. — С. 024001. — arXiv: 1908.09421 [nucl-th].

32. Azhgirey, L. / L. Azhgirey, N. Yudin // Phys. Part. Nucl. — 2006. — Т. 37. — С. 1011.

33. Akulinichev, S. V. Light front dynamics and the binding correction / S. V. Akulinichev. — 1993. — Март. — arXiv: nucl-th/9303024.

34. Mangin-Brinet, M. Two fermion relativistic bound states in light front dynamics / M. Mangin-Brinet, J. Carbonell, V. A. Karmanov // Phys. Rev. C. — 2003. — Т. 68. — С. 055203. — arXiv: hep-th/0308179.

35. Krutov, A. F. Instant form of Poincare-invariant quantum mechanics and description of the structure of composite systems / A. F. Krutov, V. E. Troitsky // Phys. Part. Nucl. — 2009. — Т. 40. — С. 136—161.

36. Jeschonnek, S. A New calculation for D(e, e-prime p)n at GeV energies / S. Jeschonnek, J. W. Van Orden // Phys. Rev. C. — 2008. — Т. 78. — С. 014007. — arXiv: 0805.3115 [nucl-th].

37. Explicitly covariant light front dynamics and relativistic few body systems / J. Carbonell [и др.] // Phys. Rept. — 1998. — Т. 300. — С. 215—347. — arXiv: nucl-th/9804029.

38. Karmanov, V. A. Recent developments in light-front dynamics / V. A. Karmanov // AIP Conf. Proc. / под ред. N. Kalantar-Nayestanaki, R. G. E. Timmermans, B. L. G. Bakker. — 2005. — Т. 768, № 1. — С. 360—364. — arXiv: nucl-th/0410033.

39. Tsirova, N. A. Chiral effective field theory on the light front in the nucleon sector / N. A. Tsirova, V. A. Karmanov, J. F. Mathiot // Phys. Atom. Nucl. — 2010. — Т. 73. — С. 1952—1955.

40. Karmanov, V. A. Ab initio nonperturbative calculation of physical observables in light-front dynamics. Application to the Yukawa model / V. A. Karmanov, J. F. Mathiot, A. V. Smirnov // Phys. Rev. D. — 2012. — Т. 86. — С. 085006. — arXiv: 1204.3257 [hep-th].

41. Arndt, R. A. An Updated analysis of N N elastic scattering data to 1.6-GeV / R. A. Arndt, I. I. Strakovsky, R. L. Workman // Phys. Rev. C. — 1994. — Т. 50. — С. 2731—2741. — arXiv: nucl-th/9407035.

42. Shebeko, A. The Method of Unitary Clothing Transformations in Relativistic Quantum Field Theory: Recent Applications for the Description of Nucleon-Nucleon Scattering and Deuteron Properties / A. Shebeko // Few Body Syst. — 2013. — Т. 54, № 12. — С. 2271.

43. Kostylenko, Y. A Field Theoretical Description of the Electron-Deuteron Scattering / Y. Kostylenko, A. Shebeko // Few Body Syst. — 2021. — Т. 62, № 3. — С. 41.

44. Kostylenko, Y. Meson Exchange Currents in the Clothed-Particle Representation: Calculation of the Deuteron Magnetic Form Factor / Y. Kostylenko, O. Shebeko // Few Body Syst. — 2024. — T. 65, № 2. — C. 55.

45. Nakanishi, N. A General survey of the theory of the Bethe-Salpeter equation / N. Nakanishi // Prog. Theor. Phys. Suppl. — 1969. — T. 43. — C. 1—81.

46. Carbonell, J. Solving Bethe-Salpeter equation for two fermions in Minkowski space / J. Carbonell, V. A. Karmanov // Eur. Phys. J. A. — 2010. — T. 46. — C. 387—397. — arXiv: 1010.4640 [hep-ph].

47. Bound state structure and electromagnetic form factor beyond the ladder approximation / V. Gigante [h gp.] // Phys. Rev. D. — 2017. — T. 95, № 5. — C. 056012. — arXiv: 1611.03773 [hep-ph].

48. Carbonell, J. Euclidean to Minkowski Bethe-Salpeter amplitude and observables / J. Carbonell, T. Frederico, V. A. Karmanov // Eur. Phys. J. C. — 2017. — T. 77, № 1. — C. 58. — arXiv: 1701.02479 [hep-ph].

49. Carbonell, J. Bethe-Salpeter scattering amplitude in Minkowski space / J. Carbonell, V. A. Karmanov // Phys. Lett. B. — 2013. — T. 727. — C. 319—324. — arXiv: 1310.4091 [hep-ph].

50. Carbonell, J. Solving Bethe-Salpeter scattering state equation in Minkowski space / J. Carbonell, V. A. Karmanov // Phys. Rev. D. — 2014. — T. 90, № 5. — C. 056002. — arXiv: 1408.3761 [hep-ph].

51. Three-body bound states with zero-range interaction in the Bethe-Salpeter approach / E. Ydrefors [h gp.] // Phys. Lett. B. — 2017. — T. 770. — C. 131—137. — arXiv: 1703.07981 [nucl-th].

52. Solving the three-body bound-state Bethe-Salpeter equation in Minkowski space / E. Ydrefors [h gp.] // Phys. Lett. B. — 2019. — T. 791. — C. 276—280. — arXiv: 1903.01741 [hep-ph].

53. Three-boson bound states in Minkowski space with contact interactions / E. Ydrefors [h gp.] // Phys. Rev. D. — 2020. — T. 101, № 9. — C. 096018. — arXiv: 2005.07943 [hep-ph].

54. Karmanov, V. A. Abnormal states with unequal constituent masses / V. A. Karmanov // Eur. Phys. J. C. — 2024. — T. 84, № 1. — C. 58. — arXiv: 2401.09743 [hep-ph].

55. Electromagnetic structure of A=2 and 3 nuclei and the nuclear current operator / L. E. Marcucci [и др.] // Phys. Rev. C. — 2005. — Т. 72. —

C. 014001. — arXiv: nucl-th/0502048.

56. Electromagnetic Structure of Few-Nucleon Ground States / L. E. Marcucci [и др.] // J. Phys. G. — 2016. — Т. 43. — С. 023002. — arXiv: 1504.05063 [nucl-th].

57. Entem, D. R. Accurate charge dependent nucleon nucleon potential at fourth order of chiral perturbation theory / D. R. Entem, R. Machleidt // Phys. Rev. C. — 2003. — Т. 68. — С. 041001. — arXiv: nucl-th/0304018.

58. Machleidt, R. Chiral effective field theory and nuclear forces / R. Machleidt,

D. R. Entem // Phys. Rept. — 2011. — Т. 503. — С. 1—75. — arXiv: 1105.2919 [nucl-th].

59. Stadler, A. Relativistic equations for the three-nucleon bound state / A. Stadler, F. Gross // AIP Conf. Proc. / под ред. F. Gross. — 1995. — Т. 334. — С. 867—870.

60. Stadler, A. Relativistic calculation of the triton binding energy and its implications / A. Stadler, F. Gross // Phys. Rev. Lett. — 1997. — Т. 78. — С. 26—29. — arXiv: nucl-th/9607012.

61. Stadler, A. Covariant equations for the three-body bound state / A. Stadler, F. Gross, M. Frank // Phys. Rev. C. — 1997. — Т. 56. — С. 2396. — arXiv: nucl-th/9703043.

62. Gross, F. Electromagnetic interactions of three body systems in the covariant spectator theory / F. Gross, A. Stadler, M. T. Pena // Phys. Rev. C. — 2004. — Т. 69. — С. 034007. — arXiv: nucl-th/0311095.

63. Pinto, S. A. Covariant spectator theory for the electromagnetic three-nucleon form factors: Complete impulse approximation / S. A. Pinto, A. Stadler, F. Gross // Phys. Rev. C. — 2009. — Т. 79. — С. 054006. — arXiv: 0901.4313 [nucl-th].

64. Pinto, S. A. First results for electromagnetic three-nucleon form factors from high-precision two-nucleon interactions / S. A. Pinto, A. Stadler, F. Gross // Phys. Rev. C. — 2010. — Т. 81. — С. 014007. — arXiv: 0911.1473 [nucl-th].

65. Trinucleon Electromagnetic Form Factors and the Light-Front Hamiltonian Dynamics / F. Baroncini [и др.] // AIP Conf. Proc. / под ред. S. Boffi [и др.]. — 200B. — Т. 1056, № 1. — С. 272—279. — arXiv: 0B07 . 4B09 [nucl-th].

66. Rupp, G. Relativistic Contributions to the Deuteron Electromagnetic Form-factors / G. Rupp, J. A. Tjon // Phys. Rev. C. — 1990. — Т. 41. — С. 472.

67. Bandarenka, S. G. Final state interaction effects in electrodisintegration of the deuteron within the Bethe-Salpeter approach / S. G. Bondarenko, V. V. Burov, E. P. Rogochaya // JETP Lett. — 2012. — Т. 94. — С. 73B—743. — arXiv: 1110.5775 [nucl-th].

6B. Bandarenka, S. G. Final state interaction effects in exclusive electrodisintegration of the deuteron / S. G. Bondarenko, V. V. Burov, E. P. Rogochaya // PoS. — 2012. — Т. Baldin-ISHEPP—XXI. — С. 026. — arXiv: 1212.3363 [nucl-th].

69. Bethe-Salpeter approach with the separable interaction for the deuteron / S. G. Bondarenko [и др.] // Prog. Part. Nucl. Phys. — 2002. — Т. 4B. — С. 449—535. — arXiv: nucl-th/0203069.

70. Lurie, D. Particles and Fields / D. Lurie. — 196B.

71. Rupp, G. Bethe-Salpeter Calculation of Three Nucleon Observables With Rank One Separable Potentials / G. Rupp, J. A. Tjon // Phys. Rev. C. — 19BB. — Т. 37. — С. 1729.

72. Rupp, G. Bethe-Salpeter calculation of three nucleon observables with multirank separable interactions / G. Rupp, J. A. Tjon // Phys. Rev. C. — 1992. — Т. 45. — С. 2133.

73. Kubis, J. J. Partial-wave analysis of spinor bethe-salpeter equations for single-particle exchange / J. J. Kubis // Phys. Rev. D. — 1972. — Т. 6. — С. 547—564.

74. Itzyksan, C. Quantum Field Theory / C. Itzykson, J. B. Zuber. — New York : McGraw-Hill, 19B0. — (International Series In Pure and Applied Physics).

75. Umnikav, A. Y. Deep inelastic scattering on the deuteron in the Bethe-Salpeter formalism: Scalar meson exchange / A. Y. Umnikov, F. C. Khanna // Phys. Rev. C. — 1994. — Т. 49. — С. 2311—2330.

76. A Relativistic approach to deep inelastic scattering on the deuteron / A. Y. Umnikov [и др.] // Phys. Lett. B. — 1994. — Т. 334. — С. 163—168. — arXiv: nucl-th/9407006.

77. Bethe-Salpeter amplitudes and static properties of the deuteron / L. P. Kaptari [и др.] // Phys. Rev. C. — 1996. — Т. 54. — С. 986—1005. — arXiv: nucl-th/9603022.

78. Umnikov, A. Y. Deep inelastic scattering on the deuteron in the Bethe-Salpeter formalism. 2: Realistic N N interaction / A. Y. Umnikov, F. C. Khanna, L. P. Kaptari // Phys. Rev. C. — 1997. — Т. 56. — С. 1700—1719. — arXiv: hep-ph/9608459.

79. Браун, Д. Е. Нуклон-нуклонные взаимодействия / Д. Е. Браун, А. Д. Джексон. — Москва : Атомиздат, 1979.

80. Mathelitsch, L. Separable Potential for the Neutron Proton System / L. Mathelitsch, W. Plessas, W. Schweiger // Phys. Rev. C. — 1982. — Т. 26. — С. 65—76.

81. Partial wave analysis of K+ nucleon scattering / J. S. Hyslop [и др.] // Phys. Rev. D. — 1992. — Т. 46. — С. 961—969.

82. Measurement of the electron-Deuteron Elastic Scattering Cross-Section in the Range 0.8-GeV**2 <= q**2<= 6-GeV**2 / R. G. Arnold [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 1975. — Т. 35. — С. 776.

83. DEUTERON MAGNETIC FORM-FACTOR MEASUREMENTS AT HIGH MOMENTUM TRANSFER / R. G. Arnold [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 1987. — Т. 58. — С. 1723.

84. Gari, M. Isoscalar Electromagnetic Form-Factors and the Structure of the Deuteron at High Momentum Transfer / M. Gari, H. Hyuga // Nucl. Phys. A. — 1976. — Т. 264. — С. 409—444.

85. Gari, M. Charge Form-Factors of Doubly Closed Shell Nuclei / M. Gari, H. Hyuga, J. G. Zabolitzky // Nucl. Phys. A. — 1976. — Т. 271. — С. 365—400.

86. Gari, M. Mesonic Degrees of Freedom in Nuclei and Retardation Effects in Meson Exchange Currents / M. Gari, H. Hyuga // Nucl. Phys. A. — 1977. — Т. 278. — С. 372—380.

87. Gari, M. Resonance (Delta Delta) Degrees of Freedom in the Deuteron and their Influence on the Electromagnetic Form-Factors / M. Gari, H. Hyuga,

B. Sommer // Phys. Rev. C. — 1976. — Т. 14. — С. 2196—2210.

88. Burov, V. V. Meson exchange currents and elastic scattering of electrons / V. V. Burov, V. N. Dostovalov, S. E. Suskov // Sov. J. Part. Nucl. — 1992. — Т. 23. — С. 317—338.

89. Burov, V. V. MESON EXCHANGE CURRENTS AND MAGNETIC FORM-FACTOR OF DEUTERON / V. V. Burov, V. N. Dostovalov, S. E. Suskov // JETP Lett. — 1986. — Т. 44. — С. 457.

90. Burov, V. V. Form-factors and Polarization in Elastic eD Scattering With Account of Meson and Quark Degrees of Freedom in Deuteron / V. V. Burov, V. N. Dostovalov // Z. Phys. A. — 1987. — Т. 326. — С. 245.

91. Burov, V. V. RETARDATION EFFECTS IN MESON EXCHANGE CURRENTS AND ELASTIC e D SCATTERING / V. V. Burov, A. A. Goi, V. N. Dostovalov // Sov. J. Nucl. Phys. — 1987. — Т. 45. — С. 616.

92. Wagenbrunn, R. F. Electron deuteron scattering with the new generation of nucleon nucleon potentials / R. F. Wagenbrunn, W. Plessas // Few Body Syst. Suppl. / под ред. R. Guardiola. — 1995. — Т. 8. — С. 181—185.

93. Desplanques, B. Isovector meson exchange currents in the light front dynamics / B. Desplanques, V. A. Karmanov, J. F. Mathiot // Nucl. Phys. A. — 1995. — Т. 589. — С. 697—712.

94. On isovector meson exchange currents in the Bethe-Salpeter approach / S. G. Bondarenko [и др.] // Phys. Rev. C. — 1998. — Т. 58. —

C. 3143—3152. — arXiv: nucl-th/9809037.

95. Contribution of P wave components of the Bethe-Salpeter amplitude to the deuteron magnetic moment / S. G. Bondarenko [и др.] // Phys. Atom. Nucl. — 1999. — Т. 62. — С. 917—925.

96. Bondarenko, S. G. Sensitivity of polarization observables in elastic e d scattering to the neutron form-factors / S. G. Bondarenko, V. V. Burov, S. M. Dorkin // Phys. Atom. Nucl. — 2000. — Т. 63. — С. 774—781.

97. Bekzhanov, A. Elastic electron-deuteron scattering with modified dipole fit / A. Bekzhanov, S. Bondarenko, V. Burov // Nucl. Phys. B Proc. Suppl. / nog peg. S. Dubnivcka, A. Z. Dubnivckova, E. Bartons. — 2013. — T. 245. — C. 65—68.

98. Bekzhanov, A. V. Nucleon form factors for the elastic electron-deuteron scattering at high momentum transfer / A. V. Bekzhanov, S. G. Bondarenko, V. V. Burov // JETP Lett. — 2014. — T. 99. — C. 613—618. — arXiv: 1403.4422 [nucl-th].

99. Bekzhanov, A. V. On the Analytical Structure of Relativistic Two-body Interaction Current / A. V. Bekzhanov, S. G. Bondarenko, V. V. Burov // Nonlin. Phenom. Complex Syst. — 2017. — T. 20, № 3. — C. 301—306.

100. Bjorken, J. D. RELATIVISTIC QUANTUM FIELD THEORY / J. D. Bjorken, S. D. Drell. — 1979.

101. Korchin, A. Y. A possible way for constructing the electromagnetic current of two nucleon system within the Bethe-Salpeter formalism / A. Y. Korchin, A. V. Shebeko // Sov. J. Nucl. Phys. — 1991. — T. 54. — C. 214.

102. Kotlyar, V. V. Polarization phenomena in photoproduction and electrodisintegration of the lightest nuclei at medium energies / V. V. Kotlyar, Y. P. Melnik, A. V. Shebeko // Phys. Part. Nucl. — 1995. — T. 26. — C. 79—113.

103. Gauge-independent contributions to the amplitude of elastic electron scattering by nuclei (systems of bound particles) / V. V. Burov [h gp.] // Phys. Atom. Nucl. — 1996. — T. 59. — C. 784—788.

104. Measurements of elastic electron-deuteron scattering at high momentum transfers / J. E. Elias [h gp.] // Phys. Rev. — 1969. — T. 177. — C. 2075—2092.

105. Systematic enhancement for the 14 C(p, t) 12 C reaction leading to the T = 0 states / M. Yasue [h gp.] // Nucl. Phys. A. — 1990. — T. 510. — C. 285—300.

106. Buchanan, C. D. Elastic Electron-Deuteron Scattering and Possible MesonExchange Effects / C. D. Buchanan, M. R. Yearian // Phys. Rev. Lett. — 1965. — T. 15. — C. 303—306.

107. Magnetic form-factor of the deuteron / S. Auffret [h gp.] // Phys. Rev. Lett. — 1985. — T. 54. — C. 649—652.

108. Pietschmann, H. Nucleon form factors and asymptotic symmetries / H. Pietschmann, H. Stremnitzer // Lett. Nuovo Cim. — 1969. — T. 2S1. — C. 841—845.

109. Iachello, F. Semiphenomenological fits to nucleon electromagnetic form-factors / F. Iachello, A. D. Jackson, A. Lande // Phys. Lett. B. — 1973. — T. 43. — C. 191—196.

110. Hadron and quark form-factors in the relativistic harmonic oscillator model / V. V. Burov [h gp.] // EPL. — 1993. — T. 24. — C. 443—448. — arXiv: hep-ph/9310377.

111. Experimental study of exclusive H-2(e,e-prime p)n reaction mechanisms at high Q**2 / K. S. Egiyan [h gp.] // Phys. Rev. Lett. — 2007. — T. 98. — C. 262502. — arXiv: nucl-ex/0701013.

112. Measurement of G(Ep) / G(Mp) in polarized-e p —> e polarized-p to Q**2 = 5.6-GeV**2 / O. Gayou [h gp.] // Phys. Rev. Lett. — 2002. — T. 88. — C. 092301. — arXiv: nucl-ex/0111010.

113. Elastic electron-deuteron scattering and the electric neutron form factor at four-momentum transfers 5fm-2 < q2 < 14fm-2 / S. Galster [h gp.] // Nucl. Phys. B. — 1971. — T. 32. — C. 221—237.

114. Advanced nucleon electromagnetic structure model and charge proton rms radius / C. Adamuscin [h gp.] // Nucl. Phys. B Proc. Suppl. / nog peg. S. Dubnivcka, A. Z. Dubnivckova, E. Bartons. — 2013. — T. 245. — C. 69—73.

115. Tensor polarization in elastic electron - deuteron scattering in the momentum transfer range 3.8-fm**-1 <= q <= 4.6-fm**-1 / M. Garcon [h gp.] // Phys. Rev. C. — 1994. — T. 49. — C. 2516—2537.

116. Measurement of tensor polarization in elastic electron deuteron scattering in the momentum transfer range 3.8-fm**(-1) <= q <= 4.6-fm**(-1) / I. The [h gp.] // Phys. Rev. Lett. — 1991. — T. 67. — C. 173—176.

117. Benaksas, D. Deuteron Electromagnetic Form Factors for F-3-2 < q2 < F-6-2 / D. Benaksas, D. Drickey, D. Frerejacque // Phys. Rev. — 1966. — T. 148. — C. 1327—1331.

118. Simon, G. G. Elastic Electric and Magnetic eD Scattering at Low Momentum Transfer / G. G. Simon, C. Schmitt, V. H. Walther // Nucl. Phys. A. — 1981. — T. 364. — C. 285—296.

119. Measurement of the Magnetic Form-factor of the Deuteron for Q2 = 0.5-GeV/c**2 to 1.3-GeV/c**2 by a Coincidence Experiment / R. Cramer [h gp.] // Z. Phys. C. — 1985. — T. 29. — C. 513—518.

120. DEUTERON A(Q**2) STRUCTURE FUNCTION AND THE NEUTRON ELECTRIC FORM-FACTOR / S. Platchkov [h gp.] // Nucl. Phys. A. — 1990. — T. 510. — C. 740—758.

121. A Precise measurement of the deuteron elastic structure function A(Q**2) /

D. Abbott [h gp.] // Phys. Rev. Lett. — 1999. — T. 82. — C. 1379—1382. — arXiv: nucl-ex/9810017.

122. Suleiman, R. Ph.D. thesis / R. Suleiman. — Kent State University, 1999.

123. Phenomenology of the deuteron electromagnetic form-factors / D. Abbott [h gp.] // Eur. Phys. J. A. — 2000. — T. 7. — C. 421—427. — arXiv: nucl-ex/0002003.

124. Measurement of the tensor analyzing powers T(20) and T(21) in elastic electron deuteron scattering / D. M. Nikolenko [h gp.] // Phys. Rev. Lett. — 2003. — T. 90. — C. 072501.

125. Precise Measurement of Deuteron Tensor Analyzing Powers with BLAST / C. Zhang [h gp.] // Phys. Rev. Lett. — 2011. — T. 107. — C. 252501.

126. Lomon, E. L. DETERMINING NUCLEON FORCES AND MESON EXCHANGE CURRENT EFFECTS FROM ELASTIC E D SCATTERING /

E. L. Lomon // Annals Phys. — 1980. — T. 125. — C. 309—345.

127. Relativistic effects on electron scattering of deuteron / K. Tamura [h gp.] // Nucl. Phys. A. — 1992. — T. 536. — C. 597—636.

128. Hadjimichael, E. Corrections to the Deuteron Static Moments / E. Hadjimichael // Nucl. Phys. A. — 1978. — T. 312. — C. 341—360.

129. Kobayashi, M. Effective interactions for mesons and baryons in nuclei / M. Kobayashi, T. Sato, H. Ohtsubo // Prog. Theor. Phys. — 1997. — T. 98. — C. 927—951.

130. Magnetic moment of the deuteron as probe of relativistic corrections / S. G. Bondarenko [h gp.] // 3rd International Symposium on Dubna Deuteron 95. — 07.1995. — arXiv: nucl-th/9601040.

131. Honzawa, N. Electromagnetic static moments of deuteron in the Bethe-Salpeter formalism / N. Honzawa, S. Ishida // Phys. Rev. C. — 1992. — Т. 45. — С. 47—68.

132. Mathelitsch, L. Relations Between Electromagnetic Form-Factors and the Wave Functions of the Deuteron / L. Mathelitsch, H. F. K. Zingl // Nuovo Cim. A. — 1978. — Т. 44. — С. 81—107.

133. Reid, R. V. Quadrupole Moment of the Deuteron / R. V. Reid, M. L. Vaida // Phys. Rev. Lett. — 1972. — Т. 29. — С. 494—496.

134. Observation of the E2 Nuclear Resonance Effect in Pionic Cadmium / J. N. Bradbury [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 1975. — Т. 34. — С. 303. — [Erratum: Phys.Rev.Lett. 34, 1064 (1975)].

135. One-rank interaction kernel of the two-nucleon system for medium and high energies / S. G. Bondarenko [и др.] // JETP Lett. — 2008. — Т. 87. — С. 653—658. — arXiv: 0804.3525 [nucl-th].

136. On the covariant relativistic separable kernel / S. G. Bondarenko [и др.] // 18th International Baldin Seminar on High Energy Physics Problems: Relativistic Nuclear Physics and Quantum Chromodynamics. — 06.2008. — arXiv: 0806.4866 [nucl-th].

137. Relativistic multirank interaction kernels of the neutron-proton system / S. G. Bondarenko [и др.] // Nucl. Phys. A. — 2010. — Т. 832. — С. 233—248. — arXiv: 0810.4470 [nucl-th].

138. Covariant separable interaction for the neutron-proton system in 3Si-3Di partial-wave state / S. G. Bondarenko [и др.] // Nucl. Phys. A. — 2010. — Т. 848. — С. 75—91. — arXiv: 1002.0487 [nucl-th].

139. Bondarenko, S. G. Relativistic complex separable potential of the neutronproton system / S. G. Bondarenko, V. V. Burov, E. P. Rogochaya // Phys. Lett. B. — 2011. — Т. 705. — С. 264—268.

140. Bondarenko, S. G. Relativistic complex separable potential for describing the neutron-proton system in 3S\-3Di partial-wave state / S. G. Bondarenko, V. V. Burov, E. P. Rogochaya // Nucl. Phys. B Proc. Suppl. / под ред. S. Dubnicka, A. Z. Dubnickova, E. Bartos. — 2011. — Т. 219/220. — С. 126—129. — arXiv: 1108.4170 [nucl-th].

141. Тэйлор, Д. Квантовая теория нерелятивистских столкновений / Д. Тэй-лор. — Москва : Мир, 1975.

142. Никитиу, Ф. Фазовый анализ в физике ядерных взаимодействий / Ф. Ни-китиу. — Москва : Мир, 1983.

143. Bethe, H. A. Theory of the Effective Range in Nuclear Scattering / H. A. Bethe // Phys. Rev. — 1949. — Т. 76. — С. 38—50.

144. Schwarz, K. A Separable Approach to the Bethe-Salpeter Equation and Its Application to Nucleon-nucleon Scattering / K. Schwarz, J. Frohlich, H. F. K. Zingl // Acta Phys. Austriaca. — 1981. — Т. 53. — С. 191.

145. Yamaguchi, Y. Two nucleon problem when the potential is nonlocal but separable. 1. / Y. Yamaguchi // Phys. Rev. — 1954. — Т. 95. — С. 1628—1634.

146. Yamaguchi, Y. Two Nucleon Problem When the Potential Is Nonlocal but Separable. 2 / Y. Yamaguchi, Y. Yamaguchi // Phys. Rev. — 1954. — Т. 95. — С. 1635—1643.

147. Avishai, Y. New Approach to the Theory of Coupled nNN — NN Systems. 2. Further Elaborations and Relativistic Extensions / Y. Avishai, T. Mizutani // Nucl. Phys. A. — 1980. — Т. 338. — С. 377—412.

148. Plessas, W. ON-SHELL AND OFF-SHELL BEHAVIOR OF SEPARABLE NUCLEON NUCLEON POTENTIALS / W. Plessas // Acta Phys. Austriaca. — 1982. — Т. 54. — С. 305—338.

149. Relativistic contribution of the final state interaction to deuteron photodisintegration / S. G. Bondarenko [и др.] // Phys. Part. Nucl. Lett. — 2004. — Т. 1. — С. 178—185. — arXiv: nucl-th/0402056.

150. A non-analytic S matrix / R. E. Cutkosky [и др.] // Nucl. Phys. B. — 1969. — Т. 12. — С. 281—300.

151. Lee, T. D. Negative Metric and the Unitarity of the S Matrix / T. D. Lee, G. C. Wick // Nucl. Phys. B / под ред. G. Feinberg. — 1969. — Т. 9. — С. 209—243.

152. Jacob, M. On the General Theory of Collisions for Particles with Spin / M. Jacob, G. C. Wick // Annals Phys. — 1959. — Т. 7. — С. 404—428.

153. One- and two-rank separable kernels of the two-nucleon system in the Bethe-Salpeter approach / S. Bondarenko [h gp.] // Phys. Part. Nucl. Lett. — 2005. — T. 2. — C. 264.

154. Machleidt, R. The High precision, charge dependent Bonn nucleon-nucleon potential (CD-Bonn) / R. Machleidt // Phys. Rev. C. — 2001. — T. 63. — C. 024001. — arXiv: nucl-th/0006014.

155. Updated analysis of NN elastic scattering to 3-GeV / R. A. Arndt [h gp.] // Phys. Rev. C. — 2007. — T. 76. — C. 025209. — arXiv: 0706.2195 [nucl-th].

156. Kwong, N. H. Separable NN potentials from inverse scattering for nuclear matter studies / N. H. Kwong, H. S. Kohler // Phys. Rev. C. — 1997. — T. 55. — C. 1650—1664.

157. Noyes, H. P. A NEW NONSINGULAR INTEGRAL EQUATION FOR TWO PARTICLE SCATTERING / H. P. Noyes // Phys. Rev. Lett. — 1965. — T. 15. — C. 538—540.

158. Kowalski, K. L. Off-Shell Equations for Two-Particle Scattering / K. L. Kowalski // Phys. Rev. Lett. — 1965. — T. 15. — C. 798—800.

159. Off-shell properties of the Paris nucleon-nucleon potential and implications for few-body systems / B. Loiseau [h gp.] // Phys. Rev. C. — 1985. — T. 32. — C. 2165—2168.

160. Parametrization of the Paris n n Potential / M. Lacombe [h gp.] // Phys. Rev. C. — 1980. — T. 21. — C. 861—873.

161. Partial wave analaysis of all nucleon-nucleon scattering data below 350-MeV / V. G. J. Stoks [h gp.] // Phys. Rev. C. — 1993. — T. 48. — C. 792—815.

162. Haidenbauer, J. SEPARABLE REPRESENTATION OF THE PARIS NUCLEON NUCLEON POTENTIAL / J. Haidenbauer, W. Plessas // Phys. Rev. C. — 1984. — T. 30. — C. 1822—1839.

163. Rodning, N. L. Asymptotic D-state to S-state ratio of the deuteron / N. L. Rodning, L. D. Knutson // Phys. Rev. C. — 1990. — T. 41. — C. 898—909.

164. Arndt, R. A. Parametrizing the Nucleon-nucleon Scattering Matrix Above the Inelastic Threshold / R. A. Arndt, L. D. Roper // Phys. Rev. D. — 1982. — T. 25. — C. 2011.

165. Stapp, H. P. Phase shift analysis of 310-MeV proton proton scattering experiments / H. P. Stapp, T. J. Ypsilantis, N. Metropolis // Phys. Rev. — 1957. — Т. 105. — С. 302—310.

166. Funk, A. Nucleon-nucleon optical model for energies to 3-GeV / A. Funk, H. V. von Geramb, K. A. Amos // Phys. Rev. C. — 2001. — Т. 64. — С. 054003. — arXiv: nucl-th/0105011.

167. Bondarenko, S. On the relativistic 3D1 partial-wave contribution to the bound three-nucleon system / S. Bondarenko, V. Burov, S. Yurev // EPJ Web Conf. / под ред. S. Bondarenko, V. Burov, A. Malakhov. — 2017. — Т. 138. — С. 06003.

168. Bondarenko, S. G. The Rank-One Separable Interaction Kernel for Nucleons with Scalar Propagator / S. G. Bondarenko, V. V. Burov, S. A. Yurev // Phys. Part. Nucl. Lett. — 2018. — Т. 15, № 4. — С. 417—421. — arXiv: 1711.03781 [nucl-th].

169. Bondarenko, S. G. On the contribution of the P and D partial -wave states to the binding energy of the triton in the Bethe-Salpeter-Faddeev approach / S. G. Bondarenko, V. V. Burov, S. A. Yurev // Phys. Atom. Nucl. — 2019. — Т. 82, № 1. — С. 44—49. — arXiv: 1809.03271 [nucl-th].

170. Faddeev, L. D. Scattering theory for a three particle system / L. D. Faddeev // Zh. Eksp. Teor. Fiz. — 1960. — Т. 39. — С. 1459—1467.

171. Sitenko, A. G. Bound states and scattering in a system of three particles /

A. G. Sitenko, V. F. Kharchenko // Sov. Phys. Usp. — 1971. — Т. 14. — С. 125.

172. Беляев, В. Лекции по теории малочастичных систем / В. Беляев. — Москва : Энергоатомиздат, 1986.

173. Three-body forces and Efimov physics in nuclei and atoms / S. Endo [и др.]. — 2024. — Май. — arXiv: 2405.09807 [nucl-th].

174. Скорняков, Г. В. Задача трех тел при короткодействующих силах / Г. В. Скорняков, К. А. Тер-Мартиросян // ЖЭТФ. — 1956. — Т. 31(5). — С. 775—790.

175. Karlsson, B. R. Transition Amplitudes in the N Body Faddeev Type Theory /

B. R. Karlsson, E. M. Zeiger // Phys. Rev. D. — 1974. — Т. 10. — С. 1291.

176. Yakubovsky, O. A. On the Integral equations in the theory of N particle scattering / O. A. Yakubovsky // Sov. J. Nucl. Phys. — 1967. — Т. 5. — С. 937.

177. Tjon, J. A. Bound states of 4 He with local interactions / J. A. Tjon // Phys. Lett. B. — 1975. — Т. 56. — С. 217—220.

178. Tjon, J. A. Low-Energy Nucleon-Trinucleon Scattering in the Integral Equation Approach / J. A. Tjon // Phys. Lett. B. — 1976. — Т. 63. — С. 391—394.

179. Sawicki, M. Four-body calculations of 3 He(p, pp)d and 3 He(p, pd)p break-up reactions / M. Sawicki // Phys. Lett. B. — 1977. — Т. 68. — С. 43—46.

180. Malfliet, R. A. Three-nucleon calculations with realistic forces / R. A. Malfliet, J. A. Tjon // Annals Phys. — 1970. — Т. 61. — С. 425—450.

181. Malfliet, R. A. Solution of the Faddeev equations for the triton problem using local two particle interactions / R. A. Malfliet, J. A. Tjon // Nucl. Phys. A. — 1969. — Т. 127. — С. 161—168.

182. Варшалович, Д. Квантовая теория углового момента / Д. Варшалович, А. Москалев, В. Херсонский. — Наука, 1975.

183. Rupp, G. Three Nucleon Bound State Collapse With Tabakin Potentials / G. Rupp, L. Streit, J. A. Tjon // Phys. Rev. C. — 1985. — Т. 31. — С. 2285.

184. Compilation of Coupling Constants and Low-Energy Parameters. 1982 Edition / O. Dumbrajs [и др.] // Nucl. Phys. B. — 1983. — Т. 216. — С. 277—335.

185. Haidenbauer, J. Modified separable representation of the Paris nucleon-nucleon potential in the S-01 and P-03 states / J. Haidenbauer, W. Plessas // Phys. Rev. C. — 1985. — Т. 32. — С. 1424—1425.

186. Malfliet, R. A. The three nucleon bound state wave function and the coulomb energy of 3 He / R. A. Malfliet, J. A. Tjon // Phys. Lett. B. — 1969. — Т. 29. — С. 391—392.

187. Hughes, E. B. Neutron Form Factors from Inelastic Electron Scattering in Tritium and Helium-3 / E. B. Hughes, M. R. Yearian, R. Hofstadter // Phys. Rev. — 1966. — Т. 151. — С. 841—845.

188. Elastic electron scattering from he-3 at high momentum transfer / M. Bernheim [h gp.] // Lett. Nuovo Cim. — 1972. — T. 5S2. — C. 431—434.

189. Mccarthy, J. S. Electromagnetic Structure of the Helium Isotopes / J. S. Mccarthy, I. Sick, R. R. Whitney // Phys. Rev. C. — 1977. — T. 15. — C. 1396—1414.

190. Elastic electron Scattering from He-3 and He-4 at High Momentum Transfer / R. G. Arnold [h gp.] // Phys. Rev. Lett. — 1978. — T. 40. — C. 1429.

191. JLab Measurements of the 3He Form Factors at Large Momentum Transfers / A. Camsonne [h gp.] // Phys. Rev. Lett. — 2017. — T. 119, № 16. — C. 162501. — arXiv: 1610.07456 [nucl-ex]. — [Addendum: Phys.Rev.Lett. 119, 209901 (2017)].

192. Magnetic Form Factor of 3He / J. M. Cavedon [h gp.] // Phys. Rev. Lett. — 1982. — T. 49. — C. 986.

193. He-3 magnetic form factor / P. C. Dunn [h gp.] // Phys. Rev. C. — 1983. — T. 27. — C. 71—82.

194. Measurement of the Elastic Magnetic Form Factor of 3He at High Momentum Transfer / I. Nakagawa [h gp.] // Phys. Rev. Lett. — 2001. — T. 86. — C. 5446.

195. TRITIUM FORM-FACTORS AT LOW Q / D. H. Beck [h gp.] // Phys. Rev. C. — 1984. — T. 30. — C. 1403—1408.

196. TRITIUM ELECTROMAGNETIC FORM-FACTORS / F. P. Juster [h gp.] // Phys. Rev. Lett. — 1985. — T. 55. — C. 2261—2264.

197. Isoscalar and isovector form factors of H-3 and He-3 for Q below 2.9 fm-1 from electron-scattering measurements / D. Beck [h gp.] // Phys. Rev. Lett. — 1987. — T. 59. — C. 1537—1540.

198. H-3 and He-3 electromagnetic form-factors / A. Amroun [h gp.] // Nucl. Phys. A. — 1994. — T. 579. — C. 596—626.

199. Bondarenko, S. Relativistic rank-one separable kernel for helium-3 charge form factor / S. Bondarenko, V. Burov, S. Yurev // Nucl. Phys. A. — 2020. — T. 1004. — C. 122065. — arXiv: 2010.15540 [nucl-th].

200. Bondarenko, S. Trinucleon form factors with relativistic multirank separable kernels / S. Bondarenko, V. Burov, S. Yurev // Nucl. Phys. A. — 2021. — T. 1014. — C. 122251. — arXiv: 2102.06061 [nucl-th].

201. Bijker, R. Re-analysis of the nucleon space- and time-like electromagnetic form-factors in a two-component model / R. Bijker, F. Iachello // Phys. Rev. C. — 2004. — Т. 69. — С. 068201. — arXiv: nucl-th/0405028.

202. A New parameterization of the nucleon elastic form-factors / R. Bradford [и др.] // Nucl. Phys. B Proc. Suppl. / под ред. F. Cavanna, J. G. Morfin, T. Nakaya. — 2006. — Т. 159. — С. 127—132. — arXiv: hep-ex/0602017.

Приложение А

Ниже приведены явные выражения для величин Са,ъ и Н1*'а в уравнении (2.69). Вводя новые функции С"'6, упомянутые выше величины переписываются как:

т =3 51±,1Р1е

т =3 5±±,1Р1°

т =3 бЦр?

т =3 РЦР^

т =3 8±?Р{

т =3 5±±,1Р1

т =3 Р1,3Р^

т =3

Ст =

Ст =

^6

тм

12 Мл

л/6 тм

Ж

от + 4С2 - 4С3 - С\ - 4С

Ст -г- /^чт -г- гчт \ Г^т ГУ

6 Т Т 1 ^

27

Ст =

тм

Ст =

12 Мл

л/3 тм

15

С\{) + втп + 4ст + от + 4С

3 ^ ^4

Ст , г~1т | у^гт -.- /~чт | гчт 12 1 ^13 1 и14 Т ^15 + и

28

Ст =

^3

тм

15 Мл

1^16 — ^17 + ^8 — ^9 1 ^

Ст = т

^3

Шя

3 М(1

27

Ст , г~1т | ^т , 1 у^гт | у^гт 20 + ^21 + ^3 + ^ ^4 + ^5

(А.1)

Т

^3

3

К^,

Ст =

тм

15 Мл

тттт

29

Ст = Т

^6

тм

3 Ма

Ст | Г^т \ гчт I ^ /^т | у^т 25 + ^26 + +--7 + ^

25 26

4

45

6

22

5

5

П<Х'<Х'

где есть следующего вида интегралы

N ! dp4\p\2d\p\Aг(p4,\p\)[B^^a(P4,\p\)]YaЫр\),

здесь А{(р4,\р\) - скалярные функции, в то время как В{ могут быть как дифференциальным оператором типа д/др4, д/д\р\, так и скалярной функцией аргумента р4 = — ър0:

С, Мр4, Р ) вг

1 (Ер - тм)Матм/(\р\Ер) -Ыа

2 -(Ер - тм)трУ(\р\Ер) 1

3 \Р| Р4 д/др4

4 -Шад/др4

5 2 -А д/д \ р\

6 (Ер - тм)(2Ер + 3тм)рА/(\р\Ер) 1

7 (Ер - тм)(Е2р + 2тмЕр + 2т%)М&4/(\р\Ер) 1

8 \р| (3Ер + 2тм )/(2Ер) -Шад/др4

9 (3Ер + 2тм )Мт/Ер д/д \ р\

10 (2Ер + тм )тм Ма/( \ р\Е2р) -Ыа

11 -(2Ер + тн )тнр24/(\ \ р\Е^) 1

12 (2Ер - 2тмЕр - 3т%)Р4/(\р\Ер) 1

13 (Е^ - 2тмЕр + 4т%)Мт/(\р\Ер) 1

14 (3Ер - 4тм) \р\/(2Ер) -Ыад/др4

15 (3Ер - 4тм)Мт/Ер 1

16 (Ер - тн)(7Ер + 3тн)Р4/(\р\Ер) 1

17 2(Ер - тм)Ма(2Е2р - тмЕр - т%)рА/(\р\Ер) 1

18 \ р\ (3Ер - тн)/(2Ер) -Ыад/др4

19 (3Ер - тм)р4Мл/Ер д/д \ р\

20 (Ер - тм)2Ма/(4\р\Ер) -Ыа

21 -(Ер - тмЫ/(\р\Ер) 1

22 \Р\/(2Ер) -Ыа

23 (7Ер + 2тмЕр - 3т%)р^/( \р\Ер) 1

24 (4Е\, + 3тмЕр - т%)МарА/(\р\Е3р) 1

25 (Ер + тм Ер + т% )Ма/(4 \ р\Е2р) -Ыа

26 -(Ер + тм Ер + т% )р2,/( \ р\Ер) 1

27 (3Ер + 2тм )Р4 д/д \ р\

28 (3Ер - 4тм)Р4 д/д \ р\

29 (3Ер - тм)Р4 д/д \ р\

Аналогично для функций Н°с,а = Н*), имеющих такую же струк-

г^а.а'

туру что и Ь} с

% ,\р|) вг % МР4,\р\) вг

1 2 (1 - тм/Ер) 6 Млт\/Е?р 1

2 2(1 - Ма/2Ер) 7 -р4тм/Ер 1

3 -Р4/Ер 1 8 Р4Ш\/Е| 1

4 Р4тм/Ер 1 9 \р| 2тм/Ер д/др4

5 1/2 10 \р\р4тм/Ер д/д\р\

Коэффициенты ша имеют вид:

ш+ = 2Ек - Ма, = -2Ек - Ма, ше = ш0 = -Мл.

Приложение Б

Соотношения для относительных импульсов и переменных Якоби для системы трех частиц имееют следующий вид:

(I):

4-вектора к1,к2,к% выраженные через К^,р,:

кг = \к - к2 = р1 + 2к + 241, кз = -р\ + 3К + 241 (Б.1)

к\ = Р'2 + 2к + 2д2, к2 = 2к - д<2, к3 = Р2 + 2к + 1 ^ (б.2)

кг =рз + 2к + 2дз, к2 = -рз + 2к + 2д3, к3 = 3К - д3 (Б.3)

(II):

4-вектора р, выраженные друг через друга:

2 4 4 2

Чг = 3Р1 + зP2, Я2 = -3Р1 - 3Р2 (Б.4)

2 4 4 2

41 = -3Р1 - зР:ь 4з = 3Р1 + 3Р3 (Б5)

Р1 = -2(¡1 - 42, Р2 = 41 + 142 (Б.6)

Р1 = 241 + 4:ь Р?, = -41 - ^з (Б.7) 2 3 1 1 2

Р1 = -442 - 2P2 , 41 = -2 42 + Р2 (Б.8)

1 3 1

Р2 = -2Р1 + 441, 42 = -Р1 - 241 (Б.9)

3 1 1 (Б1П)

Р1 = 443 - 2^3, 41 = -2^3 - Рз (Б.10)

1 з 1 (Б11)

Рз = -2Р1 - 441, 4з= Р1 - 2Ш (Б11)